A$ üenìêrs vsifas fì*eíeã* trig*r:orn*qríeo

No capítulo 13, quando estebe ecemos o ciclotr igor oÍret, ico, èssociamos a càdà ponto oè ci.cL.ì.íerêncÌa um núrneÍo reâl pertencente ao intervalo

[0,27Ì1.Essa associação possui caráter biunívoco, ou

seja, além de a cada ponto dâ circuníerênciâ estarrelacionado um número realx, x € [0, 21r[, também,ìnversamente, a cada núÍnero desse Ìntervâlo asso-Lia-se -m ponto -oo e è c.cunte-e^ciâ t ' igono-melnca.

Enlretanto, por motivos didáticos, a part irde ago-re faremos outra associação:

A cada número rêalestá assocíado um pon-to da circunferência.

lsso permit irá a deÍinição das funções circularesíou f-1coes tr igono"nêtr 'casì, âlém de gatanti- o.eucâráter cícl ico (ou perÌódico).

Até agore trabalhâmos apenas nâ primeirâ volta,oLrseja, pâra valores dexvariando no intervalo [0,27[[.

Com a inclusão dos números negativos e dosmaioÍes que (ou iguais ê) 2r, poderemos trabâlhârnâs dernais voltas do cÌclo. Como isso é feito?

Tomemos um númeTo realx, tal que x > 21I; por

exemplo, r - : ' - . Desmembrêndo o conve,ì iente-

menÌe, Ìem0s:

^= stt = 4tt * l l =2, * tr

percurso de 1 vo ta I L percuBode +devotta

Ass0cràmos, entã0, âo núrìe-o + o po-to I dàz

f gu'è. o quâ. e imagem rambém oo número i Há?"

outros inf in i tos números reais maiores que 2f ie que posslrêm â mesma ímâgem B. Entre elesestão:

9E

: dê volia

ã4ã

137r2

Por outro lâdo, tomemos o númeTo real negativo

' , ?.

Corno ÍoÌ estabelecido como posÌt ivo o sentidoanti horário, o 5ìnal negativo signif ica peÍcurso de

-i l : I ' dê vohâ l no sent do noràÍio. o oue conouz2 \,.4 I

novamerite ao ponto B. Assim como esse, inf inÌtosnúmeros negâtivos possuem a mesmâ imagern B:

7tr 11]I 15I[ ^.^2' ?

- 2 '"*

Generalizando, podemos escrever que todos os

n-"Ìeros dè lor"na I r 2<n, co r < ( I , posquem az

mesrna imagem 8. Para verif Ìcar esse fato, bastasLbsÌiturr k poí qualqueÍ vdlo' i_teiro e oble', enÌ 'eoutros, os números dâdos como exemplos.

Fazendo:

]I

2

1l

2

n2

7l

?

1l

2n21l

2

LIN

Ddqu: em diàn'e, ão c,tarrnos qLalquer núrìeroreal, estaremos nos reÍerÌndo indiferenteÀìente ê talnúmero oJ a . T a-co de "nedidê igualè ele. Assirì, o

^. ' Ì .e o ? ê L-r do\ núnero- .u a iTèqem é 8,I

coÌnotambém é urn arco de extrernidade B e de medl-

da 1l rad.

No exemolo, o êÍLo 4 e chamado orimerr, oe' I

IIÌe minaLao oo\rr vè dos arcos dà 'orma ; 2\Ir,

k € Z, pois, sendo o ú nlco representa nte desses a rcosque se encontTa na prlmeirâ voltâ, Tetratã o menor

vèlo posiÌrvo que a eroressào 1 2kir âssume.I

0 arco de 4 -adia.os, ra Í isura aoàr),o, p05-l "

suÌextremidadeP.

radianos, com k emroade:

llrr 5N ft ?ft 13n' 'a-r , . , . , ì , - , .

21 2Í 2t 2r

v

k= 3.*1+zkj I=?

hÍk= -2- L + zkn=2

k= - ! - L +zkrr=2

k = 0 .. 4 + 2krÌ =2

k=1 *4+2k1I=2

k=2 - L +2k1r=2

k=3 - L + zkrÍ=2

+0

2

n?

5r2

9E2

13r,,

2

3n

Assìrn como ele,torlos os arcos ae (f + ztrc)

Z, possuem a mesma extre

lodos os arco, ' de orige_n,4 e extrenidede I (di

Íerindo apenas por um número inleiro k de voltas)apresentam como me'didas, em Tadiãnos, os núme-rosobtidosacimâ e são considerados arcos côngruosentrê sì.

