cap1 edo

6

Captulo 1. Introduo

1.1. Teoremas e Comentrios

Definio1.0.0 : Uma funo f(x,y) satisfaz a condio de Lipschitz na varivel y sobre o

conjunto D 2, se existe uma constante L>0, tal que vlida a propriedade:

|f(t,y1) - f(t,y2)| L | y1 -y2| sempre (t,y1), (t,y2) D. L chamada constante de Lipschitz para f.

Lema1.0.1 : Sejam s e t numeros reais positivos e {ai } uma seqncia

que satisfaz a0 >= -t/s e

ai+1

7

y = f(t,y) a

8

| f(t,y1) - f(t,y2)|

9

O algoritmo Range Kutta de quarta ordem para sistemas de equaes diferenciais

de primeira ordem trabalha da mesma maneira que o Range Kutta tradicional de quarta

ordem , s com algumas alteraes .

Em cada um dos algoritmos anteriormente citados (rk4 tradicional e rk4 para

sistemas )

existem condies iniciais comuns que o usurio dever entrar como por exemplo:

Os valores de a e b sendo que a diferena b-a representar o intervalo onde a varivel

t ir variar.

A varivel N que dividir o intervalo anteriormente citado em N partes iguais .

obs: O valor (b-a)/N nos dar o valor h.

Outras condies iniciais do rk4 para sistemas devem ser entradas, s que estas so

diferentes do rk4 tradiconal:

Enquanto para o rk4 tradicional existe apenas uma equao diferencial,para o rk4 de

sistemas existem m equaes.

Enquanto para o rk4 tradicional existe apenas uma condio inicial , para o rk4 de

sistemas existem m condies iniciais.

Aps esta fase de inicializao de variveis, o algoritmo atribui wj =j onde j so as

condies iniciais e j varia de 1 at o nmero de equaes diferenciais de primeira ordem

entradas.

Depois disso , o algoritmo entra num lao que percorre todo o intervalo b-a ,ou seja, a

variavel t comecar com o valor a e a cada passo ser acrescida a ela o valor do passo h.

10

Dentro do lao anterior sero calculados os vrios k1,k2,k3,k4 para cada equao

diferencial dada.Assim,cada equao ter seus prprios ks em cada passo.

Uma importante observao que para o clculo de um ki+1 necessrio o valor do ki

anterior .

De posse dos valores de ks de todas as equaes a cada passo calcula-se os valores

de ws.Assim, temos valores intermedirios de ws a cada passo.

O algoritmo tem sua parada determinada quando o valor de t chegar ao extremo

superior do intervalo ,ou seja, b .

1.3. Mtodos de Passos Variveis

A tcnica previsor-corretor sempre gera duas aproximaes para cada passo,

ento ela a candidata natural para adaptao de controle de erros.

Para demonstrar o procedimento para controle de erro, foi construdo um mtodo

previsor-corretor com tamanho de passos variveis.]

Este algoritmo, a princpio, resolve a equao utilizando o Runge Kutta de Quarta

ordem para que a partir de sua resposta, o algoritmo faa o refinamento do erro cometido.

A cada passo ser calculado o valor previsto e o valor corrigido. O clculo do

erro depende diretamente desses dois fatores. Se esse erro for muito grande, ou

seja,maior que a tolerncia desejada, ento realizado mudanas em algumas variveis

para que o erro no prximo passo reduza. A cada passo , a preciso tende a aumentar.

Com o clculo do valor corrigido atravs do uso valor previsto, obtm-se um valor que

mais se aproxima da resposta.

11

A cada passo o RK4 chamado, mas com uma diferena. Substitue um ponto em

relao a ltima chamada, sendo que este ponto o calculado atravs do mtodo

previsor-corretor, ou seja, a tendncia que o novo resultado do RK4 seja um pouco

mais satisfatrio, e que o clculo do erro dimunua. Este processo continua at que o erro

seja muito pequeno, ou seja, at que se consiga refin-lo.

1.4. Estabilidade

Um mtodo estvel aquele que depende continuamente dos estados iniciais, ou

seja, so estveis se quando pequenas mudanas nas aproximaes subsequentes.

