'...,'j-:ì.r.t:

COMB.:.: . l .],

NATORIA / PROBABI LI DADES

1749 - tA27 tI.API"ACE (Y)

Ltt6,z

--LITz3

PÍerre Simon de l,APlÁCE Dasceu nâ Frânca e é considerado um dosgrandes matemátlcos do período da Revolução Frâncesa. Dstudou nâ EscolaMllitâr. exerceu cargos poÌíticos, cntre eles o de Ministro do InteÍior de Napo-leão. !'oi professoÌ da Escolâ NormaÌ e cÌâ Escolâ PoÌitécnica de Pâris, além deDârticiDai do CoúÌltê de Pesos e Mcclidâs._

Càmo cientlstâ, l-âplace contribuiu para o desenvolvlmento da Física,pdnclpâlmente com ÌelaÇào a Mccãnica Celeste. Na Matemática, que ele con-3idcrava uma colcç5o d; ln\ lrunrrnlos . quc ele manejava com iruiLa ìÌabl-l ldâde. seu s pÌl ncipâis csr udui \ ulta râm se pa ra a Teorlâ das Probâbjl idadcs.Nas suas prfhcloal! obtãs. Teodu Ano'líttca dos Probabtlldades. de l8Ì2. eEn-soios Filoióf.co; dds Probcrbilidades, de 1814, l,âplace mostÌou um grande co-nheclmento de Anállse, aplicando as noções de Cálculo Avânçâdo no estudodas Drobabilidades.

Análise

nesotuÇao: n!,Resposta: 15

t

FATORIAL

Sendo n um número intêirq maior quê 1 (um), define.se fatorial de n, e indica-se n!, aexpressão

. íne[ , {en>tonoê: ln! 1lèse: n fatorial ou fatoíiat dê n).

o"riniç0"" ""n""i"i", fll : rfVejamog alguns exemplos.

'19 ex€mpto: Calcular 3! +-!

5.4.3.2 13.2.1+2.1

120 - 1& - , .

29 êxemplo: Resolver a equação (x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)!

Rèsoluçâo: (x + 3)! + (x + 2)! = 8(x + 1)!(x + 3) (x + 2) (x + 1)l r (x + 2) (x + 1)! = 8{x + 1)!(x + 1)! (x + 3) (x + 2) + (x + 2)l = I (x + 1)!E +'3) (x t 2) +íx +A=8 r i . i /x '?+3x+2x+6+x+2=8x2+6x=o

x(x + 6) = o I'x = -6 (não satisfâz)

Fesposla.' x = O

Itt-

181

39 €xemplo: SimpliÍicar a o(pressão-lt-+!)l

Resotução: "L +l_])L - n! - (n-1 l) n! = nl Í1 -nf + 1)l =

=l-n l=-nResposla. -n

49 oxemplo: Rêsolver a equação (n - 4)! = 120FÌesolução: (n - 4)! = 120 + {n - 4)l = 5. 4.3. 2 1

(n-4)! =5!n 4=5

h-O

Besposta n = g

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

fi

I catcule:

- ' 5!

brí

2 Simpìifique as expressões:

, , n!- ' (n - 1)!

h, (2n + 2)!- ' (2n + l)!

3 câlcule:

^. I00! + 10t!

4 Resoha as equações:a) x! = 15(x - l)!

5 Sirìrplifique:(x + l ) ! - (x 1)!

x l - (x- l ) !

ó Derermine o conjunro soluçào das equaçòesâ)(x + 5.) ! + (x + 4)! :35(x + 3)!

b,- + =Jo

7 Calcule m ( lN, de modo que

ú! +(m- t ) ! 5(m+l) l -m! 16

I ConsideÌe a expressão:

aí{ ì = (x + 1)! 2(x - l ) !( r + l ) ! + l0(x l ) l

a) Simplifique A(x)

b) Kesolva a equação A(x) = ú-

9 Determine o conjunto vedade da equação(n + ì) ! n!- (n l l ) ! - õn

4l-2!-01l !

" , ü!-(n+l) !

' , n!

, r , (n + 2)!- ' (n - 1)!

L, l0! + l l ! + l2Iu,

-ãi

----iì {-

d)(n-9)! =l

iìll _ 3ìl = ?j; - 4)!"y 18 1-D! = se

Análise combinatória é a parte da Matemática que estuda o númeío dê possibitidadêsde ocorrênciade um d€terminado aconlecimento (evento) sem, necessariamentê descíever to.das as possibilidades

O esquema desenvolvido nos exemplos a sêguir mostra lodas as Dossibilidades de umacontecimenlo e é chamado árvor€ da6 posslbllldadgs

182

PROBLEMAS DE CONÏAGEM

F

l9 oxgmplo: Quatro canos (q, cã ca, cd disputam umacorída. Quantas sâo as possibilidadesde chegada paÍa os trâs primôiros lugarês?

/

\

C4

Observe que: o núm€ro de possibilidadês para o 19 lugar é 4.o núÍnoro de possibilidad€s para o 2: lugaÍ é 3.o número de possibilidades paía o 39 lugaÍ é 2.o númerolotal de possibi l idadês é 4 . 3. 2 = 24.

Fesposla. O númeío de possibilidâdes de chegada é 24.

2: êxemplo: Num hospital existêm 3 portas de entíada quê dão para um saguão onde existêm4 elevadores. lJm visitantê devê se dirigìr ao 5? andar utilizando-se de um dos ele-vadores, De quantas maneiras difêrêntes poderá faze-lo?

1: etapa(3 posslbllidad€s)

c, --_------ ----

Íc,- Ìc.-_-_-- . - . . - . - . - [c,tc2

3? lugar(2 posslbllldados)

19 lugar 29 lugar(4posslbllldades) (3possibilldados)

ordem dg chegada(2,| po€3lbllldados)

qc2caqc2c4qcac2

qc4ca

c2 Cl C{lCi=Ca Ci'C2 Ca C4C2 C4 C1C2 C4 CaCa C1 C2

Ca C2 C1Ca C2 C4Ca C4 C1Ca C4 C2Q4 Q1 Q2Ca C1 ê3C4 C2 C1C,í C2 CaC4 Ca Cl

f

C1

C2

Ca

C4

lcsl c,r

Ì"iíc,Ì""{c"!crlc ,(ca

lc tIcrÍ " ,Ic2Ic.1""

C103C4 ---------- --.-..-..- I cr

tcaíc '

-= ' - - Ic;c1

O1A2

: . .