A inserçao da vaÍiáve. i^teira k poss.bi l i td â esLritâ de todos esses arcos de uma formâ generalÌzada:

2 - " ' - -

ffi {}H{ïii"l;r íf;ií;!Í;í ffiÍ, , Marqr:e em um meuno cicÌo trigonométrico as

'8, ! '9ne\Lremidade. dô' dr,o ' de ï

rud e ;"

ràd.

apresentando, para cada caso, um ângulo quejustiÍìque sua marcação.

?.1

? . Escreva a expressão gerâl dos arcos que tém, nafigura, como origem o ponto Á e como extre-midâde;

a) o ponto Cjb) o ponto D;c) o ponto Ájd) o ponto X

3, Escreva a expressão geraÌ dos arcos ..., @.6

251t 377r6 ' 6 , -'aPlesenBnco sua Poslçá.r no

ciclo tÍigonométrico.

4, Forneça em graus o menor ângulo formadopelas linhas que unem o centro do ciclo tdgonometrico às er:lremidades dos arcos de:

a) f rad e tr Íàd

5. Apresettte cinco arcos còngruos ao arco cujaprimeiÌa determinação positi é:

âì l: .lì a -\

_::' I -6Ò6

h\-- \11!Lr l l !

L) -- t ) ---

ü, Construa um triângulo eqüilátero inscrito nociclo, com uÌìt dos véÌtices na imagem do

número;. A seguir. e\creva a expreçsào geral

de cada um dos arcos que possuem extremida-des nos vértices do triângulo.

FunçÕes periódicasExìstem muites funções g = f(x) que repetem

valores de g para um determinado acréscimo no va-lordex. Porexemplo, a função Í: N- N f(x) = (-f)"é umã delas. Veje e tabela:

. Sex é par, f (x) = 1. t rSexéímpar, Í (x)=-1.

0uândo x vâriã de duas unidades, o valor de f(x)sê repete: f(x) = f(x + 2) = f(x + 4) = ...

Funçõês como essa são chamadas periódicâs.LJmâ defÌnição formal pera função periódicâ sefiâ:

Uma funçào Fde domínio ,é periódice seexiste um real p > 0 tâl que ííx - p\ = fíxì,V x e D. Nesses condições, o menorvaÍorde ppâra que ìsso ocorra é châmâdo pêríodo de f

Como, para a funçãoacima,ocorre Í(x) =f(x+2) == f(x + 4) = ... , o seu período vâle p = 2.

Funções eireularesFunção seno

Tomemos um número rêâlx, com imagem P nociclo trÌgonométrico.

t

. . hÍ 3nD'

--rao

e

--rao5I[ . ]11

C/

--

ÌaO e -râo

,. In 4f io) -T-Ìao e j rao

\

o

Denominamos função seno a função f: R -

Rque associa a cadâ número realx o número reâl0P1 = sen x, isto é, f(x) = sen x.

0 domÍnio e o contrâdominio de g - sen x sàoiguais a R, mas o conjunto imagem é dado por16=19eR -1 < g < 1), pois o raio do cic lo éuni tár io:-1<senx<1.

I244

C=R

tm = t-1 +11

0sinaLde V=senxé pos t ivo quand0x peTcorre 0

19ê o 29 quadrantes, e é negativo quandox pertence

eo ?9 ou ao 49 qudoÍênle  f-ncào se a^ulè oeía

Para estudar o cÍescimento da função g = sen x,

devê"ro: obse vaÍ q.e. _o pe-cü so oe \ pe o ì9

quâdrante (no sentido posit ivo), os valores de sen xn . Ì "

a-menlèm de Ll a l : sen u u. sen 6- - 2 e

sen 4= 1.

-Já no 29 e no 39 quadranles, os va ores de sen x

diminuem de 1 â 1, valor atrngrdo para x = 3r2

No 49quadrânte, a função retoma o crescimento,aumentando de -1 a 0, va or al lngÌdo quândo x = 2r'

Rêsumindo, í(x) = sen x é:

> crescente nos 1? e 49 quâdrantes;> decrescenle nos 29 e 39 quâdÍantes.

A pârt ir daí, Tepetem_se os va ores de sen x.

Temos:

. sen O = sen (0 + 2Í) = sen (0 + 4?I) = =0

/- \. se. ' j se ' l - ' j 2r ì se I ï - rn l . . - I

zzl .

. 5qn r = 5sn (6 1 lt) = sen (71 + 4rt) = . = 0

rìr \ r?r \. sen-'l' se {*' - 2rT ì- sen l -l' 4rÌ ) -z \z I

t :. 5s6 1= 5sn (11 ln) = sen (x + 47r) = .. =

= sen (Ì + lhJÌ), h Ê l.

lsso serve para iustraÍ o fato de que a íunção

! = sen x repete o va or de g para cada acréscimo de

2?I dado ax.

