caderno de exercicios micro

Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária..

CAPITULO 1RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA

1. Reconhecendo a situação de pobreza de parte de sua população, um país da América do Sul decide adotar políticas sociais. Vê-se, então, frente a duas possibilidades. Por um lado, pode reduzir os preços dos alimentos; por outro, pode aplicar um programa de renda mínima. Desenhe a restrição orçamentária de um pobre nessa economia, comparando a sua situação inicial e final em cada uma das duas políticas.

Solução

Opção 1: Redução preço dos alimentos (P*a<Pa)

outros

m/Pa m/P*a Alimentos

Opção 2: Incremento na renda. (m*>m) outros m*/Po

m/Po

m/Pa m*/Pa

2. Uma das reclamações mais freqüentes na Organização Mundial do Comércio, é a adoção, por parte de alguns países, de políticas de subsídio à agricultura. No entanto, essa política, além de propiciar frutos no comércio internacional, modifica as possibilidades de consumo da população. Trace a restrição orçamentária de um consumidor hipotético para uma situação com e outra sem subsídios à agricultura, considerando a existência de bens de apenas dois tipos.

Solução

Subsídios à agricultura.

outros

RO sem subsídio à agricultura

RO com subsídio

-Pa/Po -Pa’/Po Produtos agrícolas Pa’=Pa(1-s)

3. Visando atrair possíveis clientes, um supermercado decide vender fraldas Johnsonn’s que normalmente custam R$ 6,00, por apenas R$ 4,00 por pacote. Limita, no entanto, a compra de dois pacotes por cliente. Suponha que duas famílias de mesmo orçamento, m = R$ 50,00, decidam comprar nesse supermercado. A família A se faz representar apenas por seu chefe, Dona Clementina, enquanto a família B decide fazer as compras representada pelo pai e pela mãe. Apresente graficamente a restrição orçamentária dessas duas famílias, sabendo que a família B pode comprar o dobro de fraldas da família A, passando uma pessoa de cada vez no caixa (pense a existência de fraldas e


cestas com composição de todos os outros bens). Esses conjuntos orçamentários são convexos?

Solução

Família A Família B Outros Outros

2 4

Fraldas Fraldas

Inclinação inicial: 4/Po (comprando até 2 pacotes)Inclinação final: 6/Po (comprando + de 2 pacotes)

4. Marta é uma estudante do curso de Economia da UFRJ que está se preparando para as provas de Estatística e Microeconomia. Ela dispõe de tempo para ler 40 páginas do livro de Estatística e 30 páginas do livro de Micro. Com o mesmo tempo, ela consegue ler 30 páginas de Estatística e 60 páginas de Micro.

a) Qual o número de páginas do livro de Microeconomia que Marta poderia ler se ela decidisse usar todo o seu tempo para estudar Micro? (dica: você dispõe de dois pontos da reta orçamentária de Marta, e assim é possível determinar a equação da reta).

b) b) Quantas páginas ela conseguiria ler se dedicasse todo o seu tempo para estudar Estatística?

Solução

Primeiro, calcula-se a equação da reta orçamentária;

x2= m/p2 – (p1/p2) x1

x2= m/p2 – (1/3)x1

Estatística (x2)

50

40 10 30 30

30 60 150 micro (x1)

Os interceptos:

a) Se só estuda Micro não dedica tempo a estatística. Temos que buscar o intercepto da reta com o eixo horizontal (x1) que é m/p1

x1 = m/p1 – (3) x2; onde m/p1 = x1 + (3)x2

substituindo m/p1 = 30 + (3) 40 = 150

b) Se só estuda Estatística não dedica tempo a Micro. Temos que buscar o intercepto da reta com o eixo vertical (x2) que é m/p2.x2 = m/p2 – 1/3 x1; onde m/p2 = x2 + 1/3 x1

substituindo m/p2 = 40 + 1/3(30) = 50

5. Se um estudante gastar toda a sua bolsa de estudos ele pode comprar 8 livros e 8 caixas de doces; ou ainda 10 livros e 4 caixas de doces por semana. O preço do livro é $0,5. Trace a restrição orçamentária do estudante. Qual o valor semanal da bolsa de estudos.


Solução

Doces (x2)

8 4 4 2

8 10 livros (x1)

p1= 0,5 p2= 0,5/2 = 0,25 p1/p2 = 4/2= 2

x2= m/p2 – (p1/p2).x1

4=m/ 0,25 – (0,5/0,25).10 m= 6.

6. (ANPEC 1993) A figura seguinte apresenta a linha de orçamento (AB) de um consumidor que possui uma renda de $ 300.

Bem 2 60

AB

30 Bem 1

a) Qual a expressão algébrica da restrição orçamentária (AB)?b) Qual o preço nominal do bem 2?

Solução

P1/p2 = 60/30=2; m/p2=60 e m/p1=30a) X2= m/p2 – (p1/p2).X1 X2= 60 – 2.X1

b) m/p2=60; p2= m/60= 300/60=5

7. (Varian). A princípio, o consumidor defronta-se com a reta orçamentária p1x1 + p2x2 = m. Depois, o preço do bem 1 dobra, o do bem 2 passa a ser 8 vezes maior e a renda quadruplica. Escreva uma equação para a nova renda orçamentária com relação aos preços e à renda originais.

Solução

8. (Varian). O que ocorre com a renda orçamentária se o preço do bem 2 aumentar mas a renda e o preço do bem 1 permanecerem constantes?

Solução

O intercepto vertical (eixo de x2) diminuirá, e o intercepto horizontal (eixo de x1) permanecerá constante. A reta orçamentária tornar-se-á, pois mais plana.

9. (Varian). Se o preço do bem 1 duplicar e a do bem 2 triplicar, como ficará a reta orçamentária: mais ou menos inclinada?

Solução

Menos inclinada.

10. (Varian). Qual a definição de um bem numerário?

Solução

Aquele cujo preço ou valor monetário é 1. Exemplo: o dinheiro.


11. (Varian). Imaginemos que o governo baixe um imposto de 0,15 $ sobre o galão de gasolina e depois resolva criar um subsídio para a gasolina a uma taxa de 0.07 $por galão. Essa combinação equivale a que taxa líquida?

Solução

Consulte as soluções no varian

12. (Varian). Suponhamos que a equação orçamentária seja dada por p1x1 + p2x2 = m. O governo decide impor um imposto de montante fixo de u, um imposto t sobre a quantidade do bem 1 e um subsídio s sobre a quantidade para o bem 2. Qual será a fórmula da nova restrição orçamentária?

Solução

Consulte nas soluções do Varian

13. (Varian). Se, ao mesmo tempo, a renda de um consumidor aumentar e um dos preços diminuir, estará ele necessariamente tão próspero quanto antes?

Solução

Sim. Os dois movimentos levam a aumentar o conjunto orçamentário, pelo qual ele será mais próspero.

14. O governo de um município decide destinar uma quantidade Q de recursos para a população com rendimentos inferiores a dois salários mínimos, composta de 1000 famílias com características muito parecidas – em média quatro pessoas, com desvio padrão bastante baixo. Essas famílias consomem basicamente dois produtos: alimentos e habitação. A prefeitura pode destinar os recursos por intermédio de um programa de renda mínima ou um programa de cesta básica de alimentos com preços subsidiados. Em que situação a população carente seria mais beneficiada?

Solução

De acordo com o visto na questão 1, os programas de rendas mínimas ampliam mais o conjunto orçamentário.17. Comente as seguintes afirmações;

(i) O conjunto de possibilidades de consumo consiste em todas as cestas que o consumidor deseja adquirir, aos preços de mercado e dada a sua renda.

Cestas Alimento(A) Vestuário(V) Despesa(D)

C1 0 40 R$80

C2 20 30 R$80

C3 40 20 R$80

C4 60 10 R$80

C5 80 0 R$80

(ii) A linha orçamentária obtida com base nas informações da tabela acima apresenta o orçamento associado a uma renda de R$80,00 , um preço de alimentação de R$1,00 por unidade e um preço de vestuário de R$2,00 por unidade. A inclinação da linha orçamentária é, portanto, -1/2.

(iii) Aumentos no preço do vestuário (tudo mais constante) fazem com que a linha orçamentária fique mais inclinada. A medida que aumentamos o preço dos alimentos (tudo mais constante), que a linha orçamentária ficará menos inclinada.

(iv) Mudanças na renda do consumidor (mantidos os preços dos bens constantes) deslocam a linha orçamentária paralelamente. Contudo, o conjunto dos bens que são factíveis para o consumidor não se altera.

Solução


(i) O conjunto de possibilidades de consumo consiste em todas as cestas que o consumidor PODE adquirir, não o que deseja. Cestas desejadas podem não estar dentro do conjunto de possibilidades de consumo.

(ii) Correta. Por hipótese, o que o consumidor gasta é o total da sua renda porque não há poupança. Logo m = 80= Despesa (D).Por outro lado, sobre os preços se tem que:C1; 0*1 + 40*2 = 80C2; 20*1 + 30*2 =80C3; 40*1 +20*2 = 80C4; 60*1 + 10*2 = 80C5; 80*1 + 0*2 = 80

Logo para os preços dados a inclinação é –1/2.

(iii) A primeira frase é verdadeira se o vestiário estiver no eixo horizontal, mas a segunda é falsa sob a mesma consideração.

(iv) A primeira frase é verdadeira, mas a segunda é falsa dado que as possibilidades de consumo se alteram para qualquer alteração da restrição orçamentária.

Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências.

CAPITULO 2PREFERÊNCIAS

1. Prove que um conjunto de preferências monótono implica curvas de indiferença negativamente inclinadas.

Solução

Monotonicidade: (x1x2) (y1y2) com y1x1 e y2x2 ; então (y1y2) (x1x2)(x1x2) (z1z2) com z1x1 ou z2x2; então (x1x2) (z1z2)

2. Por que curvas de indiferença não podem se cruzar?

Solução

Porque se elas se cruzam, estaria-se contradizendo o axioma da transitividade a cerca do comportamento racional do consumidor.

3. Curvas de indiferença de um indivíduo saciado violam que axioma(s) colocado(s) com referência ao consumidor bem comportado?

Solução

O da monotonicidade; mais é melhor.

4. Um dos temas mais colocados pela literatura de meio ambiente é a existência de investimentos diretos de plantas poluentes em países do terceiro

mundo por parte de empresas transnacionais. Isso coloca uma questão bastante interessante para os países em desenvolvimento que apresentam uma relação de troca entre os benefícios do investimento em termos de produto e emprego e os malefícios da poluição. Desenhe curvas de indiferença que expressem essa relação de troca.

Solução

Os paises em desenvolvimento estão dispostos a aceitar aumento de poluição se esse ocasionar aumento dos investimentos. Do contrário o bem estar das economias pioraria.

5. Em alguns processos de produção da siderurgia, uma empresa deve misturar em quantidades fixas carvão e ferro, com o objetivo de obter aço, numa razão de 1 para 4. Expresse as preferências dessa empresa com referência ao carvão e ao ferro.

Solução

8

4

1 2

São complementares na proporção de 1 para 4, ou seja, a cada 1 unidade de carvão e 4 de ferro, será produzida uma unidade de aço.

(y1y2)

(z1z2)

(x1x2)

Invest.

poluição

Carvão

Ferro


6. Prove graficamente que uma taxa marginal de substituição positiva viola o axioma da monotonicidade.

Solução

(x1x2) (x1+x1,x2+x2)

x1

x2

Se x2/x10 então x20 e x10 o que significa que quanto mais é indiferente e não “quanto mais melhor” como formula a hipótese da monotonicidade. Assim, não pode acontecer que dadas as cestas (x1x2) e (x1+x1,x2+x2), então (x1+x1,x2+x2) > (x1x2) mas (x1+x1,x2+x2)~ (x1x2).

7. Luciano consome apenas café e caramelo. A sua cesta de consumo referente ao consumo de x unidades de xícaras de café e y unidades de caramelo por semana é representada pelo par (x,y). O conjunto de cestas de consumo (x,y) para o qual Luciano é indiferente entre (x,y) e (1,16) é o conjunto de cestas tal que y = 20 - 4 x. O conjunto de cestas (x,y) para o qual ele é indiferente em relação a (6,0) é tal que y = 24 - 4 x.

a) Trace as curvas de indiferença que passam pelos pontos (1,16) e (6,0).b) Qual a inclinação da curva de indiferença que passa pelos pontos (9,8) e

(4,12)1?c) As preferências de Luciano são convexas? Por que?

Solução

(x,y) = (café,caramelo)y = 20 - 4x conjunto de cestas indiferentes a (1,16)y = 24 - 4x conjunto de cestas indiferentes a (6,0)

1 Lembre-se dos recursos de Cálculo para determinar a inclinação de uma curva.

a) (0,24) (0,20)

(5,0)(6,0)

c) m = 9. p1 + 8 p2

m = 4.p1 + 12 p2 - -----------------------------

0 = 5 p1 – 4p2; 5 p1 = 4p2; p1 /p2 = 4/5

d) Sim. Porque qualquer segmento traçado entre duas cestas dentro da mesma curva de indiferença, são pontos tão bons quanto as cestas da curva de indiferença. As preferências são convexas, embora não estritamente convexas.

8. Marina gosta de gastar parte do seu tempo estudando e a outra parte na academia de ginástica. Na verdade, as curvas de indiferença traçadas entre “horas por semana gastas com estudo” e “horas por semana gastas com ginástica” são circunferências concêntricas em torno da sua combinação favorita: 20 horas de estudo e 15 horas de ginástica por semana. Quanto mais próxima ela está da sua combinação favorita, mais satisfeita ela está; isto é as suas preferências obedecem à relação de saciedade. Suponha que Marina esteja atualmente estudando 25 horas por semana e fazendo ginástica 3 horas por semana. Será que ela preferiria estar estudando 30 horas por semana e fazendo ginástica 8 horas por semana? (dica: Lembre-se da fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos).

Solução

Distância entre (25,3) e (20,15): h2=(15-3)2+(25-20)2=144+25=169 h= =13

(1,16)


Distância entre (30,8) e (20,15): H2=(15-8)2+(30-20)2=49+100=149 h= . Esta é uma distância menor ,logo 30hs/semana de estudo e 8hs/semana de ginástica a deixarão mais satisfeita.

Horas deGinástica

15

8

3

20 25Horas de Estudo

9. A nota final do curso de Microeconomia é calculada com base na maior das notas dos dois testes realizados durante o semestre. Joyce é uma aluna deste curso, e deseja maximizar a sua nota final. Considere x1 como sendo a nota no primeiro teste e x2 a nota do segundo teste.

a) Qual das duas seguintes combinações é a melhor para Joyce: x1 = 20 e x2 = 70; ou x1 = 60 e x2 = 50? Trace as curvas de indiferença relativas a estas combinações. Joyce possui preferências convexas?

b) Joyce também é aluna do curso de Econometria. O professor desta matéria também aplica dois testes. Porém, ao invés de descartar a menor nota, ele descarta a maior delas. Considere x1 como sendo a nota no primeiro teste e x2 a nota do segundo teste. Qual das seguintes combinações Joyce irá preferir: x1=20 e x2=70; ou x1= 60 e x2 = 50? Joyce possui preferências convexas?

Solução

a) x1=20; x2=70 é a combinação preferida, dado que sua nota final será 70.

Curvas de diferença no gráfico abaixo. As preferências de Joice não são convexas. Isto significa que as notas extremas são preferíveis a tirar notas médias, ou seja,

descartar a nota mais baixa faz com que quanto maiores o valores da nota tirada numa prova, melhor a Joice estará.

Nota do 2° teste

(20,70) 70 60

50 (60,50)

20

20 50 60 70 Nota 1°teste

b) Descartando a maior nota a melhor combinação é (60,50). Neste caso as preferências são convexas. Combinações que se correspondem com valores médios deixariam a Joice mais satisfeita. Tirar 60,50 na primeira e segunda prova respetivamente, deixaria ela com uma nota de 50. Tirando 70,20 ela ficaria com nota final de 20.

10. Mauro, um estudante de Economia, gosta de almoçar às 12:00hs. Todavia, ele gosta também de economizar dinheiro, para poder consumir outros bens, e para isso ele procura aproveitar as promoções que a lanchonete realiza diariamente. Mauro possui R$15 por dia para gastar com a refeição e outros bens. O almoço às 12:00hs custa R$ 5. Se ele atrasa seu almoço t horas depois de 12:00hs, ele paga R$5 - t. Da mesma forma, se ele almoça t horas antes das 12:00hs, ele paga R$ 5 - t.

a) Se Mauro almoça ao meio dia, quanto ele terá para gastar em outros bens? E se ele almoça às 14:00 hs.?

(20,15)

(30,8)

(25,3)

saciedade


b) Trace a curva que demonstra as combinações entre horas e dinheiro disponível para o gasto em outros bens?

Solução

Outros bens (5,10)

5 Almoço

a) Almoçando ao meio-dia x2=15-5=10 Almoçando às 14:00h x2=15-(5-t)=10+t=12b) 12 11 10

10 11 12 13 14

11. Larry considera margarina e manteiga como sendo substitutos perfeitos. Será que tais curvas de indiferença seriam convexas? Por que?

Solução

As preferências entre bens substitutos perfeitos são convexas, embora não estritamente convexas.

12. (ANPEC) A teoria ordinal do consumidor baseia-se nas suposições principais de que: (i) o consumidor sempre prefere mais do que menos de uma mercadoria; e, (ii) as ordenações das cestas de bens são transitivas. Com a suposição adicional de indiferença entre certas cestas, é possível

construir curvas de indiferença. Com base nestas suposições, marque V ou F, justificando suas opções:

a) Duas cestas em que uma tenha mais de cada mercadoria do que a outra podem ser representadas pela mesma curva de indiferença.

b) Uma cesta qualquer de uma das curvas de indiferença será preferível não só a outra que tenha quantidades menores de cada mercadoria, mas também a cada cesta que seja indiferente à cesta de menores quantidades.

c) O cruzamento de duas curvas de indiferença é consistente com as suposições (1) e (2) acima.

d) Com a suposição adicional de concavidade, a curva de indiferença, pela sua inclinação, mostra a queda do valor atribuído a uma mercadoria quando aumenta o seu consumo pelo indivíduo.

Solução

a) Falso. A cesta com maior mercadoria deverá melhorar (ser melhor) o nível de satisfação do consumidor considerando que não atingiu o estado de saciedade.b) Verdadeiro.c)Falso.Viola o axioma sobre transitividade.d) A curva de indiferença côncava também tem inclinação negativa. Como valos não está associado com preço no estudo das preferências, o valor atribuído a um bem é medido pela quantidade de bens aos quais se está disposto a renunciar para aumentar o consumo de outro. Neste sentido, concavidade envolve relação negativa.

13. (ANPEC) Marque V ou F, justificando suas opções. Com relação à teoria do consumidor, pode-se afirmar que:

a) A hipótese de taxa marginal de substituição decrescente corresponde à hipótese de que as curvas de indiferença são estritamente convexas em relação à origem.

b) A hipótese de taxa marginal de substituição decrescente significa admitir que o consumidor prefere diversificação à especialização no consumo de bens.

Solução

a) Taxa marginal de substituição negativa significa primeira derivada menor que

zero (negativa) e segunda derivada positiva. Ou seja; Inclinação negativa e


Taxa decrescente. Se a TMS é decrescente, então as preferências são

estrictamente convexas (convexas curvadas).

b) A hipóteses de convexidade envolve que cestas com valores médios se correspondem com níveis de satisfação maiores. A afirmativa é verdadeira.

14. (ANPEC) Marque V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do Consumidor é correto afirmar que:

a) Se as curvas de indiferença fossem convexas em relação à origem, o consumidor compraria apenas um dos bens.

b) Se uma curva de indiferença é horizontal, supondo o bem X no eixo horizontal e o bem Y no eixo vertical, isso significa que o consumidor está saturado do bem Y.

c) Se uma cesta de bens A é indiferente a B e simultaneamente preferida a C, enquanto B é indiferente a C, então há um cruzamento de curvas de indiferença.

Solução

a) Falso. As soluções de canto são preferíveis de acordo com o pressuposto de concavidade, convexidade não estrita (substitutos perfeitos), neutros e males, e a determinadas formas que podem adquirir curvas de indiferença convexas como no exemplo abaixo. (o ponto grosso indica escolha ótima).

Neutros Formato convexo com Malessolução de canto

b) y Falso. Isto significa que o consumidor é neutro em relação ao consumo de x. xc)x2 Verdadeiro. x1

15. V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do Consumidor é correto afirmar que:

a) A teoria da preferência do consumidor baseia-se na premissa de que as pessoas não se comportam sempre de modo racional em sua tentativa de maximizar o grau de satisfação por meio da aquisição de uma determinada combinação de bens e serviços.

b) As preferências do consumidor podem ser completamente descritas por um conjunto de curvas de indiferença ou mapa de indiferença. Este mapa de indiferença oferece uma ordenação ordinal de todas as escolhas que um consumidor poderia fazer.

c) Um dos axiomas básicos sobre preferências do consumidor é que estas devem ser completas, isto é, dadas as cestas A e B, o consumidor ordena A como sendo pelo menos tão boa quanto B, ou B sendo pelo menos tão boa quanto A, ou ambos (A e B são indiferentes para o consumidor). Obviamente, os preços devem ser levados em consideração.

d) Um outro axioma básico sobre preferência diz que estas são transitivas, isto é, dadas as cestas A, B e C, se A é pelo menos tão boa quanto B e B é pelo menos tão boa quanto C, então A é pelo menos tão boa quanto C. Tal axioma, contudo, não assegura que as preferências do consumidor sejam racionais (coerentes).

e) Preferências “bem comportadas” são monotônicas (significa que mais é melhor) e convexas (significa que a inclinação da curva de indiferença é negativa).

Solução

a) Errada. A premissa é de que as pessoas se comportam de modo racional.b) Correta.


c) Errado preferências não leva preço em consideração. d) Errado.Assegura sim. e) Errada. Convexidade implica que o consumidor prefere as médias aos extremos.


a) Bens complementares perfeitos são consumidos sempre em proporções fixas. As C. de I. tem forma de L, com vértice sempre quando a quantidade de um dos bens é igual a quantidade do outro bem.

b) Bens substitutos perfeitos são aqueles que o consumidor está disposto a substituir um pelo outro a uma taxa constante. As C. de I. são retas com inclinação negativa, não necessariamente constante e também não necessariamente iguais a –1.

c) A TMS de A por V corresponde à menor quantidade de V à qual o consumidor se dispõe a renunciar para que possa obter uma unidade adicional de A.

d) A TMS é a inclinação da C. de I.; ela vai sendo reduzida à media que nos movemos para abaixo ao longo da curva de indiferença.

e) Quando ocorre uma TMS crescente, as preferências são convexas.

Solução

a) Errada. As quantidades podem ser diferentes.b) Errada, é necessariamente constante.c) Errada. Corresponde a maior.d) Correta. e) Errado. Quando ocorre uma TMgS decrescente.


a) A TMS é a razão entre as UMG dos dois bens. A UMG com respeito ao bem 1 é a derivada da função de utilidade com respeito a esse bem e sua interpretação é o quanto o custo do consumidor com esse bem muda em função de mudanças na quantidade desse bem.

b) Ao observarmos uma escolha do consumidor para um dado conjunto de preços, podemos obter a TMS. Se os preços mudam, podemos novamente obter a

TMS. À medida que essas mudanças de preços ocorrem, podemos aprender mais sobre as preferências que geraram as escolhas observadas pelo consumidor.

c) Na abordagem ordinal, se a TMS for decrescente haverá especialização do consumo em apenas um bem. As C. de I. seriam côncavas.

Solução

a) Falso. A UMG com respeito ao bem 1 é a derivada da função de utilidade com respeito a esse bem e sua interpretação é o quanto a utilidade do consumidor com esse bem muda em função de mudanças na quantidade desse bem.

b) Verdadeiro. No equilíbrio TMS=P1/P2, ou seja, a observação dos preços relativos da informação sobre as preferências dos consumidores.

c) Falso. Uma TMS decrescente significa que a taxa à qual uma pessoa deseja trocar x1 por x2 diminui à medida que aumentamos a quantidade de x1, ou seja, que quanto mais temos de um bem, mais propensos estaremos a abrir mão de um pouco dele em troca de outro bem, o que se refere ao caso da diversificação – o consumidor consome nesse caso os dois bens.

18. Marque V ou F, justificando suas opções. Sobre a Teoria do Consumidor é correto afirmar que:

(i) A hipótese de monotonicidade implica que as curvas de indiferença devem ter inclinação negativa e, portanto, a TMS sempre envolve a redução ou o aumento do consumo de ambos os bens. Assim, é possível descrever a forma da curva de indiferença, descrevendo-se o comportamento da TMS.

(ii) No caso de bens perfeitos substitutos, as curvas de indiferença são caracterizadas por uma TMS constante e igual a 1.

(iii) As curvas de indiferença, no caso dos bens neutros, são caracterizadas por uma TMS tanto igual a zero quanto igual a infinito e nada entre os dois.

(iv) No caso de bens perfeitos complementares as curvas de indiferença são caracterizadas por uma TMS tanto igual a 0 quanto igual a infinito e nada entre os dois.

Solução


(i) Falso. A TMS é a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir um pouco mais de consumo de um bem por um pouco menos de consumo do bem 1.

(ii) Falso. A TMS é constante, mas não necessariamente igual a um.(iii) Falso. A TMS no caso dos “neutros” é infinita em qualquer ponto.(iv) Verdadeiro. No caso de “complementares” a TMS é zero ou infinita, sem

meio-termo.

Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.Capítulos3-4. Utilidade e escolha.

CAPITULOS 3-4UTILIDADE E ESCOLHA

1. A função utilidade de Pedro é definida por U(x,y) = x2 + 2xy +y2.a) Calcule a sua taxa marginal de substituição (subtendendo-se que TMSy,x).b) Calcule a taxa marginal de substituição de Luiz, irmão de Pedro, cuja

função utilidade é definida por V(x,y) = y + x. Existem diferenças efetivas entre o padrão de preferências dos dois irmãos?

c) Avalie se os agentes estão maximizando sua utilidade quando o preço dos dois bens é igual (isto é, px = py).

d) u(x1,x2) e v(x1,x2) representam as mesmas preferências ? Por que?

Solução

a) TMSy/x(Pedro)=

b) TMSy/x(Luiz)= . Não existem diferenças.

c) TMS= P1=P2 TMS=1 . Sim os agentes estão maximizando, porque a TMS

se iguala à relação de preços e é igual a 1

d) Representam as mesmas preferências pq a função de utilidade de Pedro é uma transformação monotônica da fn de utilidade de Luis.

v(x, y) = y + x; u(x, y) = (y+x)2

2. Dada uma função utilidade U=10 X 3/4 Y1/4 , onde U é a utilidade obtida, e X e Y as quantidades dos dois bens adquiridos. Sendo dados px e py os preços dos bens:

a) Determine a relação entre as quantidades dos dois bens que serão efetivamente adquiridos.

b) Determine também o nível de utilidade alcançado e o dispêndio total do consumidor quando X =6, sendo e py = 625 e px=27.

Solução

a) Para preferências bem comportadas e funções diferenciáveis, são condições necessárias para o equilíbrio.

TMS = (1); X Px + Y Py = m

TMS = . A relação entre as quantidades efetivamente

adquiridas é TMS= 3 .

b) Se o consumidor estiver maximizando, então 3 = . 3 = (27/625), onde y =

0,0864. O nível de utilidade alcançado é U(6, 0,0864) =10 X 3/4 Y1/4 = 10 6 3/4

0,08641/4. O nível de despendio é m = X Px + YPy = 6*27 + 0,0864*625

3. Admita que a função utilidade de um consumidor pode ser expressa na forma U = XY, onde X e Y são as quantidades consumidas dos respectivos bens.

a) Supondo que os preços dos bens são respectivamente px = 10 e py = 2, diga quanto será adquirido de cada bem e qual será o gasto total do consumidor, supondo que no nível de maximização U = 180.

b) Considere um aumento do preço do bem X para px = 20. Supondo que o preço de y não se alterou e que o mesmo volume de gastos foi realizado, identifique as novas quantidades que serão adquiridas dos dois bens e o novo nível de utilidade atingido.

Solução

a) TMS = = (10/2) Y = 5. X

U = XY = 180, logo X.* 5X = 180, onde X = 6 e Y = 30, sendo estas as quantidades consumidas por cada bem para este nível de utilidade.

b) Como o consumidor gasta toda sua renda (não há poupança), então o nível de gasto com os preços antes da subida de preços é:

m = X Px + YPy = 6*10 + 30*2 = 120

Com o aumento de preços, TMS = = (20/2) Y = 10X

13


m = X Px + Ypy; ou seja, como o nível de renda (e de gasto) não se altera entre períodos, então;

120 = 20X + (10X). 2, onde X = 3 e, substituindo Y = 30.

Observe que, como as preferências são Cobb-Douglas, as quantidades consumidas do bem Y não se alteram.

4. Um determinado consumidor dispõe de 30 unidades monetárias para despender em dois bens A e B. Os preços destes bens, as quantidades adquiridas dos mesmos e a avaliação sobre a utilidade proporcionada pelo consumo destes bens são apresentados na tabela abaixo:

Produ-to

Preçopor

unidade

Quantidadeadquirida(unidades)

UtilidadeTotaldo consumo

(utils)

Utilidade Marginal última unidade adquirida (utils)

A $ 0,70 30 500 30B $ 0,50 18 1.000 20

Considerando estas informações, diga se o consumidor em questão está maximizando a utilidade proporcionada pelo consumo, dada a restrição de renda, e justifique sua resposta. Se ele não estiver maximizando a utilidade, explique o que o consumidor deve fazer para tornar esta maximização possível.

Solução

As duas condições de equilíbrio são TMS = (1) e A Pa + BPb = m

(2). A partir de (1) , não é verdadeiro. O consumidor não maximiza a

utilidade. Como , o consumidor deve aumentar a quantidade de A, desde que

preferências sejam convexas.

O consumidor está numa situação como a que indica o ponto U, onde a tangente da curva de indiferencia (TMS) é superior à inclinação da restrição orçamentária (Pa/Pb). Se o consumidor aumentar a quantidade consumida de A sem reduzir a quantidade consumida de B, ele se desloca para um nível de utilidade maior (curvas de indiferença à direita de U) até o ponto V, onde ele maximiza.

B

U

V

A

5. Um consumidor pode adquirir dois bens a ou b no intuito de maximizar sua utilidade, sendo que, na situação retratada: Umg (a) = 3; pa = $1; Umg (b) = 6; pb = $4. O consumidor está efetivamente adquirindo combinações de a e b que maximizam sua utilidade? Se não estiver, o que ela deveria fazer?

Solução

TMS = ; 3/6 > 1/4. Como no caso anterior, o consumidor deveria

aumentar as quantidades de A para chegar ao ponto de maximização onde a TMS se iguale à relação dos preços.

6. Um consumidor apresenta a função de utilidade U = xy e uma receita orçamentária igual a 2x +4y = 120. Quais os consumos ótimos de x e y ?

Solução

TMS = = (2/4)2Y = X

2X + 4Y = 120; 2 (2Y) + 4Y = 120; Y = 15e X = 2Y = 30

14

1/2 1/4a

b


7. Supondo-se um mapa de curvas de indiferença dado por X = 0,2Y2 - 50Y + U, onde: X e Y são dois produtos quaisquer e U é o nível de utilidade do consumidor Px = 25 e Py = 150 são os preços dos respectivos bens; R = 50.000, onde R é a renda do indivíduo, determine as quantidades dos bens X e Y que o consumidor irá efetivamente adquirir.

Solução

U = - 0.2Y + 50Y + X é a função de utilidade (quase linear).

TMS = , onde -10Y + 1250 = 150, Y = 110.

Como a função de utilidade é quase-linear as escolhas não dependem da renda. Assim, a quantidade demandada de produto X será:

50.000 = 110*150 + 25 X, donde se obtém que X = 1340

8. A função utilidade de um consumidor é dada por u = xy, onde u é o nível de utilidade, e y e x representam as quantidades dos dois bens adquiridos pelo consumidor. Calcule a taxa marginal de substituição do bem y pelo bem x quando as quantidades consumidas forem iguais a x = 2 e y = 16 .

Solução

TMS= = = 8.

9. Para um indivíduo com uma função de utilidade U(x,y) = x + y, os dois bens x e y são substitutos perfeitos? Por que?

Solução

Suponha U(x,y) = k, ou seja, uma curva de indiferença tal que x +y = k y = k –

x. A TMS = = -1 para qualquer valor de k, ou seja, para qualquer nível de

satisfação. A TMS é sempre constante, ou seja, o consumidor renuncia a uma unidade de bem x para adquirir uma unidade de bem y, o que só acontece quando os bens são substitutos perfeitos.

10. Suponha que a função utilidade para cada consumidor individual é dada por U = 10q1 + 5q2 +q1q2. Cada um deles tem uma renda fixa de 100 dólares. Suponha que o preço de Q2 seja 4 dólares.

a) Qual a taxa marginal de substituição do bem 1 pelo bem 2?b) Se p1 = $2, qual será a quantidade do bem 1 demandada pelo consumidor?

Solução

a) Dois caminhos.Caminho 1: colocar U=10f +5f +q q em função de q e derivar em relação a f , obtendo a TMS.

Caminho 2: =TMS

O resultado de ambos deverá ser TMS =

b) = , onde q2 = (-15+q1)/2

Subsituindo na restrição orçamentária; 100 = 2q1 + 4 {(-15+q1)/2}, onde q1 = 32,5 e q2 = 8,7.

11. A função de utilidade de Fábio é U(x,y) = max x, 2y. Trace a curva de indiferença tal que x = 10. Faça o mesmo para 2y = 10.a) Se x = 10 e 2y 10, determine U(x,y)b) Se x 10 e 2y = 10, determine U(x,y)c) Trace a curva de indiferença tal que U(x,y) = 10. Fábio possui preferências

convexas ?

Solução

Para desenhar a curva de indiferença fixo o valo de U(x, y) = k, por exemplo k = 10. Assim:

- Se X = 10 e Y = 1 max (10, 2*1) = 10

- Se X = 10 e Y =2 max (10, 2*2) = 10

15


5

3 2 - Se X = 10 e Y = 3 1max (10, 2*3) = 10

10 X

Fazendo o mesmo para 2y = 10 teríamos a mesma curva de indiferença, dado que se 2y = 10 então y tem que ser fixo em 5 e se obteria a linha vertical com valores de X entre 1 e 10.

a) U(x, y) = max {10, 2y<10} = 10

b) U(x,y) = max {x<10, 10} = 10

c) Fabio não possui preferências convexas. Como visto anteriormente, suas preferências são côncavas.

12. (ANPEC) Seja U = min Xa , Xb, a função de utilidade de um consumidor, R a renda, e Pa e Pb os preços respectivos de A e B. Marque V ou F, justificando suas opções.a) As curvas de indiferença não são convexas em relação a origem.b) A utilidade marginal de um dos bens é sempre igual a zero.c) Para qualquer R > 0, se Pa > Pb, o consumidor escolhe apenas o bem B.

Solução

a)

Conjunto de cestas Preferíveis a X

I

As cestas contidas no segmento traçado entre duas cestas que se encontram na mesma curva de indiferença de reta, são cestas melhores (estão em níveis de utilidade maiores), cumprindo-se a hipóteses de preferência pela diversificação (convexidade).

c) Verdadeiro. Como os bens são complementares perfeitos, o aumento da quantidade de um bem, sem aumento de outro, não leva a aumento de utilidade.

d) Falso. O consumidor escolhe as quantidades onde Xa = Xb, que é o ponto de maximização, o que não necessariamente envolve escolher apenas quantidades de B, mesmo sendo Pa > Pb.

B

-2 A

13. Ricardo gosta de promover festas em sua casa, sendo o número de homens igual ao de mulheres. As suas preferências podem ser representadas pela função de utilidade U(x,y) = min 2x - y, 2y - x sendo x o número de mulheres e y o número de homens na festa.a) Trace a curva de indiferença correspondente a utilidade de 10.b) Quando min 2x - y, 2y - x = 2y - x, o número de homens é maior do que o

número de mulheres, ou o contrário ?

Soluçãoa) y 14

12 10

10 11 12

16

Y


2x - y = 10 y = 2x – 102y – x 10 y 5 + x/2

yx = 10 10 1011 12 10,512 14 11

b) 2y – x 2x - y 3y 3x y x

14. (ANPEC). Admita que a função de utilidade de Dona Maria pode ser representada por U = QAQV, onde U é sua utilidade, QA é a quantidade de alimentos que ela consome e QV é a quantidade de peças de vestuário. Suponha que a sua renda mensal de dez mil reais é gasta integralmente com os dois bens. O preço unitário dos alimentos é quinhentos reais e do vestuário mil reais. A fim de maximizar o seu nível de satisfação mensal, quantas unidades ela consumirá de cada um dos bens?

Solução

TMS = = (Pa/Pb) = (500/1000) = 1/2

Assim, 2Qv = Qa ; 10000 = 500 Qa + 1000 (1/2Qa); Qa = 10 e Qv = 5.

15. (ANPEC) Um consumidor tem renda de 60 unidades monetárias e adquire as quantidades x1=10 e x2=5 quando os preços dos dois bens são p1=3 e p2=6. Suponha que haja apenas dois bens, e que a função de utilidade do consumidor seja U(x1,x2) = min x1,2x2. Se p1 sobe para 5, qual o acréscimo de renda que o fará ficar indiferente entre a nova cesta demandada e a antiga cesta 9 i.e., x1 = 10 e x2 = 5) ?

Solução

Maximização ocorre quando x1 = 2 x2 e x2 = x2 =

x2 = e x1 = . Quando x2 = 5 e P1 = 3 e P2 = 6 m = 80 e m = 20

16. (ANPEC) Um consumidor tem suas preferências apresentadas pela função utilidade U(a,v) = av onde a = quantidade de alimento e v = quantidade de vestuário, e os parâmetros 0 e 0. Marque V ou F, justificando suas opções:

a) Se o preço do alimento for maior que o preço do vestuário, então o consumidor irá demandar uma quantidade maior de vestuário do que a de alimento.

b) Se = , os dispêndios do consumidor com os dois tipos de bens são iguais, para quaisquer níveis de preços não nulos.

c) Se + 1, a função de utilidade é convexa, implicando que inexiste solução de máxima utilidade do consumidor.

d) Se + 1, as utilidades marginais dos dois bens são crescentes.

Solução

Nas funções de utilidade Cobb-Douglas, os parâmetros e indicam a proporção de gasto destinada à consumir cada produto sempre que + = 1.No ponto de maximização:

a) Se Pa > Pb, então v > a, o que não necesariamente significa que v > a. O consumidor demanda mais vestiário se =.

b) Falso. Só gastaria o mesmo se + =1.c) Falso. A convexidade não envolve inexistência de solução máxima.d) Verdadeiro.

17. (ANPEC) Considere um consumidor residente em Recife, com preferências estritamente convexas. A renda total desse consumidor é constituída por um salário mensal de $400, sendo que o mesmo consome 100 unidades do bem A e 200 unidades do bem B, por mês, com PA = $2 e PB = $1, o que lhe fornece um nível de utilidade de U = 40. A empresa onde ele trabalha pretende transferi-lo para São Paulo, onde PA = $1 e PB = $2. Caso isso ocorresse, ele passaria a consumir 200 unidades do bem A e 100 unidades do bem B, o que lhe propiciaria um nível de utilidade de U = 20. Marque V ou F, justificando suas opções:a) Não se pode afirmar que ele é maximizador de utilidade, pois aos novos preços a

sua escolha implica em redução de utilidade.b) Dado que em Recife U = 40 e em São Paulo U = 20, pode -se afirmar que a sua

situação em Recife é duas vezes melhor do que aquela que obteria em São Paulo.c) O consumidor estaria disposto a se mudar desde que ele obtivesse um aumento

de salário de $100.d) O consumidor não estaria disposto a se mudar por um aumento de salário menor

que $100.

Solução

17


a) Falso. Ter de reduzir a utilidade não significa que o consumidor não esteja sendo maximizador.

b) Falso. A função utilidade é ordinal, não tem a propriedade da cardinalidade.

XB

400

200

100

100 200 400 XA

c) Verdadeiro. Com mais $100 a cesta inicial (100,200) custará aos preços finais 100*1 + 200 *2 = 500, o que significa que estará disponível. Se4 o consumidor escolher outra cesta, estará pelo menos tão bem quanto antes.

d) Falso. Existe um conjunto de cestas que o consumidor pode consumir e que não estava disponível antes. Nada se pode afirmar.

18. A função de utilidade de Luiz é U(b,c) = b + 100c - c2, sendo b o número de begônias que ele planta no seu jardim, e c é o número de cravos. Ele possui uma área de 500 m2 para alocar entre plantações de begônias e cravos, sendo que cada begônia necessita de 1 m2 e cada cravo de 4 m2. a) Para maximizar sua utilidade, dado o tamanho do jardim, quantas begônias e

cravos Luiz deve plantar?b) Se ele adquire uma área extra de 100 m2 para o seu jardim, quantas unidades

adicionais de begônias ele deveria plantar? E quantas unidades de cravos?c) Se Luiz tivesse somente 144 m2 de jardim, quantas unidades de cravos ele

plantaria ?d) Para que Luiz plante cravos e begônias juntos, qual deve ser a área mínima do

jardim?

Solução

TSM = (100 – 2c)/1 = PC / Pb = 4

100 – 2c = 4 c = 96/2 = 48. A restrição é 4c + 1b = 500; b = 500-4c b = 500 – 4 * 48 b = 500 – 192 = 308

b) 100. Cravos não variam com m2 a partir de 192.

c) 144/4 = 36

d) 192 m2

19. Pablo considera guaraná tão bom quanto suco de laranja. Suponha que ele tenha disponível a quantia de $30 para gastar entre os dois bens, e que o preço do refrigerante seja de $0,75 e o do suco seja de $1. a) A estes preços, qual das duas bebidas ele irá preferir? Ou será que ele consome

um pouco de cada ?b) Suponha que o preço do suco de laranja permaneça em $1 e que o preço do

guaraná seja reduzido para $0,55. Ele consumirá mais refrigerante ?c) Se o preço guaraná for reduzido para $0,40 , quantas garrafas de refrigerante

Pablo iria consumir?d) Se o preço do copo de suco de laranja permanecer em $1, e admitindo que Pablo

consuma um pouco das duas bebidas, qual é o preço do guaraná?

Solução

Se considera um bem tão bom quanto o outro se trata de substitutos perfeitos.a) Consome o mais barato e somente o mais barato. (Lembre das soluções de canto).b) Sim. (Novamente solução de canto).c) 30/0,4 = 75.d) $ 1,00. (Escolhe alguma quantidade ao longo da reta orçamentária)

20. Carlos tem a seguinte função de utilidade U(x,y) = 3x + y sendo x o número de revistas e y o número de ingressos para um show de rock. Se o custo total de x unidades de revistas é x2, py = 6 e m=100, quantas revistas ele lê ?

Solução

TMS = 3 = Px/Py, Assim Px = 3*6 = 18

Como se trata de substitutos perfeitos, e o preço das revistas é maior, ele não consumirá revistas.

21. Determine se as seguintes transformações funcionais são monótonas: (i) f(u) = ln u; (ii) f(u) = 1/u; f(u) = 2u; f(u) = u0; f(u) = -1/u.

18


Solução

u é a função de utilidade u = u(x1,x2), e f(u) é a transformação monotônica. Tem que acontecer que se

, onde u é a função de utilidade. Para que f(u) seja uma

transformação monotônica, o numerador e o denominador deverão ter o mesmo sinal. Assim, a taxa de variação da transformação monotônica tem que ser positiva (derivada).

f(u)=ln u ; f’(u)= >0 é monotônica.

f(u)= ; f’(u)=- ,0 não é monotônica.

f(u)=2u; f’(u)=2>0 monotônica.

f(u)=u0; f’(u)=1>0; não é monotónica

f(u)= ; f’(u)= monotônica.

22. Suponha uma função utilidade de substitutos perfeitos, u(x1, x2) = x1 + x2. Seria correto afirmar, de acordo com a teoria da utilidade ordinal que um consumidor que estivesse consumindo 2 unidades do bem 1 e 2 unidades do bem 2, no ano de 1995, e 3 unidades do bem 1 e 5 unidades do bem 2, no ano de 1996, dobrou sua satisfação?

Solução

u(x1,x2)= x1+x2; u(2;2)=2+2=4 em 1995 e u(3;5)=3+5=8 em 1996. Sim podemos dizer que a utilidade em 1996 é o dobro de 1995.

23. Suponha que um aluno deriva satisfação com os estudos desde que cada hora de aula assistida seja acompanhada de duas horas de estudos em casa. Caso contrário, sua satisfação não se altera. Construa uma função utilidade hipotética para esse estudante.

Solução

U(x1;x2)=min{x1; x2}

U(1;1)={1; }=

U(1;2)={1;1}=1 2

U(2;1)={2; }= 1

24. Calcule a taxa marginal de substituição para as funções u(x1, x2) = x1x2 e h(x1, x2) = ln x1 + ln x02.

Solução

- =TMS ; TMSu=- ; TMSh= = -

25. A TMS de uma transformação funcional monótona deverá ser a mesma da função original. Verdadeiro ou falso.

Solução

Verdadeiro. como visto no exemplo anterior, elas deverão ser iguais. O que não será igual é a utilidade marginal, dado que as funções de utilidade são diferentes, embora se manterá a monotonicidade. (Ver no livro a relação entre utilidade marginal e TMS).

26. Que lição se aprende do resultado da questão acima no que se refere à aplicação da teoria da utilidade ordinal?

Solução

19

1/2 1


Aprendemos que o comportamento de escolha revela apenas informações de como o consumidor hierarquiza diferentes cestas de bens. A utilidade marginal depende da função de utilidade específica que utilizamos para representar o ordenamento das preferências e sua grandeza não tem nenhuma importância especial.

27. Por que dadas preferências convexas, a taxa marginal de substituição, em módulo, deverá ser decrescente?

Solução

A TMS mede o quanto o consumidor está disposto a abrir mão de um bem para adquirir uma certa quantidade de um outro bem de acordo com suas preferências. A TMS varia de acordo com os diferentes níveis de consumo. Assim, quanto menos temos de um bem, mais vamos querer do outro bem para abrir mão dele (sempre que se cumpra acondição de convexidade: primeira derivada é negativa e a segunda positiva, ou seja, as quantidades demandadas decrescem a ritmos decrescentes).

28. Calcule a taxa marginal de substituição das seguintes funções: (i)

(ii) ; e (iii)

.

Solução

TMS=-

i) u(x1;x2)= x12+2x1x2+x2

2

UMgx1= 2x1+ 2x2 e UMgx2= 2x1+ 2x2; TMSi= - =-1

ii) u(x1,x2)= x11/2 +x2

Umgx1= , UMgx2=1; TMSii= iii) u(x1,x2)=x1+2x2

UMgx1=1; UMgx2=2; TMSiii=-

29. A melhor cesta que determinado consumidor consegue consumir será sempre aquela em que a taxa marginal de substituição iguala a inclinação da restrição orçamentária, no caso em que a escolha ótima envolver o consumo de um pouco de ambos os bens. Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta.

Solução

Verdadeira. Nesse ponto a reta de restrição orçamentária tangencia a curva de indiferença, ou seja, atinge a última curva de indiferença que o consumidor poderia atingir dada sua restrição orçamentária, maximizando sua satisfação.

30. Dois tipos de caneta são substitutos perfeitos. Qual será a cesta consumida se a renda do consumidor destinada à compra de canetas for R$ 2,00. Demonstre que, sempre a TMS > .

Solução

quando p1< p2 TMS<-1. x1= qualquer número entre 0 e quando p1 = p2

TMS=-1; 0 quando p1>p2 TMS>-1 quando a relação de troca é de 1x1.

31. Um consumidor tem preferências quase-lineares que podem ser expressas por

. Sendo o preço do bem 1 igual a R$ 3,00, o preço do bem 2,

R$ 1,50, e a renda do consumidor, R$ 30,00;

a) Qual a quantidade consumida de cada bem. Suponha que os bens são perfeitamente divisíveis.

b) O que ocorrerá com o consumo do bem 1 se o seu preço for reduzido para R$ 1,00.

Solução

20


a) , sujeito a m=x1p1+x2p2

p2 = 2p1 , , No caso de quase lineares essa é a função de demanda para x1, que independe da renda.

P1=3

P2=1,5

Para x2:

b) ,

32. Um aluno considera que diversão e estudos são complementos perfeitos, de maneira que sua utilidade é expressa em . Sabendo que durante os finais de semana, o seu tempo disponível para diversão e estudos fica restrito a 30 horas e que cada unidade de diversão custa 6 horas e cada unidade de estudos custa 3 horas, qual será a cesta escolhida pelo aluno.

Solução

min{2d,e}=u(d,e) 2d=e m=p1d+p2e; 30=6d+3 (2d), onde d=2,5 e = 5

33. Sendo as curvas de indiferença côncavas, ou seja, , a taxa marginal de

substituição nunca se igualará à relação de preços relativos. Verdadeiro ou falso.

Solução:

Falso. Na estimação da escolha ótima a taxa marginal de substituição se iguala aos preços relativos mas não no ponto de tangência interior. A escolha ótima é sempre um ótimo de fronteira. Nesse tipo de curva de indiferença, o consumidor não gosta de consumir os bens x1 e x2 juntos e sempre vai gastar sua renda comprando tudo de um bem ou de outro.

34. Supondo que todos os agentes da economia tenham curvas de indiferença estritamente convexas e que acessem os produtos sempre aos mesmos preços. Então, a taxa marginal de substituição de equilíbrio para todos os agentes deverá sempre ser a mesma. Verdadeiro ou falso. Comente.

Solução

Verdadeiro. No ponto de equilíbrio TMS = P1/P2. Se P1 e p2 são os mesmos para todos os agentes, então a taxa marginal de substituição de equilíbrio será a mesma.

35. Na questão acima, as quantidades consumidas serão também as mesmas. Verdadeiro ou falso. Comente.

Solução

Não necessariamente, pois as quantidades consumidas não dependem só das preferências e da relação de preços, dependem dos níveis de renda. Como as preferências são as mesmas (mesma TMS) e a relação de preços também, então os níveis de consumo de cada consumidor dependerá de seu nível de renda.

36. Suponha um consumidor sujeito a saciedade, mas com preferências estritamente convexas. O que ocorrerá quando a taxa marginal de substituição se igualar aos preços relativos?

Solução

21


Se as preferências são convexas, quando a o consumidor estará em

seu ponto de escolha ótima, ou seja, estará maximizando sua utilidade.

37. Curvas de indiferença de substitutos perfeitos sempre geram soluções de canto. Verdadeiro ou falso.

Solução

A situação de saciedade geralmente gera solução de fronteira, mas se os preços dos bens x1 e x2 forem iguais numa relação de troca 1x1, as curvas de indiferença de substitutos perfeitos podem passar por toda a restrição orçamentária, nesse caso haverá todo um segmento de escolhas – todas as quantidades dos bens 1 e 2 que satisfazem a restrição orçamentária serão uma escolha ótima.

38. A utilidade que João obtém a través do consumo de alimentos (A) e vestuário (V) pode ser expressa como: u (A, V) = A.V

a) Suponha que alimentação custa R$ 1 por item, que vestuário custa $R 3 e que João dispõe de R$ 12 para gastar em estes dois bens. Desenhe a linha do orçamento com a qual se defonta João.

b) Qual a escolha entre alimentação e vestuário que maximiza a utilidade de João.

c) Qual a TMS entre alimentação e vestuário quando a utilidade é maximizada?

d) Suponha que João decide adquirir 3 itens de alimentação e 3 itens de vestuário com o seu orçamento de R$ 12. Sua TMS de alimentação por vestuário seria maior ou menor do que 1/3?

Soluçãoa. m = 12

R.O.: (1)

Vestuário

Alimentação

b.

(2)

Substituindo (2) em (1):3V + 3V = 12; 6V = 12; V = 2 A = 3(2); A = 6(A*, V*) = (6, 2)c. Maximização da utilidade:

d)

39. Quando (Px, Py) = (10, 30) um consumidor compra (x, y) = (100, 50). Como são compradas 100 unidades de x e 20 de y, isto significa que o consumidor deve estar disposto a trocar 2 unidades de de x por 1 de y e permanecer indiferente. Dados os preços, 3 unidades de x podem ser substituídas para cada unidade de y ao longo da reta orçamentária. Por tanto, o consumidor não está maximizando sua utilidade. V o F. Justifique.

Solução

Verdadeira. Se o consumidor está disposto a renunciar 2 unidades de x para obter 1 de y e o mercado troca 3 unidades de x por uma de y, o consumidor não estará maximizando sua utilidade nessa situação.

22


40. Seja u (x, y) – x.y + x – 3y a função de utilidade de Maria, onde x e y são os dois únicos bens existentes nessa economia. Os preços destes bens são, respectivamente, (Px, Py) = (5, 2). A renda mensal de Maria é de 500 R$.

a) Qual a escolha ótima da Maria?b) Suponha agora que o governo, necessitando de dinheiro, decidiu taxar o

bem x em 1 R$. Qual a nova escolha ótima da Maria por estes dois bens?c) Suponha que, ao invés de taxar p bem x, o governo decidiu taxar

diretamente a renda dos consumidores. Ele quer arrecadar de cada consumidor o mesmo montante que arrecadaria caso taxasse o produto x (como item anterior). Qual a nova escolha ótima da Maria?

d) Mudou alguma coisa na escolha ótima da Maria? Qual das duas opções de taxação seria melhor para Maria?

Solução

R.O.: 5x + 2y = 500 (1)

a) Escolha ótima:

(2)

Substituindo (2) em (1):

b) px =5 +1 = 6R.O.: 6x + 2y = 500 (3)

(4)Substituindo (4) em (3):

c)

Qualquer que seja o caso, sabemos que a escolha ótima, (x*,y*), tem de satisfazer a restrição orçamentária:

.

A receita arrecadada por esse imposto será R* = tx*Obs.: x* da restrição orçamentária com imposto (letra b).Um imposto sobre a renda que arrecade a mesma quantidade de receita, terá uma restrição orçamentária da seguinte forma:

(5)

Substituindo, (2) em (5):

d) A escolha ótima de Maria mudou:- com imposto sobre a quantidade:

- com imposto de renda:

23


A melhor opção de taxação para Maria é a do imposto de renda, uma vez que ela se encontrará melhor do que numa situação com o imposto sobre a quantidade, ou seja , a utilidade total obtida com a cesta ótima do primeiro tipo de taxação é maior do que a obtida com a do segundo tipo.

41. Seja u(mr) = m ½ . r ½ a função utilidade de um consumidor onde m é margarina e r requeijão. Este consumidor tem uma renda mensal de R$ 100 e os preços destes dois bens são, respectivamente, R$ 1 e R$ 2,50.

a. Desenhe a restrição orçamentária com a qual esse consumidor se defronta.

b. Qual a sua escolha ótima por esses dois bens?c. Qual a proporção de sua renda que gasta com cada um desses

bens?d. Se esse consumidor considerasse esses dois bens como sendo

perfeitos substitutos, qual seria a nova escolha ótima destes dois bens?

Solução

a. R.O.: m +2,5r = 100 (1)

Requeijão

Margarina

b.


c. Proporção da renda gasta com cada bem:1/2M com manteiga1/2M com requeijão

d. Se os dois bens fossem substitutos, e para uma TMS = -1, o consumidor iria gastar toda a sua renda com o bem mais barato, e no caso exposto seria a margarina, então a escolha ótima seria:

42. Responda Verdadeiro ou Falso.(i) A função utilidade associa números às cestas de bens de tal

forma que a ordenação numérica gerada pela função utilidade representa a ordenação ordinal das cestas do consumidor.

(ii) Na teoria ordinal, o valor que uma função de utilidade atribui a uma cesta pode ter um significado intrínseco na medida em que uma transformação monotônica preserva a ordenação das cestas do consumidor.

(iii) Uma transformação monotônica é uma forma de transformar um conjunto de números num outro conjunto de números. A preservação da ordenação dos mesmos, no entanto, se dá nos casos em que a função utilidade é linear.

(iv) Uma transformação monotônica de uma função de utilidade representa a mesma função utilidade original e as mesmas preferências.

(v) Uma transformação monotônica na função utilidade afeta a TMgS. embora não afete as utilidades marginais com respeito a cada um dos bens.

Solução

24


(i) Correta.(ii) Errada. Não tem nada a ver uma coisa com a outra.(iii) Errada. Uma transformação monotônica sempre preserva a ordenação.(iv) .Errada. Uma transformação monotônica gera uma nova função de utilidade.(v) Errada. Não afeta a TMgS.

43. Responda Verdadeiro ou Falso(i) Seja u(x,y)=(x+y)2. A função w(x,y)=x2+2xy-y2 é uma

transformação monotônica da função u(x,y). (ii) Seja u(x,y)= xy+x +2y. A função w (x,y)= 1/2x +1/2y é Uma

transformação monotônica da função u(x,y). (iii) A função u(x,y)= ln(x)+ln(y) representa preferências quase

lineares e a função w(x,y)=x.y é uma transformação monotônica de u(x,y).

(iv) As funções de u(x,y)=x1/2+y e w(x,y)=1/2x+1/2y representam as mesmas preferencias.

(v) A função u(x,y)= x2+ln(y) representa preferências quase-lineares e a função w(x,y)=x4+2x2ln(y)+[ln(y)]2 é uma transformação monotônica de u(x,y).

Solução

(i) Falso. = 1

w(x,y) não é uma transformação monotônica de u(x, y).

(ii) Falso.

w(x,y) não é uma transformação monotônica de u(x, y).

(iii) Falso. A função u(x, y) não representa preferências quase-lineares.(iv) Falso. A primeira é uma função de quase-linear e a segunda de

substitutos perfeitos.

(v) Verdadeiro.

w(x,y) é uma transformação monotônica de u(x, y).w(x,y) = [u(x,y)]2

44. Responda Verdadeiro ou Falso.(i) O consumidor maximiza sua utilidade respeitando sua restrição

orçamentária. A solução ótima desse problema (quantidades ótimas dos dois bens a serem consumidas) pode estar situada sobre a restrição orçamentária desse consumidor.

(ii) A solução ótima do problema de maximização de utilidade do consumidor requer que a inclinação da restrição orçamentária seja sempre tangente a inclinação da curva de indiferença. Na solução ótima do problema de maximização de utilidade do consumidor a tangência entre a inclinação da restrição orçamentária e a inclinação da curva de indiferença passa a ser uma condição necessária quando nos limitamos a soluções interiores.

(iii) Se a curva de indiferença for convexa e a solução do problema interior, então, a tangencia entre a restrição orçamentária e a curva de indiferença passa a ser uma condição necessária e suficiente para obtermos uma solução única para o problema.

(iv) Se a curva de indiferença for convexa e a solução do problema interior, então, a tangencia entre a restrição orçamentária e a curva de indiferença passa a ser uma condição necessária e suficiente.

Solução

(i) Pode não, ela esta situada na RO.(ii) Errado. Se a curva de indiferença tiver quina ou tivermos uma solução

de canto há solução ótima mas não há tangência.(iii) Errado. Se a curva tiver uma quina não há tangencia.(iv) Errada. Pode haver infinitas soluções.(v) Correta.

25


45. Responda Verdadeiro ou Falso.(i) Mesmo quando a TMgS é diferente da razão de preços, o consumidor

ainda pode estar na escolha ótima. Isso ocorre quando as curvas de indiferença não são estritamente convexas.

(ii) Se os bens x e y são perfeitos substitutos, px e py são os respectivos preços, e m é a renda do consumidor , então, a função demanda pelo bem x é m/px e pelo bem y é m/py.

(iii) Na abordagem ordinal, se a taxa marginal de substituição for decrescente haverá especialização do consumo em apenas um bem. As curvas de indiferença seriam côncavas.

(iv) A TMgS é a razão entre as utilidades marginais dos dois bens. A utilidade marginal com respeito ao bem 1 é a derivada da função utilidade com respeito a esse bem e sua interpretação é o quanto o custo do consumidor com esse bem muda em função de uma mudança na quantidade desse bem.

(v) Ao observarmos uma escolha do consumidor para dado conjunto de preços podemos obter a TMgS. Se os preços mudam podemos, novamente, obter uma TMgS. A medida que essas mudanças de preços ocorrem podemos aprender mais sobre as preferências que geraram as escolhas observadas do consumidor.

Solução

(i) Verdadeiro. Vejamos o caso de substitutos perfeitos, a C.I. não é estritamente convexa, em que p1<p2 , em que o ponto ótimo ocorra no ponto em que o consumo de x2 seja zero, as inclinações da C.I. (TMS) e da R.O. (– p1/p2) são diferentes.

(ii) Falso. Vai depender da relação entre os preços.(iii) Falso. Se ela for decrescente estamos no caso de curvas convexas. Haveria

especialização se a taxa fosse crescente - curvas côncavas.(iv) Falso.(v) Verdadeiro - capítulo 5 (5.6).

46. Responda Verdadeiro ou Falso.

(i) Seja a função utilidade u(x,y)=5x+2y2. Sejam px=2 , py=4 e m=50. A cesta que maximiza a utilidade desse consumidor é (x*,y*)=(20;2,5).

(ii) Seja a função utilidade u(x,y)=x.y2. Sejam px=2 , py=4 e m=60. . A cesta que maximiza a utilidade desse consumidor é (x*,y*)=(10,21).

(iii) Seja a função utilidade u(x,y)=5x+2y. Sejam px=2 , py=4 e m=50. A cesta que maximiza a utilidade desse consumidor é (x*,y*)=(20;2,5).

Solução

(i) Verdadeiro.R.O: 2x +4y = 50 (1)


(ii) Falso.R.O: 2x +4y = 60 (1)


(iii) Falso.R.O: 2x +4y = 5 0 (1)

Os dois bens são substitutos perfeitos, o consumidor irá consumir o bem com menor preço, levando também em consideração a TMS, logo ele consumirá apenas x.

26


27

Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.Capítulo 5. Demanda Individual.

CAPITULO 5.DEMANDA INDIVIDUAL

1. Cláudio consome biscoito e mate. Sua função de demanda por biscoito é qB = m - 30pB + 20pM, sendo m a renda, pM o preço do copo de mate, pB o preço do pacote de biscoito e qB a quantidade consumida de pacotes de biscoito. a) Mate e biscoito são bens complementares ou substitutos? b) Determine a equação de demanda para o biscoito, considerando m=100 e pM = 1.c) Determine a equação da demanda inversa por biscoitos. Para que preço Cláudio

consumiria 30 pacotes de biscoito?

Solução

a) Qb=m –30pb+20pm

=20>0 , sendo assim, são substitutos. >0.

b) Qb=m –30pb+20pmQb= 100 –30pb+20(1)Qb= 120 –30pb

c) Qb= 120 –30pb30pb=120 - Qb

pb=

pb= 4 - = 4 - 1= 3

2. Alex gosta de consumir café e biscoito juntos, e em proporções fixas, na razão de duas unidades de biscoito para uma unidade de café. Ele possui uma renda de $20; pc

= $1; e, pb = $0,75.a) Nesta situação, quantas unidades de café e biscoito ele consumiria?b) Determine a função de demanda por biscoito?

Solução

Ele consome 2 biscoitos com 1 café, sendo assim, a quantidade de biscoito consumida é duas vezes a quantidade de café consumida (B=2C)a) b=2c, ou seja, c = b/2; m=20; pc=1; pb=0,75

m = B.pb + C.pc m = B.pb + B.pc m = B (pb + pc)

B= B= B= = 16

20 = 16 * 0,75 + C*1, onde C = 8

b) B = =

3. (ANPEC) O gráfico a seguir mostra posições de equilíbrio alternativas de um consumidor. Marque V ou F justificando suas opções.a) A mudança de linha de orçamento BC para BG resulta de uma diminuição

apenas do preço do bem y.b) A mudança da linha de orçamento BC para HE resulta da diminuição apenas do

preço do bem y.c) A curva de Engel para o bem x, que relaciona a quantidade de equilíbrio deste

bem com a renda monetária, está representada no gráfico.d) A linha preço-consumo é representada por AF

y E F G

C

A

B H xSolução

a) Verdadeiro.b) Falso.c) Falso.d) Verdadeiro.

28


4. Carlos possui a seguinte função de utilidade U (Xa, Xb) = Xa4Xb, sendo Xa a

quantidade de amoras Xb a quantidade de bananas. Seja pa o preço das amoras, pb o preço das bananas, e m a sua renda. Qual a equação de demanda por amoras?

Solução

Trata-se de uma função de utilidade Cobb-Douglas. De acordo com o apêndice matemático do capítulo de escolha:

x1 = ; onde “c” seria o expoente de Xá (amoras) e “d” representaria o

expoente de Xb (bananas). Assim a função por demanda de amoras seria Xa =

Uma outra forma de comprovar que esta é a função de demanda e a través da resolução do problema de escolha ótima.

U(Xa,Xb)= Xa4.Xb =

= = ; Xa= ; m= Xapa +Xbpb 4Xa=

; Xa= ; Xa=

5. Seja x o número de livros e y o número de discos. Se João tem a seguinte função de utilidade U(x,y) = min 7x , 2x + 10y, e considerando px = 20 e py = 80, qual a razão entre as demandas por discos e livros?

Solução

7x = 2x + 10y; 5x = 10y; x = 2y

m= Xpx + Ypy; m= 2Ypx + Ypy; m= Y(2px + py)

Y= =

Mesmo procedimento para X:

X= ;

6. Flávia tem a seguinte função de utilidade U(a,b) = a2 + 1,5 ab + 30b. Sendo pa = 1e pb = 1, desenhe a curva de Engel para níveis de renda entre 20 e 60.

Solução

U(a,b)= a2+1,5ab +30b pa=1 pb=1

Umg = ; 2 a +1,5b = 1,5a +30; 0,5a = 30 – 1,5b

1,5b = 30 - 0,5b; b = 20 -

m = a.pa. + b.pb; a = ; a= m – 1 (20 - )

a=m –20 + ; a= ;

m=50 a=

m=20 a=

m=60 a=

m=30 a=

m=40 a=

curva de Engel60

29


50403020 15 30 45 60

7 Suponha que um aluno de graduação de Direito cujo objetivo é completar seu curso e conseguir uma vaga de Procurador Público por intermédio de um concurso não enviesado. Esse aluno avança em seu conhecimento, e, por conseqüência, na probabilidade de passar no concurso na medida em que estuda em casa e assiste aulas de direito, em uma relação constante de 2 para 1. Faça graficamente o caminho de expansão da renda (horas disponíveis para estudo e aula) e a curva de Engel para esse aluno, especificando as inclinações.

Solução

m curva de renda consumo Curva de EngelEstudo 6

4

2

1 2 3 Aula Aulas

Inclinação curva de Engel= (pa+2pe); E=2 Am = Apa + Epe; m = Apa + 2Ape; m = A(pa+2pe)

8. Suponha uma função utilidade . Encontre a curva de

Engel e a curva de demanda para o bem 1.

Solução

Umg= m Curva de Engel

x1=

m=x1p1+x2p2

x1

m= p1+ x2p2 p1

m=p2+ x2p2

x2=

x1

9.Suponha uma função utilidade . Encontre a taxa

marginal de substituição dessa função e determine a quantidade a ser consumida de cada um dos bens. Depois, encontre a curva de Engel e a curva de demanda para o bem 1. Esse bem é inferior, necessário ou de luxo?

Solução

U(x1x2) = x1x2+x1+x2+1 m=x1p1+x2p2

TMS = = ; resolvendo fica que x2 = 1

Substituindo x2 na restrição orçamentária:

m = p1 x1 + p2 ( 1), e operando, resulta a função de demanda para o

bem 1: x1 = .

m

Curva de Engel

30


x1

A inclinação da curva de Engel é: = . Como p1 é um valor positivo, a

inclinação é também positiva, logo se trata de um bem normal. A inclinação maior ou menor depende dos valores de p1.

A inclinação da função de demanda é = , e como p1 e p2 são

valores positivos, a derivada é negativa, logo são bens comuns (não Giffen).

10. O que você entende por bem de Giffen? Apresente o caminho de expansão da renda e a curva preço consumo de um bem de Giffen.

Solução

Bem de Giffen é um caso especial de bens inferiores em que variações de preço levam a variações de demanda na mesma diereção.

x2

curva de renda consumo Curva de preço consumo

x1 x1

11. Em determinado país, a construção de piscinas públicas gerou um aumento de utilização de piscinas para a população. Com isso se verificou um aumento na demanda dos calções de banho. Pode-se portanto afirmar que calções de banho e piscinas são bens substitutos?

Solução

Falso, o aumento da quantidade de piscinas levou a um aumento da quantidade de calções de banho, o que caracteriza os bens como complementares. Se fossem substitutos um aumentaria e outro diminuiria.

12. Prove que, em um conjunto de n bens, pelo menos um entre eles não poderá ser bem de Giffen.Solução

Bem de Giffen é aquele que quando o preço diminui a demanda também diminui. Se todos os n bens forem bens de Giffen, quando o preço diminuir vai diminuir a demanda e o consumidor não encontraria bens onde gastar toda a sua renda na escolha ótima. Sendo assim, um dos n bens não pode ser bem de Giffen para compor a demanda do consumidor que não é formada pelo bem Giffen.

13. Suponha um consumidor com a seguinte função de demanda .

Sendo o preço do bem igual a 1, pode-se afirmar que se trata de um bem de luxo. Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.

Solução

No caso dos bens de luxo, quando a renda aumenta o consumo aumenta numa proporção maior que a renda. Para isto, observamos os valores da derivada:

Para P=1, a função de demanda fica .

Primeira derivada e segunda derivada é negativa

para qualquer valor de m com m >0. Isto significa que as quantidades demandadas variam positivamente com a renda, mas a taxas decrescentes. Assim, o incremento de renda levará a um incremento das quantidades demandadas, sim, mas este aumento será proporcionalmente menor.

14. Desenhe o caminho de expansão e a curva de Engel para preferências côncavas e homotéticas.

Solução

Preferências HomotéticasX2 m

31


renda-consumo curva de Engel x1 x1

Preferências côncavas

X2 m curva de Engel m= x1

Renda consumo X1 x1

15. Todo bem inferior é um bem de Giffen. Verdadeiro ou falso. Justifique.

Solução

Bem inferior é aquele que vê diminuir sua demanda quando a renda aumenta. Bem de Giffen é um tipo específico de bem inferior, onde, por causa do efeito renda que tem lugar nas variações de preços, uma diminuição dos preços levará a diminuições da demanda. Sendo assim, todo bem de Giffen é um bem inferior, mas nem todo bem inferior é um bem de Giffen. Em qualquer caso, os bens são inferiores ou Giffen de acordo com o comportamento do consumidor. Ex: ônibus é um bem inferior e não é um bem de Giffen, quando o preço da passagem diminui a demanda não diminui.

16. Determine se dois bens são substitutos ou complementares para indivíduos com

funções utilidade .

Solução

Trata-se de funções de utilidade Cobb-Douglas. Por tanto,

Umg = x1= ; x1=

X2= x2 = ; x2=

A quantidade do bem 2 não depende do preço do bem 1 e vice-versa, sendo assim são bens independentes.

17. Sobre a teoria da demanda podemos afirmar que:a) A curva de DA inversa mede o preço ao qual será demandada uma certa

quantidade.b) A função demanda por um bem de um consumidor, em geral, depende

apenas dos preços dos bens em questão.c) Um bem normal é aquele para o qual a demanda aumenta quando o preço

diminui. Um bem inferior e aquele para o qual a demanda aumenta quando a renda aumenta.

d) Um bem de Giffen é aquele para o qual a demanda aumenta quando seu preço diminui.

e) A curva de Engel é o gráfico da demanda por um dos bens como função do seu preço, com todos os demais preços mantidos constantes.

Solução

a) Verdadeiro. b) Falso. Depende também da renda: x1 = (p1, p2, m).c) Falso. Bem normal: a demanda pelo bem aumenta quando a renda aumenta.

Bem inferior: a demanda pelo bem diminui quando a renda aumenta.

d) Falso. Bem de Giffen: a demanda pelo bem diminui quando seu preço diminui.

e) Falso. Curva de Engel: gráfico da demanda de um dos bens como função da renda, com os preços constantes.

18. Sobre a teoria da demanda podemos afirmar que:

(i) A demanda de um consumidor por um bem pode ser obtida simplesmente a partir de informações sobre suas preferências pelos bens existentes e a partir de sua restrição orçamentária.

(ii) Dois bens são substitutos quando uma redução no preço de um deles ocasiona uma majoração na quantidade demandada do outro.

32


Solução

(i) Correta. Sempre que as hipóteses relativas ao comportamento maximizador forem cumpridas.

(ii) Errada. Dois bem são substitutos quando a demanda de um dos bens subir quando o preço do outro aumentar.

19. Sobre a teoria do consumidor pode se dizer que:(a) Para um indivíduo com função de utilidade u(x,y)= , os dois bens são

substitutos.(b) A curva de Engel de um bem normal é sempre uma linha reta.(c) Se as curvas de indiferença fossem convexas em relação a origem, o

consumidor compraria apenas uns dos dois bens.(d) As Curvas de Engel descrevem a relação entre a quantidade consumida de

uma mercadoria e a renda dos consumidores.(e) Um caso pouco comum mas interessante é aquele onde a quantidade

demandada varia na mesma direção da variação do preço (bem de Giffen). Isto ocasiona uma inclinação crescente e depois decrescente na curva de demanda individual.

Solução

(a) Correto. é uma transformação monotônica

de , que é uma função de bens substitutos.(b) Errado. A curva de Engel será uma linha reta somente em casos de

preferências homotéticas – a cesta demandada aumentará ou diminuirá na mesma proporção do aumento/diminuição da renda, ou seja, se duplicarmos a renda duplicaremos também a demanda de cada bem, o que implica que as curvas de Engel sejam também linhas retas. Um bem poder ser normal e não necessariamente apresentar uma linha reta como curva de Engel, exemplo bem de luxo (sua demanda aumenta quando a renda aumenta, mais o aumento na quantidade demandada é maior proporcionalmente do que o aumento da renda).

(c) Errado. Convexidade: diversificação – se consome os dois bens juntos.(d) Correto.(e) Correto. Bem de Giffen: quando o preço do bem diminui a quantidade

demandada por ele também diminui.

20. A função de utilidade de um consumidor é . Sabendo-se que px e py são os preços dos bens 1 e 2 respectivamente, ambos positivos, pergunta-se:

(a) Os dois bens são complementares ou substitutos?(b) Os dois bens são normais ou inferiores?

Solução

(a) R.O: pxx +pyy =m (1)

Escolha ótima:

(2)

Substituindo (2) em (1):

Os dois bens são substitutos, visto que quando py aumenta x também aumenta .

(b) x é um bem normal, a demanda por x varia no mesmo

sentido da renda, quando a renda aumenta a quantidade demandada por x também aumenta.

33


y é um bem normal.

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Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.Capítulo 6. Preferência Revelada.

CAPITULO 6. PREFERÊNCIA REVELADA

1. Suponha que a cesta (x1, x2) tenha sido escolhida com preços (p1, p2) e renda

m, sendo . Suponha ainda que a cesta (y1, y2) tenha sido escolhida quando os preços eram (q1,q2), sendo

, mas . Pelo axioma fraco da preferência revelada pode-se afirmar que a cesta (x1, x2) foi revelada preferível à cesta (z1, z2). Verdadeiro ou falso. Justifique sua resposta.

Solução

Falso. Com as informações acima, temos que (x1,x2) é diretamente revelada como preferida à (y1,y2), e (y1,y2) é diretamente revelada como preferida à (z1,z2). Logo, a cesta (x1,x2) é indiretamente revelada como preferida à cesta (z1,z2). O Axioma Fraco se refere apenas às cestas diretamente reveladas como preferidas. Somente o princípio da transitividade, considerado pelo Axioma Forte da Preferência Revelada, nos garante que (x1,x2) é (indiretamente) revelada como preferida à (z1,z2). Trata-se de uma situação como a seguinte:

X Y

Z

2. Considerando as seguintes informações:

Quando o sistema (1) de preços vigora, a cesta “A” é escolhida;

Quando o sistema (2) de preços vigora, a cesta “B” é escolhida;

Quando o sistema (3) de preços vigora, a cesta “C” é escolhida.

E considerando a tabela abaixo onde constam as rendas necessárias para comprar cada cesta,

A B C

(1) 75 70 80

(2) 70 68 67

(3) 63 65 60

Marque V ou F, justificando sua resposta:

a) “A” é diretamente revelada como preferida à “C”.

b) “A” é diretamente revelada como preferida à “B”.

c) A cesta “A” é a melhor de todas.

d) “B” e “C” nunca devem ser compradas.

e) De acordo com a tabela, duas cestas são diretamente reveladas como preferidas e uma é indiretamente revelada como preferida.

f) Caso o consumidor fique rico, ao sistema de preços tal que a cesta “C” seja a mais cara, ele deveria comprar esta cesta.

Solução

(1) A B; (2) B C e A C; (3) as cestas não podem ser comparadas.

a) F (quando a cesta “A” foi escolhida, “C” não estava disponível).b) V (quando “A” foi escolhida, “B” poderia ter sido escolhida).c) F (só podemos dizer que ela é preferível, não melhor).d) Falso. Apenas se a cesta “A” também estiver disponível. Dependendo do

orçamento e dos preços, elas podem ser escolhidas, sempre que a cesta A não esteja disponível).

e) Verdadeiro. “A” é diretamente revelada preferida à “B”, “B” é diretamente revelada pref. à “C” e “A” é indiretamente revelada preferida à “C”.

f) Falso. Como visto no item acima, a cesta “A” foi indiretamente revelada como preferida à cesta “C”. Assim, quando ambas estiverem disponíveis, a cesta “A” deverá ser a cesta escolhida. Sendo a cesta “C” a mais cara de todas, as três cestas estarão disponíveis, logo “A” deverá ser adquirida).

3. Quando os preços são (p1;p2) = (3;5), um consumidor demanda (X1;X2) = (15;20). Quando os preços são (q1;q2) = (5;3), este mesmo consumidor demanda

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(Y1;Y2) = (20;15). Esse comportamento é consistente com o modelo de comportamento maximizador? Por que?

Solução

Quando (x1,x2) é escolhida, ou seja, com os preços (P1, P2), temos:P1X1+P2X2 = 3*15 + 5*20 = 145P1Y1+P2Y2 = 3*20 + 5*15 = 135Então a cesta (x1,x2) é diretamente revelada preferida à cesta (y1,y2), dado que X foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis.

Quando (y1,y2) é escolhida, ou seja, com os preços (Q1, Q2), temos:Q1X1+Q2X2 = 5*15 + 3*20 = 135Q1Y1+Q2Y2 = 5*20 + 3*15 = 145Então a cesta Y foi escolhida quando X estava disponível, logo (y1,y2) é diretamente revelada como preferível à (x1,x2). Esse comportamento não pode ser consistente com o modelo de comportamento maximizador. Ele não obedece ao AFrPR.

4. Quais das relações abaixo podem ser utilizadas apenas para indicar que a cesta X é diretamente revelada como preferida à cesta Y ?

i) P Y = P X iii) P Y > P X ii) P X ≥ P Y iv) P Y < P X

Solução

PY = PX (fracamente preferida); PX ≥ PY e PY < PX

5. Admita agora que existe uma outra cesta Z = ( z1 , z2 , z3 , . . . , zn ), que por sua vez possa ser diretamente revelada como preferida à Y = ( y1 , y2 , y3 , . . . , yn ). Neste caso, pode-se estabelecer alguma relação entre as cestas X e Z ?

Solução

Sim. Pelo princípio da transitividade, se X é diretamente revelada como preferida à Y e Y é diretamente revelada como preferida à Y, X está sendo indiretamente revelada como preferida à cesta Z.

6. Dado três cestas de bens e serviços X, Y e Z. Um consumidor racional poderia gastar sua renda “m”, revelando X >Y, Y >Z e Z >X ? Ilustre em um gráfico com dois bens.

Solução

Não. Não há nenhuma curva de indiferença que passe por Z que seja superior a aquela que passa por X, para qualquer conjunto de preços. E se houver, ela cortaria às CI anteriores, rompendo hipóteses sobre o comportamento maximizador expresso a través de CI.

7. Considere X e Y como representações das quantidades de dois bens que estão na cesta de preferências de um consumidor individual. Qual dos gráficos abaixo pode ser utilizado para explicar o Axioma Fraco da Preferência Revelada? Admita que os pontos “A” e “B” representem cestas que tenham sido diretamente reveladas como preferidas às demais cestas disponíveis.

A

B

Graf.1

Y

X

C

B

Y

X

A

Z

Y

X

Bem 1

Bem 2

36


Solução

O gráfico 1 permite comparar cestas, revelando comportamento não maximizador.

O gráfico 2 permite comparar cestas revelando o cumprimento do AFRPR.

8. VARIAN. Quando os preços são (p1,p2) = (1,2), um consumidor demanda (x1,x2) = (1,2). Quando os preços são (q1,q2) = (2,1), o consumidor demanda (y1,y2) = (2,1). Esse comportamento é consistente com o modelo de comportamento maximizador? Por que?

Solução

Quando (x1,x2) é escolhida, temos:P1X1+P2X2 = 5P1Y1+P2Y2 = 4Então a cesta (x1,x2) é diretamente revelada preferida à cesta (y1,y2), dado que X foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis.

Quando (y1,y2) é escolhida, temos:Q1X1+Q2X2 = 4Q1Y1+Q2Y2 = 5Então a cesta Y foi escolhida quando X estava disponível, logo (y1,y2) é diretamente revelada como preferível à (x1,x2).

Esse comportamento não pode ser consistente com o modelo de comportamento maximizador. Ele viola o AFrPR.

9. VARIAN. Quando os preços são (p1,p2) = (2,1), um consumidor demanda (x1,x2) = (1,2). Quando os preços são (q1,q2) = (1,2), o consumidor demanda (y1,y2) = (2,1). Esse comportamento é consistente com o modelo de comportamento maximizador? Por que?

Solução

Quando (x1, x2) é escolhida, temos:P1X1+P2X2 = 4P1Y1+P2Y2 = 5Então a cesta (x1,x2), mas a cesta (y1,y2) não estava disponível.

Quando (y1,y2) é escolhida, temos:Q1X1+Q2X2 = 5Q1Y1+Q2Y2 = 4Então a cesta Y foi escolhida quando X não estava disponível.

Esse comportamento é coerente com o modelo de comportamento maximizador, embora não é possível tirar conclusões sobre PR pela impossibilidade de comparar cestas.

10. VARIAN. No exercício anterior, qual cesta é preferida pelo consumidor, a cesta X ou a cesta Y?

Solução

Não podemos saber. As observações não permitem comparações entre as cestas, pois no momento que uma era escolhida, a outra não estava disponível.

11. VARIAN. Vimos que o ajustamento da Previdência Social para as variações de preços tipicamente fariam com que os beneficiários ficassem pelo menos tão bem quanto estavam no ano-base. Que tipo de variações de preços deixaria os beneficiários exatamente na mesma situação, independentemente de suas preferências?

Solução

Variações nos preços onde os preços relativos do período atual coincidam (ou sejam proporcionais) com os preços do período base da indexação.

12. VARIAN. No mesmo contexto da questão anterior, que tipo de preferências deixaria o consumidor exatamente como no ano-base, para todas as variações de preços?

Solução

Preferências aplicadas à bens complementares perfeitos, pois para qualquer nível de preços relativos, ou seja, para qualquer inclinação da restrição orçamentária, o consumidor não irá alterar seu nível de satisfação.

37


13. Segue abaixo a tabela de preços e demandas de um consumidor cujo comportamento foi observado em cinco diferentes situações:

Situação p1 p2 x1 x2

A 1 1 5 35B 1 2 35 10C 1 1 10 15D 3 1 5 15E 1 2 10 10

a) Trace cada uma das retas orçamentárias identificando os pontos escolhidos pelas letras A, B, C, D e E.

b) O comportamento deste consumidor é consistente com o Axioma Fraco da Preferência Revelada?

Solução:

a)

b) Sim. As cestas A e B são reveladas como preferidas às cestas C, D e E. Quando A é escolhida, B não está disponível e, quando B é escolhida, A não está disponível.

A cesta C é revelada como preferida às cestas D e E, mas quando C é escolhida, A e B não estão disponíveis e, quando D e E são escolhidas, C não está disponível.

Quando D ou E são escolhidas, nenhuma outra cesta está disponível. Então esse comportamento é consistente com o AFrPR.

14. Suponha que Joyce e Ricardo gastem cada um $24 por semana com entretenimentos de vídeo e cinema. Quando os preços de vídeo e cinema estão em $4, Joyce e Ricardo alugam ambos 3 vídeos e compram cada um 3 entradas de cinema. Após algum tempo, o preço do vídeo cai para $2 e a entrada de cinema sobe para $6. Joyce passa então a alugar seis vídeos e comprar duas entradas de cinema por semana. O Ricardo, entretanto, passa a comprar uma entrada de cinema e alugar nove vídeos por semana.

a) Joyce estaria em uma situação pior ou melhor após a modificação nos preços ?b) Ricardo estaria em uma situação pior ou melhor após a modificação nos preços ?

Solução:

Período Pc Pv c v

JoyceT 4 4 3 3T+1 6 2 2 6

RicardoT 4 4 3 3T+1 6 2 1 9

- Joyce:

Quando (ct, vt) é escolhida, ou seja, com os preços (pct, pv

t), temos:pc

t ct + pvt vt = 4-*3 + 4*3 = 24

pct ct+1 + pv

t vt+1 = 4-*2 + 4*6 = 32A cesta (ct, vt) foi escolhida quando (ct+1, vt+1) não estava disponível.Quando (ct+1, vt+1) é escolhida, ou seja, com os preços (pc

t+1, pvt+1), temos:

pct+1 ct+1 + pv

t+1 vt+1 = 6*2 +2*6 = 24pc

t+1 ct + pvt+1 vt = 6*3 +2*3 = 24

Então a cesta (ct+1, vt+1) (ct, vt) é diretamente revelada preferida à cesta (c t, vt), dado que (ct+1, vt+1) foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis. a) Joyce estaria numa situação melhor. Com a mudança de preços, ela se situa numa curva de indiferença mais deslocada à direita.

Bem 1

Bem 2

38


- Ricardo:

Quando (ct, vt) é escolhida, ou seja, com os preços (pct, pv

t), temos:pc

t ct + pvt vt = 4-*3 + 4*3 = 24

pct ct+1 + pv

t vt+1 = 4-*1+ 4*9 = 40A cesta (ct, vt) foi escolhida quando (ct+1, vt+1) não estava disponível.Quando (ct+1, vt+1) é escolhida, ou seja, com os preços (pc

t+1, pvt+1), temos:

pct+1 ct+1 + pv

t+1 vt+1 = 6*1 +2*9 = 24pc

t+1 ct + pvt+1 vt = 6*3 +2*3 = 24

Então a cesta (ct+1, vt+1) (ct, vt) é diretamente revelada preferida à cesta (ct, vt), dado que (ct+1, vt+1) foi escolhida quando as duas cestas estavam disponíveis.b) O mesmo ocorre com Ricardo.

15. (Jehle e Peny) O

consumidor compra cestas xi aos preços pi, i = 0,1. Em cada um dos casos abaixo, verifique se as escolhas realizadas satisfazem o Axioma Fraco da Preferência Revelada.a) p0 = (1,3), x0 = (4,2); p1 = (3,5), x1 = (3,1)b) p0 = (1,6), x0 = (10,5); p1 = (3,5), x1 = (8,4)c) p0 = (1,2), x0 = (3,1); p1 = (2,2), x1 = (1,2)d) p0 = (2,6), x0 = (20,10); p1 = (3,5), x1 = (18,4)

Solução

a) Quando a cesta X0 é escolhida, ele gasta P0X0’=1*4+3*2=10 para sua aquisição. No mesmo momento, a cesta X1 custaria P0X1’=1*3+3*1=6. Assim, dado que X1

também estava disponível, podemos concluir que X0 foi revelada como preferida a X1. Porém, quando ele escolhe a cesta X1, ele gasta P1X1’=3*3+5*1=14 e o custo da cesta X0 seria de P1X0’=3*4+5*2=22. Logo, ele não viola o AFRPR, mas nada pode se dizer sobre suas preferências.

b) Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, quando X0 é escolhida, P0X0=1*10+6*5= 40 e P0X1=1*8+6*4=32, logo ele revela que X0 X1, dado que ambas poderiam ter sido compradas. Quando ele adquiriu a cesta X1, P1X1’=3*8+5*4=44 e P1X0’=3*10+5*5=55, logo a cesta adquirida antes não estava disponível. Assim, ele não viola o AFRPR, mas nada pode se dizer sobre suas preferências.

c) Quando a cesta X0 foi comprada, P0X0=1*3+2*1=5 e P0X1=1*1+2*2=5, ou seja, ambas estavam disponíveis. Assim, o consumidor nos revelou que X0 X1. No momento 1, P1X0=2*3+2*1=8 e P1X1=2*1+2*2=6, e mais uma vez a cesta X0 não estava disponível quando X1 é escolhida, assim não podemos afirmar que o consumidor viole o AFRPR, mas nada pode se dizer sobre suas preferências

d) No momento 0, P0X0=2*20+6*10=100 e P0X1= 2*18+6*4=60, portanto ambas as cestas estão disponíveis e podemos concluir que X0 X1, dado que ele poderia ter adquirido a cesta X1, mas não o fez. Já no momento 1, ele gastou P1X1=3*18+5*4=74 para adquirir a cesta X1 e a cesta X0 teria custado P1X0=3*20+5*10=110. Mais uma vez apenas a cesta X1 estava disponível, logo não há violação do Axioma Fraco da Preferência Revelada, mas nada pode se dizer sobre suas preferências.

16. (Jehle e Peny) O consumidor compra cestas xi aos preços pi, i = 0,1,2 , onde:

a) Mostre que esses dados satisfazem o Axioma Fraco da Preferência Revelada.

b) Ache a intransitividade nas preferências reveladas.

Solução

39


preços cestas Valor das CestasC0 C1 C2

012

1 1 21 1 11 2 1

5 9 1712 12 2227 11 2

48 68 4231 46 4040 58 51

a) As escolhas foram xi ao Pi, ou seja, em P1 escolheu X1, em P2 escolheu X2 e em P3

escolheu X3. C0 C2 ; C1 C0 ; C1 C2; C2 C0 .

b) Intrasitividade: Se C2 C0 e C1 C0 , então C1 C0, logo há transitividade.

17. ANPEC 94. Através da observação direta verificou-se que um consumidor fez as seguintes escolhas:

(i) Quando os preços (p1,p2) prevaleciam, o consumidor escolhia a cesta x1.(ii) Quando os preços (q1,q2) prevaleciam, o consumidor escolhia a cesta x2.As retas orçamentárias AB e CD embutem os preços que prevaleciam nas situações (i) e (ii), respectivamente. Sobre o comportamento observado podemos dizer que:

a) Por não ter acesso à função de utilidade do consumidor, nada se pode afirmar sobre a consistência das escolhas feitas.

b) Pode-se afirmar que o consumidor teria feito escolhas consistentes se as curvas de indiferença fossem côncavas em relação à origem.

c) Sabe-se que o custo da cesta x2 aos preços (p1,p2) é maior que o custo da mesma cesta aos preços (q1,q2).

d) Uma situação como esta não é usual posto que as linhas orçamentárias, em geral, não se cruzam.

Solução

a) Falso. Não é necessária a função de utilidade do consumidor para inferirmos a respeito da escolha do consumidor. Pelo gráfico, claramente ele viola o AfrPr, ou seja, suas preferências são inconsistentes com o comportamento de um consumidor maximizador.

b) Falso. Se as preferências fossem côncavas, teríamos soluções de canto, dado que estas são as cestas maximizadoras.c) Falso. Não se pode saber. Embora aos preços (q1, q2), a cesta X2 esteja dentro de seu conjunto orçamentário e aos preços (p1, p2) esteja sobre o conjunto orçamentário, o valor do orçamento é relativo aos preços vigentes.

d) Falso. Não há nada que impeça que as linhas orçamentárias se cruzarem, ao contrário das curvas de indiferença.

18. ANPEC 94. Três indivíduos participam de um comitê encarregado de apreciar os projetos A, B e C. Sabe-se que o símbolo < representa a relação “é pior que” e que as preferências dos indivíduos são as seguintes:

Indivíduo 1: A<B<C; Indivíduo 2: B<C<A; Indivíduo 3: C<A<BO processo decisório do comitê recomenda considerar as alternativas duas a duas, escolhendo o projeto vencedor por maioria simples. Nestas condições, pode-se afirmar que:

a) As preferências do comitê seriam completas.b) As preferências do comitê não seriam transitivas.c) O comitê poderia ser considerado um núcleo decisório típico contemplado

pela Teoria do Consumidor.d) O ordenamento dos projetos pelo comitê é idêntico às preferências do

indivíduo 1.

Solução

Como o comitê considera as alternativas duas a duas, suas escolhas são: B>A, A>C e C>B.

a) Verdadeiro. É possível compará-las duas a duas.b) Verdadeiro. A>B e C>B, então A>B, mas de acordo com a escolha B>Ac) Falso. Pois não respeita a transitividade, violando o AFOPR.d) Verdadeiro. Se B>A e C>B, então A<B, e por tanto A<B<C, tal e como foi a escolha do comitê.

x2

x1

Bem 2

Bem 1

A

C

B D

40


19. A tabela abaixo apresenta os preços em 1830, 1850, 1890 e 1913 para cereais, carne, leite e batatas na Suécia, coletados por Gunnar Myrdal da Universidade de Estocolmo. Estas quatro mercadorias representaram 2/3 do orçamento sueco para alimentação.

Preço em Kg / coroa 1830 1850 1890 1913

Cereais 0,14 0,14 0,16 0,19Carne 0,28 0,34 0,66 0,85Leite (l) 0,07 0,08 0,10 0,13Batatas 0,032 0,044 0,051 0,064

A tabela abaixo apresenta as cestas de consumo típicas da classe trabalhadora em 1850 e 1890.

Quantidades em Kg por ano 1850 1890

Cereais 165 220Carne 22 42Leite (l/a) 120 180Batatas 200 200

a) Complete a tabela abaixo, que relata o custo anual das cestas de 1850 e 1890 aos vários preços dos anos considerados.

Custo Cesta de 1850 Cesta de 1890Custo a Preços de 1830 44,1 61,6Custo a Preços de 1850Custo a Preços de 1890Custos a Preço de 1913

b) A cesta de 1890 é preferida à cesta de 1850? Por que?c) Calcule o índice de quantidade de Laspeyres da cesta de consumo de 1890, considerando o ano de 1850 como base.d) Idem para o índice de quantidade de Paaschee) Calcule o índice de preços Laspeyres para 1890, considerando o ano base de 1850.

Solução

Preços Quantidades

1830 1850 1890 1913 1850 1890

Cereais 0,14 0,14 0,16 0,19 165 220

carne 0,28 0,34 0,66 0,85 22 42

leite 0,07 0,08 0,1 0,13 120 180

batatas 0,032 0,044 0,051 0,064 200 200

Valor da cesta 1850 aos preços de

1830 1850 1890 1913

Cereais 23,1 23,1 26,4 31,35

carne 6,16 7,48 14,52 18,7

leite 8,4 9,6 12 15,6

batatas 6,4 8,8 10,2 12,8

Total 44,1 49,0 63,1 78,5

Valor da cesta 1890 aos preços de

1830 1850 1890 1913

Cereais 30,8 30,8 35,2 41,8

carne 11,76 14,28 27,72 35,7

leite 12,6 14,4 18 23,4

batatas 6,4 8,8 10,2 12,8

Total 61,6 68,3 91,1 113,7

a)Sumatórios ou valores agregados das cestas

Custo Cesta de 1850 Cesta de 1890

Preço 1830 44,1 61,6

Preço 1850 48,98 68,3

Preço 1890 63,12 91,1

Preço 1913 78,45 113,7

b) A cesta de 1890 é melhor porque aos mesmos preços (independentemente de qual seja o ano escolhido) tem um valor maior, ou seja, em 1890 poderia ter sido escolhida a cesta de 1850. Mas a escolhida foi a de 1890.

41


c)

d)

e)

20. Considere as seguintes observações feitas em dois períodos consecutivos sobre o comportamento de um indivíduo que gasta sua renda com uma cesta de mercadorias:

Despesa que teve no período inicial $ 4000,00Despesa que teve no período final $ 5600,00Despesa que teria com as quantidades iniciais aos preços finais $ 4480,00Despesa que teria com as quantidades finais aos preços iniciais $ 5600,00

a) Qual o índice de preços de Paasche?b) Qual o índice de quantidades de Laspeyres?c) Qual o índice de variação nominal da despesa do consumidor?d) Qual o índice de preços de Laspeyres?e) Qual o índice de quantidades de Paasche?f) O que se pode dizer sobre o nível de bem-estar do indivíduo de um período para outro? (explique em um gráfico com curvas de indiferença e o índice de quantum de Paasche )

Solução

Pb x Qb = 4.000Pt x Qt = 5.600Pt x Qb = 4.480Pb x Qt = 5.600

a) Pp = PtQt / PbQt = 5600 / 5600 = 1b) Lq = PbQt / PbQb = 5600 / 4000 = 1,4

c) M = PtQt / PbQb = 5600 / 4000 = 1,4d) Lp = PtQb / PbQb = 4480 / 4000 = 1,2e) Pq = PtQt / PtQb = 5600 / 4480 = 1,25f) Sendo Pq > 1 e PtQt>PtQb, então ele poderia ter escolhido a mesma cesta do período base, mas não escolheu, logo, ele está numa situação melhor no período atual.

21. Considere a matriz de quantidades e preços observados em dois períodos consecutivos para uma cesta de mercadorias compostas nos seguintes itens:

PERÍODO INICIAL PERÍODO FINAL Bens e serviços Po Qo Pt QtAlimentação 2,00 10,00 2,50 8,00Transporte 5,00 4,00 4,00 6,00Habitação 3,00 2,00 4,00 1,50Vestuário 4,00 3,00 5,00 2,50Educação 2,50 3,00 2,00 3,50Lazer 1,50 1,00 2,50 1,00

a) Qual o índice de preços de Paasche?b) Qual o índice de quantidades de Laspeyres?c) Qual o índice de variação nominal da despesa do consumidor?d) Qual o índice de preços de Laspeyres?e) Qual o índice de quantidades de Paasche?f) O que se pode dizer sobre o nível de bem-estar dos indivíduos de um

período para outro? (explique em um gráfico com curvas de indiferença e o índice de quantidades de Laspeyres).

Solução

∑p0q0 = 67,00∑p0q1 = 70,75 ∑p1q0 = 72,50∑p1q1 = 72,00

a) Pp = 72 / 70,75 = 1,02

b) Lq = 70,75 / 67 = 1,06

c) M = 72 / 67 = 1,07

42


d) Lp = 72,5 / 67 = 1,08

e) Pq = 72 / 72,5 = 0,99

f) No período base, a cesta consumida tinha valor inferior à do período atual, ou seja, a cesta do período atual não estava disponível. Desse modo, não podemos afirmar nada sobre o nível de bem-estar dos indivíduos de um período para o outro, dado que as cestas não são comparáveis.

IQL = = 1,06; > ; ou seja, 70,75 > 67,00

Qt (valor da cesta = 70,75)

Qo (valor da cesta = 67,00) P0 ou preços do ano base

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Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.Capítulos 7e 8. Tecnologia e Maximização de lucros

CAPITULOS 7 E 8TECNOLOGIA E MAXIMIZAÇÃO DE LUCRO

1. Diga como se comportam o formato e a posição das curvas de isoquantas envolvendo dois fatores nas seguintes situações:a) fatores perfeitamente substitutos;b) fatores combinados em proporções fixas, dado o estado da técnica;c) existência de retornas constantes, crescentes ou decrescentes de escala.

Solução

x2

a) f(x1,x2) = x1+x2 3 2

2 3 x1

b) f(x1,x2) = Min{ x1,x2} x2

x1

c) retornos constantes; a + b = 1 2f(x1,x2)=f(2x1,2x2) Retornos crescentes=a+b>1 tf(x1,x2)< f(tx1,tx2) Retornos decrescentes=a+b<1 tf(x1,x2)> f(tx1,tx2)

2. Determine o produto marginal e o produto médio da função Y = A K L(1-)

conhecida como função Cobb-Douglas, sendo 0< < 1. Demonstre que as funções associadas aos mesmos são decrescentes.

Solução

α+1-α = 1, logo trata-se de função de produção com rendimentos constantes de escala.PMGk=AL(1-)α Kα-1 PMGL=A Kα (1-α)L1-α-1 = A Kα (1-α)L-α

PMGk: como α -1<0, o valor de Kα-1 está no denominador. Assim, quando K aumenta, seu produto marginal decresce (mantendo constante L).PMGL: como –α < 0, o valor de Lα fica no denominador. Por tanto, quando L aumenta, seu produto marginal decresce (mantendo constante K).

Produto médio do fator K=

Produto médio do fator L=

Novamente, observa-se pelo sinal do associado a K e L nos seus produtos médios, que quando estes aumentam, tanto K como L decresce. Uma outra forma de demonstrar isto é calculando as suas derivadas (segunda ordem para produto marginal e derivada do produto médio) que deverão ser negativas.

3. Trace as isoquantas para as seguintes funções de produção e calcule o produto marginal do fator 1:

a) ;

b)

c)

Solução

a) Pmg1= x2

y = 1 = x11/2. x2

1/4 1

x2= 1/4

1 2 x1

Para valores específicos de x1 são obtidos os valores de x2. Experimente. b) PMG1 = 2y = 10 = 2x1+x2 x2

x1=5- x2/2

para 10 x1=5 x2 = 0x1= 0 x2 =10 8 x1=1 x2 = 8 6 x1=2 x2 = 6

44


1 2 5 x1

c) O produto marginal do fator 1 fator é zero, dado que qualquer aumento da quantidade de fator 1 não levaria a incrementos de produção se o outro fator permanecer constante. x2

4Y(x1;x2) = Min{x1,2x2}Y(5;4) = Min{5;8}=5 2,5Y(10;2,5) = Min{10;5}=5Y(5;2,5) = Min{5;5}=5 5 10 x1

4. Afirme se é verdadeiro ou falso, justificando sua resposta. Na função de produção

:

a) o fator 1 tem produto marginal decrescente;b) o fator 2 tem produto marginal crescente; c) os retornos de escala são decrescentes.

Solução

a) Verdadeiro.

PMG 1 = para qualquer valor de x1>0

A condição de segunda ordem de convexidade é que a derivada segunda (do produto marginal) deve ser < 0.

= (½). (-1/2) (x1) -3/2 (x2)2/3< 0 para qualquer valor de x1>0, o que demonstra

que o PMG do fator 1 é decrescente.

b) Falso.

PMG 2 = para qualquer valor de x1>0

A condição de segunda ordem de convexidade é que a derivada segunda (do produto marginal) deve ser < 0

= (2/3). (-1/3) (x2) -4/3. (x1)1/2 < 0 para qualquer valor de x1>0, o que demonstra

que o PMG do fator 2 é decrescente.

c) Falso.

>1 a soma dos coeficientes é maior do que 1, por tanto, a firma opera com

rendimentos crescentes a escala.

5. A função de produção , sendo a e b>0, tem que produtos marginais?

Determine a taxa marginal de substituição técnica? Em algum momento o produto marginal de algum dos fatores se torna negativo? Para que valores de a e b a função de produção terá retornos constantes de escala? Prove que as isoquantas dela provenientes são convexas em relação à origem.

Solução

Pmg1=ax1a-1x2

b

Pmg2=bx1ax2

b-1

TMST = . O produto marginal de x1 se torna negativo quando a<0

ou b<0, o que não pode acontecer nunca porque são parâmetros positivos.

Para a + b = 1 a função terá retornos constantes de escala.

À medida que aumentamos a quantidade do fator 1 e ajustamos o fator 2 para permanecermos na mesma isoquanta, a taxa marginal de substituição técnica diminui, ou seja, a diminuição da TMST significa que a inclinação de uma isoquanta tem de diminuir em valor absoluto à medida que nos movemos ao longo da isoquanta na direção do aumento de x1, e tem de aumentar à medida que nos movemos na direção do aumento de x2, o que significa que as isoquantas terão o mesmo formato convexo das curvas de indiferença bem-comportadas.

6. Para uma firma com uma função de produção Q(x,y) = x + y, os dois fatores x e y são substitutos perfeitos ? Por que?

45


Solução

Sim, pois a quantidade total produzida depende apenas da soma entre x e y. Mantendo constante o produto, se altero um fator tenho que alterar o outro numa proporção constante, que neste caso é 1 .

7. Que razões podem ser alinhadas para explicar que, no longo prazo, os rendimentos de escala não seriam constantes?

Solução

- Os rendimentos não seriam constantes no caso em que uma empresa tornar-se tão grande que não poderia operar de maneira efetiva, isso significa dizer que a empresa não tem rendimentos constantes de escala em todos os níveis de produção, dado que, devido a problemas de coordenação, ela pode entrar numa região de rendimentos decrescentes de escala;

- a empresa poderia tornar-se tão grande que dominaria totalmente o mercado de seu produto e pararia de agir competitivamente;

- na verdade as firmas só podem obter retornos constantes de escala no longo prazo. Se a firma obtiver rendimentos a escala para uma tecnologia dada, esta seria imitada, a produção da indústria iria aumentar o que levaria a uma redução de lucros que acabaria com os lucros. Todas as firmas operando com a mesma tecnologia é uma situação só compatível com rendimentos constantes a escala. Este efeito será analisado melhor no estudo do equilíbrio concorrencial do longo prazo.

8. Demonstre que na função de produção y = A [ x1 – b . (1-) x2 – b ] - v / b , onde y é o nível de produção e x1 e x2 são as dotações dos fatores, se o parâmetro “v” é maior do que 1 os rendimentos de escala são crescentes.Solução

Quando multiplicamos a produção por t (para t >1):ty(x1,x2)=t A [ x1 – b . (1-) x2 – b ] - v / b =tyAo multiplicarmos todos os insumos por t, teremos:y(tx1,tx2)=A [ (tx1) – b . (1-) (tx2) – b ] - v / b y (tx1,tx2)=A [ t– b (x1) – b . (1-) t– b (x2) – b ] - v / b y(tx1,tx2)=A [ t–2 b (x1) – b . (1-) (x2) – b ] - v / b y(tx1,tx2)=t–2 b(-v/b) A [ (x1) – b . (1-) (x2) – b ] - v / b

y(tx1,tx2)=t2v A [ (x1) – b . (1-) (x2) – b ] - v / b y(tx1,tx2)=t2v yRendimentos constantes de escala: y(tx1,tx2)=ty(x1,x2) Rendimentos crescentes de escala: y(tx1,tx2) > ty(x1,x2)Rendimentos decrescentes de escala: y(tx1,tx2) < ty(x1,x2)Para v >0,5:t2vy > ty (rendimentos crescentes de escala)Logo se v >1, os rendimentos de escala são crescentes.

9. Por que no curto prazo algumas firmas poderão operar com prejuízo?

Solução

Porque no curto prazo alguns fatores tem de ser utilizados em quantidades predeterminadas, sendo assim mesmo que a produção seja zero , vão existir custos fixos.

10. O que distingue os fatores quase-fixos dos fatores fixos?

Solução

Os fatores quase fixos são fatores de produção que têm uma quantidade fixa, independente do nível de produção da empresa, desde que a produção seja positiva. Já os fatores fixos existem mesmo se a produção da empresa for zero.

11. A função de produção de uma firma é dada por Q = LK onde Q é o nível de produção, e L e K representam as quantidades dos dois fatores adquiridos para viabilizar a produção. Calcule a taxa marginal de substituição técnica entre os fatores quando as quantidades contratadas de fatores forem iguais a L = 2 e K = 16. Nestas condições, se o preço do fator trabalho for pL= 10, qual será o preço do fator capital?

Solução

TMSTLK=

K=16 L=2 w=10

46


PmgL.p=w Pmgk.p=rK.p=w L.p=r

16p=10 2. =r

p= r=

12. Supondo uma função de produção representada pela tabela abaixo, responda aos itens que se seguem:

Terra (fator fixo)

Mão-de-Obra (fator variável)

Produção Total

20 1 1020 2 3020 3 6020 4 8020 5 9520 6 10220 7 10520 8 10520 9 9920 10 90

a) Qual a produtividade média da mão de obra quando a produção for 60?b) Qual a produtividade marginal da mão de obra quando a produção for 102?c) Quando a produtividade marginal da mão de obra será igual a zero?d) Qual o nível de produção para o qual a produtividade média iguala a marginal?

Solução

a) Quando y = 60 x1=3

PME =

b) Y = 102; PMG= =

c) PMG = 0 quando um variação no insumo não causar uma variação no produto. Ou seja, quando x1 varia de 7 para 8.

d) PMG = PME = 20 para y = 80

13. Suponha uma situação em que os mercados de produto e de fatores são competitivos. O preço do bem produzido pela empresa é R$ 4,00 os preços do insumo variável e fixo são R$ 1,00. A quantidade do insumo fixo é 2. A função de

produção é . Calcule a quantidade de insumo utilizada, a quantidade de

produto vendido e o nível de lucros obtidos. No exercício acima, o que ocorreria se o preço do insumo 1 fosse elevado para R$ 2,00? Demonstre graficamente.

Solução

PMG1= ; p.PMG1 = w1; .p = w1;

x1 = 42 =16y =x1

1/2x2 =

Se w1=2; .p = w1; .4 = 2; x1 = 22 = 4

x1+x2 = 4 + 2 = 6y =

intercepto = ; intercepto 1= ; Intercepto 2 =

y inclinação=1/2

8 y=f(x1,x2)=8

4 2

X1

47


14. Uma importante fábrica de latas de cerveja de alumínio produz uma determinada quantidade do produto que pode ser definida por Q = 10.000L0,5, onde L representa a quantidade de horas de trabalho. Suponha que a empresa opera em um ambiente competitivo e o preço unitário de cada lata é de R$ 0,01. Na hipótese do salário dos trabalhadores ser igual a R$ 2,00/hora, qual é o número de horas de trabalho que a empresa contratará?

Solução

PMGL = ; p. PMGL = w; ; L=252 = 625 horas

15. Explique sinteticamente o significado dos seguintes conceitos:a) Axioma Fraco da Maximização do Lucro;b) Produtividade marginal de um fator;c) “Lei” dos rendimentos decrescentes”.

Solução

a) Os lucros que a empresa obtém aos preços do período t têm de ser maiores do que se ela utiliza-se o plano do período s e vice-versa. Se qualquer uma dessas desigualdades fosse violada a empresa não poderia ter sido maximizadora de lucros. A satisfação dessas duas desigualdades constitui o axioma fraco de maximização de lucro.

b) O quanto vai variar a produção se aumentar a quantidade de um dos insumos em uma unidade.

c) O produto marginal de um fator diminui a medida que aumentamos mais e mais desse fator. Isso é chamado Lei do produto marginal decrescente.

16. Discuta as condições genéricas que devem ser satisfeitas para que ocorra a maximização do lucro da firma.

Solução

O valor do produto marginal de cada fator que é livre para variar tem de ser igual ao preço do fator. A lógica da maximização de lucros implica que a função oferta da empresa competitiva tem de ser uma função crescente do preço do produto e a

função demanda de cada fator tem de ser uma função decrescente de seu preço. Em síntese maximizar lucros significa maximizar receita e minimizar custos.

17. Suponha que a função de produção estimada do produto X é a seguinte:

Q = K 2 (2L – K) L2

Defina a taxa TMSTK,L num ponto e calcule os valores que assume para (L = 8,45; K = 11) e (L = 30; K = 40).

Solução

PMGK=

Para L = 8,45 e K = 11:

Para L = 30 e K = 40:

18. As funções de produção relacionadas a seguir apresentam rendimentos decrescentes, constantes ou crescentes de escala?

a) Q = 0,5KLb) Q = 2K + 3Lc) Y = 3KLd) Y = 2 K 1/4 L1/2

e) Y = 0,5 K 1/2 L3/4

f) f (K,L) = (K+L)2

g) f (K,L) = 2K2 + 3L2

h) f (K,L) = (KL) 0,5

i) f(K,L) = 3K/L + L2

j) f(K,L) = KL –K-1/2

48


Solução

a) 0,5K(k) * L(k) = 0,5 K L . k2 > Q*k = (0,5 K L). k para todo k > 0, ou seja, há rendimentos crescentes a escala.

b) 2Kk + 3Lk = k (2K + 3L) = k Q, ou seja, há rendimentos constantes a escala.

c) 3K(k) * L(k) = 3KL * k2 > kQ = 3KL . k para todo k > 0, ou seja, há rendimentos crescentes a escala.

d) 2 (kK)1/4 * (kL)1/2 = 2 K 1/4 L 1/2 * k ½ + ¼ = Q k ¾ < kQ, logo ha rendimentos decrescentes a escala.

e) 2 (kK)1/4 * (kL)3/4 = 2 K 1/4 L 3/4 * k 5/4 = Q k 5/4 > k Q, logo há rendimentos crescentes a escala.

f) K2 k2 + 2 KL (k2) + Lk2 = (K+L)2 k2 = Q k2 > Qk, logo há rendimentos crescentes a escala.

g) 2K2k2 + 3L2k2 = (2K2 + 3L2) k2 = Q k2 > Qk, logo há rendimentos crescentes a escala.

h) = (KL) 0,5 = K 0,5 k 0,5 L 0,5 k 0,5 = (KL) 0,5 k = Qk, logo há rendimentos constantes a escala.

i)

Retornos crescentes

Retornos constantes

Retornos decrescentes

Neste caso, há diferentes tipos de rendimentos de escala segundo o nível de produção.

>/</=0

Então:Rendimentos crescentes

19. Por que a hipótese de produto marginal decrescente não pode ser aplicada ao longo prazo?

Solução

Porque no longo prazo todos os fatores de produção são variáveis. Sendo assim, a lei de rendimentos marginais decrescentes não acontece.

20. Suponha que um fabricante de bicicletas esteja produzindo no CP e que o equipamento seja permanente. O fabricante sabe que à medida que o número de funcionários utilizados no processo produtivo aumenta de 1 para 7, o número de bicicletas produzidas varia da seguinte forma: 10, 17, 22, 25, 26, 25, 23.

a) Calcule o produto marginal e o produto médio da mão de obra para esta função de produção.

49


b) Esta função de produção apresenta rendimentos crescentes, decrescentes ou constantes de escala? Explique o porque

c) Explique, de forma intuitiva, qual poderia ser a razão de o produto marginal se tornar negativo.

Solução

a)

Mão-de-obra Produção Total PMg Pme1 10 10 102 17 7 8,53 22 5 7,334 25 3 6,255 26 1 5,26 25 -1 4,177 23 -2 3,29

b) Rendimentos de escala ocorrem quando aumentamos a quantidade de todos os insumos da função de produção, e o caso em questão refere-se ao curto prazo, em que há algum fator fixo, o equipamento, logo não se pode falar em rendimentos de escala.

c) Ao aumentar o nº de funcionários mantendo fixo o equipamento, um funcionário a mais dificultará o trabalho dos demais, proporcionando um PMg negativo.

21. Sobre a teoria da firma podemos afirmar que:a) Uma forma de descrever as restrições tecnológicas da firma é a través das

isoquantas.b) Geralmente, assume-se que as isoquantas são côncavas e monotônicas.c) A TMST mede a inclinação da isoquanta. Em geral, assumimos que a

TMST cresce quando nos movemos ao longo da isoquanta, aumentando a quantidade do insumo que está sendo representado no eixo X.

d) Se uma firma apresenta retornos constantes de escala, então, no longo prazo, seu lucro será positivo.

e) Se p*PMG > w, então a firma aumentará seus lucros diminuindo a quantidade utilizada de insumo.

Solução

a) Verdadeiro.b) Falso. A monotonicidade (se aumentarmos a quantidade de pelo menos um

dos insumos, deverá ser possível produzir pelo menos a mesma quantidade produzida originalmente) e a convexidade (se tivermos duas formas de produzir y unidades de produto, (x1,x2) e (z1,z2), a média ponderada dessas duas formas produzirá, pelo menos, y unidades do produto) são propriedades das isoquantas.

c) Falso. A inclinação de uma isoquanta tem de diminuir em valor absoluto à medida que há um movimento ao longo da isoquanta na direção do aumento do x – pressuposto a TMST decrescente.

d) Falso. Seu lucro será zero.e) Falso. A firma aumentará suas receitas aumentando a quantidade utilizada

de x, uma vez que o valor do produto marginal do fator excede o seu custo.

22. Responda:

a) O que é uma função de produção?b) Como uma função de produção de longo prazo difere de uma função de

produção no curto prazo?c) O que é uma isoquanta?d) O que nos diz a “Lei dos Rendimentos Decrescentes”?

Solução

a) Uma função que relaciona insumos com produto.b) No longo prazo todos os insumos são variáveis. Não existem mais

rendimentos marginais decrescentes e a firma se defronta com produção crescente, constante ou decrescente a escala.

c) Uma função que representa as infinitas formas em que podem combinar-se os insumos para obter um determinado nível de produção.

d) Quando um fator é fixo, o incremento de uso do fator variável levará a incrementos de produção cada vez menores, podendo ser inclusive negativos (a produção pode reduzir-se se, a partir de um determinado nível de produção, continua-se aumentando o insumo variável).

23. Uma firma utiliza dois insumos no seu processo de produção: x e y. Se a taxa marginal de substituição técnica entre os dois insumos é –2 e a firma deseja produzir o mesmo montante de produto mas com menos do insumo x, qual a mudança que deve fazer na quantidade do insumo y?

50


Solução

Para continuar a produzir o mesmo montante, para cada unidade a menos do insumo x, será necessário duas a mais do insumo y.

24. Sobre a teoria da produção podemos afirmar que:(a) A função de produção descreve a produção máxima que uma firma pode obter

para cada combinação de insumos e custo.(b) A isoquanta é uma curva que representa as combinações de insumos que

representam o mesmo custo de produção.(c) De acordo com a “Lei dos rendimentos decrescentes, quando um ou mais

insumos são fixos, o insumo variável, provavelmente, apresentará um produto marginal crescente a medida que o nível de produção aumentar.

(d) A função de produção de uma firma pode ser representada por uma série de isoquantas associadas a diferentes níveis de produção.

Solução

a) Verdadeiro.b) Falso. São combinações de insumos que representam o mesmo nível de

produção.c) Falso. O insumo variável apresentará um produto marginal decrescente à

medida que a produção aumentar.d) Verdadeiro. No caso de dois insumos variáveis.

51

Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.Capítulo 9. Minimização de custos

CAPITULO 9MINIMIZAÇÃO DE CUSTOS

1. Um bem pode ser produzido utilizando-se o insumo a ou o insumo b, sendo que, na situação retratada: Pmg (a) = 3; pa = $1; Pmg (b) = 6; pb = $4. A firma está utilizando as combinações de a e b que minimizam custos? Se não estiver, o que ela deveria fazer?

Solução

Pmg(a)=3; pa=1; Pmg(b)=6; pb=4

Não esta minimizando custo, para minimizar custos seria preciso aumentar a quantidade do insumo a e diminuir a quantidade do insumo b, para ficar no mesmo

nível de produção na proporção de .

2. A função de produção de um determinado produto é dada pela expressão Y = 100 KL. Sendo o custo do capital $ 120 por dia e o da mão-de-obra $30 por dia, diga qual será o custo mínimo de produção para 10.000 unidades de produto, especificando como ele se reparte na aquisição dos dois fatores. Em seguida, considere que, no curto prazo, a quantidade utilizada do fator capital é dada (constante) e igual a 2. Identifique o custo total nesta nova situação, especificando como ele se reparte entre os dois fatores e compare o resultado com o da situação anterior.

Solução

Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores. Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de produção.

Procedimento A:y= 100KL r= 120 w=30 y=10000.C=Lw + Kr

PmgK=100L PmgL=100K

L=4K Substituindo em y=100KL

10000= 100K(4K) 4K2=100 K= K=5L=4(5)=20 C=20.30+5.120=1200Curto Prazo; K=210000=100KL 10000=100(2)L L=50C=50.30+120.2=1740

Como agora o produtor só pode variar um dos fatores de produção, ele vai ter custos maiores para o mesmo nível de produção.

Procedimento B:

Y=100KL r=120 w=30 y=10000

10000=100KL K= L=

C=wL+ .r C=30L+12000L-1

30L2=12000 L2=400 L=20

C= .w+ K.r C=3000K-1+120K

120K2=3000 K2=25 K=5

C=L.w+K.r C=20.30+5.120=1200

Curto PrazoK=2

L= = C=L.w+K.r C=50.30+2.120=1740

3. Uma firma tem função de produção dada por f(x1, x2) = x1 + 2x2 . Se o preço do fator 1 é w1 = 1 e do fator 2 é w2 = 3, qual será a combinação de x1 e x2 capaz de minimizar o custo de produção para que a quantidade de produto seja f(x1, x2) = 20?

Solução

52


Como os dois fatores são substitutos perfeitos a empresa utilizará o fator mais barato, mas TTS = -1/2, ou seja x2 =1/2x1

- Se só utilizar o fator x1 na produção, então:y = x1; y =20; x1 = 20- Se só utilizar o fator x2 na produção, então:y = 2x2; y =20; x2 = 10

c(w1,w2,y) = min.{w1, 1/2w2}y c(1;3;20) = min.{1, 1,5}20 = min.{20, 30}=20A combinação que minimizará o custo é (x1,x2) = (20;0).

4. A função de produção de uma empresa é dada por Q = 2K 0,5L0,5, onde Q é o nível de produção e K e L são as quantidades de dois insumos. Tais insumos são comprados competitivamente aos preços r = 8 e w = 2, respectivamente para K e L. Calcule a quantidade de L que minimiza os custos de se produzir Q=64.

Solução

Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores. Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de produção.

Procedimento A:

Q=2K0,5L0,5 r=8 w=2 Q=64

PmgK= PmgL=

=

L=4K K = Q=2K0,5L0,5

64=2 64=2. L=64

Procedimento B:

Q=2K0,5L0,5 r=8 w=2 Q=64

32=2K0,5L0,5 1024=K.L K= C=L.w+K.r

C=2L+ .8 =0 2L2=8.1024

L2=4096 L=64

5. Uma firma possui a seguinte função de produção f(x1,x2) = x11/3 x2

1/3. Se a firma vai produzir y unidades de produto ao menor custo possível, quais as expressões que representam as quantidades dos insumo x1 e x2 utilizadas ? Qual a expressão que representa o custo que a firma possui ao produzir y unidades do produto aos preços dos fatores w1 e w2?

Solução

f(x1,x2)= y3=x1x2 x1=

C=x1w1+x2w2 C= w1+x2w2

x2= C= x1w1+ w2

x12.w1=y3.w2 x1= x1=y

C= x1w1+x2w2

C=w1 y +w2.y C=y

C=2y

53


6. Seja a função de produção f (x) = x2, onde x é a quantidade do insumo utilizado.Esta função apresenta retornos crescentes, decrescentes ou constantes de escala? Se o preço do insumo é w por unidade, qual é o custo de se produzir y unidades com esta tecnologia? Qual é o custo médio? Qual é a relação existente entre retornos de escala da função produção e o custo médio?

Solução

f(x)=x2. Retornos crescentes de escala, se varia x de 2 para 4 o y vai variar de 4 para 16, o insumo foi dobrado e o produto mais que dobrou.

Custo total =wx; custo médio=

Onde os retornos de escala da função produção são crescentes o custo médio é decrescente, onde são constantes o custo médio é constante, e onde são decrescentes o custo médio é decrescente.

7. Uma empresa sub-contratada do setor automobilístico deve produzir 100 unidades de um determinado componente a cada mês, tendo suas possibilidades de produção definidas pela função; Q = L3/5K1/5. O salário pago aos trabalhadores é de R$ 4 por hora e o custo do fator capital é de R$ 5 por hora. Com base nestas informações, identifique o tipo de função de produção (em termos de rendimentos de escala) e a relação entre L e K que serão efetivamente adquiridos. Em seguida, identifique o valor de K e L que será utilizado de maneira a minimizar o custo total da produção de 100 unidades do componente.

Solução

Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores.

y=100 Q= w=4 r=5

Rendimentos de escala= rendimentos decrescentes.

PmgL= PmgK=

L= y=100 Q=

100= Substituindo temos: 100=

K=117,3 e substituindo em L= temos L=440.

Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de produção.

y=100 Q= w=4 r=5

K= L= C=wL+Kr

C=w.L+ r

4L4=15(100)5 L=

C=wL+Kr C=w +Kr

K=

8. Dada uma função de produção Y = 10 k 1/4 L3/4 , onde Y é a quantidade do produto obtido, e K e L as quantidades dos fatores capital e mão de obra. Sendo dados r e w, respectivamente, os preços dos fatores capital e trabalho, determine a relação entre as quantidades dos dois fatores que serão efetivamente adquiridos. Determine também o nível de produção a ser realizado e o custo total de longo prazo quando L =9, sendo r = 27 e w = 256.

Solução

Procedimento A: iguala as produtividades marginais a relação de preço dos fatores:

54


y=10 PmgK= PmgL=

L= K=

w=256 r=27 L=9

Y=10. Y4=104 Y4=104

Y=10L Y=10.9

C=Kr+Lw=

Procedimento B: minimizo a função de custos com relação a restrição da função de produção.

y=10 y4=(10)4KL3 K= L=

C=Lw+r =w L4=

Y4= y=10L

9. Uma firma tem a seguinte função de produção Q(K,L) = 2(KL)1/2 e está utilizando 8 unidades de trabalho (L) e 2 unidades de capital (K). Se esta é a composição ótima dos insumos e o custo total é igual a R$ 16, quais são os preços do trabalho e do capital ?

Solução

Q(K,L)=2 L=8 K=2 C=16

PmgK= PmgL=

4= r=4w=4.1=4

C=Lw + KrC=Lw+K4w16=8w+2.4w w=1

10. Touchie MacFeelie publica histórias em quadrinhos. Os únicos insumos de que necessita são velhas piadas e cartunistas. Sua função de produção é:

Q = 0,1 J1/2L3/4,onde J é o número utilizado de velhas piadas, L o número de horas de trabalho dos cartunistas, sendo J e L os insumos e Q o número produzido de revistas em quadrinhos.

(a) Este processo de produção indica rendimentos de escala crescentes, decrescentes ou constantes? Explique sua resposta.

(b) Se for 100 o número de velhas piadas utilizadas, escreva a expressão do produto marginal do trabalho dos cartunistas como uma função de L

(c) O produto marginal do trabalho é crescente ou decrescente à medida que a quantidade de trabalho aumenta?

Solução

(a)

Rendimentos de escala crescentes, se dobrarmos a quantidade dos insumos, a produção mais que duplicará (t = 2, 25/4Q > 2Q , 2,38Q>2Q).

(b)

55


(c) PMgL é decrescente.

11. Touchie pede a seu irmão, Sir Francis MacFeelie, que estude e analise o quadro de longo prazo. Sir Francis, que já havia se detido com grande atenção no apêndice ao Capítulo 19 em nosso texto, preparou o seguinte relatório.a) Se todos os insumos forem variáveis e se as velhas piadas custam

US$ 1 cada uma e o trabalho dos cartunistas custa US$ 2 por hora, a maneira mais barata de produzir exatamente uma revista em quadrinhos é utilizar _____ piadas e _____ horas de trabalho. (Piadas fracionadas são aceitáveis.).

b) Isto custaria __________ dólares.c) Dada a nossa função de produção, as proporções de utilização de

piadas e horas de trabalho da soluções mais barata se mantêm a mesma, não importa quantas revistas em quadrinhos nós imprimimos. Mas, quando dobramos a quantidade de ambos os insumos, o número produzido de revistas em quadrinhos se multiplica por _____________________.

Solução

a)

Minimização de custos:

Para a produção de uma revista (Q = 1):

b) c(w1,w2,y) = Jw1 + Lw2

c(2;1;1) =3,26*2 + 9,78*1= 16,3c) f(tL,tK) = t 5/4Q

t = 2f(2L,2K) = 2 5/4Q =2,38 QResp.: 2,38

12. Assuma que uma firma produz 90 unidades de determinado produto utilizando 9 unidades do fator L e 9 unidades do fator K. As possibilidades tecnológicas da produção podem ser expressas pela função de produção Q = 10 L1/2K1/2 . A partir destas informações, responda aos seguintes itens: a) Se o preço de L é $ 8 e o preço de K é 16, a combinação de 9 unidades de L com

9 unidades de K é a maneira mais eficiente de produzir 90 unidades de produto? Justifique sua resposta.

b) Qual é a combinação dos preço de fatores que torna a combinação de insumos anteriormente mencionada uma combinação eficiente?

c) Assumindo que o preço de L é $ 1 e que o preço de K é $2, identifique o menor custo de produção associado à produção de 400 unidades de produto.

d) Identifique uma expressão para o custo total (CT = f(Q)) a partir dos dados do problema.

Solução

y=90 L=9 K=9 Q=10

a)PmgK=5 PmgL=5

nao é eficiente.

56


b) w=r

c)w=1 r=2 y=400 Q(K,L)=10

L=2K

Substituindo na função produção:

400=2 400=10K K=

e) Q=10 Q2=(10)2LK K= L=

C=Lw+Kr C=w +Kr

K2= K= Denominador elevado ao quadrado na derivada (100

K)2

Repetindo o mesmo procedimento para L achamos L=

CT=f(q) CT=w. +r. CT= CT=

13. Uma firma tem função de produção . Os preços unitários

dos insumos são . Achar as funções de custos de longo e curtos

prazos (se são constantes e iguais a 1).

Solução

No curto prazo:

este é o mínimo do fator x1 para produzir cada unidade de produto, para x2

= 1. Substituindo na função de custos:

No longo prazo:

Substituindo x2 na função de custos:

Minimização de custos:

57


Substituindo x1 e x2 na função de custos, temos:

Para:

14. Admita que uma função de produção de determinada firma pode ser representada por Q = LK. Suponha que o custo total associado à contratação dos dois fatores é de dez mil reais mensais. O preço unitário do fator trabalho é quinhentos reais e o do fator capital mil reais. A fim de maximizar os seus resultados, quantas unidades ela contratará de cada fator?

Solução

Q=L.K C=10000 w=500 r=100010000=500L+1000K

20=L+2K L=2K

20=2K+2K K=5 L=10

15. Seja a função de produção f(K,L) = 10K2 + L2, onde L é um insumo fixo. O preço do produto foi normalizado em 1,00 e o preço do capital (K) é r.

a) Ache a função de demanda por fator, maximizando o lucro dessa firma.b) Obtenha a função lucro.c) Mostre que ao derivar a função lucro encontrada no item b com respeito a r,

obtemos a função de demanda pelo insumo K obtida no item a.

Solução

a)

; função de demanda do fator K

b)

c)

16- Suponha a seguinte função de produção: Q = 100 KL. Sendo o custo do capital R$ 120,00 por dia, e o da mão-de-obra de R$ 30,00 por dia, qual é o custo mínimo de produção para 1.000 unidades de produto?

Solução

Procedimento A:y= 100KL r= 120 w=30 y=1000C=Lw + Kr

PmgK=100L PmgL=100K

L=4K Substituindo em y=100KL

1000= 100K(4K) 4K2=10 K= K=1,58

L=4( )=6,32

C=120 +30*4 =240 =379,2

Procedimento B:

58


Y=100KL r=120 w=30 y=1000

1000=100KL K= L=

C=wL+ .r C=30L+1200L-1

30L2=1200 L2=40 L=6,32

C= .w+ K.r C=300K-1+120K

120K2=300 K2=2,5 K=1,58

C=L.w+K.r

C=120*1,58+30*6,32=379,2

59

Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.Capítulo 10. Curvas de custo

CAPITULO 10.CURVAS DE CUSTO

1. Uma firma tem a função de custo total C (y) = 100 + 10 y. Achar as equações para suas várias curvas de custo.

Solução

C(y)= 100 + 10y

CMg= C’(y)= 10Cme= 100 + 10y = 100 + 10 Y y CFMe= 100 YCF= 100CV= 10YCVMe=10=CMg

2. O Sr. Otto Carr, dono da Otto´s Autos, vende carros. Otto compra carros por US$ c cada um e não tem quaisquer outros custos.

(a) Qual é o seu custo total quando ele vende 10 carros? (b) E se ele vende 20 carros?(c) Enuncie a equação dos custos totais da Otto´s, admitindo que o Sr. Otto

venda y carros. (d) Qual é a função de custo médio da Otto´s ?.(e) Para cada carro adicional que o Sr. Otto vende, de quanto aumenta seu

custo? (f) Enuncie a função de custo marginal da Otto`s (g) No gráfico abaixo trace as curvas de custo médio e marginal da Otto´s se c

= 20.

CM, CMg

Y

Solução

a) C(y)= cY , onde: C(10)= 10cb) C(20)= 20cc) C(y)= Ycd) CMe= Yc = c Ye) Em c.f) CMg= C’(Y)= cg)

CMe CMg

20 CMe=CMg

Y

3. Suponha que o Sr. Otto tenha que pagar US$ b por terríveis comerciais de televisão. (a) Qual a nova curva de custo total da Otto´s(b) Qual a nova curva de custo médio(c) Qual a nova curva de custo marginal(d) Se b = US$ 100, utilize tinta vermelha para traçar a curva de custo

médio da Otto´s no gráfico acima.

Solução

a) C(Y)= Yc + bb) Cme= c + b/yc) CMg= cd) Cme(10)=30; Cme(20)=25;Cme(30)=23; Cme(40)=22.5

40

30

20

10

60


4. O irmão do Sr. Otto, Dent Carr, está no negócio de mecânica de automóveis. Dent, recentemente, parou para calcular suas condições de custo. Chegou à conclusão que o custo total de conserto de s caros é CT (s) = 2s2 + 10. Acabou, porém, não terminando seu trabalho e é aí que você entra em cena. Por favor, complete o seguinte:

(a) Custos Variáveis Totais de Dent:(b) Custos Fixos Totais(c) Custos Variáveis Médios(d) Custos Fixos Médios(e) Custos Marginais

Solução

a) CVT(s)= 2s²b) CFT(s)=10c) CVMe(s)=2s

d) CFMe(s)= 10/se) CMg(s)= 4s

5. Um terceiro irmão, Rex Carr, possui um ferro velho. Rex pode usar apenas dois métodos para destruir carros. O primeiro implica a aquisição de um esmagador hidráulico de carros que custa US$ 200 por ano na compra e, depois, US$ 1 por cada carro esmagado até o desaparecimento. Já o segundo método implica a aquisição de uma pá que terá a duração de um ano e custa US$ 10, além de pagar ao último dos irmãos Carr, de nome Scoop, para enterrar os carros a um custo de US$ 5 cada um.

(a) Escreva as funções de custo total para os dois métodos, onde y é a produção por ano (CT1 (y); CT2 (y)).

(b) Calcule a função de custo médio e a função de custo marginal para o primeiro e para o segundo método respectivamente.

(c) Se Rex arrebenta 40 carros por ano, qual método deveria usar? (d) Se Rex arrebenta 50 carros por ano, qual método deveria usar?(e) Qual é o número mínimo de carros por ano a partir do qual vale a pena ele

adquirir o esmagador hidráulico?

Solução

a) Método 1: CT(y) = Y + 200Método 2: CT(y)= 5Y + 10

b) CMe1: 1 + 200/Y CMg1: 1CMe2: 5 + 10/Y CMg2: 5

c) CMe1(40)= 1+ 200/40= 6 CMe2(40)= 5+ 10/40= 5.25 , logo o método 2 é preferido.

d) Cme1(50)= 1 + 200/50= 5 Cme2(50)= 5 + 10/50= 5.2, logo o método 1 é preferido.

e) Iguala as funções CMe1=CMe2

1 + 200/Y =5 +10/Y 4y > 190 y> 47,5

6. Mary Magnolia quer abrir uma loja de flores, com o nome de The Petal Pusher, em um novo shopping. Ela tem a opção de três tamanhos diferentes de loja: 200 pés quadrados (N.T. – Um pé quadrado é uma medida de superfície próxima a 1/10 de metro quadrado.), 500 pés quadrados e 1000 pés quadrados. O aluguel mensal será de US$ 1 por pé quadrado. Mary estima que se ela tiver F pés quadrados de espaço e vender y buquês por mês, seus custos variáveis serão cv (y) = y2 / F por mês.

(a) Se ela tiver 200 pés quadrados de espaço comercial, escreva sua função de custo marginal e sua função de custo médio.

(b) Qual é a quantidade de produto que minimiza o seu custo médio?(c) E, com este nível de produção, de quanto é o custo médio de Mary

Magnolia?

61


Solução

CT= Y²/200 + 200

a) CMg(y) = C’(y)= 2 y = y/100 200

b) Cme(y)= y ² /200 + 200/Y= y/200 +200/Y Y Y= 200 Buquês.c) 2

7. Se Mary Magnolia tiver 500 pés quadrados de espaço comercial, escreva sua função de custo marginal e sua função de custo médio.

(a) Qual é a quantidade de produto que minimiza o seu custo médio? (b) Com este nível de produção, de quanto é o custo médio de Mary Magnolia?

Solução

CT= Y²/500 + 500CMg(y) = C’(y)= 2y/500= y/250

Cme(y)= Y/500 + 500/y=

a) Cmg(y) =Cme(y)

b) Cme(500)=2

8. Se ela tiver 1000 pés quadrados de espaço comercial, escreva sua função de custo marginal e sua função de custo médio.

(a) Qual é a quantidade de produto que minimiza o seu custo médio?(b) Com este nível de produção, de quanto é o custo médio de Mary Magnolia?

Solução

CT= Y²/1000 + 1000

CMg(y) = C’(y)= 2y/1000= y/500

Cme(y)= Y/1000 + 1000/y=

a) Cmg(y) =Cme(y)

b) Cme(1000)=2

9. Use tinta vermelha para indicar a curva de custo médio de Mary e sua curva de custo marginal caso ela tenha 200 pés quadrados de espaço comercial. Use tinta azul para indicar a curva de custo médio de Mary e sua curva de custo marginal caso ela tenha 500 pés quadrados de espaço comercial. E use tinta preta para indicar a curva de custo médio de Mary e sua curva de custo marginal caso ela tenha 1000 pés quadrados de espaço comercial. Chame de CM estas curvas de custo médio e de CMg as de custo marginal.

Solução

CMe

200

200 500 1000 y

Use um marcador amarelo para mostrar a curva de custo médio de longo prazo de Mary e sua curva de custo marginal de longo prazo no gráfico. Chame estas curvas de CMLP e CMgLP.

Para tamanhos discretos de planta, a curva de custos médios de longo prazo é a envolvente para cada tamanho discreto de planta.

62


CMe

200

Y

10. O irascível gerente do negócio de Touchie, o Sr. Gander MacGrope, anuncia que paga US$ 1 por cada velha piada e que a taxa de salário (hora trabalhada) correspondente aos cartunistas é US$ 2.

Q= 0.1J½. L¾(a) Suponha que, no curto prazo, Touchie tenha que trabalhar com

exatamente 100 velhas piadas (pelas quais ele paga US$ 1 cada uma), mas que possa contratar tanto trabalho dos cartunistas quanto queira. Quantas horas de trabalho ele teria que contratar para produzir Q revistas em quadrinhos?

(b) Enuncie o custo total de curto prazo de Touchie como uma função de sua quantidade produzida.

(c) Qual sua função de custo marginal de curto prazo?(d) Qual sua função de custo médio de curto prazo?

Solução

a)

b)

c)

d)

11. Considere a função de custo c(y) = 4y2 + 16.(a) Qual é função de custo médio?(b) Qual é a função de custo marginal?

(c) Qual o nível de produção que gera o menor custo médio de produção?(d) Qual é a função de custo variável médio?(e) Em que nível de produção o custo variável médio é igual ao custo marginal?

Solução

a)

b)c)

; ;

12. Desenhe o gráfico das seguintes funções de curto-prazo: custo total, custo variável, custo fixo, custo médio total, custo variável médio e custo marginal da função de produção Q = 3KL, onde K é fixo, igual a 2 unidades e representa a quantidade de capital, r = 3 e w = 2, com r indicando a remuneração do capital e w o custo do trabalho.

Solução

K = 2, então Q = 6L, L = Q/6 (1)

(2)

Como , então substituiremos (1) em (2):

63


Q CT CV CF Cme CVMe CMg0 6,00 0,00 6,00 - 0,33 0,331 6,33 0,33 6,00 6,33 0,33 0,332 6,67 0,67 6,00 3,33 0,33 0,333 7,00 1,00 6,00 2,33 0,33 0,334 7,33 1,33 6,00 1,83 0,33 0,33

13. Dada a função de produção y = 10 . x10,25 . x2

0,25 . x3 0,5 e conhecendo-se

os preços dos fatores como w1 = 2 e w2 = w3 = 4 , admitindo que o

fator x3 seja fixo em 9, determine as expressões das funções de custo abaixo ,

em relação ao nível de produção (y).a) Custo totalb) Custo Médioc) Custo Unitário Variáveld) Custo Marginal

Solução

14. Marque V ou F, justificando sua opção. Com relação às curvas de custo sabe-se que:

a) A curva de custo marginal sempre fica por baixo da curva de custo médiob) A área abaixo da curva de custo marginal é igual aos custos variáveisc) Custo marginal de curto prazo iguala-se ao custo marginal de longo prazo apenas

no ponto em que o custo médio de curto prazo é mínimod) Custo marginal iguala-se ao custo médio no ponto em que o custo médio é

mínimo.e) A curva de custo médio de longo prazo é o envelope dos pontos de mínimo do

custo médio de curto prazo.

Solução

64


a)F. A curva de custo marginal tem de sirtuar-se abaixo da curva de custo variável médio, à esquerda do seu ponto de mínimo e acima dele , à direita.

B)V. Uma vez que o custo marginal mede o custo de produzir cada unidade adicional de um bem, ao somarmos o custo de produzir cada unidade adicional de um bem, obteremos o custo total da produção - com exceção dos custos fixos.

C)V. O custo médio de curto prazo é mínimo no ponto em que a quantidade do fator fixo é ótima, ou seja , é igual à quantidade requerida para produzir y no longo prazo (todos os fatores são variáveis), visto que o custo marginal é igual ao custo médio no seu ponto de mínimo.

d)V. A curva de custo marginal localiza-se abaixo da curva de custo médio, quando os custos médios diminuem e, acima, quando crescem. Logo, os custos marginais têm de ser iguais aos custos médios no ponto de custo médio mínimo.

E)F. A curva de custo médio de longo prazo é a envoltória inferior das curvas de custo médio de curto prazo.

15. Considerando a função custo C(y) = 2y2 + 10, ache as expressões correspondentes para: 1. custo variável; 2. custo fixo; 3. custo variável médio; 4. custo fixo médio; 5. custo médio; 6. custo marginal. Represente graficamente as curvas de custo.

Solução

1.

2.

3.

4.

5.

6.

16. Os custos de longo e curto prazos de uma firma são e

respectivamente. Achar o custo fixo de curto prazo .

SoluçãoA empresa tem de conseguir sair-se pelo menos tão bem ajustando o tamanho da fábrica quanto mantendo-o fixo. Assim:

17. Considere a função custo C(y) = 4y2 + 16.a) Ache as função custo médio e custo marginal. b) Qual é o nível de produção que minimiza o custo médio?c) Ache a função custo variável.d) A que nível de produção o custo variável médio se iguala ao custo marginal.

Solução

a)

b) Custo médio mínimo:

c)

d) CVMe(y) = CMg (y)

18. Se o custo marginal da produção estiver aumentando, o custo variável médio estaria aumentando ou diminuindo? Explique.

Solução

65


Depende. À esquerda do ponto de mínimo do CVMe, um aumento do CMg permitirá que o CVMe continue diminuindo, porém a taxas decrescentes., já à direita do ponto de CVMe mínimo, o aumento do CMg será consistente com aumento no CVMe.

19. Na tabela abaixo são apresentados alguns dados sobre os custos da empresa A. Preencha o restante das informações;

Quantidade CT CF CV CME CMV CMF CMG

0 24

1 16

2 50

3 108

4 52

5 39,2

6 47

Solução

Quantidade CT CF CV CME CMV CMF CMG

0 24 24(1) 0 0 0 0 0

1 40(2) 24 16(3) 40(4) 16(5) 24(6) 16

2 74(7) 24 50 37 25 12 34

3 108 24 84 36 28 8 34

4 160 24 136 40 34 6 52

5 220 24 196 44 39,2 4,8 60

6 282 24 258 47 43 4 62

(1) CT(0) = CF; (2) CT(1) = (CT(0)+CMG)/1; CF = é o mesmo p/ todos os níveis de produção; (3)CMV(1) = CMG; (4) CME(1)=CT/1;(5) CMV(1) =CV(1)/1; (6)CMF(1)=CF/1; (7)CT(2) = CF(2)+CV(2). Fazer o mesmo para os demais níveis de produto.

20. A função custo total de longo-prazo de uma firma é dada por CT = Q3 - 40Q2+ 430Q, onde Q representa a quantidade produzida por semana;

a) qual o formato curva de custo total?

b) calcule a função do custo médio para este produto. Qual é o formato? A que nível de produto a função custo médio atinge o ponto mínimo? Qual é o valor do custo médio no seu ponto de mínimo?

c) mostre a função custo marginal. Mostre que a curva de custo marginal intercepta a curva de custo médio no seu ponto mínimo;

d) faça o gráfico das curvas de custo médio e de custo marginal.

Solução

(sem resolver)

21. Sobre a teoria de Custos podemos afirmar que:

a) O CME é composto do CMV mais o CMF. Tanto o CMF quanto o CMV caem quando aumentamos a quantidade produzida.

b) Existe uma relação estreita entre retornos de escala e o comportamento da função custo. Retornos crescentes de escala implicam CME crescente; Retornos decrescentes de escala implicam CME decrescentes e Retornos constantes de escala implicam CME constante.

c) A área abaixo curva de CMG mede o Custo Variável.

Solução

a) Errado. Quando aumentamos a quantidade produzida o CMF cai, o CMV poderá até decrescer no início, mas aumentarão uma vez que os fatores fixos presentes acabarão por restringir o processo de produção.

b) Errado. Retornos crescentes de escala implicam CME decrescentes – à medida que o produto aumentar, os custos médios de produção tenderão a cair. Retornos decrescentes de escala implicam CME crescentes – os CME crescerão à medida que o produto cresce.

c) Correto. A curva de CMg mede o custo de produzir cada unidade adicional de um bem, se somarmos o custo de produzir cada unidade adicional de um bem, obteremos o custo total da produção –com exceção dos CF.

66


23. Considere a seguinte função custo: C(y) = (y+3)2 – 6y –7. Obtenha:a) Custo variávelb) Custo fixoc) Custo variável médiod) Custo fixo médioe) Custo médiof) Custo marginalg) Represente graficamente as curvas de custo marginal, custo médio e custo

variável médio.

Solução

A função de custos é: C(y)= 2y2 + 6y + 9 - 6y – 7 = 2y2 + 2

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

A curva de CMe alcança seu mínimo quando o CMe se iguala ao Cmg:

A curva de CVMe é uma linha reta com inclinação de 1.

A curva de Cmg é uma linha reta com inclinação de 2.

CMg, CMe,CVMe

CMgCMe

CVMe

y

67

Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense.Capítulo 11. A oferta da firma.

CAPITULO 11.A OFERTA DA FIRMA

Exemplo:

Uma firma tem a função de custo de longo prazo c(y) = 2y2 + 200 para y > 0 e c (0) = 0. Qual sua curva de oferta de longo prazo.

O custo marginal da firma quando sua produção é y é CMg (y) = 4y. Se colocarmos a produção no eixo horizontal de um gráfico e os dólares no eixo vertical, encontraremos que a curva de custo marginal de longo prazo é uma linha reta inclinada para cima que passa pela origem com a inclinação 4. A curva de oferta de longo prazo é a porção desta curva situada acima da curva de custo médio de longo prazo. Quando a produção é y, os custos médios de longo prazo desta firma são dados por CM (y) = 2y + 200/y. Trata-se uma curva em forma de U. À medida que y se aproxima de zero, CM (y) vai-se tornando muito grande porque 200/y torna-se muito grande. Quando y é muito grande, CM (y) torna-se também muito grande, já que 2y é muito grande.

Em quais circunstâncias é que CM (y) < CMg (y) é válida? Tal acontece quando 2y + 200/y < 4y. Simplifique esta inequação para achar que CM (y) < CMg (y) quando y > 10. A curva de oferta de longo prazo, portanto, é a porção da curva de custo marginal de longo prazo para a qual y > 10. Assim, a curva de oferta de longo prazo tem como equação p = 4y para y > 10. Se nós quisermos encontrar a quantidade ofertada como uma função do preço, devemos resolver esta expressão para y como função de p. Temos, então, y = p/4 sempre que p> 40.

Suponha que p < 40. Por exemplo, se p = 20, qual quantidade a firma ofertará?

Ao preço de 20, se a firma produz no ponto em que o preço iguala o custo marginal de longo prazo, estará produzindo 5 = 20/4 unidades de produto. Quando a firma produz apenas 5 unidades, seus custos médios são 2 x 5 + 200/5 = 50. Quando o preço é 20, portanto, o melhor que a firma pode fazer se ela produz uma quantidade positiva é produzir 5 unidades. Mas, neste caso, terá custos totais de 5 x 50 = 250 e receita total de 5 x 20 = 100. Estará perdendo dinheiro. Estaria melhor se não produzisse quantidade alguma. De fato, para qualquer preço p < 40, a firma escolherá o nível zero de produção.

1. Você se lembra do irmão de Otto Carr, Dent, que está no negócio de oficina mecânica? Pois Dent concluiu que o custo total de conserto de s carros é c (s) = 2s2

+ 100.

(a) Isto implica que o custo médio de Dent é igual a ___________, seu custo variável médio é igual a ____________ e seu custo marginal a ______________. Desenhe as curvas acima e também a curva de oferta de Dent.

(b) Se o preço de mercado é US$ 20, quantos carros Dent estará disposto a consertar? ______. E se o preço for US$ 40, quantos carros serão? ________.

(c) Suponha que o preço de mercado seja US$ 40 e que Dent maximize os seus lucros. Indique no gráfico os custos totais,a receita total e os lucros totais.