Definio 1: Um mtodo de equao diferencial de um passo com erro local i(h) no i-

simo passo dito ser consistente com a equao diferencial se

Lim max | i(h) | = 0 h->0 1

12

aproximado por um mtodo de um passo da forma

W0 =

Wi+1 = Wi + h(ti,Wi,h)

Suponha tambm que um nmero h0 > 0 existe (t,W,h) contnu e satisfaz a

condio de Lipschitz* na varivel com constante Lipschitz L sobre o conjunto D={

(t,W,h) | a t b, -< W< , 0 hh0 }. Ento

1) o mtodo estvel;

2) o mtodo convergente, se e somente se consistente; que se e somente se

(t,W,h) = f(t,y), para todo a t b;

3) se para cada i=1,2,3...N, o erro local i(h) satisfaz |i(h)| (h), sempre que 0 hh0 ento

| y(ti) - i | ( (h)/L ) exp(L(ti - a))

1.5. Mtodos de Mltiplos Passos

Estes mtodos, assim como a famlia Runge-Kutta, tambm so derivados a

partir de sries de Taylor.

O que caracteriza estes mtodos que eles usam informaes sobre a soluo em

mais de um ponto.

13

Supondo inicialmente conhecida as aproximaes para y(x) em x0, x1, ... , xn e

que xi +1 - xi =h, queremos aproximar a soluo da equao diferencial y=f(x,y) de xn at

xn + 1

xn + 1 xn + 1

y dx = f(x,y(x)) dx xn xn

integrando o 1a. membro, xn + 1

y(xn + 1) - y(xn) = f(x,y(x)) dx xn

O problema agora reside ento em aproximar uma soluo para a integral acima, para

encontrar uma soluo aproximada. Antes de prosseguir a discusso importante ter em

mente dois conceitos:

1.5.0 MTODO EXPLCITO: Os mtodos desta classe so obtidos quando trabalhamos

com xn,xn-1,...,xn-m, ou seja o clculo de yn + 1 tem forma explcita em funo dos

outros (para calcular yn + 1, uso somente yn, yn-1, yn-2, yn-3, por exemplo se o mtodo

escolhido for de 3 passos).

1.5.1 MTODO MPLICITO: Nestes tipos de mtodos na frmula que calcula yn + 1,

deve-se entrar com o valor de yn + 1, ou seja a frmula no explcita, o que gera a

grande dificuldade destes destes mtodos.

Para uma melhor compreenso destes mtodos acompanhe alguns exemplos da famlia Adams de mltlipos passos, seguidos logo abaixo de um breve comentrio, lembrando ao leitor que uma reflexo mais profunda sobre estes mtodos recomendada.

1.6. Mtodos de Adams-Bashforth

1.6.0 Mtodo de Adams-Bashforth de 2 passos (2a. ordem)

w0= , w1= 1

14

wi+1 =wi + h/2[3f(ti,wi)-f(ti-1,wi-1)


w0= , w1= 1, w2= 2

wi+1 =wi + h/12[23f(ti,wi)-16f(ti-1,wi-1) +5 f(ti-2,wi-2)]


w0= , w1= 1, w2= 2 , w3= 3

wi+1 =wi + h/24[55f(ti,wi)-59f(ti-1,wi-1) +37f(ti-2,wi-2) - 9 f(ti-3,wi-3)]


w0= , w1= 1, w2= 2 , w3= 3 , w4= 4

wi+1 =wi + h/720[1901f(ti,wi)-2774f(ti-1,wi-1) +2616(ti-2,wi-2) - 1274 f(ti-3,wi-3)

+251 f(ti-4,wi-4)]

1.7 Mtodos de Adams-Moulton

1.7.0Mtodo de Adams-Moulton de 2 passos (2a. ordem)

w0= , w1= 1

wi+1 =wi + h/12[5f(ti+1,wi+1)+ 8(ti,wi) -(ti-1,wi-1) ]

1.7.1 Mtodo de Adams-Moulton de 3 passos (3a. ordem)

w0= , w1= 1, w2= 2

wi+1 =wi + h/24[9f(ti+1,wi+1) + 19f(ti,wi) - 5 (ti-1,wi-1) + f(ti-2,wi-2)]