Diz'se, por isso, que a Íunção seno é perìódicâ e

seu período é 21t.Temos, êssim:

sen x= sen(x+ 2kn),V k € Z eVx € R

Já sâbernos que sen

Ao âdicio"è-mos, ao arco dâdo, 2lÌ rêd. esta_remos ãpena5 acrescentando â e e uma v0[ã no

sentido posit ivo.

E cê c a o. e1lao,que a m"eet oe I T'- zn\ -. ' '1-

1ìí Ì . . 1-. ' " , pe è ' . rçào q sen x. Ìàrìbérì vâle -

oZi1r I

ou seià, sen +=+'ba

lsso ocorre comtodos os arcos côngruos a{'

sen l++ 2kà l= +, sendo k € I\b | .

A Íespelto de uma função do tipo f(x) = sen lcx+ o.l,

sendocedreais, com c + 0,ela éper iódica etem

c

A fuf( áo f ( l ) sen4xpossuiper iodo; Do.

que o arco 4x executa lma volta completa no

cic o ouandoxvârià entre 0 e+:'z

n2r- Í l0 ' 4t ' .21t +<x<'+-0<x<44?

De fato:

NL62 t

p=:+=Lt4 l ?

, l /tul

/1o

:. ' i:.

Seta a t -^çao f( . r -sen l : , ' 4, r -orr" t r .' \ z lção ao período, devemos observar que o arco

3x + f executa uma vo ta completa no ciclo

quandol

?rU-J' t ; ' l t r - - ' ; 3,

;

= 4<*<!

Perceba que r varia enrre + e +.6Z

Assim, o período é:

Sobre o domÍnÌ0, como existe f(x) para qualquerârco,temos D = R.

Como conjunto imagern, temos lm = [ 1,+1],pois -1 <sen0< 1, Vü€ R

Sobre umâfunção dotipo F(x) = a + b sen(cx+d),

ê enoe0 RÊp- Ztr ,ss3prggentaconi- . totma-'c

gem coóo interva o fechado cle extremidades â + D ea b, na oÍdeTn conveniente,

Co-r íe lêcào ê í - - cáo u - 1- 3.en/2x. n l ., 5/lem0s:

t - , t. D = [ . ] ì , po ser sre l1

+ 3 senlà_i ,

. lm = [ -2,4] , pois:/ - \1< senl2x- i l< 1\ t r /

: <: r"n/zx 4l<:\ 5/

/ - \-2 < 1+ 3 senlzx t ]< 4

?:trfl -i ffiffiil Dê o sinaÌ dc:

]JÍal sen

5 c)

b) scü+ d). .' forneçà o vr lor c lc:

u *"* *,*c) zserf -sen$

. ' ) 5enl- : :+2kn].k€z

íPàèêfunçaogdàoè.temose-1e b 3 )=a+b=4 e a - b =,2.)

período:é o acréscimo a sefdadoexpâra qLle

o arco 2x 4vá de 0 a 2r:

o<zx 3<zn+9<2"<{L=555

: _lt <! < 1ll!10 r0

l l ÍtnÌâ0,p . - - - - - ro- .deoul tor , ìodo.

A função g = sen x é !ma funçèo ímpât pois :sen (-x) = -5-.n y, Yy ç R. l

í . .

' \

\

o

{ ' -'-2

/ 4n\sen I -- l

sen ( r)

, lT / j Ì \ i r n 2t' 2 \ 6/ 2 6 l

{ver i f ioue. b = :1= -:1= !1ì

' l . l l 3 /

l

....

9. com k inteiro, seJr= !+zUn . v=[+ ztn,

quanto vaÌe:

1,5. a.h" o vator reat de m para que o perio<lo

defíx) = m+ 3. sen lè+ JÌ ì seia4r.\m I

16. rrune.p-sf ' Do solo. vo(c ob.cnJ um arnigonuma roda gigante. A aÌtura n em metros cle seuamìgo enr rcìa.ao ao 'oìo < ddda peì,ì e\pre.\;o:

f -

Ihtrr- l l .s l0senl ' : | 2o'

I t t I

onde o tempo ié dado em segundos e à medidâanguÌar em râdianos. Determine:

a) a âitura em que seu amigo estava quando arcdâ começou a girâr (t = 0);

ì ì a ' . r l tur.r ' mrr ima e m;r imr que 'eu arnigoaÌcança e o tempo gaÍo em umavolta conÌpleta (periodo).

