aula

01

D I S C I P L I N A2ª Edição

André Gustavo Campos Pereira

Joaquim Elias de Freitas

Roosewelt Fonseca Soares

Cálculo I

Limite de funções reais em um ponto

Autores

Copyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços TécnicosCatalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDCarlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitoraÂngela Maria Paiva Cruz

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisMarta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesJânio Gustavo BarbosaThalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT

Verônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua Portuguesa

Janaina Tomaz CapistranoSandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisores Técnicos

Leonardo Chagas da SilvaThaísa Maria Simplício Lemos

Revisora TipográficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

Diagramadores

Bruno de Souza MeloDimetrius de Carvalho Ferreira

Ivana LimaJohann Jean Evangelista de Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoAndré Quintiliano Bezerra da SilvaKalinne Rayana Cavalcanti Pereira

Thaísa Maria Simplício Lemos

ColaboradoraViviane Simioli Medeiros Campos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyStock.XCHG - www.sxc.hu

Pereira, André Gustavo Campos Cálculo I / André Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. – Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.

220 p.

1. Cálculo. 2. Funções reais. 3. Reta real. 4. Funções compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II Soares, Roosewelt Fonseca. III. Título.

ISBN: 978-85-7273-398-4

CDD 515RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3

2ª Edição Aula 01  Cálculo I 1Copyright © 2007 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da

UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços TécnicosCatalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

Governo Federal

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a Distância – SEEDCarlos Eduardo Bielschowsky

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

ReitorJosé Ivonildo do Rêgo

Vice-ReitoraÂngela Maria Paiva Cruz

Secretária de Educação a DistânciaVera Lúcia do Amaral

Secretaria de Educação a Distância- SEDIS

Coordenadora da Produção dos MateriaisMarta Maria Castanho Almeida Pernambuco

Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky

Projeto GráficoIvana Lima

Revisores de Estrutura e LinguagemEugenio Tavares BorgesJânio Gustavo BarbosaThalyta Mabel Nobre Barbosa

Revisora das Normas da ABNT

Verônica Pinheiro da Silva

Revisoras de Língua Portuguesa

Janaina Tomaz CapistranoSandra Cristinne Xavier da Câmara

Revisores Técnicos

Leonardo Chagas da SilvaThaísa Maria Simplício Lemos

Revisora TipográficaNouraide Queiroz

IlustradoraCarolina Costa

Editoração de ImagensAdauto HarleyCarolina Costa

Diagramadores

Bruno de Souza MeloDimetrius de Carvalho Ferreira

Ivana LimaJohann Jean Evangelista de Melo

Adaptação para Módulo MatemáticoAndré Quintiliano Bezerra da SilvaKalinne Rayana Cavalcanti Pereira

Thaísa Maria Simplício Lemos

ColaboradoraViviane Simioli Medeiros Campos

Imagens UtilizadasBanco de Imagens Sedis - UFRN

Fotografias - Adauto HarleyStock.XCHG - www.sxc.hu

Pereira, André Gustavo Campos Cálculo I / André Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. – Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.

220 p.

1. Cálculo. 2. Funções reais. 3. Reta real. 4. Funções compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II Soares, Roosewelt Fonseca. III. Título.

ISBN: 978-85-7273-398-4

CDD 515RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3

Apresentação

Na disciplina de Pré-Calculo, você trabalhou da aula 8 à aula 15 com uma das ferramentas mais importantes da Matemática: as funções. Viu por meio de exemplos a sua importância, entendeu sua definição, estudou seu comportamento (crescimento

e decrescimento) e aprofundou tal estudo com exemplos mais importantes de funções: as polinomiais, a exponencial, a logarítmica e as trigonométricas. Aprendeu, por exemplo, que

para saber o que acontece com a função f : (1, 5) → R

x −→ 2x no ponto 4 basta calcular

a imagem de 4, ou seja, calcular f(4) = 2.4 = 8, já que 4 ∈ (1, 5) = Df . Nesta aula, não estaremos interessados em saber quem é f(4), mas o que acontece com a função quando estamos “bem próximos de 4”. Vamos aprender sobre o limite de uma função.

ObjetivosAo final desta aula, esperamos que você: tenha uma idéia sobre o significado do

limite de uma função em um ponto; saiba calcular alguns limites simples; e utilizar saiba as propriedades de limites.

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição2

Limites de uma função realO que lhe vem à cabeça quando alguém fala em limite?

Observe estes exemplos, quando você está querendo estudar cálculo e um amigo não te deixa em paz, você olha para ele e diz “estou chegando no meu limite”, ou quando alguém está enchendo um copo e o líquido vai se aproximando da borda, normalmente dizemos que o líquido está chegando no limite do copo.

Nesses exemplos, o ponto limite foi atingido? Vamos verificar. Quando você falou com seu amigo, já pulou no pescoço dele? Parece que não, ou seja, você não atingiu seu limite, mas esteve próximo dele. No segundo exemplo, o líquido tinha subido até a borda do copo? Ainda não, mas estava se aproximando dela.

Pois bem, quando falamos do limite de uma função em um ponto a , não estamos ainda no ponto a , mas nos aproximando desse ponto. Em outras palavras: não estamos falando de f(a) mas dos valores de f nos pontos bem próximos de a .

Antes de tudo precisamos entender direitinho o que significa “pontos bem próximos de a”. Seja f : (b, c)→ R uma função e a ∈ (b, c).

Observe o gráfico seguinte. Nele podemos nos aproximar de a por dois lados, tanto pela direita, ou seja, por valores maiores que a , quanto pela esquerda, ou seja, por valores menores que a .

Gráfico 1 - Significado geométrico de aproximação do ponto a , tanto pela esquerda quanto pela direita

2ª Edição Aula 01  Cálculo I �

Lembre-se de que num gráfico o ponto a do domínio é marcado no eixo das abscissas e o valor f(a) é marcado no eixo das ordenadas, conforme a Figura 1. Assim, para saber o que acontece com o f(x)quando x varia, assumindo valores próximos de a , precisamos nos concentrar apenas no eixo y através da imagem de tais pontos pela f .

Vamos deixar a idéia de aproximar pela direita e pela esquerda mais clara. Usemos a Figura 1 como referência: dizer que um ponto x se aproxima de a pela esquerda, significa que x está assumindo valores cada vez mais próximos de a e sempre menores que a . Se concordarmos em representar ∆x como uma quantidade positiva bem pequena, dizer, então, que um ponto x se aproxima de a pela esquerda é dizer que x é da forma x = a−∆x . E “se aproximar” significa fazer esse valor ∆x ficar cada vez menor. De maneira análoga, dizer que x se aproxima de a pela direita é dizer que x é da forma x = a+∆x e, novamente, “se aproximar” significa fazer esse valor ∆x ficar cada vez menor.

Assim, se queremos saber o que acontece com f(x) quando x se aproxima de a pela direita, devemos estudar f(x) = f(a+∆x) com o ∆x cada vez menor. E se queremos saber o que acontece com f(x) quando x se aproxima de a pela esquerda, devemos estudar f(x) = f(a−∆x) com o ∆x cada vez menor.

Exemplo 1

Considere f : R→ R dada por f(x) = x2 + 2 . O que acontece com f(x) quando x

se aproxima:

a) de 4 pela esquerda?de 4 pela esquerda?

b) de 4 pela direita?de 4 pela direita?

Solução

a) Queremos estudar o que acontece comQueremos estudar o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 4 pela esquerda.

Devemos então considerar x = 4−∆x e observar se f(x) = f(4−∆x)se aproxima

de algum valor, à medida que ∆x fica cada vez menor. Calculemos, então:

f(x) = f(4−∆x) = (4−∆x)2 + 2 = 42 − 2.4.∆x+∆x2 + 2

= 16− 8∆x+∆x2 + 2 = 18− 8∆x+∆x2.

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição�

Atividade 1

Façamos agora o ∆x ficar pequeno.

∆x = 0.1 − f(4−∆x) = 18− 8.0.1 + (0.1)2 = 17.210000000000∆x = 0.01 − f(4−∆x) = 18− 8.0.01 + (0.01)2 = 17.920100000000∆x = 0.001 − f(4−∆x) = 18− 8.0.001 + (0.001)2 = 17.992001000000∆x = 0.0001 − f(4−∆x) = 18− 8.0.0001 + (0.0001)2 = 17.999200010000∆x = 0.00001 − f(4−∆x) = 18− 8.0.00001 + (0.00001)2 = 17.999920000100∆x = 0.000001 − f(4−∆x) = 18−8.0.000001+(0.000001)2 = 17, 999992000001

Note que f(4−∆x) está ficando cada vez mais próximo de 18.

b) Queremos estudar o que acontece comQueremos estudar o que acontece com f(x) quando x se aproxima de 4 pela direita. Devemos então considerar x = a+∆x e observar se f(x) = f(4 + ∆x) se aproxima de algum valor, à medida que ∆x fica cada vez menor. Calculemos, então:

f(x) = f(4+∆x) = (4+∆x)2+2 = 42−2.4.∆x+∆x2+2 = 16+8∆x+2 = 18+8∆x.

Façamos agora o ∆x ficar pequeno.

∆x = 0.1 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.1 + (0.1)2 = 18.810000000000∆x = 0.01 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.01 + (0.01)2 = 18.080100000000∆x = 0.001 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.001 + (0.001)2 = 18.008001000000∆x = 0.0001 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.0001 + (0.0001)2 = 18.000800010000∆x = 0.00001 − f(4 + ∆x) = 18 + 8.0.00001 + (0.00001)2 = 18.000080000100∆x = 0.000001 − f(4+∆x) = 18+8.0.000001+ (0.000001)2 = 18.000008000001

Note que f(4 + ∆x) está ficando cada vez mais próximo de 18.

Agora é sua vez!!!

Considere f : R→ R dada por f(x) = x2 + 2x + 4 . O que acontece com f(x) quando x se aproxima:

a) de 1 pela esquerda?de 1 pela esquerda?

b) de 1 pela direita?de 1 pela direita?

2ª Edição Aula 01  Cálculo I �

Muito bem, agora que já temos a idéia do que significa f(x) se aproximar de algum valor quando x se aproxima de um ponto dado, estamos prontos para entender as definições de limite à direita, limite à esquerda e limite de uma função.

Definição 2

Seja f : A→ R uma função e a ∈ R tal que existe um intervalo (c, a), (a, d) ⊂ A . Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela direita

é igual a L, se ao tomarmos 0 < ∆x < d− a e, de todas as formas possíveis, o fizermos se aproximar de zero, obtermos que f(a+∆x) se aproxima de L. Chamamos L de limite de f(x) quando x tende a a pela direita e denotamos isso por lim

x→a+f(x) = L .

Definição 1

Seja f : A→ R uma função e a ∈ R tal que existe um intervalo (c, a) ⊂ A . Dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se ao tomarmos 0 < ∆x < a− c e, de todas as formas possíveis, o fizermos se aproximar de zero, obtermos que f(a+∆x) se aproxima de L. Chamamos L de limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda e denotamos por lim

x→a−f(x) = L .

Definição 3

Seja f : A→ R uma função e a ∈ R tal que existam intervalos (c, a), (a, d) ⊂ A . Dizemos que o limite def(x) quando x tende a a é igual a L, se os limites à esquerda e à direita de f(x) quando x tende a a, existem e são iguais a L. A esse valor comum chamamos o limite de f(x) quando x tende a a, e denotamos por

limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = L = limx→a

f(x) .

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição�

Algumas explicações se fazem necessárias neste momento.

n Por que na primeira definição precisamos que ter 0 < ∆x < a− c ?

Para garantirmos que a−∆x com ∆x pequeno pertence ao domínio da f e podermos assim calcular a imagem destes pontos f(a−∆x) sem problemas.

n Por que a frase: de todas as formas possíveis que fizerPor que a frase: de todas as formas possíveis que fizer ∆x se aproximar de zero, obtermos que f(a−∆x) se aproxima de L.

Porque pode acontecer que ao fazermos ∆x se aproximar de zero da seguinte maneira:

∆x = 0.1,∆x = 0.01,∆x = 0.001,∆x = 0.0001,∆x = 0.00001,∆x = 0.000001,. . .

f(a−∆x) se aproxima de L

E ao fazermos ∆x se aproximar de zero da seguinte maneira:

∆x = 1/2,∆x = 1/4,∆x = 1/8,∆x = 1/16,∆x = 1/32,∆x = 1/64, . . .

f(a−∆x) se aproxima de L1 com L1 = L .

Quando tal situação ocorre não podemos dizer que o limite à esquerda é igual a L. Na verdade quando tal situação ocorre dizemos que não existe o limite à esquerda e conseqüentemente não existirá o limite, pois, pela definição de limite, precisamos que os limites laterais existam e sejam iguais. Como um deles não existe, a definição de limite não é satisfeita.

Exemplo 2Seja f : (−∞, 0)→ R definida por f(x) = sen

πx

. Verifique se existe ou não o

limite à esquerda no ponto x = 0.

Primeiramente, note que não podemos substituir o ponto x = 0 na expressão da função, uma vez que a função não está definida no ponto 0 (esse ponto não pertence ao domínio da f).

Consideremos duas maneiras de ∆x se aproximar de zero.

1ª Maneira

∆x =12

,14

,18

,116

,132

, . . . para esses valores, temos

f(0−∆x) = f(−∆x) = sen

π

−∆x

=

= sen(−2π), sen(−4π), sen(−8π), sen(−16π), sen(−32π), . . .

f(0−∆x) = f(−∆x) = sen

π

−∆x

=

= sen(−2π), sen(−4π), sen(−8π), sen(−16π), sen(−32π), . . .

2ª Edição Aula 01  Cálculo I �

Note que cada um desses valores é igual a zero, portanto temos que f(0−∆x) se aproxima de (na verdade, é igual a) 0.

2ª Maneira

∆x =23

,27

,211

,215

,219

, . . . para esses valores temos

f(0−∆x) = f(−∆x) = sen

π

−∆x

=

sen

−3π2

, sen

−7π2

, sen

−11π2

, sen

−15π2

, sen

−19π2

, . . .

Note que cada um desses valores é igual a um, portanto temos que f(0−∆x) se aproxima de (na verdade, é igual a) 1.

Ou seja, maneiras diferentes de se aproximar de x = 0 está nos levando a f(0−∆x) se aproximando de valores diferentes. Ou melhor, não estamos tendo f(0−∆x) se aproximando sempre do mesmo valor independentemente da maneira como ∆x se aproxima de zero. Portanto pela definição, temos que o limite à esquerda não existe, pois, caso existisse, teríamos que ter que f(0−∆x) se aproximando sempre do mesmo valor independentemente da maneira como ∆x se aproxima de zero.

Mas, então, nunca conseguiremos calcular um limite, uma vez que teremos que testar todas as maneiras possíveis de ∆x se aproximar de zero?

Calma, não precisa ficar nervoso!!!

Os casos em que não existe o limite é que são complicados; quando o limite existe, esses cálculos não são, em geral, tão difíceis e alguns argumentos nos asseguram que não precisaremos passar o resto da vida fazendo ∆x se aproximar de zero de todas as formas possíveis. Vejamos alguns exemplos para constatar o que acabamos de dizer.

Exemplo 3Verifique se o limite lateral à direita de f : R→ R definida por f(x) = x2 + 3 no

ponto 2 existe. Caso exista, calcule-o.

Solução

Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem, comecemos com limite lateral à direita. Para mostrar que o limite lateral à direita existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(2 + ∆x). Calculemos f(2 + ∆x).

f(2 + ∆x) = (2 + ∆x)2 + 3 = 4 + 4∆x+∆x2 + 3 = 7 + 4∆x+∆x2

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição�

Atividade 2

1

2

Neste ponto é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, f(2 + ∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor.

Aqui, entra em ação dois argumentos simples:

n primeiro argumento: se posso fazer uma quantidade tão pequena quanto eu queira, então, qualquer múltiplo dessa quantidade também pode ser feito tão pequeno quanto eu queira, ou seja, se ∆x se aproxima de zero, então, K∆x também se aproxima de zero, sendo K uma constante fixa;

n segundo argumento: se posso fazer uma quantidade tão pequena quanto eu queira, então, qualquer potência dessa quantidade também pode ser feita tão pequena quanto eu queira, ou seja, se ∆x se aproxima de zero, então, ∆xn também se aproxima de zero, para qualquer n natural.

Com esses argumentos em mente, podemos afirmar que qualquer que seja a maneira pela qual ∆x se aproxime de zero, temos que 4∆x+∆x2 também se aproxima de zero, o que implica f(2 + ∆x) = 7 + 4∆x+∆x2 se aproximar de 7. Como esse argumento vale, qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, temos então, pela nossa definição, que o limite à direita de f no ponto x = 2 existe e vale 7, ou seja,

limx→2+

f(x) = 7

Use os argumentos anteriormente enunciados para garantir que o limite à esquerda também existe e calcule-o. Verifique ainda se o limite de f no ponto x = 2 existe.

Considere a função f : (−∞, 0) ∪ (0,∞)→ R definida por

f(x) =|x|x

. Verifique se os limites laterais no ponto x = 0 existem;

em caso afirmativo, calcule-os. Verifique se também existe o limite no ponto x = 0.

2ª Edição Aula 01  Cálculo I �

Atividade 3

Propriedades

Sejam f, g : A→ R e a ∈ R tais que existem limx→a−

f(x) = L e limx→a−

g(x) =M . Então, vale:

a) limx→a−

(f(x) + g(x)) = limx→a−

f(x) + limx→a−

g(x) = L+M ;

b) limx→a−

(f(x)− g(x)) = limx→a−

f(x)− limx→a−

g(x) = L−M ;

c) limx→a−

(f(x) · g(x)) =

limx→a−

f(x)

·

limx→a−

g(x)

= L ·M ;

d) Se limx→a−

g(x) =M = 0, então, vale limx→a−

f(x)g(x)

=limx→a−

f(x)

limx→a−

g(x)=

L

M;

e) limx→a−

(Kf(x)) = K

limx→a−

f(x)

= K · L, sendo K uma constante.

Essa mesmas propriedades valem para o caso de limite à direita e limite no ponto a ∈ R .

Enuncie as propriedades para os casos de limite à direita e limite no ponto a ∈ R .

Está ficando cada vez mais fácil, não é?

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição10

Atividade 4

Exemplo 4Seja f : A→ R definida por f(x) = K para todo x ∈ A, ou seja, f é a função

constante igual a K, e a ∈ R é tal que existem intervalos (c, a), (a, d) ⊂ A . Calcule os limites laterais de f no ponto a, caso existam, e verifique se f possui limite nesse ponto.

Solução

Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem; comecemos com limite lateral à direita no ponto a. Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a+∆x). Calculemos f(a+∆x).

f(a+∆x) = K

Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, f(a+∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor.

Ora, note que qualquer que seja o valor de ∆x temos que f(a+∆x) = K , ou seja, f(a+∆x) já é um valor específico (não se aproxima), assim, temos que o limite lateral à direita no ponto a existe e vale K.

Mostre que o limite lateral à esquerda no ponto a existe e também vale 3. Conclua com isso que o limite no ponto a também existe e vale K.

Exemplo 5Seja f : A→ R definida por f(x) = x para todo x ∈ A, e seja a ∈ R tal que existem

intervalos (c, a), (a, d) ⊂ A. Calcule o limite lateral à direita de f no ponto a.

Solução

Vamos lá, queremos saber se os limites laterais existem; comecemos, então, com o limite lateral à direita no ponto a. Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a

2ª Edição Aula 01  Cálculo I 11

Atividade 5

existe precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a+∆x). Calculemos f(a+∆x).

f(a+∆x) = a+∆x.

Neste ponto, é que precisamos garantir que, qualquer que seja a forma de ∆x se aproximar de zero, f(a+∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor.

Note entretanto que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, a quantidade a+∆x se aproxima de a. Dessa forma, temos então que o limite lateral à direita no ponto a existe e vale a.

Mostre que o limite lateral à esquerda no ponto a existe e também vale a. Conclua com isso que o limite no ponto a também existe e vale a.

Exemplo 6Com base nos exemplos anteriores, mostre que se f : A→ R é definida por

f(x) = Kx+B para todo x ∈ A , e a ∈ R é tal que existem intervalos (c, a), (a, d) ⊂ A , então, os limites laterais existem e o limite também existe.

Solução

Se definirmos g, h : A→ R por g(x) = x e h(x) = B , temos então que f(x) = Kx+B = Kg(x) + h(x). Pelos exemplos anteriores já vimos que lim

x→a−g(x) = a

e limx→a−

h(x) = B e, pelas propriedades, temos que limx→a−

(Kg(x)) = K

limx→a−

g(x)

= K · a

limx→a−

(Kg(x)) = K

limx→a−

g(x)

= K · a , portanto,

limx→a−

(Kg(x) + h(x)) = limx→a−

Kg(x) + limx→a−

h(x) = Ka+B.

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição12

Graficamente, a representação de limite em um ponto a ∈ R é a seguinte: se caminharmos sobre o gráfico da função da forma (0 + ∆x, f(0 + ∆x)) , ou da forma (0−∆x, f(0−∆x)), ambas com ∆x se aproximando de zero, chegaremos ao mesmo ponto. Ou seja, se considerarmos a distância entre esses dois pontos (vista em Geometria Analítica e Números Complexos), essa distância se aproxima de zero quando ∆x se aproxima de zero.

E este ponto comum será justamente o (a, f(a)),certo?

Note que na definição de limite não pedimos que o ponto a, para o qual calculamos o limite, faça parte do domínio, ou seja, pode acontecer de não existir f(a) .

Você deve estar pensando: “Agora complicou tudo de vez!”.

Não complicou nada, analise os exemplos gráficos abaixo e veja como é simples.

Exemplo 7Considere a função f : R→ R definida por f(x) =

−1 x < 00 x = 01 x > 0

. Se esboçarmos o gráfico dessa função, temos:

Gráfico 2

Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a = 0 existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(0 + ∆x) . Calculemos f(0 + ∆x) = f(∆x). Note que ∆x > 0, logo, f(∆x) = 1.

Neste ponto, precisamos garantir que, qualquer que seja a forma de ∆x se aproximar de zero, f(∆x) sempre se aproximará de um mesmo valor. Ora, sabemos que ∆x se aproxima de zero e que é diferente de zero, certo? Mas se ∆x é diferente de zero e é positivo, então f(∆x) = 1, pela própria definição da função. Assim, independentemente da forma pela qual

2ª Edição Aula 01  Cálculo I 1�

Atividade 6

∆x se aproxima de zero, temos f(∆x) = 1, ou seja, f(0 + ∆x) = 1 assume um valor que não muda com a variação de ∆x , logo o limite à direita existe e é igual a 1.

Mostre que o limite à esquerda no ponto a = 0 existe e é igual a -1.

Como o limite à direita no ponto a = 0 é diferente do limite à esquerda no ponto a = 0, concluímos que não existe o limite da função no ponto a = 0.

Podemos também concluir a não existência desse limite observando o que acontece com a distância entre os pontos (a+∆x, f(a+∆x)) e (a−∆x, f(a−∆x)), à medida que ∆x se aproxima de zero (Gráfico 3).

Gráfico 3

A distância entre os pontos (a+∆x, f(a+∆x)) e (a−∆x, f(a−∆x)) é:

d ((0 + ∆x, f(0 + ∆x)), (0−∆x, f(0−∆x))) = d((∆x, f(∆x)), (−∆x, f(−∆x))) =(∆x− (−∆x))2 + (f(∆x)− f(−∆x))2 =

4∆x2 + (1− (−1)) =

√4∆x2 + 4 =

4(∆x2 + 1) = 2

√∆x2 + 1 .

