book mat-spfe-2014 7s cp vol1 · argumento apresentado para a obtenção das geratrizes, ......
TRANSCRIPT
MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR
MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
7a SÉRIE/8o ANOVOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb.
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias,
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico.
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história.
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman VoorwaldSecretário da Educação do Estado de São Paulo
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 10
Situação de Aprendizagem 1 – Os racionais como mostruário das frações 10
Situação de Aprendizagem 2 – As dízimas periódicas são previsíveis... 19
Situação de Aprendizagem 3 – Do googol ao angstrom, um caminho para as potências 27
Situação de Aprendizagem 4 – As potências e a memória do computador 35
Situação de Aprendizagem 5 – Aritmética com álgebra: as letras como números 44
Situação de Aprendizagem 6 – Produtos notáveis: significados geométricos 52
Situação de Aprendizagem 7 – Álgebra: fatoração e equações 67
Situação de Aprendizagem 8 – Aritmética e Geometria: expressões algébricas de algumas ideias fundamentais 76
Orientações para recuperação 82
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 83
Considerações finais 85
Quadro de conteúdos do Ensino Fundamental – Anos Finais 86
5
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o conteú-
do disciplinar de cada volume não se afastam, de
maneira geral, do que é usualmente ensinado nas
escolas, ou do que é apresentado pelos livros di-
dáticos. As inovações aqui pretendidas referem-se
à abordagem desses assuntos, sugerida ao longo
de cada Caderno. Em tal abordagem, busca-se
evidenciar os princípios norteadores desse Cur-
rículo, destacando-se a contextualização dos
conteúdos, as competências pessoais envolvidas,
especialmente as relacionadas com a leitura e a
escrita matemática, bem como os elementos cul-
turais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos es-
tão organizados em 16 unidades de extensões
aproximadamente iguais. De acordo com o
número de aulas disponíveis por semana, o
professor explorará cada assunto com maior
ou menor aprofundamento, ou seja, escolhe-
rá uma escala adequada para o tratamento de
cada um desses assuntos. A critério do pro-
fessor, em cada situação específica, o tema
correspondente a uma das unidades pode ser
estendido para mais de uma semana, ao passo
que o de outra unidade pode ser tratado de
modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente con-
templar todas as 16 unidades, uma vez que,
juntas, elas compõem um panorama do con-
teúdo do volume e, muitas vezes, uma das
unidades contribui para a compreensão das
outras. Insistimos, no entanto, no fato de que
somente o professor, em sua circunstância
particular e levando em consideração seu in-
teresse e o dos alunos pelos temas apresenta-
dos, pode determinar adequadamente quan-
to tempo dedicará a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresenta-
das, além de uma visão panorâmica de seu
conteúdo, oito Situações de Aprendizagem,
que pretendem ilustrar a abordagem sugeri-
da, orientando o professor em sala de aula.
As atividades são independentes e podem ser
exploradas pelos professores com maior ou
menor intensidade, segundo seu interesse e de
sua turma. Naturalmente, em razão das limi-
tações de espaço dos Cadernos, nem todas as
unidades foram contempladas com Situações
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que
a abordagem dos temas seja explicitada nas
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Ca-
derno e sempre que possível, materiais como
textos, softwares, sites e vídeos, entre outros,
em sintonia com a abordagem proposta, que
podem ser utilizados pelo professor para o en-
riquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas con-
siderações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispen-
sável ao desenvolvimento das competências
enunciadas no presente volume.
6
Conteúdos básicos do volume
Os dois primeiros temas do volume 1 da
7a série/8o ano são as frações e as potências.
Com relação ao estudo das frações, além
da construção da ideia de número racional e da
determinação de frações geratrizes, temas
normalmente tratados nesta série, a natureza
desses assuntos permite que sejam exploradas
também duas importantes noções matemáti-
cas: a do infinito e a de classes de equivalência.
Concepções relacionadas ao infinito po-
dem ser exploradas por meio de discussões
sobre as dízimas periódicas. Quando, por
exemplo, chamamos de x a dízima periódica
0,333... para, em seguida, multiplicar os dois
lados da igualdade x = 0,333... por 10, produ-
zindo a nova igualdade 10x = 3,333..., temos a
intenção de usar o seguinte artifício algébrico
na sequência: 10x − x = 3,333... − 0,333...
9x = 3 x = 3
9 1
3. Ocorre que o uso de
tal artifício para a determinação da geratriz
exige que se compreenda um fato importante so-
bre os conjuntos infinitos, o de que “um elemento
a menos em um conjunto de infinitos elementos
ainda assim produz um conjunto de infinitos ele-
mentos”. Esse fato foi usado quando concluímos
que 3,333... − 0,333... é igual a 3. Note que o pri-
meiro fator tem infinitos algarismos 3 à direita da
vírgula, ao passo que o segundo tem um algaris-
mo 3 a menos, o que, ainda assim, garante infini-
tos algarismos 3 à direita da vírgula.
Outra questão que também deve ser explo-
rada no contexto das dízimas periódicas é o
da dupla representação com vírgula das fra-
ções decimais finitas, uma vez que “toda fra-
ção decimal finita pode ser escrita na forma de
uma dízima periódica”. Utilizando o mesmo
argumento apresentado para a obtenção das
geratrizes, podemos mostrar que todo decimal
finito pode ser transformado em uma dízima
periódica (exemplos: 0,43 = 0,42999...; −28,91=
= −28,90999...; 7 = 6,999...).
Com relação à discussão sobre classes de
equivalência, o desafio proposto será o de com-
preender o conjunto dos números racionais
como uma forma particular de organização
das frações, em que cada número racional será
um representante de uma classe de frações
equivalentes. A compreensão dos racionais
nesse contexto explora diretamente duas habi-
lidades muitas vezes utilizadas no pensamento
matemático, a de organizar e a de classificar
elementos em conjuntos de acordo com certa
propriedade estabelecida.
No que diz respeito ao estudo das po-
tências, na 5a série/6o ano os alunos foram
apresentados ao assunto por meio das potên-
cias de base inteira e expoente natural. No
volume 1 da 7a série/8o ano, a ideia de potên-
cia deve ser ampliada pelo uso de expoentes
inteiros negativos e pela discussão das princi-
pais propriedades operatórias das potências.
A opção de não apresentar neste Caderno
uma Situação de Aprendizagem específica
para o estudo das propriedades operatórias
das potências não significa que o assunto não
seja importante. Espera-se que um aluno de
7a série/8o ano seja capaz, ao longo do ano, de
7
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
trabalhar com as propriedades operatórias das
potências com razoável destreza e agilidade.
As propostas de trabalho nas atividades des-
te Caderno exploram a ideia do uso das po-
tências na representação de números muito
grandes ou muito pequenos em situações
práticas e aplicadas, como a de investigar-
mos o significado das unidades de medida
frequentemente usadas na informática (bits,
bytes, megabytes etc.).
O estudo formal da Álgebra começa no
final da 6a série/7o ano, por meio do uso de
letras para representar situações e da resolu-
ção de equações simples, e tem continuidade
na 7a série/8o ano, quando o enfoque volta-se
para as regras de manipulação dos símbolos
algébricos. Essa organização curricular não
interfere diretamente na ordem tradicional
de abordagem dos temas da Álgebra, porém,
sugere uma forma diferente de tratá-los, espe-
cialmente no que diz respeito ao cálculo algé-
brico abordado na 7a série/8o ano.
Normalmente, atribuímos ao estudo da
Álgebra as funções de generalizar a aritmé-
tica, de possibilitar um processo para a reso-
lução de problemas, de permitir a represen-
tação da variação de grandezas e, ainda, de
formalizar estruturas matemáticas. Entende-
mos que essas quatro funções devem ser ex-
ploradas de forma relacionada, e não como
blocos isolados dentro do planejamento.
Dessa forma, as atividades propostas devem
ser interpretadas como uma forma de estabe-
lecer a relação entre duas ou mais funções do
estudo da Álgebra.
Na Situação de Aprendizagem 1, o obje-
to de estudo são as semelhanças e diferenças
envolvendo as ideias de fração, razão entre
números quaisquer e números racionais. Com
relação ao conjunto dos números racionais, a
Situação de Aprendizagem sugere a explora-
ção do tema por meio da ideia de classes de
equivalência, o que precederia a formalização
tradicional apresentada na maioria dos livros.
As “classes de equivalência” são apresenta-
das em situações de contexto e de forma intui-
tiva, para então serem aplicadas nas frações.
Em seguida, a localização das frações na reta
numérica está combinada à discussão sobre o
caráter de densidade dos números racionais,
isto é, o fato de que entre dois números racio-
nais existem uma infinidade de outros núme-
ros racionais. Essa propriedade marcará um
passo entre o caráter discreto ou não contínuo
dos números inteiros para a continuidade re-
presentada pelos números reais.
Na Situação de Aprendizagem 2, o tema
central são as dízimas periódicas. Nela, discuti-
mos que toda fração irredutível possui uma re-
presentação decimal, a qual pode ser finita ou
infinita e periódica. Nessa Situação de Apren-
dizagem, além da discussão sobre a obtenção
das frações geratrizes, também será explorado
o ponto de vista da “previsão” do tipo de repre-
sentação decimal de uma fração irredutível por
meio de análises e estratégias de fatoração do
seu denominador. Nesse processo, serão apro-
fundados tanto os conceitos relacionados às
noções de múltiplos e divisores de um número
natural como as regras de divisibilidade.
8
Partindo da motivação de que números
muito grandes ou muito pequenos encon-
tram nas potências um caminho adequado
e prático de representação, na Situação de
Aprendizagem 3 procura-se motivar o estudo
das potências a partir de situações práticas e
desafiadoras, envolvendo notações como as
do googol e do angstrom. A atividade tam-
bém apresenta uma proposta de uso da cal-
culadora no estudo das potências.
Na Situação de Aprendizagem 4, explora-
mos a relação entre o uso das potências e a
memória do computador. Termos como bits,
bytes, megabyte, gigabyte e, mais recentemen-
te, terabyte, de uso corrente na informática,
geram contexto e significado, pois se referem a
unidades de memória dos computadores cuja
compreensão e uso estão diretamente relacio-
nados ao estudo das potências, fato que será
explorado nessa Situação de Aprendizagem.
Na Situação de Aprendizagem 5 abordam-se
os padrões e as regularidades em sequências
numéricas sob o ponto de vista da diversidade
de representações com letras. A estratégia uti-
lizada para que a diversidade de representa-
ções possa ser trabalhada por meio da investi-
gação dos alunos é a de associar as sequências
numéricas ao arranjo geométrico de bolinhas,
arranjo este que poderá ser identificado pelo
aluno de diferentes maneiras (por linhas, co-
lunas, reagrupando bolinhas e completando
bolinhas). Com base na diversidade de ex-
pressões com letras que podem ser obtidas de
cada uma das sequências, o professor poderá
trabalhar, por meio da ideia de equivalência, a
generalização de algumas propriedades, como
a distributiva no produto, a comutativa e a as-
sociativa, iniciadas na 6a série/7o ano com os
números naturais.
Na Situação de Aprendizagem 6, o tema
central a ser desenvolvido são os produtos
notáveis, cuja estratégia baseia-se no uso da
Geometria. Muitos alunos enfrentam difi-
culdades no desenvolvimento dos produtos
notáveis provavelmente porque aprendem o
assunto como mera técnica algébrica, sem
compreender o seu sentido, e porque veem o
assunto de forma desvinculada de sua aplica-
ção. O uso diversificado de linguagens – em
particular da linguagem geométrica no caso
dos produtos notáveis – assume papel muito
importante na apropriação de significados no
contexto da Álgebra.
Na sequência, a proposta da Situação de
Aprendizagem 7 é trabalhar fatoração, produ-
tos notáveis e frações algébricas, e simplificações
de forma contextualizada. Nesse sentido, é em-
pregada a tradução de problemas enunciados
na língua materna para a linguagem da Álgebra
como pontapé inicial da atividade. Também será
apresentada nessa Situação de Aprendizagem a
distinção entre as ideias de igual dade e identida-
de, o que representa um importante passo para
a compreensão do uso de letras no sentido de
incógnita ou de variável.
Na Situação de Aprendizagem 8, propõem-
-se atividades nas quais, mais uma vez, o uso
da linguagem escrita e das linguagens aritméti-
ca, algébrica e geométrica aparecem de forma
9
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
integrada. Problemas aritméticos e algébricos
que normalmente são tratados em séries/anos
posteriores, como o do número de diagonais
de um polígono ou da soma dos n primeiros
números ímpares, serão apresentados de forma
simples para o desenvolvimento de habilidades
relacionadas ao cálculo algébrico.
É importante lembrar que as Situações
de Aprendizagem 5, 6, 7 e 8 não esgotam
nem os temas nem as possibilidades de abor-
dagem do tema “expressões algébricas” na
7a série/8o ano. No entanto, a metodologia
proposta consiste na apresentação de uma
forma integrada de exploração das diversas
funções da Álgebra e na valorização do uso
da diversidade de linguagens como estraté-
gia para a aprendizagem com significado, e
não como simples regra. É possível que a
sistematização de alguns temas do volume
também tenha de ser trabalhada por exer-
cícios disponíveis na maioria dos livros di-
dáticos, cabendo ao professor adequar esse
trabalho às necessidades dos seus alunos.
Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 7a série/8o ano do Ensino Fundamental
Unidade 1 – Frações e números racionais.
Unidade 2 – Decimais finitos e dízimas periódicas.
Unidade 3 – Fração geratriz de uma dízima; reconhecimento de dízimas a partir da fração irredutível.
Unidade 4 – Potências: definição e contextos.
Unidade 5 – Potências: aplicações práticas.
Unidade 6 – Potências: aplicações práticas e propriedades operatórias.
Unidade 7 – Propriedades operatórias das potências.
Unidade 8 – Potências e problemas de contagem.
Unidade 9 – Expressões algébricas: equivalência e transformações.
Unidade 10 – Expressões algébricas: operações.
Unidade 11 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem geométrica.
Unidade 12 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica.
Unidade 13 – Produtos notáveis e fatoração: abordagem algébrica.
Unidade 14 – Fatoração e simplificação de frações algébricas.
Unidade 15 – Fatoração e simplificação de frações algébricas.
Unidade 16 – Expressão algébrica de algumas ideias fundamentais da Aritmética e da Álgebra.
10
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES
Conteúdos e temas: classes de equivalência; frações equivalentes; razões entre dois números; números racionais.
Competências e habilidades: organizar um conjunto de elementos em classes de equivalên-cia, por meio de uma propriedade dada; comparar distintos significados da ideia de fração, compreen dendo suas semelhanças e diferenças; compreender o conjunto dos números racio-nais reconhecendo cada número racional como um representante de uma classe de frações equivalentes; localizar números racionais na reta.
Sugestão de estratégias: identificar propriedades comuns entre objetos ou números; construir classes de equivalência.
Roteiro para a aplicação da Situação de Aprendizagem 1
Nosso objetivo, nesta Situação de Apren-
dizagem, é esclarecer as seguintes questões:
Qual é a diferença entre uma fração e
a razão entre dois números quaisquer?
Qual é a diferença entre uma fração e
um número racional?
A primeira questão é mais simples. É
muito comum associarmos a representação
a/b ao resultado da divisão de a por b e cha-
marmos o símbolo a
b de fração, mesmo que
a e b não sejam inteiros. Por definição, uma
fração é a razão entre dois números intei-
ros. No entanto, quando falamos de frações
como 1, 2
3, 5, ou, então, x
y, em que x e y
representam grandezas quaisquer, estamos
usando a palavra “fração” em sentido figu-
rado, assim como falamos “dente” de um
serrote ou “pé” de uma cadeira, sendo tal
uso perfeitamente compreensível.
A segunda questão exige uma discussão
mais completa. Existe uma diferença con-
ceitual importante entre uma fração e um
número racional. Para esclarecer tal pon-
to, vamos precisar da noção de relação de
equivalência, apresentada no texto a seguir.
11
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença
entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas pergun-tas está a noção de relação de equivalência.
Quando temos diante de nós um conjunto muito “bagunçado” de elementos e queremos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência.
O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um conjunto “bagunçado”; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério.
Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se preferir-mos, considerando a cor deste. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratando como equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência – dois automóveis são equivalentes se, e so-mente se, têm a mesma cor – conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência – ou seja, ter o mesmo fabricante –, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto.
O mostruário representará, então, o conjunto das cores:
PRETO
AZUL
BRANCO
VERDE
CINZA
PRATA
OUTROS
Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, considerando equi-valentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as frações que
Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores
Branco
Azul
Preto
Prata
Cinza
Verde
Outros
© C
onex
ão E
dito
rial
12
representarem a mesma parte da unidade, como 1
2;
3
6;
5
10; 0,5; 13
26; –7
(–14);
232
464; ... (todas representam a metade da unidade), ou, então, 5
3; 10
6; 1,666...; 500
300;
300
180; ... (todas representam um inteiro mais dois terços).
Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em
uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é
o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum
entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade.
430
215; 2; 6
3 1
7; 0,142857...; 3
212
5; 4
10; 0,4; –6
–15; 400
1000
...; ...; ...
7
3; 2,333...; –35
–15
1,666... 5
3; –15
–9; 15
9
1
2; 3
6; 0,5; 13
26; 231
462; –7
–14; 45
90
1
3; –3
–9; 7
21; 15
45; 2
6; 111
333
Mostruário das frações: conjunto dos números racionais
1
2
1
3
1
72
7
35
3...
Resumindo, podemos dizer que um número
racional sempre representa uma classe de fra-
ções equivalentes. Assim como o número natu-
ral 5 representa o que há de comum entre todos
os conjuntos que podem ser colocados em cor-
respondência biunívoca com os dedos de uma
mão, um número racional representa o que há
de comum entre todas as frações que represen-
tam a mesma parte da unidade. As frações 3
5,
0,6 e 9
15 são diferentes, embora equivalentes; os
números 3
5; 0,6 e
9
15 são diferentes representa-
ções do mesmo número racional.
13
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Para explorar um pouco mais a ideia de
relação de equivalência, vamos resolver as se-
guintes atividades.
1. Podemos organizar o con-
junto de todos os polígonos
que existem em classes de equi-
valência segundo o critério do número de
lados. Nesse caso:
a) quais seriam as classes de equivalência?
As classes de equivalência seriam: o conjunto dos triângulos,
o conjunto dos quadriláteros, o conjunto dos pentágonos, o
conjunto dos hexágonos etc.
hexágonos
quadriláteros
pentágonos ...
triângulos
b) qual seria o mostruário do conjunto dos
polígonos?
O mostruário seria o conjunto dos tipos de polígonos: {triân-
gulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos etc.} ou
{ , , , etc.}
2. Considere o conjunto dos números inteiros
não nulos representados na reta numerada
e a relação de equivalência: dois números
inteiros são equivalentes se, e somente se,
estiverem à mesma distância da origem,
onde está o número zero.
– 4 – 3 – 2 – 1 43210
Nesse caso:
a) quais seriam as classes de equivalência?
As classes de equivalência seriam: {1, –1}, {2, –2}, {3, –3},
{4, –4}, {5, –5}, e assim por diante.
– 4 – 3 – 2 – 1 43210
b) qual seria o mostruário?
O mostruário seria o conjunto das distâncias possíveis de um
inteiro na reta até a origem, ou seja, seria o conjunto {1, 2, 3,
4, 5, ...}. Em outras palavras, estamos escrevendo o conjunto
do módulo dos números inteiros.
3. Considere o conjunto de todas as frações
positivas. Para organizá-lo em classes, con-
sideremos equivalentes todas as frações
cuja soma do numerador com o denomina-
dor resulte sempre no mesmo número. Por
exemplo, 2
5 estaria na mesma classe de 1
6 e
de 3
4; 24
13 estaria na mesma classe de
1
36 e de
7
30, e assim por diante. Nesse caso:
a) quais seriam as classes de equivalência?
Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha
a tabela a seguir, escrevendo na coluna
à direita as frações cuja soma do nume-
rador e denominador vem indicada na
coluna da esquerda:
14
Soma igual a 2
Soma igual a 3
Soma igual a 4
Soma igual a 5
Soma igual a 6
As classes de equivalência seriam formadas por frações cuja
soma do numerador com o denominador fosse constante,
começando pelo menor valor possível, que é 2, depois 3, 4,
e assim por diante:
soma igual a 2: 1
1 ;
soma igual a 3: 2
1 ; 1
2 ;
soma igual a 4: 3
1 ; 2
2 ; 1
3 ;
soma igual a 5: 4
1 ; 3
2 ; 2
3 ; 1
4 ;
...
Soma igual a 13: 12
1 ; 11
2 ; 10
3 ; 8
5 ; 7
6 ; 6
7 ; 5
8 ; 4
9 ;
3
10 ; 2
11 ; 1
12 ;
... e assim por diante.
Dessa forma, podemos representar as classes de equivalência
por meio do seguinte conjunto:
Soma igual a 13
Soma ig
ual a 2
Soma igual a 3 Soma igual a 5
Soma
igual a 4
1
1
1
2, 2
1 1
4,
2
3,
3
2,
4
1
1
3,
2
2,
3
1
...
1
12,
2
11,
3
10,
5
8,
6
7,
7
6,
8
5,
9
4,
10
3,
11
2,
12
1
Professor, se preferir, você também pode propor a constru-
ção da seguinte tabela:
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1...