1.7.2 Mtodo de Adams-Moulton de 4 passos (4a. ordem)

w0= , w1= 1, w2= 2 , w3= 3

15

wi+1 =wi + h/720[251f(ti+1,wi+1) + 646f(ti,wi) - 264 (ti-1,wi-1) + 106f(ti-2,wi-2) - 19

f(ti-3,wi-3)]

1.8. Comentrio

Os mtodos de Adams-B.so todos mtodos explcitos e no auto-inicializveis,

sendo preciso de alguma forma (usando R.K, por exemplo), calcular os m-primeiros wis,

quando se usa um mtodo Adams-B de m-passos.Para calcular wj estes mtodos usam os

valores anteriores de wj-1,wj-2,...,wo. Ento o esforo computacional nestes tipos de

algoritmos se residem em apenas calcular o valor da funo em cada ponto. J os

mtodos de Adams-M. se caracterizam por serem fechados (implcitos). A grande

dificuldade deste mtodo usar uma frmula implcita , ou seja para calcular a

aproximao em um ponto, a frmula empregada j usa este valor, o que torna o

problema computacionalmente invivel, pois no se consegue uma recurssividade. A

maneira encontrada para contornar este problema por exemplo usar um mtodo

explcito para auxiliar.

De maneira geral o mdulo do erro para Adams-M. menor que Adams-B. , mas

depende fundamentalmente se o problema estar bem condicionado e a escolha do melhor

mtodo para aquele problema.

1.9. Mtodos Previsor-Corretor

Este mtodo usa a frmula explcita e implcita para aproximar uma soluo. A

idia primeira era usar a frmula implcita para aproximar uma soluo, mas isso esbarra

no problema acima mencionado, ou seja, para calcular yn + 1 uso o valor de xn + 1. Para

16

contornar esta situao obtm-se o valor de yn + 1, atravs de uma aproximao por um

mtodo explcito (convenientemente escolhido). De posse desta aproximao posso

agora usar a frmula impcita, substituindo nesta este valor e encontrando assim uma

nova aproximao muito melhor para yn + 1.

A forma explcita primeiramente usada chamada de um previsor; e a forma

implcita chamada de corretor. Da o nome previsor-corretor.

Quando o previsor e o corretor usado so da mesma ordem e a escolha do h

conveniente a preciso de algoritmo muito boa.

O esforo computacional demandado dobrado em relao aos mtodos acima

apresentados , pois para calcular o valor duas vezes em em cada ponto: o primeiro

calculo estima o valor, o segundo corrige este valor.

1.10. Modelo para a dinmica de populaes (presa-predador)

Um modelo muito simples aquele em que o crescimento (ou decaimento) da

populao proporcional ao nmero de membros da mesma. Escrevendo na forma de

equao diferencial ordinria (edo):

dNdt

(t) = rN(t), N(0) = No

sendo: dN/dt a variao da populao em relao ao tempo

No a populao inicial

17

R a taxa de variao

Porm, este modelo est longe da realidade, pois sabemos que, aps um certo

perodo de tempo, a populao ser to grande que surgiro problemas (limitao de

alimentos, espao etc).

Surgiu ento a equao logstica

dNdt

(t) = f(N) N(t), N(0) = No

na qual a taxa de variao depende da populao e dada por f(N). Vamos construir uma

funo f(N) que tenha as propriedades desejadas:

a) a populao cresce exponencialmente quando ela for pequena;

b) o crescimento desacelera conforme a populao vai crescendo;

c) observamos mortalidade quando a populao for muito grande. Matematicamente,

escrevemos isso como f(n) < 0 quando N >> 1.

Um modelo seria a funo:

f(N) = r [1 - (N/M)]

sendo: M o ponto a partir do qual observamos a mortalidade de indivduos

Um modelo um pouco mais complexo dado a seguir:

dNdt

(t) = { -r [ 1 - (N/M1)] [ 1 - (N/M2)] } N(t), N(0) = No

18

Finalmente, estudaremos um modelo no qual duas populaes competem para

sobreviver. Sejam N1(t) e N2(t) a populao de presas e predadores, respectivamente.

Suporemos que as presas tem um suprimento abundante de alimento, enquanto que o

predador alimenta-se das presas. Vamos tambm assumir que um bilogo nos forneceu as

seguintes hipteses(todas as constantes ki, i = 1, 2, 3, 4 dadas abaixo so positivas):

1.10.0 PRESA:

Taxa de natalidade: proporcional populao naquele instante: k1N1(t)

Taxa de mortalidade: depende da populao das presas assim como dos predadores. Por

simplicidade, adotaremos a expresso: -k2N1(t)N2(t)

PREDADOR:

Taxa de natalidade: proporcional populao de predadores assim como a das presas:

k3N1(t)N2(t)

Taxa de mortalidade: proporcional populao de predadores: -k4N2(t)

Colocando essas informaes na forma de edos, temos o sistema

dNdt

1 = k1N1 - k2N1N2

dNdt

2 = k3N1N2 - k4N2

com N1(0) = N10 e N2(0) = N20.

1.11. Exerccios e Programas

Exerccio 4.1 da apostila Curso Mtodos Numricos - Notas de Aula

19

Programa desenvolvido em Borland C++ para a soluo deste problema, sendo que o

programa abaixo genrico possuindo a opo de resoluo atravs dos mtodos de Euler

(Runge-Kutta 1a. ordem), Rungr-Kutta 2a. ordem e Runge-Kutta de 4a. ordem

/* Programa para a resolucao de equacoes diferenciais,

atraves dos metodos :

- Runge-Kutta 1a. ordem (Euler)

- Runge-Kutta 2a. ordem

- Runge-Kutta 4a. ordem

#include

#include

#include

#include

int a,b,n,i;

float h,t0,t[11],w1[11],w4[11],w2[11],ya,g1,g2,k1,k2,k3,k4;

char opc;

FILE *runge1,*runge2,*runge4;

float function(float x,float y)

{

return(x-y+2);

}

void main(void)

20

{ clrscr();

printf("Escolha o metodo que deseja usar : \n");

printf("1->para Runge-Kutta1;2->para Runge-Kutta2;3->para Runge-Kutta4\n");

scanf("%s",&opc);

printf("\nEntre com o numero de iteracoes : ");

scanf("%i",&n);

printf("\nEntre com o valor inicial y(0) : ");

scanf("%f",&w1[0]);

printf("\nEntre com o inicio do intervalo : ");

scanf("%i",&a);

printf("\nEntre com o final do intervalo : ");

scanf("%i",&b);

printf("\nEntre com o passo de integracao : ");

scanf("%f",&h);

w2[0] = w1[0];

w4[0] = w1[0];

switch (opc)

{

case '1':{

runge1=fopen("rk1.dat","wt");

t[0]=a;

fprintf(runge1,"%2.4f,%2.4f\n",t[0],w1[0]);

21

for (i=1;i

22

} fclose(runge2);

for(i=0;i

23

} //close1

}

}

Grfico de sada do programa em Borland C++ para h = 0.1 e Mtodo Runge-Kutta 1a.

Ordem (Euler) (plotado no GRAPHER)

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400

Grfico de sada do programa em Borland C++ para h = 0.01 e Mtodo Runge-

Kutta 1a. Ordem (Euler) (plotado no GRAPHER)

24

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400

Grfico de sada do programa em Borland C++ para h = 0.001 e Mtodo

Runge-Kutta 1a. Ordem (Euler) (plotado no GRAPHER)

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400


Kutta 2a. Ordem (plotado no GRAPHER)

25

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400

Grfico de sada do programa em Borland C++ para h = 0.01 e Mtodo Runge-Kutta 2a. Ordem (plotado no GRAPHER)

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400


Runge-Kutta 2a. Ordem (plotado no GRAPHER)

26

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400



1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400



27

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400


Runge-Kutta 4a. Ordem (plotado no GRAPHER)

1.800

1.900

2.000

2.100

2.200

2.300

2.400

Esquema SIMULINK para a soluo da equao diferencial

28

+

-

+

Somatorio das variaveis

2Constante

ySaida para y1/s

Integracao paraobter y

x

Saida para x

Grafico de X/Y

[T,U]Matriz contendoos valores de x

Gr

Grfico de sada do esquema SIMULINK para h=0.1.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

X Axis

Y Ax

is

X Y Plot

Grfico de sada do esquema SIMULINK para h = 0.01

29

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

X Axis

Y Ax

is

X Y Plot

Grfico de sada do esquema SIMULINK para h = 0.001

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

X Axis

Y Ax

is

X Y Plot


Programa desenvolvido em Borland C++ para a soluo deste problema

/* Exercicio 2 : RK4

Linguagem : Borland C++ */

30

#include

#include

#include

#include

double f1(double,double,double);

double f2(double,double,double);

//double f3(double,double,double);

float x0,y0,xn,n,x,h;

int i,j;

float y[3];

float k[4][3];

float w[4]; //valores inicias das equaes diferenciais

int t;

void main()

{

clrscr();

FILE *arq1,*arq2,*arq3;

printf("Entre com o valor de x(0)=a : ");

scanf("%f",&x0);

printf("Entre com o valor de y1(0) : ");

31

scanf("%f",&w[1]);


scanf("%f",&w[2]);


scanf("%f",&w[3]);

printf("Entre com o valor de x(n)=b : ");

scanf("%f",&xn);

printf("Entre com o valor de n : ");

scanf("%f",&n);

h=(xn-x0)/n;

x=x0;

//double n = 0;

arq1= fopen("V'xt.DAT","wt");

arq2= fopen("Vxt.DAT","wt");

arq3= fopen("VxV'.DAT","wt");

for (i=0;i

32

k[2][1] =h*f1(x+h/2,w[1]+k[1][1]/2,w[2]+k[1][2]/2);

k[2][2] =h*f2(x+h/2,w[1]+k[1][1]/2,w[2]+k[1][2]/2);

// k[2][3]

=h*f3(x+h/2,w[1]+k[1][1]/2,w[2]+k[1][2]/2,w[3]+k[1][3]/2);

// 3 for

k[3][1] =h*f1(x+h/2,w[1]+k[2][1]/2,w[2]+k[2][2]/2);

k[3][2] =h*f2(x+h/2,w[1]+k[2][1]/2,w[2]+k[2][2]/2);

// k[3][3]

=h*f3(x+h/2,w[1]+k[2][1]/2,w[2]+k[2][2]/2,w[3]+k[2][3]/2);

// 4 for

k[4][1] =h*f1(x+h/2,w[1]+k[3][1]/2,w[2]+k[3][2]/2);

k[4][2] =h*f2(x+h/2,w[1]+k[3][1]/2,w[2]+k[3][2]/2);

// k[4][3]

=h*f3(x+h/2,w[1]+k[3][1]/2,w[2]+k[3][2]/2,w[3]+k[3][3]/2);

// 5 for

w[1]=w[1] + (k[1][1] +2*k[2][1] +2*k[3][1] +k[4][1])/6;

w[2]=w[2] + (k[1][2] +2*k[2][2] +2*k[3][2] +k[4][2])/6;

// w[3]=w[3] + (k[1][3] +2*k[2][3] +2*k[3][3] +k[4][3])/6;

x=x0 +i*h;

printf("\nValores de x,w[1],w[2]:

:%3.3f,%3.3f,%3.3f",x,w[1],w[2]);

fprintf(arq1,"%3.3f,%3.3f\n",x,w[1]);

fprintf(arq2,"%3.3f,%3.3f\n",x,w[2]);

33

fprintf(arq3,"%3.3f,%3.3f\n",w[1],w[2]);

}

getch();

fclose(arq1);

fclose(arq2);

fclose(arq3);

}

double f1(double x,double y1,double y2)

{

return(y2);

}

double f2(double x,double y1,double y2)

{

return(((-1/3)*y1-4*y2)/5);

}

/*double f1(double x,double y1,double y2)

{

return(((-1/3)*y1-4*y2)/5);

}*/

Grfico de sada do programa em Borland C++ para h = 0.001 (plotado no

GRAPHER)

34

Grfico da Acelerao

0 50 100 150 200-0.5

0

0.5

Grfico da Velocidade

0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Grfico da Velocidade x Acelerao

35

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

3


-

-

-

Sum

[T,U]From

Workspace

1/sIntegrator

0.Gain

1/sIntegrator1

4

Gain2

0.Gain1

V x V`

du/dtDerivative

velocidade

f(u)Fcn

Aceleracao1

Grficos de sada do esquema SIMULINK para h = 0.001

Grfico da Acelerao

36

0 50 100 150 200-0.5

0

0.5

Time (second)

Grfico daVelocidade

0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time (second)

Grfico da Velocidade x Acelerao

37

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

3

X Axis

Y Ax

is

X Y Plot


Programa desenvolvido em Borland C++ para a soluo deste problema.

/* Exercicio 3 : RK4

Linguagem : Borland C++ */

#include

#include

#include

#include

double f1(double,double,double,double);

double f2(double,double,double,double);

//double f3(double,double,double,double);

float x0,y0,xn,n,x,h;

int i,j;

38

float y[3];

float k[4][3];

float w[4]; //valores inicias das equaes diferenciais

int t;

void main()

{

clrscr();

FILE *arq1,*arq2,*arq3;

printf("Entre com o valor de x(0)=a : ");

scanf("%f",&x0);


scanf("%f",&w[1]);


scanf("%f",&w[2]);


scanf("%f",&w[3]);

printf("Entre com o valor de x(n)=b : ");

scanf("%f",&xn);

printf("Entre com o valor de n : ");

scanf("%f",&n);

h=(xn-x0)/n;

x=x0;

//double n = 0;

39

arq= fopen("DADOS."wt");

for (i=0;i

40

// w[3]=w[3] + (k[1][3] +2*k[2][3] +2*k[3][3] +k[4][3])/6;

x=x0 +i*h;

printf("\nValores de x,w[1],w[2]:

:%3.3f,%3.3f,%3.3f",x,w[1],w[2]);

fprintf(arq1,"%3.3f,%3.3f,%3.3f ,%3.3f \n",x,w[1],w[2],w[3]);

}

getch();

fclose(arq);

}

double f1(double x,double y1,double y2,double y3)

{

return(y2);

}

double f2(double x,double y1,double y2,double y3)

{

return(y3);

}

/*double f1(double x,double y1,double y2,double y3)

{

return(y2-y1*y1-2*y1-x);

}*/

41

Grfico de sada do programa em Borland C++ para h = 0.001 (onde a 1a., 2a. e

3a. curvas, rferem-se y1[t], y2[t] e y3[t] respectivamente) . (plotado no

GRAPHER)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


[T,U]From

Workspace

++++

Sum

2

Gain

1/sIntegrator1

1/sIntegrator

1/sIntegrator2

*

Product

Mux Mux

Graph

Grficos de sada do esquema SIMULINK para h = 0.001 (onde a 1a., 2a. e 3a.

curvas, rferem-se y1[t], y2[t] e y3[t] respectivamente).

42

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (second)

Exerccio 1.a do Conjunto 5.1 da apostila Initial-Value Problems for Ordinary

Differential Equations


1/sIntegrator

[T,U]From

Workspace

cos(u)Fcn

*

Product

Graph

youtTo Workspace

Grfico de sada dp esquema SIMULINK para h=0.001.

43

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (second)

Exerccio 1.b do Conjunto 5.1 da apostila Initial-Value Problems for Ordinary



1/sy

[T,U]From

Workspace exp(u)funcao exponencial

*

Product22/u

funcao auxiliar++

Sum

Graph

*

Product1

u*u

funcao aux1

Grfico de sada dp esquema SIMULINK para h=0.001

44

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Time (second)

Exerccio 1.d do Conjunto 5.1 da apostila Initial-Value Problems for Ordinary


Esquema SIMULINK para a soluo da equao diferencial.

[T,U]From

Workspace

1/sIntegrator

4Constant

f(u)Fcn

*

Product*

Product1

Graph

Grfico de sada de esquema SIMULINK para h=0.001

45

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Time (second)

Exerccio 1.d do Conjunto 5.2 da apostila Initial-Value Problems for Ordinary



f(u)sen(3*u)

f(u)cos(2*u)

[T,U]From

Workspace

++

Sum1/s

Integrator1 Graph

Grfico de sada de esquema SIMULINK para h=0.25.

46

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Time (second)

Exerccio 5 do Conjunto 5.2 da apostila Initial-Value Problems for Ordinary

Differential Equations Esquema SIMULINK para a soluo da equao diferencial

2/u2/u

f(u)exp(u)*(u*u)

[T,U]From

Workspace

*

Product++

Sum1/s

Integrator1 Graph

Grfico de sada de esquema SIMULINK para h=0.1

47

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (second)

Atravs do Mtodo de Euler com um passo de 0.1, a soluo obtida possui

um desvio de 21% de erro, sendo que o mtodo do Runge-Kutta de 4a. Ordem

superior na obteno de solues.

Item a) A soluo apresentada para o mtodo de Euler foi 15.3982,

enquanto que a soluo real 18.6831.

Item b) Com a soluo para esses valores (y(1.04), y(1.55) e y(1.97)),

podemos observar que para valores pequenos, perto do inicial, a aproximao

muito boa, enquanto que para valores prximos ao limite superior do intervalo, as

solues so discrepantes. V-se que o erro introduzido cresce numa escala

exponencial.

Item c) Com o uso da frmula abaixo

hm

| y(ti) - wi|

48

Programas, em Matlab, para o modelo presa-predador

%========================================

% programa runpop.m

% Programa para executar e plotar os

% resultados do problema predador-presa

% =======================================

%

% leitura dos dados iniciais para um sistema de edo 2x2

global k1 k2 k3 k4

initial(1)=input('Digite a populacao inicial da presa : ');

initial(2)=input('Digite a populacao inicial do predador : ');

% intervalo de tempo usado [ti,tf]

ti = input('Tempo inicial : ');

tf = input('Tempo final : ');

% constantes referentes a presa e ao predador

k1 = 3

k2 = 0.002

k3 = 0.0006

k4 = 0.5

% ode23 = rotina do MATLAB para resolucao de edo's

[x, num_y] = ode23('pop',ti,tf,initial);

49

subplot(211);

plot(x,num_y(:,1));

title('Populacao da Presa')

xlabel('x');

grid;

subplot(212);

plot(x,num_y(:,2));

title('Populacao do Predador'),xlabel('x');

grid;

%========================================

% programa pop.m

% campo vetorial para o

% problema predador-presa

% =======================================

%

function xf = pop(t,x)

global k1 k2 k3 k4

xf(1) = k1*x(1)-k2*x(1)*x(2);

xf(2) = k3*x(1)*x(2)-k4*x(2);

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4x 104 Populacao da Presa

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5000

10000

15000Populacao do Predador

x

Modelo para calcular a trajetria de uma bola de tnis com topspin:

A bola tem massa m, dimetro d, mas representada por um ponto. As foras

consideradas so: o peso G, a resistencia do ar D e a fora de Magnus M que reflete o

efeito do topspin. Essas foras so dadas por:

G = mg, sendo g = (0, 0, -g) e g a acelerao da gravidade

D = - DL(v) t

sendo v o valor absoluto da velocidade

t o vetor unitrio tangente trajetria

DL(v) = CD 12 (pi d2/4) v2

sendo a densidade do ar

CD a constante emprica

CD = 0,508 [ 1 / (22,053 + 4,196(v/w)5/2)]2/5

w representa a velocidade angular da bola (dada pelo topspin).

51

M = - ML(v) n

n o vetor unitrio normal trajetria e

ML(v) = CM 12 (pi d2/4) v2

A constante emprica dada por

CM = 1/ [2,022 + 0,981 (v/w) ]

A dinmica governada pelo uso da Lei de Newton em cada uma das direes (x

e z). Isto nos leva a um sistema de duas edos de segunda ordem, em que cada uma indica

que fora igual a massa vezes acelerao. Reescrevendo as equaes como um sistema

de edos de primeira ordem, obtemos:

dxdt

= vx

dvdt

x

= - CD v vx + CM v vZ

dzdt

= vz

dvdt

z = -g - CD v vx + CM v vZ

tendo como condies iniciais

x(0) = 0

vx(0) = v0 cos()

z(0) = h

vx(0) = v0 sen()

Adotaremos a seguinte notao para manter as equaes em forma compacta:

v = (vx, vz) = (dx/dt, dz/dt)

52

= pi d2 / 8 m

v = v vx z +

= 1

+1 => topspin e -1 => sentido contrrio

h a altura da bola na hora da raquetada e o ngulo do incio da trajetria dela.

