1. SOLUESSOLUES DOS EXERCCIOS PROPOSTOSNOTA : Se bem que os dados mtricos dos enunciados estejam em c e n t m e t r o s, as solues apresentadas no consideraram o centme-tro como unidade. De facto, no sentido do estudante, o objectivo da consulta das solues dos exerccios deve ser a verificao da correc- o dos raciocnios e dos traados e no a c o m p a r a o m t r i c a dos mesmos. Dessa forma, considerou-se de maior utilidade odesenvolvimento dos relatrios e a resoluo grfica dos problemas a uma escala que evite qualquer tentativa de comparao mtrica. Aescala utilizda foi de 1/2, o que significa que a cada centmetro da resoluo do aluno corresponder 0,5 cm nestas solues.13P ARALELISMO1.a) Em primeiro lugar, desenharam-se as projeces da recta r, em funo dos dados. Em seguida, assinalaram-se as projeces da recta s, coincidentes com as projeces de nome contrrio da recta r, ou seja, s2 (a projeco frontal da recta s) est coincidente com r1, (a projeco horizontal da recta r) e s1 (a projeco horizontal da recta s)est coincidente com r2 (a projeco frontal da recta r). As duas rectas so paralelas, pois tm as projeces homnimas paralelas entre si.b) Em primeiro lugar, determinaram-se os traos da recta r nos planos de projeco F e H. Em seguida, determinaram-se os traos da recta s nos planos de projeco F e H. O trao frontal do plano est definido por F e F e o trao horizontal do plano est definido por H e H, o que resulta no facto de os dois traos do plano estarem coincidentes.2. Em primeiro lugar, representaram-se as rectas p e p, pelas respectivas projeces, em funo dos dados. Os pontos A e B tm a mesma abcissa, pois todos os pontos de uma recta de perfil tm a mesma abcissa. Da mesma forma, os pontos C e D tambm tm a mesma abcissa. Sobre a posio relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que no so concorrentes podem ser paralelas ou enviesadas. Uma vez que, no enunciado, se refere expressamente a no utiliza- o de qualquer processo geomtrico auxiliar, foi necessrio um raciocnio relativamente linear. Se as rectas p e p forem paralelas, ento so complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p sero, tambm elas, complanares. Recorreu-se a duas rectas auxilia- res, as rectas r e s. A recta r concorrente com p em A e com p em D (est definida por dois pontos). A recta s concorrente com p em B e com p em C (tambm est definida por dois pontos). As rectas r e s no so complanares (no so paralelas nem concorrentes), pelo que p e p no so complanares logo, no so paralelas.3.Em primeiro lugar, desenharam-se as projeces das rectas p e p, de acordocom os dados (ver relatrio do exerccio anterior). Em seguida, uma vez que ex-pressamente pedido o recurso ao processo do rebatimento, conduziu-se, pelarecta p, um plano de perfil e rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projec-o (a charneira foi f). Rebatendo o plano obtiveram-se Ar e Br, bem como a rec-ta pr, definida por Ar e Br. Em seguida, conduziu-se, pela recta p, um outro planode perfil , e rebateu-se o plano tambm para o Plano Frontal de Projeco epara o mesmo lado note que s possvel averiguar o paralelismo entre asduas rectas em rebatimento se o rebatimento dos dois planos de perfil for exac-tamente o mesmo ( necessrio rebater os dois planos de perfil para o mesmoplano e no mesmo sentido de rotao). Rebatendo o plano obtiveram-se ospontos Cr e Dr, bem como a recta pr, definida por Cr e Dr. As rectas pr e pr noso paralelas, pelo que as rectas p e p no so paralelas no espao. Note queum outro processo de resolver este exerccio (mas que no o pedido no enun-ciado) seria o de efectuar uma mudana do diedro de projeco substituindoo Plano Frontal de Projeco por um outro plano de projeco (plano 4), paralelops duas rectas, por exemplo (transformando as duas rectas em rectas frontais),seria possvel averiguar o paralelismo entre as duas rectas sem se ter o cuidadode garantir a semelhana entre os dois rebatimentos dos planos de perfil.1

2. SOLUES4.Em primeiro lugar, desenharam-se as projeces da recta p e do ponto C, em funo dos dados (ver re-latrio do exerccio 2). Em seguida, pelas projeces de C conduziram-se imediatamente as projecesda recta p, a recta pedida note que, embora as projeces da recta pedida se tivessem desenhadoimediatamente, estas no so suficientes para definir a recta em Dupla Projeco Ortogonal (a recta pest definida por um ponto e uma direco). necessrio, ento, mais um ponto da recta p (para almde C) para a definirmos totalmente em projeces. Como as rectas p e p so paralelas, ento so com-planares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p sero igualmente complanares. Assim,recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas p e p a recta a, que est definida por B e C(que so os pontos de concorrncia de r com p e p, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a umaoutra recta, a recta b, paralela recta a e concorrente com a recta p no ponto A a recta b est definidapor um ponto (ponto A) e uma direco ( paralela recta a) e complanar com as rectas a e p. A recta bter, tambm, de ser complanar com a recta p, pelo que, no sendo paralela a esta, ser necessaria-mente concorrente o ponto G o ponto de concorrncia das rectas b e p. A recta p, definida por A eG, necessariamente paralela recta p. Sublinha-se que a recta b poderia ser concorrente com a rectaa nesse caso estaria definida por dois pontos (os pontos de concorrncia com as recta p e a). Noteque o problema poderia ter sido resolvido tanto pelo processo exposto como pelo rebatimento tantocomo, ainda, pela mudana do diedro de projeco, uma vez que o enunciado omisso em relao aoprocesso de resoluo. Em primeiro lugar, desenharam-se as projeces da recta p e do ponto R, em funo dos5. dados (os pontos M e N tm a mesma abcissa). Em seguida, pelas projeces de R condu- ziram-se imediatamente as projeces da recta p, a recta paralela a p (note que as projec- es da recta p so insuficientes para a definir ver relatrio do exerccio anterior). Como as rectas p e p so paralelas, ento so complanares, pelo que quaisquer duas rectas concor- rentes com p e p sero igualmente complanares. Assim, recorreu-se a uma recta do plano definido pelas rectas p e p a recta f, que est definida por M e R (que so os pontos de concorrncia de f com p e p, respectivamente a recta f uma recta frontal). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, a recta f , paralela recta f e concorrente com a recta p no ponto N a recta f est definida por um ponto (ponto N) e uma direco ( paralela recta f). A recta f ter, tambm, de ser complanar com a recta p, pelo que, no sendo paralela a esta, ser necessariamente concorrente o ponto S o ponto de concorrncia das rectas f e p. A recta p, definida por R e S, necessariamente paralela recta p. Para determinar os traos do plano , poder-se-ia ter determinado os traos das rectas de perfil, o que envolve- ria o recurso a processos geomtricos auxiliares. No entanto, optou-se por um outro racioc- nio, mais simples atendeu-se ao facto que j temos quatro rectas do plano (as rectas p, p, f e f ). Assim, foi suficiente recorrer s rectas f e f para determinar os traos do plano . H o trao horizontal da recta f e H o trao horizontal da recta f . O trao horizontal do plano , h, est definido por H e H. O trao frontal do plano , f, concorrente com h no eixo X e paralelo s rectas f e f (rectas frontais de um plano so paralelas entre si e paralelas ao trao frontal do plano, que uma recta frontal do plano com afastamento nulo). Note que o problema se poderia ter resolvido sem a determinao do ponto S de facto, com o recurso s duas rectas auxiliares, o problema resolveu-se como se o plano estivesse definido por trs pontos no colineares, pelos quais se conduziram duas rectas do plano.6.Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto C, pelas suas projeces, bem como o pla-no , pelo seu trao frontal, em funo dos dados. Em seguida, pelas projeces de C conduziram--se imediatamente as projeces da recta p, a recta paralela a p (a recta p no fica totalmentedefinida pelas suas projeces). As rectas p e p so paralelas, pelo que so complanares quais-quer duas rectas concorrentes com p e p sero igualmente complanares. Assim, recorreu-se a umarecta do plano definido pelas rectas p e p a recta r, que est definida por A e C (que so os pontosde concorrncia de r com p e p, respectivamente). Em seguida, recorreu-se a uma outra recta, arecta s, paralela recta r e concorrente com a recta p no ponto B a recta s est definida por umponto (ponto B) e uma direco ( paralela recta r). A recta s ter, tambm, de ser complanar coma recta p, pelo que, no sendo paralela a esta, ser necessariamente concorrente o ponto D oponto de concorrncia das rectas s e p. A recta p, definida por C e D, necessariamente paralela recta p. Para determinar a recta de interseco dos dois planos, teve-se em conta que o plano projectante frontal i2, a projeco frontal da recta i (a recta de interseco dos dois planos), estnecessariamente sobre (f). Para definirmos a recta i so necessrios dois pontos ou um ponto efuma direco. Os pontos poderiam ser os pontos em que o plano corta as rectas p e p (as rectasdadas), mas a determinao desses pontos carece do recurso a processos geomtricos auxiliares.Assim, atendendo a que j temos quatro rectas do plano (as rectas p, p, r e s), foi suficiente recorrers rectas r e s para determinar a recta i o plano corta a recta r no ponto M (que , assim, umponto comum aos dois planos) e corta a recta s no ponto N (que um outro ponto comum aos doisplanos). A recta i, definida por M e N, a recta de interseco entre os dois planos.2 3. SOLUES7.Em primeiro lugar, representaram-se a recta p e o ponto B, pelas suas pro-jeces, em funo dos dados. A recta p, porque passante, concorrentecom o eixo X no ponto P. Em seguida, pelas projeces de B conduziram-seimediatamente as projeces da recta p, a recta paralela a p (note que a rec-ta p no fica totalmente definida em projeces ver relatrio do exerccio4). Assim, h que obter as projeces de mais um ponto da recta. Optou-sepor recorrer a uma mudana do diedro de projeco substituiu-se o PlanoFrontal de Projeco (plano 2) por um novo plano de projeco (plano 4), ppparalelo s duas rectas, definindo um novo diedro de projeco (o diedro for-mado pelo plano 1 e pelo plano 4) no qual as rectas p e p so rectas fron-tais (de frente) o novo eixo X (eixo X) paralelo a p1 e a p1 e a recta deinterseco do plano 1 com o plano 4. As projeces de A, B e P no plano4 determinaram-se em funo das respectivas cotas, que se mantiveram. Aprojeco da recta p no plano 4 (p4) est definida por A 4 e por P4. A projec-o da recta p no plano 4 (p4) passa por B4 e paralela a p4 (o paralelismoentre as rectas directo no novo diedro de projeco). Determinou-se umponto qualquer da recta p o ponto F (que o trao frontal da recta p). F1determinou-se directamente e F2, a projeco frontal de F no diedro de pro-jeco inicial, determinou-se em funo da sua cota, que se manteve. A rectap, definida por B e F, paralela recta p.8.Uma recta paralela a um plano se e s se for paralela a uma recta do plano e no estiver contida nesse plano, ou seja, uma recta para-lela a um plano se pertencer a uma famlia de rectas que esteja contida no plano. De forma recproca, um plano paralelo a uma recta see s se no contiver a recta e contiver uma recta paralela recta dada, ou seja, um plano paralelo a uma recta se contiver a famlia derectas a que a recta dada pertence.9.Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas pro-jeces, em funo dos dados. Em seguida, por P1, conduziu-se r 1, a projeco horizontal darecta r, fazendo o ngulo pretendido (45o a.d.) com o eixo X. Para a recta r ser paralela ao pla-no , ter de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar s,pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela recta r s1 paralela a r 1. A recta sest definida pelos seus traos (condio para que uma recta pertena a um plano). Em segui-da, conduziu-se, por P2, a projeco frontal da recta r (r 2), paralela a s2. A recta r paralela aoplano , pois paralela a uma recta do plano (a recta s).10.Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suasprojeces, em funo dos dados. Em seguida, desenhou-se a projeco frontal da recta r r 2 passando por P2 e fazendo, com o eixo X, o ngulo pedido. Para a recta r ser paralelaao plano , ter de ser paralela a uma recta do plano. Para tal, recorreu-se a uma rectaauxiliar s, pertencente ao plano e garantindo que s seja paralela recta r s2 paralela ar 2. A recta s est definida pelos seus traos (condio para que uma recta pertena a umplano). Em seguida, conduziu-se, por P1, a projeco horizontal da recta r (r 1), paralela as1. A recta r paralela ao plano , pois paralela a uma recta do plano (a recta s).3 4. SOLUES11.Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suasprojeces, em funo dos dados. Em seguida, pelas projeces de P conduziram-se ime-diatamente as projeces da recta p note que no foi necessrio nenhum procedimentoparticular para desenhar as projeces da recta p. A recta p, no entanto, no est completa-mente definida falta-nos outro ponto para definir a recta, para alm do ponto P. Por outrolado, h que garantir que a recta p seja paralela ao plano , para o que a recta p ter de serparalela a uma recta do plano (critrio de paralelismo entre rectas e planos). Assim, recor-reu-se a uma recta p, qualquer, de perfil e pertencente ao plano a recta p est definidapor dois pontos, que so os seus traos (condio para que uma recta pertena a um pla-no). A recta p tem de ser paralela recta p. Para garantir o paralelismo entre as rectas p ep recorreu-se ao raciocnio exposto no relatrio do exerccio 4. As rectas p e p, sendo pa-ralelas, so complanares recorreu-se a duas rectas do plano definido por p e p. A recta r concorrente com a recta p no ponto P e com a recta p no ponto H (o seu trao hori-zontal). A recta s concorrente com a recta p no ponto F (o seu trao frontal) e com a rectar no ponto M. A recta s, porque complanar com a recta p, concorrente com esta numponto R . A recta p, definida por P e R , paralela recta p, que uma recta do plano ,pelo que a recta p paralela ao plano .12. Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Sobre a determinao das projeces da recta p, de perfil, paralela ao plano e passando por P, ver relatrio do exerccio anterior.13.Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suasprojeces, em funo dos dados. Em seguida, por P 2, conduziu-se r 2, a projeco frontalda recta r, fazendo, com o eixo X, o ngulo pretendido (60 a.d.). Para que a recta r seja pa-ralela ao plano , ter de ser paralela a uma recta do plano . Ora, uma vez que o plano projectante horizontal, sabe-se que todas as suas rectas tm a sua projeco horizontal so-bre h, pelo que desenhando r 1 paralela a h (e passando por P1) se garante que a recta r paralela ao plano (porque existe, de certeza, uma recta do plano que paralela recta r).14. Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto R , pelas suas projeces, em funo dos dados. Para que a recta f (a recta frontal pretendida) seja paralela ao plano , a recta ter de ser paralela a uma recta de (critrio de para- lelismo entre rectas e planos). O trao frontal de (f ) uma recta frontal (de frente) do f plano, com afastamento nulo esta raciocnio permitiu-nos economizar traado, pois no houve necessidade de se desenharem as projeces de outra recta do plano. Assim, por R conduziu-se a recta f pedida, paralela a f f est definida por um ponto (R ) e por uma R direco ( paralela a f ).4 5. SOLUES15.Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P,pelas suas projeces, em funo dos dados. Sobre a determinao das projec-es da recta r, ver exerccio 9 e respectivo relatrio. Note que, com vista a umamaior economia de traados, se optou por fazer com que o trao frontal da rectas (a recta auxiliar do plano qual a recta r paralela) tenha abcissa nula.16.Em primeiro lugar, representaram-se a recta m e o ponto A , pelas respectivas pro-jeces, em funo dos dados. Em seguida, para que o plano pedido contenha oponto A , o ponto A tem de pertencer a uma recta do plano. Por outro lado, paraque o plano seja paralelo recta m, tem de conter uma recta paralela rectam. Assim, h que conduzir, por A , uma recta paralela recta m, que ser umarecta do plano a recta r. Determinaram-se os traos da recta r, pois os traosda recta tm de estar sobre os traos homnimos do plano (condio para queuma recta pertena a um plano). Em seguida, pelo trao horizontal de r conduziu--se h, com o ngulo pretendido (h est definido por um ponto e uma direco)h f concorrente com h sobre o eixo X e contm F, o trao frontal de r (f estfdefinido por dois pontos). O plano paralelo recta m, pois contm uma rectaparalela a m (a recta r). O plano contm o ponto A , pois A pertence a uma rectado plano (a recta r).17.Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto A , pelas respectivas pro-jeces, em funo dos dados. Sobre a determinao dos traos do plano verrelatrio do exerccio anterior. A recta s, paralela recta r e passando por A , foi arecta auxiliar a que se recorreu. Os traos do plano so rectas fronto-horizontaisque contm os traos homnimos da recta s. O plano paralelo recta r, poiscontm uma recta paralela a r (a recta s). O plano contm o ponto A , pois Apertence a uma recta do plano (a recta s).18.Em primeiro lugar, representaram-se a recta r pelas suas projeces, em funo dos dados. Os tra-os do plano (o plano passante paralelo recta r) determinaram-se imediatamente esto am-bos coincidentes com o eixo X. No entanto, os traos do plano , porque so uma nica recta,so insuficientes para definir o plano (um plano s pode estar definido por uma nica recta se essarecta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas de maior inclinao).Assim, h que recorrer a mais um elemento para definir o plano esse elemento poder ser umponto (caso em que o plano estar definido por uma recta o eixo X e um ponto exterior) ouuma recta (caso em que o plano estar definido por duas rectas). Assim, recorreu-se a uma rectaqualquer, paralela recta r a recta s. A recta s tem necessariamente de ser uma recta passante,pois caso contrrio no seria uma recta do plano (o plano apenas contm rectas fronto-horizon-tais e rectas passantes estas podero ser oblquas ou de perfil). Note que no se poderia recorrera uma recta fronto-horizontal, pois uma recta fronto-horizontal no paralela recta r. Note aindaque tambm no se poderia ter recorrido a uma recta de perfil passante, pois a recta r no deperfil. A nica hiptese , pois, a situao apresentada uma recta oblqua passante, qualquer,paralela recta r. O plano est, assim, definido por duas rectas concorrentes o eixo X e a recta s. 5 6. SOLUES19.Em primeiro lugar, representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projec-es, em funo dos dados. Sobre a determinao dos traos do plano , ver relat-rio do exerccio 16. A recta f , paralela recta f e passando por P, foi a recta auxiliara que se recorreu. H o trao horizontal da recta f . Uma vez que os traos do plano esto coincidentes, no plano do papel, os dois traos tm a mesma direco.Assim, por H1 conduziu-se h, o trao horizontal de , paralelo a f 2 (e a f 2). O traofrontal de , f , concorrente com h no eixo X e tambm paralelo a f 2 (e a f 2),pelo que os traos de ficam coincidentes (no plano do papel).20.Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projeces, emfuno dos dados. Para que o plano seja paralelo recta r, o plano , ter de conter umarecta paralela recta r. Ora, uma vez que o plano projectante horizontal, sabe-se quetodas as suas rectas tm a sua projeco horizontal sobre h. Alm disso, e uma vez que setrata de um plano projectante horizontal, sabe-se tambm que todos os seus pontos tm asua projeco horizontal sobre h. Assim, desenhando h, passando por P 1 e paralelo a r 1(a projeco horizontal de r), est garantido o paralelismo entre o plano e a recta r noteque qualquer recta do plano ( excepo das rectas verticais) ter a sua projeco horizontalparalela projeco horizontal da recta r. Note ainda que o plano contm o ponto P, pois P1situa-se sobre h. Tratando-se de um plano vertical, f uma recta vertical com afastamentonulo, que concorrente com h no eixo X.21.Em primeiro lugar, representaram-se a recta r e o ponto A , pelas respectivasprojeces, em funo dos dados. Sobre a determinao dos traos do pla-no , ver exerccio 16 e respectivo relatrio. A recta s a recta auxiliar a quese recorreu a recta s contm o ponto A e paralela recta r. F o traofrontal da recta s e H o seu trao horizontal. Uma vez que os traos doplano esto coincidentes (na folha de papel), esto coincidentes na rectaque passa por F2 e por H1.22.Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados.Em seguida, conduziu-se, por P1, a projeco horizontal da recta r (r1), com o ngulo pretendi-do r1 faz, com o eixo X, um ngulo de 45 (a.d.). A recta r uma recta paralela ao 2/4, peloque as suas projeces so paralelas entre si assim, por P2 conduziu-se r2, a projeco frontalda recta r, paralela a r1.6 7. SOLUES23.Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos da-dos. Em seguida, conduziu-se, por P2, a projeco frontal da recta r (r 2), com o ngulopretendido r 2 faz, com o eixo X, um ngulo de 30o (a.d.). A recta r uma recta paralelaao 1/3, pelo que as suas projeces fazem, com o eixo X, ngulos iguais e com o mes-mo sentido de abertura. Assim, por P1 conduziu-se r 1, a projeco horizontal da recta r,fazendo tambm um ngulo de 30o (a.d.) com o eixo X.24.Em primeiro lugar, representaram-se o ponto K e a recta f, pelas respectivas projec-es, em funo dos dados. Em seguida, conduziu-se, por P1, a projeco horizon-tal da recta, r 1, com o ngulo pretendido um ngulo de 45o (a.d.) com o eixo X.A recta r uma recta paralela ao 2/4, pelo que as suas projeces so paralelas entresi assim, por P 2 conduziu-se r 2, a projeco frontal da recta r , paralela a r 1.Em seguida, determinaram-se os traos das duas rectas e desenharam-se os traosdo plano. H o trao horizontal da recta r e H o trao horizontal da recta f. F otrao frontal da recta r. O trao horizontal do plano , h, passa por H e H (estdefinido por dois pontos). O trao frontal do plano , f , concorrente com h noeixo X e passa por F (est tambm definido por dois pontos).25.O ponto de concorrncia tem 4 cm de afastamento atendendo a que o ponto deconcorrncia (ponto P) pertence recta h, que tem 2 cm de cota, sabe-se imediata-mente que o ponto P tem tambm 2 cm de afastamento. Este raciocnio permitiu-nosdesenhar as projeces da recta h e do ponto P. Em seguida conduziu-se, por P1, aprojeco horizontal da recta, r 1, com o ngulo pretendido um ngulo de 30o (a.d.)com o eixo X. A recta r uma recta paralela ao 1/3, pelo que as suas projecesfazem, com o eixo X, ngulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Assim, porP2 conduziu-se r 2, a projeco frontal da recta r, fazendo tambm um ngulo de 30o(a.d.) com o eixo X. Em seguida, determinaram-se os traos das duas rectas e dese-nharam-se os traos do plano. H o trao horizontal da recta r e F o trao frontal darecta h. O trao horizontal do plano , h, passa por H e paralelo recta h (rectashorizontais de um plano so paralelas entre si e paralelas ao trao horizontal do plano,que uma recta horizontal do plano com cota nula). O trao frontal do plano , f , concorrente com h no eixo X e passa por F (est definido por dois pontos).26. Em primeiro lugar, representou-se o plano , pelos seus traos, bem como o pon- to M e a recta a, pelas respectivas projeces, em funo dos dados. A recta a uma recta paralela ao 1/3, pelo que as suas projeces fazem, com o eixo X, n- gulos iguais e com o mesmo sentido de abertura assim, a1, a projeco horizon- tal da recta a, faz tambm um ngulo de 30o (a.e.) com o eixo X. Para determinar o ponto de interseco da recta a com o plano , e uma vez que nem a recta nem o plano so projectantes, recorreu-se ao mtodo geral da interseco de rectas com planos. Assim, tem-se: 1. por a conduziu-se um plano auxiliar (o plano , que um plano vertical o plano projectante horizontal da recta a); 2. determinou-se a recta i, a recta de interseco dos dois planos (a recta i est definida pelos seus traos, pois trata-se do caso geral da interseco entre planos); 3. o ponto de concorrncia da recta i com a recta a (o ponto I) o ponto de interseco da rec- ta a com o plano .7 8. SOLUES27. a) Em primeiro lugar, representaram-se as rectas r e s, pelas respectivas projeces, em funo dos dados. A recta r paralela ao 1/3, pelo que as suas projeces fazem, com o eixo X, ngulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. A recta s paralela ao 2/4, pelo que as suas projeces so paralelas entre si. Em seguida, determina- ram-se os traos das duas rectas e desenharam-se os traos do plano. F o trao frontal da recta r e F o trao frontal da recta s. H o trao horizontal da recta r e H o trao horizontal da recta s. f passa por F e F. h passa por H e H (e concor- rente com f no eixo X).b) A recta i uma recta que pertence simultaneamente ao plano (o plano dado) e ao 1/3 todos os seus pontos pertencem simultaneamente aos dois planos. Para definir uma recta so necessrios dois pontos ou um ponto e uma direco. O ponto de concorrncia dos dois traos do plano (f e h) um ponto que pertence aos dois f planos, pois situa-se no eixo X (todos os pontos do eixo X pertencem ao 1/3). J temos um ponto falta-nos outro ponto ou uma direco. Determinou-se Q, o trao da recta s no 1/3 Q pertence ao plano , pois pertence a uma recta do plano (a recta s) e pertence ao 1/3, pois tem as suas projeces simtricas em relao ao eixo X. J temos dois pontos para definir a recta i. Note que a recta r, porque paralela ao 1/3, no tem trao no 1/3. Por outro lado, e uma vez que as rectas r e i so rectas complanares (pertencem, ambas, ao plano ), e no sendo concorrentes, so parale- las a recta i paralela recta r (a recta i uma recta do 1/3 e a recta r uma recta paralela ao 1/3 so rectas da mesma famlia de rectas). A recta i uma recta que pertence simultaneamente ao plano e ao 2/4 todos os seus pontos pertencem simultaneamente aos dois planos. Para definir uma recta so necessrios dois pontos ou um ponto e uma direco. O ponto de concorrncia dos dois traos do plano um ponto que pertence aos dois planos, pois situa-se no eixo X (todos os pontos do eixo X pertencem ao 2/4). J temos um ponto falta-nos outro ponto ou uma direc- o. Determinou-se I, o trao da recta r no 2/4 I pertence ao plano , pois pertence a uma recta do plano (a recta r) e pertence ao 2/4, pois tem as suas projeces coin- cidentes. J temos dois pontos para definir a recta i. Note que a recta s, porque paralela ao 2/4, no tem trao no 2/4. Por outro lado, e uma vez que as rectas s e i so rectas complanares (pertencem, ambas, ao plano ), e no sendo concorrentes, so paralelas a recta i paralela recta s (a recta i uma recta do 2/4 e a recta s uma recta paralela ao 2/4 so rectas da mesma famlia de rectas).28.Em primeiro lugar, representou-se o ponto A, pelas suas projeces, em funo dassuas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projeces da rectap estas, no entanto, no so suficientes para definir totalmente a recta p em Dupla Pro-jeco Ortogonal (a recta, no espao, est definida por um ponto e uma direco). Poroutro lado, para que a recta p seja paralela ao 2/4, a recta tem de ser paralela a umarecta do 2/4. Recorreu-se a um plano de perfil , que contm a recta p, e determinou-sea recta de interseco do plano com o 2/4 a recta i. A recta p ter de ser paralela recta i (critrio de paralelismo entre rectas e planos). A recta i uma recta de perfil pas-sante que faz, com os planos de projeco (e com os traos do plano ) ngulos de 45.Em seguida, rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f),obtendo-se Ar. Em seguida, desenhou-se ir, que a recta i em rebatimento. Note que oponto A se situa no 1o Diedro e que a recta i, sendo uma recta do 2/4, atravessa os 2o e4o Diedros assim, ir no pode, nunca, passar pelo quadrante em que se situa Ar. Poroutro lado, sendo i uma recta passante, o seu ponto de concorrncia com o eixo X fixo,pois situa-se na charneira ir passa pelo ponto de concorrncia dos traos do plano efaz, com fr e hr, ngulos de 45. A recta pr passa por Ar e paralela a ir. Em seguida,determinaram-se os traos da recta p em rebatimento Fr est sobre fr e Hr est sobrehr (condio para que uma recta pertena a um plano, que se verifica tanto no espaocomo em projeces e em rebatimento). Invertendo o rebatimento, determinaram-se asprojeces de F (trao frontal da recta p) e H (trao horizontal da recta p). Note que sepoderia ter determinado a recta i em rebatimento, recorrendo a um ponto qualquer darecta seria um ponto do 2/4, pelo que teria as suas projeces coincidentes. Rebatendoesse ponto, ter-se-ia a recta ir definida por dois pontos.8 9. SOLUES29.Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projeces, em funo dassuas coordenadas. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projeces da rectap estas, no entanto, no so suficientes para definir totalmente a recta p em DuplaProjeco Ortogonal (a recta, no espao, est definida por um ponto e uma direco).Por outro lado, para que a recta p seja paralela ao 1/3, a recta tem de ser paralela auma recta do 1/3. Representou-se uma recta r, de perfil, contida no 1/3 e situada nomesmo plano de perfil da recta p a recta r est definida pelo ponto A (que o seuponto de concorrncia com o eixo X) e por um ponto B, qualquer, do 1/3 (B tem asBsuas projeces simtricas em relao ao eixo X). Em seguida, optou-se por recorrer auma mudana do diedro de projeco substituiu-se o Plano Frontal de Projeco(plano 2) por um novo plano de projeco (plano 4), paralelo s duas rectas, definindo ppum novo diedro de projeco (o diedro formado pelo plano 1 e pelo plano 4) noqual as rectas p e r so rectas frontais (de frente). O novo eixo X (eixo X) paralelo ap1 e a r1 e a recta de interseco do plano 1 com o plano 4. As projeces de A, B eP no plano 4 determinaram-se em funo das respectivas cotas, que se mantiveram. Aprojeco da recta r no plano 4 (r4) est definida por A 4 e por B4. A projeco da rectap no plano 4 (p4) passa por P4 e paralela a r4 (o paralelismo entre as rectas directono novo diedro de projeco). Em seguida, determinaram-se os traos da recta p emfuno das coordenadas conhecidas F1 j era conhecido no diedro de projeco ini-cial e H2 tambm. H4 determinou-se em funo da sua cota (que nula) e F4 determi-nou-se em funo de F1. Invertendo a mudana do diedro de projeco, determinou-seF2 em funo da sua cota (que negativa e que se manteve). Note que o exerccio sepoderia ter resolvido com o recurso ao rebatimento do plano de perfil que contm asduas rectas, conforme exposto no relatrio do exerccio anterior.30.Em primeiro lugar, desenharam-se as projeces das rectas p e h, concorrentes noponto P, em funo dos dados. Para determinar os traos do plano h que deter-minar os traos das duas rectas nos planos de projeco F o trao frontal darecta h. Note que as projeces da recta p se desenharam imediatamente, apesarda recta estar definida apenas por um ponto e uma direco ( paralela ao 2/4).Para determinar os traos da recta p (que so mais dois pontos da recta) neces-srio o recurso a um processo geomtrico auxiliar recorreu-se ao rebatimento doplano de perfil que a contm (o plano ). Rebateu-se o plano para o Plano Fron-tal de Projeco (a charneira foi f), obtendo-se Pr. A recta pr passa por Pr e, umavez que a recta p paralela ao 2/4, sabe-se que a recta faz ngulos de 45 com osplanos de projeco (e com os traos do plano ) os ngulos de 45 com os tra-os do plano esto em V.G., em rebatimento, nos ngulos que a recta pr faz comhr e com fr. Das duas hipteses possveis, apenas a apresentada garante que arecta p paralela ao 2/4 (na outra situao, a recta seria paralela ao 1/3) noteque o ponto P se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela ao 2/4, ter deatravessar os 2o e 4o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se noatravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do prprio 2/4). Em funodas coordenadas do ponto P, a recta p atravessa os 2o, 1o e 4o Diedros. Note quese poderia ter determinado a recta de interseco do plano com o 2/4 (recta i) egarantir o paralelismo da recta p em relao recta i, conforme exposto no relat-rio do exerccio 28. Em seguida, determinaram-se os traos da recta p em rebati-mento (ver exerccio 28 e respectivo relatrio) F o trao frontal da recta p e H o seu trao horizontal. f, o trao frontal do plano , passa por F e F. h, o traohorizontal do plano , passa por H, concorrente com f no eixo X e paralelo recta h (rectas horizontais de um plano so paralelas entre si e paralelas ao traohorizontal do plano, que uma recta horizontal do plano com cota nula). 9 10. SOLUES 31. Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e a recta p, pelas suas projeces, em funo dos dados. Note que as projeces da recta p se desenharam imedia- tamente, apesar da recta no se encontrar completamente definida. Para determinar o ponto de interseco da recta p com o plano , e uma vez que nem a recta nem o plano so projectantes, recorreu-se ao mtodo geral da interseco de rectas com planos, como em seguida se expe: 1. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar o plano (que um plano de perfil); 2. determinou-se a recta de interseco do plano com o plano (a recta i, que uma recta de perfil) a recta i fica definida por dois pontos, que so os seus traos (trata-se do caso geral da interseco de planos); 3. o ponto de concorrncia das duas rec- tas (recta p e recta i) o ponto de interseco da recta p com o plano . Uma vez que tanto a recta p com a recta i so rectas de perfil, a determinao do seu ponto de concorrncia s se pode processar com o recurso a um processo geomtrico auxiliar. Optou-se pelo rebati- mento do plano rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f). Rebateu-se a recta i, pelo rebatimento dos seus traos ir fica definida por Fr e Hr. A rec- ta pr passa por Sr e, uma vez que a recta p paralela ao 1/3, sabe-se que a recta faz ngu- los de 45 com os planos de projeco (e com os traos do plano ) os ngulos de 45 com os traos do plano esto em V.G., em rebatimento, nos ngulos que a recta pr faz com hr e com fr. Das duas hipteses possveis, apenas a apresentada garante que a recta p paralela ao 1/3 (na outra situao, a recta seria paralela ao 2/4, tal como se observou no exerccio anterior) note que o ponto S se situa no 1o Diedro e que a recta, sendo paralela ao 1/3, ter de atravessar os 1o e 3o Diedros, bem como um qualquer dos outros dois (se no atravessasse mais nenhum Diedro, seria uma recta do prprio 1/3). Em funo das coordenadas do ponto S, a recta p atravessa os 1o, 2o e 3o Diedros. Uma outra forma de resolver a questo do paralelismo da recta p em relao ao 1/3 seria determinar a recta de interseco do plano com o 1/3 e desenhar a recta em rebatimento ( semelhana do exposto no relatrio do exerccio 28) a recta pr passaria por Sr e seria paralela quela. O ponto de interseco das duas rectas (recta p e recta i) o ponto I determinou-se em rebatimento. Ir o ponto de concorrncia de i r e pr. Invertendo o rebatimento, determina- ram-se as projec-es do ponto I que o ponto de interseco da recta p com o plano . 32. Em primeiro lugar, representaram-se as rectas p e r, pelas respectivas projeces, em funo dos dados. Uma vez que a recta r paralela ao 1/3, as suas projeces fazem, com o eixo X, ngulos iguais e com o mesmo sentido de abertura. Em seguida, deter- minaram-se os traos frontal e horizontal da recta r F e H, respectivamente. A deter- minao dos traos da recta p (F e H) processou-se conforme exposto no relatrio do F exerccio 30. f , o trao frontal do plano , est definido por F e F. h, o trao horizon- tal do plano , est definido por H e H e concorrente com f no eixo X. 33. Dois planos so paralelos se e s se duas rectas concorrentes de um dos planos forem paralelas a duas rectas concorrentes do outro pla- no, ou seja, dois planos so paralelos se e s se tiverem, em comum, duas famlias de rectas.10 11. SOLUES34.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas pro-jeces, em funo dos dados. Para que dois planos sejam paralelos, duas rectas concorren-tes de um dos planos tm de ser paralelas a duas rectas concorrentes do outro (os dois planostm de conter duas famlias de rectas em comum). Atendendo a que os traos de um planooblquo so duas rectas concorrentes desse plano, para que o plano seja paralelo ao plano, basta que os seus traos sejam paralelos aos traos homnimos de . Por outro lado, paraque o plano contenha o ponto P, necessrio que P se situe numa recta do plano . Assim,em primeiro lugar h que conduzir, por P, uma recta do plano essa recta ter de ser umarecta frontal (de frente) ou uma recta horizontal (de nvel), que so as rectas do plano que jfconhecemos (f uma recta frontal e h uma recta horizontal). Optou-se pela primeira hiptese a recta f, frontal (de frente), que passa por P, uma recta do plano pois ser paralela a f ,uma vez que rectas frontais (de frente) de um plano so paralelas entre si (e f paralelo a f ,pelo que j sabemos a direco das rectas frontais de ). Em seguida, determinou-se H, otrao horizontal de f. Por H conduziu-se h, paralelo a h e f paralelo a f (e a f) e con-corrente com h no eixo X. O plano contm o ponto P e paralelo ao plano .35.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto M, pelassuas projeces, em funo dos dados. Sobre a determinao dos traos do plano ,ver relatrio do exerccio anterior.36.Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P,pelas suas projeces, em funo dos dados. Note que as projeces do pon-to P esto sobre os traos homnimos do plano , mas P no pertence aoplano , pois no verifica a condio para que um ponto pertena a um planoem relao ao plano (tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre adeterminao dos traos do plano , ver exerccio 34 e respectivo relatrio. Arecta h, horizontal (de nvel), que passa por P, uma recta do plano poisser paralela a h, uma vez que rectas horizontais (de nvel) de um plano soparalelas entre si (e h paralelo a h, pelo que j sabemos a direco dasrectas horizontais de ). Em seguida, determinou-se F, o trao frontal de h. PorF conduziu-se f , paralelo a f e h paralelo a h (e a h) e concorrente com f no eixo X. O plano contm o ponto P e paralelo ao plano .37. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Note que as projeces do ponto P esto sobre os traos homnimos do plano , mas P no pertence ao plano , pois no verifica a condio para que um ponto pertena a um plano em relao ao plano (tem de pertencer a uma recta do plano). Sobre a determinao dos traos do plano , ver exerccio 34 e respectivo relatrio. A recta h, horizontal (de nvel), que passa por P, a recta auxiliar a que se recorreu ser paralela a h. F o trao frontal de h por F conduziu-se f , paralelo a f e h paralelo a h (e a h) e concorrente com f no eixo X. O plano contm o ponto P e paralelo ao plano . 11 12. SOLUES 38. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Para que o plano seja paralelo ao plano , o plano tem de ter os seus traos paralelos aos traos homnimos do plano . Por outro lado, uma vez que se trata de planos projectantes horizontais, para que o plano contenha o ponto P, basta que h passe por P1 um plano projectante horizontal projecta todas as suas rectas e pontos no seu trao horizontal, e o plano projectante horizontal. Assim, por P1 conduziu- -se h, paralelo a h f vertical ( paralelo a f ) e concorrente com h no eixo X. 39. A afirmao verdadeira. No entanto, os traos homnimos de um plano de rampa so sempre paralelos entre si, mesmo que os dois pla- nos no sejam paralelos entre si, pois so rectas da mesma famlia de rectas. De facto, tanto o trao frontal como o trao horizontal de um qualquer plano de rampa so, ambos, rectas fronto-horizontais, e rectas fronto-horizontais so sempre paralelas entre si. Assim, quaisquer dois planos de rampa tm, sempre, os traos homnimos paralelos entre si, mesmo que no sejam paralelos. De facto, ao contrrio das restantes situaes (todos os planos que no sejam paralelos ao eixo X), o facto de os traos homnimos de dois planos de rampa serem paralelos entre si (o que se verifica sempre) no nos garante o paralelismo entre os dois planos. 40.Em primeiro lugar representaram-se os dois planos, pelos respectivos traos, em funodos dados. Para que os dois planos sejam paralelos, tm de conter duas famlias derectas em comum (duas rectas concorrentes de um dos planos tm de ser paralelas aduas rectas concorrentes do outro plano). Os traos (horizontal de frontal) dos dois pla-nos so rectas de uma mesma famlia de rectas (as rectas fronto-horizontais), pelo queos dois planos j tm uma famlia de rectas em comum. necessrio averiguar seexiste outra famlia de rectas em comum. Para tal, recorreu-se a uma recta auxiliar qual-quer, r do plano a recta r est definida por dois pontos, que so os seus traos (con-dio para que uma recta pertena a um plano). Se os dois planos forem paralelos, afamlia da recta r tambm existe no plano . Assim, desenharam-se as projeces deuma recta s, do plano , tentando que s seja paralela recta r s2, a projeco frontalda recta s, paralela a r2, a projeco frontal da recta r. Em seguida, determinaram-seos traos da recta s e desenhou-se a sua projeco horizontal, s1 (a recta s tambm estdefinida por dois pontos, que so igualmente os seus traos). Constata-se que, emboraas projeces frontais das duas rectas sejam paralelas entre si, as suas projeces hori-zontais no o so, pelo que as duas rectas no so paralelas entre si (no so rectas damesma famlia de rectas). Ento, os dois planos no so paralelos. 41. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. De acordo com o exposto na resposta questo do exerccio 39, os traos de sero sempre paralelos aos traos homni- mos de , quer os planos sejam paralelos ou no (so rectas da mesma famlia de rectas). Assim, h que recorrer a outra famlia de rectas para garantir o paralelismo entre os dois planos. Por outro lado, para que o plano contenha o ponto P, neces- srio que P pertena a uma recta do plano. Assim, desenharam-se as projeces de uma recta r, oblqua, qualquer, do plano . A recta r uma recta de uma outra fam- lia de rectas qualquer (diferente da famlia de rectas dos traos do plano), que ter de ser comum aos dois planos. Em seguida, pelas projeces de P conduziram-se as projeces de uma recta s, paralela recta r, e determinaram-se os seus traos. Pelos traos de s conduziram-se os traos homnimos do plano . O plano paralelo ao plano (pois contm duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano ) e contm o ponto P (pois P pertence a uma recta do plano a recta s).12 13. SOLUES42.