Solução

a) C(s) = 2s2 + 100CME (s) = 2s + (100/s); CVME(s) = 2s; CMG (s) = 4sMin CME = 2 – (100s2) = 0; s 7 ou CME = CMG 2s + (100/s) = 4s; s 7

a) P = 20; P = CMG20 = 4s; s=5CMV (5) = 2*5 = 10. Com um preço igual a 20 ele cobre os custos médios variáveis. Ele produz para este preço 5 carros.

a) P = 40; P = CMG

CMg

CVMe

CMe

68


40 = 4s; s= 10Área sombreada com listas = receita total.

Custos Totais =CMe*y

Receita total = P*y

Lucros totais = RT -CT

2. Uma firma competitiva tem a seguinte função de custo de curto prazo:c (y) = y3 - 8 y2 + 30y + 5.

(a) A função de custo marginal da firma é CMg(y) = ____________________.

(b) A função de custo médio da firma é CM(y) = ____________________. [Dica: Observe que os custos variáveis totais são iguais a c (y) - c (0).]

(c) Trace um gráfico da função de custo marginal e da função de custo variável médio.

(d) O custo variável médio cai à medida que a produção aumenta se esta for menor do que ___________ e aumenta quando a produção aumenta para um nível de produção superior a ______________.

(e) O custo marginal é igual ao custo variável médio quando a produção é:

(f) A firma terá oferta igual a zero se o preço for menor do que _____________.

(g) A menor quantidade (positiva) que a firma em algum momento ofertará a qualquer preço é ___________ A que preço a firma oferecerá exatamente 6 unidades do produto?

Solução

a) CMG (y) = 3y2 – 16y + 30

b) CME (y) = y2 – 8y + 30 + (5/y)

c)

d) CMV = y2 – 8y + 30Min CMV = 2y – 8 = 0; y = 4. Por tanto, o custo variável médio cai a medida que a produção aumenta se esta for menor do que 4 e aumenta para um nível de produção superior a 4.

e) CMV = CMG na primeira unidade produzida e no ponto mínimo de custos médios variáveis. Assim:y2 – 8y + 30 = 3y2 – 16y + 30, onde y = 0 e y = 4, onde está o ponto mínimo de CMV.

f) P = CMG = CMVCMV (4) = 14. A firma produzirá zero (y=0) se o P<14.

CMg

CMe

CVMe

69


g) A quantidade positiva que a firma ofertará a qualquer preço é 4 (no curto prazo) porque para quantidades inferiores a 4 não cobre CMV. A curva de oferta da firma é a curva de CMG para P>14 e y > 4. Para y =6; P(6) = 3(6)2 – 16 (6) + 30 = 42

3. Antônio possui uma área de 5 acres (N.T. - Um acre é uma medida de superfície equivalente a 0,405 hectare.) plantada com repolho. Ele força sua mulher, Maria, e seu filho, José, a trabalhar no cultivo do repolho sem ganhar salário. Admita, por ora, que a terra não possa ser usada para outra cultura que não a do repolho e, também, que Maria e José não encontrem qualquer outra alternativa de emprego. O único insumo pelo qual o Antônio tem que pagar é o fertilizante. Se ele usar x sacos de fertilizante, a quantidade de repolhos que colhe é 10 √x. O fertilizante custa US$ 1 por saco.

(a) Qual é o custo total do fertilizante necessário para produzir 100 repolhos? _____________ Qual é o custo total da quantidade de fertilizantes necessárias para produzir y repolhos? ______________________

(b) Se o único modo que Antônio tem para variar sua produção é pela variação na quantidade de fertilizante aplicada à sua área de repolhos, enuncie a expressão do seu custo marginal como uma função de y. CMg(y) = _______________.

(c) Se o preço do repolho é US$ 2 cada, quantos repolhos Antônio produzirá? __________________. Quantos sacos de fertilizante comprará neste caso? _____.Qual será o seu lucro? ___________________________.

(d) Suponha que os preços dos fertilizantes e dos repolhos permaneçam como antes, mas Antônio percebe que pode arranjar empregos no verão para Maria e José numa lanchonete local. Juntos, Maria e José ganhariam US$ 300 pelo verão todo, soma que Antônio poderia embolsar, mas eles ficariam sem tempo para trabalhar no cultivo do repolho. Sem a sua mão-de-obra, Antônio não colhe repolho algum. Qual é agora o custo total do Sr. McGregor de produção de y repolhos?___________________________________

(e) Ele deveria continuar a cultivar repolhos ou simplesmente colocar Maria e José para trabalhar na lanchonete? ____________________________

Solução

a) y = 10Px = 1$

x = y2 / 100CT (x) = x . Px = (y2 / 100) . 1 = y2 / 100 = CT (y)CT (100) = 100Ou de outra maneira;y = 10 ; 100 = 10 ; x = 100,e como CT (x) = x.Px = 100 * 1 = 100.

b) CMG = 2y/1000

c) Py = 2Py = CMG (y); 2y/100 = 2; y = 100Para y = 100; x = y2 / 100 = 1002 / 100 = 100 = 2 . 100 – 100 = 100

d) Px = 1 e Py = 2; CT(y) = x = (y2 / 100) + 300

e) Py = CMG (y); 2y/100 = 2; y = 100 = 2 . 100 – (100+300) = -200Antônio cultiva repolho se (y) > (o), e como –200 não é maior que 300

ele não cultivará.

4. Severino, o cultivador de plantas medicinais, é famoso por seus produtos. Sua função de custo total é c (y) = y2 + 10 para y > 0 e c (0) = 0. (Ou seja, seu custo de produção de zero unidades de produto é zero.)

(a) Qual é a sua função de custo marginal? ______________E qual a sua função de custo médio? ___________________________

(b) Com qual quantidade o seu custo marginal se iguala ao seu custo médio? ____________E qual quantidade minimiza o seu custo médio?_________.

(c) Num mercado competitivo, qual é o menor preço ao qual ele oferecerá uma quantidade positiva em um equilíbrio de longo prazo? ________. E se o preço for este, qual quantidade dos seus produtos ele oferecerá? ___________________.

Solução

a) CMG (y) = 2y se y>0CMG (0) = 0 se y = 0CME (y) = y + (10/y) se y>0CME (0) = 0 se y = 0

70


b) CMG (y) = CME (y)2y = y + (10/y) se y>02y2 = y2 + 10 , onde y = o nível de produção onde CME = CMG.Ou também;Min de CME (y) = 1 – (10/y2) = 0, onde y =

c) O menor preço ao qual ele oferecerá num equilíbrio competitivo de longo prazo será o equivalente ao ponto mínimo de custos médios.CME ( ) = 20 = P

Para este preço a quantidade produzida é y =

5. Peter vende limonada em Filadélfia. Sua função de produção é f (x1, x2) = x11/3x2

1/3, onde x1 é o número de libras de limão que ele utiliza (N.T. - Uma libra equivale a 0,454 quilogramas) e x2 o número de horas que despende, espremendo-as. Como você já deve ter percebido, sua função de custo é c(w1, w2, y) = 2w1

1/2 w21/2 y3/2, onde

y é o número de unidades produzidas de limonada.

(a) De um modo geral, o custo marginal de Earl depende do preço dos limões e da taxa de salários. Aos preços w1 para os limões e w2 para o trabalho, seu custo marginal, quando ele produz y unidades de limonada, é CMg( w1, w2, y) = _____. A quantidade que Earl estará ofertando depende das três variáveis: p, w1, w2, Como função dessas três variáveis, a oferta de Earl é S (p, w1, w2) = ________.

(b) Se os limões custam US$ 1 por libra, a taxa de salários é US$ 1 por hora e o preço da limonada é p, a função de custo marginal de Earl é CMg(y) = ________ e sua função de oferta é S (p) = ______. Caso os limões custem US$ 4 por libra e a taxa de salários seja US$ 9 por hora, sua função de oferta passa a ser S (p) = ____.

Solução

(a) CMg(y) = 3w11/2w2

1/2y1/2

p = Cmg(y) S(p) = p2/(9w1w2)(b) Cmg(y) = 3y1/2

S(p) = p2/9

6. Como você pode bem lembrar do capítulo sobre as funções de custo, a produção de peças de artesanato de Irma forma uma função de produção

f (x1, x2) = [ min {x1, 2 x2 }]1/2, onde x1 é a quantidade utilizada de plástico, x2 a quantidade de trabalho empregada e f (x1, x2) é o número de ornamentos de jardim produzidos. Seja w1 o preço da unidade de plástico e w2 o salário por unidade de trabalho.

(a) A função de custo de Irma é c ( w1, w2, y) = _____________________.

(b) Se w1 = w2 = 1, então, para Irma, o custo marginal de produção de y unidades de produto é CMg( y) = ___________. O número de unidades de produto que ela ofereceria ao preço p é S (p) = _____________. Com esses preços de fatores, seu custo médio por unidade de produto seria CM( y) = _________________.

(c) Se o preço competitivo de ornamentos de jardim que ela vende for p = 48 e w1 = w2 = 1, quantas unidades ela produzirá? ______. E qual será o seu lucro? _____

(d) De modo mais genérico, aos preços de fatores w1 e w2, o custo marginal de Irma é uma função CMg( w1, w2, y) = _________________. Com esses preços de fatores e um preço p para o seu produto, o número de unidades de produção que ela decidirá ofertar é dado por S (p, w1, w2) = _____________________.

Solução

a) (y)2 = [min{x1, 2x2}1/2]2

y2 = min{x1, 2x2}; y2 = x1 ; y2 = 2x2

C(w1, w2, y) = x1w1+ x2w2 = y2w1+ (y2/2)w2 C(w1, w2, y) = (w1+w2/2)y2

b) CMg(y) =3 y; p =3y; S(p) = p/3 CMe(y) = (3/2)y

c) S(48) = 48/3 =16 = 48*16-(3/2)(16)2 = 384

d) CMg(w1, w2, y) = 3y(w1+w2/2)S(p) = p/[3(w1+w2/2)]

7. O Professor Pardal consegue extrair sangue de pedra. Se ele tiver x pedras, o número de bolsas de sangue que obtém delas é f (x) = 2 x1/3. As pedras custam para o Professor US$ w cada uma e ele consegue vender cada bolsa de sangue por US$ p.

a) De quantas pedras o Professor Pardal precisa para obter y bolsas de sangue? b) Qual é o custo de obtenção de y bolsas de sangue?

71


c) Qual é a função de oferta do Professor Pardal quando as pedras custam, cada uma, US$ 8? E quando custam US$ w cada?d) Se o Professor Pardal tiver 19 parentes com a mesma capacidade de extrair sangue de pedra, qual é a função de oferta agregada de bolsas de sangue quando as pedras custam, cada uma, US$ w?

Solução

a) y = f (x) = x 1/3, de onde x = (y/2)3

b) CT (x) = w.x = w . (y/2)3

c) CT (w=8) = y3

CMG (w=8) = 3y2 ; P =3y2 é a função de oferta e y = (p/3)1/2 é a função de oferta inversa.

CT (w=w) = w . (y/2)3

CMG (w=w) = (3w/8) . y2 = P é a função de oferta e y = (8p/3w)1/2 é a função de oferta inversa

d) Oferta inversa; S(p) = ; S(p) = 20 (8p/3w)1/2

8. A Refinaria Miss Manners, em Dry Rock, Oklahoma, converte petróleo cru em gasolina. Para cada barril de gasolina produzido, é necessário 1 barril de petróleo cru. Além do custo do petróleo, há outros custos envolvidos no refino da gasolina. Os custos totais de produção de y barris de gasolina são descritos pela função de custo c (y) = y2/2 + p0 y, onde p0 é o preço do barril de petróleo cru.

(a) Enuncie a expressão do custo marginal de produção de gasolina como uma função de p0 e de y.

(b) Admita que a refinaria possa comprar 50 barris de petróleo cru a US$ 5 o barril, mas que deva pagar US$ 15 por barril adicional que comprar além desses 50. A curva de custo marginal da gasolina será ____________________ até 50 barris de gasolina e __________________ a partir daí.

(b) Trace a curva de oferta da Refinaria Miss Manners.

(d) Suponha que a Refinaria tenha uma curva de demanda horizontal por gasolina ao preço de US$ 30 o barril. Assinale esta curva no gráfico. Qual será a quantidade de gasolina que a Refinaria Miss Manners ofertará?

(e) Se a Refinaria não puder mais obter os primeiros 50 barris de petróleo cru ao preço de US$ 5, mas, ao invés, tiver que pagar US$ 15 por todo petróleo cru que adquirir, de quanto variaria a sua quantidade produzida?

(f) Suponha agora que é introduzido um programa oficial que permite ás refinarias comprarem a US$ 5 cada qualquer barril de petróleo cru pelo qual antes pagariam US$ 15. Qual será agora a curva de oferta da Refinaria Miss Manners? Admita que possa também comprar frações de barril. Marque esta nova curva de oferta no gráfico com tinta preta. Se a curva de demanda é horizontal a US$ 30 o barril, qual quantidade de gasolina a Miss Manners passará a ofertar agora?

Solução

a) CMG (y, p0) = y + p0

b)

c)

72


d) P = CMG30 = y + 5; y = 25

e) P =CMG30 = y + 15; y = 15 y = 15-25 = -10

f) A nova curva de oferta não seria mais descontínua em y = 50 sendo uma função contínua P = y + 5 (linha descontínua no gráfico) e a quantidade de gasolina ofertada para P=30 é 25.

9. Suponha que um fazendeiro tenha uma função de custo de produção de y bushels de milho (N.T. – Um bushel é uma medida de capacidade próxima a 35 litros.), dada pela expressão c (y) = (y2/20) + y.

(a) Se o preço do milho for US$ 5 por bushel, de quanto será a produção de milho deste fazendeiro?

(b) Qual é a curva de oferta de milho do fazendeiro como uma função do preço do milho?

(c) O governo decide agora introduzir um programa de Pagamento em Espécie (PES). Se o fazendeiro decidir produzir y bushels de milho, receberá, dos estoques do governo, (40 – y)/2 bushels. Enuncie a expressão dos lucros do fazendeiro como função de sua produção e do preço de mercado do milho, levando em consideração o valor do pagamento em espécie recebido.

(d) Ao preço de mercado p, qual será a produção de milho do fazendeiro que maximiza o seu lucro? Trace um gráfico da curva de oferta do milho.

(e) Se p = US$ 2, quantos bushels de milho ele produzirá? E quantos bushels ele obterá dos estoques do governo?

(f) Se p = US$ 5, qual a produção de milho que será ofertada? E quantos bushels de milho o fazendeiro obterá dos estoques do governo, admitindo que ele decida por inscrever-se no programa PES?

(g) Enuncie a fórmula para o tamanho do pagamento do programa PES para qualquer preço entre p = US$ 2 e p = US$ 5.

(h) Qual é a quantidade de milho que o fazendeiro ofertará ao mercado (contando tanto com a sua produção como com o pagamento do programa PES) como uma função do preço de mercado p?

(i) Trace um gráfico da curva de oferta total de milho – incluindo o milho do programa PES.

Solução

a) CMG (y) = (y/10) +1P = CMG5 = (y/10) + 1; onde y = 40

b) P = (y/10) +1

S(P)

DA

DA

S(P)

73


S(p) = 10p – 10

c) = y + [(40-y)/2] - (y2/20 + y)

d) = -1/2 – y/10 - 1 = 0

y = 5 - 10 é a quantidade que maximiza os lucros do produtor.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y

p

e) Para P = 2 ele produz 0 bushels de milho. Ele receberá do governo (40-0)/2, ou seja, 20 bushels de milho que para um preço igual a 2 dólares será na sua receita 40 dólares.

f) Para P = 5 ele produzirá 15 bushels de milho. Ele receberá do governo (40-15)/2, ou seja 12,5 bushels de milho que a 5 dólares será um total de 62,5 dólares.

g) Pagamento = [(40 - 5 +10)/2]2= (25 – 2,5 )p

h)

i)

Stotal(p)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

15 20 25 30 35 40 45 50 y

p

10. Considere uma função Custo Total dada pela equação:C(y) = 15y2 + 6000 e responda:

i) Qual a equação da curva de oferta?ii) A que nível de produção o custo médio total será minimizado?iii) Qual o nível de produção a ser realizado quando P = 700? iv) Qual a variação dos lucros quando y se eleva de 40 para 50?

Solução

i) P = 30 yii) CME = 15 y + 6000/yiii) Min CME = 15 – 6000/y2 = 0, onde y =20iv) 700 = 30 y, onde y = 23,3v) (40) = 700*40 – [ 15*402 + 6000] = 21.400

(50) = 700*50 – [ 15*502 + 6000] = 28.250vi) variação de lucros = 6.850

11. Considerando que a receita total de uma firma é dada pela equação: RT = 60q - 2q2 e que seu custo total é dado por CT = q3 - 6q2, identifique as quantidades relativas a:

i) Eficiência máxima (mínimo custo);ii) Receita total máxima; iii) Lucro máximo.

Solução

a) CME = q2 – 6qMin CME ; 2q – 6 = 0, onde q=3. Os custos médios são os mínimos quando a firma produz 3

b) RT = 60q – 2q2

74


Max RT; 60 – 4q = 0, onde q = 15. A receita é máxima quando a firma produz 15.

c) = 60q – 2q2 – q3 + 6q2

= 60 – 4q – 3q2 + 12q = 0, onde q = 6

12. Demonstre o seguinte teorema sobre a função de custo variável médio: “O ponto de mínimo do Custo Variável Médio é igual ao custo marginal, sendo este crescente".

Solução

Na região em que os custos variáveis médios estejam aumentando, os custos marginais terão de ser maiores que os custos variáveis médios – são os custos marginais maiores que empurram a média para cima, ou seja a curva de custo marginal tem de situar-se abaixo da curva de variável médio, à esquerda do seu ponto de mínimo e acima dele, à direita, o que implica que a curva de custo marginal tem de cortar a curva de custo variável médio em seu ponto de mínimo.

13. Demonstre analiticamente que a elasticidade do Custo Total C(y) em relação ao nível de produção é igual a razão entre o Custo Marginal e o Custo Médio.

Solução

, sendo esta última expressão a

elasticidade do Custo Total em relação ao nível de produção.

14. Dada a função de produção y = 10 x10,25 x2 0,25 x3 0,50 e conhecendo-se os preços

dos fatores como w1 = w2 =2 e w3=4 , respectivamente para x1 , x2 e x3:a)Determine a posição de equilíbrio da firma, com as quantidades dos fatores (x1, x2

e x3) para uma produção y = 100.b)Calcule as elasticidades do produto (y) em relação aos fatores de produção (x1, x2

e x3).

Solução

a) y = 10x1 1/4. x2 1/4 .x3 1/2 = 100w1 = w2 = 2 e w3 = 4, logo,

y = 10 x1 1/2 . x31/2 = 100PMG1 = 5(x3/x1)1/2

PMG3 = 5(x1/x3)1/2

- = ; onde 2x3 = x1

y = 10. 21/2 . x31/2 . x3

1/2 = 100, de onde x3 = 501/2

b)

; ;

15. Em continuação da questão anterior admita que o fator x3 =144 seja fixo nessa quantidade e determine abaixo as expressões de custo de curto prazo:

a) Custo Total: C = C(y)b) Custo Fixo: CF = Kc) Custo Médio: CMe = C(y) / yd) Custo Unitário Variável: CUV = CV(y) / yd) Custo Marginal: CMg = dC(y) / dy

Solução

a)

Substituindo x2 na função de custos, temos:

75


Minimização de Custos:

Substituindo x1 em x2, temos:

Substituindo x1 e x2 na função de custos, temos:

b)

c)

d)

e)

16. Por que no curto prazo algumas firmas poderão operar com prejuízo?

Solução

Elas operarão com prejuízo na medida em que sejam capazes de cobrir seus custos variáveis médios. Neste sentido, a medida do prejuízo que é possível para uma firma suportar no curto prazo é seu custo fixo, será melhor para a empresa encerrar suas atividades quando:

Ou seja, se os custos variáveis médios forem maiores do que p, a empresa ficará melhor se fabricar zero unidade de produto. (-F são os lucros de fabricar zero unidade de um produto)

17. Em qual das seguintes situações a firma competitiva faz lucro zero?: A) Se o preço de mercado for igual ao mínimo custo variável médio de produção; B) Se o preço de mercado for menor que o mínimo custo variável médio de produção;C) Se o preço de mercado for igual ao mínimo custo médio de produção; A) Se a receita marginal for maior que o custo marginal.

76


Solução

Na situação descrita pela letra C.

18. Em relação ao equilíbrio em concorrência perfeita podemos afirmar que:

A) As firmas no curto prazo sempre fazem lucros positivos; B) No longo prazo algumas firmas podem fazer lucros estritamente negativos;C) No longo prazo existem infinitas firmas produzindo quantidades estritamente

positivas do produto;D) No longo prazo todas as firmas ativas fazem lucro zero.

Solução

Letra D.

19. A função custo de uma firma é . Qual das seguintes afirmações é INCORRETA?

A) Se o preço de mercado é menor que 4 a firma não produz;B) Se o preço de mercado é 5 a firma produz 0,845 unidades;C) A firma faz lucro positivo se o preço de mercado é maior que 13;D) O custo marginal decrescente se a produção é inferior a 2.

Solução

B) p = CMgp = 3q2-12q+13para p=5, temos:q = 3,155 e q =0,845Como a curva de oferta da firma é a parte ascendente da curva de CMg que está localizada acima da curva de CVMe, a quantidade produzida será 3,155 (esse nível de produção encontra-se na parte ascendente da curva de CMg, enquanto o nível de 0,845 na parte descendente)

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caderno de exercicios micro

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