Autômato Celular Elementaruma investigação qualitativa

Prof. Dr.Marco Aurélio Amaral Henriques

Aluna: Sílvia R.L.Magossi

Data: 01/06/2015

Agenda1.Artigos2.Revisão de Autômato Celular3.Aplicações citadas no artigo4.Regras de um Autômato celular Elementar5.Duas restrições não essenciais mas usualmente impostas6.Regras Locais Legais7.Regras 90,150 (legal) e 225 (ilegal) - Padrão auto-similar8.Regras Locais Ilegais9.Evolução desordenada ou randômica

Artigos

O propósito desse paper é iniciar uma investigação utilizando autômato celular como a classe demodelos matemáticos de sistemas que evoluem de estados desordenados para sistemasordenados.O objetivo maior é abstrair de um estudo geral de autômato celular, características decomportamento de auto-organização.

Este paper discute a natureza do comportamento complexo, sua caracterização, eclassificação. Baseado numa ampla amostra de autômato celular, sugere que muitos(talvez todos) se encontram dentro das 4 classes básicas de comportamento.

Seção I: IntroduçãoSeção II: Introduz Autômato celular e descreve de forma qualitativa ocomportamento de um autômato celular elementar. Vários fenômenos de auto-organização são encontrados.Seção III: Faz uma análise estatística quantitativa dos estados gerados na evoluçãotemporal do autômato celular, revelando várias características quantitativasuniversal.Seção IV: Análise global de um autômato celular e discute os resultados nocontexto da teoria de sistemas dinâmicos e da teoria formal da computação.Seção V: Faz uma breve discussão em cima de autômato celular mais complicado.Seção VI: Faz algumas conclusões preliminares.

A 2ª lei da termodinâmica implica que sistemas físicos reversíveis isoladosmicroscopicamente, com o tempo, tendem para estados de máxima entropia e máximadesordem.

Sistemas dissipativos envolvendo irreversibilidade microscópica, ou aqueles abertos ainterações com seu ambiente, podem evoluir de estados desordenados para estadosmais ordenados. Os estados evoluem frequentemente exibindo uma estruturacomplicada.Exemplos:

Padrão de flocos de neveFluxo de fluidos turbulentosSistemas Biológicos.

Autômato celular: Modelos matemáticos simples Investigar: auto-organização em mecânica estatísticaAnálise: Cada célula evolui deterministicamente de acordo com regras definidas

Passo de Tempo Discreto A evolução é a partir de seus vizinhos mais próximos.

Configuração inicial simples:Gera um estado homogêneo Gera padrões auto-similar com dimensões fractal.

Configuração inicial randômica:Característica irreversível Evolução de um autômato celular conduz a vários fenômenos de auto-organização.

Duas Classes Universais:Autômato Celular legalAutômato Celular Ilegal

São encontradas propriedades estatísticas na estrutura geral, dentro das duas classes universais, independente dos detalhes do estado inicial ou da regra.

Autômato Celular mais complicados :Conexão com Sistemas Dinâmicos Conexão com a Teoria Formal da Computação

Revisão de Autômato Celular

Definiçao de Wolfran:

Um autômato celular consiste de uma estrutura (array linha coluna), usualmente infinita em sua extenção, com uma variável discreta em cada célula.

Os autômatos celular envolvem tempo discreto, com valor das variáveis de uma célula sendo afetada por valores de variáveis das células vizinhas no tempo anterior.

Vizinhança: É a própria célula e todas as células imediatamente adjacentes a ela.

As variáveis de cada célula são atualizadas simultaneamente , baseada nos valores das variáveis de suas vizinhas no passo de tempo anterior, de acordo com o conjunto de regras local.

Autômato celular são idealizações matemáticas de sistemas físicos no qual o espaço e o tempo são valores discretos

Diferentes nomes para Autômato Celular:

1. Tessellation autômato2. Homogeneous structures3. Cellular structures4. Tessellation structures5. Interative Arrays

Aplicações citadas no artigo

• Greenberg et. Al., 1978 – Usado como modelo discreto para sistemas químicos não lineares envolvendo completas redes de reações com difusão espacial.

• Gerola and Seiden, 1978; Schewe, 1981 – Modelo para evolução de galáxias espiral.

• Harvey et al, 1982 – Modelos para aspectos sinéticos na fase de transição.

• Miller, 1970, 1980; Ap Simom, 1970 a, 1970 b, Sutton, 1981 – Problemas em teoria dos números, diferenças sucessivas na sequência de números (como os primos).

• cf. Manning, 1977, Preston et. al. 1979 – Considerado como computação de processamento paralelo.

• Atrubin, 1965; Cole, 1969 – Multiplicadores altamente paralelos.

• Nishio, 1981 – Classificadores

• Fischer, 1965 – Como uma peneira de números primos.

• Deutsch, 1972, Sternberg, 1980, Rosenfeld, 1979 – Autômato Celular com duas dimensões em processamento de imagem e padrão de reconhecimento de imagem.

• Conway, 1970 O notório jogo – Game of Life – um exemplo de autômato celular de duas dimensões.

Regras de um Autômato Celular Elementar

Todas as 23 = 8 possíveis valores das regras em relação a sua vizinhança. Qualquer conjunto de 8 bits temos um autômato celular, portanto: 28 = 256 possíveis distintos autômato celular.

Duas restrições não essenciais mas usualmente impostas

1. A regra de um autômato celular será considerada “ilegal” a não ser que um estadoinicial consistindo “null” ou “quiescente” (em repouso), sendo unicamente 0 (zero)permaneça inalterado. Isso proíbe regras cuja especificação binária finaliza com 1.

2. Observar regras que contem reflexão simétrica, assim 100 e 001 (110 e 011) produzvalores idênticos.

Essas restrições deixam 32 possíveis regras de autômato celular “legal”, na forma:

Regra 90

1 2 3 4 2 5 40

Regra Local Legal

Fig. 3

Regra local para um autômato celular é uma Função Booleana , da célula com sua vizinhança.

Seja: o valor da célula m no tempo n.

Exemplo regra 90 :

A fórmula booleana dessa regra é a soma módulo 2 dos valores dos dois vizinhos :

Ou esquematicamente:

Onde ⊕ denota adição módulo 2.

𝒔𝒏+𝟏 = 𝒔𝒏 𝒎− 𝟏 ⊕ 𝒔𝒏(𝒎 + 𝟏)

𝑠𝑛(m)

𝒔+ = 𝒔−⊕𝒔+

Da mesma forma:

Regra 18 𝑠+ = s ∨ (𝑠−⊕𝑠+) ( onde s denota 𝑠𝑛(m))

Regra 22 𝑠+ = s ∨ (𝑠− ∧ 𝑠+)

Regra 54 𝑠+ = s⊕(𝑠−∨ 𝑠+)

Regra 150 𝑠+ = 𝑠−⊕ 𝑠⊕ 𝑠+)

Princípio da Superposição Aditiva:

Notação e formalismo de Autômato Celular.pptx

Algumas regras satisfazem o princípio da superposição:

Autômato Celular satisfaz a superposição aditiva se e somente se , a regra estiver no formato abaixo:

Somente as regras 0, 90, 150 e 204 estão nesta forma

1 1 0 0 1 1 0 0 Regra 204

1 0 0 1 0 1 1 0 Regra 150

0 1 0 1 1 0 1 0 Regra 90

0 0 0 0 0 0 0 0 Regra 0

As regras 0 e 204 são triviais –Regra 0 apaga alguma configuração , não se desenvolve.Regra 204 – mantem a configuração inicial sem mudanças.

1 1 0 0 1 1 0 0 Regra 204

0 0 0 0 0 0 0 0 Regra 0

0 1 0 1 1 0 1 0 Regra 90

1 0 0 1 0 1 1 0 Regra 150

0 0 0 0 0 0 0 0 Regra 0

0 0 0 0 0 1 0 0 Regra 4

0 0 1 1 0 0 1 0 Regra 50

1 1 1 1 1 1 1 0 Regra 254

2 2 1 1 2 3 1 0 2 = 1 ∧ 2

Regra 4

Regra50

Regra 254

2 2 1 1 2 3 1 0 2= 1 ∧ 2

0 0 0 0 0 0 0 0 Regra 0

1 1 0 0 1 1 0 0 Regra 204

1 1 1 1 1 0 1 0 Regra 250

1 1 1 1 1 1 1 0 Regra 254

1 1 2 2 1 3 2 0 1= 1 ∨ 2

Regra0

Regra 250

Regra204

Regra254

1 1 2 2 1 3 2 0 1= 1 ∨ 2

0 0 0 0 0 0 0 0 Regra 0

0 1 0 1 1 0 1 0 Regra 90

1 0 1 0 0 0 0 0 Regra 160

1 1 1 1 1 0 1 0 Regra 250

Regra 160

Regra 250

Regra 90

A primeira classe (chamada de classe simples): o estado inicial 1 é imediatamente

apagado (como na regra 0 e 160) ou é mantido sem mudança para sempre (como na regra 4 e 36). Nesta classe observa-se a regra local 100 0 e 001 0, sempre presente, a qual impede a propagação do valor 1 inicial.

A segunda classe (também chamada de classe simples): é mostrada na regras

50 e 122 , copia o 1 para gerar uma estrutura uniforme a qual expande por uma célula em cada direção em cada passo do tempo.

A terceira classe é denominada “complexa” , são observadas nas regra 18,22 e 90, e

produz padrões não trivial. São figuras auto-similar com padrão fractal log23

Medidas como consequência da localidade da regra de autômato celular.

Célula – Tamanho de uma simples célulaVizinhança – corresponde as 3 células.Tempo – duração de um simples passo de tempo.

Simples regras produzem um estado final uniforme, que se manifesta em uma escalainvariante.As configurações complexas geradas por regras com escala invariante é dita ser não trivial.Num limite de tempo infinito, as configurações são auto-similar e vemos essas configuraçõescom diferentes ampliações mas com a mesma resolução.Os autômatos celular complexos exibem a mesma estrutura com todas as escalas.

Mesma figura com tamanhos em dimensões diferentes.

Regras 90,150 legale 225 ilegal

Padrão auto-similar

A terceira classe é definida pelas regras complexas as quais as configurações geradas possuem variância não trivial. A configuração da regra 90 produz dentro de sucessivos passo de tempo as linhas do trângulode pascal módulo 2.

Uma exceção é a regra 150 –O valor de cada célula é determinado pela soma módulo 2 do seu próprio valor e o valor de seus dois vizinhos, do passo de tempo anterior. A construção geométrica para o padrão obtido é dado na Fig6.

Regras Locais Ilegais

A regra 225 é um autômato celular ilegal , e possui o padrão auto-similar (self-similar), mas são cortadas pelos deslocamentos. Essas considerações de auto-similaridade aparecem tanto em regras de autômato celular legal como ilegal, não introduzindo nenhuma nova característica qualitativa.

Os próximos dois slide mostram a evolução de autômato celular com regra local ilegal.São chamadas de ilegal pois violam a condição de quiescence 0 , a qual requer que oestado inicial contenha somente 0, e permaneça inalterado.

E se elas violam a reflecção simétrica , a qual requer regras para 100 e 001 e para 110 e011.Observar a regra 1 e 2 :

Regra 1 – Viola a condição de repouso (quiescence), e produz um padrão com ondas detodos os 0s e todos os 1s.

Regra 2 - Viola a reflexão simétrica , e produz um padrão de deslocamento.

Regra 1

Regra 2

Evolução desordenada ou randômica

A Fig3: mostrou um padrão de crescimento da evolução contendo uma simplescélula (semente).

A figura 8: os próximos 3 slides, ilustram o tempo da evolução de umdesordenado ou randômico estado inicial de acordo com as 32 regras deautômato celular legal.Uma específica configuração típica inicial foi tomada, com o valor de cada célulaescolhida independentemente com igual probabilidade para 0 e 1.

Fig. 8

A quarta classe um particular valor da célula pode depender de muitos valores inicial das células , e pode

aparentemente ser determinado somente por um algoritmo equivalente em complexidade, para uma simulação explicita da evolução de um autômato celular.

Para esses autômatos celular, nenhuma previsão efetiva é possível, seu comportamento deve ser determinado somente por simulação explicita.

Apresentação do Comportamento das Classes 1 - 2 - 3 - 4

Algumas Conclusões:1. Padrão auto-similar observados na figura 3 também são encontrados , como

no caso do autômato 225 (regra ilegal), mas são cortados por umdeslocamento global.

2. Tanto na Fig3 como na Fig8 observa-se autômato celular com várias classesde comportamento.

3. Regras complexas (3ª Classe) produzem comportamento não trivial.(Nasduas figuras).

4. A figura8 nos mostra um fato notável que segundo a evolução temporal,essas regras destroem a independência das células iniciais, e geracorrelações entre valores de células separadas. Esse fenômeno esta naessência da auto-organização de um autômato celular.

5. A Fig 8 sugere que triângulos de todos os tamanhos são gerados.

6. Podemos comparar os autômatos celular da figura 8 ao comportamento desistemas dinâmicos. Na maioria dos casos sua evolução é irreversível. A trajetóriano espaço de configuração de um CA merge com o tempo. Após algum passo detempo, a partir de estados iniciais quase todas as trajetórias tornam-seconcentrada em cima de “attractors”.

7. Os attractors das classes 1, 2 e 3 são fortemente análogos para os pontos limitessimples, ciclos limites, e attractors caóticos respectivamente, encontrados emsistemas dinâmicos contínuos. Podemos dizer que regras complexas exibemfenômenos análogos aos atratores estranhos.

8. A Quarta Classe exibe um comportamento mais complicado, e são vistos sercapazes de uma computação universal, assim essa evolução deve implementaralgum algoritmo finito.

Condições Limites Periódicas

A Fig.8 apresenta autômato celular que satisfaz condições limites periódicas, onde aprimeira e a última célula são identificadas, como se elas pertencessem a um círculode raio finito.

Essa primeira e última célula podem também ser tratadas pela imposição decondições limites null (nulas), onde o comportamento é modificado para mantersempre zero, ao invés de evoluir de acordo com a regra local, os valores dessas célulasdependem das duas células do passo de tempo anterior.

Figura 9a: mostra a evolução do autômato considerando a primeira e última célula como se estivessem num raio finito.

Figura 9b: mostra condições de evolução para manter o valor zero nas posições laterais externas.

Nenhuma diferença qualitativa se apresenta.

No artigo Universality and Complexity in Cellular Automata é feita uma avaliação da evolução dos 32 possíveis regras totalista legal com k = 2 e r =2 , iniciando de uma configuração de estado desordenado, podendo perceber os diferentes comportamentos , e classificando-os dentro das 4 classes qualitativas.

Classe 1: A evolução conduz a estados homogêneos (realizados para os códigos 0, 4, 16, 32, 36, 48, 54, 60 e 62.Classe 2: A evolução conduz a estruturas separadas simples ou periódicas (códigos 8, 24, 40, 56 e 58).Classe 3: Essa evolui a umpadrão caótico (código 2,6, 10, 12, 14, 18, 22, 26, 28, 30, 34, 38, 42, 44, 46 e 50).Classe 4: A evolução conduz a estruturas localizadas complexas, de longa duração (código 20 e 52).

A tabela 1 mostra as frações de vários conjuntos de autômato celular nas 4 classes. Comincremento de k e r, a classe 3 torna-se mais esmagadora, mais comum. As classes 1 e 2 sãodecrescente, e a Classe 4 é comparativamente rara, mas vai se tornando mais comum com oaumento de k e r.

Obrigada