2i etapâ(4 posribllld6des)

maneiras diferentes(12 posslbllldadqs)

v2

let

ì"il " t

1""Íerle.1".

P1 elFt azFr €oPr €lP2 e1

P2 e3P2 e1Fr €rP3 e2Pi e3P3 e4

Observe que:

Resposaáj 12 mâneiras-

. o númeío de possibilidad€s para a 1: €tapa é 3.

. o número de possibllldad€ para a 2: €tapa é 4.

. o númêrototalde manelÍâsé3. 4 = 12

183

r

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTr'GEM

O princÍpio fundamental da contagêm mostra-nos um métodoalgébrico parâdetêrminaro número de possibilidades de ocorrência de um acontêcimento sêm Drecisarmos descrevertodâs as possibilidades.

Se um acontecimento pode ocorrer porváriâs etapas sucessivas e independentes dê talmodo que:

pl é o número de possibilidades da 1: etapap2 é o número de possibilidades dâ 29 etapâ

pk é o número de possibilidades da k-ésima etapâ,

então: p1 p2 . . . pk é o número total de possibilidâde8 de o .con-tecimênto ocorrer.

t

Exemplo: Os números dos telêÍones de São Paulo têm 7 algarismos. Delerminar o numeromáximo de telefones que podem ser instalados. sabendo-se queos números nãopodem começar com zero

Resorueão:]IIItrtlI

Com os algarismos {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8, e 9) temos 9 oossibit idades difeíenres oeêscolha para o primeiro algarismo (o zero não pode deí colocado) do númeÍo ootêlêfonê e dez possibilidades paía os outros algarismos.

Logq pelo princÍpio tundamental da contagem, têmos:

9 10 10 10. 10. 10 . 10 = 9000000

FêsposÍa: O número dê têlêtones é 9 000 000.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

f

101010'1010'10

| {l aap SP) \um hospiral e\j(tem I poÍâ\deenrmda que dào para um âmpìo raguào no qüalexisrem 5 eìe\adores. lrm ü5itanredere sediri-Búao ó: andar ul i lLando{edeum doseleva-dores. De quanras maneims dilerentes poderáfazêlo?

2 6cv-SP1 Um restaurante oferece no cardápio2 çaladas disrinÌas. 4lipos de pralos de carnq5 !"riedades de bebidas e I sobremesar diferen-Les, Uma pessoa deseja uma salada. um pmtode câÌng uma bebida e umâ sobremesa. Deq uan las mâneiras a pessoa podeni [a-.eÍ seu pe-dido?

184

3 Uma companhia de móveis teÍn dez desenhospaÉ mesas e qualÌo desmhos paÍa cadeiras,Quantos paÈs de desenlÌos de mesa e cadeirapode a compânhia formar'Ì

4 Quatro limes de furebol (vasco Arlérico, Co-dnthia$ e IntEmacional) disputam um tomeioQua as e quais sáo as possibilidade\ de classr-ficação para os trfu primeiros lügares?.

5 Numâ eleiçào de uma escola há très candida-tos a presidente, cinco a vice-presidentq seis asecrcádo e sele a LesourEiro. Quantos podemseÍ os Í$ultados da eleição?

ó QuaDtas comissões de três memb.os podemosformar com os alunos A)Íton, PedÍq Odair eVálter? . \./f:'"

7 Quantos nimeros de tres abarismos distintospodem ser formados usando-se os algarismosl ,2,3,4 e 5?

8 Oito cami0hos conduzem ao cume de umamonlania. De quanro\ modo. uma peççoa po-de subir e descer por caminhos diferente$' t

14t5l2l4

235

l?l ;

AÍÍanlos slmplos de n elementos tomados p a p sâo tòdos os agru-pamentos s€m Íêpêtição que é possív€l formar com p (ô > p) elemen-los diteÍgnt€s €scolhidos€ntre os n elomentosdê um ooniunto dado

números foímâdos(12 númgÍos)

2425323435424345525354

Observe que os gÍupog (números ou olgmenios) obtidos difêrem êntre si:. . pela oÌdem dos elementos (23 e 32, por êxemplo);

. pelos olomenlo6 componentes (natuÌoza) (25 e 43, por exemplo).

Os grupos ássim obtldos são denomjnados arÌanios simples dos 4 êlemêntos lomados2 a 2, e são indicados 4a,2.

Daí define-sê:

Indicase: An, p ou 4.

ARRANJOS SIMPLES

ArÌanlo slmples é o tipode agrupamento sem repêtiçâo êm que uin grupo édiÍerentedepela oÍdem ou pêla naluroza dos elemêntos componenlês.

Ex6mpfo: Quântos númeíos de dois algarismos (el€mentos)distintos podem ser formados usan- -.. .. . a..)do-se os algarismos {elementos)2, 3, 4 e 5? - ì

19 algarismo(4 possibllldados)

29 algarismo(3 posslbilidades)

185

FORMULA DOS ARRANJOS SIMPLES

Quantas palavras de duas letrâs distintas podemos Íormar com as lêtras A. B. C e D?

1i letra(4 possibilidades)

29 letê(3 possibilldades)

palavras Íormadas14 3=14

ABACAD.

.BN

BDCACBCDDADBDC

ÍRa lÃ

IDÍAJcID

c

IAD IB

tc

palavÍas de 2lêtías + 4.3palavras de 3letras + 4.3.2palavrâs de 2letras = 6.5palavrasde3 lêtras + 6. 5 . 4pâlavras de 4 lêtras + 6 . 5 4 3palâvras de 2letras + n(n - 1)*,"1|.* o:

I nl'* e n (n - 1) (n - 2)

f

BD

Obsêrve que:

com 4 letrâs, temos:com 4 letras, teríamos:com 6 letras, teríamos:

com n letras, teríamos:

patavras dê p tetras r n(n 1)(n 2). . . (n_p+.1)

Genêralizando:

O número de arranjos simples de n elêmentos em grupos dê p elementos é dado por:

An, p * lê-se: arranjos simples dê n elementos tomados p â oNotê que o dêsenvolvimenlo dê An. o contém p fatores.

