Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

Curvas de nível

Objetivos da unidadeDesenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal;1. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras 2. tridimensionais a uma representação plana;Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático 3. por meio da construção de curvas de nível.

Guia do professor

SinopseEste experimento propõe o estudo das curvas de nível e suas aplicações, usando massa de modelar. A partir da construção de um relevo, é possível desenhar suas curvas de nível e seu perfil topográfico. O caminho contrário também pode ser feito: a partir de um conjunto de curvas, podemos obter o formato do acidente geográfico.

ConteúdosGeometria Plana; �

Geometria Espacial, Paralelismo entre Planos, Projeções Ortogonais. �

ObjetivosDesenvolver experimentalmente a ideia de projeção ortogonal;1. Aprimorar a capacidade de visualização e associação de figuras tridi­2. mensionais a uma representação plana;Aplicar o conhecimento geométrico a situações de caráter prático por meio 3. da construção de curvas de nível.

DuraçãoUma aula dupla.

Curvas de nível

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Introdução

Uma curva de nível é o lugar geométrico dos pontos de uma superfície que estão à mesma altitude. O seu estudo pode esclarecer as características dos acidentes do relevo de um terreno, permitindo verificar as elevações ou depressões existentes. Neste experimento é proposta uma atividade que permite aos alunos conhecer, interpretar e construir mapas topográficos a partir da composição e decomposição de relevos, proporcionando uma importante experiência de aplicação do conhecimento geométrico à situações de caráter prático.

Motivação

O experimento possibilita a compreensão de aplicações muito diversifi­cadas, tais como: em agronomia, para proteger terrenos contra erosão, na escolha de lugares para se colocar antenas ou torres de transmissão, na leitura adequada de mapas topográficos para definir estratégias de defesa ou ataque, e mesmo na medicina, ciência cujos especialistas em córnea usam um smt, ou Sistema de Modelagem Topográfica, para produzir um mapa da curvatura da superfície do olho.

O experimento

Comentários iniciaisEste experimento possibilita um trabalho em grupo de tal maneira que os alunos construam relevos, com a utilização de massa de modelar. Isto possibilitará obter cortes no relevo criado para depois desenhar as curvas de nível correspondentes e ainda obter o perfil topográfico do relevo, ou seja, é criada uma representação plana do espaço tridimensional.

Etapa 1 Tipos de relevos

Descrição dos relevosOs mapas topográficos permitem localizar as regiões montanhosas e de planícies. Segue um exemplo de um mapa que utiliza uma gradação de cores para distinguir as diferentes alturas das elevações. Por exemplo, as menores altitudes são verdes e as maiores são coloridas em marrom ou vermelho.

fig. 1

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Etapa 2 Curvas de nível

Associado à construção das curvas de nível, podemos destacar o conceito de projeção ortogonal. A projeção ortogonal, P α F AB B ’, de um ponto P α F AB B sobre um plano P α F AB B é a intersecção do plano com a reta perpendicular ao plano P α F AB B, conduzida pelo ponto P α F AB B.

A projeção ortogonal de uma fi gura geométrica P α F AB B (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano P α F AB B é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de P α F AB B sobre P α F AB B.

Observe na Figura 10 do eXperimento os pontos das curvas de nível obtidos. Esses pontos correspondem a projeções ortogonais sobre um plano

P α F AB B dos pontos que estão nos contornos correspondentes à intersecção do terreno com planos paralelos ao plano P α F AB B.

Os mapas topográfi cos, entretanto, não permitem reconhecer os deta­lhes de formas do terreno, tais como vales, selas ou espigões. Para isso, é necessário o traçado de curvas de nível. No experimento é citado o termo “formas topográfi cas convexas”. No quadro abaixo encontra­se uma defi nição de sólido convexo e não convexo.

