matriz vetores

MATRIZ

Definição: Matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m x n (lê-se m por n), onde m ≥ 1 e representa o número de linha e n ≥ 1 e representa o número de colunas.

As matrizes (tabelas) são representadas por letra maiúscula, as filas horizontais são chamadas de linhas e as filas verticais são chamadas de colunas. Os números contidos nesta tabela são chamados de elementos.

Representação Algébrica da matriz A=(aij)mx n , onde i representa as linhas e j as colunas.

Podemos construir uma matriz numérica a partir da matriz algébrica.

Observe o exemplo: Achar os elementos da matriz A=(aij)3 x 2 em que (a ij)=3 .i− j .

Resolução: A representação genérica desta matriz é:

A=(a11

a21

a31

a12

a22

a32)

3 x 2

utilizando a sentença acima dada, teremos:A=(258

147)

3x 2

TIPO DE MATRIZES

Matrizes Quadradas: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e

colunas, agora dizemos que a matriz é de ordem n. Exemplo: A=(214

4 3 ) é uma matriz de ordem

2.

Elementos da matriz quadrada:

Diagonal principal é o conjunto dos elementos, tais que i = j. Diagonal secundária é o conjunto dos elementos, tais que i +j = n + 1.

Ex.: A=(2 1 05 4 38 7 6) a diagonal principal é formado pelos elementos 2, 4 e 6 e a diagonal

secundária pelos elementos 0, 4 e 8.

Matriz Nula: é a matriz que todos os seu elementos são nulos. Ex.:B=(0 0 00 0 0)

2 x3

Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal

principal são nulos. Ex.: C¿(2 00 3)

Matriz de Identidade: é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais elementos são nulos. Notação In , onde n indica a ordem da matriz de identidade. Ex.:

I 3=(1 0 00 1 00 0 1) .

Matriz Transpostas: Dada a matriz A de ordem m x n chamamos de matriz transposta de A, indicada por At de ordem n x m que se obtém a partir de A, trocando ordenadamente suas linhas

por colunas e suas colunas por linhas. Ex.: A=( 2 10−30 3 ) então At = ( 2 −30

10 3 )Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada onde B = Bt. Ex.: B=(1 5

5 3)Matriz Oposta: a matriz oposta é obtida na troca dos sinais dos elementos correspondentes.

A=(−1 255 −3)⟹ (−A )=( 1 −25

−5 3 )

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes A e B de mesmo tipo são iguais, se cada elemento de A for igual ao

elemento correspondente de B. Notação A = B. Ex.: Se A = (2 yx 3 ) e B = (2 −3

0 3 ) , se A = B então

y = – 3 e x = 0.

OPERAÇÕES COM MATRIZES

Adição e Subtração

A adição ou subtração de duas matrizes A e B, do mesmo tipo é efetuada somando-se ou

subtraindo-se os seus elementos correspondentes. De uma forma geral, as A=(aij)mx n , B=(b ij)mxn

e C ¿(c ij)mxn , temos na adição C = A + B ⇒ cij=aij+bij e na subtração C = A – B ⇒ cij=aij−bij.

Propriedades

Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) +C = A +(B +C) Elemento neutro: A + 0 = A Elemento Oposto: A + (– A) = 0

Multiplicação de um número real por uma matriz

Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar este número pelos elementos da matriz.

Ex.: 5 .(2 −16 −2)=(10 −5

30 −10)

Multiplicação de matrizes

Definição: Dada uma matriz A=(aij)mx n e uma matriz B=(b jk)nx p , denomina-se produto de A por B

a matriz C=(c ik)mx p tal que o elemento c ik é a soma dos produtos da i-ésima linha da A pelos

elementos correspondentes de j-ésima coluna de B.

Na multiplicação de duas matrizes, A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B; o produto AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.

Am xn .Bnx p=(A .B)mx p

Ex.: Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:

1ª linha e 1ª coluna




.

Propriedades

Associativa: A.(BC) = (AB).C Distributiva à direita: A.(B + C) = AB +AC Distribuição à esquerda: (B + C).A = BA +CA

Matriz Inversa

Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, se existir uma matriz B, de mesma ordem, tal que A . B = B . A = I n, então B é matriz inversa de A e representamos a matriz inversa por A-1 .

Ex. Determinar a inversa da matriz A=(2 41 5).

Resolução: Sabemos que A . A-1 = I, onde A=(2 41 5) , A−1=(a b

c d)e I=(1 00 1) , assim teremos:

(2 41 5) .(a b

c d)=(1 00 1)⇒(2a+4 c 2b+4 d

a+5c b+5 d )=(1 00 1)

Para descobrir os valores de a, b, c e d, resolveremos o sistema:

{2a+4 c=1a+5c=0

∴ a=56

e c=−16

{2b+4 d=0b+5d=1

∴b=−23

e d=13 Logo, a matriz inversa A

−1=(56

−23

−16

13

).

DETERMINANTE

Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.

Determinante de 1ª Ordem

O determinante da matriz A=|a11| é o próprio número a11. Notação: det A ou |a11|.

Ex.: A=|2| ⇒ det A=2 ou |2|=2

A=|−14| ⇒ det A=-14 ou |-14|= – 14


O determinante da matriz A = |a11 a12

a21 a22| é igual à diferença entre o produto dos elementos

da diagonal principal e o produto da diagonal secundária, ou seja: det A =|a11 a12

a21 a22| =

a11 .a22−a12 .a21

Ex.: A = |1 34 2| ⇒ det A = 1.2 – 3.4 = – 10


Para o cálculo desse determinante será utilizado a Regra de Sarrus.

Seja a matriz A=|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

det A=¿ (a11 . a22 . a33+a12 . a23 . a31+a13 . a21 . a32 )−(a13 . a22 . a31+a11 . a23 . a32+a12 . a21 . a33 )¿

Ex.: Calcule o determinante da matriz A=| 1 3 −22 0 1

−1 2 4 |Aplicando a Regra de Sarrus termos:

det A=| 1 3 −22 0 1

−1 2 4 | 12

−1

302

det A = 1.0.4 + 3.1.(-1) + (-2).2.2 – (3.2.4 + 1.1.2 + (-2).0.2) = 0 – 3 – 8 – (24 + 2 + 0) = – 37

SISTEMAS LINEARES

Chamamos de Equação Linear toda equação de forma: a1 x1+a2 x2+…+an xn=b, onde

a1 , a2 ,…,an são números reais chamados de coeficiente das incógnitas x1 , x2 ,…, xn e b é um

número real chamado termo independente.

Classificação dos Sistemas Lineares

Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:

Solução de um Sistemas Lineares

A solução de um sistema é uma n-upla de valores ordenados (s1 , s2….sn) que é,

simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

Ex.: O sistema {2x+ y=4x+3 y=7

tem com solução x = 1 e y = 2. Como só admite uma única solução

podemos dizer que o sistema é possível e determinado.

Solução de um Sistemas pela Regra de Cramer

A Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mais só poderá ser utilizada se o número de equações e o número de incógnita forem iguais.

Portanto para resolver um sistema linear, utilizando esta regra, devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituir os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes (Dx, Dy, ... Dz). Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:

x=DxD

y=DyD

.... z=DzD

SISTEMAS LINEARES

POSSÍVEL (quando admite solução)

DETERMINADO

(D≠0) (admite uma única solução)

INDETERMINADO (D=0; Dx=0; Dy=0; ...Dz=0)

(admite infinitas soluções)

IMPOSSÍVEL(D=0;Dx≠0;Dy≠0;....Dz≠0)

(quando não admite solução)

Ex.: Resolver, utilizando a Regra de Cramer, o sistema {2x−3 y=1x+4 y=6

Solução:

D=|2 −31 4 |=2.4−( (−3 ) .1 )=11 como D≠0, o sistema é possível

Dx=|1 −36 4 |=1.4−( (−3 ) .6 )=22

Dy=|2 11 6|=2.6−(1.1 )=11 como Dx≠0 e Dy≠0, o sistema é determinado

Portanto, x=DxD

=2211

=2 y=DyD

=1111

=1

Obs: É utilizado o mesmo procedimento para determinantes de 3ª ordem.

VETORES

Diferença entre Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial

Grandeza Escalar: são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Exemplo: comprimento, temperatura, área, volume, massa.

Grandeza Vetorial: são aquelas que não ficam completamente definidas apenas pelo número com sua unidade de medida, ou seja, para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Exemplo: força, velocidade, aceleração.

VETOR é uma grandeza vetorial. Os vetores do plano ou do espaço são representados por

segmentos orientados. Todos os segmentos orientados que tem a mesma direção, o mesmo

sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor.

Um vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha.

Podemos representar o vetor das seguintes formas: v⃗= A⃗B=B−A.

Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores

Dado os vetores u⃗ = (x1, y1) e v⃗ = (x2, y2) são paralelos se tiverem a mesma direção

podendo ou não ter o mesmo sentido. Indica-se por u⃗ // { v⃗ ¿ . Se tiver o mesmo sentido recebem o

nome de equiversos e se tiver sentido contrários recebem o nome de contraversor. Se dois

vetores são paralelos então

x1

x2

=y1

y2 .

Dado os vetores u⃗= (x1, y1) e v⃗ =(x2, y2), são ortogonais e indica-se por u⃗⊥ v⃗ se, e somente

se, x1.x2 +y1. y2 = 0. Ou seja, u⃗ e v⃗ são ortogonais se a flecha que representa u⃗faz um ângulo reto

com o que representa v⃗.

A

BvObserve que A é a origem da flecha e B é a ponta da flecha.

u

v

u

v

v

u

Igualdade de Vetores

Dois vetores são iguais se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido, então u⃗=v⃗.

Vetor Oposto

O vetor oposto é quando eles têm o mesmo módulo, a mesma direção mais sentidos

contrário. O oposto de A⃗B é B⃗A. Portanto, o oposto de u⃗ é indicado por −u⃗.

Vetor Nulo

Será representado por um ponto, como se fosse uma flecha de origem e ponta coincidente.

Tal vetor será indicado por 0⃗, ou A – A, ou ainda A⃗A, sendo A um ponto qualquer no espaço. O

oposto do vetor nulo é ele mesmo, ou seja, −0⃗=+0⃗.

Módulo de um Vetor

É um número não negativo que indica o comprimento de um vetor. Indicado por |v⃗| ou |⃗AB|, sendo A=(x1, y1) e B=(x2, y2), então teremos:

|v⃗|=√x2+ y2

|⃗AB|=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2

Vetor Unitário

O vetor v⃗ é unitário se |v⃗|=1.

Versor

O versor de um vetor u⃗ não nulo é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo

sentido.

versu⃗= u⃗|u⃗|

- u

u

OPERAÇÕES COM VETORES

Adição de Vetores

Sejam os vetores u⃗e v⃗ representados pelos segmentos orientados AB e BC,

respectivamente teremos:

Sendo u⃗ // v⃗ , a maneira de se obter o vetor u⃗ + v⃗ é a mesma que está ilustrada abaixo:

Mesmo sentido Sentido oposto

u⃗ v⃗ u⃗

u⃗ + v⃗ v⃗

u⃗ + v⃗

No caso de vetores u⃗e v⃗ não serem paralelos, há outra maneira de se encontra a soma u⃗+ v⃗

. Representam-se u⃗=A⃗B e v⃗= A⃗D por segmento orientado de mesma origem A. Completa-se o

paralelogramo ABCD e o segmento orientado de origem A, que corresponde à diagonal do

paralelogramo, é o vetor u⃗+ v⃗, isto é,

u⃗+ v⃗= A⃗C

Propriedades da Adição

Dados os vetores u⃗ , v⃗ e w⃗ , teremos as seguintes propriedades:

* Associativa: ( u⃗+v⃗ )+w⃗=u⃗+( v⃗+w⃗ )

* Comutativa: u⃗+ v⃗= v⃗+u⃗

* Existe um só vetor nulo 0⃗ , tal que, para todo vetor v⃗ , se tem: v⃗+0⃗= 0⃗+ v⃗= v⃗

* Qualquer que seja o vetor v⃗ , existe um só vetor -v⃗ , tal que: v⃗+(− v⃗ )= v⃗−v⃗=0

u⃗+ v⃗C

B

A

u⃗+ v⃗v⃗ u⃗+ v⃗=(B−A )+(C−B )=C−A=A⃗C

D

B

A

u⃗ + v⃗Cu⃗

v⃗

Subtração de Vetores

Dados os vetores u⃗ e v⃗ , definimos a diferença u⃗ - v⃗ por u⃗ -v⃗ =u⃗ +(-v⃗ ). Denotamos por

diferença de pontos:

Obs. A diferença de vetores não é comutativa, ou seja: u⃗− v⃗≠ v⃗−u⃗ .

Multiplicação de um Número Real por um Vetor

Dado um vetor v⃗ ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama-se produto do número real k pelo vetor

v⃗ o vetor p⃗=k . v⃗ .

Operações

Sejam os vetores os vetores u⃗ = (x1, y1) e v⃗ = (x2, y2) e a є . Define-se:

* u⃗ +v⃗ = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)

* a. u⃗ = a. (x1, y1) = (a.x1, a.y1)

Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas correspondentes e para multiplicar um

vetor por um número, multiplicam-se cada componente do vetor pelo mesmo número.

Ângulos

O ângulo entre dois vetores não nulos u⃗ e v⃗ é o ângulo formado por duas semi-retas OA e OB

de mesma origem O, onde v⃗=O⃗B , u⃗=O⃗A e 0 º≤θ≤180 º . Se forem paralelos e de mesmo

sentido = 0º e se forem paralelos e de sentido contrário = 180º.

Exemplo: A figura é construída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Determinar

se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

a ) A⃗B=O⃗Fb ) A⃗M=P⃗Hc ) B⃗C=O⃗Pd )|⃗IF|=|⃗MF|e ) A⃗C // H⃗If ) A⃗B⊥ E⃗Gg )M⃗N=−O⃗P

B

C

A

u⃗+ v⃗

v⃗u⃗− v⃗u⃗− v⃗=(B−A )−(B−C )=C⃗B

HI

J

K

L

A B C D

G

FP O

ENM

EXERCÍCIOS

1. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo o 0 o ponto de

intersecção das diagonais desse losango. Determinar se é verdadeira ou falsa cada uma das

seguintes afirmações:

a ) E⃗O=O⃗Gb ) A⃗F=C⃗Hc ) D⃗O=H⃗Gd )|⃗AC|=|⃗BD|e ) A⃗F // C⃗Df ) A⃗B⊥O⃗Hg )O⃗B=−F⃗E

2. Assinale verdadeiro ou falso, caso seja falso justifique:

a) Vetor é uma grandeza escalar? ( ) b) Um vetor é uma flecha? ( )c) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representante de um mesmo vetor? ( )d) O vetor v⃗ é oposto a − v⃗ ? ( )

e) A⃗B=B−A? ( )

f) A⃗B=A−B? ( )g) Dizemos que o vetor é ortogonal a outro vetor, se e somente se, u⃗ . v⃗ ≠0. ( )

Vetor Definido por Dois Pontos

Dado os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), sendo o ponto 0 a origem e AB as extremidades

temos:

Assim temos:

A⃗B=O⃗B−O⃗A=(B−0 )−( A−0 )=B−AA⃗B=( x2 , y2)−( x1 , y1)=( x2−x1 , y2− y1 )

0GE

D H C

A F B

B

Ay1

y2

x1 x2

EXERCÍCIOS

1. Determinar a origem A do segmento representado pelo vetor u⃗ = (2, 3), sendo a sua extremidade o ponto B(0,4).

2. Dado os vetores, u⃗ = (-1, 3), v⃗ = (2, 1) e w⃗ = (0, 2), calcule:

a) 2.u⃗ - v⃗ + 4.w⃗

b) 3. (u⃗+ v⃗) – 2.( u⃗−w⃗)

3. Sendo A(2, 0), B(0, 3) e C(1, -2) determine D, tal que B⃗D= A⃗B+C⃗B.

4. Calcule o módulo do vetor u⃗ = (-3, 4).

5. Sabendo que o ponto de origem A tem as coordenadas (4, 5) e a extremidade B tem as

coordenadas (0, 4). Calcule |⃗AB|.

Vetores no 3 – aplicam-se as mesmas propriedades.

* A origem do sistema é O (0,0,0) e representa o vetor nulo.

* O vetor oposto de v⃗ = (x, y, z) é - v⃗ = (-x, -y,-z).

* Dois vetores u⃗ = (x1, y1, z1) e v⃗ = (x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 =y2 e z1= z2.

* Dados os vetores u⃗ = (x1, y1, z1) e v⃗ = (x2, y2, z2) e a є . Define-se:

a) u⃗+ v⃗ = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2)

b) a. u⃗ = a. (x1, y1, z1) = (a.x1, a.y1, a z1)

* Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então:

A⃗B = (x2 – x1, y2 –y1, z2 – z1).

* O módulo do vetor v⃗ = (x, y, z) é dado por: |v⃗|=√x2+ y2+ z2

y

x

z

P(x1,y1,z1)z1

x1y1

* Dado A (x1,y1,z1), B (x2,y2,z2) então o módulo é dado por: |⃗AB|=√(x2−x1)2+( y2− y1)

2+(z2−z1)2

* Para u⃗ = (x1, y1, z1) e v⃗ = (x2, y2, z2), tem-se:

a) u⃗/¿ v⃗

se, e somente se,

x1

x2

=y1

y2

=z1

z2

b) u⃗⊥ v⃗ se, e somente se, x1.x2 +y1. y2 +z1. z2 = 0.

Exercícios

1. Dados os pontos A(5, -1, 2), B(6, 2, 4) e C(7, 1, 3), determinar:

a) As componentes de A⃗B , A⃗C , B⃗A , C⃗B

b) As componentes de A⃗B+C⃗A

c) As componentes de B⃗A−C⃗A

d) As componentes de 3 . A⃗B−2. B⃗C+5 .C⃗A

e) O vetorx⃗ tal que 3 . x⃗+2 . A⃗B=3. A⃗C−C⃗B

2. Dados os pontos A(1, -2, 3), B(4, 2, 4) e C(0, -2, 4),

a) Determinar os vetores u⃗ e v⃗ tal que:

u⃗=4 . B⃗A+2. A⃗C−3 . B⃗C v⃗=2 . A⃗B−3. B⃗C

b) Determine o vetor x⃗ tal que A⃗B+ x⃗=2.( A⃗C− x⃗)

3. Dados os pontos A(5, -1, 2), B(6, 2, 4) e C(7, 1,3), determine:

a) O módulo de: A⃗C , B⃗C eC⃗A

b) O versor de C⃗A

4. Dados os pontos P(3, 0, -1), Q(-4, -1, -1) e R(0, -1, -4), encontre:

a) Q⃗R e P⃗R |⃗QR| b) Versor de Q⃗R

5. Dados os pontos A(-1, 2, 3) e B(1, -1, m), determine m sabendo que |⃗AB|=7

6. Determine no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1, -3, 7) e B(5, 7, -5).

Expressão Cartesiana de um Vetor

b) Considere o ponto P(x, y, z) do espaço tridimensional e i⃗ , j⃗ e k⃗ , os versores dos eixos

cartesianos ortogonais x, y e z. O vetor v⃗=(P−O) tem origem em O e extremidade em P e pode

ser expresso como combinação linear de i⃗ , j⃗ e k⃗ . Do paralelepípedo representado na figura

abaixo se obtém:

Denomina-se expressão cartesiana do vetor (P – O), onde x, y e z são as coordenadas e x i⃗ , y j⃗

e zk⃗ as componentes do citado vetor.

O par (x, y, z) é chamado de expressão analítica de v⃗. Para exemplificar, veja a seguir alguns

vetores e suas correspondentes expressões analíticas:

3 i⃗ - 5 j⃗ = (3, -5, 0)

4k⃗ = (0, 0, 4)

-3 i⃗ = (-3, 0, 0)

a) Seja x, y e z um sistema cartesiano ortogonal. Os vetores ortogonais e unitários, são representados por

i⃗ , j⃗ e k⃗ (bases canônicas), ambos com origem em O e extremidade em (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Portanto,

i⃗=(1,0,0)j⃗=(0,1,0)k⃗=(0,0,1)

z

y

x

Py

Px

Pz

P

0

i⃗

(P – O) = (Px – O) + (Py – O) + (Pz – O), como Px

– O = x i⃗ , Py – O = y j⃗ e Pz – O = zk⃗ , tem-se:

(P – O) = v⃗=x i⃗+ y j⃗+z k⃗

Exercícios

1. Observe a figura abaixo e determine os pontos A, B, C, D, E, F, O e P.

a) b)

2. Dados os vetores u⃗=3. i⃗−5. j⃗ e v⃗=−2. i⃗+7. k⃗ , determine:

a) u⃗+ v⃗

b) u⃗+2. v⃗

c) 3 u⃗− v⃗

3. Dado o vetor v⃗=3. i⃗−2. j⃗+√3 . k⃗, determine o versor v⃗.

4. Calcule o perímetro do triângulo de vértices: A(1, 1, 0), B(0, 1, 1) e C(1, 1, 1). Faça a representação

gráfica.

5. Dados os vetores A(-1,3), B(2,5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular:

a )O⃗A− A⃗Bb )O⃗C−B⃗Cc )3 . B⃗A+4 . C⃗B

6. Sejam os pontos A(-5,1) e B(1, 3) . Determine o vetor w⃗=(a ,b) tal que,a) B = A + 2.w⃗b) A = B + 3. w⃗

7. Dados os pontos A(1, -1) B(-3, 4) C(8, -6) e D(-2, 3), calcule:

a) |⃗AB|b) |⃗AC|c) |⃗CD|

d) |⃗AD|e) |⃗CB|

8. Dados os vetores u⃗=(3 ,5), v⃗=(−2,3) e w⃗=(4 ,0), calcule:

a) |u⃗|

b) |v⃗|

c) |w⃗|Respostas

5. a) (-4, 1) b)(2, 5) c) (-13, 18)

6. a) w⃗ = (3, 1) b) w⃗ = (-2, -2/3)

7. a) ≅ 6,4031 b) ≅ 8,062 c) ≅13,45 d) 5 e) ≅ 14,86

8. a) ≅ 5,831 b) ≅ 3,606 c) 4

REFERÊNCIAS

GIOVANNI, José Ruy. Matemática Fundamental 2º grau: volume único. São Paulo: FTD, 1994.

http://www.brasilescola.com/matematica/regra-cramer.htm

http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php

MACHADO, Jacir J. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 2 ed. São Paulo. Atual, 1982.

SANTOS, Reginaldo J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2009.

VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. Curitiba: Biblioteca Central UFPR, 1949.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.

_________ & STEINBUCH, Alfredo. Álgebra Linear São Paulo: Makron Books, 1987.

http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes3.php

matriz vetores

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