17. .Uf nt , t ma populaçao / 'de rnimri . var id.

aproximadamente, segundo â equação:

/ r + l i rp=800_ ì00sen r ;1

Considere que t é o tempo medido em meses equejaneiro corresponde a t = 0. Determine, nopeÍíodo de le de jâneiro a le de dezembÌo deum n'ìes1no ano, os meses nos quais a Popülê-ção de aniÌnais atinge:a) um total de 750;b) seu número minimo.

18. 1uE n1 orp..ço" dos produtos agrícolas osci-Ìarn de acordo com a safra de cada um: nmsbaixo no pefíodo da colheita, mais âlto nâ

entressafra. Suponha que o preço aproximadoP, em reais, do quilogrâlì'Ìa de tomates seja dâdopela tunção:

l . - IP,l)-0.8 .çen :"^ t ' - r0 l l l 2.7

L JOU I

nâ qual ré o número de dias contados de 19dejaneiro até 31de dezembro de umdeterminadoano. Para esse periodo, calcuÌe:

â) o maior e o menor preço do quiÌograma de

b) os vaÌorei de t para os quâis o pÌeço P sejaigual a R$ 3,10.

a) sen x?b) sen y?

c) sen x + sen y?d) sen (x + y)?

1,0. Esc.e,ru,.-.uda caso, a expressão geral dos arcos r para os qüais temos:

b) seÌ tx=1c) senx=-1d) senx=11

3 X. . si-ptiÊq"e,Yr qr

b) B=

2f i f isen -ì- + sen t

l3n ^ 1l t [Sen-+lSen

4-

Í2 . oetermine, se exisú, o período de cada função:

a) f(x) = 561 21b) f (x)=25en*

c) f txt= 2 sel l2

d) 2+sen2re) 2sen(x+Í)

" , x+tcrl sen 2

L3 . laermine o domínio e o conjúnto imagem decadâ fur'Ìção:

a) f(x) =: + sen Íx *l\ . z/

b) f(x) = -5sÌì 1,r 1 .1/ , \

c) f(x) = -4 + 2 sen (x +â/

d) f(x) = 2senx

L4, Ache o domínio de câda função:

a) f(x) =--L

t'

senlx +;.1b)

à4t

Gráfico de U = sen xRetohando os vâlores já conhecidos (o), po-

dehos montar â tabela (b) e, a part i f delã, cons-truir o Bráfico (c) da função g = sen x, châmadosenóide.

a)

Para gráfÌcos de outrâs funções menos simples,é êconse,havel const-uir e tabela en etaoas. oê'ê fã-ci l i târ o trabalho. Acompanhe um exemplo.

Seja e função U = 1+ sen 2x

l9etapa:

t

29 etapa:

3?etapa:

34*

FÌnâlmentel Função cossenoÌomemos um número reâlx,

cÌclo tr igonométrico.com imagem P no

è

TÌPâra â construção do gráfico, utì l izamos ape-

nas a prlmeira e a útÌma col!nâs, desprezandoas demars,

Denominamos função cosseno a função Í R * Rque associa a cadâ número reâl x o número Íea0P2 - cos x, isto é, f(x) = cos x.

0 domir o e o contraooì r 'o oe r , co5 r -aoiguais a R, mas o conjunto Ìmagem é dado porm={9 € R 1< U < 1}, poÌsoraÌodo clc loéuni tár io:1<cosx<1.

D=C=Pm = F1, +11

0 sinal de g = ca5 x 6 pqsit ivo quândo x percoÍreo 19 e o 49 quadrântes, e é negativo q!ando x pertence ao 29 oLr ao 39 quadrante. A funçèo se a nula pâra

r=++Ì. , Ì , f . € L

Parã estudâr o crescirnento da função g - cos x,devemos observar que, no percurso de x pe os doispr imeiros quadrantes (no sent ldo posi t ivo), osvalores de cos x dimÌnuem de 1a -1: cos 0 = 1 ecosr= 1.

No 39 e no 49 quêdrantes, os valores de cos xcrescem de 1 a 1: cos Íl = 1 e cos 2?t = 1.

Resumindo, f(x) = cos x é:

> decrescente nos 1? e 29 quadrantes;> crescente nos 39 e 49 quadÍantes.

tm = [0,2ì

Hálffi-$ n"r,i{:ií,,"i i":iij l1i ffi;ÍffiffiEnunciado para esta série de exercícios:

Parâ cacÌa função, deterrnine o período e o con-junto ìmagem, constÌuindo o gráfìco de um pe-

ríodo compÌeto.

1l!.ìÌ. r, m-- p I 11*, = r."n *

l i i l ' t m-mi(*)=."" :*

l . i r ,p-nlr(*)=:+' . ""l ; l i " r :m-m f(x)=-senx

i : l j ' i . (x) = I - sen x, sendocontrâdomínio iguais a R-

o domínio e o

o domínio e o'ilil. f(x) = z + sen 2x, sendocontradomínio,

]4ü

A part ir daí, repetem-se os valores de cos x.Temos:

. cos0=cos2?t=. . .=1Eqr. cos+=cos +=.. .=0zl

. cosTt= cos 3f i=. . . =-1

. cos +=cos ^ =. . =0zz

a. cosx=cos(x+2kr) ,k€ Z

Assim, reiteradas as observações feitas para afunção seno e igualmente válidas para a Íunçãocossêno, podemos âfi fmaÍ que U = cos x é tambernuma função periódica, e seu periodo p vale 2?r.

De modo geral , sendo uma f !nção do t ipo

F(x)=a+6 "0.

1.**O), temosD=R e p=!Ec

,Além disso, o conjunto Ìmagem é o intervalo Íechadode extremidades (a + b) e (a - b), na ordem conve-nlente.

Convém lembrar que igualmente pâra â funçãocosseno valem âs observações feitas neste capítuloem relação à função seno, exceto quanto à parìdade_

Afunçãog=cosxéumacos (-x) = cos x, Vx € R

função par, pois

\i )

-:t

Gráfico de U = cos x0svâlores conhecidos (o) Íornecem atabela (b),

â part ir da qual podemos construir o gráfìco (c) dafunção ! = cos x, châmado cossenólde.

i:i!-ri+í 1i i';;; ili,

l!3

'-94

ri \

zt

l iú

À'

-xlìaL

ïc f

!l-46

5[3

f

a)

b)

]L22L

3

9L2

44-3

2ìü

c)

0 gráfíco de umâ Íunção que envolve cossêno éfeito do mesmo modo uti l izado para a Íunçào seno,ou seja, por meio da construção de umâ tabela devaloreS, em etapâs.

ffi 8xffi[',fr[ffiüffiS ffi2 5. t"crer a a expressào geral do' arcos par a o< quai*

temosi

b) cosx=-1c) lcosr l= rd) cosx=0

25. Foro"ç, o ,n"ìo. d",

a) cos 3Í

b) cosf+cosf+cosf

Í 3rÍcl r cos t_ - cos l-/1- \

d) cosl ï+2ktr ,k€Z/

?P" si-pmqu",9fi 5n

, ' o= tot-o tot

l7tt

cos -;- + cos ztl

b) B=cos

2 -sen--

lTrr ^ 17ficos-+Jsen-4. 4

28. Sendo f(x) = cos x, forneça as condições, sobrcm, parâ que se tenha:

. . , m-Ia) r( x, = -- l

?9. Determine, s. *istit o período de cada função:

a) f(x) = cos 5x/ - \b) f(x; = 2 66s 15* 1 :r1\ LI

c) f (x)=2+cos(, Ì -x)d) f (x)=(x+1).cosÍ

$U. Julgue cada ,enten(a abaixo (omo verd,idcirr(V) ou falsa (F): I

â) (UF-SC) Os gráficos das funções f(x) =

- r*14 r 1ç s l* 1-- i I I rème'.aramen

te três pontos em comum, para Í no inter-

valo I o, ^ l.\ / /b) (UF-MS) Se a fìgura a seguir representa

o gráfico, no sistema cartesiano xoy, dafunção f: 10, 2,Ì l - R, definida porf(x) = a . cos (bx), entao a = 3 e b = 6. ,

As informâções sequintes rcferem se aos exercícios3f"3ã

(UF-PI) O PIB (Produto Interno Bruto, querepreseÍta a soma das Ìiquezas e dos serviçosproduzidos por uma naçáo) de certo país, noano 2000 + x, é dâdo, em bilhões de dóÌares,

/ - . . \por P(x) ' 500 - 0,5\ '20,o ' I " ' ) ,onde.re

\o/um inteiro não negativo..

3Í, Determine, em bilhões de ilólares, o vaÌor doPIB do país em 2004 e caÌcuÌe â somâ de seusdígitos.

3?. Em periodos de 12 anos, o PIB ilo país aumentado mesmo vaÌor, ou seja, P(x + 12) P(x)écons-tante. Determine essaconstante (em bilhões dedólares).

i

9f i 9n

l -m2

251

33,Determine o domínio e o conjunto imagem decada função:

à) f(x) = I

Denom inâ mos fu nção tengente a função f:D* Rque associâ a cada número reâlx € D o número realAT = tgx;isto é, Í(x) =tgx.

Temos, êntão:

> o=l"e ml ' ,+4+kn.xeZÌfz l

> m=R

0uânto aos sinâis e âo crescÌmento da função tan-gente, comojá visto no capÍt!lo 14, podêmoè escreven

> f(x) =tg, "aarra

u"lores posit ivos nos quãdran-tes ímpares;

> f(x) =19x"aaur" u"lores negatÌvos nos q!adran-tes pares;

> f(x) = tg "

." tnr," Oarê x = kE, com k € Z e> f(x) = 19v 5.r""""nte em cada quâdrante.

Gráfico de U = tg xLevando em contã os vâlores dex para os quajs

não se deÍine tg x e os valores conhecidos (o),construímos a tabelâ (b) e, a partir dela, o gráfico (c)da Íunção g = tgy, ç66 6ado ta n gent óide.

b) f(x) = t

c) f(x) = I

/ n\+cos\x+t/

'o' ln * J/

00 cos l :x +: ì\ 4/

d) f (x) =lcos 1x Ì0t3

O enunciado abai'ro refe..-s. aos exercícios 34 a 3 E.

Paiâcada função,determine o período e o con-junto imagem, coÌìstruindo o gráfico de umperíodo completo.

34.r ,m-m|(*t=z-" , .35"r , m- m l r ( , . ) =z.o '*36.r1r1 - - r + Lo,2x. \endo o domrr io e o

contradominìo iguais a R.

37. r, m- m lr(") = l .o'*

38.r ,m-.m ( ' t=

39.necotrh.çu uma função / representada pelacossenóide do gráfico abaìxo.

Inì = [0,2]

Função tangenteTomemos um número reâlx, com imagem P no

ciclo tr igonornétrico.

t

/ . \' -_"" l '^ ) ,

a)

4 7 +/--{â. . '

,t ,,i ",ft2:.- 2Ì

\ ' ;

,\:-- LL4\ \ . \ - -6/

3 3E 3' .2. .

146 3

_6= ú3

-1

sejao={xe

3tL 5i! ]Ls88

- ll l l t / ! !+kn rFV\" 2 " - - l '

t5ï

tsí++krì .Vke

observando o gráfico, podemos notarque a funçãoÍ(x) =Ígx é periódica e seu período é p = f i . Além dis-

Í ?r 5 j ïso, pe'cebemos que, para osva oÍes +, +, -2

ocorrem "interrupções" no gráÍco, pois não exìstê

Z. AssÌm, temos:

*',!,'È *ir:1;Ì:j{ Ì #Ì;;ij{ì í'riÌ:als*íí,"$ìryrnÀÌarí.É:iÍr/Éìar&sj:+iÈru

É A função Í(x) = tg x é ímpar, pois f(-x) = -f(x) Ë

*_ii,tïi;.ï jiï,ti;,.",,

E exercícios n40. Forneça o domínio de cada uma das funções

abaixo:

o=m {"e

m x={+kr,k -* l - "

. . , senx

b) f(x) = 1 q*/

- \d) Éíx) = tc lx-;f + I

li253

4í,a""Ì é o conjünto imagem dâ função

f( \ )=l l tu:?

4Z,A tunçio ix l - r Í t l r ' , " lpodea*umirorr-\ 4/

lorl4.

a) Para que vaÌores de z isso é possíveÌ?b) QuÂl é o domlnio de f(n)?

4ã" Esboce o gráfìco e dê o dominio e o período da

runçao reâL y = rg t.

{{.Esboce o gráÍìco e dê o domínio e o período da/ - \tunção reJl 1(Ì l = ts l2r + +ì.\ J/

{$. Isboceo gráf icoedêodominioeoperíodo da| - \tunçdo Leal f l r l = tsÍ2x-+).\ b/

r : - l

47. Determine o dominio de câdâ uma das fiüçõesa) f(x) = cotg (x + Í)

/ - \b) (x)=seclx+ - |\ . z |

/ - \c) f(x) = cossec lx - +l\ z l

$S. Para que vaÌores de Í a tunção f(x) = 1 + sec xassume o menor valor positivo? Qual é essevalor?

49.Incontre o domínio da tunção:

f(x)=cotgx-cossecx

O enunciado a seguir refere-se aos exerciclos

$ü " 5Ê.Denomine, para facilitâr as associações, cadafunção por uma leua:sen x = cosx=B tgÌ=Ccotgx=E secx=F cossecx=G seguir, cÌassifrque as funções de acordo com ocritéÌio estabeÌecido em cada exercício, asso-cìando as funções aos dados.

$$" Quanto aos períodos Pr = 2Í e P2 = Í.

5í. Quanto aos domínios:

Dr=R

D_-r\eRl\ - ì -kn.kcV)

Dr=ix€Rlx+b!k€ZÌ

5?. Ouanto o cad. coniunto imagem a "eguir:

- l <y< 1Ìy< louy>1Ì

f

Quãnto às funções cotângente, secante e cos-secânte, as consideÍações ãpresentadas nosdo s cèpiluloc ante' io.es sáo suÍrcrentes pêÍâ âresolução da série de exercícios propostâ a se'guir, bern como para uti l izâção nos capítulosposteriores.

d) f(x) = Ìe) g(x) = If) h(x) = t

ffif#{fffi de vestibulares n2. euc MG) considere a tunção f: R - R definidâ

por f(r) = 1 + 4 .os x. O conjunto imagem dessafunção é o intenalo:

a) I 3,41b) [ 3,5]c) 13,4ld) [3,5]

ffi exgrficrüs ffi46. Sendo f(x) = cotg ! g(x) = sec x e h(x) = cossec 5

erìcontre os vaÌores deJ para os quâis temos:a) f(x) = 0b) g(x) = 0c) h(r) = 0

1. Q. E. Londrina-PR) Dâda a tunçao úisonomérrica'en ìr \ ' .erorrero rÊnÌJr que n penndo dà tun\ jo e:

b) Urc) seÌnpre o mesmq independente do vaÌor de Kd) diretamente proporcional a Ke) jnvcrsamente propoÌcional a K

Ës+

3. (puc rs) o conjunto iÍìasen da fünçeo /definidapor í(r) = senx + h é [-2 0]. o vâlorde Í é:

8. (U. E. LondÌina-PR) Uma bomba de ágüâ aspira eexpira á$â a cada tÌês segundos. O volume de águada bomba varia entre um míÌìimo de 2 litÌos c unmt' . imo de 4lhros. Lnrre rs Jrernat i ," , d ,eguir . ds-sinale a expÌessão alsébrica para o volume 0,) deáguâ na bombâ, em tunção do tempo (r.

/ - \a) y=2+2senl+r l

\J /

/ r - \b) Y=212' .n1-, ,

\J /

/ Í \c) y=l+senl+Ì l

\ r . // ) - \

dì y=J+lenl+:r l\J /

e) y= 3+2sení+t ì\J /

9. (puc-Sp) Na ngura aUaixo tem se o grá6co de umatunçâo ,{ de R em R, deÂnida por f(x) = k . sen mx,em que fr e ,a sâo constantes reais, € cujo peÌíodo,8n"3

o vaior de r í jla ì e:\ r /

a) -15 c) -Ì e) \5b) -ü d) 15

10. (pcv-sp) considere a tunção f(x) = 2- 3 cos4x.4

Os r"èÌores má{imo e minimo de f(x) sâo, r€sp€cti

d) 2e0

.^ 5e) 2e

4

Ò 2"_í

1Í. (up-er) Na fisura abaixo tern-se representadaparte do gÌáfico de ulna função trigonométricâ/deRenR.

a)nh) -2c)Ì

4, (Cefet-PR) A tunção Ìeal f(x) = a + b . sen cx rem

imd8eÌ isudl d|- .a ereup* '"d". ï -d.Âssim,â+b+cvâÌe:

a) 13 d) 4bl 9 e) 10c)8

5. (UF-PR) o peÌíodo dn função f: R .. R deÊnida/

- \por Éíx) = sen l :x +; le:\ r /

b. íPU. pRì Â f igurd d .eguÍ ïo. Ì rd pdrte de umaondd ,enordaì que foi nolada pa,a umr pe'qui-:

Quál das dÌtemativas melhor ÌepÌesenta a equâçãoda onda piìra o peíodo âpresentâdo?

a) Y=r+ls€nl-- l\ r Õ/

b) y=r+2*, /+)\ / /

c) v=l+2sení:+aÌ' \2 l /

at v= r +: *" / ] ì\ r /

o y= r +, *" /+ì\õ/

7. o,ru"i..n,i"-sr1 sejam f(x) = 2 - cos x, com0 < x < 2n, M o vaÌor márilno de f(x) emoseu

vaÌor nínìno. o elor de * é:

b) ie0

t2

/-\' / | \

\ã i /^ o l \ i " ' t\L,/ t \-,/

d)0e) I

*

a)n, , Ã-, 2

c)a

c) ;

d)+ú+ü+ ")3

ã:;5

Usmdo as informaçÕes dadas n€sse gráfico, anâLiseâs afiÌmaçÕes seguintes.

â) ral cúfico é o dâ tunção dada por í9 =2 sen;.

b) O período de/é 37r.c) / adnite duâs raizes no intervalo [ 2n,2nl.d) Se-2n<x<0,entaof l Ì ) <0.e) o mnjunto imageÍn de/ é o inte alo [ 2,2].

