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MATEMÁTICA PARA CEF

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 4 – Parte 2

1 Análise de Investimentos .................................................................... 2

1.1 Conceito ...................................................................................... 2

1.2 Valor Presente Líquido (VPL) .......................................................... 3

1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) ........................................................ 3

1.4 Payback Descontado ..................................................................... 3

1.5 Exercícios Resolvidos ..................................................................... 4

2 Relação das questões comentadas ...................................................... 16




1 Análise de Investimentos

1.1 Conceito

Utilizaremos os principais conceitos da Matemática Financeira para abordar

alguns critérios de avaliação de investimentos. Aproveitaremos os “modelos” já

desenvolvidos para aplicá-los à tomada de decisão financeira em seus aspectos

quantitativos.

De um modo geral, a classificação dos investimentos é a mais variável

possível. Deixaremos os aspectos qualitativos dos investimentos de lado e

focaremos nosso objetivo no aspecto quantitativo da avaliação de

investimentos.

Consideraremos os fluxos de caixa de certas alternativas de investimentos

para compará-las entre si e formar uma “escala” de prioridades na consecução

da mais lucrativa.

Sob esse aspecto de avaliação, estudaremos dois critérios básicos de análise

de investimentos que são:

- Critério do Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual.

- Critério da Taxa Interna de Retorno.

- Critério do Payback Descontado

Esses critérios levam em consideração a taxa mínima de atratividade (TMA). É

taxa mínima que o investidor se propõe a ganhar quando faz um investimento.

No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa

Mínima de Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores.

A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem

em instantes diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação

gráfica simples chamada diagrama de fluxo de caixa.

Ou seja, quando desejamos analisar diferentes valores muitas vezes é difícil

imaginar a sua distribuição nas datas disponíveis, sem que para isso não

lancemos mão de um esquema financeiro que nos permita visualizar, ao

longo do tempo, todos aqueles recebimentos a serem auferidos (entradas de

recursos) e todos aqueles pagamentos a serem realizados (saída de recursos).

Representamos com setas para cima um recebimento (positivo) e setas para

baixo no caso de pagamentos (negativo).




1.2 Valor Presente Líquido (VPL)

O valor presente de um projeto é o valor presente (data 0) de seu fluxo de

caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa que

reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para

retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni .

Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto. Caso existam duas ou mais

formas de investimento, será escolhida aquela que possuir o maior valor

presente líquido. No caso de haver apenas uma alternativa para o projeto, o

VPL de seu fluxo de caixa indicará se o projeto é viável, inviável ou indiferente.

Nesse caso, caso VPL > 0, o projeto é viável.

Se VPL < 0, então o projeto é inviável.

E se VPL = 0, então o projeto é indiferente.

No método do Valor Presente Líquido (VPL), utilizaremos a Taxa Mínima de

Atratividade (TMA) para efetuar o transporte dos valores.

1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR)

É a taxa de juros que anula o valor presente líquido do fluxo de caixa do

investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.

E já que o valor presente líquido é zero, então o fluxo de caixa será 0 em

qualquer outra data. Assim, daremos preferência em usar como data focal

aquela que estiver mais a direita do fluxo.

Podemos utilizar o método da taxa interna de retorno em diversas situações,

como por exemplo:

- Existe apenas uma alternativa de investimento e esta será considerada viável

se a taxa interna de retorno for maior que um valor aceitável (taxa mínima de

atratividade), o qual representa o custo de oportunidade do capital. Ou seja,

se TIR > TMA, então o projeto é viável. Se TIR = TMA, então o projeto é

indiferente. Se TIR < TMA, então o projeto é inviável.

1.4 Payback Descontado

O que significa Payback?

É o tempo necessário para recuperação do investimento.




O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de

desconto racional composto.

Em suma, o Payback Descontado é o tempo decorrido até que o VPL (Valor

Presente Líquido) se iguale ao investimento inicial do projeto em análise.

1.5 Exercícios Resolvidos

01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um

projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma

taxa interna de retorno igual a 20% ao ano.

O valor de X é igual a

a) R$ 13.824,00

b) R$ 12.960,00

c) R$ 12.096,00

d) R$ 11.232,00

e) R$ 10.368,00

Resolução

Por definição, a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor presente

líquido igual a 0. Se o valor presente líquido é igual a 0, então em qualquer

outra data o somatório de entradas e saídas será igual a 0.

Adotaremos como data focal a data 3.




Para avançar um valor para o futuro multiplicamos por (1 )ni .

Assim, a equação de equivalência de capitais será:

Letra B

02. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja

taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano:


a) R$ 11 000,00

b) R$ 11 550,00

c) R$ 13 310,00

d) R$ 13 915,00

e) R$ 14 520,00

Resolução

A taxa interna de retorno é a taxa de juros que anula o valor presente

líquido do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.



aquela que estiver mais a direita do fluxo.





Letra E

03. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo

corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala

horizontal em anos.

Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e

(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a

a) R$ 3.025,00

b) R$ 3.267,00

c) R$ 3.388,00

d) R$ 3.509,00

e) R$ 3.630,00

Resolução





aquela que estiver mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3.







Como o enunciado nos disse que X + Y = 10.285, então Y = 10285 – X.

Substituindo na equação anterior:

Letra E

04. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y

representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas em %.

Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno (TIR).

a) 30%

b) 25%

c) 20%

d) 15%

e) 0%

Resolução

A Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que anula o valor presente líquido

do fluxo de caixa do investimento. A TIR é aquela que torna VPL = 0.

O gráfico mostra claramente que VPL = 0 para uma taxa de 20%.

Letra C

05. (Prefeitura Municipal de Brusque – Auditor Fiscal Tributário- 2009 –

FEPESE) Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $80.000 e $20.000 para o 1o, 2o, 3o e 4o ano, respectivamente, assinale a alternativa que




demonstra corretamente o valor presente desse fluxo, no ano zero, com a aplicação das taxas de desconto de 10% a.a., 5% a.a. e 0% a.a.,

respectivamente.

a) $ 144.013 ; $ 180.000 ; $ 160391 b) $ 180.000 ; $ 160391 ; $ 144.013

c) $130.000 ; $ 140.000 ; $ 150.000 d) $ 144.013 ; $ 160.391 ; $ 180.000

e) $ 180.000; $ 170.000; $ 160.000

Resolução

Vejamos o desenho do fluxo de caixa.

Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni .

Dessa forma, o valor presente líquido desse fluxo de caixa (X) será igual a

Calcularemos o valor presente líquido com a aplicação das taxas de desconto

de

10% a.a. = 0,10 a.a., 5% a.a. = 0,05 a.a. e 0% a.a

i) i = 0,10

Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. O m.m.c. dos

denominadores é igual a 1,104. Então dividiremos esse valor pelo denominador

e multiplicaremos o resultado pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a

X

0 1 ano 2 anos 3 anos 4 anos

20.000

80.000

30.000

50.000




primeira fração. 1,104 dividido por 1,101 é igual a 1,103, isso porque para

dividir potências de mesma base repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Então o numerador será 50.000 vezes 1,103. Repetiremos o mesmo processo

nas 4 frações.

i) i = 0,05

Vamos reduzir as frações ao um mesmo denominador comum. O m.m.c. dos

denominadores é igual a 1,054. Então dividiremos esse valor pelo denominador

e multiplicaremos o resultado pelo numerador. Por exemplo, olhemos para a

primeira fração. 1,054 dividido por 1,051 é igual a 1,053, isso porque para

dividir potências de mesma base repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Então o numerador será 50.000 vezes 1,053. Repetiremos o mesmo processo

nas 4 frações.

iii) i = 0%

Se a taxa é de 0%, então os valores não serão alterados ao longo do tempo.

Em qualquer época, a soma dos valores será igual a R$ 180.000,00. Basta

somar os 4 valores. Na verdade, você nem precisava fazer as contas acima. Se

você percebesse que quando a taxa é de 0% o VPL é 180.000 reais, já dava

para marcar a resposta.

Letra D

06. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de

ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de

juros de 10% ao ano,




Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) $ 89.790,57

b) $ 87.029,57

c) $ 80.920,57

d) $ 78.290,57

e) $ 72.790,57

Resolução


caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa

que reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para


Quanto maior o valor presente, melhor é o projeto.

Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0.

Letra B

07. (Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) Os métodos de análise de investimentos do valor presente líquido e da taxa interna de retorno estão de certa forma relacionados. Considerando um




determinado valor presente líquido (VPL), uma taxa interna de retorno (TIR), e um custo de oportunidade i%, o critério aceitar-rejeitar dos métodos de

avaliação de investimentos deve estar de acordo com a seguinte alternativa:

a) Se VPL > 0, a TIR < i%.

b) Se VPL > 0, a TIR = i%.

c) Se VPL = 0, a TIR > i%.

d) Se VPL > 0, a TIR > i%.

e) Se VPL < 0, a TIR = i%.

Resolução

Para que o projeto seja viável o VPL deve ser positivo e taxa interna de retorno

deve ser maior do que a taxa mínima de atratividade.

Letra D

08. (CVM 2003/FCC) A empresa "Y" realiza certo investimento em projeto

que apresenta o fluxo de caixa a seguir:

Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o valor presente líquido deste investimento no ano 0 será de

a) Zero

b) R$ 448,00 c) R$ 480,00

d) R$ 960,00

e) R$ 1.560,00

Resolução


caixa, valor este obtido mediante o desconto do fluxo de caixa a uma taxa

que reflita o custo de oportunidade do capital investido. Lembrando que para


Para calcular o VPL devemos transportar todos os valores para a data 0.




Letra B

09. (CVM 2003/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um investimento no período de 3 anos, valores em reais:

Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do desembolso inicial (D) é de

a) R$ 17.325,00

b) R$ 16.500,00 c) R$ 16.000,00

d) R$ 15.500,00

e) R$ 15.000,00

Resolução





aquela que estiver mais a direita do fluxo. A data focal será a data 3.







Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e

apagar a vírgula.

Letra D

10. (BB 2006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-

se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a

a) R$ 30 000,00

b) R$ 40 000,00 c) R$ 45 000,00

d) R$ 50 000,00

e) R$ 60 000,00

Resolução

No regime de juros compostos, se dois conjuntos de capitais são equivalentes

em certa data, o serão em qualquer outra data.

Dizer que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais é o

mesmo que dizer que os dois conjuntos de capitais são equivalentes na data 0.

Desta forma, podemos afirmar que os conjuntos de capitais também são

equivalentes na data 2.

Vamos, então, utilizar a data 2 como data focal.

Para transportar um valor para o futuro, devemos multiplicá-lo por




Letra A

11. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa

anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna

fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima

requerida de 10% ao ano.

Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback

descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é

a) 3,2 anos

b) 2,8 anos

c) 2,6 anos

d) 2,4 anos

e) 2,2 anos

Resolução

O Payback descontado atualiza os fluxos de caixa por meio de operações de

desconto racional composto.

E o que significa Payback? É o tempo necessário para recuperação do

investimento.

No segundo ano, o somatório das receitas é de R$ 1.800,00. Já que o

investimento inicial foi de R$ 2.000,00 precisamos de R$ 200,00 para

recuperar o investimento. No terceiro ano, recuperamos mais R$ 1.000,00.

Então fazemos a interpolação.




Período (ano) Capital

1 1.000

X 200

Assim o payback descontado é de 2 + 0,2 = 2,2 anos.

Letra E




2 Relação das questões comentadas

01. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um

projeto de investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma

taxa interna de retorno igual a 20% ao ano.


a) R$ 13.824,00

b) R$ 12.960,00

c) R$ 12.096,00

d) R$ 11.232,00

e) R$ 10.368,00

02. (BB – Escriturário FCC 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja

taxa interna de retorno é igual a 10% ao ano:


a) R$ 11 000,00

b) R$ 11 550,00




c) R$ 13 310,00

d) R$ 13 915,00

e) R$ 14 520,00

03. (Agente Fiscal de Rendas 2006 FCC) A representação gráfica abaixo

corresponde ao fluxo de caixa de um projeto de investimento com a escala

horizontal em anos.

Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e

(X+Y) = R$ 10.285,00, tem-se que X é igual a

a) R$ 3.025,00

b) R$ 3.267,00

c) R$ 3.388,00

d) R$ 3.509,00

e) R$ 3.630,00

04. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Considerando o Gráfico abaixo, onde o eixo Y

representa os VPL(s) em $ e o Eixo X, as taxas em %.

Assinale a alternativa que identifica corretamente a Taxa Interna de Retorno (TIR).

a) 30%




b) 25%

c) 20%

d) 15%

e) 0%

05. (Prefeitura Municipal de Brusque – Auditor Fiscal Tributário- 2009 –

FEPESE) Considerando o fluxo de caixa de $50.000, $30.000, $80.000 e

$20.000 para o 1o, 2o, 3o e 4o ano, respectivamente, assinale a alternativa que demonstra corretamente o valor presente desse fluxo, no ano zero, com a

aplicação das taxas de desconto de 10% a.a., 5% a.a. e 0% a.a., respectivamente.

a) $ 144.013 ; $ 180.000 ; $ 160391

b) $ 180.000 ; $ 160391 ; $ 144.013

c) $130.000 ; $ 140.000 ; $ 150.000 d) $ 144.013 ; $ 160.391 ; $ 180.000

e) $ 180.000; $ 170.000; $ 160.000

06. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Podemos afirmar que o resultado do Valor Presente Líquido (VPL) depende do custo inicial, dos retornos e suas datas de

ocorrência, e da taxa requerida ajustada ao nível de risco de um determinado projeto. A partir da análise do fluxo de caixa abaixo, considerando uma taxa de

juros de 10% ao ano,

Calcule o VPL e assinale a alternativa que indica a resposta correta.

a) $ 89.790,57

b) $ 87.029,57

c) $ 80.920,57

d) $ 78.290,57

e) $ 72.790,57




07. (Universidade Federal da Fronteira Sul – Economista – 2009 – FEPESE) Os métodos de análise de investimentos do valor presente líquido e da taxa

interna de retorno estão de certa forma relacionados. Considerando um determinado valor presente líquido (VPL), uma taxa interna de retorno (TIR), e

um custo de oportunidade i%, o critério aceitar-rejeitar dos métodos de avaliação de investimentos deve estar de acordo com a seguinte alternativa:

a) Se VPL > 0, a TIR < i%.

b) Se VPL > 0, a TIR = i%.

c) Se VPL = 0, a TIR > i%.

d) Se VPL > 0, a TIR > i%.

e) Se VPL < 0, a TIR = i%.

08. (CVM 2003/FCC) A empresa "Y" realiza certo investimento em projeto

que apresenta o fluxo de caixa a seguir:

Se a taxa mínima de atratividade for de 25% ao ano (capitalização anual), o valor presente líquido deste investimento no ano 0 será de

a) Zero

b) R$ 448,00 c) R$ 480,00

d) R$ 960,00

e) R$ 1.560,00

09. (CVM 2003/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um investimento no período de 3 anos, valores em reais:

Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do desembolso inicial (D) é de

a) R$ 17.325,00

b) R$ 16.500,00




c) R$ 16.000,00 d) R$ 15.500,00

e) R$ 15.000,00

10. (BB 2006/FCC) Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa:

A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-

se que os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a

a) R$ 30 000,00

b) R$ 40 000,00 c) R$ 45 000,00

d) R$ 50 000,00

e) R$ 60 000,00

11. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) A tabela abaixo registra o fluxo de caixa

anual de um projeto de investimento com duração de 4 anos. A terceira coluna

fornece os respectivos valores atuais (na data 0) em função da taxa mínima

requerida de 10% ao ano.

Utilizando interpolação linear, obtém-se que, pelo método do Payback

descontado, o tempo necessário para recuperar o investimento é

a) 3,2 anos

b) 2,8 anos

c) 2,6 anos

d) 2,4 anos

e) 2,2 anos




01. B

02. E

03. E

04. C

05. D

06. B

07. D

08. B

09. D

10. A

11. E

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