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GeometriaPlana e Espacial

Um Estudo Axiomático

300 exercícios propostosMais de 400 ilustrações

150 exemplos

João Roberto GerônimoValdeni Soliani Franco

Geometria Plana e Espacial

Um Estudo Axiomático

João Roberto GerônimoValdeni Soliani Franco

fevereiro de 2006

Maringá – PR

Apresentação

Neste trabalho temos como objetivo apresentar um estudo axiomático da geometria euclidiana plana e espacial. Ele está escrito em termos de geometria clássica, mas utilizando uma linguagem moderna e com um certo rigor nas demonstrações.

Salientamos que na Geometria Espacial, admitiremos todos os resultados obtidos na Geometria Plana.

O texto está dividido em 16 capítulos sendo que o primeiro capítulo é introdutório, os capítulos de 2 a 9 tratam da geometria plana e os capítulos de 10 a 16 tratam da geometria espacial. Mais especifica-mente, no Capítulo 1, apresentamos uma introdução histórica onde justificamos a abordagem escolhida para o texto. No Capítulo 2, estuda-mos os primeiros axiomas e seus principais resultados na geometria plana. No Capítulo 3, apresentamos os axiomas sobre medidas de segmentos e ângulos. No Capítulo 4, estudamos a congruência entre triângulos. No Capítulo 5, tratamos do principal axioma da Geometria Euclidiana, que por mais de dois mil anos acreditaram que era conseqüência dos outros axiomas.

No Capítulo 6, tratamos de áreas de regiões poligonais. No Capítulo 7, estudamos os casos de semelhança em triângulos e como consequência o Teorema de Tales. No Capítulo 8, estudamos as propriedades da circunferência e do círculo. No Capítulo 9, estudamos as relações métricas existentes nos triângulos. No Capítulo 10, apresen-tamos os primeiros axiomas e seus principais resultados relativos ao espaço euclidiano. No Capítulo 11, estudamos as relações de paralelis-mo entre retas e planos e entre planos e planos. No Capítulo 12, estudamos as relações de perpendicularismo entre retas e planos e entre planos e planos. No Capítulo 13, utilizamos as relações de perpendicularismo e paralelismo para definir distâncias, ângulos, diedros e triedros. No Capítulo 14, definimos poliedros e classificamos os

poliedros regulares e os de Platão. No Capítulo 15, estudamos a esfera e suas propriedades. Para finalizar, no Capítulo 16, estudamos áreas e volumes de figuras geométricas espaciais.

No Apêndice A apresentamos um pequeno relato sobre a obra “Os Elementos” de Euclides.

No Apêndice B indicamos uma página na internet com a resolução dos exercícios propostos no livro em formato PDF. Deixamos também disponibilizados as figuras encontradas no texto. Para resolver estes exercícios contamos com a colaboração inicial dos ex-acadêmicos Ademir Pastor Ferreira, Vânia Batista Marinho e Waldir Soares Júnior.

Neste texto empregamos uma linguagem contemporânea onde falamos de conjuntos, relações e funções, conceitos que, a priori, não precisam ser compreendidos de forma mais aprofundada, mas utilizando apenas o conhecimento do Ensino Médio. Estes conceitos podem ser vistos com detalhes em [2].

Gostaríamos de registrar nossos agradecimentos aos alunos das turmas de 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004 e 2005 do curso de matemática da UEM e ao professor Marcelo Escudeiro Hernandes, pelas sugestões apresentadas. Queremos agradecer também aos alunos de Especialização em Matemática da UEMS – Dourados – MS, pelas sugestões e correções feitas nos capítulos relacionados a Geometria Plana.

Maringá, 15 de fevereiro de 2006

Índice

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO...........................................................1

CAPÍTULO 2: INCIDÊNCIA E ORDEM NO PLANO....................4

2.1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA.............................................................42.2. AXIOMAS DE ORDEM....................................................................42.3. ORDENANDO UMA RETA...............................................................42.4. POLÍGONOS....................................................................................42.5. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 3: SEGMENTOS, ÂNGULOS E MEDIDAS................4

3.1. MEDIDAS DE SEGMENTOS.............................................................43.2. MEDIDAS DE ÂNGULOS.................................................................43.3. CONGRUÊNCIA DE SEGMENTOS E ÂNGULOS.................................43.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 4: CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS......................4

4.1. O CASO LAL................................................................................44.2. O CASO ALA................................................................................44.3. O CASO LLL.................................................................................44.4. O CASO LAAO...............................................................................44.5. O CASO LLA...............................................................................44.6. EXISTÊNCIA DE PERPENDICULARES E PARALELAS.......................44.7. DISTÂNCIA DE PONTO A RETA E DESIGUALDADE TRIANGULAR. .44.8. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 5: AXIOMA DAS PARALELAS....................................4

5.1. O AXIOMA DAS PARALELAS.........................................................45.2. TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS..................................................45.3. TEOREMA DAS PARALELAS...........................................................45.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 6: REGIÕES POLIGONAIS E ÁREAS........................4

6.1. REGIÕES POLIGONAIS...................................................................46.2. ÁREAS...........................................................................................46.3. TEOREMA DE PITÁGORAS..............................................................46.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 7: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS E O TEOREMA DE TALES........................................................................4

7.1. SEQUÊNCIAS PROPORCIONAIS.......................................................47.2. TEOREMA DE TALES......................................................................47.3. SEMELHANÇA................................................................................47.4. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 8: CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO...........................4

8.1. TANGENTES...................................................................................48.2. ÂNGULO INSCRITO........................................................................48.3. PERÍMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA.........................................48.4. ÁREA DE UM CÍRCULO..................................................................48.5. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 9: TRIGONOMETRIA...................................................4

9.1. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.......................................................49.2. RELAÇÃO FUNDAMENTAL.............................................................49.3. AMPLIANDO O DOMÍNIO...............................................................49.4. LEI DOS COSSENOS.......................................................................49.5. LEI DOS SENOS..............................................................................49.6. EXERCÍCIOS...................................................................................4

CAPÍTULO 10: INCIDÊNCIA E ORDEM NO ESPAÇO................4

10.1. AXIOMAS DE INCIDÊNCIA...........................................................410.2. DETERMINAÇÃO DE PLANOS.......................................................410.3. AXIOMA DE ORDEM....................................................................410.4. ÂNGULOS ENTRE RETAS.............................................................410.5. EXERCÍCIOS.................................................................................4

CAPÍTULO 11: PARALELISMO NO ESPAÇO E SUAS CONSEQÜÊNCIAS...............................................................................4

11.1. PARALELISMO ENTRE RETAS E PLANOS......................................411.2. PARALELISMO ENTRE PLANOS....................................................411.3. TEOREMA DE TALES....................................................................411.4. EXERCÍCIOS.................................................................................4

CAPÍTULO 12: PERPENDICULARISMO NO ESPAÇO E SUAS CONSEQÜÊNCIAS................................................................................4

12.1. PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS E PLANOS..........................412.2. PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS........................................412.3. EXERCÍCIOS.................................................................................4

CAPÍTULO 13: PROJEÇÕES, DISTÂNCIAS, ÂNGULOS, DIEDROS E TRIEDROS......................................................................4

13.1. DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO..................................................4

Índice

13.2. DISTÂNCIA ENTRE RETAS REVERSAS.........................................413.3. ÂNGULO ENTRE PLANOS E ENTRE RETA E PLANO......................413.4. DIEDROS......................................................................................413.5. TRIEDROS....................................................................................413.6. EXERCÍCIOS.................................................................................4

CAPÍTULO 14: POLIEDROS..............................................................4

14.1. FIGURAS POLIÉDRICAS................................................................414.2. SUPERFÍCIES POLIÉDRICAS..........................................................414.3. POLIEDROS..................................................................................414.4. FÓRMULA DE EULER...................................................................414.5. POLIEDROS DE PLATÃO...............................................................414.6. POLIEDROS REGULARES..............................................................414.7. EXERCÍCIOS.................................................................................4

CAPÍTULO 15: SUPERFÍCIE ESFÉRICA E ESFERA...................4

15.1. CONCEITO E PROPRIEDADES.......................................................415.2. DETERMINAÇÃO DE UMA SUPERFÍCIE ESFÉRICA........................415.3. POSIÇÕES RELATIVAS.................................................................415.4. SUPERFÍCIE ESFÉRICA E SUAS PARTES........................................415.5. EXERCÍCIOS.................................................................................4

CAPÍTULO 16: ÁREAS E VOLUMES...............................................4

16.1. AXIOMAS.....................................................................................416.2. PRISMA........................................................................................416.3. PIRÂMIDE....................................................................................416.4. CILINDRO....................................................................................416.5. CONE...........................................................................................416.6. ESFERA........................................................................................416.7. EXERCÍCIOS.................................................................................4

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................4

APÊNDICE A: O LIVRO “OS ELEMENTOS” DE EUCLIDES.....4

Apêndice B: Resolução dos Exercícios...................................................4

ix

Capítulo 1: Introdução

A geometria1 surgiu há aproximadamente 4.000 anos no Egito e na Babilônia, de uma maneira intuitiva, não sistemática, com uma série de regras práticas sugeridas pela experiência, objetivando principalmente aplicações às medições. De fato, as relações desta sociedade, baseadas na propriedade, impuseram a necessidade de medir.

Por outro lado, a geometria com um caráter dedutivo, apoiado em proposições gerais, teve seu início na antiga Grécia, com Tales de Mileto2 e Pitágoras3.

Mas foi Euclides4, na sua famosa obra Os Elementos (Ver Apêndice A), o primeiro a apresentar um sistema axiomático para a geometria, ou seja, um sistema formado por noções primitivas, definições, axiomas e teoremas. Os axiomas são o começo dessa cadeia dedutiva e são as afirmações não demonstradas, que Euclides chamou de postulado (aquilo que não se pode). Euclides procurou escolher como postulados e afirmações que, por sua simplicidade, seriam aceitas por qualquer pessoa de bom senso e que eram, em um certo sentido, evidentes por si mesmas.

1 Palavra de origem grega: “geo” significa “terra” e “metria” significa “medida”.

2 Tales de Mileto nasceu por volta de 624 a.C. em Mileto, Ásia Menor (atualmente Turquia) e morreu por volta de 547 a.C. em Mileto. Tales de Mileto foi o primeiro filósofo grego, cientista e matemático conhecido. A ele é creditado cinco teoremas da geometria elementar [].

3 Pitágoras de Samos nasceu por volta de 569 a.C. em Samos, Ionia e morreu por volta de 475 a.C. Pitágoras foi um filósofo grego que fez importantes descobertas na matemática, astronomia e na teoria musical. O teorema hoje conhecido como Teorema de Pitágoras era conhecido pelos Babilônios 1000 anos atrás mas ele foi o primeiro a demonstrá-lo [].

4 Euclides de Alexandria nasceu por volta de 325 a.C. e morreu por volta de 265 a.C. em Alexandria, Egito. Euclides é o mais notável matemático da antigüidade. Foi mais conhecido pelo tratado sobre geometria denominado Os Elementos [].

Acontece que os quatro primeiros postulados de Euclides, enunciados a seguir satisfazem essas condições de simplicidade e evidência, mas o quinto nem tanto, como vocês poderão perceber. 1. Dois pontos determinam uma reta.2. A partir de qualquer ponto de uma reta dada é possível

marcar um segmento de comprimento arbitrário.3. É possível obter uma circunferência com qualquer

centro e qualquer raio.4. Todos os ângulos retos são

iguais.5. Se uma reta r corta duas outras

retas5 s e t (no mesmo plano) de modo que a soma dos ângulos interiores ( e ) de um mesmo lado de r é menor que dois retos, então s e t , quando prolongadas suficientemente, se cortam daquele lado de r.

s

t

r

O próprio Euclides deve ter considerado o quinto postulado pouco evidente, tanto que ele retardou o quanto possível o uso deste postulado. Já na Antigüidade, Proclus6 não aceitava o quinto postulado, pois achava que este poderia ser demonstrado a partir dos conceitos básicos da obra euclidiana, sendo, portanto, na realidade um teorema. Mas a maior parte das tentativas de demonstração do quinto postulado admitiam fatos que ou eram equivalentes a ele, ou não podiam ser demonstrados usando unicamente os outros quatro postulados. Grandes nomes na matemática tentaram sem sucesso a demonstração do quinto postulado.

5 No início do capítulo 2 apresentaremos as notações para pontos, retas, ángulos, etc. Os desenhos também farão parte do texto como forma de fixar melhor as idéias e resultados apresentados .

6 Proclus Diadochus nasceu em 8 de fevereiro de 411 em Constantinopla (atualmente Istambul), Byzantium (atualmente Turquia) e morreu em 17 de Abril de 485 em Atenas, Grécia. Proclus não foi um matemático criativo; mas foi um expositor crítico e detalhista, com um bom conhecimento dos métodos matemáticos e um conhecimento detalhado de milhares de anos da Matemática Grega de Tales até os seus dias [].

A negação do quinto postulado, e assim sua independência em relação aos outros quatro, levaram a criação de outras geometrias. A primeira geometria não Euclidiana foi publicada de maneira independente e quase simultânea pelo matemático russo N. I. Lobachewsky7 em 1829 e pelo matemático J. Bolyai8 em 1832. Tal geometria é hoje chamada geometria hiperbólica.

Durante muito tempo distinguiu-se axioma de postulado. Os axiomas eram proposições evidentes por si mesmas e postulados eram proposições que se pediam fossem aceitas sem demonstração. Hoje, axiomas e postulados são designações das proposições admitidas sem demonstração, na verdade, atualmente emprega-se sempre a palavra axioma em lugar de postulado.

Existem outras versões para os postulados da geometria plana que são encontrados nos Os Elementos de Euclides. David Hilbert9 construiu um sistema de axiomas para a geometria Euclidiana [] consistindo de cinco grupos, a saber:I - Axiomas de incidência: Neste grupo são apresentados oito axiomas dos quais três são relacionados ao plano e cinco são relacionados ao espaço. Estes axiomas estabelecem as relações mútuas entre ponto e reta.II - Axiomas de ordem: Neste grupo são apresentados quatro axiomas e com eles é possível fazer a ordenação dos pontos sobre uma reta, um plano e no espaço.

7 Nikolai Ivanovich Lobachewsky nasceu em 1 de dezembro de 1792 em Nizhny Novgorod, Rússia e morreu em 24 de fevereiro de 1856 em Kazan, Rússia. Em 1829 Lobachevsky, publicou sua geometria não-euclidiana, o primeiro tratado deste tema a ser impresso [].

8 Jãnos Bolyai nasceu em 15 de dezembro de 1802 em Kolozsvár, Império Austríaco (atualmente, Cluj, Romênia) e morreu em 27 de janeiro 1860 em Marosvásárhely, Império Austríaco (atualmente, Tirgu-Mures, Romênia). Entre 1820 e 1823 Bolyai preparou um tratado sobre um sistema completo de geometria não-euclidiana [].

9 David Hilbert nasceu em 23 de janeiro de 1862 em Königsberg, Prussia (atualmente Kaliningrad, Rússia) e morreu em 14 de fevereiro de 1943 em Göttingen, Alemanha. A publicação de Hilbert em geometria foi um dos trabalhos com mais influência nesta área depois de Euclides. Um estudo sistemático dos axiomas da geometria euclidiana levou Hilbert a propor 21 axiomas e suas conseqüências. Ele fez contribuições em muitas áreas da matemática e física [].

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoIII - Axiomas de congruência: Neste grupo são apresentados cinco axiomas dos quais três são relacionados a congruência de segmentos, um relacionado a congruência de ângulos e um relacionado a congruência de triângulos.IV - Axioma das paralelas: Este axioma estabele a unicidade de uma reta paralela a uma reta dada passando por um ponto. Neste grupo temos apenas um mas é o mais importante pois é ele que caracteriza a geometria euclidiana.V - Axiomas de continuidade: Este grupo é constituído de dois axiomas a saber: axioma de Arquimedes10 e axioma de Dedekind11.

Apresentar a Geometria Euclidiana de forma dedutiva utilizando o sistema apresentado por Euclides ou Hilbert é mais complicado. Aleksei Vasil’evich Pogorelov12, com o objetivo de tornar o texto [] mais simples dividiu os axiomas em seis grupos13:I. Axiomas de incidência: Este grupo é constituído de quatro axiomas, sendo dois relacionados ao plano e dois relacionados ao espaço.II. Axiomas de ordem: Este grupo é constituído de três axiomas, sendo dois relacionados ao plano e um relacionado ao espaço.III. Axiomas de medidas: Este grupo é constituído de doze axiomas, sendo dois relacionados a segmentos, dois relacionados a ângulos, quatro relacionados a áreas e quatro relacionados a volumes.

10 Arquimedes de Siracusa nasceu em 287 a.C. e morreu em 212 a. C. em Siracusa, Sicília. A maior contribuição de Arquimedes foi em Geometira. Seu método antecipou o cálculo integral 2.000 antes de Newton e Leibniz[].

11 Julius Wihelm Richard Dedekind nasceu em 06/10/1831 e morreu em 12/02/1916 em Braunschweig, atual Alemanha. A maior contribuição de Dedekind foi a definição de números irracionais em termos de cortes. Ele introduziu a noção de ideal que é fundamental para a teoria de anéis[].

12 Aleksei Vasil’evich Pogorelov nasceu em 3 de março de 1919 na Rússia e morreu em 2002. Sua área de pesquisa é caracterizada por uma rara combinação de talento para a a matemática e engenharia. É autor de mais de 200 publicações incluindo 40 monografias e livro-textos [8].

13 Estes grupos foram apresentados separadamente para o plano (estudo que chamou de planimetria) e o espaço (estudo que chamou de estereometria).

4

1. IntroduçãoIV. Axioma de existência de um segmento de comprimento dado: Este axioma e garante a construção de segmentos a partir de um número real dado.V. Axioma de Congruência: Este axioma garante a congruência de triângulos e permite obter áreas e volumes de figuras congruentes.VI. Axioma das paralelas: Por último temos o axioma que caracteriza a geometria euclidiana.

Se, por um lado, Pogorelov não apresenta o grupo “axiomas de continuidade”, ele acrescenta mais dois grupos relacionados a medidas que de certa forma garantem a validade deste grupo. Nestas notas, utilizaremos uma versão simplificada de Pogorelov que possui a vantagem adicional de poder ser utilizada no ensino básico da geometria. Faremos algumas adaptações, entre elas estão:

Para o estudo de áreas e volumes acrescentamos o axioma do completamento.

Acrescentamos ao grupo de medidas axiomas relacionados a área e volumes.

No decorrer do texto faremos a construção das principais figuras geométricas planas e espaciais sem, no entanto, fazer o estudo da construção com régua e compasso.

Apesar de fazermos este estudo através da apresentação axiomática, não nos preocuparemos com as questões relacionadas a consistência, independência e completude dos axiomas apresentados. Esta análise está fora do escopo deste livro e pode ser vista nos livros de Hilbert [] e Pogorelov [].

Nosso estudo será formado por Noções primitivas: são os conceitos aceitos sem

definição. Axiomas: são os resultados aceitos sem

demonstração. Definições: são os conceitos apresentados para

simplificar a linguagem matemática ou para identificar um novo objeto matemático.

5

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco

Teoremas: são os resultados que são demonstrados a partir de uma cadeia dedutiva de afirmações.

Proposições: são o mesmo que os teoremas mas que no sistema como um todo não apresenta tanta importância quanto o teorema.

Lemas: são pequenos resultados que também devem ser demonstrados e que simplificam a demonstração de um teorema.

Corolários: são conseqüências imediatas de um teorema e que merece ser evidenciado.

Cada uma dessas noções ficará clara no decorrer do estudo.

As primeiras noções primitivas que adotaremos são as seguintes:

Noção Primitiva 1: Ponto. Noção Primitiva 2: Reta. Noção Primitiva 3: Plano14.

Estas noções primitivas nos dizem quem serão os objetos básicos da geometria euclidiana. Desta forma, a geometria euclidiana estudará as relações entre esses três objetos.

As notações que utilizaremos para pontos, retas e planos serão as seguintes:

Pontos: Letras latinas maiúsculas: A, B, C, X, Y,...Retas: Letras latinas minúsculas: a, b, c, x, y,...Planos: As seguintes letras gregas maiúsculas15: , , , , , , , .

14 Das noções primitivas temos um conhecimento intuitivo pela experiência, sensibilidade e observação. Por exemplo, a marca de um toque de grafite num papel, dá a idéia da noção não definida de ponto, apesar que isso é uma representação de ponto, pois ponto não tem dimensão, e a marca no papel tem. É interessante observarmos que Euclides no Livro I de “Elementos” definiu de maneira equivocada estas três noções, por exemplo, ele escreve que “ponto é aquilo que não tem partes” e deixa sem significado o termo “ter partes”.

15 O alfabeto grego maiúsculo é dado por: (alfa), (beta), (gama), (delta), (epsílon ou epsilo), (zeta ou dzeta), (eta), (teta), (iota), (capa), (lambda), (mi ou mu), (ni), (xi), (ômicron), (pi), (rô), (sigma), (tau), (upsilon), (fi), (chi), (psi) e. (ômega).

6

1. Introdução

Nos capítulos de 2 a 9 trabalharemos somente num plano fixado e, portanto, não haverá necessidade da notação de plano. Esta necessidade somente ocorrerá a partir do Capítulo 10.

As notações gráficas que utilizaremos para pontos, retas e planos serão as seguintes:

Ponto: Reta: Plano:

É importante observarmos que estas notações gráficas são apenas uma maneira de fixar as idéias com relação a cada um dos objetos trabalhados e que isto, de forma alguma, representa os objetos da teoria apresentada. Em todo o texto serão apresentados desenhos que servirão para fixar as idéias no desenvolvimento de determinado conceito ou resultado. Por outro lado, devemos esclarecer que são apenas ilustrativos e não podem servir para justificar qualquer uma das propriedades geométricas.

No texto falaremos de figuras geométricas (planas ou espaciais), ou simplesmente, figuras planas ou figuras espaciais, que são subconjuntos do plano ou do espaço e estaremos apresentando uma classificação das principais figuras.

7

Capítulo 2: Incidência e Ordem no Plano

Neste capítulo apresentaremos axiomas de incidência e ordem no plano. Os axiomas de incidência estabelecem as relações mútuas entre ponto e reta e os axiomas de ordem estabelecem uma ordenação dos pontos na reta e no plano.

2.1. Axiomas de IncidênciaNeste primeiro grupo estudaremos a incidência

entre pontos e retas que terá o mesmo significado de interceptar, passar por, estar sobre. Começaremos pelo axioma de existência.

Axioma I.1: (de existência) a) Existe ponto.b) Existe reta e qualquer que seja a reta, existem pontos

que pertencem à reta e pontos que não pertencem à reta.

O mais interessante deste axioma é que ele nos garante a existência dos objetos básicos, ou seja, a geometria não constitui-se de um conjunto vazio e, portanto, fará sentido o estudo da relação entre esses objetos.

Axioma I.2: (de determinação): Dados dois pontos distintos existe uma única reta que contém estes pontos.

Observações:

2. Incidência e Ordem no Plano1. Como dois pontos determinam uma reta, quando falarmos de uma reta que passa por dois pontos distintos A e B, a denotaremos por rAB.

2. Este axioma constitui um bom teste de qualidade das réguas que utilizamos, ou seja, se você conseguir desenhar duas retas distintas passando por dois pontos distintos significa que esta régua não é adequada para esta geometria.3. Dada uma reta r, que existe pelo Axioma I.1.b, tomamos um ponto P qualquer fora de r e um ponto Q em r, que existem pelo mesmo axioma; unindo P com Q, teremos uma nova reta s que é univocamente determinada pelos pontos P e Q de acordo com o Axioma I.2a. O ponto Q na reta r, é o que chamaremos de interseção de r e s, cuja notação será r s. Fazendo um abuso de notação, escreveremos r s = Q ao invés de r s = {Q}. Isto será feito com o objetivo de simplificá-la.

4. Quando duas retas possuírem um ponto de interseção, diremos que as duas retas se inter-ceptam. Como estamos estudando geome-tria, vamos visualizar geometricamente o con-teúdo das observações 3 e 4. No desenho ao lado temos as retas r e s se interceptando no ponto Q e o ponto P não pertencente a reta r.

r

s

P

Q

Definição 2.3: Se três (ou mais) pontos estão sobre uma mesma reta, diremos que eles são colineares.

9

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoExemplo

2.1. No desenho ao lado, os pontos A, B e C são colineares pertencendo a reta r, os pontos D, E e F são não colineares, onde D e E pertencem a reta s, D e F pertencem a reta t, e E e F pertencem a reta q.

AB

CF

E

D

r

s tq

Proposição 2.3: Dadas duas retas distintas, elas possuem no máximo um ponto de intersecção. Demonstração: Se a interseção de duas retas contiver pelo menos dois pontos distintos, então pelo Axioma I.2 as retas não podem ser distintas, o que é uma contradição. Logo, as duas retas se interceptam no máximo em um ponto.

Vejamos agora a quarta noção primitiva da geometria euclidiana que permitirá apresentar a noção de segmento de reta.

Noção Primitiva 4: Um ponto C estar entre dois pontos A e B de uma reta r, onde A, B e C são distintos.

Observemos que dizer “C está entre A e B” é o mesmo que dizer “C está entre B e A”. No desenho ao lado, os pontos A, B e C pertencem a reta r e o ponto C está entre A e B.

AC

B r

Definição 2.3: Sejam A e B dois pontos de uma reta r. O conjunto constituído pelos dois pontos A e B e pelos pontos que estão entre A e B é chamado de segmento de reta, cuja notação será AB. Os pontos que estão entre A e B são chamados pontos interiores, ou simplesmente pontos do segmento AB; os pontos A e B, são denominados extremos do segmento AB. A reta r é

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2. Incidência e Ordem no Planodenominada reta suporte do segmento AB e será denotada por rAB.16

Exemplos

2.2. No desenho ao lado indicamos o seg-mento AB, o interior do segmento AB e os extremos A e B na reta suporte r. Obser-vemos que o segmento AB é formado pela união dos pontos extremos com os pontos interiores.

A

B r

Segmento AB

InterioresExtremos

2.3. A noção de segmento permitirá a construção de várias figuras planas conheci-das. Com os conceitos e resultados que temos já podemos construir os triângulos, que são figuras formadas por três pontos não colineares A, B e C e pelos segmentos de reta determinados por estes três pontos. No desenho ao lado, temos um triângulo construído sobre as retas r, s e t

r

s

BC

At

que, duas a duas, se interceptam nos pontos A, B e C, formando os segmentos AB, AC e BC. Os pontos A, B e C são chamados vértices do triângulo e os três segmentos de lados do triângulo. Denotaremos esse triângulo por ABC. Um triângulo é bem determinado pelos seus três pontos pois os segmentos são bem determinados por dois pontos.

16 Não há diferença entre o segmento AB e o segmento BA. Existirá a diferença quando temos um segmento orientado. A notação é a mesma da reta que passa por dois pontos e é razoável que seja assim pois existe uma única reta suporte do segmento e que contém os extremos do segmento.

11


Até o momento apresentamos qua-tro classes17 de figuras geométricas planas: pontos, retas, segmentos e triângulos. No diagrama ao lado visualizamos estas classes que, conforme se observa, são disjuntas, ou seja, um ponto não pertence a classe dos segmentos, um segmento não pertence a classe dos triângulos, etc.

Figuras

pontos retas

segmentos

triângulos

O diagrama apresentado não se preocupa com questões relativas ao tamanho de cada classe mas sim com a questão de conjunto propriamente dita, ou seja, consideramos o conjunto de todas as figuras planas e vamos visualizar este conjunto que está particionado em classes que poderão ser disjuntas ou não.

2.2. Axiomas de OrdemO próximo grupo estabelecerá as relações mútuas

entre os pontos numa reta e no plano e pertencem ao segundo grupo de axiomas denominado axiomas de ordem. Axioma II.1: Dados três pontos colineares, um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois.Axioma II.2: Dados dois pontos A e B numa reta, sempre existem um ponto C entre A e B e um ponto D, tal que A está entre D e B.

ABC

D

Definição 2.3: Seja r uma reta e fixemos um ponto O em r. Consideremos os pontos A e B em r, distintos de O. Se A = B, diremos que A e B estão do mesmo lado em relação ao ponto O. Caso contrário, pelo Axioma II.1, O está entre

17 O sentido que estamos dando para a classe é o usual, ou seja, um conjunto de objetos que possuem uma propriedade em comum.

12

2. Incidência e Ordem no PlanoA e B, ou não. Se O não está entre A e B diremos que A e B estão no mesmo lado em relação ao ponto O. Se O está entre A e B, diremos que A e B estão em lados diferentes em relação ao ponto O.

Exemplos

2.4. No desenho ao lado temos as seis possibilidades que podem ocorrer com três pontos sobre uma reta dada. Deixamos subentendida uma ordem que será vista na próxima seção. De fato, até o momento não há diferença entre o primeiro e o sexto caso, segundo e quarto caso, terceiro e quinto caso.

A

B

C

A

C

B

B

A

C

B

C

A

C

A

B

C

B

A

2.5. Nos desenhos ao lado ilustramos todas as possíveis situações entre dois pontos em relação a um ponto O. No desenho onde A e B estão do mesmo lado, observemos que ainda não sabemos a diferença entre o segundo e o quarto caso. Da mesma forma com o terceiro e quarto caso. Isto também se nota quando A e B estão em lados diferentes em relação a O. Na realidade, está faltando estabelecer uma ordem nesta reta pois é a ordem que permitirá diferenciar estes casos. O mesmo ocorre com o segundo desenho.

OA

B

OB

A

BA

O

AB

O

A e B estão do mesmo lado em relação a O

O

A=B

AO

B

BO

A

A e B estão em ladosdiferentes em relação a O

A relação entre os pontos, dada pelo ponto O, nos permite particionar a reta:

13

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoTeorema 2.3: Um ponto numa reta fornece uma partição18 da mesma.Demonstração:Dado uma reta r e um pon-to O pertencente a r, escolhamos um um ponto arbitrário A em r distinto de O, que existe pelo item b) do Axioma I.1. Vamos denotar por S o conjunto de todos os pon-tos que se encontram do mesmo lado que A em relação a O, e por S’ o conjunto de todos os pontos que se encontram em lados diferen-

OA

r

S’

S

tes de A em relação a O. Considere a família de conjuntos ={S, S’,{O}}. Vamos mostrar que é uma partição de r, ou seja:1. S e S’ ;2. S {O} = , S’ {O} = e S S’ = ;3. S S’ {O} = r.De fato, vamos demonstrar cada um dos itens de 1 a 3:1. Pela Definição 2.3, temos que o ponto A está do mesmo

lado que A em relação ao ponto O. Logo, A S e, então, S . Para demonstrar a segunda parte temos, pelo Axioma II.2, que existe um ponto D tal que O está entre A e D. Logo, pela Definição 2.3, D S’ e, então, S’ .

2. Pela Definição 2.3, temos que qualquer ponto de S ou S’ é diferente do ponto O. Logo, S {O} = e S’ {O} = . Para demonstrar a terceira parte, seja B S S’, ou seja, B está do mesmo lado que A em relação a O e B está em lado diferente de A em relação a O, o que pela Definição 2.3 contradiz o Axioma II.1.

3. É claro que S S’ {O} r. Para mostrar que r S S’ {O} considere um ponto B r diferente do ponto O. Se B = A então B S, pela Definição 2.3. Se B A, pelo Axioma II.1 temos B entre O e A, ou A entre O e B, ou O

18 Dado um conjunto A, dizemos que uma família de conjuntos é uma partição do conjunto A se todos os elementos de são subconjuntos não vazios de A, quaisquer dois elementos de são disjuntos e a união de todos os elementos de fornece o conjunto A.

14

2. Incidência e Ordem no Plano

entre A e B. Nos primeiro e segundo casos temos, pela Definição 2.3, temos B S. No terceiro caso, também pela Definição 2.3 temos B S’. Logo, r S S’ {O} e, portanto

r = S S’ {O}.

Este teorema garante a existência de uma relação de equivalência em r. Deixamos como exercício a demonstração desta afirmação (Exercício 2.6).Definição 2.3: O conjunto S da demonstração do Teorema 2.3, juntamente com o ponto O é chamado semi-reta. Analogamente, o conjunto S’ unido com {O} também é chamado semi-reta. O ponto O, é chamado origem da semi-reta.

Se um ponto A S, vamos denotar a semi-reta que contém A por SOA. Analogamente, se um ponto A’ S’, a notação da semi-reta que contém A’ será SOA’. Geometricamente, a semi-reta SOA será representada como no desenho ao lado. Dizemos que SOA’ é a semi-reta oposta a SOA e vice-versa.

O

A

Proposição 2.3: Se B está entre A e C, e C está entre B e D, então B e C estão entre A e D.Demonstração: Consideremos as semi-retas SBA e SBC. Como B está entre A e C, temos

15


SBA SBC = r e SBA SBC = B.É claro que A SBA e C SBC. Se D SBA então, pela Definição 2.3 e Definição 2.3, temos que B está entre C e D, o que é uma contradição. Logo, D SBC e, portanto, B está entre A e D. Consideremos, agora as semi-retas SCD e SCB. Como C está entre B e D, temos SCD SCB = r e SCD SCB = C.É claro que D SCD e B SCB. Se A SCD então, pela Definição 2.3 e Definição 2.3, temos que C está entre A e B, o que é uma contradição. Logo, A SCB e, portanto, C está entre A e D.

B

DC

A

B

A

C

D

Concluímos até agora que o ponto O, determina exatamente duas semi-retas distintas, cuja interseção é o ponto O. A seguir, vamos dividir os pontos de um plano também em duas classes. Para isso necessitamos da seguinte definição:

Definição 2.3: Consideremos uma reta r e dois pontos A e B que não pertencem a esta reta. Se A = B, diremos que A e B estão em um mesmo lado em relação a reta r. Se A B, temos duas possibilidades, o segmento AB intercepta ou não a reta r. Se intercepta, diremos que A e B estão em lados contrários em relação a reta r, se não intercepta, A e B estão em um mesmo lado em relação a reta r.

16

2. Incidência e Ordem no PlanoExemplos

2.6. No desenho ao lado temos que os pontos C e D estão em lados contrários em relação a reta r e os pontos A e B estão do mesmo lado em relação a reta r. Por outro lado, C e D estão do mesmo lado em relação a reta s e os pontos A e B estão em lados contrários em relação a reta s.

BA

C D

r

s

Teorema 2.3: Uma reta fornece uma partição do plano.Demonstração: Seja r uma reta do plano, a demonstração deste teorema é análoga a do Teorema 2.3. Neste caso, tomamos um ponto A não pertencente a r, que existe pelo Axioma I.1.b. Denotamos por o conjunto de todos os pontos que se encontram do mesmo lado que A em relação a r, e por ’ o conjunto de todos os pontos que se encontram em lados diferentes de A em relação a reta r. Considere a família = { , ’ ,r}. Devemos mostrar que 1. e ’ ;2. r = , ’ r = e ’ = ;3. ’ r é igual ao plano.De fato, vamos demonstrar cada um dos itens de 1 a 3.1. Pela Definição 2.3, temos que o ponto A está do mesmo lado que A em relação a reta r, e assim, A , donde . Para a segunda parte, tomamos um ponto O qualquer em r (que existe pelo do Axioma I.2.b); os pontos O e A, fornece uma reta s pelo Axioma I.2.a, cuja interseção com r é o ponto O. Pelo Axioma II.2, existe um ponto B em s, tal que O está entre A e B. Assim O pertence ao segmento AB e pela Definição 2.3, A e B estão em lados diferentes em relação a reta r. Logo B ’, donde ’ ;

2. Pela Definição 2.3, temos que qualquer ponto de ou de ’ não está em r. Assim, r = e ’ r = . Para mostrar que a terceira interseção é vazia, observamos

17

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoque se B ’, então B está do mesmo lado que A em relação a r e B está em lado diferente em relação a r, assim, pela Definição 2.3, temos uma contradição;

3. É claro que ’ r está contido no plano. Vamos mostrar que todos os pontos do plano estão contidos em ’ r. Seja B um ponto qualquer do plano, se B r, temos o desejado. Se B r, podemos ter B = A, neste caso pela Definição 2.3, B , e novamente teremos o resultado. Se B A, consideremos a reta s = rAB. Pela Proposição 2.3, r e s tem no máximo um ponto de interseção. Se r s é o conjunto vazio, então o segmento AB não intercepta r e assim, pela Definição 2.3, B está do mesmo lado que A em relação a r, ou seja, B . Se r s = {O}, então pelo Axioma II.1, ou O está entre A e B, ou não. No primeiro caso, B ’ e no segundo caso, B . Assim, esgotamos todas as possibilidades, e em todas elas, temos B r, ou B ou B ’, donde segue o resultado.

Este teorema garante a existência de uma relação de equivalência no plano. Deixamos como exercício a demonstração desta afirmação (Exercício 2.7).

Definição 2.3: Sejam r uma reta e A um ponto que não pertence a r. O conjunto da demonstração do Teorema 2.3, juntamente com r é chamado de semiplano determinado por r contendo A, e será representado por r,A. r

A

18

2. Incidência e Ordem no PlanoExemplos

2.7. Uma reta r divide o plano em dois semiplanos distintos, a saber: os semipla-nos r,A e r,B, cuja interseção é a reta r. Aqui, o ponto B está do lado contrário de A em relação a reta r. No desenho ao lado, visualizamos estes dois semiplanos.

rA

B

r,A

r,B

2.8. Com estes resultados podemos construir os quadriláteros, que são figuras formadas por quatro pontos A, B, C e D (três a três não colineares) e pelos segmentos de reta AB, BC, CD e DA tais que os segmentos podem se interceptar somente em seus extremos. Os pontos A, B, C e D são chama-

B C

A D

dos vértices do quadrilátero e os quatro segmentos são chamados de lados do quadrilátero. Denotaremos o quadrilátero por ABCD. Para construir um quadrilátero, considere uma reta r e pontos A, B e C tais que A, C r e B r. A existência destes pontos está garantida pelo Axioma I.1.b.

rB C

ArBE

D

E

Considere um ponto E r, que podemos supor entre A e C. Na reta rBE considere a semi-reta oposta SEB e um ponto D pertencente a ela. Afirmamos que os pontos A, B, C e D junto com os segmentos AB, BC, CD e DA formam um quadrilátero. De fato, temos que os pares de segmentos AB e BC, BC e CD, CD e DA, DA e AB se interceptam somente em um dos extremos, pois caso contrário eles seriam iguais pela Proposição 2.3. Resta mostrar que os pares de segmentos AB e CD, AD e BC não se interceptam. Temos que os segmentos AB e BC estão no

19

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francosemiplano r,B, CD e AD estão no semiplano r,D. Logo, AB e CD estão em semiplanos opostos determinado por r. Como A, C r e são distintos temos que AB e CD não se interceptam. Deixamos como exercício a verificação de que AD e BC não se interceptam (Exercício 2.10).

2.9. Dados quatro pontos três a três não colineares, sempre é possível construir um quadrilátero. De fato, sejam A, B, C e D estes pontos e escolhamos dois pontos quaisquer, digamos A e B. Temos duas opções:

1. C e D estão em semiplanos opostos determinados por rAB: Neste caso, basta considerar os segmentos AC, CB, BD e DA.

rABDA

B C

2. C e D estão no mesmo semiplano determinado por rAB: Neste caso, escolhamos um dos pontos A ou B e um dos pontos C e D, digamos A e C. Temos duas opções:

rABCB

DA

a) B e D estão no mesmo semiplano determinado por AC: Neste caso, basta considerar os segmentos AC, CD, DB e BA.

rAB

CD

A BrAC

20

2. Incidência e Ordem no Planob) B e D estão em semiplanos opostos determinados por rAC: Neste caso, basta considerar os segmentos AB, BC, CD e DA.

rAB

CD

B ArAC

Com estes resultados o diagrama apresentado anteriormente passa a ter a visualização no diagrama abaixo. Observamos que agora temos sete classes distintas de figuras planas, todas disjuntas: pontos, retas, segmentos, semi-retas, triângulos, semiplanos e quadriláteros.

Figuras

pontos retas

segmentos

triângulos

semi-retas

semiplanos

quadriláteros

2.3. Ordenando uma RetaNosso objetivo agora será utilizar os axiomas

anteriores para construir uma relação de ordem sobre uma reta.

21

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDefinição 2.3: Seja r uma reta arbitrária e O um ponto sobre r. Consideremos uma das duas semi-retas que tem origem comum em O. Diremos que um ponto A desta semi-reta precede um ponto B, se A está entre O e B.

Br

OA

Chamando uma das duas semi-retas com origem O de primeira semi-reta ou semi-reta negativa e a outra de segunda semi-reta ou semi-reta positiva, podemos definir uma relação na reta r toda, estabelecendo as seguintes condições:

Cr

AB

D

OSem

i-reta

positiva

Semi-re

ta

negativ

a

1. Sejam A e B dois pontos da semi-reta negativa. Então, na reta r, A é menor do que B se B precede A.

2. Todos os pontos da semi-reta negativa são, na reta r, menores do que o ponto O.

3. Todos os pontos da semi-reta negativa são, na reta r, menores do que todos os pontos da semi-reta positiva.

4. O ponto O, na reta r, é menor do que todos os pontos da semi-reta positiva.

5. Sejam C e D dois pontos da semi-reta positiva. Então, na reta r, C é menor do que D se C precede D.

Notação: Se A é menor do que B, escreveremos “A < B” e se A é menor do que ou igual a B, escreveremos “A B”.Proposição 2.3: A relação “menor do que ou igual a” () é uma relação de ordem total na reta. A relação “menor do que” (<) é uma relação de ordem estrita na reta19.

19 Uma relação R num conjunto A é denominada relação de ordem se satisfizer as propriedades reflexiva (P(x): (x A)(x R x), anti-simétrica (P(x,y): (x,y A)(x R y e y R x x = y) e transitiva (P(x,y,z): (x,y,z A)(x R y e y R z x R z). Se além disto tivermos (x,y) R ou (y,x) R para quaisquer x, y A a ordem será total. Para ser uma ordem estrita a relação deverá satisfazer a propriedade transitiva e a propriedade P(x): (x A)(x R/ x), denominada irreflexiva.

22

2. Incidência e Ordem no PlanoDemonstração: Demonstraremos a primeira parte e deixaremos como exercício a demonstração da segunda parte (Exercício 2.11). Devemos mostrar que esta relação é reflexiva, anti-simétrica, transitiva, e que dados quaisquer dois pontos A e B em r, ou A B, ou B A.i) Reflexiva: A A, pois A = A.ii) Anti-simétrica: Sejam A e B pontos da reta tais que A B e B A. Suponhamos que A e B estejam na semi-reta negativa e que sejam distintos. Temos A < B e, por (1), B precede A na semi-reta negativa, ou seja, B está entre O e A. Mas também temos que B < A e, por (1), A precede B na semi-reta negativa, ou seja, A está entre O e B, o que é uma contradição, pelo Axioma II.1. Analogamente, obtemos os outros casos.iii) Transitiva: Sejam A, B e C pontos de uma reta tais que A B e B C. Podemos supor que os pontos sejam dois a dois distintos pois, caso contrário, o resultado é imediato. Suponhamos que A, B e C estejam na semi-reta positiva. Existem seis possibilidades para A, B e C na semi-retapositiva, como mostra o desenho ao lado. Como A < B e B < C, por hipótese, só nos resta a primeira possibilidade que nos fornece B entre A e C. Além disso, temos A entre O e B. Logo, pela Proposição2.3 temos A entre O e C. Portanto, A C. O caso em que A, B e C estão na semi-reta negativa é análogo. Suponhamos agora que o ponto A

B CO AC BO AA CO BC AO BA BO CB AO C

esteja na semi-reta negativa e o ponto C esteja na semi-reta positiva. Neste caso, o resultado é imediato pela Definição 2.3. Se o ponto A está na semi-reta positiva e o ponto C está na semi-reta negativa temos que o ponto B está na semi-reta positiva pois A < B. Logo, C < B, o que contradiz a hipótese. Em todos os casos concluimos que A < C e, portanto A C.iv) Dados dois pontos A e B quaisquer em r, é imediato das cinco condições que A é menor do que ou igual a B ou B é menor do que ou igual a A.

23


Diante do exposto acima vemos o porquê dos Axiomas II.1 e II.2 serem classificados nos grupos dos axiomas de ordem, pois por meio deles ordenamos todos os pontos de uma reta.

Teorema 2.3: Entre dois pontos quaisquer de uma reta, existem infinitos pontos desta.Demonstração: Suponhamos que entre dois pontos A e B de uma reta existam n pontos distintos, digamos { P1, P2, ,Pn }. Com a relação de ordem “” podemos considerar P1 < P2 < < Pn, a menos de uma reordenação de índices. Como P1 P2, pelo Axioma II.2, existe um ponto P tal que P1 < P < P2. Assim, P é distinto P3, ,Pn, o que é absurdo, pois entre os dois pontos supusemos existir exatamente n pontos. Portanto, existem infinitos pontos entre dois pontos quaisquer de uma reta.

Corolário 2.3: Existem infinitos pontos numa reta.Demonstração: Imediata, pois todo conjunto que contém um conjunto infinito é infinito.

2.4. PolígonosEstudamos nas seções anteriores as defnições e

construções de triângulos e quadriláteros. Nesta seção vamos definir uma classe de figuras denominada polígonos que inclui os triângulos e quadriláteros.

24

2. Incidência e Ordem no PlanoDefinição 2.3: Dois segmentos são ditos consecutivos se possuirem exatamente um extremo em comum. Dado n IN, n 3, uma n-poligonal é uma figura formada por uma seqüência de n pontos A1, A2, ..., An e pelos segmentos consecutivos A1A2, A2A3, A3A4, A5A6,...,An-1An. Os pontos são chamados verti-ces da poligonal e os segmentos são chama-

A1

A2

A3

A4

A5

A6An-1An

dos lados da poligonal. Denotaremos a n-poligonal por A1A2...An.

Estamos interessados em poligonais com certas propriedades:Definição 2.3: Uma n-poligonal A1A2...An é denominada polígono de n lados ou n-ágono, se as seguintes condições são satisfeitas:a) A1 = An;b) Os pontos A1, A2, ..., An-1 são dois a dois distintos;c) Os lados não consecutivos não se interceptam;d) Dois lados consecutivos não são colineares.Os segmentos AiAi+1 (i=1,,n–2) e An-1A1 são denominados lados, os pontos A1, A2, ...An-1 são denominados vértices. Os segmentos determinados pelos vértices que não são lados do polígono são chamados diagonais do polígono.

Observe que todo polígono é uma poligonal mas nem toda poligonal é um polígono.

Exemplos

2.10. Os desenhos a seguir ilustram alguns polígonos. O polígono (1) é um quadrilátero, o polígono (2) é um 5-ágono, os polígonos (3) e (5) são 8-ágonos, o polígono (4) é um triângulo, o polígono (6) é um 6-ágono.

25

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2.11. Os desenhos a seguir não representam polígonos. O desenho (1), apesar de satisfazer os itens b), c) e d), não satisfaz o item a). O desenho (2) não satisfaz o item c). O desenho (3) não satisfaz os itens a) e b). O desenho (4) não satisfaz os itens b), c) e d). O desenho (5) não satisfaz os iten b), c) e d).20

(1) (2)

(3) (4) (5)

(1) (2)

(3) (4) (5)

2.12. O desenho ao lado ilustra um polígono apesar de termos dois lados contidos numa mesma reta. O que ocorre é que estes lados não possuem extremos em comum.2.13. Os polígonos recebem nomes especiais para alguns valores de n. Veja na tabela a seguir alguns deles:

Número de lados

Nome do polígono

3 triângulo4 quadrilátero5 pentágono6 hexágono7 heptágono8 octógono9 nonágono

10 decágono

20 Observamos a diferença entre os desenhos (2) e (4), enquanto em (2) ocorre a interseção de dois segmentos, em (4) temos quatro segmentos com um vértice em comum. Os desenhos que serão feitos a partir de agora não apresentarão mais os pontos de forma explícita e ficará subentendido os vértices.

12 dodecágono15 pentadecágono

Para encerrar este capítulo apresentamos um diagrama das principais figuras geométricas obtidas até o momento. Dentro da classe dos polígonos estão aqueles mencionados no exemplo anterior e as poligonais são uma classe não apresentada no desenho mas que contém a classe dos polígonos.

Figuras

pontos retas

segmentos

triângulos

semi-retas semiplanos

quadriláteros

polígonos

2.5. Exercícios2.1. Pela Proposição 2.3 duas retas distintas possuem no máximo um ponto em comum, o que podemos dizer de um conjunto de três retas distintas do plano? E um conjunto de quatro retas distintas do plano? E um conjunto de 5 retas distintas do plano? Obtenha um resultado para o caso de n retas distintas, justificando sua resposta.

2.2. Mostre que três pontos não colineares determinam três retas. Quantas retas são determinadas por quatro pontos, sendo que quaisquer três deles são não

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francocolineares? E para o caso de 6 pontos? Generalize para o caso de n pontos.

2.3. Sejam P = {a,b,c}, r1 = {a,b}, r2 = {a,c} e r3 = {b,c}. Chame P de plano e, r1 , r2 e r3 de retas. Mostre que nessa “geometria” vale o Axioma I.2. Idem para o plano P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e as retas como r1 ={1,2,3}, r2 = {4,5,6}, r3 = {7,8,9}, r4 = {1,4,7}, r5 = {2,5,8}, r6 = {3,6,9}, r7 = {1,5,9}, r8 = {2,6,7}, r9 = {3,4,8}, r10 = {3,5,7}, r11 = {2,4,9} e r12 = {1,6,8}.

2.4. O desenho ao lado representa um “plano”, o símbolo representa um “ponto” e as linhas unindo os pontos representam uma “reta”. Observe que há 7 “retas” e 7 “pontos” no desenho. Verifique se neste modelo de geometria valem os axiomas de existência e de determinação.2.5. Com base nos exercícios anteriores mostre que não existe exemplo de uma geometria com exatamente seis pontos, em que sejam válidos o Axioma I.1 e o Axioma I.2 e na qual, todas as retas tenham exatamente 3 pontos.

2.6. Seja r uma reta qualquer e O um ponto de r. Mostre que a relação “estar do mesmo lado em relação ao ponto O” é uma relação de equiva-lência em r.

2.7. Seja r uma reta qualquer. Mostre que a relação “estar do mesmo lado em relação à reta r” é uma relação de equivalência no plano.

2.8. Mostre que, se uma reta intercepta um lado de um triângulo e não passa por nenhum de seus vértices, então ela intercepta também um dos outros dois lados.21

21 Este resultado é também conhecido como Axioma de Pasch devido ao matemático Moritz Pasch que nasceu 8/11/1843 em Breslau na Alemanha (atualmente, Wroclaw na Polônia) e morreu em 20/09/1930 em Bad Homburg, Alemanha. Pasch trabalhou nos fundamentos da geometria e encontrou algumas

28

2. Incidência e Ordem no Plano

2.9. Mostre que se C está entre A e D e B está entre A e C, então B se encontra entre A e D, e C se encontra entre B e D.

2.10. No Exemplo 2.8 (construção do quadrilátero), verifique que AD e BC não se interceptam.

2.11. Complete a demonstração da Proposição 2.3.

2.12. Considere a seguinte construção de quadrilátero: Para construir o quadrilátero, considere uma reta r e os pontos A, D e E tais que A, D r e E r. A existência está garantida pelo Axioma I.1.b. Construa o triângulo ADE. Utilizando o Axioma II.2, considere um ponto B entre A e E e um ponto C entre D e E. O quadrilátero é dado pelos pontos A, B, C, D e pelos segmentos AB, BC, CD e DA.a) Mostre que esta construção nos fornece um

quadrilátero.b) Qualquer quadrilátero pode ser construído desta

forma? Justifique sua resposta.

2.13. Podem existir dois segmentos distintos que têm exatamente dois pontos em comum ?

2.14. Utilizando semiplanos defina interior de um triângulo.

2.15. Demonstre que existem infinitas retas no plano.

2.16. Demonstre que por um ponto P passam infinitas retas.

2.17. Desenhe as diagonais de um quadrilátero, de um pentágono e de um hexágono. Conte quantas diagonais têm cada um deles. Quantas diagonais têm um polígono de n lados ?

hipóteses nos Elementos que ninguém havia notado antes. D. Hilbert, em [], admite este resultado como axioma e demonstra o Axioma II.2.

29


2.18. Um subconjunto do plano é dito convexo se o segmento ligando quaisquer dois de seus pontos está totalmente contido nele. a) Mostre que o próprio plano e qualquer semiplano são convexos.b) Nos desenhos abaixo quais representam conjuntos convexos?

c) Mostre que a interseção de n conjuntos convexos é um conjunto convexo.d) Mostre que a interseção de n semiplanos é um conjunto convexo.e) A união de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo? Mostre ou dê um contra-exemplo.

2.19. Mostre que um triângulo separa o plano em duas regiões, uma convexa e a outra não.

2.20. Classifique como verdadeiro (V) ou falso (F) justificando sua resposta.a) Ponto é o que não tem dimensão.b) Reta é o que tem uma única dimensão.c) Dois pontos determinam uma reta.d) Três pontos não colineares são distintos.e) Duas retas que têm um ponto em comum são concorrentes.

30

Capítulo 3: Segmentos, Ângulos e Medidas

Medir um ente geométrico é antes de qualquer coisa compará-lo com outro e foi através da comparação de áreas de terras que a geometria iniciou. Neste capítulo, trabalharemos com o terceiro e quarto grupos de axiomas. Intercalaremos os dois grupos por serem recíprocos um do outro. Estes grupos fazem a conexão da geometria com os números reais.

3.1. Medidas de SegmentosO primeiro passo para esbelecer medidas de

segmentos é ga-rantir que podemos associar um número a um segmento. Isto é dado pelo próximo axioma:

Axioma III.1: A todo segmento de reta corresponde um número maior ou igual a zero. Este número é zero se, e somente se, os extremos do segmento são coincidentes.

Ao introduzir este axioma, estamos supondo que podemos fazer esta medida através de algum instrumento conhecido, por exemplo, por meio de uma régua com escala e ao fazermos isto estamos definindo uma unidade de medida.

Definição 3.4: O número a que se refere este axioma é chamado comprimento do segmento, ou distância entre os pontos A e B, extremos do segmento. Denotaremos o comprimento de um segmento AB, por .

Axioma III.2: Se um ponto C está entre dois pontos A e B, então o comprimento do segmento AB é igual a soma do

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francocomprimento do segmento AC com o comprimento do segmento CB, ou seja,

.

Estes dois axiomas fazem parte do grupo III dos axiomas de medidas (estes são de medida de segmentos). Após definirmos ângulos, daremos mais dois axiomas de medidas (de ângulos). Nos Capítulos 6 e 16, necessitaremos dos axiomas de medidas de áreas e volumes, respectivamente.

Uma das conseqüências do Axioma III.2 é saber a posição de dois pontos através da medida dos segmentos formados com o ponto O.

Proposição 3.4: Em uma semi-reta SOA, se considerarmos o ponto B O tal que , então o ponto B estará entre O e A.Demonstração: A origem O certamente não está entre A e B, pela própria definição de semi-reta. Se o ponto A estivesse entre O e B, pelo Axioma III.2, teríamos que

e

A

O

B

como AB tem comprimento maior ou igual a zero teríamos , o que é um absurdo. Só resta a alternativa que B

está entre O e A.

O axioma seguinte pode ser visto como o “recíproco” do Axioma III.1. Mas ele é colocado num quarto grupo que é constituído pelos axiomas de existência de um segmento de um dado comprimento e ângulos de uma dada medida. Na verdade, este grupo de axiomas introduz a noção de continuidade na geometria.

Axioma IV.1: Para qualquer número real d > 0, existe um segmento de reta de comprimento d, que pode ser construído a partir da origem de qualquer semi-reta dada.

32

3. Segmentos, Ângulos e Medidas

Agora podemos estabelecer uma unidade de medida de segmentos e construir um instrumento que servirá para comparar comprimentos. Esta unidade é denominada metro internacional e é a distância entre dois traços em uma certa barra de metal conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas perto de Paris. (A barra deve estar à temperatura do gelo fundente: 0ºC). Este é o segmento cuja medida vale 1 metro.22

Para construir uma régua graduada, subdividimos o metro em 1000 partes iguais, fornecendo assim o milímetro. Cada 10 milímetros nos dá 1 centímetro. A foto a seguir ilustra em tamanho natural parte de uma régua graduada de 20 centímetros que corresponde a 200 milímetros, ou seja, 200 partes da divisão dada.

22 Historicamente, em 1790, a Assembléia Constituinte da França, criou uma comissão de cientistas, integrada por Lagrange, Laplace e Monge, entre outros, com o objetivo de analisar e propor soluções para o problema de criar uma unidade de medida de comprimento. Como conseqüência dos trabalhos dessa comissão, em 1795, criou-se uma lei que estabelecia o metro como unidade padrão de comprimento e era definido como: "a décima milionésima parte do quadrante de um meridiano terrestre". Para chegarem a essa relação, dois astrônomos franceses, Méchain e Delambre, mediram o arco de meridiano entre as cidades de Dunquerque, na França, e Barcelona, na Espanha, passando por Paris, sendo então construído um metro de platina para ser utilizado como padrão.

33

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoExemplos

3.1. Consideremos três pontos A, B e C tais que B esteja entre A e C e = 2. Não importa qual seja o valor de , o valor de é 2 + , pelo Axioma III.2. Por exemplo, se

= 5, teremos = 7.

3.2. Se considerarmos os números reais 4 e 6, pelo Axioma IV.1, existem segmentos de reta de comprimento 4 e 6, que podem ser construídos a partir de qualquer ponto da reta. No desenho ao lado, vemos que o segmento AB possui comprimento 1 cm, o segmento CD possui comprimento 0,9 cm

A BC D

e o segmento BC possui comprimento 1,5. Observamos que o segmento AD possui comprimento 3,4.

O próximo teorema, que utiliza estes axiomas, permitirá introduzir a noção de coordenada.

Teorema 3.4: Sejam r uma reta e IR o conjunto dos números reais. Existe uma função x: r IR bijetora tal que, se x(A) e x(B) são as imagens de dois pontos A e B, o comprimento do segmento AB será igual a x(B) – x(A).Demonstração: Seja O r um ponto qualquer, pelo Teorema 2.3 e Definição 2.3, O divide r em duas semi-retas. Escolhamos uma para ser a semi-reta negativa, denotando-a por SO–, e a outra para ser a semi-reta positiva, denotando-a por SO+. Definamos a relação

x = {(A,x(A))|Ar},onde

Temos que x é uma função pois Dom x = r, pelo AxiomaIII.1. Além disso, se A = B temos x(A) = x(B), pois OA = OB

34

3. Segmentos, Ângulos e Medidase então . Temos também que x é bijetora. De fato, x é injetora pois considerando A e B distintos, temos os seguintes casos:1. A e B em SO–: – x(A) – x(B) x(A) x(B).2. A e B em SO+: x(A) x(B).3. A e B em semi-retas distintas: teremos x(A) e x(B) com sinais distintos e portanto x(A) x(B).Quanto a sobrejetividade, seja d IR, pelo Axioma IV.1, existe um segmento de reta de comprimento |d| construído a partir do ponto O. Se d> 0, contruímos o segmento OD na semi-reta positiva SO+, se d<0, construímos o segmento OD’ na semi-reta negativa SO– e se d = 0, temos que x(O) = 0. Assim, x(D) = d se d > 0 e x(D’) = d se d < 0. Logo, para qualquer d IR, sempre obtemos um ponto P em r tal que x(P) = d, onde

Para demonstrar a segunda parte, sejam A, B em r. Se A = B então x(A) = x(B) e, assim, = 0 = |x(B) – x(A)|. Se A B temos os seguin-tes casos:1. A entre O e B na semi-reta positiva:

= x(B) – x(A).2. B entre O e A na semi-reta positiva:

= = x(A)–x(B).3. A entre O e B na semi-reta negativa:

= =–x(B) – (–x(A)) =x(A) – x(B).

BO A

AO B

OB A

1

2

3

35

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco4. B entre O e A na semi-reta negativa:

= = –x(A) – (–x(B)) = x(B) – x(A)5. A na semi-reta positiva e B na negativa:

= –x(B) + x(A) = x(A) – x(B).

6. B na semi-reta positiva e A na negativa:

=–x(A)+x(B)= x(B)–x(A).

OA B

AB O

BA O

4

5

6

Assim, em qualquer caso, obtemos = x(B) – x(A).

Definição 3.4: Sejam r uma reta, O r e a função x: r IR, dada pelo Teorema 3.4. Dado A r, o número x(A) é chamado de coordenada do ponto A em relação a O e a função x é denominada um sistema de coordenadas em relação a O para a reta r.

Com a relação de ordem entre os pontos de uma reta r, estabelecida no Capítulo 2, os axiomas III.1, III.2, IV.1, e o Teorema 3.4 podemos garantir o seguinte resultado:

Corolário 3.4: Dado um número real d e fixado um ponto O de uma reta r, existe um único ponto de r tal que sua coordenada com relação a O é d.Demonstração: Segue diretamente do fato da função x, dada pelo Teorema 3.4, ser bijetora. A existência segue da sobrejetividade e a unicidade segue da injetividade da função x construída no Teorema 3.4.

36


As coordenadas dos pontos caracterizam sua posição na reta. Este é o resultado apresentado na proposição a seguir:

Proposição 3.4: Sejam A, B e C pontos de uma mesma reta, cujas coordenadas, são respectivamente a, b e c. O ponto C está entre A e B se, e somente se, o número c está entre os números a e b.Demonstração: Primeiramente, suponhamos que o ponto C esteja entre A e B, então pelo Axioma III.2, temos

. Pelo Teorema 3.4, temos = |b – a|, = |c – a| e = |b– c|.

Assim, |b – a| = |c – a| + |b – c|. Suponhamos que b>a, então |c – a| < b – a e |b – c| < b – a. Logo, c – a < b – a e b – c < b – a. Portanto, c < b e a < c, ou seja, a < c < b.No caso em que a>b, temos |c – a| < –(b – a) e |b – c| < –(b – a). Logo, c – a > b – a e b – c > b – a. Portanto, c > b e a > c, ou seja, b < c < a. Assim, em ambos os casos o número c está entre os números a e b.Reciprocamente, se a < c < b ou b < c < a, temos |c – a| + |b – c| = |b – a|. Assim, pelo Teorema 3.4, segue que

. Em particular, . Consideremos as semi-retas determinadas pelo ponto A. Se B e C estão em semi-retas opostas, pela definição de coordenadas de pontos, as coordenadas a, b e c não poderiam satisfazer a < c < b ou b < c < a, assim, B e C estão na mesma semi-reta em relação a A e pela Proposição 3.4, temos que C está entre A e B, como queríamos demonstrar.

Definição 3.4: Dado um segmento AB, dizemos que um ponto C AB é o ponto médio de AB, se .23.

AC B

23 Utilizaremos os símbolos /, //, ///, ////, sobre os segmentos para representar que estes possuem o mesmo comprimento. Aqui estamos utilizando no desenho o símbolo “//”.

37


A existência e unicidade do ponto médio são garantidas pela proposição a seguir.

Proposição 3.4: Qualquer segmento tem um único ponto médio.Demonstração: (Existência) Sejam a e b as coordenadas das extremidades deste segmento. Considere o número

. Afirma-mos que o segmento de coordenada c (que existe pelo Axioma IV.1) é o ponto médio desejado. De fato:

donde segue que , e como o número está entre a e b, segue da Proposição 3.4 que C está entre A e B.

(Unicidade) Suponhamos que C e D sejam pontos médios do segmento AB, então:

.Portanto, x(C) = x(D), pela injetividade da função x dada pelo Teorema 3.4, temos que C = D.

É importante observar que apenas a condição C AB não é suficiente para que C seja ponto médio. Se impormos apenas a condição observe que também não é suficiente pois podemos ter algo como mostra o desenho ao lado onde e C

A

C

B

38

3. Segmentos, Ângulos e MedidasAB. Por outro lado, podemos supor somente que C está na reta rAB e teremos comocomo conseqüência da condição que C está entre A e B. De fato, se C AB então temos B entre A e C ou A entre B e C. No primeiro caso, e no segundo caso temos , o que torna impossível C satisfazer a condição e, portanto, C está entre A e B.

O conceito de distância permite definir circunferência e círculo. Seja O um ponto do plano e r um número real positivo. A circunferência de centro O e raio r é o conjunto constituído por todos os pontos C do plano tais que

. O conjunto dos pontos C que satisfazem a desigualdade é dito ser o círculo de centro O e raio r (ou disco de centro O e raio r). Se um ponto A é tal que < r, dizemos que A está no interior do círculo. Se um ponto B é

Or

Or

A

B

tal que > r, dizemos que B está no exterior do círculo. As propriedades das circunferências e dos círculos serão estudadas no Capítulo 8.24

A circunferência de centro O e raio r é uma figura plana onde todos os pontos pertencentes a ela distam r de O e qualquer ponto que dista r de O pertence à circunferência. Estas duas propriedades nos levam ao conceito de lugar geométrico segundo uma propriedade , que é uma figura plana tal que:

24 Em geral, os termos circunferencia e disco, em qualquer texto matemático têm sentido bastante claro, ou seja, circunferencia é a linha e disco é a região determinada pela circunferencia. Já para o termo círculo existe uma ambiguidade em vários textos, significando hora circunferencia ou hora disco. Neste texto, seremos rigorosos no uso desses termos, seguindo rigorosamente a definição dada.

39

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoa) Todos os pontos pertencentes a satisfazem a

propriedade .b) Os únicos pontos do plano que satisfazem a

propriedade pertencem a .O círculo é também um lugar geométrico. No decorrer do texto apresentaremos outros exemplos de lugares geométricos.

O conceito de distância permite definir ainda o perímetro de um polígono.

Definição 3.4: A soma das medidas dos lados de um polígono qualquer é chamada perímetro do polígono.

3.2. Medidas de ÂngulosDa mesma maneira que trabalhamos com

segmentos apresenta-remos os principais conceitos e resultados relacionados a ângulos.

Definição 3.4: Num semiplano, chamamos de ângulo a figura formada por duas semi-retas com a mesma origem, tal que uma das semi-retas está sobre a reta que determina o semiplano. As semi-retas são chamadas de lados do ângulo e a origem comum, de vértice do ângulo. Um ângulo formado por duas semi-retas distintas de uma mesma reta é chamado de ângulo raso.25

O

O

25 Alguns livros definem ângulo como a “região” determinada pelas semi-retas. Não existe diferença entre estas escolhas mas devemos lembrar que a cada ângulo determinado por uma definição está associado um ângulo determinado pela outra definição.

40


Existem várias maneiras distintas de denotar um ângulo. É muito usual denotar o ângulo da Definição 3.4, por AÔB ou por BÔA. Ao utilizar esta notação, a letra indicativa do vértice deve sempre aparecer com acento circunflexo entre as outras duas letras que representam os pontos das semi-

O

A

B

retas que formam o ângulo. Quando nenhum outro ângulo exibido tem o mesmo vértice, pode-se denotar por Ô, utilizando apenas a letra do vértice com acento circunflexo para designar o ângulo. 26

Voltaremos agora para o grupo III de axiomas para estabelecer medida de ângulos.

Axioma III.3: A todo ângulo corresponde um número maior ou igual a zero e menor ou igual a 180. Este número é zero se, e somente se, ele é constituído por duas semi-retas coincidentes. Ao ângulo raso corresponderá o número 180.

Definição 3.4: Dado um ângulo Â, o número a que se refere este axioma é chamado medida em graus do ângulo Â e será denotado por m(Â).

Aqui também ao introduzir este axioma, estamos admitindo que podemos fazer esta medida em graus através de algum instrumento conhecido, que definirá uma unidade de medida. Mais adiante veremos como construir e utilizar este instrumento.

26 Note que não estamos diferenciando o ângulo AÔB do ângulo BÔA, isto somente é feito quando se deseja trabalhar com ângulos orientados.

41


Quando não há a necessidade de explicitar os elementos de um ângulo, é bem usual a utilização de letras gregas minúsculas27 para denotar a medida do ângulo. Neste caso é conveniente escrever a letra grega em questão próxima do seu vér-tice, conforme desenho ao lado. Quando a medida é um número conhecido escreve-se

o próprio número no lugar da letra.Não se sabe exatamente quando o homem

começou a medir ângulos mas certamente eles já eram medidos por volta de 2.800 a.C. na antiga Mesopotâmia. Conjectura-se que a necessidade de medir ângulos surgiu na Astronomia, sendo talvez o primeiro estudo a incorporar a aplicação da matemática. Por exemplo, se quisesse saber a distância que a Lua estava acima do horizonte utilizava-se os seguintes métodos:

Esticava-se o braço e se calculava quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou

Segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e se media a distância.

A medida era diferente de um comprimento comum sendo considerado o primeiro passo para medir ângulo.

O análogo ao Axioma III.2 para ângulos é dado pelo próximo axioma. Para isto apresentamos a seguinte definição:

27 O alfabeto grego minúsculo é dado por: (alfa), (beta), (gama), (delta), (epsílon ou epsilo), (zeta ou dzeta), (eta), (teta), (iota), (capa), (lambda), (mi ou mu), (ni), (xi), (omicron), (pi), (rô), (sigma), (tau), (upsilon), (fi), (qui), (psi) e (omega).

42

3. Segmentos, Ângulos e MedidasDefinição 3.4: Sejam SOA, SOB e SOC semi-retas com origem O. Se o segmento AB interceptar SOC, diremos que SOC divide o ângulo AÔB.

Pode-se mostrar que se o segmento AB interceptar SOC, então SOC intercepta qualquer segmento com extremos nos lados

O

A

B

.

C

do ângulo. Deixamos como exercício a demonstração desta afirmação (Exercício 3.12).Axioma III.4: Se uma semi-reta SOC divide um ângulo AÔB, então a medida do ângulo AÔB é igual a soma das medidas dos ângulos AÔC e CÔB, ou seja,

m(AÔB) = m(AÔC) + m(CÔB).

O

A

B

C

Teorema 3.4: Considere um ângulo AÔB e SOC uma semi-reta por O onde C está no mesmo semiplano de B com relação a reta rOA. Nestas condições, temos que ou SOB divide AÔC, ou SOC divide AÔB, e em ambos os casos m(BÔC) = m(AÔC) – m(AÔB).Demonstração: Seja A1 um ponto na semi-

O

BA

C

OB

A

C

reta oposta a SOA. Consideremos o triângulo AA1C. Então pelo Exercício 2.8, como a reta OB corta o lado A1A do triângulo e não passa por nenhum dos seus vértices, (as semi-retas são distintas) temos que OB corta AC ou A1C. Veja o desenho ao lado. No primeiro caso AC intercepta SOB, e, assim, pela Definição 3.4 SOB divide o ângulo

rO

A

B

C

A1

43

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoAÔC, portanto pelo Axioma III.4, temos:

m(AÔC) = m(AÔB) + m(BÔC) m(BÔC) = m(AÔC) – m(AÔB) (1)

rO

A

CB

A1

D

No segundo caso, temos que OB intercepta A1C. Chamamos de D esta interseção, e aplicamos novamente o Exercício 2.8, agora no triângulo ADA1 e a reta OC. Observamos que OC intercepta AD, pois caso a interseção fosse em A1D teríamos que a interseção de OC e A1C seriam dois pontos, o que é absurdo pela Proposição 2.3, já que as retas A1D e OC são distintas. Assim pelo Exercício 3.12, intercepta qualquer segmento com extremos nos lados de AÔB inclusive o segmento AB. Logo, SOC divide o ângulo AÔB e, portanto, pelo AxiomaIII.4 , obtemos:

m(AÔB) = m(AÔC) + m(BÔC) m(BÔC) = m(AÔB) – m(AÔC) (2)

Segue de (1) e (2) que:m(BÔC) = m(AÔB) – m(AÔC).

Proposição 3.4: Dado um número real 0 ≤ ≤ 180, apenas um ângulo AÔB medindo , pode ser colocado em um semiplano determinado pela reta que contém a semi-reta SOA.Demonstração: Suponhamos que dois ângulos AÔB e AÔC têm medida graus. Então, pelo Teorema 3.4, SOC divide AÔB ou SOB divide AÔC e em ambos os casos m(BÔC) = m(AÔC) – m(AÔB)=–=0. Assim, as semi-retas SOC e SOB coincidem.

Vamos agora apresentar o recíproco do AxiomaIII.3:

44

3. Segmentos, Ângulos e MedidasTeorema 3.4: Para qualquer número real , tal que 0 < < 180, existe um, e somente um ângulo cuja medida em graus é .Demonstração: (Existência) Em primeiro lugar, afirmamos que existem ângulos cuja medida em graus é arbitrariamente pequena. De fato, seja AÔB um ângulo qualquer e sua medida em graus. Tomemos um ponto C qualquer no segmento AB, conforme mostra o desenho ao lado. Por definição, a semi-reta OC, divide o ângulo AÔB e, pelo Teorema 3.4, m(AÔC) + m(CÔB) = m(AÔB). Assim, a menor das medidas em graus entre os ângulos AÔC e de CÔB é menor ou igual

O

B

AC

a /2. Da mesma maneira construímos ângulos cujas medidas é menor ou igual a /4, /8, etc. Assim, existem ângulos cujas medidas em graus podem ser arbitrariamente pequenas. Consideremos uma reta r e um ponto O arbitrário. Sejam A e A’ pontos em lados distintos em relação ao ponto O, ou seja, existem duas semi-retas opostas SOA e SOA’. Pelo resultado acima, podemos encontrar um ângulo A’ÔB, cuja medida é menor que (180º– ), em um dos semi-pla-nos determinado por r. Assim, o ângulo AÔB é maior que . Seja X um ponto arbitrário no segmento AB. Denotemos por M() o conjunto dos pontos X em AB, tal que o ângulo AÔX é menor ou igual a . Seja d o supremo dos comprimentos dos segmentos

OA’ A

B

XX0

X’

r

AX quando X M() e X0, o ponto de AB tal que AX0 = d (que existe pelo Axioma III.2). Afirmamos que o ângulo AÔX0 tem medida . De fato,1. Suponhamos por absurdo que m(AÔX0)= < . Marquemos a partir da semi-reta no semi plano

, um ângulo X0ÔX’, com medi-da em graus menor 45

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoque a medida em graus de X0ÔB1 e menor também que .– . Então a medida do ângulo AÔX’ é menor que a medida (temos = + m(X0ÔX’) < + (.– ) = ), que é absurdo, pois > = d e o ponto X’ estaria em M() por definição.2. Suponhamos agora que m(AÔX0)= > . Tomemos um ângulo X0ÔX’ a partir da semi-reta no semi-plano

, menor que os ângulos AÔX0 e – . Então a medida do ângulo AÔX’ é maior que (temos = – m(X0ÔX’) > – ( + ) = ). Pela definição de M() e de X0, existe um ponto X”, arbitrariamente próximo de X0, tal que o ângulo AÔX” tem medida menor ou igual a , e desta forma o ponto X’, está no segmento AX”. Assim, o ângulo AÔX’ tem medida menor que , o que é uma contradição.Por 1. e por 2. , temos que o ângulo AÔX tem medida .

(Unicidade) Segue imediatamente da Proposição 3.4.

Exemplos

3.3. Consideremos três ângulos AÔC, AÔB e BÔC, onde AÔB e BÔC medem 30o e 40o, respectivamente. Temos, pelo Axioma III.4, que m(AÔC) =m(AÔB) + m(BÔC) = 70.

3.4. Dois ângulos são denominados consecutivos quando possuem um lado em comum. No Teorema 3.4 temos que se SOC divide um ângulo AÔB então AÔC e CÔB são consecutivos com o lado SOC em comum e se SOB divide AÔC temos que AÔB e BÔC são consecutivos com o lado SOB em comum.

Agora podemos estabelecer unidades de medida de ângulos e construir um instrumento que servirá para comparar ângulos. Considere o ângulo raso AÔB, cuja medida já sabemos que é 180. Escolhamos um semiplano determinado pela reta AB. Neste semiplano, utilizando a

46


Proposição 3.4 construa um ângulo cuja medida é . Este é o ângulo cuja medida vale 1 grau e que denotamos por 1o. É justamente isto que se faz para construir um transferidor ilustrado na foto a seguir.

3.3. Congruência de Segmentos e Ângulos

Os segmentos e os ângulos estão espalhados por todo o plano. Assim é interessante separá-los em determinadas classes e o critério para fazer será dado pelas suas medidas.Definição 3.4: Dois segmentos são congruentes quando possuem o mesmo comprimento.

Proposição 3.4: A congruência entre segmentos é uma relação de equivalência.Demonstração: Segue imediatamente do fato da relação de igualdade entre números reais ser uma relação de equivalência.

Definição 3.4: Dois ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida.

47

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoProposição 3.4: A congruência entre ângulos é uma relação de equivalência.Demonstração: Segue imediatamente do fato da relação de igualdade entre números reais ser uma relação de equivalência.

Observe a diferença entre a afirmação de que dois segmentos são iguais e que dois segmentos são congruentes. Na geometria a posição de seus objetos é importante e a relação de congruência serve para dividir esses objetos em classes de equivalência segundo uma medida. A mesma diferença ocorre entre igualdade e congruência de ângulos.Definição 3.4: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma de suas medidas é 180o. O suplemento de um ângulo é o ângulo de mesmo vértice, com um dos lados em comum e o outro lado é a semi-reta obtida pelo prolongamento do outro lado, como mostra o desenho ao lado. Com a interseção de duas retas r e s, formam-se quatro ângulos, como no desenho ao lado. Os ângulos AÔB e DÔC são ditos opostos pelo vértice. Analogamente para os ângulos AÔD e BÔC.

OC

B

A

O

C

A

B

D

Proposição 3.4: Dois ângulos opostos pelos vértice são congruentes.Demonstração: Com efeito, considerando o desenho ao lado, devemos mostrar que DÔC BÔA. De fato, como o ângulo BÔD é raso, então BÔA e AÔD são ângulos suplementares e, daí

m(BÔA) + m(AÔD) = 180o.

A

BC

DO

48


(1)Por outro lado, AÔC também é um ângulo raso, então AÔD e DÔC são ângulos suple-suplementares, logo

m(DÔC) + m(AÔD) = 180o. (2)Por (1) e (2), temos m(BÔA) + m(AÔD) = m(DÔC) + m(AÔD) m(BÔA) = m(DÔC) + m(AÔD) – m(AÔD) m(BÔA) = m(DÔC), obtendo assim o desejado.

Definição 3.4: Um ângulo, cuja medida é 90o chama-se ângulo reto. Quando duas retas se interceptam, formando ângulo reto28, dize-mos que estas retas são perpendiculares.

O desenho ao lado ilustra como, em geral, é denotado um ângulo reto.

r

s

Teorema 3.4: Por qualquer ponto de uma reta r passa uma única perpendicular a esta reta.Demonstração:(Existência) Seja O um ponto qualquer em r. Vimos que r determina dois semiplanos e pelo Teorema 2.3, O divide r em duas semi-retas. Seja SOA uma das semi-retas que contém um ponto A r diferente de O. Pelo Teorema 3.4 podemos construir uma semi-reta SOB que forma um ângulo de 90o com SOA, em um dos semiplanos

rO

B

A

s

28 Isto é possível pela Proposição 3.4 e Definição 3.449

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francodeterminado por r. Como A e B estão em semi-retas distintas, as retas rOA e rOB serão perpendiculares. De fato, sejam SOC e SOB as semi-retas opostasa SOA e SOD respectivamente. Como SOA forma ângulo de 90o com SOB, e como AÔB e BÔC são ângulos suplementares, então BÔC é um ângulo reto, mas como AÔB é oposto pelo vértice a CÔD, e BÔC é oposto pelo vértice a DÔA, da Proposição 3.4, m(CÔD) = 90o e m(DÔA) = 90o. Logo, as retas r e s se interceptam formando angulos retos e, por-tanto, são perpendiculares.

OA

B

DC

(Unicidade) Segue imediatamente da Proposição 3.4.

Exemplo

3.5. Dado um segmento AB numa reta r, chamamos de mediatriz do segmento AB, a reta s perpendicular à reta r que passa pelo ponto médio M de AB.

r

s

A BM

3.6. Dado um ângulo AÔB, a semi-reta SOC tal que m(AÔC) = m(CÔB) é denominada bissetriz do ângulo AÔB. Vamos mostrar que existe uma única bissetriz de um ângulo. De fato, dado um ângulo AÔB, considere

50


o número real = . Pela Proposição 3.4, existe um único ângulo AÔC de lado SOA no semiplano OA,B medindo graus. Como < m(AÔB) temos que SOC divide AÔB e m(AÔB) = m(AÔC)+m(CÔB).

AO

BC

Logo, m(CÔB) = m(AÔB) – m(AÔC) = 2 – = = m(AÔC).Para finalizar este capítulo apresentamos a seguir

um novo diagrama com todas as figuras que foram apresentadas até agora, já incluídas as definições apresentadas nos Exercícios 3.9 e 3.11. É importante lembrar que na classe de segmentos existem as subclasses determinadas pelas medidas e na classe de polígonos existem as subclasses determinadas pelo número de lados.

Figuras

pontos retas

segmentos

triângulos

semi-retas semiplanos

quadriláterospolígonos

ânguloselipses

circunferências

isóscelesescalenos

eqüiláteros

3.4. Exercícios3.1. Sejam M, N e P três pontos de uma reta r, tal que

, e . A coordenada de M em relação a um ponto O de r é 3. Quais são as possíveis coordenadas de N e P se

51

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoa) a coordenada de M é menor que a de N?b) a coordenada M é maior que a de N?

3.2. Sejam M, N e P três pontos de uma reta r, tal que , e . É possível determinar qual ponto

está entre os outros dois? Justifique sua resposta.

3.3. Três sistemas de coordenadas diferentes são fixados em uma mesma reta, denominados I, II e III, com origens O, O’ e O’’ respectivamente, mas todos com a mesma unidade de comprimento. Na reta, há três pontos fixos, A, B e C, que são designados por suas coordenadas da seguinte maneira:

No sistema I a coordenada de A é –6 e a de B é –2 . No sistema II, as coordenadas de A e C são

respectivamente –4 e –3 . No sistema III, as respectivas coordenadas de C e B

são 4 e 7.a) Que ponto está entre os outros dois ?b) Determine as possíveis coordenadas de O’ e de O’’, no sistema I.

3.4. Considere em uma reta r um sistema de coordenadas com origem num ponto O, ou seja, nesse sistema o ponto O tem coordenada zero. Seja O’ um ponto de r de coordenada –1 nesse sistema. a) Se considerarmos um novo sistema de coordenadas, no qual o ponto O’ tem coordenada zero, qual a coordenada de O nesse novo sistema de coordenadas? b) Se um ponto A da reta, tem coordenada 3 no 1o

sistema, qual a coordenada de A no 2o sistema? c) Se um ponto B tem coordenada –3 no 2o sistema qual a coordenada de B no 1o sistema?

3.5. Sejam A e B pontos de uma reta com coordenadas –3 e 5, respectivamente, em relação a um ponto O da reta de coordenada zero. Assuma uma unidade de comprimento e marque estes pontos em r. Em seguida calcule e marque o ponto médio C de AB. Encontre também as coordenadas

52

3. Segmentos, Ângulos e Medidasdos pontos médios de AC e CB, denominados D e E, respectivamente. Quem é o ponto médio de DE ? Justifique.

3.6. Considere um segmento AB. Mostre que existe um único ponto C entre A e B tal que = k, onde k é qualquer número real positivo.

3.7. Sejam A, E, K três pontos de uma reta r. As coordenadas de A e K são e , respectivamente. Se

qual é a coordenada de E?

3.8. Se P é ponto de interseção de duas circunferências de raio r e centros O e O’, demonstre que .

3.9. Um triângulo cujos lados tem o mesmo comprimento é chamado triângulo eqüiláte-ro, se o triângulo contiver dois lados de mesmo comprimento, ele é chamado triân-gulo isósceles, nesse caso os lados iguais são chamados laterais e o terceiro lado de base, e se o triângulo possuir todos os lados distintos ele é denominado triângulo escale-no. Considere uma circunferência de raio r e centro O. Sejam A e B, pontos desta circunferência. O que podemos afirmar sobre o triângulo OAB? Se o triângulo OAB for eqüilátero, o que podemos dizer sobre o segmento AB?

3.10. Em desenho geométrico, temos como únicos instrumentos de construção uma régua não graduada e um compasso. a) Estes instrumentos estão associados a que axiomas? b) Como você faria nesse caso para construir:

- Um triângulo escaleno dado os seus três lados?

53


- Um triângulo isósceles, sendo dados um lado e a base?

- Um triângulo eqüilátero dado um lado?- Um quadrilátero com todos os lados congruentes ?

3.11. Dados dois ponto F e F’ e um número real d, maior que o comprimento do segmento FF’, o lugar geométrico dos pontos C que satisfazem a propriedade =d é denominado elipse, os pontos F e F’, são chamados focos da elipse. Defina nesse caso o que seriam pontos interiores e exteriores a uma elipse.

F F’

3.12. Demonstre que se o segmento AB interceptar a semi-reta SOC que divide o ângulo AÔB, então SOC intercepta qualquer segmento com extremos nos lados de AÔB.

3.13. Mostre que se um ângulo e o seu suplemento têm a mesma medida então o ângulo é reto.

3.14. Mostre que as bissetrizes de um ângulo e do seu suplemento são perpendiculares.

3.15. Dizemos que um ângulo é agudo se sua medida é menor que 90o. Dizemos que um ângulo é obtuso se sua medida é maior que 90o. Mostre que o suplemento de um ângulo agudo é sempre obtuso.

3.16. Dizemos que dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90o. Um ângulo mede o dobro do seu comprimento menos 30o, calcule a medida deste ângulo?

3.17. Mostre que se a medida do complemento de um ângulo é igual a medida do suplemento de um ângulo,

54

3. Segmentos, Ângulos e Medidasentão a diferença entre as medidas destes ângulos é um ângulo reto.

3.18. Desenhe uma poligonal ABCDE, sabendo-se que , , e os ângulos m(

) = 60o, m( ) = 30o e m( ) = 45o. Quantas poligonais são possíveis construir com estes dados?

3.19. Sejam dois ângulos AÔB e AÔC num semiplano AO,B, tal que m(AÔB) < m(AÔC). Mostre que SOB divide AÔC.

3.20. Considere um ângulo AÔB e um número real positivo k, tal que 0<k<1, mostre que existe uma única semi-reta SOC, com m(CÔB) = k.m(AÔB).

55

Capítulo 4: Congruência de Triângulos

Neste capítulo, trabalharemos com o quinto grupo de axiomas que estabelece condições de congruência de triângulos.

Os triângulos podem ser vistos como figuras básicas da geome-tria e o estudo de suas propriedades facilita descobrir as propriedades de outras figuras29.

Definição 4.5: Dois triângulos ABC e DEF, são ditos congruentes, se existir uma função bijetora f: {A,B,C} {D,E,F}, que leva os vértices de um, nos vértices do outro, de tal modo que lados e ângulos correspondentes sejam congruentes, ou seja,

m(Â) = m( ), ,

m( ) = m( ), ,

m( ) = m( ), .

A

B C D

EF

Escreveremos ABC DEF, para dizer que os triângulos ABC e DEF são congruentes.30

Por exemplo, suponha que ABC seja congruente a DEF, então existe uma função bijetora f: {A,B,C} {D,E,F} que mantém inaltera-das as medidas dos ângulos

29 Euclides colocou em seu livro um grande número de proposições relacionadas a triângulos.

30 Na prática a congruência de triângulos significa que podemos sobrepor os dois triângulos de forma que não apresentem diferenças em suas medidas.

4. Congruência de Triângulose lados correspondentes. Para fixar a idéia, suponhamos f(A) = D, f(B) = E e f(C) = F, então devemos ter Â ,

, , , e .

Exemplo

4.1. No desenho abaixo os dois primeiros triângulos são congruentes e os dois últimos não são congruentes.

Proposição 4.5: A congruência entre triângulos é uma relação de equivalência no conjunto dos triângulos.Demonstração: É claro que ABC ABC. Basta definir a função f: {A, B, C} {A, B, C} como sendo a função identidade e teremos que f satisfaz a Definição 4.5, pois a congruência entre ângulos e segmentos é uma relação reflexiva. Logo, a congruência é reflexiva. Suponhamos agora que ABCDEF, então pela Definição 4.5 existe f: {A,B,C}{D,E,F} bijetora tais que as medidas de ângulos e segmentos correspondentes são congruentes assim, podemos considerar a sua função inversa f –1: { D, E, F} { A, B, C}. Temos que f –1 é bijetora e satisfaz as condições da Definição 4.5, posto que a congruência entre ângulos e segmentos é uma relação simétrica. Portanto DEF ABC. Finalmente suponhamos que ABC DEF e DEF GHI, então pela Definição 4.5 existem funções f: {A, B, C} {D, E, F} e g: { D, E, F} {G, H, I} bijetoras tais que as medidas de ângulos e segmentos correspondentes são congruentes. Considere a função composta h=gf: {A,B,C}{G,H,I}. Temos que h é bijetora e satisfaz as condições da Definição 4.5, pois a congruência entre segmentos e ângulos é uma relação transitiva. Logo, ABC GHI.

57


Como veremos nas próximas seções, para se ter congruência de triângulos, não é necessário ter, a princípio, os seis elementos correspondentemente congruentes. Iniciaremos com o axioma básico de congruência de triângulos:

Axioma V.1: Dados dois triângulos ABC e DEF, se AB DE, AC DF e Â , então Ê.

Por troca de símbolos temos, sob as hipóteses do Axioma V.1, que são sempre verificadas as duas congruências Ê e .

A partir deste axioma obteremos todos os casos de congruência de triângulos, a saber: Lado-Ângulo-Lado, Ângulo-Lado-Ângulo, Lado-Lado-Lado, Lado-Ângulo-Ângulo Oposto e Lado-Lado-Ângulo Reto31.

4.1. O Caso LALBaseado no axioma anterior obtemos o primeiro

caso de congruência: Teorema 4.5 (Caso LAL): Dados dois triângulos ABC e DEF, se AB DE, AC DF e Â , então ABC DEF. Demonstração: Pelo Axioma V.1 obtemos Ê e e assim falta somente mostrar que BC EF. Suponhamos, por contradição, que BC

31 Os casos mais freqüentemente apresentados são os quatro primeiros, decidimos apresentar um quinto caso (sempre apresentado como exercício) para enfatizar a possibilidade de ocorrer congruencia do tipo LLA quando o ângulo é reto.

58

4. Congruência de Triângulosnão seja congruente a EF. Considere um ponto G em EF tal que BC EG e, novamente, pelo Axioma V.1 aplicado aos triângulos ABC e DEG, temos Â congruente a E G. Como Â é congruente a , temos E G o que contradiz a Proposição 3.4. Logo, BC EF, como queríamos demonstrar.

A

C

B

F

D

E

G

Este teorema é conhecido como primeiro caso de congruência de triângulos e muitas vezes denotado por LAL, significando “lado, ângulo e lado”, por razões óbvias. A vantagem deste resultado é que para concluir a congruência entre dois triângulos não é necessário comparar os três lados e os três ângulos, basta comparar dois lados e o ângulo determinado por eles.

Exemplos:

4.2. No desenho ao lado, os triângulos são con-gruentes. Temos neles AB A’B’ e BC B’C’. Além disso os ângulos indicados são congruentes. Logo, pelo Teorema4.5, os triângulos ABC e A’B’C’ são congruentes.

A

C

B

C’

A’

B’

4.3. É importante observar a correspondência entre os lados e o ângulo, ou seja, os ângulos congruentes devem ser formados pelos pares de lados congruentes. Considere um triângulo isósceles ABC com base BC. Na reta BC tome um ponto D tal que C está entre B e D e obtenha o triângu-

59

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francolo ABD (desenho ao lado). Nos triângulos ABD e ACD temos AB AC, lado AD e ângulo comuns. Assim, temos dois triângulos com dois lados e um ângulo congruente, que podemos denotar por ALL. Porém, neste caso, vemos que os triângulos não são congruentes. Logo, dois lados e um ângulo

B C

A

D

congruente não é caso de congruência.

4.4. Uma outra maneira de construir dois triângulos não congruentes mas que tenham dois lados congruentes e um ângulo congruente podeser feita construindo dois triângulos ABC e DBC tais que a medida de AB é menor do que a medida de AC e a medida de BD é igual a medida de AC (veja desenho ao lado). Assim, temos dois triângulos com dois pares de lados congruentes (BC,BC) e (BD,AC) e um

A

B C

D

par de ângulos congruentes ( , ) e, no entanto, por construção, ABC e DBC não são congruentes.

4.5. No desenho ao lado, é um ângulo reto e M é ponto médio de AB. Vamos mostrar que o segmento CA é congruente ao segmento CB. De fato, como é um ângulo reto e é um ângulo raso temos que também é um ângulo reto e

A

B

CM

portanto pelo Teorema 4.5 (Caso LAL), os triângulos CBM e CAM são congruentes. Logo CA CB.

Como conseqüência do Teorema 4.5 temos o seguinte resultado:

60

4. Congruência de Triângulos

Corolário 4.5: Num triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes.Demonstração: Suponhamos que num triângulo ABC tenhamos ABAC, isto significa que o triângulo ABC é isósceles de base BC. Considere a função f : {A,B,C} {A,B,C}, entre os vértices do mesmo triângulo ABC, tal que f (A) = A, f (B) = C e f (C) = B. Como f é bijetora, AB AC, AC AB (por hipótese) e Â Â, segue do Teorema 4.5 (caso LAL), que f define uma congruência. Logo, .

A recíproca deste resultado também é verdadeira mas, para isto, necessitaremos de outro caso de congruência. Antes disso, veremos uma aplicação do Corolário 4.5 (Teorema 4.5) e outra aplicação utilizando o Teorema 4.5, fornecendo um resultado (Teorema 4.5) sobre ângulos externos de um triângulo que ainda será definido.

Definição 4.5: Seja ABC um triângulo qualquer e D um ponto na reta BC. O segmento AD, denomina-se:

mediana do triângulo relativo ao lado BC se D é o ponto médio de BC.

altura do triângulo relativo ao lado BC, se a reta AD é perpendicular a reta BC.

Os ângulos Â, e são denominados opostos aos lados BC, AC e AB, respectivamente.

Observe que num triângulo determinamos três alturas e três medianas.

Teorema 4.5: Em um triângulo isósceles a mediana relativa a uma base é também a altura relativa a base e está sobre a bissetriz do ângulo oposto a esta base.

61

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Seja ABC um triângulo isós-celes de base BC (ver desenho ao lado). Su-ponhamos que AD seja a mediana relativa a base. Consideremos os triângulos ABD e ACD. Como o triângulo é isósceles, temos AB AC e, pelo Corolário4.5, temos . Como AD é mediana relativa a BC, temos BD CD, e

B

C

AD

assim pelo Teorema 4.5 (caso LAL) os triângulos ABD e ACD são congruentes. Como é um ângulo raso e ABD ACD temos . Logo, cada um destes ângulos mede 90o e assim a reta AD é perpendicular a reta BC, concluindo que AD é altura relativa a BC. Ainda pela congruência de ABD com ACD, temos BÂD CÂD e assim AD é bissetriz de BÂC.

Definição 4.5: Num triângulo ABC, os ângulos são chamados ângulos internos do triângulo. Os suplementos destes ângulos são chamados de ângulos externos do triângulo.

Há resultados interessantes sobre estes ângulos, começaremos com os ângulos externos:

Teorema 4.5 (do Ângulo Externo): Todo ângulo externo de um triângulo mede mais que qualquer dos ângulos internos a ele não adjacentes.Demonstração: Consideremos um triângu-lo ABC como no desenho ao lado. Sem perda de generalidade vamos mostrar que o re-sultado é válido para o ângulo externo dado pelos lados CA e BA. Vamos utilizar o Axioma II.2 e escolher um ponto D tal que A esteja entre C e D.

A

E

B

C D

F

62

4. Congruência de TriângulosQueremos mostrar quem(DÂB) > m( ) e m(DÂB) >m( ). Mostremos inicialmente que m(DÂB) >m( ). Considere E o ponto médio de AB. Na reta CE, marque um ponto F tal que E esteja entre C e F, e de tal modo que CEEF. Tracemos AF. Notemos que BE AE, CE EF (por construção) e BÊC AÊF (opostos pelo vértice). Assim, pelo Teorema 4.5 (Caso LAL), BEC AEF. Conseqüentemente, . Como E está entre C e F, afirmamos que a reta AF não corta o segmento BC. De fato, se AF cortasse BC, então, por definição, AF dividiria o ângulo CÂB, e assim pelo Exercício 3.12, AF cortaria CE num ponto Y, logo teríamos que Y AF e Y CE = CF e portanto, por F e Y estariam passando as retas AF e CF que são distintas, pois E CF e E AF, o que é um absurdo. Assim, con-siderando o triângulo CBD e o Exercício 2.8, temos que AF corta BD e assim AF divide o ângulo DÂB. Pelo Axioma III.4, temos m(BÂD)=m(BÂF)+m(FÂD)>m(BÂF)= m( ).Para demonstrar que m(DÂB) >m(

), seja E o ponto médio de AC. Tracemos a semi-reta SBE e marcamos um ponto F em SBE tal que BE EF e E esteja entre B e F. Trace-

.AE

B

C D

F

.G

mos a semi-reta SFA e tomemos algum ponto G em SFA tal que A esteja entre F e G como BE EF, CE AE (por construção) e BÊC FÊA (opostos pelo vértice), temos pelo Teorema 4.5 que BEC FEA e, portanto, FÂE. Como FÂE e DÂG são opostos pelo vértice, pela Proposição 3.4, temos FÂE DÂG. Como SFASAB, e SFA não intercepta BC, pois se esse fosse o caso teríamos que SFA interceptaria BE em um ponto H e portanto FA e BF teriam os pontos H e F em comum, o que é absurdo. Logo, SFA divide o ângulo DÂB e portanto pelo Axioma III.4 m(DÂB) > m( ), pois DÂG .

63


Exemplos

4.6. No desenho ao lado, m()<m( ). Vamos mostrar que

. De fato, sabemos pelo Teorema 4.5 que

e , mas,

A

CBD E

por hipótese, , assim se e

então .

4.7. No desenho ao lado, B, D e A são colineares. Do mesmo modo D, E e C são colineares. Vamos mostrar que a medida de AÊC é maior que a medida de . De fato, do desenho vemos que é ângulo exter-

BD

A

CE

no ao triângulo BCD (suplementar do ângulo interno do triângulo BDE) e portanto, pelo Teorema 4.5, temos que

. Temos também que é ângulo externo no triângulo ADE e portanto, pelo Teorema 4.5, m(AÊC) > . Daí como e m(AÊC) > , então m(AÊC) > .

4.2. O Caso ALAVamos apresentar o segundo caso de congruência,

denotado por ALA (ângulo, lado e ângulo).

64

4. Congruência de TriângulosTeorema 4.5 (Caso ALA): Dados dois triângulos ABC e EFG, se AB EF, Â Ê e , então ABC EFG. Demonstração:Consideremos um ponto D na reta AC, tal que AD EG, conforme desenho ao lado. Comparando os triângulos ABD e EFG, temos AB EF (por hipótese), AD EG (por construção) e Â Ê (por hipó-tese), assim pelo Teorema4.5 (caso LAL) te-mos que ABD EFG. Segue da definição de congruência de triângulos que

e, por

A

B CD

E

FG

hipótese , assim temos . Pelo Teorema 3.4, temos que m( ) = 0, logo, C e D estão nas semi-retas SAC e SBC e, portanto, C e D coincidem. Como já mostramos que ABD EFG, temos o desejado.

Exemplos

4.8. Nos desenhos abaixo, os pares de triângulos são congruentes.

4.9. Novamente devemos observar a importância da correspondência que, neste caso, ocorre entre o lado e os ângulos, ou seja, os lados congruentes devem ser adjacentes aos pares de ângulos congruentes. Considere um triângulo ABC com base BC tal que o ângulo é

65

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francomenor do que o ângulo . Em C considere uma semi-reta que divide o ângulo tal que A D A C e seja D a intersecção desta semi-reta com AB.Vemos que, apesar de os pares de ângulos (Â, ) e (Â, ) serem congruentes e o lado AC ser comum aos triângulos ABC e ADC, estes não são congruentes. O caso ALA impôs uma condição sobre o lado, ou seja, deverá ser adjacente aos ângulos, o que não acontece com o lado AC no triângulo ABC neste caso. Mais adiante veremos que, ape-

A B

C

D

sar de não termos lados adjacentes mas a correspondência entre os elementos congruentes dos triângulos se mantiver obtemos um caso de congruência denominado LAAo.

Como conseqüência do Teorema 4.5 temos a recíproca do Corolário 4.5.

Corolário 4.5: Num triângulo ABC, se os ângulos relativos a um dos lados são congruentes, então o triângulo é isósceles.Demonstração: Suponhamos que . Vamos comparar o triângulo ABC com ele mesmo. Seja a função f : {A,B,C}

{A,B,C}, tal que f(A) = A, f(B) = C e f(C) = B. Como , (por hipótese) e BC CB, segue do Teorema

4.5 (caso ALA) que esta função estabelece uma congruência e assim AC AB.

66

4. Congruência de TriângulosExemplos

4.10. No desenho ao lado temos e =, ou seja, AC é bissetriz

do ângulo BÂD. Vamos mostrar que é igual a e BCCD, assim AC é altura do triângulo ABD e AC é mediana de BC. De fato, pelo Corolário 4.5, ABD é isósceles e assim AB AD e como, por hipótese, = e , pelo Teorema4.5 (Caso ALA), ABC ADC e, portanto, = e

A

B

C

D

BC CD. Como + = 180o, temos = = 90o e, portanto, toda bissetriz do ângulo oposto à base num triângulo isósceles é altura relativa à base. De maneira análoga, mostra-se que a bissetriz é mediana e que a altura é bissetriz e mediana no triângulo isósceles (todos em relação à base).

4.3. O Caso LLLVamos demonstrar agora o caso de congruência em

que apenas a congruência dos lados dos triângulos permite a conclusão da congruên-cia entre os triângulos. Este é o terceiro caso de congruência de triân-gulos e chamamos de LLL (lado, lado e lado).

Teorema 4.5 (Caso LLL): Se dois triângulos têm três lados correspondentes congruentes, então os triângulos são congruentes.

67

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Sejam ABC e EFG dois triângulos que tenham vértices correspon-dentes por uma função bijetora

f: {A,B,C} {E,F,G}tal que

f (A) = E, f (B) = F e f (C) = G,com

AB EF, AC EG e BC FG.

A B

D

C

E F

G

No semiplano determinado por AB, contrário ao vértice C, construímos um ângulo com vértice A e a mesma medida que Ê. Marcamos no lado do ângulo, distinto de AB, um ponto D que dista de A a mesma medida de EG (ver desenho). Nos triângulos ABD e EFG, temos AB EF (por hipótese), BÂD FÊG e AD EG (por construção), assim ABD EFG pelo Teorema 4.5 (Caso LAL). Observemos agora que ACD e BCD são triângulos isósceles, pois AC EG AD e CB GF DB. Assim, utilizando o Corolário 4.5 e o Axioma III.4, temos

e portan-to ABC ABD. Pela Proposição 4.5 temos que ABC EFG.

Exemplos

4.11. Nas fotos e figura a seguir observa-se a utilização de triângulos.

68


Isso é comum pois no triângulo, não é possível alterar seus ângulos sem que se altere também seu lado, o que justifica a rigidez da figura triangular. Veja que isto não ocorre com o quadrilátero pois pode-ríamos ter dois quadriláteros com 4 lados respectivamente congruentes mas com ângulos respectivamente não congruentes (veja desenho ao lado).

A

E

B

DA’

E’

B’

D’

4.12. Seja BC um segmento e considere A e A’ dois pontos em semiplanos distintos em relação à reta BC, tais que ABA’B e ACA’C. Vamos mostrar que BÂC BÂ’C. De fato, por hipótese, AB A’B e AC A’C e, além disso, BC é comum aos triângulos ABC e A’BC, assim temos pelo Teorema 4.5 (Caso LLL) que

A

B C

A’

69

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoABC A’BC. Logo, BÂC BÂ’C. Podemosresolver este problema sem utilizar o Teorema 4.5. Para isto, observa-mos que o triângulo AA’C é isosceles pois

, por hipótese. Logo, pelo Corolário 4.5, m(CÂA’) = m(CÂ’A). Analogamente, AA’B é isósceles pois, por hipótese, temos . Logo, m(BÂA’)=m(BÂ’A). Como AA’ intercepta BC pois A e A’ estão em semi-planos distintos em relação à BC, por hipótese, temos que AA’ divide BÂC e BÂ’C. Logo, m(BÂC)=m(BÂA’)+m(CÂA’)=m(BÂ’A)+m(CÂ’A)=m(CÂ’B).

4.13. (Construção da Bissetriz de um Ângulo) Com a ponta seca do compasso sobre o vértice do ângulo dado e uma abertura qualquer do compasso trace um arco de circunferência que intercepta os lados do ângulo em pontos A e B. Utilizando como centro os pontos A e B trace duas circunferências com raio maior do que a metade da medida do segmento AB. Unindo uma das interseções ao vértice determinamos a bissetriz. No desenho ao lado, podemos ver a justificativa. A reta OC é a bissetriz obtida pois os triângulos OAC e OBC são congruentes pelo Teorema 4.5.

O

B

AC

4.4. O Caso LAAo

Já apresentamos no Exemplo 4.9, dois triângulos que possuem dois ângulos congruentes e um dos lados também congruentes não sendo, porém, triângulos congruentes. Vamos apresentar agora uma condição para que também ocorra congruência de triângulos quando temos a congruência de um lado e de dois ângulos dos triângulos. Este é o quarto caso de congruência de

70

4. Congruência de Triângulostriângulos que é chamado de LAAo (lado, ângulo e ângulo oposto).

Teorema 4.5 (Caso LAAo): Dados dois triângulos ABC e EFG, se BC FG, Â Ê e , então ABC EFG. Demonstração: Seja D um ponto na semi-reta SCA tal que CD GE conforme desenho ao lado. Pelo Teorema 4.5 (Caso LAL), temos BCD FGE. Assim Ê Â. Se D está entre C e A, temos que tomando é ângulo externo no triângulo ABD e Â é ângulo interno, e assim este triângulo ABD não pode existir pelo Teorema 4.5.

F

E

G

A B

C

D

Se A está entre C e D, CÂB é um ângulo externo do triângulo ADB e um ângulo interno e novamente o triângulo ADB não existe. Assim A deve coincidir com D.

Exemplos

4.14. Conforme veremos no Capítulo 7, o caso ângulo-ângulo-ângulo (AAA) entre dois triângulos não garante a congruência entre dois triângulos. Lá construiremos dois triângulos com os três ângulos congruentes sem, no entanto, serem congruentes.

4.15. No desenho ao lado temos que o segmento AD é altura do triângulo ABC e . Pelo Corolário4.5, ABC é um triângulo isósceles e assim . Como, por hipótese,

temos pelo Teorema4.5 (Caso LAAo), que ABD ACD e assim AD é mediana de ABC e AD é bissetriz do ângulo Â.

B

C

AD

71


Observemos que juntando o Teorema 4.5, o Exemplo 4.10 e o Exemplo 4.15, obtemos que num triângulo isósceles a mediana, a bissetriz e a altura relativa a base coincidem.

4.16. Quando dois triângulos possuem quatro ou cinco elementos congruentes a congruência entre os triângulos é sempre garantida. No caso de quatro elementos congruentes temos três subcasos:1. Os triângulos possuem três pares de lados congruentes e um par de ângulos congruentes: Neste caso, os triângulos são congruentes pelo Teorema 4.5 (Caso LLL).2. Os triângulos possuem dois pares de lados congruentes e dois pares de ângulos congruentes: Neste caso, se um dos pares de ângulos forem adjacentes aos lados então os triângulos serão congruentes pelo Teorema 4.5 (Caso LAL), caso contrário os triângulos serão congruentes pelo Teorema 4.5 (Caso LAAo).3. Os triângulos possuem 1 par de lados congruentes e três pares de ângulos congruentes: Neste caso, considerando que o par de lados congruentes são adjacentes aos ângulos congruentes correspondentes teremos, pelo Teorema 4.5 (Caso ALA), que os triângulos são congruentes.No caso de cinco elementos congruentes é imediato pois teremos ou três pares de lados congruentes ou três pares de ângulos congruentes com um par de lados adjacentes correspondentes.

Com estes casos de congruência encerramos todas as possibili- des que podem ocorrer com dois triângulos tendo três elementos congruentes dos seis que eles possuem. Quando o triângulo é retângulo ocorre um caso particular de congruência que será visto num exemplo da próxima seção.

72


4.5. O Caso LLA

Nesta seção definiremos um triângulo muito importante e por isso recebe o nome especial de triângulo retângulo.

Vamos apresentar o único caso de congruência que ocorre quando temos lado, lado e ângulo, que é justamente quando os dois triângulos são retângulos.

Para isto, veremos primeiramente uma condição que limita os valores de dois ângulos num triângulo qualquer.

Teorema 4.5: A soma das medidas de quaisquer dois ângulos internos de um triângulo é menor que 180o.Demonstração: Seja ABC um triângulo qualquer. Sem perda de generalidade, vamos mostrar que m(Â) + m( ) < 180 o. Seja D na reta CA tal que A esteja entre C e D. Pelo Teorema 4.5, temos que m(DÂB) > m( ) e assim:

m(Â) + m( ) < m(Â) + m(DÂB) =180o.

A

B

C D

Corolário 4.5: Todo triângulo possui pelo menos dois ângulos internos agudos. Conseqüentemente, todo triângulo tem pelo menos dois ângulos externos obtusos.Demonstração: Se um triângulo possuir dois ângulos internos não agudos, sua soma será maior ou igual a 180o, o que é impossível pelo Teorema 4.5. Quanto aos ângulos externos, basta considerar os ângulos suplementares.

Corolário 4.5: Se duas retas distintas r e s são perpendiculares a uma terceira, então r e s não se interceptam.

73

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Se r e s se interceptassem teríamos um triângulos com dois ângulos internos retos, o que contradiz o Teorema 4.5.

Exemplos

4.17. Duas retas são denominadas paralelas quando não se interceptam. O Corolário 4.5 garante a existência de retas paralelas. De fato, seja r uma reta qualquer e P um ponto pertencente a r. Pelo Teorema 3.4 existe uma reta s perpendicular a r passando pelo ponto P. Seja Q um ponto de s não perten-cente a r e, novamente pelo Teorema 3.4

r

Q

P

ts

existe uma reta t passando por Q e perpendicular a s. Pelo Corolário 4.5, temos que t é paralela a r.

4.18. No desenho ao lado, tem-se = e + = 180o. Vamos mostrar que as retas r e s são paralelas. De fato, suponhamos por absurdo que r e s se interceptam num ponto P, então teremos um triângulo cuja soma das

r s

medidas dos ângulos internos é maior que 180o pois + é 180o, o que contradiz o Teorema 4.5 e portanto r e s são paralelas.

4.19. Vamos mostrar que qualquer ponto da bissetriz de um ângulo, é eqüidistante dos lados do ângulo. De fato, sejam Â um ângulo qualquer,

74

4. Congruência de TriângulosD um ponto da bissetriz de Â, e

a distância de D aos lados do ângulo bissecado. Temos que m(AÊD) = e, portanto, pelo Teorema 4.5 (Caso LAAo) temos que AED AFD e portanto ED DF e assim D equidista dos lados do ângulo. Como conclusão temos que

A

DE F

O lugar geométrico dos pontos que eqüidistam dos lados de um ângulo é a sua bissetriz.

Podemos agora classificar os triângulos quanto aos ângulos:

Definição 4.5: Diremos que um triângulo é acutângulo, se ele possui os três ângulos agudos. Um triângulo que possui um ângulo reto é chamado retângulo, neste caso o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos32. Se o triângulo possuir um ângulo obtuso, ele recebe o nome de obtusângulo.

Vamos apresentar agora uma última condição para que também ocorra congruência de triângulos quando temos a congruência de dois lados em um triângulo retângulo. Este é o quinto e último caso de congruência de triângulos que será chamado de LLA (lado, lado e ângulo reto).Teorema 4.5 (Caso LLA): Se dois triângulos retângulos possuem hipotenusas congruentes e um dos catetos congruentes, então os triângulos são congruentes. Demonstração: Sejam ABC e DEF dois triângulos retângulos, com cate-

32 A palavra “cateto” vem do grego “káthetos” e quer dizer “vertical” ou “perpendicular” e a palavra “hipotenusa” vem do grego “hypoteínousa” e significa “linha estendida por baixo”.

75

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francotos AB e DE e hipotenusas BC e EF respectivamente congruentes. Suponhamos por absurdo que ABC não seja congruente a DEF e sem perda de generalidade que . Assim existe um ponto G pertencente a reta DF entre D e F, tal que . Então pelo Teorema 4.5 (caso LAL). Logo

e portanto, o triângulo EFG é isósceles, assim

A B D E

CG

F

. Como é ângulo externo ao triângulo DEG temos que , pelo Teorema 4.5. Assim

, o que contradiz o Teorema 4.5. Logo .

4.6. Existência de Perpendiculares e Paralelas

Notemos que o Corolário 4.5 não garante a existência de reta paralela a uma reta dada contendo um ponto dado. Para garantir isto precisaremos do seguinte resultado que garante a existência e unicidade de retas perpendiculares:Teorema 4.5: Por um ponto fora de uma reta passa uma única reta perpendicular a reta dada.Demonstração: (Existência) Seja r uma reta qualquer e P um ponto fora dela dado. Considere dois pontos A e B quaisquer de r, que existem pelo Axioma I.1. Trace a reta AP. Se ela for perpendicular a r, a existência estará demonstrada, caso contrário, no semiplano

r

P

76

4. Congruência de Triânguloscontrário ao de P, em relação a reta r, trace uma semi-reta com origem A e que forma um ângulo com r congruente a PÂB. Marque um ponto P’ nessa semi-reta de tal modo que AP’ seja congruente a AP. Assim teremos que AP AP’ e PÂB P’ÂB, donde o triângulo PAP’ é isósceles e AB é bissetriz do

r

P

A B

P’ângulo PÂP’. Logo, pelo Exemplo 4.10, temos que AB é altura de APP’ em relação a PP’. Portanto PP’ é a perpendicular a r procurada.

(Unicidade) Se existissem duas perpendiculares a reta r passando por P, teríamos um triângulo com dois ângulos retos, que é um absurdo pelo Teorema 4.5.

Corolário 4.5: Por um ponto fora de uma reta passa uma reta paralela a reta dada.Demonstração: Considere uma reta r e um ponto P não pertencente a ela. Pelo Teorema 4.5, pelo ponto P passa uma única reta s perpen-dicular a r. Utilizando o Teorema3.4 temos que existe uma reta t perpendicular a s passando pelo ponto P. Finalmente, pelo Corolário 4.5 temos que t é paralela a r e passa por P.

Observe que este corolário não garante a unicidade da reta t mas apenas a sua existência. A unicidade é dada somente pelo Axioma das Paralelas (Grupo VI) que será estudado no próximo capítulo.

77


4.7. Distância de Ponto a Reta e Desigualdade Triangular

Vamos determinar a forma mais natural de se definir distância de ponto a reta e apresentar um teorema que é conhecido como desigualdade triangular. Este resultado é o único obstáculo que impede que construamos triângulos com quaisquer tamanhos de lados

Definição 4.5: Dado uma reta r e um ponto P fora dela, traçamos a única reta s perpendicular a r passando por P. A interseção r s = P’ é chamada pé da perpendicular. Se Q é um ponto qualquer de r distinto de P’, o segmento PQ é dito oblíquo, relativo a r. No desenho ao lado, o segmento QP’ é chamado de projeção do segmento QP sobre a reta r. O comprimento do segmento PP’ é definido como a distância do ponto P a reta r.

r

P

Q P’

Proposição 4.5: Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então seus ângulos opostos não são congruentes e o maior ângulo é oposto ao maior lado.Demonstração: Pelo Corolário 4.5, temos a primeira parte da proposição demonstrada. Para demonstrar a segunda parte, seja ABC um triângulo tal que . Pelo Axioma III.1 e Axioma III.2 existe um ponto D em CB tal que AC CD. Assim, por construção, o triângulo ACD é isósceles e os ângulos CÂD e

são congruentes. No-temos que, por definição, a semi-reta SAD di-vide o ângulo CÂB. Logo,

.Mas é um ângulo externo em

C

A B

D

78

4. Congruência de Triângulosrelação a ABD, logo

.

Proposição 4.5: Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados que se opõem a estes ângulos têm medidas distintas e o maior lado opõe-se ao maior ângulo.Demonstração: Pelo Corolário 4.5, temos a primeira parte da proposição demonstrada. Para demonstrar a segunda parte, seja ABC um triângulo tal que

. Existem três possibilidades para os segmentos AC e BC. Ou , ou , ou . A primeira possibilidade não pode ocorrer, pela Proposição4.5. A segunda não pode ocorrer, pois neste caso o triângulo seria isósceles, o que não se verifica. Logo, temos o desejado.

Corolário 4.5: Se P’ é o pé da perpendicular, traçada a partir de P, como visto no Teorema 4.5, então qualquer segmento oblíquo PQ tem comprimento maior que o comprimento de PP’. Veja desenho ao lado.

r

P

Q P’Demonstração: Como PP’ é perpendicular a r, então

, daí temos que e e portanto é o maior ângulo do

triângulo PP’Q. Assim, a Proposição 4.5 nos garante que PQ é o maior lado do triângulo PP’Q. Logo, .

É natural definir distância de um ponto até uma reta como sendo a menor distância do ponto a reta. O

79

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoCorolário 4.5 garante que a Definição 4.5 é equivalente a esta.

Teorema 4.5: Em todo triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados é maior que o comprimento do terceiro lado.Demonstração: Vamos mostrar por exem-plo que . Consideramos um ponto D na reta AB, tal que B está entre A e D e BD BC. Assim o triângulo BCD é isósceles, e consequentemente os ângulos e B D, terão mesma medida. A semi-reta

A B

C

D

SCB, divide o ângulo , pelo modo que foi tomado o ponto D. Portanto temos . Pela Proposição 4.5, temos que .

Teorema 4.5 (Desigualdade Triangular): Dados três pontos quaisquer A, B e C no plano, tem-se que

. A igualdade ocorre se, e somente se, B está no segmento AC. Demonstração: Sejam A, B e C três pontos do plano, podemos supor que são todos distintos pois, caso contrário, o resultado é imediato. Se A, B e C não são colineares, então pelo Teorema 4.5, temos o resultado. Suponhamos então que A, B e C sejam colineares, logo pelo Axioma II.1 temos três casos excludentes:

A BC: Neste caso, pelo Axioma III.2, temos , ou seja, .

B AC: Neste caso, pelo Axioma III.2, temos , ou seja, .

C AB: Neste caso, pelo Axioma III.2, temos , ou seja, .

80

4. Congruência de TriângulosPara a segunda parte suponhamos que a igualdade ocorre, então se B não está no segmento AC devemos ter três possibilidades:

A, B e C não são colineares, o que é impossível pois neste caso, pelo Teorema 4.5, não teríamos a igualdade.

A BC e daí pelo Proposição 3.4 teríamos , o que contradiz a hipótese.

C AB e daí pelo Proposição 3.4 teríamos , o que também contradiz a

hipótese. Portanto, B AC.A recíproca é imediata do Axioma III.2.

Exemplos

4.20. O Teorema 4.5 garante que é impossível construir um triângulo com lados medindo 7, 3 e 2. De fato, 2 + 3 < 7, contradizendo o teorema. É impossível também construir um triângulo com lados medindo 6, 4 e 10 pois 10 = 4 + 6.

4.21. Se uma circunferência de raio r centrada num ponto O e uma circunferência de raio r’ centrada num ponto O’, se interceptam exatamente em dois pontos, podemos estabelecer um limitante para o segmento OO’. Para isto, traçamos OM perpendicular P1P2, ondeP1 e P2 são os pontos de interseção das circunferências, então e

, portanto O P1 O P2. Assim, pelo Corolário 4.5,

. Analogamente temos que,

Assim,

O’O

P1

P2r’r

r’rM

Portanto, .81


4.22. Os lados de um triângulo cujos vértices que estão sobre uma circunferência sempre são menores que duas vezes o raio desta circunferência e um dos lados do triângulo será igual a este produto apenas quando contém o centro da circunferência. Para ver isto basta unir cada vértice de um lado com o centro da circunferência e teremos um triângulo isósceles de lados medindo o raio da circunferência. Aplicando a desigualdade triangular temos o desejado.

4.8. Exercícios4.1. Sabendo que os pares de triângulos do desenho a seguir são congruentes, utilize a notação de congruência para indicá-las. Por exemplo, no par de triângulos (1) obtemos a seguinte congruência: ADE BCE.

A E B

CD

P TUQ

RS P N

OK

M(1) (2) (3)

AG

I

HK B

CD W Z

YX(4) (5) (6)

4.2. Demonstre que se dois segmentos dados AE e DF se interceptam num ponto P que é ponto médio de ambos, então PDA PFE.

4.3. Suponha que um segmento BQ divida um segmento EA ao meio em um ponto R, mas que . Sejam S e C pontos em ER e em AR, respectivamente, tais que RS RC, BC é perpendicular a EA e QS é perpendicular a EA. Tem-se ainda que BÂR QÊR. Mostre que e que EA divide BQ ao meio.

82

4. Congruência de Triângulos4.4. Considere o desenho ao lado.a) Suponha que tenhamos AE BC, AD BD e DE DC. Mostre que Ê

.b) Suponha que tenhamos AE BC, AD BD e EÂD . Mostre que

.c) Suponha agora que AE BC, AD BD e que Ê . É possível mostrar que ED CD?

A

E

B

D

C

Se for, mostre; caso contrário explique porque.d) Suponha ainda, que Ê , DE DC e . É possível mostrar que AE BC ? Se é, mostre, caso contrário explique porque.

4.5. No desenho ao lado, ABD e BCD são triângulos isósceles com base DB. Mostre que a reta AC é bissetriz de BÂD e é perpendicular a DB. Mostre que os ângulos

são congruentes.

AD

B

C

4.6. (Construção do ponto médio de um segmento) Considere o seguinte procedimento para determinação do ponto médio de um segmento, utilizando apenas régua e compasso: .“Seja AB um segmento. Com a ponta seca do compasso em A e raio , trace uma circunferência. Faça a mesma construção com a ponta seca do compasso em B. Estas duas circunferências se interceptam em dois pontos C e D. O segmento CD intercepta AB no ponto médio de A.a) Justifique porque este procedimento está correto.b) É realmente necessário que as duas circunferências tenham o mesmo raio ? E este raio precisa mesmo ter o comprimento de AB ?c) Mostre que a reta s que determina o ponto médio de AB é perpendicular a AB, ou seja, s é a mediatriz de AB.d) Com a idéia dada no procedimento, proponha um método para construir uma perpendicular a uma reta,

83

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francopassando por um ponto dado na reta. E se o ponto não estiver na reta ?

4.7. No desenho ao lado, tem-se que AD, DE, Â DÊC e . Mostre que os triângulos ADB e EDC são congruentes. A

C

BE

D

4.8. No desenho ao lado temos = , mostre que r e s são paralelas.

rs

4.9. No quadrilátero ABCD ao lado, SAE, SBE e SCE são as bisetrizes dos ângulos Â, e , respectivamente. Mostre que a bissetriz do ângulo é SDE.

A

E

B

CD

4.10. No desenho ao lado um dos ângulos externos é , pois é suplemento do ângulo . Mostre que, se um triângulo têm dois ângulos externos iguais, então ele é isósceles.

A

B C D4.11. Mostre que num triângulo acutângulo o pé da perpendicular a um dos lados passando pelo vértice oposto está entre os dois vértices. O que ocorre com triângulos retângulos e obtsângulos?

4.12. Mostre que todo triângulo retângulo possui dois ângulos externos obtusos.

84

4. Congruência de Triângulos4.13. O desenho ao lado é formado pelos segmentos AC, AE, BE e CF. Determine quais medidas são:a) menores que ;b) maiores que c) menores que .

A

B

CDE

F

4.14. No desenho ao lado, AB BC CD. Demonstre que .

A

B

CD4.15. No desenho ao lado os triângulos ABC e EDC são congruentes e o ponto E pertence ao segmento BC e os pontos A, C e D são colineares. Mostre que

. A C D

BE

4.16. No desenho ao lado, suponha que os ângulos B e D são retos e AB é congruente a DC. Mostre que AD BC.

A B

CD

4.17. Utilize o Teorema 4.5 para demonstrar o seguinte resultado:“Sejam ABC e EFG dois triângulos quaisquer. Dada uma aplicação bijetora f : {A,B,C} {E,F,G}, tal que f (A) = E, f (B) = F e f (C) = G, se AB EF, BC FG e a altura por C é congruente à altura por G, então a correspondência é uma congruência”.

4.18. Seja ABC um triângulo retângulo em C. Se o ângulo B tem medida o dobro do ângulo A, então . (Sugestão: Introduza a bissetriz do ângulo B.)

4.19. Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que AB DE, BC EF e , mostre que . Prove a recíproca.

85

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco4.20. Um conjunto L de pontos do plano é dito limitado, se existe um círculo C tal que todos os pontos de L estão no interior de C. Caso contrário, L é dito ser ilimitado. De-monstre que:a) Os segmentos de reta são limitados. b) Os triângulos e quadriláteros são limita-dos.

C

L

c) Os polígonos são limitados.

86

Capítulo 5: Axioma das Paralelas

Vimos no Corolário 4.5 a demonstração da existência de uma reta paralela a uma reta dada passando por um ponto fora dela. Neste capítulo enunciaremos uma versão do polêmico quinto postulado de Euclides (ver Capítulo 1), que colocamos no sexto grupo de axiomas e que garantirá a unicidade desta reta.

5.1. O Axioma das ParalelasAxioma VI: Por um ponto fora de uma reta r, pode-se traçar uma única reta paralela a r.

Como conseqüência deste axioma temos o seguinte resultado que estabelece a propriedade transitiva do paralelismo:

Proposição 5.6: Se r é paralela a duas retas distintas s e t, então s e t são paralelas.Demonstração: Se s t = P, teríamos duas retas paralelas a r passando por P, contrariando o Axioma VI.

Corolário 5.6: Sejam r e s duas retas paralelas. Se t intercepta s, então t intercepta r.Demonstração: Se t não intercepta r, então t e r são paralelas por definição. Como r é paralela a s por hipótese, temos pela Proposição 5.6, que s e t são paralelas, o que é uma contradição.


5.1. O Corolário 5.6 garante que não pode ocorrer algo como o desenho ao lado. As retas r e s são paralelas e a reta t interecepta a reta r no ponto A. Assim, a reta t deverá interceptar a reta s e o desenho ao lado está errado.

rA

st

5.2. Seja R a relação no conjunto das retas paralelas dada por: “x R y se, e somente se, x = y ou x é paralela a y”. Então R é uma relação de equivalência. De fato, é claro que x R x pois x = x. Temos também que se x R y então y R x, pois se x = y então y = x ou se x // y então y // x. Suponhamos agora que x R y e y R z, então x=y ou x é paralela a y e y = z ou y é paralela a z. Se x = y ou y = z a conclusão é imediata. Vamos supor que x é paralela a y e y é paralela a z. Neste caso, temos x paralela a z pois, caso contrário, como x é paralela a y, pelo Corolário 5.6, z interceptaria y. Logo, x R z e, portanto, como R satisfaz as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva, temos que R é uma relação de equivalência.

5.3. Uma transversal a duas retas, é uma reta que as interceptam em dois pontos distintos. A reta t do Corolário 5.6 é uma transversal as retas r e s, mas as retas r e s não precisam ser necessariamente paralelas para que uma reta seja transversal a outras duas retas, conforme é ilustrado no desenho

r

s Q

P

R

t

ao lado, onde temos t interceptando r e s nos pontos P e Q, respectivamente, e r e s se interceptando no ponto R.

88

5. Axioma das ParalelasDefinição 5.6: Consideremos duas retas r e s cortadas por uma transversal t, nos pontos P e Q, respectivamente. Sejam A, B, C, D, E e F, conforme desenho ao lado33. Os pares de ângulos (A F,E B) e (CF,E D) são deno-minados ângulos alternos internos. Os pares de ângulos (A F,E D) e (C F,E B) são denominados ângulos colaterais internos.

r

sQ

PA

B

t

C

DF

E

Os pares de ângulos (E A,E D), (E C,E B), (C F,B F) e (A F,D F) são denominados ângulos correspondentes.

Teorema 5.6: Dadas duas retas cortadas por uma transversal, um par de ângulos alternos internos é formado por ângulos congruentes se, e somente se, as retas são paralelas.Demonstração: Sejam r e s duas retas cortadas por uma transversal t nos pontos P e Q, respectivamente. Suponhamos, por absur-do, que r e s não sejam paralelas, ou seja, r s = R. Considere os pontos A e B tais que P está em r entre A e R e Q está em s entre B e R. Por hipótese, no triângulo RPQ, o ângulo externo BP é congruente ao angulo interno R

Q, o que é absurdo pelo Teorema4.5. Logo r e s são retas paralelas. Considerando que os ângulos alternos internos P R e A Q são congruentes, a demonstração é análoga. Reciprocamente, sejam r e s retas paralelas e t uma transversal, interceptando-as em P

r

s Q

P

R

B

t

A

r

s Q

P

t r’

S

V

T

33 O desenho apenas facilitará a linguagem pois as posições destes pontos podem ser descritas todas em termos de localização nos semiplanos.

89

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoe Q, respectivamente. Seja S e T pontos em r e s, respectivamente, tais que os ângulos T Q eP S sejam alternos internos. Suponhamos, por absurdo, que T Q e P S não sejam congruentes. Construímos então por P uma reta r’ e marcamos um ponto V r’ tal que V Q e P S sejam alternos internos e congruentes. Pelo item anterior deste teorema, r’ é paralela a s. Mas por hipótese, r é paralela a s. Assim, temos r e r’ passando por P e paralelas a s, contrariando o axioma VI. Logo, temos o desejado.

Exemplos

5.4. Um par de ângulos correspondentes é formado por ângulos congruen-tes se, e somente se, qualquer par de ângulos alternos internos é formado por ângulos congruentes. De fato, sejam r e s duas retas corta-das por uma tranversal t e os pares de ângulos alternos internos (Â, ) e ( , ) e os pares de ângulos correspondentes (Ê, ), ( , ), (Â,) e ( , ). Suponhamos que Ê , como Â e são suplementares temosm(Â) = 180o – m(Ê) = 180o – m( ) = m( ). Logo, Â . Como é suplementar de

r

s

t

AB

CD

EG

FH

temos também . Mostra-se de maneira análoga que , Â e . A recíproca segue o mesmo

raciocínio. Conseqüente-mente, pelo Teorema 5.6, um par de ângulos correspondentes é formado por ângulos congruentes se, e somente se, as retas são paralelas.

90

5. Axioma das Paralelas5.5. No desenho ao lado, AD é bissetriz do ângulo CÂB e CA CD. Vamos mostrar que CD é paralelo a AB. De fato,como AD é a bissetriz de CÂB, temos, por definição, que CÂD DÂB. Além disso temos, por hipótese, que CA CD, portanto ACD é um triângulo isósceles, assim segue do Corolário 4.5 que, CÂD A C. Assim temos que BÂD e ,

DC

AB

são ângulos alternos internos congruentes. Logo, pelo Teorema 5.6 temos que CD é paralelo a AB, mostrando assim o desejado.

5.6. Se dois segmentos AB e CD se interceptam em um ponto E, de tal modo que AD BC e AD é paralelo a BC então AB e CD se dividem ao meio em E. De fato, como BC // AD, do Teorema 5.6, temos que DÂB A C, pois são ângulos alternos internos. De maneira análoga,

. Assim pelo Teorema4.5 (Caso ALA), os triângulos AED e BEC são congruentes e portanto AE EB e CE ED, ou seja, E é o ponto médio dos segmentos

D

C

A

B

E

AB e CD.

5.7. Não existe congruência do tipo AAA (ângulo, ângulo, ângulo). De fato, considere um triângulo ABC e um ponto D entre A e C. Traçamos por D uma paralela ao lado AB, que intercepta BC em E. Pelo Teorema5.6 e pela Proposição 3.4, DÊC e Â E C. Assim, os triângulos ABC e DEC possuem os três ângulos congruentes e no entanto não são

A B

C

D E

91

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francocongruentes.

5.8. Vamos mostrar que o enunciado feito por Euclides no seu quinto postulado é equivalente ao enunciado do Axioma VI feito neste texto, ou seja,

5º. Postulado Axioma VISe uma reta t corta duas retas r e s de modo que a soma dos ângulos colaterais internos é menor do que 180o, então r e s quando prolongadas se cortam daquele lado.

Por um ponto P fora de uma reta r pode-se traçar uma única reta por P paralela a r.

Antes de mostrar a equivalência, observemos que se no desenho ao lado + > 180o, então + < 180o pois +++=360o+=360o–(+)<180o.Assim, o 5º. postulado diz que se r // s então +=180o. Suponhamos, primeiramente, que

r

s

t

que seja válido o 5º. Postulado. Dado uma reta r e um ponto P, tracemos por P duas retas s1 e s2 paralelas a r. Seja t uma transversal a r e a s1 e s2 passando por P. Pelo 5º. postulado, temos 1+=180o e 2+=180o (veja desenho ao lado). Logo, 1=2 e, portanto, s1 coincide com s2, sendo assim válido o axioma VI. A recíproca é conseqüência imediata do Teorema 5.6.

s1

r

t

1

s2

2

Proposição 5.6: Se r e s são retas paralelas, então todos os pontos de r estão a mesma distância de s.

92

5. Axioma das ParalelasDemonstração: Sejam A e B dois pontos quaisquer de r. Traçamos por A e B, as retas perpendiculares a s, encontrando-a nos pon-tos A’ e B’, respectivamente. Queremos mos-trar que AA’ BB’. Consideremos os triângu-los AA’B’ e ABB’, conforme desenho ao lado. Como a reta BB’ é transversal a r e s, temos pelo Exemplo 5.4, que

.

A B

A’ B’

r

s

Pelo Teorema 5.6, os ângulos , temos ainda que o lado AB’ é comum aos triângulos AA’B’ e B’BA, logo pelo Teorema 4.5 (Caso LAAo), estes triângulos são congruentes.

5.2. Triângulos e QuadriláterosNesta seção, vamos estabelecer alguns resultados

relacionados a medida de ângulos e lados em triângulos e quadriláteros.

Teorema 5.6: Em todo triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é 180o.Demonstração: Dados o triângulo ABC, sejam , e as medidas dos ângulos internos. Seja r a reta que passa por B paralela ao lado AC. Temos no desenho ao lado que: = ’ (alternos internos) (1) = ’ (alternos internos) (2)’ + + ’ = 180 (3)

Logo de (1), (2) e (3), temos + + = 180.

r’

’

A

B

C

93

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoCorolário 5.6: a) A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo mede 90o.b) Cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60o.c) A medida de um ângulo externo de um triângulo, é igual a soma das medidas dos ângulos internos que não lhe são adjacentes.d) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer é 360o.Demonstração: a) Seja ABC um triângulo retângulo em A. Pelo Teorema 5.6 temos que

, mas como m(Â) = 90o, temos

.

A B

C

b) Num triangulo equilátero, todos os ângulos são congruentes. Pelo Teorema 5.6 que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o, então cada ângulo mede , como queríamos demonstrar.

A B

C

M

c) No desenho ao lado devemos mostrar que . Como é um ângulo raso temos que

.Pelo Teorema 5.6, temos:

A B

C

D

d) Devemos mostrar que.

Dividindo o quadrilátero em dois triângulos, temos, pelo Teorema 5.6, que A B

CD

94

5. Axioma das Paralelas

(1),

e.

(2)Somando (1) e (2) obtemos

.

Exemplos

5.9. Vamos obter as medidas dos ângulos internos de um triângulo sabendo que estão na razão 1 : 2 : 3. Seja o ângulo de menor medi-da, assim pelo Teorema 5.6, temos

.Logo, os ângulos medem 30o , 60o e 90o.

5.10. Um segmento ligando dois pontos de uma circunferência e passando por seu centro chama-se diâmetro. No desenho ao lado, O é o centro da circunferência, AB é um diâmetro e C é outro ponto da circunferência. Vamos mostrar que a medida do ângulo CÂB é a metade da medida do ângulo CÔB. Para isto, devemos mostrar que

A OB

C

. Com efeito, como , onde r é o raio da circunferência, o triângulo AOC é isósceles. Logo, pelo Corolário 4.5, . Pelo Corolário 5.6.c temos e, portanto,

.

Definição 5.6: Dois lados de um quadrilátero são ditos opostos, se eles não se interceptam. Dois ângulos são

95

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoopostos, se eles não têm um lado do quadrilátero em comum. Dois lados são consecutivos se possuem uma extremidade em comum. Dois ângulos são consecutivos se possuem um lado em comum. Uma diagonal de um quadrilátero é um segmento ligando dois vértices de ângulos opostos. Um trapézio é umquadrilátero que tem dois lados paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são cha-mados bases e os outros dois são denomina-dos de laterais. Um trapézio é dito isósceles se suas laterais são congruentes. Quando um trapézio possuir um ângulo reto teremos

A E

D C

B F

GH

um trapézio retângulo. Uma altura de um trapézio é qualquer segmen-to com extremos nas bases e perpendicular a elas. Quando os pares de lados opostos de um trapézio são paralelos o denominaremos paralelo-gramo. Proposição 5.6: Um quadrilátero, no qual os pares de lados opostos são congruentes, é um paralelogramo.Demonstração: Seja ABCD um quadrilátero no qual AB CD e BC AD. Traçando a diagonal BD, temos que os triângulos ABD e CDB são congruentes pelo caso LLL. Logo:1. e assim pela Teorema 5.6, as retas AB e CD são paralelas.2. e assim pela Teorema 5.6, as retas AD e BC são paralelas.Por (1), (2) e Definição 5.6, temos que ABCD é um paralelogramo.

Proposição 5.6: Num paralelogramo temos:a) Toda diagonal o separa em dois triângulos congruentes e, portanto, lados e ângulos opostos são congruentes.

96

5. Axioma das Paralelasb) Dois ângulos consecutivos quaisquer são suplementares.c) As diagonais se dividem ao meio.Demonstração: a) De fato, seja ABCD um paralelogramo qualquer e a diagonal AC. Como AB // DC temos, pelo Teorema 5.6,

. Como AD // CB temos pelo mesmo resultado que

. Assim, peloTeorema 4.5,

A B

CD

(Caso ALA), temos que os triângulos ABC e CDA são congruentes.b) Seja ABCD um paralelogramo qualquer e consideremos a diagonal AC. Mostremos que

. No triângulo ABC, temos pelo Teorema 5.6 que

.Como AD // CB então, pelo Teorema5.6,

A B

CD

.Assim

, posto que

m(Â) = c) Seja ABCD um paralelogramo qualquer e consideremos as diagonais AC e BD. Seja E o encontro das diagonais. Como AB // DC, pelo Teorema 5.6, temos que

e . Pelo item a), temos que AB DC. Assim pelo Teorema 4.5 (Caso ALA)

A B

CD

E

97

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francotemos que os triângulos ABE e CDE são congruentes e portanto BE DE e AE CE, ou seja, E divide AC e BD ao meio.

Proposição 5.6: Se num quadrilátero, tivermos:a) Dois lados opostos paralelos e congruentes, então ele

é um paralelogramo.b) Que suas diagonais dividem-se ao meio, então ele é um

paralelogramo.Demonstração: a) Seja ABCD um quadrilátero tal que AB // DC e AB DC, consideremos a diagonal AC. Pelo Teorema 5.6, temos C B A D e CÂB A D. Logo, os triângulos ADC e CBA congruentes, pelo Teorema 4.5 (Caso LAL). Portanto DA CB. Logo, pela Proposição 5.6, temos que ABCD um paralelogramo.b) Seja ABCD um quadrilátero tal que as diagonais AC e BD se dividem ao meio e se interceptam no ponto E. Observemos que, pela Proposição 3.4, AÊD BÊC e AÊB CÊD pois são ângulos opostos pelo vértice. Logo ADE CBE e ABE CDE, pelo Teorema 4.5, (Caso LAL) e portanto AD BC e AB CD.

A B

CD

E

Assim, pela Proposição 5.6, temos que o quadrilátero é um paralelogramo.

Teorema 5.6: O segmento ligando os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade de seu comprimento.Re-enunciado: Dado um triângulo ABC, se D e E são os pontos médios de AB e AC, respectivamente, então a reta DE é paralela a reta BC e

A

B C

D E F

98


.Demonstração: Seja F o ponto na semi-reta oposta a semi-reta SED, tal que EF DE. Como E é ponto médio de AC temos EA EC. Os ângulos DÊA e CÊF são opostos pelo vértice, logo DÊA CÊF. Pelo Teorema 4.5 (Caso LAL), os triângulos EFC e EDA são congruentes. Assim os ângulos Â e são congruentes e alternos internos, considerando as retas AB e FC e a transversal AC. Logo, pela Proposição 5.6, a reta DB é paralela a reta FC. Como AD DB, pois D é ponto médio, e AD FC pela congruência entre EFC e EDA, temos DB FC. Pela Proposição 5.6.a BDFC é um paralelogramo. Portanto, por definição de paralelogramo, DE é paralelo a BC. Além disso, pela Proposição 5.6.b, temos .

Exemplos

5.11. Vamos mostrar que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo. De fato, seja ABCD um quadrilátero qualquer e M, N, P e Q os pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. Consideremos o triângulo ABD, como M e Q são os pontos médios de AB e DA, respectivamente, pelo Teorema 5.6, MQ // BD, da mesma forma consideran-do o triângulo BCD temos que NP // BD. Logo MQ // NP. Consideremos agora o triân-

D

A B

C

M

N

P

Q

gulo ABC, como M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente, pelo Teorema 5.6, MN // AC, de maneira análoga considerando o triângu-lo ACD temos que PQ // AC. Logo MN // PQ. Como MQ // NP e MN // PQ, pela Definição5.6, o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.

99

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDefinição 5.6: Um losango, (também denominado, rombo) é um paralelogramo cujos lados são todos congruentes. Um retângulo, é um quadrilátero que tem todos os seus ângulos retos. Um quadrado é um retângulo que também é um losango.

Proposição 5.6: a) As diagonais de um losango cortam-se em ângulo reto e estão sobre as bissetrizes dos ângulos do losango.b) Todo retângulo é um paralelogramo.c) Se as diagonais de um quadrilátero são congruentes e se cortam em um ponto que é ponto médio de ambas, então o quadrilátero é um retângulo.Demonstração: a) Seja ABCD um losango qualquer e consideremos as diagonais AC e BD que se interceptam no ponto E. Como AB AD o triângulo ABD é isósceles. Como o losango é um paralelogramo, pelo item c) da Proposição5.6, E é o ponto médio do segmento BD e, portanto, AE é mediana do triângulo ABD em relação à BD, Logo, pelo Teorema 4.5, AE é altura de ABD e está sobre a bissetriz de Â. De maneira análoga, temos que BE está sobre a bissetriz de , CE está sobre a bissetriz de e DE está sobre a bissetriz de .b) Seja ABCD um retângulo qualquer. Por definição AD e BC são perpendiculares a AB logo, pelo Corolário 4.5, AD // BC. Analogamente temos AB // DC. Portanto, pela Definição 5.6, o retângulo é um paralelogramo.c) Seja ABCD um quadrilátero cujas diagonais AC e BD são tais que :

, , , .Como , e AÊB CÊD (pois são opostos pelo vértice, pela Proposição 3.4) temos que pelo Axioma VI. Logo, . Analogamente, obtemos

. Além disso, os triângu-los AED e BEA são isosceles, portanto e e m(Â) = m(BÂE) + m(EÂD). Agora , olhando para o triângulo ABD, temos pelo Teorema 5.6 que

100


, daí 2(m(BÂE) + m(EÂD)) = 180o, ou seja, m(Â)=m(EÂD) + m(BÂE) = 90o, onde segue que m(Â) = 90o. Analogamente, mostramos que . Portanto o quadrilátero é um retângulo.

Exemplos

5.12. Como o quadrado é um losango temos que as diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos respectivos ângulos. Por outro lado como o quadrado é um retângulo temos que as diagonais se interceptam ao meio e são congruentes. A B

CD

5.13. Sejam A o conjunto dos triângulos, B o conjunto dos triângulos equiláteros, C o conjunto dos triângulos isósceles, D o conjunto dos triângulos escalenos e E o conjunto dos triângulos retângulos. O diagrama ao lado apresenta estas classes de conjuntos. A

C

D

E

B

5.14. Sejam A o conjunto dos quadriláteros, B o conjunto dos quadrados, C o conjunto dos trapézios, D o conjunto dos hexágonos, E o conjunto dos paralelogramos, F o conjunto dos losangos, G o conjunto dos pentágonos, H o conjunto dos retângulos. O diagrama a seguir apresenta estas classes de conjuntos.

A

D

C

F

E

G

H B

101


5.15. Dado um triângulo isósceles e um ponto P, da base, distinto dos vértices, traça-se por P uma paralela a cada lado congruente, o quadrilátero PECD é um paralelogramo e, além disso, o perímetro do paralelogramo formado é igual à soma dos comprimentos dos lados congruentes do triângulo. De fato, seja ABC um triângulo

A B

C

P

DE

ab

isósceles e P um ponto da base AB. Tracemos por P, PD e PE paralelas a AC e BC respectivamente, então, da Definição 5.6 e da construção, EPCD é um paralelogramo. Para obter o perímetro, seja , pelo item a) da Proposição 5.6, . Como PE // BC então

, pelo Exemplo 5.4. Logo, o triângulo APE é isósceles, pelo Corolário 4.5, e, portanto, . Analogamente, o triângulo BPD também é isósceles e portanto . Assim temos o resultado, pois

e.

5.3. Teorema das ParalelasDefinição 5.6: Se uma transversal intercepta duas retas r e s nos pontos A e B, respectivamente, dizemos que r e s determinam o segmento AB sobre a trans-versal. Suponha que são dadas três retas r, s e u e uma transversal t que as intercepta nos pontos A, B e C, respectivamente. Se ABBC, então dizemos que as três retas determinam

r

s

u

t

AB

C

segmentos congruentes sobre a transversal t.102


Mostraremos agora que se três paralelas determinam segmentos congruentes sobre uma transversal, então elas determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. Para isso necessitamos do seguinte resultado.

Lema 5.6: Se três retas paralelas r, s e u, determinam segmentos congruentes sobre uma transversal t, então elas determinam segmentos congruentes sobre qualquer transversal t’ paralela a t.Demonstração: Primeiramente observemos que ABB’A’ e BCC’B’ são paralelogramos. De fato, ABB’A’ é um paralelogramo pois, por

r

s

u

tA

B

C

t’A’

B’

C’

hipótese, r // s e t // t’ e daí, AB//B’A’ e BB’//AA’, ACC’B’ também é um paralelogramo pois, por hipótese, s // u e t // t’. Assim, BC // B’C’ e CC’ // BB’. É dado que AB BC. Pelo item a) da Proposição 5.6, AB A’B’ e BC B’C’, assim pela Proposição 3.4, temos que A’B’ B’C’.

Teorema 5.6: Se três paralelas deter-minam segmentos congruentes sobre uma transversal, então elas determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.Demonstração: Sejam r, s e u as três paralelas e t e t’, as duas transversais, conforme desenho ao lado. Por hipótese,

rsu

tA

B

Ct’

A’B’C’

t1 t2

EFG

AB BC e desejamos mostrar que A’B’ B’C’. Já sabemos que este resultado é verdadeiro para t paralelo a t’, pela Lema 5.6, portanto podemos supor que t e t’ não são paralelos. Sejam as retas auxiliares t1 paralela a t’ por B e

103

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francot2 paralela a t’ por A. Pelo Exemplo 5.4 temos que

e , como por hipótese AB BC, os triângulos ABE e BCG são congruentes pelo caso ALA. Logo, AE é congruente a BG e pela Proposição 5.6, temos que BG é congruente a EF. Assim temos que AE é congruente a EF, logo, pela Lema 5.6, temos que A’B’ B’C’, como queríamos demonstrar.

Corolário 5.6: Se três ou mais paralelas determinam segmentos con-gruentes sobre uma transversal, então elas determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.Demonstração: Dado um número n, com n 3, de retas paralelas, se elas determinam numa transversal segmentos congruentes, escolhemos três retas quaisquer deste feixe de retas paralelas e utilizamos o Teorema 5.6, concluimos que estas três retas determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. Como a escolha foi arbitrária temos o resultado.

Exemplos

5.16. Vamos mostrar que se uma reta passa pelo ponto médio de um lado de um triângulo e é paralela a um segundo lado, então passa também pelo ponto médio do terceiro lado. De fato, seja ABC um triângulo qualqer, D o ponto médio de AC, tracemos a reta DE paralelaa AB. Queremos mostrar que EC BE. De fato, por C tracemos a reta r paralela a AB. Logo as retas AB, DE e r são paralelas e como AD DC por hipótese, pelo Teorema 5.6, temos que EC BE e, portanto, E é o ponto médio de BC, ou seja, DE divide BC ao meio. A B

C

D E

r

104

5. Axioma das Paralelas5.17. Vamos mostrar que o segmento ligando os pontos médios das laterais de um trapézio (este segmento é conhecido como base média do trapézio) é paralelo às bases e seu comprimento é a média aritmética dos comprimentos das bases. De fato, sejam ABCD um trapé-zio e E, F e G os pontos médios de AD, BC e AB, respectivamente. Queremos mostrar que EF // AB. Suponhamos o contrario e traçamos por E uma reta r paralela a AB. Considerando o triângulo ADG, pelo Exemplo 5.16, temos que r intercepta DG em seu ponto médio D’. Considerando agora, o triângulo DGC, e novamente, pelo Exemplo 5.16, r intercepta

A B

CD

D’ C’

G

E F r

CG em seu ponto médio C’. E considerando o triângulo GCB, temos que r intercepta CB no ponto F’, que é o ponto médio de CB, pelo Exemplo 5.16, Logo, pela Proposição3.4, F=F’. Portanto EF // AB. Agora, , pelo Axioma III.2. Pelo Teorema 5.6, temos que

,logo,

,como queríamos.

5.18. No desenho ao lado, DE é paralelo a AB, EF é paralelo a AC e D é o ponto médio de AC. Vamos mostrar que os triângulos CDE e EFB são congruentes. De fato, como Como DE // AB e D é ponto médio de AC então pelo Exemplo 5.16, E é o ponto mé- dio de BC e portanto BE EC. Como AC // EF, os ângulos

são correspondentesA B

C

D E

F

105

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoe portanto congruentes, pelo Exemplo 5.4. Como AC // EF e DE // AB, o quadrilátero ADEF é um paralelogramo e, portanto, EF DC, pois D é o ponto médio de AC. Assim pelo Teorema 4.5 (caso LAL) os triângulos CDE e EFB são congruentes.

5.4. Exercícios5.1. Mostre que se duas retas são cortadas por uma transversal e se um par de ângulos alternos internos é formado por ângulos congruentes, então o outro par de ângulos alternos internos também é formado por ângulos congruentes.

5.2. No desenho ao lado, AB e CD se dividem ao meio. Mostre que AD é paralelo a CB.

A

D

E

C

B

5.3. a) Mostre que se duas retas r e s são cortadas por uma transversal t e um par de ângulos internos que só contém pontos de um mesmo semiplano determinado por t, são suplementares, então as retas r e s são paralelas.b) Se duas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos internos do mesmo semiplano determinado pela transversal, são suplementares.

5.4. Mostre que se a bissetriz externa de um dos ângulos internos de um triângulo é paralela a um lado do triângulo, então o triângulo é isósceles. Vale a recíproca?

106


5.5. No desenho ao lado, A,B e C são colineares, AP AQ, BP BQ, BX BY e CX CY. Mostre que PQ é paralelo a XY.

C

X

YQ

P

A B

5.6. No desenho ao lado, se e r é perpendicular a

AB, mostre que r é perpendicular a DE.

A B

C

D E

r

5.7. No desenho ao lado, RT RS e PQ é paralelo a RS. Mostre que PQ PT.

R S

T

P Q

5.8. Demonstre que uma reta paralela à base de um triângulo isósceles e que intercepta os outros dois lados do triângulo em pontos distintos, forma um outro triângulo isósceles

5.9. No triângulo PMN ao lado, MX é bissetriz do ângulo , NX é bissetriz do ângulo e QR passando por X, é paralelo a MN. Mostre que os triângulos QMX e RXN são isósceles. M N

Q RX

P

5.10. Mostre que se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então as bissetrizes de dois ângulos correspondentes quaisquer são paralelas.

107


5.11. Demonstre que o ângulo CÂB mede a metade da medida do ângulo CÔB, considerando o desenho ao lado, onde O é o centro da circunferência e os pontos A, B e C estão sobre ela.

A OB

C

5.12. Dados dois triângulos ABC e EFG, tal que Â Ê e , explique porque você pode ou não concluir que:

a) .b) AB EF.

5.13. No desenho ao lado, PR e ST são perpendiculares a RQ e SQ é perpendicular a PS. Demonstre que

. R

P

V

S

T Q

5.14. No triângulo ABC do desenho ao lado, e CD é perpendicular a AB. Mostre que

.D B

C

A5.15. A medida de um ângulo de um paralelogramo é 45o. Quais são as medidas dos outros ângulos?

5.16. Dados um paralelogramo e uma diagonal, demonstre que os segmentos perpendiculares à diagonal a partir de vértices opostos são paralelos e congruentes.

5.17. A afirmação seguinte é verdadeira? Justifique.“Um trapézio é um paralelogramo se, e somente se, suas diagonais se dividem ao meio”.

108

5. Axioma das Paralelas5.18. Seja ABCD um trapézio isósceles onde AB é uma das bases. Mostre que .

5.19. Dados um triângulo qualquer ABC e os pontos médios de cada lado M, N e P, demonstre que o perímetro do triângulo MNP é metade do perímetro do triângulo ABC.

5.20. Mostre que se unirmos os pontos médios dos lados consecutivos de um losango, obtemos um retângulo.

109

Capítulo 6: Regiões Poligonais e Áreas

Neste capítulo, incluiremos no terceiro grupo de axiomas aqueles relacionados com a medida de áreas. Para isto precisaremos acrescentar mais três noções primitivas:

Noção Primitiva 5: Região plana.

Noção Primitiva 6: Interior de região plana.

Noção Primitiva 7: Fronteira de região plana

A idéia de colocar região plana como noção primitiva é estabelecer um objeto matemático que determina área. Há uma diferença essencial entre região plana e subconjunto do plano. Por exemplo, uma reta é um subconjunto do plano mas não determina uma área, enquanto um paralelogramo determina uma região plana (e também é um subconjunto do plano). Assim toda região plana é um subconjunto do plano mas não vale a recíproca. As noções de interior e fronteira ficarão mais claras quando trabalharmos com regiões poligonais e circulares. Estas noções são essencialmente da topologia e nesse contexto são bem definidas o que não faz parte do conteúdo deste trabalho.

Definição 6.7: Seja P um ponto do plano e R uma região plana. Se P está no interior de R diremos que P é ponto interior de R. Se P está na fronteira de R diremos que P é ponto fronteira de R. Se P não é ponto interior e nem fronteira de R diremos que P é ponto exterior de R.

6. Regiões Poligonais e Áreas

O desenho a seguir ilustra uma região plana com seu interior e sua fronteira.

Fronteira

InteriorNeste texto não estudaremos figuras planas deste

tipo.

6.1. Regiões PoligonaisAlgumas regiões planas são possíveis de serem

definidas na linguagem desse texto. Entre elas estão as regiões poligonais. Começaremos com uma região mais simples:

Definição 6.7: Dado um triângulo, a região triangular é a região plana determinada pelo triângulo e pelo conjunto dos pontos do plano formado por todos os segmentos cujas extremidades estão sobre os lados do triângulo. O triângulo é chamado fronteira da região triangular. O conjunto de pontos de uma região triangular que não pertencem a sua fronteira é chamado de interior da região triangular.34

Desta forma, um triângulo divide o plano em duas regiões: os pontos que pertencem à região triangular e os pontos que não perten-cem.

34 Nos textos em geral não se diferencia região triangular e triângulo. Da mesma forma que diferenciamos círculo de circunferencia, também diferenciamos aquí o triângulo da região triangular.

111


Proposição 6.7: Todo polígono com n lados determina n – 2 triângulos tais que dois quaisquer desses triângulos não possuem pontos interiores em comum e seus vértices são os vértices do polígono.Demonstração: Vamos fazer a demonstração por contradição, ou seja, suponhamos que exista pelo menos um polígono para o qual não vale o teorema. Seja k o menor natural para o qual existe um polígono com k lados onde isto ocorre. Sejam P1P2Pk um destes polígonos e r uma reta não paralela a nenhum dos lados do polígono. A existência desta reta está garantida pois o polígono possui um número finito de lados. Conside-remos P um ponto do polígono mais distan-te de r, como r não é paralela a nenhum lado do polígono temos que P é vértice, ou seja, P = Pi, para algum i em {1,2,,n}.

Pi

r

Consideremos agora os vértices adjacentes Pi–1 e Pi+1. Temos duas possibilidades para o triângulo Pi-1PiPi+1:1. A região triangular Pi–1PiPi+1 não contém outros vértices de P1P2Pk e, neste caso, o polígono P1P2Pi–1Pi+1Pk possui k–1 lados. Como kn foi tomado para ser o menor natu-ral para o qual o teorema não vale temos que P1P2Pi–1Pi+1Pk pode ser decomposto em k – 3 triângulos satisfazendo as hipóte-ses do teorema. Logo, o teorema será verda-

Pi

r

Pi+1

Pi-1

deiro também para P1P2Pk pois este é obtido acrescentando o triângulo Pi-1PiPi+1. Isto contradiz a hipótese inicial.

112

6. Regiões Poligonais e Áreas2. A região triangular Pi–1PiPi+1 contém vértices de P1P2Pk distintos de Pi–1, Pi e Pi+1. Neste caso, considere Pj o vértice mais distante de r. Assim o segmento PiPj decom-põe P1P2 Pk em dois polígonos P’ e P”, onde P’ é PjPj+1Pi–1Pi e P” é P1Pj–1PjPiPj+1Pn, com k’ e k” lados, respectivamente, tais que k’ + k” = k + 2. Por outro lado, temos 2 < k’, k” < n, logo P’ e P” podem ser decompos-

Pi

r

Pi+1

Pi–1

Pj

Pj+1

tos em triângulos conforme as hipóteses do teorema. Logo, P1P2 Pn pode ser decomposto em (k’ – 2)+(k” – 2) = k – 2 triângulos satisfazendo as hipóteses do teorema, obtendo também uma contradição. Estes dois casos concluem a demonstração do teorema.

Exemplos

6.1. No desenho ao lado, A é um ponto da região triangular, observe que A é um ponto interior, B é um ponto do triângulo e, neste caso, da fronteira e C um ponto que não está no interior e nem na fronteira. O ponto C é dito um ponto exterior a região triangular.

A

BC

6.2. Um polígono é convexo quando para todo lado deste, o polígono está contido num dos semiplanos determinado por este lado. Qualquer triângulo é um polígono convexo. O primeiro bloco de quatro polígonos do desenho a seguir não são convexos e o segundo bloco são convexos.

113


6.3. Na Definição 2.3, ou seja, na definição de polígono, os ângulos AiÂi+1Ai+2 são denominados ângulos internos do polígono. Vamos mostrar que num polígono convexo de n lados a soma dos ângulos internos é igual a (n – 2).(180º). Pela Proposição 6.7, temos (n – 2) triângulos cuja soma de todos os ângulos internos do triângulo é igual a soma dos ângulos internos do polígono (pois ele é convexo). Como em cada triângulo temos a soma dos ângulos internos igual a 1800, obtemos (n – 2).(1800) como a soma dos ângulos internos.

Definição 6.7: Dado um polígono, a região poligonal é a região plana determinada pela união das regiões triangulares obtidas pela Proposição 6.7. O polígono é chamado fronteira da região poligonal. O conjunto de pontos de uma região poligonal que não pertencem a sua fronteira é chamado de interior da região poligonal.

A1 A2

A3

A4A5

A6

6.4. Nos desenhos a seguir temos outros exemplos de regiões poligonais. Nos desenhos sombreados temos exemplos de regiões que, apesar de não serem regiões poligonais de acordo com a definição dada, aparece em outros textos como regiões poligonais, pois suas definições são distintas dessa. Porém observamos que

114

6. Regiões Poligonais e Áreastodas elas podem ser vistas como união de regiões poligonais.

6.5. Nos desenhos a seguir damos exemplos de algumas regiões não poligonais: uma região que não é um número finito de regiões triangulares (faixa de triângulos), uma região com regiões triangulares se interceptando e não formando um segmento ou um ponto e, região onde não existe uma linha poligonal inteiramente contida.

115

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco6.6. No desenho ao lado, temos um polígono onde A é um ponto interior da região poligonal, B é um ponto da fronteira da região poligonal e C um ponto que não está no interior e nem na fronteira da regão poligonal. O ponto C é dito um ponto exterior a região poligonal.

A

BC

Algumas questões relacionadas a convexidade são interessantes e como fogem do escopo deste livro (pois estamos preocupados com a noção de área de regiões poligonais) apresentaremos somente para reflexão:

1. Se um ponto A está no interior de um polígono e B está no exterior então o segmento AB intercepta o polígono.

2. Se um ponto A está no interior de um polígono então qualquer reta que passa por A encontra o polígono pelo menos duas vezes.

3. Um polígono é convexo se, e somente se, sua região poligonal é um conjunto convexo.

4. Dado n IN, n 3, é sempre possível construir um polígono de n lados?

5. Dados n pontos distintos, em que condições existe um polígono tendo como vértice estes pontos?

6.2. ÁreasOs próximos axiomas tratam novamente de

medidas; agora de medidas de áreas, por isso os colocamos no grupo III, que é o grupo dos axiomas de medidas.

116

6. Regiões Poligonais e ÁreasAxioma III.5: A toda região plana R corresponde um único número real positivo.

Definição 6.7: A área de uma região plana R, denotada por A(R) (lê-se, área de R), é o número real dado pelo Axioma III.5.

Axioma III.6: Se uma região plana é a união de duas ou mais regiões planas tais que duas a duas não têm pontos interiores em comum, então sua área é a soma das áreas destas regiões.

Devemos observar que a noção de ponto interior de uma região plana deverá estar clara. Por exemplo, no caso da região poligonal e do círculo isto ficou bem definido e no caso duma região plana qualquer foi considerado uma noção primitiva.

Axioma III.7: A área de um quadrado é o quadrado do comprimento do seu lado.

A área de uma região, certamente, deve depender apenas da forma da região e não do lugar onde a região está localizada no plano. Para o caso de regiões poligonais, este fato segue do axioma que colocamos no grupo dos axiomas de medidas.

Axioma III.8: Se dois triângulos são congruentes, então as regiões triangulares determinadas por eles têm a mesma área.

Vamos agora através destes axiomas de áreas determinar áreas de regiões poligonais mais conhecidas.

Teorema 6.7: A área de um retângulo é o produto da medida de sua base pela medida de sua altura.

117

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Chamamos de A(R) a área que queremos determinar. As áreas dos dois quadrados sombreados do desenho ao lado, são iguais a h2 e b2 pelo Axioma III.7; e a área de todo o desenho que também é um quadrado de lado (b + h) é igual a (b + h)2, pelo mesmo axioma. b

h h

h

h

bb

b

A(R)

A(R)

Assim, dividindo a região poligonal e aplicando o AxiomaIII.6, temos que:

(b + h)2 = 2A(R) + b2 + h2 A(R) = bh.

Proposição 6.7: A área de um triângulo retângulo é a metade do produto da medida de seus catetos. Demonstração: Consideremos um triângu-lo retângulo ABC, onde A é o ângulo reto, e tracemos uma reta r paralela a AC por B e uma reta s paralela a AB por C. Temos que r e s se encontram num ponto D formando um ângulo reto, posto que CD é paralela a AB e perpendicular a AC. Logo por construção temos que ABCD é um retângulo. Sabemos que a área

A B

C Dsr

do retângulo é , pelo Teorema 6.7. Pelo Teorema4.5 (Caso LAL) os dois triângulos determinados pela diagonal CB são congruentes. Logo, pelo Axioma III.8, eles têm a mesma área. Pelo Axioma III.6, temos,

A(ABCD) = = 2.A(ABC) A(ABC) = ,como queríamos demonstrar.

118

6. Regiões Poligonais e ÁreasTeorema 6.7: A área de qualquer triângulo é o semi-produto da medida de qualquer base pela medida da altura correspondente. Demonstração: Existem três possibilidades a serem consideradas: triângulos acutângu-lo, retângulo e obtusângulo, conforme figu-ra ao lado. No caso de triângulos acutângu-los os pés das perpendiculares em relação a qualquer base está entre os vértices desta base (Exercício 4.11). Neste caso, utilizamos duas vezes a Proposição 6.7 juntamente

b1b2

h hh

bb1 b

acutângulo retângulo obtusângulo

com o Axioma III.6 e obtemos A(T1) + A(T2) = A(T), ou seja,

A(T1)+A(T2) = =

O caso de triângulos retângulos é a própria Proposição6.7. O caso detriângulos obtusângulos os pés das perpen-diculares em relação a duas das bases se posicionam conforme o desenho ao lado. Se-ja T o maior triângulo deste desenho. Sabe-mos pelo Axioma III.6 que

A(T)=A(T1)+A(T2) A(T1)=A(T) – A(T2).

Como T e T2 são triângulos retângulos, pela Proposição 6.7, temos

b1

h

b

T1T2

A(T1)= ,como queríamos demonstrar.

119


Teorema 6.7: A área de um trapézio é a metade do produto da medida da altura pela soma das medidas das bases. Demonstração: Seja A a área do trapézio de bases b1 e b2 e altura h. Cada diagonal divide o trapézio em dois triângulos, com bases b1 e b2 e mesma altura h (Proposição 5.6). Pelo Axioma III.6 temos que:

.

h

b1

b2

Segue do Exemplo 5.17 que a área de um trapézio é o produto da base média pela altura do trapézio.

Corolário 6.7: A área de um paralelogramo é o produto de qualquer base pela altura correspondente. Demonstração: Todo paralelogramo é um trapézio com b1 = b2 = b, assim pelo Teorema 6.7, temos que a área do paralelogramo é

.

h

b

b

120

6. Regiões Poligonais e ÁreasExemplos

6.7. Seja ABCD um trapézio com DC paralelo a AB. No desenho ao lado, E é o ponto médio de AB, F o ponto médio de DE e G é o ponto médio de CE. Vamos mostrar que a área do triângulo AFD é igual a área do triângulo BGC. De fato, como DC //AB temos que a altura dos triângulos ADE e ECB relativas às bases AE e BE são congruentes

D

A

C

E B

F G

pela Proposição 5.6, logo A(ADE)=A(ECB). Como F é ponto médio de DE e G é ponto médio de CE, pelo Teorema 5.6, temos que FG // DC, logo FG // AB e portanto pela Proposição 5.6 temos que as alturas dos triângulos AFE e BGE em relação a bases AE e EB, respectivamente, são congruentes e, portanto, A(AFE)=A(BGE). Como

A(ADE)=A(AFE)+A(AFD) e A(ECB)=A(BGE)+(BGC)temos A(AFD)=A(BGC), como queíamos demonstrar.

6.8. Seja ABCD um quadrilátero com diagonais AB e CD. Suponhamos que a diagonal AB intercepta a diagonal CD no ponto médio de CD. Vamos mostrar que a a área do triângulo ABC é igual a área do triângulo ABD. De fato, consideremos CE a altura do triângulo ABC em relação a AB, e DF altura do triângulo ADB também em relação a AB, como no desenho ao lado. Temos que

, pois são ângulos opostos pelo vértice, CP DP, por hipótese, e , pois são ângulos retos, logo o triângulo CEP

A D

BC

EF

P

é congruente ao triângulo DFP, pelo Teorema 4.5 (Caso LAAo) e portanto CE DF. Assim os triângulos ABC e ABD têm a mesma área, pois

A(ABC) = = A(ABD).

121


6.3. Teorema de PitágorasCom o que temos de área é possível demonstrar

facilmente o famoso teorema de Pitágoras35.

Teorema 6.7 (de Pitágoras): Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.Demonstração: Consideremos um triân-gulo retângulo de catetos medindo a e b, e hipotenusa medindo c. Tomemos um quadrado de lado a+b. No seu interior traçamos quatro triângulos retângulos com catetos a e b sobre os lados do quadrado. Pelo Teorema4.5 (Caso LAL), cada um destes quatro triângulos é congruente ao triângulo dado, ou seja, todos têm hipotenusa com medida igual a c. O quadri-látero formado pelas quatro hipotenusas é um quadrado, pois os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares.

a

bc

ba

a

a

a

b

b

bcc

cc

Pelo Axioma III.6, a área do quadrado maior é igual à área do quadrado menor mais a soma das áreas dos quatro triângulos congruentes. Isto nos dá

.Portanto, a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab, donde a2 + b2 = c2.

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira e é apresentada a seguir:

35 Pitágoras de Samos nasceu por volta de 569 a.C. em Samos, Ionia e morreu por volta de 475 a.C. Pitágoras foi um filósofo grego que fez importantes descobertas na matemática, astronomia e na teoria musical. O teorema hoje conhecido como Teorema de Pitágoras era conhecido pelos Babilônios 1000 anos antes de Pitágoras enunciá-lo, mas ele foi o primeiro a demonstrá-lo.

122


Teorema 6.7: Se o quadrado da medida de um lado de um triângulo é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então o triângulo é retângulo, com o ângulo reto oposto ao maior lado.Demonstração: Consideremos um triângu-lo qualquer de lados a, b e x tal que , tomemos um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c,

a

b

x a

b

c

pelo Teorema de Pitágoras temos que e portanto c = x. Logo os triângulos são congruentes pelo Teorema 4.5 (Caso LLL) e assim o primeiro triângulo é retângulo.

Na obra “Os Elementos” de Euclides estes dois resultados correspondem às proposições 47 e 48 do livro I e são as últimas proposições deste volume.

Exemplos

6.9. (Retângulo Áureo) Vamos admitir aqui que um retângulo áureo é um retângulo ABCD que possui a seguinte construção geométrica:Começa-se por um quadrado ABEF (em cinza no desenho ao lado), que é dividido em dois retângulos de mesma área, pelo segmento GH. O ponto H serve como centro de uma circunferência cujo raio tem a medida da diagonal EH. Traça-se o arco de circunferên-cia (ED) e prolonga-se o segmento da base

F

B E

A H

G

D

C

AF até interceptá-lo. O segmento AD será a base do retângulo áureo. Traça-se o novo lado CD em ângulo reto com a nova base, prolongando-se o segmento BE até interceptá-lo, num ponto C completando assim a construção do retângulo áureo. Mostraremos que neste

123

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoretângulo ABCD, se retirarmos o quadrado, o retângulo resultante também é um retângulo áureo. Logo, devemos mostrar que DCEF é um retângulo áureo. Para isto considere os pontos I e J nos segmentos CD e EF, respectivamente, tais que

. Por construção, FDIJ é um quadrado. Consi-dere agora os pontos médios K e L dos seg-

F

B E

A H

G

D

CJ IL K

mentos DI e FJ, respectivamente. Devemos mostrar que . Vejamos primeiramente que

.

(*)Logo , temos

Por outro lado,

Portanto, , como queríamos demonstrar. Segue de (*) que e este número foi designado

por Fibonacci pela letra , ou seja, = 1,6180 e é conhecido como número áureo ou número de ouro e aparece de várias formas na natureza e nas artes de uma maneira geral. Dizemos também que DF é o segmento

124


áureo de AB e a razão é chamada razão áurea ou divina proporção.

6.10. Num triângulo MOQ, temos P entre O e Q, MO OQ, e MP PQ. Vamos determinar , m( ) e m(

). Como MOP é isósceles temos m(O P)=m(OM)=45º. Assim, m(Q M)=135o e m(P M)=m(QP)=22,5o.Logo, m(Q O) = m(Q P) + m(P O) =

=45o + 22,5o = 67,5o.

M

QO 1

1

Pe m( ) = m(P M) = 22,5o. Como, temos . Logo,

.

6.4. Exercícios6.1. O que acontece com a área de um quadrado se seu lado é duplicado? Triplicado? Dividido por 2?

6.2. a) Se a altura de um retângulo é duplicada enquanto a base permanece a mesma, o que acontece com a área?b) Se a base de um retângulo é duplicada enquanto a altura permanece a mesma, o que acontece com a área?c) Se a base e a altura de um retângulo são duplicadas, o que acontece com a área?

6.3. Demonstre que se dois retângulos tem bases de mesma medida b, então a razão entre suas áreas é igual a razão entre as medidas de suas alturas.

125

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco6.4. a) Mostre que se dois triângulos têm bases de mesma medida b e alturas de mesma medida h, então eles têm a mesma área.

b) Se dois triângulos têm alturas de mesma medida h, então a razão entre suas áreas é igual à razão entre as medidas de suas bases.

6.5. Um polígono é regular quando é convexo, todos os seus ângulos são congruentes e todos os seus lados são congruentes. Mostre que a área de um polígono regular de n lados com perímetro 2p e apótema a é igual a p.a.

6.6. Um triângulo retângulo tem catetos medindo 18 cm e 14 cm. Um outro triângulo retângulo tem catetos medindo 14 cm e 24 cm. Qual a razão entre as áreas dos dois triângulos?

6.7. Em um triângulo ABC, CD é a altura relativa a AB e AE é a altura relativa a BC.a) Se , determine .b) Se , determine .c) Se , determine .

6.8. Um triângulo e um paralelogramo têm áreas e medidas das bases iguais. Qual a relação entre as medidas de suas alturas?

6.9. Demonstre que em um triângulo qualquer, uma mediana separa o triângulo em duas regiões de mesma área.

6.10. a) Demonstre que se as diagonais de um quadrilátero convexo são perpendiculares entre si, então a área do quadrilátero é metade do produto dos comprimentos das diagonais. b) Calcule a área de um losango se forem dadas as suas diagonais.

126

6. Regiões Poligonais e Áreas6.11. É dado um segmento AB. Mostre que para todo número real positivo k, existe pelo menos um ponto P tal que o triângulo ABP tem área k. Existe mais de um ponto assim? Quantos? Descreva o conjunto de todos os pontos P que têm essa propriedade.

6.12. Se os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo são a e b, calcule a altura h, relativa a hipotenusa, em termos de a e b.

6.13. Considere o desenho ao lado. Calcule as medidas de OB, OC e OD utilizando a medida m dada. Se você continuar o processo do desenho, fazendo e

, quanto será a medida de OE? Qual deve ser o comprimento do próximo segmento traçado. Generalize o resultado.

ED

mm

mm

A

B

C

O

6.14. Uma demonstração doTeorema de Pitágoras, fazendo uso do desenho ao lado, foi descoberta por James A. Garfield36, antes que se tornasse presidente dos Estados Unidos. Demonstre que a2 + b2 = c2, impondo que a área do trapézio é igual a soma das áreas dos três triângulos. Não se esqueça que deve ser demonstrado que

.A

B

C

D E

ab

c

a

b

c

6.15. Em um triângulo retângulo cujos ângulos agudos medem 30o e 60o e a hipotenusa mede c, quanto medem os outros dois catetos?

36 James. A. Garfield nasceu em 1831 em Cuyahoga County, Ohio, USA, e morreu em 19/09/1881. Foi o vigésimo presidente dos Estados Unidos (1881). Morreu assassinado seis meses após sua posse.

127

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco6.16. A medida de cada ângulo da base de um triângulo isósceles é 30o e cada um de seus lados congruentes mede 14 cm. Qual o comprimento da base? Qual a área do triângulo?

6.17. Um paralelogramo tem dois lados medindo 18 cm e 8 cm, e a medida de um ângulo é 30o. Ache a área do paralelogramo.

6.18. A medida da altura de um triângulo eqüilátero é h. Calcule o comprimento do lado e a área do triângulo em função de h.

6.19. Num trapézio ABCD, as medidas dos ângulos da base são Â = 45o e = 30o, a medida de BC é 16 cm e a de DC é 5 cm. Calcule a área do trapézio.

6.20. O segmento áureo de um segmento AB é um segmento AC tal que . Construa com régua e compasso o segmento áureo de um segmento AB dado.

128

Capítulo 7: Semelhança de Triângulos e o Teorema de Tales

Nosso objetivo, neste capítulo, será estudar semelhança de triângulos e o Teorema de Tales37. A idéia envolvida nesses dois assuntos é a de proporcionalidade38.

7.1. Sequências ProporcionaisA grosso modo, duas figuras geométricas são

semelhantes se tiverem exatamente a mesma forma, mas não necessariamente o mes-mo tamanho. Por exemplo, duas circunferências quaisquer são seme-lhantes; dois quadrados são sempre semelhantes; dois triângulos equi-láteros são sempre semelhantes e, é claro, dois segmentos quaisquer são semelhantes.

Poderíamos dizer também que duas figuras são semelhantes se uma delas é em escala, um modelo da outra. Este procedimento é utilizado na confecção de mapas e plantas de casas, onde precisamos diminuir o tamanho do modelo sem perder a proporcionalidade.

Dados dois números reais x e y, a razão entre x e

y é o quociente . Dadas duas razões e , se ocorrer

a igualdade = então ela é denominada proporção e

as seqüências (x1,x2) e (y1,y2) são denominadas proporcionais. Podemos generalizar este conceito para uma quantidade qualquer de números reais:

37 Tales de Mileto nasceu por volta de 624 a.C. e morreu por volta de 547 a.C. em Mileto, Ásia Menor (agora Turquia). Tales de Mileto foi o primeiro filósofo grego, cientista e matemático conhecido. A ele é creditado cinco teoremas da geometria elementar.

38 Euclides trabalha este assunto nos livros V e VI.


Definição 7.8: Dadas duas seqüências (x1,x2,,xn,) e

(y1,y2,,yn,) de números reais positivos, se = ==

=, diremos que as seqüências são proporcionais.

Exemplo

7.1. As sequências (1,2,3,4,5,...) e (3,6,9,12,15,...) são proporcionais.

Enunciaremos agora o teorema fundamental sobre proporciona-lidade e sua recíproca.

Teorema 7.8: Se uma reta paralela a um lado de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina segmentos que são proporcionais a esses lados.Re-enunciado: No triângulo ABC do desenho ao lado, sejam D e E pontos de AB e AC, respectivamente, tais que DE é paralelo a BC. Então:

.

Demonstração: Nos triângulos ADE e BDE

A

B C

D E

consideremos AD e BD como as bases. Então esses triângulos têm a mesma altura pois a altura de ADE é a distância de E a reta que contém AD e a altura de BDE em relação a BD é a distância de E à reta que contém BD, como rBD = rAD, as alturas são as mesmas. Portanto, pelo item b) do Exercício 6.4, a razão de suas áreas é igual a razão entre suas bases, e assim temos

130

7. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales

. (1)Analogamente, se considerarmos os triângulos ADE e CDE, com bases AE e CE, respectivamente, teremos que ambos possuem a mesma altura (a justificativa é a mesma que nos dois triângulos anteriores) e assim concluímos como antes que

. (2)Mas os triângulos BDE e CDE têm a mesma base DE e mesma altura, pois por hipótese DE é paralelo a BC. Portanto pelo Exercício 6.4 temos que

A(BDE) = A(CDE). (3)Combinando as três equações (1), (2) e (3), obtemos que:

.Pelo Exercício 7.2, segue que:

Teorema 7.8: Se uma reta intercepta dois lados de um triângulo e determina segmentos proporcionais a estes dois lados, então ela é paralela ao terceiro lado.Re-enunciado: Sejam ABC um triângulo dado como no desenho ao lado, D um ponto entre A e B, e E um ponto entre A e C. Se , então DE é paralelo a BC.Demonstração: Seja BC’ a reta por B paralela a DE, interceptando AC num ponto C’.

A

B C

D EC’

Pelo Teorema 7.8, temos , mas por hipótese

, donde e assim . Como C’

131

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoestá na semi-reta SAC temos pelo Corolário 3.4, que C = C’ e assim DE é paralelo a BC.

7.2. Teorema de TalesAgora podemos enunciar e demonstrar um teorema

que tem mais de 2600 anos, o famoso Teorema de Tales. Aqui faremos apenas o caso de um feixe de retas paralelas cortadas por um feixe de reta transversais.

Teorema 7.8 (de Tales): Se três ou mais paralelas são cortadas por duas transversais, os segmentos determinados nas duas transversais são proporcionais. Re-enunciado: No desenho ao lado se as transversais t e t’, interceptam as paralelas r, s e u em A, B, C e A’, B’ e C’, respectivamen-te, então .

Demonstração: Consideremos o triângulo ACC’, como BB’ // CC’, pelo Teorema 7.8, te-

rs

u

tA

B

C

t’A’B’

C’

mos (1), onde D = AC’ BB’. Consideremos agora o triângulo AA’C’, como AA’//DB’, temos pelo Teorema 7.8, (2). Portanto, de (1) e (2)

temos: . De maneira análoga, se demonstra para o caso com mais de três retas.

Teorema 7.8: (da Bissetriz Interna): Num triângulo qualquer, a bissetriz de um ângulo interno intercepta o lado oposto num ponto tal que as medidas dos segmentos

132

7. Semelhança de Triângulos e Teorema de Talesobtidos e as medidas dos lados adjacentes ao ângulo formam seqüências proporcionais.

Re-enunciado: No desenho ao lado se ABC é um triângulos e SA é a bissetriz do ângulo A, então

ou, equivalentemente, .

Demonstração:Tracemos por B, a reta paralela a bissetriz SA, obtendo como inter-seção com a reta CA o ponto D. Teremos =,

am n

C

SA

A

cb

B

D

pois são alternos internos e = , pois são correspondentes. Logo, = e o triângulo ABD é isósceles de base BD. Assim, . Como a reta BD é paralela a SA, por construção, aplicamos o Teorema7.8, obtendo o resultado desejado.

a

m nC

SA

A

cb

B

D

Se considerarmos a bissetriz de um ângulo externo em triângu-los escaleno obteremos um resultado similar. Deixamos como exercício a demonstração deste caso (Exercício 7.13).

7.3. SemelhançaVamos agora definir semelhança de triângulos.

Definição 7.8: Dois triângulos ABC e DEF, são ditos semelhantes, se existir uma função bijetora f: {A,B,C} {D,E,F}, que leva os vértices de um, nos vértices do outro, de tal modo que os ângulos correspondentes sejam congruentes e os lados correspondentes formem uma seqüência proporcional, ou seja,

133


m(Â) = m( ), m( ) = m( ), m( ) = m( ),

.Neste caso, denotaremos por ABC ~ DEF onde se lê: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo DEF. As razões dadas pelas proporções acima são denominadas razão de semelhança.

Exemplo

7.2. Dois triângulos congruentes são semelhantes pois existirá uma correspondência biunívoca onde ângulos correspondentes são congruentes. Como os lados correspondentes são congruentes então formam uma seqüência proporcional de razão 1. A recíproca não é verdadeira, basta considerar os triângulos retângulos de lados 3, 4 e 5 e lados 6, 8 e 10. Conforme veremos, estes dois triângulos são semelhantes.

Proposição 7.8: A semelhança de triângulos é uma relação de eqüivalên-cia.Demonstração: Devemos mostrar que a semelhança de triângulos é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva. De fato:a) Reflexiva: como todo triângulo é congruente a ele mesmo, então ele é semelhante a si mesmo, com razão 1 entre seus lados. b) Simétrica: Se ABC é semelhante a EFG então

, pelo Exercício 7.1 temos que

, logo EFG é semelhante a ABC, e portanto a semelhança satisfaz a propriedade simétrica.

134

7. Semelhança de Triângulos e Teorema de Talesc) Transitiva: Se ABC é semelhante a DEF e a razão de semelhança entre seus lados é 1. Então . Logo,1. ,

2. e

3. .

Mas se DEF é semelhante a GHI então ,

substituindo (1), (2) e (3), temos , logo

.Assim, ABC é semelhante a GHI com razão PR entre seus lados. Logo a semelhança de triângulos é uma relação de eqüivalência.

Teorema 7.8: Dada uma correspondência entre dois triângulos, se os ângulos correspondentes são congruentes, a correspondência é uma semelhança.Demonstração: Sejam ABC e EFG os dois triângulos correspondentes. Queremos mos-trar que

. Vamos demonstrar a primeira dessas igualdades, a demonstra-ção da outra é análoga. Sejam F’ e G’ pontos de AB e AC respectivamente, tal que AF’ EF e AG’ EG. Por LAL, temos que AF’G’ EFG. Logo temos que

, mas por hipó-tese 135


, segue-se que . Vamos considerar

dois casos.a) Se F’ = B. Então os dois triângulos dados são

congruentes e, portanto, semelhantes.b) Se F’ é diferente de B, então F’G’ e BC são paralelos

como visto no Exemplo 5.4, e assim pelo Teorema 7.8, temos o desejado.

Corolário 7.8: Se existe uma correspondência entre dois triângulos tais que dois pares de ângulos correspondentes são congruentes, então a correspondência é uma semelhança.Demonstração: Dados dois triângulos ABC e EFG, sabemos pelo Teorema 5.6 que

(1)e

(2).Por hipótese, suponhamos que Â Ê e , portanto

.

A B

C

E F

G

Assim de (1) e (2) temos . Daí, pelo Teorema 7.8, os triângulos ABC e EFG são semelhantes

Teorema 7.8: Dada uma correspondência entre dois triângulos. Se dois pares de lados correspondentes são proporcionais e os ângulos que eles determinam, congruentes, então a correspondência é uma semelhança.Re-enunciado: Dados dois triângulos ABC e EFG e uma correspondên-cia ABC EFG, se e Â Ê, então

ABC ~ EFG.

136

7. Semelhança de Triângulos e Teorema de TalesDemonstração: Sejam F’ e G’ pontos de AB e AC respectivamente, tais que AF’ é congruente a EF e AG’ é congruente a EG. Por LAL os triângulos AF’G’ e EFG são congruentes, e assim, pela hipótese teremos que . Portanto pelo Teorema 7.8, F’G’ é paralelo a BC. Logo (como F’G’//BC, eles são ângulos correspon-dentes). Como o vértice A é comum aos dois triângulos, temos pelo Corolário 7.8 que ABC ~ AF’G’. Logo pela Proposição 7.8 temos o desejado.

A

B C

F’ G’

E

F G

Teorema 7.8: Dada uma correspondência entre dois triângulos. Se os lados correspondentes são proporcionais, então a correspondência é uma semelhança.Re-enunciado: Dados dois triângulos ABC e EFG e uma correspondên-cia ABC EFG, se , então ABC ~ EFG.Demonstração: Sejam F’ e G’ pontos de AB e AC respectivamente, tais que AF’ EF e AG’ EG. Suponhamos que

, então temos

. Nos triângulos ABC e AF’G’ o ângulo Â é comum, logo temos ABC ~ AF’G’, pelo Teorema7.8. Portanto, , ou seja,

A

B C

F’ G’

E

F G

137


.

Mas, por hipótese, e assim, FG F’G’. Logo, AF’G’ EFG, pelo caso LLL. Portanto, pelo Exercício 7.4, temos ABC ~ EFG.

7.4. Exercícios7.1. Demonstre que na Definição 7.8, não interessa a ordem em que as duas seqüências aparecem, se (a,b,c,...) e (p,q,r,..). ou (p,q,r,...) e (a,b,c,...).

7.2. Dado , conclua que e que

.

7.3. Se a, b e c são números positivos e , então b é chamado a média geométrica entre a e c. Calcule a média geométrica entre os números 24 e 6. 7.4. Mostre que se um triângulo ABC é congruente a um triângulo DEF e o triângulo DEF é semelhante a um triângulo GHI, então os triângulos ABC e GHI são semelhantes.7.5. Demonstre que se num triângulo ABC, D e E são pontos médios de AC e BC, respectivamente, então CDE ~ CAB.7.6. Demonstre que o triângulo cujos vértices são os pontos médios dos lados de um triângulo dado, é semelhante a este.

138

7. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales7.7. Dado um trapézio ABCD, seja E o encontro de suas diagonais. Mostre que se AED ~ BEC e AEB ~ DEC, então AD BC.7.8. Mostre que, se uma reta, paralela a um lado de um triângulo, interceptar os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina um triângulo semelhante ao triângulo dado.7.9. Demonstre que duas alturas correspondentes de triângulos semelhantes estão na mesma razão que os lados correspondentes.7.10. No desenho ao lado tem-se que RP é paralelo a SQ, mostre que:a) PRV ~ SQV;b) R

PV

S

Q

7.11. Demonstre que duas medianas quaisquer de dois triângulos semelhantes estão na mesma razão que os lados correspondentes.7.12. Se a seguinte afirmação for verdadeira, demonstre-a, se for falsa, dê um contra-exemplo.

“Dada uma correspondência entre dois triângulos, tal que os comprimentos de dois lados de um dos triângulos são proporcionais aos comprimentos dos lados correspondentes do outro triângulo e o ângulo oposto a um dos lados de um dos triângulos é congruente ao ângulo correspondente do outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.”

7.13. (Teorema da Bissetriz Externa) Num triângulo escaleno, a bissetriz de um ângulo externo intercepta o lado oposto num ponto tal que as medidas dos segmentos obtidos e as medidas dos lados adjacen-

139

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francotes ao ângulo formam seqüências proporcio-nais.Re-enunciando: No desenho ao lado SAD é a bissetriz externa ao ângulo Â do trângulo escaleno ABC, então .

a mC

A

bc

DB

7.14. Um triângulo tem lados 6, 12 e 16. A bissetriz do maior ângulo interno e do menor ângulo externo interceptam a reta contendo o lado oposto nos pontos X e Y, respectivamente. Determine as distâncias de X e Y ao vértice do menor ângulo do triângulo.7.15. Mostre que em qualquer triângulo retângulo, a altura em relação à hipotenusa separa o triângulo em dois triângulos semelhantes entre si e semelhantes ao triângulo original.7.16. É dado um triângulo retângulo e a altura em relação a hipotenusa. Mostre que:a) A altura é a média geométrica dos segmentos que ela

determina sobre a hipotenusa (projeções dos catetos).b) Cada um dos catetos é a média geométrica entre a

hipotenusa e a sua projeção sobre a hipotenusa.7.17. A altura em relação à hipotenusa de um triângulo retângulo, separa a hipotenusa em dois segmentos cujos comprimentos são r e s (projeções dos catetos). Demonstre que a área do triângulo é igual ao produto da média geométrica de r e s pela média algébrica de r e s.7.18. Se dois triângulos são semelhantes, a razão de suas áreas é o quadrado da razão de dois lados correspondentes quaisquer.7.19. Um lado de um de dois triângulos semelhantes, é cinco vezes maior que o lado correspondente do outro. Se a área do triângulo menor é 6 cm2, qual é a área do maior?

140

7. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales7.20. Num triângulo ABC, D é um ponto de AC, tal que

. Se E é um ponto em BC, tal que DE é paralelo a AB, compare as áreas dos triângulos CDE e ABC. Se A(ABED)= 40 cm2, determine a área de ABC.

141

Capítulo 8: Circunferência e Círculo

Vimos no Capítulo 3 os conceitos de circunferência e círculo, respectivamente. Nos capítulos anteriores foram propostos alguns exercícios envolvendo estas duas figuras geométricas, mas devido a importância destes dois conceitos na matemática, daremos um tratamento especial para eles neste capítulo. Definição 8.9: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro são ditas concêntricas. No desenho ao lado, temos três circun-ferências concêntricas com centro em O e raios r1, r2 e r3 .

.Or1

r2r3

Definição 8.9: Uma corda de uma circunfe-rência, é um segmento cujas extremidades estão na circunferência. No desenho ao lado, o segmento AB é uma corda. Uma reta que intercepta a circunferência em dois pontos é chamada secante. No desenho ao lado, a reta r = AB é uma reta secante à circunferência.

r

A

B

.

.

É claro que toda corda determina uma secante e toda secante determina uma corda.

8. Circunferência e CírculoDefinição 8.9: Um diâmetro de uma circun-ferência é uma corda que contém o centro. No desenho ao lado, o segmento BC é um diâmetro. Um raio de uma circunferência é um segmento cujas extremidades são o cen-tro e um ponto sobre a circunferência. No desenho ao lado, o segmento OA é um raio. O ponto A é chamado extremidade final do raio OA.

C

.

B .. O.

A

É usual chamar de raio a medida do raio. Por esse motivo, se a medida do raio de uma circunferência é r, também é usual chamar a medida do diâmetro o diâmetro dessa circunferência de 2r.

Proposição 8.9: Numa circunferência, se um raio é perpendicular a uma corda então ele intercepta a corda no seu ponto médio.Demonstração: Seja O o centro de uma circunferência e OA um raio perpendicular em M a uma corda BC confor-me desenho ao lado. Temos que OB e OC são raios e, portanto, por definição, têm as mês-mas medidas, logo são congruentes. Assim o triângulo OBC é isósceles e então temos . Temos também, por hipótese que

. Logo, pelo Teorema4.5 (Caso LAAo), temos que os triângulos OBM e

OA

B

C

M .

.

.

.

OCM são congruentes, e assim BM CM.

A recíproca desta proposição é verdadeira? Nem sempre, pois nas cordas que são diâmetros todos os raios

143

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francointerceptam no ponto mé-dio e somente um é perpendicular. Podemos estabelecer a recíproca para o caso em que as cordas não são diâmetros:

Proposição 8.9: Numa circunferência, se um raio intercepta uma corda (que não é diâmetro) no seu ponto médio então ele é perpendicular a corda.Demonstração: Seja O o centro de uma circunferência e OA um raio interceptando uma corda BC no ponto médio M. Logo, BM CM, OB e OC são raios. Assim, OB OC e então OBC é um triângulo isósceles (note que é um triângulo pois a corda não é diâmetro). Logo, OM é uma mediana e, pelo Teorema 4.5, OM é altura de OBC. Portanto, OA é per-pendicular a corda BC.

8.1. TangentesUm outro conceito importante relacionado a

circunferência é a reta tangente:

Definição 8.9: Uma tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto. Esse ponto é chamado ponto de tangência ou ponto de contato. Neste caso dizemos que a reta e a circunferência se tangenciam nesse ponto.

A próxima proposição garante a existência da tangente.

Proposição 8.9: Uma reta perpendicular a um raio de uma circunferên-cia na sua extremidade final é tangente a mesma.Demonstração: Consideremos uma circunferência de centro O e r uma reta perpendicular ao raio OA em A. Queremos mostrar que nenhum

144

8. Circunferência e Círculoponto de r além do ponto A está na circunferência. Seja B um outro ponto de r. Pelo Corolário 4.5, o segmento de menor medida de O a r é o segmento perpendicu-lar. Logo, , ou seja a distância de B ao centro O é maior do que o raio da circun-ferência. Portanto, B está no exterior da circunferência. Como B é um ponto qual-quer de r distinto de A, temos o desejado.

r

O A

B

.

.

.

A recíproca deste resultado também é verdadeira, ou seja, temos:

Proposição 8.9: Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que contém o ponto de tangência.Demonstração: Consideremos uma circunferência de centro O, e t uma reta que lhe seja tangente. Chamemos de T o ponto de tangência. Seja agora O’ o pé da perpendicular baixada pelo ponto O à reta t. Queremos mostrar que O’ e T coincidem. Caso isso não ocorra, pelo Corolário 4.5, OO’ tem medida menor que OT. Tomemos na semi-reta oposta a SO’T um ponto R, tal que O’R O’T (veja desenho ao lado). Então os triângulos OO’R e OO’T são congruentes pelo Teorema 4.5 (Caso LAL) pois OO’ é comum aos dois triângulos

T

O O’

R.

.

.

t

.

e, por construção, e m(OÔ’R) = m(OÔ’T) = 90o. Assim, e, portanto, t intercepta a circunferência em dois pontos, e isso contradiz a definição de reta tangente. Logo, nossa hipótese é falsa.

145


Definição 8.9: Duas circunferências são tangentes se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto. Se duas circunferências tangentes são tais que os seus centros estão no mesmo semiplano determinado pela sua tangente comum, então elas se tangenciam internamente. Se duas circunferências tangentes são tais que os seus centros estão em semiplanos opostos em relação a tangente comum, então elas se tangenciam externamente.

Tangentes internas Tangentes externas

Proposição 8.9: Se uma reta s intercepta o interior de uma circunferência C, então ela intercepta a circunferência em dois e somente dois pontos.Demonstração: Seja C uma circunferência de centro O e raio r como no desenho ao lado. Sejam s uma reta e A um ponto de s no interior de C, que existe por hipótese. Então , por definição de círculo. Seja O’ o pé da perpendicular a s passando por O, e chamemos de q. Pelo Corolário4.5,

X’

O O’

X.

.

.. qr

r

s

.A

. Assim, pelo Axioma IV.1, existe X na semi-reta SO’A tal que . Como X está em s, o triângulo OO’X é retângulo em O’, e assim, pelo teorema de Pitágoras,

.

146

8. Circunferência e CírculoLogo X está em C por definição. Novamente pelo Axioma IV.1, existe na outra semi-reta determinada por O’, um ponto X’ com as mesmas características de X. Pelo Corolário 3.4, os pontos X e X’, são os dois únicos pontos de s tal que a distância até O’ é igual a donde segue o resultado.

Com este resultado temos que só existem três posições distintas entre uma reta e uma circunferência, a saber, a reta não intercepta a circunferência (a interseção é vazia), a reta e a circunferência são tangentes (a interseção é um ponto) e a reta e a circunferência são secantes (a interseção são dois pontos).

8.2. Ângulo Inscrito

Definição 8.9: Um ângulo central de uma circunferência é um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Veja desenho ao lado.

Definição 8.9: Seja C uma circunferência de centro O e sejam A e B, pontos em C. Tracemos a reta que passa por estes dois pontos. Ela se-

147

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francopara o plano em dois semiplanos. Cada um destes semiplanos contém uma parte da circunferência que são denominados arcos determinados pelos pontos A e B, que denotaremos por AB. Quando A e B são extremidades de um diâmetro, estes arcos são denominados semi-circunferências (desenho ao lado). Quando a corda AB não é

A B.O

semi-circunferências

. .

um diâmetro, distinguimos os dois arcos determinados por A e B, do seguinte modo: o arco que fica no semiplano determinado pela reta AB, contrário daquele que se encontra o centro O da circunferência é chamado arco menor e o outro arco, ou seja, aquele que se localiza no mesmo semi-plano que O, chamaremos de arco maior. Veja o desenho ao lado39.

arco menor

O

A

Barco maior

.

.

.

Definição 8.9: A medida em graus do arco menor AB, denotada por m( AB), é a medida em graus do ângulo central AÔB.

Como conseqüência da temos que se AB é um diâmetro, a medida de AB é 180o.

39 Utilizaremos a mesma notação para arco menor e arco maior e, para não haver ambi-guidades, mencionaremos o arco a qual estamos nos referindo.

148

8. Circunferência e CírculoDefinição 8.9: Um ângulo se denomina inscrito num círculo determinado por uma circunferência C, de centro O e raio r, se seu vértice V está em C e seus lados interceptam C em dois pontos A e B distintos de V (ver desenho ao lado). Os pontos A e B determi-nam dois arcos. O arco que não contiver o vértice V é chamado arco correspondente ao ângulo inscrito dado. Diremos também

O

A

B

V.

.

..

que o ângulo subtende o arco AB.

Proposição 8.9: A medida do ângulo inscrito em um círculo é a metade da medida do arco correspondente, ou seja, pela , a medida do ângulo inscrito em um círculo é a metade da medida do ângulo central correspondente.Demonstração: Na verdade, a demons-tração desta proposição já foi proposta no Exemplo 5.10 e no Exercício 5.11, faltando apenas analisar o caso do ângulo inscrito BÂC do desenho ao lado. Pelo Exemplo 5.10, temos1. e

.

OA

BC

.

..

D

2. .Mas pelo Axioma III.4, temos3. e 4. .Substituindo (1) e (2) em (3), temos:

, ou seja,

149


, e, por (4),

, como queríamos demonstrar.

Corolário 8.9: Todos os ângulos inscritos que subtendem um mesmo arco têm a mesma medida. Em particular, todos os ângulos que subtendem uma semicircunferência são retos.

.A

B

.

..V2

V3

V1

.

O.

..

Demonstração: Imediata da Proposição 8.9.

Consideremos agora uma circunfe-rência C de centro O e raio r. Consideremos também um ponto P (exterior ou interior) conforme os desenhos ao lado. Seja s uma secante qualquer conduzida pelo ponto P, e sejam A e B os pontos onde essa secante encontra a circunferência. Tracemos por P e O uma outra secante e chamemos de A’ e B’ a interseção desta secante com C. Quando P é exterior ao círculo determinado por C, te-mos o primeiro caso no desenho ao lado. Quando P é interior, temos o

.

.P

AB s

A’ B’O

primeiro caso

..

150

8. Circunferência e Círculo

segundo caso no desenho ao lado.

Teorema 8.9: (Potência de Ponto): Para o mesmo par invariante “ponto-circunferêcia”,

.A’

A

B

B’OP

segundo caso

.

.

..

s

o produto independe da secante que se traça pelo ponto P, pois qualquer que seja a secante escolhida, esse produto é igual ao valor constante . Esse produto

constante, recebe o nome de potência do ponto P relativa a circunferência C. Demonstração: A demonstração a seguir vale tanto para o primeiro caso, quanto para o segundo caso do desenho acima. Pelo Corolário 8.9 temos que . Temos também que (no primeiro caso eles coincidem e no segundo eles são opostos pelo vértice). Assim pelo Teorema 7.8, os triângulos PA’B e PAB’ são semelhantes. Segue que:

,e assim . Como a secante s, foi escolhida arbitrariamen-te em ambos os casos, temos o desejado.

Proposição 8.9: Se os dois lados de um ângulo de vértice P são tangentes a uma circunferência nos pontos A e B, então:a) a medida do ângulo é igual a 180o menos a medida

em graus do arco AB.b) PA PB.

151

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Seja O o centro da cir-cunferência. No quadrilátero OAPB, do desen-ho ao lado, temos que pela Proposição 8.9. Assim, pelo Corolário 5.6.d, . Como m(AÔB) é, por de-finição, a medida de AB, fica demonstrado o item a). O Teorema 4.5, mostra que os triângulos APO e BPO são congruentes, donde segue o item b).

P

A

B

O

Definição 8.9: Um polígono é inscrito numa circunferência se os vértices do polígono estão na circunferência. Se os lados do polígono são tangentes à circunferência, então o polígono é circunscrito à circun-ferência.

polígono inscrito(hexágono)

polígono circunscrito (quadrilátero)

Proposição 8.9: Todo triângulo está inscrito numa circunferência.

152

8. Circunferência e CírculoDemonstração: Seja ABC um triângulo. Trace as mediatrizes r e s dos lados AB e BC. Chamemos de M o ponto médio de AB e N o ponto médio de BC. Seja O a interse-ção de r e s. Afirmamos que O é o centro da circunferência que passa por A, B e C. De fato, temos que A, B e O determinam um triângulo, como r passa pelo ponto médio M

C

A B

O

M

N

sr

de AB obtemos dois triângulos retângulos, que são congruentes (Caso LAL), ou seja, AMO BMO, assim AO BO. Da mesma forma, B, C e O de-terminam um triângulo. Sendo N ponto médio de BC, temos BNO CNO, também por LAL. Logo BO CO e, portanto, AO BO CO. Assim O está eqüidistante de A, B e C. Logo, O é o ponto procurado. Temos então uma circunferência de raio que passa A, B e C.

Corolário 8.9: As mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram num único ponto denominado circuncentro.Demonstração: Pelo ponto O da demonstração da Proposição 8.9, trace a única perpendicular a AB, que intercepta AB no ponto P. Temos que OP é altura relativa a base do triângulo isósceles OAB e, portanto, pelo Exemplo 4.10, a reta OP é a mediatriz de AB.

Proposição 8.9: Todo triângulo possui uma circunferência inscrita.Demonstração: Seja ABC um triângulo. Trace as bissetrizes dos ângulos Â e . Estas bissetrizes se encontram num ponto que denominaremos I. Pelo ponto I, trace perpendiculares aos lados AB, BC e CA, que

153

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francochamaremos E, F e G, respectivamente. Queremos mostrar queIE, IF e IG são congruentes, e assim como três pontos determinam uma circunferência, e esses segmentos são perpendiculares aos lados do triângulo, teremos o resultado. Pelo Teorema 4.5 (Caso LAAo), temos que os triângulos AEI e AGI são congruentes e assim IE é congruente a IG. Pelo mesmo teorema, temos que os triângulos BEI e BFI

A

B C

IE

F

G

são congruentes e assim IE é congruente a IF, donde segue o resultado.

Corolário 8.9: As bissetrizes de um triângulo encontram-se num único ponto denominado incentro.Demonstração: Pela demonstração da Proposição 8.9, temos que IF IG, os triân-gulos ICF e ICG são retângulos e tem o lado IC em comum. Assim, pelo Teorema4.5, temos IFC IGC, donde segue que e portanto a bissetriz de passa por I.

A B

C

FG

I

Exemplos

8.1. Nenhuma circunferência contém três pontos colineares. De fato, suponhamos que A, B e C são pontos colineares pertencentes a circunferência, assim pelo Exercício 8.12, a mediatriz de AB passa por O, bem como a mediatriz de BC. Como A, B e C são colineares, temos que as mediatrizes de AB e BC são paralelas, o que é um

154

8. Circunferência e Círculoabsurdo. Logo não existe três pontos colineares em uma mesma circunferência.

8.2. Três pontos não colineares pertencem a uma circunferência. De fato, sejam A, B e C três pontos não colineares, logo eles determinam um triângulo e o resultado segue da Proposição 8.9.

8.3. Dado um arco de circunferência AB, vamos apresentar um procedimento para encontrar o centro e o raio da circunferência. Basta marcar três pontos arbitrários C, D e E do arco AB e encontrar o circuncentro do triângulo CDE conforme demonstração da Proposição8.9.

Proposição 8.9: Um quadrilátero pode ser inscrito em uma circunfe-rência se, e somente se, possui um par de ângulos opostos suplementa-res.Demonstração: Suponhamos primeiramen-te que ABCD é um quadrilátero inscrito numa circunferência, devemos mostrar que e

. Vamos mostrar em primeiro lugar que

. Se BD é um diâmetro, então pelo Corolário 8.9 Â e são ângulos

A

B C

D

O

retos e assim m(Â) + m( ) = 180o. Caso contrário, temos que BD determina dois arcos na circunferência. Suponhamos, sem perda de generalidade, que A e O se localiza no mesmo semi-plano determinado pela secante BD. Assim, pela Proposição 8.9, m(Â) = m( BD)/2. Seja E tal que a corda DE é um diâmetro. Assim temos que

m( DE ) = 180o= m( DB) + m( BE ),ou seja,

m(Â) = m( BD)/2 = 90o – m( BE )/2.155

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoPor outro lado, pelo Corolário 8.9,

= m( DE )/2 + m( BE )/2 = 90o + m( BE )/2.Logo, m(Â) + = 180o. Mostremos agora que

, sabemos que .

Como , temos que . Reciproca-mente, suponhamos que um quadrilátero ABCD tem um par de ângulos opostos suplementares. Como a soma dos ângulos internos do quadrilátero é 360o, então o outro par de ângulos opostos também é suplementar. Trace uma circunferência pelos pontos A, B e C, que existe pela Proposição8.9. O ponto D pode estar no exterior do círculo, sobre a circunferência ou no interior do círculo. Se D estiver no exterior do círculo, una D com B. Este segmento encontra a circunferência num ponto E. Pela primeira parte da demonstração temos que

e, por hipótese, .

A

B

C

D

E

Logo, . Mas (ângulos

externos) e então,

.Assim, D não pode estar no exterior do círculo. Se D estiver no interior da circunferência. Seja E ponto de interse-ção de rCD e a circunferência c. Assim temos que

.Por hipótese temos que

,logo

A B

CD

O

E

156


e, portanto, , o que é um absurdo, pois é um ângulo externo ao triângulo ADE. Logo, D=E e, portanto, ABCD é inscritível.

No Exercício 6.5 foi dada a definição de polígono regular. Veremos agora que podemos construir polígonos regulares40 com qualquer número de lados. De fato, construímos uma circunferência de centro O e raio r.

Divide-se a circunferência em n ar-cos congruentes. Isto nos fornece um polí-gono A1A2...An convexo. Os lados são con-gruentes pois determinam arcos congruen-tes. Pelo caso LLL os triângulos AiAi+1O é congruente ao triângulo AkAk+1O ou ao triângulo A1AnO, para todo i, k=1,..., n – 1, logo os ângulos Â1, Â2, ..., Ân são congruentes.

An A1

A2

A3

A4A5

A6 O

Assim o polígono A1A2...An é regular. Vamos utilizar os polígonos regulares no estudo das áreas e todos os polígonos regulares a que vamos nos referir serão construídos pelo método que acabamos de descrever. Esta construção nos permite apresentar os seguintes elementos do polígono:

Definição 8.9: O centro O da circunferência é chamado centro do polígono. Como todos os triângulos isósceles do desenho dado são congruentes, eles tem mesma base ln e mesma altura a. A altura a é chamada apótema do polígono.

40 A construção a que estamos nos referindo pode se utilizar de métodos aproximados, régua e compasso. De uma maneira geral, tem-se resultados sobre construções geométricas mediante o uso de somente de régua e compasso e, neste caso, só é possível a construção de alguns polígonos regulares.

157


O fato que todo polígono regular pode ser construído dessa forma, ou seja, que todo polígono regular é inscrito em uma circunferência é apresentado a seguir.

Proposição 8.9: Todo polígono regular está inscrito em uma circunfe-rência.Demonstração: Seja A1A2...An um polígono regular. Tracemos a circunferência que passa pelos pontos A1, A2 e A3 . Seja O o centro desta circunferência. Como OA2 e OA3 são congruentes, então o triângulo OA2A3 é isósceles e portanto OÂ2A3 OÂ3A2. Como o polígono é regular, todos os seus ângulos internos têm a mesma medida. Portanto A1Â2A3 A2Â3A4. Mas então OÂ2A1 OÂ3A4. Como num polígono regular os lados são congruentes, temos que A1A2 A3 A4 , então os triângulos OA1A2 e OA4A3, são congruentes. Segue que OA4 é congruente a OA1. Portanto A4 também é um ponto da circunferência. O mesmo raciocínio se repete para os outros vértices do polígono, concluindo a demonstração.

Corolário 8.9: Todo polígono regular possui uma circunferência inscrita.Demonstração: Seja A1A2...An um polígono regular. Pela Proposição 8.9, temos que ele é inscritível em uma circunferência de centro O. Os lados A1A2, A2A3, ..., An-1An são cordas congruentes, pois o polígono é regular. Seja A1’, A2’, ... , A’n-1, An’ os pontos médios de A1A2, A2A3,...,An-1An respectivamente. Utilizando raciocínio semelhante ao utilizado na demonstração da Proposição 8.9 concluimos que

.Assim, temos que O é o centro de uma circunferência c’ que passa pelos pontos A1’, A2’, ... , A’n-1, An’ . Como

,segue que A1A2...An tem lados tangentes a c’ e portanto o polígono está circunscrito na circunferência c’.

158


8.3. Perímetro de uma CircunferênciaNesta seção, vamos apresentar o perímetro de uma

circunferên-cia. Para isto vamos compará-lo com o perímetro de polígonos inscritos e circunscritos.

Lema 8.9: O perímetro de qualquer polígono convexo inscrito numa circunferência é menor que o perímetro de qualquer polígono convexo circunscrito a ela.Demonstração: Sejam A1 A2 ... Am em polígono inscrito e B1 B2 ... Bn em polígono circunscrito. Prolongando-se os lados Ai Ai+1 para i=1, ..., m–1 e Am A1 no sentido Ai para Ai+1 e de Am para A1, poderá ocorrer o seguinte: o prolongamento passar por um vértice do polígono circunscrito. alguns lados do polígono circunscrito ter mais de uma interseção com tais prolongamentos. alguns lados do polígono circunscrito ter apenas uma interseção com os prolongamentos. alguns lados do polígono circunscrito não ter interseção com os prolongamentos.

No desenho ao lado ocorre todas essas possibilidades e qualquer generalização ocorrerá em um desses casos. Nesse exemplo m = 6 e n = 5, mas isso é irrelevante conforme veremos. Aqui temos

12 CB

3B

4B5B

1A

2A 3A

4A

5A

6A

1B6C

2C

3C

4C

5C

A1A2 encontra o vértice B2 C1, A2A3 encontra o lado B2B3 em C2, A3A4 encontra o lado B3B4 em C3, A4A5 encontra o lado B3B4 em C4, A5A6 encontra o lado B1B5 em C5, Nenhum prolongamento encontra o lado B5B1 e A6A1 encontra o lado B1B2 em C6.

159

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoNas desigualdades abaixo utilizaremos apenas a desigualdade triangular e assim o procedimento a seguir independe do número de lados dos polígonos. Temos:

Somando-se ambos os lados da desigualdade teremos o desejado.Observamos que, em todos os casos, os únicos termos que aparecem no somatório além de lados e segmentos contidos nos lados dos polígonos, são os prolongamentos, porém esses aparecem em ambos os lados da desigualdade e assim são cancelados.

Corolário 8.9: Qualquer polígono convexo inscrito tem perímetro menor que oito vezes o raio da circunferência.Demonstração: Basta tomar como polígono circunscrito um quadrado e utilizar o Lema 8.9.

Uma propriedade fundamental dos números reais será importante para estabelecer o conceito de perímetro de circunferência:

Axioma do Completamento: Todo subconjunto não-vazio dos números reais, limitado superiormente, possui supremo nos reais.

Como conseqüência deste axioma temos que IR satisfaz a propriedade:41

41 Por este motivo dizemos que IR é um corpo arquimediano. O nome se deve a Arquimedes de Siracusa que nasceu em 287 a.C. em Siracusa, Itália e morreu em 212 a.C. em Siracusa, Sicília. Ele aperfeiçoou métodos de integração que permitiram encontrar áreas, volumes e áreas de superfícies de muitos

160


a, b IR, a > 0, existe n IN, tal que , ((1)

o que é equivalente a dizer que em IR, o conjunto dos números naturais IN é ilimitado superiormente.

Vamos a seguir, demonstrar esta eqüivalência.Vejamos primeiramente que IN é ilimitado

superiormente, caso IR satisfaça (1). De fato, para todo a > 0, fazendo b = 1, e substituindo em (1) obtemos

, ou seja, n > c. Assim, nenhum elemento positivo de IR pode ser limitante superior de IN. Então, IN é ilimitado superiormente. Reciprocamente, se IN é ilimitado superiormente, dados a > 0 e b em IR, existe n IN tal que e, portanto, .b < a.

Agora vamos mostrar que, de fato, IR satisfaz (1). Se IR não for arquimediano, então, pelo que acabamos de ver, IN é limitado superiormente. Seja S um limite superior de IN, então n + 1 S, para todo n IN. Logo, n S – 1, para todo n IN. Então S – 1 é também um limitante superior de IN. Como S – 1 < S, IN é limitado superiormente mas não existe supremo, o que contradiz o axioma do completamento.

Vamos considerar dois subconjuntos dos números reais: um formado pelos perímetros de polígonos convexos inscritos numa circunferência e o outro formado pelos perímetros de polígonos convexos circunscritos na mesma circunferência. A justificativa para considerar estes dois subconjuntos pode ser vista na seguinte construção:

corpos. Seu mais famoso teorema fornece o peso de um corpo imerso num líquido, conhecido como Prinçipio de Arquimedes. Arquimedes morreu assassinado por um soldado romano.

161


Considere um polígono P convexo inscrito numa circunferência, A e B dois de seus vértices consecutivos. Tomemos um ponto C no arco AB e chamemos de P’ o polígono obtido, trocando-se o segmento AB pelos segmentos AC e CB.

OA

CB

Pela desigualdade triangular temos que , e assim o perímetro de P é menor que o perímetro de P’. Concluímos então que, aumentando o número de vértices de um polígono convexo inscrito numa circunferência, aumenta-se o perímetro. Mas este procedimento não resulta num crescimento ilimitado, pois como vimos no Lema 8.9, o polígono circunscrito tem perímetro maior que qualquer polígono convexo inscrito.

Lema 8.9: Dados um número real positivo e uma circunferência qualquer C de raio r,a) existe um polígono regular circunscrito em C cujo lado

tem medida menor que .b) existem polígonos regulares, um inscrito e outro

circunscrito em C, tais que a diferença entre os perímetros é menor que .

Demonstração: a) Dado um polígono regular circunscrito em C com n lados, se todos os lados forem menor que nada precisa ser feito, caso contrário, seja AB um lado tal que e seja K o ponto de tangência de AB com a circunferência, conforme desenho. Seja A’ um ponto entre

O

A A’ K B

A e K, tal que . Por construção SOA’ divide KÔA e assim A’ÔK < AÔK. Pelo fato de IR ser arquimediano

162


existe um número n IN tal que . Considere um polígono regular circunscrito cujo ângulo central é , este polígono terá lado menor que

. De fato, como A’OK é um triângulo retângulo, tomando-se o lado do polígono regular cujo ângulo central é , teremos , pela Proposição 4.5 o lado do polígono será menor que

= .

b) Sejam dois polígonos regulares, um inscrito e outro circunscrito, com o mesmo número de lados. É fácil mostrar que as medidas dos lados destes polígonos dependem apenas do raio das circunferência, e assim, sem perda de generalidade, o desenho ao lado pode representar os lados A1A2 e B1B2 do polígono inscrito e do polígono circunscrito, respectivamente.

O

1A 2A

1B 2BD

r

Temos por semelhança de triângulos que:

Mas se 2pc é o perímetro do polígono circunscrito e 2p i é o perímetro do polígono inscrito, , pois os polígonos são regulares.Assim, , logo, pelo Exercício 7.2,

.

163

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoMas pelo Lema 8.9 pi < 4.r, portanto

pc – pi < 4.( ) (1)Por outro lado, pela desigualdade triangular

. (2)Assim, . De (2) em (1), obtemos que

.Pela parte a) é possível obter um polígono regular circunscrito tal que . Logo 2pc – 2pi < .

Uma propriedade intrínseca deste par de conjuntos nos levará naturalmente ao conceito de perímetro da circunferência. A propriedade é dada pela definição a seguir.

Definição 8.9: Dois conjuntos de números reais X e Y formam um par de classes vizinhas, denotado por (X,Y), se satisfizer as seguintes condições:a) x X, y Y, x < y.b) > 0, x X, y Y, tais que y – x < .

Temos que num par de classes vizinhas (X,Y), pelo axioma do completamento, X possui supremo e Y possui ínfimo. Na verdade, eles são iguais, ou seja, se a = sup X e b = inf Y, então a = b. De fato, pelos itens (a) e (b) da Definição 8.9, temos sup(X – Y) = 0. Porém,42

a – b = sup(X) – inf(Y) = sup(X) + sup(-Y) = sup(X – Y ) = 0.

Logo, o par (X,Y) define um único número real e para obter o conceito de perímetro de uma circunferência construiremos um par de classes vizinhas.Teorema 8.9: Se X é o conjunto dos perímetros dos polígonos regulares inscritos e Y é o conjunto dos perímetros dos polígonos regulares circunscritos numa

42 Utilizaremos as propriedades do supremo e ínfimo nos números reais: sup(X + Y) = sup(X) + sup(Y) e sup(-Y) = -inf(Y).

164

8. Circunferência e Círculocircunferência qualquer, então o par (X,Y) é de classes vizinhas.Demonstração: Temos:a) Pelo Lema 8.9, pi X e pc Y, 2pi < 2pc.b) Pelo Lema 8.9, >0, existem polígonos regulares inscritos e polígonos regulares circunscritos tais que 2pc – 2pi < .Os itens (a) e (b) garantem que (X, Y) são classes vizinhas por definição.

Definição 8.9: Chama-se comprimento da circunferência ou perímetro da circunferência, ao número real obtido pelo par de classes vizinhas (X,Y) dado pelo teorema anterior.

A questão que permanece é como calcular este comprimento. O próximo resultado nos fornece o caminho para obter este valor (pelo menos de forma aproximada).

Teorema 8.9: Os comprimentos de duas circunferências são proporcionais às medidas dos respectivos raios.Demonstração: Sejam K e K’ o comprimento de duas circunferências quaisquer, com raios r e r’ respectivamente. Queremos mostrar que . Podemos considerar, sem perda de generalidade, que estas duas circunferências são concêntricas, pois o resultado independe de suas posições. Nas duas circunferências inscrevemos e circunscrevemos polígonos com o mesmo número de lados. Temos por semelhança de triângulos que . Tomando ,

então . Assim, . Como 2pi < K temos

165


, ou seja, 2pi’ < x. Analogamente, obtemos

pc’>x. Logo x é limitante superior dos perímetros dos polígonos inscritos e x é limitante inferior dos perímetros dos polígonos circunscritos, pela unicidade de classes vizinhas x = K’. Assim, .

Corolário 8.9: A razão entre o comprimento de qualquer circunferência e a medida de seu diâmetro é um número constante.

Demonstração: Basta observar que , ou

seja, , para quaisquer duas circunferências de comprimentos C e C’ e raios r e r’.

Definição 8.9: A razão constante a que se refere o Corolário 8.9 é designada por (letra grega que se lê “Pi”).

Assim, o comprimento da circunferência de raio r é 2r e, para obtermos o comprimento da circunferência, precisamos encontrar um valor (aproximado) para e o valor do comprimento da circunferência será tão preciso quanto for a aproximação de .

Para isto, consideremos um polígono regular de n lados e representemos um lado por ln . Vamos determinar o lado l2n de um polí-gono regular de 2n lados em termos de ln e do raio R da circunferência

166

8. Circunferência e Círculocircunscrita. Acompanhe o desenvolvimento pelo desenho ao lado. Por hipótese o triân-gulo ABC é isósceles (pois o polígono de lado 2n é regular) e o triângulo ABO também é isósceles (OA e OB são raios), logo OC é perpendicular a AB (porque?). Assim pela Proposição8.9, .

A O

BC

lnl2n

D

P..

.

.

.

R

Como CD é diâmetro, pelo Corolário 8.9, ACD é retângulo em A. Pelo Exercício 7.16a), temos que

e pelo teorema de Pitágoras, .

Substituindo da primeira igualdade na segunda igualdade obteremos que . Utilizando por exemplo o para começar, temos que (porque?). Assim pelo que obtivemos acima ,

, e assim sucessivamente. Isto nos fornece uma tabela. Aqui 2pn é o perímetro do polígono com n lados.

n ln 2pn4 1,41421 . R 5,6568 . R8 0,76537 . R 6,1229 . R

16 0,39018 . R 6,2428 . R32 0,19603 . R 6,2730 . R64 0,09814 . R 6,2806 . R

128 0,04908 . R 6,2825 . R256 0,02454 . R 6,2830 . R512 0,01227 . R 6,2831 . R

O número 6,2831 na última linha e última coluna da tabela acima, dividido por 2, fornece um boa aproximação para , ou seja,

3,1415.167


Sabemos a medida de um arco de circunferência em graus. E o comprimento do arco de uma circunferência de raio R?

Para resolver este problema, basta fazer uma simples regra de três. Supondo que o arco mede graus, temos que 360o corresponde a 2R, qual o comprimento l do arco que corresponde a graus? É claro que l = .

Definição 8.9: Chama-se radiano (rd) todo arco de circunferência cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que o contém. Assim uma circunferência (cujo comprimento é 2R) tem 2 radianos.

A grande utilidade de se medir ângulos em radianos é que nesse caso estamos trabalhando com números reais, e podemos operá-los sem preocupações com a unidade. Uma boa justificativa para se definir esta nova unidade de medida de ângulo pode ser vista em [11]. Utilizaremos como padrão neste texto o radiano como unidade de medida de ângulo a partir de agora.

O comprimento de um arco que mede radianos é l = R.

8.4. Área de um CírculoPara obter a área de um círculo utilizaremos o

mesmo procedimento: construiremos um par de classes vizinhas. Para isto precisaremos dos seguintes lemas.

Lema 8.9: A área de um polígono convexo regular inscrito numa circunferência é menor do que a área de um polígono convexo regular circunscrito.Demonstração:Dados dois polígonos regulares um inscrito e outro circunscrito com perímetros 2pi e 2pc, respectivamente, temos que a área do inscrito Ai é piai e do circunscrito Ac é pcac onde ai e ac são os respectivos apótemas, conforme Exercício 6.5. Como, pelo Lema 8.9,

168

8. Circunferência e Círculopi < pc e sendo ai apótema temos ai < r, segue imediatamente que Ai < Ac.

Corolário 8.9: A área de qualquer polígono regular inscrito é menor que quatro vezes o quadrado do raio.Demonstração: Considera-se um quadrado circunscrito e assim para qualquer polígono regular inscrito de área Ai, temos Ai < 4.r2.

Lema 8.9: Para todo > 0, existem dois polígonos regulares convexos, um inscrito e outro circunscrito numa circunferência C de raio r, cujas diferenças entre as áreas é menor que .Demonstração: Pelo Exercício 7.18, temos que:

, assim

.

O

1A 2A

1B 2BD

Como Ai < 4.r2, pelo Corolário 8.9, segue que,

pelo Teorema de Pitágoras. Mas pelo Lema 8.9 a) podemos construir um polígono circunscrito regular, cujo lado tem medida menor que . Portanto, temos Ac – Ai < , como queríamos demonstrar.

Teorema 8.9: O conjunto X das áreas dos polígonos regulares inscritos e o conjunto Y das áreas dos polígonos regulares circunscritos constituem um par de classes vizinhas.

169

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Pela Definição 8.9, devemos demonstrar que a) b) , tais que .O item (a) é imediato pelo Lema 8.9. O item (b) segue imediatamente do Lema 8.9.

Definição 8.9: Chama-se área do círculo, o número real obtido pelo par de classes vizinhas (X,Y) dado pelo teorema anterior.

Para obter o valor da área utilizamos o seguinte resultado:

Teorema 8.9: A área do círculo é r2, onde r é o raio da circunferência.Demonstração: Temos que 2pi<2r<2pc. Portanto, pir < (r).r < pcr. Seja ai o apótema do polígono inscrito. Como ai < r, temos

piai < pir < r2 < pcr = pcac,onde ac é o apótema do polígono circunscrito que é igual ao raio r da circunferência. Logo, Ai < r2 < Ac para todos os polígonos inscritos e circunscritos. Como o número definido pelo par de classes vizinhas (X, Y) é único, temos que = r2.

170

8. Circunferência e CírculoExemplos

8.4. Chamamos de setor circular de raio R e ângulo radianos, a região plana do círculo que compreende o arco correspondente a radianos e os lados do ângulo que passa pela extremidade deste arco (ver desenho ao lado). Quando temos um arco de 2 radia-nos, a área correspondente, como vimos no Corolário 8.9 é R2, logo se temos um arco

RR

medindo radianos teremos uma área deste setor A(S) = .

8.5. Um segmento circular de um círculo de raio R, é a região do círculo compreendida entre um arco AB e o segmento AB (ver de-senho ao lado). Vamos calcular a área de um segmento circular, onde R é o raio do círcu-lo e L é a medida do arco. Pela Definição 8.9,

O

ABRR

h

. Então . Pelo Exemplo 8.4, ,

portanto . Assim, pelo Axioma III.6,

temos

171

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco8.6. Uma coroa circular ou anel circular é a região compreendida entre duas circunferên-cias concêntricas (ver desenho). Vamos calcu-lar a área de uma coroa circular onde a cir-cunferência menor tem raio r e a circun-ferência maior tem raio R. Pelo Axioma III.6,

r

R

temos

8.7. No desenho ao lado, ABCD é um qua-drado de lado a. Vamos calcular a área S da região sombreada ABE. Consideremos o se-tor circular ABE e o triângulo ABE. Temos que ABE é um triângulo equilátero, pois os lados são raios da circunferência de raio . Seja M o ponto médio de AB, então EM é mediana do triângulo ABE. Logo, pelo Teorema 4.5 é também a altura. Pelo Teorema de Pitágoras, temos

A B

CD E

Assim, . Pelo Exemplo 8.4,

.Portanto

.

Logo, a área desejada é , pois . Portanto,

172


.

8.5. Exercícios8.1. Demonstre que dadas duas circunferências concêntricas, toda corda da circunferência maior, que é tangente à circunferência menor, é dividida ao meio no ponto de tangência.

8.2. Demonstre que as tangentes a uma circunferência nas extremidades de um diâmetro são paralelas.

8.3. Demonstre que se duas circunferências são tangentes, seus centros e o ponto de tangência são colineares. (Sugestão: Desenhe sua tangente comum).

8.4. Duas circunferências que tem raios com mesma medida são ditas congruentes. Numa mesma circunferência ou em circunferências congruentes, duas cordas são eqüidistantes do centro se, e somente se, são congruentes.

8.5. Dados dois segmentos de medidas a e b, construir com régua e compasso um segmento cuja medida c é a média geométrica de a e b.

8.6. No desenho ao lado, O é o centro da circunferência, BC é um diâmetro e AB é congruente a OC. Determine as medidas dos arcos dadas por AB e AC .

O

A

B

C

.

8.7. Em uma mesma circunferência, ou em circunferências congruentes, cordas congruentes

173

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francodeterminam ângulos centrais congruentes e reciprocamente.

8.8. Mostre que existem infinitos pontos na circunferência.

8.9. Se no desenho ao lado O é o centro da circunferência e

, determine a medida dos ângulos Â e CÔB.

OA

B

C. ..

D.

.

8.10. Se no desenho ao lado, m(Â)=75o, a medida do arco AC é 90o e a medida do arco BC é 70o, determine as medidas de todos os outros arcos menores e ângulos. .

. .

.

A

C

B

D

O.

8.11. Seja AB o diâmetro de uma circunferência, C e D pontos da circunferência em semiplanos opostos em relação a reta AB, tais que BC é congruente a BD. Demonstre que os triângulos ABC e ABD são congruentes.

8.12. a) Mostre que todos os pontos da mediatriz equidista dos extremos do segmento.b) Mostre que numa circunferência, a mediatriz de uma corda qualquer passa pelo seu centro.

8.13. Considere uma figura que consiste em um segmento AB de comprimento a e em dois arcos de circunferências AC e BC de raio a e centros respectivamente em B e A. Calcule o raio da circunferência inscrita nessa figura, tangente ao segmento AB e aos arcos AC e BC .

174

8. Circunferência e Círculo8.14. Seja ABC um triângulo isósceles de base BC inscrito numa circunferência. Mostre que a medida do arco BC é o dobro da diferença das medidas do ângulo externo na base do triângulo e do ângulo da base.

8.15. Como fica a potência de um ponto P exterior a circunferência quando conduzimos por ele uma tangente a circunferência e não uma secante como no Teorema 8.9?

8.16. No desenho ao lado encontre os valores de x e y, onde O é o centro da circunferência.

76

1 4x x

y

O.

8.17. a) Mostre que as medianas de um triângulo qualquer se encontram num único ponto denominado baricentro. Mostre ainda que o baricentro divide as medianas na razão 2:1.b) Mostre que as alturas de um triângulo qualquer se encontram num único ponto denominado ortocentro.8.18. Dê a medida em radianos de um arco de circunferência de comprimento 2R, de uma circunferência de raio G.

8.19. O comprimento de uma circunferência C vale duas vezes o comprimento de uma circunferência C’. Qual é a relação entre as áreas dos círculos que têm C e C’ como fronteiras.

8.20. Calcular as áreas das regiões demarcadas nos desenhos abaixo. Os dois primeiros desenhos são quadrados de lados iguais a a.

175


a a

b

176

Capítulo 9: Trigonometria

O Teorema de Tales e o Teorema de Pitágoras nos levam a um estudo mais detalhado das relações métricas no triângulo, denominado trigonometria, cuja palavra se origina do grego “trígonos” que significa triângulo e “metrein” que significa medir.

Neste estudo estaremos considerando a medida dos ângulos em radianos.

9.1. Funções TrigonométricasConsidere dois triângulos semelhantes ABC e A’B’C’, retângulos em C e C’, respectiva-mente, conforme desenhos ao lado.Pela Definição 7.8 temos que

.Dessas equações, é fácil ver que:

As razões são denominadas razões trigonométricas.

A

B

C

a

b

c

B’

C’A’

a’c’

b’

Observamos, pelas equações acima, que estas razões dependem somente de que é a medida do ângulo Â (ou Â’). Podemos assim, construir três funções cujo domínio são os possíveis valores de , ou seja,

, pois esta é a condição para termos os triângulos ABC e A’B’C’. A imagem destas funções será IR+, pois são razões entre números reais positivos.


A primeira função é dada pela razão e será chamada de função seno (para saber a origem deste nome ver []). Assim, temos sen: IR+, que associa a

cada a razão e escreveremos .Usando triângulos onde é possível medir

aproximadamente os seus lados, podemos construir uma tabela de valores aproximados da função seno (na verdade, não é desta maneira que se constrói tal tabela, mas para efeito de ilustração da utilidade da função seno, basta saber que é possível construir esta tabela).

Exemplo:

9.1. Suponhamos que queremos calcular o raio R da Terra. Um processo utilizado desde a antiguidade é o seguinte: Considere uma torre de altura h conhecida, conforme desenho ao lado. Mede-se o ângulo que faz a reta AB (linha do horizonte) com a vertical AO (obtida pela torre). Pela definição do seno, temos que

,donde, R sen + h.sen = R, ou seja,

A

.Terra

R

R

O

B

torre

linha do horizonte

h

.Pela última equação, se tivermos as medidas de h e , conseguimos através de uma tabela de senos calcular o raio R da Terra.

178

9. Trigonometria

Utilizando novamente as razões trigonométricas, definimos através da razão uma segunda função, denominada cosseno de . Escrevemos

cos: IR+, tal que, .

Finalmente a razão nos dá uma terceira função que é chamada tangente de . Escrevemos:

tg: IR+, tal que, .Observemos que:

.

9.2. Relação FundamentalUma relação importante entre seno e cosseno

segue do seguin-te resultado:Teorema 9.10: Para todo ângulo 0 < < tem-se que sen2 +cos2 =1.Demonstração: Tomemos como referência o triângulo ABC do desenho ao lado. Como ABC é um triângulo retângulo, pelo teorema de Pitágoras, temos que a2 + b2 = c2. Assim,

A

B

C

a

b

c

179


Esta relação entre o seno e o cosseno será denominada, relação fundamental. Como para todo no intervalo , sen , cos e tg são números positivos, pela observação anterior e o Teorema 9.10, temos que conhecida uma delas, se conhece as outras duas.

Exemplos

9.2. Para alguns valores de ângulos, as fun-ções trigonométricas são fáceis de calcular. Consideremos um triângulo ABC isósceles retângulo cujos catetos medem a. Pelo Teorema de Pitágoras sua base mede a . Como o triângulo é isósceles, os ângulos agudos medem . Temos então,

a

a

2

4

a

, e .9.3. Um outro triângulo retângulo que possui ângulos cujo cálculo das funções trigonométricas são fáceis de serem calculadas são triângulos com ângulos agudos e . Pelo Exercício 6.15, se a hipotenusa mede c, então o cateto oposto aoângulo de medida mede e o cateto adjacente . Assim temos:

180

9. Trigonometria

e

Não podemos nos esquecer, que estamos trabalhando com radianos como unidade de medida deângulos. Em graus, os ângulos que conseguimos até agora obter os valores das funções trigonométricas foram: 45o, 30o e 60o. Lembramos que este procedimento não é possível para todos os ângulos e que algumas propriedades nos levarão a obter outros valores para certas classes de medidas de ângulos. A seguir daremos alguns resultados que nos auxiliarão nisto.

Proposição 9.10: Sejam e ângulos complementares quaisquer, então sen = cos e .

Demonstração: Aplicando as definições das funções trigonométricas no desenho ao lado, onde temos e complementares, obtemos:

sen , cos , e tg ,

B

C

a

b

c

A

ou seja, sen e tg .

181


Segue imediatamente desta proposição e dos Exemplos 9.2 e 9.3, que conhecido as funções trigonométricas de ângulos do intervalo , passamos a conhecer imediatamente os valores das funções dos ângulos complementares, que estão no intervalo . Outro resulta-do que facilitará o cálculo das funções trigonométricas para muitos va-lores é o seguinte:

Proposição 9.10:a) Se , então sen 2 = 2 sen cos.

b) Se , então .

Demonstração: No desenho ao lado temos que , C é ponto médio de BD, e portanto pelo Teorema 4.5, os triângulos ABC e ADC são retângulos em C e AC é bissetriz do ângulo A. O ponto B’ é o pé da perpendicular a AD, passando por B. Assim, temos:

1

1

A

B

D

C

B’

a) Por definição de seno e cosseno, e . Ainda pela definição de seno, temos que

. Pelo Teorema 6.7, a área do triângulo ABD é igual a , ou seja, temos que = 2 Área(ABD). Pelo Axioma III.6, a área de ABD, é igual a

, ou seja, temos que Área(ABD) = cos .sen . Logo, sen 2 = = 2.Área(ABD) = 2.sen.cos. Observe que a restrição do ângulo neste item, é devido a construção feita.

b) Pelo Axioma III.2, temos que, (1)

182

9. TrigonometriaPor definição de cosseno no triângulo BB’D, temos que

, mas e como , temos pela Proposição 9.10, que cos =sen e assim

. (2)Ainda por definição de cosseno no triângulo ABB’, temos que

. (3)Substituindo (2) e (3) em (1), obtemos:

2 sen2 +cos 2 = 1e assim,

.

Trocando 2 por e consequentemente por , teremos a equação desejada, no intervalo desejado.

Exemplo:

9.4. Vamos agora calcular o valor das funções trigonométricas para o ângulo de rad (que é igual a 18o). Considere um triângulo isósceles ABC com ângulo Â medindo e lados AB e AC congruentes medindo 1. Logo, os ângulos adjacentes da

1

1

A

B

C

H

D

base medem . Seja D um ponto de AB tal que B D

mede . Assim, teremos no triângulo ACD que o ângulo A

D mede e o ângulo C B mede . Pelo Corolário 4.5, temos que AD CD CB, cuja medida vamos denominar

183

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francopor x. Pelo Teorema 7.8, os triângulos ABC e CBD são semelhantes, e assim, sendo x > 0:

.Observe que, de acordo com o Exemplo 6.9, este é o número áureo. Logo, é possível construir utilizando régua e compasso os ângulos e que são ângulos do pentágono e dodecágono regulares. Traçando-se a bissetriz do ângulo Â no triângulo isósceles ABC temos que H é ponto médio de BC e AH a altura em relação a base BC. Assim, pela definição de função seno, temos

. Pela relação fundamental

, obtemos , e assim

.

Com estes valores das funções trigonométricas calculadas para o ângulo de , obtemos também os valores para os

ângulos de , , e , utilizando a Proposição 9.10 e a Proposição 9.10.

9.3. Ampliando o DomínioVamos agora ampliar o domínio das funções

trigonométricas já definidas. Para isso consideremos uma semi-circunferência de centro O, conforme desenho a seguir. Neste desenho, AB é um diâmetro, P um ponto

184

9. Trigonometriaqualquer da semicircunferência distintos de A e B e P’ o pé da perpendicular a AB por P.

No primeiro desenho ao lado, consi-derando o triângulo OPP’, observamos que o ângulo pertence ao domínio das funções trigonométricas definidas anteriormente. Por outro lado, no segundo desenho ao lado, isso não ocorre, pois neste desenho o ângulo é maior que . É coerente com a definição anterior das funções trigonométricas, defi-nirmos sen 0 = 0, cos 0 = 1 e tg 0 = 0, pois neste caso, teremos P = B = P’. Da mesma

A .

P

O B

.

P’

.

P

OA B

.

P’

forma, definimos e como queremos que

, a tangente de não está definida. Assim

aumentamos nosso intervalo de definição para [0, ].Com base no desenho ao

lado, consideremos agora o ângulo = – ; neste caso o ângulo está no intervalo de definição da função seno já estabelecida. Definimos então, que

e assim podemos definir sen = 0, que é o

.

P

OA B

.

P’

caso em que P = A = P’.Temos que O divide a reta AB em duas semi-retas.

Utilizando o Teorema 3.4, podemos assumir que as coordenadas dos pontos na semi-reta SOA são negativas e assim que cos = –cos e cos = –1.

185


Como queremos que , temos que para

ângulos entre e , tg = - tg e tg = 0.Assim ampliamos o domínio das funções

trigonométricas para o intervalo [0,], que é o intervalo de variação dos nossos ângulos.

Exemplo:

9.5. Neste domínio ampliado temos válida a relação fundamental. De fato, cos20 + sen20 = 1 + 0 = 1; cos2 + sen2 = 0 + 1 = 1; cos2 + sen2 = 1 + 0 = 1; se < < , então pela definição anterior, fazendo

= – , obtemos cos2 + sen2 = (–cos)2 + sen2 = 1, pelo Teorema 9.10.

9.6. A Proposição 9.10 pode ser extendida para este novo domínio. De fato, para o item a) consideremos 0 < < , com e . Logo, sabemos pelo item a) da Proposição 9.10 que:

Para o item b), consideremos 0 < < , com e = – . Sabemos pelo item b) da Proposição 9.10 que

186

9. Trigonometria

e, pela Relação Fundamental, temos que

9.4. Lei dos CossenosVamos enunciar agora o resultado que estende o

Teorema de Pitágoras para triângulos quaisquer.

Teorema 9.10 (Lei dos cossenos): Em um triângulo ABC tem-se:

,onde .Demonstração: Se ABC for retângulo em C, então este teorema é exa-tamente o teorema de Pitágoras. Suponhamos então que não seja reto e . Tracemos por A a perpendicular a BC. Como , por hipótese, não é um ângulo reto, o pé da perpendicular D, não coincidirá com C. Caso D = B, então o triângulo ABC é retângulo em B, e nesse caso, pela definição de cosseno temos que e pelo teorema de Pitágoras

,donde segue o desejado. Por fim, se D B e D C, pelo Axioma II.1, temos três possibilidades:

187


C B

A

D C

A

D B D C B

A

a) B está entre C e D

b) D está entre C e B

c) C está entre D e B

Em todas as possibilidades ADB e ADC são retângulos em D, e assim

Subtraindo-se estas duas equações obtém-se (1)

Vamos calcular o valor de , nas três possibilidades a), b) e c), dadas acima.Caso a) Neste caso . Logo, elevando-se ao quadrado ambos os membros da equação obtemos

.Substituindo em (1), teremos:

.Mas , donde segue o resultado

desejado.Caso b) Consideremos os resultados apresentados no item a). Assim . (1)Mas . Logo, . (2)Substituindo (2) em (1), temos

.Mas como temos que

.188

9. TrigonometriaCaso c) Neste caso . Elevando-se ao quadrado ambos os membros da equação e em seguida substituindo em (1), obtemos:

.Mas , donde segue o resultado desejado.

9.5. Lei dos SenosTeorema 9.10 (Lei dos senos): Qualquer que seja o triângulo ABC, tem-se:

,onde = m(Â), = m( ) e = m( ).Demonstração: Seja ABC um triângulo, com = m(Â), = m( ) e = m( ). Pela Proposição 8.9, ABC está inscrito numa circunferência. Seja O o seu centro e R o seu raio. Considere o diâmetro que tem B como extremidade e seja D sua outra extremida-de. Pelo Axioma II.3, a reta BO divide o plano em dois semiplanos. Temos apenas dois casos a serem estudados, A e C estão em semiplanos distintos em relação a reta BD ou estão no mesmo semiplano em relação a reta BD, conforme desenho ao lado. Em ambos os casos, pelo Corolário8.9, o triângulo BDC é retângulo em C. Seja , no primeiro caso temos, pelo Corolário 8.9, Â e,

.

. .

.

.AO

D

B

C

.

.

.

..

A B

OC

D

189


assim, sen = sen = . Logo, . No segundo caso, e são suplementares, pois A, B, C e D sendo pontos da circunferência, o quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência e os ângulos e são ângulos opostos, pela Proposição 8.9. Assim por definição de seno, temos . Consequentemente, . De maneira análoga obtemos e . Comparando-se as três equações obtidas, teremos o resultado desejado.

9.6. Exercícios.9.1. Apresente um procedimento para o cálculo da largura de um rio tendo acesso apenas a uma das margens. Apresente também um procedimento para o cálculo da altura de um edifício.

9.2. Quando um carpinteiro diz que um telhado deve ter um decaimento de 30% significa que nesse telhado para cada metro na horizontal corresponde 30% de um metro na vertical. Qual deve ser o ângulo de inclinação para que o decaimento seja de 30%.

9.3. Calcule os valores das funções trigonométricas para os ângulos de , , e (em graus, iguais a 72o , 54o, 36o e 9o), respectiva-mente.

9.4. Construa com régua e compasso ângulos de 36o e 72o.

190

9. Trigonometria

9.5. a) Sabendo que , , calcule cos e tg .

b) Sabendo que , calcule cos e sen .

9.6. Mostre que a área de um triângulo eqüilátero de lado igual a 1 é dada por

9.7. Num triângulo ABC, . Calcule a altura em

relação a AC e a área do triângulo ABC.

9.8. Num trapézio ABCD, AB é paralelo a CD, . Se = m(Â), = m( ) e ,

qual é a altura do trapézio e qual o valor de ?

9.9. Num paralelogramo ABCD, a diagonal BD é perpendicular a AB e = m(Â). Se , qual é a área do paralelogramo?

9.10. Mostre que:a) .

b) .

9.11. a) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Qual é o cosseno do maior ângulo agudo?

b) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Qual é o cosseno do maior ângujlo agudo?

191


9.12. Se 0 < < ,a) Utilize o desenho ao lado para

mostrar que .b) Calcule as funções

trigonométricas para o ângulo de .

2

2

1

9.13. Fazendo , e usando o exercício anterior, mostre que.a) .

b) .

c)

9.14. Sabendo que calcule tg .

9.15. Deduza as seguintes fórmulas, onde 0 < , < e > :a) sen (+) = sen .cos + sen .cos . Para isso utilize o primeiro desenho abaixo.b) sen ( – ) = sen .cos – sen .cos . Para isso utilize o segundo desenho abaixo.

192

9. Trigonometria

1

1

9.16. Demonstre que os valores do seno e do cosseno de um ângulo independem da semicircunferência utilizada para defini-los.

9.17. Utilize os ângulos para os quais já foram calculadas as funções trigonométricas, juntamente com os exercícios anteriores para calcular valores das funções trigonométricas para os ângulos

(em graus, 171o, 162o, 150o, 144o, 135o,

126o, 120o, 108, respectivamente).

9.18. Definimos as funções secante, cossecante e cotangente de um ângulo medindo por ,

e , respectivamente, desde que cos , sen e tg sejam definidas e diferente de zero. Mostre que:a) 1 + tg2 = sec2 .b) 1 + cotg2=cos sec2 .

9.19. Calcule a área do triângulo em função de dois lados e do seno da medida do ângulo compreendido pelos mesmos.

9.20. Mostre que a área de um triângulo ABC pode ser expressa como função de seus lados e do raio r da

193

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francocircunferência circunscrita. Mais exatamente, temos

.

194

Capítulo 10: Incidência e Ordem no Espaço

A partir deste capítulo estudaremos o universo tridimensional da Geometria Espacial e observaremos diversos tipos de limitações. A principal delas é que somos também tridimensionais e isto nos impede de enxergar os objetos geométricos tridimensionais por inteiro a partir de um ponto de observação fixo. O quadrado pode ser visto inteiramente desenhado no plano43, mas o cubo, não poderá ser visto por inteiro, algumas de suas arestas e faces estarão ocultas. Sendo nossos modelos dos objetos tridimensionais, representados no plano do papel (ou do quadro negro) é impossível ter fidelidade de medidas, pois suas representações fazem uso de perspectivas, projeções, etc, que distorcem ângulos e comprimentos.

Por exemplo, ao afirmarmos que num triângulo equilátero as medianas rela-tivas a quaisquer lados, também são alturas, mesmo sem saber demonstrar tal fato, podemos convencer um estudante fazendo o desenho (a) ao lado. Mas convencê-lo que um tetraedro regular ABCD, tem altura com um dos extremos no circuncentro da base será impossível através o desenho (b) ao lado. Assim, é mais fácil convencer os estudantes da necessidade de uma formu-lação mais rigorosa da geometria espacial que da geometria plana.

B

A C(a)A

BC

D

(b)

43 Veja que se morássemos no plano não conseguiríamos enxergar o quadrado por inteiro a partir de um ponto de observação fixo no plano. Para vê-lo inteiro teríamos que nos deslocar em torno dele, que é o que fazemos no espaço tridimensional para poder enxergar todo o cubo.


Como fizemos um estudo axiomático da geometria plana, vamos admitir conhecidos todos os resultados vistos, aplicados a cada plano do espaço, juntamente com as notações empregadas.

Faremos aqui apenas as propriedades adicionais que deverão exprimir as relações fundamentais de pontos, retas e planos no espaço. Assim as noções primitivas, tais como ponto, reta e plano, serão admitidas novamente aqui. Os axiomas I.1 e I.2 da Geometria Plana aparecem aqui de uma maneira completa.

Começaremos com o primeiro grupo de axiomas e uma parte destes já foi considerada na axiomatização da Geometria Plana.

10.1. Axiomas de IncidênciaOs próximos axiomas pertencem ao primeiro grupo

de axiomas denominado, axiomas de incidência. Podemos através deles obter os primeiros resultados da geometria espacial.

Axioma I.3 (de existência) :a) Existe ponto.

b) Existe reta e qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem à reta e pontos que não pertencem à reta.

c) Existe plano e qualquer que seja o pla-no, existem pontos que pertencem ao plano e pontos que não pertencem ao plano.

O ponto A

Ar

A reta r

O plano

Axioma I.4 (de determinação) :

a) Dados dois pontos distintos no espaço, existe uma única reta que contém estes pontos.

A

B

r

196

10. Incidência e Ordem no Espaço

b) Dados três pontos não colineares no espaço, existe um único plano que contém estes pontos, que denotaremos por pl(ABC).

A

B C

A primeira notação nova que utilizaremos aqui é a notação de plano. Utilizaremos para representar planos as letras gregas maiúsculas , , ..... Apenas para facilitar, abreviaremos no texto a palavra Geometria Plana, por G.P.

Proposição 10.11: Se uma reta tem dois de seus pontos em um plano, então ela está contida inteiramente neste plano.Demonstração: Sejam A e B dois pontos de uma reta contida num plano , conforme desenho ao lado. Sabemos da G.P. que existe uma única reta r em que passa por A e B. O Axioma I.4.a) garante que no espaço existe uma única reta que contém A e B, então esta reta só pode ser r.

..

AB

r

A Proposição 10.11 em muitos livros aparece como um axioma, e ele é denominado axioma da inclusão, aqui foi possível demonstrá-lo, porque admitimos conhecidos resultados de G.P.

Corolário 10.11: Existem no máximo três posições relativas para uma reta e um plano,

a reta está contida no plano; a reta tem exatamente um ponto em comum com o

plano; a reta não tem ponto em comum com o plano.

197

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Sejam r uma reta e um plano. Consideremos r e como um conjunto de pontos. Analisemos os possíveis casos de interseções de conjuntos. Temos três situações:

Se r for um conjunto com mais de um elemento, r terá no mínimo dois pontos, assim segue da Proposição 10.11 que a reta está contida no plano.

Se r tiver apenas um elemento, então apenas um ponto pertence a reta e ao plano.

Se r = não existem elementos em comum entre a reta e o plano.

Assim fica demonstrado que existem apenas as possibilidades apresentadas nos itens a), b) e c).

No caso b) do Corolário 10.11 diremos que a reta e o plano são secantes ou concorrentes e, para demonstrar a existência de reta e planos secantes, basta tomar um ponto A do plano e um ponto B fora dele, conforme Axioma I.3.c, e considerar a reta AB. No caso c) diremos que a reta e o plano são paralelos e, no Capítulo 11, veremos que também este último caso é possível ocorrer.

Exemplos

10.1. Estamos em condições de construir o primeiro sólido geométrico espacial: a pirâmide. Em primeiro lugar, observemos que se um conjun-to de pontos A1, A2, ..., An estão contidos num plano então, pela Proposição 10.11, os segmentos A1A2, A2A3, ..., An-2An-1, An-1An, também estão contidos em , ou seja, a figura dada por estes pontos e estes segmentos formam uma

A2

A1A3

A4

A5A6

Hexágono plano

198

10. Incidência e Ordem no Espaçopoligonal P inteira-mente contida no plano. Se a poligonal for um polígono diremos que P é um polígono plano. Existem polígonos no espaço que não são planos. Para obtê-los é necessário considerar um conjunto de pontos do espa-ço que não estejam contidos num mesmo plano. Este tipo de polígono é denominado reverso. A existência de polígonos reversos é garantida pelo AxiomaI.3.c. Considere um

Quadrilátero reverso

polígono plano P = A1A2...An e V um ponto ex-terior ao plano α, que existe pelo Axioma I.3.c. Traçamos os segmentos VA1, VA2, ...,VAn. Cada dois vértices consecutivos de P determinam com V um triângulo. Os triân-gulos A1A2V, A2A3V, , AnA1V, juntamente com o polígono P, formam uma figura geo-métrica espacial denominada figura pirami-dal de base P e vértice V.44 A superfície pira-

V

A2

A1A3

A4

A5A6

Figura piramidal de base Hexagonal e vértice V

midal é a reunião das regiões triangulares A1A2V, A2A3V, , AnA1V, juntamente com a região poligonal determinada por P. A pirâmide é o conjunto de todos os segmentos de extremidades V e X, onde X pertence a região poligonal determinada por P. Nas pirâmides, as arestas são os segmentos com extremidades V, A1, A2, , An. As arestas que contém V são chamadas arestas laterais. Os vértices são os pontos V, A1, A2,...,An, as faces laterais são as regiões triangulares determinadas por VA1A2,

44Há uma certa despreocupação com o nome que damos às principais figuras geométricas espaciais. Quando se fala em pirâmide pode-se estar falando tanto em sua superfície quanto em sua região interna ou mesmo em sua estrutura de vértices e arestas. Neste texto, daremos nomes diferentes para estas três coisas. A figura piramidal é constituída pelos vértices e arestas, a superfície piramidal é constituída pelas regiões determinadas pelos polígonos e a pirâmide é a região delimitada pela superfície piramidal incluindo ela.

199

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoVA2A3, , VAn-1An, VAnA1 e a região determinada por A1A2An é denominada base. A reunião das faces laterais é denominada superfície lateral. A reunião das faces laterais com a base é denominada superfície total ou piramidal. Uma pirâmide possui uma base, n faces laterais, n arestas laterais, 2n arestas. Conforme a base, a pirâmide recebe alguns nomes:

V

A2

A1

A3

Pirâmide triangular ou tetraedro: quando a base é um triângulo.

V

A2

A1

A3

A4

V

B2

B1

B3

B4

Pirâmide quadrangular:

quando a base é um quadrilátero.

V

A2

A1A3

A4

A5A6

Pirâmide hexagonal: quando a base é um hexágono.

As pirâmides são um caso particular de sólidos geométricos denominados poliedros, que serão estudados no Capítulo 15.

10.2. Por definição, a circunferência é uma figura plana. Seguindo o mesmo raciocínio da pirâmide construiremos outra figura geométrica espacial. Considere uma circunferência C num plano e V um ponto exterior a , que existe pelo Axioma I.3.c. Traçamos os segmentos VA, onde A perten-ce a C. O conjunto de todos estes segmen-tos juntamente com o círculo determinado por C, formam uma figura geométrica espa-cial denominada superfície cônica circular de base C e vértice V. O cone é o conjunto de todos os segmentos de extremidades V e X, onde X são pontos pertencentes ao

C

V

A

200

10. Incidência e Ordem no Espaçocírculo C. Os principais elementos do cone são: Base: O circulo C de centro O e

raio r. As geratrizes: Os segmentos

com uma extremidade em V e a outra na circunferência fronteira de C.

Vértice: O ponto V. C

V

base

geratriz

vértice

Superfície lateral: É a reunião das geratrizes.

Observe que não existe uma estrutura cônica semelhante ao que ocorre com a figura piramidal. De fato, a figura piramidal está caracterizada pelos vértices (o vértice V e os vértices do polígono) e por segmentos determinados por eles. Por outro lado, definimos a super-fície piramidal dada pelas regiões triangulares juntamente com a região poligonal.

10.2. Determinação de PlanosApresentaremos nesta seção as condições

necessárias para a determinação de um plano.

Proposição 10.11: Se uma reta r e um ponto A são tais que A r, então eles determinam um único plano.Demonstração: (Existência) Tomamos em r dois pontos distintos B e C. Pelo Axioma I.4.c, existe um único plano contendo A, B e C (por hipótese, não são colineares). Pela Proposição 10.11, r está contido em .(Unicidade) O plano contém A, B e C. Seja ’ um plano que contém A e r. Como B e C foram tomados em r, temos que ’ contém

.A

r.C.B

201

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoos pontos A, B e C, e assim pelo Axioma I.4.c, = ’.

Denotaremos o plano determinado por uma reta r e um ponto A por pl(r,A).

Definição 10.11: Se duas retas tem interseção em um único ponto A, dizemos que essas retas são concorrentes em A.

Proposição 10.11: Se duas retas r e s são concorrentes num ponto A, então elas determinam um único plano.Demonstração: (Existência) Sejam B um ponto de r e C um ponto de s, distintos de A, conforme desenho ao lado. Pelo Axioma I.4.b), existe um único plano contendo A, B e C. Como A e B são pontos de r, A e C são pontos de s, pela Proposição 10.11, r e s pertencem a .

.A

r

.

.

C

B

s

(Unicidade): Se ’ contém r e s, então ’ contém A, B e C. Logo, pelo Axioma I.4.b), temos = ’.

Denotaremos o plano determinado por duas retas r e s concor-rentes por pl(r,s).

Definição 10.11: Duas retas no espaço são ditas paralelas quando não tem ponto em comum e estão contidas num mesmo plano. Duas retas são reversas, se não existe plano contendo essas duas retas. Quando duas retas retas r e s forem paralelas escreveremos r // s.

202


Retas paralelas Retas reversas

Segue da Definição 10.11, que as retas reversas não tem interseção e que duas retas paralelas r e s determinam um plano, onde “determinar” significa que é único. Deixamos como exercício a verifica-ção desta afirmação (Exercício 10.2). Ainda não está garantida a existên-cia de retas reversas, isto será visto posteriormente.

Pelo que vimos anteriormente, existem quatro maneiras de se determinar um plano:

1. Através de três pontos não colineares - Axioma I.4.b).

2. Através de uma reta e um ponto fora dela - Proposição 10.11.

3. Através de duas retas concorrentes - Proposição10.11.

4. Através de duas retas paralelas - Definição 10.11.1.

A

B C

2.

.A

r.C.B

3.r

s

4.

rs

10.3. Axioma de OrdemO próximo teorema garante a validade do Axioma

VI no espaço.

203

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoTeorema 10.11: Por um ponto A fora de uma reta r pode-se traçar uma única reta paralela a r.Demonstração: Pela Proposição10.11 existe um único plano determinado por r e A. Seja s a paralela a r em , passando por A. Suponhamos que exista no espaço uma outra reta s’ passando por A e paralela a r. Logo, por definição, existe um plano ’ que contém r e s’. Mas A s’ por construção, e

.A

rss’

assim, ’ contém r e A, e portanto coincide com . Pelo Axioma VI, ou seja, o quinto postulado de Euclides, s coincide com s’.

Acrescentaremos agora mais um axioma no segundo grupo de axiomas que são os axiomas de ordem. Antes necessitamos alguns conceitos.

Definição 10.11: Consideremos um plano e dois pontos A e B não pertencentes a (existem pelo Axioma I.3.c). Diremos que A e B estão do mesmo lado em relação ao plano , se o segmento AB não intercepta .Caso contrário, diremos que A e B estão em lados opostos em relação ao plano , O conjunto de todos os pontos de e de todos os pontos que estão do mesmo lado que A em relação ao plano é chamado semi-espaço determinado por contendo A e será denotado por E, A.

.A

B.

Do mesmo lado

.A

B.

.Em lados opostos

204

10. Incidência e Ordem no EspaçoAxioma II.3: Um plano determina exatamente dois semi-espaços distintos, cuja interseção é o plano .45

Exemplos

10.3. Utilizando o Teorema 10.11 e o Axioma II.3 construiremos o terceiro sólido geométrico espacial bastante conhecido: o paralelepípe-do ou hexaedro. Consideremos três segmentos não coplanares AB, AD e AE, que existem, pelo Axioma I.3.c. Pelo Axioma I.4.b, A, B e D; A, B e E; A, D e E, determinam três planos distintos. Conduzimos por Be D, retas paralelas a AD (que chamamos de r) e a AB (que chamamos de s) respectiva-mente, obtendo assim um paralelogramo ABCD (pela definição de paralelogramo), onde C = r s. A seguir traçamos três paralelas a reta AE, passando por B, C e D, tomando segmentos sobre estas retas com a mesma medida de AE, no semi-espaço determinado pelo plano pl(ABD) e o ponto E, medidos a partir dos pontos B, C e D; os outros extremos destes segmentos assim obtidos denominamos F, G e H, respectiva-mente. Finalmente, traçamos os segmentos EF, FG, GH e HE. Estes segmentos se situam no mesmo plano, já que as retas EF e GH são paralelas, pois ABFE e CDHG são parale-logramos46. A

E

pl(ABD)A B

CDrs

E

pl(ABD)A B

CD

G

F

H

rs.

.

..

.

..

.

45 Podemos dizer que este axioma ordena os pontos do espaço em duas classes, por isso estamos colocando-o no grupo dos axiomas de ordem.

46 O quadrilátero ABFE é um paralelogramo pois como BF foi tomado paralelo a AE e de mesmo comprimento, temos AE BF e AE // BF. Assim, os segmentos AE e BF são coplanares e portanto, pelo item a) da Proposição 5.6, ABFE é um paralelogramo. De maneira análoga conclui-se que CDHG é um paralelogramo.

205

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francointersecção dos semi-espaços determinados por cada um dos paralelogra-mos e um vértice não pertencente a eles, é denominada paralelepípedo ou hexaedro. Observamos que a figura formada pelos vértices e segmentos determinam três obje-tos distintos: a estrutura em si, a superfície

E

pl(ABD)A B

CD

G

F

H

rs

formada pelos paralelogramos e o sólido47 que é o paralelepípedo. O paralelepípedo é um outro caso particular de poliedro.

10.4. A construção do exemplo anterior garante a existência de retas reversas. As retas definidas pelas arestas AE e BC, por exemplo, são reversas, pelo fato que, por construção, E não pertence ao único plano que contém A, B e C, o que mostra que as retas AE e BC não estão situadas em um mesmo plano.

E

A B

C

Os sólidos geométricos apresentados até agora são: as pirâmi-des, os cones circulares e os paralelepípedos. Quando falamos destes sólidos estamos falando, na realidade, de classes de sólidos geométri-cos. De fato, podemos construir infinitas pirâmides, infinitos cones e infinitos paralelepípedos utilizando os procedimentos de construção dados, que dependem dos planos, dos segmentos e dos pontos considerados. Na verdade, assim como os tetraedros são uma subclasse das pirâmides, os paralelepípedos são uma subclasse de uma outra classe denominada prisma, que será apresentada no próximo capítulo.

Estes exemplos permitem separar os sólidos em duas classes distintas: os sólidos que rolam e os sólidos que não rolam. Os primeiros são também denominados

47 A noção de sólido é um conceito primitivo e surge ao imaginarmos regiões do espaço, assim como consideramos as regiões no plano.

206

10. Incidência e Ordem no Espaçocorpos redondos48. A segunda classe constitui exatamente do complementar da primeira classe. Assim temos o diagrama a seguir:

sólidos

prismas pirâmides

hexaedros tetraaedros

Corpos que não rolam

Corpos que rolam

Cones circulares

10.4. Ângulos entre Retas O Teorema 10.11 permite definir ângulos entre

retas quaisquer no espaço.Definição 10.11: Se duas retas são paralelas então a medida do ângulo entre elas é zero. Se duas retas são concorrentes num ponto O (e assim coplanares pela Proposição 10.11) então a medida do ângulo entre elas é a medida do menor ângulo formado por suas semi-retas definidas por O.Se duas retas são reversas o ângulo entre elas é definido pelo ângulo formado por duas retas concorrentes, paralelas às retas dadas. As retas do espaço que formam um ângulo reto são chamadas retas ortogonais. Retas perpendiculares são retas

r

st

u

48 Temos que utilizar aqui um pouco da intuição para diferenciar entre essas duas classes. Uma maneira seria considerar como noção primitiva a de corpo redondo.

207

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoortogonais coplanares (portanto concorrentes).

Para que este ângulo esteja bem definido, é necessário que ele independa das paralelas escolhidas, e de fato isto ocorre conforme mostra o teorema a seguir.Teorema 10.11: Sejam (r,s) e (r’,s’) dois pares de retas concorrentes, tais que r e r’ são paralelas entre si e, s e s’ também são paralelas entre si, então o ângulo formado por r e s é igual ao ângulo formado por r’ e s’.Demonstração: Sejam A o ponto de inter-seção de r e s e, B o ponto de interseção de r’ e s’. Sobre r e s, semi-retas de menor ângulo com vértice A, tomemos pontos A1 e A2, conforme o desenho ao lado e tracemos paralelas A1B1 e A2B2 à reta AB. Por construção, A1B1B2A2, ABB2A2 e AA1B1B são paralelogramos. De fato, como s contém os

A

B

A1

B1

A2

B2

s

r

s’

r’

pontos A e A2, s’ contém os pontos B e B2 e, por hipótese, s // s’ temos que AA2 // BB2. Como A2B2 foi tomado paralelo a AB, por construção, temos AB // A2B2. Logo ABB2A2 é um paralelogramo. De maneira análoga temos que AA1B1B é um paralelogramo. Quanto ao quadrilátero A1B1B2A2 temos A1B1 // A2B2 pois A1B1 // AB e A2B2 // AB. Como AA1B1B e ABB2A2 são paralelogramos (provado anteriormente) temos A1B1 A2B2. Logo, pelo item a) da Proposição 5.6, A1B1B2A2 é um paralelogramo. Assim, temos AA1 BB1, AA2 BB2 e A1A2 B1B2. Logo, os triângulos AA1A2 e BB1B2 são congruentes pelo caso LLL, o que mostra que os ângulos Â e são congruentes. E assim, por definição, o ângulo entre as retas r e s é congruente ao ângulo entre as retas s’ e r’.

208

10. Incidência e Ordem no EspaçoTeorema 10.11: Se dois planos e ’ são distintos e têm um ponto P comum, então, a interseção desses planos é uma única reta que passa por P.Demonstração: (Existência) Pelo Axioma II.3, determina dois semi-espaços E,A e E,B, onde A e B estão em lados distintos em relação ao plano . Como e ’ são dois planos distintos existe um ponto Q em ’ que não está em . Pelo Axioma II.3, Q está em um dos semi-espaços E,A ou E,B.

P

A

B

Q

R

P’

'

determinado por . Só para fixar a idéia suponhamos que Q esteja, por exemplo, em E,A (o outro caso é análogo). Por hipótese P ’. Assim r = QP é uma reta de ’. O ponto P divide r em duas semi-retas, tomemos R um ponto na semi-reta oposta a SPQ. Pela definição de semi-espaço, R está em E,B.Seja C um ponto qualquer de ’ fora de r (existe pelo Axioma I.3.b). Existem três possibilidades para C, ou ele pertence aos dois semi-espaços, ou ele está apenas em E,A, ou ele está apenas em E,B.1º Caso : C está nos dois semi-espaços : Neste caso, temos que C está em , e assim tomamos a reta i = PC que estará na interseção de e ’, pela Proposição 10.11.2º Caso: C está apenas em E,A: Considere a reta s = RC, que estará em ’ e é distinta de r, pois C não está em r. Como nesse caso C está em E,A e R está em E,B, pela Definição 10.11, s intercepta num ponto P’ distinto de P. Seja i = PP’ que estará na interseção de e ’, pela Proposição 10.11.3o Caso: C está apenas em E,B: Analogamente, se obtém P’ = QC , com P’ distinto de P e a construção da interseção é como no caso anterior.(Unicidade) Seja X ’, um ponto tal que X i, assim pela Proposição 10.11, existe um único plano contendo i e X. Mas i e X estão em e ’, logo = = ’, absurdo. Assim os únicos pontos da interseção de e ’, são os pontos de i.

209


Corolário 10.11: a) Para obter a interseção de dois planos distintos, é suficiente encontrar dois pontos distintos comuns a esses planos.b) Três ou mais pontos são colineares, quando são comuns a dois planos distintos.Demonstração: a) Sejam A e B dois pontos comuns a dois planos e ’. Pelo Teorema 10.11, se encontrarmos dois pontos comuns a e ’, a interseção é a única reta que contém estes pontos.b) Por definição, três ou mais pontos são colineares se pertencem a uma mesma reta. Mas se três ou mais pontos pertencem a dois planos distintos, pelo Teorema 10.11, eles pertencem à reta interseção, logo são colineares.

10.5. Exercícios10.1. Na Geometria Plana foi demonstrado que numa reta existem infinitos pontos. Num plano, existem infinitas retas? No espaço, existem infinitos planos?

10.2. Demonstre que as retas reversas não têm interseção e que duas retas paralelas r e s determinam um plano.

10.3. Determine as posições relativas entre duas retas.

10.4. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando brevemente sua resposta (uma afirmação só é verdadeira se ela sempre se verifica).a) Três pontos distintos determinam um plano.b) Três pontos distintos não são colineares.c) Três pontos não colineares são dois a dois distintos.d) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.

210

10. Incidência e Ordem no Espaçoe) Duas retas ou são coplanares ou são coincidentes.f) Duas retas concorrentes têm um ponto em comum.g) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum.h) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.i) Duas retas distintas não paralelas são reversas.j) Duas retas que não tem ponto comum são paralelas.l) Para obter uma reta é suficiente obter dois pontos distintos da reta.m) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam três planos distintos.n) Duas retas distintas determinam um plano.o) Quatro pontos distintos e não colineares determinam um quadrilátero reverso.

10.5. a) Quantos planos passam por uma reta? E por dois pontos distintos? Quantos planos passam por quatro pontos distin-tos dois a dois?

10.6. Mostre que as diagonais de um quadrilátero reverso são reversas.

10.7. Num plano há dois pontos A e B pertencentes a uma reta r e dois pontos C e D pertencentes a uma reta s, onde r e s são concorrentes. Considere um ponto P fora de . Determine a interseção entre os planos pl(A,B,P) e pl(C,D,P)?

10.8. Sejam r e s duas retas reversas. Em r há um ponto R e em s, um ponto S. Encontre a interseção entre os planos pl(r,s) e pl(s,R).

10.9. a) Suponha que as retas que contém os lados de um triângulo ABC, interceptam um plano em três pontos M, N e Q. Mostre que estes três pontos são colineares.b) Dois triângulos não coplanares ABC e A’B’C’ têm as retas AB e A’B’ concorrentes em O, AC e A’C’ concorrentes em P e BC e B’C’ concorrentes em R. Mostre que O, P e R são colineares.

211


10.10. Considere uma pirâmide quadrangu-lar de base ABCD e vértice V como no desenho ao lado. Os extremos das arestas laterais opostas VA e VC determinam um plano , e os extremos das arestas opostas VB e VD determinam um plano ’. Encontre a interseção dos planos e ’. (Sugestão: considere o encontro das diagonais do quadrilátero da base).

AB

CD

V

10.11. Considere um conjunto de pelo menos três retas distintas. Mostre que, se quaisquer duas retas deste conjunto são concorrentes, então elas estão todas num mesmo plano ou passam todas pelo mesmo ponto.

10.12. Duas retas r e s são concorrentes em um ponto O. Fora do plano determinado por r e s tomamos um ponto P qualquer. Qual é a interseção do plano definido por r e P com o plano definido por s e P?

10.13. a) Mostre que duas retas distintas paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si.b) Duas retas distintas ortogonais a uma terceira reta são sempre paralelas entre si?

10.14. Seja r uma reta qualquer e s uma reta não paralela a r. Mostre que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r estão contidas no mesmo plano.

10.15. Sejam A, B, C e D pontos quaisquer do espaço. Sejam M, N, P e Q os pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. mostre que MNPQ é um paralelogramo.

10.16. Mostre que os três segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas de um tetraedro qualquer ABCD se encontram em um mesmo ponto.

212


10.17. Sejam r e s duas retas reversas. Sejam A e B pontos distintos de r, C e D pontos distintos de s. Mostre que as retas AC e BD são reversas.

10.18. Mostre que se três planos são distintos e dois a dois secantes segundo três retas distintas, então: ou essas retas interceptam-se num só ponto ou elas são paralelas duas a duas.

10.19. Mostre que duas circunferências de raios iguais, centro em comum e contidas em planos secantes têm dois pontos em comum.

10.20. Suponha que dois planos se cortam e contém, respectivamente duas retas paralelas e distintas, mostre que a interseção desses planos é paralela às retas.

213

Capítulo 11: Paralelismo no Espaço e suas Conseqüências

O Corolário 10.11 garante que existem apenas três posições possíveis para uma reta r e um plano do espaço. Se a reta possuir dois pontos em comum com o plano, então ela estará inteiramente contida no plano, porém como sabermos se a reta tem um ou nenhum ponto em comum com o plano? O Teorema 10.11 estabelece que se dois planos distintos possuir um ponto em comum então ele terá como interseção uma reta. Existem critérios que ajudam a verificar se dois planos distintos têm ou não pontos em comum? Neste capítulo daremos vários resultados que respondem estas duas perguntas.

11.1. Paralelismo entre Retas e Planos

Iniciaremos com uma condição de paralelismo entre retas e planos. Primeiramente definiremos reta paralela a plano:Definição 11.12: Dizemos que uma reta e um plano são paralelos se eles não possuem pontos em comum.

Teorema 11.12: Um plano e uma reta r não contida em são paralelos se, e somente se, existe uma reta s paralela a r e contida em .

11. Paralelismo de Retas e PlanosDemonstração: Suponhamos que r e sejam paralelos. Seja A um ponto qualquer de , e consideremos o plano ’ = pl(r,A) (desenho ao lado). Os planos e ’ são distintos e possuem o ponto A em comum. Logo, pelo Teorema10.11 eles tem uma reta s em comum. Como r e s estão em ’, elas são coplanares, mas r e são para-

A

'

r

lelos por hipótese, logo r não intercepta s, e assim r e s são paralelas e s está em .Reciprocamente, suponhamos que uma reta s de seja paralela a r. Seja ’ = pl(r,s). Os planos e ’ são distintos (pois r está em ’ e não está em ) e possuem a reta s em comum. Como, por construção, r está contida em ’, se ela cortasse o plano , seria necessariamente um ponto da interseção s de e ’, mas isso é impossível,

A

'

r

s

pois r e s são paralelas. Logo, r é paralela a .

Este resultado mostra a existência de retas paralelas a planos.

Teorema 11.12: (Critério de paralelismo entre retas no espaço): Sejam e ’ dois planos que se cortam segundo uma reta s. Se r é uma reta de ’ e é paralela a , então r é paralela a s.

215

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: Como r é paralelo a , temos que r não intercepta . Logo r e s não se interceptam. Como s é a interseção dos planos e ’, s pertence a ’ e, por hipótese, r pertence a ’. Assim temos duas retas em ’, que não se interceptam. Por-tanto r e s são paralelas.

s

r

'

Exemplo

11.1. No paralelepípedo, por construção, o segmento AD é paralelo aos segmentos EH e BC. Logo, pelo Teorema 11.12, AD é paralelo aos planos EFGH e BCFG. Analogamente, se conclui com os outros segmentos em rela-ção aos planos que não se interceptam.

E

A B

CD

G

F

H

Os segmentos BC e FG são paralelos pois FG é paralelo ao plano ABCD e BC é a interseção de ABCD e BCFG.

11.2. Paralelismo entre PlanosVamos agora estudar o caso de paralelismo entre

planos.

Definição 11.12: Dois planos são chamados paralelos se não possuem pontos em comum.

Até agora não mostramos que pode ocorrer a existência de dois planos paralelos. A seguinte construção tem este objetivo.

216

11. Paralelismo de Retas e PlanosConstrução:

1. Tomemos um plano e um ponto O’ fora de , que existe pelo Axioma I.3.c.

2. Construímos em duas retas r e s, concorrentes num ponto O. Esta construção foi feita em G.P.

3. Construímos por O’ duas retas r’ e s’ , paralelas a r e a s respectivamente, (Axioma VI).

4. Por construção, as retas r’ e s’ são concorrentes em O’ e portanto pela Proposição 10.11 determinam um plano ’, que afirmamos ser paralelo a .

A demonstração de que e ’ são paralelos é dado pelo seguinte teorema:Teorema 11.12: Se por um ponto O’ fora de um plano , conduzirmos duas retas r’ e s’ respectivamente paralelas a duas retas r e s concorrentes em um ponto O desse plano, então r’ e s’ determinam um novo plano ’ paralelo ao primeiro .Demonstração: Temos, por hipótese, que r// r’ e s // s’. Assim, pelo Teorema 11.12, r’ e s’ são paralelas a . Suponhamos, por absurdo, que e ’ não são paralelos. Assim, eles se interceptam segundo uma reta t, pelo Teorema 11.12, r’ é paralela a t e s’ é paralela a t. Logo, por O’ existem duas retas paralelas a uma reta, o que contradiz o

r’

O’

rO

s’'

st

Teorema 10.11. Assim, e ’ são paralelos.

Na verdade o Teorema 11.12 engloba os seguintes resultados:a) Dados dois planos, se um deles contém duas retas concorrentes respectivamente paralelas a duas retas

217

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoconcorrentes do outro, então esses planos são paralelos entre si.b) Se duas retas concorrentes de um plano são paralelas a um outro plano, então esses planos são paralelos entre si.

Exemplo

11.2. Vamos voltar ao paralelepípedo pois as relações de paralelismo no espaço estão intimamente ligadas a este sólido. Por construção, o segmento AD é paralelo ao segmento EH e o segmento AB é paralelo ao segmento EF. Logo, pelo Teorema11.12, ABCD é paralelo ao plano EFGH. Resultados semelhantes se obtém com os outros segmentos em relação aos outros pares de planos.

E

A B

CD

G

F

H

O resultado a seguir é bastante útil.

Teorema 11.12: Dados dois planos paralelos, se r é uma reta qualquer de um dos planos então existe uma reta s no outro plano que é paralela a r.Demonstração: Sejam e ’ dois planos paralelos e r uma reta qual-quer de . Seja O’ um ponto qualquer de e ’ = pl(r,O’). Temos, O’ ’, logo, pelo Teorema 10.11, ’ é uma reta s. Como e são paralelos temos r // e r ’, por construção, assim pelo Teorema 11.12, r // s e s .

O próximo resultado é análogo ao axioma das paralelas para planos:

218

11. Paralelismo de Retas e PlanosTeorema 11.12: Por um ponto O’ exterior a um plano dado, existe um único plano paralelo a .Demonstração: (Existência) A existência foi feita no Teorema 11.12.(Unicidade) Suponhamos que existam dois planos distintos 1 e 2 passando por O’ e paralelos a . Como os planos são distin-tos e ambos passam por O’, 1 2 = s, pelo Teorema 10.11. Tomamos uma reta r em , tal que r não seja paralela a s. Isto é possível pois basta construirmos um plano =pl(s, A), onde A é um ponto qualquer de

s

r

O’

1

2

'

t1

t2

e, pelo Teorema 10.11, temos = t. Tome r concorrente a t em A, como t//s, pois s // , temos que r e s são reversas. Consideremos o plano ’ = pl (r,O’). Como ’ passa por O’ que está em 1 2 = s, pelo Teorema10.11, ’ 1 = t1 e ’ 2 = t2, mas como 1 e 2 são paralelos a , t1 e t2 são paralelas a r, passando por O’, o que é um absurdo, pelo Axioma VI, e, assim, 1 e 2 são necessariamente coincidentes.

Teorema 11.12: Se uma reta corta um plano, corta também qualquer plano paralelo a este. Se um plano corta uma reta, corta também qualquer reta paralela a ela.Demonstração: Para demonstrar a primeira parte do teorema sejam e ’ dois planos paralelos e r uma reta que intercepta ’ em O. Existem três possíveis posições relativas para r e . O caso de r estar contida em é impossível pois O não está em . No caso de r ser paralela a ,

219

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoconsideramos u em paralela a r (possível pelo Teorema 11.12) e uma reta r’ paralela a u em ’, que é paralela a (r’ é paralela a pois, caso contrário, existiria A r’ . Como e ’ são paralelos, teríamos um absurdo). Mas em ’ existe uma reta r” paralela a r’ passando por O. Assim teremos duas paralelas a u passando por O, o que contradiz o Axioma VI. Logo esse caso tam-

rO

r’r’’

u

'

bém é impossível. Resta assim a última possibilidade, que é o caso de r interceptar , encerrando a primeira parte do teorema. Para demonstrar a segunda parte, suponha que uma reta r intercepta um plano e seja r’ uma reta paralela a r. Considere o plano =pl(r,r’). Como r corta , então intercep-ta segundo uma reta s, pelo Teorema 10.11.

O

rr’

s

Como s intercepta r, temos que s intercepta r’ (a reta s intercepta r’, pelo Corolário 5.6, pois r, r’ e s estão no plano ). Logo r’ intercepta .

Este teorema garante que situações como as dos desenhos abaixo não podem acontecer.

r

r

s

220

11. Paralelismo de Retas e PlanosTeorema 11.12: Se um plano corta um plano segundo uma reta r, ele corta um plano ’ paralelo a segundo uma reta paralela a r.Demonstração: Temos que é distinto de ’ ( corta um plano paralelo a ’) e não é paralelo a ’, pois caso contrário por um ponto qualquer de r, passariam dois planos paralelos a ’, que é um absurdo pelo Teorema 11.12. Logo, corta ’ segundo uma reta s. Mas, r e s estão em e não pos-

s

r

'

suem pontos em comum, pois e ’ são paralelos por hipótese, então r e s são paralelos por definição.

O desenho ao lado ilustra uma situação que este teorema não

permite que ocorra.

s

'

Exemplos

11.3. Utilizando os resultados até aqui apresentados é possível construir os prismas, uma classe de sólidos geométricos interessante e que está muito presente em nosso cotidiano49. Sejam A1A2...An um polígono contido em um plano e B1 um ponto qualquer não pertencente a . Por B1

49 Caixas longa vida, embalagens de mercadorias, etc.221

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francotraçamos o único plano ’ paralelo a . Pelos demais vértices A2, ..., An traçamos retas paralelas a A1B1 que, pelo Teorema 11.12 cortam ’ nos pontos B2, ..., Bn, respectiva-mente. Tomemos dois segmentos consecuti-vos assim determinados, por exemplo, A1B1 e A2B2. O quadrilátero A1B1B2A2 é plano, pois por construção, A1B1 é paralelo a A2B2. Mas

B1

B2 B3

B4

A1

A2 A3

A4

'

isso significa que os outros dois lados A1A2 e B1B2 também são paralelos, pois estão contidos em planos paralelos. Portanto, por definição, o quadrilátero é um paralelogramo e o polígono B1B2...Bn é congruente ao polígono A1A2...An. Os paralelogramos assim determina-dos, juntamente com os polígonos A1A2...An e B1B2...Bn determina uma figura geométrica espacial denominada figura prismática. A superfície prismática é a reunião das regiões poligonais determinadas pelos paralelogramos e pelos polígonos. O prisma é a reunião de todos os segmentos XY, onde X pertence a região poligonal determinada por A1A2...An e Y é a interseção da reta paralela a A1B1 com o plano ’. Os pontos Ai e Bi, onde i varia de 1 a n, são denominados vértices. As regiões determinadas pelos polígonos A1A2...An e B1B2...Bn são denominadas bases. As regiões determinadas pelos paralelogramos são denominadas faces laterais. Os segmentos AnBn, AnA1, BnB1, AiBi, AiAi+1 e BiBi+1, onde i varia de 1 a n-1, são denominados arestas. Os segmentos AiBi, onde i varia de 1 a n, são denominados arestas laterais. Os segmentos determinados por vértices pertencentes a faces distintas são denominados diagonais. Um prisma possui 2 bases, n faces laterais, n arestas laterais e 3n arestas. Conforme a base o prisma recebe alguns nomes:

222

11. Paralelismo de Retas e Planos

Prisma triangular: quando a base for um triângulo.

Prisma quadrangular: quando a base for um quadrilátero.

Prisma hexagonal: quando a base for um hexágono.

Os prismas formam uma subclasse da classe de sólidos geométricos denominada poliedros, que serão estudados no Capítulo 15. Um caso particular de prisma ocorre quando a base é um paralelogramo, no qual obtemos um paralelepípedo que já foi construído anteriormente. Existem também os prismas construídos a partir de uma base não convexa. O desenho ao lado apresenta um prisma cuja base é um octógno não convexo. A seção de um prisma é um polígono plano que contém exatamente umvértice em cada aresta lateral do prisma. Quando o plano da seção de um prisma é paralelo aos planos das bases, a seção é congruente as bases. Deixamos como exercício a prova desta afirmação (Exercício 11.11). A reunião de todas as faces laterais é denominada superfície lateral do prisma. A reunião da superfície lateral com as regiões poligonais das bases é denominada superfície do prisma.

11.4. Seguindo a mesma construção do exemplo anterior, o que faremos agora é considerar uma circunferência ao invés de um polígo-no. Os conceitos de cilindro e prisma são originados de um conceito mais geral que é o de superfície cilíndrica regrada. Este conceito depen-de exclusivamente do conceito de curva, o qual não temos

223

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoelementos suficientes para apresentá-lo. Sendo assim, falaremos apenas sobre um caso particular, que são as superfícies cilíndricas circulares. Considere-mos uma circunferência C, situada num plano e B um ponto qualquer não per-tencente a . Por B traçamos o único plano ’ paralelo a e uma reta s interceptando o plano . Os pontos de interseções das retas paralelas a s passando por C formam uma circunferência congruente a C’ Deixaremos como exercício a demonstração

s

C

B ’

desta afirmação (Exercício 11.18). A superfície cilíndrica é a reunião de todos os segmentos paralelos a s com uma extremidade em C e outra em C’. O cilindro é a reunião de todos os segmentos paralelos a s com uma extremidade no círculo determinado por C e outra no círculo determinado por C’. Os principais elementos do cilindro são:

Duas bases: São os círculos congruentes situados nos planos paralelos e ’.

Geratrizes: São os segmentos paralelos à reta s dada que passam por C.

Superfície lateral: É a reunião dos segmentos cujas extremidades estão nas circunferências bases.

Superfície Cilíndrica: É a reunião da superfície lateral com as bases.

11.3. Teorema de TalesO Teorema de Tales pode ser generalizado para

planos:Definição 11.12: Um conjunto de planos distintos, todos paralelos entre si, é chamado feixe de planos paralelos. Uma reta que intercepta todos os planos de um feixe de planos paralelos é chamada transversal

224

11. Paralelismo de Retas e Planosdesse feixe. Dois segmentos que estão entre dois planos escolhidos de um feixe de planos paralelos e cada um desses segmentos com uma extremi-dade nesses dois planos, são chamados segmentos correspondentes.

Teorema 11.12: (de Tales para planos): Se um feixe de planos paralelos tem duas transversais, então, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual a razão entre os segmentos correspondentes da outra. Demonstração: Se as duas transversais são coplanares, a demonstração recai no mesmo teorema da G.P. que foi visto. Se as duas transversais r e s são reversas, construímos uma reta r’ concorrente com r e paralela a s (basta tomar em r um ponto P qualquer, e pelo Teorema 10.11, existe uma única reta paralela a s que contém P). O resultado agora segue aplicando duas vezes o Teorema de Tales da G.P. e a transitividade.

srr’

Exemplos

11.5. Consideremos uma pirâmide de base A1A2...An e vértice V. Tracemos um plano paralelo à base, que corta as arestas laterais da pirâmide segundo o polígono B1B2...Bn e que divide a pirâmide em dois sólidos: um deles é a pirâmide de base B1B2...Bn com vértice V e o outro chamado tronco de pirâmide de bases A1A2...An e B1B2...Bn. Notemos que se traçamos

225

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francopor V um outro plano paralelo a base A1A2...An , teremos um feixe de três planos paralelos cortado pelas transversais VA1, VA2, ..., VAn e assim podemos utilizar o teorema de Tales para concluir que:

.Dizemos então que as duas pirâmides obtidas são semelhantes com razão de semelhança k. Temos também que o plano da base e o plano (paralelos) são cortados Pelos planos pl(VA1A2), pl(VA2A3), , pl(VAnA1) e para cada um dos pla-nos transversais temos, pelo Teorema 11.12, que as interseções são retas paralelas, a saber, B1B2 // A1A2, B2B3 // A2A3, , BnB1 // A2A1. Assim teremos que VB1B2 ~ VA1A2, VB2B3 ~ VA2A3, , VBnB1 ~ VAnA1. Logo,

donde segue que as bases do tronco da pirâmide mantém a razão de semelhança k.

11.6. Consideremos um cone cuja base é uma circunferência C de centro O e raio r, com vértice V, conforme definido no Exemplo 10.1. Tracemos um plano ’ paralelo ao plano da base que intercepta o cone num ponto distinto de V. Afirmamos que a interseção de ’ com o cone é uma circunferência. De fato, seja P um ponto qualquer de C e consideremos as retas OV e VP. Pelo Teorema 11.12 OV intercepta ’ num ponto O’ e VP intercepta ’ num ponto P’. Como O’ e P’ pertencem ao plano pl(OPV),

O r

V

O r

V

’P

O’ P’

226

11. Paralelismo de Retas e Planos e ’ são paralelos, temos que OP e O’P’ são paralelos e portanto, os triângulos OPV e O’P’V são semelhantes. Assim,

, ou seja, . Como

V

Como P está em C, temos que = r e, portanto, a distância entre O’ e P’ é sempre a mesma independentemente do ponto P. Assim, por definição, a interseção de ’ com o cone é uma circunferência C’ de centro O’ e raio . O cone original fica dividido então em duas partes, um cone com base C’ e vértice V e outra parte chamada tronco de cone com bases C e C’. Dizemos então que os dois cones obtidos são semelhantes com razão de semelhança k.

11.4. Exercícios

11.1. Considere uma pirâmide VABCD, em que a base ABCD é um paralelogramo. Mostre que a reta CD é paralela ao plano pl (VAB).

A BC

D

V

11.2. Considere um paralelepípedo ABCDEFGH. Mostre que a interseção r dos planos pl (AE,CG) e pl (BF,DH) é paralela a reta AE.

E

A B

CD

F

H G

227

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco11.3. Mostre que uma reta é paralela a dois planos secantes se, e somente se, ela é paralela à reta de interseção dos dois planos.

11.4. Suponha que três planos , e , tenha exatamente um ponto em comum. Mostre que não existe nenhuma reta simultaneamente paralela a , e .

11.5. Sejam r e s duas retas reversas. Construa, justificando a construção, um plano contendo r e paralelo a s.

11.6. Construa por um ponto A, um plano paralelo a duas retas não paralelas r e s. Justifique a construção. Esta construção é sempre possível?

11.7. Dadas três retas r, s e t, reversas duas a duas, construa se possível (justificando a construção) uma reta paralela a t e que intercepta r e s. Quando é impossível?

11.8. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando brevemente sua resposta:a) Dadas duas retas reversas, qualquer reta que encontra

uma, encontra a outra.b) Se dois planos têm um ponto comum, então eles têm

uma reta comum que passa pelo ponto. c) Dois planos que tem uma reta comum são secantes.d) Se dois planos são secantes, então toda reta de um

encontra o outro.e) Duas retas distintas reversas a uma terceira são

reversas entre si.f) Duas retas reversas e uma concorrente com as duas

determinam dois planos.g) Se duas retas são paralelas entre si e um plano contém

uma, então ele é paralelo ou contém a outra.h) Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então

elas são paralelas entre si.i) Dadas duas retas distintas, sempre existe um plano

contendo uma e paralelo à outra.228

11. Paralelismo de Retas e Planosj) Se uma reta é paralela a um plano, ela não é paralela a

todas as retas do plano.k) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a

infinitas retas do plano.l) Dados uma reta e um plano, sempre é possível traçar

no plano uma reta paralela à reta dada.m) Uma condição necessária e suficiente para uma reta

ser paralela a um plano é ser paralela a uma reta do plano e não estar nele.

n) Uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes sejam paralelos a uma reta ou a contenha é essa reta ser paralela à interseção.

11.9. Se dois planos são paralelos, mostre que cada reta de um é paralela ao outro.

11.10. Mostre que todas as arestas laterais do prisma são paralelas e de mesmo comprimento.

11.11. Mostre que as bases do prisma são congruentes. Mais geralmente, quando o plano da seção de um prisma é paralelo aos planos das bases, a seção é congruente as bases.

11.12. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando brevemente sua resposta:a) Se uma reta é paralela a dois planos então esses

planos são paralelos.b) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo

a um plano dado.c) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que

se apoia em duas retas reversas dadas.d) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se

apoia em ambas.e) Dadas duas retas reversas, qualquer plano que passa

por uma encontra a outra.f) Uma condição suficiente para que dois planos sejam

paralelos é que duas retas de um sejam paralelas ao outro.

229

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francog) Se duas retas concorrentes de um plano são

respectivamente paralelas a duas retas de outro plano, então esses planos são paralelos.

h) Se dois planos são paralelos, então toda reta de um é paralela a qualquer reta do outro.

i) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um é paralela ou está contida no outro.

j) Se dois planos são paralelos, toda reta que tem um ponto comum com um, tem um ponto comum com o outro.

11.13. Mostre que dois pares de planos secantes, respectivamente paralelos, têm interseções paralelas.

11.14. Seja um tetraedro qualquer, no qual A’, B’, C’ e D’ são os baricentros das faces opostas aos vértices A, B, C e D. Mostre que as retas AA’ e BB’ são concorrentes num ponto X e que este ponto é tal que . Conclua que as retas AA’, BB’, CC’ e DD’ se encontram no ponto X.

11.15. Seja P um ponto exterior a um plano . Para cada ponto Q de seja X o ponto do segmento PQ que o divide na razão . Qual é o lugar geométrico do ponto X quando Q percorre o plano .

11.16. Dada uma reta r secante a um plano e um ponto P que não está em r nem em , construir um segmento cujos extremos estão em r e , e cujo ponto médio seja P.

11.17. Dadas as retas reversas r, s e t, encontrar uma reta que as encontre nos pontos R, S e T, respectivamente, de modo que S seja ponto médio de RT.

11.18. Consideremos uma circunferência C, situada num plano e B um ponto qualquer não pertencente a . Por B traçamos o único plano ’ paralelo a e uma reta s interceptando o plano . Mostre que os pontos de

230

11. Paralelismo de Retas e Planosinterseções das retas paralelas a s passando por C formam uma circunferência congruente a C’.

11.19. Duas retas r e s são paralelas. Sejam A e B dois pontos fora do plano pl(r,s). Estudar a interseção t dos planos pl(A,a) e pl(B,b).

11.20. Dados um plano , uma reta r não paralela a e um ponto P que não pertence nem a r nem a , trace uma reta concorrente r, paralela a que passe por P.

231

Capítulo 12: Perpendicularismo no Espaço e suas Conseqüências

Neste capítulo introduziremos o conceito de perpendicularismo entre retas e planos. Uma das construções fundamentais talvez seja a de conduzir uma reta perpendicular a um plano por um ponto (ou o seu caso dual, que é o de conduzir um plano perpendicular a uma reta). Aqui mostraremos que é possível tal construção. Veremos também sob que condições dois planos são perpendiculares.

12.1. Perpendicularismo entre Retas e Planos

Iniciaremos com a definição de perpendicularismo entre retas e planos:

Definição 12.13: Dizemos que uma reta é perpendicular a um plano quando ela é ortogonal a toda reta contida no plano. A interseção P de uma reta perpendicular a um plano é chamada traço da perpendicular ao plano.

r

s

P

r

Podemos determinar o perpendicularismo entre reta e plano através de uma condição equivalente:

12. Perpendicularismo de Retas e Planos

Proposição 12.13: Uma reta é perpendicular a um plano se, e somente se, ela é perpendicular às retas de que passam pelo seu traço.Demonstração: Se uma reta é perpendicular a um plano então por definição ela é ortogonal a toda reta contida no plano, assim, em particular, ela é perpendicular às retas de que passam pelo seu traço. Reciprocamente, seja r uma reta que é perpendicular a todas as retas de que passam pelo seu traço P. Dada uma reta qualquer s de , consideremos s’, a reta por P paralela a s. Por hipótese r é perpendicular a s’, assim por definição de reta ortogonal, s é ortogonal a r. Como s é qualquer, temos por definição que r é perpendicular a .

Exemplo

12.1. Na construção civil se você tiver uma superfície plana nivelada e segurar um prumo, o barbante se esticará formando uma perpendicular com a superfície plana.

É claro que a caracterização de reta perpendicular a plano dada na Proposição 12.13 é mais fácil de ser utilizada e muitas vezes assim será feito.

Proposição 12.13: Se uma reta r e um plano são perpendiculares entre si, então:a) Toda reta r’ paralela a r é perpendicular a ;b) Todo plano ’ paralelo a é perpendicular a r.Demonstração:a) Sabemos que se r é perpendicular ao plano no traço A então, pela Proposição12.13, r é perpendicular a todas as retas de que passam por A. Seja A’ o traço de r’ com . Seja s’ uma

r r’s’

r r’s’A A’

233

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoreta de passando por A’, então existe uma reta s pas-sando por A paralela a s’, que é perpendicular a r. Pelo Teorema 10.11,temos que r’ e s’ são perpendiculares entre si. Como s’ foi tomada arbitrariamente, temos que toda reta em , passando por A’ é perpendicular a r’ e assim pela Proposição 12.13, temos que r’ é perpendicular a .b) Seja r a reta perpendicular a um plano , seja ’ um plano paralelo a . Considere-mos A o traço de r no plano e A’ a inter-secção de r com plano ’ que existe pelo Teorema11.12. Consideremos s’ uma reta em ’ que passa por A’. Pelo Teorema 11.12 exis-

r

A

A’

’

te s em , passando por A paralela a s’. Pela Proposição12.13, temos que r e s são perpendiculares. As retas r, s e s’ são coplanares logo, pelo Teorema 5.6, r e s’ são perpendiculares e como s’ é qualquer reta que passa por A’ temos da Proposição 12.13 que ’ é perpendicular a r.

Proposição 12.13: a) Duas retas distintas r e r’ perpendiculares a um mesmo plano, são paralelas.b) Dois planos distintos e ’ perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.Demonstração:a) Sejam r e r’ duas retas perpendiculares a um plano e suponha-mos por absurdo que r e r’ não sejam para-lelas. Traçamos por A, traço de r’ com , uma reta s paralela a r (ver desenho ao lado). Como r’ não é paralela a r, temos que s e r’ são duas retas distintas passando pelo ponto A, assim determinam um plano ’ = pl (r’,s),

rt

r’s

A

’

que intercepta o plano segundo uma reta t.Como r e s são paralelas e r é perpendicular a , temos, pela

234

12. Perpendicularismo de Retas e PlanosProposição 12.13, que s é perpendicular a . Assim, pela Proposição 12.13, temos em ’, r’ e s perpendiculares a t em A, o que é absurdo. Logo, r e r’ são paralelas.b) Sejam e ’ planos perpendiculares a uma mesma reta r. Suponhamos, por absurdo, que e ’ não sejam paralelos. Então eles se interceptam segundo uma reta t. Seja A o traço de r sobre e A’ o traço de r sobre ’. Consideremos um ponto B t e tracemos o triân-gulo AA’B. Como A e A’ são traços então temos m(Â) = m(Â’) = 90o, o que é absurdo pois, pelo Teorema 4.5, a soma de dois ângulos de um triângulo é sempre menor do que 180o. Logo, e ’ são paralelos.

Ao definirmos retas perpendiculares a plano, surge a seguinte pergunta: o conjunto dessas retas não é vazio? Ou seja, será que dado um plano qualquer sempre existe pelo menos uma reta perpendicular a ele? De acordo com a Proposição 12.13, se houver uma, haverá infinitas, pois toda reta paralela a essa perpendicular ao plano, também será perpendicular ao plano. Nossa intuição diz que dado qualquer plano sempre existe uma reta perpendicular a ele, mas vamos ser bem preciso demonstrando sua existência construindo-a. O próximo teorema será fundamental para tal construção.

Teorema 12.13: Se uma reta r é ortogonal a um par de retas concorren-tes de um plano , então r é perpendicular a .Demonstração: Sejam s’ e t’ um par de re-tas concorrentes e ortogonais a r em . Seja A o ponto de interseção de r com . Traça-mos por A, retas s e t, paralelas a s’ e t’, respectivamente. Por definição de retas or-togonais, s e t são perpendiculares a r. De-vemos mostrar que toda reta u, passando por A é perpendicular a r. Se u

A

A1

A2

t

su

TS

U

rvs’

t’

235

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francocoincide com s out,então temos o desejado. Vamos supor então que u seja distinta de s e t. Tomemos em uma reta v, de tal modo que a interseção U de v e u esteja entre a interseção T de v com t e a interseção S de v com s (isto é possível pois sendo s e t retas distintas temos Ss e Tt distintos de A. Considere U no segmento ST e a reta u que passa pelos pontos A e U). Em cada semi-espaço determinado por , consideremos pontos em r, A1 e A2 em semi-retas opostas em relação a A de tal modo que AA1 AA2. Os triângulos retângulos A1TA e A2TA são congruentes (pois AA1 AA2, AT é comum aos dois triângulos e como t é perpendicular a r, temos m(A1ÂT) = m(A2ÂT) = 90o. Assim pelo caso LAL temos o desejado) e assim A1T A2T. Analogamente temos que A1S A2S. Logo os triângulos A1ST e A2ST são congruentes pelo caso LLL. Segue que os triângulos A1SU e A2SU são congruentes pelo caso LAL. Assim A1U A2U, e novamente pelo caso LLL temos que os triângulos A1AU e A2AU são congruentes, donde segue que A1ÂU A2ÂU. Como A, A1 e A2 são colineares temos que esses ângulos são retos, como queríamos demonstrar.

Vamos agora construir retas e planos perpendiculares.

Teorema 12.13: a) Por um ponto P dado, se pode traçar um único plano perpendicular a uma reta r dada. b) Por um ponto P dado, se pode traçar uma única reta r perpendicular a um plano dado.Demonstração: a) (Existência) Traçamos dois planos distintos 1 e 2 passando por r (porque existem?). Seja B um ponto qual-quer de r e consideremos duas retas s e t perpendiculares a r por B nos planos 1 e 2 respectivamente. O plano pl(s,t) contém as duas retas

P

Bs

t

r

pl(s,t)

236

12. Perpendicularismo de Retas e Planoss e t concorrentes em B, perpendiculares a r, logo pelo Teorema 12.13 este plano é perpendicular a r. Utilizamos agora o Teorema 11.12 para traçar um plano paralelo a pl(s,t) passando pelo ponto P. A Proposição 12.13 garante que r é perpendicular a .(Unicidade) Seja ’ outro plano perpendicular a r, passando por P. Pela Proposição 12.13, e ’ são paralelos, o que é um absurdo.

b) (Existência) Consideremos em , duas retas s e t concorrentes em um ponto A e traçamos dois planos distintos 1 e 2 perpendiculares a estas retas por A (possível pelo item a)). Seja r’ a reta interseção de 1 e 2. Por definição e construção temos que r’ é perpendicular a s e a t (s está em e é perpendicular a 1, e t está em e é perpen-

P

As t

r’

r

perpendicular a 2). Assim, pelo Teorema 12.13, r’ é perpendicular a . Consideremos agora uma reta r paralela a r’, passando por P. Pela Proposição 12.13, temos que r é perpendicular a .(Unicidade): Se existisse outra reta perpendicular a passando por P, esta reta seria paralela a r’. O Teorema10.11 garante que r é a única reta paralela a r’, passando por P.

237


12.2. Uma pirâmide tal que sua base é um polígono regular e o seu vértice se situa sobre a perpendicular traçada pelo centro da base é dita uma pirâmide regular. Se a base de uma pirâmide é triangular e possui as seis arestas congruentes, então ela é chamada tetraedro regular. A B

CD

V

A B

C

D

12.3. Um cone tal que seu vértice se situa sobre a perpendicular traçada pelo centro da base é dito um cone reto ou cone de revolução.

12.4. Podemos fazer uma classificação dos prismas de acordo com o comportamento das bases e das arestas laterais. Quando as arestas laterais de um prisma são perpendiculares as bases o denominaremos prisma reto, caso contrário, será chamado prisma oblíquo (desenhos abaixo). Se o prisma for reto e as bases forem polígonos regulares, o denominaremos prisma regular. (desenhos abaixo).

Prismas Retos

Prismas Oblíquos 238

12. Perpendicularismo de Retas e Planos

Prismas Regulares

Um paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. Quando o prisma é reto o denominamos paralelepípedo reto. Se o paralelepípedo reto tiver bases retangulares o chamaremos paralelepípedo reto-retângu-lo ou paralelepípedo retângulo (ou ainda ortoedro) . Se as arestas de um paralelepí-pedo forem congruentes ele será chamado de romboedro. Um romboedro que é um paralelepípedo reto é chamado de romboedro reto, caso contrário, será chamado romboedro oblíquo. Quando o romboedro for um paralelepípedo retângulo o denominaremos cubo.

Apresentamos no diagrama ao lado as subclasses da classe dos prismas:

prismas

Prismasregulares

paralelepípedos

cubosromboedros

oblíquosretos

239


12.5. Um cilindro reto é um cilindro cuja reta geratriz é perpendicular aos planos das bases.

12.6. Considere três segmentos de reta AB, CD e EF, congruentes, mutuamente perpendiculares, que se cortam no ponto médio O de cada um deles conforme desenho ao lado. Unimos os extremos destes segmentos entre si (por exemplo, A com B, C, D, E e F). O octaedro regular é a interseção dos semi-espaços determinados

E

ABC

D

F

O

pelos planos ACE, ADE, DBE, BCE, ADF, ACF, BDF e BCF contendo o ponto O juntamente com estas regiões triangulares. O termo regular segue do fato que os segmentos EA, EB, EC, ED, FA, FB, FC e FD são todos congruentes. Deixamos como exercício a demonstração desta propriedade.

O tetraedro regular, o cubo e o octaedro regular são exemplos de poliedros regulares, que serão estudados e classificados no Capítulo 15.

12.2. Perpendicularismo entre PlanosPara finalizar o capítulo, vamos definir

perpendicularismo entre planos e verificar em que condições dois planos são perpendiculares entre si.

240

12. Perpendicularismo de Retas e PlanosDefinição 12.13: Tomemos dois planos secan-tes e . Considere um plano perpendicu-lar a r= . Sejam s = e t = . O ângulo entre s e t independe da escolha de , pela Proposição12.13, pelo Teorema 11.12 e pelo Teorema 10.11, e é denominado ângulo entre os planos e . Quando s e t formam um ângulo reto, dizemos que os

rt

s

planos e são perpendiculares

Observe que se e são perpendiculares, então a reta s de é perpendicular às retas r e t de . Logo, s é uma reta de que é perpendicular a , pelo Teorema12.13. O teorema seguinte garante que ter uma reta nestas condições é uma condição necessária e suficiente para que os planos sejam perpendiculares.

Teorema 12.13: Dois planos e são perpendiculares se, e somente se, um deles contém uma reta perpendicular ao outro.Demonstração: A primeira parte foi feita acima. Reciprocamente, su-ponhamos que uma reta r de seja perpendicular a . O plano corta o plano segundo uma reta t, que é ortogonal a r, pela definição de reta perpendicular a plano. Como t está em também, r e t são perpendiculares entre si. Pelo ponto de interseção de r e t, traçamos uma reta s, contida em e perpendicular a t. O plano

r

ts

= pl (r,s) é perpendicular a t, pelo Teorema 12.13, pois contém duas retas concorrentes perpendiculares a t. Assim

241

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francotemos = r e = s, mas r e s são perpendiculares entre si, de novo pela definição de reta perpendicular a plano já que, por hipótese, r é perpendicular a e assim ortogonal a todas as retas de . Portanto e são de fato perpendiculares, por definição.

Exemplos

12.7. No prisma reto temos que os planos das faces laterais são perpendiculares aos planos das bases.

12.8. No octaedro os planos CDE e ABE são perpendiculares ao plano ABC.

Como sabemos traçar uma reta r perpendicular a um plano, utilizando o Teorema 12.13 é fácil construir planos perpendiculares a plano. Basta construir um plano qualquer contendo r. Sabendo da existência de planos perpendiculares, vamos estabelecer mais alguns resultados.

Teorema 12.13: Se um plano é perpendicular a um plano e uma reta r de é perpendicular à reta de interseção de e , então r é perpendicular a .Demonstração: Suponhamos que a reta r de seja perpendicular a reta t que é a interseção de e . Pelo ponto de interse-ção de r e t, traçamos uma reta s, contida em e perpendicular a t. Como e são perpendiculares por hipótese, r e s são perpendiculares, por definição de planos perpendiculares. Assim, r é perpendicular

r

st

a um par de retas concorrentes s e t de , e então, pelo Teorema 12.13, é perpendicular a .

242

12. Perpendicularismo de Retas e PlanosCorolário 12.13: Se uma reta r e um plano são ambos perpendiculares a um mesmo plano , então r é paralela a ou está contida em .Demonstração: Existem apenas três posições relativas entre uma reta r e um plano , r , r // ou r = P. Seja s a reta interseção entre os planos e e r = Q e vamos supor que r seja secante a em um ponto P. Tracemos agora por P uma reta s’ s, onde s s’= P’ considere o plano ’ determinado por s’ e r. Em ’ temos o triângulo PP’Q com dois ângulos retos, o que é absurdo, logo r não pode ser secante a . Portanto, ou r ou r // , como queríamos demonstrar.

Teorema 12.13: Por uma reta r não perpendicular a um plano existe um único plano perpendicular ao plano .Demonstração: (Existência) Seja A um ponto qualquer de r. Tracemos por A uma reta s perpendicular a (possível pelo Teorema 12.13). Como r não é perpendicular a , temos que s e r são concorrentes em A, e portanto determinam um plano . Mas s está em e é perpendicular a , logo pelo Teorema 12.13, e são perpendiculares.

rsA

(Unicidade) Se ’ é um plano que contém r e é perpendicular a , ele deve conter s, pois pelo Corolário12.13, s deve ser paralelo ou estar contido em ’, mas como A está em s, temos que s está em ’. Assim r e s estão em ’, logo ele deve coincidir com , pela Proposição 10.11.

243


Terminamos este capítulo apresentando um diagrama geral dos principais sólidos geométricos até agora estudados:

sólidos

Prismas retospara

lelepíped

os

pirâmides

tetraedros

Sólidos que não rolam

Sólidos que rolam

Conescirculares

Tronco deConescircularesCilindros

Octraedros

Troncos depirâmides

Prismas oblíquos

Prisma regular

cubos

romboedros

12.3. Exercícios12.1. Dado um tetraedro regular, mostre que:a) duas retas perpendiculares as bases, passando por

dois de seus vértices são coplanares. b) as quatro retas perpendiculares as bases, passando

pelos vértices se encontram num único ponto, que é eqüidistante dos quatro vértices.

12.2. Mostre que por um ponto dado se pode traçar uma única reta ortogonal a duas retas distintas não paralelas.12.3. Demonstre o seguinte resultado, denominado Teorema das três perpendiculares: Sejam A, B e C pontos não colineares. Se as retas AB, AC são ortogonais a uma reta r, então BC também é ortogonal a r.

244

12. Perpendicularismo de Retas e Planos12.4. Dois triângulos ABC e BCD são retângulos em B. Mostre que se o cateto AB é ortogonal à hipotenusa CD então o cateto BD é ortogonal à hipotenusa AC.12.5. Seja r uma reta do espaço e P um ponto exterior a r. Qual é o lugar geométrico dos traços das perpendiculares por P aos planos que contém r?12.6. Mostre que os centros das faces de um cubo são vértices de um octaedro regular e que os centros das faces de um octraedro regular são vértices de um cubo.12.7. Mostre que os centros das faces de um tetraedro regular são vétices de um outro tetraedro regular. Qual é a razão entre as arestas dos dois tetraedros?12.8. Mostre que se duas retas são reversas e ortogonais, então existe um único plano por uma, perpendicular à outra.12.9. Se os segmentos AB e CD são ortogonais, então vale a equação:

.

12.10. Mostre que uma reta e um plano perpendiculares a uma segunda reta em pontos distintos são paralelos.12.11. Dados um ponto, uma reta e um plano, traçar pelo ponto uma reta paralela ao plano e ortogonal ou perpendicular à reta dada.

12.12. Um plano, uma reta e um ponto são dados. Conduzir pelo ponto, um plano paralelo à reta e perpendicular ao plano dado.

245


12.13. Dado um cubo ABCDEFGH, consideremos o plano diagonal pl(BD,FH). Mostre que a diagonal AC da face ABCD é perpendicular a este plano.

A

E

B

CD

G

F

H

12.14. Com o mesmo desenho do Exercício 12.13, mostre que o único plano que contém a diagonal BH e é perpendicular ao plano da face ABCD é o plano diagonal pl (BD,FH).12.15. Mostre que dois planos são perpendiculares se, e somente se, duas retas perpendiculares a cada um deles são ortogonais.12.16. Mostre que se um plano contém uma reta perpendicular a um plano , então o plano contém uma reta perpendicular ao plano .12.17. Mostre que um plano é perpendicular a dois planos secantes se, e somente se, ele é perpendicular à reta de interseção dos dois planos.12.18. Em um cubo como do Exercício 12.13, mostre que os planos diagonais pl (AC,EG) e pl (BD,FH) são perpendiculares.12.19. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando brevemente sua resposta :a) Dois planos distintos perpendiculares a um terceiro são

paralelos entre si.b) Se uma reta e um plano são perpendiculares, então

todo plano que contém a reta é perpendicular ao plano dado.

c) Uma reta e um plano, perpendiculares a um segundo plano, são paralelos.

246

12. Perpendicularismo de Retas e Planosd) Uma condição necessária e suficiente para que dois

planos secantes seja perpendiculares, é que toda reta de um deles, perpendicular a interseção, seja perpendicular ao outro.

e) Se um plano é perpendicular a outro, então ele é perpendicular a qualquer reta desse outro.

f) Se dois planos são perpendiculares então toda reta de um forma ângulo reto com qualquer reta do outro.

g) Por uma reta passa um plano perpendicular a um plano dado.

h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um é perpendicular ao outro.

12.20. Construir por um ponto dado, um plano perpendicular a dois planos dados.

247

Capítulo 13: Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedros

Nesse capítulo, utilizaremos os conceitos e resultados vistos nos capítulos anteriores para definir distâncias entre ponto e plano, entre reta e plano paralelo, entre planos paralelos e entre retas reversas. Veremos ainda como medir ângulos entre reta e plano e ângulos entre planos e trabalharemos com diedros e triedros.

13.1. Distância de Ponto a PlanoPara definir distância de ponto a plano precisamos

do conceito de projeção ortogonal sobre um plano.

Definição 13.14: Chama-se projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano ao traço P’ da perpendicular ao plano por P. Chama-se projeção ortogonal de uma figura F sobre um plano, ao conjunto F’ das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre o plano

P

P’

P’

F

F’

O Teorema 12.13.b garante a existência de P’.

Proposição 13.14: Sejam r uma reta e um plano.a) Se r é perpendicular a , sua projeção ortogonal sobre é o traço P de r em .

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedrosb) Se r não é perpendicular a , a projeção ortogonal de r sobre é a reta r’, interseção de com , onde é o plano perpendicular a que passa por r.Demonstração: a) Seja X um ponto qualquer de r. Suponhamos, por absurdo, que a projeção ortogonal de X sobre não seja o traço P, ou seja, a projeção ortogonal de X sobre seja um ponto Q P. Logo, temos que as retas r e XQ contém X e são perpendiculares a , o que contradiz o Teorema 12.13. Como X é qualquer então a projeção de r sobre é o traço P de r em .b) Se r e não são perpendiculares, trace-mos por r o plano perpendicular a , dado pelo Teorema 12.13. Seja r’ a interse-ção . Para cada X r, seja x a reta que passa por X e é perpendicular a . Afirmamos que x . De fato, como x é perpendicular a e é perpendicular a , pelo Corolário12.13, x // ou x .

.X’

r

X

r’

Mas X x e X r , então x . Por definição, a projeção ortogo-nal X’ do ponto X é o traço de x em . Como x e X’ , temos que X’ = r’. Pelo fato de termos tomado X arbitrário em r, temos que a projeção de r é a reta r’.

Já vimos na G.P. que a distância entre dois pontos A e B é, por definição, o comprimento do segmento AB. Como a unicidade da reta AB é garantida também no espaço, a distância entre dois pontos no espaço também é o comprimento do segmento AB. A distância entre um ponto e uma reta no espaço também pode ser obtida como em G.P., pois uma reta r e um ponto P determinam um único plano = pl(r,P), de acordo com a Proposição10.11 e assim a distância de P a r é o tamanho do segmento PP’, onde P’ é o pé da perpendicular a r por P em .

249


Antes de definirmos novas distâncias vamos aplicar esses conhecimentos no seguinte exemplo:

Exemplo:

13.1. Dado um paralelepípedo retângulo ABCDEFGH de lados =a, =b e =c a distância entre o ponto H e a reta BD é c (por que?). Como o triângulo ABD é retângulo temos, pelo Teorema de Pitágo-ras, = , assim, a distância entre B e D é por definição

. Mas o triân- A

CE

B

DF

H G

gulo BDH é retângulo em D (porque ?) e assim novamente por Pitágoras a distância entre B e H é .

Conhecido então a distância entre dois pontos e sua medida, podemos perguntar qual é o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam de dois pontos A e B dados?

Em G.P., vimos que a resposta no plano é a mediatriz do segmento AB. No espaço ocorre algo semelhante. Considere o plano perpendicular a reta AB pelo ponto médio M do segmento AB ( que é único pelo Teorema 12.13.a). Dado um ponto P em , temos que a reta PM é perpendicu-lar a reta AB em M (pela definição de reta perpendicular a plano). Pelo caso LAL, temos que PMA PMB e assim PA PB. Por outro lado se P é um ponto no espaço tal que PA PB, então PAB é isósceles e assim PM é perpendicular a AB. Logo, P está em .

..P

M

A

B

Definição 13.14: O plano descrito acima é chamado plano mediador.

250

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedros

Agora podemos mostrar a seguinte proposição:

Proposição 13.14: As arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais.Demonstração: Primeiramente afirmamos que para quaisquer pontos A, B, C e D distintos no espaço satisfazendo = e = , então AC e BD são ortogonais. De fato, sob essas condições A e C estão no plano mediador de BD. Então AC está contida num plano perpendicular a BD e assim, por definição, de perpendicularismo entre reta e plano, AC e BD são ortogonais. Portanto, como o tetraedro regular satisfaz essas condições, temos o desejado.

Vamos agora definir distância entre ponto e plano.

Definição 13.14: A distância de um ponto P a um plano é a medida do segmento PP’, onde P’ é a projeção ortogonal de P sobre .

O próximo resultado garante que a distância de P a é a menor distância entre P e os pontos de , ou seja, esta definição está de acordo com o que se espera de uma distância entre ponto e plano.

Proposição 13.14: Se Q é um ponto qualquer do plano e P então ≥ ’, a igualdade ocorre apenas se P’ = Q.

251


Demonstração: Se P’ Q, então PP’Q é um triângulo retângulo em P’, logo PQ é hipote-nusa e PP’ é cateto, assim > .

..

P

P’Q

Exemplos

13.2. Considere uma pirâmide de vértice V. Seja V’ a projeção ortogonal de V sobre plano da base, a altura da pirâmide é o segmento de extremidades V e V’.

A BCD

V

V’

13.3. Da mesma maneira definimos altura de um cone. Considere um cone de vértice V e base B. Seja V’ a projeção ortogonal de V sobre a base B, a altura do cone é o segmento de extremidades V e V’.

V

V’

Proposição 13.14: Se uma reta r é paralela a um plano , então todos os pontos de r são equidistantes de .

252

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e TriedrosDemonstração: Sejam P, Q r, por P e Q traçamos perpendiculares a obtendo P’ e Q’ como traços. Temos:- PP’ paralelo a QQ’, logo PP’QQ’

estão num mesmo plano.- Como r é paralela a , a reta PQ

não intercepta a reta P’Q’ e assim são paralelas.

.. Q’P’

. .QP r

- PP’ e QQ’ são perpendiculares a P’Q’, por definição de perpendicula-rismo entre reta e plano.

Assim PQQ’P’ é um retângulo e portanto PP’ QQ’.

Proposição 13.14: Se dois planos são paralelos, todos os pontos de um são equidistantes do outro.Demonstração: Sejam e dois planos paralelos, X e Y pontos quaisquer de e r a reta que passa por X e Y. Pelo Exercício 11.9 temos que r é paralela a . Logo, pela Proposição 13.14 todos os pontos de r são eqüidistantes de , em particular, X e Y. Como os pontos X e Y foram tomados arbitrariamente em , temos que todos os pontos de são eqüidistantes de . Analogamente, todos os pontos de são equidistantes de .

Exemplo

13.4. Considere um prisma e uma reta r perpendicular aos planos das bases do pris-ma. Sejam A e B os pontos de intersecção de r com os planos da base. Uma altura do prisma é o segmento AB. Pela Proposição 13.14, temos que todas as alturas do prisma terão a mesma medida.

rA

B

253


13.5. Da mesma maneira definimos altura de um cilindro: Dado um cilindro e r uma reta perpendicular aos planos das bases do cilin-dro, sejam A e B os pontos de interseção de r com os planos das bases. Uma altura do cilindro é o segmento AB. Pela Proposição 13.14, temos que todas as alturas do cilindro terão a mesma medida.

A

B

13.6. Seja ABCD um tetraedro regular de aresta a. Vamos calcular a distância do verti-ce A ao plano BCD, ou seja, a altura do te-traedro. Seja A’ a projeção ortogonal de A sobre o plano BCD. Como os triângulos AA’B, AA’C e AA’D são congruentes, pois são triân-gulos retângulos que possuem hipotenusas AB, AC e AD congruentes e o lado AA’ co-

A

B C

DA’ H

mum, temos que A’B, A’C e A’D são congruentes e assim A’ é o circuncentro do triângulo equilátero BCD (conforme citado na Introdução). Consideremos o triângulo retângulo AA’B. Conhecemos =a e = , pois é raio da circunferência circunscrita num triângulo equilátero. Assim, utilizando o Teorema de Pitágoras, obtemos que

’ = = = = .

O teorema a seguir foi proposto no Exercício 12.3, mas devido a sua utilidade vamos reenunciá-lo a seguir:

254

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e TriedrosTeorema 13.14 (das três perpendiculares ): Se três pontos não colinea-res A, B e C são tais que as retas AB e AC são ambas ortogonais a uma certa reta r, então a reta BC também é ortogonal a r.

Corolário 13.14: Sejam um plano e P . Traçamos por P a perpendicular a , cujo traço é P’. Considere um ponto Q , com Q P’. Traçamos por Q uma reta r perpendicular a P’Q. Então r é perpendicular a PQ.Demonstração: Como PP’ é perpendicular a , temos pelo Teorema 12.13 que o plano

..

P

P’Q

r

determinado pelos pontos P, P’ e Q é perpendicular a . Como P’ e Q pertencem a e a temos pela Proposição10.11 que = rP’Q. Como r está contida em e é perpendicular a P’Q, temos que r é per-pendicular a (Teorema 12.13). Temos PP’ perpendicular a e r , então PP’ é ortogonal a r e r, por hipótese, é perpendicular a rP’Q. Assim, pelo Teorema 13.14, temos que r e PQ são perpendiculares em Q.

13.2. Distância entre Retas ReversasCom o objetivo de obter a distância entre duas

retas reversas vamos demonstrar a seguinte proposição:

Proposição 13.14: Se duas retas r e s são reversas, então existe uma única perpendicular comum a essas retas.

255

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDemonstração: (Existência) Pelo Exercício 11.5 existe um plano contendo r e paralelo a s. Pelo Teorema 12.13 existe um único plano perpendicular a passando por s. Seja t = , como s é paralela a , temos que s é paralela a t e , além disso, r e t são concorrentes, digamos num ponto A. Por A traçamos a reta x perpendicular a t no plano . Como s é paralela a t e x é perpendicular a t temos que x é perpendicular a s. Além

s

t

x

rA.

B.

disso, é perpendicular a e t é a interseção de e , logo, pelo Teorema 12.13, x é perpendicular a . Como r passa pelo traço de x em , temos pela Proposição 12.13 que x é perpendicular a r.(Unicidade) Sejam B = x s e uma reta x’ x tal que x’ é perpendicular a r e a s em C e D, respectivamente. Temos então x’ ortogonal a t e, pelo Teorema12.13, x’ é perpendicular a . Vimos, na demonstração de existência, que x é perpendicular a . Assim, pela Proposição 12.13, x // x’ ou x = x’. Se x // x’ consideramos o plano pl(x,x’), logo temos que

.A .

.B

C

s

r

t

x’x

.D

A, B, C, D pl(x,x’). Assim as retas r e s pertencem ao plano pl(x,x’), o que é aburdo pois r e s são reversas, logo x = x’.

Teorema 13.14: Se duas retas r e s são reversas, então de todos os segmentos que tem uma extremidade em cada uma das retas, o menor é aquele que está contido na perpendicular comum.

256

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e TriedrosDemonstração: Sejam A e B como na Proposição 13.14, A’ em s e B’ em r. Dividiremos em dois casos:1o Caso: A = A’ ou B = B’, então A’B’ é hipotenusa e AB cateto, logo > .2o Caso: A A’ e B B’: Traçamos B’C perpendicular a t em . Pelo Teorema 12.13, B’C é perpendicular a . Assim, B’C é perpen-dicular a A’C e o triângulo A’B’C é retângulo em C, logo > . Mas B’C AB pois r e t são paralelas, portanto

> .

r

tB

sA.

.

.

.

.

B’

A’C

Agora podemos definir distância entre retas reversas:

Definição 13.14: Chama-se distância entre duas retas reversas a medida do segmento contido na perpendicular comum, com uma extremidade em cada uma das retas.

A

B

r

s

d

Exemplo

13.7. Considere o paralelepípedo ilustra-do no desenho ao lado. A distância entre as retas reversas AD e BF, por definição, é exatamente a medida da aresta AB.

G

A

C

E

B

D

F

H

257


13.3. Ângulo entre Planos e entre Reta e Plano

Vamos agora introduzir os conceitos de ângulos entre plano e plano e entre reta e plano. Quando definimos perpendicularismo entre planos, introduzimos uma forma de se definir o ângulo entre dois planos secantes e . Vejamos como medir este ângulo e, para isto, considere um plano perpendicular a reta r = . Sejam as retas s = e t = , como na Definição12.13.

Definição 13.14: Se dois planos e são paralelos ou coincidentes, a medida do ângulo entre eles é igual a zero. Se e são secantes, a medida do ângulo entre e é a medida do ângulo entre as retas s e t.

t

r

sA.

Assim temos que a medida do ângulo entre dois planos varia entre 0o e 900.

Proposição 13.14: O ângulo formado por dois planos é igual ao ângulo formado por duas retas respectivamente perpendiculares a estes planos.Demonstração: Sejam t e s como na Definição 13.14. No desenho a seguir, os planos e são perpendiculares à página deste livro, passando por s e t, respectivamente. Seja A um ponto de não pertencente a t nem a s. Traçamos por A perpendiculares v e u a t e s, respectivamente, ambas no plano da página.

258


t

s

A

v u

C

B

D

u

s

t

A

v

C

BD

Observe que nos dois casos possíveis os ângulos BÂD e são ângulos suplementares e assim, por definição

de ângulos entre retas, temos o desejado.

Queremos agora, para concluir este capítulo, definir ângulo entre reta e plano. Obviamente, queremos que este ângulo seja 90o quando a reta é perpendicular ao plano e 0o quando a reta estiver contida no plano. Para apresentar a definição vamos precisar do seguinte resultado:

Proposição 13.14: Se uma reta r não é perpendicular a um plano e o intercepta em um ponto A, então o ângulo agudo de r com sua projeção ortogonal r’ sobre é menor que o ângulo agudo de r com qualquer reta de que passa por A.Demonstração: Por um ponto P qualquer de r construimos PP’ perpendicular a , e por definição P’ r’. Seja s uma reta qualquer em que passa por A. Em s tomamos um ponto Q tal que AP’ AQ. Nos triângulos APP’ e APQ temos o seguinte, AP é comum, AP’ AQ, por construção, e < ,

..

P

P’A

r.

r’s

.Q

pela Proposição 13.14. Segue da recíproca proposta no Exercício 4.19 que PÂP’ < PÂQ.

259

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDefinição 13.14: O ângulo entre uma reta r e um plano é igual ao menor ângulo formado por r e uma reta qualquer do plano .

Pela proposição anterior o ângulo entre a reta r oblíqua a , é o ângulo agudo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano. Obviamente, se r é perpendicular a , o ângulo entre r e qualquer reta de é sempre 90o, assim o ângulo entre r e será 90o como desejado. Se r estiver contida no plano , o menor ângulo será o ângulo formado entre r e sua projeção, que é r, assim 0º.

Exemplos

13.8. As arestas laterais de um prisma qualquer formam ângulos congruentes com o plano da base.

13.9. As arestas laterais de uma pirâmide regular formam ângulos congruentes com o plano da base.

A B

CD

V

13.10. As geratrizes de um cilindro formam ângulos congruentes com o plano da base.

260


C

13.4. DiedrosNo próximo capítulo definiremos os poliedros

convexos. Para isto necessitaremos de alguns conceitos importantes, que daremos nesta seção.Definição 13.14: Dados uma reta r e os pontos A e B não pertencentes a r, um diedro, denotado por di(r,A,B), é a figura formada pelos dois semiplanos r,A e r,B de origem comum r. A reta r é denominada aresta do diedro. Os semiplanos r,A e r,B são denominados faces do diedro (veja desenho ao lado). Uma seção de um diedro é a interseção do diedro com um plano secante à aresta, ou seja, se o plano secante intercepta r em O, uma seção de um diedro é o ângulo no plano secante com vértice O. Assim, se C r,A e D r,B são pontos do ângulo formado pelas semi-retas SOC e SOD denotaremos a seção como a notação de ângulo, neste caso, por CÔD. Quando o

rFace do diedroFace do diedro

Aresta do diedro

A B

r,A r,B

OC

D

261

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoplano secante é perpendicular à aresta, dizemos que a seção é normal ou reta.

Exemplos

13.11. Uma pirâmide possui 2n diedros, onde n é o número de lados do polígono da base. De fato, n deles são formados pelas arestas da base, os outros n com as arestas laterais.

13.12. Os cones e os cilindros não apresentam diedros, ou seja, não há interseção entre planos.

Vejamos agora algumas relações entre as seções de um diedro:

Proposição 13.14: Dado um diedro qualquer temos que:a) Duas seções paralelas são congruentes.b) Seções normais são congruentes.Demonstração: a) Segue imediatamente do Teorema10.11.b) Sejam e dois planos distintos e perpendiculares a aresta de um diedro. Como e são ambos perpendiculares a aresta, temos pela Proposição 12.13 que e são paralelos. Logo, pelo item a) temos o desejado.

Esta proposição permite definir congruência de diedros.

Definição 13.14: Dois diedros di(r,A,B) e di(r’,A’,B’) são congruentes, e

262

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedrosescreveremos di(r,A,B) di(r’,A’,B’), quando uma seção normal de um é congruente a uma seção normal do outro. O ângulo diedro é qualquer seção normal do diedro. A medida do diedro é a medida do ângulo diedro. Dizemos que o diedro é reto se o ângulo diedro for reto; agudo se o ângulo diedro for agudo e obtuso se o ângulo diedro for obtuso.

Observações:1) O ângulo diedro pode variar entre 0o e 180º.2) O ângulo entre dois planos secantes é igual a medida

do menor diedro formado por eles.

Definição 13.14: Sejam di(r,A,B) e di(r’,A’,B’) dois diedros e considere-mos, respectivamente, duas seções C

E e C’ ’E’. Diremos que C E e C’ ’E’ são igualmente inclinadas sobre as arestas r e r’, se os ângulos formados pelos lados da seção C E com uma das semi-retas em r com origem D, são respectivamente congruentes aos ângulos formados pelos lados da seção C’ ’E’ com uma das semi-retas de r’ com origem D’.

CE

D

r

A B

r,A r,B C’

E’

D’

r’

A’ B’

r’,A’ r’,B’

As seções igualmentes inclinadas nos fornecem condições para a congruência de diedros:

263

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoTeorema 13.14: Dois diedros são congruentes se, e somente se, possuem seções igualmente inclinadas congruentes.Demonstração: Consideremos dois diedros congruentes di(r,A,B) e di(r’,A’,B’) e duas seções igualmente inclinadas C E e C’’E’. Sejam F e F’ pontos em r e r’, respectiva-mente, tais que

. Temos dois casos a considerar:

1O Caso: C F e E F, C’ ’F’ e E’’F’ são ângulos agudos. Consideremos as seções normais G

H e G’ ’H’. Assim, temos que GDF G’D’F’ e HDF H’D’F’ pelo caso ALA, pois as seções são igualmente inclinadas por hipótese. Logo, temos GD G’D’, GF G’F’, DH D’H’ e HF H’F’. Como por hipótese

CE

DA B

r,A r,rG H

F

C’E’

D’A’ B’

r’,A’ r’,B’r’G’ H’

F’

os diedros são congruentes, temos que os ângulos G H e G’ H’ são congruentes. Portanto pelo caso LAL, temos que GFH G’F’H’. Dessa congruência segue que GH G’H’ e assim pelo caso LLL temos a congruência GDH G’D’H’, o que demonstra o teorema para esse caso.2o Caso: C F ou E F, C’ ’F’ ou E’ ’F’ são ângulos retos ou obtusos. Por F e F’, tracemos semi-retas que encontram os lados das seções em pontos M e N no primeiro diedro e M’ e N’ no segun-do diedro, de tal forma que os ângulos

e sejam agu-dos.

Assim, pelo caso ALA, por

CED

A B

r,A r,r

MN

F

264

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedrosconstru-ção e hipótese, teremos as congruên-cias FMD F’M’D’ e FND F’N’D’. Assim, segue que FM F’M’; FN F’N’, MD M’D’ e ND N’D’. Como os diedros são congruentes temos, pelo 1O Caso, que as seções NM e N’ ’M’ igualmente inclinadas,por construção, são congruentes, pelo caso LAL. Assim,

C’E’D’

A’ B’

r’,A’ r’,B’r’

M’N’

F’

MN M’N’, donde pelo caso LLL, MDN M’D’N’. Portanto e as seções são congruentes.

Reciprocamente, suponhamos que duas seções igualmente inclinadas de dois diedros são congruentes, devemos mostrar que os diedros são congruentes.

1O Caso: Com as mesmas considerações do 1º. Caso da parte direta do teorema obtemos as congruências GDF G’D’F’ e DHF D’H’F’, pois as seções são igualmente inclinadas. Logo, GD G’D’, GF G’F’, DH D’H’ e HF H’F’. Mas, por hipótese, as seções igualmente inclinadas são congruentes, assim G H G’ ’H’. Logo, GDH G’D’H’, pelo caso LAL. Assim, pelo caso LLL, GFH G’F’H’ e, portanto, as seções normais G H e G’ ’H’ são congruentes, o que mostra a congruência dos diedros para o 1O Caso.

2O Caso: Com as considerações do 2O Caso da parte direta do teorema, obtemos as congruências FMD F’M’D’ e FND F’N’D’. Segue que os triângulos MFN e M’F’N’ são congruentes, pois temos FMD F’M’D’ e FND F’N’D’ implica DMD’M’ e DND’N’ e como, por hipótese, as seções igualmente inclinadas são congruentes, temos e, assim, a congruência segue do caso LAL. Isto implica na congruência MN M’N’ e, assim os triângulos MFN e

265

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoM’F’N’ são congruentes e portanto, como ’, agora estamos com ângulos agudos como no 1O Caso da recíproca, logo os diedros são congruentes.

13.5. TriedrosO conceito de triedro surge naturalmente ao

considerarmos três planos que tenham um ponto em comum. De fato, considere três planos distintos dois a dois, teremos as seguintes situações:- Os três planos são paralelos entre si;- Dois planos são paralelos e o terceiro intercepta um

deles;- Os planos se interceptam dois a dois;

Este último caso é o que nos interessa, pois temos que dois planos quando se interceptam eles possuem uma reta em comum, e nos ajudará entender melhor ângulo das figuras geométricas espaciais.

Definição 13.14: Sejam V um ponto, SVA, SVB, SVC três semi-retas de mesma origem V não coplanares. Chamamos de triedro ou ângulo triedro e denotamos por V(A,B,C), a interseção dos semi-espaços Epl(VAB),C, Epl(VAC),B e Epl(VBC),A. Chamamos V de vértice do triedro, as semi-retas SVA, SVB, SVC de arestas do triedro e as regiões VA,B VB,A, VA,C VC,A e VB,C VC,B

V

AB

C

são denominadas faces do triedro, e denotadas por F(AB), F(AC) e F(BC).

Observações:1. Observe que um triedro determina três diedros:

266

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedrosa) Determinado pelos semiplanos VA,B e VA,C, denotado por di(A).b) Determinado pelos semiplanos VB,A e VB,C, denotado por di(B).c) Determinado pelos semiplanos VC,A e VC,B, denotado por di(C).

2. Cada uma das faces de um triedro determina um ângulo. A face F(AB) determina o ângulo A B, a face F(AC) determina o ângulo A C e a face F(BC) determina o ângulo B C.

Exemplos

13.13. Um dos triedros mais importante é o que possui três diedros retos. Ele é denomi-nado triedro tri-retângulo ou triedro tri-retangular.

13.14. Um tetraedro possui 4 triedros. que são determinados pelos seus vértices. Os triedros são A(V,B,C), B(V,A,C), C(V,B,A) e V(A,B,C)

V

BA

C

267

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco13.15. Uma pirâmide cuja base é um polígono com n lados (n > 3) possui n triedros que são determinados pelos vértices da base. Em particular, na pirâmide quadrangular ao lado temos os triedros

A(V,B,D), B(V,A,C), C(V,B,D) e D(V,A,C)

A B

CD

V

13.16. Um prisma cuja base é um n-ágono, possui 2n triedros. Em particular, no prisma hexagonal (veja desenho ao lado) temos 12 triedros, a saber: A(A’,B,F), B(B’,A,C), C(C’,B,D), D(D’,C,E), E(E’,D,F), F(F’,A,E), A,(A,B’,F’), B’(B,A’,C’), C’(C,B’,D’), D’(D,C’,E’), E’(E,D’,F’) e F’(F,A’,E’).

AB C

DEF

A’B’ C’

D’E’F’

13.17. Veja que os cones e os cilindros não apresentam triedros, ou seja, não há interseção entre três planos.

Num triedro, um triângulo ABC com um vértice em cada aresta é denominado seção. As seções nos triedros não são tão relevantes quanto nos diedros. Para o estudo das propriedades do triedro começaremos com as relações entre as faces:

Teorema 13.14: Em todo triedro, o ângulo de qualquer face possui medida menor que a somas das medidas dos ângulos das outras duas.Demonstração: Seja V(A,B,C) um triedro. Se os ângulos de todas as faces são congruentes, o resultado é imediato. Se os ângulos de duas faces são congruentes e maior que a medida do ângulo da terceira, o resultado também é imediato. Suponhamos então que uma das faces têm ângulo maior que as medidas dos ângulos das outras duas, por exemplo, suponhamos que F(AC) é a face

268

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedroscujo ângulo tem a maior medida. Devemos mostrar que

. Considere em A C um ângulo D C tal que

(1). Tomando B’ em SVB e D’ em SVD tais que = e considerando uma seção A’ ’C’ contendo o ponto D’, teremos:a) ’, pois os triângulos

D’VC’ e B’VC’ são congruentes, pelo caso LAL.

b) No triângulo A’B’C’, temos

C’

V

A’

B’

A CBD

D’

< + + < + <

Desta relação segue do Exercício 4.19 que (2). Utilizando (1) e (2), obtemos

Como F(AC) é a face cujo ângulo possui a maior medida, temos o resultado.

O próximo resultado apresenta um limitante para a soma das medidas dos ângulos das faces.

Teorema 13.14: A soma das medidas dos ângulos das faces de um triedro qualquer é menor que 2 .Demonstração: Seja V(A,B,C) um triedro, devemos mostrar que

Para isto, considere a semi-reta SVA’ oposta a SVA (veja desenho ao lado).Temos que V(A’,B,C) é um triedro e pelo Teorema 13.14,

A BC

VA’

(1)Os ângulos e são adjacentes e suplementares, o mesmo ocorrendo com os ângulos

269

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoe . Logo, e

. Assim, .

Pela relação (1) temos

como queríamos demonstrar.

Definição 13.14: Um triedro V(A,B,C) é congruente a um triedro W(D,E,F,) se existir uma correspondência biunívoca entre suas arestas, tal que:a) Os respectivos diedros são congruentes.b) As respectivas faces têm ângulos congruentes.

V

.

A

B

C

W

.

D

E

F

Proposição 13.14: Dois triedros opostos pelo vértice (simétricos em relação a um ponto) são congruentes.Demonstração: Como os diedros opostos pela aresta são congruentes (Exercício 13.14) e, além disso, os ângulos das faces dos dois triedros são, respectivamente, ângulos opostos pelo vértice e, portanto, congru-entes, temos, pela Definição 13.14, que os triedros são congruentes.

Vamos agora definir triedros polares. A maioria das proprieda-des dos triedros são obtidas através deles.

Definição 13.14: Dizemos que um triedro V(A,B,C) é polar do triedro V’(A’,B’,C’) quando:

270

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedrosa) V=V’.b) VA, VB, VC são perpendiculares aos planos pl(V’,B’,C’),

pl(V’,A’,C’) e pl(V’,A’,B’), respectivamente.c) Os ângulos e são agudos.

Pela unicidade da perpendicular a um plano por um ponto, temos que o triedro tri-retângulo coincide com seu polar. Neste caso, diremos que ele é autopolar.

Proposição 13.14: A propriedade de ser polar é simétrica, ou seja, se V(A,B,C) é polar de V’(A’,B’,C’) então V’(A’,B’,C’) é polar de V(A,B,C).Demonstração: Segue imediatamente do fato de ser simétrica a relação de perpendicularidade, ou seja, r s s r.

Apresentaremos a seguir a propriedade fundamental de triedros polares:

Teorema 13.14: Se dois triedros são polares, o ângulo da face de cada um é suplementar da seção reta do diedro oposto no polar.

Para demonstrar este teorema utilizaremos o seguinte lema:

Lema 13.14: Se por um ponto V da aresta r de um diedro di(,, r) conduzirmos as semi-retas:a) SVA, perpendicular a , onde A pertence ao semi-espaço que contém .b) SVB, perpendicular a , onde B pertence ao semi-espaço que contém .Então, o ângulo é suplemento da seção normal do diedro di(,, r).Demonstração: Dividiremos em três casos:i) O diedro é obtuso.ii) O diedro é reto.

271

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoiii) O diedro é agudo.Para o caso i), observemos que

.Logo, r é perpendicular ao plano =pl(VAB) e então di(,, r) =

é a seção normal do diedro di(,, r). Como, por cons-trução, AV é perpendicular a e CV está em

C DV

B A

r

, temos que m(C A) = . Neste caso, por hipótese, m(C

D) > , assim . Analogamente,

m(D B) = e assim . Logo, e, portanto,

, como queríamos demonstrar. Para o caso ii) temos SVA e SVB . Como e são perpendiculares temos que

.Logo,

,como queríamos. Para o caso iii), como VA e é a seção normal e mede menos que ,

temos que e da

mesma forma . Assim,=,

ou seja,

C DV

B A

r

CB

r

DV

A

< 90o

272


=.Logo, , como queríamos demonstrar.

Demonstração: (do Teorema 13.14): Segue imediatamente da definição de triedros polares e do Lema anterior, bastando observar que o diedro oposto no triedro polar corresponde as semi-retas SVA e SVB consideradas no Lema 13.14.

Corolário 13.14: a) Se dois triedros são congruentes entre si então seus polares também são congruentes entre si.b) Em qualquer triedro a medida de um diedro aumentada de rd supera a soma dos outros dois.c) A soma das medidas dos diedros de um triedro está compreendida entre rd e 3 rd.Demonstração: a) Sejam V(A,B,C) e W(D,E,F) dois triedros congruen-tes, consideremos V(A’,B’,C’) e W(D’,E’,F’) seus respectivos polares. Pelo item a) da Definição 13.14, di(A) di(D) e, utilizando o Teorema13.14, temos

Pelo item b) da Definição 13.14, . Utilizando o Teorema 13.14, temos

.De modo análogo, se obtém as outras quatro congruências no triedro polar.b) Sejam dA, dB e dC as medidas dos diedros de um triedro V(A,B,C) e f1, f2 e f3 as medidas dos ângulos das respectivas faces no polar. Pelo Teorema 13.14 temos f1 < f2 + f3 e pelo Teorema 13.14 temos f1 = – dA, f2 = – dB e f3 = – dC. Logo,

273


.Analogamente, obtemos dA + dC <+dB e dA + dB <+dC.

c) Seja V(A, B, C) um triedro qualquer. Pela Definição13.14, a medida de um diedro está compreendida entre 0 e . Como um triedro determina três diedros, temos que: m(di(A)) + m(di(B)) + m(di(C)) é menor do que 3. Considerando os ângulos das faces no polar, temos pelo Teorema 13.14 que . Logo, pelo Teorema 13.14 temos que:

Assim, .

Apresentaremos agora condições mínimas para que dois triedros sejam congruentes.

Teorema 13.14: (1o caso - FDF) Se dois triedros têm duas faces cujos ângulos são ordenadamente congruentes, e também o diedro compreendido, então estes dois triedros são congruentes.Demonstração: Sejam V(A,B,C) e W(D,E,F) dois triedros tais que

(1)(2)

di(B) di(E). (3)Por (1) e (2) temos que e são seções igualmente inclinadas dos diedros congruentes (3). Logo, pelo Teorema 13.14, temos

(4)

274

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e TriedrosPor (1) e (4) temos que e são seções igualmente inclinadas e congruentes (2) dos diedros di(A) e di(D). Logo, pelo Teorema 13.14, temos

di(A) di(D). (5)Por (2) e (4) temos que e são seções igualmente inclinadas e congruentes (1) dos diedros di(A) e di(D). Logo, pelo Teorema 13.14, temos

di(C) di(F). (6)Portanto, por (1), (2), (3), (4), (5) e (6) temos o desejado.

Teorema 13.14: (2o caso - DFD) Se dois triedros, têm dois diedros e os ângulos das faces comuns são ordenadamente congruentes, então os dois triedros são congruentes.Demonstração: Sejam V(A,B,C) e W(D,E,F) triedros com dois diedros e as faces comuns ordenadamente congruentes. Então, pelo Teorema 13.14 seus polares V’(A’,B’,C’) e W’(D’,E’,F’) possuem dois ângulos de faces e o diedro compreendido ordenadamente congruentes. Logo, pelo Teorema 13.14 temos que V’(A’,B’,C’) e W’(D’,E’,F’) são congruentes e pelo Corolário 13.14, V(A,B,C) e W(D,E,F) são também congruentes.

Teorema 13.14: (3o caso - FFF) Se dois triedros têm, os três ângulos das faces ordenadamente congruentes, então os triedros são congruentes.Demonstração: Sejam V(A,B,C) e W(D,E,F) triedros tais que

(1)(2)

. (3)Por (1), (2) e (3) as seções dos diedros di(B) e di(B’) dadas por e , respectivamente, são igualmente

275

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoinclinadas e congruentes. Logo, pelo Teorema 13.14, temos di(B) di(F). Da mesma forma, demonstramos que di(A) di(D) e di(C) di(D). Portanto, por definição, V(A,B,C) é congruente a W(D,E,F).

Teorema 13.14: (4o caso - DDD) Se dois triedros possui, os três diedros ordenadamente congruentes, então os triedros são congruentes.Demonstração: Se V(A,B,C) e W(D,E,F) possuem os três diedros ordenadamente congruentes então os seus polares V’(A’,B’,C’) e W’(D’,E’,F’) possuem os ângulos das três faces ordenadamente congruentes. Logo, pelo Teorema 13.35, V’ e W’ são congruentes. Portanto, pelo Corolário 13.14, V(A,B,C) e W(D,E,F) são congruentes.

Observe que os três primeiros casos lembram os casos de congruência de triângulos LAL, ALA, LLL e note que no caso dos triângulos não temos AAA (que é um caso de semelhança), mas para triedros temos DDD que é o 4º

caso.

Exemplos

13.18. No cubo, os oito triedros são congruentes entre si, pelo caso FFF.

13.19. Na pirâmide, todos os triedros que contém a base são congruentes entre si.

13.6. Exercícios13.1. Num quadrilátero reverso de lados e diagonais congruentes entre si mostrar que os lados opostos são ortogonais, assim como as diagonais também o são.

276

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedros13.2. Se duas alturas de um tetraedro se encontram, então as outras duas também se encontram.

13.3. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando brevemente sua resposta :a) A projeção ortogonal de um ponto num plano é um

ponto.b) A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma

reta.c) A projeção ortogonal de uma reta perpendicular ao

plano de projeção é um ponto.d) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um

plano, sobre o plano, é menor que o segmento.e) Se dois planos são perpendiculares, as projeções

ortogonais dos pontos de um sobre o outro é o traço dos pontos.

f) Retas paralelas tem projeções ortogonais paralelas (ou pontuais).

g) Se um segmento tem projeção sobre um plano, congruente a ele, então ele é paralelo ou está no plano de projeção.

h) A distância entre duas retas é a distância entre um ponto qualquer de uma a outra.

i) A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um ao outro plano.

j) A distância entre duas retas reversas é a perpendicular comum a essas retas.

13.4. Mostre que: Se AB e CD são dois segmentos que estão em retas paralelas a razão entre suas medidas é igual a razão entre as medidas de suas projeções ortogonais A’B’ e C’D’ sobre um plano não perpendi-cular a eles.

13.5. Mostre que todo plano que passa pelo ponto médio de um segmento é eqüidistante dos extremos do segmento.

277

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco13.6. Dados dois pontos e uma reta, construir um plano eqüidistante dos dois pontos, tal que:a) Passe pela reta.b) Seja paralelo a reta.c) Seja perpendicular à reta.

13.7. Em um tetraedro regular ABCD, qual é o ângulo formado por uma aresta e uma face que não a contém? (Sugestão: Utilize no desenho ao lado o triângulo ABH).

A

. ....

B C

D

A’H

13.8. Qual é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois planos secantes dados?

13.9. Seja P’ a projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano e C uma circunferência em de centro P’. Mostre que todas as retas tangentes a esta circunferência em , estão a mesma distância de P.

13.10. Considere três retas mutuamente perpendiculares x, y e z, concorrentes em O. Uma reta r passa por O e forma ângulos iguais a , e com x, y e z, respectivamente.a) Mostre que cos2+cos2+cos2=1b) Calcule , se = = 60o º.

13.11. Sejam r e s duas retas reversas ortogonais e MN o segmento perpendicular comum, com e . Tomam-se um ponto A sobre r e um ponto B sobre s. Calcular o comprimento do segmento AB em função de

=a, =b, e =c.

13.12. Dois diedros são complementares (suplementares) se, e somente se, suas seções normais são complementares (suplementares). Dois diedros são adjacentes se, e somente se, as seções normais são

278

13. Projeções, Distâncias, Ângulos, Diedros e Triedrosângulos adjacentes. Um semiplano é bissetor de um diedro quando ele possui origem na aresta do diedro e o divide em dois diedros adjacentes e congruentes. Mostre que se dois semiplanos são bissetores de dois diedros adjacentes e suplementares, então eles formam um diedro reto.13.13. Construir um semi-plano bissetor de um diedro dado.

13.14. Dois diedros são opostos pela aresta se, e somente se, as seções normais são ângulos opostos pelo vértice. Mostre que dois diedros opostos pela aresta são congruentes.

13.15. Verfique se existem triedros cujas medidas dos ângulos das faces são dados por:a) 45o, 55o, 90o

b) 90o, 90o, 90o

c) 210o, 90o, 80o

d) 1o, 2o, 3o

13.16. Se um triedro tem as medidas dos ângulos de suas faces iguais, entre que valores poderá estar compreendida as medidas dos ângulos de cada uma de suas faces.

13.17. Três retas r, s e t, não coplanares, se interceptam num ponto V. Quantos triedros determinam?

13.18. Determine o intervalo que deve variar x, para que x, x+10 e x+50 sejam medidas em graus dos ângulos das faces de um triedro.

13.19. Considere um triedro e três planos construídos da seguinte forma: cada um contém uma aresta do triedro e é perpendicular a sua face oposta. Mostre que estes três planos têm uma reta em comum.

13.20. Sejam ABCD um quadrado de lado 1 e um segmento AP também de tamanho 1 e tal que AP é

279

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoperpendicular ao plano do quadrado. Calcule a medida do diedro di(PC,B,D).

280

Capítulo 14: Poliedros

A noção de poliedro depende da seguinte noção primitiva.Noção Primitiva 8: Sólido Geométrico50.

Noção Primitiva 9: Interior de sólido geométrico.

Noção Primitiva 10: Fronteira de sólido geométrico.

Neste capítulo classificaremos alguns sólidos geométricos. Na geometria plana conseguimos dentro do nosso contexto, encontrar os polígonos e a circunferência como as principais figuras geométricas. É claro que existem outras figuras planas tão importantes quanto estas, mas para conceituá-las há a necessidade de se avançar na teoria. No caso da geometria espacial ocorre a mesma coisa, ou seja, apresentare-mos as principais figuras geométricas espaciais que são possíveis de se definir dentro de um contexto geométrico básico. No espaço encontra-mos os poliedros como os objetos espaciais correspondentes aos polígonos do plano. Podemos dizer equivalentemente que a circunfe-rência do plano corresponde no espaço ao cilindro, ao cone e a esfera.

14.1. Figuras PoliédricasQualquer figura geométrica, ou seja, qualquer

subconjunto do espaço é denominado figura geométrica espacial. Como exemplos de figuras geométricas

50 A idéia de colocar sólido geométrico como noção primitiva é estabelecer um objeto matemático que determina volume.

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoespaciais temos os sólidos geométricos, alguns já vistos em capítulos anteriores.

Na realidade, o que faremos nesta seção é identificar alguns tipos de figuras geométricas espaciais.

Definição 14.15: Uma figura poliédrica é a reunião de um número finito de polígonos planos tais que: a) A interseção de dois polígonos quaisquer ou é vazia, ou

é um vértice ou é um dos lados dos polígonos;b) Dois polígonos contendo um lado em comum não são

coplanares;

Os lados dos polígonos são denominados arestas. Os vértices dos polígonos são denominados vértices.

Exemplos

14.1. Os seguintes desenhos representam figuras poliédricas.

(a)

(d)

(b)

(c)

(e)

(f)(g)

(h) (i)

282

14. Poliedros

(j)

(n)

(l)

(m)

(p)

(r)

(o)

(q)

(s)

14.2. Os seguintes desenhos não representam figuras poliédricas. O desenho (a) não satisfaz os item (b) da Definição 14.15, o desenho (b) e (c) não são uma reunião finita de polígonos planos. O desenho (d) não satisfaz o item (a).

(a)

(b)

(c)

(d)

14.3. Nos capítulos anteriores vimos o octaedro, as figuras prismáticas e as figuras piramidais que são figuras poliédricas. Por outro lado o cilindro e o cone não são figuras poliédricas.

14.2. Superfícies Poliédricas

283

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoDefinição 14.15: Uma superfície poliédrica é uma figura poliédrica reunida com as regiões poligonais (não necessariamente todas) determinadas pelos polígonos, denominadas faces da superfície poliédrica, com as seguintes condições adicionais: c) Cada aresta pertence a no máximo duas faces.d) Existindo arestas que pertençam a uma só face elas devem formar uma única poligonal fechada denominada contorno.Quando a superfície não tiver contorno é dita fechada, caso contrário ela será dita aberta.

Exemplos

14.4. Uma caixa de sapatos sem a tampa é uma superfície poliédrica aberta, com a tampa será fechada e se não tiver nem tampa nem fundo não será uma superfície poliédrica, pois neste caso não satisfaz o item d) da Definição 14.15.

14.5. No Exemplo 14.1, com exceção do item (q) todos os outros desenhos (incluindo as suas faces) representam superfícies poliédricas. O item (q) não satisfaz o item (c) da Definição 14.15. Os itens (m) e (p) representam superfícies poliédricas abertas, todos os itens restantes representam superfícies poliédricas fechadas.

14.6. As superfícies prismáticas, piramidais e o octaedro são superfícies poliédricas, mas as superfícies cônicas e cilíndricas não o são.

284

14. PoliedrosDefinição 14.15: Uma superfície poliédrica é convexa quando satisfizer a seguinte condição adicional:e) O plano de cada polígono deixa todos os outros polígonos num mesmo semi-espaço.

É importante notar que uma figura poliédrica determina polígonos enquanto que uma superfície poliédrica determina regiões poligonais.

14.3. PoliedrosDefinição 14.15: Chama-se poliedro o sólido geométrico determinado por uma superfície poliédrica fechada juntamente com o seu interior. Se a superfície for convexa, diremos que o poliedro é convexo. Os pontos interiores à superfície poliédrica são chamados interior do poliedro. A fronteira do poliedro é exatamente a superfície poliédrica que o determina.

Dada uma superfície poliédrica S, podemos considerá-la como a reunião de um número finito de superfícies poliédricas convexas. Sendo assim, o poliedro determinado por S é a união de todas as interseções dos semi-espaços determinados pelas faces em cada parte convexa de S.

Quando tivermos dois poliedros com faces e ângulos ordenada-mente congruentes através de uma correspondência biunívoca diremos que os poliedros são congruentes.

Como poliedro antes de mais nada é determinado por uma figura poliédrica, ele é uma reunião finita de polígonos, além disso é uma superfície poliédrica fechada, assim, temos que o número de arestas de cada vértice de um poliedro é no mínimo 3.

Exemplos

14.7. Já conhecemos os seguintes poliedros: os prismas, as pirâmides e o octraedro.

285


14.8. No Exemplo 14.1, vamos considerar também faces. Os desenhos (m), (p) e (q) não representam poliedros. Os desenhos (h), (n), (r) e (s) representam poliedros não convexos. Os restantes representam poliedros convexos.

No diagrama abaixo apresentamos uma nova divisão dos sólidos vistos até o momento.

Prismas retos pirâmides

tetraedros

Sólidos quenão rolam

Sólidos que rolam

Cones circulares

Tronco de Cones circularesCilindros

Octraedros


Prismas oblíquos

Prismaregular

cubosromboedros

Poliedros

14.4. Fórmula de EulerNeste parágrafo trabalharemos apenas com

poliedros convexos. O seguinte resultado se refere a eles:

Teorema 14.15 (de Euler): Para toda superfície poliédrica convexa fechada, vale a relação:

V – A + F = 2,onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.Demonstração: Consideremos um poliedro convexo P e seja r uma reta que não seja paralela a nenhuma das faces do poliedro P (ela sempre

286

14. Poliedrossempre existe, pois existe um número finito de faces). Tomemos também um plano , que não intercepta P e é perpendicular a r. O plano será chamado plano horizontal e as retas paralelas a r (logo perpendiculares a ) serão chamadas retas verticais. O plano divide o espaço em dois semi-espaços, um dos quais contém o poliedro P, chamare-

r

P

remos este de semi-espaço superior e diremos que seus pontos estão acima de . A cada ponto x do semi-espaço superior, corresponde um ponto x’ do plano , que chamaremos sombra de x, obtido através da interseção do plano com a reta vertical que passa por x. A sombra de qualquer conjunto X, contido no semi-espaço superior é, por definição o conjunto X’, contido em , formado pelas sombras dos pontos de X. A interseção de uma reta vertical com o conjunto convexo limitado pelo poliedro P é um subconjunto de P, que pode ser um segmento de reta cujos extremos pertencem a P, ou um único ponto de P. Segue-se que uma reta vertical arbitrária só pode ter 0, 1 ou 2 pontos em comum com a superfície poliédrica determinada por P. A observação anterior pode ser reformulada do seguinte modo: cada ponto da sombra P’ do poliedro P é sombra de um ou de dois pontos de . Ora, a sombra P’ dopoliedro P é um polígono convexo do plano horizontal, cujo contorno ’ é a sombra de uma poligonal fechada , formada por arestas de P. Cada ponto de ’ é sombra de um único ponto de P (pertencente a ). A poligonal é chamada contorno aparente do poliedro P. Cada ponto interior de P’ (isto é, não pertencente a ’) é sombra de dois pon-

P

P’

’

287

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francotos de . Dados dois pontos de P que têm a mesma sombra, ao mais alto (mais distante de ) chamaremos ponto iluminado; o mais baixo será chamado sombrio. Assim a superfície poliédrica se decompõe em três partes disjuntas, a saber, o conjunto dos pontos iluminados, o conjunto dos pontos sombrios e o contorno aparente . Seja P1 o conjunto dos pontos iluminados de P unido com o contorno aparente . Cada ponto de P’ é a sombra de um único ponto de P1. Em outras palavras, a regra que associa a cada ponto x de P1 sua sombra x’ é uma correspondência biunívoca entre P1 e P’. Usaremos a notação P1’ para representar o polígono P’ decomposto como reunião de polígonos justapostos, que são sombras das faces contidas em P1, isto é, das faces iluminadas. Evidentemente, poderíamos também considerar o conjunto P2, formado pelos pontos sombrios de P unido com o contorno aparente . A regra que associa a cada ponto y de P2 sua sombra y’ também é uma correspondência biunívoca entre P2 e P’. Escrevemos P2’ para indicar a sombra de P2 expressa como reunião das sombras das faces sombrias de P, isto é, contidas em P2. Note que se decompusermos cada face de P em triângulos, traçando diagonais em cada uma delas, alteraremos os números F, A e V individualmente, mas a expressão F – A + V permanecerá com o mesmo valor. De fato, cada vez que se traça uma diagonal numa face, os números F e A aumentam, cada um, de uma unidade e o número V não muda. Na expressão F–A+V, os acréscimos de F e A se cancelam. Portanto, não há perda de gene-ralidade em supor que todas as faces do poliedro P são triângulos. Esta hipótese será feita de agora em diante. Segue-se assim que 2A = 3F, já que toda face tem três arestas e cada aresta pertence a duas faces. Para concluir a demonstação calculamos de duas maneiras distintas a soma S dos ângulos internos dos triângulos que compõe o poliedro P. Em pri-meiro lugar, há F triângulos e a soma dos ângulos internos de cada um deles é igual a 2 ângulos retos, isto é, radianos. Portanto, S = F. Como

288

14. Poliedros2A = 3F = 2F + F, temos que F = 2A – 2F, assim, podemos escrever:

S = 2A – 2F (1)Por outro lado, temos S = S1 + S2, onde S1 é a soma dos ângulos internos dos triângulos iluminados e S2 é a soma dos ângulos internos dos triângulos sombrios. A fim de calcular S1, partimos da observação bastante evidente (porém crucial) de que a soma dos ângulos internos de um triângulo T é igual à soma dos ângulos internos de sua sombra T’. Daí resulta que S1 é igual à soma dos ângulos internos dos triângulos nos quais está decomposto o polígono convexo P1’, sombra de P1. Para calcular esta última soma, somemos os ângulos vértice a vértice, em vez de somá-los triângulo por triângulo, como acima. Sejam V1 o número de vértices iluminados, V2 o número de vértices sombrios e V0 o número de vértices do contorno aparente . Então,

V = V0 + V1 + V2. (2)

Observemos ainda que V0 é também o número de vértices (e de lados) da poligonal ’, contorno do polígono convexo P’. Em P1’ temos V1 vértices interiores (sombras dos vértices iluminados) mais V0 vértices no contorno ’. A soma dos ângulos que têm como vértice um dado vértice interior é igual a 2 radianos (4 ângulos retos). A soma de todos os ângulos que tem vértice sobre o contorno ’ é igual a (V0 – 2), de acordo com a expressão já vista da soma dos ângulos internos de um polígono convexo com V0 lados. Segue-se que:

S1 = 2V1 + (V0 – 2) (3)

Analogamente, obtemos que: S2 = 2V2 + (V0 – 2) (4)

Somando (3) e (4), e substituindo (2) obtemos que:

289


S = 2V – 4. (5)Comparando as igualdades (1) e (5), obtemos o desejado.

Esta demonstração foi obtida de um artigo de Zoroastro Azambuja Filho na Revista do Professor de Matemática [1]. Gosta-ríamos de observar que, evidentemente, existem outras demonstrações para o Teorema de Euler. Uma bastante interessante pode ser encontrada também nesta revista num artigo de Elon Lages Lima [4], cuja demonstração foi feita pelo matemático francês Adrien Marie Legendre e que utiliza Geometria de Legendre.

Exemplos

14.9. Nas superfícies poliédricas que não são convexas a relação dada no Teorema de Euler pode não ser verdadeira. De fato, nos desenhos abaixo representamos duas figuras não convexas. No desenho (a) não vale a relação de Euler, pois temos V = 16, A = 32 e F = 16. No desenho (b) a relação de Euler é verdadeira, pois temos V = 14, A = 21 e F = 9.

(a) (b)

14.10. O teorema de Euler está ligado a um conceito que engloba o de poliedro convexo, razão pela qual vale para estes. Assim não é necessá-rio que o poliedro seja convexo (apesar de ser suficiente) para valer a relação de Euler (veja o item b) do exemplo anterior). A propriedade está relacionada com o número de “buracos” que o

290

14. Poliedrospoliedro apresenta. De uma maneira geral, se um poliedro não possuir buraco então temos V – A + F = 2. Veja que se o poliedro é convexo então o poliedro não possui nenhum buraco. O mais interessante é que o número de buracos do poliedro determina o valor de V – A + F e quanto mais buracos, menor será este valor. Por exemplo, se o poliedro possuir um buraco o valor será zero. Este problema é fundamentado numa área da matemáti-ca chamada Topologia Algébrica.

14.11. Para todos os poliedros já definidos vale a relação de Euler pois são todos convexos.

Definição 14.15: Os poliedros para os quais é válida a relação de Euler são chamados poliedros Eulerianos.

Pelo Teorema 14.15 e pelo Exemplo 14.9 todo poliedro convexo é Euleriano mas nem todo poliedro Euleriano é convexo.

Corolário 14.15: A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é igual a

(V – 2). 2 rd.Demonstração: Sejam F o número de faces, V o número de vértices e A o número de arestas. sejam n1, n2, ..., nF o número de lados de cada uma das faces 1, 2,, ..., F, respectivamente. Para cada face temos que a soma das medidas de seus ângulos vale: (n – 2). rd. Para as F faces teremos:

S = (n1 – 2). + (n2 – 2). +...+ (nF – 2). rd = = (n1 + n2 +...+ nF). – F.2.

Sendo n1+n2+...+nF = 2A, temos S = 2A. –F.2 ou S = (A – F).2. Como vale a relação de Euler V – 2 = A – F, substituindo, teremos o resultado desejado.

291


Prismas retospirâmides

tetraedros


Sólidos que rolam

Conescirculares


Octraedros


Prismas oblíquos

Prisma regular

cubos

romboedros

PoliedrosEulerianos

Poliedrosnão eulerianos

14.5. Poliedros de PlatãoEntre os poliedros eulerianos estão uma classe

importante de poliedros:

Definição 14.15: Chama-se poliedro de Platão ao poliedro que satisfaz as três seguintes condições:a) Todas as suas faces possuem o mesmo número n de

arestas;b) Todos os seus vértices possuem o mesmo número m

de arestas;c) Satisfaz à relação de Euler (é euleriano).

Exemplos

14.12. Os poliedros abaixos não são Platão pois não satisfazem alguns dos itens da definição.

292

14. Poliedros

Não satisfaz o item a) e b) Não satisfaz o item a)

Não satisfaz o item b) Não satisfaz o item c)O mais interessante dos poliedros de Platão é poder

classificá-los de uma forma simples:

Teorema 14.15: Existem somente cinco tipos de poliedros de Platão.Demonstração: Cada uma das F faces tem n arestas, e como cada aresta está em duas faces, assim:

2.A = n.F. (14.1)

Cada um dos seus V vértices tem m arestas, e como cada aresta contém dois vértices, logo:

2.A = m.V. (14.2)

Como o poliedro é Euleriano, substituindo ((14.1) e ((14.2) na relação de Euler, em função de A, teremos:

293


(14.3)

Como vimos após a definição de poliedro, e da definição de polígono, . Por outro lado m > 3 e n > 3, simultaneamente, sendo m e n inteiros não satisfazem a equação ((14.3), visto que o primeiro membro seria menor ou igual a e o segundo é maior que ( é positivo). Concluímos então que nos poliedros de Platão um dos números m ou n deve ser 3. Para m = 3, teremos triedros. Em ((14.3), vem:

(14.4)

Sendo e inteiro, concluímos que n pode assumir os valores 3, 4 e 5. Resumindo temos:

m n3 3 (14.

5)3 43 5

Para n = 3, as faces são triangulares. Em ((14.3) vem , donde por analogia, obtemos:

m n3 3 (14.6

)4 35 3

Examinando (14.5) e (14.6) concluímos que os poliedros de Platão são os que tem os pares m e n abaixo

m n3 33 4 (14.7

294

14. Poliedros

)3 54 35 3

e são, portanto, somente cinco tipos.

Como conseqüência do Teorema 14.15, para encontrar A, F e V de cada poliedro de Platão, basta substituir os pares m e n de ((14.7) em ((14.3) e em seguida em ((14.1) e ((14.2). Em resumo, tem-se:

M n A F V NOME3 3 6 4 4 Tetraedro3 4 12 6 8 Hexaedro3 5 30 12 20 Dodecaed

ro4 3 12 8 6 Octaedro5 3 30 20 12 Icosaedro

Tetraedros

Hexaedros

295


Octaedros

Dodecaedros Icosaedros

Com isto temos o seguinte diagrama:

hexaedrospirâmides

tetraedros


Conescirculares


Octraedros Troncos de pirâmidesPrismas

regulares cubos

romboedros

PoliedrosEulerianos Poliedros

não eulerianos

Sólidos que rolam

Poliedrosde PlatãoIcosaedros

dodecaedros

296

14. Poliedros

14.6. Poliedros RegularesDefinição 14.15: Um poliedro convexo é chamado regular quando:a) Suas faces são polígonos regulares e congruentes

entre si;b) Todos os seus vértices possuem o mesmo número m

de arestas;

Da definição se conclui que todos os elementos de mesma natureza de um poliedro regular são congruentes entre si.

Exemplos

14.13. Os poliedros abaixos não são regulares pois não satisfazem alguns dos itens da definição.

Não satisfaz o item b) Não satisfaz o item a)

Não satisfaz o item a) e b) Não é convexo297


Teorema 14.15: Os poliedros regulares são somente cinco, a menos da medida das arestas.Demonstração: a) Faces regulares e congruentes entre si, logo cada uma tem o mesmo número n de arestas;b) os vértices tem o mesmo número m de arestas;c) Poliedro convexo é Euleriano.Pelas três conclusões anteriores temos que os poliedros regulares são poliedros de Platão e são somente cinco, ou seja:

Hexaedro OctaedroTetraedro

IcosaedroDodecaedro

Nem todos os poliedros de Platão são regulares pois nesses as arestas não precisam ser congruentes.

Finalizamos este capítulo adicionando os poliedros regulares ao diagrama dos sólidos geométricos, desenharemos apenas os poliedros regulares como

298

14. Poliedrossubconjuntos dos poliedros de Platão e os poliedros de Platão como subconjuntos dos poliedros Eulerianos.

hexaedros

tetraedros

Octraedros

cubos

Poliedros Eulerianos

Icosaedros

dodecaedros

Poliedrosde Platão

Poliedrosde Regulares

14.7. Exercícios14.1. Faça desenhos que satisfaça o item c) mas não satisfaz o item b) na Definição 14.15.

14.2. Qual é a soma das medidas dos ângulos das faces de um tetraedro?

14.3. Achar o número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares.

14.4. Determinar o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

299

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco14.5. O “cubo-octraedro” possui seis faces quadradas e oito triangulares. Determinar o número de faces, arestas e vértices desse sólido que é euleriano.

14.6. Idem para o “tetra-hexágono” (4 triângulos e 6 hexagonos)

14.7. Achar a natureza de uma pirâmide sabendo-se que a soma dos ângulos das faces é 56 retos.

14.8. Um poliedro convexo tem 15 arestas. A soma dos ângulos de face é 32 retos. Quantas faces tem de cada espécie sabendo-se que as faces são quadrangulares e pentagonais?

14.9. Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcular o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica limitada convexa aberta que resta.

14.10. Demonstre que as faces opostas de um octaedro regular são pa-ralelas.

14.11. Quantas diagonais possuem um prisma cuja base é um polígono convexo de n lados?

14.12. Calcule a soma dos ângulos diedros de um prisma reto que tem por base um polígono convexo de n lados.

14.13. Mostre que as faces laterais de prismas retos são retângulos.

14.14. Mostre que as diagonais de um paralelepípedo retângulo são congruentes e interceptam-se nos respectivos pontos médios.

14.15. Qual é a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo que tem 11 faces e 18 arestas.

300

14. Poliedros

14.16. Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

14.17. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando brevemente sua resposta:a) Há apenas cinco poliedros de Platão.b) Todo poliedro convexo é um poliedro de Platão.c) Todo poliedro de Platão é regular.d) O hexaedro tem faces hexagonais.

14.18. Calcule o número de faces de um poliedro convexo sabendo que a soma dos ângulos das faces é 720o e que este número é igual a 2/3 do número de arestas.

14.19. Mostre que não existe um poliedro convexo com número par de faces, tendo cada uma o mesmo número par de lados e com número ímpar de vértices.

14.20. O número de vértices de um poliedro convexo é igual ao número de faces. Expresse o número de faces (ou de vértices) em função do número de arestas. Conclua que o número de arestas não pode ser ímpar.

301

Capítulo 15: Superfície Esférica e Esfera

Existem certos objetos geométricos que não se enquadram na definição de poliedro, mas possuem um interesse especial pois são bastante importantes para caracterizações e úteis na vida humana. Estes objetos foram denominados corpos redondos e são caracteriza-dos por possuirem em sua construção a utilização da circunferência e do círculo. Até agora, os corpos redondos estudados foram: o cilindro e o cone51.

Neste capítulo, finalizaremos o estudo dos principais corpos redondos falando sobre esferas. Apresentaremos condições para deter-minação de uma esfera e posições relativas, além de alguns casos de inscrição e circunscrição.

15.1. Conceito e PropriedadesA esfera constitui mais uma classe de sólidos

geométricos asso-ciada aos corpos redondos.

Definição 15.16: Seja O um ponto no espaço e R um número real positivo. A superfície esférica de centro O e raio R é o lugar geométrico dos pontos X do espaço tais que o segmento XO possui medida igual a R e será denotada por S(O,R) ou, simplesmente, S. A esfera de centro O e raio R é o lugar geométrico dos pontos X do espaço, tais que o segmento XO possui medida menor ou igual a R e será denotada por S[O,R] ou, simplesmente, . Duas superfícies esféricas S(O,R) e S’(O’,R’) (ou esferas) são congruentes quando R = R’.

51 Existem outros tipos que também podem ser considerados corpos redondos e não possuem circunferências e círculos em suas construções, mas estes fogem ao escopo deste livro.

15. Esfera

Dada uma superfície esférica S(O,R), seus principais elementos são:

Centro: é o ponto O. Raios: segmentos com um extremo em O e outro

em S. Pontos interiores: são os pontos X tais que

< R. Pontos exteriores: são os pontos X tais que

> R. Cordas: segmentos com extremos em S. Diâmetros: cordas que passam pelo centro O. Seções: qualquer interseção de um plano (que

possua ponto interior) com S. Eixo: é qualquer reta que contém o centro O. Pólos relativos a um eixo: são os pontos de

interseção do eixo com S. Equador relacionado a um eixo: é a seção

perpendicular ao eixo pelo centro da esfera. Paralelo relacionado a um eixo: é uma seção

perpendicular ao eixo. Meridiano: é uma seção cujo plano passa por um

eixo. Distância Polar: é a distância de um ponto

qualquer de um paralelo ao pólo.

Proposição 15.16: Numa superfície esférica S(O,R), toda corda AB que não é diâmetro tem medida menor que a do diâmetro.Demonstração: Consideremos o triângulo ABO, pois AB não é diâmetro. Temos pela desigualdade triangular que

. Con-sideremos o diâmetro AC. Então: .

303


15.2. Determinação de uma Superfície Esférica

Em geometria plana vimos que, para determinar uma circunfe-rência, três pontos eram suficientes. O próximo resultado nos dá condições suficientes para a obtenção de uma esfera:

Teorema 15.16: Dados quatro pontos A, B, C, D não coplanares, existe uma e somente uma esfera tal que sua superfície contenha A, B, C, D.Demonstração: (Existência) Sejam A, B, C, D quatro pontos não coplanares. O conjunto dos pontos eqüidistantes de A, B e C é uma reta r perpendicular ao plano ABC, passando pelo circuncentro do triângulo ABC. De fato, dado um ponto X r, seja M o circuncentro do triângulo ABC. Temos ,

A

B

C

D

r s

O

m(A X) = m(B X) = m(C X) = 90o e XM é comum aos triângulos AMX, BMX e CMX, assim estes triângulos são congruentes pelo caso LAL, logo XA XB XC. Analogamente, o conjunto dos pontos eqüidistantes de B, C e D é uma reta s perpendicular ao plano BCD passando pelo circuncentro do triângulo BCD. Assim temos r= {X | XAXBXC}, e s = {X | XBXCXD}. Logo r e s estão no plano mediador de BC. É claro que r s e assim podemos ter então r // s ou r s ={ O }. Se r // s então pl(ABC) // pl(BCD), o que implica pl(ABC) = pl(BCD), contradizendo a hipótese. Logo, r s = O e daí segue quer s = {X | XA XB XC} {X | XB XC XD} = {X | XA

XC XD}Assim, temos uma esfera S de centro O e raio que passa por A, B, C e D.

304

15. Esfera(Unicidade): Seja S’ uma outra esfera de centro O’ passando por A, B, C e D. Como O’A O’B O’C O’D, temos que O’ r e O’ s. Logo, O’=O. Como O’A é congruente AO, concluímos que S’= S.

Corolário 15.16: Existe uma única superfície esférica circunscrita num tetraedro.Demonstração: Como os vértices de um tetraedro são quatro pontos não coplanares, pelo Teorema 15.16, existe uma única superfície esférica que os contém.

15.3. Posições Relativas

Plano e Superfície Esférica

Vamos analisar agora as posições de um plano em relação a uma superfície esférica. Sejam S uma superfície esférica de centro O e raio R e um plano . Considere-mos a distância do ponto O ao plano , sendo O’ o traço da reta perpendicular que passa por O em . Temos três casos possíveis:Caso 1: > R

OR

Neste caso, qualquer que seja P , . Logo, P é ponto exterior e assim S = . Diremos, neste caso, que é exterior a S.

O’ P

OR

305

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoCaso 2: Se =R, então qualquer que seja P , P O’, . Logo, P é ponto exterior e S = {O}. Diremos, neste caso, que é tangente a S.

O’P

OR

Caso 3: Se <R então O’ é interior a S. Neste caso, diremos que é secante à S e S é determinado pelo seguinte resultado.

OO’

Teorema 15.16: Sejam S(O,R) uma superfície esférica e um plano secante a S, então S é uma circunferência.Demonstração: Seja O’ o traço de O em pela perpendicular e XS. Vamos mostrar que S é a circunferência C contida em de centro O’ e raio R’ =

. De fato, se Y S então = R e Y . Logo, o triângulo YO’O é um triângulo retângulo e

=R’, como queríamos. Reciprocamen-te, se Y pertence a C então Y e OO’ é perpendicular a YO’. Logo,

. Logo, Y S.

Definição 15.16: Quando um plano passa pelo centro de uma superfície esférica S ele é denominado plano diametral e a circunferência C = S é denominada circunferência máxima.

Corolário 15.16: Toda circunferência máxima possui raio igual ao da superfície esférica que a contém.

O próximo resultado caracteriza os planos tangentes à uma superfície esférica.

306

15. EsferaTeorema 15.16: Se A é um ponto de uma superfície esférica S então existe um e somente um plano tangente a S tal que A .Demonstração: (Existência) Se O é o centro de S, consideremos a reta passando por O e A, e o plano perpendicular a AO por A. Temos que A S, além disso, se B , . Portanto, é tangente à S.(Unicidade) Seja um outro plano tangente à S, tal que A . Então sendo B o pé da perpendicular de O em , temos que tem medida menor ou igual a . Se < , B é interior a S e, portanto é

O

AB

secante a S, o que contraria a hipótese. Logo = e A=B. Portanto, pelo Teorema 12.13, = .

Reta e Superfície Esférica

Seja S uma superfície esférica de centro O e raio R e r uma reta qualquer. Se O r, tomemos um plano qualquer que passa por r, e se O r tomemos o plano = pl(r,O).

Em qualquer situação é um plano diametral e S é uma circunferência máxima. Logo, a análise da interseção entre reta e esfera se reduz a análise da interseção entre reta e circunferência obtida no Capítulo 8 por meio da Proposição 8.9. Temos assim três casos possíveis:

1. A distância de r a O é maior que R: Neste caso, diremos que r é exterior a S. 2. A distância de r a O é igual a R: Neste caso, diremos que r é tangente a S e o ponto de tangência é o ponto de interseção da reta com C = S.

307

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco3. A distância de r a O é menor que R: Neste caso, diremos que a reta r é secante a S, S r são os pontos de interseção entre r e C = S.

Superfície Esférica e Superfície Esférica

Vamos determinar agora as posições relativas entre duas superfícies esféricas. Sejam S e S’ duas superfícies esféricas de centros O e O’ e raios R e R’. Consideremos dois casos:

1. Os centros O e O’ coincidem: Consideremos um plano passando pelo centro O = O’. Temos, pelo Teorema 15.16, que intercepta S e S’ em circunferências concêntricas C e C’. Se os raios R e R’ são tais que R < R’ então S é interna à S’. Se R = R’ então S = S’.

O=O’

r<r’

CC’ O=O’

r=r’

C=C’

2. Os centros O e O’ são distintos: Consideremos um plano tal que O, O’ . Teremos, novamente pelo Teorema15.16, S = C e S’ = C’ e, assim, as circunferências podem ter as seguintes posições relativas:

a) C é exterior a C’ e, portanto, S é exterior a S’. Neste caso, a interseção de S e S’ é vazia.b) C é tangente exteriormente à C’ e, portanto, S é tangente exteriormente a S’. Neste caso, a intersecção de S e S’ é o ponto de interseção de C e C’.

308

15. Esfera

O O’

C

S S’

C’

Caso a)

C C’O O’C C’Caso b)

c) C é tangente interiormente à C’ e, portanto, S é tangente interiormente a S’. Neste caso a intersecção de S e S’ é um ponto que é o ponto de intersecção de C e C’.d) C é interior à C’ e, portanto, S é interior a S’. Neste caso, a intersecção de S e S’ é vazia.

OCC’O’C’O

Caso c)

OCC’O’C’O

Caso d)

e) C e C’ são secantes e, portanto, S e S’ são secantes. Neste caso, a intersecção de S e S’ é dada pelo seguinte resultado:

Teorema 15.16: Sejam S e S’ superfícies esfé-

C C’O O’C C’Caso e)

ricas de centros O e O’ e raios R e R’. Se S e S’ são secantes então a interseção é uma circunferência.Demonstração: Seja um plano passando por O e O’, C = S, C’ = S’, A e B os pontos de interseção de C e C’. Temos que O e O’ são os centros de C e C’, respectivamente. Assim, a reta OO’ é a mediatriz de AB (passando pelo ponto médio M). Seja ’ o plano perpendicular a OO’ por M. Temos que < R e < R’, pois C e C’ são secantes. Logo, pelo Teorema15.16.b, ’ S é uma circunferência C1 e ’ S’ é uma

309

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francocircunferência C1’, ambas com centro M. Temos que A, B S S’, pois A, B C C’, com C S e C’ S’. Além disso, como AB é perpendicular a OO’ por M, temos que A, B ’, pois o plano ’ é o lugar geométrico das retas perpendiculares a OO’ por M. Logo, A, B S ’ = C1 e A, B S’ ’ = C1’ e, portanto, A, B C1 C1’. Como

= R1, concluímos que o raio de C1 e de C1’ é R1. Assim, C1 = C1’ = S S’.

15.4. Superfície Esférica e suas PartesVamos estudar algumas partes importantes da

superfície esféri-ca e também da esfera.

Definição 15.16: Seja S uma superfície esférica de centro O. Um fuso esférico de S é a interseção de S com um diedro (incluindo o interior) cuja aresta contém o ponto O. Os pontos de interseção da aresta com S são denominados vértices do fuso.

Oα

Um fuso esférico fica caracterizado pelo ângulo diedro e pelo raio da superfície esférica.

Definição 15.16: Seja S uma superfície esférica de centro O e a esfera determinada por S. Uma cunha esférica de é a interseção de com um diedro (incluindo o interior) cuja aresta contém o ponto O.

O

A cunha esférica fica caracterizada pelo raio da superfície esférica e pelo ângulo diedro.

310

15. EsferaDefinição 15.16: Sejam S uma superfície es-férica e um plano secante a S. Seja A , a calota esférica é a interseção do semi-espaço determinado por A com S. O setor (ou segmento) esférico de uma base determinado por A é a interseção do semi-

A

espaço determinado por A com a esfera .

Definição 15.16: Sejam S uma superfície esférica de centro O, e e planos secantes a S e paralelos. Seja r uma reta passando por O e perpendicular a e , com traços A e B respectivamente. Se C está entre A e B, a zona esférica é a interseção de S com a interseção dos semi-espaços E,C e E,C. O setor (ou segmento) esférico de duas bases é a interseção de com a interseção dos semi-espaços E,C e E,C.

BOCA

Finalizamos este capítulo com o diagrama dos sólidos geométricos:

311


hexaedrospirâmides

tetraedros

Sólidos quenão rolamCones circulares

Tronco de Cones circulares

Cilindros

Octraedros Troncos depirâmidesPrismas

regulares cubos

romboedros

PoliedrosEulerianos Poliedros

não Eulerianos

Sólidos que rolam

Icosaedros

dodecaedros

Esferas

Poliedrosde Platão

Cunha Esférica

Setor Esférico de duas bases

Setor Esférico

Existem outros sólidos geométricos que não se enquadram nos que foram apresentados. Podemos citar alguns corpos redondos importantes, tais como o toro, o elipsóide, o parabolóide, o hiperbolóide, porém estes não serão apresentados de uma maneira formal, pois para isto precisamos de ferramentas que não dispomos neste texto, a saber: geometria analítica e álgebra linear. O cálculo diferencial e a geometria diferencial nos permite apresentar estes sólidos através de equações algébricas. A seguir ilustramos alguns deles.

Toro Elipsóide

312

15. Esfera

Parabolóide Hiperbólico Parabolóide Elíptico

Hiperbolóide de uma folha Hiperbolóide de duas folhas

15.5. Exercícios15.1. Mostre que a seção de uma esfera é um círculo.

15.2. Dizemos que dois círculos máximos são perpendiculares se estiverem em planos perpendiculares. Mostre que para cada par de círculos máximos existe um círculo máximo perpendicular a ambos.

15.3. Mostre que se um plano é tangente a uma superfície esférica S num ponto A, então qualquer reta r contida em e contendo o ponto A é tangente à S.

15.4. Mostre que se um plano é tangente a uma esfera S de centro O num ponto A, então o raio AO é perpendicular ao plano .

313

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Franco15.5. Mostre que por um ponto A numa superfície esférica S passam infinitas retas tangentes.

15.6. Seja P um poliedro e S uma superfície esférica. Dizemos que P está inscrito em S se todos os seus vértices pertencem a ela. Dizemos que P está circunscrito em S se S tangencia P em todas as suas faces. a) Mostre que num tetraedro regular inscrito, o raio da superfície esférica mede a, onde a é a medida da aresta do tetraedro.b) Mostre que num tetraedro regular circunscrito o raio da superfície esférica mede a, onde a é a medida da aresta do tetraedro.

15.7. a) Mostre que se um cubo está inscrito numa superfície esférica de centro O e raio r, então O é a interseção da diagonais do cubo. Conclua que se a é a medida da aresta do cubo, temos que o raio mede .b) Mostre que se um cubo está circunscrito numa superfície esférica de centro O e raio R então a superfície esférica tem como medida do raio , onde a é a medida da aresta do cubo.

15.8. Se um octaedro está inscrito numa superfície esférica S e circunscrito numa superfície esférica S’, mostre que S e S’ possuem o centro na interseção das diagonais do octaedro. Conclua que o raio de S’ mede

e o raio de S mede onde a é a medida da aresta do octaedro.

15.9. Dizemos que um cilindro C está inscrito numa superfície esférica S se as bases de C estão contidas em S. Dizemos que C está circunscrito a S se os planos da

314

15. Esferabase e as retas geratrizes de C são tangentes a S e se C contém um círculo máximo de S. a) Mostre que todo cilindro reto está inscrito numa superfície esférica.b) Mostre que todo cilindro reto está circunscrito numa superfície esférica se, e somente se, sua altura for o dobro do raio da base.

15.10. Dizemos que um cone está inscrito numa superfície esférica S se a circunferência de sua base e seu vértice estiverem contidos em S. Dizemos que um cone está circunscrito a S se sua base e suas retas geratrizes são tangentes a S.a) Em que condições temos um cone reto inscrito?b) Em que condições temos um cone reto circunscrito?

15.11. Mostre que a reta perpendicular a uma corda na superfície esférica passando pelo centro divide a corda ao meio. Vale a recíproca?

15.12. Mostre que uma esfera S é um conjunto convexo.

15.13. Sejam AB e CD diâmetros de uma superfície esférica. Mostre que ABCD é um retângulo.

15.14. Demonstrar que duas circunferências máximas sempre se interceptam em dois pontos.15.15. Seja C uma circunferência e P um ponto exterior ao plano que contém C. Mostre que existe uma única superfície esférica que contém C e P.

15.16. Determinar uma superfície esférica S conhecendo uma circunferência C contida em S e um plano tangente à S num ponto dado de C.

15.17. Se A, B e D pertencem a uma superfície esférica S e C é a circunferência determinada por A, B e D então C está contida em S.

315


15.18. Construir por um ponto P dado um plano que intercepte uma superfície esférica de centro O e raio R dada em uma circunferência de raio r dado.

15.19. Determinar o lugar geométrico dos pontos de tangência com uma superfíce esférica das retas traçadas por um ponto exterior a ela.

15.20. Encontrar uma esfera que tem o centro numa reta r dada, é tangente a uma reta s dada em um ponto P dado.

316

Capítulo 16: Áreas e Volumes

Neste capítulo, acrescentaremos ao terceiro grupo de axiomas aqueles relacionado a medida de volumes.

16.1. Axiomas Os próximos axiomas tratam especificamente de

medidas de volumes.

Axioma III.9: A todo sólido geométrico S corresponde um único número real positivo que denominaremos volume e denotaremos por V(S) (lê-se volume do sólido).

Este axioma está garantindo a existência do volume a partir da existência de um sólido.

Axioma III.10: Se um sólido geométrico é a união de dois ou mais sólidos geométricos tais que dois a dois não tenham pontos interiores em comum, então seu volume é a soma dos volumes daqueles.

Este axioma permite obter volumes de sólidos a partir de outros sólidos com volume conhecido.

Axioma III.11: O volume de um poliedro determinado por um paralele-pípedo retângulo é o produto da área da base pela altura.

Neste axioma estamos definindo uma unidade de volume na qual todos os outros se basearão.

É claro que qualquer face de um paralelepípedo pode ser considerada como base. Em qualquer caso, obtemos a mesma resposta, pois a área da base vezes a

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoaltura é o produto das medidas de três arestas com um vértice em comum.

Em particular, o volume de um cubo de aresta medindo a é o cubo da medida da aresta.

Para o cálculo do volume de sólidos geométricos precisaremos utilizar mais um axioma.Axioma III.12 (Princípio de Cavalieri52): Dados dois sólidos S1 e S2, se existe um plano tal que todo plano paralelo a que intercepta S1 e S2 determina em S1 e S2 interseções de áreas iguais, então o volume de S1 é igual ao volume de S2.

A1

A2

A3

A4

A5

B1

B2

B3

B4

B5

A1 = B1, A2 = B2, A3 = B3 , A4 = B4 e A5 = B5 ,Na realidade, o Princípio de Cavalieri não é um

axioma, pois pode ser demonstrado. Como não faremos sua demonstração, por fugir ao escopo do livro, o colocamos como axioma.

Para se convencer deste princípio, tome o seguinte exemplo: Considere uma pilha de cartões de papel. Não importa de que maneira nós os empilhamos, o volume do sólido obtido será o mesmo.

52 Bonaventura Cavalieri nasceu em 1598 em Milão, Itália e morreu em 30/11/1647 em Bolonha, Itália. Escreveu sobre muitos aspectos da matemática pura e aplicada sendo autor do livro Geometria indivisibilis continuorum, publicada em 1635.

318

16. Áreas e Volumes

16.2. PrismaO prisma é o primeiro poliedro que se consegue

obter facilmen-te o seu volume utilizando o Princípio de Cavalieri. Antes vamos calcular a área de uma superfície prismática.

Área Total

Vamos calcular a área total da superfície de um prisma e, para isto, precisamos da seguinte definição:

Definição 16.17: A área lateral de um prisma é a área da superfície lateral que é a soma das áreas dos paralelogramos. A área total de um prisma é a soma da área lateral com as áreas das bases.

Assim, para o cálculo da área total de um prisma de base B com n lados, basta obter a área da base AB que é a área de um polígono e as áreas das faces laterais A i, i = 1, 2,,n, que são paralelogramos. Logo, teremos:

AT = 2.AB + .

Exemplos

16.1. Considere um paralelepípedo retângulo ABCDA’B’C’D’. Observe-mos que ele possui seis faces duas a duas congruentes:

ABB’A’ e DCC’D’, A’B’C’D’ e ABCD , ADD’A’ e BCC’B’.

319

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoA área de ABB’A’ é

e a área de ABCD é . A área de ADD’A’ é

. Logo,Ap=2. +2. +2.== 2.( + + )Em particular, no cubo temos Ac=

.

C’

A

C

A’

B

D

B’

D’

16.2. Num prisma regular, é mais simples o cálculo das áreas laterais e total. Considere um prisma regular com perímetro da base igual a 2p, onde p é um número positivo, e altura igual a h. Então, temos Al = n.A, onde A é a área de uma das faces laterais. Logo,

Al = = 2ph.Portanto, At = Al + 2AB = 2ph + 2pm = 2p.(h + m).

Volume

O volume de um prisma é dado pelo seguinte resultado:

Teorema 16.17: O volume de um prisma é o produto da área da base pela medida da altura.Demonstração: Sejam A e h a área da base B e a altura de um prisma dado. Consideremos um paralelepípedo retângulo, cuja base B’ tem área A e altura h e que B’ está no mesmo plano de B. Pelo Exercício 11.11, todas as seções dos dois prismas terão a mesma área A. Pelo Axioma III.12, os dois prismas possuirão o mesmo volume. Pelo Axioma III.11, o volume do paralelepípedo retângulo é A.h, assim o teorema fica demonstrado.

320

16. Áreas e VolumesExemplos

16.3. Volume de um prisma triangular

ah

H

Área do triângulo da base:AT =

Volume do Prisma triangular:

VP = H. AT =

16.3. PirâmideUtilizando o volume do prisma calcularemos o

volume da pirâmide.

Área Lateral e Total

Da mesma maneira que fizemos para o prisma, para obtenção da área da pirâmide utilizamos todas as faces da mesma.

Definição 16.17: A área lateral de uma pirâmide é a área da superfície lateral. A área total de uma pirâmide é a soma da área lateral com a área do polígono da base.

Assim, para o cálculo da área total de uma pirâmide cuja base B possui n lados, basta calcular a área da base AB que é a área de um polígono e somar com as áreas das faces laterais Ai, i = 1, 2,,n, que são triângulos. Logo, teremos:

AT = AB + .

321


16.4. Numa pirâmide regular, é mais simples o cálculo das áreas lateral e total. Considere uma pirâmide regular com perímetro da base igual a 2p, onde p é um número positivo, altura da base igual a m e apótema das faces laterais da pirâmide igual a m’. Então, temos A l = n.A, onde A é a área de uma das faces laterais. Logo,

Al =Portanto, At = Al + AB = pm’ + pm = p.(m + m’).

Volume

Vamos agora calcular o volume de uma pirâmide. Para isto, necessitaremos de três lemas.

Lema 16.17: Numa pirâmide triangular (ou tetraedro) temos:a) As arestas laterais e a altura ficam divididas numa

mesma razão k, por um plano paralelo a base.b) A seção paralela à base e a base são triângulos

semelhantes.c) A razão entre as áreas da seção paralela à base e a

base é igual ao quadrado da razão k (dada pelo item a)).

Demonstração: Considere uma pirâmide V(A,B,C) de altura medindo h e base com área b. Seja A’B’C’ uma seção paralela a base ABC de altura medindo h’ com área b’. (Veja desenho ao lado)a) Tomando-se um plano paralelo a base o resultado segue imediatamente do Teorema 11.12, ou seja, .

322

16. Áreas e Volumesb) Temos que os ângulos do triângulo base e os ângulos do triângulo seção são congruentes, pois estão em planos paralelos e lados respecti-vamente paralelos. Portanto a seção e a base são triângulos semelhan-tes.c) Primeiramente, observamos que VA’C’ e VAC são semelhantes. O mesmo ocorre com VA’B’ e VAB. Sejam BD e B’D’ alturas de ABC e A’B’C’ em relação as bases AC e A’C’, respectivamente. Então

.Logo,

.

Lema 16.17: Duas pirâmides triangulares de alturas congruentes e com áreas das bases iguais têm volumes iguais.Demonstração: Sejam P1(V1A1B1C1) e P2(V2A2B2C2) pirâmides de bases medindo b1 e b2 e alturas medindo h1 e h2, respectivamente. Suponha-mos, sem perda de generalidade que, pl(A1,B1,C1)=pl(A2,B2,C2)= e que V1 e V2 estão no mesmo semi-espaço determinado por pl(A1,B1,C1). Seja um plano paralelo a que intercepta as pirâmides, distando h dos vértices V1 e V2 e que determina seções S1 e S2 com áreas b’1 e b’2,

respectivamente. Temos e .

Como, por hipótese temos h1 = h2, . Mas, b1=b2,

assim, b’1 = b’2. Portanto, as seções S1 e S2 possuem a

323

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francomesma área. Pelo Princípio de Cavalieri, P1(V1A1B1C1) e P2(V2A2B2C2) possuem o mesmo volume.

Lema 16.17: O volume de uma pirâmide triangular é um terço do produto da área da base pela medida da altura.Demonstração: Consideremos uma pirâmi-de triangular P(VABC) conforme desenho ao lado. Construamos um prisma triangular com arestas DB e EC paralelas a VA, tais que VA = DB = EC. Logo, o plano pl(V,D,E) é paralelo ao plano pl(A,B,C). O plano pl(V,B,C) divide o prisma em duas pirâmides: P(VABC) e P(VBCDE) a primeira triangular e a segunda

V

AC B

E D

quadrangular (ver desenho ao lado). Na pirâmide quadrangular o plano pl(V,C,D) divide-a em duas pirâmides triangulares: P(VBCD) e P(VCDE). Como BCED é um paralelogramo, os triângulos BCD e CDE são congruentes. Logo, pelo Lema 16.17, as pirâmides P(VBCD) e P(VCDE) possuem o mesmo volume. Além disso, VDE e ABC são congruentes e, assim, as pirâmides P(VABC) e P(CVDE) possuem o mesmo volume. Logo, o prisma é obtido por três pirâmides inteiramente disjuntas e com o mesmo volume. Pelo Axioma III.10, temos que o volume do prisma de bases ABC e VDE é igual a soma dos volumes das pirâmides P(VABC), P(VCDE) e P(VBCD). Portanto, A(ABC).h = 3 Vol (P(VABC)). Assim, temos o desejado.

Teorema 16.17: O volume de uma pirâmide é um terço do produto da área da base pela medida da altura.Demonstração: Seja P(VA1A2...An) uma pirâmide com base poligonal B de n lados de área AB e altura medindo h. Em primeiro lugar observa-mos que um polígono de n lados pode ser dividido em (n – 2) triângulos. Logo, a

324

16. Áreas e Volumespirâmide P(VA1A2...An) pode ser decomposta em (n–2) pirâmides de bases triangulares, P1,P2,...,Pn-2 com bases de áreas b1, b2, ..., bn-2. Logo, pelo Axioma III.10,

Volume(P(VA1A2...An))=V(P1)+...+V(Pn-2)= =

Exemplo

16.5. Vamos calcular o volume da pirâmide regular hexagonal. A área da base é dada por AB = 6. =

, onde R é o raio da circunferencia circunscrita ao hexá-gono. Assim, o volume da pirâmide regular

R

h

hexagonal é dado por

VP = .

16.4. CilindroPor ser um corpo redondo, o cálculo da área de um

cilindro é mais complexo. Por isto, faremos primeiramente o cálculo do volume do cilindro que também utiliza o Princípio de Cavalieri.

Volume

Para o cálculo do volume do cilindro consideremos um cilindro de base B com área AB e altura medindo h. Seja agora um prisma com a mesma área da base e a

325

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francomesma medida de altura, pelo Princípio de Cavalieri temos que o cilindro e o prisma possuem o mesmo volume. Logo,

V(cilindro)=V(prisma)=AB.h = R2.h.Demonstramos, assim, o seguinte resultado:

Teorema 16.17: O volume de um cilindro é o produto da área da base pela medida da altura.

Exemplos

16.6. Vamos calcular o volume do cilindro regular. A área da base é dada por AB = R2, onde R é o raio da circunferencia da base. Assim, o volume do cilindro regular é

VC = R2h. R

h


Vamos calcular a área da superfície lateral do cilindro, mas antes vamos apresentar os conceitos necessários:Definição 16.17: Consideremos dois cilindros e ’, com bases em centros iguais e mesmo plano, de mesma altura h e raios R + e R. A casca cilíndrica, denotada por – ’, tem para volume: V(– ’) = V() – V(’) = (R + )2h – R2h = 2Rh + 2h.O volume médio da casca é definido por:

.A área da superfície lateral de um cilindro de raio r é o volume médio da casca cilíndrica, quando é arbitrariamente pequeno53. A área total da superfície

53 O termo “ é arbitrariamente pequeno” significa que para qualquer número real x dado, teremos < x.

326

16. Áreas e Volumescilíndrica é a soma da área da superfície lateral com a área das bases.Proposição 16.17: A área da superfície lateral de um cilindro de altura medindo h e base de raio medindo R é 2Rh.Demonstração: Segue imediatamente da definição.

O cálculo da área lateral de um cilin-dro pode ser visto intuitivamente consideran-do a superfície lateral do cilindro equivalen-te a um retângulo cujos lados são respecti-vamente congruentes à altura h do cilindro e ao comprimento 2R da circunferência da ba-se. Isto é ilustrado no desenho ao lado. Isto nos fornece intuitivamente a fórmula dada pela Proposição16.17. A área total do cilin-dro assim obtida é dada por

AT = AL + 2AC = 2Rh + 2R2 = 2R(h+R).

h

R

h

R

16.5. Cone De maneira análoga ao caso do cilindro, o cálculo

da área é mais complexo. Por isto, faremos primeiramente o cálculo do volume do cone que também utiliza o Princípio de Cavalieri.

Volume

Para o cálculo do volume do cone precisaremos do seguinte resultado:

327

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. FrancoLema 16.17: Sejam C um cone de altura h e uma seção transversal de C obtida por um plano paralelo a base que dista k do vértice V de C. Então a área da seção é igual a

vezes a área da base.

Demonstração: Considere o desenho ao lado, onde P e Q são pontos quaisquer na base do cone e T o pé da perpendicular por V no plano da base. Temos VPT semelhante a VP’T’, pelo caso AAA. Logo, . Temos também VQT semelhante a VQ’T’, pelo caso AAA. Logo, . Como

kV

PQ

P’Q’

T

T’h

os triângulos VPQ e VP’Q’ possuem ângulo em comum e temos que VPQ e VP’Q’ são triângulos

semelhantes. Logo, e, portanto,

. Assim, se Q está sobre a circunferência de centro P e raio R da base do cone, então Q’ está sobre a circunferência de centro P’ e raio R’ dado por

na transversal. Portanto, a seção transversal é um círculo de raio R’ e a área é dada por

, que é igual a vezes a área da base, como queríamos demonstrar.

Teorema 16.17: O volume de um cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura.

328

16. Áreas e VolumesDemonstração: Utilizando o volume do tetraedro, o Lema 16.17, o Lema 16.17 e o princípio de Cavalieri, obtém-se o resultado. Os detalhes ficam como exercício.


Assim como no cilindro para calcular a área da superfície lateral e total de um cone precisaremos antes apresentar alguns conceitos:Definição 16.17: Consideremos dois cones e ’, com bases em centros iguais e mesmos planos, de alturas h e h+ e raios R e R + . A casca cônica, denotada por – ’, tem para volume V() – V(’). O volume médio da casca é definido por

, onde x é

hg

R x

x

dado no desenho acima. A área da superfície lateral de um cone de raio R é o volume médio da casca cônica, quando x é arbitrariamente pequeno. A área total da superfície cônica é a soma da área da superfície lateral com a área da base. Proposição 16.17: A área da superfície lateral de um cone de altura medindo h e base de raio medindo R é Rg, onde g = .Demonstração: Primeiramente, observamos que o volume da casca cô-nica é igual a V() – V(’) =

. Consideremos g = , por semelhança de triângulos, calculamos e em função de x, e . Substituindo no volume da casca obtemos

329


V() – V(’) =

.

Logo, o volume médio da casca é dado por:

.

Tomando x arbitrariamente pequeno, temos AL = Rg.

Corolário 16.17: A área total do cone é dada por AT(cone) = Rg + R2 = R(R + g)

Demonstração: Imediata.

O cálculo da área lateral de um cone pode ser visto intuitivamente considerando a superfície lateral do cone equivalente ao setor circular, cujo raio é uma geratriz do cone e cujo comprimento do arco é o comprimento da circunferência da base do cone (veja desenho ao lado). Isto nos fornece a fórmula

R2

gR

V

.

16.6. Esfera Vamos agora calcular o volume e a área de uma

esfera.330

16. Áreas e VolumesVolume

A obtenção do volume da esfera é conseqüência do Princípio de Cavalieri.

Teorema 16.17: O volume de uma esfera de raio R é .

Demonstração: Consideremos um cilindro C de raio R e altura 2R, com base num plano tangente a uma superfície esférica de uma esfera de raio R.

R2R

O

RA B

A’a ML

RVB’

Consideremos dois cones C1 e C2 com mesmo vértice V, no interior do cilindro, conforme se observa no desenho acima. Um plano que corta os sólidos fornecerá as seguintes seções:

O triângulo A’B’V é semelhante a ABV. Como ABV é isósceles temos que A’B’V também é isósceles, ou seja,

. Logo, a área da coroa circular é (R2 – a2) e a do círculo é . Mas . Logo, as seções possuem áreas iguais, para qualquer plano secante. Pelo Princípio de Cavalieri, o volume da esfera E é igual ao

331

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francovolume do cilindro C menos os volumes dos cones, ou seja,

.

Corolário 16.17: a) O volume da cunha esférica é , onde é o

ângulo diedro.b) O volume de um setor esférico é dado por . O

O’

c) O volume de um setor esférico de duas bases é,

onde h é a distância entre os planos e , R1 e R2 são os raios das bases.Demonstração: a) A cunha esférica é caracterizada pelo raio da esfera e pelo ângulo diedro. Estas duas medidas nos fornecem o volume da região determinada pela cunha. De fato, seja r o raio de uma esfera e a medida do diedro, então temos que se = 2 a cunha esférica é toda a esfera de raio R. Utilizando a relação de proporcionalidade teremos:

.

b) Com sólidos semelhantes na demonstração do Teorema16.17, temos que as áreas da coroa circular e a do círculo eram iguais. Assim, neste caso, temos o seguinte desenho:

332


Oh

R

R–h

Vamos então calcular o volume do cilindro menos o tronco do cone. Temos que: O volume do cilindro é V(C) = R2h; O volume do cone maior é V(CM) = R3; O volume do cone menor é

V(Cm) = (R – h)3 = R3 – R2h + Rh2 – h3; O volume do tronco de cone é

V(T) = V(CM)–V(Cm) = = R3 – ( R3 – R2h + Rh2 – h3) = Rr2h – Rh2 +

h3.Assim, o volume do setor esférico é V(S) = V(C) – V(T) = R2h – (R2h – Rh2 + h3) = Rh2 –

h3.

c) Temos h = h1 + h2,

R2 = h12 + R12 eR2 = h22 + R22.

Logo,h12 + h22 = h2 – 2h1h2

eh13 + h23 = h3 – 3h12h2 – 3h1h22.

Com raciocínio semelhante ao item b) temos O volume do cilindro superior é V(CS) = R2h1; O volume do cilindro inferior é V(CI) = R2h2;

333


O volume do cone inferior é V(COS) = h23;

O volume do cone superior é V(COI) = h13;Assim, o volume do setor esférico de duas bases é

V(S) = V(CS) + V(CI) – (V(COS) – V(COI)) = = R2(h1 + h2) – (h13 +h23) = R2h – (h13 +h23) =

= R2h + R2h – (h3 – 3h12h2 – 3h1h22) =

= (h12 + R12)h + (h22 + R22)h – h3 + h12h2 + h1h22

= = (h12 + h22)h + (R12+ R22)h – h3 + h1h2(h1 + h2) =

= (h2 – 2h1h2)h + (R12+ R22)h – h3 + h1h2h =

= h3 – h3 + ( R12+ R22)h = h(h2 +3(R12+ R22)).

Área

Para calcular a área da superfície esférica vamos apresentar primeiramente alguns conceitos:

Definição 16.17: Consideremos duas esferas concêntricas E e E’ de raios R + e R. A casca esférica, denotada por E – E’, tem para volume:

O volume médio da casca é definido por:

A área da superfície esférica de raio R é o volume médio da casca esférica, quando h tende a zero.

334


Teorema 16.17: A área da superfície esférica de raio R é 4R2.Demonstração: Segue imediatamente da definição.

Corolário 16.17: a) A área de um fuso esférico é 2R2.α, onde R é o raio da superfície esférica e é a medida do ângulo diedro.b) A área de uma calota esférica é dada por S = 2.R.h.c) A área da zona esférica é S = 2.R.h, onde h é a distância entre os planos e .Demonstração: a) Um fuso esférico é caracterizado pelo ângulo diedro e pelo raio da esfera. Este ângulo e o raio nos fornecem a área da superfície determinada pelo fuso. De fato, seja a medida do diedro, então temos que se = 2 o fuso esférico é toda a esfera de raio R. Utilizando a relação de proporcionalidade teremos:

.

b) Utilizando o volume do setor esférico dado no Corolário16.17, calculamos o volume médio da casca, ou seja, considerando duas esferas concêntricas E e E’ com raios R + e R e alturas h + e h. Temos que o volume do setor esférico de E é:V(SE) = (h2 + 2h + 2)(R + ) – (h3 + 3h2 + 3h2 + 3) =

= ( h2R + 2hR + 2R + h2 + 2h2 + 3) – (h3 + 3h2 + 3h2+3)

e o volume do setor esférico de E’ é:V(SE’) = h2(3R – h) = h2R – h3.

Assim, quando tende para zero, temos Acalota = 2Rh, como queríamos demonstrar.

335

Geometria Plana e Espacial J. R. Gerônimo/V. S. Francoc) Para calcular a área da zona esférica utilizaremos o item b), pois a área do fuso esférico é a área da esfera menos a área de duas calotas. Temos que h = 2R – (h1 + h2). A área do fuso é dada porAfuso = A(E) – Acalota(C1) – Acalota(C2) = 4R2 – 2R(h1 + h2) =

= 2R(2R – (2R – h)) = 2Rh.

16.7. Exercícios16.1. Calcule o volume de um cubo inscrito numa superfície esférica de raio R.

16.2. Calcule o volume de um cubo circunscrito numa superfície esférica de raio R.

16.3. Calcule o volume de um tetraedro regular inscrito numa superfície esférica de raio R.

16.4. Calcule o volume de um tetraedro regular circunscrito numa superfície esférica de raio R.

16.5. Calcule o volume de um octaedro regular inscrito numa superfície esférica de raio R.

16.6. Calcule o volume de um octaedro regular circunscrito numa superfície esférica de raio R.

16.7. Duas esferas congruentes com 10 cm de raio passam uma pelo centro da outra. Qual o volume da região comum?

16.8. Qual a área de uma superfície esférica na qual uma circunferência máxima possui 20 cm de comprimento.

16.9. Mostre que a área lateral de um cilindro circunscrito a uma esfera é igual a área da superfície esférica e a quatro vezes a área de um círculo máximo.

336


16.10. Dois paralelepípedos retângulos têm a soma das arestas iguais e uma das diagonais também igual. Mostre que as áreas totais são as mesmas.

16.11. Dada uma pirâmide regular de base quadrada, encontrar a aresta da base, dada a altura H da pirâmide e sabendo que a área lateral excede em a área da base.

16.12. Um tronco de prisma tem como base um triângulo de área medindo x. Calcular o volume do tronco, sabendo que as arestas laterais medem a, b e c

16.13. Compra-se uma lata na forma cilíndrica de brigadeiro pronto cujas medidas são 7,4 cm de altura e 7,4 cm de diâmetro. Supondo que a lata esteja completamente cheia e que cada brigadeiro terá o formato de uma esfera de raio 1 cm, quantos brigadeiros aproximadamente é possível fazer com uma lata. Se numa festa cada pessoa consome em média 6 brigadeiros, quantas latas serão necessárias para uma festa de 30 pessoas.

16.14. Dada a medida a das arestas de um cubo, determinar a área lateral e o volume de uma pirâmide que tem por base uma face do cubo e por vértice o centro da face oposta.

16.15. a) Determine o volume de um cone inscrito numa superfície esférica.b) Determine o volume de um cone circunscrito numa superfície esférica.

16.16. a) Determine o volume de um cilindro inscrito numa superfície esférica.b) Determine o volume de um cilindro circunscrito numa superfície esférica.

337


16.17. Considere uma pirâmide regular P(VA1A2...An). Seja um plano secante a ela e paralelo a sua base. A parte da pirâmide localizada no mesmo semi-espaço de V determinado por é também uma pirâmide P’(VB1B2...Bn). A parte da pirâmide localizada no semi-espaço oposto a V é denominada tronco de pirâmide de base maior A1A2...An e base menor B1B2...Bn.a) Mostre que as arestas laterais do tronco são

congruentes entre si.b) Mostre que as bases maior e menor são polígonos

regulares semelhantes.c) Mostre que as faces laterais são trapézios isósceles,

congruentes entre si. A altura desses trapézios é denominada apótema do tronco.

d) Mostre que a nova pirâmide e a pirâmide primitiva são semelhantes.

e) Sendo 2p o perímetro da base maior, 2p’ o perímetro da base menor, d a apótema do tronco, m a apótema da base maior e m’ a apótema da base menor, mostre que a área lateral do tronco de pirâmide é dada por Al = (p + p’). d e a área total do tronco de pirâmide é dada por

At = (p + p’). d + p.m + p’.m’.f) Sendo d a distância entre as bases maior e menor, b a

área da base maior e b’ a área da base menor Mostre que o volume é dado por

.

16.18. Dois sólidos geométricos são ditos semelhantes se existe uma correspondência biunívoca entre seus pontos, tal que a razão entre as medidas dos segmentos correspondentes seja constante. Este número constante é denominado razão de semelhança. Dadas duas pirâmides semelhantes, mostre que:a) A razão entre as áreas das bases, áreas laterais e

áreas totais é igual ao quadrado da razão de semelhança;

338

16. Áreas e Volumesb) A razão entre os volumes é igual ao cubo da razão de

semelhança.

16.19. Consideremos um cone de base C e vértice V. a) Mostre que ao traçarmos um plano paralelo à base

interceptando o cone obtemos uma circunferência C’ de raio menor ou igual ao de C.

b) O plano do item a) divide o cone em dois sólidos: um deles é o cone de base C’ com vértice V e o outro chamado tronco de cone de bases C e C’. Mostre que o volume do tronco de cone é dado por

,onde R é o raio de C, r é o raio de C’ e d é a distância entre as bases.c) Mostre que a área lateral e total do tronco de cone são

respectivamente:AL = .(R + r).g e AT = .[R(g + R) + r.(g+r)],

onde R é o raio de C, r é o raio de C’ e g é a geratriz do tronco.

16.20. a) Dada uma superfície cilíndrica circular ilimitada determinada por uma circunferência C de centro O e raio r num plano . Mostre que a intersecção de qualquer plano paralelo a com o cilindro ilimitado é uma circunferência congruente a C.b) A seção meridiana de um cone é a interseção do cone com um plano que contém a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base. Um cone é equilátero quando a seção meridiana é um triângulo equilátero. Calcule a altura de um cone equilátero de raio r.

339

Referências Bibliográficas

[] AZAMBUJA FILHO, Z., Demonstração do Teorema de Euler para Poliedros Convexos, Revista do Professor de Matemática no 3, 15-17, 1983.

[] GERÔNIMO, J. R., FRANCO, V. S. Fundamentos de Matemática – Lógica, Teoria de Conjuntos e Funções, EDUEM, Maringá-PR, 2006.

[] HILBERT, D., Fundamentos da Geometria, Instituto para a Alta Cultura, Lisboa, 1957.

[] LIMA, E. L, Ainda Sobre o Teorema de Euler para Poliedros Convexos, Revista do Professor de Matemática no 5, 23-27, 1984.

[] LIMA, E. L, Conceitos e controvérsias, Revista do Professor de Matemática no 8, 13-14, 1986.

[] POGORELOV, A. Geometry, Editora Mir, Moscou, 1987.

[] SÍTIO NA INTERNET: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/BiogIndex.html (acesso em 15/02/2006).

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[] SÍTIO NA INTERNET: www.euclides.org (acesso em 15/02/2006).

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http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians

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Refe rências Bibliográficas

[] WATANABE, R. G., Seno de 30 é um meio?, Revista do Professor de Matemática no 30, 26-32, 1996.

341

Apêndice A: O Livro “Os Elementos” de Euclides

Depois da Bíblia a obra “Os Elementos” de Euclides foi o mais editado do mundo. Esta obra é constituída de 13 livros e, em cada livro Euclides utiliza, de forma inovadora para a época, o método dedutivo que foi modelo de inspiração para diversas pessoas das mais diversas áreas como, por exemplo, a obra “Principia” do físico Sir Isaac Newton e a obra “Ética” do filósofo Spinoza.

Este método consiste na escolha de um certo número de conceitos não definidos e um certo número de propriedades não demonstradas e que, a partir destas, obtém-se todos os outros conceitos e propriedades. No caso de “Os Elementos”, Euclides desenvolveu o texto com as seguintes noções:- Noções comuns: são aquelas que ele julgava aceitas por todas as pessoas de bom senso. Atualmente elas são denominadas axiomas.- Postulados: Estes são hipóteses próprias da geometria e que não necessitassem de demonstração. Para Euclides, a diferença entre noções comuns e postulados é que este último se referia exclusivamente à geometria. Atualmente também o denominamos axiomas.- Definições: Estas possuem o mesmo sentido que temos hoje, a diferença está que Eulides tentou definir tudo, o que é um erro pois sempre existirão conceitos não definíveis que atualmente denominamos noções primitivas.- Proposições: Estas também possuem o mesmo sentido que temos hoje. Não há muita diferença do que fazemos hoje com exceção de dar nomes diferentes a certas proposições. De fato, temos os seguintes nomes comumente utilizados, além de proposição: lema, corolário e teorema. Tais nomes têm o objetivo de separar

resultados mais relevantes de resultados que constituem suporte ou são conseqüências destes.

A obra “Os Elementos” possui no total 465 proposições, 131 definições, 5 postulados e 5 noções comuns.

Os livros de I a VI tratam de Geometria Plana Elementar, os livros VII a IX tratam da teoria dos números. O livro X trata dos números incomensuráveis e os livros XII a XIII tratam da Geometria Espacial.

O livro I têm 23 definições, 5 postulados, 5 noções comuns e 48 proposições. As proposições estão assim distribuídas:

As proposições de 1 a 26 tratam de triângulos e congruência;

as proposições de 27 a 32 tratam de retas paralelas;

as proposições 33 a 46 tratam de paralelogramos, triângulos e quadriláteros;

as proposições 47 e 48 tratam do Teorema de Pitágoras e seu recíproco.

O livro II têm 2 definições e 14 proposições envolvendo transformações de áreas e álgebra geométrica. São estabelecidas equivalências geométricas de diferentes identidades algébricas e uma generalização do Teorema de Pitágoras conhecida como lei dos cossenos.

O livro III têm 11 definições e 37 proposições. Este livro trata de resultados relativos a circunferências, cordas, tangentes e medição de ângulos.

O livro IV têm 7 definições e 16 proposições que contemplam as construções com régua e compasso de polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 15 lados.

O livro V têm 18 definições e 25 proposições e contém uma exposição magistral da teoria das proporções aplicada aos comensuráveis e incomensuráveis. Neste livro consta o Teorema de Eudoxo que, erroneamente é atribuído a Arquimedes e denominado Princípio de Arquimedes.

Apêndice A: O Livro “Os Elementos” de Euclides

O livro VI têm 4 definições e 33 proposições e contém a teoria de Eudoxus das proporções aplicadas a geometria plana. São estabelecidos os teoremas fundamentais sobre triângulos semelhantes e construções de terceira e quarta proporcional e média geométrica. São estabelecidos também uma solução geométrica de equações quádricas e o resultado em que a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos outros dois lados.

O livro VII têm 22 definições e 39 proposições que, junto com os livros VIII e IX, trata agora em teoria de números. Ele muda a estrutura que vinha sendo trabalhada nos volumes anteriores pois acumula todas as definições neste livro. Um dos principais resultados apresentados neste livro é o algoritmo de Euclides.

O livro VIII têm 27 proposições que se ocupa de séries de números de proporções contínuas e de progressões geométricas.

O livro IX têm 36 proposições tratando de Teoria de Números. Entre os principais resultados estão o Teorema Fundamental da Aritmética e a infinitude dos números primos.

O livro X têm 16 definições e 115 proposições tratando dos números irracionais. As definições e proposições estão divididas em 3 partes. Acredita-se que grande parte deste livro corresponde ao trabalho de Theaetetus54 que Euclides completou, ordenou e finalizou.

Os livros XI, XII e XIII possuem 28 definições e 75 proposições formando uma espécie de trilogia a respeito da Geometria Espacial. Este livro inclui os estudo dos cinco poliedros regulares conhecidos como Sólidos de Platão.

Muitas informações sobre a obra de Euclides podem ser obtidas na internet, em particular, em [9] e [10].

54 Theaetetus de Atenas nasceu aproximadamente em 417 a.C. e morreu aproximadamente em 369 a.C. em Atenas, Grécia. A maioria do que sabemos da vida dele vem dos trabalhos de Platão. Foi astrónomo, filósofo e discípulo de Sócrates sendo o primeiro para construir os cinco sólidos de Platão.

345

Apêndice B: Resolução dos Exercícios

A resolução dos exercícios propostos estão disponíveis na página da Internet no seguinte endereço:

www.dma.uem.br/jrgeronimo/geometria.É possível fazer o download do arquivo no formato

PDF, que pode ser lido com o programa Acrobat Reader. Com isto, o livro possui uma quantidade menor de papel e o leitor não terá um acesso imediato à resolução dos exercícios.

Mesmo assim, se você imprimir o arquivo, é importante que olhe para a resolução somente após ter tentado resolvê-los. De fato, para que ocorra a aprendizagem é importante que tente fazer sozinho os exercícios. Utilize estas resoluções apenas como uma maneira de ter certeza de que sua solução está correta. Se mesmo após a conferência da resolução houver alguma dúvida procure a ajuda do professor pois muitos exercícios podem ter outras formas de resolução.

Estão disponibilizados também em formato PDF todos os desenhos utilizados no livro.

http://www.dma.uem.br/jrgeronimo/geometria

Índice Remissivo

Índice RemissivoA

alfabeto gregomaiúsculo, 6minúsculo, 37

anel circular, 150área, 150

ângulo, 35agudo, 48bissetriz, 44central, 130cossecante de um, 170cosseno de um, 156cotangente de um, 170diedro, 230divisão de, 37entre planos, 211, 226entre reta e plano, 228entre retas, 182externo de um triângulo, 54grau, 41inscrito, 131

arco correspondente, 131interno de polígono, 100interno de um triângulo, 54lado, 35medida, 36obtuso, 48raso, 35reto, 43secante de um, 170seno de um, 156subtendendo arco, 131suplemento, 42tangente de um, 156transferidor, 41triedro, 233vértice, 35

ângulosalternos internos, 78colaterais internos, 78complementares, 48congruentes, 41consecutivos, 40

correspondentes, 78opostos pelo vértice, 42suplementares, 42

apótemapolígono, 138

arcomaior, 130medida, 130menor, 130

arcosdeterminados por dois pontos, 130

área, 103círculo, 149paralelogramo, 106quadrado, 103retângulo, 103trapézio, 105triângulo, 104união de regiões planas, 103

Arquimedes, 3, 141axioma, 1, 3, 5

completamento, 141congruência, 51, 103das paralelas, 76determinação, 7determinação no espaço, 172existência, 7existência de segmento, 28existência no espaço, 172incidência, 172inclusão, 173medida

ângulo, 36, 38área, 103segmento, 27volume, 279

ordem, 10ordem no espaço, 179Princípio de Cavalieri, 280

B

baricentro, 153bissetriz, 44

347


construção, 61Bolyai, 2

C

calota esférica, 274área, 295

cascacilíndrica, 287

volume médio, 287cônica, 290

casca esférica, 295catetos, 65Cavalieri, 280centro

polígono, 138cilindro, 196

altura, 222área da superfície lateral, 287área total da superfície cilíndrica,

287base, 196circunscrito, 277geratriz, 196inscrito, 277reto, 210superfície lateral, 196volume, 286

círculo, 34área, 149exterior, 34interior, 34

círculos máximosperpendiculares, 276

circuncentro, 134circunferência, 34

comprimento, 145concêntricas, 125corda, 125diâmetro, 84, 125perímetro, 145raio, 125secante, 125tangente, 127

circunferênciastangentes, 128

externas, 128internas, 128

comprimento, 29metro, 29

cone, 176altura, 221área lateral, 290área total, 290base, 176equilátero, 299geratriz, 176reto, 208revolução, 208seção meridiana, 299superfície lateral, 176tronco, 299vértice, 176volume médio, 290

conjuntoconvexo, 25ilimitado, 75limitado, 75

construçãobissetriz, 61ponto médio, 72

coordenada, 30, 31coroa circular, 150

área, 150corolário, 5corpo arquimediano, 141cossecante de um ângulo, 170cosseno de um ângulo, 156cotangente de um ângulo, 170cubo, 209cubo-octraedro, 263cunha esférica, 274

volume, 292

D

Dedekind, 3definição, 5desigualdade triangular, 70diâmetro

medida, 126diedro, 229

agudo, 230aresta, 229bissetor, 244face, 229

348

Índice Remissivo

medida, 230obtuso, 230reto, 230seção, 229

diedroscomplementares, 244congruentes, 230opostos pela aresta, 245suplementares, 244

disco, 34distância

de ponto a plano, 220entre dois pontos, 27entre retas reversas, 225ponto a reta, 68

divina proporção, 110

E

elipse, 47esfera, 266

congruência, 266cunha, 274fuso, 273setor de duas bases, 274volume de uma, 291zona, 274

esferasexteriores, 272interiores, 272secantes, 272tangentes exteriormente, 272tangentes interiormente, 272

Euclides, 1

F

feixe de planosparalelos, 197reta transversal, 197segmentos correspondentes, 197

figurageométrica

espacial, 6, 246plana, 6

piramidal, 175poliédrica, 246

aresta, 247

vértice, 247prismática, 195

funçãocossecante, 170cosseno, 156cotangente, 170secante, 170seno, 156tangente, 156

fuso esférico, 273área, 295

G

Garfield, 112

H

hexaedro, 180Hilbert, 3hipotenusa, 65

I

incentro, 135interseção entre duas retas, 8

L

lei dos cossenos, 164lei dos senos, 166lema, 5Lobachewsky, 2losango, 87lugar geométrico, 35

M

média geométrica, 122mediatriz, 44medida

ângulo, 36segmento

comprimento, 27unidade, 27

metro, 28, 29

349


N

n-ágono, 21noção primitiva, 5

estar entre, 9fronteira, 97, 246interior, 97, 246plano, 5ponto, 5região plana, 97reta, 5sólido geométrico, 246

númeroáureo, 110de ouro, 110

O

octaedroregular, 210

ortocentro, 153ortoedro, 209

P

par de classes vizinhas, 144paralelepípedo, 180, 195, 209

retângulo, 209reto, 209reto-retângulo, 209

paralelismoentre planos, 190entre retas, 189entre retas e planos, 188

paralelogramo, 84área, 106

Pasch, M., 24pé da perpendicular, 68perímetro

polígono, 35Pi, 146pirâmide, 175

altura, 221área

lateral, 283total, 283

arestas, 175

arestas laterais, 175base, 175faces, 175figura piramidal, 175hexagonal, 175quadrangular, 175regular, 208semelhança, 197superfície

lateral, 175piramidal, 175total, 175

tetraedro, 175triangular, 175tronco, 298vértices, 175

Pitágoras, 1, 107plano mediador, 219planos, 6

paralelos, 190perpendiculares, 211

Pogorelov, 4poliedro, 249

convexo, 249cubo-octraedro, 263Euleriano, 255interior, 249tetra-hexágono, 264

poliedro de Platão, 256poliedro regular, 260poliedros

congruentes, 250poligonal, 21

lados, 21vértices, 21

polígono, 21ângulo interno, 100apótema, 138centro do, 138circunscrito, 134convexo, 100inscrito, 134perímetro, 35plano, 174regular, 111reverso, 174

pontocoordenada, 30

350

Índice Remissivo

de contato, 127de tangência, 127médio, 33

ponto médioconstrução, 72

pontos, 6colineares, 8de um segmento AB, 9do mesmo lado, 11do mesmo lado em relação a reta, 14do mesmo lado em relação a um

plano, 179em lados diferentes, 11preceder, 18

postulado, 1postulados

de Euclides, 1potência de ponto, 132Princípio de Cavalieri, 280prisma, 195

altura, 222aresta, 195aresta lateral, 195base, 195diagonais, 195face lateral, 195hexagonal, 195oblíquo, 208quadrangular, 195regular, 208reto, 208seção, 195superfície

área lateral, 281área total, 281

superfície lateral, 196triangular, 195vértice, 195

Proclus, 2projeção de um segmento, 68projeção ortogonal

figura, 217ponto, 217

proporção, 114proposição, 5

Q

quadrado, 87área, 103

quadrilátero, 16ângulos consecutivos, 84ângulos opostos, 84diagonal, 84lado, 16lados consecutivos, 84lados opostos, 84reverso, 174vértice, 16

R

radiano, 147raio

extremidade final, 125medida, 126

razão, 114áurea, 110de semelhança, 118, 197, 199

razões trigonométricas, 155região

plana, 97fronteira, 97interior, 97ponto fronteira, 97ponto interior, 97

poligonal, 101fronteira, 101interior, 101

triangular, 98exterior, 100fronteira, 98interior, 98

relaçãode ordem, 19

estrita, 19total, 19

relação fundamental, 157reta

concorrente com plano, 174paralela a um plano, 174perpendicular a plano, 203secante com plano, 174sistema de coordenadas, 31

351


suporte, 9transversal, 77

retângulo, 87área, 103áureo, 108

retas, 6concorrentes, 177paralelas, 64paralelas no espaço, 178perpendiculares, 43, 182reversas, 178

rombo, 87romboedro, 209

oblíquo, 209reto, 209

S

secante de um ângulo, 170seção

de um triedro, 235normal, 229reta, 229

seçõesigualmente inclinadas, 231

segmento, 9comprimento, 27

segmento circular, 150área, 150

segmento esférico, 274segmentos

congruentes, 41consecutivos, 21de reta, 9extremos, 9ponto interior, 9

semi-circunferência, 130semi-espaço, 179semiplano, 15semi-reta, 13

negativa, 18origem, 13positiva, 18primeira, 18segunda, 18

seno de um ângulo, 156seqüências proporcionais, 114, 115setor circular, 150

setor esférico, 274volume, 292

setor esférico de duas basesvolume, 293

sólidos geométricossemelhança, 298

superfíciecilíndrica, 196cônica, 176piramidal, 175poliédrica, 248

aberta, 248contorno, 248convexa, 249face, 248fechada, 248

prismática, 195superfície esférica, 266

área, 295calota, 274centro, 266circunferência máxima, 270congruência, 266corda, 267diâmetro, 267distância polar, 267eixo, 267

equador, 267paralelo, 267pólos, 267

fuso, 273vértices, 273

meridiano, 267plano diametral, 270plano exterior, 269plano secante, 269plano tangente, 269pontos exteriores, 267pontos interiores, 267raio, 267reta exterior, 271reta secante, 271reta tangente, 271seções, 267segmento, 274setor, 274

352

Índice Remissivo

T

Tales, 1, 114tangente de um ângulo, 156teorema, 5

da bissetrizexterna, 123interna, 117

das três perpendiculares, 214, 223de Euler, 251de Pitágoras, 107de Tales, 117de Tales para planos, 197do ângulo externo, 54

tetraedro, 175regular, 208

tetra-hexágono, 264traço da perpendicular, 203transferidor, 41trapézio, 84

altura, 84área, 105base, 84isósceles, 84lateral, 84retângulo, 84

triângulo, 9acutângulo, 65altura, 53ângulo oposto a lado, 54área, 104eqüilátero, 47escaleno, 47interior, 25isósceles, 47

base, 47laterais, 47

lado, 10mediana, 53obtusângulo, 65retângulo, 65vértice, 10

triânguloscongruência, 49

axioma, 51caso ALA, 56caso LAAo, 61caso LAL, 51

caso LLA, 66caso LLL, 59

semelhança, 118triedro, 233

aresta, 233autopolar, 237face, 233polar, 237tri-retangular, 234tri-retângulo, 234vértice, 233

triedroscongruência, 236

caso DDD, 242caso DFD, 241caso FDF, 241caso FFF, 241

trigonometria, 155tronco de pirâmide, 197

U

unidade de medida, 27

V

volume, 279

Z

zona esférica, 274

353


354

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