CAP. 25 PROBABILIDADE

PROBABILIDADE =

EX1)) Uma urna contm 10 bolinhas, sendo 4 delas azuis e 6 vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela seja vermelha?

Como a urna contm 10 bolas, se quero retirar apenas 1 delas, os resultados POSSVEIS p/ essa retirada so 10! Se pretendo retirar 1 bola azul da urna, os resultados FAVORVEIS que satisfazem essa condio da bola azul so 4! De posse dos resultados possveis e favorveis, fazemos:P = 4/10 = 0,4 --> 40%

A probabilidade tem valor mximo de 1 (=100%). Neste caso, estaremos diante do chamado EVENTO CERTO.

SITUAES EXCLUDENTES, RVORE DE PROBABILIDADES E EVENTOS INDEPENDENTES:

EX2)) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a cinco anos 3/5. A probabilidade de um co estar vivo daqui a cinco anos 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o co estar vivo daqui a cinco anos de:

O evento que estamos tratando o gato estar vivo daqui a 5 anos. A situao excludente p/ o gato estar vivo justamente o gato estar morto. Ou seja, se o gato estiver vivo porque no estar morto, e vice-versa. Devemos saber que a soma das probabilidades de ocorrncia de situaes excludentes ser sempre = 100%. Da, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo de 3/5, ento a frao que representar o evento de o gato estar morto ser exatamente de 2/5.

Analisando essa primeira etapa, j possvel comear a compor a rvore de probabilidades:VIVO = 3/5

GATO

MORTO = 2/5

Prosseguindo a leitura do enunciado, dito algo sobre a probabilidade de vida do co. Assim:VIVO = 4/5

CO

MORTO = 1/5

Com isso, podemos concluir a rvore de probabilidade p/ esta questo:VIVO = 3/5

GATO

MORTO = 2/5

VIVO = 4/5

CO

MORTO = 1/5

Um aspecto importante do enunciado quando ele afirma que Considerando os eventos independentes.... O que precisamos saber sobre EVENTOS INDEPENDENTES que se quisermos calcular a probabilidade de ocorrncia simultnea de dois ou mais desses eventos, teremos que multiplicar as probabilidades de cada um deles. Ou seja, se temos P (co vivo) = 4/5 e P (gato vivo) = 3/5, e quisermos saber a probabilidade, AO MESMO TEMPO, de o co estar vivo e de o gato estar vivo, faremos:P (co vivo & gato vivo) = P (co vivo) x P (gato vivo) = 4/5 x 3/5 = 12/25 = 48%

Voltando ao enunciado, ele quer saber a probabilidade de somente o co estar vivo.... Podemos traduzir de outra forma: Qual a probabilidade de o co estar vivo & o gato estar morto daqui a cinco anos?. Pela rvore das probabilidades, vemos que:P (co vivo & gato morto) = P (co vivo) x P (gato morto) = 4/5 x 2/5 = 8/25 = 32%

CAMINHO DE PROBABILIDADES:

EX3)) Um juiz de futebol possui 3 cartes no bolso. 1 todo amarelo, o outro todo vermelho, e o 3 vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um carto do bolso e mostra, tambm ao acaso, uma face do carto a um jogador. Assim, qual a probabilidade de a face que o juiz v ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela?

Se a retirada feita de forma aleatria, a probabilidade de ser retirado qualquer dos 3 cartes a mesma, e igual a 1/3. Da, podemos comear a desenhar a rvore de probabilidades:Carto VV = 1/3Carto AA = 1/3Carto AV = 1/3

Para que uma cor fique voltada p/ o juiz e outra cor diferente fique voltada p/ o jogador, bvio que o carto retirado aquele que tem 2 cores! Ocorre que, ao retirar o carto de 2 cores do bolso, surgem duas novas possibilidades, as quais devero ser acrescidas rvore de probabilidades:Carto VV (1/3)

Carto AA (1/3)V p/ o Juiz, A p/ o jogador (1/2)Carto AV (1/3)A p/ o Juiz, V p/ o jogador (1/2)

Observemos que essas duas novas situao so situaes excludentes: se ocorrer a de cima, no ocorre a de baixo, e vice-versa. Olhando novamente p/ a rvore, vemos que surgem os CAMINHOS DE PROBABILIDADE, que to-somente um caminho em que h duas ou mais probabilidades que se sucedem (ou em outras palavras, um caminho em que h mais de um evento, de modo que um posterior ao outro). Para a resoluo da questo, devemos tomar a probabilidade do Carto AV (1/3) com o caminho p/ cima (V p/ juiz, A p/ jogador) (1/2) e multiplica-las p/ encontrar o resultado do caminho de probabilidades: 1/3 x 1/2 = 1/6 16,7%.

PROBABILIDADE CONDICIONAL: a probabilidade de ocorrncia de um evento A, dado que sabemos que ocorreu um outro evento B. Esse evento B aquele que nos dado a conhecer por uma informao adicional; por aquela frase que vem sozinha, e apenas nos revela um fato dado; algo que passa a ser de nosso conhecimento. Uma frase que se enquadra perfeitamente no modelo de probabilidade condicional seria: Qual a probabilidade de ocorrncia de A, dado que ocorreu B?. Para respond-la, devemos aplicar a seguinte frmula:P (A dado B) =

EX4)) Carlos diariamente almoa um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa feita de forma aleatria por um dos trs cozinheiros que l trabalham: 40% das vezes feita por Joo; 40% das vezes feita por Jos; e 20% das vezes feita por Maria. Joo salga demais a sopa 10% das vezes; Jos o faz em 5% das vezes; e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experiment-la, verifica est salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por Jos igual a?

Convm separarmos o enunciado em partes: Carlos diariamente almoa um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa feita de forma aleatria por um dos trs cozinheiros que l trabalham: 40% das vezes feita por Joo; 40% das vezes feita por Jos; e 20% das vezes feita por Maria. Joo salga demais a sopa 10% das vezes; Jos o faz em 5% das vezes; e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experiment-la, verifica est salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por Jos igual a?

A 1 parte (laranja) aquela que utilizaremos p/ desenhar a rvore de probabilidades, observando as situaes excludentes e construindo, se for o caso, os caminhos de probabilidade. A 2 parte (vermelho) uma informao adicional que nos revela um fato, algo que passa a ser do nosso conhecimento (no uma probabilidade, um fato dado). A 3 parte (verde) a pergunta da questo, o que pedido.

Trabalhando a 1 parte, chegamos seguinte rvore de possibilidades (ou probabilidades):JOO (40%)Sopa salgada (10%)

Sopa normal (90%)

JOS (40%)Sopa salgada (5%)

Sopa normal (95%)

MARIA (20%)Sopa salgada (20%)

Sopa normal (80%)

Dentro do enunciando, existe uma informao adicional que o enunciado nos levou a conhecer: a sopa ficou salgada. Assim, a pergunta completa dessa questo a seguinte:Qual a probabilidade Jos ter feito a sopa, dado que a sopa ficou salgada?

Estamos diante de uma probabilidade condicional. Aplicando a frmula da probabilidade condicional pergunta acima, temos:P (Jos ter feito a sopa dado sopa salgada) =

JOO (40%)Sopa salgada (10%)

Sopa normal (90%)

JOS (40%)Sopa salgada (5%)

Sopa normal (95%)

MARIA (20%)Sopa salgada (20%)

Sopa normal (80%)

No tocante ao denominador P (salgada), teremos que SOMAR todas as probabilidades de a sopa ser preparada salgada, resultante dos 3 caminhos de probabilidade:JOO (40%)Sopa salgada (10%) = 0,04

Sopa normal (90%)

JOS (40%)Sopa salgada (5%) = 0,02

Sopa normal (95%)

MARIA (20%)Sopa salgada (20%) = 0,04

Sopa normal (80%)

P (Jos dado salgada) = = = 0,2 = 20%

PROBABILIDADE DA UNIO DE 2 EVENTOS: esta situao se verificar sempre que a questo de probabilidade trouxer uma pergunta referente a dois eventos, conectados entre si pela partcula OU. Por exemplo, pode ser que a questo apresente uma srie de dados e no final pergunte: Qual a probabilidade de ocorrncia do evento A ou do evento B?. Trabalharemos, assim, com uma frmula prpria -> a da Probabilidade da Unio de Dois Eventos:P (evento A OU evento B) = P (evento A) + P (evento B) P (evento A E evento B)=P(A OU B) = P(A) + P(B) P(A&B)

EX5)) Uma urna tem 10 bolinhas numeradas de um a dez. Uma bolinha escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um mltiplo de 2 ou de 4?

Vemos facilmente que esta questo trata de dois eventos: Retirar uma bolinha numerada com mltiplo de 2; e Retirar uma bolinha numerada com mltiplo de 4.

Teremos pois que: P(mltiplo de 2 OU mltiplo de 4) = P(mltiplo de 2) + P(mltiplo de 4) P(mltiplo de 2 E mltiplo de 4)

Vamos ento descobrir o valor de cada parcela. P(mltiplo de 2): ao retirarmos uma bolinha da urna que contm dez bolinhas, a quantidade de resultados possveis 10 (este o denominador). Dos nmeros existentes, aqueles que satisfazem a condio de serem mltiplos de 2 so: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. So 5 os mltiplos, logo so 5 os resultados favorveis (este o numerador). Logo, P(mltiplo de 2) = 5/10;

P(mltiplo de 4): como no caso acima, a quantidade de resultados possveis de se retirar uma bolinha numa urna que contm dez bolinhas 10 (este o denominador). Dos nmeros existentes nas bolinhas da urna, aqueles que satisfazem a condio de serem mltiplos de 4 so: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. So 2 os resultados favorveis (este o numerador). Logo, P(mltiplo de 4) = 2/10;

P(mltiplo de 2 e mltiplo de 4): j sabemos que h 10 resultados possveis p/ a retirada de uma bola dessa urna. Dos nmeros existentes, os resultados favorveis que satisfazem a condio de serem mltiplos de 2 e AO MESMO TEMPO tambm serem mltiplos de 4 so: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = 2 resultados. Logo, P(mltiplo de 2 e mltiplo de 4) = 2/10.

Assim, lanando todos os resultados dentro da equao da unio de dois eventos, teremos:P(mltiplo de 2 OU mltiplo de 4) = P(mltiplo de 2) + P(mltiplo de 4) P(mltiplo de 2 E mltiplo de 4)= P(mltiplo de 2 OU mltiplo de 4) = 5/10 +2/10 2/10= P(mltiplo de 2 OU mltiplo de 4) = 5/10 = 50%

PROBABILIDADE BINOMIAL: este assunto no cobrado em provas com muita frequncia. Diremos que estamos diante de uma questo de probabilidade binomial quando a situao que se nos apresentar for a seguinte:1) Haver um evento que se repetir um determinado nmero de vezes;a3) Esses 2 resultados possveis do evento so mutuamente excludentes (ou seja, ocorrendo um deles, o outro est descartado);4) A questo perguntar pela probabilidade de ocorrer um desses resultados um certo nmero de vezes.

EX6)) Um casal apaixonado pretende ter 5 filhos. Considerando que no haja gmeos entre eles, qual a probabilidade de que sejam exatamente 2 meninas?

O evento o nascimento de um filho. Para esse evento s h dois resultados possveis: ou ser menino ou ser menina (observem que o enunciado est desconsiderando a possibilidade de gmeos). Alm disso, um resultado exclui o outro: se for um menino porque no foi uma menina, e vice-versa (resultados excludentes). Por fim, o evento se repetir por cinco vezes, e a questo pergunta pela probabilidade de o resultado nascer uma menina se repita por exatamente duas vezes. Como pudemos verificar, esse enunciado traz todas as caractersticas de uma questo de Probabilidade Binomial.

Voltando pergunta da questo: Qual a probabilidade de que sejam exatamente 2 meninas?: tomaremos esse resultado que consta na pergunta da questo, e passaremos a cham-lo de SUCESSO! Ou seja, o sucesso, neste caso, o nascimento de uma menina. E quanto ao outro resultado possvel, o chamaremos de FRACASSO.

Sabendo disso, o prximo passo calcular duas probabilidades: a de ocorrncia de um evento sucesso, e a de ocorrncia de um evento fracasso:SUCESSO = P(menina) = 1/2-> Ou seja, durante o parto de 1 nico filho, ou nasce menino ou nasce menina...

FRACASSO = P(menino) = 1/2

Feito isso, aplicaremos agora a equao da probabilidade binomial, que a seguinte:

P(de S eventos sucesso) = [CombinaoN,S] x [P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]Onde: N = nmero de repeties do evento; S = nmero de sucessos desejados; F = nmero de fracassos.

No exemplo dado, temos o seguinte: O evento vai se repetir por cinco vezes (sero cinco filhos), logo: N = 5; O evento sucesso o nascimento de exatamente DUAS MENINAS, logo: S = 2; Se sero cinco nascimentos e duas meninas, resta que o nmero de meninos ser a diferena. Ou seja, o evento fracasso sero trs meninos, logo: F = 3.

Aplicando os resultados obtidos p/ esse exemplo na equao de probabilidade binomial, encontraremos que:P(2 meninas) = [C5,2] x [P(sucesso)2] x [P(fracasso)3]

P(2 meninas) = x (1/2)2 x (1/2)3

P(2 meninas) = 10 x 1/4 x 1/8 = 0,3125 = 31,25%

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