Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Números e fuNções

Guia do professor

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

Câmara escura

Objetivos da unidadeMotivar o estudo de relações de proporcionalidade direta e inversa 1. a partir da obser vação de um fenômeno físico.

Guia do professor

SinopseOs alunos, trabalhando em grupo, deverão construir uma câmara escura e tentar descobrir quais as melhores condições para se obter uma imagem com este dispositivo. Inicialmente, fazendo observações fora da sala de aula, os alunos avaliarão quais as condições necessárias para se obter imagens com o dispositivo. A partir dessas observações, pode-se iniciar discussões sobre proporcionalidade direta e inversa.

ConteúdosRazão e Proporção: Proporcionalidade direta; Proporcionalidade inversa; �

Função Afim: Gráfico e coeficientes. �

ObjetivosMotivar o estudo de relações de proporcionalidade direta e inversa a partir 1. da obser vação de um fenômeno físico.

DuraçãoUma aula dupla.

Câmara escura

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Introdução

Propor aos alunos atividades que se diferenciam de uma aula tradicional é, sem dúvida, prazeroso e necessário nos dias de hoje. Procedimentos desse tipo vêm sendo desenvolvidos com certo sucesso. Aqui, propomos aos alunos a confecção, manipulação de objetos, experiências dentro e fora da sala de aula: o objetivo será construir e explorar uma câmara escura de orifício, através da qual obteremos muitas informações e conhecimentos. Além de tornar a aula mais prática e dinâmica, esse trabalho relaciona conceitos matemáticos com os de outras áreas, de forma interdisciplinar, como a ótica geométrica, em Física; a visão, em Biologia; e a história de como se fotografava antigamente. O experimento nos permitirá, também, tratar com os alunos alguns conceitos matemáticos, dentre eles, a proporcionalidade direta e inversa. Este experimento permitirá também que trabalhemos a confecção e o uso de tabelas e gráficos, interpretando-os e obtendo conclusões, habilidades importantes que devem ser adquiridas pelos alunos.

Motivação

A descoberta que levou ao processo fotográfico foi a câmara escura. Alguns historiadores indicam o aparecimento da câmara aproximadamente por volta do século V a.C.. No século XI, a câmara foi utilizada para observar um eclipse solar. Essa câmara era como uma pequena sala, onde as pessoas entravam e, do lado de dentro, onde havia plena escuridão, acompanha-vam a projeção de objetos que se encontravam do lado de fora da câma-ra, iluminados pelo sol. Essa projeção acontecia sobre um tecido branco colocado na parede oposta ao orifício no qual a imagem projetada era invertida em relação à imagem original. Nos séculos seguintes, a câmara escura se tornou comum entre os sábios europeus para a observação de eclipses solares sem que houvesse prejuízo aos olhos. No século XIV, foi utilizada como auxílio nos desenhos e nas pinturas. Os pintores faziam uso de câmaras portáteis, projetando a imagem em uma tela e pintando por cima dela. A fixação da imagem, isto é, a fotografia, só foi possível depois de muitos séculos após o surgimento da primeira câmara escura, no século XVIII. Desde o tempo em que as câmaras escuras eram salas escuras, já eram obtidas boas imagens. Entretanto, qual era o procedimento? É o que vamos tentar descobrir no nosso experimento.

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A fi gura mostra o esquema de uma câmara escura e seu interior. A câmara escura produz uma imagem invertida com relação ao objeto fotografado. O tamanho da imagem depende da distância do objeto ao furo. A câmara escura de orifício utiliza o princípio de propagação retilínea da luz para formar imagens em anteparos. A imagem é formada pela luz refl etida pelo objeto, que passa pelo orifício e atinge a face oposta à face do orifício. O orifício seleciona a luz que chega à face oposta, de tal forma que, de todos os raios de luz que saem de um ponto do objeto, o orifício deixa passar somente um, produzindo-se então um ponto na face oposta iluminado por aquele raio.

Na fi gura, AB representa o objeto, CD representa a imagem e P representa o orifício. Os dois triângulos APB e CPD são semelhantes.

O experimento

Comentários iniciais

O desenvolvimento deste experimento se dá em dois momentos. Um deles é a confecção da câmara escura, o que por si só já é enriquecedor, uma vez que propicia ao aluno a aquisição de habilidades de manuseio, observação e percepção, além de transportá-lo a uma realidade diferente: como seria uma câmara fotográfi ca? A construção de uma delas é apresentada na primeira etapa. Depois, na segunda etapa, há uma exploração da câmara construída: a observação, as conclusões e a descoberta da matemática ali presente.

Etapa 1 Construção da câmara escura

É importante que a classe seja dividida em grupos, no mínimo de três alunos, pois eles terão muitas tarefas diferentes para realizar simultaneamente. Os alunos podem usar uma caixa, tipo a de sapatos com tampa, ou, se for possível, construir uma caixa antecipadamente. A câmara deve ser confeccionada com todo o cuidado para que nela não haja frestas que permitam a entrada da luz. O orifício no papel deve ser muito pequeno, feito com uma ponta de alfi nete, por exemplo. Após a confecção, os alunos podem testar a câmara, observando objetos que estão iluminados de preferência com luz natural. Verão que a imagem obtida desses objetos é invertida.

fig. 1

A

A

P

D

D

C

C

B

Bfig. 2

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Fechamento

Após a coleta de dados obtidos na Etapa 2, os alunos deverão representar os pontos em dois sistemas de eixos cartesianos: um relativo a To ×Do e outro relativo a To ×De. O objetivo é que os alunos reflitam sobre uma possível curva que se ajuste a cada um dos conjuntos de pontos obtidos. As tabelas 1 e 2 retratam os dados ideais obtidos para o experimento, dada uma determinada câmara construída. Seja paciente com a falta de precisão dos dados, porque isso acontece em muitos experimentos.

Análise das representações gráficas

Caso relativo à Tabela 1Com a finalidade de uma análise em conjunto com a classe, um dos grupos deverá ser escolhido para expor na lousa os dados obtidos na Tabela 1 e a representação gráfica dos pontos correspondentes. Estes últimos deverão ser colineares e, é claro, alguns pontos podem estar representados apenas próximos à reta ao invés de ter uma representação na reta, já que são comuns os erros obtidos na medição e nos arredondamentos dos cálculos. A figura mostra a tabela 1 com esses dados e a representação gráfica correspondente.

Etapa 2 Exploração com a câmara

É conveniente que esta etapa do experimento seja realizada fora da sala de aula. Os alunos devem, é claro, levar para lá o material necessário: fita métrica, tiras de cartolina, caderno e lápis para anotações. O principal objetivo é a construção de tabelas usando os dados das coletas de medidas, para posterior obtenção de duas relações algébricas. A primeira delas será feita utilizando uma tira de cartolina em cada vez. Os alunos se afastam ou se aproximam da caixa, obtendo, assim, para cada tira, a distância Do do objeto à caixa, a fim de que a imagem se enquadre no anteparo, ou seja, fique igual a Te. A relação algébrica, como será visto no fechamento, é do tipo Do = aTo, onde a é uma constante positiva que depende da câmara construída pelo grupo. Da mesma maneira, na segunda relação, os alunos utilizarão uma tira de cada vez, mas, nesse caso, o anteparo é aproximado ou afastado do orifício da câmara, obtendo, assim, para cada tira, a relação entre sua medida e a distância De entre o anteparo e o orifício. Essa relação é do tipo De = a/To

De = a/ToDe = a/ToDe = a/To,

onde a é uma constante positiva que depende da câmara construída pelo grupo. É bom orientar os alunos sobre o cuidado que devem ter com as posições corretas dos objetos, anteparo, tiras e nas próprias medições, bem como com os objetos usados na sua obtenção. Essa orientação é importante, pois quanto mais precisa for a medida, mais chance terá o experimento de fornecer as relações algébricas procuradas.

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Obtenção da relação matemática entre To e Do

A fi gura a seguir mostra uma representação da situação da IlustraçÃo 1. Observe que os triângulos ABP e CDP são semelhantes. Note também que, a partir disso, as alturas Do e De dos respectivos triângulos estão na mesma razão de semelhança. Logo, vale a relação

To

Te

=Do

De,

isto é,

Do =

De

Te

To

.

Percebemos que essa última expressão relaciona Do com o produto de To com a constante De/To da câmara construída pelo aluno. Essa relação entre os valores To eDo caracteriza uma proporcionalidade, mais especifi -camente, uma proporcionalidade direta.

Relação entre as grandezas To e Do

Após a representação gráfi ca dos pontos coletados, os alunos devem refl etir sobre qual curva conhecida se aproxima mais dos dados coletados e, intuitivamente, representá-la no gráfi co, que já deve estar com a repre-sentação dos pontos coletados. Convém lembrar que, devido às possíveis imprecisões nas medições, a curva poderá não passar por todos os pontos, mas apenas se aproximar deles. É interessante que se discuta esse fato com os alunos. A seguir, vamos identifi car essa curva usando conceitos matemáticos.

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Do

fig. 3 fig. 4

A

PDoTo TeDe

D

C

B

Te = 5 cm De = 15 cm

Proporcionadade inversa → Do = 3To

To (cm) Do (cm)

10 30

15 45

20 60

25 75

30 90

35 105

40 120

45 135

50 150

55 165

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Proporcionalidade direta e fator de proporcionalidadeDada uma proporcionalidade direta x → y , o número a, que indica o valor de y correspondente a x = 1, é chamado fator de proporcionalidade. Então, pela definição anterior, obtemos que o valor y correspondente a x = x · 1 é a · x. Assim, destacamos:Se x → y é uma proporcionalidade direta, existe uma constante a positiva, chamada fator de proporcionalidade, tal que y = ax para todo x. A recíproca é imediata: se existe uma constante a positiva tal que y = ax, para todo x, então x → y é uma proporcionalidade direta. Então, a definição de grandezas diretamente proporcionais também pode ser dada por:

Duas grandezas são diretamente proporcionais se existe uma constante a positiva tal que y = ax, para todo x > 0.

Representação gráfica de uma proporcionalidade diretaA seguir, veremos que um conjunto de pontos cujas coordenadas são diretamente proporcionais pertencem a uma reta. Consideremos os pontos P1, P2 e P3 três pontos nessas condições, ou seja, P1 = (x1, ax1), P2 = (x2, ax2) e P3 = (x3, ax3), onde a é a constante de proporcionalidade. Vamos supor, sem perda de generalidade, que x1 < x2 < x3. Temos:

P1P2 =

(x1 − x2)2 + a2(x1 − x2)2 = (x1 − x2)√1− a2

P2P3 =

(x2 − x3)2 + a2(x2 − x3)2 = (x2 − x3)√1− a2

P1P3 =

(x1 − x3)2 + a2(x1 − x3)2 = (x1 − x3)√1− a2

Daí, obtemos P1P2 + P2P3 = P1P3, ou seja, P1, P2 e P3 são coli-neares.

Proporcionalidade Direta

Duas grandezas são diretamente proporcionais se existe uma correspon-dência x → y , que associa a cada valor x de uma delas um valor bem determinado y da outra, de tal modo que seja válida a seguinte condição: Se a um valor xo corresponde o valor yo e c é um número qualquer positivo, então o valor que corresponde a cxo é cyo. Em símbolos mate-máticos, se xo → yo então cxo → cyo. Essa correspondência é chamada proporcionalidade direta.

Para verificar que uma correspondência é uma proporcionalidade direta, basta verificar a validade da condição dessa definição para o caso em que c é um número natural e verificar que, quanto maior for x, maior será y, ou, em símbolos matemáticos, se x → y e x → y, então x < x implica y < y. Essas afirmações decorrem do Teorema Fundamental da Proporcio-nalidade, cujo enunciado é o seguinte.

Teorema Fundamental da ProporcionalidadeSe f : R+ → R+ é uma função crescente tal que f(nx) = n · f(x) para todo x ∈ R+ e todo n ∈ N, então f(cx) = c · f(x) para quaisquer x e c em R+. A demonstração desse teorema se encontra na pág. 16 do livro Temas e Problemas.

Definição

Curiosidade Observação

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Voltando ao experimentoObservamos que no experimento as variáveis To e Do são relacionadas por

Do =

De

Te

To,

onde De/Te é uma constante. Assim, a correspondência entre To e Do é uma propor cionalidade direta, com fator de proporcionalidade De/Te, que, no caso dos dados obtidos, é igual a 3. É esperado que, considerando as possíveis imprecisões nas medições, os pontos da representação gráfi ca feita pelos alunos estejam próximos de uma reta passando pela origem e com inclinação igual ou próxima a 3.

Função afi mO professor pode aproveitar a oportunidade para introduzir aos alunos o conceito de função afi m. Adicionando uma constante b à segunda coordenada de cada ponto do gráfi co de uma função linear, obtemos uma translação desse gráfi co, de b unidades na direção do eixo dos y. O conjunto de pontos obtidos por essa translação é uma nova reta, paralela à primeira e, portanto, com coefi ciente angular também igual a a e que intersecciona o eixo dos y no ponto (0, b) . Essa reta representa o gráfi co de uma função chamada função afi m.

Uma função f : R → R é chamada função afi m se, para todo x ∈ R, o valor f(x) é dado por f(x) = ax+ b, onde a e b são constantes.

A constante b = f(0) é chamada valor inicial e o coefi ciente a é chamado a taxa de variação de f.

Da mesma maneira como feito para uma proporcionalidade direta, podemos constatar que o gráfi co de uma função afi m é uma reta.

Inclinação e coefi ciente linearA reta que contém os pontos P1, P2 e P3 passa pela origem. Sua inclinação em relação ao eixo x, ou seja, o seu coefi ciente angular, é dada pela tangente do ângulo que ela forma com esse eixo. Assim, se tomamos P1 = (x1, ax1) e P2 = (x2, ax2), obtemos o coefi ciente angular da reta dado por

(ax2 − ax1)

x2 − x1

=a(x2 − x1)

x2 − x1

= a.

Como a é positivo, os pontos que satisfazem a proporcionalidade y = ax constituem a parte dessa reta no primeiro quadrante do plano cartesiano. Essa reta representa o gráfi co de uma função linear.

Uma função f : R → R é chamada função linear se, para todo x ∈ R, o valor f(x) é dado por f(x) = ax, onde a é uma constante real.

fig. 5

Defi nição

Defi nição

Observação

x

P1ax1

ax2 P2

ax2 – ax1

x2 – x1

x1

y

x2

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Obtenção da relação matemática entre To e De

Novamente, da semelhança entre os triângulos ABP e CDP , obtemos

To

Te

=Do

De

,

isto é,

De =(Te ·Do)

To

.

Diferentemente da relação obtida no primeiro caso, essa expressão mostra que o produto das grandezas To e De é igual à constante Te ·Do da câmara construída pelo grupo.

Proporcionalidade inversa

Duas grandezas são inversamente proporcionais se existe uma corres-pondência x → y que associa, a cada valor x de uma delas, um valor bem determinado y da outra, de tal modo que seja válida a seguinte condição: Se a um valor x0 corresponde o valor y0 e c é um número qualquer positivo, então o valor que corresponde a cx0 é y0/c.

A

PDoTo TeDe

D

C

B

Caso relativo à TaBela 2Como no caso anterior, a tabela 2 e o gráfi co correspondente deverão ser analisados. O propósito é encontrar uma expressão que relacione as grandezas To e De. A fi gura mostra a tabela 2 com os dados obtidos na segunda coleta e a representação gráfi ca correspondente.

Qual é a curva para esse caso? Lembramos novamente que, devido às possíveis imprecisões nas medições, alguns pontos apenas se aproximarão da curva. Novamente, é interessante que esse fato seja discutido com os alunos. Vamos identifi car a curva usando conceitos matemáticos.

Defi nição

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To

De

��.�� ��.�� ��.�� ��.�� ��.�� ��.�� ��.�� ��.�� ��.�� ��.��

fig. 6

fig. 7

To (cm) 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

De (cm) 25.00 16.60 12.50 10.00 8.33 7.14 6.25 5.55 5.00 4.54

Te = 5 cm Do = 50 cm

Proporcionadade inversa → De =250

To

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Representação gráfi ca de uma proporcionalidade inversaInforme aos alunos que a curva que passa pelos pontos (x, y) tais que y = a/x, com x ∈ R+ e a é uma constante positiva, é um ramo da curva denominada hipérbole. Um estudo das cônicas, que inclui as hipérboles, é feito em Geometria Analítica na terceira série do Ensino Médio.

