caderno didático - física i (1)

Biblioteca Central Orlando Teixeira BCOT/UFERSASetor de Processos Tcnicos Ficha Catalogrfica

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L732f Lima, Alexsandro Pereira.

Fsica I / Alexsandro Pereira Lima. Mossor : EdUFERSA, 2013. 97 f. : il.

ISBN: 978-85-63145-47-5

1. Fsica. I. Ttulo. RN/UFERSA/BCOT CDD: 530.15

APRESENTAO DA DISCIPLINA

Caro aluno (a),

Desde tempos imemoriais, o homem vem tentando conhecer e modificar o meio em que vive usando uma de suas caractersticas mais peculiares: a curiosidade. Essa curiosidade nica do ser humano o levou a se perguntar sobre o meio ambiente em que ele vivia e a perceber certos padres apresentados pelos diversos fenmenos naturais. E dessa forma, valendo-se de tentativas, feitas de erros e acertos, o homem deu os primeiros passos na fun-damentao de sua criao mais bem sucedida e espantosa: a cincia.

Dentro das cincias, a Fsica aquela que se prope a investigar os fenmenos da na-tureza. interessante observar que quando usamos fenmenos da natureza, estamos nos referindo a uma infindvel gama de eventos aparentemente distintos e desconexos uns dos outros. Talvez uma das grandes conquistas da Fsica tenha sido a demonstrao de que a natureza poder ser compreendida com um conjunto relativamente pequeno de Teorias, Leis e Postulados. E que fenmenos, at ento tidos como totalmente distintos uns dos outros, mostraram ser na verdade faces de uma mesma moeda.

Um exemplo tpico desse fato foi a juno dos conceitos de Mecnica Celeste e Mecnica terrestre em um nico conceito: o de Mecnica, configurando-se na primeira grande teoria de unificao feita por Isaac Newton em sua Teoria da Gravitao Universal. Outro exemplo de unificao muito importante ocorrido na histria da Fsica foi a unificao dos conceitos de Eletricidade e Magnetismo em uma nica teoria conhecida como Teoria do Eletromagnetismo.

O conhecimento da natureza no desconexo, mas para que seu estudo seja feito de forma didtica e sequencial, foi aglutinado em grandes reas de estudo, a saber: Mecnica, Ondas, ptica, Termodinmica e Eletromagnetismo. A partir do incio do sculo XX, a cincia sofreu uma reviravolta com o surgimento de novas teorias que mostraram novos e impressionantes aspectos da natureza nunca antes imaginados pelo homem. As duas teorias revolucionrias que moldaram nossa vida cotidiana formam o que chamamos hoje de Fsica Moderna, que fundamentada na Teoria da Relatividade e na Mecnica Quntica.

Essas duas teorias possibilitaram a descoberta de fenmenos que deram origem inveno de dezenas de aparelhos e objetos que fazem parte do nosso dia-a-dia, tais como: televisores, celulares, tablets, lmpadas florescentes, aparelhos de navegao via GPS (Global Positioning System), relgios digitais, lasers, sensores fotoeltricos e mais uma infinidade de itens.

A Fsica, dentre todas as cincias desenvolvidas pela humanidade, talvez a rea do co-nhecimento onde a Matemtica mais amplamente aplicada, mostrando a intrnseca relao entre a natureza e os nmeros. Um aluno de Matemtica que cursa uma disciplina de Fsica como Mecnica Clssica, por exemplo, deve ser capaz de fazer a conexo entre o mundo abstrato dos teoremas, postulados, corolrios, etc. com a realidade objetiva do mundo que o cerca. Usar, portanto, a Fsica como exemplo prtico do uso cotidiano da Matemtica uma habilidade imprescindvel a um profissional licenciado nesta rea.

Neste caderno didtico, abordaremos os princpios da Mecnica Clssica, ramo da fsica que descreve o movimento, suas causas e efeitos. O estudo desta disciplina, de modo geral, requer o conhecimento de uma linguagem especfica, a Matemtica. Dentro do curso da Mecnica Clssica, podemos ainda dividir o conhecimento entre Cinemtica, estudo do mo-vimento sem se perguntar sobre suas causas, e a Dinmica, parte da Mecnica que estuda os movimentos importando-se com suas causas. Ao longo do estudo de Cinemtica e Din-mica, so apresentados conceitos fsicos e matemticos que complementaro o aprendizado do assunto.

Bons estudos!

SOBRE O AUTOR

Ol, eu sou Alex Lima! Graduado em licenciatura plena em Fsica pela Universida-de Federal do Rio Grande do Norte - UFRN, onde fiz tambm mestrado e doutorado. Desde a graduao trabalho com Astronomia, mais especificamente Astrofsica Extra-galctica, assunto que me atraiu desde a infncia. Sou tambm membro, h mais de 10 anos, da Sociedade Astronmica Brasileira - SAB.

Uma outra paixo o ato de lecionar. Comecei a ministrar aulas no ano de 2000 em escolas das redes pblica e privada do Rio Grande do Norte no ensino bsico, mdio e cursinhos preparatrios para vestibulares. Nesse meio tempo, tambm fui professor substituto no Departamento de Fsica da UFRN - DFTE e no Departamento de Cincias da Computao da Universidade do Estado do Rio Grande do Norte - UERN/Campus Natal, onde ministrei diversas disciplinas de Fsica e Matemtica.

Em 2006, passei no concurso para professor do Estado, onde fiquei at o ano de 2009, quando foi aprovado no concurso para professor Adjunto da Universidade Federal Rural do Semi-rido - UFERSA. Atualmente na UFERSA ministro as disciplinas Mecnica Clssica e Eletricidade e Magnetismo para alunos do Bacharelado em Cin-cia e Tecnologia do Campus de Pau dos Ferros.

SUMRIO

UNIDADE I

GRANDEZAS FSICAS E MOVIMENTO RETILNEO

UNIDADES E GRANDEZAS FSICA 15

Medindo Grandezas 15

O Sistema Internacional de Unidades (SI) 16

Mudanas de unidades 17

Comprimento, Tempo e Massa 17

VETORES 21

Grandezas Escalares e Vetoriais 22

Componentes de um vetor e vetores unitrios 30

MOVIMENTO RETILNEO 34

Velocidade escalar mdia e velocidade mdia 35

Velocidade Instantnea 36

Acelerao 37

Queda livre 39

UNIDADE II

DINMICA E ENERGIA

LEIS DO MOVIMENTO 47

Mecnica Newtoniana 47

Primeira Lei de Newton 47

Segunda Lei de Newton 51

Terceira Lei de Newton 54

GRAVITAO 55

Leis de Kepler 56

A Lei da Gravitao Universal de Newton 57

TRABALHO E ENERGIA 59

O que Energia? 59

Trabalho e energia cintica 59

Trabalho e energia potencial 63

Conservao da energia mecnica 67

Conservao da energia 69

UNIDADE III

MOMENTO LINEAR, ROTAES E MOMENTO ANGULAR

MOMENTO LINEAR 73

Colises 73

Momento linear 74

Impulso e momento linear 75

Conservao do momento linear 77

Colises entre dois corpos 79

ROTAES E MOMENTO ANGULAR 88

Rotaes 88

Torque 91

Conservao do momento angular 94

I GRANDEZAS FSICAS E MOVIMENTO RETILNEOA cincia, de um modo geral, lida com a realidade objetiva da natu-

reza. Com esse intuito, faz-se necessrio criar padres e unidades para medir as grandezas fsicas, as quais sero de suma importncia para que possamos analisar e estudar os fenmenos da natureza. No estudo do movimento de um objeto qualquer, necessrio definirmos conceitos bsicos, tais como: partcula, referencial, trajetria, etc. Ao fazermos isso, estamos criando um modelo cuja finalidade simplificar o uso da ferra-menta matemtica. Nesse sentido, surge a necessidade do estudo do movimento retilneo como uma primeira aproximao do movimento dos objetos reais.

Objetivos:

Introduzir noes de grandezas fsicas, suas unidades e medidas;

Apresentar o formalismo vetorial com o intuito de us-lo no campo da Fsica;

Compreender os conceitos de cinemtica escalar e vetorial.

I - GRANDEZAS FSICAS E MOVIMENTO RETILNEO

FSICA IF.IAutor: Alexsandro Pereira Lima

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Unidades e Grandezas FsicasUN 01No cotidiano, o ser humano se depara com situaes que exigem a capacidade e geram a necessidade de atribuir valores s coisas que o cercam: necessitamos saber a que horas devemos acordar para no nos atrasarmos para nossos compromissos e ainda saber o preo do quilograma da batatinha no supermercado; saber da distncia entre minha casa e o trabalho; a presso do pneu do meu carro e a temperatura da minha cidade hoje, dentre outras situaes.A tarefa de medir to normal para ns que a fazemos de forma natural e automtica. Nunca nos pergunta-mos por que o dia tem vinte e quatro horas? Por que um litro de gua exatamente igual a um quilograma?

E, afinal o que um quilograma? Todas estas questes so tratadas pela Fsica e, de modo sucinto, tudo o que poder ser medido, ou seja, tudo aquilo a que podemos atribuir um valor especfico chamado de grandeza fsica. Medimos cada uma das grandezas fsicas em unidades apropriadas, por comparao a um padro. O nome particular que atribumos a essas grandezas a unidade. Tomemos como exemplo a grandeza comprimento, cuja unidade de medida mais usual para ns o metro (m), ou a grandeza massa, cuja unidade de medida o quilograma (kg).

Uma vez definido o padro das grandezas fsicas, suas unidades, mltiplos e submltiplos, e a eles ajus-tados os respectivos instrumentos de medidas, o processo de medio passar a ser um ato de compara-o entre o que se quer medir e o padro. Em princpio, qualquer pessoa pode definir seus padres de medidas e unidades. O grande problema nesta situao ter vrias pessoas, ou mesmo naes, utilizan-do padres e unidades diferentes uns dos outros. Nesse caso, seria muito complicado para os brasileiros, por exemplo, comprar tomates em uma feira em um pas cuja unidade de medida da grandeza massa no fosse o quilograma, mas a libra (unidade de massa geralmente adotada por pases de Lngua Inglesa). As pessoas ficariam desnorteadas, sem saber exatamente a quantidade de tomates que estariam levando para casa.Grandezas fundamentais: Embora a quantidade de grandezas fsicas seja imensa, elas felizmente no so todas independentes umas das outras; por exemplo, a grandeza velocidade a taxa de variao do espao (grandeza comprimento) em relao ao tempo. Desta forma, podemos escolher um pequeno nmero de grandezas fsicas, definir seus padres por meio de um acordo internacional, e a partir delas definimo as demais. A essas grandezas damos o nome de grandezas fundamentais.

