book mat-spfe-2014 7s caa vol1 · produtos notáveis (significados geométricos), álgebra...

7a SÉRIE 8oANOENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAISCaderno do AlunoVolume 1

MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOIO AOCURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO

CADERNO DO ALUNO

MATEMÁTICAENSINO FUNDAMENTAL – ANOS FINAIS

7a SÉRIE/8o ANOVOLUME 1

Nova edição

2014-2017

GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAÇÃO

São Paulo

Governo do Estado de São Paulo

Governador

Geraldo Alckmin

Vice-Governador

Guilherme Afif Domingos

Secretário da Educação

Herman Voorwald

Secretário-Adjunto

João Cardoso Palma Filho

Chefe de Gabinete

Fernando Padula Novaes

Subsecretária de Articulação Regional

Rosania Morales Morroni

Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP

Silvia Andrade da Cunha Galletta

Coordenadora de Gestão da Educação Básica

Maria Elizabete da Costa

Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos

Cleide Bauab Eid Bochixio

Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação

Educacional

Ione Cristina Ribeiro de Assunção

Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares

Ana Leonor Sala Alonso

Coordenadora de Orçamento e Finanças

Claudia Chiaroni Afuso

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE

Barjas Negri

Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, res-

peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu-

manidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo

que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar,

refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi

elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.

O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos mate-

máticos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua

vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas

simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas

automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para

estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que estimu-

lam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as

explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não

se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê

sua opinião.

Você estudará neste Caderno os seguintes assuntos: os números racionais, frações, dízimas pe-

riódicas, potências e a memória do computador, aritmética com álgebra (as letras como números),

produtos notáveis (significados geométricos), álgebra (fatoração e equações), aritmética e geometria

(integração entre números e as formas geométricas).

Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como

organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um ho-

rário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude e

peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso.

Equipe Curricular de Matemática

Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB

Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática – 7a série/8o ano – Volume 1

5

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

OS RACIONAIS COMO MOSTRUÁRIO DAS FRAÇÕES

O conjunto de automóveis que circulam neste momento em nossa cidade é um con-junto “bagunçado”; podemos olhar para ele, no entanto, com a intenção de organizá-lo segundo algum critério.

Podemos fazer isso considerando apenas o fabricante de cada automóvel ou, se prefe - rir mos, considerando a cor deste. Se considerarmos apenas a cor de cada automóvel, tratan-do co mo equivalentes todos os automóveis de mesma cor, o conjunto dos automóveis ficará organizado em classes de equivalência. De acordo com esse critério, todos os automóveis brancos estarão em uma mesma classe, todos os automóveis azuis estarão em outra, e assim por diante. A definição da relação de equivalência – dois automóveis são equivalentes se, e somente se, têm a mesma cor – conduziu a uma organização do conjunto inicial de automóveis em um conjunto de classes de equivalência. Fixando-se uma relação de equivalência – ou seja, ter o mesmo fabricante –, o conjunto inicial pode ser reduzido a uma espécie de mostruário, em que um representante de cada fabricante é suficiente para mapear todo o conjunto.

O mostruário representará, então, o conjunto das cores:

Os números racionais são associados à ideia de razão. Uma fração é uma razão entre dois números inteiros, ou seja, é um número racional. Mas qual é a diferença entre uma fração e uma razão entre dois números quaisquer? E qual é a diferença entre uma fração e um número racional? Na base da construção das respostas a essas perguntas está a noção de relação de equivalência.

Quando temos diante de nós um conjunto muito “bagunçado” de elementos e quere-mos organizá-lo, recorremos à ideia de equivalência.

Mostruário do conjunto dos automóveis quanto às cores

Branco

Azul

Preto

Prata

Cinza

Verde

Outros

Leitura e análise de texto

PRETO

AZUL

BRANCO

VERDE

CINZA

PRATA

OUTROS

© C

onex

ão E

dito

rial


6

Da mesma forma, podemos organizar o conjunto das frações, consideran-do equivalentes e situando em uma mesma classe de equivalência todas as fra-

ções que representarem a mesma parte da unidade, como 1

2;3

6;

5

10;0,5;

13

26;

–7

(–14);

232

464; ... (todas representam a metade da unidade), ou, então,

5

3;

10

6; 1,666...;

500

300;

300

180; ... (todas representam um inteiro mais dois terços).

Se o conjunto de todas as frações que existem for organizado assim, agrupando-se em uma mesma classe as frações equivalentes, então o mostruário do conjunto das frações é o conjunto dos números racionais. Um número racional é, portanto, o representante de uma classe de frações equivalentes. Assim, um número racional representa o que há de comum entre todas as frações que representam a mesma parte da unidade.

430

215; 2;

6

3 1

7; 0,142857...; 3

21 2

5; 4

10; 0,4; –6

–15; 400

1 000

...; ...; ...

7

3; 2,333...; –35

–15

1,666...; 5

3;

–15

–9;

15

9

1

2; 3

6; 0,5; 13

26; 231

462; –7

–14; 45

90

1

3; –3

–9; 7

21; 15

45; 2

6; 111

333

Mostruário das frações: conjunto dos números racionais

1

2

1

3

1

72

7

3

5

3...

VOCÊ APRENDEU?

1. Podemos organizar o conjunto de todos os polígonos que existem em classes de equivalência segundo o critério do número de lados. Nesse caso:


7

a) quais seriam as classes de equivalência?

b) qual seria o mostruário do conjunto dos polígonos?

2. Considere o conjunto dos números inteiros não nulos representados na reta numerada e a rela-ção de equivalência: dois números inteiros são equivalentes se, e somente se, estiverem à mesma distância da origem, onde está o número zero.

–4 –3 –2 –1 43210

Nesse caso:

a) quais seriam as classes de equivalência?

b) qual seria o mostruário?


8

3. Considere o conjunto de todas as frações positivas. Para organizá-lo em classes, consideremos equivalentes todas as frações cuja soma do numerador com o denominador resulte sempre no

mesmo número. Por exemplo, 2

5 estaria na mesma classe de

1

6 e de

3

4;

24

13 estaria na mesma

classe de 1

36 e

7

30, e assim por diante. Nesse caso:

a) quais seriam as classes de equivalência? Antes, para ajudá-lo na tarefa, preencha a tabela a seguir, escrevendo na coluna à direita as frações cuja soma do numerador e denominador vem indicada na coluna da esquerda:

Soma igual a 2

Soma igual a 3

Soma igual a 4

Soma igual a 5

Soma igual a 6

b) qual seria o mostruário?

Localização dos números racionais na reta

4. Localize na reta a seguir os números racionais: 1, –2, 1

3,

5

2, –

3

4 e – 0,5.

20

5. Responda às seguintes perguntas:

a) Qual é o número natural sucessor de 15?

b) Qual é o número inteiro sucessor de –7?


9

c) Qual é o número racional consecutivo de 1

3?

d) Quantos números inteiros existem entre – 6 e 0?

e) Quantos números racionais existem entre – 6 e 0?

f ) Quantos números racionais existem entre 0,1 e 0,2?

6. Na atividade anterior, você observou que, diferentemente dos números naturais e inteiros, não existe sucessor de um número racional e que entre dois números racionais sempre existe uma infinidade de outros números racionais. Os conjuntos que possuem essas propriedades são chamados de conjuntos densos. Sendo assim, encontre um número racional que esteja entre:

a) 1

2 e

3

4

b) 1 e 5

4

c) 0,88 e 0,889


10

d) 1,010010001000011 e 1,010010001000012

LIÇÃO DE CASA

7. Desenhe uma reta e localize nela os números 1

8 e

1

10. Identifique três números fracionários

que estejam entre ambos.

8. Em que intervalo há mais números racionais: entre 0 e 1 ou entre 0 e 0,1?

9. Em nossa vida, lidamos com conjuntos que têm a qualidade de serem densos. Um exemplo disso é o tempo: qual é o instante sucessor das 10 horas? É impossível definir, assim como per-cebemos que entre dois instantes de tempo há uma infinidade de instantes. Pense em outras duas situações que envolvam conjuntos densos.


11


12

Desafio!

Cada “casa” da tabela a seguir corresponde a uma fração cujos numerador e denomina-dor são identificados nas respectivas linha e coluna. Assim, por exemplo, a “casa” assinalada

na tabela com a letra E corresponde à fração 3

4, enquanto a “casa” assinalada com a letra M

corresponde à fração 6

7. Assinale com um X as “casas” correspondentes às frações gera trizes

de dízimas periódicas.

Numerador

Den

om

inad

or

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4 E

5

6

7 M

8

9


AS DÍZIMAS PERIÓDICAS SÃO PREVISÍVEIS...


13

VOCÊ APRENDEU?

1. Analisando a tabela da seção Desafio!, identifique quando uma fração irredutível não gera uma dízima ao ser dividido o numerador pelo denominador.

2. Quando uma fração com denominador igual a 3 não gera uma dízima?

3. Todas as frações irredutíveis com denominador contendo apenas fator primo igual a 3 geram dízimas periódicas? Dê exemplos para justificar sua resposta.

4. Escreva a sequência dos números primos menores do que 30.

5. Quais dos números primos que você escreveu na atividade anterior podem ser combinados para formar o denominador de uma fração irredutível e geradora de uma dízima periódica?


14

6. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais a divisão entre numerador e denominador resultará em uma dízima periódica.

LIÇÃO DE CASA

7. Em que situação a divisão entre numerador e denominador de uma fração irredutível gera uma dízima periódica?

8. Escreva cinco exemplos de frações, diferentes das vistas em sala de aula, nas quais, com certeza, a divisão entre numerador e denominador não resultará em uma dízima periódica.

Dízimas periódicas e cíclicas

Quando uma fração corresponde a uma dízima periódica, podemos notar que é possível uma estimativa do tamanho máximo do seu período, isto é, do número de casas decimais que se repetirão.



15

Observe a divisão de 1 por 7:

1

0

0

0

0

0

05

restos

0,142857...

7

quocientes

4

6

2

3

1

Nessa divisão, acrescentando os zeros necessários para produzir as casas decimais, ob-servamos que as divisões parciais não são exatas e que os restos possíveis são menores do que 7, ou seja, serão 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 – o resto 0 (zero) não é incluído, pois sua presença indicaria que a divisão tem um resultado exato, sendo, portanto, um decimal finito. Assim, na sétima casa decimal, certamente ocorrerá a repetição de um resto e, a partir daí, como sempre completamos com zero para continuar a divisão, todos os outros restos se repetirão, produzindo a dízima periódica. Poderíamos prever que, nesse caso, a dízima resultante da divisão teria um período de, no máximo, seis casas decimais, o que efetivamente ocorreu.

Quocientes

1

1

32645

014285

Restos

Na tabela construída, colocamos em ordem os quocientes decimais e os restos pro-duzidos por eles.

Observe o desenvolvimento decimal de 2

7:

quocientes

2

02

06

04

05

01

03

r

e

s

t

o

s

0,285714

7Quocientes

2

2

6

4

5

1

3

028

57

1

Restos

7

4


16

Comparando os períodos gerados pelas duas frações, podemos observar que elas possuem os mesmos algarismos, porém ordenados de forma diferente e respeitando um movimento

cíclico. Observando que a divisão de 2

7 começa com resto 2, que também aparece como resto

na divisão de 1

7, os restos, a partir desse ponto, também vão coincidir em ambas as divisões,

uma vez que o desenvolvimento de 1

7 tem período de comprimento “máximo”:

2

7 = 0,285714...

1

7 = 0,14285714...

i

n

í

c

i

o

do ciclo

Quocientes

resto inicial

1

1

3

2

6

4

5

014285

Restos

7

Sem efetuar a divisão, e apoiado na tabela da seção anterior referente à divisão de 1

7,

encontre o desenvolvimento decimal de 5

7.

Desafio!


17

VOCÊ APRENDEU?

9. Considere a seguinte fração:

1

13 = 0,0769230769...

quocientes

1

0 01

09

012

03

04

r

e

s

t

o

s

0,076923...

13 Quocientes

1

1

10

9

12

3

4

007692

Restos

Aplicando o método discutido anteriormente, escreva as frações a seguir na sua forma decimal periódica:

a) 10

13 =

b) 9

13 =

c) 3

13 =

d) 4

13 =

10. Observando a tabela de quocientes e restos, é possível encontrar o desenvolvimento decimal de 2

13? Justifique sua resposta e tente encontrá-lo.

3


18

11. Determine a fração geratriz de cada uma das seguintes dízimas periódicas:

a) 2,7777...

b) 0,454545...

c) 1,2343434...

d) 3,1672867286728...

LIÇÃO DE CASA

12. Escreva o número racional

7

60,33333...

na forma a

b, sendo

a

b uma fração irredutível.


19

13. Encontre o valor de x que é solução da equação: 3x + 0,1x + 0,05x + 0,005x + 0,0005x +... = 4.


20


DO GOOGOL AO ANGSTROM, UM CAMINHO

PARA AS POTÊNCIAS

VOCÊ APRENDEU?

1. Em Astronomia, a distância que a luz percorre em um ano é chamada ano-luz. Sendo assim, responda:

© N

asa

and

The

Hub

ble

Her

itag

e T

eam

(ST

Scl/A

UR

A)

Considerando os números 210, 103 e 107, qual deles é escrito com maior número de dígitos?

Essa é uma pergunta desafiadora que, além de permitir a retomada da discussão sobre o cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 10 é muito simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso sistema de numeração é de base 10 (decimal), o que foi discutido em detalhes nas atividades sobre sistema de numeração proposta na 6a série/7o ano.

Diversas áreas da ciência que trabalham rotineiramente com números muito grandes ou muito pequenos utilizam amplamente a linguagem das potências na repre-sentação desses números. Por exemplo, a velocidade da luz no vácuo, que é aproxima da- mente igual a 300 000 km/s ou 300 000 000 m/s, pode ser escrita como 3 ∙ 105 km/s ou 3 ∙ 108 m/s.



21

a) quantos metros tem 1 ano-luz, sabendo que a velocidade da luz é 3 · 108 m/s?

b) qual é a distância entre a Terra e o Sol em anos-luz, sabendo-se que essa distância é de aproximadamente 150 000 000 000 metros?

c) quanto tempo, aproximadamente, um feixe de luz leva para chegar do Sol até a Terra?

LIÇÃO DE CASA

2. O diâmetro da Via Láctea é de, aproximadamente, 100 000 anos-luz. Por que os astrônomos utilizam uma unidade “tão grande” como o ano-luz para indicar distâncias?


22

PESQUISA INDIVIDUAL

Nos filmes de ficção, muitas vezes os personagens indicam distâncias entre estrelas utilizando as unidades de anos-luz e parsec. Faça uma pesquisa sobre unidades de medi - das astronômicas e registre alguns exemplos de sua aplicação.

VOCÊ APRENDEU?

Notação científica

3. O quadro a seguir apresenta dados reais aproximados envolvendo potências:

Número de moléculas em 1 grama de água 3 ∙ 1022 moléculas

Número de átomos do corpo humano 1028 átomos

Raio da Terra 6 ∙ 106 m

Distância entre a Terra e a Lua 4 ∙ 108 m

Distância entre a Terra e o Sol 1,5 ∙ 1011 m

Massa da Terra 6 ∙ 1024 kg

Idade da Terra 4,5 ∙ 109 anos

Idade do Universo 1,5 ∙ 1010 anos

Número de habitantes da Terra (estimativa em 2011) 7 bilhões

Expectativa de vida dos brasileiros em 2011 73,4 anos

PIB* (Produto Interno Bruto) brasileiro em 2012 4,4 trilhões de reais

Número de células do corpo humano 100 bilhões = 1011

Número de possibilidades do sorteio dos seis números da Mega-Sena 50 milhões = 5 ∙ 107

*PIB: Produto Interno Bruto – conjunto de bens e serviços produzidos no ano.


23

Analisando os dados dessa tabela, escreva cada um dos números a seguir em notação científica, ou seja, na forma m ∙ 10n, com 1 <– m < 10.

a) número de habitantes da Terra em 2011;

b) expectativa de vida dos brasileiros em 2011 (em segundos);

c) PIB brasileiro em 2012.

Em certa ocasião, o matemático estadunidense Edward Kasner perguntou ao seu sobrinho Milton Sirotta, de nove anos, qual era o maior número que existia. A resposta do pe - queno Milton – algo parecido com “guuugol” – não foi muito animadora, mas, na mente criativa de Kasner, isso virou uma bela brincadeira matemática. Em homenagem ao sobrinho, Kasner chamou de googol o número 1 seguido de 100 zeros ou, dizendo de outra maneira, o número 10100.

Não é tarefa fácil encontrar em nosso mundo real algo em quantidade tão gran - de quan to 1 googol. Para se ter uma ideia, o número de gotas de chuva que caem na cidade de São Paulo em um século é muito menor que 1 googol. O número total de grãos de areia das praias do litoral brasileiro também é menor que 1 googol, assim como é menor que 1 googol o número de elétrons em todo o Universo.

Para não dizer que 1 googol é um número insuperável, se imaginarmos o Universo in-teiro ocupado por prótons e elétrons de tal forma que não sobre nenhum espaço livre, então, estima-se o número dessas partículas ( 10110 partículas) um número maior que 1 googol.

Vencida a barreira do googol, imagine um número ainda maior: “10 elevado a 1 googol” (Kasner batizou esse número de googolplex). Se fosse possível escrever um dígito a cada meio segundo, quanto tempo levaríamos para escrever todos os zeros do número

1 googolplex? A resposta exige apenas alguns cálculos. Dizer que 1 googolplex é 10googol = 1010100

é equivalente a dizer que esse número tem o primeiro dígito igual a 1 seguido de 1 googol de dígitos iguais a 0. Nas condições dadas, levaríamos 0,5 ∙ 10100 segundos para escrever por extenso o número de zeros de 1 googolplex. Como a idade estimada do Universo é 1,5 ∙ 1010 anos (ver tabela da atividade anterior), o que equivale, aproximadamente, a 4,7 ∙ 1017 segundos, é possível afirmar que, desde o Big Bang até hoje, não haveria tempo suficiente para a empreitada de escrever todos os zeros de 1 googolplex.



24

VOCÊ APRENDEU?

4. Cerca de 70% da superfície da Terra encontra-se coberta por água, o que corresponde a um volume de aproximadamente 1 385 984 610 km³ (desse total, 97,5% é de água salgada e 2,5%, de água doce). Sabendo que em cada cm³ temos 1 g de água (a densidade da água é 1 g/cm³) e consultando a tabela apresentada anteriormente, calcule o número de moléculas de água na superfície da Terra. Em seguida, compare esse dado com 1 googol. Nesta atividade, desconsidere o fato de a densidade da água salgada ser maior que 1 g/cm³.

Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer direta-mente a conta 370 000 ∙ 2 100 000; contudo, com o conhecimento de potências e nota-ção científica, esse cálculo pode ser feito na calculadora. Sabendo que 370 000 = 3,7 ∙ 105 e 2 100 000 = 2,1 ∙ 106, o produto procurado é 2,1 ∙ 3,7 ∙ 1011. A calculadora nos fornece o resultado de 2,1 ∙ 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que esse número multiplicado por 1011 será igual a 777 000 000 000.

Entretanto, se você tem uma calculadora científica, vai observar que ela usa a notação científica automaticamente.

Nas calculadoras científicas, o resultado dessa conta pode aparecer das seguintes for-mas, dependendo do fabricante:

7.7711 7.77 E11 7.77 E + 11ou ou

Em todos os casos apresentados, o número 11 representa um expoente de uma potência de base 10 que deverá ser multiplicada por 7,77. Três outros detalhes também devem ser observados.


Usando a calculadora


25

VOCÊ APRENDEU?

5. Faça algumas experiências com sua calculadora, registrando a seguir os valores encontrados.

Em geral, as calculadoras usam o sistema inglês de representação dos números, no qual a vírgula tem a função do nosso ponto, e vice-versa. Assim, o número 38.490,25 no nosso sistema aparece representado na calculadora como 38,490.25.

A letra E que aparece em algumas calculadoras refere-se à palavra em inglês exponent, que quer dizer expoente. Algumas calculadoras colocam o sinal de mais ou de menos ao lado da letra E para representar expoentes positivos ou negativos da potência de 10.

As calculadoras científicas possuem uma tecla específica para as potências, o que fa-

cilita o seu manuseio. Em geral, a tecla é indicada por xy ou, em alguns casos, uma

tecla indicando o sinal de acento circunflexo é a que deve ser usada para elevar

uma base a um expoente. Exemplos de sequências de teclas que devem ser digitadas nesses dois tipos de calculadora para se calcular 35:

3 5 =xyI.

3 5 =II.

O resultado que aparecerá no visor será 243

^

^


26

6. Suponhamos que, em determinado país, a produção de um material tenha sido igual a 1 tonelada no ano 2000 e, em razão do desenvolvimento tecnológico, passou a triplicar anualmente a partir daí. Uma tabela com as quantidades produzidas ao final de cada ano é apresentada a seguir. Complete os espaços em branco utilizando, quando possível e se necessário, uma calculadora:

Ano Produção P (toneladas) Potência correspondente

2000 1 30

2001 31

2002 9

2003 33

2004 34

2005 243

2006 729

2007 37

2008 6 561

2009

...

2015 14 348 907

2000 + n ...

7. O nosso sistema de numeração – Sistema Decimal Posicional – é formado segundo certa regulari-dade com relação às potências de base 10. Interprete essa característica completando a tabela a seguir:

Milhar Centena Dezena Unidade Décimos Centésimos Milésimos

100 1 0,1 0,01 0,001

103 101 100 10–2


27

PESQUISA INDIVIDUAL

Faça uma pesquisa em jornais e revistas, e selecione uma notícia que faz uso de números muito grandes. Escreva um parágrafo resumindo o assunto da notícia e apresente os mes mos números em notação científica.

8. A tabela a seguir indica uma série de representações com potências de expoente negativo. Pesquise sobre as unidades relacionadas, faça a conversão entre as unidades e complete a coluna:

1 centímetro _____ metros

1 milímetro _____ metros

1 micrômetro _____ metros

1 nanômetro _____ metros

1 angstrom _____ metros


28

LIÇÃO DE CASA

9. O comprimento de um cordão de DNA na célula é de aproximadamente 10–7 m, o que corresponde a aproximadamente 1 000 angstroms. Com base nesse dado, calcule a equivalência entre angstrom e metro.

10. O diâmetro de um fio de cabelo humano é de, aproximadamente, 2,54 ∙ 10–5 m. Quantos fios de cabelo humano teriam de ser colocados lado a lado para formar 1 m?

11. Nossos fios de cabelo crescem à taxa de, aproximadamente, 1,6 ∙ 10–5 m por hora. Um caracol de jardim se locomove no ritmo de, aproximadamente, 3 ∙ 10–2 m por hora. Quanto tempo nossos fios de cabelo demorariam para crescer o equivalente à distância que um caracol de jardim percorre em 1 hora?


29


30


As unidades de memória dos computadores são amplamente conhecidas hoje em dia. O uso de termos como megabytes ou gigabytes para se referir à capacidade de memória de dispositivos eletrônicos tornou-se tão comum quanto o uso de quilo-grama para se referir à massa de determinado produto. Fala-se com naturalidade em pen drives de 8 gigabytes, CD-ROMs de 700 megabytes, DVDs de 4,7 gigabytes, entre outras coisas. Essas especificações fazem parte do cotidiano no mundo da in-formática. Contudo, o significado do termo byte e de seus múltiplos ainda é alvo de muitas confusões.

Na Ciência da Computação, o byte é a unidade básica de armazenamento de memória no computador. Um byte é constituído por 8 bits. O bit (binary digit, ou dígito binário) é a menor unidade lógica de armazenamento de informação em um computador. O valor de um bit é determinado pelo estado de um dispositivo eletrônico interno do computa-dor, chamado capacitor, que armazena energia em um campo elétrico. Ele pode ser usado para representar informação de forma binária em um computador, podendo assumir somente dois valores: 0, quando o capacitor está desligado (descarregado), e 1, quando está ligado (ou carregado). Por essa razão, as informações em um computador estão codi-ficadas em uma base de numeração binária, e não decimal.

Há duas décadas, a memória dos computadores pessoais raramente ultrapassava algumas dezenas de quilobytes (KB). Alguns estudiosos notaram que o termo quilobyte tinha duas interpretações distintas. Segundo o Sistema Internacional de Medidas (SI), o prefixo quilo (k) corresponde a 1 000 unidades. Assim, 1 quilobyte (1 KB), segundo o SI, corresponderia a 1 000 ou 103 bytes. Por outro lado, tomando-se como referência a base binária de armazenamento de informação no computador, 1 quilobyte corres-ponderia a 210 bytes, ou seja, 1 024 bytes. A diferença relativa entre as duas interpreta-ções para o valor de 1 quilobyte (2,4%) era pequena, não ocasionando maiores problemas na época.

Contudo, com a rápida ampliação da capacidade de memória dos computadores, novas unidades de medidas tiveram que ser adotadas, tais como o megabyte, o gigabyte e o terabyte. Atualmente, já se fala em computadores com capacidade de memória medida em petabytes. A diferença relativa entre o sistema binário e o Sistema Inter-nacional aumentou, gerando uma discrepância significativa no valor dessas unidades. Um gigabyte, no Sistema Internacional, corresponde a 1 000 000 000 ou 109 bytes.


AS POTÊNCIAS E A MEMÓRIA DO COMPUTADOR


31

No sistema binário, um gigabyte corresponde a 230 bytes, ou 1 073 741 824 bytes, um número 7,4% maior que o seu correspondente no SI. No caso do terabyte, essa dis-crepância chega a aproximadamente 10%.

Hoje em dia, há muita confusão sobre o real significado desses termos. Muitos fabricantes adotam a base decimal na configuração de suas memórias, por causa da facili-dade de compreensão por parte do usuário. Contudo, a maioria dos sistemas operacionais adota o sistema binário, o que gera uma discrepância entre a capacidade de memória de-clarada pelo fabricante e as medidas registradas nos sistemas operacionais.

O Escritório Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et Mesures – BIPM), um dos órgãos responsáveis pela regulação do SI, declara que os prefixos do Sistema Internacional de Medidas refe rem-se exclusivamente às potências de dez, e não devem ser usados para representar bases binárias, como no caso do quilobyte. Em 2005, a Comissão Eletrotécnica Internacional (International Electrotechnical Commission – IEC) criou um sistema de unidades específicas para o uso no campo das tecnologias de informação e processamento de dados, tendo como base o sistema binário. Foram definidos novos prefixos para designar os múltiplos das unidades de medida relacionadas à memória dos computadores. Nesse novo sistema, 220 bytes passam a ser designados como mebibyte, e não mais como megabyte, que representa 106 bytes no SI. O prefixo mega foi substituído por mebi, em que bi é a abreviação de binário.

Na tabela a seguir, é possível comparar as unidades do sistema decimal com as do sistema binário.

Base decimal

(SI)Quantidade de bytes

Base binária (IEC)

Quantidade de bytes Diferença (%)

quilobyte (KB)

103 = 1 000quibibyte

(KiB)210 = 1 024 2,4%

megabyte (MB)

106 = 1 000 000mebibyte

(MiB)220 = 1 048 576 4,9%

gigabyte (GB)

109 = 1 000 000 000gibibyte(GiB)

230 = 1 073 741 824 7,4%

terabyte (TB)

1012 = 1 000 000 000 000tebibyte

(TiB)240 = 1 099 511 627 776 9,9%


32

Bits, bytes e as potências de dois

Uma informação pode ser codificada por meio de uma combinação de bits. A tabela a se-guir mostra a codificação dos algarismos de 0 a 7 com base na combinação de 3 bits. Nas duas primeiras colunas da tabela estão representados os estados dos capacitores da seguinte forma: o símbolo para desligado (ou não magnetizado) e o símbolo para ligado (ou magnetizado). Na terceira coluna, o número binário correspondente à configuração dos capacitores: 0 para desligado e 1 para ligado. Por se tratar de 3 bits, o número binário terá no máximo três casas. Na quarta coluna, encontra-se o número correspondente no sistema decimal associado à configu-ração dos capacitores e ao número binário.

Configuração dos capacitores

Estado:D – desligado

L – ligado

Número binário(3 bits)

Número correspondente no

sistema decimal

D – D – D 000 0

D – D – L 001 1

D – L – D 010 2

D – L – L 011 3

L – D – D 100 4

L – D – L 101 5

L – L – D 110 6

L – L – L 111 7

Utilizando 3 bits, foi possível armazenar oito informações diferentes. Na tabela, foram repre-sentados os oito números de 0 a 7. O número 5, por exemplo, foi representado por 101, ao passo que o 7 foi representado por 111. Utilizando apenas os algarismos 0 e 1, e três casas, não é pos-sível representar nenhuma outra informação. Para representar mais números, seriam necessários mais bits.


33

Se cada bit só pode assumir dois valores, o número total de informações que podem ser ar-mazenadas com 3 bits é dado por 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23. Portanto, com 4 bits é possível armazenar 24 ou 16 informações. Com 5 bits, 25 ou 32, e assim por diante. Com n bits, é possível armazenar 2n informações. Em uma tabela, essa situação pode ser representada da seguinte forma:

Número de bits 1 2 3 4 5 ... n

Quantidade de informação armazenada 21 22 23 24 25 ... 2n

Total 2 4 8 16 32 ... 2n

A mesma situação pode ser descrita aplicando-se um método denominado diagrama de árvore:

capacitor 3

8 possibilidades

capacitor 2

capacitor 1

L

L

L

LL

L

L

D

D

D

D

D

D

D

Esse tipo de diagrama é uma representação do raciocínio multiplicativo aplicado em várias situações que envolvem contagens, por exemplo, de quantos modos diferentes podemos vestir uma camiseta e uma calça, dispondo, para isso, de 3 camisetas e 2 calças.


34

VOCÊ APRENDEU?

1. Complete a tabela a seguir com todas as configurações possíveis envolvendo quatro capacitores e responda:

Configuração dos capacitores

Estado:D – desligado L – ligado

Número binário (4 casas) Letra

0000 A

0001 B

0010 C

D – D – L – L D

0100 E

0101 F

G

H

1000 I

L – D – D – L J

1010 K

L

1100 M

1101 N

L – L – L – D O

P


35

a) Se cada configuração corresponder a uma letra do alfabeto, qual será a última letra que pode ser representada com 4 bits (em ordem alfabética)?

b) Qual é a letra associada ao número binário 0111?

2. Um byte é composto por 8 bits. Quantas informações podem ser armazenadas em um byte?

3. Quantos bits seriam necessários para armazenar 1 000 informações?

Múltiplos de byte

4. No Sistema Internacional, os prefixos quilo, mega e giga expressam diferentes potências de 10. Assim, 1 quilobyte (KB) equivale a 103 bytes, 1 megabyte (MB) a 106 bytes, 1 gigabyte (GB) a 109 bytes, e assim por diante. Com base no Sistema Internacional, faça as transformações solicitadas e apresente as respostas na forma de potência de 10.

a) 10 megabytes em bytes;

b) 1 gigabyte em quilobytes;

c) 100 quilobytes em gigabytes;

d) 20 terabytes em megabytes;

e) 1 megabyte em terabytes.


36

5. Já no sistema binário, os prefixos usados expressam potências de 2. Um quibibyte (KiB) equivale a 210 bytes; 1 mebibyte (MiB) a 220 bytes; 1 gibibyte (GiB) a 230 bytes, e assim por diante. Faça as transformações a seguir e apresente as respostas na forma de potência de 2.

a) 2 mebibytes em quibibytes;

b) 16 gibibytes em bytes;

c) 1 quibibyte em mebibytes;

d) 10 tebibytes em bytes;

e) 32 quibibytes em gibibytes.

Quando um mebibyte é um megabyte?

6. A capacidade de armazenamento de dados de um CD-ROM está baseada no sistema binário, apesar de ser expressa com os prefixos do sistema decimal (SI). Por exemplo: um CD-ROM de 700 MB (megabytes) tem, efetivamente, uma capacidade real de 700 MiB (mebibytes). Dife-rentemente, a capacidade real dos DVDs é calculada com potências de 10. Ou seja, um DVD de 4,7 GB (gigabytes) tem efetivamente uma capacidade de armazenamento de 4,7 gigabytes. Com base nessas informações, responda:

a) Qual é a capacidade real em megabytes de um CD-ROM de 700 MiB?

b) Qual é a capacidade real em gibibytes de um DVD de 4,7 gigabytes?


37

LIÇÃO DE CASA

Usando potências para contagem

7. Suponha que você tenha em seu estojo: um lápis, uma borracha e uma caneta. De quantas maneiras diferentes você poderá selecionar elementos dessa lista?

Repare que para responder a esta questão você pode pensar em utilizar conjuntos de um só elemento, dois elementos e três elementos.

Coloque esses objetos em uma tabela:

Lápis Borracha Caneta

Estabeleça então a seguinte regra: o número 1 colocado na casa abaixo do objeto significará que ele foi selecionado; caso contrário, será colocado o zero.

Assim, a tabela numerada com 111 significará que você escolheu os três objetos, enquanto a dis-posição 101 significa que foram escolhidos o lápis e a caneta. Dessa forma, cada casa em que se escreve 0 ou 1 representará uma única maneira de selecionar os objetos. Com base nas ideias de-senvolvidas sobre bits, responda à pergunta feita (7). Atenção: a tabela com 000 deve ser excluída, uma vez que mostraria que não foi feita nenhuma escolha.

8. Aplique o mesmo raciocínio para 5 objetos.

Quantos algarismos usamos para escrever as potências de 2?

9. A tabela a seguir relaciona os expoentes naturais de 0 a 26, das potências de 2, com o número de casas (algarismos) do resultado da potência escrito por extenso. Observe o exemplo na tabela a seguir e complete-a, calculando o valor das potências. Se necessário, utilize uma calculadora ou uma planilha eletrônica.


38

n 2 elevado a n Número de algarismos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 1 024 4

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26


39

10. Construa um gráfico no plano cartesiano, relacionando o expoente das potências de 2 da atividade anterior com o número de algarismos da escrita do resultado das potências. Lance no eixo vertical a quantidade de algarismos do número e no eixo horizontal o expoente de base 2.


40

11. Caso tenha à sua disposição computadores com uma planilha eletrônica ou calculadoras cientí-ficas, construa uma tabela, como a apresentada a seguir, para potências de 2 com expoentes maiores que 26 e complete os valores que faltam:

n 2 elevado a n Número de algarismos

27 134 217 728 9

28 268 435 456 9

29 536 870 912 9

30 1 073 741 824 10

31 2 147 483 648 10

32 4 294 967 296 10

33 8 589 934 592 10

34 17 179 869 184 11

35 34 359 738 368 11

36 68 719 476 736 11

37 1.374E + 11 12

38 2.749E + 11 12

39 5.498E + 11 ___

40 1.100E + 12 ___

41 2.199E + ___ 13

42 4.398E + 12 ___

43 8.796E + ___ 13

44 1.759E + 13 14


41

12. A tabela e a construção do gráfico nas atividades anteriores nos permitem observar determi-nado padrão na relação entre o expoente e o número de algarismos da potência na base 2 para expoentes de 0 a 26. Sabendo que esse padrão se repete pelo menos até o expoente 100, determine a quantidade de algarismos do número que representa 2100.

PARA SABER MAIS

Você pode ainda pesquisar na internet vários sites que tratam das unidades de me-didas exploradas neste Caderno. Algumas palavras-chave que podem ser utilizadas em sites de busca são:

bits;

angstrom;

parsec;

anos-luz.


42


ARITMÉTICA COM ÁLGEBRA: AS LETRAS COMO NÚMEROS

VOCÊ APRENDEU?

1. Observe a sequência de bolinhas e crie uma fórmula que expresse o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.)

1 2 3 4 5...

2. Utilizando a mesma sequência da atividade anterior, escreva uma fórmula diferente, porém equivalente à que você encontrou.

1 2 3 4 5...


43

3. Como as fórmulas obtidas nas atividades anteriores são equivalentes, pois representam a mesma sequência de figuras, apresente uma propriedade algébrica decorrente dessa equivalência.

4. Observe a sequência de bolinhas e crie duas fórmulas que expressem o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.)

1 2 3 4 5

...

5. Apresente uma propriedade algébrica que decorre da equivalência entre as fórmulas encontra-das na atividade anterior.


44

6. Observe a sequência de bolinhas e construa duas fórmulas que expressem o total de bolinhas em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.)

n = 2 n = 3n = 1 n = 4

...

7. Apresente uma propriedade algébrica que decorre da equivalência entre as fórmulas encontra-das na atividade anterior.


45

LIÇÃO DE CASA

8. Cada figura da sequência está indicada por um número. Determine quatro fórmulas diferentes (e equivalentes) para o total de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência.

1 2 3 4 5

...


46

9. Cada figura da sequência de bolinhas a seguir está indicada por um número. Encontre duas fórmulas diferentes (e equivalentes) para determinar o total de bolinhas de uma figura genérica n dessa sequência.

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

10. Encontre uma fórmula que expresse o número de bolinhas de uma figura genérica n da sequência.

1 3 542

Desafio!


47

VOCÊ APRENDEU?

11. Determine fórmulas para o cálculo do número de bolinhas de cada figura das sequências a se-guir em função do número da figura. (Observação: chame o número da figura de n.)

a) 1 3 42

...

b) 1 3 42

...


48

c) 1 32

...

12. Dada a fórmula para o cálculo do número de bolinhas em função do número n da figura, faça um desenho representativo para n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4.

a) n + (n + 1) + (n + 2)

b) (n + 2)2


49

13. Encontre outras fórmulas equivalentes para cada um dos itens apresentados na atividade anterior. (Dica: faça figuras para auxiliar a resolução da atividade.)


50


PRODUTOS NOTÁVEIS: SIGNIFICADOS GEOMÉTRICOS

VOCÊ APRENDEU?

1. Observe as figuras a seguir e represente a área de cada retângulo por duas expressões algébricas equivalentes:

x

a + 7 + y

7 ya

a)

b) x

y

2

5

2. A expressão 3a + 3b refere-se à área de um retângulo. Represente geometricamente essa expressão e encontre uma expressão equivalente a ela.


51

3. A expressão x(y – 3) refere-se à área de um retângulo. Represente geometricamente essa expressão e encontre uma expressão equivalente a ela.

4. Represente geometricamente o produto (x + a)∙(x + b) e encontre uma expressão equivalente a ele.


52

5. Represente geometricamente o produto (x – a)∙(x – b) e depois encontre uma expressão equivalente.

6. Desenvolva os produtos a seguir sem aplicar a propriedade distributiva ou a representação geométrica:

a) (x + 3)∙(x + 5) =

b) (x – 7)∙(x – 10) =

c) (x + 1)∙(x + 1) =


53

d) (x – 4)∙(x – 6) =

7. Observe a figura apresentada a seguir e complete os quadros em branco com letras, indicando as medidas dos lados no 1o membro e as áreas no 2o membro.

+ +=

(a + b)2 = a2 + +

a

a

bb

8. Represente geometricamente o trinômio quadrado perfeito x2 + 4x + 4.


54

9. Faça a representação geométrica dos seguintes trinômios quadrados perfeitos:

a) a2 + 6a + 9 b) 4x2 + 4x + 1

10. Demonstre geometricamente a igualdade (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, partindo de um quadrado de lado a, conforme mostra a figura.

b

a

b

a(a – b)2

a – b

Desafio!


55

11. Mostre geometricamente que a igualdade (x – 5)2 = x² – 10x + 25 é válida.

VOCÊ APRENDEU?

12. Represente geometricamente os seguintes produtos notáveis:

a) a2 – 6a + 9 b) 9x2 – 6x + 1


56

13. Represente geometricamente a expressão algébrica 9 – x2 e, em seguida, construa uma expres-são equivalente a ela, indicando o produto de dois termos.

14. Represente geometricamente a expressão algébrica 16x2 – 9y2 e, depois, encontre uma expressão equivalente, como o produto de dois números.


57

15. A figura a seguir mostra um quadrado de lado c formado por 4 triângulos retângulos de catetos a e b, além de um quadrado menor. Mostre que c2 = a2 + b2.

a b

c


58

16. Faça o desenvolvimento de (a + b)5, utilizando padrões e regularidades.


59


60


ÁLGEBRA: FATORAÇÃO E EQUAÇÕES

VOCÊ APRENDEU?

1. A medida do comprimento do retângulo VASO é 3 cm maior do que a medida de sua largura. Sendo assim, responda:

O V

AS

a) Se a medida da largura for igual a 6 cm, qual será a medida do comprimento?

b) Se a medida do comprimento for igual a 60 cm, qual será a medida da largura?

c) Se a medida da largura for igual a 15 cm, qual será a área do retângulo VASO?

d) Se a medida do comprimento for igual a 14 cm, qual será a área do retângulo VASO?


61

e) Se a medida da largura for x, qual será a medida do comprimento?

f ) Se a medida do comprimento for m, qual será a medida da largura?

g) Se a medida de um dos lados do retângulo VASO for igual a y, qual(quais) das expressões seguintes pode(m) representar o cálculo de sua área (em cm²), e qual(quais) pode(m) re-presentar a medida de seu perímetro (em cm)?

(I) 2 (2y + 3) (IV) y² – 3y

(II) y (y + 3) (V) y² + 3y

(III) (y – 3) y (VI) 4y – 6

h) Considere as expressões (III) e (IV) do item anterior e calcule, para cada uma, o valor da área do retângulo VASO para y = 10 cm.

i) Dois polinômios são idênticos quando possuem valores numéricos iguais para qualquer valor atribuído à variável. Os polinômios (III) e (IV) do item h, que representam a área do retângulo VASO, são iguais ou diferentes?


62

j) Verifique se os polinômios (II) e (III) do item g desta atividade são idênticos, calculando o valor numérico de cada um deles para alguns valores de y.

2. Observe os seis polinômios seguintes, nomeados de A a F, e as áreas 1 e 2 dos retângulos repre-sentados na figura.

A = x2 – 16 D = (x – 2)2

B = x2 – 4x + 4 E = 2x(3 + 2x)

C = (x + 4)∙(x – 4) F = 4x2 + 6x

Área 1x

x 4

4

Área 1

x

Área 2

2

x

2

Área 2

2


63

a) Quais desses polinômios podem representar o cálculo da área 1?

b) Quais desses polinômios podem representar o cálculo da área 2?

c) Calcule o valor da área 1 para o caso em que x = 10 cm.

d) Calcule o valor da área 2 para o caso em que x = 15 cm.

e) Verifique que os polinômios E e F são idênticos, calculando o valor numérico de cada um deles para, pelo menos, quatro valores diferentes de x.


64

3. Leia, nos quadrinhos a seguir, o problema que Paulo está propondo a João.

1

João,

pense em um

número positivo

qualquer.

Pensei: x.

3

O outro

lado do retângulo

tem três unidades a mais

do que esse.

É 2x + 3.

2

O dobro

do número que você

pensou é o lado de um

retângulo.

É 2x.

E o outro lado?

a) Quais são as medidas dos lados do retângulo de que fala Paulo no caso de o número x, em que João pensou, ser igual a 10?

b) Qual é a área do retângulo de que fala Paulo no caso de o número x, em que João pensou, ser igual a 8?

© C

on

exão

Ed

itori

al


65

c) Desenhe um retângulo e assinale nele as medidas dos lados, de acordo com a forma pensada por Paulo.

d) Escreva um polinômio para representar o perímetro desse retângulo.

e) O polinômio A = 4x² + 6x pode representar a área desse retângulo? Por quê?

LIÇÃO DE CASA

4. Leia com atenção o enunciado a seguir:

A soma de certo número positivo com 3 é elevada ao quadrado e o resultado final é 64.

a) Descubra esse número, utilizando apenas cálculo mental.


66

b) Chamando o número procurado de a, escreva uma sentença matemática que traduza o enunciado da atividade.

c) Em quais das seguintes sentenças podemos substituir a letra a pelo número que você desco-briu “de cabeça”? Efetuando os cálculos, verifique se a igualdade final é verdadeira.

(I) (a + 3)∙(a + 3) = 64 (IV) (a – 5)∙(a + 11) = 0

(II) a2 + 6a + 9 = 64 (V) (a – 1)∙(a – 2) = 12

(III) (a + 9)∙(a + 1) = 20


67

d) Existe um número negativo que também satisfaz à condição descrita no enunciado. Qual, dentre os elementos do conjunto a seguir, é esse número?

{ –8, –9, –10, –11, –12 }

e) Entre as sentenças matemáticas do item c, quais são verdadeiras quando a letra a é substi-tuída pelo número negativo que você descobriu?

f ) Dentre as sentenças matemáticas do item c desta atividade, quais são verdadeiras, quando a letra a é substituída pelo número positivo e também pelo número negativo que você descobriu? Escreva novamente essas expressões.


68

g) Considere as sentenças matemáticas (I) e (IV) do item c. Aplique a propriedade distribu-tiva, elimine os parênteses e verifique que essas sentenças são equivalentes entre si e que também são equivalentes à sentença (II).

VOCÊ APRENDEU?

5. Pense em um número e siga as instruções:

multiplique-o por 5;

adicione o resultado a 15;

divida o resultado anterior pelo número em que você pensou adicionado a 3.

O resultado final, vamos “adivinhar”, é igual a 5, certo? Descubra como conseguimos calcular esse número.


69

6. Pense em um número inteiro e positivo. Em seguida, faça o seguinte:

eleve-o ao quadrado;

multiplique o resultado por 2;

adicione o resultado anterior ao quádruplo do número em que você pensou;

divida o resultado anterior pelo dobro do número.

O resultado final, vamos “adivinhar”, é igual a 2 unidades a mais do que o número em que você pensou, certo? Isto é, se você pensou no número 5, o resultado final foi 7; se você pensou no número 3, o resultado final foi 5, e assim por diante. Descubra como conseguimos “adivinhá-lo”.

7. Pense em dois números naturais consecutivos. Em seguida:

eleve cada número ao quadrado;

subtraia o menor resultado do maior;

divida o resultado anterior pela soma dos números em que você pensou.

O resultado final, vamos “adivinhar”, deu 1, certo? Descubra como conseguimos acertar.


70

8. Leia a história em quadrinhos a seguir:

Lucia,

pense em um

número inteiro e

positivo.

8 3 ∙ 8 – 6 = 18

Divida o resultado

pela diferença entre o dobro

do número e 4.

18 ÷ (2 ∙ 8 – 4) = 18 ÷ 12

18 ÷ 12 = 1, 5.

Deu mesmo. Como é que

ele descobriu?

Aposto que o

resultado deu

1, 5; não deu?

Multiplique

por 3 e

subtraia 6.

Descubra como o rapaz acertou o resultado obtido por Lucia.

9. Encontre dois números cujo produto é 36 e a soma é 15.

© C

on

exão

Ed

itori

al

1

3

2

4


71

LIÇÃO DE CASA

10. Encontre dois números cujo produto é –27 e a soma é –6.

11. Encontre dois números cujo produto é 0 e a soma é 8.

VOCÊ APRENDEU?

12. Utilizando apenas o cálculo mental, descubra o valor do número x tal que:

a) elevado ao quadrado e depois adicionado a 5 resulta 21;


72

b) o dobro subtraído de 9 é igual a ele próprio subtraído de 1;

c) o dobro da adição entre x e 4 é igual a 0;

d) o produto de x pela soma de x com 1 é igual a 0.

13. Utilizando apenas o cálculo mental, descubra o valor do número x que torna verdadeira a igualdade em cada caso.

a) 3x – 4 = 20 d) 45(x + 5) = 0

b) x(x – 5) = 0 e) (x – 4)∙(x + 4) = 0

c) (x – 2)∙(x – 5) = 0 f ) (x – 1)∙(x – 3) = 0


73

14. Fatore e resolva as equações a seguir:

a) x2 + 16x = 0 e) x2 – 6x + 9 = 0

b) x2 – 25 = 0 f ) x2 + 12x + 36 = 0

c) x2 – 9 = 0 g) x2 – 4x + 3 = 0

d) 4x2 – 1 = 0 h) x2 – 7x + 10 = 0


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75


ARITMÉTICA E GEOMETRIA: EXPRESSÕES ALGÉBRICAS DE

ALGUMAS IDEIAS FUNDAMENTAIS


Como você representaria a soma dos n primeiros números naturais a partir do 1? Como você indicaria o valor de tal soma em termos de n? Como você representaria o número par de ordem n a partir de 2? E o número ímpar de ordem n a partir de 1? Como você indicaria, em termos de n, o valor da soma dos n primeiros números pares a partir de 2? E a soma dos n primeiros números ímpares? Como você representaria o número de diagonais de um polígono de n lados em termos de n?

Podemos responder a questões como essas representando um número natural genérico por n e expressando as propriedades e as operações por meio de fórmulas envolvendo n. Procedendo assim, podemos fazer uma ponte entre a Álgebra e a Aritmética. A Geometria também pode ser usada nesse diálogo entre Álgebra e Aritmética, como veremos a seguir.

Há uma história bastante conhecida segundo a qual Gauss, importante matemático que viveu entre os séculos XVIII e XIX, com cerca de dez anos de idade, teria efetuado o cálculo da soma dos 100 primeiros números naturais a partir de 1 (S

100 = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100)

em poucos segundos, ao perceber que a soma da primeira com a última parcela era igual à soma da segunda com a penúltima, que também era igual à soma da terceira com a antepenúltima, e assim por diante. Cada um desses pares de parcelas tem soma igual a 101.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... 50 + 51 ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

101

101

101

101

101

101

101


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Com base nessa descoberta, ele teria concluído que a soma das 100 parcelas seria igual a 50 ∙ 101, ou seja, S

100 = 5 050.

Podemos aproximar o raciocínio de Gauss da linguagem geométrica. Observe as for-mas triangulares indicadas a seguir. O total de bolinhas representadas em cada uma delas é a soma S

7 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

Se reunirmos as duas formas triangulares, obteremos a seguinte forma retangular:

A partir dessa forma retangular, observa-se que há 7 linhas, e que em cada linha há

8 bolinhas (1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5 = 4 + 4 = 5 + 3 = 6 + 2 = 7 + 1). Assim, podemos concluir

que o valor de S7 é igual à metade do produto 7 ∙ 8, ou seja, S

7 =

7 ·82

= 28.

Raciocinando de modo semelhante, seria possível mostrar que S13

= 13 .142

, que

S27

= 27 . 282

, e assim por diante. De modo que Sn =

2n . (n + 1) .


77

Raciocinando como Gauss e inspirado nas formas geométricas apresentadas anterior-mente, você é capaz de generalizar e indicar como calcularia a soma dos n primeiros números naturais a partir de 1?

Desafio!


78

VOCÊ APRENDEU?

1. Observando e analisando a representação dos primeiros números pares e ímpares por meio de bolinhas, responda às questões:

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8

a) Qual é o quinto número par a partir de 2?

b) Qual é o centésimo número par a partir de 2?

c) Qual é o sétimo número ímpar a partir de 1?


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d) Qual é o trigésimo número ímpar a partir de 1?

e) Represente o número par de ordem n a partir de 2.

f ) Represente o número ímpar de ordem n a partir de 1.

2. Observe os quadrados a seguir e a estratégia usada para calcular a soma dos primeiros números ímpares a partir de 1.

1 + 3 = 22 = 4 1 + 3 + 5 = 32 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 42 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 = 36


80

Com base na estratégia apresentada, calcule a soma dos 9 primeiros números ímpares.

3. Generalize uma fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros números ímpares a partir de 1.


81

4. Como foi visto na atividade anterior, a soma dos n primeiros números ímpares, a partir de 1, é igual a n2, ou seja, Si

n = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2.

a) Mostre que a soma dos n primeiros números pares a partir de 2 é igual a n2 + n.

b) Calcule a soma dos 2n primeiros números naturais S2n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (2n – 1) + (2n) e mostre que ela é igual à soma dos n primeiros números pares a partir de 2, com os n primeiros números ímpares a partir de 1, ou seja: S2n = Si

n + Spn.


82

c) Considere a soma dos seis primeiros números naturais a partir do que pode ser chamado de “soma sanfonada”: SS 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = n2 que, como podemos verificar, é igual a 62, ou seja, a 36.

Observe a figura a seguir e verifique que a “soma sanfonada” dos n primeiros números na-turais é igual a n2, ou seja:

SS n = 1 + 2 + 3 + ... + (n − 2)+ (n − 1)+ n + (n − 1) + (n − 2) + ... + 3 + 2 + 1 = n2

5. Considerando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, responda:

a) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um pentágono convexo?


83

b) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um octógono convexo?

c) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um quilógono convexo?


84

d) Como se expressa, em termos de n, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados?

VOCÊ APRENDEU?

6. Considerando que um triângulo não tem diagonais e que um quadrilátero convexo tem duas diagonais:

a) Quantas diagonais tem um pentágono convexo?


85

b) E um hexágono convexo?

c) E um polígono convexo de n lados?


86

7. Em uma sala existem 7 pessoas, dispostas ao longo de uma circunferência. Cada uma delas deve cumprimentar todas as outras com um aperto de mãos. Quantos apertos de mãos distintos serão realizados após todos os cumprimentos recíprocos?

8. Repita o cálculo da atividade anterior, supondo que na sala existam n pessoas. Expresse o resultado em termos de n.

CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERALNOVA EDIÇÃO 2014-2017

COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB

Coordenadora Maria Elizabete da Costa

Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva

Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel

Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escolaValéria Tarantello de Georgel

Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o

EQUIPES CURRICULARES

Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela.

Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira.

Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.

Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce.

Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes.

Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade

Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.

Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira.

Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.

História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez.

Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani.

PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO

Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.

Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero.

Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres.

Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro,

Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes.

Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves.

Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati.

Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi.

Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus.

Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal.

Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano.

História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas.

Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir.

Apoio:Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE

CTP, Impressão e acabamentoIBEP Grá ca

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri-dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98.

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Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira.

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas.

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari.

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers.

Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo.

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume.

Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume.

Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião.

Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie.

GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017

FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI

Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat

Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos

GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO

Direção da Área Guilherme Ary Plonski

Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza

Gestão Editorial Denise Blanes

Equipe de Produção

Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida.

Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios.

Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co .

CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS

COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira

CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória .

AUTORES

Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira.

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira.

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo.

LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González.

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos.

Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.

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