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VETORES: O TRATAMENTO ALGÉBRICO
2211 vavav
Dados dois vetores e não-paralelos,
para cada vetor representado no
mesmo plano de e , existe uma só
dupla de números reais a1 e a2 tal que
1v
2v1v
2v
v é combinação
linear de v1 e v2
Observe que:
v
O conjunto B = {v1 , v2} é chamado base.
Trataremos apenas da base ortonormal (seus
vetores são unitários e ortogonais) que
determina o sistema cartesiano xoy.
Os vetores ortogonais e unitários são
simbolizados por i e j, ambos com oriem em O
e extremidades em (1, 0) e (0, 1).
Então, dado um vetor v do plano, existe uma
só dupla de números reais x e y tal que
jyixv
O vetor v também será representado por v = (x, y)
Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de
números reais.
Exemplos:
)0,0(0
)0,4( i4
)1,1(i
)5,3(5i 3
j
j
De forma análoga, no espaço temos a base
canônica { i, j, k } como aquela que irá
determinar o sistema cartesiano ortogonal
Oxyz onde estes três vetores unitários e dois a
dois ortogonais, estão representados com
origem no ponto O.
Então, dado um vetor v do espaço, existe uma
só tripla de números reais x, y e z tal que
kzjyixv
O vetor v também será representado por
v = (x, y, z)
Exemplos:
)4,0,0(4
)0,1,1(i
)1,3,2(3i 2
k
j
kj
Igualdade de vetores
Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2)
u = v x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2
Operações com vetores
Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) e αЄ R
),,( )2
),,( )1
111
212121
zyxu
zzyyxxvu
1) Dados 2,0,1 e 3,5, 4v w , obtenha
v w
3v
w
2w v .
2) Encontrar os números 1a e
2a tais que 2211 vavav ,
sendo )2,10(v , )5,3(1 v e )2,1(2 v .
Vetor definido por dois pontos
Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2 , z2) são dois pontos quaisquer do espaço, então
) , ,( 121212 zzyyxxABAB
3) Obtenha as coordenadas do vetor 1 2PP no plano e AB no espaço
sendo 1 21,3 , 4, 2 ,P P 0, 2,5 e 3,4, 1A B .
4) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0),
determinar o ponto D de modo que ABCD2
1
. então , Se vABABv
5) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um
segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB
em três segmentos de mesmo comprimento.
Propriedades: Para quaisquer vetores , e u v w e quaisquer escalares a e b,
as seguintes relações são válidas:
u v v u (comutativa)
u v w u v w (associativa)
0 0u u u (elemento neutro)
0u u (elemento oposto)
. .a bu ab u
a u v av au
a b u au bu
1.u u
6) Dados os vetores (3, 1)u e ( 1,2)v ,
determine o vetor x tal que: 1
4( ) 23
u v x u x
Exemplo:
7) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo
ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).
Paralelismo de dois vetores
Dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) são
paralelos se existe um número real αtal que
u = αv, ou seja,
(x1, y1, z1) = α(x2, y2 , z2)
ou
(x1, y1, z1) = ( αx2, αy2 , αz2)
Pela igualdade, temos
x1 = αx2, y1 = αy2 e z1 = αz2
o que resulta em
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
8) Os vetores u = (-3, 2) e v = (6,-4) são paralelos?
O vetor 0 = (0, 0, 0) é paralelo a qualquer vetor.
Módulo de um vetor
Considere o vetor v = (x, y, z).
O módulo de v é dado por
222 || zyxv
Analogamente para o plano, considere
o vetor v = (x, y).
O módulo de v é dado por
22 || yxv
9) Determine o módulo de:
v
v
2 b)
)6,3,2( a)
Observação
Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores u = (-1, 3)
e v = (-2, -1), determinar:
| u + v| e |AB|
Vetor unitário e versor
A cada vetor v ≠0, é possível associar dois
vetores unitários paralelos a v:
)v de versor ao oposto ( ||
)v de versor ( ||
v
v
v
v
10) Encontrar o versor de v = (3, -4).
11. Dado o vetor v = (-2, 1), achar o vetor paralelo a v que
tenha:
a) O mesmo sentido de v e três vezes o módulo de v;
b) Sentido contrário ao de v e a metade do módulo de v;
c) O mesmo sentido de v e módulo 4.
R.
5
54 ,
5
58
5
4 ,
5
8 )
2
1- ,1 ) 3 ,6 ) cba
Relembrando: Ponto Médio
Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2 , z2) são pontos extremos
de um segmento, o ponto médio M de AB é:
2,
2 plano, no
2,
2,
2
2121212121
yyxxM
zzyyxxM
12. Seja o triângulo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e
C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo
relativa ao lado AB. 17 R.