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2...
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3...
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4...
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5...
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
6...
... ... ... ... ... ... ...
b) qual seria o mostruário?
O mostruário seria o conjunto dos valores possíveis para a
soma numerador + denominador: {2, 3, 4, 5, 6, ..., 13, 14, ...}.
Localização dos números racionais na reta
A criação dos números racionais repre-
senta um momento importante do curso de
Matemática no Ensino Fundamental, pois
trata de noções que servirão de base para a
construção do conjunto dos números irracio-
nais e, portanto, dos reais, objeto de estudo
da 8a série/9o ano.
O fato fundamental do conjunto dos nú-
meros reais é a equivalência com os pontos da
reta, isto é, a associação de cada número real a
um ponto da reta e a sua recíproca, sendo cada
ponto da reta associado a um número real. Essa
equivalência entre pontos da reta e número real
representa um passo muito importante na cons-
trução de noções geométricas e numéricas com
aplicações na Matemática e nas ciências em ge-
ral, particularmente na Física.
15
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Na 6a série /7o ano, os alunos representa-
ram os números inteiros, positivos e negati-
vos por pontos equidistantes sobre a reta,
respectiva mente à direita e à esquerda em
relação ao zero. Essa representação permite
compreender os números inteiros como uma
ampliação dos números naturais na medida
em que a escala, a partir de então, necessi-
tava, além da medida do comprimento de
segmento unitário, ser orientada para a es-
querda do zero negativa e para a direita do
zero positiva:
– 4 – 3 – 2 – 1 43210
Agora, para representar na reta um núme-
ro racional com denominador n, devemos di-
vidir cada segmento de comprimento unitário
em n partes iguais; os pontos da subdivisão
representarão as frações na forma m
n.
Por exemplo, a representação na reta de to-
dos os números racionais cujo denominador é 4
será, portanto, da seguinte forma:
– 2 – 1 210
... – 8
4 –
7
4 –
6
4 –
5
4 –
4
4 –
3
4 –
2
4 –
1
4
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
8
4 ...
Embora cada número racional esteja as-
sociado a um ponto da reta, a recíproca aqui
não é verdadeira, isto é, os pontos da reta não
se esgotam com os números racionais. Como
sabemos, existem pontos da reta que serão
associados aos números irracionais, dando
ao conjunto real a qualidade de continuidade
que é atribuída à reta.
A localização dos números racionais
na reta permite que se façam algumas
considerações lógicas sobre propriedades
fundamentais que diferenciam os campos
numéricos. Uma dessas ideias se refere à
possibilidade da determinação do sucessor
de um número.
Assim, cada fração de denominador 4 es-
tará associada a um ponto da reta.
Repetindo essa operação para todo deno-
minador n inteiro, teremos, para cada classe
de equivalência de frações, um ponto corres-
pondente na reta:
1– 1 0
– 4
4
– 3
3
– 2
2
– 4
8
– 2
4
– 1
2
4
8
2
4
1
2
9
12
6
8
3
4
4
4
3
3
2
2
16
A todo número inteiro, seja positivo, nega-
tivo ou zero, podemos determinar seu suces-
sor e antecessor. Mas pensemos agora nos nú-
meros racionais: quem é o sucessor de 1
2 ou
de 0,53? Como vemos, não existem sucessores
de números racionais.
Outra ideia simples que pode ser discutida é
a de que, dados dois números inteiros, podemos
determinar que a quantidade de números in-
teiros entre eles é sempre finita e determinada.
Por exemplo, entre –5 e 3 existem sete núme-
ros inteiros: {–4, –3, –2, –1, 0, 1, 2}. E com
os racionais, como isso se dá? Considere os
números racionais 1
3 e
1
2: quantos racionais
existem entre eles? Sabemos que pelo menos
um existe: o número médio entre eles, isto é: 1
3 +
1
2
2 =
5
6
2 =
5
12.
Com relação aos números 1
3 e
5
12 , pode-
mos novamente determinar o número que está
entre eles:
1
3 +
5
12
2 =
9
12
2 = 9
24 = 3
8. Logo,
o número encontrado também está entre 1
3 e 1
2.
Pensando dessa forma, podemos admitir
que sempre haverá um número racional entre
dois racionais, e que a esse será associado um
ponto na reta. Esse fato permite dizer que, en-
tre dois números racionais, existem infinitos
números racionais.
Todo conjunto no qual exista uma infinida-
de de elementos do mesmo conjunto entre dois
quaisquer de seus elementos é chamado de
conjunto denso.
É curioso notar que o conjunto dos núme-
ros racionais é denso sem ser contínuo. Como
dissemos, embora entre dois números racio-
nais quaisquer sempre haja uma infinidade de
números racionais, uma vez que ele é denso, o
conjunto dos números racionais não completa
a reta, isto é, ele não é contínuo. A continuidade
é uma qualidade exclusiva do conjunto dos nú-
meros reais, quando cada ponto da reta – ima-
gem associada à continuidade – corresponderá
a um número real, seja racional ou irracional.
A seguir, propomos algumas atividades que
representam uma possibilidade ao professor de
discutir com os alunos as ideias anteriormente
desenvolvidas. Neste momento, não é necessário
se deter em aspectos e termos relativos à densi-
dade ou à continuidade. O interessante é que os
alunos percebam que, com os números racionais,
muitos mais pontos da reta serão associados do
que os associados com os números naturais.
As noções aqui iniciadas poderão ser ex-
ploradas mais detalhadamente na Situação de
Aprendizagem seguinte, cujo tema, dízimas
periódicas, oferece uma oportunidade de re-
presentação de números racionais na reta.
17
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
4. Localize na reta a seguir os números racio-
nais: 1, –2, 1
3,
5
2, – 3
4 e –0,5.
2– 2 1
– 0,5
– 4
3 0
– 1
3
1
2
5
5. Responda às seguintes perguntas:
a) Qual é o número natural sucessor de 15?
16.
b) Qual é o número inteiro sucessor de –7?
–6.
c) Qual é o número racional consecutivo de 1
3 ?
Não existe.
d) Quantos números inteiros existem entre
–6 e 0?
5.
e) Quantos números racionais existem
entre –6 e 0?
Infinitos.
f) Quantos números racionais existem en-
tre 0,1 e 0,2?
Infinitos.
6. Na atividade anterior, você observou que,
diferentemente dos números naturais e in-
teiros, não existe sucessor de um número
racional e que entre dois números racionais
sempre existe uma infinidade de outros nú-
meros racionais. Os conjuntos que possuem
essas propriedades são chamados de con-
juntos densos. Sendo assim, encontre um
número racional que esteja entre:
a) 1
2 e
3
4
2
+2
1
4
3
=2
4
5
8
5=
b) 1 e 5
4
2
+14
5
=2
4
9
8
9=
c) 0,88 e 0,8890,881.
d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012
1,01001000100001132.
Para resolver essas atividades, os alunos podem tirar a média
aritmética entre os números dados.
Observação: como exemplo, determinamos a média arit-
mética entre os valores. Destacamos, no entanto, a possibili-
dade de infinitas respostas para cada item.
7. Desenhe uma reta e localize nela
os números 1
8 e 1
10. Identifique
três números fracionários que este-
jam entre ambos.
0 1
8
1
10
1
Algumas soluções possíveis são: 80
9 , 160
19 e 160
17 .
18
8. Em que intervalo há mais números racio-
nais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1?
Nos dois intervalos há uma infinidade de números racionais.
É isso que caracteriza um conjunto denso.
9. Em nossa vida, lidamos com conjuntos
que têm a qualidade de serem densos. Um
exemplo disso é o tempo: qual é o instante
sucessor das 10 horas? É impossível definir,
assim como percebemos que entre dois ins-
tantes de tempo há uma infinidade de ins-
tantes. Pense em outras duas situações que
envolvam conjuntos densos.
Alguns exemplos podem ser referentes às medidas de tem-
peratura, de massa, de volume, de comprimento etc.
Considerações sobre a avaliação
A apresentação dos racionais como o
mostruário das frações, baseada na ideia de
classificações, é fundamental para a com-
preensão do conceito em questão e pode ser
muito esclarecedora a respeito do significado
que as relações de equivalência têm na Ma-
temática. Uma vez compreen dida, tal apre-
sentação pode servir de base para uma reor-
ganização conceitual dos outros conjuntos
numéricos já estudados ou por estudar. Na
resolução das atividades propostas, a aquisi-
ção de uma linguagem mais adequada para
o tratamento de tais temas é mais importan-
te do que os inúmeros cálculos que podem
ser associados a ela.
A expectativa ao final desta Situação de
Aprendizagem é a de que os alunos tenham
ampliado suas noções sobre as frações, condi-
ção essencial para a compreensão do conjunto
dos números racionais. Essa ampliação está
baseada, substancialmente, no conceito de
classes de equivalência, sendo, portanto, um
conceito importante para o professor avaliar,
utilizando classes que envolvem equivalências
contextualizadas ou numéricas.
Outra noção desenvolvida nesta unidade
está associada à localização de números ra-
cionais na reta. Nesse caso, o professor pode
sugerir algumas atividades cujo denominador
seja 10, preparando, de certa forma, a discus-
são sobre frações decimais e periódicas, obje-
to da próxima Situação de Aprendizagem.
19
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...
Conteúdos e temas: dízimas periódicas.
Competências e habilidades: compreender o campo dos números racionais como composto por números cuja representação decimal pode ser finita ou infinita e periódica; reconhecer as condições que fazem que uma razão entre inteiros expresse uma dízima periódica; prever o tipo de representação decimal de uma fração irredutível a partir de análises e estratégias de fatoração do seu denominador.
Sugestão de estratégias: análise de dados; construção e análise de tabelas e gráficos; uso de calculadora.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 2
As frações representam a razão ou a di-
visão entre dois números inteiros. Quando
nos dispomos a efetuar tal divisão, às vezes
o quociente obtido é um número decimal
“bem-comportado”, com um número fi-
nito de casas decimais, como o número
0,25, que corresponde à fração 1
4; outras
vezes, o resultado da divisão é um número
com uma infinidade de casas decimais, com
um grupo que se repete periodicamente, ou
seja, é uma dízima periódica, como na fração
1
3, que corresponde ao número 0,3333...
As frações do primeiro tipo podem ser es-
critas com seus denominadores em potências
de 10:
1
4 =
25
100,
1
5 =
2
10,
7
40 =
175
1 000 .
Nessa situação, as frações são transfor-
madas, de modo que seus denominadores se
convertam em potências de 10, e isso é possí-
vel quando observamos que o denominador
divide alguma potência de 10. Frações como
essas representam uma grande vantagem prá-
tica, pois, além de serem de fácil comparação,
permitem, em sua forma decimal, a aplicação
dos mesmos algoritmos usados para efetuar
as operações aritméticas.
No caso de frações que geram dízimas pe-
riódicas, como 1
3 ou
5
70, as frações não serão
propriamente decimais no sentido de ter um de-
nominador que seja potência de 10, pois, como
não existe um último algarismo no desenvolvi-
mento decimal, não existirá uma potência ade-
quada de 10. Assim, essas frações terão repre-
sentação decimal ilimitada ou infinita.
Esta primeira atividade pretende auxiliar os
alunos a reconhecer, com razoável grau de certe-
za, quando uma fração qualquer gerará uma dí-
20
zima periódica no caso de ser efetuada a divisão
entre numerador e denominador. Para responder
a tal questão, basta observar o seguinte: se espe-
ramos que uma fração qualquer a
b seja equiva-
lente a uma fração decimal, ou seja, a um número
decimal finito, então devemos ter a
b equivalente
a uma fração com denominador igual a uma
potência de 10, ou seja, do tipo c
10n para algum
valor de n. Logo, partindo de uma fração a
b já
reduzida à sua forma mais simples, para termos
a
b =
c
10n devemos multiplicar o numerador e o
denominador de a
b pelos mesmos fatores, de
modo a atingir uma potência de 10 no denomi-
nador. Isso significa que não podem existir em
b fatores que não existam na potência de 10, ou
seja, b não pode ter fatores que não sejam 2 ou 5.
No caso de qualquer fator primo diferente de 2
ou 5, é certo que o resultado da divisão será uma
dízima periódica.
Desafio!
Cada “casa” da tabela corresponde a uma fração cujos numerador e denomina-dor são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a “casa” assi-
nalada na tabela com a letra E corresponde
à fração 3
4, enquanto a “casa” assinalada
com a letra M corresponde à fração 6
7. As-
sinale com um X as “casas” correspondentes
às frações geratrizes de dízimas periódicas.
NumeradorD
enom
inad
or
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4 E
5
6
7 M
8
9
Professor, com a realização da ativida-
de, espera-se que os alunos consigam pre-
ver se a divisão entre numerador e denomi-
nador de uma fração irredutível gerará ou
não uma dízima periódica.
Numerador
Den
omin
ador
1 2 3 4 5 6 7 8 9123 X X X X X X456 X X X X X X7 X X X X X X X X89 X X X X X X X X
21
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
1. Analisando a tabela da se-
ção Desafio!, identifique quan-
do uma fração irredutível não
gera uma dízima ao ser dividido o numera-
dor pelo denominador.
É esperado que eles constatem que frações irredutíveis, em
que o denominador é formado apenas pelos fatores primos
2 e 5, geram decimais exatos quando o numerador é dividido
pelo denominador.
Para que se possa generalizar alguma conclusão obtida por
meio da tabela, é conveniente que sejam consideradas fra-
ções com numerador e denominador maiores do que 9, por
exemplo, 160
27 ou 125
124 .
Na sequência, os alunos devem ser moti-
vados a refletir sobre os casos de frações irre-
dutíveis em que a divisão entre numerador e
denominador gera dízimas periódicas.
2. Quando uma fração com denominador
igual a 3 não gera uma dízima?
Quando for possível simplificar os termos da fração, elimi-
nando o fator 3 do denominador, como em 6
9 = 2
3 = 1,5.
3. Todas as frações irredutíveis com denomi-
nador contendo apenas fator primo igual a
3 geram dízimas periódicas? Dê exemplos
para justificar sua resposta.
Os dados observados na tabela indicam que os denominado-
res 3 geram dízimas periódicas quando o numerador não é
múltiplo de 3. De modo geral, frações irredutíveis com deno-
minador 3n, n ≥ 1, gerarão dízimas periódicas.
4. Escreva a sequência dos números primos
menores do que 30.
Esses números compõem o seguinte conjunto: {29, 23, 19, 17,
13, 11, 7, 5, 3, 2}.
5. Quais dos números primos que você escreveu
na atividade anterior podem ser combinados
para formar o denominador de uma fração ir-
redutível e geradora de uma dízima periódica?Analisando os valores desse conjunto com os dados da tabe-
la, observa-se que, excetuando-se os fatores 2 e 5, todos os
outros gerarão uma dízima periódica. Dessa forma, podemos
concluir que, se o denominador tiver um fator diferente des-
ses, dois, a fração irredutível gerará uma dízima.
6. Escreva cinco exemplos de frações, diferen-
tes das vistas em sala de aula, nas quais a
divisão entre numerador e denominador
gerará uma dízima periódica.
Neste caso, espera-se que o aluno escreva frações cujo de-
nominador seja um número primo diferente de 2 e 5, e o
numerador não seja um múltiplo deste. Algumas possíveis
soluções seriam: 11
1 , 29
1 , 11
3 , 29
5 , 17
23 ...
7. Em que situação a divisão entre
numerador e denominador de
uma fração irredutível gera uma
dízima periódica?No caso de o denominador ter fatores primos que sejam di-
ferentes de 2 e 5.
8. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes
das vistas em sala de aula, nas quais, com cer-
teza, a divisão entre numerador e denomina-
dor não resultará em uma dízima periódica.
Algumas soluções possíveis seriam: 5
1 , 4
7 , 10
9 , 25
3 …
O encerramento desta parte da atividade
pode envolver a socialização de todas as res-
postas e a escrita de uma conclusão geral da
classe, sob a coordenação do professor. Em
seguida, o próximo passo pode ser discutir
pelo menos um processo de obtenção da fra-
ção geratriz de uma dízima periódica dada.
22
Dízimas periódicas e cíclicas
Quando uma fração corres-ponde a uma dízima periódica,
podemos notar que é possível uma estima-tiva do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão.
Observe a divisão de 1 por 7:
Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, observamos que as divisões parciais não são exatas e que os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presen-ça indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal, certamente ocorrerá a repetição de um resto e, a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima pe-riódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um pe-ríodo de, no máximo, seis casas decimais, o que efetivamente ocorreu.
Na tabela construída, colocamos em or-dem os quocientes decimais e os restos pro-duzidos por eles.
Observe o desenvolvimento decimal
de 2
7:
Comparando os períodos gerados pe-las duas frações, podemos observar que elas possuem os mesmos algarismos, porém ordenados de forma diferente e respeitando um movimento cíclico. Ob-
servando que a divisão de 2
7 começa
com resto 2, que também aparece como
resto na divisão de 1
7, os restos, a par-
tir desse ponto, também vão coincidir
em ambas as divisões, uma vez que o
desenvolvimento de 1
7 tem período de
comprimento “máximo”:
1
01
03
02
06
04
05
restos
0,142857...
7
quocientes
Quocientes
1
1
32645
014285
Restos
quocientes
2
02
06
04
05
01
03
restos
0,285714
7Quocientes
2
2
64513
028571
Restos
7
4
1
7 = 0,14285714...
2
7 = 0,285714...
iníciodo ciclo
Quocientes
resto inicial
1
1
32645
014285
Restos
7
23
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
9. Considere a seguinte fração
1
13 = 0,0769230769...
quocientes
1
0 01
09
012
03
04
restos
0,076923...
13 Quocientes
1
1
109
1234
007692
Restos
Aplicando o método discutido anterior-
mente, escreva as frações a seguir na sua
forma decimal periódica:
a) 10
13 = 0,769230...
b) 9
13 = 0,692307...
c) 3
13 = 0,23076...
d) 4
13 = 0,307692...
10. Observando a tabela de quocientes e res-
tos, é possível encontrar o desenvolvimen-
to decimal de 2
13? Justifique sua resposta e
tente encontrá-lo.Observando na tabela a coluna dos restos, como ela não
apresenta resto igual a 2, não permite prever o desenvolvi-
mento de 13
2 a partir de
13
1 . Portanto, é necessário efetuar
a divisão 13
2 .
quocientes
2
02
07
011
05
06
08
r
e
s
t
o
s
0,153846...
13 Quocientes
2
2
75
11
6
8
0
1
5
3
8
4
Restos
Nessa divisão, além do resto 2, aparecem outros restos que
não estavam presentes na primeira tabela: {2, 5, 6, 7, 8, 11}.
Agora, com base nesse novo desenvolvimento, podemos
escrever as frações 13
7 , 13
11 e 13
8 , observando o caráter
cíclico dos quocientes:
13
7 = 0,538461... 13
11 = 0,846153... ou 13
8 = 0,6153846...
As tabelas juntas formam todos os restos que podem ser nu-
meradores ou frações irredutíveis de denominador 13: {1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Diferente da fração 7
1, em que
todos os possíveis restos apareceram na primeira tabela, na
fração 13
1 houve a necessidade de se construir duas tabelas.
Desafio!
Sem efetuar a divisão, e apoiado na
tabela da seção anterior referente à divi-
são de 1
7, encontre o desenvolvimento
decimal de 5
7.
Seguindo o processo discutido, podemos deduzir
que em 7
5 , como o primeiro resto é 5, seu desen-
volvimento será: 7
5 = 0,714285…
3
6
24
Professor, nessa discussão você pode uti-
lizar calculadoras ou planilhas eletrônicas,
explorando outras frações, como 1
21. Nesse
caso, também serão necessárias duas tabelas,
que darão como restos os valores do conjun-
to {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}.
O interessante será perceber que a quantidade
de restos igual a 12 não é máxima como
com os denominadores 7 e 13. Os números
{3, 6, 7, 9, 12, 14, 15, 18} não estarão na ta-
bela dos restos, pois podem ser simplificados
com o denominador 21, isto é, não represen-
tam frações irredutíveis.
Professor, como você pode observar, o tra-
balho com dízimas, além da abordagem co-
mum, pode ser feito sob forma investigativa,
que envolva conceitos simples de divisão e de-
composição em fatores primos.
Encontrando a geratriz de uma dízima periódica
Todo número racional escrito na forma de-
cimal finita se transforma facilmente em uma
fração: 1,25 = 125
100 =
5
4. Mas e se o número
racional for escrito na forma decimal periódi-
ca infinita?
Combinado à análise das frações que ge-
ram dízimas, um trabalho complementar que
permite o aprofundamento desse tema é o
de operação recíproca, isto é, parte-se de um
número decimal escrito na forma de dízima
perió dica para encontrar sua fração geratriz.
Existem vários métodos para a obtenção da
fração geratriz de uma dízima periódica, mas,
para o nível de conhecimento dos alunos de
7a série/8o ano, propomos o seguinte:
Obtenção da geratriz de uma dízima
a) simples
Em uma dízima periódica simples, o perío-
do se apresenta imediatamente após a vírgula,
por exemplo, 0,4444... ou 2,5555... ou, ainda,
2,343434...
Para obter a fração geratriz de uma dízi-
ma periódica simples, podemos tratá-la como
uma incógnita, como y.
y = 0,4444...