A quantidade final anterior é sempre maior que 2, pois ∆x2 + 1 é sempre maior que 1 e, conseqüentemente, sua raiz também é maior que 1. Ou seja, a distância entre os

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição1�

Atividade 7

1

2

pontos (0 + ∆x, f(0 + ∆x)) e (0−∆x, f(0−∆x)) não se aproxima de zero quando ∆x tende a zero, logo o limite não existe, como já tínhamos comprovado analiticamente (por meios de cálculos).

Note que outra coisa interessante aconteceu nesse exemplo: os limites laterais existiram, mas nenhum deles foi igual ao valor da função no ponto a = 0 , que vale f(0) = 0 . Ou seja, mesmo que os limites laterais existam, nenhum deles é obrigatoriamente igual ao valor da função no ponto (quando esta estiver definida no ponto).

Dados as funções e seus gráficos a seguir, verifique se os limites laterais nos pontos pedidos existem. Em caso afirmativo, calcule-os. Baseado nos limites laterais, verifique se o limite no ponto dado existe. Caso exista, verifique se o limite coincide com o valor da função no ponto dado.

O ponto: a = 0. A função f : R→ R definida por f(x) = x2 .

Gráfico 4

O ponto: a = 0. A função f : R→ R definida por

f(x) =

x2 x = 01 x = 0

.

2ª Edição Aula 01  Cálculo I 1�

�

-3

3

3

Gráfico 5

O ponto: a = 3. A função f : R→ R definida por

f(x) =

−x x < 3x x ≥ 3

Gráfico 6

Aula 01  Cálculo I  2ª Edição1�

Resumo

1

2

Nesta aula, vimos que existem duas formas de nos aproximarmos de um ponto na reta: por valores menores (à esquerda) ou por valores maiores (à direita). Tais formas de aproximação nos levaram à definição de limites laterais com os quais pudemos definir o limite de uma função real quando nos aproximamos do ponto em estudo. Vimos que o limite pode ser calculado inclusive em pontos nos quais a função não está definida e que, quando tratamos de limites, estamos interessados no valor da função em pontos próximos do ponto em estudo e não no ponto em si.

Auto–avaliaçãoSabemos que, na maioria das vezes, uma função representa um fenômeno físico que está sendo estudado. Você conseguiria imaginar um fenômeno cujos limites laterais em algum ponto fossem diferentes? Iguais? Iguais, mas diferentes da função no ponto em questão?

Você conseguiria imaginar um fenômeno cujos limites laterais não existissem? Ou existissem, mas a função não fosse definida no ponto em questão?

ReferênciasANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 1 v.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 1 v.

EMENTA

n André Gustavo Campos Pereira

n Joaquim Elias de Freitas

n Roosewelt Fonseca Soares

A reta real. Funções reais. Limite e proximidade. Continuidade. Taxa de variação. Derivada. Aplicações da derivada (problemas de máximo e mínimo, aplicações da derivada em Física, Química, Ecologia, Economia). O processo de integração; A integral definida. Integral indefinida. Técnicas de integração. Aplicações da integral (área de superfícies de revolução, volume de sólidos de revolução, comprimentos de curvas, trabalho, centros de gravidade). Equações diferenciais de primeira ordem. Equações diferenciais autônomas. Um panorama da história do cálculo.

Cálculo I – INTERDISCIPLINAR

AUTORES

AULAS

2º S

emes

tre d

e 20

0�Im

pres

so p

or: T

exfo

rm

01 Limite de funções reais em um ponto

02 Funções contínuas

03 Taxa de variação

04 A Derivada

05 Derivadas de funções compostas

06 Aplicações da derivada

07 Mais aplicações – Gráficos de funções

08 A primitiva

09 Mais primitivas e as somas de Riemann

10 A integral definida

11 Propriedades da integral definida e técnicas de integração

12 Mais técnicas de integração e a integral imprópria