UMA FORMULA IMPORTANTE

Calculando A7,1, temos: A7,4 = 7.6. S.4Mult ipl icando e dividindo po.3!, obtemos:7.6 .5 .4 .3t 7t 7 l--- 3- =3r =Ì7 4rGeneralizandq temos: An,e = n (n 1) (n , 2)

An,p = n(n 1) (n - 2) . . . (n - p + r) I:

-p+ t)

--\

Multipl icando e dividindo por (n - p)1, obtemos:

An,e=n(n-Í) (n 2) . . . (n-p+1) !n P)!(n p)l

Esta tórmula mostraquêos afianjos dos n elementos tomados p a p podem sêrescritosutilizando-se Íatoíiais.

Vejamos alguns exemplos.

19 êxomplo: Calcular: a) A6,2

Resolução: a)46,2 = 6. 5 = 30

Fespostas. a)30

it

hr 45.4 + 43.2 _ 5.4 3 2+3.2 1264.3 2 - 10

29 exêmplo: Calcular E = A7,3 + A3,2 - A5,4Resolução: E = Ar,s + As,z - As,.{

' - (7 3x - Ì3-Zt! - ts - +-[

- 7.6.5.4 3.2.1 3.2.144-Z-

E=210.r6 120 = 96

Resposta:

39 exemDlo: Resolver a equacàor At6.+ A" = 9An.4

Resotuçâo: o"ïlro". = n

n(n 1)(n-2)(n-3)(n - 4)(n -5) +(n 4) l _on(n - 1)(n - â(n - 3)

(n-4)(n-5)+n 4=n2 9n+m+n-4=9

n2 8n+16=9^ )n '=7

n. Bn+7=0:n, ,=1

. Comon26-n=7

Âêspostá. S = l7l49 êxemplo: Quantos números'de Salgârismos podemos foÍmar com os algaíismos 1, a 3,4,

5 ê 7, sêm íepetì-los?Resolução: Os númeíos formados devêm têr 3 âlgaíismos, por êxemplo:

t r t rFlInvenendo.se aordem destes algarismos, obtemos novos númeÍos, portantq o pro.blêma é de arranjos simples.Aô,s = 6 5 += t20

Fesposta. Fodemos Íormar 1m números.

63

54321

r

'4r=f f i

147

59 exemplo: Quantos números parês de 4 algarismos podemos formâí com os algarismos O,1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem rêpeti.los?

Resolução: Fossuimos um total de selê algârismos e os números que vamos lórmar devemter qualro algarismos.Para o número formado sér pâr, devê terminar em O, 2, 4 ou 6j logo:

TTTtrTtrTtZTt]TtrnLr t-l tr

t rTTtrt rTI t r

Í. t

Quando os números têrminam em 2, 4 ou 6, eles não podem comeÇar por zeío.

t rTTtr

; -

Foítantq o total de números é: 4 A63 3 As,24 6 5 4-3.s 4480 - 60420

Fesposta. Fodêmos formar 420 númeÍos.

69 exemplo: Numa sala de20 alunos, dêseja-se Íormargíupos de estudos de lrês elementos,que tenham píojetos diferentes.a) De quantos modos difêrentês se podem êscolheí os alunos?b) De quânÌas maneiras se podêm escolher os alunos, sâbendo-sê que dois dos

alunos não podem pertencêí ao mêsmo grupo?

Resolução: a) Como os projetos são diÍerentes, a ordêm dos alunos é imporÌantê; logo:

Am,e = 2O .19 18 = 6840

b) Gíupos em que não entrâ nenhum dos dois alunos:

Are,s = 18 17 16 = 4896

Grupos em que êntíâ apenas um dos alunos (A ou B)l

A-- -A- --AB-- -B- --B

6.4€2=6.18.17=1836

O número de maneiIas éi

A€,3 * 6 416,2 = 4896 +'1836 = 6732

Fésposta. 6 732 rnaneiras.

188

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I calcule:

^, A,az + À.r As.z"' &r + Asr

. .A(,+4",-4. ,- ' A'0.: Ar. r

ZSimptjtique:;3.]r:-::j+]a

3 Resolva a equação 4,2 = 12

4 ResoÌva as equaçõès:

b)4- , = 30c)A4j-À,r-od)4., , + A. 1,2 + A" 42- 20

5 Quanbs númems de 5 algaÍismos djstintos po-demos formar com os algaÌismos 1, 2, 3, 4, 5,6; '7,8 e9' Ì

ó Quan La! paia\ ra" de J leua\. sem repet iÉo po-demos formar com âs 9 primeira. Ìet íai do nosso aÌfabeto?

7 QuantosDúmeros del algaÍhmos. sem repai-ção. podemos formaÍ com os aLgaÍismos l, 23. 4, 5, 6. 7. 8 e f. incluindo seÍnpR o algiarismo 4?

8 Com os algarismos l, À 3. 4. 5 e ó sào forma-dos números de quatro algaÌismos distjrÌtosDentre eles, quãntos são divisiveis por 5?

9 Quanrd númeÍos de 4 algaÍismos djsl inros po-demos formaÍ com os aÌgaÍismo.0, l,2,1,4,

-167,8e9?

| 0 QuaÍìtos são os númercs compreendidos entre2 000e3 000. loÍmadosporalgaÍismosdisrin-tos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7. 8 e 9t

ll considere o conjunto A = [2, 4, 5,6].a) Calcúe quaÌìtos números com a.lgarismos di-

ferentes se podem formar com os elementosde À.

b) Dos númeÍos obtidos no itern anrcrior, dran-tos são múltiplos de 5?

| 2 Quantos númeÍos de 3 algarismos distintos po-demos formar com os algaÌismos do sistema de-cimal, sem os repetiÍ, de modo que:a) comecem com l.b) come€em com 2 e teÍminem com 5,

l3Num carnpeonato {Ìe futebot há 10 eqüipcsdisputântes. Sabendo se que duas quaisquerentrc essas equipes se enfrentam duas vezes eque a rendâ Ìnérlia de cadâ jogo é R$ 20 000,00,deteÌmine o total de dinheìro aÌrecadado nofinâl do câmpeonato.