Em seguida, multiplicamos os dois termos
da igualdade por uma potência de 10, cujo ex-
poente é igual à quantidade de numerais do
período da dízima.
y = 0,4444...
10y = (0,444...) 10
10y = 4,444...
Subtraindo uma expressão da outra:
(10y – y) = 4,444... – 0,444...
obtemos:
9y = 4 y = 4
9
Assim, a geratriz da dízima 0,444... é a
fração 4
9.
25
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Vamos obter, em outro exemplo, a geratriz
da dízima 2,343434...
y = 2,343434... (Multiplicaremos os dois
termos por 102 = 100.)
100y = 234,343434... (Subtrairemos uma
expressão da outra.)
99y = 232 y = 232
99
Assim, a geratriz da dízima 2,343434... é a
fração 232
99.
b) composta
Em uma dízima periódica composta, entre
o período e a vírgula há um ou mais numerais
que não fazem parte do período, por exemplo,
0,23333... ou 1,03242424...
De modo semelhante ao que foi feito ante-
riormente, nomearemos a dízima de y.
y = 0,2333...
Visto que o período é formado apenas por
um algarismo, multiplicaremos toda a expres-
são por 101.
y = 0,2333
10y = 2,333...
Subtraindo uma expressão da outra,
teremos:
9y = 2,1 y = 2,1
9 =
21
90
Dessa forma, a geratriz da dízima 0,2333...
é a fração 21
90.
Observe, a seguir, o processo de determina-
ção da geratriz de 0,235454...
x = 0,23545454...
10x = 2,3545454...
100x = 23, 545454...
1 000x = 235,454545...
10 000x = 2354, 545454...
10 000x – 100x 9 900x
2 354,5454... – 23,5454... 2 331
9 900x = 2 331
x = 2 3319 900 x =
2591 100
10 000x – 100x = 2 354,5 454... – 23,5454...
Observe que é importante destacar que
o produto por potências de 10 deve ser de-
senvolvido até que seja encontrada a parte
decimal periódica igual. Nesse caso, isso
foi feito para os produtos obtidos por 100
e 10 000.
26
Neste momento do trabalho, a capacidade
do aluno de aplicar os processos desenvolvi-
dos até aqui para encontrar a geratriz da dí-
zima é desafiada.
Caso o professor considere adequado, su-
gerimos o uso da calculadora para a verifica-
ção do resultado.
No Ensino Médio, esse assunto será reto-
mado quando o objeto de estudo for a soma
de termos infinitos de uma progressão geomé-
trica. Neste momento, por exemplo, a dízima
2,3333... será interpretada como a soma infi-
nita das parcelas: 2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + ...
11. Determine a fração geratriz de cada uma
das seguintes dízimas periódicas:
a) 2,7777...
9
25
b) 0,454545...
99
45
c) 1,2343434...
990
1 222
d) 3,1672867286728...
99 990
316 697
12. Escreva o número racional
7
60,33333
na forma a
b , sendo
a
b
uma fração irredutível.
Resposta: 2
7
O decimal 0,333… corresponde à fração 3
1 . Assim, temos
6
7
3
1
= 6
7 1
3 = 2
7
13. Encontre o valor de x que é solução da
equação: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x +
+ 0,0005x + ... = 4.
Inicialmente, coloca-se o x em evidência: x(3 + 0,1 + 0,05 +
+ 0,005 + 0,0005 + ...) = 4. Observamos, então, que o coeficien-
te de x é uma dízima periódica: (3,15555…)x = 4. Encontrando
sua geratriz, podemos resolver o problema:
y = 3,1555
10y = 31,5555
10y - y=28,4
y = 9
28,4 = 90
284
Então: 90
284 x = 4 x = 71
90
S = 71
90
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é de que os alunos tenham com-
preendido o campo dos números racionais
como compostos por números cuja represen-
tação decimal pode ser finita ou perió dica e
infinita. Tal definição dos números racionais é
importante, pois será retomada na discussão
sobre outro tipo de número, os irracionais.
No caso das dízimas periódicas, a explora-
ção das primeiras experiências com represen-
tações infinitas serviu de base para uma série
27
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
de atividades com um sentido de investigação
e pesquisa. Na avaliação, a exploração da
curiosidade dos alunos, a prática de uma re-
flexão crítica diante de situações insólitas ou
curiosas na escrita dos números, como são as
dízimas, é muito mais relevante do que a mera
fixação de regras operatórias para determinar
as geratrizes.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO PARA AS POTÊNCIAS
Conteúdos e temas: potenciação; propriedades de potenciação; conversões de unidades de medidas.
Competências e habilidades: compreender a utilidade das potências na representação de nú-meros muito grandes ou muito pequenos; analisar e interpretar dados escritos na forma de potências de 10; relacionar a representação decimal com a notação científica de grandezas.
Sugestão de estratégias: uso de calculadora; construção e leitura de tabelas; interpretação de dados.
Considerando os números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número
de dígitos?
Essa é uma pergunta desafiadora que, além de permitir a retomada da discussão sobre o cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 10 é muito simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso siste-ma de numeração é de base 10 (decimal), o que foi discutido em detalhes nas atividades sobre sistemas de numeração propostas na 6a série/7o ano.
Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou mui-to pequenos utilizam amplamente a linguagem das potências na representação desses núme-ros. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é de aproximadamente 300 000 km/s ou 300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 105 km/s ou 3 108 m/s.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 3
O uso de potências na Matemática é um
recurso útil para a representação de números
muito grandes ou muito pequenos, e esse será
o fator motivador desta atividade. No início
da 7a série/8o ano, o aluno já terá conhecimen-
tos básicos sobre as potências, sendo neces-
sário apenas uma retomada do assunto que
inclua discussões sobre significados, notações
e linguagem.
Em seguida, a expectativa é a de que possa
ser desenvolvido um trabalho para investigar
a importância das potências na representação
de números muito grandes ou muito peque-
nos, o que servirá de justificativa para o estu-
do mais detalhado das propriedades operató-
rias das potências na sequência do curso.
28
A atividade a seguir utiliza a informação da
velocidade da luz em cálculos aplicados. O que
se deseja mostrar com esta e outras atividades
apresentadas na sequência são algumas possi-
bilidades de cruzamento de dados contextua-
lizados e o trabalho com potências. Tais pos-
sibilidades não devem ser interpretadas como
atividades acabadas sobre o assunto, mas sim
como suporte didático ao trabalho do profes-
sor. Cabe, portanto, ao professor articulá-las da
maneira mais conveniente, de acordo com os co-
nhecimentos dos alunos sobre potências.
1. Em Astronomia, a distância que
a luz percorre em um ano é chama-
da ano-luz. Sendo assim, responda:
a) quantos metros tem 1 ano-luz, sabendo
que a velocidade da luz é 3 108 m/s?
Considerando-se o ano com 365 dias de 24 horas, a resposta
exigirá o seguinte cálculo:
365 24 60 60 3 108 = 9 460 800 000 000 000 m =
= 9,4608 1015 metros
b) qual é a distância entre a Terra e o Sol em
anos-luz, sabendo-se que essa distância é de
aproximadamente 150 000 000 000 metros?
© N
asa
and
The
Hub
ble
Her
itag
e T
eam
(S
TSc
l/AU
RA
)
Para responder a esta pergunta, basta escrevermos os valores
em notação científica:
9,4608 1015
1,5 1011
1,58 10–5 = 0,0000158 anos-luz.
c) quanto tempo, aproximadamente, um
feixe de luz leva para chegar do Sol
até a Terra? Como a distância da Terra ao Sol é de aproximadamente
1,5 1011 metros e a velocidade da luz é de 3 108 m/s, um fei-
xe de luz demorará 3 108
1,5 1011
= 500 segundos para atingir a
Terra, aproximadamente 8 minutos e 20 segundos. Para efeito
de comparação, o professor pode comentar que um feixe de
luz, em 1 segundo, dá aproximadamente 7 voltas e meia em
torno da Terra.
2. O diâmetro da Via Láctea é de
aproximadamente 100 000 anos-luz.
Por que os astrônomos utilizam uma unida-
de “tão grande” como o ano-luz para indi-
car distâncias?
Para medir distâncias grandes, é mais prático usar uma uni-
dade grande; na Astronomia, existem unidades menores que
o ano-luz, como a “unidade astronômica”, que é a distância
média entre a Terra e o Sol, ou seja, 150 000 000 km. O parsec,
que corresponde a cerca de 3,26 anos-luz, é usado normal-
mente para distâncias entre estrelas ou galáxias.
Nos filmes de ficção, muitas
vezes as personagens indi-
cam distâncias entre estrelas
utilizando as unidades anos-luz e parsec.
Faça uma pesquisa sobre unidades de me-
didas astronômicas e registre alguns
exemplos de sua aplicação.
29
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Números muito grandes ou muito peque-
nos envolvendo medidas reais podem ser uti-
lizados em diversas atividades com potências.
A seguir, apresentamos uma tabela com dados
reais aproximados que podem servir de refe-
rência para que o professor elabore atividades
com potências, proporcionalidade e conversões
de unidades de medidas.
Notação científica
3. A tabela a seguir apresenta
dados reais aproximados en-
volvendo potências:
Número de moléculas em 1 grama de água
3 1022
moléculas
Número de átomos do corpo humano 1028 átomos
Raio da Terra 6 106 m
Distância entre a Terra e a Lua 4 108 m
Distância entre a Terra e o Sol 1,5 1011 m
Massa da Terra 6 1024 kg
Idade da Terra 4,5 109 anos
Idade do Universo 1,5 1010 anos
Número de habitantes da Terra (estimativa em 2011) 7 bilhões
Expectativa de vida dos brasileiros em 2011 73,4 anos
PIB* (Produto Interno Bru-to) brasileiro em 2012
4,4 trilhões de reais
Número de células do corpo humano
100 bilhões = = 1011
Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena
50 milhões = = 5 107
Analisando os dados dessa tabela, escreva
cada um dos números a seguir em notação
científica, ou seja, na forma m 10n, com
1 ≤ m < 10.
a) número de habitantes da Terra em 2011;
7,0 109 pessoas.
b) expectativa de vida dos brasileiros em
2011 (em segundos);
2,3 109 segundos.
c) PIB brasileiro em 2012.4,4 1012 reais.
Vale a pena observar que, apesar da pratici-
dade relacionada ao uso de potências para a re-
presentação de números muito grandes, quando
temos a possibilidade de nos referir a um número
dessa natureza por palavras, a compreensão do
significado concreto da ordem da grandeza será
favorecida. Por exemplo, dizer que o número de
habitantes estimado da Terra em 2011 foi de 7 109
pessoas é muito menos esclarecedor do que falar
em 7 bilhões de pessoas. Por esse motivo, os exer-
cícios que estabelecem a correspondência entre o
uso de potências e as palavras da nossa língua que
as representam devem sempre ser incentivados.
Veremos a seguir uma atividade que possibi-
lita a introdução da ideia de notação científica.
Quando falamos em números grandes para trabalhar potências, uma contextualização inte-ressante que pode ser feita é a do número googol (lê-se “gugol”). Há, inclusive, um conhecido site de buscas na internet cujo nome foi inspirado no número googol de Edward Kasner, provavelmen-te porque esse site traz uma quantidade “muito grande” de informações.
*PIB: Produto Interno Bruto – o conjunto de bens e serviços produzidos no ano.
30
Em certa ocasião, o matemático estadunidense Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pequeno Milton – algo parecido com "guuugol" – não foi muito
animadora, mas, na mente criativa de Kasner, isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número 10100.
Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão grande quanto 1 googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que 1 googol. O número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro também é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número de elétrons em todo o Universo.
Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo inteiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima--se o número dessas partículas ( 10110 partículas) em um número maior que 1 googol.
Vencida a barreira do googol, imagine um número ainda maior: “10 elevado a 1 googol” (Kas-ner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros de 1 googolplex? A resposta exige apenas alguns cálculos. Dizer que 1 googolplex é 10googol = 1010100 é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1 seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, le-varíamos 0,5 10100 segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo é 1,5 · 1010 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4,7 · 1017 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex.
4. Cerca de 70% da superfície da
Terra encontra-se coberta por
água, o que corres ponde a um vo-
lume de aproximadamente 1 385 984 610 km3
(desse total, 97,5% é de água salgada e 2,5%
de água doce). Sabendo que em cada cm3 te-
mos 1 g de água (a densidade da água é
1 g/cm3) e consultando a tabela apresentada
anteriormente, calcule o número de molécu-
las de água na superfície da Terra. Em segui-
da, compare esse dado com 1 googol. Nesta
atividade, desconsidere o fato de a densidade
da água salgada ser maior que 1 g/cm3.
Para resolver esta atividade, primeiro temos de conver-
ter km³ em cm³, o que indicará a massa de água na Terra
( 1,4 1024 gramas). Dado que 1 g de água tem 3 1022
moléculas, então, o número de moléculas do total de água
na superfície da Terra é de aproximadamente 4,2 1046. Apro-
ximando-se grosseiramente esse número para 1050, pode-se
discutir com os alunos que esse número é muito menor
que 1 googol. Muitos alunos poderão pensar, à primeira vis-
ta, que 1050 é metade de 1 googol, o que não é verdade. Se
dividirmos 1 googol por 1050, o resultado será 1050, que é o
número de vezes que o número de moléculas de água na
superfície da Terra caberia dentro de 1 googol.
31
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Usando a calculadora
Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente
a conta 370 000 2 100 000, contudo, com o conhecimento de potências e notação científica,
esse cálculo pode ser feito na calculadora. Sabendo-se que 370 000 = 3,7 105 e 2 100 000 =
= 2,1 106, o produto procurado é 2,1 3,7 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 3,7 =
= 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por
1011 será igual a 777 000 000 000.
Entretanto, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente.
Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes for-mas, dependendo do fabricante:
7.7711 7.77 E11 7.77 E + 11ou ou
Em todos os casos apresentados, o número 11 representa um expoente de uma potên-cia de base 10 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três outros detalhes também devem ser observados.
Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, em que a vírgula tem a função do nosso ponto, e vice-versa. Assim, o número 38.490,25 no nosso siste-ma aparece representado na calculadora como 38,490.25
A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10.
As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que facilita
o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por xy ou, em alguns casos, uma tecla in-
dicando o sinal de acento circunflexo ^ é a que deve ser usada para elevar uma base a
um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para calcular 35:
3 5 =I.
3 5 =II.
xy
^
O resultado que aparecerá no visor será 243
32
Um dos fatores fundamentais sobre potên-
cias com expoentes inteiros pode ser discuti-
do com os alunos com base em uma situação
contextualizada:
5. Faça algumas experiências
com sua calculadora, registrando
a seguir os valores encontrados.
Resposta pessoal.
6. Suponhamos que, em determinado país, a
produção de um material tenha sido igual
a 1 tonelada no ano 2000 e, em razão do
desenvolvimento tecnológico, passou a tri-
plicar anualmente a partir daí. Uma tabela
com as quantidades produzidas ao final de
cada ano é apresentada a seguir. Complete
os espaços em branco utilizando, quando
possível e se necessário, uma calculadora:
AnoProdução
P (toneladas)Potência
correspondente
2000 1 30
2001 3 31
2002 9 32
2003 27 33
2004 81 34
2005 243 35
2006 729 36
2007 2 187 37
2008 6 561 38
2009 19 683 39
... ... ...
2015 14 348 907 315
2000 + n ... 3n
A regularidade da multiplicação pelo fator 3 a cada ano conduz
naturalmente à representação da produção correspondente
de modo simplificado, por meio de uma potência de 3 ÷ n
anos após o ano 2000, o valor da produção P será 3n toneladas.
As atividades desta etapa permitirão justi-
ficar as potências de expoente negativo. Para
tanto, pode-se partir das propriedades:
am · an = am+n
am
an = am – n (a ≠ 0)
Para compreendê-las, basta que se conte
o número de fatores resultantes ao efetuar as
operações indicadas. Por exemplo:
3 números 2 5 números 2
23 25 = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 28
Uma vez trabalhada a propriedade
am ∙ an = am+n, os expoentes negativos podem
ser apresentados da seguinte forma:
5 1
5 = 1 (o produto de um número dife-
rente de zero pelo seu inverso é 1).
5 1
5 = 50 (qualquer número diferente de
zero, quando elevado a zero, resulta 1).
51 5x = 50 (substituímos 1
5 por 5x para po-
der usar a propriedade am an = am + n).
51+x = 50 (para que a igualdade seja verda-
deira, necessariamente x = 1).
Conclusão: a notação adequada para 1
5
como potência de base 5 é 5–1.
Posteriormente, pode-se discutir com
os alunos que, excluindo-se o caso em que
33
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
a = 0, a notação an pode ser estendida para
o expoen te 0, uma vez que: a0 = an
an = 1 ou,
partindo da propriedade am an = am + n, pode-
mos apresentar o cálculo:
a0 an = a0 + n = an, o que indica que a0 = 1.
Outro recurso que pode ser explorado na
apresentação de expoentes inteiros é o referen-
te à regularidade observada no quadro do Sis-
tema Decimal Posicional. Uma vez construída
a tabela, podem-se associar as potências com
expoentes negativos à sua parte decimal, de
modo que o Sistema Decimal possa ser inter-
pretado em toda a sua generalidade.
8. A tabela a seguir indica uma série de repre-
sentações com potências de expoente nega-
tivo. Pesquise sobre as unidades relaciona-
das, faça a conversão entre as unidades e
complete a coluna.
1 centímetro 10–2 metros
1 milímetro 10–3 metros
1 micrômetro 10–6 metros
1 nanômetro 10–9 metros
1 angstrom 10–10 metros
7. O nosso sistema de numeração – Siste-
ma Decimal Posicional – é formado se-
gundo certa regularidade com relação
às potências de base 10. Interprete essa
característica completando a tabela a
seguir:
Milhar Centena Dezena Unidade1 000 100 10 1
103 102 101 100
Décimos Centésimos Milésimos
0,1 0,01 0,001
10
1
101
1=
= 10–1 10–2
100
1
103
1=
= 10–3
A tabela “Radiação eletromagnética - com-
primento de onda em metros”, que permite
trabalhar potências de forma interdisciplinar
com a área de Ciências, é aquela referente
ao comprimento de ondas eletromagnéticas,
como as ondas de rádio, TV, micro-ondas, ra-
diação infravermelha, luz visível, ultravioleta,
raios X e raios gama. Essas radiações diferem
entre si pela sua frequência e pelo seu compri-
mento de onda. As ondas eletromagnéticas se
propagam no vácuo com velocidade constante,
igual a 300 000 km/s (velocidade da luz).
Faça uma pesquisa em jornais e revistas, e selecione uma notícia que apresente nú-
meros muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e apre-
sente os mesmos números em notação científica.
Professor, você pode discutir com os alunos que os expoentes negativos nos permitem representar números muito peque-
nos com potências.
34
9. O comprimento de um cordão de
DNA na célula é de aproximada-
mente 10–7 m, o que corresponde a
aproximadamente 1 000 angstroms. Com
base nesse dado, calcule a equivalência en-
tre angstrom e metro.
1 angstrom corresponde a 10–10 m.
10. O diâmetro de um fio de cabelo huma-
no é de aproximadamente 2,54 10–5 m.
Quantos fios de cabelo humano teriam
de ser colocados lado a lado para for-
mar 1 m?
Para determinar a quantidade de fios de cabelo que
correspondem a 1 metro, basta que façamos a divisão:
2,54 10-5
1 = 39 370 fios. Você também pode discutir com
os alunos que o ser humano tem em média 100 000 fios de
cabelo, podemos concluir, portanto, que todos os fios de ca-
belo de um indivíduo, quando alinhados por seus diâmetros,
resultariam em cerca de 2,54 metros (2,54 10 –5 100 000).
11. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de,
aproximadamente, 1,6 10–5 m por hora.
Um caracol de jardim se locomove no ritmo
de, aproximadamente, 3 10–2 m por hora.
Quanto tempo nossos fios de cabelo demo-
rariam para crescer o equivalente à distância
que um caracol de jardim percorre em 1 hora?A solução deste problema exige que efetuemos os seguin-
tes cálculos:
1,6 10-5
3 10-2
= 1,875 103 horas, o que cor responde a
24
1,875 103
= 78,125 dias, ou seja, 78 dias e 3 horas.
Considerações sobre a avaliação
Como dito inicialmente, a opção de não
apresentar atividades específicas sobre as opera-
ções com potências não significa que tal assunto
seja irrelevante, mas apenas que o tratamento
usualmente dado a esse assunto costuma ser
suficiente. Dessa forma, o foco desta Situação
10–18 10–15 10–12 10–9 10–6 10–3 100 103 106 109
Raios cósmicos Raios X Luz visível
Radar
Rádio VLF
Raios gama Infravermelho TV
Micro-ondas
Ultravioleta
Radiação eletromagnética – comprimento de onda em metros
Raios cósmicos
Raios gama
Raios X UltravioletaLuz
visívelInfra-
vermelhoMicro-ondas
Ondas de rádio
Energia de corrente
alternadaAlta frequência(Comprimento da onda: curto)
Baixa frequência(Comprimento da onda: longo)
© C
entr
o de
Ene
rgia
Nuc
lear
na
Agr
icul
tura
/USP
Encontrado em: Princípios da Irradiação. Texto: Adriano Costa de Camargo. Orientação: Prof. Dr. Júlio Marcos Melges Walder. Laboratório de Irradiação de Alimentos e Radioentomologia.
