aula 06

torção

Prof. João Adriano Rossignolo

Prof. Holmer Savastano Júnior

ZEA 0566

Resistência dos Materiais

Torção

� Esforços internos de torção

� Equação matemática para cálculo das tensões tangenciais

� Distribuição das tensões tangenciais nos corpos solicitados

� Ângulo de torção

� Momento polar de Inércia

Torção em Eixos de Seção Circular

• A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.

• O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.

• O eixo transmite o momento T ao gerador.

Análise das Tensões num Eixo

• O momento torçor T tem a mesma

( )∫ ∫== dAdFT τρρ

• O momento torçor T tem a mesmaintensidade que a soma dos momentosdF, em relação ao centro:

Análise das Tensões num Eixo

• O momento torçor produz tensõestangenciais nas faces perpendiculares aoeixo da barra.

• Condições de equilíbrio requerem aexistência de tensões tangenciais nas

• Considerando o eixo constituído por lâminasfinas, verifica-se o deslizamento daslâminas devido à aplicação de momentos,com a mesma intensidade e sentidosopostos, nas extremidades da peça.

existência de tensões tangenciais nasduas faces formadas pelos planos quepassam pelo eixo.

MECHANICS OF MATERIALS

Third

Editio

n

Beer • Johnston • DeWolf

• O ângulo de torção é proporcional a T e aocomprimento L do eixo:

T∝φ

Deformações nos Eixos de Secção Circular

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

L∝φ

• Nos eixos circulares, as secções transversaismantêm-se planas e não se deformam.

Deformações nos Eixos de Secção Circular

ρφ

• A distorção numa barra circular varialinearmente com a distância ao eixo da barra.

maxmax e γρ

γφ

γcL

c==

LL

ρφγρφγ == ou

Tensões no Regime Elástico

41 cJ π=

maxτρ

τc

=

Aplicando a lei de Hooke,

(G = módulo de deformação transversal)

γτ G= , vem:

4

21 cJ π=

( )41422

1 ccJ −= π

e maxJ

T

J

Tc ρττ ==

• Fórmulas de torção no regime elástico:

[ J = momento de inércia polar ]

A tensão tangencial varia linearmente coma distância ao eixo da barra.

Tensões no Regime Elástico

• Considerar um elemento que forme um ângulo de 45o com o eixo da barra,

( )

max0

0max45

0max0max

2

2

245cos2

o ττ

σ

ττ

===

==

A

A

A

F

AAF

Modos de Falha Torcionais

• Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais.

• Material dúctil.

• Material frágil.

O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de90mm e 120mm, respectivamente interno eexterno. Os eixos AB e CD são maciços, comdiâmetro d. Determinar:

Exercício Resolvido 1

a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;

b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível nomaterial for de 65 MPa.

• Considerar secções transversais nos eixos AB e BC,e recorrer ao equilíbrio estático:

( )

CDAB

ABx

TT

TM

=⋅=

−⋅==∑

mkN6

mkN60

( ) ( )

mkN20

mkN14mkN60

⋅=

−⋅+⋅==∑

BC

BCx

T

TM

• Aplicar as fórmulas de torção noregime elástico, para determinar astensões tangenciais no eixo BC:

( ) ( ) ( )[ ]46

4441

42

m1092.13

045.0060.022

−×=

−=−=ππ

ccJ

( )( )MPa2.86

m1092.13

m060.0mkN2046

22max =

×

⋅===

−J

cTBCττ

MPa7.64

mm60

mm45

MPa2.86

min

min

2

1

max

min

=

==

τ

τττ

c

c

MPa7.64

MPa2.86

min

max

=

=

τ

τ

• Aplicar a fórmula de torção no regime elástico edeterminar o diâmetro necessário:

m109.38

mkN665

3

3

2

4

2

max

−×=

⋅===

c

cMPa

c

Tc

J

Tc

ππτ

mm8.772 == cd

Ângulo de Torção no Regime Elástico

L

cφγ =max

• Aplicando a Lei de Hooke,

JG

Tc

G== max

maxτ

γJGG

• Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo,

JG

TL=φ ∑=

i ii

ii

GJ

LTφ

• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B.