14 Cinco homens e uma mulher pretendem utili-zar um baÌìco de cinco lugarcs. De quantas ma-n€iras diferentes !'odem sentar-se, nunca fican-do eÌn pé a mulher?

| 5 Um Grãnde PÉmio de FóÍmula I vai seÍ dis-puLado por 24 pilorcs, dos quais apenas rÍ€s sãobrasileiros. Em quantos ÍesulÌados possiveisdessa pÍova poderemos teÍ ao menos um pilotobrasileim figumndo em uma das tÉs primeirascolocações?

i

189

COMBINACÕES SIMPLES

. . combinação simples é o lipo de agrupamenlo sem repetiçáo eín que um arupo e dtÌeren-re oê ouÌro apênas pelâ natureza dos elêmentos comoonenlês

Exemplo: Quântas comissões de 2 pessoâs podem ser Íormadas com S alunos (A, B, C, De E) de uma classe?

19 aluno 2! aluno número de comissões(5 possibilidades) (4 possibitidadês) íO comissôes) .t

A_ABACADAE

BXBCBDBE

CD

0_

E

Obs,erve que os gruposAB e BA representam a mesma comissáo. Os alunos A eB, não importâ a-ordem, formam apenas umacomissião. lsto signiticaque umã mes-mâ comissão foj contâda duas vezes. portantq o total dã comibsOes é dez

l20l- 'n12,- ' "

Observemos quê os grupos obtidos diferem entre sÍpelos elêmentos comoonen.tês (natuíeza). não importando a ordem (posição) em que aoarecem.Os grupos assim obtidos sãodênominados combinaçõês simples dos Selemen-tostomados2a2.

lndica-sê: C5,2.

Daí definê-se:

C,ombìnâçôes simplês de n elementos dis.tjntos tomados p a p (n > p)sãolodosossub_ ]c-onlunlosdep etementos que é possivel formar a partir de um con jüirto com n elemen_ i

Í

cAB BDAC BEAD CDAE CEBC DË

DXDEDC

EKEg

Efl

BcDE

cDE

BDE

cE

BCD

tos.

190

FORMULA DAS COMBINACOES SIMPLES

nl^ A." Ìn o) l n!\'n p = pi- -

-t-

= Fln - pt! it

Ci, p - lê-se: combinâção simples de n elementos toÍÌìados p a p.

Veiamos alguns exemplos-

19 arêlnplo: Quanta6 comissõês constituídas de 3 pessoas podêm ser formadas com 5 pes'soas?

Resotução: A6 comissóês ÍoÍmadaE d@vsm ter 3 pêssoas, nor exemnto: f] @ Q

Invêncndo-se a or.demdêôtas pessoaq obtemos a mêsmâ comissáo. Foftâi1,tô,píoblema é de combinaçâo

5.4.315!

Resposta:

29 sxemplo:

. , " _ " =101,5.3 = 3! ls:-3Í

=Ì l2 =3I.2.1

Fodemos formar 10 comissõês.

Sobíe uma rêta, m&rcem.$ê I PorÌLos e sobie ui9â outre rcta, ptraJêli i Fal'iairt.marcam-se 5 pontos. Qrlaçìta6 tí,iì!ìgülgo dbblerÍì@6 uniÍìdo 3 qlraisqüÊrdraÈse$pontos?

Besolução:

Com os treze pontos, podemos obter cl3,ì triângulos.

Paía a reta rl + Cs,s não formam triãngulos porque estâo alinhados.

Para a reta 12 -

cs,s não formam triângulos.

Fortantq o total de triângulos obtidos é dado poÍ

Crg,r Ce,s - Cs,s = 286 - 56 10 = 220

Fêsposta. 220tíiângulos.

r

Pârâ calcularÍnos o númêro dê 6ombinaçóes, basta câlcular o número de arranios e divì_dir o rosuhado por 2 t20 : 2 = 10), quê é o fatorìal do número de elementos que campóem cadacomissão íâ.

O número de combinações de n elementos de grupos de p elementos é igual ao númeíodê aÍrânios de n elementos tomado€ p a p, dividido por p!, isto é,

ï91

'a

39 exêmplo: Uma classê tem 1O alunos e S alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e duasalunas. Determine o númêro de comissõês em qu" pu.t i i ip" ã ãúnã'ià nao p"ni-cipa.a alunâ y.

BesoluQão: Devêmos escolheri

3 alunos entre os I rêstantes = c. ,2 alunas entrê as 4 rêstantes = Cj'i

Aescolha dos alunos pode serefetuadade C9 r maneiras e a êscolhadas alunas.de.C" 2. Entâq peto principio tundamentat da c-o"l"s"r, t*;õ;;;;;ì;;oi'Je oâoo por:

9! 4l3t6t 2t 2l9.8.7 4.33 Z i T. j

504

t Í

cs,3 c4,2 =

Fesposia. 504comissòes.

EXERCíCIOS DE APRENDIZAGEM'*

1 calcule:

Ce.:q' l -1" +a;

2 R€solva â eqüação:

C,,+C,, .2=6

3 Resolva as equações:a)C-,r-C", ,2=0

u; f*:'r = z

4 (FEI-SP) Resoha a equação A5. -

= 6qj ".

5 r t rpnr se ,{ lo e C: - t { , ache o !ãtor

â" (n + p)!- ' n!