Medindo Grandezas

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FSICA IF.I Autor: Alexsandro Pereira Lima

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Na 14 Conferncia Geral de Pesos e Medidas, ocorrida em 1971, foram selecionadas sete grandezas como fundamentais, as quais constituem a base para o Sistema Internacional de Unidades, tambm chamado de sistema mtrico. As unidades bsicas do SI so: metro, quilograma, segundo, ampre, kelvin, mol e can-dela, correspondendo s grandezas fundamentais: comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente eltrica, temperatura termodinmica, quantidade de matria e intensidade luminosa (Tabela 1.1)

O Sistema Internacional de Unidades (SI)

Tabela 1.1.

Tabela 1.3.

Na Tabela 1.2, apresentamos algumas unidades importantes derivadas do SI.

As unidades de medida apresentam ainda mltiplos e submltiplos que podem ser utilizados de acordo com a con-venincia do que se queira medir. Por exemplo, muito mais interessante dizer que a distncia da minha casa at o trabalho de dez quilmetros do que dizer que essa mesma distncia de dez mil metros. A seguir, apresentamos a Tabela 1.3 com os prefixos e potncias de dez usados como mltiplos e submltiplos das unidades de medidas.

comprimentomassatempocorrente eltricatemperatura termodinmicaquantidade de matriaintensidade luminosa

MetroQuilogramaSegundoAmpreKelvinMolCandela

mkgsAKmolCd

Grandeza Unidade Smbolo

reavolumedensidadevelocidadeaceleraoforapressotrabalho e energiapotnciacarga eltricadiferena de potencialresistncia eltrica

metro quadradometro cbicoquilograma por metro cbicometro por segundometro por segundo quadradonewtonpascaljoulewattcoulombvoltohm

m2m3kg/m3m/sm/s2NPaJWCV

Grandeza Unidade Smbolo

atto-femto-pico-nano-micro-mili-centi-deci-

deca-hecto-quilo-mega-giga-tera-peta-exa-

afpnmcd

dahkMGTpE

(Submltiplos)10-1810-1510-1210-910-610-310-210-1

(Mltiplos)101102103106109101210151018

Prefixo Smbolo Prefixo SmboloPotncia de dezcorrespondentePotncia de dezcorrespondente



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Em muitas situaes do dia-a-dia, necessrio que faamos a converso da unidade de medida de um sis-tema para outro, como, por exemplo, de quilmetros para metros. Para realizar uma converso, a grandeza pode ser multiplicada por um fator de converso, que uma razo entre as unidades e igual unidade. Neste caso, o numerador e o denominador tm unidades diferentes, informando a unidade desejada no resultado final. Como exemplo, vamos transformar 2 minutos em segundos:

Mudanas de unidades

DICA

Tenha como hbito o cuidado de incluir as unidades de medida sempre que realizar qualquer clculo. Isto ajudar voc a identificar erros se as unidades da resposta estiverem incorretas.

importante observar que para efetuar esta converso usamos o fato de que para cada minuto existem 60 segundos.

ComprimentoNa Frana, no ano de 1792, foi estabelecido um novo sis-tema de pesos e medidas, cuja base era o metro (unidade de medida de comprimento). Naquela poca, o metro foi definido como sendo a distncia de um dcimo de milion-simo entre o polo norte e o equador terrestre. Por motivos prticos, essa medida foi materializada numa em uma barra padro de platina, guardada no Bureau Internacional de Pe-sos e Medidas, e chamada ento de barra do metro-padro. Rplicas dessa barra foram construdas e levadas aos labo-ratrios de padronizao de vrias partes do mundo. Com o avano da tecnologia da manipulao do laser e a conse-quente preciso na medida da velocidade da luz, hoje pa-dronizamos o metro como a distncia percorrida pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo.

Comprimento, Tempo e Massa

SAIBA MAIS

A luz a entidade da natureza com a maior velocidade. Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade Especial (tambm chamada de Teoria da Relatividade Restrita), demonstrou matematicamente que nada pode ser mais rpido do que a luz. A velocidade da luz no vcuo de 2,998x108 m/s; cerca de 300 mil quilmetros por segundo.

( ) 2 min = (2 min) = 120s 60s1 min

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Tempo

O tempo uma das grandezas mais fundamentais da na-tureza, est o tempo todo em nossas vidas, mas se nos perguntassem o que o tempo? ficaramos, muito pro-vavelmente, sem saber o que responder...No entrando na questo filosfica sobre o que ou que significa tempo; no cotidiano e nos laboratrios de pes-quisa estamos geralmente interessados em saber quan-do um determinado evento aconteceu e quanto tempo ele durou. Na 13 Conferncia Geral de Pesos e Medidas, ocorrida em 1967, adotou-se como padro de tempo um segundo definido como 9 192 631 770 vezes o perodo de oscilaes da radiao do tomo de csio.

SAIBA MAIS

A Diviso Servio da Hora (DSHO) do Observatrio Nacional (ON) a instituio brasileira designada para gerar, conservar e disseminar a Hora Legal Brasileira (HLB). Acesse o link abaixo e veja:

http://pcdsh01.on.br/

Massa

Definimos a massa como a medida da resistncia de um corpo em modificar seu estado de movimento. O padro de massa no SI um cilindro de platina-irdio (ver figura), mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas, ao qual foi atribudo, por definio, o valor de um quilogra-ma. Cpias desse padro foram levadas aos laboratrios de padronizao de outros pases para que pudesse ser difundido e utilizado por todos.

SAIBA MAIS

No dia a dia comumente confundimos a grandeza massa com a grandeza peso. Quando subimos em uma balana de farmcia, estamos medindo nossa massa e no nosso peso. O peso de um corpo a fora (conceito que vamos estudar mais adiante) de atrao que a Terra exerce sobre os corpos. claro que no iremos sair por a dizendo que fomos medir nossa massa ao invs do to famoso nos pesar, mas devemos ter conscincia de que peso e massa so grandezas fsicas distintas.

EXERCCIO RESOLVIDO

1. Resolva o problema:a) O quilograma-padro um cilindro de platina-irdio com 39,0 mm de altura e 39,00 mm de dimetro. Qual a densidade do material?

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39mm

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Soluo: Vamos, primeiramente, converter o comprimento para sua unidade no SI:O volume de um cilindro dado por:V = (rea da base) (altura)Logo,Portanto, a densidade do material :

2. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera de 6,37x106 m de raio. Determine:a) a circunferncia da Terra em quilmetros; b) a rea da superfcie da Terra em quilmetros quadrados;

c) o volume da Terra em quilmetros cbicos.

Soluo: (a) Sabendo que a circunferncia dada por:C = 2R

Obtemos:

(b) A rea da superfcie de uma esfera dada por:

A = 4R2Logo,(c) Usando o conhecimento de que o volume de uma esfera dado por:temos que,

343=V



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3. Em sistemas digitais de comunicao, a velocidade de transmisso medida em bits por segundo, cuja abreviatura bps, j a unidade de informao o byte (1 byte = 8 bits). Qual o nmero de bytes enviados durante 20 segundos em uma transmisso de 64 000 bps?Soluo: Quantidade de bits enviados em 20 segundos (y) ser dada por:J a quantidade de Bytes (x) ser dada por:

4. A Antrtica aproximadamente semicircular, com um raio de 2000 km. A espessura mdia de sua cober-tura de gelo de 3000 m. Quantos centmetros cbicos de gelo contm a Antrtica? (Despreze a curvatura da Terra em seus clculos).

Soluo:

Observe a figura a seguir:

Onde R = 2000 km = 2000 000 m e H = 3000 m.Seja o volume da Antrtica ser dado por:Equivalente rea do semicrculo vezes a altura da camada de gelo. Logo,Lembrando que 1m3106 cm3Temos que:

H

R



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EXERCCIO PROPOSTO

1. Se o metro padro tivesse um comprimento de 10 cm, quais modificaes esse fato acarretaria para o seu dia-a-dia ou para a cincia?2. Quais termos ou expresses, a seguir, so grandezas fsicas? Peso, esforo, carter, calor, energia, vo-lume, volume de trabalho, luminosidade, claridade, umidade, potncia ou excentricidade? Justifique sua resposta.3. Um parsec definido como a distncia a partir da qual uma unidade de astronmica (distncia mdia Terra-Sol) seria vista subtendendo um ngulo (paralaxe) de 1 segundo. Calcule 1 parsec em metros e em anos-luz.4. A quais critrios um bom relgio deve satisfazer? 5. Suponha que so necessrias 15 horas para esvaziar um container de 6400 m3 de gua. Qual a taxa de fluxo de massa (em kg/s) de gua retirada do continer? Dado: a massa especfica da gua de 103 kg/m3.6. Se certa regio do pas tiver, em mdia, 15 habitantes por quilmetro quadrado e esta regio tiver uma rea de 104 km2, qual ser sua populao?7. Em uma campanha nacional de vacinao, cerca de 107 crianas so atendidas e recebem duas gotas de vacina cada uma. Suponha que so ne-cessrias 20 gotas para preencher 1 cm3, qual o volume de vacina usado ao final da campanha, em litros?

8. Quantos quilmetros tem o mar territorial do Brasil, sabendo-se que ele equivale a 200 milhas marti-mas? Dado: 1 milha martima = 1852 m.9. Um galo de tinta (volume = 3,7810-3m3) cobre uma rea de 34,0 m2. Qual a espessura da tinta sobre a parede?10. Um metro cbico de alumnio tem uma massa de 2,70103 kg e um metro cbico de ferro tem uma massa de 7,86103 kg. Encontre o raio de uma esfera slida de alumnio que equilibrar uma esfera slida de ferro com raio de 3,00 cm em uma balana de braos iguais.Vetores

UN 01Um veleiro raramente se movimenta na mesma dire-o e sentido em que o ven-to sopra. Este fato curioso pode ser explicado com o devido conhecimento sobre a grandeza fsica chamada fora e o clculo de sua re-sultante vetorial. Muitas grandezas na natureza, tais como a fora, apresentam amplitude e orientao e necessitam de uma lingua-gem matemtica apropria-da para represent-la: a lin-guagem dos vetores.

00:00Banco d

e Imagens/NEa

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Basicamente, podemos dividir as principais grandezas da natureza em dois tipos distintos: escalares e vetoriais.Uma grandeza escalar aquela que necessita apenas de seu mdulo (valor numrico que pode tambm ser chamado de norma ou intensidade) para ser completamente definida. Exemplos de grandezas escala-res so: massa, comprimento, temperatura e muitas outras. Quando dizemos que a temperatura na cidade de Mossor, no Rio Grande do Norte, em determinado dia, de 35 C (trinta e cinco graus Celsius), no necessrio acrescentar mais nenhuma informao. Agora, se for preciso informar a algum como se deslocar para chegar a um determinado endereo, cer-tamente, alm de acrescentar valores de distncia, voc ter que acrescentar expresses como: vire esquerda aps andar um quilmetro naquela direo, siga adiante e vire direita na quadra seguinte.Neste caso, no possvel ter uma informao completa da grandeza deslocamento somente com a infor-mao do seu mdulo, necessitamos para isso da orientao dessa grandeza, informada por meio da sua direo e sentido. As grandezas fsicas que necessitam do seu mdulo e orientao para serem completa-mente definidas so chamadas de vetores. Alguns exemplos de grandezas fsicas que tm caractersticas de vetores so: deslocamento, velocidade, fora, momento linear alm de outras.

Grandezas Escalares e Vetoriais

Representao de um vetor

Graficamente representamos um vetor como uma seta cujo tamanho indica o mdulo do vetor, a reta indica sua direo e a ponta da seta indica seu sentido. A figura a seguir apresenta vetores de diferentes mdulos (tama-nhos) e orientaes.

a

b

c

d

a

b

Figura 1: Vetores no espao

SAIBA MAIS

No dia-a-dia confun-dimos os conceitos de direo e sentido e, normalmente, achamos que significam a mes-ma coisa. Na Fsica, estes dois termos in-dicam coisas distintas. Se pensarmos no cami-nho entre duas cidades como uma linha reta, (ver figura ao lado), a direo ser to so-mente a reta que unir a cidade A cidade B, ao passo que o sentido ser um da cidade A para a cidade B e outro da cidade B para a ci-dade A.

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A B

Figura 2: Vetores iguais

AdioQuando somamos duas ou mais quantidades de determinada grandeza, seja ela de carter vetorial ou escalar, elas devem estar na mesma unidade de medida. Mas as regras de adio so bem diferentes para grandezas escalares e vetoriais. Na soma de uma grandeza escalar, simplesmente adicionamos o valor de cada elemento at totalizar o valor final. Por exemplo, se quisermos saber a massa total de um grupo de oito pessoas, simplesmente medimos a massa de cada pessoa individualmente e depois somamos os resultados obtidos.

Figura 3: Soma de uma grandeza escalar.

J no caso da soma vetorial, a situao no to simples, pois alm dos mdulos de cada vetor temos ainda suas diferentes orientaes. Convenientemente, as regras para somar vetores so descritas utilizando-se da geome-tria. O vetor que resulta da soma entre dois ou mais vetores chamado de vetor resultante, ou simplesmente resultante.Podemos aprender a somar vetores utilizando um dos dois mtodos descritos: o mtodo do polgono e o mtodo do paralelogramo.

A B

C

Figura 4: Trs vetores distintos no espao.

42 + 25 + 33 + 67 + 46 + 32 + 90 + 80 = 415.

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Mtodo do polgonoNeste mtodo, transladamos os vetores (sem mudarmos suas caractersticas) de modo a colocarmos sempre a cauda de um vetor no fim de outro vetor. Ao finalizar este processo com todos os vetores, o vetor resultante ser o que unir a origem do primeiro somado extremidade do ltimo. Tome trs vetores A, B e C, dispostos no espao como mostra a seguinte figura:

Igualdade de dois vetores S podemos dizer que dois vetores A e B so iguais (A=B) se tivermos a condio de seus mdulos serem iguais (A=B) e os dois apresentarem a mesma orientao (direo e sentido).Esta propriedade nos permite transladar um vetor para outra posio, em um dia-grama, sem alterarmos suas caractersticas.



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A

B

CR

Figura 5: Soma vetorial pelo mtodo do polgono.

A

B

CR

A

B

C

R

A

B

C

R

R = A + B + C R = B + A + C R = C + B + A

Figura 6: Diferentes sequncias na soma dos vetores A, B e C pelo mtodo do polgono.

O mtodo do polgono muito til quando temos interesse apenas em saber para onde aponta a resultante. Mas se nosso interesse calcular o mdulo da resultante, o mtodo mais indicado o do paralelogramo.

Mtodo do paralelogramoNeste mtodo, s podemos somar de dois em dois vetores. Para obtermos a resultante, juntamos as caudas dos dois vetores e traamos um paralelogramo com os dois vetores sendo os lados da figura geomtrica. A resultan-te ser a diagonal da figura com sua cauda se iniciando na juno dos dois vetores. Como exemplo, mostramos a soma entre os vetores A e B utilizando o mtodo do paralelogramo.

B

A

R

R = A + B

Figura 7: Mtodo do paralelogramo.

Uma observao importante que a soma vetorial comutativa, ou seja, no importa a ordem em que somemos os vetores. Do exemplo anterior, teremos que qualquer combinao entre os trs vetores ir resultar no mesmo vetor resultante, como, por exemplo; A + B + C = B + A + C = C + B + A = R. Veja a seguinte sequncia de figuras:

Somando os vetores a partir do vetor A, ficamos com a configurao mostrada na figura a seguir, onde R (R = A + B + C) o vetor resultante.



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DICA

1. Mesmos que tenhamos vrios vetores, somamos sempre dois a dois e, depois de obtermos suas respectivas resultantes, continuamos o processo de soma at sobrar uma nica resultante.

2. Independentemente do mtodo utilizado, a resultante vetorial ser sempre a mesma (ver figura).

B

A

R B

A

R

A

B

R = A + B R = A + B = B + A

Figura 8: Comparao entre os mtodos do polgono e do paralelogramo

Clculo da resultante vetorial

Iremos agora deduzir uma equao que nos fornea o mdulo da resultante entre dois vetores. Ob-serve a figura a seguir:B

A

RB y

x

Desta construo, percebemos a existncia de dois tringulos retngulos.

B

A

RB y

x

B

A

RB y

x

Figura 9: Clculo da resultante vetorial

Do tringulo retngulo menor, obtemos as seguintes expresses:

Do tringulo retngulo maior, temos que:



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Substituindo a equao (1) na equao (3), ficamos com:e, finalmente, substituindo agora a equao (2) na equao (4), obtemos a expresso:R = A2 + B2 + 2AB cos (5) Esta a equao utilizada para calcular o mdulo da resultante entre dois vetores A e B que formam um ngulo qualquer entre si.

Casos particulares do clculo do mdulo da resultante

Vetores paralelos (=0o)Se os dois vetores forem paralelos, o mdulo da resultante ser simplesmente a soma dos mdulos individuais dos vetores.R

A BR = A + B

Figura 10: Soma de vetores paralelos.

Vetores antiparalelos (=180o)No caso de vetores antiparalelos, para obtermos o mdulo do vetor resultante simplesmente subtra-mos o mdulo de um vetor do outro.R

A

B

R = A B

Figura 11: Soma de vetores antiparalelos.

DICA

A intensidade de um vetor sempre um valor positivo. Se o valor do mdulo da resultante de dois vetores antiparalelos, R = A B, for negativo, o sinal de subtrao estar apenas indicando que a resultante tem o mesmo sentido que o vetor B. Caso contrrio, se o mdulo da resultante for positivo, a resultante ter o mesmo sentido do vetor A. O sinal negativo em Fsica tem, geralmente, significado de contrariedade ao sentido adotado como positivo.



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Vetores perpendiculares entre si (=90o)Se tivermos o caso de dois vetores perpendiculares entre si, o mdulo do vetor resultante ser obtido usando-se o Teorema de Pitgoras, com a resultante sendo a hipotenusa e os vetores, os catetos.R

B

A

Figura 12: Soma de vetores perpendiculares entre si.

R = A2 + B2 DICA

interessante mostrar que todos os casos particulares de soma vetorial podem ser obtidos da equao geral (equao 5), vendo o que acontece no caso de termos dois vetores de mdulos iguais (|A| = |B|) quando formam um ngulo de 120o entre si.

A

B

-BA - B

Figura 13: Subtrao de vetores

Multiplicao de um vetor por um escalarSe multiplicarmos um vetor V por uma grandeza escalar k positiva, o produto kV um vetor cujo mdulo dado por kV e a orientao a mesma do vetor V. Caso a grandeza k seja negativa, o vetor kV apontar no sentido oposto ao vetor V.

Subtrao de vetores

Para subtrair vetores, utilizamos a definio de negativo de um vetor. O negativo de um vetor A aquele que quando somados a resultante igual zero, ou seja, A + (A) = 0. Definimos, portanto, a subtrao de vetores A B como o vetor B adicionado ao vetor A.



26

Exemplo: O vetor 2V duas vezes superior, em mdulo, ao vetor V, ao passo que o vetor (-1/2)V a metade do vetor V e aponta no sentido oposto. -1/2V

2V

V

Figura 14: Multiplicao de vetor por um escalar.

Figura 15: O produto escalar entre dois vetores. |A|cos a projeo do vetor A ao longo do vetor B.

Da definio de produto escalar, podemos calcular o ngulo entre dois vetores como:

Figura 16: O produto vetorial entre os vetores A vetor B um vetor perpendicular ao plano gerado pelos dois vetores.

A

B

Multiplicao entre dois vetoresPodemos multiplicar dois vetores de duas formas diferentes, de forma a gerar um produto de grandeza escalar ou vetorial. O produto escalar entre dois vetores, tambm chamado de produto interno, A B uma grandeza escalar dada por AB cos , com sendo o menor ngulo entre os dois vetores.

O produto vetorial entre dois vetores, chamado tambm de produto externo, A B uma grandeza vetorial cujo mdulo dado por AB sen.O vetor resultante de um produto vetorial entre dois vetores A e B sempre perpendicular ao plano gerado pelos dois vetores (ver figura).

| |

AxB

AB AxB



27

Para determinar corretamente o sentido do vetor resultante, usamos a chamada Regra da Mo Direita, apresentada na figura abaixo.

Figura 17: A regra da mo direita.

Para encontrar o vetor resultante, calculamos o determinante da matriz dada por:

Propriedades do produto vetorial

O produto vetorial anticomutativo, ou seja, A B = B A .

Figura 18: Propriedades do produto vetorial.

F

B

Vq

Giro

F B

V

n

AxB

= -AxBBxAB

A

[ ]O produto vetorial , sobre a adio, distributivo: A (B + C ) = A B + A C.

Multiplicao por um escalar: r(A B) = (rA ) B = A (rB).



28

Ao somarmos vetores, os substitumos por um nico vetor que represente a todos: a resultante. Podemos seguir o caminho inverso: dado um nico vetor, podemos decomp-lo em suas componentes ao longo de um eixo coordenado. Podemos definir ainda, com o intuito de fornecer orientao a um eixo coordenado, os chamados vetores unitrios.

Componentes de um vetor e vetores unitrios

A

y

x

Figura 19: Decomposio vetorial.

Da figura acima e da definio do seno e cosseno de um ngulo, podemos observar que os mdulos das componentes do vetor A so dados por:

Para obtermos o valor do ngulo entre os dois vetores, usamos a seguinte relao obtida da figura:

O que implica em dizer que:

Vetor unitrio As grandezas vetoriais so expressas geralmente em termos de vetores unitrios. Um vetor unitrio um vetor de mdulo exatamente igual a 1 e aponta em um certo sentido, no apresentando unidade nem dimenso.

Ay

Ax

Decomposio vetorial

Na soma de dois vetores, obtemos um nico vetor a resultante equivalente a esses dois. Na decomposi-o vetorial, o procedimento o inverso. Dado um vetor A, podemos obter, em um sistema de coordenadas cartesianas em duas dimenses, dois outros vetores Ax e Ay tal que Ax + Ay = A. Dizemos ento que o vetor A pode ser descrito por suas componentes retangulares Ax e Ay.



29

Vetores unitrios so muito teis quando desejamos especificar outros vetores em uma direo no espa-o. Convencionalmente so usados os smbolos , j e k (ou i, j e k) para descrever os vetores unitrios que apontam nas direes x, y e z, respectivamente (ver figura). Os vetores unitrios so tambm chamados de versores.

y

x

kj

i

Figura 20: Vetores unitrios em num eixo de coordenadas cartesianas tridimensional.

Deste modo, os vetores unitrios i, j e k formam um conjunto de vetores ortogonais (perpendiculares uns aos outros) de mdulo igual a um, ou seja, |i| = |j| = |k| = 1. Podemos ento definir determinado vetor em termos dos vetores unitrios. Como exemplo, tomemos um vetor A, em uum diagrama de coordenadas cartesianas, formando um ngulo com o eixo x. Veja a figura a seguir:

Figura 21: Um vetor A disposto em termos de suas componentes.

Figura 22: Vetor no espao tridimensional.

A

y

xj

i

Ay

Ax

A

y

z

k

i

x

j

EXERCCIO PROPOSTO

1. Demonstre matematicamente que o mdulo do vetor A, do exemplo acima, dado por A e prove este resultado para o caso de o vetor A estar em um plano de coordenadas cartesia-nas tridimensionais formando um ngulo com x e a projeo do vetor no plano xy e um ngulo com o eixo z (veja a figura).

Podemos escrever o vetor A em termos de suas componentes e dos vetores unitrios da forma:A = Ax + Ay j A = A cos + A sen j



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EXERCCIO RESOLVIDO

1. Responda s seguintes indagaes:a) Qual soma, usando notao dos vetores unitrios, dos vetores A = 7i + 5j e B = 4i + 3j? b) Qual a intensidade e a direo de A + B?Soluo: (a) A soma vetorial, usando a notao de vetores unitrios, dada por:A + B = (74) + (5+3) j = 3 + 8j(b) J para encontrarmos a intensidade, procedemos como segue:|A + B| = (32 + 82 ) = 8,54e para encontrar o ngulo, , entre os dois vetores (direo), temos que:

2. Uma pessoa caminha 120 m para o norte e, em seguida, orienta-se para o leste e caminha mais 80 m. Depois, orienta-se para o sul e caminha 70 m. Qual o mdulo e a orientao do deslocamento resultante realizado por esta pessoa?

Soluo:

O vetor deslocamento um vetor que indepen-de da trajetria descrita pelo corpo. Ele de-pende apenas do ponto de partida e do ponto de chegada.Na figura a seguir, mostramos os deslocamen-tos da pessoa, com seus mdulos indicados, e o vetor deslocamento.Para calcular o vetor deslocamento resultan-te, mais interessante escrevermos os des-locamentos em termos de suas componentes vetoriais. A ideia imaginar que cada um dos vetores est partindo da origem. D1

D2D3

i

y

xj

D

D2 = 80m

D1 = 120m

D3 = 70m



31

Soluo: Desta forma, efetuamos a seguinte soma vetorial:Para calcular o mdulo, procedemos como segue:|D| = (802 + 502 ) = 94,3 mO prximo passo encontrar a orientao. Para isto usamos a relao:

Logo, a pessoa deslocou-se 94,3 m a 32o nordeste.

D

y

x

EXERCCIO PROPOSTO

1. Um vetor V est sobre o plano xy. Para quais orientaes de V sero negativas suas componentes? Para quais orientaes suas componentes tero sinais opostos?2. A soma dos mdulos de dois vetores pode ser igual ao mdulo da soma dos mesmos vetores? Justifique sua resposta.3. A soma de dois vetores pode ser inferior ao valor de cada um dos vetores componentes?4. Qual a condio para que a soma de dois vetores seja nula?5. possvel um vetor ter intensidade nula se uma de suas componentes no nula?6. Se V4 = V1 + V2 + (-V3), verdade que (a) V1 + (-V4) = V3 + (-V2); (b) V1 = (-V2) + V4 + V3; (c) V3 + (-V4) = V1 + V2? 7. Suponha que d = d1 + d2 . Isso significa que se deve ter d > d1 ou d > d2? Se no, explique por qu?



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EXERCCIO PROPOSTO

8. Dada a figura abaixo, onde = 20o e os vetores deslocamento A e B tm mdulos iguais a 5,0 m. Encon-tre graficamente (a) A + B, (b) A B, (c) B A e (d) A 2B.

A

y

x

B

9. Na soma C = A + B, o vetor A tem modulo de 15,0 m e um ngulo de 30,0o no sentido anti-horrio com relao ao semieixo x positivo, e o vetor C tem modulo de 20,0 m e um ngulo de 25,0o no sentido anti--horrio em relao ao semieixo x negativo. Determine (a) o mdulo de B e (b) o ngulo de B em relao ao semieixo x positivo. 10. Um carro se move 250 m horizontalmente e ento sobe 120 m em um ngulo de 20,0o acima da ho-rizontal. Ele percorre ento mais 120 m em um ngulo de 30,0o para baixo. Qual o vetor deslocamento desde seu ponto de partida? Utilize tcnicas grficas.

Movimento RetilneoUN 01

1. Iremos supor que todo movimento acontece ao longo de uma linha reta, ou seja, o movimento retilneo. 2. O corpo em movimento ser sempre uma partcula (ou ponto material), um objeto cujas dimen-ses so desprezveis um ponto.

Como dissemos antes, a parte da Fsica que trata do movimento e suas causas a Dinmica, mas antes de estud-la, devemos enten-der os principais conceitos referentes ao movimento de um corpo e descrev-lo. Esta tarefa feita pela Cinemti-ca. Para comear o estudo do movimento, necessrio fazer algumas suposies que iro facilitar o estudo de um corpo em movimento, so elas: http://www.stock

car.com.br



33

A forma como calculamos a rapidez com que um objeto se movimenta pode se dar de algumas maneiras diferentes, e que nem sempre fornecem o mesmo resultado. Passaremos agora a apresentar essas diferen-tes maneiras de calcular a rapidez de movimentao dos corpos; chamaremos essa grandeza de veloci-dade, mostrando em que situaes podemos usar cada uma delas.Velocidade escalar mdia

Para uma partcula que se move, percorrendo uma distncia d, no intervalo de tempo t, definimos a velo-cidade escalar mdia matematicamente como:

Velocidade escalar mdia e velocidade mdia

A velocidade escalar mdia no um vetor, portanto no associamos a ela nenhuma orientao. Ela nos d a razo entre a distncia percorrida ao longo da trajetria do corpo e o tempo necessrio para percorr-la.

Velocidade mdia A principal diferena entre a velocidade mdia e a velocidade escalar mdia que na primeira no calcu-lamos a razo entre a distncia percorrida e o tempo, mas a razo do deslocamento e o tempo. Podemos entender o deslocamento como a linha que une o ponto inicial de uma determinada trajetria ao ponto final.

Figura 23: Trajetria de um mvel.

Figura 24: Diagrama mostrando o deslocamento, em linha reta, de um mvel ao longo do tempo.

A velocidade mdia , portanto, definida como:

Equao 01cuja unidade no SI o m/s.

dt

t1 t2 t

X2

X1Vm

X

Equao 02



34

Em um grfico de x em funo do tempo, x vs. t, a velocidade mdia a inclinao da reta que liga os pontos (x1, t1) e (x2, t2). Portanto, se quisermos calcular a velocidade mdia de uma partcula por meio de um grfico x=x(t), basta calcular a inclinao da reta que une os pares ordenados (x1, t1) e (x2, t2). Uma forma matemtica de entender o clculo da velocidade mdia em um grfico x=x(t) observar que a velocidade mdia numericamente igual tangente do ngulo do tringulo retngulo formado no grfico (ver figura).

Figura 25: A velocidade mdia numericamente igual tangente do ngulo

SAIBA MAIS

Dizemos que a velocidade mdia numericamente igual tangente do ngulo do tringulo retngulo porque elas so grandezas de dimenses diferentes, mas com o mesmo valor numrico.

Para se obter a velocidade de uma partcula em dado instante, calculamos a velocidade mdia dessa part-cula reduzindo o intervalo de tempo, t, at torn-lo prximo de zero. O valor limite do qual a velocidade mdia se aproxima, quando o intervalo de tempo tende a zero, chamado de velocidade instantnea (ou simplesmente velocidade). Por definio, temos que a velocidade de um corpo dada por:

Velocidade Instantnea

t1 t2 t

X2

X1Vm

X

Equao 03



35

Matematicamente, podemos entender a velocidade como a taxa de variao do espao em relao ao tem-po, ou seja, a velocidade a derivada do espao em relao ao tempo.DICA

Para melhor aprendizagem dos contedos estudados at o momento, faa uma reviso dos conceitos do Clculo Integral e Diferencial. A partir da, voc observar que, por exemplo, dada uma equao da posio de uma partcula em funo do tempo, x=x(t), basta deriv-la para encontrar a velocidade.

Usando nosso conhecimento do Teorema Fundamental do Clculo, somos capazes de reescrever a equao da velocidade da seguinte maneira:

Integrando os dois membros da equao, desde a posio x1, no tempo t1 at a posio x2, no tempo t2, obtemos a seguinte expresso:

Convenientemente adotando t2 = t, t1 = 0, x2 = x e x1 = x0, sem que percamos nenhuma generalizao por estas mudanas, encontramos a expresso:

A equao 4 nos mostra que dada qualquer funo da velocidade em relao ao tempo e posio inicial da partcula, somos capazes de determinar sua posio em qualquer instante. Considerando o caso especial em que a velocidade constante, obtemos a chamada equao horria do espao do movimento retilneo e uniforme (MRU).

Equao 05

A grandeza fsica capaz de alterar o estado de velocidade de um corpo chamada acelerao. Para movi-mentos ao longo de um eixo, a acelerao mdia, em um intervalo de tempo t, definida como:Acelerao

Equao 04

Equao 06



36

J a acelerao instantnea (ou simplesmente acelerao) a taxa de variao da velocidade em relao tempo, definida por:

Da definio de velocidade, podemos reescrever a equao acima como segue:

Em outras palavras, a acelerao a segunda derivada da posio, x=x(t), em relao ao tempo. A unidade de acelerao no SI o m/s2.

Caso especial: acelerao constante

Se nos depararmos com o caso idealizado de acelerao constante, muito usado para simplificar vrios problemas do cotidiano, podemos encontrar algumas equaes bastante teis no estudo de corpos em movimento.

Equao horria da velocidade

Mais uma vez recorrendo ao Teorema Fundamental do Clculo, podemos encontrar a equao horria da velocidade como segue:Sabendo que,

temos que,

fazendo, convenientemente, v1 = v(t), v2 = v0 e t0 = 0, lembrando que a = cte, obtemos a seguinte expresso:

Equao 07

Equao 08



37

a equao horria da velocidade para o movimento retilneo uniformemente variado (MRUV).

Equao horria da posio

Se substituirmos a Equao 8 na Equao 4, encontraremos a seguinte relao:

efetuando a integrao, considerando v0 e a constantes, obtemos finalmente:

a equao horria da posio no movimento retilneo uniformemente variado (MRUV).

EXERCCIO PROPOSTO

1. Demonstre que, usando as equaes 09 e 05, podemos encontrar uma expresso que envolva so-mente velocidades, deslocamentos e acelerao, sem a necessidade da varivel tempo, da seguinte forma:

Esta relao tambm conhecida como Equao de Torricelli.

O conhecimento de que os corpos, quando soltos de determinada altura em relao ao solo, caem em direo Terra comum a todos ns. O que talvez nos parea estranho saber que, independente-mente de suas massas ou formatos, todos os corpos caem com uma mesma acelerao constante. Isto implica em dizer que se soltarmos ao mesmo tempo, de uma mesma altura, uma pena e uma bigorna, tal qual nos desenhos ani-mados, os dois corpos cairo ao mesmo tempo no cho. Nosso senso comum nos diz que isto est errado e que, neste caso, a bigorna ser o corpo a cair primeiro no cho e que todos os objetos mais leves do que ela devero chegar ao cho depois dela, cada um de acordo com sua massa.Este conceito do dia-a-dia est errado, pois no leva em conta que neste problema, em uma situao real, temos uma varivel impor-tantssima: o ar. No caso da pena e da bigorna, a pena sofre muito mais os efeitos da resistncia do ar do que a bigorna. Esta resistncia faz com que a pena acabe chegando depois da bigorna. A primeira pessoa a demonstrar que a queda de corpos independe das massas dos corpos foi Galileu Galilei. Reza a lenda que ele soltou dois corpos de massas diferentes, ao mesmo tempo, do alto da torre de Pisa e os corpos atingiram o cho aproximadamente ao mesmo tempo.

Queda livre

Figura 26: Experimento de Galileu na torre de Pisa.

Equao 09

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Galileu realizou ainda muitas experincias com corpos em movimento sobre planos inclinados, medindo de forma sistemtica e cuidadosa os intervalos de tempo e dis-tncia percorrida por eles. Ele percebeu que o deslocamento de um corpo, partindo do repouso, proporcional ao quadrado do tempo em que o corpo est em movimento. Esta observao de Galileu consistente com a equao 9, tomando x0 = v0 = 0 (um corpo partindo do repouso na origem do movimento). Observe que, neste caso, a constante de proporcionalidade dada por 1/2 a, onde a acelerao qual os cor-pos que caem em direo Terra esto sujeitos. Posteriormente, Newton demons-trou que esta acelerao (hoje denotada por g) a chamada acelerao da gravida-de. Os estudos desse terico prepararam o caminho para o trabalho de Newton no desenvolvimento das Leis do movimento. Uma forma de modelar um problema de um corpo caindo supor a ausncia de ar (vcuo) ou dizer que a resistncia do corpo em relao ao ar desprezvel. Nesta situao idealizada, dizemos que a partcula descreve uma queda livre de modo a podermos aplicar as principais funes do MRUV com algumas pequenas alteraes:1. Como a trajetria da queda livre sempre vertical, substituiremos a varivel x, asso-ciada ao eixo horizontal, pela varivel y, associada ao eixo vertical.2. A acelerao a da gravidade, portanto vamos adotar sempre a = g. Vamos estabe-lecer um nico sistema de referncia: um eixo vertical, orientado para cima, com a ori-gem fixada, em geral, no solo. Desta forma, como a acelerao da gravidade orientada verticalmente para baixo, seu valor ser negativo.3. Podemos ento resumir as equaes da queda livre como segue:Velocidade em relao ao tempo

-g

y

0

Posio em relao ao tempo

Velocidade em relao posio (Equao de Torricelli)

DICA

O mdulo da acelerao da gravidade na superfcie da Terra 9,8 m/s2. interessante que voc pesquise na internet ou em livros os valores da acelerao gravitacional em outros planetas e na Lua, para saber a consequncia destes diferentes valores para um corpo solto, de uma mesma altura, em cada um destes locais comparativamente com a mesma experincia feita na Terra.

Equao 10

Equao 11



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EXERCCIO RESOLVIDO

1. Voc dirige seu fusca por uma estrada em linha reta por 5,5 km a 60 km/h, quando, de repente, sua gasolina acaba. Ento, voc caminha 1,5 km a mais at o posto de gasolina mais prximo, em 25 minutos. Qual sua velocidade mdia desde o instante em que o carro partiu at sua chegada ao posto de gasolina?

Soluo: Vamos encontrar primeiramente o deslocamento total,x = 5,5 km + 1,5 km = 7,0 km

O prximo passo ser encontrar o tempo total, dado por:

Observe que devemos colocar o intervalo de tempo na mesma unidade para apropriadamente esco-lheremos as unidades em horas. Logo:

Finalmente, calculamos a velocidade mdia:

2. Um corpo solto do repouso e colocado em queda livre. Determine a posio e a velocidade do corpo decorridos 1,0 s, 2,0 s, 3,0 s e 4,0 s.

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Soluo:

Para simplificar o problema, iremos assumir que a origem coincide com o ponto de partida de tal forma que y0 = 0. Sabemos ainda os valores da velocidade inicial (v0 = 0) e acelerao (g = 9,8 m/s2 queda livre). Aplicamos estes valores na equao 11. Logo:Para t = 1,0 s

Para calcular a velocidade, usamos a equao 10, como segue:Aps cair por 1,0 s, o corpo estar 4,9 m abaixo (y negativo) com uma velocidade de 9,8 m/s. Da mes-ma forma encontram-se as posies e velocidades para t= 2,0, 3,0 e 4,0 segundos.Veja a figura a seguir:

Observe que o sinal negativo indica que o movimento ocorre no sentido contrrio ao sentido po-sitivo do eixo y.

2



41

EXERCCIO PROPOSTO

1. Dois carros movem-se na mesma direo em pistas paralelas ao longo de uma rodovia. Em algum ins-tante, a velocidade do carro A excede a velocidade do carro B. Isto significa que a acelerao de A maior do que a acelerao de B? Explique.2. Um carro A viajando para o sul, de Mossor para Apodi, tem uma velocidade escalar de 25 m/s. Um carro B viajando para oeste, de Mossor para Fortaleza, tambm tem velocidade escalar de 25 m/s. Suas velocidades so iguais? Explique.3. Dois trens, cada um com velocidade de 40 km/h, trafegam em sentidos opostos sobre uma mesma linha frrea retilnea. Um pssaro, que consegue voar a 70 km/h, voa a partir da frente de um dos trens, quando eles esto separados por 80 km, diretamente em direo ao outro trem. Alcanando o outro trem, o pssaro imediatamente voa de volta ao primeiro trem e assim por diante (No temos a menor ideia por que o pssaro comporta-se dessa maneira). Qual a distncia total que o pssaro percorre at os trens colidirem?4. Calcule sua velocidade mdia nos casos a seguir: a) Voc caminha 81,3 m a uma velocidade de 2,02 m/s e depois corre por 70,0 m com velocidade de 3,45 m/s ao longo de uma via reta; b) Voc caminha 2,00 minutos com uma velocidade de 2,02 m/s e depois corre por 2,00 min a 3,45 m/s ao longo de uma via reta; c) Trace o grfico x versus t para ambos os casos e indique como a velocidade mdia pode ser determinada no grfico.

5. A velocidade mdia para uma partcula em movimento unidimensional tem um valor positivo. pos-svel que a velocidade instantnea da partcula tenha sido negativa em qualquer instante no intervalo? Suponha que a partcula tenha comeado da origem, x = 0. Se a velocidade mdia positiva, a partcula em algum momento pode ter estado na regio x?6. A posio de uma partcula que se move ao longo do eixo x dada em centmetros por x = 8,55 + 1,30 t3, onde t est em segundos. Calcule:a) A velocidade mdia durante o intervalo de tempo de t = 2,00 s a t = 3,00 s; b) A velocidade em t = 2,00 s; c) A velocidade instantnea em t = 3,00 s; d) A velocidade instantnea em t = 2,50 s; e) A velocidade instantnea quando a partcula est na metade da distncia entre suas posies em t = 2,00 s e t = 3,00 s. f) Faa o grfico de x versus t e identifique suas respostas graficamente.

7. Gotas de chuva caem 2000 m de uma nuvem at o cho. Responda:a) Se elas no sofressem a influncia da resistncia do ar, quais seriam suas velocidades ao atingirem o solo? b) Seria seguro caminhar ao ar livre durante uma tempestade com chuva?8. Um balo de ar quente est subindo a uma taxa de 15 m/s e est a 90 m acima do solo quando um pacote solto por um de seus lados. Com base nestas informaes, responda:a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? b) Com que velocidade o pacote atinge o solo?9. Um parafuso solta-se de uma ponte em construo, caindo 80 metros em um vale abaixo da ponte. Fun-damentado nesta afirmao, responda:



42

a) Em quanto tempo ele percorre os ltimos 10% de sua queda?

b) Qual sua velocidade quando ele comea os ltimos 10% de sua queda e (c) quando ele atinge o vale abaixo da ponte?10. Uma chave cai de uma ponte que est 45 m acima da gua. Ela cai diretamente sobre um barco, que se move com velocidade constante e estava a 12 m do ponto de impacto quando a chave foi solta. Qual a velocidade do barco?11. A gua goteja de um chuveiro sobre um piso 250 cm abaixo. As gotas caem em intervalos de tempo regulares (iguais): a primeira gota atinge o piso quando a quarta gota comear a cair. Quando a primeira gota atinge o piso, a que distncia do chuveiro encontram-se a segunda e a terceira gotas?12. Em um canteiro de obras, uma chave de cano atinge o solo com uma velocidade de 36 m/s. Com base nesta informao, responda:a) De que altura deixaram-na cair por descuido? b) Quanto tempo durou a queda? c) Esboce os grficos de y, de v, e de a versus t para a chave de cano.

13. Para concluirmos esta unidade, faa a seguinte experincia em casa: solte de uma mesma altura e ao mesmo tempo uma folha de papel e um livro e veja o que acontece. Agora amasse a folha de papel, transformando-a em uma bola de papel, e repita o procedimento. Tente agora com outra folha (sem estar amassada), mas colocando-a sobre o livro. O que aconteceu nos dois casos? Explique com suas palavras o fenmeno que voc observou.

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II DINMICA E ENERGIAO estudo do movimento dos corpos, suas causas e efeitos, sem-

pre fascinou o homem. Os gregos antigos j estudavam o movimento dos corpos celestes tentando descrever sua dinmica e periodicidade. Ao longo da histria, vrias foram as pessoas que contriburam para o desenvolvimento de um conhecimento slido sobre a dinmica dos movimentos.

Somente com o advento das Leis de Newton e sua teoria da Gravi-tao Universal, embasando o que chamamos hoje de Mecnica Clssi-ca, esse assunto ficou bem compreendido e, aparentemente, fechado.

O mecanicismo, iniciado por Newton, prevalecera por vrios anos at o fim do sculo XIX e meados do sculo XX, quando a chegada de novas teorias, tais como a teoria do Eletromagnetismo, a teoria de Relatividade Especial e a Mecnica Quntica, obrigaram os cientistas a rever a Mecnica Newtoniana (Mecnica Clssica) transformando-a em um caso particular de teorias mais gerais. Mesmo com esse reescalo-namento de Teoria Final para Caso Particular, as Leis de Newton continuam a desempenhar papel preponderante em nosso cotidiano sendo aplicadas a praticamente todas as situaes do dia-a-dia.

Nesta unidade abordaremos os principais conceitos envolvidos em Dinmica, apresentando e discutindo as trs Leis de Newton com aplicaes de sua utilizao no dia-a-dia. Alm disso, exploraremos a Lei da Gravitao universal e suas principais consequncias. Por lti-mo, discutiremos o estudo de uma das grandezas fsicas mais impor-tantes da natureza: a Energia. Veremos os conceitos de transferncia e conservao da Energia de um corpo ou de um sistema de partculas.

Objetivos:

Compreender e aplicar em situaes do cotidiano as Leis de Newton e suas implicaes;

Explicar o movimento dos corpos celestes luz do conheci-mento das Leis de Kepler e da Gravitao Universal de Newton;

Usar o conceito de energia e sua conservao para resolver ques-tes nas quais corpos, dentro de um sistema, troquem energia ou quando um sistema troque energia com sua vizinhana.

II - DINMICA E ENERGIA


45

Leis do MovimentoUN 02No estudo dos movimentos de um objeto, devemos ser capazes de determinar a causa deste movimento.

Sabemos hoje que a grandeza fsica responsvel por esse movimento a Fora.

Desde a Grcia antiga, o estudo do movimento dos corpos chamava a ateno dos estudiosos e muitas foram as tentativas de explicar o fenmeno do movimento. Para os gregos antigos, o estado natural de um objeto era o repouso, de vez que ao ser colocado em movimento tal objeto tenderia a voltar ao seu estado natural de repouso. O primeiro a questionar tal afirmao foi Galileu, ao demonstrar que objetos subme-tidos ao mesmo empurro (o conceito de fora ainda no era definido), em diferentes superfcies, per-corriam distncias distintas. E a tendncia era a seguinte: quanto mais lisa a superfcie, maior a distncia percorrida pelo objeto.Faltava ainda, na poca de Galileu, uma teoria apropriada para descrever os fenmenos relacionados ao movimento. A primeira pessoa a formalizar tal conhecimento, abrangendo seus resultados para casos mais gerais, foi Isaac Newton (1642-1727). Ele foi o primeiro a entender e explicar a relao entre uma fora e a acelerao que ela provoca nos objetos. Em seus estudos do movimento, Newton apresentou trs leis para o movimento que formam a base para o que chamamos hoje de Mecnica Newtoniana, que, alm de fornecer explicao para uma infindvel quantidade de fenmenos naturais, foi capaz de unificar o es-tudo da Mecnica Celeste e da Mecnica Terrestre, tidas at ento como fenmenos distintos.

A Mecnica Newtoniana influenciou todos os ramos do conhecimento humano, tais como: Filosofia e Arte mudando totalmente nossa percepo do mundo. Grandes pensadores se utilizaram do determinis-mo fornecido pelas Leis de Newton para formular suas ideias. Sua abrangncia era to grande que no existiam fenmenos que no pudessem ser explicados usando os princpios da Mecnica Newtoniana. A aplicao, abrangncia e espanto que as ideias advindas da Mecnica Newtoniana causaram na hu-manidade podem ser sintetizadas pelo epitfio, inscrito no tmulo de Issac Newton, escrito pelo poeta Alexander Pope, que diz:

A natureza e suas leis estavam imersas em trevas; Deus disse haja Newton e a luz se fez.Hoje sabemos que as Leis de Newton no se aplicam a todos os fenmenos da natureza. A Mecnica Newtoniana mostrou-se falha, por exemplo, ao ser aplicada a objetos cujas velocidades eram prximas da luz. Para estes casos, a teoria que explica corretamente o fenmeno a chamada Teoria da Relatividade Especial, proposta por Albert Einstein no incio do sculo XX. Outra situao em que a Mecnica Newto-niana falhou foi na explicao para a interao de corpos cujas dimenses so da ordem, ou menores, que um tomo, por exemplo: eltrons, prtons e nutrons. A teoria fsica adequada para o estudo da interao dessas partculas a chamada Mecnica Quntica. Estas duas novas teorias formam o que chamamos hoje de Fsica Moderna. Hoje os cientistas concordam que a Mecnica Newtoniana um caso particular destas duas teorias, mas no deixa de ter sua aplicabilidade e importncia comprometidas, pois continua a ser vlida para situaes nas quais as velocidades dos objetos envolvidos so muito menores do que a veloci-dade da luz e suas dimenses muito maiores do que um tomo, e isto vai da escala de um gro de poeira at a escala de uma galxia e seus aglomerados!

Mecnica Newtoniana

Como dito anteriormente, acreditava-se que um objeto, ao ser posto em movimento, teria uma tendn-cia natural a voltar para seu estado de repouso. Portanto, se um objeto se mantm em movimento, com velocidade constante, porque alguma coisa continua a empurr-lo tal objeto. Esta ideia corroborada por nossa experincia cotidiana, pois percebemos que ao aplicarmos um empurro em um determi-

A primeira Lei de Newton



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nado corpo, ele logo volta ao seu estado de repouso. Como exemplo disto, pensemos no caso de uma flecha disparada por um arqueiro que tem sua velocidade diminuda na medida em que se movimenta at finalmente parar.

Usando o paradigma vigente antes das Leis de Newton, explicaramos tal fenmeno dizendo que a fle-cha estava em movimento porque alguma coisa chamaramos essa coisa hoje de fora continuava a empurr-la continuamente na medida em que essa coisa diminusse sua intensidade, sua velocidade tam-bm diminuiria e o trmino do movimento da flecha seria coincidente com o fim da ao dessa coisa sobre ela. O mesmo acontece com um corpo empurrado sobre uma superfcie: percebemos que aps um certo tempo, o corpo para de se movimentar voltando ao seu estado de repouso. Se formos mais criteriosos so-bre a superfcie em que empurramos tais corpos, poderemos ver, assim como Galileu, algumas diferenas significantes. Se tomarmos superfcies cada vez mais lisas, tais como uma pista de gelo, perceberemos que o corpo percorrer distncias cada vez maiores. Extrapolando para o caso de uma superfcie perfeitamente polida sem o que chamamos hoje de atrito e infinitamente grande, podemos chegar concluso de que o corpo tender a manter o seu estado natural de movimento com velocidade constante se nenhuma fora agir sobre ele. Esta constatao nos leva definio da primeira lei de Newton:

PRIMEIRA LEI DE NEWTON: Um corpo tende a permanecer em repouso, ou em movimento retilneo e uniforme se no houver foras atuando sobre ele ou se, ao menos, a resultante dessas foras for nula.Em outras palavras, um corpo livre da ao de uma fora externa manter seu estado de repouso ou mo-vimento com velocidade constante.

Observe que a Primeira Lei de Newton

fornece um conceito totalmente diferente de

nossa vivncia cotidiana, mostrando que o estado

natural de um objeto poder ser, alm do

repouso, um movimento com velocidade

constante. FORAAo longo desta seo, falamos vrias vezes em empurres, coisas que causam movimento e foras. Em nenhum momento definimos o conceito correto de Fora. Faamos isto agora: podemos definir, em uma primeira aproximao, Fora como a grandeza fsica que surge da interao entre dois corpos sendo a causa da acelerao dos objetos, ou seja, a Fora a responsvel pela variao da velocidade de um corpo. Portanto, todo objeto acelerado encontra-se sob ao de uma fora.Para definir uma unidade para a grandeza Fora, utilizamos sua caracterstica de provocar acelerao em um objeto. Usamos, para tanto, um corpo padro de massa igual a 1 kg e o submetemos a uma acelerao de 1 m/s2 em uma superfcie considerada sem atrito. Declaramos neste caso, por definio, que o corpo foi submetido a uma fora de 1 newton (abreviado por 1 N).

Figura 27: Uma fora F aplicada sobre um quilograma padro provocar nele uma acelerao a no mesmo sentido.

Fa

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Uma consequncia direta de associarmos a medida da fora acelerao que ela provoca percebermos que a fora , como a acelerao, uma grandeza vetorial. Podemos constatar, com alguns experimentos simples, que diferentes orientaes nas quais a fora aplicada implicam em diferentes resultados de acelerao para um mesmo corpo em uma mesma superfcie. Sabendo ento que fora uma grandeza de carter vetorial, somos levados ao entendimento do que seria uma fora resultante, ou seja: se duas ou mais foras atuarem sobre um mesmo corpo podemos calcular uma fora que agir como se apenas ela estivesse agindo sobre o corpo. Seria interessante ao leitor, neste momento, relembrar os conceitos de resultante vetorial estudados anteriormente. Esta propriedade das foras consequentemente dos vetores tambm conhecida como princpio de su-perposio para foras.

Figura 28: Duas foras agem sobre um mesmo corpo, cuja resultante vetorial a responsvel pela acelerao deste corpo.

DICA

Note que a primeira lei de Newton trata de duas situaes distintas que provocam a mesma ao sobre um corpo. A primeira diz que se no houver foras atuando sobre um corpo a segunda diz se a resultante das foras que atuam sobre o corpo for nula. Em ambos os casos, o resultado o mesmo: o corpo em repouso continuar em repouso e o corpo em movimento retilneo e uniforme continuar seu movimento. Desta forma, nem todo corpo que sofre ao de foras estar acelerado: isto somente acontecer se a resultante vetorial das foras que atuam sobre ele for diferente de zero. Fique esperto!

REFERENCIAIS INERCIAIS Umas das consequncias que esto nas entrelinhas da primeira lei de Newton o fato de no haver distino fsica entre um corpo em repouso e um corpo que se movimenta com velocidade constante. Podemos nos dar conta deste fato se nos imaginarmos dentro de um avio, viajando em velocidade de cruzeiro (velocidade constante), durante um voo noturno sem turbulncias. Nesta situao no somos capazes de perceber que estamos em movimento. Para qualquer passageiro, dentro deste avio, per-feitamente plausvel dizer que est simplesmente parado sentado em sua poltrona. O mais incrvel disto que ao afirmar isto, tal passageiro estaria fisicamente correto, pois a primeira lei de Newton nos fornece um entendimento sobre referencias. Podemos muito bem estarmos parados em relao a um determinado referencial um que se movimente conosco, por exemplo e em movimento em relao a outro. Esta relatividade nos referenciais j havia sido estudada por Galileu, mas Newton forneceu um novo olhar sobre a questo ao inserir o conceito de referenciais inerciais. As leis de Newton no se aplicam a todos os referenciais, embora sempre possamos encontrar um referencial em que ela possa ser aplicada. As referenciais em que as leis de Newton so consistentes so chamados de referen-ciais inerciais. Referencial inercial aquele para o qual as Leis de Newton so vlidas.

aF2

Fresultante

F1



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Para exemplificar a situao, imaginemos o solo. Nossa experincia cotidiana nos mostra que embora saibamos da existncia dos movimentos que a Terra realiza, tais como rotao, translao, precesso e nutao, todos eles so desprezveis para nosso dia-a-dia. Desta forma, podemos assumir o solo como um bom referencial inercial onde verificaramos a validade das Leis de Newton. Se deslizssemos um objeto ao longo de uma superfcie muito longa e perfeitamente polida, veramos que o disco se movi-mentaria exatamente como sugere o enunciado da primeira lei de Newton.Agora, em contrapartida, se tomarmos como referencial uma plataforma girante o piso de um carros-sel em movimento, por exemplo perceberamos que um corpo abandonado no piso desta plataforma tenderia a se movimentar sem que nenhuma fora resultante estivesse agindo sobre ele, contrariando frontalmente o esperado de acordo com a primeira Lei de Newton. No somos capazes de explicar este fenmeno luz das Leis de Newton, dizemos ento que tal plataforma corresponde a um referencial no inercial. Para os estudantes que se utilizam de transporte pblico, outro timo exemplo um nibus que, ao frear, nos arremessa como se uma fora fantasma estive agindo sobre ns.

Figura 28: Exemplos de referenciais no inerciais.

A primeira Lei de Newton tambm conhecida como a Lei da Inrcia. Podemos definir a inrcia como a tendncia de um corpo em manter sua velocidade vetorial constante. Vejamos da seguinte maneira: um vetor no caso o vetor velocidade tem intensidade, direo e sentido. Se dizemos que a inrcia a tendncia natural de um corpo manter as caractersticas vetoriais desta grandeza constantes estamos dizendo que um corpo em repouso (v = 0) tender a continuar em repouso e um corpo em movimento retilneo e uniforme (v = constante) tender a manter tal movimento. Esta propriedade intrnseca aos corpos o que chamamos de Inrcia. Podemos agora usar o entendimento de inrcia e sua relao com a velocidade vetorial para enunciar a Primeira Lei de Newton como segue:Um corpo livre da ao de foras tende a manter sua velocidade vetorial constante.Usando o conceito de inrcia, podemos explicar o fenmeno da fora fantasma surgida no passageiro que estava no nibus que freou bruscamente devido, por exemplo, a um transeunte que atravessou a pis-

ta sem olhar para os lados. O passageiro que est no nibus um referencial no inercial no momento da freada sente um forte empurro lan-lo para frente. Ele no consegue explicar, de seu referencial, de onde veio esse empurro, mas um observador no solo um referencial inercial ao ver o incidente capaz de explicar toda a situao luz da Mecnica Newtoniana. O que o observador no solo percebe que o passageiro do nibus simplesmente obedeceu ao enunciado da Primeira Lei de Newton, pois quem parou bruscamente foi o nibus, mas os passageiros dentro dele tenderam a continuar em seu estado de movimento, ou seja, os passageiros mantiveram sua velocidade vetorial constante!

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Desta forma, quando estamos em um veculo e realizamos uma curva para a direita, sentimos uma fora puxando nossos corpos para a esquerda. Dentro do veculo no conseguimos explicar tal fenmeno, mas se usarmos nosso conhecimento sobre a lei da inrcia e tomarmos um referencial localizado no solo, po-demos explicar a situao dizendo que esse empurro para a esquerda foi a tendncia de nossos corpos em manter nossa velocidade vetorial constante (veja a figura a seguir).

Figura 29: Um passageiro em um veculo que se movimenta com velocidade constante ao longo de rua sofre um empurro para sua esquerda ao efetuar uma curva direita. A seta em vermelho indica a velocidade vetorial do passageiro dentro do veculo.

DICA

Chamamos o empurro sentido por objetos em referenciais no inerciais de fora fantasma pelo fato de este empurro no ser uma fora como a definimos. Lembre-se de que para existir fora deve haver interao entre dois corpos, este empurro aparentemente no veio de lugar algum! Por isso no podemos defini-lo como uma fora.

Segunda Lei de Newton

A Segunda Lei de Newton, tambm conhecida como a Lei fundamental da Dinmica nos fornece a relao existente entre a acelerao a sofrida por um corpo de massa m devido aplicao de uma fora externa F . Podemos enunciar a Segunda Lei como segue:SEGUNDA LEI DE NEWTON: Fora resultante igual ao produto da massa de um corpo por sua acelerao.Matematicamente escrevemos:

Equao 01:



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DICA

Quando um objeto est em equilbrio no significa dizer que nenhuma fora est atuando sobre ele, mas que elas agem de tal maneira que cada uma delas compensa a ao da outra de modo a no produzir acelerao sobre o corpo.

Para efeito de estudo das foras aplicadas a um objeto, ou a um conjunto de objetos, comum recorrer-mos ao uso de um diagrama de corpo livre, que nada mais do que um esboo do fenmeno estudado onde colocamos o objeto de estudo em um sistema de referencial. Geralmente denotamos o objeto como um ponto material por simplificao do problema, e todas as foras que atuam sobre este objeto. Defini-mos ainda o sistema como o conjunto de corpos e foras que estes corpos aplicam uns sobre os outros e de fora externa aquelas que atuam sobre o sistema.

No estudo das foras existem aquelas que merecem um destaque especial por terem uso frequente, so elas: fora Gravitacional, fora Normal, fora de Atrito e Tenso.FORA GRAVITACIONALPara uma melhor compreenso do que e de como funciona a Fora Gravitacional, necessitamos nos apro-fundar no estudo da Gravitao, contedo que ser visto na seo 2.2, mas para nosso entendimento do

mF

m F

Figura 30: (a) um corpo de massa m sob ao de uma fora F sofre uma acelerao a. (b) o diagrama de corpo livre da situao.

Apesar de aparentemente simples, a Segunda Lei de Newton deve ser usada com bastante ateno. Foras que no participem na variao da velocidade do corpo de massa m no devem ser includas para fins de clculo da fora resultante que atua sobre este corpo. Isto decorre do fato de a fora re-sultante F e a acelerao a serem grandezas vetoriais diretamente proporcionais, de modo que foras perpendiculares acelerao do corpo no contribuem para a existncia desta acelerao. Usando a Eq. 01, podemos encontrar os resultados esperados atravs da Primeira Lei de Newton: se tivermos um corpo cuja resultante das foras que atuam sobre ele seja nula, temos, consequentemente, que a acelerao deste corpo deve ser nula tambm, de vez que no consideramos a existncia de corpos como massas iguais a zero. Em outras palavras, se nenhuma fora resultante externa atua sobre o corpo, sua velocidade vetorial permanecer constante. Esta concluso exatamente o enunciado da Primeira Lei de Newton! Dizemos que um corpo, nestas condies, est no estado de equilbrio.



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Figura 31: na figura vemos um livro sobre a mesa, onde so indicadas as foras Peso e Normal.

Figura 32: A fora de atrito surge sempre que um corpo se movimenta, ou tem a tendncia de se movimentar, sobre uma superfcie rugosa. O atrito aponta no sentido oposto ao movimento

P

N

estudo de foras, podemos dizer que a Fora Gravitacional aquela exercida pela Terra sobre os corpos e aponta para seu centro. Como nas proximidades da Terra a acelerao a da gravidade, g, podemos reescrever a Segunda Lei de Newton como:Equao 02:

Podemos agora definir a chamada fora Peso, ou simplesmente Peso, como o mdulo da fora gravitacio-nal sobre um corpo.FORA NORMALQuando um livro encontra-se em cima de uma mesa, a Terra, por meio da Fora Gravitacional, puxa este livro para baixo; no entanto, o livro continua em cima da mesa sem sair de seu lugar. O motivo pelo qual o livro no cai que, ao ser puxado para baixo pela Terra, acaba deformando a mesa para baixo mesmo de forma imperceptvel e a mesa reage, empurrando o livro para cima com a mesma fora, de modo a compensar a ao da gravidade. Esta fora chamada de Fora Normal, ou simplesmente Normal. A Fora Normal, N, a fora de reao que uma superfcie faz em um corpo que esteja em contato com mesma. Esta fora sempre normal superfcie de contato.

FORA DE ATRITO

Todo corpo que desliza ou tende a deslizar sobre uma superfcie qualquer sofre a ao de uma fora chamada de Fora de Atrito, ou simplesmente Atrito, f. O atrito aponta no sentido oposto ao movimen-to ou a tendncia do movimento do corpo sobre uma superfcie rugosa sempre oferecendo uma resistncia a este movimento. Em situaes idealizadas, supomos que os corpos movimentam-se em superfcies perfeitamente lisas, sem atrito, para facilitar o estudo de seu movimento.

fora de atrito

normal

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Figura 33: A fora de Trao atuando sobre um corpo.

Anteriormente dissemos que Fora surge da interao entre dois ou mais corpos. O que Newton percebeu foi que sempre que um corpo exerce uma fora sobre outro, esse outro corpo devolve a mesma fora no sentido oposto. Podemos ento enunciar a Terceira Lei de Newton, tambm chamada de Lei de Ao e Reao, como segue:TERCEIRA LEI DE NEWTON: Para toda ao existe uma reao de mesmo mdulo, mesma direo, mas de sentidos opostos. As foras de ao e reao atuam em corpos distinto.Portanto, a Terceira Lei nos garante que dois corpos que interagem entre si estaro trocando foras e essas foras tero sempre a mesma intensidade, direo e sentidos opostos. Como exemplo, tomemos o caso de uma pessoa empurrando uma caixa. Digamos ainda que essa pessoa exerce, para movimentar a caixa, uma fora de 40N. O que a Terceira Lei nos diz que ao mesmo tempo em que o homem exerce uma fora de 40N sobre a caixa, a caixa exerce sobre o homem uma fora tambm igual a 40N. A fora que o homem aplica so-bre a caixa e a fora que a caixa aplica sobre o homem o que chamamos de um par de ao e reao.

Terceira Lei de Newton

Figura 34: Um homem empurrando uma caixa onde mostrado o par de ao e reao.

T T

F F

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FORA DE TRAOA fora de Trao, tambm conhecida como Fora de Tenso ou simplesmente Tenso, T, surge em cor-das (fios, cabos ou outros objetos semelhantes) que presas a um corpo, exercem uma fora sobre o mesmo puxando-o em determinada direo. O sentido da Trao ocorre ao longo da corda e se afasta do corpo, com sua origem no ponto em que a corda se prende ao corpo.

Matematicamente, podemos expressar a Terceira Lei de Newton pela relao.

Equao 03:



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Outro exemplo de ao e reao imaginarmos novamente a situao apresentada na Figura 6, onde te-mos um livro sobre uma mesa. muito comum acreditarmos que as foras Normal e Peso constituam um par de ao e reao. Este erro bsico em Fsica facilmente constatado se o estudante perceber que isto no pode ser verdade, pois essas duas foras atuam em um mesmo corpo: o livro. Desta forma, as foras Normal e Peso no podem constituir um par de ao e reao. Para encontrarmos os verdadeiros pares de ao e reao, devemos ampliar nosso sistema a fim de incluir a Terra nele. Ao incluirmos a Terra, observamos que ela exerce uma fora sobre o livro, o Peso do livro, que aponta para o centro da Terra. Pela Terceira Lei de Newton somos levados ao entendimento que uma segunda fora, de mesmo mdulo e direo do Peso do livro, deve surgir no centro da Terra, mas com o sentido oposto ao Peso do livro. Podemos encontrar ainda outro par de ao e reao se observarmos que ao mesmo tempo em que a mesa exercer uma fora Normal sobre o livro, o livro ir exercer sobre a mesa uma mesma fora com sentido oposto. Esta situao ilustrada na figura a seguir.

DICA

muito comum que o estudante confunda os pares de ao e reao e esquea o mais importante: que um par de ao e reao nunca atua em um mesmo corpo. Portanto, fique esperto, para ser um par de ao e reao as foras devem atuar, como enunciado pela Terceira Lei, em corpos distintos.

Figura 10: Pares de ao e reao para o exemplo de um livro sobre uma mesa. A reao ao Peso do livro encontra-se no centro da Terra, enquanto a reao da fora Normal, da mesa sobre o livro, encontra-se na mesa.

GravitaoUN 02

At o final do sculo XVII, o movimento dos corpos celestes, tais como a Lua, os planetas e estrelas j havia sido bastante estudado. Muitas foram as pessoas que contriburam para o desenvolvimento desse conhecimento, uma delas foi o astrnomo alemo Johannes Kepler que desenvolveu as trs leis do movi-mento para os corpos celestes, conhecidas hoje como Leis de Kepler, mas faltava ainda quela poca uma teoria que explicasse claramente a dinmica do movimento desses corpos. Somente no ano de 1686 Isaac Newton apresentou a chave para explicar adequadamente o movimento dos corpos celestes luz da leis da Dinmica, chamada de Gravitao Universal.

-P-N P

N



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O astrnomo dinamarqus Tycho Brahe (1546-1601) realizou vrias medidas do movimento dos astros no cu e as catalogou ao longo de 20 anos, fornecendo a base para o modelo aceito atualmente para o Sis-tema Solar. O assistente de Brahe, Jhoannes Kepler (1571-1630), debruou-se sobre esses dados ao longo de 16 anos na tentativa de deduzir um modelo matemtico para o movimento dos planetas. A anlise completa de Kepler pode ser resumida em trs enunciados, chamados de Leis de Kepler, vlidas at hoje. Por causa delas, somos capazes de enviar sondas, satlites, naves e homens ao espao. Passaremos agora discusso das trs leis de Kepler.

Leis de Kepler

Primeira Lei de Kepler A primeira lei de Kepler tambm chamada de Lei das rbitas trata do movimento orbital que um corpo descreve ao redor de outro, por exemplo, o movimento da Terra ao redor do Sol ou o movimento da Lua ao redor da Terra. Nestes dois casos, somos levados a crer que o movimento dos corpos orbitantes circular. O que Kepler descobriu empiricamente, atravs dos dados de Brahe, que o movimento destes corpos pode ser descrito precisamente por meio de uma rbita elptica onde a rbita circular seria apenas um caso particular deste movimento. Podemos ento enunciar a primeira lei de Kepler como segue:Todo planeta do Sistema Solar descreve uma rbita elptica com o Sol ocupando um dos focos da elipse.Uma consequncia interessante desta lei que se um planeta descreve uma elipse em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos desta elipse, ora o planeta estar mais prximo do Sol, ora mais longe. O ponto de maior proximidade entre um planeta e o Sol chamado de Perilio e o ponto de maior afastamento chamado de Aflio.

Figura 35: a figura apresenta um planeta descrevendo uma rbita elptica ao redor do Sol. Observe que o Sol ocupa um dos focos da elipse. A figura mostra ainda o Aflio e o Perilio.

DICA

Neste momento, seria interessante revisar o estudo das elipses para solidificar a compreenso da primeira lei de Kepler.

Perilio AflioPlaneta

FocoFocoSol



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Segunda Lei de Kepler

Outra descoberta que Kepler fez ao estudar os dados observacionais deixados por Brahe foi de que os planetas, ao descreverem suas rbitas elpticas ao redor do Sol, aumentam sua velocidade orbital quando esto mais prximos do Sol e diminuem essa velocidade na medida em que se afastam dele. Enunciamos a segunda lei de Kepler tambm conhecida como Lei das reas a seguir:O raio vetor que une o planeta ao Sol varre reas iguais em intervalos de tempo iguais.

Entenderemos melhor a Segunda Lei de Kepler analisando o exemplo apresentado na figura a seguir. As reas A1 e A2 so iguais (embora tenham formatos diferentes, suas reas so absolutamente idnticas). A segunda lei de Kepler nos diz que um planeta varre estas reas em intervalos de tempo iguais. Se obser-varmos atentamente, veremos que o arco AB maior do que o arco CD, descrito pelo planeta. Portanto, para que o planeta possa percorrer esses dois arcos em intervalos de tempo iguais, necessrio que ele percorra o arco AB com velocidade maior do que o arco CD.Com este raciocnio, conclui-se que ao se aproximar do Sol o planeta aumenta sua velocidade orbital e diminui na medida em que se afasta dele, como descoberto empiricamente por Kepler ao analisar os dados de Brahe.Figura 36: A figura descreve a Segunda Lei de Kepler.

Terceira Lei de KeplerA terceira lei de Kepler tambm chamada de Lei dos Perodos indica que existe uma relao entre a distncia do planeta e seu perodo de translao ao redor do Sol e quanto maior esta distncia, maior o perodo de translao. Podemos enunciar a Terceira Lei de Kepler como segueO quadrado do perodo orbital de qualquer planeta proporcional ao cubo do semi-eixo maior da rbita elptica

Matematicamente, podemos expressar a terceira lei de Kepler como:

Equao 04:Na Equao 04, T representa o perodo de translao do planeta ao redor do Sol, a o semi-eixo maior da rbita elptica e k uma constante.

H centenas de anos a humanidade vinha acumulando dados e conhecendo melhor o movimento dos cor-pos celestes. J ramos capazes de prever fenmenos tais como eclipses, passagens de cometas, mas todo A Lei da Gravitao Universal de Newton

SOLB

A DC2

REA PLANETAREA 1



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esse conhecimento era advindo da experimentao, do empirismo. Ningum, at a chegada de Newton, havia sido capaz de desenvolver uma explicao satisfatria para os fenmenos celestes.Newton, usando suas ideias desenvolvidas na dinmica para os corpos terrestres, imaginou que se um astro como a Lua descreve uma trajetria elptica ao redor da Terra, deve haver uma fora entre estes dois corpos. Se no fosse isso, de acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lua deveria descrever um movimento retilneo e uniforme. Podemos destacar duas grandes revolues para as ideias da poca embutidas nessa ideia de Newton, a primeira era o fato de que os corpos celestes devem obedecer s mesmas leis que os corpos terrestres, unificando a Mecnica Terrestre Mecnica Celeste. A segunda era o fato de assumir que dois corpos poderiam interagir distncia, ou seja, a Terra exerceria uma fora de atrao sobre a Lua sem que os dois corpos estivessem em contato um com o outro. Essas ideias abalaram profundamente o pensamento humano e sua forma de ver o mundo ao seu redor.Para poder demonstrar a existncia de uma fora de atrao entre os corpos, Newton desenvolveu uma nova ferramenta matemtica, hoje conhecido como Clculo Integral de Diferencial. Podemos resumir essa lei de atrao entre dois corpos como segue:Lei da Gravitao Universal Matria atrai matria na razo direta das massas e inversamente propor-cional ao quadrado da distnciaPodemos expressar matematicamente este enunciado por:Equao 05:

caderno didático - física i (1)

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