Eixos Estaticamente Indeterminados

• A partir do diagrama de corpo livre,

Conclui-se que o problema é estaticamente

ftlb90 ⋅=+ BA TT

indeterminado.

ftlb9012

21 ⋅=+ AA TJL

JLT

• Substituir na equação de equilíbrio inicial,

ABBA T

JL

JLT

GJ

LT

GJ

LT

12

21

2

2

1

121 0 ==−=+= φφφ

• Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,

Exercício Resolvido 2

Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura.Para uma tensão de cisalhamento admissível de 55MPa e G = 80MPa.Calcular:

900 mm a) O maior momento torçor T0 quepode ser aplicado à extremidadedo eixo AB.

b) O ângulo de torção daextremidade A do eixo AB.

900 mm

24 mm

18 mm

600 mm

20 mm

56 mm

• Procede-se ao equilíbrio estático dosdois veios de modo a obter omomento torçor no veio CD emfunção do momento torçor aplicado T:

• Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens:

( )

( )

0

0

8.2

in.45.20

in.875.00

TT

TFM

TFM

CD

CDC

B

=

−==

−==

∑

∑

CB

CCB

CB

CCBB

r

r

rr

φφ

φφφ

φφ

8.2

in.875.0

in.45.2

=

==

=

• Cálculo do máximo momento torçor T0. • Cálculo do ângulo de torção na extremidade A do eixo AB.

( )( )( ) ( )64

2

/psi102.11in.375.0

.24in.lb561

×

⋅==

AB

ABBA

in

GJ

LTφ

π

( )( )

( )( )

in.lb561

in.5.0

in.5.08.28000

in.lb663

in.375.0

in.375.08000

0

4

2

0max

0

4

2

0max

⋅=

==

⋅=

==

T

Tpsi

J

cT

T

Tpsi

J

cT

CD

CD

AB

AB

π

π

τ

τ

inlb5610 ⋅=T

( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )ooo

/

oo

o

64

2

/

o

2

48.102.2226.8

26.895.28.28.2

95.2rad514.0

psi102.11in.5.0

.24in.lb5618.2

2.22rad387.0

psi102.11in.375.0

=+=+=

===

==

×

⋅==

==

×

BABA

CB

CD

CDDC

AB

in

GJ

LT

φφφ

φφ

φπ

o48.10=Aφ

Projecto de Eixos de Transmissão

• As principais especificações a serem consideradas são:

- potência;- velocidade de rotação.

• Determinar o momento torçor,

f

PPT

fTTP

πω

πω

2

2

==

==

• Determinar a secção do eixo,

( )

( ) ( ) vazadoseixos2

maciços eixos2

max

4

1

4

2

22

max

3

max

τπ

τπ

τ

Tcc

cc

J

Tc

c

J

J

Tc

=−=

==

=

• O projectista deverá seleccionarmateriais e dimensões adequadas,de modo a não exceder a tensãotangencial admissível.

Torção em Barras de Secção Não Circular

• Para barras de secção rectangular constante,

• As secções transversais de barras de secção não circular não permanecem planas.

• Para valores elevados de a/b, a tensão tangencial máxima e o ângulo de torção são os mesmos que para uma barra de secção rectangular.

Gabc

TL

abc

T3

22

1

max == φτ

constante,

Tubos de Paredes Finas

• Somando as forças aplicadas na porção AB, na direcção do eixo x,

A tensão tangencial varia inversamente com a espessura.

( ) ( )qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

===

∆−∆==∑τττ

ττ0

( ) ( )

tA

T

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

=

===

====

∫∫

τ

τ

∫=t

ds

GA

TL24

φ

• Ângulo de torção,

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Exercício de Esforços Internos de Torção

Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e Bpermitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforçosinternos de torção.

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