Disponível em: <http://www.cena.usp.br/irradiacao/principios.htm>. Acesso em: 1 nov. 2013.
35
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
de Aprendizagem recai sobre a exploração de
potências por meio de sua utilização na repre-
sentação do googol e do angstrom. Na próxima
Situa ção de Aprendizagem, veremos especial-
mente a família dos bytes: giga, mega, tera etc.
O significado dos números contidos nas
tabelas apresentadas pode servir de base
para a formulação de grande quantidade de
problemas interessantes, bem como para a
proposição de trabalhos extraclasse. O fun-
damental é que o trabalho com potências
seja desenvolvido com base em problemas
contextualizados. Tais problemas podem
ser tanto os aqui apresentados como alguns
criados pelos próprios alunos.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR
Conteúdos e temas: potências; propriedades de potências.
Competências e habilidades: conhecer e operar com as propriedades das operações com potên-cias de expoentes inteiros; reconhecer a potenciação em situações contextualizadas; transfor-mação de unidades.
Sugestão de estratégias: construção de tabelas e árvores de possibilidades; construção e análise de gráficos e tabelas; uso de calculadora.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 4
As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em
dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de
memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilo-
grama para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em pen drives
de 8 gigabytes, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas
especificações fazem parte do cotidiano no mundo da informática. Contudo, o significado do ter-
mo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões.
Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é de-terminado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computador, chamado capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de
36
forma binária em um computador, assumindo somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e 1, quando está ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codificadas em uma base de numeração binária, e não decimal.
Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas
dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas in-
terpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k)
corresponde a 1 000 unidades. Assim, 1 quilobyte (1 KB), segundo o SI, corresponderia a 1 000
ou 103 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento
de informação no computador, 1 quilobyte corresponderia a 210 bytes, ou seja, 1 024 bytes. A
diferença relativa entre as duas interpretações para o valor de 1 quilobyte (2,4%) era pequena,
não ocasionado maiores problemas na época.
Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unida-
des de medida tiveram de ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente,
já se fala em computadores com capacidade de memória medida em petabytes. A diferença relativa
entre o sistema binário e o Sistema Internacional aumentou, gerando uma discrepância significa-
tiva no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a 1 000 000 000
ou 109 bytes. No sistema binário, um gigabyte corresponde a 230 bytes, ou 1 073 741 824 bytes, um
número 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa discrepância chega
a aproximadamente 10%.
Hoje em dia há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes
adotam a base decimal na configuração de suas memórias, por causa da facilidade de compre-
ensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema
binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória declarada pelo fabricante
e as medidas registradas nos sistemas operacionais.
O Escritório Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et Mesures –
BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do Sistema In-
ternacional de Medidas referem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados
para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnica
Internacional (International Electrotech nical Commission – IEC) criou um sistema de unidades
específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo
como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das uni-
dades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 220 bytes passam
a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representa 106 bytes no SI. O
prefixo mega foi substituído por mebi, onde bi é a abreviação de binário.
37
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Na tabela a seguir, é possível comparar as unidades do sistema decimal com as do sistema binário.
Base decimal(SI)
Quantidade de bytes
Base binária(IEC)
Quantidade de bytes
Diferença(%)
quilobyte (KB) 103 = 1 000 quibibyte (KiB) 210 = 1 024 2,4%
megabyte (MB) 106 = 1 000 000 mebibyte (MiB) 220 = 1 048 576 4,9%
gigabyte (GB) 109 = 1 000 000 000 gibibyte (GiB) 230 = 1 073 741 824 7,4%
terabyte (TB)1012 =
= 1 000 000 000 000tebibyte (TiB)
240 = = 1 099 511 627 776
9,9%
Tendo como base esse contexto, podem-se ex-
plorar diversas situações em que as potências são
usadas para designar a capacidade de memória
ou a quantidade de informações que podem ser
codificadas usando-se os bits em um computador.
Bits, bytes e as potências de dois
Uma informação pode ser codificada por
meio de uma combinação de bits. A tabela a
seguir mostra a codificação dos algarismos
de 0 a 7 com base na combinação de 3 bits.
Nas duas primeiras colunas da tabela estão
representados os estados dos capacitores da
seguinte forma: o símbolo para desligado
(ou não magnetizado) e o símbolo para li-
gado (ou magnetizado). Na terceira coluna,
o número binário correspondente à configu-
ração dos capacitores: 0 para desligado e 1
para ligado. Por se tratar de 3 bits, o número
binário terá no máximo três casas. Na quarta
coluna, encontra-se o número correspondente
no sistema decimal associado à configuração
dos capacitores e ao número binário.
Configuração dos capacitores
Estado:D – desligado
L – ligado
Número binário(3 bits)
Número correspondente no sistema decimal
D – D – D 000 0
D – D – L 001 1
D – L – D 010 2
D – L – L 011 3
L – D – D 100 4
L – D – L 101 5
L – L – D 110 6
L – L – L 111 7
38
Utilizando 3 bits, foi possível armaze-
nar oito informações diferentes. Na tabe-
la, foram representados os oito números
de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi
representado por 101, ao passo que o 7
foi representado por 111. Utilizando ape-
nas os algarismos 0 e 1, e três casas, não
é possível representar nenhuma outra in-
formação. Para representar mais números,
seriam necessários mais bits.
Se cada bit só pode assumir dois valores, o
número total de informações que podem ser
armazenadas com 3 bits é dado por 2 2 2 =
= 23. Portanto, com 4 bits é possível armaze-
nar 24 ou 16 informações. Com 5 bits, 25 ou
32, e assim por diante. Com n bits, é possível
armazenar 2n informações. Em uma tabela,
essa situação pode ser representada da se-
guinte forma:
Número de bits 1 2 3 4 5 ... n
Quantidade de informação armazenada
21 22 23 24 25 ... 2n
Total 2 4 8 16 32 ... 2n
A mesma situação pode ser descrita apli-
cando-se um método denominado diagrama
de árvore:
capacitor 3
8 possibilidades
capacitor 2
capacitor 1
L
L
L
LL
L
L
D
D
D
D
D
D
D
Esse tipo de diagrama é uma representa-
ção do raciocínio multiplicativo aplicado em
várias situações que envolvem contagens, por
exemplo, de quantos modos diferentes pode-
mos vestir uma camiseta e uma calça dispon-
do, para isso, de 3 camisetas e 2 calças.
1. Complete a tabela a seguir
com todas as configurações pos-
síveis envolvendo quatro capaci-
tores e responda:
a) Se cada configuração corresponder a
uma letra do alfabeto, qual será a últi-
ma letra que pode ser representada com
4 bits (em ordem alfabética)?
Como podemos observar, a última letra do alfabeto que
pode ser representada com 4 bits é a letra P. Daí para a frente
temos de acrescentar outros bits.
b) Qual é a letra associada ao número bi-
nário 0111?Sendo assim, concluímos que a letra representada pelo nú-
mero binário 0111 é a letra H.
39
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
A tabela preenchida ficará como indicado a seguir.
Configuração dos capacitores
Estado:D – desligado
L – ligado
Número binário
(4 casas)Letra
D –D – D –D 0000 A
D – D – D – L 0001 B
D – D – L – D 0010 C
D – D – L – L 0011 D
D – L – D – D 0100 E
D – L –D – L 0101 F
D – L – L – D 0110 G
D – L – L – L 0111 H
L – D – D – D 1000 I
L – D – D – L 1001 J
L – D – L – D 1010 K
L – D – L – L 1011 L
L – L – D – D 1100 M
L – L – D – L 1101 N
L – L – L – D 1110 O
L – L – L – L 1111 P
2. Um byte é composto por 8 bits. Quantas
informações podem ser armazenadas em
um byte?
28 ou 256 informações.
3. Quantos bits seriam necessários para ar-
mazenar 1 000 informações?
Neste item, o aluno deve aplicar não só o raciocínio in-
verso, como também trabalhar com a estimativa. Seriam
necessários ao menos 10 bits, pois 29 é igual a 512 e 210 é
igual a 1 024.
Múltiplos de byte
4. No Sistema Internacional, os prefixos qui-
lo, mega e giga expressam diferentes potên-
cias de 10. Assim, 1 quilobyte (KB) equivale
a 103 bytes, 1 megabyte (MB) a 106 bytes,
1 gigabyte (GB) a 109 bytes, e assim por dian-
te. Com base no Sistema Internacional, faça
as transformações solicitadas e apresente as
respostas na forma de potência de 10.
a) 10 megabytes em bytes;
10 106 = 107 bytes.
b) 1 gigabyte em quilobytes;
103
109
= 106 quilobytes.
c) 100 quilobytes em gigabytes;
109
102 103
= 10–4 gigabytes.
d) 20 terabytes em megabytes;
106
2 10 1012
= 2 107 megabytes.
e) 1 megabyte em terabytes.
1012
106
= 10–6 terabytes.
5. Já no sistema binário, os prefixos usados ex-
pressam potências de 2. Um quibibyte (KiB)
equivale a 210 bytes; 1 mebibyte (MiB) a
220 bytes; 1 gibibyte (GiB) a 230 bytes, e as-
sim por diante. Faça as transformações a
seguir e apresente as respostas na forma de
potência de 2.
a) 2 mebibytes em quibibytes;
210
21 220
= 211 quibibytes.
40
b) 16 gibibytes em bytes;
24 230 = 234 bytes.
c) 1 quibibyte em mebibytes;
220
210
= 2–10 mebibytes.
d) 10 tebibytes em bytes;
5 21 240 = 5 241 bytes.
e) 32 quibibytes em gibibytes.
230
25 210
= 2–15 gibibytes.
Quando um mebibyte é um megabyte?
6. A capacidade de armazenamento de da-
dos de um CD-ROM está baseada no sis-
tema binário, apesar de ser expressa com
os prefixos do sistema decimal (SI). Por
exemplo: um CD-ROM de 700 MB (me-
gabytes) tem, efetivamente, uma capaci-
dade real de 700 MiB (mebibytes). Dife-
rentemente, a capacidade real dos DVDs
é calculada com potências de 10. Ou seja,
um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efe-
tivamente uma capacidade de armazena-
mento de 4,7 gigabytes. Com base nessas
informações, responda:
a) Qual é a capacidade real em megabytes
de um CD-ROM de 700 MiB?
Basta transformar 700 mebibytes em megabytes.
106
(7 102) 220
= 104
7 220
= 10 000
7 1 048 576 = 734 megabytes
Portanto, a capacidade efetiva do CD-ROM é de 734 MB.
b) Qual é a capacidade real em gibibytes de
um DVD de 4,7 gigabytes?
Basta transformar 4,7 gigabytes em gibibytes.
230
(47 10-1) 109
= 230
47 108
= 1 073 741 824
4 700 000 000 4,4 gibibytes
Portanto, a capacidade em base binária do disco de DVD é
de 4,4 gibibytes.
Usando potências para contagem
7. Suponha que você tenha em seu
estojo: um lápis, uma borracha e
uma caneta. De quantas maneiras
diferentes você poderá selecionar elemen-
tos dessa lista?
Repare que para responder a esta questão,
você pode pensar em utilizar conjuntos de um
só elemento, dois elementos e três elementos.
Coloque esses objetos em uma tabela:
Lápis Borracha Caneta
Estabeleça então a seguinte regra: o nú-
mero 1 colocado na casa abaixo do obje-
to significará que ele foi selecionado; caso
contrário, será colocado o zero.
Assim, a tabela numerada com 111 signi-
ficará que você escolheu os três objetos,
enquanto a disposição 101 significa que
foram escolhidos o lápis e a caneta. Dessa
forma, cada casa em que se escreve 0 ou 1
representará uma única maneira de selecio-
nar os objetos. Com base nas ideias desen-
volvidas sobre bits, responda à pergunta
feita (7). Atenção: a tabela com 000 deve
ser excluída, uma vez que mostraria que
não foi feita nenhuma escolha.
23 – 1 = 7.
41
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
Lápis Borracha Caneta1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 1 1
8. Aplique o mesmo raciocínio para 5 objetos.
25 – 1 = 31.
Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2?
9. A tabela a seguir relaciona os expoentes natu-
rais de 0 a 26, das potências de 2, com o núme-
ro de casas (algarismos) do resultado da po-
tência escrito por extenso. Observe o exemplo
na tabela a seguir e complete-a, calculando o
valor das potências. Se necessário, utilize uma
calculadora ou uma planilha eletrônica.
n2 elevado
a nNúmero de algarismos
1 2 1
2 4 1
3 8 1
4 16 2
5 32 2
6 64 2
7 128 3
8 256 3
9 512 3
10 1 024 411 2 048 4
12 4 096 4
13 8 192 4
14 16 384 5
15 32 768 5
16 65 536 5
17 131 072 6
18 262 144 6
19 524 288 6
20 1 048 576 7
21 2 097 152 7
22 4 194 304 7
23 8 388 608 7
24 16 777 216 8
25 33 554 432 8
26 67 108 864 8
10. Construa um gráfico no plano cartesiano,
relacionando o expoente das potências
de 2 da atividade anterior com o número
de algarismos da escrita do resultado das
potências. Lance no eixo vertical a quan-
tidade de algarismos do número e no eixo
horizontal o expoente de base 2.
Da mesma forma, o professor pode utilizar o recurso gráfico
das planilhas eletrônicas, encontrando, assim, um gráfico se-
melhante a este:
Número de algarismos das potências de 2
Expoente
Núm
ero
de a
lgar
ism
os
9
8
7
6
5
4
3
2
1
00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
42
11. Caso tenha à sua disposição computadores
com uma planilha eletrônica ou calculado-
ras científicas, construa uma tabela, como
a apresentada a seguir, para potências de 2
com expoentes maiores que 26 e complete os
valores que faltam:
n2 elevado
a nNúmero de algarismos
27 134 217 728 9
28 268 435 456 9
29 536 870 912 9
30 1 073 741 824 10
31 2 147 483 648 10
32 4 294 967 296 10
33 8 589 934 592 10
34 17 179 869 184 11
35 34 359 738 368 11
36 68 719 476 736 11
37 1.374E+11 12
38 2.749E+11 12
39 5.498E+11 12
40 1.100E+12 13
41 2.199E+12 13
42 4.398E+12 13
43 8.796E+12 13
44 1.759E+13 14
Com esses valores, observamos que, a partir do
expoente 37, aparece a notação E+n, sendo que
n representa o expoente da potência de base 10.
Nesses casos, a contagem de algarismos da po-
tência de 2 é facilitada, pois basta que somemos
1 (referente à casa da unidade) a cada expoente
de 10 para determinarmos a quantidade de al-
garismos da potência de base 2. O mesmo deve
ocorrer com o uso de calculadoras científicas.
Vale observar a presença de determinado
padrão nessa sequência, o que torna a ativida-
de promotora de outras investigações, como a
que propomos a seguir.
12. A tabela e a construção do gráfico nas ativida-
des anteriores nos permitem observar deter-
minado padrão na relação entre o expoente
e o número de algarismos da potência na
base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo
que esse padrão se repete pelo menos até o
expoente 100, determine a quantidade de al-
garismos do número que representa 2100.
Para responder a essa pergunta, o aluno pode utilizar algumas
estratégias próprias, por exemplo, contar a quantidade de alga-
rismos com base nos dados da tabela na sequência: 4, 3, 3, 4, ...
Outra possibilidade consiste em utilizar o gráfico dos cole-
gas, pelo menos quatro deles, e ajustar, fazendo coincidir os
pontos iniciais e finais, até encontrar o valor corresponden-
te ao expoente 100.
O professor pode, ainda, estimular os alunos a buscar uma forma
mais simples para chegar à solução do problema. Para isso, pode
sugerir que eles investiguem no gráfico uma correspondên-
cia entre a variação de algarismo e do expoente. A ideia é que
eles percebam que, a cada variação de 10 no expoente, há um
acréscimo de 3 algarismos na escrita por extenso da potência de
2, isto é, há uma variação de 3 no número de algarismos. Basta,
portanto, fazer a relação 10 para 3. Contudo, como a sequên cia
parte do 1, devemos acrescentar uma unidade no resultado dessa
relação. Assim, para encontrarmos o número de algarismos do
43
Matemática – 7ª série/8º ano – Volume 1
desenvolvimento de 2100, devemos fazer a seguinte relação: se
a cada 10 no expoente acrescentamos 3 no número de algaris-
mos, quando o expoente for 100, teremos acrescentado 30 alga-
rismos. Como a sequência da quantidade de algarismos partiu do
1, teremos como solução 31 algarismos, ou seja:
10
100 = 10; 10 3 = 30; 30+1 = 31 algarismos
Agora, vamos observar o que acontece quando o expoente
não é múltiplo de 10, como é o caso de 36 e 37.
10
36 = 3,6 3,6 3 = 10,8
10 + 1 = 11 algarismos
10
37 = 3,7 3,7 3 = 11,1
11 + 1 = 12 algarismos
Assim, a casa decimal resultante do produto por 3 é ignora-
da na determinação do número de algarismos da escrita por
extenso; é o que percebemos quando ligamos os pontos do
gráfico por um traço.
Considerações sobre a avaliação
Nesta Situação de Aprendizagem, as
unidades de medida da quantidade de in-
formação guardada nas memórias dos
computadores constituem um exemplo con-
textualizado do significado das potências e
de sua função primordial na linguagem e no
registro de números muito grandes. As ativi-
dades apresentadas abrem algumas perspec-
tivas de abordagens, mas os caminhos para
a exploração do tema são variados e espe-
cialmente fecundos. Sendo assim, o professor
poderá propor diversos trabalhos comple-
mentares às avaliações formais, envolvendo
pesquisas na internet ou pequenos projetos
de investigação.
Neste volume, são explícitas a conveniên cia
e a vantagem na utilização de múltiplos instru-
mentos de avaliação, entre eles, além das provas,
pequenos trabalhos e pequenas tarefas de pes-
quisa sobre temas sugeridos pelas temáticas das
atividades desta Situação de Aprendizagem.
Cabe ao professor, em função do equacio-
namento de seu tempo disponível, efetivar
tais práticas avaliativas tendo em vista a ex-
ploração do interesse despertado nos alunos
pelas atividades.
Para saber mais
Você pode ainda pesquisar na inter-
net vários sites que tratam das unidades
de medidas exploradas neste Caderno.
Algumas palavras-chave que podem ser
utilizadas e sites de busca são:
bits;
angstrom;
parsec;
anos-luz.
44
expresse o total de bolinhas em função do
número da figura. (Observação: chame o
número da figura de n.)
1 2 3 4 5...
Propondo um problema como esse aos alunos, é possível
que eles apresentem mais de uma solução, o que deve ser
usado como recurso para se verificar a equivalência entre ex-
pressões. Uma possível solução é a seguinte:
1 2 3 4 5...
Nesse caso, note que na primeira linha sempre teremos o
número de bolinhas igual ao número que representa a figura
e, na segunda linha, o total de bolinhas será sempre um a
menos que o número da figura. Usando a letra n para re-
presentar o número da figura, o total de bolinhas pode ser
representado por n + (n – 1).
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS
Conteúdos e temas: uso de letras representando números; operações com letras representativas de números; expressões algébricas; propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição e à subtração.
Competências e habilidades: compreender o uso de letras representativas de números; genera-lizar padrões em sequências por meio de expressões algébricas; reconhecer equivalências entre expressões algébricas; realizar operações simples com polinômios.
Sugestão de estratégias: proposição de sequências com diferentes padrões para serem anali-sadas por estratégias diversificadas de contagem, na busca da identificação de equivalências; atividades individuais e em grupo; resolução de situações-problema.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 5
A introdução ao uso de letras na represen-
tação de problemas normalmente é feita na
6a série/7o ano como preparação para o estudo
das equações. Na 7a série/8o ano, o desenvolvi-
mento de novas habilidades para o cálculo algé-
brico pode ser iniciado por meio de uma ativi-
dade que possibilite a discussão de propriedades
das operações algébricas com base na equivalên-
cia entre expressões. Nesse sentido, a equivalên-
cia entre expressões como 2(x + 3) e (x + 3) +
+ (x + 3) e 2x + 6, ou entre (x + 2) (x + 3)
e x2 + 5x + 6, ou, ainda, entre x2 – 4 e
(x + 2) (x – 2) pode ser trabalhada por meio
de alguns recursos geométricos, como apre-
sentado na atividade a seguir:
1. Observe a sequência de boli-
nhas e crie uma fórmula que
45
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
2. Utilizando a mesma sequência da atividade
anterior, escreva uma fórmula diferente, po-
rém equivalente à que você encontrou.
1 2 3 4 5...
Agora, o número de colunas é igual ao número da figura e
temos duas bolinhas em cada coluna, exceto em uma delas
(última coluna), que terá apenas uma bolinha. Se preencher-
mos a coluna que tem apenas uma bolinha com mais uma
bolinha, podemos calcular o total de bolinhas multiplicando
o número de colunas pelo de linhas e subtraindo a bolinha
adicional ao final da conta. Usando letras, o total de bolinhas
da figura n será 2n – 1.
3. Como as fórmulas obtidas nas atividades
anteriores são equivalentes, pois represen-
tam a mesma sequência de figuras, apre-
sente uma propriedade algébrica decorren-
te dessa equivalência.
Uma vez que as duas expressões obtidas são equivalentes,
n + (n – 1) tem de ser idêntico a 2n – 1, o que significa dizer que
ambas as expressões devem ser válidas para qualquer n. Decor-
re, portanto, que n + n tem de ser igual a 2n.
4. Observe a sequência de bolinhas e crie duas
fórmulas que expressem o total de bolinhas
em função do número da figura. (Observa-ção: chame o número da figura de n.)
1 2 3 4 5
...
Resolução 1
Fechando retângulos de n linhas e 3 colunas, devemos acres-
centar ainda n – 1 bolinhas.
1 2 3 4 5
...
Nesse caso, a fórmula seria 3n + (n – 1).
Resolução 2
Completando a figura com uma bolinha, fechamos retângu-
los de n linhas por 4 colunas.
1 2 3 4 5
...
Cada retângulo de ordem n contém 4n bolinhas menos
1 bolinha. Assim, a fórmula pode ser 4n – 1.
5. Apresente uma propriedade algébrica que
decorre da equivalência entre as fórmulas
encontradas na atividade anterior.
A fórmula, que agora seria 4n – 1, pode ser comparada com a
anterior, de onde se conclui que 3n + n tem de ser igual a 4n.
6. Observe a sequência de bolinhas e construa
duas fórmulas que expressem o total de bo-
linhas em função do número da figura. (Ob-servação: chame o número da figura de n.)
1 2 3 4
...
46
Resolução 1
Organizamos a figura em n linhas por n + 2 colunas
1 linha e 3 colunas
12
2 linhas e 4 colunas
3
3 linhas e 5 colunas
4
...
4 linhas e 6 colunas
Com isso, chegamos a n(n + 2).
Resolução 2
Agora, nesta resolução, organizamos a figura da se-
guinte forma: quadrados com n bolinhas e mais o do-
bro de n bolinhas.
1
1 + 2 1
2
22 + 2 2
3
32 + 3 2
4
...
42 + 4 2
Assim, a expressão geral será: n2 + 2n.
7. Apresente uma propriedade algébrica que
decorre da equivalência entre as fórmulas
encontradas na atividade anterior.
Como n(n+ 2) é equivalente a n2 + 2n, concluímos que
n n = n2 e que n 2 = 2n.
A riqueza dessa atividade como instrumen-
to didático está na busca de representações
distintas, porém equivalentes, para indicar
a quantidade de bolinhas em função do nú-
mero da figura. Assim, é importante que o
professor incentive seus alunos a buscar mais
de uma expressão e a mostrar a equivalência
entre as expressões obtidas. A seguir, apre-
sentamos outros exemplos de atividades que
permitem esse tipo de exploração, bem como
algumas possíveis es tratégias de soluções.
8. Cada figura da sequência está
indicada por um número. Deter-
mine quatro fórmulas diferentes (e
equivalentes) para o total de bolinhas de
uma figura genérica n dessa sequência.
1 2 3 4 5
...
Para esta atividade, apresentamos quatro soluções:
47
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
Solução 1
2
4(n + 1)
São contadas quatro filas
com uma bolinha a mais
que o número da figura.
2
– 4
Contudo, as bolinhas do
canto são contadas duas
vezes, por tanto, devemos
subtrair quatro do total.
4(n + 1) – 4 Expressão final.
Solução 2
3
4(n – 1)
São contados quatro gru-
pos com uma bolinha a
menos que o número da
figura.
3
+ 4
Sobram quatro bolinhas
no canto, portanto, deve-
mos acrescentar quatro ao
total.
4(n – 1) + 4 Expressão final.
Solução 3
4
4n
São contados quatro gru-
pos com o número de bo-
linhas igual ao número da
figura.
4n Expressão final.
Solução 4
5
(n + 1)2
Completa-se a figura
fechando um quadra-
do com a quantidade
de linhas e colunas
igual ao número da
figura acrescido de 1.
A quantidade de boli-
nhas nesse quadrado
será, portanto, igual ao
quadrado do número
da figura acrescido de
uma unidade.
5
(n – 1)2
Devemos, contudo,
subtrair do total de
bolinhas as que foram
acrescentadas anterior-
mente. Estas formam
um segundo quadrado
que tem a quantidade
de linhas e colunas igual
ao número da figura,
menos 1. Portanto, a
quantidade de bolinhas
no quadrado menor é
igual ao quadrado do
número da figura me-
nos uma unidade.
(n + 1)2 – (n – 1)2 Expressão final.
48
De forma resumida, obtemos o seguinte:
Vamos agora estudar um formato que posteriormente se tornará muito familiar aos alunos. O enunciado será o mesmo das atividades anteriores.
1 3 542
4 (n + 1) – 4 4 + 4 (n – 1) 4 n (n + 1)2 – (n – 1)2
...
Desafio!
9. Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Encontre duas fórmulas diferentes (e equivalentes) para determinar o total de bolinhas de uma figu-ra genérica n dessa sequência.
n = 1 n = 3 n = 5n = 4n = 2
Solução 1: numericamente, é possível observar que a cada número n da figura corresponde um qua drado de n + 1 linhas e
n + 1 colunas. A fórmula será (n + 1)2.
1 3 542
Numericamente, é possível observar a validade desta fórmula: 1) (1 + 1)2; 2) (2 + 1)2; 3) (3 + 1)2; 4) (4 + 1)2; ...; n) (n + 1)2
Solução 2: nesse caso, formamos um quadrado de n linhas por n colunas, dois retân gulos de n por 1, e devemos acrescentar
ainda 1 bolinha. Temos, portanto, a fórmula: n2 + 2n + 1.
1 3 542
Assim, estabelecemos a equivalência entre (n + 1)2 e n2 + 2n + 1.
49
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
Outros exemplos podem ser utilizados como forma de motivar a busca de uma reorgani-
zação da figura que facilite a identificação de uma fórmula, como o exemplo apresentado a
seguir, que trabalha com a soma dos termos de uma sequência que, no Ensino Médio, identi-
ficarão por uma progressão aritmética.
10. Encontre uma fórmula que expresse o número de bolinhas de uma figura genérica n da
sequência.
1 3 542
Para resolver o problema, vamos reagrupar as bolinhas de forma diferente:
1 3 542
Completando os quadrados, obteremos o seguinte:
1 3 4 52
Observe que, para formar esse último quadro, necessitamos:
acrescentar a diagonal, indicada em vermelho, que possui uma bolinha a mais que o número da figura;
acrescentar uma quantidade de bolinhas igual à que queremos contar em uma forma espelhada, com relação à diagonal,
indicada na cor verde.
Portanto, temos quadrados de n + 1 linhas por n + 1 colunas, formados pelos acréscimos das n + 1 bolinhas (diagonal) e da ima-
gem espelhada de bolinhas que queremos contar.
Assim, o total de bolinhas da figura n será dado por 2
(n + 1)2 – (n + 1) .
Utilizando as regras de cálculo algébrico que foram discutidas nos outros exemplos, o aluno poderá reescrever essa fórmula
como 2
n2 + n , ou, ainda,
2
n (n + 1) .
50
Na atividade a seguir, propomos mais al-
gumas situações que permitem a construção
de equivalências entre diferentes expressões
algébricas. Para realizar esta atividade, o
professor pode dividir a sala em pequenos
grupos e sugerir que encontrem três formas
equivalentes em cada item. Realizando as
operações simples aprendidas até o momen-
to, os alunos podem verificar a equivalência
entre as expressões encontradas.
11. Determine fórmulas para o
cálculo do número de bolinhas
de cada figura das sequências a
seguir em função do número da figura. (Ob-servação: chame o número da figura de n.)
Para cada caso, apresentamos três soluções equivalentes.
a) 1 3 42
...
2(n + 1) + (n – 1)3(n + 1) – 23(n – 1) + 4
1 3 42
b) 1 3 42
...
n + (n + 1) + 13 + 2n – 12(n + 1)
1 2 3 4
c) 1 32
...
1 2 3
...
2(n + 2) + 2(n + 1)
2(n + 2) + 2(n + 3) – 4(n + 3)(n + 2) – n(n + 1)
Professor, agora proponha um trabalho
diferente. Apresente aos alunos uma expressão e
peça a eles que façam a representação em bolinhas.
12. Dada a fórmula para o cálculo do número
de bolinhas em função do número n da fi-
gura, faça um desenho representativo para
n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4.
a) n + (n + 1) + (n + 2)
Uma possível solução:
1 3 42
1 2 3
23
4
1 + 2 +3 2 + 3 +4 3 + 4 +5
34
5
b) (n + 2)2
Esta é uma possível solução para o problema:
(1 + 2)2
1 3 42
(2 + 2)2 (3 + 2)2 (4 = 2)2
45
6
4 + 5 +6
51
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
13. Encontre outras fórmulas equivalentes para
cada um dos itens apresentados na ativida-
de anterior. (Dica: faça figuras para auxiliar
a resolução da atividade.)
É possível que os alunos apresentem as seguintes soluções:
Figuras Fórmula
1)
3 1 + 3 3 2 + 3
3 4 + 33 3 + 3
1
3
2
4
3n + 3
2) 1
3
2
4
12
4
22
4 14 2
n2 + 4n + 4
Considerações sobre a avaliação
Com relação ao processo de avaliação, o pro-
fessor deve escolher os tipos de instrumentos
adequados que sejam compatíveis com as carac-
terísticas do conteúdo específico ensinado e com
as condições e características da turma, ou seja,
a avaliação deve ter a autoria do professor, pois
ele é o responsável pela formação dos alunos na
disciplina que ministra. Contudo, consideramos
importante a reflexão sobre alguns princípios
norteadores da ação avaliativa:
os instrumentos devem ser diversifi cados
de forma a contemplar não apenas a di-
versidade de competências entre os alu-
nos, mas também as várias dimensões do
conhecimento estudado;
a prova é um instrumento importante no
processo de avaliação, mas não pode ser
o único. É possível realizar uma prova de
diferentes maneiras. Por exemplo: com ou
sem consulta; no tempo de uma aula
ou em um tempo maior; na sala de aula,
na biblioteca ou em casa; individual-
mente ou em grupo etc. O formato da
prova deve estar atrelado aos objetivos
de aprendi zagem determinados pelo
professor;
os momentos que antecedem uma pro-
va (estudo) e os que a sucedem (cor-
reção e recuperação) devem ser valo-
rizados e contemplados no processo
de avaliação. A elaboração de roteiros
de estudo, incluindo listas de exercí-
cios e questões norteadoras, ajuda o
aluno a sistematizar seu conhecimento.
O professor pode avaliar como esse
estudo foi feito e também analisar as
anotações e os exercícios resolvidos pe-
los alunos. A correção da prova pode
ser feita pelos próprios alunos, com
algumas orientações de caráter geral
dadas pelo professor. Alguns alunos
podem atuar como monitores sob a
supervisão do professor. Esse processo,
assim como o resultado da reelabora-
ção da prova, pode ser avaliado;
4
52
a autoavaliação constitui uma ferra-
menta essencial na formação do aluno
e deve ser considerada dentro do pro-
cesso de avaliação. É preciso ter muito
cuidado para não banalizar esse instru-
mento. O professor deve discutir com
os alunos o significado da autoavalia-
ção e como ela pode servir como ins-
trumento de autoconhecimento para
o aluno.
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é de que o aluno tenha se fami-
liarizado com a possibilidade de expressão
de um movimento quantitativo por meio de
uma fórmula ou de uma expressão algébrica.
Recuperando a noção de equivalência trata-
da anteriormente, o foco é a equivalência en-
tre expressões com letras, que representam a
generalização de determinado padrão. Nas
atividades apresentadas, a colaboração entre
Álgebra e Geometria pode ser notada e será
aprofundada no decorrer das Situações de
Aprendizagem seguintes.
Consideramos que o desenvolvimento desta
Situação de Aprendizagem foi satisfatório se
os alunos estiverem motivados a encontrar as
expressões equivalentes e se eles conse guirem
generalizar algumas propriedades como a co-
mutativa, a associativa e a distributiva da mul-
tiplicação em relação à adição e à subtração.
O professor pode observar que as ati-
vidades propostas permitem um trabalho
cooperativo. À medida que alguns alunos
vão encontrando soluções, o professor pode
propor que estes as exponham para os outros
colegas, permitindo maior interação entre
os alunos. Muitas vezes, as linguagens que os
alunos utilizam em suas explicações tornam-
-se mais significativas, permitindo maior
compreensão por parte dos alunos que ainda
não haviam chegado à solução do problema.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS
Conteúdos e temas: produtos notáveis; trinômio quadrado perfeito; diferença de quadrados; área e perímetro de figuras planas.
Competências e habilidades: compreender a demonstração geométrica de um produto notável, de um trinômio quadrado perfeito e da diferença de dois quadrados; utilizar a linguagem algébrica para representar a área e o perímetro de uma figura plana; interpretar enunciados; transpor ideias relacionadas à Álgebra para a Geometria; generalizar e organizar dados a partir de certa propriedade.
Sugestão de estratégias: apresentação de um conjunto de exercícios exemplares que explo-ram diferentes contextos.
53
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
geométricas básicas, como o quadrado, o re-
tângulo e o triângulo.
Para aprofundar as ideias relativas às
propriedades comutativa e distributiva, por
exemplo, você pode sugerir aos alunos que
encontrem expressões equivalentes às relati-
vas ao cálculo de áreas de retângulos.
Para discutir a igualdade x(a + 4) = xa + x4 =
= ax + 4x , pode-se interpretar a área do re-
tângulo com dimensões x e a + 4:
x
a + 4
4a
Decompondo o comprimento nas medidas
a e 4, obtemos dois retângulos cujas áreas têm
soma igual à área do retângulo anterior:
x
a + 4
4a
ax 4x
Podemos, portanto, concluir que x(a + 4) =
= ax + 4x.
A seguir, apresentamos algumas atividades
que podem ser propostas aos alunos para que
estabeleçam expressões algébricas com base
em situa ções geométricas:
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 6
É importante que o aluno entenda que
a igualdade a + b = a +2ab+ b2 2 2( ) é uma
for ma simplificada de calcular o produto
a b a b+ +( ) ( ). sem que seja necessário desen-
volvê-la completamente. Contudo, a simples
memorização dessas expressões, desprovida
de significado, não constitui o melhor ca-
minho para o aprendizado da Álgebra pe-
los alunos. Nesse sentido, propomos que o
professor explore o significado geométrico
dos produtos notáveis e sua relação com o
trinômio qua drado perfeito.
O uso de letras para representar as medi-
das dos lados de uma figura geométrica é um
recurso importante na formação algébrica dos
alunos. É o passo para a generalização de de-
terminadas propriedades relacionadas ao pe-
rímetro ou à área dessas figuras. A área de um
quadrado de lado 5 é igual a 5 5 = 52 = 25.
A área de um quadrado de lado 10 equivale a
102 = 100. Então, a área de um quadrado ge-
nérico de lado a vale a2. Do mesmo modo,
o perímetro de um quadrado de lado a pode
ser escrito como 4a. Essas noções serão apli-
cadas no volume 2 da 7a série/8o ano, quando
serão estudadas demonstrações geométricas
envolvendo os teoremas de Tales e de Pitágo-
ras, além das deduções das fórmulas de áreas
de outros polígonos.
Para que os alunos possam fazer uso desse
procedimento, é necessário que eles conheçam
as fórmulas da área e do perímetro das figuras
54
1. Observe as figuras a seguir e
represente a área de cada re-
tângulo por duas expressões
algébricas equivalentes:
a) x
a + 7 + y
7 ya
O primeiro retângulo pode ser decomposto da seguinte forma:
x
a + 7 + y
x (a + 7 + y)
7 ya
x
a + 7 + y
ax + 7x + yx
7 ya
ax 7x yx
Assim, essa situação nos permite escrever que
x (a + 7 + y) = ax + 7x + yx
b) x
y
2
5
(2 + y)(x + 5) = 2x + 10 + xy + 5y
x
y
2
5
x + 5
2 + yxy 5y
102x
2. A expressão 3a + 3b refere-se à área de um
re tângulo. Represente geometricamente essa
expressão e encontre uma expressão equiva-
lente a ela.
É preciso observar que, como o 3 é um fator comum em am-
bas as parcelas, uma das dimensões do retângulo deve ser 3 e
outra, a soma de a com b. Portanto:
3
a + b
ba
3a 3b
Uma expressão equivalente à dada na atividade é 3(a + b).
Com isso, observamos que 3(a + b) = 3a + 3b, o que eviden-
cia a propriedade distributiva da multiplicação com relação
à adição.
3. A expressão x(y – 3) refere-se à área de um
retângulo. Represente geometricamente essa
55
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
expressão e encontre uma expressão equiva-
lente a ela.
Nesse caso, o fator comum é o x, portanto, ele será a medida
do lado comum na construção do retângulo; a outra medida
deve ser (y – 3). Essa situação pode ser interpretada geome-
tricamente como:
x
y
y – 33
x(y – 3)
Com base na área do retângulo de lados x e y, podemos
observar que:
3
3x
y
xy – 3x
Portanto, x(y – 3) = xy – 3x, o que evidencia a propriedade
distributiva da multiplicação com relação à subtração.
A partir deste momento, o professor pode
explorar a compreensão dessas propriedades
utilizando outras situações como essas ou
propondo aos alunos muitas das situações
que encontramos em livros didáticos.
Produtos notáveis
O desenvolvimento do produto da soma de
dois números como (x + a) (x + b) refere-se
a uma situação geral que permite, além de sua
posterior interpretação no desenvolvimento
especí fico dos produtos notáveis como (a + b)2
e (a – b)2, a construção de noções fundamentais
aplicadas tanto à fatoração de trinômios quanto
à resolução de equações de 2o grau pelo método
conhecido como “soma e produto das raí zes”.
Nas atividades a seguir, propomos uma explora-
ção sobre esse produto, mais uma vez usando a
interpretação geométrica. Vale ressaltar que essa
estratégia será retomada na Situação de Apren-
dizagem 7, quando abordaremos a fatoração e a
resolução de equações por cálculo mental.
4. Represente geometricamente o produto
(x + a) (x + b) e encontre uma expressão
equivalente a ele.
Para resolver essa situação, discuta com a turma que esse pro-
duto pode ser interpretado como a área de um retângulo de
medidas de lados (x + a) e (x + b). Decompondo a figura pelas
medidas x, a e b, encontramos um quadrado de lado x, um
retângulo de lados x e a, um retângulo de lados x e b e, por
fim, um retângulo de lados a e b.
x + a x + a
x +
b
x +
b
b b
x x
x xa a
x2 xa
xb ab
Dessa forma, podemos escrever:
(x + a) (x + b) = x2 + xa + xb + ab
56
A presença, nessa expressão, da soma xa + xb pode ser inter-
pretada como (a + b)x, pois, conforme o que foi discutido
anteriormente, podemos realocar os retângulos da seguin-
te forma:
xb
xa
xb
xa
xb
xa
a + b
x
Obtendo a seguinte configuração:
x2 ab
soma dos termosproduto
dos termos
++ (a + b)x
Portanto, (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Nessa expressão,
identificamos que, no desenvolvimento de (x + a) (x + b),
a quantidade de x, isto é, o coeficiente de x, é a soma dos
números (a + b), e o termo independente é o produto dos
mesmos termos a b.
Outra situação a ser estudada é a que en-
volve o produto da diferença de dois números,
isto é: (x – a) (x – b).
5. Represente geometricamente o produto
(x – a) (x – b) e depois encontre uma ex-
pressão equivalente.
Pensando nesse produto como a área de um retângulo, a medida
de um lado será (x – a) e do outro, (x – b). Isso pode ser formado a
partir de um quadrado de lado x, como mostra a figura:
x
bx
– b
x
x – a a
(x – a) (x – b)
A área do quadrado inteiro corresponde a x2, para chegarmos ao
valor de (x – a) (x – b), devemos retirar os retângulos de áreas
ax e bx, e acrescentar uma vez a área do retângulo de lado ab,
que foi retirada duas vezes (uma na área ax e outra na área bx).
Geometricamente, temos:
=
(x – a) (x – b)
x x
x
x2 –ax
a
– –
ax
57
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
b b
–bx +ab
– +
x a
bx ab
Chegamos, então, à expressão (x – a) (x – b) = x2 – xa – xb + ab.
Vale observar que essa expressão é equivalente à (x – a) (x – b) =
= x2 – (a + b)x + ab, o que, mais uma vez, permite-nos concluir
que o coeficiente de x, embora negativo, refere-se à soma
(a + b) e o termo independente, ao produto a b.
A partir dessas situações propostas, o
professor pode destacar para o grupo de
alunos as semelhanças e diferenças pre-
sentes no desenvolvimento algébrico de
(x + a) (x + b) e de (x – a) (x – b). Como
vimos, o termo comum x é elevado ao qua-
drado; se o produto for entre a soma de dois
números, o coeficiente de x, isto é, o “segundo
termo”, será positivo, caso seja a diferença de
dois números, ele será negativo.
O professor poderá ampliar esse tipo de
exploração propondo atividades como a re-
presentação de produtos (x + 2) (x + 5) ou de
(x – 3) (x – 1). Uma vez dominadas as ideias rela-
tivas às interpretações geométricas de fatos algé-
bricos desses produtos notáveis, o professor pode
recorrer às situações que envolvem a utilização da
propriedade sem que seja feito o uso da proprie-
dade distributiva ou do recurso geométrico. Isso é
o que propomos na atividade seguinte.
6. Desenvolva os produtos a seguir sem aplicar
a propriedade distributiva ou a repre-
sentação geométrica:
a) (x + 3) (x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 5 = x2 + 8x + 15
b) (x – 7) (x – 10) = x2 – (7 + 10)x + 7 10 = x2 – 17x + 70
c) (x + 1) (x + 1) = x2 + (1 + 1)x + 1 1 = x2 + 2x + 1
d) (x – 4) (x – 6) = x2 – (4 + 6)x + 4 6 = x2 – 10x + 24
Os quadrados perfeitos
A igualdade (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 será
dis cutida como um caso particular da situação
estudada anteriormente. Essa particularidade
reside no fato de a figura correspondente ser
um quadrado. A importância desses desenvolvi-
mentos algébricos na Matemática e em outras si-
tuações devem permitir que os alunos atribuam
significado à expressão algébrica decorrente do
produto ou da potência em questão. Para isso,
retomamos a demonstração geométrica a partir
da decomposição de um quadrado de lado a + + b, que tem área igual a (a + b)2. Ele pode ser
decomposto em quatro figuras: um quadrado de
área a2, outro quadrado de área b2 e dois retân-
gulos de área a b. A soma das áreas das quatro
figuras é igual à área do quadrado maior, como
mostra a figura da atividade a seguir.
7. Observe a figura apresentada a seguir e
complete os quadros em branco com le-
tras, indicando as medidas dos lados no
1o membro e as áreas no 2o membro.
58
Convém salientar aos alunos que, com base
nessa demonstração, qualquer trinômio qua-
drado perfeito pode ser representado geome-
tricamente por um quadrado.
8. Represente geometricamente o trinômio
quadrado perfeito x2 + 4x + 4.
x + 2x + 2
x2
2x
2x
4
2
2
x
x
Contudo, um trinômio como x2 – 4x – 4
não será um quadrado perfeito, pois o terceiro
termo (– 4) está precedido do sinal de menos (–).
9. Faça a representação geométrica dos se-
guintes trinômios quadrados perfeitos:
a) a2 + 6a + 9 b) 4x2 + 4x + 1
a + 3 2x + 1
a2a
3a
3a
9 3
3
a + 3
4x2
2x + 1
2x
2x
2x
1 1
1
+ +=
(a + b)2 a22ab b2= + +
a + b
a + b
aa b
a b
a2b2
bb
a
Desafio!
10. Demonstre geometricamente a igualdade (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, partindo de um quadrado de lado a, conforme mostra a figura.
b
a
b
a
(a – b)2
a –
b
A área do quadrado interno de lado (a – b) vale (a – b)2. Ela equivale à área do quadrado maior (a2), subtraída das áreas dos
retângulos de lados a e b (a b). Contudo, é preciso adicionar a área do quadrado de lado b (b2), pois ele foi retirado duas vezes ao sub-
trairmos os retângulos do quadrado maior. Essa operação pode ser visualizada geometricamente na figura a seguir:
59
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
(a – b)2 a2 2ab b2= – +
(a – b)2
a b
a b
a2
b2
= – +
11. Mostre geometricamente que a igualdade (x – 5)2 = x2 – 10x + 25 é válida.
O produto notável (x – 5)2 pode ser representado geometricamente da seguinte forma:
(x – 5)2 x2= +– 525x
5x 52 52
(x – 5)2
x –
5 x
x
5
5
12. Represente geometricamente os seguintes produtos notáveis:
a) a a2 6 9
a
a
(a – 3)2
3
3
(a – 3)2 =a2
–
3a
3a + 32
(a – 3)2 = a2 – 6a +9
60
b) 9 6 12x x
(3x – 1)2 = (3x)2 –
3x
3x + 12
3x
3x
(3x – 1)2
1
1
(3x – 1)2 = 9x2 – 6x + 1
Outra igualdade importante na Álgebra
é a diferença de dois quadrados. Algebri-
camente, essa igualdade significa que a di-
ferença entre o quadrado de dois números
é igual ao produto da soma pela diferen-
ça entre esses dois números, isto é, a2 – b2 =
= (a + b) (a – b).
Para apresentar esse produto notável, o
professor pode propor uma atividade aos
alunos pedindo que cada um construa seu
modelo com uma medida para a e outra me-
dida para b, podendo verificar a validade da
afirmação para qualquer um desses valores,
generalizando, portanto, para medidas a e b.
Geometricamente, será construído um
quadrado de lado a, do qual será subtraído
um quadrado de lado b, conforme a figura
a seguir:
a
a
a2 – b2
a – b
b
a
b
A figura resultante pode ser dividida ao
meio e suas partes, realocadas da seguinte
forma:
61
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
b
b
a
a – b
a –
b
a
Obtemos, assim, um retângulo cuja área
equivale a (a + b) (a – b). Podemos concluir
assim que: a2 – b2 = (a + b) (a – b).
a + b
a – b
Com base no conhecimento desses produ-
tos notáveis, podemos explorar situações mais
complexas, como as que sugerimos a seguir.
13. Represente geometricamente a expressão
algébrica 9 – x2 e, em seguida, construa
uma expressão equivalente a ela, indicando
o produto de dois termos.3
3 – x
3 + x
3
x
x
9 – x2 = (3 + x) · (3 – x)
14. Represente geometricamente a expressão
algébrica 16x2 – 9y2 e, depois, encontre
uma expressão equivalente a ela, como o
produto de dois números.
1a Solução
Agora, o aluno pode pensar que temos a “diferença de dois
quadrados”, um com área 16x2 e outro com área 9y2. Portanto,
deve concluir que o lado do quadrado maior é 4x e do qua-
drado menor, 3y. Procedendo conforme o modelo, podemos
encontrar como solução:
4x
4x – 3y
4x – 3y
4x + 3y
4x –
3y
4x – 3y
4 x
4 x
4 x
16x2 – 9y2
3y
3y
3y
4x
3y
Assim, concluímos que
16x2 – 9y2 = (4x + 3y) (4x – 3y)
2a Solução
O aluno pode considerar um quadrado de lado 4x e, em seu
interior, um quadrado de lado 3y.
62
4x
4x –
3y
4x
3y
3y
4x – 3y
Em seguida, é preciso observar que a diferença dos quadrados
(16x2 – 9y2) significa a sobra do retângulo com medidas 4x
e (4x – 3y) e 3y e (4x – 3y). Rearranjando, construímos um
retângulo de lados (4x + 3y) e (4x – 3y).
4x –
3y
4x
4x + 3y
3y
4x
4x – 3y
4x –
3y
4x
3y
Portanto, podemos concluir que 16x2 – 9y2 = (4x + 3y) (4x – 3y).
Terminada essa etapa, sugira outras situa-
ções similares, que funcionem como uma in-
trodução à fatoração, tema da próxima Situa-
ção de Aprendizagem.
Com o intuito de trabalhar um pouco mais
com esse manejo algébrico-geométrico, propo-
mos uma atividade que envolve demonstrações.
15. A figura a seguir mostra um quadrado de
lado c formado por 4 triângulos retângulos
de catetos a e b, além de um quadrado me-
nor. Mostre que c2 = a2 + b2.
a b
c
A área do quadrado de lado c corresponde a c2. Os triân gulos
de lado a, b e c têm área igual a 2
a b. O quadrado menor,
por sua vez, tem lados iguais a (b – a), portanto, sua área é
(b – a)2. A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos
triângulos e do quadrado menor.
a
ab – a
b
b
c
Portanto: c2 = 42
a b + (a – b)2
c2 = 2ab + a2 – 2ab + b2
c2 = a2 + b2
A solução desse problema é uma demons-
tração do Teorema de Pitágoras, segundo o
qual em todo triângulo retângulo o quadrado
da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos em todos os triângulos. Nesse mo-
mento, o professor não precisa enunciar esse
teorema, uma vez que ele é o objeto de estudo
do volume 2 da 7a série/8o ano.
63
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
Uma noção do desenvolvimento de outras potências (a + b)
Apoiados em noções simples, como o dia-
grama de árvore, propriedades de potências
e produtos notáveis, é possível introduzir
estudo sobre as regularidades presentes no
desenvolvimento de potências sucessivas do
binômio (a + b)n.
A investigação que propomos segue um
modelo que vem sendo adotado em outros
Cadernos: identificar padrões no sentido
de generalizar e organizar dados a partir de
certa propriedade.
Inicialmente, o professor pode propor para
grupos de alunos que completem a seguinte
tabela da expansão da expressão (a + b)n para
n = 0, 1, 2 e 3:
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
Os três primeiros casos já são conhecidos.
A solução de (a + b)3 pode ser encontrada por
meio da seguinte propriedade de potência:
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 =
= (a + b) (a2 + 2ab + b2) =
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Geometricamente, seria o mesmo processo
de calcular o volume de um cubo com arestas
(a + b), no caso, (a + b)2 refere-se à área da
base do cubo e (a + b), à altura do cubo:
(a + b)
(a + b)
(a + b)
(a + b)2
Desenvolvimento
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Tendo a tabela completa, o professor
pode destacar para os alunos que, no de-
senvolvimento das potências sucessivas de
(a + b)n, de forma geral, o número de ter-
mos é sempre uma unidade a mais que o
expoente, isto é, igual a n + 1. Esse fato
é importante, pois permite ao aluno uma
análise que pode fazê-lo evitar o erro mui-
to comum de desenvolver (a + b)2 como
simplesmente a2 + b2. Assim, ao observar
o expoente 2, espera-se que ele conclua que
encontrará um trinômio.
16. Faça o desenvolvimento de (a + b)5, utili-
zando padrões e regularidades.
64
Nesse caso, ao desenvolvermos a potência,
encontraremos 6 termos. Mas quais são eles?
Será possível encontrar esses termos sem que
sejam necessários os processos de distribuição?
Apresente aos alunos a possibilidade de
desenvolver potências sucessivas de (a + b)n
aplicando o diagrama de árvore:
1
a
+
+
+ +
++ + + +
+ +
+
a2
a3
b
+
+
b2
b3
+
2ab
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
3a2b
4a3b 6a2b2
10a3b25a4ba5 10a2b3 5ab4 b5
4ab3 b4a4
3ab2
a
aa
a a a
aaaa
a a a a a
b
bb
b b b
bbbb
b b b b b
Com base nessa configuração triangular, o
professor pode ressaltar que existe um padrão,
o qual permite determinar os termos literais e
os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n
sem que seja necessário efetuar o produto.
Para isso, é preciso, em um processo de análise,
separar a parte literal dos coeficientes. Assim,
os alunos podem observar os expoentes de
cada parte literal e perceber que, da esquerda
para a direita, o expoente de a diminui de n
para 0 (o primeiro termo an pode ser escrito
como an b0) e o expoente de b aumenta de
0 a n (o último termo bn pode ser escrito como
a0 bn).
Com relação aos coeficientes, uma vez
exposta em cartaz ou na lousa a configuração
triangular anterior, podem-se destacar os
coefi cientes com círculos, como ilustra a fi-
gura a seguir.
65
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
1
1 a
+
+
+ +
++ + + +
+ +
+
1 a2
1 a3
1 b
+
+
1 b2
1 b3
+
2 ab
3 a2b
4 a3b 6 a2b2
10 a3b25 a4b1 a5 10 a2b3 5 ab4 1 b5
4 ab3 1 b41 a4
3 ab2
a
aa
a a a
aaaa
a a a a a
b
bb
b b b
bbbb
b b b b b
Imaginando esses números escritos em
cubos, de modo que formem uma pirâmide,
como a figura a seguir, é possível observar que
cada valor escrito na face do cubo é igual à
soma dos que estão sobre ele (veja o exemplo
destacado):
1
1
2
3
6
10
1
1
4
10
1
1
51
1
1
1
3
4
5
1
1
1
Esse esquema é conhecido há muito tempo
e foi amplamente utilizado pelo matemático
francês Blaise Pascal (1623-1662) no desen-
volvimento de sua teoria da probabilidade.
Seguindo o raciocínio, teremos o seguinte desenvolvimento
para (a + b)5:
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
É possível concluir que, para o desenvolvi-
mento de (a + b)6:
o número de termos desse desenvolvi-
mento é 7;
as partes literais serão a6, a5b, a4b2, a3b3,
a2b4, ab5 e b6;
os coeficientes serão 1, 6, 15, 20, 15,
6 e 1.
Portanto:
(a + b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 +
+ 15a2b4 + 6ab5 + b6
66
Quanto aos coeficientes, os alunos ainda
podem ser estimulados a perceber algumas
propriedades ilustradas na seguinte tabela, as
quais se referem ao conhecido Triângulo de
Pascal. Entre elas, podemos destacar:
Coeficientes
(a + b)0 1
(a + b)1 1 1
(a + b)2 1 2 1
(a + b)3 1 3 3 1
(a + b)4 1 4 6 4 1
(a + b)5 1 5 10 10 5 1
1) Os extremos são ocupados pelo número 1
e dois termos equidistantes dos extremos
são iguais (Figura 1).
2) A soma de dois elementos consecutivos
de uma mesma linha será o número da li-
nha seguinte abaixo do segundo elemento
(Figura 2).
Coeficientes
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Coeficientes
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
+
+
+
Figura 2Figura 1
Portanto, os coeficientes de (a + b)6 podem
ser determinados a partir da linha dos coefi-
cientes de 5 da seguinte forma:
1 + 5 10 10 + 5 1
1 6 15 20 15 6 1
O professor pode sugerir que os alunos
escrevam, por exemplo, o desenvolvimento
de (a + b)10.
Pesquisas similares são objeto de estudo
do Ensino Médio, particularmente quando se
trata de problemas e contagens e binômios de
Newton. Contudo, pelo uso de noções elemen-
tares de Álgebra e potências, esse tipo de inves-
tigação é oportuno. Fica a cargo do professor
perceber as condições de aplicação dessa ativi-
dade, podendo ser proposta aos alunos como
um pequeno projeto de pesquisa.
Considerações sobre a avaliação
O tema desta Situação de Aprendizagem
é produto notável. O termo notável, nesse
caso, pode indicar tanto a importância des-
se conhecimento para o desenvolvimento de
outras noções relativas às operações algébri-
cas, à solução de equações e à demonstração
de fórmulas, quanto a possibilidade de ele ser
“visualizado” rapidamente em vários contex-
tos. Para essa rápida visualização, a aborda-
gem adotada apoiou-se no seu significado em
contextos geométricos. Dessa forma, uma das
expectativas que se coloca nesse processo de
67
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
aprendizagem diz respeito a essa capacidade
de atribuir significado aos produtos notáveis
com base em uma interpretação geométrica.
É comum associarmos o desenvolvimento de,
por exemplo, (a + b)2, à citação oral “o qua-
drado do primeiro mais duas vezes o primeiro
pelo segundo mais o quadrado do segundo”.
Embora ela seja um auxiliar na memorização
do desenvolvimento do quadrado da soma do
binômio, devemos tomar cuidado para que
ela não constitua o ponto central da aprendi-
zagem. No caso do desenvolvimento das po-
tências sucessivas de (a + b)n, o que importa é
a investigação sobre a presença de padrões e a
possibilidade de aplicação de estratégias para
generalizações de propriedades.
Consideramos o desenvolvimento da Situa-
ção de Aprendizagem bem-sucedido se os alu-
nos tiverem consolidado a combinação entre
Álgebra e Geometria de modo a identificar e
aplicar os produtos notáveis em várias situações.
Vale ressaltar que, nas próximas Situações
de Aprendizagem, os produtos notáveis serão
retomados em outros contextos, permitindo
um processo continuado de aprendizagem
e avaliação.
alunos com relação a esses conteúdos são reco-
nhecidas pela maioria dos professores que, por
sua vez, não medem esforços na busca de me-
todologias de trabalho cada vez mais eficientes.
Uma das preocupações dos docentes nesse sen-
tido consiste em promover a aproximação entre
tais conteúdos, a fim de que a complementarida-
de entre eles amplie seus significados individuais.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES
Conteúdos e temas: valor numérico de um polinômio; operações entre polinômios; casos de fatora-ção algébrica; resolução de equações.
Competências e habilidades: expressar um polinômio por meio de um produto de fatores mais simples; aplicar os casos de fatoração na simplificação de frações algébricas; resolver equações de 2o grau por fatoração de polinômios; compreender o significado da fatoração algébrica como recurso para a resolução de equações em diferentes contextos; resolver equações aplicando cálculo mental.
Sugestão de estratégias: apresentação de exercícios exemplares que exploram diferentes contextos.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 7
Os produtos notáveis, os casos de fatoração e
a simplificação de expressões envolvendo frações
algébricas são alguns dos assuntos abordados no
estudo algébrico que, normalmente, é iniciado na
6a série/7o ano. As dificuldades declaradas pelos
68
Assim, convém abordar paralelamente os produ-
tos notáveis e as fatorações, bem como também
abordar em conjunto as fatorações e as simplifi-
cações de frações algébricas. As diversas etapas
que compõem esta Situação de Aprendizagem
são decorrentes desse princípio, uma vez que pre-
tendem promover a integração entre todos esses
conceitos e ainda a resolução de equações.
Vale ressaltar que não se trata de abordar
em profundidade a resolução dessas equa-
ções, o que será feito posteriormente, mas
sim de atribuir significado aos importantes
conceitos de valor numérico de um polinômio
e de raiz de um polinômio, além de relacionar,
desde o início, os casos de fatoração à resolu-
ção de equações.
A primeira atividade relaciona, novamente, a
escrita de expressões algébricas ao cálculo de áreas
e de perímetros de retângulos. Tal abordagem, que
normalmente tem por objetivo ajudar os alunos a
compreender os diversos casos de fatorações algé-
bricas, passa a salientar a interpretação do valor
numérico de um polinômio e a igualdade entre
dois polinômios. Sendo assim, julgamos funda-
mental que todas as etapas desta primeira ativida-
de sejam rigorosamente cumpridas e avaliadas.
1. A medida do comprimento
do retângulo VASO é 3 cm
maior do que a medida de sua
largura. Sendo assim, responda:
O V
AS
a) Se a medida da largura for igual a 6 cm,
qual será a medida do comprimento?
6 + 3 = 9 cm
b) Se a medida do comprimento for igual a
60 cm, qual será a medida da largura?
60 – 3 = 57 cm
c) Se a medida da largura for igual a 15 cm,
qual será a medida da área do retângulo
VASO?
15 18 = 270 cm2
d) Se a medida do comprimento for igual
a 14 cm, qual será a medida da área do
retângulo VASO?
11 14 = 154 cm2
e) Se a medida da largura for x, qual será a
medida do comprimento?
x + 3
f) Se a medida do comprimento for m, qual
será a medida da largura?
m – 3
g) Se a medida de um dos lados do retân-
gulo VASO for igual a y, qual(quais)
das expressões seguintes pode(m) repre-
sentar o cálculo de sua área (em cm2), e
qual(quais) pode(m) representar a medi-
da de seu perímetro (em cm)?
(I) 2 (2y + 3) (IV) y2 – 3y
(II) y (y + 3) (V) y2 + 3y
(III) (y – 3) y (VI) 4y + 6
Perímetro: (I) e (VI);
área (II), (III), (IV) e (V).
69
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
h) Considere as expressões (III) e (IV) do
item anterior e calcule, para cada uma,
o valor da área do retângulo VASO para
y = 10 cm.
70
i) Dois polinômios são idênticos quando
possuem valores numéricos iguais para
qualquer valor atribuído à variável. Os
polinômios (III) e (IV) do item h, que
representam a área do retângulo VASO,
são iguais ou diferentes?
Os polinômios (III) e (IV) são idênticos, e vale a pena chamar a
atenção dos alunos para o fato de que esses polinômios obe-
decem à condição de serem iguais para qualquer valor de y.
Você pode pedir que eles calculem alguns valores numéricos
positivos, negativos, fracionários ou decimais para verificação.
j) Verifique se os polinômios (II) e (III) do
item g desta atividade são idênticos cal-
culando o valor numérico de cada um
deles para alguns valores de y.
Os polinômios (II) e (III) não são idênticos. Apesar de terem o
mesmo valor numérico para y = 0, eles têm valores diferentes
para outros valores de y, ainda que ambos os polinômios pos-
sam representar a área do mesmo retângulo VASO.
2. Observe os seis polinômios seguintes, no -
mea dos de A a F, e as áreas 1 e 2 dos retângu-
los representados nas figuras.
A = x2 – 16 D = (x – 2)2
B = x2 – 4x + 4 E = 2x(3 + 2x)
C = (x + 4) (x – 4) F = 4x2 + 6x
x
xÁrea 2
Área 1x
x 4
2
24
Área 1
Área 2
a) Quais desses polinômios podem repre-
sentar o cálculo da área 1?
A e C
b) Quais desses polinômios podem repre-
sentar o cálculo da área 2?
B e D
c) Calcule o valor da área 1 para o caso em
que x = 10 cm.
84 cm2
d) Calcule o valor da área 2 para o caso em
que x = 15 cm.
169 cm2
e) Verifique que os polinômios E e F são
idênticos, calculando o valor numérico
de cada um deles para, pelo menos, qua-
tro valores diferentes de x.
Nesse caso, os alunos poderão atribuir a x apenas valores po-
sitivos, por se tratar de medida de lado de retângulo. Todavia,
o professor deve pedir que não sejam atribuídos apenas va-
lores naturais.
3. Leia, nos quadrinhos a seguir, o problema
que Paulo está propondo a João.
2
70
João, pense em um
número positivo qualquer.
O outro lado do retângulo
é três unidades a mais do que esse.
O dobro do número que
você pensou é o lado de um retângulo.
Pensei: x
É 2x + 3
É 2x. E o outro
lado?
1
2
3
a) Quais são as medidas dos lados do retân-
gulo de que fala Paulo no caso de o núme-
ro x, em que João pensou, ser igual a 10?
20 e 23
b) Qual é a área do retângulo de que fala
Paulo no caso do número x, em que João
pensou, ser igual a 8?
2x(2x + 3) = 2 8(2 8 + 3) = 16 (19) = 304
c) Desenhe um retângulo e assinale nele as
medidas dos lados, de acordo com a for-
ma pensada por Paulo.
d) Escreva um polinômio para representar o
perímetro desse retângulo.
P = 2x + 2x + 2x + 3 + 2x + 3 = 8x + 6
2x
2x + 3
2x
2x + 3
e) O polinômio A = 4x2 + 6x pode repre-
sentar a área desse retângulo? Por quê?
A área do retângulo pode ser obtida pela expressão (2x + 3) 2x,
que é idêntica à expressão 4x2 + 6x. O professor pode pedir
aos alunos que verifiquem a identidade a partir de alguns va-
lores atribuídos a x, a fim de atribuir significado ao conceito
de valor numérico de um polinômio.
Professor!
A ideia fundamental na atividade se-guinte é a verificação de uma igual dade por meio do cálculo do valor numérico da expressão envolvida. Todavia, nos de-mais itens, será incluída a ideia de que as equações, quando fatoradas, mantêm os valores de suas raízes. Assim, retoma-se a ideia da atividade anterior, acerca da identidade entre polinômios. Sugerimos que os alunos percorram os itens de a a d, e que, ao final, o professor destaque a equivalência entre as equações.
4. Leia com atenção o enunciado a
seguir:
A soma de certo número positivo com 3 é elevada ao quadrado e o resultado final é 64.
a) Descubra esse número utilizando apenas
cálculo mental.
5
b) Chamando o número procurado de a, es-
creva uma sentença matemática que tra-
duza o enunciado da atividade.
(a + 3)2 = 64
© C
onex
ão E
dito
rial
71
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
c) Em quais das seguintes sentenças po-
demos substituir a letra a pelo número
que você descobriu “de cabeça”? Efe-
tuando os cálculos, verifique se a igual-
dade final é verdadeira.
(I) (a + 3) (a + 3) = 64
(II) a2 + 6a + 9 = 64
(III) (a + 9) (a + 1) = 20
(IV) (a – 5) (a + 11) = 0
(V) (a – 1) (a – 2) = 12
(I), (II) , (IV) e (V).
d) Existe um número negativo que também
satisfaz à condição descrita no enunciado.
Qual, dentre os elementos do conjunto a
seguir, é esse número?
{– 8, – 9, –10, –11, –12}
–11
e) Entre as sentenças matemáticas do item
c, quais são verdadeiras quando a letra
a é substituída pelo número negativo
que você descobriu?
(I) (a + 3) (a + 3) = 64
(II) a2 + 6a + 9 = 64
(III) (a + 9) (a + 1) = 20
(IV) (a – 5) (a + 11) = 0
f) Dentre as sentenças matemáticas do
item c desta atividade, quais são ver-
dadeiras quando a letra a é substituída
pelo número positivo e também pelo nú-
mero negativo que você descobriu? Es-
creva novamente essas expressões.
(I) (a + 3) (a + 3) = 64
(II) a2 + 6a + 9 = 64
(IV) (a – 5) (a + 11) = 0
g) Considere as sentenças matemáticas (I) e
(IV) do item c. Aplique a propriedade dis-
tributiva, elimine os parênteses e verifique
que essas sentenças são equivalentes entre
si e que também são equivalentes à sen-
tença (II).
As equações (I), (II) e (IV) são equivalentes.
(I) (a + 3) (a + 3) = 64 a2 + 6a + 9 = 64 a2 + 6a – 55 = 0
(IV) (a - 5) (a + 11) = 0 a2 + 6a - 55 = 0
(II)
Atribuindo significado às fatorações
Fatorar uma expressão algébrica é decom-
pô-la na forma de um produto. Nem todas
as expressões algébricas são fatoráveis, mas
quando o forem, é importante ter em mente
os produtos notáveis. Particularmente, vamos
estudar os tipos de fatoração já estudados
por meio de certas “brincadeiras” que envol-
vem pensar em mais de um número e realizar
algumas operações. No final, “adivinhare-
mos” o número em que você pensou.
5. Pense em um número e siga
as instruções:
multiplique-o por 5;
adicione o resultado a 15;
divida o resultado anterior pelo número
em que você pensou adicionado a 3.
O resultado final, vamos "adivinhar", é
igual a 5, certo? Descubra como conseguimos
calcular esse número.
Se o número é x, obtemos a seguinte expressão:
(5x + 15) ÷ (x + 3) = 5(x + 3) ÷ (x + 3) = 5
72
6. Pense em um número inteiro e positivo. Em
seguida, faça o seguinte:
eleve-o ao quadrado;
multiplique o resultado por 2;
adicione o resultado anterior ao quá-
druplo do número em que você pensou;
divida o resultado anterior pelo dobro
do número.
O resultado final, vamos "adivinhar", é
igual a 2 unidades a mais do que o número em
que você pensou, certo? Isto é, se você pensou
no número 5, o resultado final foi 7; se você
pensou no número 3, o resultado final foi 5,
e assim por diante. Descubra como consegui-
mos “adivinhá-lo”.Se o número é x, obtemos a seguinte expressão:
(2x2 + 4x) ÷ 2x = 2x(x + 2) ÷ 2x = x + 2
7. Pense em dois números naturais consecuti-
vos. Em seguida:
eleve cada número ao quadrado;
subtraia o menor resultado do maior;
divida o resultado anterior pela soma
dos números em que você pensou.
O resultado final, vamos "adivinhar", deu 1,
certo? Descubra como conseguimos acertar. Se os números são x e y, obtemos a seguinte expressão:
(x2 – y2) ÷ (x + y) =
= [(x – y) (x + y)] ÷ (x + y) =
= x – y
Já que x e y são consecutivos, x – y = 1.
Outra possibilidade de solução:
Se os números são x e (x + 1), obtém-se a seguinte expressão
[(x + 1)² - x²] ÷ (x+ x+ 1) =
= (x² + 2x + 1 – x²) ÷ (2x + 1) =
= ( 2x + 1) ÷ (2x+1) =
= 1
8. Leia a história em quadrinhos a seguir:
Lucia, pense em um
número inteiro e positivo.
Multiplique por 3 e
subtraia 6.
Divida o resultado pela
diferença entre o dobro do número e 4.
Aposto que o resultado
deu 1, 5, não deu?
8
3 8 – 6 = 18
18 ÷ (2 8 – 4) = 18 ÷ 12
18 ÷ 12 = 1, 5
Deu mesmo. Como é que ele descobriu?
Descubra como o rapaz acertou o resulta-
do obtido por Lúcia.
O que se está calculando nesta atividade é o resultado de 2x - 4
3x - 6 ,
que é igual a 2
3 , de acordo com a seguinte simplificação:
2x - 4
3x - 6 =
2(x - 2)
3(x - 2) = 2
3
. No entanto, estabeleça com os alu-
nos que 2x – 4 deve ser di ferente de zero e, portanto, x não
pode ser 2.
© C
onex
ão E
dito
rial
1
2
3
4
73
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
O objetivo das próximas três atividades é
construir com os alunos estratégias de cálculo
mental que permitirão certa agilidade no pro-
cesso de fatoração de trinômios do 2o grau.
9. Encontre dois números cujo produto é 36 e
a soma é 15.Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b =
= 36 e a + b = 15. Embora a solução deste exercício possa ser
resolvida por cálculo mental, é interessante que o professor
explore alguns aspectos dessa situação: como o produto é
positivo, os dois números possuirão o mesmo sinal; ou ambos
são positivos, ou ambos são negativos, e nenhum deles será
zero, pois, senão, o produto seria zero. A fim de descobrir os
possíveis números positivos, podemos decompor o 36 como:
36 1; 18 2; 12 3 e 9 4, e escrever uma tabela:
36 18 12 9
1 2 3 4
Soma 37 20 15 13
Portanto, os números serão 12 e 3.
10. Encontre dois números cujo
produto é – 27 e a soma é – 6.
Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b = –27
e a + b= – 6. Agora, Já que o produto é negativo, os núme-
ros deverão ter sinais diferentes. Como a soma é negativa, o
número negativo terá valor absoluto maior que o positivo.
Estudando os possíveis números, podemos decompor o –27
da seguinte forma:
27 3 –27 –3
–1 –9 1 9
Soma 26 – 6 –26 6
Portanto, os números serão 3 e –9.
11. Encontre dois números cujo produto é 0 e
a soma é 8.
Se os números são a e b, temos a seguinte expressão: a b =
= 0 e a + b = 8. Já que o produto é zero, um dos números será
0 e, como a soma é 8, o outro número será 8. Portanto, os
números são 0 e 8.
Fatorando um trinômio do 2o grau
Na Situação de Aprendizagem 6, chega-
mos às seguintes conclusões:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab, e que,
(x – a) (x – b) = x2 – (a + b)x + ab
Observamos que o coeficiente do termo co-
mum x é a soma (a + b) e que o termo indepen-
dente é o produto a b. Se o produto for entre
a soma de dois números, o coeficiente de x será
positivo, caso seja a diferença de dois números,
ele será negativo. Assim, se conhecermos os nú-
meros a e b, poderemos fatorar o trinômio do
2o grau com coeficiente de x2 igual à unidade.
Para fatorar o trinômio x2 + 7x + 12, é pre-
ciso encontrar os valores respectivos de a e b,
que são os termos não comuns.
Como o coeficiente de x é 7 e o termo in-
dependente é 12, é necessário considerar quais
são os dois números cujo produto é igual a
12 (a b = 12) e a soma é igual a 7 (a + b = 7).
O número 12 pode ser escrito como 12 1;
4 3 e 6 2, o que nos permite montar o se-
guinte quadro:
74
12 4 6
1 3 2
Soma 13 7 8
Portanto, os números são 4 e 3, e, assim,
x2 + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3).
Caso o segundo termo fosse negativo,
como no caso de x2 – 7x + 12, o sinal mu-
daria dentro dos parênteses: x2 – 7x + 12 =
= (x – 4) (x – 3).
No caso de o trinômio ser um quadrado
perfeito, o raciocínio não mudaria. No pro-
cesso de fatoração de x2 + 8x + 16, o produ-
to dos dois números deve ser 16 e a soma, 8.
Investigando os fatores de 16, encontramos:
16 1; 8 2 e 4 4. Montando a tabela, pode-
mos concluir que os números que satisfazem
as condições são iguais a 4.
16 8 4
1 2 4
Soma 17 10 8
Portanto, x2 + 8x + 16 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4)2.
Vale observar que, nesses casos, ambos os ter-
mos, x e 4, são comuns, e é isso que torna esse
caso particular.
Embora nessas soluções tenhamos indica-
do a construção de tabelas, elas serviram uni-
camente para organizar um raciocínio que os
alunos deverão fazer mentalmente. Nas ativi-
dades a seguir, tal objetivo será evidenciado.
Resolvendo equações por meio de cálculo mental e fatorações
12. Utilizando apenas o cálcu-
lo mental, descubra o valor do
número x tal que:
a) elevado ao quadrado e depois adiciona-
do a 5 resulta 21;
4 ou –4
b) o dobro subtraído de 9 é igual a ele pró-
prio subtraído de 1;
8
c) o dobro da adição entre x e 4 é igual a 0;
–4
d) o produto de x pela soma de x com 1 é
igual a 0.
0 ou –1
Fique atento!O produto de dois
números é zero quando um deles é zero, ou os
dois são zero.
13. Utilizando apenas o cálculo mental, des-
cubra o va lor do número x que torna ver-
dadeira a igualdade em cada caso.
75
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
a) 3x – 4 = 208
b) x (x – 5) = 0 0 ou 5
c) (x – 2) (x – 5) = 02 ou 5
d) 45 (x + 5) = 0–5
e) (x – 4) (x + 4) = 04 ou –4
f) (x – 1) (x – 3) = 01 ou 3
Na próxima atividade, os alunos poderão apli-
car várias estratégias de fatoração já estudadas.
Por exemplo, recorrer às semelhanças com os
produtos notáveis ou aplicar, nos casos pos síveis,
a ideia da soma e produto dos termos.
14. Fatore e resolva as equações a seguir:
a) x2 + 16x = 0(x + 0) (x + 16) = x(x + 16) = 0
soluções: 0 ou –16
b) x2 – 25 = 0(x + 5) (x – 5) = 0
soluções: 5 ou –5
c) x2 – 9 = 0 (x + 3) (x – 3) = 0
soluções: 3 ou –3
d) 4x2 – 1 = 0
(2x -1) (2x + 1) = 0
ou x + 2
1 x –
2
1 = 0
soluções: 2
1 ou – 2
1
e) x2 – 6x + 9 = 0(x – 3) (x – 3) = (x – 3)2 = 0
solução: 3
f) x2 + 12x + 36 = 0(x + 6) (x + 6) = (x + 6)2 = 0
solução: –6
g) x2 – 4x + 3 = 0(x – 3) (x – 1) = 0
soluções: 1 ou 3
h) x2 – 7x + 10 = 0(x – 2) (x – 5)= 0
soluções: 2 ou 5
Considerações sobre a avaliaçãoEsta Situação de Aprendizagem abordou
processos de fatoração algébrica. Foram desen-
volvidas atividades apoiadas em conhecimentos
algébricos, geométricos e aritméticos. O novo foco
de trabalho com produtos notáveis será a sua “tra-
dução” para a forma de produto entre números
ou na forma de fatores. Além disso, apresentamos
a identidade entre polinômios, o que nos permi-
tiu destacar a atribuição de um valor numérico às
letras, construindo a noção de variável. Embora
possamos identificar que os processos de fatora-
ção são bem mais assimilados quando o aluno
participa da construção dos significados referen-
tes aos produtos notáveis, percebemos que esse
conhecimento se dá em mão dupla, isto é, ao tra-
tarmos da fatoração, ganham também sentido os
produtos notáveis. Uma das metas traçadas no
trabalho com esta Situação de Aprendizagem é
que o aluno saiba efetuar transformações em uma
expressão algébrica por meio de fatorações, sim-
plificações e cancelamento, permitindo, de certa
forma, uma generalização de procedimentos apli-
cados nos cálculos aritméticos.
76
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
DE ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS
Conteúdos e temas: problemas aritméticos abordados com o auxílio da Álgebra e da Geometria.
Competências e habilidades: expressar por meio de letras relações entre números naturais em diversas situações concretas; integrar as linguagens algébrica e geométrica na represen-tação de relações em diferentes contextos; resolver problemas que integram os números e as formas geométricas.
Sugestão de estratégias: apresentação de atividades que permitam a integração entre as lin-guagens aritmética, algébrica e geométrica em diferentes contextos.
Como você representaria a soma dos n primeiros números naturais a partir do 1?
Como você indicaria o valor de tal soma em termos de n? Como você representa-
ria o número par de ordem n a partir de 2? E o número ímpar de ordem n a partir
de 1? Como você indicaria, em termos de n, o valor da soma dos n primeiros números pares a
partir de 2? E a soma dos n primeiros números ímpares? Como você representaria o número
de diagonais de um polígono de n lados em termos de n?
Podemos responder a questões como essas representando um número natural genérico
por n e expressando as propriedades e as operações por meio de fórmulas envolvendo n.
Procedendo assim, podemos fazer uma ponte entre a Álgebra e a Aritmética. A Geometria
também pode ser usada nesse diálogo entre Álgebra e Aritmética, como veremos a seguir.
Há uma história bastante conhecida segundo a qual Gauss, importante matemático que
viveu entre os séculos XVIII e XIX, com cerca de dez anos de idade, teria efetuado o cál-
culo da soma dos 100 primeiros números naturais a partir de 1 (S100 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 +
+ 99 + 100) em poucos segundos, ao perceber que a soma da primeira com a última
parcela era igual à soma da segunda com a penúltima, que também era igual à soma da
terceira com a antepenúltima, e assim por diante. Cada um desses pares de parcelas tem
soma igual a 101.
Roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 8
77
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
A partir dessa forma retangular, ob-
serva-se que há 7 linhas, e que em cada
linha há 8 bolinhas (1 + 7 = 2 + 6 = 3 +
+ 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1). As-
sim, podemos concluir que o valor de S7 é
igual à metade do produto 7 8, ou seja,
S7 = 7 8
2 = 28.
Raciocinando de modo semelhante, seria pos-
sível mostrar que S13 = 13 14
2, S27 =
27 28
2, e
assim por diante. De modo que Sn = n (n + 1)
2.
Com base nessa descoberta, ele teria
concluído que a soma das 100 parcelas se-
ria igual a 50 101, ou seja, S100 = 5 050.
Podemos aproximar o raciocínio de
Gauss da linguagem geométrica. Observe
as formas triangulares indicadas a seguir.
O total de bolinhas representadas em cada
uma delas é a soma S7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +
+ 6 + 7.
Se reunirmos as duas formas triangula-
res, obtemos a seguinte forma retangular:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... 50 + 51 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100
101
101101
101
101
101
101
78
Desafio!
Raciocinando como Gauss e inspirado nas formas geométricas apresentadas anteriormen-
te, você é capaz de generalizar e indicar como calcularia a soma dos n primeiros números
naturais a partir de 1?Chamando de Sn a soma 1 + 2 + 3 +...+ (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n, podemos notar que as somas 1 + n, 2 + (n – 1), 3 + (n – 2), 4 +
+ (n – 3), e assim por diante, resultam sempre em 1 + n; poderíamos concluir que as n parcelas seriam equivalentes a 2
n parcelas
iguais a 1 + n, ou seja, que o valor de Sn seria igual a 2
n (1 + n), ou, ainda, Sn = 2
n (n + 1) .
Tal raciocínio seria perfeito se soubéssemos que n seria um número par, mas isso nem sempre ocorre.
Para chegarmos a uma conclusão sobre o valor de Sn que seja válida quer n seja par, quer n seja ímpar, podemos raciocinar de
outra maneira. Certamente Sn pode ser escrita das duas formas indicadas a seguir:
Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n
Sn = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + ... + 4 + 3 + 2 + 1
Somando as parcelas da 1a igualdade às parcelas correspondentes na 2a igualdade:
2Sn = (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + ... + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + (1 + n) = n (1 + n)
Logo, Sn = 2
n (n + 1) , independentemente do fato de n ser par ou ímpar.
Imaginando uma forma triangular, como nos exemplos anteriores, representando a soma Sn; reunindo duas formas triangulares e
formando uma forma retangular com n linhas, em que cada linha tem n + 1 bolinhas, chegaríamos ao mesmo resultado para Sn .
Como se pode verificar, a linguagem
geométrica é muito sugestiva e pode contri-
buir para a compreensão dos procedimentos
aritméticos e algébricos.
Outra situação que permite o uso de procedi-
mentos aritméticos e algébricos está baseada no
estudo dos números pares e ímpares.
Para resolver as atividades a seguir, o
professor pode retomar as discussões desta
Situação de Aprendizagem, propondo aos
alunos que identifiquem os padrões asso-
ciados aos números pares (2n) e ímpares
(2n – 1), utilizando mais uma vez a repre-
sentação figurada dos números com o auxí-
lio das bolinhas.
79
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
1. Observando e analisando a
representação dos primeiros
números pares e ímpares por
meio de bolinhas, responda às questões:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
a) Qual é o quinto número par a partir de 2? 2 5 = 10
b) Qual é o centésimo número par a partir
de 2?2 100 = 200
c) Qual é o sétimo número ímpar a partir
de 1? 2 7 – 1 = 13
d) Qual é o trigésimo número ímpar a par-
tir de 1? 2 30 – 1 = 59
e) Represente o número par de ordem n a
partir de 2. 2n
f) Represente o número ímpar de ordem n
a partir de 1. 2n – 1
2. Observe os quadrados a seguir e a estra-
tégia usada para calcular a soma dos pri-
meiros números ímpares a partir de 1.
1 + 3 = 22 = 4
1 + 3 + 5 = 32 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 42 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 = 36
Com base na estratégia apresentada, calcule
a soma dos 9 primeiros números ímpares.
Na atividade, é importante o aluno perceber o seguinte pa-
drão que poderá ser generalizado, ou seja, a soma dos n pri-
meiros números ímpares é n2.
A soma dos 9 primeiros números ímpares é 81.
Essa atividade será retomada no Volume 2,
pois servirá de base para a demonstração do
Teorema de Pitágoras.
3. Generalize uma fórmula para o cálculo da
soma dos n primeiros números ímpares a
partir de 1.
Sn i =1 + 3 + 5 + ... + (2n −1) = n2
4. Como foi visto na atividade anterior, a
soma dos n primeiros números ímpares a
partir de 1 é igual a n2, ou seja,
S n nni = + + + + + =1 3 5 7 2 1 2... ( – )
a) Mostre que a soma dos n primeiros núme-
ros pares a partir de 2 é igual a n2 + n.
A soma Sn P = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) é igual ao dobro da soma
dos n primeiros naturais, ou seja, Sn P = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) =
= 2(1 + 2 + 3 +...+ n).
Como já vimos que a soma dos n primeiros naturais é igual a
2
n (n + 1) , concluímos que Sn P =
2
2 n (n + 1) = n (n + 1) = n2 + n
80
b) Calcule a soma dos 2n primeiros núme-
ros naturais S2n = 1 + 2 + 3 + 4 +...
+ (2n – 1) + (2n) e mostre que ela é
igual à soma dos n primeiros números
pares a partir de 2, com os n primeiros
números ímpares a partir de 1, ou seja: S S Sn n
inP
2 = + .
Para S2n temos: S2n = 2
2n (2n + 1) = 2n2 + n.
Somando os valores de Sin e de Sp
n , obtemos, então, o mesmo
valor que o de S2n .
c) Considere a soma dos seis primeiros nú-
meros naturais a partir do que pode ser
chamado de “soma sanfonada”:
SS6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
que, como podemos verificar, é igual a 62, ou
seja, 36.
Observe a figura a seguir e verifique que a “soma sanfonada” dos n primeiros números naturais é igual a n2, ou seja:
Ssn = 1 + 2 + 3 + ... + (n – 2) + (n – 1) + n +
+ (n – 1) + (n – 2) + ... + 3 + 2 + 1 = n2
A figura anterior representa a “soma sanfonada” S7 s; temos, no
caso, S7 s = 72 = 49.
Por analogia, podemos estender o quadrado formado pelas
bolinhas para 8, 9, ..., n bolinhas em cada lado, sendo válido
que o total de bolinhas será n2, ou seja, Sn s = n2.
5. Considerando que a soma dos ângulos inter-
nos de um triângulo é igual a 180º, responda:
a) Quanto vale a soma dos ângulos internos
de um pentágono convexo?Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, um pen-
tágono pode ser subdividido em 3 triângulos, cuja soma dos
ângulos internos coincide com a soma dos ângulos internos
do pentágono. Logo, a soma pedida vale 3 1 80o, ou seja, 540o.
b) Quanto vale a soma dos ângulos internos
de um octógono convexo?Traçando as diagonais a partir de um dos vértices, o octógo-
no fica dividido em 6 triângulos; a soma dos ângulos internos
do octógono é 6 180o, ou seja, 1 080o.
c) Quanto vale a soma dos ângulos internos
de um quilógono convexo?
No caso do quilógono (1 000 lados), o núme ro de triângulos em
que é possível dividi-lo, traçando as diagonais a partir de um dos
vértices, é igual a 998 (excetuando-se os dois lados cuja interse-
ção é o vértice de onde partem as diagonais, a cada um dos ou-
tros lados corresponde um triângulo); logo, a soma dos ângulos
internos do quilógono é igual a 998 180o, ou seja, 179 640o.
d) Como se expressa, em termos de n, a
soma dos ângulos internos de um polígo-
no convexo de n lados?
No caso de um polígono de n lados, a soma dos ângu-
los internos será igual ao número de triângulos em que se
pode dividir o polígono convexo multiplicado por 180o.
Excetuando-se os dois lados que determinam o vértice de
partida das diagonais, a cada um dos outros lados vai corres-
ponder um triângulo; logo, o número de triângulos é n – 2.
Dessa forma, a soma dos ângulos internos de um polígono
convexo de n lados é Si = (n – 2) 180o.
81
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
6. Considerando que um triângu-
lo não tem diagonais e que um
quadrilátero tem duas diagonais:
a) Quantas diagonais tem um pentágono
convexo?
Um pentágono convexo tem 5 diagonais.
A
B
Basta notar que, de cada um dos vértices do pentágono, é
possível traçar duas diagonais, uma vez que, unindo-se o
vértice considerado aos vértices adjacentes, não temos uma
diagonal, mas sim um lado. Assim, sendo 5 vértices, teremos,
aparentemente, um total de 10 diagonais. Na verdade, este
número precisa ser dividido por dois, uma vez que cada
diagonal dever ser considerada duas vezes: a diagonal AB é
contada a partir do vértice A e a partir do vértice B. Logo, o
número de diagonais do pentágono convexo é 5.
b) E um hexágono convexo?
Usando o mesmo raciocínio o número de diagonais de um
hexágono pode ser calcu lado da seguinte forma;
de cada vértice partem 3 diagonais (descontando-se o pró-
prio vértice e os dois adjacentes);
o número de diagonais será igual à me tade de 6 3, ou seja,
será igual a 9.
c) E um polígono convexo de n lados?
Do mesmo modo, o número N de diagonais de um polígono
convexo de n lados será tal que:
N = 2
1 n (n – 3)
7. Em uma sala existem 7 pessoas dispostas
ao longo de uma circunferência. Cada uma
delas deve cumprimentar todas as outras
com um aperto de mãos. Quantos apertos
de mãos distintos serão realizados após to-
dos os cumprimentos recíprocos?
Aqui, tratamos um problema muito comum de contagem.
O entendimento do problema e a análise das condições
necessárias à sua solução devem ser o ponto de partida. No
caso, devemos considerar que, quando a pessoa A aperta a
mão de outra pessoa B, é o mesmo que quando B aperta a
mão de A. Outra condição do problema é que A não cum-
primenta a si mesmo, portanto, para n pessoas, cada pessoa
dará n – 1 apertos de mão.
Uma estratégia que pode ser utilizada na resolução deste
problema é partir de um número menor de pessoas. Por
exemplo, sendo duas pessoas, só haverá 1 aperto de mãos,
com três pessoas esse número passa para 3 apertos, para qua-
tro pessoas serão 6 apertos, e assim por diante. Desse modo,
busca-se encontrar uma regularidade entre o número de
pessoas e o núme ro de apertos de mãos.
Outro raciocínio é pensarmos que cada uma das 7
pessoas apertará a mão de outras 6. Serão ao todo 7 6
cumprimentos, mas aqui estão sendo contadas to-
das as repetições (A–B e B–A). Portanto, o total de
7 6 cumprimentos deverá, então, ser dividido por 2. O
total de apertos de mãos distintos é, pois, 2
7 6 , ou seja,
é igual a 21.
8. Repita o cálculo da atividade anterior, su-
pondo que na sala existam n pessoas. Ex-
presse o resultado em termos de n.
O número de apertos de mãos é, nesse caso, igual a
2
n (n – 1) .
82
Considerações sobre a avaliação
Nesta última Situação de Aprendizagem,
centrou-se na possibilidade de representar um
elemento genérico de um conjunto por uma
variável. Assim, atividades de demonstração
fizeram parte de um processo que será am-
pliado na demonstração de teoremas, foco da
Geometria no Volume 2 e das noções de fun-
ção, presentes na próxima série/ano.
Em alguns aspectos, podemos perceber que
as atividades desta Situação de Aprendizagem
recuperam noções desenvolvidas em Situações
anteriores, permitindo um processo contínuo
de aprendizagem e avaliação. Combinadas às
atividades utilizadas pelo professor para apre-
sentar os assuntos deste Caderno, acreditamos
ter apresentado situações novas e desafiantes,
que permitirão um conhecimento abrangente e
a construção de habilidades necessárias ao fa-
zer matemático e à compreensão da realidade.
Como orientação ao processo de avaliação,
reiteramos a importância de que o professor
diversifique os instrumentos que permitam
acompanhar o processo de aprendizagem dos
alunos. No caso específico desta Situação de
Aprendizagem, uma estratégia interessante é a
proposição de situações-problema contextua-
lizadas, envolvendo padrões que podem ser
generalizados. Além das apresentadas neste
Caderno, o professor pode criar outras e, tam-
bém, buscá-las em diferentes livros didáticos.
Tais situações podem ser discutidas e resol-
vidas por pequenos grupos de alunos, em di-
ferentes momentos, favorecendo a construção
coletiva de significado para as expressões algé-
bricas decorrentes dos problemas analisados.
O produto do trabalho dos grupos pode ser
avaliado pelo professor na perspectiva de uma
aprendizagem gradual e, nesse sentido, os cri-
térios de correção podem ir se adequando às
características de cada turma.
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
Caso as expectativas de aprendizagem es-
tabelecidas não tenham sido alcançadas, o
professor pode investigar se os alunos têm di-
ficuldade na divisão entre números inteiros, ca-
pacidade exigida neste momento. Se constatar
essa dificuldade, pode recuperar as ideias cen-
trais do sistema decimal posicional, discutindo
com os alunos o algoritmo da divisão.
Outra noção exigida nas discussões que
propomos é a de números primos. Caso seja
identificada alguma dificuldade referente a esse
conceito, vale retomar o processo de determi-
nação dos números primos positivos, sugerin-
do, por exemplo, o uso do crivo de Eratóstenes.
Quanto ao trabalho de identificação das fra-
ções que geram dízimas periódicas, é possível
retomar as ideias centrais discutidas na tabela
apresentada no início da Situação de Aprendi-
zagem 2, ampliando-a com outros valores.
Na determinação da geratriz de uma dízima,
o professor pode retomar o método trabalha-
do, apresentando o passo a passo. A discussão
dos dois tipos de situações exploradas, dízimas
83
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
simples e compostas, por meio de vários exem-
plos, pode facilitar a compreensão dos alunos
sobre o tema. O aluno deve observar que, no
método de obtenção das frações geratrizes, o
produto por potências de 10 deve ser feito até
que se encontrem valores cuja parte decimal
periódica seja igual, para que, quando for feita
a diferença, sobrem somente valores inteiros.
Se no decorrer do trabalho com alguma das
Situações de Aprendizagem propostas o profes-
sor perceber que as metas sugeridas não foram
satisfatoriamente atingidas, pode decidir focar
nelas por mais tempo, retomando alguns exer-
cícios já trabalhados em sala e propondo outros
que façam parte de uma lista que o professor já
tenha construído ou que podem ser encontrados
em vários livros didáticos sobre esse assunto.
As ideias trabalhadas na Situação de Apren-
dizagem 5, que marca o início de um proces-
so de aprendizagem, são aprofundadas na
sequência proposta no Caderno, o que sugere
um processo contínuo de avaliação.
É importante a atenção do professor no
sentido de perceber o domínio dos alunos no
entendimento dos enunciados e na percepção
das configurações geométricas. Dessa forma,
uma estratégia para a recuperação pode ser a
de o professor recorrer ao uso de folhas de pa-
pel quadriculado ou de construção de figuras
em cartolina para manipulação.
No caso específico da recuperação relativa
às noções envolvidas na Situação de Apren-
dizagem 7, propomos que o professor retome,
particularmente, os passos da primeira ativi-
dade, sugerindo outras expressões como “o
comprimento é quatro unidades a menos que
a largura”. Os problemas de “adivinhação”
podem ser retomados em pequenos grupos na
aula. Atividades como essas são resolvidas em
tempos diferentes pelos grupos, e caberá ao
professor ter em mãos outras dessas situações
para ir apresentando ao grupo que já tiver ob-
tido resposta. É importante que o aluno teste
suas hipóteses, perceba seu erro e refaça a ex-
pressão. A atribuição de valores numéricos às
expressões algébricas e a respectiva verificação
dos resultados podem ser uma estratégia de au-
toavaliação em meio ao processo.
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO DO TEMA
Qualquer livro didático de conteúdos do
Ensino Fundamental apresenta uma série de
atividades envolvendo frações e razões. O pro-
fessor pode selecionar algumas que julgar in-
teressantes no sentido de ampliar a interpreta-
ção dos enunciados e permitir a aplicação das
frações em situações contextualizadas.
No livro Conceitos fundamentais da Mate-
mática, de Bento de Jesus Caraça, da Livra-
ria Sá da Costa Editora, o professor encon-
trará um interessante desenvolvimento da
construção dos conjuntos numéricos e uma
discussão ampliada dos conceitos de densi-
dade e continuidade.
84
No livro Meu professor de Matemática e outras histórias, de Elon Lages Lima, da Cole-ção do Professor de Matemática, editado pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), encontramos alguns artigos referentes às dízi-mas na seção “Conceitos e controvérsias”. Na Revista do Professor de Matemática, publica-da pela SBM, também encontramos vários números que tratam desse tema – particular-mente no número 66, há um artigo que discute o número de algarismos do período de uma dízima periódica.
No livro Matemática e imaginação, de Edward Kasner, da Zahar Editora, o profes-sor encontrará mais subsídios para a discus-são referente ao googol.
O professor pode ainda pesquisar na inter-net vários sites que tratam das unidades de me-didas exploradas neste Caderno. Algumas pa-lavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca são: bits, angstrom, parsec e anos-luz.
Com relação às abordagens tratadas neste Caderno para as quais o professor não encontrar subsídio em livros didáticos, sugerimos que consulte materiais como a Revista do Professor de Matemática, publicação quadrimestral da Sociedade Brasileira de Matemática, com apoio da USP. Disponível em: <http://www.rpm.org.br>. Acesso em:
12 nov. 2013.
Uma referência de abordagem histórica pode ser encontrada em Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula: Álgebra, de John K Baumgart, traduzido pelo profes-sor Hygino H. Domingues e editado pela edi-tora Atual.
No livro O diabo dos números, de Hans M. Enzensberger, da Companhia das Letras, o professor encontrará um texto acessível aos
alunos com vários conceitos matemáticos sen-do tratados de forma simples e divertida. Nele são abordados potências, frações, dízimas pe-riódicas e algumas propriedades de sequên-cias numéricas, particularmente a que envolve a série de Fibonacci.
Para aprofundamento das reflexões sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra, desta-camos, de maneira geral, as discussões apre-sentadas em As ideias da Álgebra, cujos orga-nizadores são Arthur F. Coxford e Albert P. Shulte, editado pela Atual, e Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI, de Romulo C. Lins e Joaquim Gimenez, editado pela SBEM e pela Papirus.
Outros livros que permitem um aprofunda-mento sobre os temas tratados neste Caderno estão listados a seguir:
CARNEIRO, Vera Clotilde. Funções elemen-tares: 100 situações-problema de matemática. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1993.
PERELMANN, I. Aprenda Álgebra brincan-do. 3. ed. São Paulo: Hemus, 1994.
SOUZA, Eliane Reame de; DINIZ, Maria Ignez de Souza. Álgebra: das variáveis às equa-ções e funções. São Paulo: CAEM/USP, 1994.
Sites
Na internet, os endereços a seguir são algu-mas referências para consultas sobre o tema:
Mundo matemático
Disponível em: <http://penta.ufrgs.br/edu/ telelab/mundo_mat/mud_mat.htm>. Acesso em: 12 nov. 2013.
Matemática essencial
Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica>. Acesso em: 12 nov. 2013.
85
Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos neste Caderno atividades
no sentido de associar o desenvolvimento de
fatos fundamentais da Álgebra com elemen-
tos geométricos e aritméticos.
A seguir, relacionamos os conhecimentos
essenciais de cada unidade, ou seja, aquilo
que o aluno deve dominar ao final do volume
e que servirá de base para dar continuidade
à sua formação matemática. Esses conteúdos
devem servir de parâmetro para a elaboração
dos instrumentos de avaliação.
No caso específico da iniciação ao cálculo
algébrico, é importante que o foco da avalia-
ção esteja mais centrado no desenvolvimento
do pensamento algébrico do aluno do que na
técnica. Em outras palavras, a técnica não
deve ser um fim em si mesmo, mas um meio
para que o aluno consiga modelar situações e
resolver problemas.
Dito isso, espera-se que o aluno de 7a série/
8o ano seja capaz de:
usar letras para representar situações
matemáticas diversas;
buscar padrões e regularidades numé-
ricas ou geométricas que possam ser
generalizados e expressos por meio de
fórmulas ou expressões algébricas;
utilizar a linguagem algébrica para ex-
primir a área, o perímetro ou o volume
de uma figura geométrica;
conhecer o significado dos seguintes ter-
mos: monômio, polinômio, coeficiente,
incógnita, variável, expoente;
obter o valor numérico de uma expres-
são algébrica;
reconhecer a equivalência entre duas ex-
pressões algébricas;
efetuar transformações em uma expres-
são algébrica por meio de fatoração,
simplificação e cancelamento;
efetuar operações entre monômios e po-
linômios;
compreender o significado geométrico
de um produto notável;
saber representar um trinômio quadra-
do perfeito geometricamente;
compreender o significado e a im-
portância da fatoração algébrica na
resolução de equações e em outros
contextos;
expressar relações de equivalências
entre expressões envolvendo números
naturais por meio de seu significado
geométrico.
Para uma ideia mais nítida das múltiplas
inter-relações entre os diversos conteúdos
aqui tratados, apresentamos, a seguir, a
grade curricular com os conteúdos de Ma-
temática de todas as séries/anos do Ensino
Fundamental, destacando-se com um som-
breado os conteúdos de outras séries/anos e
de outros volumes diretamente relacionados
aos conteúdos apresentados neste Caderno.
86
QUADRO DE CONTEÚDOS DO ENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS
5a série/6o ano 6a série/7o ano 7a série/8o ano 8a série/9o ano
Vol
ume
1
NÚMEROS NATURAIS– Múltiplos e divisores.– Números primos.– Operações básicas.– Introdução às potências.
FRAÇÕES– Representação.– Comparação e
ordenação.– Operações.
NÚMEROS DECIMAIS– Representação.– Transformação em
fração decimal.– Operações.
SISTEMAS DE MEDIDA– Comprimento, massa e capacidade.– Sistema métrico
decimal.
NÚMEROS NATURAIS– Sistemas de numeração na
Antiguidade.– O sistema posicional decimal.
NÚMEROS INTEIROS– Representação.– Operações.
NÚMEROS RACIONAIS– Representação fracionária
e decimal. – Operações com decimais
e frações.
GEOMETRIA/MEDIDAS– Ângulos.– Polígonos.– Circunferência.– Simetrias.– Construções geométricas.– Poliedros.
NÚMEROS RACIONAIS– Transformação de
decimais finitos em fração. – Dízimas periódicas e
fração geratriz.
POTENCIAÇÃO– Propriedades para
expoentes inteiros.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– A linguagem das potências.
ÁLGEBRA– Equivalências e
transformações de expressões algébricas.
– Produtos notáveis.– Fatoração algébrica.
NÚMEROS REAIS– Conjuntos numéricos.– Números irracionais.– Potenciação e radiciação
em IR.– Notação científica.
ÁLGEBRA– Equações de 2o grau:
resolução e problemas.– Noções básicas sobre
função; a ideia de interdependência.
– Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1o e 2o graus.
Vol
ume
2
GEOMETRIA/MEDIDAS– Formas planas e espaciais.– Noção de perímetro e área
de figuras planas.– Cálculo de área
por composição e decomposição.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Leitura e construção de
gráficos e tabelas.– Média aritmética.– Problemas de contagem.
NÚMEROS/PROPORCIONALIDADE– Proporcionalidade direta e inversa.– Razões, proporções,
porcentagem.– Razões constantes na
Geometria: .
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Gráficos de setores.– Noções de probabilidade.
ÁLGEBRA– Uso de letras para
representar um valor desconhecido.
– Conceito de equação.– Resolução de equações.– Equações e problemas.
ÁLGEBRA/EQUAÇÕES– Equações de 1o grau.– Sistemas de equações e
resolução de problemas.– Inequações de 1o grau.– Sistemas de coordenadas
(plano cartesiano).
GEOMETRIA/MEDIDAS– Teorema de Tales e
Pitágoras: apresentação e aplicações.
– Área de polígonos.– Volume do prisma.
GEOMETRIA/MEDIDAS– Proporcionalidade, noção
de semelhança.– Relações métricas entre
triângulos retângulos.– Razões trigonométricas.– O número π; a
circunferência, o círculo e suas partes; área do círculo.
– Volume e área do cilindro.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO– Contagem indireta e
probabilidade.
O sombreado assinala os conteúdos relacionados aos trabalhados neste volume.
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.
Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO
Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.
Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.
Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,
Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.
Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.
Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.
Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.
Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.
Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.
Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.
História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.
Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.
Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE
CTP, Impressão e acabamentoLog Print Grá ca e Logística S. A.
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís
Martins e Renê José Trentin Silveira.
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e
Sérgio Adas.
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari.
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers.
Ciências da Natureza
Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes.
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana,
Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso
Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite,
João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol,
Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo
de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti,
Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell
Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e
Yassuko Hosoume.
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse
Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe
Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.
Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de
Felice Murrie.
GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017
FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI
Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat
Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos
GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO
Direção da Área Guilherme Ary Plonski
Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza
Gestão Editorial Denise Blanes
Equipe de Produção
Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.
Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.
Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .
* Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimen-tos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados.
* Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos).
* Os ícones do Caderno do Aluno são reproduzidos no Caderno do Professor para apoiar na identificação das atividades.
São Paulo Estado Secretaria da Educação.
Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: caderno do professor; matemática, ensino fundamental anos nais, 7a série/8o ano / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli. - São Paulo : SE, 2014.
v. 1, 88 p.
Edição atualizada pela equipe curricular do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Pro ssional CEFAF, da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica - CGEB.
ISBN 978-85-7849-560-2
1. Ensino fundamental anos finais 2. Matemática 3. Atividade pedagógica I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.
CDU: 371.3:806.90
S239m
CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS
COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira
CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .
AUTORES
Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.
LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.
Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.
Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas