eliminando quadrados - o...

Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Eliminando quadrados

Objetivos da unidadeEstudar um modelo discreto de função exponencial;1. Construir gráficos de funções exponenciais com os dados obtidos 2. no experimento.

O experimento

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Números e fuNções

O experimento

SinopseSobre uma mesa, lançamos quadradinhos de papel cujas faces possuem cores distintas (uma face pode ser verde e a outra marrom). Em seguida, retiramos todos aqueles que caírem sobre a mesa com a cor marrom voltada para cima. Repetimos o processo várias vezes até sobrar apenas um quadradinho. Com este experimento prático, construímos tabelas e gráficos que relacionam o número de jogadas e a quantidade restante de pedaços de papel.

ConteúdosRelações e Funções, Produto Cartesiano, Função Decrescente; �

Função Exponencial. �

ObjetivosEstudar um modelo discreto de função exponencial;1. Construir gráficos de funções exponenciais com os dados obtidos 2. no experimento.

DuraçãoUma aula simples.

Eliminando quadrados

Eliminando quadrados O Experimento 2 / 8

Introdução

As funções exponenciais têm muitas aplicações práticas. São funções privilegiadas para tratar a modelagem matemática de inúmeros problemas reais e fenômenos físicos. São alguns exemplos: aplicações financeiras (juros compostos), crescimento de populações, poluição de rios, resfriamento de um corpo, quantidade de drogas na corrente sanguínea, decaimento de componentes radioativos, entre outros. O exemplo nesta atividade é um modelo discreto de uma função de decaimento exponencial. Representando a quantidade inicial por 240 quadradinhos de papel com faces de cores diferentes, lançamos todos eles sobre uma mesa. O resultado: 124 quadradinhos com a face marrom para cima, quase 50%. Retiramos, então, todos esses, restando 116 quadradinhos com a face verde do primeiro lançamento. No segundo momento, somente os 116 são lançados sobre a mesa. A quantidade de quadrados com a face verde para cima fica reduzida a 57, valor próximo da metade da anterior, e assim sucessivamente, ficando a quantidade pos terior quase sempre reduzida a 50% da quantidade anterior.

O decaimento exponencial acontece também com alguns analgésicos. Sua quantidade na corrente sanguínea fica reduzida à metade depois de 6 horas. Depois de 12 horas, se não for ingerido outro analgésico, restará apenas 25% da quantidade inicial no sangue, e assim sucessivamente… O aluno terá oportunidade, através da tabela obtida na experiência prática, de caracterizar uma função exponencial.


O Experimento

Material necessário

Papel cartão dupla face, marrom e verde; �

Tesoura; �

Régua ( � de 30cm é mais apropriada);Lápis; �

Borracha; �

Calculadora. �

Preparação

Em casaO professor pode solicitar aos alunos para trazerem prontos de casa quadradinhos de papel cartão. É necessário que os quadradinhos tenham as faces de cores diferentes e mesmas medidas, por exemplo, 2 cm por 2 cm. Uma folha comum deste tipo de papel mede 50 cm por 70 cm e rende mais de 800 quadradinhos, ou seja, é suficiente para três grupos confeccionarem 240 quadradinhos cada.

Na classeOrganize a classe em duplas para que, durante a execução do experimento, cada aluno conte uma das cores dos quadradinhos lançados. As duplas devem ter 240 quadradinhos e uma Folha do AluNo.

fig. 1

fig. 2


Em seguida, separe todos aqueles com 2. a cor marrom virada para cima. Os alunos devem contar esses quadradinhos, como na figura abaixo:

O problema

Ao lançar 240 quadradinhos aleatoria mente sobre uma mesa e retirar todos os que ficaram com a face marrom para cima, quantos restarão depois do primeiro lance? Repetindo o procedimento com os quadradinhos que sobraram, quantos restarão depois do segundo lance? E depois do quinto? Existe alguma relação entre esses valores?

Jogar e separar

Os quadradinhos devem cair aleatoriamente. 1. Para isso, proponha que os alunos soprem todos da palma da mão, como na figura a seguir:

Pergunte aos alunos qual ºé a cor que predomina quando todas as peças são jogadas de uma só vez.

etapa

1

fig. 3

fig. 4


Construção do gráfi co

Usando os dados da TaBela 1, os alunos deverão representar esses pontos em um gráfi co, da seguinte maneira: no eixo x y Qi−1 Qi i

QiQi−1

devem estar os lançamentos e o eixo x y Qi−1 Qi i

QiQi−1

deve conter os quadrados restantes correspondentes a cada lançamento.

Todos que caíram com o lado marrom para 3. cima devem ser retirados;Em seguida, os alunos devem repetir esse 4. procedimento 7 vezes e anotar os valores obtidos através da experiência na tabela da Folha do AluNo, como abaixo:

Lançamento ((i) (Qi) 0123456789)

Quadrados restantes ((i) (Qi) 0123456789)

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789

tabela 1

etapa

2

240230220210200190180170160150140130120110100

908070605040302010

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fig. 5


Neste experimento o quociente (i) (Qi) ( QiQi−1

) (Qi/Qi−1) não é um valor constante para todos os lan ça mentos; é sempre menor que 1 e quase sempre próximo a 0,5. Quando em algum modelo matemático encontramos (i) (Qi) ( Qi

Qi−1) (Qi/Qi−1) igual a uma constante Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1,

podemos escrever que QiQi−1

b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1, para todo x y Qi−1 Qi i

QiQi−1

.

Fechamento

A seguir, o professor deve guiar os grupos para obterem uma função exponencial caso o valor encontrado para o quociente (i) (Qi) ( Qi

Qi−1) (Qi/Qi−1)

fosse uma constante igual a QiQi−1

b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1 com QiQi−1

b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1. O aluno deve encontrar Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1 para Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1, Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1,

QiQi−1

b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1, QiQi−1



b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1 e QiQi−1

b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1, mantendo o quociente (i) (Qi) ( QiQi−1

) (Qi/Qi−1) constante e igual a Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1 e Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1. Deve ser

encontrada a expressão QiQi−1

b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1. Para isso, sugira a construção das seguintes expressões:

Q1= 240×b Q2=b×Q1= 240×b2 Q1=b×Q2= 240×b3 Qn=b×Qn−1= 240×bn

Q1= 240×b Q2=b×Q1= 240×b2 Q1=b×Q2= 240×b3 Qn=b×Qn−1= 240×bn

Usando a expressão obtida para QiQi−1

b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1, temos: Q1= 240×b Q2=b×Q1= 240×b2 Q1=b×Q2= 240×b3 Qn=b×Qn−1= 240×bn, e assim por diante.

Análise do quociente

Depois de preencher a tabela e traçar o gráfico, os grupos devem encontrar o quociente da divisão das quantidades iniciais e finais para cada lançamento. Denotaremos por x y Qi−1 Qi i

QiQi−1

a quantidade inicial e por x y Qi−1 Qi i

QiQi−1

a quantidade final em cada lance, onde o índice x y Qi−1 Qi i

QiQi−1

representa o número do lançamento. Veja o exemplo da tabela abaixo:

etapa

3Professor, incentive ºas duplas a usarem cal culadora nos cálculos.

Lançamento ((i) (Qi) 0123456789)

Quadrados restantes ((i) (Qi) 0123456789)

Quociente (x y Qi−1 Qi i

QiQi−1

)

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789–

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789 0,48 0,49 0,54 0,58 0,5 0,44 0,25

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 0123456789 0,48 0,49 0,54 0,58 0,5 0,44 0,25

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 01234567890,48 0,49 0,54 0,58 0,5 0,44 0,25

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 0123456789 (i) (Qi) 01234567890,48 0,49 0,54 0,58 0,5 0,44 0,25

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 01234567890,48 0,49 0,54 0,58 0,5 0,44 0,25

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 01234567890,48 0,49 0,54 0,58 0,5 0,44 0,25

(i) (Qi) 0123456789(i) (Qi) 01234567890,48 0,49 0,54 0,58 0,5 0,44 0,25

tabela 2


As funções da forma Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1 são chamadas funções exponenciais de base Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1,

onde Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1 é a quantidade inicial quando Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1, e Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1 é o fator de variação na quantidade Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1

quando Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1 aumenta de uma unidade.

Se �Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1, temos crescimento exponencial.Se �Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1, temos decaimento exponencial.

Para reconhecer que uma tabela de valores de Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1 e Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1 provém de uma função exponencial Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1, procure razões constantes de valores de Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1 para valores igualmente espaçados de Q(t) =Q0×bt Q0 t= 0 Q t b> 1 0<b< 1.

Apesar de o experimento tratar de um caso discreto, o decaimento radioativo, a eliminação de drogas pelo corpo etc. são exemplos reais cuja função é contínua.

A TaBela 2 e as expressões acima podem ser interpretadas como termos de uma pro gressão geométrica de razão Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1. A fórmula do

termo geral nada mais é do que a expressão de uma exponencial de base Qi

Qi−1b Qi=b×Qi−1 0<b< 1 i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 7 Q0= 240 Q1= 240×b1, veja:

Q1= 240×b Q2=b×Q1= 240×b2 Q1=b×Q2= 240×b3 Qn=b×Qn−1= 240×bn .

Obtenção do gráfi co Vamos agora construir o gráfi co da função Qn=Q(n) = 240×bn b= 0,5 Q(n) = 240×0,5n para Qn=Q(n) = 240×bn b= 0,5 Q(n) = 240×0,5n, ou seja, Qn=Q(n) = 240×bn b= 0,5 Q(n) = 240×0,5n. Fique atento para que os alunos utilizem nos eixos escalas diferentes para a construção dos gráfi cos. Veja o gráfi co abaixo: ele é côncavo para cima e a função é decrescente.

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

40

60

80

100

120

140

fig. 6

Professor, seria inte ressante discutir com os alunos a posologia de alguns remédios numa aula conjunta de Matemática e Biologia. A modelagem de substâncias químicas na corrente sanguínea é representada por uma função exponencial decrescente.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoraMaria Zoraide C. M. Soares

RedaçãoMaria Zoraide C. M. Soares

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto

eliminando quadrados - o...

Documents