Um sólido é convexo se, para quaisquer dois pontos da sua superfície, o segmento de reta que une esses pontos está na sua superfície ou no seu interior. Caso tal não se verifi que, o sólido é não convexo. Exemplos:

fig. 2 Sólido convexo

fig. 3 Sólido não convexo

Defi nição

fig. 4

fig. 5

P

α

α

P’

F’

F

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uma passagem por uma cordilheira pode ter contornos como a figura �

abaixo:

Quanto mais próximo estiverem as curvas umas das outras, mais inclinado será o terreno; quanto mais espaçadas, menos inclinado ele o será. Certos aspectos das superfícies devem ser destacados, por exemplo: um pico montanhoso é rodeado de linhas de nível como a figura abaixo: �

456

440432

42020m

20m400

equidistância

vertical416

432416

456440420400

fig. 6

Observação

500400300

fig. 7

fig. 8

fig. 9

fig. 10

x 585

300

400

500

x 563

300

500

600800

80070

0

500

300

x 563

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Uma situação em que ocorre o cruzamento de curvas de nível pode ser ilustrada pela fi gura abaixo. A foto mostra uma formação rochosa existente no parque Nacional das Sete Cidades, no Piauí, e, abaixo, a representação das curvas de nível para uma formação desse tipo:

um longo vale apresenta curvas de nível aproximadamente paralelas, con­ �

forme a fi gura abaixo:

fig. 11

fig. 12

200100

100200

Curiosidade

fig. 13

fig. 14

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A partir da identificação das formas côncavas ou convexas de um perfil topográfico, obtemos informações importantes relativas à visibilidade de um ponto em relação a outro. Essas informações são úteis, por exemplo, em projetos de transmissão de sinais de rádio, televisão ou telefonia celular.

Etapa 3 Reconstrução e comparação de relevos

Nesta etapa os alunos deverão construir um relevo a partir das curvas de nível, num processo inverso ao da etapa 2, permitindo ao aluno manipular, explorar e analisar as relações entre as representações plana e espacial de um relevo.

Etapa 4 Perfil topográfico

A partir do traçado obtido das curvas de nível, é possível escolher uma linha horizontal na carta topográfica e representar os aclives e declives ao percorrer essa linha. A linha obtida por esse gráfico é o perfil topo­gráfico do percurso. Ao analisar um perfil topográfico, podemos identificar as formas côncavas ou convexas de um terreno. Essas formas são ilustradas nas figuras a seguir:

��������

����

����������������

����������

����

����

����������������������

vista oblíqua Uma pendente escarpada até o cume e mais suave até a base é uma pendente côncava

vista de carta Note que as curvas de nível estão mais juntas na parte abrupta do declive e mais separadas na parte suave.

vista de perfil

fig. 15

20��40��

60��80��

100���120���

xx 135���

VISTA DE PERFIL

vista oblíqua Uma pendente suave até a base é uma pendente convexa

vista de carta As curvas de nível estão mais separadas na parte suave, mais juntas na parte mais inclinada do declive.

vista de perfilfig. 16

Observação

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Variações

Caso haja disponibilidade de cartas topográficas da região, adapte o pro­blema para locais conhecidos dos seus alunos. Também podem ser utilizados outros tipos de materiais, como eva, para a cons trução dos relevos e suas curvas de nível.

Bibliografia

Gleason, Andrew; Hughes­Hallett, Déborah; Mccallum, William et al. Cálculo de Várias Variáveis. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda., 1997.

Fechamento

Este experimento se encerra com um problema de aplicação, no qual é necessário representar o perfil de uma linha P α F AB B de um terreno para responder à seguinte pergunta: a casa situada em P α F AB B receberá sinal de TV de uma torre situada em P α F AB B? O problema deve ser resolvido conforme os passos descritos na etapa 4. A figura abaixo apresenta a solução, mostrando que a casa não receberá o sinal de TV, pois a elevação situada entre a casa e a torre impede a chegada do sinal.

fig. 17

fig. 18

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutoresMiriam Sampieri Santinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design

IlustradorLucas Ogasawara de Oliveira FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto