Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Quantos peixes há no lago?

Objetivos da unidadeIntroduzir um método que permite estimar o tamanho de uma deter minada população.

Análise de dAdos e probAbilidAde

O experimento

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

O experimento

SinopseNeste experimento, seus alunos aprenderão um procedimento simples que permite estimar o tamanho de populações como, por exemplo, a de peixes em um lago. Esta é uma ótima oportunidade para dar início ao estudo de Estatística, assunto normalmente pouco visto nos Ensinos Fundamental e Médio.

ConteúdosEstatística, Estimação; �

Razão e Proporção, Proporcionalidade Direta. �

Objetivos da unidadeIntroduzir um método que permite estimar o tamanho de uma determinada população.

DuraçãoUma aula simples.

Quantos peixes há no lago?

Quantos peixes há no lago? O Experimento 2 / 7

Introdução

Em Estatística, há alguns procedimentos que permitem estimar o tamanho de popu­lações. Com eles, podemos, por exemplo, tentar descobrir quantos peixes há em uma certa lagoa. Há muito tempo os estudiosos buscavam um método matemático que desse conta desse problema. No século XVIII, o matemá­tico francês Laplace procurou desenvolver uma metodologia para estimar a dimensão de populações. Contudo, provavelmente, Petersen foi o primeiro que, no final do século XIX, querendo estimar o número de peixes do Mar Báltico, desenvolveu o método que analisaremos neste experimento.

O método de Petersen utiliza o modelo de captura­recaptura, que consiste, inicial­mente, em tirar uma amostra de indivíduos da população que queremos estudar. Estes indivíduos são então marcados e devol­vidos à área de estudo para que se integrem novamente à população de interesse. Posteriormente, outra amostra é retirada. Na segunda amostra, observamos o número de indivíduos marcados dentre os captu­rados. Este processo de devolução dos indivíduos e retirada de novas amostras se repete um certo número de vezes. Utilizando uma simples relação entre as proporções dos indivíduos marcados na população e os indivíduos marcados na última amostra, podemos estimar a dimensão da população desejada. Esse método costuma ser utilizado em situações nas quais o acesso aos indiví duos é limitado. Neste experimento, utilizamos o caso de peixes em um lago, mas uma outra possibilidade seria a marcação de pássaros em um bando ou formigas em um formigueiro.

Quantos peixes há no lago? O Experimento 3 / 7

O Experimento

Material necessário

Um recipiente opaco � (caixa de sapato, por exemplo);Folhas de papel A4 � (ou folhas de caderno);Régua; �

Tesoura. �

Preparação

Promova uma discussão perguntando aos seus alunos se eles acham que é possível estimar a quantidade de peixes em um lago e como isso pode ser feito. Algumas ideias interessantes podem aparecer. Depois disso, divida a classe em grupos de 3 alunos e dê algumas folhas de papel A4 para eles.

Coleta de dados

Antes de iniciar esta etapa, cada grupo deverá fazer os seguintes procedimentos:Quadricular algumas folhas de papel A4 �

com quadradinhos de 2 cm de lado e recortá­los (deve­se fazer entre 300 e 900 quadradinhos);Colocar os quadradinhos dentro de �

uma caixa, que deve conter o nome do grupo;Registrar e guardar em segredo o número �

de quadradinhos que a caixa possui, de modo que os outros grupos não vejam;Trocar as caixas entre os grupos. �

fig. 1

etapa

1

Quantos peixes há no lago? O Experimento 4 / 7

Cálculos

Nesta etapa é que seus alunos de fato farão a estimativa. Inicialmente, eles apenas aplicarão a fórmula dada abaixo. Depois, eles verificarão sua validade e poderão se convencer de que está certo fazer este tipo de estimativa. Eles verificarão que a proporção de peixes pintados observados em cada amostra tende para a proporção de peixes pintados no lago. Portanto, a seguinte relação pode ser utilizada:

Feito isso, os grupos estão prontos para iniciar a coleta de dados. Cada quadradinho que está na caixa vai simbolizar um peixe dentro de um lago. Nosso objetivo é estimar a quantidade de indivíduos que o meio possui sem contá­los um a um, já que isto não é possível em um lago de verdade. Para simular o método de estimação, os alunos devem se colocar no lugar de um pesquisador que consegue capturar 20 peixes por dia e que se dedicará por uma semana para realizar esse processo. Deste modo, eles coletarão 7 amostras de 20 indivíduos cada, preenchendo a tAbelA 1 da seguinte maneira: Antes de cada captura, deve­se anotar quantos peixes pintados há no lago. Na primeira amostra coletada, eles devem pintar todos os quadradinhos (dos dois lados para facilitar sua leitura posterior) e devolvê­los à caixa. Nas coletas seguintes, deve­se contar e anotar quantos peixes pintados foram capturados, pintar os demais e devolvê­los à caixa. Importante: antes de cada captura, deve­se embaralhar os quadra­dinhos muito bem, a fim de representar mais fielmente o comportamento de peixes em um lago. A seguir, encontra­se uma tabela com um exemplo.

O motivo em fazer várias ºcoletas é que, quanto maior for a amostra de peixes pintados no lago, melhor nossa estimativa ficará.

Professor, lembre-se ºde que nas capturas há possibilidade de não se retirar nenhum peixe previamente marcado. Não há problema caso isso ocorra.

Os dados da º tabela 1 foram baseados em um experimento em que havia 420 peixes no lago.

Captura Total de pintados no lago

Amostra Pintados na amostra

1 0 20 0

2 0 + 20 = 20 20 2

3 20 + 18 = 38 20 2

4 38 + 18 = 56 20 2

5 56 + 18 = 74 20 3

6 74 + 17 = 91 20 4

7 91 + 16 = 107 20 5

tabela 1 Registro de dados das coletas

etapa

2

Quantos peixes há no lago? O Experimento 5 / 7

Peça para que os grupos donos das caixas digam o valor real de peixes que havia nelas. Será que os alunos chegaram perto desse valor? E agora que os grupos já sabem o valor correto de peixes no lago, peça para que preencham a última coluna da tabela. Eles poderão verificar que uma proporção (de pintados na amostra) tende à outra (de pintados no lago) através da construção de um gráfico contendo a evolução das duas proporções em função das capturas reali­zadas. Observemos que, em nosso exemplo, a proporção de peixes pintados na última amostra (0,25) é próxima da proporção de peixes pintados no lago (aproximada­mente 0,2548).

Total de pintados no lagoTotal de peixes no lago

Pintados na amostraTamanho da amostra

Total de pintados no lago

Total de peixes no lago≈ Pintados na amostra

Tamanho da amostra

ou seja,

N̂ ≈ Total de peixes pintados no lago

Proporo de pintados na amotra Total de peixes pintados no lago

Proporção de pintados na amostraTotal de pintados no lago

Total de peixes no lago≈ Pintados na amostra

Tamanho da amostra (*)

onde N é o número total de peixes no lago.

Peça para seus alunos preencherem as duas colunas centrais da tAbelA 2, exempli­ficada a seguir. Para o cálculo da estimativa, eles devem usar a fórmula anterior. Pelo nosso exemplo, podemos perceber que a última captura foi a que nos permitiu fazer a melhor estimativa. Pode­se dizer que quanto maior o número de amostras coletadas, mais próxima do total real de peixes (que no exemplo dado eram 420) a estima tiva ficará e mais certeza podemos ter de que ela é boa. Portanto, seus alunos devem utilizar a última estimativa como mais válida.

fig. 2Captura Proporção

de pintados na amostra

Estimativa (N) Proporção de pintados no lago

1 0 ­ 0

2 0,1 200 0,05

3 0,1 380 0,09

4 0,1 560 0,13

5 0,15 493 0,18

6 0,2 455 0,22

7 0,25 428 0,25

tabela 2 Registro de cálculos realizados.

Os dados da º tabela 2 foram baseados na tabela 1.

Quantos peixes há no lago? O Experimento 6 / 7

Fechamento

Podemos iniciar o FeCHAMento deste experimento com um comentário sobre o gráfi co que eles fi zeram. Normalmente, através do gráfi co podemos perceber que a proporção de peixes pintados na amostra se mantém próxima da proporção de peixes pintados no lago. De fato, em média, a proporção de peixes pintados na amostra é igual à proporção de peixes pintados no lago até esse momento, qualquer que seja este valor. Nesse sentido, a estimativa proposta no experimento para N pode ser considerada uma boa estimativa. Também seria interessante que fosse discutido com seus alunos que o resultado do experimento seria mais preciso se o tamanho de cada amostra fosse maior. Isso porque, dessa maneira, a proporção de indivíduos marcados na amostra se aproxima mais ainda da proporção de indivíduos marcados na população inteira e, assim, obtemos um erro menor na estimativa. Contudo, foram escolhidas amostras relativamente pequenas para podermos nos aproximar mais da realidade de uma população muito maior do que a da amostra, como a população de uma certa espécie em um lago ou em outro habitat. Mas, mesmo com um tamanho de amostra não muito grande, veja que é possível obter uma boa aproximação.

Podemos perceber por esse gráfi co que as proporções fl utuam uma em torno da outra. Parece então ser razoável utilizar a fórmula (*) para obter uma estimativa de N .

�

�

�,��

�,�

�,��

�,�

�,��

�,�

� � � � � �

Proporção de pintados da amostra

Proporção de pintados no lago

Evolução das proporções

Proporção

Captura

fig. 3 Gráfi co

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorasClaudina Izepe Rodrigues e Laura Letícia Ramos Rifo

Coordenação de redaçãoRita Santos Guimarães

RedaçãoFelipe Mascagna Bittencourt Lima

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina BonturiLíngua PortuguesaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto