MATEMTICA FINANCEIRAProfa. Tatiane Lagetatiane@etva.com.brSUMRIOPLANO DE ENSINO............................................................................................ 051.1 Ementa............................................................................................................... 051.2 Carga Horria Total........................................................................................... 051.3 Objetivos........................................................................................................... 051.4Unidades de Ensino......................................................................................... 061.5 Metodologia ..................................................................................................... 061.6 Critrios de Avaliao...................................................................................... 061.7 Referncias Bibliogrficas Bsicas... 061.8 Bibliografia Complementar............................................................................... 06UNIDADE I - JUROS SIMPLES......................................................................... 071. Conceitos de Matemtica Financeira.................................................................. 071.1.Definio de Taxa de Juros .. 071.2. O Valor do dinheiro no Tempo................................................................ 082. Tipo de Formao de Juros................................................................................. 08 2.1 Juros Simples............................................................................................. 08 2.2. Montante .. 09 2.3 Juro Comercial e Juro Exato . 10 2.4 Comparao entre os Regimes de Capitalizao ...... 10 2.5 Valor Nominal e Valor Atual 113. Taxas Proporcionais 12 3.1. Conceito ... 12 3.2. Exemplo Numrico................................................................................... 12 3.3. Frmulas Relacionando Taxas Proporcionais........................................... 13 3.4. Problemas Resolvidos.............................................................................. 13Lista 01 de Exerccios ........................................................................................... 16UNIDADE II DESCONTO SIMPLES 182.1 Tipos de Ttulos................................................................................................. 182.2 Nota Promissria............................................................................................... 182.3Duplicata e Letra deCmbio........................................................................... 182.4 Desconto de ttulos Desconto Comercial ou Por Fora .. 182.5 Taxa de Desconto X Taxa Efetiva ... 192.6 Lista 02 de Exerccios .. 21UNIDADE III JUROS COMPOSTOS 223.1 Fluxo de Caixa de uma Operao..................................................................... 223.2 Introduo aos Juros Compostos....................................................................... 223.3Clculo do Montante........................................................................................ 233.4 Quando Usamos Juros Simples e Juros Compostos . 273.5 Taxas Equivalentes........................................................................................... 283.6 Taxas Equivalentes pela HP-12C.. 293.7 Taxa Efetiva...................................................................................................... 313.8 Taxa Nominal................................................................................................... 31Lista 03 de Exerccios. 33UNIDADE IV- Equivalncia de Capitais a Juros Compostos 354.1 Introduo......................................................................................................... 354.2 Valor Atual de um Conjunto de Capitais . 3624.3Anlise de Alternativas de Pagamento pelo Valor Atual. 394.4 Conjunto de Capitais Equivalentes .. 40Lista 04 de Exerccios 42UNIDADE V SRIES PERIDICAS UNIFORMES 445.1 Definies........................................................................................................ 445.2 Classificao das Sries Uniformes ................................................................. 44 5.2.1Srie Uniforme Postecipada (g) (End)................................................... 44 5.2.2 Srie Uniforme Antecipada (g) (Beg)..................................................... 46 5.2.3 Srie Uniforme Diferida . 475.3 Lista 05 de Exerccios ...................................................................................... 493Plano de Ensino1.1 EmentaCapitalizao simples, Composta, Operaes de Desconto de um nico e de uma serie de ttulos de mesmo valor ou de valores variveis. Classificao de taxas, Clculo do valor presente, do valor futuro, da taxa de juros, do prazo de uma srie de pagamentos ou recebimentos (rendas) postecipados e antecipados. Sistema de amortizao, Clculo do VPL, Clculo da TIR. 1.2 Carga Horria Total40 horas/ aula1.3 Objetivos Propiciar aos discentes o entendimento conceitual, tcnico e terico dos contedos dispostos pela Matemtica Financeira que agregam valor de deciso em situaes de investimento. Desenvolver a capacidade de analisar, compreender e manipular estrategicamente operaes comerciais e financeiras ali desenvolvidas familiarizando-os com esta linguagem.1.4 UNIDADES DE ENSINO1.4.1 JUROS SIMPLES Juros e montante; Descontos.1.4.2 - JUROS COMPOSTOS Juros e montante; Equivalncia de capitais.1.4.3 ANUIDADE E EMPRESTIMOS Rendas Certas ou anuidades; Modelos Genricos de anuidades; Emprstimos.1.4.4 INFLAO Taxa de juros aparente; Taxa de juro real e correo monetria.41.5 MetodologiaFundamentalmente participativa, consistindoprincipalmente de casos prticos provenientes do cotidiano das empresas acompanhados de exerccios e exposies para introduzir conceitos fundamentais.1.6 - Critrios de AvaliaoO grau total que ser atribudo ao aluno obedecer seguinte ponderao: 20% referentes s atividades/trabalho realizados em sala de aula; 80% referentes avaliaesindividuais , sob a forma de provas, a serem realizadas aps o trmino de cada unidade de ensino.1.7 - Referncias Bibliogrficas Bsicas:HAZZAN, Samuel & POMPEO, Jos Nicolau, Matemtica Financeira. 4 ed. So Paulo: Saraiva, 1998. PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemtica Financeira : Objetiva e Aplicada. 6 ed. So Paulo: Saraiva, 2003.1.8 - Bibliografia Complementar:ASSAF NETO, Alexandre. Matemtica Financeira e suas Aplicaes. 4 ed. So Paulo: Atlas, 1998.FARO, Clovis de. Matemtica Financeira. 9 ed. So Paulo: Atlas, 1993 .FRANCISCO, Walter de. Matemtica Financeira. 7 ed. So Paulo: Atlas, 1994MATHIAS, Washington Franco. & GOMES, Jos Maria. Matemtica Financeira. 2 ed. So Paulo: Atlas,1996KUHNEN, Osmar Leonardo.MatemticaFinanceiraAplicadaeAnlisedeInvestimentos. So Paulo:Atlas. 1997VIEIRA SOBRINHO, Jos Dutra. Matemtica Financeira. 6 ed. So Paulo, Atlas,5UNIDADE I - JUROS SIMPLES1. Conceitos de Matemtica Financeira1.1 Definio de Taxa de JurosUmataxadejuros, outaxadecrescimentodocapital, ataxadelucratividaderecebidanum investimento. De uma forma geral, apresentada em bases anuais, podendo tambm ser utilizada em bases semestrais, trimestrais, mensais ou dirias, e representa o percentual de ganho realizado na aplicao do capital em algum empreendimento.Por exemplo, uma taxa de juros de 12% ao ano indica que para cada unidade monetria aplicada, umadicional de R$0,12deveserretornadoaps um ano,comoremunerao pelo usodaquele capital. (Thuesen, 1977)A taxa de juros, simbolicamente representada pela letra i, pode ser tambm apresentada sob a forma unitria, ou seja, 0,12, que significa que para cada unidade de capital so pagos doze centsimos de unidades de juros. Esta a forma utilizada em todas as expresses de clculo.A taxa de juros tambm pode ser definida como a razo entre os juros, cobrveis ou pagveis, no fimde umperodo de tempo eodinheiro devido no incio do perodo. Usualmente,utiliza-se o conceito de taxa de juros quando se paga por um emprstimo, e taxa de retorno quando se recebe pelo capital emprestado.Portanto, pode-se definir o juro como o preo pago pela utilizao temporria do capital alheio, ou seja, o aluguel pago pela obteno de um dinheiro emprestado ou, mais amplamente, o retorno obtido pelo investimento produtivo do capital. Genericamente, todas as formas de remunerao do capital, sejam elas lucros, dividendos ou quaisquer outras, podem ser consideradas como um juro.Quando uma instituio financeira decide emprestar dinheiro, existe, obviamente, uma expectativa de retorno do capital emprestado acrescido de uma parcela de juro. Alm disso, deve-se considerar embutido na taxa de juros os seguintes fatores: (Thuesen, 1977)* Risco - grau de incerteza de pagamento da dvida, de acordo, por exemplo, com os antecedentes do cliente e sua sade financeira;* Custos Administrativos - custos correspondentes aos levantamentos cadastrais, pessoal, administrao e outros;* Lucro - parte compensatria pela no aplicao do capital em outras oportunidades do mercado, podendo, ainda, ser definido como o ganho lquido efetivo;* Expectativas Inflacionrias - em economias estveis, com inflao anual baixa, a parte que atua como proteo para as possveis perdas do poder aquisitivo da moeda. 61.2 O Valor do Dinheiro no TempoO conceito do valor do dinheiro no tempo surge da relao entre juro e tempo, porque o dinheiro podeserremuneradoporumacertataxade jurosnuminvestimento, por um perodo detempo, sendo importante o reconhecimento de que uma unidade monetria recebida no futuro no tem o mesmo valor que uma unidade monetria disponvel no presente.Suponhamos que duas empresas, a empresa A e a empresa B, tenham a receber R$ 100 cada. A empresa A deve receber seus R$ 100 em 30 dias e a empresa B, em 360 dias. Ser que os R$ 100 da empresa A valem o mesmo que os R$ 100 da empresa B? Claro que no! Os R$ 100 da empresa A valem mais do que os R$ 100 da empresa B. Isso porque o valor do dinheiro varia no tempo. o chamado valor temporal do dinheiro.A matemtica financeira a cincia que estuda o valor do dinheiro no tempo. 2. Tipos de Formao de JurosOs juros so formados atravs do processo denominado regime de capitalizao, que pode ocorrer de modo simples ou composto, conforme apresentado a seguir:2.1 Juros SimplesNoregimedecapitalizaoajurossimples, somenteocapital inicial, tambmconhecidocomo principal P, rende juros. Assim, o total dos juros J resultante da aplicao de um capital por um determinado perodo n, a uma taxa de juros dada, ser calculado pela frmula:Onde:J= JurosC= Capitali= Taxa de jurosn= prazo de aplicao7J = C . i . n30 dias360 diasR$ 100,00 R$ 100,00No presente trabalho ser adotada a notao definida abaixo, em todos os diagramas de fluxo de caixa estudados:i- taxa de juros para determinado perodo, expressa em percentagem e utilizada nos clculos na forma unitria.Ex.: rendimento de dez por cento ao ano;i = 0,10 ou 10 % a.a.n - nmero de perodos de capitalizao.Ex.: aplicao de um capital por 5 meses;n = 5C - valor equivalente ao momento presente, denominado de Capital, Principal, Valor Presente ou Valor Atual.Ex.: aplicao de R$ 10.000 efetuada hoje;C = 10.000J - Juros produzidos ou pagos numa operao financeira.Ex.: um capital de R$ 5.000 rendeu R$ 300 ao final de 1 ano;J = 3002.2 MONTANTELogo, pode-se calcular o total conseguido ao final do perodo, ou seja, o montante M, atravs da soma do capital inicial aplicado com o juro gerado. O montante pode ser expresso, para este caso, por: M = C + J, originando a frmula M = C ( l + i . n)Montante = Capital + JurosMontante = Capital + (Capital x Taxa de Juros x Nmero de Perodos).M - valor situado num momento futuro em relao C, ou seja, daqui a n perodos, a uma taxa de juros i, denominado Montante ou Valor Futuro.Ex.: uma aplicao de R$ 15.000, feita hoje, corresponder a R$ 19.000 daqui a n perodos, a uma taxa de juros i;M = 19.000 Observaes:1. Na frmula dos juros e do montante, necessrio que ie nestejam expressos na mesma unidade( por exemplo, se i for taxa mensal, n deve ser expresso em meses).2. Embora a frmula tenha sido traduzida para n inteiro, ela estendida para n fracionrio.EXERCCIO RESOLVIDO01Umcapital deR$10.000,00foi aplicadopor 3meses, ajurossimples. Calculeovalor aser resgatado no final deste perodo taxa de 4 % a.m.* juros acumulados: J = 10.000 x 0,04 x3 = 1.200* como M = C + J, o valor resgatado ser: M = 1.200 + 10.000 = 11.2008M = C. (1 + i . n)EXERCCIO RESOLVIDO02Temos uma divida de R$1.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Os juros que pagarei sero:J = 1000 x 0.08 x 2 = 1602.3Juro Comercial e Juro ExatoA diferena entre juros comercial e juros exatos est no nmero de dias do ano usado na converso da taxa de juro anual para o prazo de operao (mensal, dirio, etc.) e vice versa. O clculo dos juros comerciais leva em considerao o ano comercial de 360 dias. O clculo dos juros exatos leva em considerao o ano civil de 365 dias e de 366 dias para os anos bissextos. O conceito de juro comercial largamente utilizado durante sculos pelo sistema financeiro, devido a sua maior facilidade de clculo, pois o mesmo possui 24 divisores. Ao contrrio do juro exato (7 divisoresparaoanocivil e4paraoanobissexto). Excetoquandoforexplicitado, osclculos financeiros consideram o juro comercial.2.4 - Comparao entre os Regimes de Capitalizao Simples e CompostaA diferena entre um regime e outro pode ser melhor verificada atravs de um exemplo: Seja um capital de$1.000,00aplicadotaxade20%a.a, porumperodode4anosajurossimplese compostos. Qual o valor a ser resgatado (Montante)?Juros Simples Juros Compostosn Juro por perodoJ = C x iMontanteC + JJuro por perodoJ = M x iMontanteC + J1 1000 x 0,2 = 200 100+200 = 1200 1000 x 0,2 = 200 1.000 + 200 = 12002 1000 x 0,2 = 200 1200+200=1400 1200 x 0,2 = 240 1200 + 240 = 14403 1000 x 0,2 = 200 1400+200= 1600 1440 x 0,2 = 288 1440 + 288= 17284 1000 x 0,2 = 200 1600+200=1800 1728 x 0,2 = 345,60 1728 + 345,6 = 2073,60A partir das definies acima, pode-se perceber que os resultados de uma mesma operao sob o regime de juros simples, que evolui de forma linear, e sob o regime de juros compostos, que segue a forma exponencial, sempre sofrero uma defasagem crescente em funo do aumento dos perodos de tempo.Observaes:Independente do regime de capitalizao, o aluno pode reparar que o juro e o montante obtidos ao final doprimeiromsdecapitalizaoserosempreosmesmos. Da sepodeconcluir queao considerarmos um perodo nico de tempo, no h diferena entre os regimes de capitalizao, no havendo sentido em se distinguir, para apenas um perodo, a capitalizao simples da capitalizao composta. Isto se d por que ao final do primeiro perodo os juros compostos so calculados sobre o 9montante do perodo anterior, que neste momento o capital inicial, ficando igual ao clculo do juro simples. Veja:J = M.i = C.i (para o primeiro perodo)Observe ainda que, no regime de capitalizao simples o montante aumenta de acordo com uma progresso aritmtica, onde o montante sofre uma variao linear em relao aos juros (no exemplo, a razo 200, ou seja, a cada perodo o montante sobe de um valor constante e igual a 200). J no regimedecapitalizaocomposta, omontante varia de acordo com uma progresso geomtrica, ondeomontanteaumentasegundoumavariaoexponencial emrelaoaosjuros(arazoda progresso geomtrica dada por (1+i) = (1,20)).2.5 - VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL (OU PRESENTE)Consideremos que uma pessoa tenha uma divida de R$11.000,00 a ser paga daqui a 5 meses. Se ela puder aplicar seu dinheiro hoje, a juros simples e taxa de 2% a.m., quanto precisar aplicar para poder pagar a dvida no seu vencimento?Em situaes como esta, costuma-se chamar o valor da dvida, na data de seu vencimento, de valor nominal. Aovaloraplicadoajurossimplesnumadataanterioratadatadovencimentoeque proporcione um montante igual ao valor nominal chamamos de valor atual (ou valor presente).Indicado por N o valor nominal, por V o valor atual, por i a taxa e por n o prazo da aplicao at o vencimento, teremos esquematicamente:NV0 nPortanto:Assim, no exemplo citado, teremos:N = V(1 + i.n)11.000 = V(1+ 0,02. 5)V = 10.000Dessa forma, esta pessoa dever aplicar R$10.000,00 hoje, para saldar o compromisso mencionado daqui a 5 meses.Logo:10N = V (1 + i .n)) . 1 ( n iNV+Deve ficar claro que o valor atual pode ser calculado em qualquer data focal inferior do montante, no precisando ser necessariamente a data zero que utilizamos no exemplo acima. Constata-se que o clculo do valor atual apenas uma operao inversa do clculo do montante. Nestas condies, o valoratual, aplicadotaxadejurossimples contratada (i), da data do valor atual at a datado vencimento, reproduz o valor nominal.3 - TAXAS PROPORCIONAIS - JUROS SIMPLES3.1- ConceitoTaxas proporcionais so taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a ummesmo principal durante ummesmo prazo, produzemummesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.O conceito de taxas proporcionais est, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples, e esclarecido pelos exemplos numricos e pelas formulas desenvolvida nos prximos itens.3.2 - Exemplo NumricoDeterminar os montantes acumulados no final de quatro anos, a partir de um principal de R$100,00, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros:a) 12% ao anob) 6% ao semestrec) 1% ao msSoluo:a) i = 12% ao anon = 4 anos M = C (1+ i.n) = 100 (1 + 0,12 x 4) = 148b) i = 6% ao semestren = 4 anos = 8 semestres M = C (1+ i.n) = 100 (1 + 0,06 x 8) = 148c) i = 1% ao msn = 4 anos = 48 mesesM = C (1+ i.n) = 100 (1 + 0,01 x 48) = 148Ressaltamosque os clculos forma realizados no regime de juros simles, e que nos trescasos o capital e o prazo foram os mesmos.Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre igual a R$148,00, podemos concluir que as taxasde 12% ao ano, 6%aosemestre e 1% ao ms so proporcionais,pois produzem o 11mesmomontantedeR$148,00aoseremaplicadassobreomesmoprincipal deR$100,00, pelo mesmo prazo de quatro anos, no regime de juros simples.3.3 - Frmulas Relacionando Taxas ProporcionaisRelacionando a taxa anual comas taxas proporcionais semestral, trimestral e diria. Se considerarmos oanocomercial (360dias), as frmulas quepermitemoclculo dessas taxas proporcionais esto a seguir indicadas:em que:ia = taxa de juros anualis = Taxa de juros semestralit = taxa de juros trimestralim = taxa de juros mensalid = taxa de juros diria3.4 - Problemas Resolvidos1. Determinar as taxas semestral e mensal proporcional taxa de 12% ao ano. Soluo:ia = 12% ao anoa) taxa semestralia = is x 2;06 , 0212 , 02 iaisou seja,6 % ao semestre.b) taxa mensalia = im x 12;01 , 01212 , 012 iaim ou seja, 1% ao ms.2. Determinar a taxa semestral, mensal e diria, proporcional taxa de 24 %ao ano.Soluo:ia= 24% ao anoa)taxa semestralia = is x 2; 12 , 0224 , 02 iais ou seja, 12 % ao semestre.b) taxa mensalia = im x 12;02 , 01224 , 012 iaim ou seja, 2% ao ms.12ia = is x 2 = it x 4 = im x 12 = id x 360c) taxa diriaia = id x 360 ; 000667 , 036024 , 0360 iaid ou seja , 0,0667% ao dia.3. Determinar a taxa mensal proporcional taxa de 7,5% ao semestre.Soluo: Is = 7,5% ao semestreim x 12 = is x 2 ; 0125 , 06075 , 06 isim ou seja, 1,25 % ao ms.4. Determinar a taxa diria proporcional taxa de 1,5% ao ms.Soluo:im = 1,5 % ao msim x 12 = id x 360 ; 005 , 030015 , 030 imid ou seja 0,05% ao dia.CONCLUSO13LISTA 01Atividade Avaliativa: 2 pontos- Fazer os clculos com 6 casas decimais e arredondamento final 2 casas decimais.-A resposta de taxa dever ser dada na forma percentual. -A resposta de tempo dever ser dada em perodos inteiros.14Juros: remunerao do capital aplicado.Para o investidor: remunerao da aplicao.Para o tomador: custo do capital tomado por emprstimoTAXA DE JUROS o nmero que mede quanto o ganho representa do capital aplicado.No caso de emprstimo, quanto o custo representa do capital tomado.A TAXA DE JUROS pode ser:TAXA PERCENTUAL: 4,2% ao msTAXA UNITRIA: 0,042 ao ms.CONVERSO DA TAXA:Taxa percentual Taxa Unitria: divide-se por 100Taxa Unitria Taxa Percentual: multiplica-se por 100JUROS SIMPLESRegime no qual os juros de cada perodo so calculados sobre o capital inicial.OBS.: os juros so proporcionais ao tempo de aplicao.M = C. (1 + i . n)TAXAS PROPORCIONAISProduzem os mesmos juros quando aplicadas no mesmo prazo a juros simples.Exemplo: 4,5% ao msTaxa proporcional para 22 dias: (0,045 / 30) x 22 =3,3% para 22 diasOu seja, 4,5 % ao ms proporcional a 3,3% para 22 dias.- Exerccios sobre Capitalizao Simples-1) Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de $150.000,00 pelo prazo de 12 meses, sabendo-se que a taxa cobrada de 5% a.m.?R= R$$90.000,002) Umcapital de $300.000,00, aplicado durante 15 meses, rende juros de $35.000,00. Determine a taxa correspondente.R= 0,77% a.m.3) Sabendo-se que os juros de $380.000,00 foram obtidos com a aplicao de $900.000,00 a taxa de 10% a.b. Pede-se determinar o prazo da aplicao.R= 4 bimestres e 13 dias4) Calcular o montante da aplicao de um capital de $250.000,00, pelo prazo de 10 meses, a taxa de 5,5% a.m.R= R$387.500,005) Determinar o valor atual de um ttulo cujo valor nominal de $700.000,00, sabendo-se que a taxa de juros de 9%a.m. e que faltam 2,5 meses para o seu vencimento.R= R$571.428,576) Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 6 trimestres, a taxa de 12%a.a. rende $110.000,00 de juros, determinar o montante.R= R$721.111,11 7) Em quanto tempo um capital aplicado a 26% a.m. dobra o seu valor?R= 3 meses e 25 dias8) A que taxa de juros um capital aplicado durante 5 meses rende juros igual a do seu valor?R= 10% a.m.9) Um capital emprestado gerou $225.000,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicao foi de 12 meses e a taxa de juros de 0,5% a.m., calcular o valor do montante. R=R$ 3.975.000,0010) Calcular o montante correspondente a uma aplicao de $980.000,00 por 312 dias, a taxa de 8,2%a.m.R= R$1.815.744,0011) Dois capitais, um de 5.000,00 e outro de $6.000,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro taxa de 12% a.a. e o segundo taxa de 8%aa. Qual o prazo para que os montantes se igualem?R= 8 anos e 4 meses ou 100 meses ou 3000 dias 12) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e taxa de 48% a.apara que se quadruplique?R= 6 anos e 3 meses1513)Uma dvida de $50.000,00 vence daqui a 8 meses. Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., calcule seu valor atual:a) Hoje;R=R$43.103,44b) 3 meses antes do seu vencimento; R=R$47.169,81c) Daqui a 2 meses.R=R$44.642,8614)Um ttulo de R$24.000,00 vence daqui a 10 meses.a) Qual seuvalor atual, seataxadejuros simples paraesses ttulos hojefor de 2,2% a.m.? R=19.672,13b) Qual seu valor atual 3 meses antes do vencimento, se neste momento a taxa de juros simples para estes ttulos for de 2,6% a.m.? R=R$22.263,45c) Qual seuvalor atual 65diasantesdovencimento, senestadataataxadejuros simples para estes ttulos for de 2,1% a.m.?R=R$22.955,5215)Joo fez uma aplicao de R$50.000,00 a juros simples e taxa de 2,5% a.m. pelo prazo de 9 meses. No entanto, dois meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, vendeu o ttulo a Pedro. Determine o valor de venda (valor atual dois meses antes do vencimento), sabendo-se que, nesta data, a taxa de juros simples para esse ttulo era de 2,8%a.m.R=R$58.001,8916)Carlos fez uma aplicao de R$60.000,00 a juros simples, pelo prazo de 9 meses taxa de 32% aa. No entanto, 4 meses antes do vencimento, necessitando de dinheiro, vendeu o ttulo aVera. Determineovalordevenda(Valoratual nadatadavenda), sabendo-sequeno momento da venda a taxa de juros simples era de 27% a.a.R=R$68.256,88UNIDADE II - DESCONTO SIMPLESSe uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa da data futura, normal que entregue ao credor um ttulo de crdito, que o comprovante desta dvida.Todo ttulo de crdito temuma data de vencimento; porm, o devedor pode resgat-la antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.16O desconto uma das mais comuns aplicaes da regra de juro.2.1 TIPOS DE TTULOSOs ttulos de crdito mais utilizados em operaes financeiras so: a nota promissria, a duplicata e a letra de cmbio. 2.2 - NOTA PROMISSRIA um comprovante da aplicao de um capital com vencimento predeterminado. um titulo muito usado entre pessoas fsicas ou entre pessoa fsica e instituio financeira.2.3 - DUPLICATAumttulo emitido por uma pessoa jurdica contra seu cliente(pessoa fsica ou jurdica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou servios a serem pagos no futuro, segundo um contrato.2.4 - LETRA DE CMBIOAssimcomoanotapromissriaumcomprovantedeumaaplicaodecapital com vencimentopredeterminado; porm, umttuloaoportador, emitidoexclusivamentepor uma instituio financeira.2.5 DESCONTAR UM TTULOO QUE PODE ACONTECER: Que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia comumabatimentocorrespondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento; Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender ottulodecrditoaumterceiroejustoqueesteltimoobtenha umlucro, correspondenteaojurodocapital queadianta, nointervalodetempoquefaltaparao devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no ttulo de crdito.Emambos oscasoshumbeneficio, definidopeladiferenaentreasduas quantidades. Esse beneficio, obtidodecomumacordo, recebeonomededesconto.As operaes anteriormente citadas so denominadasoperaes de desconto, e o ato de efetua-las chamado descontar um ttulo.No regime de juros simples, os descontos de cada perodo so obtidos pela aplicao da taxa de desconto (i) sempre o valor nominal ou futuro de um ttulo, fazendo com que os descontos tenham o mesmo valor em todos os perodos.Assim, temos:17onde:Dc= Desconto Comercial id= Taxa de Desconto do Ttulo N= Valor Nominal n= prazo de descontoJ o valor descontado do ttulo, ou seja o seu valor lquido (valor que a empresa ir receber) j operado o desconto dado pela expresso:Vdc = N N . id .nOnde:Vdc = Valor Descontado Comercial (Valor Lquido do Ttulo aps o desconto)Exemplo:Determinar o Desconto Comercial e o Valor Lquido de um ttulo de valor nominal R$15.000,00, descontado a uma taxa de 24%a.a., com prazo de antecipao de 8 meses.Desconto ComercialDc = N x id x nDc = 15.000 x 0,02 x 8Dc = 2.400Valor Lquido do TtuloVdc = N (1 id x n)Vdc = 15.000 (1- 0,02 x 8)Vdc = 15.000 (1- 0,16)Vdc = 15.000 x 0,84 12.6002.6 - TAXA DE DESCONTOXTAXA EFETIVA A Taxa implcita de juros do Desconto Comercial (Por Fora)O Desconto por fora admite uma taxa de juros superior quela declarada para a operao. Isto por que o desconto por fora apurado sobre o valor nominal do ttulo.Por exemplo, suponha um ttulo de valor nominal de $ 50.000,00 descontado num banco um ms antes de seu vencimento taxa de 5% a.m.Aplicando-se o mtodo do desconto comercial como tpico destas operaes tem-se:Dc= N x id x n Dc = 50.000,00 x 0,05 x 1 Dc = 2.500,00Vdc = N Dc Vdc = 47.500,00Observe que a taxa de juros adotada de 5% ao ms no iguala O Vdc ao N. Ou seja, esta taxa, se aplicada ao valor descontado de $47.500,00, no produz para o perodo de 1 ms, o montante de $50.000,00. Veja.18Dc = N . id. nVdc = N - DcVdc = N ( 1 id . n)47.500,00 + 5% = 49.875,00Logo, h uma taxa implcita de juros na operao, superior aos declarados 5% a.m., que conduz Vdc e N a um mesmo resultado no perodo. Esta taxa implcita pode ser obtida. Considerando que a taxa que est presente na operao deve levarVdca Nno mesmo perodo de tempo do desconto ento teremos a frmula:ie = id1- id x nA taxa efetiva em desconto comercial, a taxa implcita nestas operaes. No exemplo anterior, ao utilizar uma taxa de desconto de 5% a.m., na verdade, a instituio financeira est tendo um ganho de5,26%a.m. emcadaoperaoe, logicamente, estaataxaqueoclientedainstituioest pagando, ou seja, ao optar por uma operao de desconto de 5% a.m., o cliente est pagando 5,26% a.m.A taxa de desconto comercial, tambm pode ser obtida pela taxa efetiva da instituio financeira. Para isto, tem-se a frmula:id = ie1+ ie x nNo exemplo anterior tem-se o clculo da taxa de desconto que dever ser usada para uma rentabilidade (taxa efetiva de 5,26% a.m.).Frmula Taxa de Desconto: Frmula Taxa efetiva: ie = id1- id x nLISTA 02Atividade Avaliativa: 2 pontos - Fazer os clculos com 6 casas decimais e arredondamento final 2 casas decimais.id = ie1+ ie x n19Dada a taxa de desconto do exemplo anterior, calcule a taxa efetiva da operao:ie = id ie = 0,05ie =0,05= 0,052636 (x 100) 5,26% a.m1- id x n 1- 0,05 x 1 0,95Dada a taxa efetiva (5,26%) do exemplo anterior, calcule a taxa de desconto da operao:id = i id = 0,0526 id=0,0526 = 0,04997 (x 100) id= 5,00% am 1+ ie x n1+ 0,0526 x 11,0526- A resposta de taxa dever ser dada na forma percentual. - A resposta de tempo dever ser dada em perodos inteiros. - Exerccios sobre Desconto simples -1) Calcular o Desconto comercial das hipteses seguintes:Valor Nominal Taxa Prazo/ Vencimento a)R$12.500,00 37% a.a.250 diasR=R$3.211,80 b)R$20.000,00 28% a.a.8 mesesR= R$3.733,332) O valor Nominal de um Ttulo 15 vezes o Desconto Comercial a 30% a.a. Qual ser o prazo de antecipao, se o desconto comercial for de R$640,00?R= 80 dias3) Se a taxa de desconto for de 30% a.a., qual ser o valor descontado comercial se o desconto de um ttulo no valor de R$18.000,00 ocorrer 90 dias antes de seu vencimento?R=R$16.650,004) PeloValor nominal deR$10.000,00umapessoarecebeuR$9.556,94comosendoovalor descontado comercial. Qual foi o prazo de antecipao, se a taxa de juros adotada foi de 29%a.a.? R=55 dias5) Uma Duplicata de Valor nominal de R$8.000,00 foi descontada 90 dias antes de seu vencimento, a taxa de desconto de 23,5% a.a. Qual o desconto Comercial? Qual a taxa efetiva? R= Dc=470,00ie=24,96% ao ano6) Se uma instituio deseja ganhar 36% a.a. (taxa efetiva), quala taxa de desconto que dever ser aplicada para operaes com prazo de:a) 3 mesesR= 33,02 %a.a.b) 6 meses R= 30,50 % a.a.7) Uma duplicata de R$ 60.000,00 descontada 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial de 12% a.m., pede-se:a) O desconto comercial R=14.400b) O valor descontado comercial R= 45.600c) a taxa efetiva de juros da operao R=15,78% a.m.8) Para uma taxa de desconto comercial de 15% a.m., calcule a taxa efetiva de juros nos seguintes prazos:a) 1 ms b)2 meses c) 3 mesesR=17,64% a.m. R= 21,42% a.m.R= 27,27% a.m.9) Um banco oferece crdito financeiro cobrando 10% a.m. de taxa de desconto. Se uma empresa necessita hoje de R$ 3.000,00 para pagar daqui a 2 meses, qual deve ser o valor da nota promissria a ser descontada?R=R$3.600,0010) Uma empresa necessita imediatamente de recursos para capital de giro. Das opes de crdito abaixo, qual a melhor alternativa empresa?a) Contrair emprstimos a uma taxa de 10% a.m. para pagar daqui a 2 meses.R= 8,33% a.m.b) Descontar duplicatas com dois meses at ovencimento a uma taxa de desconto de 10% a.m.20R= 12,5% a.m. A melhor alternativa a primeira opo, pois tem taxa de desconta e taxa efetiva com menores valores.UNIDADE III JUROS COMPOSTOS3.1 Fluxo de Caixa de Uma Operao uma representao esquemtica onde no eixo horizontal representado o tempo; as setas para cima indicam entradas de dinheiro e as setas para baixo representam sada de dinheiro.Exemplo: Uma pessoa aplica R$ 5.000,00 num banco e recebe R$ 1.000,00 de juros aps1 anoO fluxo de caixa do aplicador : 6.000,00 0 1 5.000,00Fluxo de caixa do banco :5.000,00 016.000,003.2 Introduo aos Juros compostosA diferena fundamental entre juros simples e compostos que no juro simples s o capital inicial que rende juros ao longo da vida do investimento, ao passo que nos juros compostos, aps cada perodo, os juros so incorporados ao capital e passam, por sua vez, a render juros. oregimedecapitalizaoemqueataxadejuroincidesobreomontanteobtidonoperodo anterior, para gerar juro no perodo atual. Portanto, em cada perodo de aplicao, os juros sero calculados atravs do produto do montante anterior pela taxa de juro.(J = M . i)Exemplo: Um capital de R$1.000,00 colocado a 20% ao ano, durante 4 anos, no final do 1 ano o jurodeR$200,00, quecapitalizado, isto, somadoaocapital deR$1.000,00para, assimo capital de R$1.200,00 produzir juros no 2 ano.No final do 2 ano, o juro ser de R$240,00, ou seja, 20% de R$1.200,00.No exemplo acima, os juros simples sero de R$200,00 em todos os anos.Destraforma, omontanteajuros simples cresceemprogressoaritmtica, enquantoos juros compostos cresce em progresso geomtrica.O quadro abaixo mostra os montantes nos primeiros 4 anos de aplicao.21As setas voltadas para cima indicam entradas ( + ).As setas voltadas para baixo indicam sidas ( - ).Juros Simples Juros Compostosn Juro por perodoJ = C x iMontanteC + JJuro por perodoJ = M x iMontanteC + J1 1000 x 0,2 = 200 100+200 = 1200 1000 x 0,2 = 200 1.000 + 200 = 12002 1000 x 0,2 = 200 1200+200=1400 1200 x 0,2 = 240 1200 + 240 = 14403 1000 x 0,2 = 200 1400+200= 1600 1440 x 0,2 = 288 1440 + 288= 17284 1000 x 0,2 = 200 1600+200=1800 1728 x 0,2 = 345,60 1728 + 345,6 = 2073,603.3 CLCULO DO MONTANTE COM JUROS COMPOSTOS1 ano : M1 = C ( 1 + i .)2 ano : M2 = M1 ( 1 + i ) = C ( 1 + i ). ( 1 + i.) = C ( 1 + i . n)23 ano: M3 = M2 ( 1 + i) = C ( 1 + i)2 (1 +i) = C (1 +i)34 ano: M4 = M2 (1+i) = C(1+i)3(1 + i) = C ( 1 + i)4Observaes:a) O fator(1 + i)n chamado de Fator de Acumulao de Capital para pagamento nico.b) As Calculadoras financeiras permitemcalcular diretamente qualquer uma das quatro variveis, dados o valores das outras trs.A simbologia usada a seguinte:PV (Present Value): Valor Presente representa o capital CFV (Future Value): Valor Futuro representa o montante Mi (interest rate): Representa a taxa de jurosn (number): representa do nmero de perodosPela HPNa HP-12C, temos as seguintes funes financeiras. n = Nmero de Perodos de uma operaoi = Taxa de Juros Por Perodo de CapitalizaoPV = Valor Presente ou Capital (Present Value)22M = C (1 + i) nPMT =Valor da prestao de uma srie uniforme (PayMenT)FV = Valor Futuro ou Montante (Future Value)Qualquerproblemadematemticafinanceirapodeserfacilmentedemonstradopormeiodeum diagrama de fluxo de caixa que a representao grfica de entradas e sadas de dinheiro ao longo do tempo. Observe:FVinPVOnde:LinhaHorizontal representaalinhadotempo, em que so destacadas as entradas e sadasde dinheiro.Assim, utilizando o exemplo anterior, temos:FV = i = 20% a.a0 n= 4 anos PV=- 1.000,00Soluo:Pressione Visor Significadof (CLX) 0,00 Limpa todos os registradores1000 CHS PV - 1.000,00 Introduz o valor do principal inicial (negativo conforme vimos no diagrama de fluxo de caixa)4 (i) 10,00 Indica a taxa de juros anual da operao4 n 4,00 Indica o prazo anual em que o dinheiro ficou aplicadoFV 2073,60 Calcula o valor do montante formado (valor final)Exemplo 2: Umapessoatoma$1.000,00emprestadosajurosde2%a.m. peloprazode10meses, com capitalizao composta. Qual o montante a ser devolvido?FV = PV x (1 + i)nPela HPFV = 1.000 x (1 + 0,02)10 FV = 1.000 x 1,0210FV = 1.000 x 1,218994FV = 1.218,99 f (CLX) Limpa todos os registradores1000 CHS PV Informa o capital2 (i) Informa a taxa10 n Informa o prazoFV Solicita o montante23 Houveumasadadedinheironadatafocal zero de $1000,00 (PV) Uma pessoa fez um desembolso para aplicar o dinheiro), representando uma sada de capital (PV negativo) Aps 4 meses, o dinheiro foidevolvido com juros totalizando ummontante (FV), que ser 1218,99Bem, utilizando a frmula de Valor Futuro, podemos chegar a frmula de Valor Presente:FV = PV x (1 + i)n PV =FVOu PV = FV (1 + i)-n(1 + i)nExemplo 3:Umapessoaemprestoudeterminadaquantiaajurosde2%a.m. aps10mesesrecebeucomo pagamento $ 1.218,99. Que quantia ela emprestou?PV = PV = FV (1 + i)-nPV = 1218,99 (1 + 0,02)-10PV = 1218,99 (1,02)-10PV = 1218,99 x 0,820348PV= 1.000Pela HP-12Cf (CLX)Limpa todos os registradores1218,99 CHS FVInforma o montante2 (i) Informa a taxa10 n Informa o prazoPV Solicita o capital 1.000,00Exemplo 4 Um capital de $1.000,00 aplicado durante 10 meses produz um montante de $1218,99. Qual a taxa de juros mensal?PV x (1 + i)n 1.218,99 = 1.000 x (1 + i)10 1.218,99 / 1.000 = (1 + i)10 1,21899 = (1 + i)10101,21899 = 1 + if (CLX) Limpa todos os registradores1.000 CHS PV Informa o capital1.218,99 FV Informa o montante10 n Informa o prazo mensalI Solicita a taxa mensal 2,00 % a.m.241,02 = 1 + i1,02 1 = ii = 0,02 (x 100)i = 2% a.m.Exemplo 5Durantequantosmeses, umcapital de$1.000,00aplicadoa2%a.m. produz ummontantede $1.218,99FV = PV x (1 + i)n1.218,99 = 1.000 x (1 + 0,02)n 1.218,99 = 1.000 x (1,02)n 1.218,99 / 1.000 = (1,02)n

1,21899 = 1,02n (log)log 1,21899 =log 1,02nlog 1,21899 =n xlog 1,020,086 = n x 0,0086000,086 = 0,008600n0,008600n = 0,086n = 0,086 / 0,008600n = 10 mesesf (CLX) Limpa todos os registradores1.000 (CHS) (PV)Informa o valor do capital1.218,99 (FV) Informa o montante2 iInforma a taxan Solicita o prazo da operao 10 meses253.4 Quando usamos juros simples e juros compostosA maioria das operaes envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Esto includas: compras a mdioelongoprazo, compras comcartodecrdito, emprstimos bancrios, as aplicaes financeiras usuais comocaderneta depoupanaeaplicaes emfundos derendafixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: o caso de operaes de curtssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.Um exemplo simples de capitalizao composta o da caderneta de poupana, onde voc deposta seudinheiroemummsesperandoquenofinal doprimeiromsamesmajapresenteum montante igual ao capital inicial mais o juro, que foram gerados sobre o capital inicial (este era o nico montante anterior), observe que a partir do primeiro ms, mesmo que voc no deposite nada na caderneta de poupana, o dinheiro l existente vai rendendo juros sobre o capital inicial e sobre os juros que j esto na conta, sendo este processo conhecido como juros sobre juros ou capitalizao composta.A expresso que permite quantificar o total de juros resultante da aplicao de um capital C, a uma taxa de juros i, durante n perodos, mostrada a seguir:EXERCCIO RESOLVIDO 01Calcule os juros pagos numa aplicao de R$5.000,00 por 6 meses, taxa de 2,5% ao ms, sob o regime de juros compostos. juros em 6 meses: J = 5.000 [(1 + 0,025)6 - 1] = 798,47EXERCCIO RESOLVIDO 02Determinar o valor a ser resgatado ao final de 6 meses, considerando-se a aplicao de R$10.000,00, hoje, a uma taxa de 2,5% ao ms. Montante ao final de 6 meses: M = 10.000 ( 1 + 0,025)6 = 11.596,93J = C. [(1 + i)n - 1]3.5 TAXAS EQUIVALENTES Teremos aqui, que recorrer ao principio de equivalncia de taxas, onde: duas taxas referentes a perodosdistintosdecapitalizaosoequivalentesquandoproduzemomesmomontanteno final dedeterminadotempo, pelaaplicaodeummesmocapital inicial noregimedejuros compostos.O conceito de taxas equivalentes est, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.Assim, a diferena entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regimedejurosconsiderado. Astaxasproporcionais se baseiam emjurossimples,eas taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.Doexpostopodemosapresentar umafrmulagenrica, quepossaserutilizadaparaqualquer caso, ou seja:Onde:iq = taxa para o perodo que queroit = taxa para o perodo que tenhoq = prazo que querot = prazo que tenhoEXERCCIO RESOLVIDO 01Qual a taxa trimestral equivalente taxa de1, 8%ao ms?100 1) 018 , 0 1 (13 +itit= 5,49%ao trimestreObserve: tratando-se de Juros Compostos, o que ocorre NO uma simplesproporcionalidade. Voc NO pode transformar as taxas a partir da regra de trs.3.6 Taxas Equivalentes pela HP-12C Programao27100 1 () 11]1

+ittenhoqueroiqPara rodarmos o programa de taxas equivalentes em juros compostos na calculadora, primeiro temos que entrar no modo programvel da HP-12C. Siga os seguintes passos na calculadora:PASSOS PROGRAMA VISOR DA HP-12C INSTRUES- f R/S 00-acessando o modo programvel- f R 00-limpando todos os programas1 RCL i 01-45 12linha 1 coluna 2 2 1 02- 1passo 02 3 0 03- 0passo 03 4 0 04- 0passo 045 05- 10passo 05; linha 1 coluna zero6 1 06- 1passo 067 + 07- 40passo 07; linha 4 coluna zero8 RCL 1 08- 451passo 08; linha 4 coluna 59 RCL 2 09- 452passo 09; linha 4 coluna 510 10- 10passo 1011 yx11- 21passo 11; linha 2 coluna 112 1 12- 1passo 1213 - 13- 30passo 13; linha 3 coluna zero14 1 14- 1passo 1415 0 15- 0passo 1516 0 16- 0passo 1617 x 17- 20passo 17; linha 2 coluna zero18 F R/Spara sair do modo programvel Um dos modos de elaborarmos um programa de taxas equivalentes em juros compostos na HP-12C consiste em registrar os dados do problema na mquina com o auxlio da tecla STO, por exemplo. Os dados armazenados so chamados para as operaes atravs da tecla RCL.Nessas condies, pra programarmos a frmula da taxa equivalente em juros compostos abaixo,Onde:iq = taxa para o perodo que queroit = taxa para o perodo que tenhoq = prazo que querot = prazo que tenhoPassos na calculadora HP-12c: a taxa it taxa dada na tecla i28100 1 () 11]1

+ittenhoqueroiq o perodo da taxa que eu quero(q) na memria 1; e o perodo da taxa que tenho na memria 2.Para rodarmos o programa, devemos inserir os dados conforme o caso e acionarmos a tecla R/S (Run/Stop). Por exemplo:1) Dada taxa de 50% ao ano, calcule a taxa equivalente em juros compostos para 30 dias.50 i30STO 1360STO2R/S ?Taxa= 3,44% ao ms2) Qual a taxa anual equivalente taxa de 3% ao ms?3 i12STO 11STO2R/S ?Taxa= 42,57% ao ano3) Qual a taxa trimestral equivalente taxa de 3% ao ms?3 i3STO 11STO2R/S ?Taxa= 9,27% ao trimestre4) Qual a taxa anual equivalente taxa de 6% ao trimestre?6i12STO 13 STO2R/S ?Taxa= 26,25% ao ano5) Qual a taxa mensal equivalente a 4,67% para 59 dias?4,67i30 STO 159 STO2R/S ?Taxa= 2,35% ao ms3.7 TAXA EFETIVA29Taxa efetiva a taxa de juros que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. So exemplos de taxas efetivas: 2% ao ms, capitalizado mensalmente. 3% ao trimestre, capitalizado trimestralmente. 6% ao semestre capitalizado semestralmente 10% ao ano, capitalizado anualmente.3.8 TAXA NOMINALTaxa Nominal a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. A taxa nominal sempre fornecida em termos anuais, e os perodos de capitalizao podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou dirios. So exemplos de taxas nominais: 12% ao ano, capitalizado mensalmente. 24% ao ano, capitalizado semestralmente. 10% ao ano, capitalizado trimestralmente. 18% ao ano, capitalizado diariamente.A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, no representa uma taxa efetiva e, por isso, no deve ser usada nos clculos financeiros, no regime de juros compostos.Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implcita, que a taxa de juros a ser aplicadaemcadaperododecapitalizao. Essataxaefetivaimplcitasemprecalculadade forma proporcional, no regime de juros simples.Nos exemplos anteriores, as taxas efetivas que esto implcitas nos enunciados das taxas nominais so as seguintes: 12% ao ano, capitalizado mensalmente.aomsmeses% 112% 12

24% ao ano, capitalizado semestralmente.aosemestresemestres% 122% 24 10% ao ano, capitalizado trimestralmente.e aotrimestrtrimestres% 5 , 24% 1030 18% ao ano, capitalizado diariamente.aodiadias% 05 , 0360% 18 Devemos ento abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos os clculos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao ms, 12% ao semestre, 2,5% ao trimestre e 0,05% ao dia.Conforme podemos observar, a taxa efetiva implcita de uma taxa nominal anual sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual equivalente a essa taxa efetiva implcita sempre maior que a taxa nominal que lhe deu origem, pois essa equivalncia sempre feita no regime de juros compostos. Essa taxa anual equivalente ser tanto maior quanto maior for o nmero de perodos de capitalizao da taxa nominal.EXERCCIO RESOLVIDO Determinar o montante acumulado no final de 2 anos, ao se aplicar R$1.000,00 taxa de 9% ao ano, capitalizado mensalmente.im = 12% 9 = 0,75% ao ms.

C= 1.000n = 2 anos= 24 mesesim = 0,75% ao ms.M = C ( 1 + i )nM = 1.000( 1 + 0,0075)24M = 1.196,41LISTA 0331Atividade Avaliativa: 2 pontos- Fazer os clculos com 6 casas decimais e arredondamento final 2 casas decimais.-A resposta de taxa dever ser dada na forma percentual. -A resposta de tempo dever ser dada em perodos inteiros. - Exerccios sobre capitalizao composta-1) Qual o montante gerado por um capital de R$1.000,00, aplicados pelos prazos e taxas abaixo:a) 1% a.m. 12 meses M=1.126,82b) 1.5% a.m. 3 anosM=1.709,13c) 3% a.t. 18 mesesM=1.194,05d) 10% a.a. 120 meses M=2.593,74e) 5% a.s. 5 anosM=1.628,89 2) Que juros receber uma pessoa que aplique $1.000,00, conforme as hipteses abaixo:a) 2% a.m. 1 anoJ=268,24b) 1.5% a.t. 2 anos J=126,49c) 7% a.s. 36 meses J=500,733) Certa pessoa pretende comprar uma casa por R$50.000,00 daqui a 06 anos. Quanto deve aplicar esta pessoa hoje para que possa compartilhar a casa no valor e prazo estipulado, se a taxa for:a) 3% a.t. C=24.596,68b) 1% a.m.C=24.424,80c) 50% a.s.C=385,364) Para ter R$10.000,00 quanto devo aplicar hoje se as taxas e prazos so os seguintes:a) 2,5% a.m. 1 semestre C=8.622,97b) 15% a.q. 4 anosC=1.869,07c) 50% a.d. 10diasC=173,415) Qual a taxa equivalente anual s seguintes taxas:a) 1% a.m.ia=12,6825%aa.b) 2% a.b. ia= 12,6162%a.a.c) 5% a.t.ia=21,5506%aa.d) 2,5% a.q.ia=7,6890%aa.e) 8% a.s.ia= 16,64%aa.6) Que taxas so equivalentes a 25% ao ano se os prazos respectivos forem:a) 6 meses (semestral) is=11,8033% a.s.32b) 4 meses (quadrimestral)iq=7,7217% a.q.c) 3 meses (trimestral) it=5,7371% a.t.d) 2 meses (bimestral)ib=3,7890% a.b.7) Qual ser a taxa de juros para 13 meses, nas hipteses:A) 27% a.a. i=29,5549% para 13 mesesB) 6% a.s. i=13,4564% para 13 mesesC) 5% a.q. i=17,1831% para 13 mesesD) 10% a.t.i=51,1361% para 13 meses8) Qual a taxa efetiva anual nas hipteses abaixo:TAXA NOMINAL CAPITALIZAO24% a.a. Mensal ia=26,8241% a.a.28% a.a.Trimestralia=31,0796% a.a.21% a.a.Quadrimestralia=22,5043% a.a.9) Se o banco deseja ganhar 30%aa. como taxa efetiva, que taxa nominal anual dever pedir em cada hiptese de capitalizao abaixo:a) Mensal ia=26,5248% a.a.b) trimestralia=27,1156% a.a.10) Um stio posto venda por R$50.000,00 de entrada e R$ 100.000,00 em um ano. Como opo o vendedor pede R$124.000,00 vista. Se a taxa de juros de mercado de 2,5% a.m., qual a melhor alternativa? R=Melhor alternativa pagar vista11)Um investidor aplicou R$5.000,00 por 30 meses a taxa de 10% a.a..Qual o montante por ele recebido? M= R$6.345,2612) Com finalidade de comprar um carro no valor de R$7.500,00, um rapaz aplica R$6.000,00 taxa de 3% a.m. Quanto tempo levou para obter o valor do carro?n=7 meses e 16 dias13) Uma aplicao em caderneta de poupana rende R$500,00 sobre um capital de R$8.000,00 em um ano e trs meses. Qual a taxa de rentabilidade anual? ia=4,9695% ao ano14) Uma empresa toma R$100.000,00 pelo prazo de 02 anos. Se a taxa do banco for de 28% a.a.,com capitalizao trimestral, qual ser o montante devolvido?M=R$171.818,61

33UNIDADE IV - EQUIVALNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS4.1 INTRODUOEstecaptuloserevestedeimportnciafundamental nas aplicaes prticas. Oconceitode equivalncia permite transformar formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras equivalentes e, conseqentemente, efetuar comparaes entre alternativas.Consideremos o seguinte exemplo: um prdio vendido por R$5.000.000,00 vista ou ento a prazo, em3 parcelas mensais de R$1.700.000,00 cada uma, sementrada. Qual a melhor alternativa pra o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a juros compostos e taxa de 2% a.m. e tem fundos suficientes para pagar vista?Uma forma de resolver esta questo a seguinte: se ele pagar a prazo, aps 1 ms de aplicao eleterR$5.000.000,00+100.000,00, ousejaR$5.100.000,00. PagandoR$1.700.000,00de prestao, sobram-lhe R$3.400.000,00. Aplicando R$3.400.000,00 por mais um ms, ele ter no final R$3.468.000,00; pagando a segunda prestao sobram-lhe R$1.768.000,00. Aplicando finalmenteR$1.768.000,00 pormaisum ms, ele ter ao final R$1.803.360,00, o que d para pagar a ltima prestao e ainda lhe sobram R$103.360,00. V-se que melhor pagar a prazo (se no instante de pagar a ltima prestao ainda faltasse dinheiro, seria melhor pagar vista).Problemas dessa natureza podem ser resolvidosdesta forma. Contudo, imagine uma situao em que o nmero de prestaes seja 12 ou 24. O trabalho seria enfadonho.O Princpio de equivalncia de capitais fundamental na resoluo dos problemas de decises de compraeinvestimentos. Diz-sequedoiscapitaiscomdatasdevencimentodeterminadasso equivalentesquando,levadosaumamesma data (data focal), mesma taxa de juros, tiverem valores iguais. Assim, emjuroscompostos, doiscapitais ouconjuntodecapitais quesejam equivalentes em determinada data tambm o sero em outra.Exemplo: Um bem pode ser pago em 30 dias por R$20.000,00. Qual o valor vista do bem, se a taxa for de 25% a.m.?

FV= 20.000i=25% a.m.1) 25 , 0 1 (000 . 20+ PV = 16.0000 1 PV=?Assim, podemosafirmarqueR$20.000daqui a30dias equivalente a R$ 16.000 hoje, a uma taxa de 25% a.m.Pode-se afirmar tambm que para determinarmos ao valor vistadeumbem, bastaencontrar oValor Presentedos pagamentos futuros.344.2 -VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAISConsideremos os capitais y0, y1, y2 ....... yn, nas datas 0,1,2 ..... n, respectivamente. Chamamos de valor atual na data 0 ( ou simplesmente valor atual) desse conjunto, a uma taxa de juros i , soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0.Em outras palavras, o valor atual do conjunto a soma dos valores atuais de cada capital, taxa i. Portanto, o valor atual do conjunto o valor que, aplicado na data 0 `a taxa i, consegue gerara os capitais y0, y1,y2 ...... yn. y0 y1y2 yn 0 1 2nChamando de V o valor atual, teremos:) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (...... ..........3 2 13 2 1i i i inyn y y yyo V+ + + ++ + + + Exemplo 1:Uma empresa prev o pagamento de R$200.000,00 daqui a um ms e R$500.000,00 daqui a trs meses. Quanto dever aplicar hoje a juros compostos taxa de 1,5% a.m. para fazer frente a essas despesas? 200.000 500.0000 1 23O valor atual que dever ser aplicado hoje , por definio, o valor atual desse conjunto, ou seja:) 015 , 0 1 ( ) 015 , 0 1 (3 100 . 500 000 . 200+ ++ V35V= 197.044,33+ 478.158,66V=675.202,99Exemplo 2:Uma loja vende um eletrodomstico da seguinte forma: Entrada de $6.000, mais duas parcelas mensais de $12.000,00 cada. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a.m. Determine seu preo vista. Temos, 6.00012.000 12.0000 1 2PV = 6.000 + 2 1) 03 , 1 (000 . 12) 03 , 1 (000 . 12+ PV = 28.961,64Portanto, o preo vista de R$ 28.961,64Pela HP:Exemplo 3:Um bem no valor de R$ 28.961,64, pode ser pago com uma entrada de R$ 6.000,00, mais duas parcelas mensais, vencendo a primeira em 30 dias e a segunda em 60 dias. Considerando que a segunda parcela de R$ 12.000,00, a taxa de juros de 3% a.m., determine o valor da primeira parcela.Considerando que pela equivalncia financeira de capitais, o Valor Presente de um bem dado pelo valor atualizado de suas parcelas, temos:Pressione SignificadoOUPressione SignificadoF (CLX) Limpe todos os registradores F (CLX) Limpe todos os registradores6.000 (g) (cfo) Indica o fluxo de caixa 0 (Cash Flow 0) 6.000 (g) (cfo) Indica o fluxo de caixa 0 (Cash Flow 0)12.000 (g) (cfj) Indica o fluxo de caixa seguinte 12.000 (g) (cfj) Indica o fluxo de caixa seguinte12.000 (g) (cfj) Indica o fluxo de caixa seguinte 2 (g) (nj) O fluxo anterior acontece 2 vezes seguidas3 (i) Indica a taxa mensal 3 (i) Indica a taxa mensal(f) (NPV) Solicita o Valor Presenteda srie (f) (NPV) Solicita o Valor Presenteda srie36 Po= 6.000 P1 P2= 12.0000 1 2 (meses)PV = 2211) 1 ( ) 1 ( i P i P Po + + + +28.961,64 =2 11) 03 , 0 1 ( 000 . 12 ) 03 , 0 1 ( 000 . 6 + + + +P28.961,64 = 942596 , 0 000 . 12 0,970874 000 . 61 + + P28.961,64 = 15 , 311 . 11 0,970874 000 . 61 + + P28.961,64 = 15 , 311 . 11 03 , 11+ P28.961,64 - 11.311,15= 10,970874 P17.650,49 = 0,970874P1P1= 0,97087411.650,49P1 = 12.000 OU4.3- Anlise de Alternativas de Pagamento pelo Valor AtualDadasvrias alternativas depagamento, omelhor aquelademenorvalor atual. Vejamos, porqu:Um bem vendido por:a) R$ 1.000,00 a vista b) R$ 1.050,00 daqui a 1 ms. Considerando que a taxa de juros de mercado1 de 6% a.m. Qual a melhor opo?PV (a vista) = 1.000,00PV (a prazo) = Valor atual de 1050,00Assim, Isto se significa que, se optar por pagar a prazo, o comprado poder aplicar no mercado o valor correspondenteaobem(1.000,00). Nofinal de1 mseleter1.060,00(1.000+6%). Osuficiente parapagar ovalor aprazodobemeaindalhe 1 Taxa de juros de mercado a taxa de remunerao pela aplicao de recursos no mercado financeiroPressione Resultado OUPressione ResultadoF (CLX) F (CLX)6.000 (g) (cfo) 12.000 (CHS) FV0 (g) (cfj) 3 (i) (2 (n)12.000 (g) (cfj) PV 11.311,153 (i) 6.000 (+) 17.311.15(f) (NPV) 17.311,15 28961,64 ( - ) - 11.650,4928961,64 ( - ) - 11.650,49 PVCHS PV 3 (i) 1(n)3 (i) 1 (n) FV 12.000,00FV 12.000,0037PV = 1050 (1 + 0,06)-1PV = 990,57Interessa comprar a prazo, pois o PV menorsobrar recursos.Em resumo, melhor pagar a prazo, pois a taxa de juros de mercado maior que a taxa do financiamentoExemploUm determinado produto est sendo vendido por R$ 1.800,00 vista, ou em 3 pagamentos mensais e iguais de R$ 650,00. Estando atualmente em 3,3% a.m. as taxas de juros de mercado, pede-se avaliar a melhor alternativa de compra:a) PV ( vista) = 18.000,00b) PV (a prazo) = Valor atual das parcelas de R$ 650,00Assim, PV = 650 ( 1 + 0,033)-1 + 650 ( 1 + 0.033)-2 + 650 ( 1 + 0,033)-3PV = 1.828,04Avendaaprazo, por apresentar umPVmaior queovalor avista, indicaqueataxadejurosdo financiamento maior que a taxa de juros de mercado. Ou seja, se pagar o bem a prazo, se pagar um juros maior do que o dinheiro investido. Interessa a compra a vista.Vamos comprovar:Pela HP podemos calcular a taxa de juros da operao1.800 (CHS) G Cfo650 (G) (CFj)650 (G) (Cfj)650 (G) (Cfj)F (IRR) 4,11% a.m TAXA DO FINANCIAMENTOConfirma-se um custo embutido na venda a prazo de 4,11% a.m., maior que os juros de mercado.Soluo: claro que se voc aplica seu dinheiro a uma taxa de 3,3%, mais interessante pagar a vista4.4 CONJUNTO DE CAPITAIS EQUIVALENTESConsideremos os conjuntos de capitais:y0, y1 , y2.......... yn , nas datas 0 , 1 , 2 ........ n, respectivamente.x0, x1 , x2.......... xm , nas datas 0 , 1 , 2 ........ m, respectivamente.y0y1y2yn 38012n x0 x1 x2xm012 mDizemos que esses conjuntos so equivalentes a uma taxa de juros compostos i , se os seus valores atuais forem iguais.Assim, chamando de V1 e V2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos ter:Exemplo:Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condies: entrada de R$1.000,00 mais uma parcela de R$1.200,00, aps um ms.Umclientepropepagar umaentradadeR$600,00, maisduasprestaes mensaiseiguais, vencendo a primeira um ms aps a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% ao ms, qual o valor de cada parcela, de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? 1.000 1.2001 forma39V1 = V201 600x x2 forma 01 2V1 = V2) 03 , 0 1 ( ) 03 , 0 1 ( ) 03 , 0 1 (2 1 1600200 . 1000 . 1+ + ++ + +x x1.000 + 1.165,05 = 600 + 0,970874 x + 0,942596 x2.165,05 600 = 1,913470 x1.565,05 = 1,913470 xx = 913470 , 105 , 565 . 1 x = 817,91LISTA 04Atividade Avaliativa: 2 pontos- EXERCCIOS SOBRE EQUIVALNCIAS DE CAPITAIS-1) Um ttulo no valor nominal de R$8.500,00, com vencimento para 5 meses, trocado por outrodeR$7.934,84comvencimentopara3meses. Sabendo-sequeataxadejuros corrente de mercado de 3,5% a.m., pergunta-se se a substituio foi vantajosa.R. V= R$7.156,77 V=R$7.156,77A substituio do ttulo no trouxevantagens, j que a troca no proporcionou valores diferentes.2)Joo ir receber R$6.600,00 dentro de 1 ano, como parte de seus direitos na venda de um barco. Contudo, necessitandodedinheiro, transfereseusdireitos aumamigoqueos 40compra, entregando-lhe uma nota promissria no valor de R$ 6.000,00 com vencimento para 6 meses. Joo fez um bom negcio, se a taxa de mercado for de 20% ao ano?R. V=R$5.477,23V=R$5.500,00 Joo no fez um bom negcio.3) Considerando-se a taxa de juros de 4% ao ms, ser que R$8.000,00 hoje equivalente a R$10.000,00 em 6 meses?R. V=R$8.000,00 V=R$7.903,14No so equivalentes4) Uma dona de casa, prevendo suas despesas com as festas de fim de ano, resolve depositar R$4.000,00 em 30/03/2004 e R$5.000,00 em 30/07/2004, em um banco que paga 8% ao quadrimestre. Quanto possuir a dona de casa em 30/11/2004 ? R. M=R$10.065,605) Umterrenopostoavendapor R$100.000,00 vistaou,caso o compradoroptepor financiamento,as condies so as seguintes: R$50.000,00 no ato da compra mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de R$34.000,00 e a segunda de R$35.000,00. Qual a melhor alternativa para o comparador, se considerarmos que a taxa de juros corrente de 50% ao ano? R. V=R$101.094,28A melhor alternativa comprar vista6) Certapessoacontraiuuma dvidacomprometendo-se a sald-laemdois pagamentos: o primeiro de R$2.500,00 e segundo, 6 meses aps o primeiro, de R$3.500,00. Contudo, no vencimento da primeira parcela, no dispondo de recursos o devedor props adiamento desuadvida. O esquema apresentado foi: pagamento de R$4.000,00 daqui a 3 meses e o saldo restante em 9 meses. Se a taxa de juros considerada foi de 2,5%ao ms. Qual o saldo restante?R. Saldo restante=R$2.252,517) UmcarroestvendaporR$20.000,00 de entrada eR$20.000,00aps6meses.Um compradorprope pagar R$25.000,00 como sendo a segunda parcela, o que ser feito, entretanto, aps 8 meses. Neste caso, quanto dever dar de entrada, se a taxa de juros de mercado for de 2% ao ms?R. Entrada= 16.422,168) Um conjunto de dormitrios vendido em uma loja por R$5.000,00 vista ou a prazo emdois pagamentos trimestrais iguais, no exigindo entrada. Qual o valor dos pagamentos, se a taxa de juros considerada for de 8%ao trimestre? R. Pagamentos= 2.803,849) Um stio posto a venda em uma imobiliria por R$500.000,00 vista. Como alternativa, a imobiliria prope: entrada de R$100.000,00, uma parcela de R$200.000,00 para1 ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6meses e o segundo em 1 ano e meio. Qual o valor destes pagamentos, se a taxa de juros adotada for de 5% ao ms?41 R. Pagamentos=248.449,5110)Na venda de um barco a loja Nuticaoferece duas opes a seus clientes..1) R$30.000,00 de entrada mais duas parcelas semestrais, sendo a primeira de R$50.000,00 e asegundadeR$100.000,00. 2)sementrada, sendoopagamentoefetuadoemquatro parcelastrimestrais: R$40.000,00 nas duasprimeiras,e R$50.000,00 nas duas ltimas. Qual amelhor alternativaparaocomprador, seconsiderarmos ataxadejuros de mercado de 4% ao ms? R. V1=131.975,43V2= 133.531,63 A melhor alternativa a 1 opo11) Uma loja vende umvestidopor R$1.800,00podendoeste valor ser pagoemtrs prestaes mensais iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Uma cliente prope o pagamento o pagamento de R$1.000,00 como terceira parcela. De quanto deve ser as duas primeiras parcelas se forem iguais e a taxa de juros adotada pela loja for de 8% ao ms? R. Parcelas= 421,94 12)Um imvel est venda por 4 parcelas semestrais de R$50.000,00, vencendo a primeira em6meses. Umclientepropeacompradesteimvel, pagando-oemduasparcelas iguais, uma no ato da compra e outra aps 1 ano. Qual o valor das parcelas, se a taxa de juros adotada for de 20% ao semestre?R. Parcelas=76.388,90UNIDADE V SRIES PERIDICAS UNIFORMES5.1 DEFINIESA Matemtica Financeira define sries peridicas uniformes como operaes financeiras que se representam por fluxo de caixa (srie de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado perodo de tempo).Por exemplo, emprstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma seqncia de desembolsos (pagamentos) peridicos de caixa.As sries de pagamentos podem acontecer de diferentes formas: Parcelamento em n vezes com o 1 pagamento em 30 dias. 1 pagamento vista e o restante parcelado em n vezes. Parcelamento com carncia de 6 meses. Desta forma, as sries de pagamentos so definidas como Antecipadas, Postecipadas e Diferidas.42As Sries Postecipadas so aquelas em que o 1 pagamento ocorre no final do 1 perodo e so as mais comuns. Ex. Uma geladeira que pode ser paga em 5 parcelas mensais sem entrada.As Sries Antecipadas so aquelas em que os pagamentos so feitos no incio de cada perodo. Ex. Geladeira que pode ser paga em 5 parcelas mensais com entrada.AsSriesDiferidassooperaesemquehumacarnciaparaoinciodopagamentodas parcelas. Ex. Geladeira parcelada em 5 parcelas mensais, sendo o 1 pagamento para daqui a 3 meses.5.2 CLASSIFICAO DAS SRIES PERIDICAS UNIFORMES:5.2.1)Sries Uniformes Postecipadas (g) (end): pela conveno de final de perodo os valores que ocorrem ao longo de cada perodo devem ser representados no final dos respectivos perodos, conforme indicado no Diagrama Padro a seguir:PMT PMT PMTPMT PMT01 2 3n-1nPVOnde:PMT = Valor de Cada Parcela (Pagamento)n = nmero de parcelasPara a calculadora HP-12C obedecer ao Diagrama padro, preciso ativar a funo azulEND, pressionando a tecla azul g e em seguida a tecla do nmero 8, que tem a funo azul END escrita na sua face lateral inferior. O visor no indica que essa funo END est ativada.Frmulas:11]1

++iPMT PViinn) 1 () 1 (1

11]1

+iPMT FVin1) 1 (43Exemplo 1:Qual o valor vista de uma geladeira que pode ser paga em 5 parcelas de R$ 230,98 a uma taxa de 5% a.m.?PMT = 230,97n= 5 mesesi = 5% a.mPV=?11]1

++iPMT PViinn) 1 () 1 (1PV = 230,98 1]1

+ +05 , 0 ) 05 , 0 1 (1 ) 05 , 0 1 (55xPV = 230,98 x [4,329379] PV = 1.000,00Pela HP(f)(CLX)230,98 CHS PMT5 (i)5 (n)PV 1.000,00Exemplo 2:Calcule o valor acumulado ao final de 4 meses a 4 aplicaes mensais sucessivas de R$ 100,00 cada uma, sabendo-se que a taxa de aplicao de 2% a.m.FV = PMTx(1 +i )n - 1iFV = 100,00x(1 +0,02 ) 4 - 10,02FV = 100,00x(1 +0,02 ) 4 - 10,02FV = 100,00 x 4,121608FV= 412,165.2.2) Sries Uniformes Antecipadas (g) (beg): pela conveno de incio de perodo, os valores que ocorremaolongode cada perododevemser representados noincio dos respectivos perodos. Esquematicamente, temos: PMT1 PMT2 PMT3 PMT4o 123 Para a calculadora HP-12C obedecer ao Diagrama padro, preciso ativar a funo azulBEG, pressionando a tecla azul g e em seguida a tecla do nmero 7, que tem a funo azul BEGEND escritanasuafacelateral inferior. Nessecasoovisor mostraapalavraBEGIN, abaixodo nmero principal do visor, para informar que essa funo BEG est ativada.Exemplo: Uma geladeira de 1.000,00 vendida em 5 parcelas iguais mensais, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor das parcelas, considerando o 1 pagamento vista? PMT1 PMT2 PMT3 PMT4o 123 44Calculadora HP 12c(f) (CLX)100 CHS PMT4 n 2iFV 412,16Limpa os registrosIndica o valor das parcelas mensaisIndica o n de parcelas mensaisIndica a taxa mensalSolicita o Valor Acumulado)'+ 11]1

++) 1 (1) 1 () 1 (iiPMT PViinn1.000= PMT)'+ 11]1

++) 05 , 0 1 (05 , 01) 05 , 0 1 () 05 , 0 1 (551.000= PMT (4,329473) x (1,05)1.000= PMT (4,545946)PMT=219,97Frmulas:)'+ 11]1

++) 1 (1) 1 () 1 (iiPMT PViinn ) 1 (1) 1 (iiPMT FVin+ 11]1

+5.2.3) Sries Uniformes Diferidas: As sries diferidas so caracterizadas pela carncia Exemplo:UmageladeiradeR$1.000,00serpagaem5prestaes mensais iguais ajuros efetivosde5%a.m. Considerandoquefoiestipuladoumperododecarnciadedoismeses, calcular o valor das prestaes. PMT PMTPMT PMTPMT01 23 4 5 6 7 Carncia= 2 meses45A Carncia indica o nmero de perodos em que no ocorrer pagamentos. Neste caso como a carnciade2perodos, opagamentosserfeitonoperodo3. Seopagamentoocorrerno perodo 4, a carncia atinge 3 perodos, e se ocorrer no perodo 5, a carncia atinge 4 perodos, e assim sucessivamente. Em suma a matemtica financeira considera que os pagamentos so feitos no final de cada perodo.Soluo:Neste caso, como as parcelas foram adiadas 2 meses frente (considerando comparao com sries postecipadas), ns deveremos aplicar o fator de capitalizao frmula de recuperao de capital:)'11]1

+ ++) 1 ( ) 1 () 1 ( 11i iic nniPMT PV1.000= PMT) 05 , 0 1 ( ) 05 , 0 1 () 05 , 0 1 (2 55105 , 01+ ++11]1

1.000= PMT (4,329473) x (0,907029)1.000= PMT(3,926957)PMT= 254,65Observa-se que o valor das parcelas na operao diferida (com carncia) maior do que parcelas Postecipadas eAntecipadas. Emborahajaumprazomaior paracomear apagar obemou servio, as taxas de juros j esto embutidas no valor a ser pago.46Onde:PV=Valor Presente dobemou servioPMT = Valor das Parcelas iguais e peridicasi= Taxa por perodon= Nmero de parcelasCalculadora HP-12C (f) (CLX)(g) (end)1000 CHS PV5 n5 iPMT230,94F clx230,94 CHS PV5 (i) 2 (n) Limpa os registrosIndica Srie PostecipadaIndica o valor do BemIndica o n. de parcelas mensais Indica a taxa mensalSolicita o Valor das ParcelasIndica o valor das parcelas postecipadasCapitaliza pela taxa e perodo de carnciaA HP-12C no oferece opo para clculo de parcelas diferidas, por isso, parte-se do pressuposto que as parcelas diferidas, so na verdade as parcelas postecipadas acrescidas de juros pelo perodo da carncia.Frmulas:)'11]1

+ ++) 1 ( ) 1 () 1 (11i iic nniPMT PV11]1

+iPMT FVin1) 1 (LISTA 05Atividade Avaliativa: 2 pontos- Fazer os clculos com 6 casas decimais e arredondamento final 2 casas decimais.-A resposta de taxa dever ser dada na forma percentual.-A resposta de tempo dever ser dada em perodos inteiros-Exerccios sobre Sries Peridicas Uniformes-1) Qual o preo vista de uma mercadoria, cuja prestao mensal de R$200,00 se as taxas e prazos abaixo forem consideradas:a) 2,5% a.m. 18 meses R=2.870,70b) 3,0% a.m. 18 meses R=2.750,75c) 2,0% a.m. 24 meses R=3.782,87d) 4,0% a.m. 24 meses R=3.049,39472)UmterrenovendidoporR$10.000,00deentradae36prestaesmensaisdeR$500,00, sabendo-se que a taxa de juros corrente no mercado de 2,5% a.m., at que preo vale a pena comprar o terreno vista?P=21.778,203) Calcular a prestao referente a uma mercadoria, cujo preo vista de R$10.000,00, caso ocorram as seguintes hipteses sobre as taxas e respectivos prazos:e) 2,5% a.m. 12 mesesR=974,87f) 3,0% a.m. 30 mesesR=510,194) Um stio posto venda por R$300.000,00 vista, ou a prazo nas seguintes condies: 10% de entrada e o restante em 50 meses, juros de 3% a.m. Qual o valor das prestaes? R= 10.493,66

5)Umaempresarevendedoradeautomveisusados oferece o seguinte planodevenda deum carro: a) Entrada= R$2.000,00 mais 6 prestaes mensais de R$ 800,00P=6.481,18 b) Entrada= R$1.000,00 mais 12 prestaes mensais de R$ 600,00P=7.345,39Sendo a taxa de mercado 2% a.m., qual a melhor alternativa?R= Alternativa a)6)Na venda a prazo de um produto, cujo preo vista de R$320.000,00, uma loja cobra 21% a.m.de juros. Calcule o valor da prestao a ser fixada, considerando-se as seguintes condies:a)quatro prestaes mensais iguais, sem entradaR=125.962,33 b)idem, sendo a primeira no ato da compra R=104.101,12c)50% de entrada e o restante em 3 prestaes iguais R=77.147,917)Um apartamento vendido por R$60.000,00 vista ou por 5 0% de entrada e o restante em 60 meses, a taxa de juros de 12% a.a. Qual o valor das prestaes?R= 658,048)O preo de uma fazenda de R$450.000,00 vista e como opo o proprietrio pede 20% se entrada e o restante em 6 anos, em prestaes trimestrais. Os juros so de 12% a.a. Qual o valor das prestaes trimestrais? R= 20.968,479)Que montante obter uma pessoa que deposita periodicamente R$100,00, conforme taxas e prazos seguintes:a) 1% a.m. 24 mesesR= 2.697,34b) 5% a.m. 60 meses R= 35.358,37c) 20% a.s. 20 semestres R= 18.668,8010)Quantodeverdepositarmensalmente paraque,ao fimde 5 anos,no se processando nenhuma retirada, se tenha R$50.000,00. Considerar que a instituio paga 2,5% a.m. sobre o saldo credor. R= 367,674811) Se uma pessoa efetuar 60 depsitos mensais de R$200,00 em um banco emque a taxa de juros de 2,5% a.m. sobre o saldo credor, quanto poder retirar em 60 meses? (Considerar 1 retirada 1 ms aps o ltimo depsito)R= 27.198,3212) Em um anncio de uma loja de vendas a crdito informa-se que, pela compra de certo televisor, o cliente pagar 12 prestaes mensais de R$119, 96, vencendo a primeira no fim do6ms. Qual seropreovistadesteaparelho, seataxadejurosforde3%a.m.? P= 1.030,0413) De quanto deve ser a prestao mensal de um eletrodomstico, cujo preo vista de R$5.000,00, se a primeira prestao ocorrer trs meses aps a compra?Considerar a taxa de juros de 2% a.m., em total de 22 prestaes.R= 294,0914)UmclubevendettulodesciomedianteumaentradadeR$500,00e36prestaes mensais de R$200,00. Para facilitar a venda, permite uma carncia de at 4 meses, para o pagamento da 1 prestao. Qual o valor do ttulo, uma vez que a taxa de juros de mercado de 2,5% a.m.? P= 4.768,1915) Na venda de um carro a revendedora prope os seguintes planos:a) Entrada de R$10.000,00 mais 24 prestaes de R$ 1.500,00P= 34.087,69b)EntradadeR$10.000,00mais24prestaesdeR$1.722,00comcarnciade6meses. P= 32.495,47Qual ser a melhor opo, se a taxa de juros vigente for de 3,5% a.m.?(R= A melhor opo o plano b)49