beer e johnston 9 ed vol 2 - portugues - colorido

Mecnica Vetorial para Engenheiros 9 Edio

BEEr | Johnston | CornwEll

DInMICA Com unidades no Sistema Internacional

B415m Beer, Ferdinand P. Mecnica vetorial para engenheiros [recurso eletrnico] : dinmica / Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., Phillip J. Cornwell ; traduo: Antnio Eustquio de Melo Pertence ; reviso tcnica: Antonio Pertence Jnior. 9. ed. Dados eletrnicos. Porto Alegre : AMGH, 2012.

Editado tambm como livro impresso em 2012. ISBN 978-85-8055-144-0

1. Engenharia mecnica. I. Johnston, E. Russell, Jr. II. Cornwell, Phillip J. III. Ttulo.

CDU 621

Catalogao na publicao: Ana Paula M. Magnus CRB 10/2052

TraduoAntnio Eustquio de Melo Pertence

Mestre e Doutor em Engenharia Metalrgica e de Minas pela UFMGProfessor do Departamento de Engenharia Mecnica da UFMG

Reviso TcnicaAntonio Pertence Jnior

Mestre em Engenharia Mecnica pela UFMGProfessor da Faculdade de Engenharia e Arquitetura (FEA) da Universidade FUMEC/MG

2012

FERDINAND P. BEEREx-professor da Lehigh University

E. RUSSELL JOHNSTON, JR.University of Connecticut

PHILLIP J. CORNWELLRose-Hulman Institute of Technology

Verso impressa desta obra: 2012

Mecnica Vetorialpara EngenheirosDINMICA Edio

Reservados todos os direitos de publicao, em lngua portuguesa, AMGH EDITORA LTDA., uma parceria entre GRUPO A EDUCAO S.A. e McGRAW-HILL EDUCATIONAv. Jernimo de Ornelas, 670 Santana90040-340 Porto Alegre RSFone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070

proibida a duplicao ou reproduo deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquerformas ou por quaisquer meios (eletrnico, mecnico, gravao, fotocpia, distribuio na Webe outros), sem permisso expressa da Editora.

Unidade So PauloAv. Embaixador Macedo Soares, 10.735 Pavilho 5 Cond. Espace CenterVila Anastcio 05095-035 So Paulo SPFone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333

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IMPRESSO NO BRASILPRINTED IN BRAZIL

Obra originalmente publicada sob o ttuloVector Mechanics for Engineers: Dynamics, 9th EditionISBN 007724961X /9780077249168

Copyright 2009, The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.Portuguese-language translation copyright 2012 AMGH Editora Ltda. All rights reserved.

Capa: Maurcio Pamplona (arte sobre capa original)

Foto de capa: John Peter Photography/Alamy

Leitura final: Grace Guimares Mosquera

Gerente editorial CESA: Arysinha Jacques Affonso

Editora snior: Viviane R. Nepomuceno

Assistente editorial: Kelly Rodrigues dos Santos

Projeto e editorao: Techbooks

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As pessoas se perguntam como Ferd Beer e Russ Johnston puderam es-crever em conjunto seus livros, uma vez que um estava em Lehigh e ou-tro na University of Connecticut.

A resposta para essa pergunta simples. A primeira nomeao como docente de Russ Johnston foi para o Departamento de Engenharia Civil e Mecnica na Lehigh University. L ele conheceu Ferd Beer, que j trabalhava no departamento h dois anos e era o coordenador dos cursos de mecnica.

Ferd ficou contente ao descobrir que o seu novo colega, contratado principalmente para ministrar cursos de ps-graduao de engenharia estrutural, no s se dispunha, mas tambm estava ansioso para ajud--lo a reestruturar os cursos de mecnica. Ambos acreditavam que esses cursos deveriam ser ensinados a partir de alguns princpios bsicos e que os conceitos envolvidos seriam melhor compreendidos e lembrados pe-los alunos se fossem apresentados de maneira grfica. Juntos, eles trans-creveram anotaes de aula em esttica e dinmica e, posteriormente, acrescentaram problemas motivadores para os futuros engenheiros. Logo produziram o original da primeira edio do Mechanics for Engineers, publicado em junho de 1956.

Na segunda edio de Mechanics for Engineers e na primeira edio de Vector Mechanics for Engineers, Russ Johnston j estava no Worcester Polytechnic Institute e, nas edies seguintes, na University of Connecti-cut. Enquanto isso, tanto Ferd como Russ assumiram responsabilidades administrativas em seus departamentos e se envolveram em pesquisa, consultoria e superviso de estudantes da ps-graduao: Ferd na rea de processos estocsticos e vibraes aleatrias e Russ na rea de estabilida-de elstica e anlise de projetos estruturais. No entanto, o interesse deles em aprimorar o ensino das disciplinas bsicas de mecnica no diminuiu, e ambos ministraram partes desses cursos, enquanto continuavam revi-sando seus textos, e comearam a escrever os originais da primeira edio do livro Mechanics of Materials.

Essa parceria durou mais de meio sculo e rendeu vrias revises bem-sucedidas de seus livros. As contribuies de Ferd e Russ para o ensino da engenharia lhes valeram uma srie de homenagens e prmios. Eles foram condecorados com o Western Electric Fund Award da Ame-rican Society for Engineering Education pela excelncia no ensino de es-tudantes de engenharia em suas respectivas regionais. Ambos receberam tambm o Distinguished Educator Award, concedido pela Mechanics Division da mesma sociedade. Desde 2001, o prmio New Mechanics Educator Award da Mechanics Division passou a ter este nome em ho-menagem aos autores Beer e Johnston.

Ferdinand P. Beer. Nascido na Frana e educado na Frana e na Sua, Mestre em Cincias pela Sorbonne e Doutor em Mecnica Terica pela University of Genebra. Radicou-se nos Estados Unidos aps servir ao exrcito francs no incio da Segunda Grande Guerra e lecionar duran-te quatro anos no Williams College, no programa conjunto da Williams--MIT em artes e engenharia. Aps trabalhar no Williams College, Ferd ingressou no corpo docente da Lehigh University, onde lecionou durante 37 anos. Ocupou vrios cargos, incluindo o de Professor Emrito da Uni-versidade e chefe do Departamento de Engenharia Mecnica. Em 1995, Ferd foi agraciado com o ttulo honorrio de Doutor em Engenharia pela Lehigh University.

SOBRE OS AUTORES

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vi Sobre os autores

E. Russell Johnston, Jr. Nascido na Filadlfia, Russ recebeu o ttulo de Bacharel em Engenharia Civil da University of Delaware e o ttu-lo de Doutor em Engenharia Estrutural do Massachusetts Institute of Technology. Lecionou na Lehigh University e no Worcester Polytechnic Institute antes de se juntar ao corpo docente da University of Connecti-cut, onde ocupou o cargo de chefe do Departamento de Engenharia Ci-vil e lecionou por 26 anos. Em 1991, Russ recebeu o prmio Outstanding Civil Engineer Award pela Connecticut Section da American Society of Civil Engineers.

Phillip J. Cornwell. Phil recebeu o ttulo de Bacharel em Engenharia Mecnica pela Texas Tech University e ttulo de Metre e Doutor em En-genharia Mecnica e Aeroespacial pela Princeton University. Atualmente professor de engenharia mecnica no Rose-Hulman Institute of Tech-nology, onde ensina desde 1989. Seus interesses atuais incluem dinmica estrutural, monitoramento da sade estrutural e ensino na graduao de engenharia. Phil passa seus veres trabalhando em Los Alamos Natio-nal Laboratory onde o conselheiro da Los Alamos Dynamics Summer School e faz pesquisa na rea de monitoramento da sade estrutural. Phil recebeu o prmio SAE Ralph R. Teetor Educational em 1992, o prmio Deans Outstanding Scholar em Rose-Hulman em 2000 e o prmio Board of Trustees Outstanding Scholar em Rose-Hulman em 2001.

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Objetivos

O principal objetivo de um primeiro curso de mecnica deve ser desen-volver no estudante de engenharia a capacidade de analisar qualquer problema de modo simples e lgico e aplicar sua soluo alguns poucos princpios bsicos bem conhecidos. Espera-se que este texto, assim como o volume anterior, Mecnica Vetorial para Engenheiros: Esttica, auxilie o professor a alcanar esse objetivo.

Abordagem geral

A anlise vetorial foi introduzida no incio do primeiro volume e usada na apresentao dos princpios bsicos de esttica, assim como para a reso-luo de muitos problemas, em particular de problemas tridimensionais. Analogamente, o conceito de diferenciao vetorial ser introduzido logo no incio deste volume, e a anlise vetorial ser usada ao longo de toda a apresentao dos conceitos de dinmica. Essa abordagem leva a dedues mais concisas dos princpios fundamentais da mecnica. Tambm torna possvel analisar muitos problemas de cinemtica e cintica que no pode-riam ser resolvidos por mtodos escalares. No entanto, a nfase do texto permanece sendo a compreenso correta dos princpios da mecnica e a sua aplicao soluo de problemas de engenharia, sendo a anlise veto-rial apresentada principalmente como uma ferramenta adequada.*

Aplicaes prticas so imediatamente apresentadas. Uma das caractersticas da abordagem adotada neste livro que a mecnica de partculas claramente separada da mecnica de corpos rgidos. Essa abordagem nos possibilita considerar aplicaes prticas e simples j em um estgio inicial e postergar a introduo de conceitos mais complexos. Por exemplo:

No volume de Esttica, a esttica de partculas foi tratada em pri-meiro lugar, e o princpio de equilbrio de uma partcula foi ime-diatamente aplicado a situaes prticas envolvendo apenas foras concorrentes. A esttica de corpos rgidos foi considerada mais tarde, na ocasio em que os produtos escalares e vetoriais de dois vetores foram introduzidos e usados para definir o momento de uma fora em relao a um ponto e em relao a um eixo.

No volume de Dinmica, a mesma diviso foi observada. Os conceitos bsicos de fora, massa e acelerao, de trabalho e energia e de impul-so e quantidade de movimento so introduzidos e aplicados em pri-meiro lugar a problemas que envolvem somente partculas. Assim, os estudantes podem se familiarizar com os trs mtodos bsicos usados em dinmica e aprender suas respectivas vantagens antes de se defron-tar com as dificuldades associadas ao movimento de corpos rgidos.

Novos conceitos so apresentados em termos simples. Consi-derando que este texto foi desenvolvido para um primeiro curso de di-nmica, os conceitos novos so apresentados em termos simples, e cada etapa explicada em detalhe. Por outro lado, ao discutir os aspectos mais

* Em um texto paralelo, em ingls, Mechanics for Engineers: Dynamics, 5a edio, o uso de lgebra vetorial fica limitado adio e subtrao de vetores, e o diferencial de um vetor omitido.

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amplos dos problemas considerados e ao acentuar os mtodos de aplica-o geral, atingiu-se uma maturidade definitiva de abordagem. Por exem-plo, o conceito de energia potencial discutido no contexto geral de fora conservativa. Alm disso, o estudo do movimento plano de corpos rgidos foi projetado para conduzir naturalmente ao estudo de seu movimento mais geral no espao. Isso verdadeiro tanto em cinemtica como em cintica, onde o princpio de equivalncia de foras efetivas e externas aplicado diretamente anlise do movimento plano, facilitando, assim, a transio para o estudo do movimento tridimensional.

Princpios fundamentais so apresentados no contexto de apli-caes simples. O fato de a mecnica ser essencialmente uma cin-cia dedutiva, baseada em poucos princpios fundamentais, acentuado. As derivaes so apresentadas em sua sequncia lgica e com todo o rigor permitido neste nvel. Entretanto, como o processo de aprendiza-gem amplamente indutivo, as aplicaes simples so consideradas em primeiro lugar. Por exemplo:

A cinemtica de partculas (Cap. 11) precede a cinemtica de corpos rgidos (Cap. 15).

Os princpios fundamentais da cintica de corpos rgidos so apli cados primeiro soluo de problemas bidimensionais (Caps. 16 e 17), que podem ser mais facilmente visualizados pelo estudante, enquanto os problemas tridimensionais so abordados somente no Cap. 18.

A apresentao dos princpios de cintica unificada. A nona edio de Mecnica Vetorial para Engenheiros manteve a apre-sentao unificada de cintica que caracterizou as oito edies ante-riores. Os conceitos de quantidade de movimento linear e angular so introduzidos no Cap. 12 de modo que a segunda lei de Newton do movimento possa ser apresentada no apenas em sua forma conven-cional F = ma, mas tambm como uma lei que relaciona, respecti-vamente, a soma das foras que agem sobre uma partcula e de seus momentos s taxas de variao da quantidade de movimento linear e angular da partcula. Isso torna possvel introduzir antecipadamente o princpio de conservao da quantidade de movimento angular e discutir de maneira mais significativa o movimento de uma partcula sujeita a uma fora central (Seo 12.9). Mais importante ainda, essa abordagem pode ser prontamente estendida ao estudo do movimento de um sistema de partculas (Cap. 14) e leva a um tratamento mais conciso e unificado da cintica de corpos rgidos bi e tridimensionais (Caps. de 16 a 18).

Diagramas de corpo livre so usados tanto para resolver pro-blemas de equilbrio como para expressar a equivalncia de sistemas de foras. Diagramas de corpo livre foram previamen-te introduzidos em esttica e sua importncia enfatizada ao longo de todo o livro. Eles foram usados no apenas para resolver problemas de equilbrio, mas tambm para expressar a equivalncia de dois sistemas de foras ou, de modo geral, de dois sistemas de vetores. A vantagem dessa abordagem torna-se aparente no estudo da dinmica de corpos r-gidos, onde usada para resolver tanto problemas tridimensionais como bidimensionais. Ao dar maior nfase s equaes baseadas no diagrama de corpo livre do que s equaes algbricas do movimento, poss-

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vel chegar a uma compreenso mais intuitiva e completa dos princpios fundamentais da dinmica. Essa abordagem, introduzida pela primeira vez em 1962 na primeira edio de Mecnica Vetorial para Engenheiros, tem hoje ampla aceitao entre os professores de mecnica deste pas. Por essa razo, ela usada preferencialmente ao mtodo do equilbrio dinmico e s equaes do movimento na apresentao de todos os pro-blemas resolvidos deste livro.

Sees opcionais oferecem tpicos avanados ou especializa-dos. Um grande nmero de sees opcionais foi includo nesta edio. Essas sees so indicadas por asteriscos, de modo a distingui-las facilmen-te daquelas que constituem o ncleo do curso bsico de dinmica. Elas podem ser omitidas sem prejuzo compreenso do restante do texto.

Os tpicos includos nas sees opcionais incluem mtodos grficos para a resoluo de problemas de movimento retilneo, a trajetria de uma partcula sujeita a uma fora central, a deflexo de correntes de flui-do, problemas que envolvem a propulso a jato e de foguetes, a cinem-tica e a cintica de corpos rgidos tridimensionais, vibraes mecnicas amortecidas e analogias eltricas. Esses tpicos sero considerados de particular interesse quando a dinmica for ensinada no curso bsico de engenharia.

O material apresentado no texto e a maioria dos problemas no re-querem conhecimento matemtico prvio alm de lgebra, trigonome-tria e clculo elementar, e os elementos de lgebra vetorial apresentados nos Caps. 2 e 3 do volume de esttica*. Entretanto, foram includos pro-blemas especiais que fazem uso de um conhecimento mais avanado de clculo e, certas sees, tais como as Sees 19.8 e 19.9 sobre vibraes amortecidas, somente devem ser ministradas se os estudantes tiverem embasamento matemtico apropriado. Nas partes do texto que empre-gam o clculo elementar, uma nfase maior dada compreenso e apli-cao corretas dos conceitos de diferenciao e integrao em relao manipulao rpida de frmulas matemticas. Nesse contexto, deve-se mencionar que a determinao dos centroides de reas compostas prece-de o clculo de centroides por integrao, tornando possvel, ento, esta-belecer firmemente o conceito de momento de rea antes de introduzir o uso do conceito de integrao.

Organizao dos captulos e aspectos didticos

Introduo do captulo. Cada captulo comea com uma seo in-trodutria estabelecendo o propsito e as metas do captulo e descreven-do em linguagem simples os tpicos a serem analisados e suas aplicaes soluo de problemas de engenharia. O novo sumrio, no incio dos ca-ptulos, fornece aos estudantes uma ideia prvia dos tpicos do captulo.

Lies do captulo. O corpo do texto dividido em unidades, cada qual constituda por uma ou vrias sees tericas, um ou vrios pro-blemas resolvidos e um grande nmero de problemas propostos. Cada unidade corresponde a um tpico bem definido e geralmente pode ser

* Para a convenincia do leitor, algumas definies e propriedades teis de lgebra vetorial foram resumidas no Apndice A, no final deste volume. Alm disso, as Sees de 9.11 a 9.18 do volume de Esttica, que tratam de momentos de inrcia de massas, foram repro-duzidas no Apndice B.

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coberta em uma aula. Em certos casos, porm, o professor poder con-siderar desejvel dedicar mais de uma aula a um dado tpico. Em ingls, o professor tem disposio o Instructors and Solutions Manual, que contm sugestes de apoio para cada lio.

Problemas resolvidos. Os problemas resolvidos so planejados, em grande parte, no mesmo formato que o estudante usar para resolver os problemas propostos. Logo, eles servem a um duplo propsito: ampliar o texto e demonstrar o tipo de trabalho claro e ordenado que os estudantes devem desenvolver em suas prprias solues.

Metodologia para a resoluo de problemas. Uma seo intitu-lada Metodologia para a Resoluo de Problemas est includa em cada seo, entre os problemas resolvidos e os problemas propostos. O ob-jetivo dessa seo ajudar os estudantes a organizarem mentalmente a teoria apresentada no texto e os mtodos de soluo dos problemas re-solvidos, de modo que possam ser mais bem-sucedidos na soluo dos problemas propostos. Tambm esto includas nessas sees sugestes especficas e estratgias que habilitaro o estudante a uma abordagem mais eficaz de qualquer problema proposto.

Conjuntos de exerccios propostos. A maioria dos problemas de natureza prtica, o que deve motivar os estudantes de engenharia. No entanto, eles foram concebidos, sobretudo, para ilustrar o material apre-sentado no livro e auxiliar os estudantes a compreenderem os princpios da mecnica. Os problemas esto agrupados de acordo com as partes do material que ilustram e esto dispostos em ordem crescente de dificul-dade. Os problemas que requerem ateno especial esto indicados por asteriscos. Para 70% dos problemas, as respostas so dadas no final do li-vro. Os problemas para os quais so dadas respostas esto numerados em fonte sem itlico no texto, enquanto aqueles que no trazem a resposta esto numerados em itlico.

Reviso e resumo. Cada captulo termina com uma reviso e um re-sumo do material analisado do prprio captulo. Notas de margem so usadas para ajudar os estudantes a organizar seu trabalho de reviso e referncias cruzadas foram includas para ajud-los a encontrar as partes do material que requerem sua ateno especial.

Problemas para reviso. Um conjunto de problemas de reviso est includo ao final de cada captulo. Esses problemas fornecem aos estu-dantes uma oportunidade adicional de aplicar os conceitos mais impor-tantes apresentados no captulo.

Problemas com utilizao do computador. Cada captulo inclui um conjunto de problemas concebidos para serem resolvidos com pro-gramas de computador. Muitos desses problemas so relevantes para o desenvolvimento de projetos. Por exemplo, eles podem envolver a deter-minao do movimento de uma partcula sob condies iniciais, a anlise cinemtica ou cintica de mecanismos em posies sucessivas ou a inte-grao numrica de vrias equaes de movimento. O desenvolvimento do algoritmo necessrio para resolver um dado problema de mecnica ajudar o estudante de duas maneiras: (1) ir ajud-lo a adquirir uma me-

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lhor compreenso dos princpios de mecnica envolvidos; (2) proporcio-nar uma oportunidade de aplicar seus conhecimentos de computao para a soluo de um problema significativo de engenharia.

Suplementos

Um extenso pacote de suplementos destinado aos professores est dis-ponvel no site www.grupoa.com.br, rea do professor (sob proteo de senha). L constam solues de exerccios (em ingls), lminas de Power Point (em portugus), entre outros materiais listados a seguir.

Instructors and Solutions Manual.* Em ingls, o professor tem disposio o Instructors and Solutions Manual, que apresenta a soluo de problemas propostos no formato um por pgina. Este manual tam-bm apresenta uma srie de tabelas destinadas a auxiliar os professores na criao de um cronograma de trabalhos para o seu curso. Os vrios t-picos abordados no texto esto listados na Tabela I, e um nmero sugeri-do de perodos a ser gasto em cada tpico indicado. A Tabela II fornece uma breve descrio de todos os grupos de problemas e uma classificao dos problemas em cada grupo de acordo com as unidades usadas. Crono-gramas de aulas so mostrados nas Tabelas III, IV e V, junto a vrias listas opcionais de exerccios para resolver.

Agradecimentos

Agradecemos especialmente a Amy Mazurek, do Williams Memorial Institute, que verificou cuidadosamente as solues e respostas de to-dos os problemas nesta edio e preparou as solues para o Instructors and solutions manual; Yohannes Ketema da Minnesota University; David Oglesby da Missouri-Rolla University; e Daniel W. Yannitell da Louisiana State University.

Reconhecemos de bom grado o trabalho de Dennis Ormond da Fine Line Illustrations, pelas habilidosas ilustraes que tanto contriburam para a eficcia do texto.

Os autores agradecem s vrias empresas que forneceram fotografias para esta edio. Tambm gostaramos de reconhecer os esforos e a pa-cincia de nossa pesquisadora de fotos, Sabina Dowell.

Os autores tambm so gratos equipe da McGraw-Hill pelo apoio e dedicao durante a preparao desta nova edio e especialmente pelas contribuies de Stenquist Bill, Lora Ncyens e Sheila Frank.

Finalmente, os autores agradecem os muitos comentrios e sugestes oferecidas pelos usurios das edies anteriores deste livro.

E. Russell Johnston, Jr.Phillip J. Cornwell

* N. de E. Os professores que adotam esta obra esto convidados a se cadastrar no site do Grupo A para conhecer os recursos de apoio disponveis.

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LISTA DE SMBOLOS

a, a Aceleraoa Constante; raio; distncia, semieixo maior da elipse

a, a Acelerao do centro de massa

aB/A Acelerao de B relativa a um referencial em translao com A aP/ Acelerao de P relativa a um referencial rotativo

aC Acelerao de Coriolis

A, B, C, . . . Reaes em apoios e conexesA , B, C , . . . Pontos

A reab Largura; distncia, semieixo menor da elipsec Constante; coeficiente de amortecimento viscosoC Centroide; centro instantneo de rotao; capacitnciad Distncia

en, et Vetor unitrio ao longo da normal e tangente

er , e Vetor unitrio na direo radial e transversale Coeficiente de restituio; base dos logaritmos naturaisE Energia mecnica total; voltagemf Funo escalarff Frequncia de vibrao foradafn Frequncia naturalF Fora; fora de atritog Acelerao da gravidadeG Centro de gravidade; centro de massa; constante gravitacionalh Quantidade de movimento angular por unidade de massa

HO Quantidade de movimento angular em relao ao ponto OHG Taxa de variao da quantidade de movimento angular HG com

relao a um referencial de orientao fixa( HG)Gxyz Taxa de variao da quantidade de movimento angular HG com

relao a um referencial rotativo Gxyzi, j, k Vetores unitrios ao longo dos eixos coordenados

i Corrente

I, Ix, ... Momentos de inrcia-I Momento de inrcia centroidal

Ixy , ... Produtos de inrciaJ Momento de inrcia polark Constante de mola

kx, ky, kO Raios de giraok Raio de girao em relao ao centroidel ComprimentoL Quantidade de movimento linearL Comprimento; indutncia

m Massam Massa por unidade de comprimentoM Binrio; momento

MO Momento em relao ao ponto O

MRO Momento resultante em relao ao ponto OM Intensidade do binrio ou momento; massa da Terra

MOL Momento em relao ao eixo OLn Direo normalN Componente normal da reaoO Origem das coordenadasP Fora; vetor

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xiv Lista de smbolos

P Taxa de variao do vetor P em relao a um referencial de

orientao fixaq Vazo em massa de um escoamento; carga eltricaQ Fora; vetorQ Taxa de variao do vetor Q em relao a um referencial de

orientao fixa( Q)Oxyz Taxa de variao do vetor Q em relao a um referencial Oxyz

r Vetor posio

rB/A Vetor posio de B em relao a Ar Raio; distncia; coordenada polarR Fora resultante; vetor resultante; reaoR Raio da Terra; resistncias Vetor posios Comprimento de arco; comprimento de cabot Tempo; espessura; direo tangencialT ForaT Trao; energia cinticau Velocidadeu VarivelU Trabalho

v, v Velocidadev, v Velocidade do centro de massa

vB/A Velocidade de B relativa a um referencial em translao com A

vP/ Velocidade de P relativa a um referencial rotativo

V Produto vetorialV Volume; energia potencialw Carga por unidade de comprimento

W, W Peso; cargax, y, z Coordenadas retangulares; distncias

x, y, z Derivadas temporais das coordenadas x, y, zx, y, z Coordenadas retangulares do centroide, do centro de gravidade

ou do centro de massa, Acelerao angular

, , ngulos Peso especfico Alongamento Excentricidade da seo cnica ou de rbita Vetor unitrio ao longo de uma linha Rendimento ou eficincia Coordenada angular; ngulo de Euler; ngulo; coordenada

polar. Coeficiente de atrito Massa especfica; raio de curvatura

Tempo peridico

n Perodo de vibrao livre ngulo de atrito; ngulo de Euler; ngulo de fase; ngulo Diferena de fase

ngulo de Euler

, Velocidade angularf Frequncia circular de vibrao foradan Frequncia circular natural Velocidade angular do referencial

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Brasil Portugal

Angular (de um sistema) Momento angular (de um sistema)ngulo de tiro ngulo de disparoBalanceamento EquilibragemBalanceamento de eixos rotativos Equilibragem de veios rotativosCentro do corporal RolanteCentro do espacial BaseComponentes retangulares Componentes cartesianasComponentes retangulares escalares Componentes rectangularesCone corporal Cone de corpoDeslizamento EscorregamentoEficincia global Rendimento globalEficincia (de uma mquina) Rendimento (de uma mquina)Eficincia mecnica Rendimento mecnicoEixo centroidal Eixo baricntricoEmpuxo Fora de propulsoEsteira transportadora ou rolante Transportadora de correiaFluxo permanente (de partculas) Fluxo estacionrio (de partculas)Freio TravoImpacto ChoqueImpacto central (de dois corpos) Choque central (de dois corpos)Impacto central direto Choque central directoImpacto central oblquo Choque central oblquoImpacto direto Choque directoImpacto oblquo Choque oblquoLinha de impacto Normal de choqueMomento linear Quantidade de movimentoMomentos centroidais de inrcia de massa Momentos de inrcia de massaMomentos centroidais principais de inrcia Momentos centrais de inrciaMovimento restrito Movimento restringidonibus AutocarroPino ArticulaoProduto vetorial Produto externoProduto escalar Produto internoProdutos centroidais de inrcia de massa Produtos de inrcia de massaQuantidade de movimento angular Momento angularQuantidade de movimento linear Quantidade de movimentoReferencial centroidal Referencial baricntricoRolamento Transportador rolanteRotao centroidal Rotao baricntricaRotao no-centroidal Rotao no-baricntricaSuporte ApoioTrabalho (potncia) produzido Trabalho (potncia) de sadaTrabalho (potncia) absorvido Trabalho (potncia) de entradaTrem CombioVnculo, conexo Ligao

EQUIVALNCIA DE TERMOS TCNICOS

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Sumrio resumido

A disciplina Mecnica vetorial para engenheiros composta de dois grandes temas, que por sua vez do nome a dois livros clssicos, publicados no Brasil pela Bookman Editora. Alm deste volume sobre dinmica, conhea tambm o esttica (ISBN 978-85-8055-047-7), que contm os 10 captulos iniciais sobre o tema da mecnica vetorial.

1 Introduo

2 Esttica de partculas

3 Corpos rgidos: sistemas equivalentes de foras

4 Equilbrio de corpos rgidos

5 Fora distribudas: centroides e centros de gravidade

6 Anlise de estruturas

7 Foras em vigas e cabos

8 Atrito

9 Foras distribudas: momento de inrcia

10 Mtodo de trabalho virtual

MECNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTTICA

Mecnica Vetorial para Engenheiros

9 Edio

BEER | JOHNSTON | MAZUREK | EISENBERG

ESTTICA Com unidades no Sistema Internacional

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SUMRIO

11 Cinemtica de partculas 605 11.1 Introduo dinmica 606

Movimento retilneo de partculas 607 11.2 Posio, velocidade e acelerao 607

11.3 Determinao do movimento de uma partcula 611

11.4 Movimento retilneo uniforme 620

11.5 Movimento retilneo uniformemente acelerado 621

11.6 Movimento de muitas partculas 622

*11.7 Soluo grfica de problemas de movimento retilneo 634

*11.8 Outros mtodos grficos 635

Movimento curvilneo de partculas 645 11.9 Vetor posio, velocidade e acelerao 645

11.10 Derivadas de funes vetoriais 647

11.11 Componentes retangulares de velocidade e acelerao 649

11.12 Movimento relativo a um sistema de referncia em translao 650

11.13 Componentes tangencial e normal 669

11.14 Componentes radial e transversal 672

Reviso e resumo 686Problemas de reviso 690Problemas para resolver no computador 692

12 Cinemtica de partculas: a segunda lei de Newton 695

12.1 Introduo 696

12.2 A segunda lei de Newton do movimento 697

12.3 Quantidade de movimento linear de uma partcula. Taxa de variao da quantidade de movimento linear 698

12.4 Sistemas de unidades 699

12.5 Equaes de movimento 700

12.6 Equilbrio dinmico 701

12.7 Quantidade de movimento angular de uma partcula. Taxa de variao da quantidade de movimento angular 725

12.8 Equaes do movimento em termos de componentes radial e transversal 726

12.9 Movimento sujeito a uma fora central. Conservao da quantidade de movimento angular 727

12.10 Lei de Newton da gravitao 728

Beer_Iniciais.indd xviiBeer_Iniciais.indd xvii 12/07/12 09:3512/07/12 09:35

xviii Sumrio

*12.11 Trajetria de uma partcula sob uma fora central 738

*12.12 Aplicao mecnica espacial 739

*12.13 Leis de Kepler do movimento planetrio 742


13 Cintica de partculas: mtodos de energia e quantidade de movimento 759

13.1 Introduo 760

13.2 Trabalho de uma fora 760

13.3 Energia cintica de uma partcula. Princpio de trabalho e energia 764

13.4 A aplicao do princpio de trabalho e energia 766

13.5 Potncia e eficincia 767

13.6 Energia potencial 786

*13.7 Foras conservativas 788

13.8 Conservao da energia 789

13.9 Movimento sob uma fora central conservativa. Aplicao mecnica espacial 791

13.10 Princpio de impulso e quantidade de movimento 810

13.11 Movimento impulsivo 813

13.12 Impacto 825

13.13 Impacto central direto 825

13.14 Impacto central oblquo 828

13.15 Problemas envolvendo energia e quantidade de movimento 831


14 Sistemas de partculas 859 14.1 Introduo 860

14.2 Aplicao das leis de Newton ao movimento de um sistema de partculas. Foras efetivas 860

Beer_Iniciais.indd xviiiBeer_Iniciais.indd xviii 12/07/12 09:3512/07/12 09:35

Sumrio xix

14.3 Quantidade de movimento linear e angular de um sistema de partculas 863

14.4 Movimento do centro de massa de um sistema de partculas 864

14.5 Quantidade de movimento angular de um sistema de partculas em relao ao seu centro de massa 866

14.6 Conservao da quantidade de movimento para um sistema de partculas 868

14.7 Energia cintica de um sistema de partculas 876

14.8 Princpio de trabalho e energia. Conservao de energia para um sistema de partculas 878

14.9 Princpio de impulso e quantidade de movimento para um sistema de partculas 878

*14.10 Sistemas variveis de partculas 889

*14.11 Fluxo permanente de partculas 889

*14.12 Sistemas que ganham ou perdem massa 892


15 Cinemtica de corpos rgidos 919 15.1 Introduo 920

15.2 Translao 922

15.3 Rotao em torno de um eixo fixo 923

15.4 Equaes definidoras da rotao de um corpo rgido em torno de um eixo fixo 926

15.5 Movimento plano geral 936

15.6 Velocidade absoluta e velocidade relativa no movimento plano 938

15.7 Centro instantneo de rotao no movimento plano 950

15.8 Acelerao absoluta e acelerao relativa no movimento plano 961

15.9 Anlise do movimento plano em termos de um parmetro 963

15.10 Taxa de variao de um vetor em relao a um sistema de referncia rotativo 975

15.11 Movimento plano de uma partcula em relao a um sistema de referncia rotativo. Acelerao de Coriolis 977

*15.12 Movimento em torno de um ponto fixo 988

*15.13 Movimento geral 991

Beer_Iniciais.indd xixBeer_Iniciais.indd xix 12/07/12 09:3512/07/12 09:35

xx Sumrio

*15.14 Movimento tridimensional de uma partcula em relao a um sistema de referncia rotativo. Acelerao de Coriolis 1002

