3.1 Capítulo 3

Teoria Elementar da Plasticidade

________________________________________________________________________________

As noções básicas para esta teoria surgiram nos anos de 1924-25 com Siebel e Karman para solucionar problemas de laminação. Nos anos que se seguiram Sachs estendeu a teoria para trefilação e Siebel, juntamente com Pomp, para o processo de forjamento. Para um estado de deformação, como por exemplo no processo de laminação, uma particularização da Teoria Elementar da Plasticidade denomina-se: “Método das Tiras ou Lâminas”. O desenvolvimento desta teoria para um sistema com simetria axial levou a duas outras novas particularizações: “Métodos dos discos” e o “Método dos tubos”. São modelos análogos usados para a solução de problemas relacionados com os processos de trefilação, extrusão e forjamento. 3.1 Métodos das Tiras Para o desenvolvimento do “Método das Tiras”, considera-se um estado plano de deformações. As seguintes condições são necessárias para serem observadas (fig.3.1): - as ferramentas que efetuam a conformação possuem simetria; - as massas e forças de inércia podem ser desprezadas; - entre ferramenta e material a ser conformado vale a Lei de Atrito de Coulomb com a constante de atrito µ; - a tensão de escoamento kf é dada como função de deformação (ϕ ), da velocidade de deformação (ϕ& ) e da temperatura (ϑ )

Figura 3.1 - Método das Tiras

3.2

Quando se analisa as tensões numa tira (fig.3.2) tem-se como resultante das forças atuantes na direção z: sen.. Nzresult dFdFdFz −= (3.1)

αα sen.cos.. dFNdFdFz Nresult −= (3.2)

αµα sencos

.

−=

resultdFdF z

N (3.3)

A condição de equilíbrio das forças na direção x será: ( ) 0sen2cos2 =−−+− ααµ NN dFdFdFxFxFx

( )αµα cossen2 +=− NdFdFx (3.4)

Figura 3.2 - Condição de equilíbrio numa tira infinitesimal

Substituindo na equação. (3.4) o valor de NdF da equação. (3.3), tem-se:

αµα

αµα

sencos

cossen2 .

−

+=− zresultx FdF (3.5)

Dividindo-se o numerador e o denominador por “cos” a equação (3.5) transforma-se em:

( )( )αµ

µα

tg

tgdFdF zresultx

−

+=−

12 . (3.6)

Introduzindo-se o conceito da substituição do coeficiente de atrito µ pelo ângulo de atrito ρ: µ = tg ρ, a equação (3.6) transforma-se em: dFx = 2dFz result . tg (α + ρ) (3.7)

3.3

Para o caso da compressão de um corpo em forma de paralelepípedo (fig. 3.3) a força Fx será calculada por: Fx = σx . h . b ou dFx = d (σx . h . b) (3.8) e dFz result. = σz . dx . b (3.9) Substituindo-se os valores das equações (3.8) e (3.9) na equação 3.7, tem-se: d (σx . h) = -2 σz dx . tg (σ + ρ) (3.10) ou

( ) ( ).2

.ρασ

σ+−= ztg

dx

hxd (3.11)

Esta é a equação básica. Com a hipótese da máxima tensão de cisalhamento de Tresca (Lei de Escoamento de Tresca): σx - σz = kf ou σz = σx – kf pode-se escrever a equação (3.11) como:

( ) ( )ρασσσ

+⋅−⋅−=+⋅ tgkfdx

dhh

dx

xdxx 2

ou ainda:

( ) ( )ραρασσσ

+⋅+

+−−⋅= tgkf

htg

dx

dh

hdx

xdxx

22

1

com αtgdx

dh⋅−= 2 da (fig. 3.4) tem-se:

( )[ ]

( )

( )

( )

022

=+⋅⋅−⋅−+⋅+44 344 21444 3444 21

xg

x

xf

tgkfh

tgtghdx

xdρασαρα

σ (3.12)

Por integração a equação diferencial (equação 3.12) apresenta a seguinte solução:

( )

⋅

∫⋅−

∫= ∫

⋅⋅−

dxexgex

x

x

dxxf

x

dxxf

x

x

x

x

x

)()(

)(σσ (3.13)

3.4

Figura 3.3 Compressão plana de um bloco.