12. No".,p sp) u-o -áquìna

produz diâÌiamente adezenas de ceno tipo de peças. Sabe-se que o custode produção c(x) e o vâÌor de vendâ v(x) sâo dados,aproúmadamente, em milhares de reais, respecli

v imel,e. pelJ ' f r n, ,oe. c,x ' , - ." , f r l ) "\õ/- / " - \v{Ì) = 312 \en l+ 1.0 < x < o.

\ . |z /

O Ìucro, em reais, obtido na produçâo de 3 dezenas

d) 2 000e) 3 000

13 . (cefet MG) A fisura abaixo represenra o sráÊco dequal tunção?

,, , l 9 i t \ / 9n \" ' \ ,? 's\ , t

III. N€sse ìntervalo, para todo r tal que g(x) < 0,temos f(x) > 0.

Então:

â) I,Il e III são verdadeiÌas.b) I,II e III são fâlsas.c) sonente I é verdadeiÌa.d) sonente II é verdadeiÌa.e) somente III é verdâdeiÌa.

IJ. íUcsil BAI Relativ"menre à tunç;of de Rem R.de-

nruoi por lrx i j 2 - t .o\-2 .ecorrelo dhrmaÌque:

d)

seu conjunto imâgem é o intervato l-1, sl.o peÌÍodo é 2n.

éeosi t ivas€+<x<+.

acrescortes"f<r<n.

admite '.a

única raiz no'',"*r" [.,+]

16. (rcv sp) o graçco,

t

a)b)

a) s00b) 7s0c) 1000

a) cos 2Í- Ì

14, (Mackenzie-sP) A partiÌ dos erá6cos de f(x)

e g(x) = f

+ cos 5 esuoç"dos no inrervalo

conforme â Êgura:

ÌepÌesenta a tunção:âl Y= tg al

c) y= lsenxl+ lcos xld) Y=senzxe) Y=2senx

17. l ruc-sr) Na seqüência de rermo seraÌ/

- \a. sn- 'en I n . + ì . com a -

N. a <omd do\ 20\ z/

primeiros termos de ordem impar é igual alâ) 1800b) 1874c) 1896d) 2000e) 2024

18. 1ur-sr; tai"" u' "eguinres

pÌoposições:â) Se um triângulo retàngulo ABC, r€tânguio em

Á, é tal que AC = 2 cm e cos Ê= 0,6, entáo o seupeÌ im€troéiguala6cm.

b) Urn triângúo tem dois lâdos medindo 3 cm es cm e o ângulo foÌmado ente €sses lados é iguala 1200. A medida do terceiro lâdo, em cendnìe-tros, é dâdâ por um núm€ro íÌacional.

d) lcos 2xl - 1

L0,2nl,

consideÌe as afi rmâções:

I. A equação f(x) = g(x) apÌeserta uma única so-Ìução nesse ìnter%lo.

256

c) Dois ârcos cujas rnedidâs, em radianos, são da-

dd.por\ ; r , Ìe)=; ÁÍrÊ7

são diâmetrâlÌnente opostos.d) Se A = sen (x Í) e B = cos (x + ,r), €ntão

A sen xB .ôs x

e) sejam astunções dadas por f(x) = a-b sen\eg(x) = a + b cos s com d e ü reais positivos. Os.onjuntos imâgem de/ e g são ìguân.

19. (us'p.r) o' p,oti.ontes d€.,roperbâÌançam seus bra-

ços Ìitmicamente, enquanto coÌreÌì, para a frente epâÌâ trás, descrevendo uma osciÌação completa emlI oe <egundo. conrorÌ1e ngurr dDarÌo.

O ânguÌo 0 varia em tuDção do tempo I, em segund"' r l " \ im-dJmenle

de d.^rdu 'o n r equd.ro:

^ r Ì f rnr- 3r lv= o fn ì l ' ; ,1

Tomando por base os dados acima, pod€Ìnos a1ìr-r ÍoÍ . ìueo nr or \J o a\ ìJnidopejo; ìSUlo Ê e:

20,1ur rsl consiaere quev(t), voìume de ârDos puÌ-mões d€ um ser humano adulto, en1 Ìitlos, varia deno mínimo 2 litros a no máímo 4litros, sendo t avâdável tenrpo, em segundos.Entre âs fuÌlçÕes abaixo, a que melhor descrevev(t) é:

")

b)

o

21, $,r-t"n,i. srl Nungurâ,temos os€sboços dos sÌaficos das tunçÕes /e.$

se s(r) = sen lÌx e/é unÌâ fìnção poÌinomial do2e gÌau, então (l) é iguâla:

^) 22 d) 28

b) 24 e) 30c) 26

4+2senl+t l

:+:sení: t ì

- -* \ r - /l+senl ; t l

{

b) 20'c) 25"

d) 30.

;51