*15.15 Sistema de referncia em movimento geral 1003


16 Movimento plano de corpos rgidos: foras e aceleraes 1029

16.1 Introduo 1030

16.2 Equaes de movimento para um corpo rgido 1031

16.3 Quantidade de movimento angular de um corpo rgido em movimento plano 1032

16.4 Movimento plano de um corpo rgido. Princpio de DAlembert 1033

*16.5 Um comentrio sobre os axiomas da mecnica de corpos rgidos 1034

16.6 Soluo de problemas envolvendo o movimento de um corpo rgido 1035

16.7 Sistemas de corpos rgidos 1036

16.8 Movimento plano com restries 1056


17 Movimento plano de corpos rgidos: mtodos de energia e quantidade de movimento 1085

17.1 Introduo 1086

17.2 Princpio de trabalho e energia para um corpo rgido 1086

17.3 Trabalho de foras que agem sobre um corpo rgido 1087

17.4 Energia cintica de um corpo rgido em movimento plano 1088


17.6 Conservao de energia 1090

17.7 Potncia 1091

17.8 Princpio de impulso e quantidade de movimento para o movimento plano de um corpo rgido 1107

Beer_Iniciais.indd xxBeer_Iniciais.indd xx 12/07/12 09:3512/07/12 09:35

Sumrio xxi


17.10 Conservao da quantidade de movimento angular 1110

17.11 Movimento impulsivo 1123

17.12 Impacto excntrico 1123


18 Cintica de corpos rgidos tridimensionais 1149

*18.1 Introduo 1150

*18.2 Quantidade de movimento angular de um corpo rgido tridimensional 1151

*18.3 Aplicao do princpio de impulso e quantidade de movimento ao movimento tridimensional de um corpo rgido 1155

*18.4 Energia cintica de um corpo rgido tridimensional 1156

*18.5 Movimento de um corpo rgido tridimensional 1169

*18.6 Equaes de Euler do movimento. Extenso do princpio de dAlembert ao movimento de um corpo rgido tridimensional 1170

*18.7 Movimento de um corpo rgido em torno de um ponto fixo 1171

*18.8 Rotao de um corpo rgido em torno de um ponto fixo 1172

*18.9 Movimento de um giroscpio. ngulos de Euler 1188

*18.10 Precesso em regime permanente de um giroscpio 1190

*18.11 Movimento de um corpo com simetria axial livre de foras 1191


19 Vibraes mecnicas 1217 19.1 Introduo 1218

Vibraes sem amortecimento 1218 19.2 Vibraes livres de partculas. Movimento harmnico

simples 1218

19.3 Pndulo simples (soluo aproximada) 1222

*19.4 Pndulo simples (soluo exata) 1223

19.5 Vibraes livres de corpos rgidos 1232

Beer_Iniciais.indd xxiBeer_Iniciais.indd xxi 12/07/12 09:3512/07/12 09:35

xxii Sumrio

19.6 Aplicao do princpio de conservao de energia 1244

19.7 Vibraes foradas 1254

Vibraes amortecidas 1264 *19.8 Vibraes livres amortecidas 1264

*19.9 Vibraes foradas amortecidas 1267

*19.10 Anlogos eltricos 1268


Apndice A: Algumas definies teis e propriedades de lgebra vetorial 1293

Apndice B: Momentos de inrcia de massas 1299

Crdito das fotos 1337

Respostas 1339

ndice 1351

Beer_Iniciais.indd xxiiBeer_Iniciais.indd xxii 12/07/12 09:3512/07/12 09:35

Mecnica Vetorialpara Engenheiros:

Dinmica

Beer_Dinamica_11.indd 603Beer_Dinamica_11.indd 603 23/07/12 17:2423/07/12 17:24

O movimento do nibus espacial

pode ser descrito por sua posio,

velocidade e acelerao. Quando

aterrissa, o piloto do nibus

espacial precisa considerar a

velocidade do vento e o movimento

relativo do nibus espacial com

relao ao vento. O estudo do

movimento conhecido como

cinemtica, o assunto deste

captulo.


Cinemtica de partculas

C A P T U L O


606 Mecnica vetorial para engenheiros: dinmica

11.1 Introduo dinmica

Os Caps. de 1 a 10 foram dedicados esttica, ou seja, anlise de corpos em repouso. Agora, iniciaremos o estudo da dinmica, a parte da mecni-ca que trata da anlise de corpos em movimento.

Enquanto o estudo da esttica remonta poca dos filsofos gre-gos, a primeira contribuio significativa dinmica foi feita por Galileu (1564-1642). Os experimentos de Galileu sobre corpos uniformemente acelerados levaram Newton (1642-1727) a formular suas leis fundamen-tais do movimento.

A dinmica inclui:

1. A cinemtica, que o estudo da geometria do movimento, usada para relacionar deslocamento, velocidade, acelerao e tempo, sem refe-rncia s causas do movimento.

2. A cintica, que o estudo da relao existente entre as foras que atuam sobre um corpo, a massa do corpo e seu movimento. A cintica usada para prever o movimento causado por foras conhecidas ou para determinar as foras necessrias para produzir um dado movimento.

Os Caps. de 11 a 14 so dedicados dinmica de partculas; no Cap. 11, a cinemtica de partculas ser considerada. O uso da palavra partcula no significa que nosso estudo estar limitado a corpsculos; mais propriamente, ele indica que nesses primeiros captulos o movi-mento de corpos possivelmente to grandes quanto automveis, fo-guetes ou avies sero considerados, sem levar em conta o tamanho desses corpos. Ao afirmar que os corpos so analisados como partcu-las, queremos dizer que apenas seu movimento, como um todo, ser considerado; qualquer rotao em torno do seu centro de massa ser desprezada. H casos, entretanto, em que tal rotao no desprezvel; os corpos, ento, no podero ser considerados como partculas. Tais movimentos sero analisados em captulos posteriores, que tratam da dinmica de corpos rgidos.

Na primeira parte do Cap. 11, o movimento retilneo de uma partcu-la ser analisado; ou seja, a posio, velocidade e acelerao de uma part-cula sero determinadas a cada instante medida que ela se move ao lon-go de uma linha reta. Primeiro, mtodos gerais de anlise sero usados para estudar o movimento de uma partcula; em seguida, dois casos par-ticulares importantes sero considerados, a saber, o movimento unifor-me e o movimento uniformemente acelerado de uma partcula (Sees 11.4 e 11.5). Na Seo 11.6, o movimento simultneo de vrias partculas ser estudado e o conceito de movimento relativo de uma partcula em relao a outra ser introduzido. A primeira parte deste captulo termina com um estudo de mtodos grficos de anlise e de sua aplicao para a soluo de vrios problemas que envolvem o movimento retilneo de partculas (Sees 11.7 e 11.8).

Na segunda parte do captulo, ser analisado o movimento de uma partcula medida que ela se move ao longo de uma trajetria curva. Como a posio, a velocidade e a acelerao de uma partcula sero definidas como grandezas vetoriais, o conceito de derivada de uma funo vetorial ser introduzido na Seo 11.10 e adicionado s nossas

Cinemtica de partculas

11.1 Introduo dinmica 11.2 Posio, velocidade e

acelerao 11.3 Determinao do movimento

de uma partcula 11.4 Movimento retilneo uniforme 11.5 Movimento retilneo

uniformemente acelerado 11.6 Movimento de muitas

partculas 11.7 Soluo grfica de

problemas de movimento retilneo

11.8 Outros mtodos grficos 11.9 Vetor posio, velocidade e

acelerao 11.10 Derivadas de funes

vetoriais 11.11 Componentes retangulares

de velocidade e acelerao 11.12 Movimento relativo a um

sistema de referncia em translao

11.13 Componentes tangencial e normal

11.14 Componentes radial e transversal

1111


Captulo 11 Cinemtica de partculas 607

ferramentas matemticas. As aplicaes em que o movimento de uma partcula definido pelos componentes retangulares de sua velocidade e acelerao sero ento consideradas; nesse momento, o movimento de um projtil ser estudado (Seo 11.11). Na Seo 11.12, ser con-siderado o movimento de uma partcula relativamente a um sistema de referncia em translao. Finalmente, o movimento curvilneo de uma partcula ser analisado em termos de outros componentes que no os retangulares. Os componentes tangencial e normal da velocidade e da acelerao de uma partcula sero introduzidos na Seo 11.13, e os componentes radial e transversal de sua velocidade e acelerao na Seo 11.14.

MOVIMENTO RETILNEO DE PARTCULAS

11.2 Posio, velocidade e acelerao

Diz-se que uma partcula que se desloca ao longo de uma linha reta est em movimento retilneo. Em qualquer instante dado t, essa partcula vai ocupar uma certa posio sobre a linha reta. Para definir a posio P da partcula, escolhemos uma origem fixa O na linha reta e um sentido po-sitivo ao longo da reta. Medimos a distncia x de O a P e a anotamos com um sinal positivo ou negativo, de acordo com o fato de P ter sido alcana-do a partir de O movendo-se no sentido positivo ou no negativo ao longo da linha. A distncia x, com o sinal adequado, define completamente a posio da partcula; ela chamada de coordenada de posio da partcu-la considerada. Por exemplo, a coordenada de posio correspondente a P na Fig. 11.1a x 5 m; e a coordenada correspondente a P na Fig. 11.1b x 2 m.

Quando a coordenada de posio x de uma partcula conhecida para qualquer valor do tempo t, dizemos que o movimento da partcula conhecido. A tabela horria do movimento pode ser dada sob a forma de uma equao em x e t, tal como x 6t2 t3, ou na forma de um gr-fico de x em funo de t, como mostrado na Fig. 11.6. A unidade usada mais frequentemente para medir a coordenada de posio x o metro (m), no sistema SI de unidades*. O tempo t normalmente medido em segundos (s).

Considere a posio P ocupada pela partcula no instante t e a coor-denada correspondente x (Fig. 11.2). Considere, tambm, a posio P ocupada pela partcula em um instante posterior t t; a coordenada de posio P pode ser obtida somando-se coordenada x de P o pequeno deslocamento x, que ser positivo ou negativo de acordo com o fato de P estar direita ou esquerda de P. A velocidade mdia da partcula no intervalo de tempo t definida como o quociente do deslocamento x pelo intervalo de tempo t:

Velocidade mdia

* Conforme a Seo 1.3.

O

O

P

x

x

(a)

(b)1 m

P'

x'

x

1 m

Figura 11.1

O

Px

x(t) (t + t)

Px

Figura 11.2

Foto 11.1 O movimento do carro solar pode ser descrito por sua posio, velocidade e acelerao.



Se unidades do SI forem utilizadas, x expresso em metros e t em se-gundos; a velocidade mdia ser ento expressa em metros por segundo (m/s).

A velocidade instantnea v da partcula no instante t obtida a partir da velocidade mdia, escolhendo-se intervalos de tempo t e desloca-mentos x cada vez menores:

A velocidade instantnea tambm ser expressa em m/s. Observando que o limite do quociente igual, por definio, derivada de x em relao a t, escrevemos

(11.1)

A velocidade v representada por um nmero algbrico que pode ser positivo ou negativo*. Um valor positivo de v indica que x aumenta, ou seja, que a partcula se move no sentido positivo (Fig. 11.3a); um valor negativo de v indica que x diminui, ou seja, que a partcula se move no sentido negativo (Fig. 11.3b). A intensidade de v conhecida como a velocidade escalar da partcula.

Considere a velocidade v da partcula no instante t e tambm sua velocidade v v em um instante posterior t t (Fig. 11.4). A ace-lerao mdia da partcula no intervalo de tempo t definida como o quociente de v por t:

Se unidades do SI forem utilizadas, v expresso em m/s e t em segun-dos; a acelerao mdia ser ento expressa em m/s2.

A acelerao instantnea a da partcula no instante t obtida a par-tir da acelerao mdia escolhendo-se valores cada vez menores para t e v.

A acelerao instantnea tambm ser expressa em m/s2. O limite do quociente, que , por definio, a derivada de v em relao a t, mede a taxa de variao da velocidade. Escrevemos

* Como voc ver na Seo 11.9, a velocidade realmente uma quantidade vetorial. En-tretanto, como estamos considerando aqui o movimento retilneo de uma partcula, onde a velocidade da partcula tem uma direo conhecida e fixa, somente precisamos especificar o sentido e a intensidade da velocidade; isto pode ser feito convenientemente usando-se uma quantidade escalar com um sinal positivo ou negativo. O mesmo verdadeiro para a acelerao de uma partcula em movimento retilneo.

(a)

(b)

P

P

x

x

v 0

v 0

Figura 11.3

(t) (t + t)

v + vPP

x

v

Figura 11.4



(11.2)

ou, substituindo por v de (11.1)

(11.3)

A acelerao a representada por um nmero algbrico que pode ser positivo ou negativo*. Um valor positivo para a indica que a velocidade (ou seja, o nmero algbrico v) aumenta. Isso pode significar que a part-cula est se movendo mais rapidamente no sentido positivo (Fig. 11.5a), ou que ela est se deslocando mais lentamente no sentido negativo (Fig. 11.5b); em ambos os casos, v positivo. Um valor negativo de a indica que a velocidade est diminuindo; ou a partcula est se deslocando mais lentamente no sentido positivo (Fig. 11.5c), ou ela est se movendo mais rapidamente no sentido negativo (Fig. 11.5d).

v

Px

P

v

a 0(a)

x

v

PP

v

a 0(b)

x

v

P P

v

a 0(c)

x

v

PP

v

a 0

(d)

Figura 11.5

O termo desacelerao , s vezes, usado para se referir a a quando a velocidade escalar da partcula (isto , a intensidade de v) est diminuin-do; a partcula est, ento, se deslocando mais lentamente. Por exemplo, a partcula da Fig. 11.5 est desacelerada nas partes b e c; e ela est real-mente acelerada (ou seja, se move mais rapidamente) nas partes a e d.

Uma outra expresso para a acelerao pode ser obtida eliminando-se o diferencial dt nas Eqs. (11.1) e (11.2). Resolvendo (11.1) para dt, obte-mos dt dx/v; substituindo em (11.2), escrevemos

(11.4)

* Veja a nota de rodap da pgina 608.



EXEMPLO Considere uma partcula movendo-se em uma linha reta e assuma que sua posio definida pela equao

onde t expresso em segundos e x em metros. A velocidade v em qualquer ins-tante t obtida derivando-se x em relao a t:

A acelerao a obtida derivando-se novamente em relao a t

A coordenada de posio, a velocidade e a acelerao foram representadas em um grfico em funo de t na Fig. 11.6. As curvas obtidas so conhecidas como curvas de movimento. Tenha em mente, entretanto, que a partcula no se movimenta ao longo de nenhuma dessas curvas; a partcula se movimenta em uma linha reta. Como a derivada de uma funo mede a inclinao da curva correspondente, a inclinao da curva x-t, para qualquer instante dado, igual ao valor de v naquele instante, e a inclinao da curva v-t igual ao valor de a. Como a 0 quando t 2 s, a inclinao da curva v-t deve ser igual a zero para t 2 s; a velocidade alcana um mximo nesse instante. Alm disso, como v 0 em t 0 e em t 4 s, a tangente curva x-t deve ser horizontal para esses valores de t.

Um estudo das trs curvas de movimento da Fig. 11.6 mostra que o movi-mento da partcula de t 0 at t pode ser dividido em quatro fases:

1. A partcula parte da origem, x 0, sem velocidade, mas com uma ace-lerao positiva. Sob essa acelerao, a partcula adquire uma velocidade positiva e se move no sentido positivo. De t 0 a t 2 s, x, v e a so todos positivos.

2. Em t 2 s, a acelerao igual a zero; a velocidade atingiu seu valor mxi-mo. De t 2 s a t 4 s, v positivo, mas a negativo; a partcula ainda se movimenta no sentido positivo, mas cada vez mais lentamente; a partcula est se desacelerando.

3. Em t 4 s, a velocidade igual a zero; a coordenada dc posio x alcanou seu valor mximo. A partir de ento, tanto v como a so negativos; a partcula est se acelerando e se move no sentido negativo com velocidade cada vez maior.

4. Em t 6 s, a partcula passa pela origem; sua coordenada x ento igual a zero, enquanto a distncia total percorrida desde o incio do movimento de 64 m. Para valores de t maiores que 6 s, x, v e a sero todos negativos. A partcula continua se movendo no sentido negativo, afastando-se de O, cada vez mais rapidamente.

x (m)

v (m/s)

t (s)

t (s)

t (s)

32

24

16

8

0

12

2

2

4

4

6

6

0

12

a (m/s2)

12

0

24

12

24

36

2 4 6

Figura 11.6



11.3 Determinao do movimento de uma partcula

Vimos na seo anterior que o movimento de uma partcula tido como conhecido se a posio dessa partcula for conhecida para cada valor do tempo t. Na prtica, entretanto, um movimento raramente definido por uma relao entre x e t. Mais frequentemente, as condies do movi-mento sero especificadas pelo tipo de acelerao que a partcula possui. Por exemplo, um corpo em queda livre ter uma acelerao constante, dirigida para baixo e igual a 9,81 m/s2; uma massa presa a uma mola que foi estirada ter uma acelerao proporcional ao alongamento instant-neo da mola medido em relao posio de equilbrio; etc. Em geral, a acelerao da partcula pode ser expressa como uma funo de uma ou mais das variveis x, v e t. Para determinar a coordenada de posio x em termos de t, ser ento necessrio efetuar duas integraes sucessivas.

Vamos considerar trs classes comuns de movimento:

1. a f(t). A acelerao uma dada funo de t. Resolvendo (11.2) para dv e substituindo a por f(t), escrevemos

dv a dtdv f(t) dt

Integrando os membros, obtemos a equao

que define v em funo de t. Deve-se notar, entretanto, que uma constante arbitrria ser introduzida como um resultado da integra-o. Isto devido ao fato de que existem muitos movimentos que correspondem acelerao dada a f(t). Para definir de forma un-voca o movimento da partcula, necessrio especificar as condies iniciais do movimento, isto , o valor v0 da velocidade e o valor x0 da coordenada de posio em t 0. Substituindo as integrais indefini-das por integrais definidas com os limites inferiores correspondentes s condies iniciais t 0 e v v0 e com os limites superiores corres-pondentes a t t e v v, escrevemos

que fornece v em termos de t.A Eq. (11.1) pode agora ser resolvida para dx,

dx v dt

e a expresso obtida anteriormente substituda para v. Ambos os mem-bros so, ento, integrados: o membro do lado esquerdo em relao a x,



de x x0 at x x, e o membro do lado direito em relao a t, de t 0 at t t. A coordenada de posio x , ento, obtida em termos de t; o movimento est completamente determinado.

Dois casos particulares importantes sero estudados com mais detalhes nas Sees 11.4 e 11.5: o caso quando a 0, corresponden-te a um movimento uniforme, e o caso quando a constante, corres-pondente ao movimento uniformemente acelerado.

2. a f(x). A acelerao uma dada funo de x. Reordenando a Eq. (11.4) e substituindo a por f(x), escrevemos:

Como cada membro contm somente uma varivel, podemos inte-grar a equao. Representando novamente por v0 e x0, respectiva-mente, os valores iniciais da velocidade e da coordenada de posio, obtemos

que fornece v em termos de x. Agora resolvemos (11.1) para dt,

e substitumos para v a expresso obtida anteriormente. Ambos os membros podem ser integrados para obter a relao desejada entre x e t. Entretanto, na maioria dos casos esta ltima integrao no pode ser realizada analiticamente e devemos recorrer a um mtodo num-rico de integrao.

3. a f(v). A acelerao uma dada funo de v. Podemos agora subs-tituir a por f(v) em (11.2) ou (11.4) para obter uma das seguintes relaes:

A integrao da primeira equao fornecer uma relao entre v e t; a integrao da segunda equao fornecer uma relao entre v e x. Qualquer uma dessas relaes pode ser usada em conjunto com a Eq. (11.1) para obter a relao entre x e t que caracteriza o movimento da partcula.


PROBLEMA RESOLVIDO 11.1

A posio de uma partcula que se desloca ao longo de uma linha reta definida pela relao x t3 6t2 15t 40, onde x expresso em metros e t em segundos. Determine (a) o instante em que a velocidade ser zero, (b) a posio e a distncia percorrida pela partcula nesse instante, (c) a acel-erao da partcula nesse instante e (d) a distncia percorrida pela partcula de t 4 s a t 6 s.

x (m)

v (m/s)

t (s)

t (s)

t (s)

18

0

0

0

a (m/s2)

12

60

+5

+5

+2 +5

SOLUO

As equaes do movimento so:

x t3 6t2 15t 40 (1)

(2)

(3)

a. Instante em que v 0. Fazemos v 0 em (2):

3t2 12t 15 0 t 1 s t 5 s

Somente a raiz t 5 s corresponde a um instante aps o movimento ter--se iniciado: para t < 5 s, v < 0, a partcula se move no sentido negativo; para t > 5 s, v > 0, a partcula se desloca no sentido positivo.b. Posio e distncia percorrida quando v 0. Levando t 5 s em (1), temos

x5 (5)3 6(5)2 15(5) 40 x5 60m

A posio inicial para t 0 era x0 40 m. Como v 0 durante o intervalo de t 0 a t 5 s, temos

Distncia percorrida x5 x0 60 m 40 m 100 m

Distncia percorrida 100 m no sentido negativo

c. Acelerao quando v 0. Substitumos t 5 s em (3):

a5 6(5) 12 a5 18 m/s2

d. Distncia percorrida de t 4 s a t 6 s. A partcula se desloca no sentido negativo de t 4 s para t 5 s e no sentido positivo de t 5 s para t 6 s; portanto, a distncia percorrida durante cada um desses inter-valos de tempo ser calculada separadamente.

De t 4 s a t 5 s: x5 60 m

x4 (4)3 6(4)2 15(4) 40 52 m

Distncia percorrida x5 x4 60 m ( 52 m) 8m

8 m no sentido negativo

De t 5 s a t 6 s: x5 60 m

x6 (6)3 6(6)2 15(6) 40 50 m

Distncia percorrida x6 x5 50 m ( 60 m) 10 m

10 m no sentido positivoA distncia total percorrida de t 4 s a t 6 s 8 m 10 m 18 m



Uma bola arremessada a uma velocidade de 10 m/s, dirigida ver-ticalmente para cima, de uma janela de um prdio localizada a 20 m acima do solo. Sabendo que a acelerao da bola constante e igual a 9,81 m/s2 para baixo, determine (a) a velocidade v e a elevao y da bola acima do solo, para qualquer instante t, (b) a elevao mxima atingida pela bola e o correspondente valor de t e (c) o instante em que a bola atingir o solo e a velocidade correspondente. Desenhe as curvas v-t e y-t.

y

O

a = 9,81 m/s2

v0 = +10 m/s

y0 = +20 m

v (m /s)

t (s)

y (m)

3,28

3,28

22,2

25,1

1,019

1,019

Curva velocidade-tempo

Curva posio-tempo

10

20

0

0

t (s)

Inclinao = a 9,81 m/s 2

Incli

na

o =

v 0 =

10

m/s

Inclinao= v 22,2 m

/s

SOLUO

a. Velocidade e elevao. O eixo y para medir a coordenada de posi-o (ou elevao) escolhido com sua origem O no solo e seu sentido po-sitivo para cima. O valor da acelerao e os valores iniciais de v e y so os indicados na figura. Substituindo a em a dv/dt e notando que em t 0, v0 10 m/s, temos

v 10 9,81t (1)

Substituindo para v em v dy/dt e notando que para t 0, y0 20 m, temos

y 20 10t 4,905t2 (2)

b. Elevao mxima. Quando a bola atinge sua elevao mxima, te-mos v 0. Substituindo em (1), obtemos

t 1,019 s

Levando t 1,019 s em (2), temos

y 25,1 m

c. A bola atinge o solo. Quando a bola atinge o solo, temos y 0. Substituindo em (2), obtemos

e t 3,28 s

Somente a raiz t 3,28 s corresponde a um instante posterior ao incio do movimento. Levando este valor de t para (1), temos

v 22,2 m/s g


Pisto

leo


O mecanismo de freio usado para reduzir o recuo em certos tipos de armas con-siste essencialmente em um pisto preso ao cano e que se move em um cilindro fixo, cheio de leo. Quando o cano recua com uma velocidade inicial v0, o pisto se movimenta e o leo forado atravs de orifcios em seu interior, causando uma desacelerao do pisto e do cano a uma taxa proporcional velocidade de ambos; isto , a kv. Expresse (a) v em termos de t, (b) x em termos de t e (c) v em termos de x. Desenhe as curvas de movimento correspondentes.

v

O t

x

O t

v0

v0k

v

O x

v0

v0k

SOLUO

a. v em termos de t. Substituindo a por kv na frmula fundamental que define a acelerao, a dv/dt, escrevemos

v v0ekt

b. x em termos de t. Substituindo a relao obtida anteriormente para v em v dx/dt, escrevemos

c. v em termos de x. Substituindo a por kv em a v dv/dx, escrevemos

v v0 kx

Verificao. A parte c poderia ter sido resolvida eliminando-se t das res-postas obtidas para as partes a e b. Esse mtodo alternativo pode ser usado como uma verificao. Da parte a obtemos ekt v/v0; substituindo-a na resposta da parte b, obtemos

(confere)


Nos problemas desta seo, voc ser solicitado a determinar a posio, a velocidade, ou a acelerao de uma partcula em movimento retilneo. medida que l cada problema, importante que voc identifique a varivel independente (tipicamente t ou x) e tambm o que pedido (por exemplo, a necessidade de expressar v como funo de x). Pode ser til comear cada problema escrevendo a informao dada e um enunciado simples do que deve ser determinado.

1. Determinando v(t) e a(t) para um dado x(t). Como explicado na Seo 11.2, a primeira e a segunda derivadas de x em relao a t so respectivamente iguais velocidade e acelerao da partcula [Eqs. (11.1) e (11.2)]. Se a velocidade e a acelerao tiverem sinais opostos, a part-cula poder parar e, ento, mover no sentido oposto [Problema Resolvido 11.1], Portanto, quando estiver calculando a distncia total percorrida por uma partcula, voc deve primeiro determinar se ela vai parar durante o intervalo de tempo especificado. Construir um diagrama similar ao do Problema Resolvido 11.1, que mostra a posio e a velocidade da partcula em cada instante cru-cial (v vmx, v 0 etc.), vai ajud-lo a visualizar o movimento.

2. Determinando v(t) e x(t) para um dado a(t). A soluo de problemas desse tipo foi dis-cutida na primeira parte da Seo 11.3. Usamos as condies iniciais, t 0 e v v0, para os limites inferiores das integrais em t e v, mas qualquer outra condio conhecida (por exemplo, t t1, v v1) poderia ter sido usada. Alm disso, se a funo dada a(t) contm uma constante desconhe-cida (por exemplo, a constante k, se a kt), voc vai ter que determinar primeiro essa constante, substituindo um conjunto de valores conhecidos de t e a na equao que define a(t).

3. Determinando v(x) e x(t) para um dado a(x). Esse o segundo caso considerado na Seo 11.3. Notamos novamente que os limites inferiores de integrao podem ser quaisquer con-dies conhecidas (por exemplo, x x1, v v1). Alm disso, como v vmx quando a 0, as posi-es em que os valores mximos da velocidade ocorrem so facilmente determinadas escrevendo--se a(x) 0 e resolvendo para x.

4. Determinando v(x), v(t) e x(t) para um dado a(v). Esse o ltimo caso tratado na Se-o 11.3; as tcnicas apropriadas de soluo para problemas desse tipo esto ilustradas no Proble-ma Resolvido 11.3. Todos os comentrios gerais para os casos anteriores aplicam-se aqui mais uma vez. Note que o Problema Resolvido 11.3 fornece um sumrio de como e quando usar as equaes v dx/dt, a dv/dt e a v dv/dx.

METODOLOGIA PARA A RESOLUO DE PROBLEMAS


PROBLEMAS 11.1 O movimento de uma partcula definido pela relao

x 1,5t4 30t2 5t 10, onde x e t so expressos em metros e se-gundos, respectivamente. Determine a posio, a velocidade e a ace-lerao da partcula quando t 4 s.

11.2 O movimento de uma partcula definido pela relao x 12t3 18t2 2t 5, onde x e t so expressos em metros e segundos, respectiva-mente. Determine a posio e a velocidade quando a acelerao for igual a zero.

11.3 O movimento de uma partcula definido pela relao x t3 t2 30t 8x, onde x e t so expressos em metros e segun-dos, respectivamente. Determine o tempo, a posio e a acelerao quando v 0.

11.4 O movimento de uma partcula definido pela relao x 6t3 8 40 cos t, onde x e t so expressos em milmetros e segundos, respecti-vamente. Determine a posio, a velocidade e a acelerao quando t 6 s.

11.5 O movimento de uma partcula definido pela relao x 6t4 2t3 12t2 3t 3, onde x e t so expressos em metros e segundos, respectivamente. Determine o tempo, a posio e a veloci-dade quando a 0.

11.6 O movimento de uma partcula definido pela relao x 2t3 15t2 24t 4, onde x e t so expressos em metros e segundos, respectivamen-te. Determine (a) quando a velocidade zero, (b) a posio e a distncia total percorrida quando a acelerao zero.

11.7 O movimento de uma partcula definido pela relao x t3 6t2 36t 40, onde x e t so expressos em metros e segundos, respectivamente. Determine (a) quando a velocidade zero, (b) a velocidade, a acelerao e a distncia total percorrida quando x 0.

11.8 O movimento de uma partcula definido pela relao x t3 9t2 24t 8, onde x e t so expressos em milmetros e segundos, respectivamente. Determine (a) quando a velocidade zero, (b) a posio e a distncia total percorrida quando a acelerao zero.

11.9 A acelerao de uma partcula definida pela relao a 8 m/s2. Sabendo que x 20 m quando t 4 s e x 4 m quando v 16 m/s, determine (a) o tempo quando a velocidade zero, (b) a velocidade e a distncia total percorrida quando t 11 s.

11.10 A acelerao de uma partcula diretamente proporcional ao qua-drado do tempo t. Quando t 0, a partcula est em x 24 m. Sabendo que em t 6 s, x 96 m e v 18 m/s, expresse x e v em termos de t.

* As respostas para todos os problemas escritos em fonte normal (tal como 11.1) so dadas no final do livro. Respostas a problemas cujo nmero escrito em itlico (tal como 11.7) no so dadas.

*



11.11 A acelerao de uma partcula diretamente proporcional ao tempo t. Quando t 0, a velocidade da partcula v 16 m/s. Sabendo que v 15 m/s e x 20 m quando t 1 s, determine a velocidade, a posio e a distncia total percorrida quando t 7 s.

11.12 A acelerao de uma partcula definida pela relao a kt2. (a) Sa-bendo que v 32 m/s quando t 0 e v 32 m/s quando t 4 s, determine a constante k. (b) Escrever a equao do movimento, sa-bendo tambm que x 0 quando t 4 s.

11.13 A acelerao do ponto definida pela relao a A 6t2, onde A uma constante. Quando t 0, a partcula inicia em x 8 m com v 0. Sabendo que para t 1 s, v 30 m/s, determine (a) o tempo para o qual a velocidade zero, (b) a distncia total percorrida pela partcula quando t 5 s.

11.14 Sabe-se que de t 2 s a t 10 s a acelerao de uma partcula inversamente proporcional ao cubo do tempo t. Quando t 2 s, v 15 m/s e quando t 10 s, v 0,36 m/s. Sabendo que a part-cula est duas vezes mais distante da origem quando t 2 s do que quando t 10 s, determine (a) a posio da partcula quando t 2 s e quando t 10 s, (b) a distncia total percorrida pela partcula de t 2 s e t 10 s.

11.15 A acelerao de uma partcula definida pela relao a k /x. Ela foi determinada experimentalmente para v 15 m/s quando x 0,6 m e para v 9 m/s quando x 1,2 m. Determine (a) a velo-cidade da partcula quando x 1,5 m, (b) a posio da partcula em que a velocidade zero.

11.16 Uma partcula inicialmente em repouso em x 1 m acelera-da at que sua velocidade dobre de intensidade entre x 2 m e x 8 m. Sabendo que a acelerao da partcula definida pela re-lao a k[x A(x)], determine os valores da constante A e k se a partcula tem velocidade de 29 m/s quando x 16 m.

11.17 Uma partcula oscila entre os pontos x 40 mm e x 160 mm com uma acelerao a k(100 x), onde a e x so expressos em mm/s2 e mm, respectivamente, e k uma constante. A velocidade da part-cula 18 mm/s quando x 100 mm e zero para ambos x 40 mm e x 160 mm. Determine (a) o valor de k, (b) a velocidade quando x 120 mm.

11.18 Uma partcula inicia em repouso na origem e recebe uma acelerao a k /(x 4)2, onde a e x so expressos em m/s2 e m, respectiva-mente, e k uma constante. Sabendo que a velocidade da partcula 4 m/s quando x 8 m, determine (a) o valor de k, (b) a posio da partcula quando v 4,5 m/s, (c) a velocidade mxima da partcula.

11.19 Um pedao de um equipamento eletrnico que est protegido pelo material da embalagem cai de modo que ele atinge o solo com uma velocidade de 4 m/s. Depois do impacto, o equipamento experimenta uma acelerao de a kx, onde k uma constante e x a com-presso do material da embalagem. Se o material da embalagem ex-perimenta uma compresso mxima de 20 mm, determine a mxima acelerao do equipamento.

vESTELADOPARACIMA

42000 06200

Figura P11.19



11.20 Baseado em observaes experimentais, a acelerao de uma part-cula definida pela relao a (0,1 sen x /b), onde a e x so expressos em m/s2 e m, respectivamente. Sabendo que b 0,8 m e que v 1 m/s quando x 0, determinar (a) a velocidade da partcula quando x 1 m, (b) a posio quando a velocidade mxima, (c) a velocidade mxima.

11.21 Partindo de x 0 sem velocidade inicial, uma partcula sofre uma acelerao a 0,8 , onde a e v so expressos em m/s2 e m/s, respectivamente. Determine (a) a posio da partcula quando v 24 m/s, (b) a velocidade escalar da partcula quando x 40 m.

11.22 A acelerao de uma partcula definida pela relao a k onde k uma constante. Sabendo que x 0 e v 81 m/s, em t 0, e que v 36 m/s quando x 18 m, determine (a) a velocidade da par-tcula quando x 20 m, (b) o tempo necessrio para que a partcula atinja o repouso.

11.23 A acelerao de uma partcula definida por uma relao a 0,8v onde a expressa por mm/s2 e v em mm/s. Sabendo que em t 0 a velocidade 40 m/s, determine (a) a distncia que a partcula percorrer antes de ficar em repouso, (b) o tempo necessrio para que a partcula fique em repouso, (c) o tempo necessrio para que a partcula possa reduzir sua velocidade em 50% do valor inicial.

11.24 Uma bola de boliche solta de um barco at que atinja a superfcie de um lago com a velocidade de 8 m/s. Considerando que a bola ex-perimenta uma desacelerao de a 10 0,9v2 quando na gua, determine a velocidade da bola quando ela atinge o fundo do lago.

11.25 A acelerao de uma partcula definida pela relao a 0,4(1 kv), onde k uma constante. Sabendo que em t 0 a partcula parte do repouso em x 4 m e que, quando t 15 s, v 4 m/s, determine (a) a constante k, (b) a posio da partcula quando v 6 m/s, (c) a velocidade mxima da partcula.

11.26 Uma partcula projetada para a direita a partir da posio x 0 com uma velocidade inicial de 9 m/s. Se a acelerao da partcula definida pela relao a 0,6v3/2, onde a e v so expressas em m/s2 e m/s, respectivamente, determinar (a) a distncia que a partcula ir percorrer se sua velocidade 4 m/s, (b) o tempo quando v 1 m/s, (c) o tempo necessrio para a partcula percorrer 6 m.

11.27 Com base em observaes, a velocidade de um corredor pode ser aproximada pela relao v 7,5(1 0,04x)0,3, onde v e x so expres-sos em km/h e quilmetros, respectivamente. Sabendo que x 0 em t 0 determine (a) a distncia que o corredor percorreu quando t 1 h, (b) a acelerao do corredor em m/s2 em t 0 e (c) o tempo necessrio para o corredor percorrer 9 km.

11.28 Dados experimentais indicam que, em uma regio a jusante de uma dada sada de ventilao, a velocidade do ar posto em circulao definida por v 0,18v0/x, onde v e x so expressos em m/s e metros, respectivamente, e v0 a velocidade inicial de descarga do ar. Para v0 3,6 m/s, determine (a) a acelerao do ar em x 2 m, (b) o tem-po necessrio para o ar fluir de x 1 m a x 3 m.

10 m

Figura P11.24

v

Figura P11.27

v

x

Figura P11.28



11.29 A acelerao devida gravidade, a uma altitude y acima da superfcie da Terra, pode ser expressa como

onde a e y so expressos em m/s2 e metros, respectivamente. Usando essa expresso, calcule a altura atingida por um projtil disparado ver-ticalmente para o alto, a partir da superfcie terrestre, se sua velocida-de inicial for de (a) v 540 m/s, (b) v 900 m/s e (c) v 12.000 m/s

11.30 A acelerao devida gravidade de uma partcula caindo em direo a Terra a gR2/r2, onde r a distncia a partir do centro da Terra at a partcula, R o raio da Terra e g a acelerao devida gravida-de na superfcie da Terra. Se R 6.370 km, calcule a velocidade de escape, isto , a velocidade mnima com que uma partcula deve ser lanada verticalmente para o alto, a partir da superfcie da Terra, para que no retorne Terra. (Dica: v 0 para r .)

11.31 A velocidade de uma partcula v v0[1 sen(t/T)]. Sabendo que a partcula parte da origem com uma velocidade inicial v0, determine (a) sua posio e sua acelerao em t 3T, (b) sua velocidade mdia durante o intervalo t 0 a t T.

11.32 A velocidade de um cursor definida pela relao v v sen(nt ). Representando a velocidade e a posio do cursor em t 0 por v0 e x0, respectivamente, e sabendo que o deslocamento mximo do cur-sor 2x0, mostre que (a) (b) o valor mximo da velocidade ocorre quando

P

y

Figura P11.29

R

P

r

Figura P11.30

11.4 Movimento retilneo uniforme

O movimento retilneo uniforme um tipo de movimento em linha reta que frequentemente encontrado em aplicaes prticas. Nesse movi-mento, a acelerao a da partcula zero para todo valor de t. A velocida-de v , portanto, constante, e a Eq. (11.1) torna-se

A coordenada de posio x obtida pela integrao desta equao. Re-presentando por x0 o valor inicial de x, escrevemos

(11.5)

Essa equao pode ser usada somente se soubermos que a velocidade da partcula constante.



11.5 Movimento retilneo uniformemente acelerado

O movimento retilneo uniformemente acelerado outro tipo comum de movimento. Nesse movimento, a acelerao a da partcula constante e a Eq. (11.2) se torna

A velocidade v da partcula obtida pela integrao desta equao

(11.6)

onde v0 a velocidade inicial. Substituindo v em (11.1), escrevemos

Representando por x0 o valor inicial de x e integrando-o, temos

(11.7)

Podemos tambm usar a Eq. (11.4) e escrever

Integrando ambos os lados, obtemos

(11.8)

As trs equaes deduzidas anteriormente fornecem relaes teis entre a coordenada de posio, a velocidade e o tempo para o caso de um movimento uniformemente acelerado, assim que os valores apropriados tiverem sido substitudos para a, v0 e x0. A origem O do eixo x deve ser definida em primeiro lugar, e um sentido positivo deve ser escolhido ao



longo desse eixo; esse sentido ser usado para determinar os sinais de a, v0 e x0. A Eq. (11.6) relaciona v e t, e deve ser usada quando o valor de v correspondente a um dado valor de t for desejado, ou inversamente. A Eq. (11.7) relaciona x e t; a Eq. (11.8) relaciona v e x. Uma aplicao im-portante do movimento uniformemente acelerado o movimento de um corpo em queda livre. A acelerao de um corpo em queda livre (usual-mente representada por g) igual a 9,81 m/s2.

importante ter em mente que as trs equaes apresentadas anteriormente podem ser usadas somente quando soubermos que a acelerao da partcula constante. Se a acelerao da partcula for varivel, seu movimento deve ser determinado a partir das equaes fundamentais (11.1) a (11.4), de acordo com os mtodos delineados na Seo 11.3.

11.6 Movimento de muitas partculas

Quando vrias partculas se movem livremente ao longo da mesma li-nha, equaes de movimento independentes podem ser escritas para cada partcula. Sempre que possvel, o tempo deve ser contado a partir do mesmo instante inicial para todas as partculas e os deslocamentos devem ser medidos em relao mesma origem e no mesmo sentido. Em outras palavras, um nico relgio e uma nica fita de medida de-vem ser usados.

Movimento relativo de duas partculas. Considere duas partcu-las A e B que se deslocam ao longo da mesma linha reta (Fig. 11.7). Se as coordenadas de posio xA e xB so medidas a partir da mesma origem, a diferena xB xA define a coordenada de posio relativa de B em relao a A e representada por xB/A. Escrevemos

ou

(11.9)

Indiferentemente das posies de A e B em relao origem, um sinal positivo para xB/A significa que B est direita de A, e um sinal negativo significa que B est esquerda de A.

A taxa de variao de xB/A denominada velocidade relativa de B em relao a A e representada por vB/A. Derivando (11.9), escrevemos

ou (11.10)

Um sinal positivo para vB/A significa que B observado a partir de A des-locando-se no sentido positivo; um sinal negativo significa que ele ob-servado deslocando no sentido negativo.

A taxa de variao de vB/A denominada acelerao relativa de B em relao a A e representada por aB/A. Derivando (11. 10), obtemos*

ou (11.11)

* Observe que o produto dos subscritos A e B/A, usados no lado direito das Eqs. (11.9), (11.10) e (11.11), igual ao subscrito B usado no lado esquerdo dessas equaes.

x xA

AO B

xB/A xB

Figura 11.7

Foto 11.2 Mltiplos cabos e polias so usados pelo guindaste porturio.



Movimentos dependentes. Algumas vezes, a posio de uma partcu-la vai depender da posio de outra partcula ou de vrias outras partculas. Os movimentos so ento chamados de dependentes. Por exemplo, a posi-o do bloco B na Fig.11.8 depende da posio do bloco A. Como a corda ACDEFG tem comprimento constante, e como os comprimentos dos seg-mentos de corda CD e EF que envolvem as polias permanecem constan-tes, tem-se que a soma dos comprimentos dos segmentos AC, DE e FG constante. Observando que o comprimento do segmento AC difere de xA somente por uma constante e que, semelhantemente, os comprimentos dos segmentos DE e FG diferem de xB por uma constante, escrevemos

xA 2xB constante

Como somente uma das duas coordenadas xA e xB pode ser escolhida ar-bitrariamente, dizemos que o sistema ilustrado na Fig. 11.8 tem um grau de liberdade. Da relao entre as coordenadas de posio xA e xB, segue-se que se em xA for dado um incremento xA, isto , se o bloco A for baixado em uma quantidade xA, a coordenada xB receber um incremento xB xA. Em outras palavras, o bloco B vai subir a metade do mesmo valor; isso pode ser facilmente verificado diretamente a partir da Fig. 11.8.

A

B

C xB

xC xA

Figura 11.9

No caso dos trs blocos da Fig. 11.9, podemos novamente observar que o comprimento da corda que passa nas polias constante e, portan-to, a seguinte relao deve ser satisfeita pelas coordenadas de posio dos trs blocos:

2xA 2xB xC constante

Como duas das coordenadas podem ser escolhidas arbitrariamente, dize-mos que o sistema mostrado na Fig. 11.9 tem dois graus de liberdade.

Quando a relao existente entre as coordenadas de posio de vrias partculas linear, uma relao semelhante vlida entre as velocidades e entre as aceleraes dessas partculas. No caso dos blocos da Fig. 11.9, por exemplo, derivamos duas vezes a equao obtida e escrevemos

xA

xB

A

B

C D

E F

G

Figura 11.8



Uma bola arremessada verticalmente para o alto a partir do nvel de 12 m de um poo de elevador com uma velocidade inicial de 18 m/s. No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nvel de 5 m, subindo com uma velocidade constante de 2 m/s. Determine (a) quando e onde a bola vai atingir o elevador e (b) a velocidade relativa da bola em relao ao elevador quando a bola o atinge.

t = t

t = 0

yBa = 9,81 m/s2

v0 = 18 m/s

vE = 2 m/s

y0 = 12 m

O

t = t

yE

y0 = 5 mO

yB yE

O

t = 0

SOLUO

Movimento da bola. Como a bola tem uma acelerao constante, seu movimento uniformemente acelerado. Colocando a origem O do eixo y no nvel do solo e escolhendo seu sentido positivo para o alto, verificamos que a posio inicial y0 12 m, a velocidade inicial v0 18 m/s e a acelerao a 9,81 m/s2. Substituindo estes valores nas equaes para o movimento uniformemente acelerado, escrevemos

(1)

(2)

Movimento do elevador. Como o elevador tem uma velocidade cons-tante, seu movimento uniforme. Novamente colocando a origem O no nvel do solo e escolhendo o sentido positivo para o alto, notamos que y0 5 m e escrevemos

(3) (4)

A bola atinge o elevador. Primeiro notamos que o mesmo tempo t e a mesma origem O foram usados para escrever as equaes do movimento da bola e do elevador. Vemos na figura que quando a bola encontra a plata-forma,

(5)

Substituindo yE e yB por (2) e (4) em (5), temos

t 3,65 s

Somente a raiz t 3,65 s corresponde a um instante aps o movimento ter comeado. Substituindo esse valor em (4), temos

Elevao a partir do solo 12,30 m

A velocidade relativa da bola em relao ao elevador

Quando a bola atinge o elevador no instante t 3,65 s, temos

vB/E 19,81 m/s

O sinal negativo indica que a bola observada do elevador deslocando-se no sentido negativo (para baixo).


C E

K

L

A

B

D200 mm


O cursor A e o bloco B esto ligados por um cabo que passa sobre trs polias C, D e E, como mostrado na figura. As polias C e E so fixas, enquanto D est presa a um cursor que puxado para baixo com uma velocidade constante de 75 mm/s. No instante t 0, o cursor A comea a se mover para baixo a partir da posio K com uma acelerao constante e velocidade inicial nula. Sabendo que a velocidade do cursor A de 300 mm/s ao passar pelo ponto L, determine a variao na elevao, a velocidade e a acelerao do bloco B quando o cursor A passar por L.

A

O

L

K

C E

AB

D

D

200 mm

xAaA

(xA)0

xA xBxD

vA = 300 mm/s

O

(xD)0

xD

vD = 75 mm/s

O

SOLUO

Movimento do cursor A. Colocamos a origem O na superfcie horizon-tal superior e escolhemos o sentido positivo para baixo. Observamos que quando t 0, o cursor A est na posio K e (vA)0 0. Como vA 300 mm/s e xA (xA)0 200 mm quando o cursor passa por L, escrevemos

O tempo para que o cursor A alcance o ponto L obtido escrevendo-se

Movimento da polia D. Recordando que o sentido positivo para baixo, escrevemos

Quando o cursor A alcana L, em t 1,333 s, temos

Portanto,

Movimento do bloco B. Notamos que o comprimento total do cabo ACDEB difere da quantidade (xA 2xD xB) apenas por uma constan-te. Como o comprimento do cabo constante durante o movimento, essa quantidade tambm deve permanecer constante. Portanto, considerando os instantes t 0 e t 1,333 s, escrevemos

(1) (2)

Mas sabemos que xA (xA)0 200 mm e xD (xD)0 100 mm; substituindo esses valores em (2), encontramos

Portanto, Mudana em elevao de B 400 mmh

Derivando (1) duas vezes, obtemos equaes que relacionam as velocidades e as aceleraes de A, B e D. Substituindo os valores das velocidades e acelera-es de A e D em t 1,333 s, temos

vB 450 mm/s h

aB 225 mm/s2 h


Nesta seo, derivamos as equaes que descrevem o movimento retilneo uniforme (veloci-dade constante, e o movimento retilneo uniformemente acelerado (acelerao constante). Tambm introduzimos o conceito de movimento relativo. As equaes para movimento relativo [Eqs. (11.9) a (11.11)] podem ser aplicadas aos movimentos independentes ou dependentes de quaisquer duas partculas movimentando-se ao longo da mesma linha reta.

A. Movimento independente de uma ou mais partculas. A soluo de problemas desse tipo deve ser organizada da seguinte forma:

1. Comece sua soluo listando a informao dada, esboando o sistema e selecionando a origem e a dire o positiva do eixo coordenado [Problema Resolvido 11.4]. sempre vantajoso ter uma representao visual de problemas desse tipo.

2. Escreva as equaes que descrevem os movimentos de vrias partculas como tambm aquelas que des crevem como esses movimentos esto relacionados [Eq. (5) do Problema Resolvi-do 11.4].

3. Defina as condies iniciais, ou seja, especifique o estado do sistema correspondente a t 0. Isto especialmente importante se os movimentos das partculas comeam em tempos dife-rentes. Em tais casos, qualquer uma das duas abordagens a seguir pode ser usada.

a. Seja t 0 o instante em que a ltima partcula comea seu movimento. Voc deve ento determinar a posio inicial x0 e a velocidade inicial v0 de cada uma das outras partculas.

b. Seja t 0 o instante em que a primeira partcula comea seu movimento. Voc deve, ento, em cada uma das equaes que descrevem o movimento de uma outra partcula, substituir t por t t0, onde t0 o instante em que aquela partcula especfica comea seu movimento. im-portante reconhecer que as equaes obtidas dessa maneira so vlidas somente para t t0.

METODOLOGIA PARAA RESOLUO DE PROBLEMAS


B. Movimento dependente de duas ou mais partculas. Em problemas desse tipo, as partculas do sistema esto unidas umas s outras geralmente por cordas ou cabos. O mtodo de soluo desses problemas parecido com aquele do grupo anterior de problemas, exceto que ago-ra ser necessrio descrever as ligaes fsicas entre as partculas. Nos problemas a seguir, a ligao estabelecida por um ou mais cabos. Para cada cabo, voc ter que escrever equaes similares s trs ltimas equaes da Seo 11.6. Sugerimos que voc use o seguinte procedimento:

1. Desenhe um esboo do sistema e selecione um sistema de coordenadas, indicando cla-ramente um sentido positivo para cada um dos eixos coordenados. Por exemplo, no Problema Resolvido 11.5, comprimentos so medidos para baixo a partir do suporte horizontal superior. Segue-se, ento, que os deslocamentos, velocidades e aceleraes que tiverem valores positivos sero dirigidos para baixo.

2. Escreva a equao que descreve a restrio imposta por cada cabo sobre o movimento das partculas envolvidas. Derivando essa equao duas vezes, voc vai obter as relaes corres-pondentes entre velocidades e aceleraes.

3. Se vrias direes de movimento esto envolvidas, voc deve selecionar um eixo co-ordenado e um sentido positivo para cada uma dessas direes. Voc deve tambm tentar localizar as origens de seus eixos coordenados para que as equaes das restries sejam to simples quanto possvel. Por exemplo, no Problema Resolvido 11.5, mais fcil definir as vrias coordenadas medindo-as para baixo a partir do suporte superior que as medindo para cima a partir do suporte inferior.

Finalmente, tenha em mente que o mtodo de anlise descrito nesta lio e as equaes correspondentes podem ser usados somente para partculas que se deslocam com um movimento retilneo uniforme ou uniformemente acelerado.


PROBLEMAS 11.33 Uma motorista entra em uma autoestrada a 45 km/h e acelera uni-

formemente at 99 km/h. Pelo hodmetro do carro, o motorista sabe que percorreu 0,2 km enquanto acelerava. Determine (a) a acele

beer e johnston 9 ed vol 2 - portugues - colorido

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