Figura 3.4 Exemplo da tira com ferramental não plano

Sendo xσ uma tensão conhecida numa posição xx = qualquer, esta equação pode ser

utilizada para os casos em que as integraçoes sejam possíveis de resolver. Quando não é este caso, processos numéricos podem ser usados para resolvê-la. De um modo geral é empregada a equação 3.12 para a solução de problemas práticos. Abaixo são explicados alguns casos particulares:

a) Compressão plana sem atrito: α = 0, ρ = 0

f (x) = 0; g (x) = 0; σx = constante = 0 sendo kf = σx - σz e σx = 0, σz = -kf b) Compressão plana com atrito: α = 0;

quando x = 2

b, 0=σ (posição x conhecida)

f(x) = µh

2 h → constante através da tira usando a equação (3.12).

g(x) = kfh

⋅⋅ µ2

−⋅=

−⋅ x

b

hx ekf

22

1µ

σ

−⋅

⋅−=x

b

h

z ekf2

2µ

σ (3.14)

3.5 A expressão (equação 3.14) pode ser aproximada para:

−+≈

−⋅

xb

he

xb

h

2

212

2µ

µ

então a tensão zσ pode ser calculada por:

−⋅+⋅−≈ x

b

hkfz 2

21

µσ (3.15)

Figura 3.5 - Compressão com atrito

A fig. 3.5 mostra a distribuição da tensão

zσ conforme as equações (3.14) e (3.15) numa compressão plana com atrito. A resistência à deformação kw é:

lb

dxzl

A

Fzkw

⋅

⋅⋅⋅==

∫σ2

⋅⋅=⋅= ∫

2/

0

b

zzzzz dxleFdAFdF σ

+⋅≈

h

bkfmkw µ

2

11

(válido para pequenos h

b⋅µ)

sendo:

⋅+⋅=

h

dkfmkw µ

3

11 onde 0,25 ≤ µ ≤ 0,5 (a quente)

0,05 ≤ µ ≤ 0,15 (a frio) 3.6

o valor da resistência à deformação para corpos de prova cilíndricos. 3.2 Método dos Discos

Fazendo as mesmas considerações do item anterior e considerando a fig. 3.1, chega-se a:

( )[ ]

( )

( )

( )

022

=+⋅⋅⋅−+⋅+44 344 21

m444 3444 21

xgxf

tgkfr

xtgtgrdx

xdρασαρα

σ (3.16)

O sinal é utilizado quando durante a deformação o raio r diminui.

Figura 3.6 - Método dos discos

Para exemplificar o Método dos Discos efetuar-se-a a aplicação da equação 3.6 para o Processo de Trefilação sem atrito. Nesse caso tem: µ = 0 tg ρ = 0 ρ = 0; sinal superior na fórmula

02

=⋅−= ασ

tgkfrdx

xd

dxtgkfr

x

x ⋅⋅= ∫ ασ0

12

Conforme a fig. 3.7, através de uma relação de triângulos, tem-se:

αtgxrr ⋅−= 0 (3.7)

3.7

( )

dxrxtg

tgkfL

x ∫ +−

⋅=

0 0

2α

ασ

+⋅−⋅⋅⋅=

=

0

0ln2r

rtgLkfm

Lx x

ασ

Sendo αtg

rrL 10 −

=

1

0

0

1 ln2ln2r

rkfm

r

rkfmx ⋅⋅=⋅⋅−=σ

rkfmx ϕσ ⋅⋅= 2 (sendo Ar ϕϕ =2 )

Figura 3.7 – Considerações geométricas de uma fieira de trefilação de barras.

A força necessária para trefilar será então calculada por:

.

;

1

1

AkfmAF

AF

x

x

ϕ

σ

⋅⋅=

⋅=

3.3 Método dos Tubos

A aplicação do Método dos Tubos é bastante reduzido em relação aos dois métodos anteriores. É perfeitamente aplicável ao processo de compressão em corpos compactos. A equação diferencial (3.12), válida quando:

12 <<αtgh

x

sendo o cálculo de σr dado por (fig. 3.8):

( )[ ]

( )

( )

( )

022

=+⋅⋅−−+⋅−44 344 21444 3444 21

rgrf

tgkfr

rtgtgrdr

rdρασαρα

σ

( )( )

⋅

∫⋅−

∫= ∫

⋅

−

drerge

r

r

drrf

r

drrf

rr

r

r

r

σσ

)(

3.8

Figura 3.8 - Método dos Tubos

Exemplificando a aplicação do Método dos Tubos numa compressão com atrito, tem-se:

α = 0

tg δ = µ

kfh

rg

hrf

µ

µ

2)(

;2

)(

=

=

Para 2

dr = tem-se: .0=rσ

Com isto,

−=

−r

d

h

r ekf 22

1µ

σ

drrekfr

z

d

h

z ⋅⋅⋅−=

=

µ

σ2

A força de compressão será:

drrF

d

zz ⋅⋅⋅= ∫2/

0

2 σπ

drredkfFr

d

h

z ⋅⋅⋅⋅= ∫

−

0

22/2µ

π

.4

14

22

2

⋅

−⋅⋅⋅=

µµπ

µhd

eh

kfF h

d

z