Programas, em Matlab, para o modelo bola de tnis com topspin

%==================================================

% Problema para a trajetoria de uma bola de tenis viajando no vacuo,

% no ar e no ar na presenca de um spin (rotacao)

%==================================================

% tenisV = caso no vacuo

% Temos 4 funcoes: tenisA = caso no ar sem spin

% tenisAsp = caso no ar com rotacao positiva

% tenisAfs = caso no ar com rotacao negativa

% Variaveis que serao usadas pelas funcoes com os campos vetoriais

global g alpha w etha

% inicializacao

% Constantes basicas em unidades MKS

clg

g=9.81; d=0.063; m=0.05; rho=1.29;

alpha=pi*d^2/(8*m)*rho;

etha=1;

53

w=20;

%condicoes iniciais

h=1; v0=25; theta=pi/180*15;

xin=[0,h,v0*cos(theta), v0*sin(theta)];

%tempo de voo no vacuo

tmaxid=(xin(4)+sqrt(xin(4)^2 + 2*g*xin(2)))/g;

% solucao no vacuo

[tV, xV]=ode23('tenisV',0,tmaxid,xin);

%solucao no ar sem spin

[tA, xA]=ode23('tenisA',0,tmaxid,xin);

%solucao com spin

[tAsp, xAsp]=ode23('tenisAsp',0,tmaxid,xin);

%Preparando a saida grafica do problema

N = max(xV(:,1)); x = 0:N/100:N;

axis([0,max(xV(:,1)),0,max(xV(:,2))])

hold % comando que permite superpor os tres graficos (plots) seguintes

% esses tres comandos abaixo nao funcionam na versao do estudante

% e por isso foram "comentados"

%1 plot(x,spline(xV(:,1), xV(:,2),x),':g');

%2 plot(x,spline(xA(:,1), xA(:,2), x),'--g');

%3 plot(x,spline(xAsp(:,1),xAsp(:,2),x),'-w');

plot(xV(:,1), xV(:,2), ':g');

plot(xA(:,1), xA(:,2), '-- g');

54

plot(xAsp(:,1), xAsp(:,2), '-w');

%============================================

% Arquivo: tenisA.m

%

% calcula o campo vetorial para a bola no AR sem rotacao

%============================================

function xdot = tenisA(t,x)

%sem spin a constante de Magnus CM e ZERO.

global g alpha

v = sqrt(x(3)^2+x(4)^2);

xdot(1) = x(3);

xdot(2) = x(4);

xdot(3) = -alpha*0.508*x(3)*v;

xdot(4) = -g -alpha*0.508*x(4)*v;

%===========================================

% Arquivo a ser guardado com o nome de tenisAsp.m

%

% Calcula o campo vetorial para a bola no AR com rotacao

%============================================

55

function xdot = tenisAsp(t,x)

global g alpha w etha

v = sqrt(x(3)^2+x(4)^2);

% calculo do campo levando em conta as constantes de arraste CD

% e a de Magnus CM

aux1 = (0.508+1/(22.503+4.196*(v/w)^0.4))*alpha*v;

aux2 = etha*w/(2.022*w+0.981*v)*alpha*v;

xdot(1) = x(3);

xdot(2) = x(4);

xdot(3) = -aux1*x(3) + aux2*x(4);

xdot(4) = -g -aux1*x(4) - aux2*x(3);

%===================================================

% Arquivo : tenisV.m

%

% calcula o campo vetorial para a bola no VACUO

%===================================================

function xdot = tenisV(t,x)

global g

xdot(1) = x(3);

xdot(2) = x(4);

xdot(3) = 0;

xdot(4) = -g;

56

0 10 20 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Trajetrias da bola de tnis

no vcuo (linha pontilhada)

no ar (linha tracejada)

no ar com topspin (linha cheia)

cap1 edo

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