Proporcionalidade e regra de trêsA regra de três é um processo prático que o professor pode apresentar aos alunos a partir do que foi visto. Dada uma proporcionalidade tal que y1 = ax1 e y2 = ax2, ou tal que y1 = a/x1 e y2 = a/x2 , e conhecidos três dos números x1, x2, y1 e y2, calculamos o quarto desses números. No caso da proporcionalidade direta temos y1/x1 = y2/x2. Assim, com essa proporção, podemos obter um dos números x1, x2, y1 e y2 quando três são conhecidos. No caso da proporcionalidade inversa, temos y2/y2 = x1/x2. Assim, a regra de três inversa consiste em, a partir de três dos valores x1, x2 , y1 e y2 e conhecidos, calcularmos o quarto desses números usando a proporção y2/y2 = x1/x2.

Em símbolos matemáticos, se x0 → y0 então cx0 → y0/c. Essa correspondência é chamada de proporcionalidade inversa.

De forma análoga à proporcionalidade direta, para verifi car que uma correspondência é uma proporcionalidade inversa, basta verifi car a validade da condição dessa defi nição para o caso em que c é um número natural. É necessário também verifi car que quanto maior for x, menor será y , ou, em símbolos matemáticos, se x → y e x → y, então x < x implica y > y .

Proporcionalidade inversa e fator de proporcionalidadeDada uma proporcionalidade inversa x → y, o número a, que indica o valor de y correspondente a x = 1, é chamado fator de proporcionalidade. Então, pela defi nição anterior, obtemos que o valor y correspondente a x = x · 1 é 1/x × a = a/x. Assim, destacamos: Se x → y é uma proporcionalidade inversa, existe uma constante a positiva, chamada fator de proporcionalidade inversa, tal que

y =a

x,

para todo x. A recíproca também é válida: se existe uma constante a positiva tal que y = a/x para todo x, então x → y é uma proporcionalidade inversa x → y. Então, a defi nição de grandezas inversamente proporcionais também pode ser dada por:

Duas grandezas são inversamente proporcionais se existe uma constante a positiva tal que y = a/x, para todo x.

Defi nição

y

x

fig. 8

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Nela vemos que a imagem do polígono ABCDE aparece invertida no anteparo e as pirâmides OABCDE e OABC DE são semelhantes com razão de semelhança igual a

AO

AO=

BO

BO=

C O

CO=

DO

DO=

E O

EO.

Os dois polígonos são semelhantes e, devido à posição em que se encontram, são homotéticos, com razão de homotetia (inversa) igual a −AO/AO, sendo que o centro da homotetia é o ponto O, o orifício da câmara. Veja mais sobre esse assunto, por exemplo, em [Rezende e Queiroz]. Também, sob um aspecto interdisciplinar, pode ser explorado como é o processo de formação de imagens, o caminho do raio de luz e a imagem que se forma na retina do olho.

Bibliografi a

ÁVIla, G.. Ainda sobre a regra de três. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n.9, p.1-9, 1986.

LIma, E. L. Que são grandezas proporcionais? Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n.9, p.21-29, 1986.

LIma, E. L; CarValHo, P. C. P.; WaGNer, E.; MorGaDo, A. C. QA. C. Temas e Problemas. 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2003. (Coleção do Professor de Matemática). Disponível em <http://www.ensinomedio.impa.br/materiais>. Acesso em: 23 março 2009.

ReZeNDe, E. Q. F.; QueIroZ, M. L. B. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. 2ª ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2008.

Sugestão ao professorExplorar problemas práticos em que se utiliza a regra de três. Ver Temas e Problemas, p. 18-20. Explorar exemplos em que aparecem grandezas que não são nem dire-tamente proporcionais, nem inversamente proporcionais. Desenvolver a teoria de grandeza proporcional em várias outras. Ver Temas e Problemas, p. 10-12.

Variações

Este experimento pode abordar também outros temas, a saber:Introdução ao conceito de função ao obter a dependência entre as variáveis �

To e Do, ou entre To e De apresentadas no experimento;Introdução à geometria analítica no estudo das equações das retas e na �

introdução às cônicas, especifi camente às hipérboles;Introdução ao conceito de semelhança de fi guras espaciais, assim como �

homotetia.

Quanto a essa última abordagem, apresentamos algumas sugestões.Considere a fi gura:

fig. 9

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorasClaudina Izepe Rodrigues, Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráficoPreface Design