ó Ache n, de modo que

Cn*: , ,+r=28

7 Calcule o \ãlor d€ x na equação:4, , I 6 Cx,, =0

8 De quanras maneira. podemor e\calaÍ um time_de lurebol de \alão dispondo de 8 jogado

9 GME-SP) Com l0espécies de fruras, quantostìpos de salada, contendo 6 especies difèrentespoclem ser feitas?

192

rv Vuanta\ \ 'on ìòe5 com 6 Ìnrmbro. podcmosÌormar com 10 aìunôs?

rr ìuma,atd. remo,5 rapale. e 6 moças. euan_ros grupos podemos formar de 2 mpazes e 3 mo,

l2 Em um congresso há 30 físicos e 20 maÌemau-cos. Quantas comissões de 3 fhicos e 4 ma!c_máticos podemos formar?

r! , L\uma cta\.e de IU e5tudante\. um grupo de 4seÌá seÌecionado para üma excürsão. De quan-las mdnerla5 ogrupo poderâ \er formadosedoisdos clez são marido emulher e só ìÌãojuntos?

l4 reja,+ um conjunro dc rOpe,\oa.; desas, ap(nas 4têm maioridade Calculeo número de comrssões de 3 elemenros que pod€mos forrÌÌarcom elemenlo. de A. tendo cada cornis.áo pe_ro menos uma Éessoa com maioridade

l5 Lrna empre., e formada po, 6 sócio\ braçi telrose4Japoneses, De quantos modos podemosÌormaÌ umadiretoriade5 sócios, s€ndo 3 bra-sileiros e 2 japoneses?

ló Numa turma de 30 alünos, 9 rêm motocicteÌae ourro,8 tèm bicictera. euanto\grupo\di ferenlesde t aluno. \e podem formar naquelarurma, de modo a ha\er eÍn cadâ Brupo 4 moroci_cletas € 2 biciclera\?

- ' í

t

,

!I

17 Numa reunião de congregaçãq em que cadaprofessor cumpriment ou Lodos os seus colegas.registÍaÍam-se 210 apeíos de màos, Delermi-ne o númeÍo de professoÍes píesentes à reunião.

I I Uma uma contém l0 bolas brancas e 6 pretas.De quantos modos é possivel tiraÍ 7 bolas, sen-do pelo menos 4 delas pretas?

l9 (Mauá-SP) Reunindo-se os objetos de umacer-Lâ coleção (odos diÍerentes ent re si 4 a 4), o nú-mero de gruparÌenLos coincidecom o loral degÍupamentos desses mesmos objetos reunidosó a 6. Sabendo que os grupamenÌor se dìsÌinguem pela presença d€ ao menos um objelodiferente èm cada um deles. d€termine o númerode objetos da coleção.

20 (Faap-SP) Num plano temos 16 pontos; 9 de-les penencem auma rela. Quantas circunfeËn-cias podem passar por 3 quaÌsquer daqueìespontos?

2l Qual o número de diagonais de um hexágono?

22 De quanLas maneiras podemos escolher 5 caÍ-tas de um baÉlho de 52 cartas:a) indìstintâmente?b) as 5 do mesmo naipe?

23 Um examiíador dispõe de 6 questões tte Álge-bÍa e 4 de Geometria para montar uma pÍovade 4 questões. Quantas pÍovas difeÍentes ele po-de montar usando 2 questões de Àgebra e 2 deCeometria?

t

PERMUTACOES SIMPLES

Permutação simples é o tipo dê agíupamento ordenadq sem repetiçáo, em quê êntramtodos os elementos em câda grupo

Exomploi Ouantos números de 3 algarismos distinlos podêm ser Íormados usândo-se osalgarismos (elementos) 2, 4 o 5?

19 algarismo 29 algarismo 39 algarismo números formados(3 possibilidades) (2 posslbllldadês) (l possibilidade) . (6 númeÍos)

Obsêrvequeos grupos(números)assimobtidosdiÍerêm umdooutroapenaspelaordem dos elomênlos {245 e 254, por exemplo).Os gíupos assimobtidos sãodenominados peÍmulagões slmples dos 3elemen-tos tomados 3 a 3 e são indicados P3.

4

4

I4l5t2Ìsl2l4

245254425452524542

Obserue quê os arranios dos 3 êlementos tomados 3 a 3 são as peímutaçóês dos 3 ele-mentos, ls toê&3= P3=3 2 1=6

Em geíâ|, temos:An.o = n(n - 1)(n 2). . . (n - p + 1)

Observe que a permutação simplês é um caso particularde arranjo simples, isto

FÓRMULA DAS PERMUTACÕES SIMPLES

193

An,n=Pn=n(n

Pí = n(n-1)(n -2) . . .1= n!

Vêiâmos alguns êxemplos:

19 exemplo: Calcular E, sendo E = et + e &rh

Resotuaào: E=pq+2 Po^- Po -E=st +2.6l :41

2l

E=120+2.720-24

E=816FesposÍar 816

29 êx€mplo: Quantos números de 4 algaíismos distintos podem seí ÍóÍmados, usando-se osalgarismos 1, 3, 5 ê 7?

Resotução:f ] [ I I- Pa=4! =4.3.2.1=24

Fesposta: Podem ser formados 24 números.

39 exèmplo: Quantos anagramas tem a palavra MITO?Besolução: Qualquêr ordenaçáo das letrâs de uma pâlavra é denominada ânagÌama.

Como a palavra MITO tem 4 letras, temos:Aa.a = Pa = 4l = 24 ânagramas

Bésposúaj 24anagramas.

49 exemplo: Considerê os números obtidos do número 'j2 34S, eÍetuando"se todas as pêrmu.taçõesde seus algarismos. Colocandoesses númerosem ordêm crescenre. oualo lugar ocupado pêlo número 43 521?

Besolução: Vamos colocaras peímutações obtidas pelos S algarismos em ordem crescentà

1)(n 2). . . (n.n+1) = n{n - 1){n - 2) . . .1,portantq

-P3=3! = 6

-P:=3! = 6

+P2=2t = 2

-Pz=21 = 2

=P1 =1! = 1@

+ 90o 8S

TTuTTnultr

TtrtrlTTntrlsL:]

TTTuTE-:-lTIf lf : tL:]

uTItrfJt ' IT;-li . l

trfJl lt^ 1L. I

trT;I

T;lL:]

trtrtrtrtrtr

iÍ

Fesposta. Ocupa o 909 lugâr

194

í

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Câlcrle E. sendo E = ",

- , (=.T- I

2 Calcule o valoÍ ale m que verifica a Ìelação:P-+m P- 2 3

8

3 Ouantor"áo o' anaerarnas da oata'ra CÀÈ:

4 Quantos anagramas da palavra EDIïORAa) começam com À?b) com€çam com A e termiÍam com E?

5 Quanto aos anagrama. da palar ra f NICM Acalculg.

a) o númem total deÌes.b) o número dos que teÍminam com A.c) o númem dos que começam com EN.

ó Um eíudanre ganhou numa comperiçáo qua-I ro ìivros d iferen |f,s de \4aremalicd, rre,difercn-Ies deFísica edotdi lerentes de Quimica. Que-rerdo manter juntos os da mesma disciDlina,calculou que poderá enfiÍeirá-lo. numa prale-leira de e.LânÌq de modos di\erso.. Calcule essâ quantidade de modos.

7 Quantos número5de 5 algari(mosdistinto.po-dem ser formados, usando-seos algarismos I,2,3,5e8?

I De quantos modos difer€ntes podem senÌar-se

a) se ficarem todas em fila?b) se ficarem todas em fila, mas os lugar€s ex-

tremos forcm ocupados pelo mais velho e pe-lo mais novo?

9 rt I l -SP)Num caÍocorn 5 lusare.smairdl"-gãr do motolistâ viajam 6 pessoas, das quais 3labem dirigir. De quantas manejras se podemdispor essas 6 pessoas em viagem?

ll (Mauá SP) De quantos modos podemosorde-nar 2 Ìivros de Matemáticar ldePAriugxêre 4Je f i ' ica, de modo que o( l i \ ro, de uma me-ma matéiia fiqu€m semprejuntos q aiém dis--c.. osde Fí'ìca liquem. entre çi..empre nâ me,-

lÌ (Faap-SP) PeÌmurando os algarjsmos 2,4e 6e 8, lbrmamós números. Dispondo esses núme-ro, em ordem creccenrq quâl o numero queoc"-pa a 22i posição?

| 2 (EFE.) Calcule o número de permutações quepodem ser feitas com âs letras da palavra CA-PITUI-O, de forma que não fiquem j untas dìrasvogâis e duas consoantes.

l3 l -oi mado, e dispo.to\ em ordem âlfabèricd l .do' or anagmmas da palavra l-SAN, derermine a posição que ocupará a palavra NASE.

i

PERMUTACAO COM ELEMENTOS REPETIDOS

Até agora estudamos permutação com elemenlos distintos.Vejamos o que aconÌêcê quando em uma quantidade n dê êlementos houvêr uma quanti,

dadê de elementos repetidos.

19 exemplo: Consideremos a palavrâ CAÀIA.

cAMA (1)

Conlinuândo com esse processo, obleríamos 24 palâvras (P4 = 4!), '12 dâs quaisrepetidas (1 ê 4 são iguais,2 e 5 são iguais).Cada palavra foicontâdâ duas vezes, no caso dê a palavra têr2 letras (A e A) repe-tidas.

195

trocandooCpelolútrocandooCpeloAtrocandooApeloAlrocandooApeloA

(em 1) obtemos: N4ACA (2)(em 1) obtèmos: ACMA (3)(em 1) obtemos: CAMA (4)(em 2) obtêmos: N,ACA (5)

2? exemDlo: Considêremos a oalavrâ ABACATE:

Neste caso temos3letras repêtidas. Elas podem seí permutadas 6 vezss (3!), Ía-zendo com que cada palavra seja íepetlda 6 vezes. C,omo o número de p€rmuta-ções possíveis é 120 (6!), o número total de palavrâs é 6 vezes menor, ou sela, m{.120: 6).

Conclusão: De acordo com o expostq temos:

"O númeíodê permutaçôes possíveiscom n elementos, dentreos quais um certoelemen.to sê rêpelê o vêzês, é igual ao Íatorial de n dividido pelo íatorial de d .

. t - Í

Se tivermos n elementos, dos quais: d são iguais a A,B sáo iguais a B,.r sáo iguais â C,

o número do permutações distintas dos n êlêmentos será:

P. = ; ! Ét l

Vejamos.

'19 exemplo: Quantos anagramas tem a palavra NATALIA?

Basoluçâo: A palavra NATÁL|A têm 7 letras, sendo que 3 são iguais a A, portantq

p:= I i = 7 6 ! .4 31 -840'J !3!

Fesposfai 840anagrâmas.

29 exemplo: Quantos anagramas tem a palavra ARITMETÌCA?

Resolução: A palâvra ARITÌúÉTICA tem 1O letras, sqido:

2 iguais a A

2 ìguais a I

2 iguais aT

portantq cfi,'?' 2 =

-*$a

= +so ooo

Besposlar 453 600 anagramas.

196

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

I Quantos anagramas têm as palavras:

a) PATA?b) PAR,ALÈIOCRAMO?c) GUANABARA?

2 Quantos sào os anagramas da palal ra M Ál F -MATICA que começam por logal? (Nãd leveem conta o ncento)

3 Determine a quantidade de números distintosqüe podemos obter permutando os algarismos

ar 13 431 b) 343 434

EXERCíCIOS DE FIXACÃO

2ó0 Simplifique:

(a + 3)! (a + 1)!

2ól Resolva a eqr.raçâo:(x + 2)! _r^

m! -7 12ó2 Sendo.q = l,

4 Ìm +-it Icalcì . emtalqì leA = 2.

2ó3 Seja a funçao

fÍ Ìr _ x! (x + l ) !' ' ' (x + 1)! (x + 2)!

a) Simplifique f(x).b) Ache o valor numérico de fpara x = 2

c) Resoha a equação f(x) = 425

2ó4 Sabendo que n ( IN1 resolva a eqüação:

log [(n - l)!] + log (n!) + los n =

- loc(24 + 23 nl)

,._i\(2ó5?ara cadaí ra r seus climt€s, uma empí€sa uu-v liza 5 dígitos. Os aleaÍismos utilizados são l,

2, 3, 4 e 5 (não é permitido Íepetir algaÍismono mesmo código).Exemplos de códigos:ilï5l?lt

" [+ïiTiTãTil

Derermjne o número de códigos possiveis.