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o plano , pelo seutrao frontal, em funo dos dados. Os dois planos j tm uma famlia de rectas emcomum a famlia das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos,os planos tm de conter uma outra famlia de rectas em comum. Recorreu-se a umarecta r, oblqua, qualquer, do plano . A recta r uma recta de uma outra famlia de rectasqualquer (diferente da famlia de rectas dos traos do plano), que ter de ser comumaos dois planos. Em seguida, desenharam-se as projeces de uma recta s, paralela recta r e pertencente ao plano (o trao frontal da recta s, F, tem de se situar sobre f ).Determinou-se o trao horizontal da recta s, H, e por H conduziu-se o trao horizontaldo plano , h. O plano paralelo ao plano , pois contm duas rectas concorrentesparalelas a duas rectas concorrentes do plano (o seu trao frontal e a recta s, porexemplo, que so paralelos, respectivamente, ao trao frontal do plano e recta r).43.a) Em primeiro lugar representou-se o ponto P pelas suas projeces, em funo das suas coordenadas. Sendo dada a amplitude do diedro que o plano faz com o Pla- no Horizontal de Projeco, sabe-se que as suas rectas de perfil fazem, com o Plano Horizontal de Projeco, ngulos com a mesma amplitude. Assim, em primeiro lugar conduziu-se, por P , uma recta p, de perfil, que est definida por um ponto (o ponto P) e uma direco (faz um ngulo de 30o com o Plano Horizontal de Pro- jeco). Os traos do plano tm de conter os traos homnimos da recta p. Optou-se por recorrer ao rebati- mento do plano de perfil (plano ) que contm a recta p rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f ), obtendo Pr. O ngulo que a recta p faz com o Plano Horizontal de Projeco igual (tem a mesma amplitude) ao ngulo que a recta p faz com h, que est em V.G. no ngulo entre pr e hr. Assim, condu- ziu-se pr, por Pr, fazendo um ngulo de 30 com hr e garantindo que o trao horizontal da recta se situa no SPHA ( dado que o trao horizontal do plano tem afas- tamento positivo). Determinaram-se os traos da recta p em rebatimento, aps o que se inverteu o rebatimento e se determinaram as respectivas projeces. Em seguida, por F conduziu-se f (o trao frontal do plano ) e por H conduziu-se h (o trao horizontal do plano ).b) Em primeiro lugar representou-se o ponto S, pelas suas projeces. O plano necessariamente um plano de rampa, pelo que j temos a direco dos seus traos, que so uma nica famlia de rectas. Para que o plano seja paralelo ao plano , tem de haver outra famlia de rec- tas comum aos dois planos essa famlia de rectas pode ser a das rectas de perfil. Assim, de forma a economizar traado e a usar o rebati- mento j efectuado, conduziu-se, por S, uma recta g, fronto-horizontal a recta g necessariamente uma recta do plano . O ponto S o ponto de interseco da recta g com o plano . A recta p, que passa por S e paralela recta p, uma recta do plano note que p a recta de interseco do plano com o plano , tal como a recta p era a recta de interseco do plano com o plano . Determinou-se Sr e por Sr conduziu-se pr, paralela a pr. Determinaram-se os traos da recta p em rebatimento, aps o que se inverteu o rebatimento e se determinaram as respectivas projeces. Em seguida, por F conduziu-se f (o trao frontal do plano ) e por H conduziu-se h (o trao horizontal do plano ).44.Em primeiro lugar representaram-se os planos e pelos seus traos, em funodos dados note que, sendo o plano um plano passante, possvel definir ime-diatamente os seus traos que, no entanto, so insuficientes para definir o plano,pois so uma nica recta ( possvel definir um plano por uma nica recta se e sse essa recta for uma das suas rectas de maior declive ou uma das suas rectas demaior inclinao). Os dois planos j tm uma famlia de rectas em comum afamlia das rectas fronto-horizontais. Para que os planos sejam paralelos, os pla-nos tm de conter uma outra famlia de rectas em comum. Recorreu-se a umarecta r, oblqua, qualquer, do plano . A recta r uma recta de uma outra famliade rectas qualquer, que ter de ser comum aos dois planos. Em seguida desenha-ram-se as projeces de uma recta s, paralela recta r e pertencente a a rectas n e c e s s a r i a m e n t e uma recta passante. O plano , definido por duas rectasconcorrentes (o eixo X e a recta s) paralelo ao plano .13 14. SOLUES 45. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos (que esto coincidentes no eixo X) e pelo ponto P, e o ponto A, pelas suas projeces, em funo dos dados. J se sabe que os traos do plano (o plano pedido) so rectas fronto-horizontais, pois trata-se de um plano de rampa os dois planos j tm uma famlia de rectas em comum (a famlia das rectas fronto-horizontais). Para que os planos sejam paralelos, os planos tm de conter uma outra famlia de rectas em comum. Por outro lado, para que o plano contenha o ponto A, o ponto tem de pertencer a uma recta do plano. Recorreu-se a uma recta r, oblqua, qualquer, do plano a recta r passa pelo ponto P (que um ponto do plano ) e uma recta passante. Em seguida, desenharam-se as projeces de uma recta s, paralela recta r e passando por A determinaram-se os traos da recta s, pelos quais se con- duziram os traos homnimos do plano . O plano paralelo ao plano (os dois planos tm duas famlias de rectas em comum) e contm o ponto A , pois o ponto A pertence a uma recta do plano (a recta s). 46.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suasprojeces, em funo dos dados. Em seguida, pelas projeces de P conduziram-seimediatamente as projeces da recta p note que no foi necessrio nenhum procedi-mento particular para desenhar as projeces da recta p. A recta p, no entanto, no estcompletamente definida falta-nos outro ponto para definir a recta, para alm do pontoP. Por outro lado, h que garantir que a recta p seja paralela ao plano , para o que a rec-ta p ter de ser paralela a uma recta do plano (critrio de paralelismo entre rectas e pla-nos). Assim, recorreu-se a uma recta p, qualquer, de perfil e pertencente ao plano poruma questo de economia de traados, optou-se por fazer com que a recta p tenhaabcissa nula. A recta p est definida por dois pontos, que so os seus traos (condiopara que uma recta pertena a um plano). A recta p tem de ser paralela recta p. Paragarantir o paralelismo entre as rectas p e p recorreu-se ao raciocnio exposto no relatriodo exerccio 4. As rectas p e p, sendo paralelas, so complanares recorreu-se a duasrectas do plano definido por p e p. A recta r concorrente com a recta p no ponto P ecom a recta p no ponto H (o seu trao horizontal). A recta s concorrente com a recta pno ponto F (o seu trao frontal) e paralela recta r. A recta s, porque complanar coma recta p, concorrente com esta num ponto M. A recta p, definida por P e M, paralela recta p, que uma recta do plano , pelo que a recta p paralela ao plano . 47. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e a recta p, pelas suas projeces, em funo dos dados. Note que as projeces da recta p se desenharam imediatamente, apesar da recta no se encontrar completa- mente definida. Para determinar o ponto de interseco da recta p com o plano , e uma vez que nem a recta nem o plano so projectantes, recorreu-se ao mtodo geral da interseco de rectas com planos, como em seguida se expe: 1. conduziu-se, pela recta, um plano auxiliar o plano (que um plano de per- fil); 2. determinou-se a recta de interseco do plano com o plano (a recta i, que uma recta de perfil) a recta i fica definida por dois pontos, que so os seus traos (trata-se do caso geral da interseco de planos); 3. o ponto de con- corrncia das duas rectas (recta p e recta i) o ponto de interseco da recta p com o plano . Uma vez que tanto a recta p com a recta i so rectas de perfil, a determinao do seu ponto de concorrncia s se pode processar com o recur- so a um processo geomtrico auxiliar. Optou-se pelo rebatimento do plano rebateu-se o plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f ). Reba- teu-se a recta i, pelo rebatimento dos seus traos ir fica definida por Fr e Hr. A recta pr passa por Pr e, uma vez que a recta p paralela ao 2/4, sabe-se que a recta faz ngulos de 45 com os planos de projeco (e com os traos do plano ) ver exerccio 30 e respectivo relatrio. O ponto de interseco das duas rec- tas (recta p e recta i) o ponto I determinou-se em rebatimento. Ir o ponto de concorrncia de i r e pr. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projec- es do ponto I que o ponto de interseco da recta p com o plano .14 15. SOLUES48.Em primeiro lugar representaram-se as rectas r e h, pelas respectivas projec-es, em funo dos dados. Para que o plano seja paralelo recta r, tem deconter uma recta paralela recta r (critrio de paralelismo entre planos e rec-tas). Assim, conduziu-se uma recta s, paralela recta r e concorrente com arecta h por uma questo de economia de traados, optou-se por fazer comque a recta s seja concorrente com a recta h no ponto B. O plano definido pelasrectas h e r est definido por duas rectas concorrentes e necessariamenteparalelo recta r. Em seguida, determinaram-se H, o trao horizontal da recta s(o seu trao frontal est fora dos limites do desenho) e F, o trao frontal da rectah. h, o trao horizontal do plano , passa por H e paralelo a recta h (rectashorizontais de um plano so paralelas entre si e paralelas ao trao horizontaldo plano, que uma recta horizontal do plano com cota nula). f passa por F e concorrente com h no eixo X.49.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e a recta g, pelas suas projeces, em funo dos dados. Para que osdois planos sejam paralelos, tm de conter duas famlias de rectas em comum uma vez que se trata de planos de rampa, os dois planosj tm, em comum, a famlia das rectas fronto-horizontais. necessria uma outra famlia de rectas comum aos dois planos. Assim,desenharam-se as projeces de uma recta r, oblqua, qualquer, do plano . A recta r uma recta de uma outra famlia de rectas qualquer(no fronto-horizontal, que a famlia que os dois planos j tm em comum), que ter de ser comum aos dois planos a recta r estdefinida por dois pontos, que so os seus traos. Em seguida, desenharam-se as projeces de uma recta s, paralela recta r e concorrentecom a recta g num ponto P, e determinaram-se os seus traos. Pelos traos de s conduziram-se os traos homnimos do plano . O plano paralelo ao plano , pois contm duas rectas concorrentes paralelas a duas rectas concorrentes do plano . 15 16. SOLUES 14 P ERPENDICUL ARIDADE E O RTOGONALIDADE 50. Duas rectas perpendiculares so duas rectas ortogonais (que formam, entre si, quatro ngulos rectos de 90) que so complanares (so concorrentes). Rectas o r t o g o n a i s so rectas no complanares paralelas a duas rectas perpendiculares. 51. A afirmao f a l s a. Duas rectas ortogonais podem ou no ser perpendiculares se forem complanares, ento so perpendiculares (so concorrentes), mas se no forem complanares, as rectas sero apenas ortogonais. J o contrrio verdade duas rectas perpendiculares so necessariamente ortogonais. A ortogonalidade condio necessria para que se verifique a perpendicularidade, mas no o contrrio. 52. A afirmao f a l s a. As projeces de duas rectas perpendiculares entre si no so perpendiculares entre si, a menos que uma das rectas seja paralela a um dos planos de projeco nesse caso, as projeces das duas rectas nesse plano de projeco sero sempre per- pendiculares entre si. 53. A afirmao verdadeira. De facto, e como se referiu na resposta questo anterior, se duas rectas so perpendiculares ou ortogonais e uma delas paralela a um dos planos de projeco, as projeces das duas rectas nesse plano de projeco so necessariamente perpendiculares entre si. Assim, atendendo a que as rectas horizontais (de nvel) so paralelas ao Plano Horizontal de Projeco, qualquer recta perpendicular ou ortogonal a uma recta horizontal (de nvel) ter a sua projeco horizontal (a projeco no Plano Horizontal de Pro- jeco) perpendicular projeco horizontal da recta horizontal (de nvel). 54. Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projec- es, em funo dos dados. Em seguida, uma vez que a recta h paralela ao Plano Horizontal de Projeco, sabe-se que a ortogonalidade entre a recta h e qualquer outra recta directa em projeco horizontal. Assim, por P1 conduziu-se p1, a projeco hori- zontal da recta p, perpendicular a h1 a ortogonalidade entre as duas rectas j est garantida. Por outro lado, pedido que as rectas sejam perpendiculares, pelo que as rectas tero de ser concorrentes. Em projeco horizontal, determinou-se I1, a projeco horizontal do ponto de concorrncia das duas rectas I2 situa-se sobre h2. A projeco frontal da recta p, p2, est definida por P2 e por I2. As rectas p e h so ortogonais e, uma vez que so concorrentes, so perpendiculares. 55. Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projec- es, em funo dos dados. Os dados permitiram-nos, imediatamente, desenhar a pro- jeco frontal da recta p p2. Em seguida, uma vez que a recta h paralela ao Plano Horizontal de Projeco, a ortogonalidade entre a recta h e qualquer outra recta directa em projeco horizontal. Assim, por P1 conduziu-se p1, a projeco horizontal da recta p, perpendicular a h1 a ortogonalidade entre as duas rectas j est garantida. As duas rectas no so concorrentes so apenas ortogonais.16 17. SOLUES56. Em primeiro lugar representaram-se a recta f e o ponto P, pelas respectivas projeces, em fun-o dos dados. A recta a frontal (de frente) e a ortogonalidade entre rectas frontais (de frente) directa em projeco frontal, pois ambas as rectas (f e a) so paralelas ao Plano Frontal de Projec-o. Assim, por P2 conduziu-se, imediatamente, a2, a projeco frontal da recta a, perpendicular af2 a1 paralela ao eixo X e passa por P1. J no que respeita recta b, que horizontal (de nvel),teve-se em conta que no h nenhuma recta horizontal (de nvel) cuja projeco frontal sejaperpendicular a f2. No entanto, tratando-se de uma recta horizontal (de nvel), que paralela aoPlano Horizontal de Projeco, sabe-se que a ortogonalidade directa em projeco horizontal.Assim, por P1 conduziu-se b1, perpendicular a f1 (b1 fica perpendicular ao eixo X) a partir de b1constatou-se que a recta b ter de ser uma recta de topo, pois a nica recta horizontal (de nvel)cuja projeco horizontal perpendicular ao eixo X (uma recta de topo um caso particular dasrectas horizontais). A projeco frontal de b um ponto, que est coincidente com P2. Sublinha-seque para desenhar as projeces da recta a se teve em conta que a recta a uma recta frontal(de frente), paralela ao Plano Frontal de Projeco, pelo que a ortogonalidade directa em pro-jeco frontal. J para desenhar as projeces da recta b, que uma recta horizontal (de nvel),paralela ao Plano Horizontal de Projeco, se teve em conta que a ortogonalidade directa emprojeco horizontal. Visualize no espao que qualquer recta de topo necessariamente ortogo-nal a qualquer recta frontal (de frente).57.Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto P, pelas respectivas projeces,em funo dos dados. Sobre a determinao das projeces da recta r, ver exerccio 55 erespectivo relatrio.58.Em primeiro lugar representaram-se a recta t e o ponto B, pelas respectivas projeces,em funo dos dados. Em seguida, por B 2 conduziu-se p2, com o ngulo pedido p2faz, com o eixo X, um ngulo de 45 (a.d.). Uma recta de topo um caso particular dasrectas horizontais (de nvel) paralela ao Plano Horizontal de Projeco e a ortogonali-dade entre uma recta de topo e outra recta qualquer directa em projeco horizontal.Assim, por B 1 conduziu-se a projeco horizontal da recta p, p1, perpendicular a t 1 constata-se imediatamente que a recta p uma recta frontal (de frente). Visualize noespao que qualquer recta ortogonal a uma recta de topo necessariamente uma rectafrontal (de frente), incluindo qualquer dos seus casos particulares.59. Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas projeces, em funo dos dados. A recta g, porque se trata de uma recta fronto-horizontal, simultaneamente um caso particular das rectas frontais (de frente) e um caso particular das rectas horizontais (de nvel). Assim, para desenhar as projeces de uma recta ortogonal recta g, esta pode ser con- siderada como uma recta frontal (em que a ortogonalidade directa em projeco frontal) ou como uma recta horizontal (em que a ortogonalidade directa em projeco horizontal). Optou-se pela segunda hiptese considerando a recta g como uma recta horizontal (de nvel), sabe-se que a ortogonalidade entre a recta g e outra recta qualquer directa em projeco hori- zontal. Assim, p1, a projeco horizontal da recta p, perpendicular a g1 (e ao eixo X) qual- quer que seja a projeco frontal da recta, a recta p necessariamente ortogonal recta g, pois a ortogonalidade j est garantida. A projeco horizontal desenhada s pode corresponder a uma recta de topo ou a uma recta de perfil. Optou-se pela primeira situao a recta p dese- nhada uma recta de topo. Caso se tivesse considerado a recta g como um caso particular das rectas frontais (de frente), p2, a projeco frontal da recta p, seria perpendicular a g2 nesse caso, a recta p poderia ser uma recta vertical ou uma recta de perfil (so as nicas rectas a que poderia corresponder aquela projeco frontal). Assim, face ao exposto, as hipteses de resolu- o que existem so trs rectas de topo, rectas verticais ou rectas de perfil. Tenha em con- ta que qualquer recta de perfil necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal assim, quando se refere a recta de perfil esto includas as infinitas direces de rectas de perfil.17 18. SOLUES 60. Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas pro- jeces, em funo dos dados. De acordo com o exposto no relatrio do exerc- cio anterior, possvel comear por desenhar qualquer das projeces da recta p optou-se igualmente por desenhar p1. No entanto, ao contrrio do exerccio an- terior, agora pretende-se que as duas rectas sejam perpendiculares para tal, as duas rectas tero de ser concorrentes. O ponto I, determinado atravs da sua projeco horizontal, o ponto de concorrncia das duas rectas. A recta p passa por P e por I, pelo que necessariamente uma recta de perfil que est definida por dois pontos. Note que, caso se tivesse comeado por desenhar a projeco frontal da recta p se chegaria mesma resoluo final, sendo que, nesse caso, o ponto I seria determinado a partir da sua projeco frontal. 61. Em primeiro lugar representaram-se a recta r e o ponto P, pelas respectivas projec- es, em funo dos dados. As nicas rectas ortogonais recta r que se podem definir, com os conhecimentos adquiridos, so rectas frontais (de frente) ou r e c t a s h o r i- zontais (de nvel). Optou-se pela segunda hiptese. Fazendo a recta p uma recta ho- rizontal (de nvel), que paralela ao Plano Horizontal de Projeco, a ortogonalidade directa em projeco horizontal. Assim, p1 passa por P1 e perpendicular a r 1 p2 passa por P2 e paralela ao eixo X. Caso se tivesse optado por fazer a recta p uma recta frontal (de frente), que paralela ao Plano Frontal de Projeco (em que a orto- gonalidade directa em projeco frontal), p2 seria perpendicular a r 2. Conforme se referiu acima, a outra hiptese seria, ento, uma recta frontal (de frente). 62.a) Em primeiro lugar representaram-se a recta g e o ponto P, pelas respectivas projeces, em fun- o dos dados. A recta r uma recta horizontal (de nvel), paralela ao Plano Horizontal de Projec- o, pelo que a ortogonalidade directa em projeco horizontal assim, r 1 passa por P1 e tem de ser perpendicular a g1 (e perpendicular ao eixo X). A nica recta horizontal (de nvel) que tem a projeco horizontal desenhada uma recta de topo r , assim, uma recta de topo.b) A recta s uma recta frontal (de frente), paralela ao Plano Frontal de Projeco, pelo que a ortogo- nalidade directa em projeco frontal assim, s2 passa por P2 e tem de ser perpendicular a g2 (e perpendicular ao eixo X). A nica recta frontal (de frente) que tem a projeco frontal desenhada uma recta vertical s , assim, uma r e c t a v e r t i c a l. 63. a) Em primeiro lugar representou-se a recta r pelas suas projeces, em funo dosdados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta r que tem 2 cm de cota oponto P (que o ponto de concorrncia das duas rectas). A projeco frontal darecta h, h 2, desenhou-se imediatamente, passando por P 2 e paralela ao eixo X.Uma vez que a recta h horizontal (de nvel), que paralela ao Plano Horizontal deProjeco, a ortogonalidade directa em projeco horizontal assim, h1 passapor P1 e perpendicular a r 1. b) Para determinar os traos do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se ostraos destas nos planos de projeco F e H so, respectivamente, o trao frontale o trao horizontal da recta r e F o trao frontal da recta h. f , o trao frontal doplano, est definido por F e F. h, o trao horizontal do plano, passa por H, con-corrente com f no eixo X e paralelo recta h. A recta r uma recta de maiordeclive do plano , pois perpendicular s rectas horizontais (de nvel) do plano(e ao trao horizontal do plano).18 19. SOLUES64.a) Em primeiro lugar, representou-se a recta r pelas suas projeces, em funo dosdados. Em seguida, determinou-se o ponto da recta r que tem 2 cm de afastamento o ponto P (que o ponto de concorrncia das duas rectas). A projeco horizontalda recta f, f 1, desenhou-se imediatamente, passando por P1 e paralela ao eixo X.Uma vez que a recta f frontal (de frente), que paralela ao Plano Frontal de Projec-o, a ortogonalidade directa em projeco frontal assim, f 2 passa por P2 e perpendicular a r 2. b) Para determinar os traos do plano definido pelas duas rectas, determinaram-se ostraos destas nos planos de projeco F e H so, respectivamente, o trao frontale o trao horizontal da recta r e H o trao horizontal da recta f. h, o trao hori-zontal do plano, est definido por H e H. f , o trao frontal do plano, passa por F e paralelo recta f (note que o ponto do eixo X que o ponto de concorrncia dosdois traos do plano se situa fora dos limites do desenho). A recta r uma recta demaior inclinao do plano , pois perpendicular s rectas frontais (de frente) doplano (e ao trao frontal do plano).65.A recta h tem 4 cm de cota todos os seus pontos tm 4 cm de cota. A recta f tem 3 cm de afasta-mento todos os seus pontos tm 3 cm de afastamento. O ponto de concorrncia das duas rectas(ponto P), porque pertence simultaneamente s duas rectas, tem 4 cm de cota e 3 cm de afasta-mento. A partir do raciocnio exposto, desenharam-se as projeces das rectas f e h, em funodos dados. A recta r, sendo perpendicular recta f (que paralela ao Plano Frontal de Projeco),tem de ter a sua projeco frontal perpendicular a f 2, pois a perpendicularidade directa em pro-jeco frontal r 2 passa por P2 e perpendicular a f 2. Por outro lado, a recta r, sendo perpendicu-lar recta h (que paralela ao Plano Horizontal de Projeco), tem de ter a sua projecohorizontal perpendicular a h1, pois a perpendicularidade directa em projeco horizontal r 1 pas-sa por P1 e perpendicular a h1.66.A afirmao f a l s a. Uma recta ortogonal a um plano se e s se for ortogonal a duas rectas concorrentes do plano. De facto, atendendo situao do exerccio 63, por exemplo, a recta r ortogonal (e perpendicular) a duas rectas do plano (a recta h e h, o trao horizontal doplano) mas, no entanto, a recta r no ortogonal ao plano mas, sim, pertence ao plano. Tal justifica-se pelo facto de as rectas h e h seremduas rectas p a r a l e l a s do plano e no duas rectas concorrentes.67.O Critrio de ortogonalidade entre rectas e planos afirma que uma recta ortogonal a um plano se e s se for ortogonal a duas rectas con-correntes desse plano, pelo que um plano ortogonal a uma recta se e s se contiver duas rectas concorrentes ortogonais recta dada.68.A afirmao verdadeira. Segundo o Teorema da ortogonalidade entre rectas e planos, uma recta ortogonal a um plano ortogonal atodas as rectas desse plano. Assim, uma vez que os traos de um plano so duas rectas desse plano, qualquer recta ortogonal a esse pla-no necessariamente ortogonal aos traos do plano.69. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelo seu trao frontal, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. O plano , porque horizontal (de nvel), contm todas as direces das rectas horizontais (de nvel). Assim, a recta p ter de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duas rectas horizontais (de nvel) quais- quer, concorrentes a recta p necessariamente uma r e c t a v e r t i c a l.70.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelo seu trao horizontal, e o ponto A , pelas suas pro-jeces, em funo dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectasconcorrentes desse plano. O plano , porque frontal (de frente), contm todas as direces dasrectas frontais (de frente). Assim, a recta p ter de ser uma recta qualquer, que seja ortogonal a duasrectas frontais (de frente) quaisquer, concorrentes a recta p necessariamente uma recta de topo.19 20. SOLUES 71. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traos do plano so duas rectas concor- rentes do plano assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traos do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O trao frontal do plano, f , uma recta frontal (de frente) do plano ( uma recta vertical, que um caso par- ticular das rectas frontais), pelo que a ortogonalidade directa em projeco frontal por P2 conduziu-se p2, perpendicular a f . O trao horizontal do plano, h, uma recta hori- zontal (de nvel) do plano, pelo que a ortogonalidade directa em projeco horizontal por P1 conduziu-se p1, perpendicular a h. A recta p uma recta horizontal (de nvel). 72. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traos do plano so duas rectas concorrentes do plano assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traos do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O trao horizontal do plano, h, uma recta horizontal (de nvel) do plano ( uma recta de topo, que um caso particular das rectas horizontais), pelo que a ortogonalidade directa em projeco horizontal por P1 con- duziu-se p1, perpendicular a h. O trao frontal do plano, f , uma recta frontal (de frente) do plano, pelo que a ortogonalidade directa em projeco frontal por P2 conduziu-se p2, per- pendicular a f . A recta p uma recta frontal (de frente). 73. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto A, pelas suas projec- es, em funo dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traos do plano so duas rectas concorrentes do plano assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traos do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O trao horizontal do plano, h, uma recta horizontal (de nvel) do plano ( uma recta de topo, que um caso particular das rectas horizontais), pelo que a ortogonalidade directa em projeco horizontal por A 1 conduziu-se p1, perpendicular a h. O trao frontal do plano, f , uma recta frontal (de frente) do plano ( uma recta vertical, que um caso particular das rectas frontais), pelo que a ortogonalidade directa em projeco frontal por A 2 conduziu-se p2, perpendicular a f . A recta p uma recta fronto-horizontal. 74. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Uma recta ortogonal a um plano tem de ser ortogonal a duas rectas concorrentes desse plano. Os traos do plano so duas rectas concorrentes do plano assim, basta fazer com que a recta p seja simultaneamente ortogonal aos traos do plano, para garantir que a recta p seja ortogonal ao plano. O trao horizontal do plano, h, uma recta horizontal (de nvel) do plano, pelo que a ortogo- nalidade directa em projeco horizontal por P1 conduziu-se p1, perpendicular a h. O trao frontal do plano, f , uma recta frontal (de frente) do plano, pelo que a ortogonalidade directa em projeco frontal por P2 conduziu-se p2, perpendicular a f . A recta p ortogonal ao plano, pois ortogonal a duas rectas concorrentes do plano os traos do plano. Note que as projeces da recta p so per- pendiculares aos traos homnimos do plano, o que se verificou igualmente nas situaes anteriores.20 21. SOLUES75.a) Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Sobre a determinao das projeces da recta p, ver exerccio anterior e respectivo relatrio.b) Para determinar o ponto de interseco da recta p com o plano , e uma vez que nem a recta nem o plano so projectantes, h que recorrer ao mtodo geral da in- terseco de rectas com planos. Assim, tem-se: 1. por p conduziu-se um plano au- xiliar (o plano , que um plano vertical o plano projectante horizontal da recta p); 2. determinou-se a recta i, a recta de interseco dos dois planos (a recta i est definida pelos seus traos, pois trata-se do caso geral da interseco entre planos); 3. o ponto de concorrncia da recta i com a recta p (o ponto I) o ponto de inter- seco da recta p com o plano .76. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto A , pelas suas projeces, em funo dos dados. Sobre a determinao das projeces da recta r , ver exerccio 74 e respectivo relatrio. Sobre a determinao do ponto I, e tendo em conta que nem a recta nem o plano so projectantes, recorreu-se ao mtodo geral da interseco de rectas com planos (ver a alnea b) do relatrio do exerccio anterior). O plano , de topo, o plano auxiliar a que se recorreu o plano projectante frontal da recta r.77.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suas projec-es, em funo dos dados. Sobre a determinao das projeces da recta r, ver exerccio 74 erespectivo relatrio. Note que a recta r tem as suas projeces paralelas entre si trata-se de umarecta paralela ao 2/4.78.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto P, pelas suasprojeces, em funo dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projec-es da recta p, perpendiculares aos traos homnimos de . A recta p uma recta dep e r f i l, que no se encontra totalmente definida em Dupla Projeco Ortogonal, uma vezque as suas projec-es no verificam o Critrio de reversibilidade. Assim, necessitamos demais um ponto da recta p, para alm do ponto P. A recta p, para ser ortogonal ao plano ,tem de ser ortogonal a duas famlias de rectas do plano. A recta p j ortogonal s rectasfronto-horizontais de (qualquer recta de perfil necessariamente ortogonal a uma rectafronto-horizontal ver relatrio do exerccio 59) necessrio que a recta p seja ortogonala outra famlia de rectas do plano (s rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p con-duziu-se um plano auxiliar , de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que a recta deinterseco de com a recta i uma recta de perfil de e est definida pelos seus tra-os (trata-se do caso geral da interseco entre planos). A recta p ter de ser perpendicular recta i. necessrio o recurso a um processo geomtrico auxiliar optou-se pelo rebati-mento do plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f ), obtendo-se ir (defi-nida por Fr e Hr) e Pr. Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a ir. Sobre pr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para alm de P Rr.Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeces de R a recta p, ortogonal a , est definida por P e R. Note que o processo geom-trico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudana do diedro de projeco. 21 22. SOLUES 79.Em primeiro lugar, representaram-se o plano , pelos seus traos, e o ponto M, pelassuas projeces, em funo dos dados. Sobre a determinao da recta p, ver relatriodo exerccio anterior. O outro ponto da recta p a que se recorreu para a definir emDupla Projeco Ortogonal foi o seu trao frontal o ponto F. A recta p, definida por M epor F, ortogonal ao plano . 80. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelo seu trao frontal (no conhecido o seu trao horizontal, pois dada a orientao do plano), e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. Em seguida, desenharam-se imediatamente as projeces da recta p, que necessariamente uma recta de perfil a recta p no se encontra totalmente definida em Dupla Projeco Ortogonal, uma vez que as suas projeces no verificam o Critrio de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para alm do ponto P. A recta p, para ser ortogonal ao plano , tem de ser ortogonal a duas famlias de rectas do plano. A recta p j ortogonal s rectas fronto-horizontais de (qualquer recta de perfil necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) necessrio que a recta p seja ortogonal a outra famlia de rectas do plano (s rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar , de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que a rec- ta de interseco de com a recta i uma recta de perfil de e est definida pelo seu trao frontal, F, e pela sua direco (faz um ngulo de 30 com o Plano Horizontal de Projec- o, que um ngulo com a mesma amplitude do diedro que o plano faz com o Plano Ho- rizontal de Projeco). O ngulo que a recta i faz com o Plano Horizontal de Projeco tem a mesma amplitude que o ngulo que a recta i faz com h. A recta p ter de ser perpendicular recta i. necessrio o recurso a um processo geomtrico auxiliar optou-se pelo rebati- mento do plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f), obtendo-se Pr e Fr. Por Fr conduziu-se ir, fazendo um ngulo de 30o com hr e garantindo que o trao horizontal da recta tem afastamento positivo ( dado que o trao horizontal do plano se situa no SPHA). Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a ir. Sobre pr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para alm de P Ar. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeces de A a recta p, ortogonal a , est definida por P e A. Note que o pon- to A o ponto de concorrncia das duas rectas (p e i) e , assim, o ponto de interseco da recta p com o plano , mas poderia ser outro ponto qualquer. Note ainda que no foi necessria a determinao do trao horizontal do plano para a resoluo do exerccio, nem aquele era pedido no enunciado. A determinao do trao horizontal da recta i, H, processou-se apenas para garantir que o trao horizontal do plano tem afas- tamento positivo. Sublinha-se que o processo geomtrico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudana do diedro de projeco. 81. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelo seu trao frontal (ver exerccio anterior), e o ponto P, pelas suas projeces, em fun- o dos dados. Sobre a determinao da recta, ver exerccio anterior e respectivo relatrio. Note que, nesta situao, o trao horizontal da recta i (a recta de interseco do plano com o plano ) tem afasta- mento negativo, pois pedido expressamente no enunciado que o trao horizontal do plano se situe no SPHP. O ponto A, o outro ponto a que se recorreu para definir a recta p, j no foi o ponto de inter- seco da recta p com o plano .22 23. SOLUES82.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos (que estocoincidentes no eixo X) e pelo ponto P, bem como o ponto K , pelas suasprojeces, em funo dos dados. Em seguida, passando por K , desenha-ram-se imediatamente as projeces da recta p, que necessariamenteuma recta de perfil a recta p no se encontra totalmente definida emDupla Projeco Ortogonal, uma vez que as suas projeces no verifi-cam o Critrio de reversibilidade. Assim, necessi-tamos de mais um pontoda recta p, para alm do ponto K . A recta p, para ser ortogonal ao plano ,tem de ser ortogonal a duas famlias de rectas do plano. A recta p j ortogonal s rectas fronto-horizontais de (qualquer recta de perfil necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) necessrioque a recta p seja ortogonal a outra famlia de rectas do plano (s rectasde perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar , deperfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que a recta de intersecode com a recta i uma recta de perfil de ( uma recta de perfil pas-sante). Para definir a recta i j temos um ponto o seu ponto de concor-rncia com o eixo X. Necessitamos de um outro ponto. Pelo ponto P (que um ponto do plano ) conduziu-se uma recta m, fronto-horizontal (que uma recta do plano ), e determinou-se o ponto de interseco da recta mcom o plano o ponto M. M um ponto comum aos dois planos, pelo que um outro ponto da recta i. A recta i j est, assim, definidapor dois pontos. A recta p ter de ser perpendicular recta i. necessrio o recurso a um processo geomtrico auxiliar optou-se pelorebatimento do plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f ), obtendo-se K r e M r. A recta i r fica definida por dois pontos M re o seu ponto de concorrncia com o eixo X, que fixo ( um ponto da charneira). Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a i r. Sobre pr repre-sentou-se arbitrariamente um outro ponto, para alm de P L r. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeces de L a recta p,ortogonal a , est definida por K e L. Note que o processo geomtrico auxiliar utilizado poderia ser, por exemplo, uma mudana do diedrode projeco, conforme se expe no relatrio do exerccio seguinte.83.Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos (que estocoincidentes no eixo X) e pelo ponto A, bem como o ponto P, pelas suas projec-es, em funo dos dados. Em seguida, passando por P, desenharam-seimediatamente as projeces da recta p, que necessariamente uma recta deperfil a recta p no se encontra totalmente definida em Dupla Projeco Orto-gonal, uma vez que as suas projeces no verificam o Critrio de reversibilidade.Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para alm do ponto P. Paraevitar a complexidade dos raciocnios dos exerccios anteriores, optou-se porrecorrer imediatamente a uma mudana do diedro de projeco, de forma atransformar o plano num plano de topo, por exemplo com um plano de topo,cujos traos so duas rectas concorrentes (ao contrrio dos planos de rampa,cujos traos so duas rectas paralelas so rectas da mesma famlia derectas), a ortogonalidade entre rectas e planos directa. Assim, substituiu-se oPlano Frontal de Projeco (plano 2) por um outro plano de projeco (plano 4),pportogonal ao plano o novo eixo X (eixo X) perpendicular a h e a recta deinterseco do plano 1 com o plano 4. As projeces de A e P no plano 4determinaram-se em funo das respectivas cotas, que se mantiveram. O traodo plano no plano 4, f 4, concorrente com h no eixo X e passa por A4 (noteque, no diedro formado pelo plano 1 e pelo plano 4, o plano de topo, pro-jectante frontal, pelo que projecta todos os seus pontos e rectas no seu trao noplano 4). Uma vez que, no novo diedro de projeco, h e f 4 so duas rectasconcorrentes, e tendo j p1 perpendicular a h, para que a recta p seja ortogonala basta que p4 (a projeco da recta p no plano 4) seja perpendicular a f 4(trata-se da situao do exerccio 72). Assim, por P4 conduziu-se p4, perpendi-cular a f 4. No diedro de projeco formado pelo plano 1 e pelo plano 4, deter-minou-se um ponto qualquer da recta p o ponto B (que o ponto deinterseco da recta p com o plano , mas que poderia ser um ponto qualquer). B1 teve determinao directa, a partir de B4. Invertendo amudana do diedro de projeco efectuada, determinou-se B2 em funo da cota de B, que se manteve. A recta p, ortogonal a , est definidapor P e B. Note que o exerccio se poderia ter resolvido pelo processo de resoluo do exerccio anterior.23 24. SOLUES 84. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos (que esto coincidentes no eixo X) e o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos dados. O plano est defi- nido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientao dado o diedro que o plano faz com o Plano Frontal de Projeco. Em seguida, passando por P, desenharam-se imedia- tamente as projeces da recta p, que necessariamente uma recta de perfil a recta p no se encontra totalmente definida em Dupla Projeco Ortogonal, uma vez que as suas projeces no verificam o Critrio de reversibilidade. Assim, necessitamos de mais um ponto da recta p, para alm do ponto P. A recta p, para ser ortogonal ao plano , tem de ser ortogonal a duas famlias de rectas do plano. A recta p j ortogonal s rectas fron- to-horizontais de (qualquer recta de perfil necessariamente ortogonal a uma recta fronto-horizontal) necessrio que a recta p seja ortogonal a outra famlia de rectas do plano (s rectas de perfil do plano, por exemplo). Por p conduziu-se um plano auxiliar , de perfil. Em seguida, determinou-se a recta i, que a recta de interseco de com a recta i uma recta de perfil de ( uma recta de perfil passante), que est definida pelo ponto M (o seu ponto de concorrncia com o eixo X) e pela sua direco. Note que a recta i faz um ngulo de 30 com o Plano Frontal de Projeco, que um ngulo com a mesma amplitude do diedro que o plano faz com o Plano Frontal de Projeco). O n- gulo que a recta i faz com o Plano Frontal de Projeco tem a mesma amplitude que o ngulo que a recta i faz com f . A recta p ter de ser perpendicular recta i. necessrio o recurso a um processo geomtrico auxiliar optou- -se pelo rebatimento do plano para o Plano Frontal de Projeco (a charneira foi f ), obtendo-se Pr e Mr (M roda sobre si prprio, pois umM ponto da charneira). A recta ir passa por Mr e faz, com f r, um ngulo de 30. Note que, sendo P um ponto do 1o Diedro, a recta ir tem de pas- sar pelo quadrante em que se situa Pr. Por Pr conduziu-se pr, perpendicular a ir. Sobre pr representou-se arbitrariamente um outro ponto, para alm de P A r. Note que A o ponto de interseco da recta p com o plano ( o ponto de concorrncia das rectas p e i), mas poderia ser outro ponto qualquer. Invertendo o rebatimento, determinaram-se as projeces de A a recta p, ortogonal a , est definida por P e A. Note que o exerccio poderia ter sido resolvido com o recurso a uma mudana do diedro de projeco, semelhana do exerccio anterior. 85.Em primeiro lugar, representou-se o ponto P, pelas suas projeces, em funo dos da-dos. O 2/4 est definido por uma recta (o eixo X) e pela sua orientao o 2/4 faz diedrosde 45o com os dois planos de projeco, pelo que esta situao semelhante situaodo exerccio anterior (ver relatrio do exerccio anterior). A recta i a recta de intersecodo plano com o 2/4 uma recta de perfil do 2/4 ( uma recta de perfil passante). Arecta i faz ngulos de 45o com os traos do plano . Rebateu-se o plano para o PlanoFrontal de Projeco (a charneira foi f ), obtendo-se Pr. A recta i r faz, com f r e hr, ngu-los de 45o note que, sendo P um ponto do 1o Diedro, a recta i r no pode passar peloquadrante em que se situa Pr. O ponto a que se recorreu para definir a recta p foi o seutrao frontal, F a recta p, ortogonal ao 2/4, est definida por P e F. Note que o exercciopoderia ter sido resolvido com o recurso a uma mudana do diedro de projeco, seme-lhana do exerccio 83. 86. Em primeiro lugar representaram-se o plano , pelos seus traos, em funo dos da- dos. Em seguida, determinou-se um ponto A qualquer, do eixo X (a recta p uma recta passante), pelo qual se conduziu a recta p. Note que este exerccio idntico ao exer- ccio 78, pelo que se aconselha a leitura do respectivo relatrio. As diferenas resi- dem, apenas, no facto de o ponto dado ser um ponto do eixo X e no facto de os traos do plano serem coincidentes, o que pode resultar nalguma confuso ao nvel da execuo, mas tenha em conta que se mantm todos os raciocnios expostos no relatrio do exerccio 78. O ponto B o ponto a que se recorreu para definir a recta p em Dupla Projeco Ortogonal.24 25. SOLUES87.Em primeiro lugar representaram-se a recta h e o ponto G, pelas respectivas projeces, em fun- o dos dados. Em seguida, para que o plano seja ortogonal recta h, o plano tem de conter duas rectas concorrentes ortogonais recta h (duas famlias de rectas ortogonais recta h) essas rectas podem ser os seus traos. Assim, f , o trao frontal do plano, porque uma recta frontal (de frente), tem de ser perpendicular a h2 (a ortogonalidade directa em projeco fron- tal). Por seu lado, h, o trao horizontal do plano , porque uma recta horizontal (de nvel), tem de ser perpendicular a h1 (a ortogonalidade directa em projeco horizontal). Para que f seja perpendicular a h2, que paralela ao eixo X, f ter de ser perpendicular ao eixo X o plano , assim, um plano vertical (um plano projectante horizontal). Para que o plano contenha o ponto G, e uma vez que se trata de um plano projectante horizontal, basta que h passe por G1 assim, por G1 conduziu-se h, perpendicular a h1. f concorrente com h no eixo X e perpen- dicular a h2 ( vertical). O plano ortogonal recta h e contm o ponto G, pois G1 situa-se sobre h (o plano projectante horizontal). O plano necessariamente um plano vertical. Visualize a situao no espao e constate que um plano ortogonal a uma recta horizontal (de nvel) necessariamente um plano vertical (projectante horizontal).88.Em primeiro lugar representaram-se a recta f e o ponto B, pelas respectivas projeces, em funodos dados. Em seguida, para que o plano seja ortogonal recta f, o plano tem de conter duasrectas concorrentes ortogonais recta f (duas famlias de rectas ortogonais recta f ) essas rectaspodem ser os seus traos. Assim, f , o trao frontal do plano, porque uma recta frontal (de frente),tem de ser perpendicular a f2 (a ortogonalidade directa em projeco frontal). Por seu lado, h, o traohorizontal do plano , porque uma recta horizontal (de nvel), tem de ser perpendicular a f1 (a ortogona-lidade directa em projeco horizontal). Para que h seja perp