4 Quantos anagramas diferent$ podem ser for-mados com as letrâs da palavra ARAPONCÂ.de modo que a letÉ P ocupe sempIe o últimolugar?

5 Usando uma vez a letra A, Ìrma vez a letÉ B e(n - 2) vezes a letra C, podemos formar 20 ana-gramas diferentes com n letras em cada anâga-ma. CalcuÌe n. t

2óó ResoÌva a equação:(n!) ' ] - 3n! -18=0

'-''.-aìÍ 2óZ Numa cidade os números dos telelones tèm\,-/ 7 algarismos e não podem com€çar por 0. os

três primeiÍos constituem o prefixo. Saben-do-se que em todas as farmácÌas os quatro ú1-timos dígitos sâo zerc e o prefixo Íão t€m di-gitos Ìepetidos, deteÌmine o númerc de tele-fones que podem seÍ instalados nas farmácjas.

2ó8 Uma âgência de propagarÌda deve criar o no-me de um pÍoduto novo a partÍ de 4 sílabâssignificari s, já defmidas. Qualquer uma des-sas 4 siÌabas, sozinha ou combinada com umaou mais das outÍas tÌÊs, podeÍá formaÍ um no-m€ atmente, Calcule o númeÍo de nomes di-ferentes possiveis de ser montados, sem repe-

_-tìçâo de silabas.

(2ó9lFatec-SP) Uma empresa distÍibú a cada can-\'/ didato a empÌego .rm questionário com três

perguntas. Na primeim, o candidato deve de-cÌaÉr sua escolaridade, escolhendo uma dascinco alternativas. Na segunda, deÌr escoÌher,em ordem de preferência, lÉs de $is locâjsonde gostaria de trabalhar. Na últim4 de\r'e e3-colher os dois diâs dâ semana eÍn que queÍ fol-gar. Quantos questiotrários com conjuntos di-fercntes de respostas pode o enminâdor en-

_ contmr?

\270)etermine o númeÍo de placas de caÍÍo que''----podem ser formadas contendo duas ìetras dis-

tinLa\ seguida! por três algarismos. com o pÍi-meiÍo diferente de zeÍo

Í,=,

197

271

c

272 nesolva a equação:A" * 1,2 + An *2,3 = 2(4.,3 - A.+ r ,r)+ n

273 Resolva a equação:24.,r+50=Ar. , ,

274 t FuveçÌ SP) Câlcule quanros números mútri-plos de tÍês, de quatro aÌgarismos distintos,podem sef formados com 2, 3, 4, 6 e 9.

275 Com os algarismos 0, l, 2, 4 e t sem os repe-tir, quâÌìtos númeÌos compÍe€ndidos enlr€ 2me I 000 podemos foÍmaÍ?

27ó CoÌìsiderando todos os númercs d€ seis alga-rismos distiotos que podem ser formados comos aÌgarìsmos l, 2, 3, 4, 6, 7 e 9, determine:a) quantos são pares.b) quantos são ímpares.

277 Entre os 20 professores de uma escola, devemser escoìhidos tËs pam os cargos de diretoÌ,vice diretor e odentador pedagógico Dequantas maneiras a escolha pode ser feitat

278 Num acidente automobilístico, depois de ou-üdas várias testemunhas, concÌuiu se que omoÌori.tâ culpadopelo acidentedirigia o vei

' culo cuja pÌaca erâ con.Lj | úda de duas ! ogaisdistintas e quatro algarismos difer€nt€s. e o al-garismo das unidades era o dígito 2. Calculeo númem de v€icülos suspeitos do acidente,

279 Considere o conjunto A = Í0, l, 3, 5, 71.Calcule quantos números com algarismos di-ferentes se podem formar com os elementos

280 Resoha as equaçòes:a) Cn,, : Cn,3 b) C, + ?,1 : l l Ci ,

'| 98

281 Dadoo conjunto I = {2,3,4,5,6i ,derermi-ne quantos números com algarismos difeÍen-tes se podem format sabendo que:

a) iêm quatro aigaÍismos.b) sâomenor€sdoque 4 m0 e múltiplos de 5.

282 Considere o conjumo A = [0, l, 4,5, 7, 8Ì.Utilizandoos elementos deste conjunto e semos repetir, responda.a) Quantos núm€ros dislintos se podem escre,

veÍ com cinco algarismos?bì Denrre 05 números do irem a. quallos \ão

ímpares? tc) Quantos númeÍos de quatro aleârismos

distintos contêm os dígitos I e 5?

283 Resolva a equaçao:An,r=Co.ú 2+lOm

284 (FEI SP) Resolva a equação:

285 Calcule m en no sistema:

tAd,, = 156

28ó Resolva a equaçâo:

42(c; - -c" , ,1 =4"

287 Uma empresa tem 5 direrores e l0 gerenÌes.Quantas comissôes distintas constiruídas deI diÌetor e 4 gerentes podem s€r foÍmadas?

288 tFNU luma embaixada Irabalham 8 brasi-leiÍos € 6 estÍangeiros. Quantas comissões de5 fuúcionários podem ser formadas, devendocada comissão seÍ constituída de 3 brasileimse 2 estrangeiÍos?

289 Dadas duas retas paral€las, tomam-se ? pon-tos sobÍe uma delas e 4 sobre a outÍa. Quan-tos triângulos existem cujos vértices sejam 3dos pontos acima considerados?

290 (FEI-SP) Calcule o número de diagonais dododecágono.

291 Dado' 20 ponros do espaçq dos quais nàoexistem 4 coplanares, quantos planos ficamdefinidos?

292 Sàodados l2 ponto"em um ptano. dosquais5 e \omente 5 eÍãoafinlados. Quanrostriiin-gxlos podem ser formados com véftices em 3dos 12 pontos?

293 GaapSP) Em uÍn câmp€onato dedois turnos,em que devem jogar 12 equipes de futebol,qual o númeÍo totaÌ de jogos a serem realiza-dos?

(FCV-SP) Existem apeÍrâs dois modos de atin-gir uma cidade X partindo de uma outra A.Um deles é ir até uma cidade intermediária Be de lá atingir X, e o outro é ir até C e de IáchegaÌ a X. (Veja o esquema.) Exist€m l0 es-tÉdas ligando A a B; 12 Iigando B a X; 5 ligandoAaC; SligandoC aX; nenhumaliga-ção entre B e C e nenÌÌuma ligação entre A eX. Determine o número de percursos diferentes que podem ser feitos para atingir X pelaprim€ira vez, partindo-se de A.

B

E9t-

"ï

Í

294 (Vr.ìne\p) Considere num plano l0 ponlosdist intosenlresi . Suponha que 4 desses pon-tos Dertençam a uma mesma Íeía € que dorsqual squer dos demais nào esLeia m al inhadosiom nènhumdos ponrot restanteç. Calculeonúmero de r€tas determinadas por esses l0

295 Uma sala tem 6 lâmpadas com interrìrptoresindependentes De quanlo\ modo\ pode-\ei lumlná ìa, sepeìo menor umadaslâmpadaçdgr'e ficar acesa?

29ó Um carnpeonato de futebol é disputaclo.poÍm eouiD€s, de acordo com o esquema s€8rnnÌe-l9ì Éormarn-se4supos de 5 eqúpes. Em cada

Brupo as equipes jogam entre si. oblém-se, assim. um campeão de cacla gÌupô

29) Os qualÍo campeóe( de 8Íupo jogam lo-dos enlre si, surglndo dal o câmpeao

DeteÍmin€ o número totâl de jogos disputados'

297 Com 12 pe.soas adultas entre as quais-há I

com ô0anosde idade, qual è o número de co'mis\óesde 8 membro'que se pode formar. demodo qu€ em cada uma delas figure pelo me_nos uma pessoa sexagenária?

298 (Osec-SP) Do cardápio de uma ie$a constâ-vam dez diferentes tipos d€ salgadinhos, dosquars só quatro seriam seÍvidos quentes. O gar-

çom encâÌregado de arrumar a rÍN€s.â e serq lafoi inslÍuido parâ que a me<ma conllresse so2 diferent€s tipos de salgâdinhos fÍios e só 2dilerenles lipo\ doi quentes. De quanlor mo-dosdifeÍenle"o garçom Ìeve a libeÍdâdedese-lecioÍIaÍ os salgaaünhos pera compor a lm!€ssa'Íespeitando as instruções?

299 (PUC-SP) Na saraa de um cinema. Iomm con-sultadâs 40 pessoas sobre o filme a qu€ aca_bavam de assistir. Os r€sultados obtidos foramosseguinÍes:27 pes'oasgoíaram do fiìme 5homens não gostararn e 12 muÌheÍes gostarâm'A g9Ìência desse cinema deseja distribuir enüEas pessoas consultadas, cinco ingressos paraum próximo filme De quantos modos podeser f;ita essa distribuição, se cadâ pessoâ de-

' \€ Í€ceber no Írniximo um incl€sso e eÌáamentetr€s ingressos devem ser dados a mulheíes quenão gostaram do fillne?

Sôí"Ole qua"to" modos podemos slardar 12 bo---[as distintas em 4 caixas, se a pnmera caxa

deve conter 3 bolas, a 21 cai/.a, 5 bolas, a 3:caixa, 3 bolas e a 4i caixa' I bola?

3Ol 0TA-SP) Uma unì conÉm 12 bolas. dai quairi são Dretas e 5. bÉncas. De quantos modospodemos tiÍar 6 bolas da um4 das quais duâssâo bÉncas?

302 Quantos subconjuntos de 5 cartas, contendo€xatamente 3 ases, podem ser formados de umbaralho de 52 caÍtas?

303 Seis Dessoas, A, B, c, D. E e F. ficam em páuma ao lado ala outra, pala uma fotogÉfia.Se A e B se Íecusam a ficaÍ lado a lado e C eD insisiem em apaÍec€r uma ao lado da ou-tm, detÍmjneo númeÍo de possibilidades di\-tiÍrtas para as s€is pessoas s€ dispor€m.

304 Num examg um prol€lsor dispòede l0ques-rõe( que serâo entregler a um aìuno Saben-do-se que o aluno Ém que resolver 6 quesFes.d€ quantas maneiÍas difeÌentes pode fazer a

a) não houveÍ n€nhuma restriçâo?b) nâo pode r€solÌ€Í simultaneâmente as duas

primeims?c) tem que rcsolveÍ pelo menos cinco das sete

primeims questões?

305 Quantos anagramas da palâvrdPRoBLEMA

a) começam com R?b) começaú com P e terminam com M?

c) começam com vogal?d) termiíam com consoante?

30ótFaaD-SPl Ouanlos anaSÍamas podem seriormados com apalar ra VFS IIBI LAR.emque as 3 Ìeiras V E S, nesta orclem, perman€-

çam juntas?

307 Em urn teste de múltipla€scolha com 12 ques-tões, há 5 alternati\as distintâs, sendo umaúnica coíreta Determine o número de modosdistinlos de ordenar as alteÍrativas de maDeimque a única corÍeÌa não seja nem a primeiranem a última.

308 Com os algarismos I, 2, 3 e 4, sem Íepeti-los'podemos escÍever "x" números maiores que2 400. Det€rmine x

309 ruEG) Calcule de qüântas maneiras podemser disposlaç 4 damas e 4 cavalheiros. numaÍila, de formaqu€ nào Íiquemjuntosdoìsca-valheircs e duas damas.

310 (Unicamp-SP) Numa Koúbi viajam 9 pes-soas, das qüais 4 podem diÍigÍ De quantasmaneiÉs diferentes é possível acomodá-Ìas (3no banco da fÍente, 3 no banco do meio e 3no banco detÍát de forma que uma das 4 quedirigem ocüPe o lugar da direção?

3ll GEt-sP) Formados e drspostos em orclemirescente os números que se obtêm peímutan-do-s€ os algarismos 2, 3, 4, 8 e 9, que lugar ocu-Da o númeÍo 43 892?

Í

'199