aula2-dimensoes e unidades_20140220160124

Mecânica dos Fluídos

DIMENSÕES E UNIDADESOs problemas de engenharia são resolvidos para responder questões específicas. Uma resposta deve incluir unidades.Referimo-nos a quantidades físicas tais como comprimento, tempo, massa e temperatura como dimensões. Em termos de um sistema particular de dimensões, todas as quantidades mensuráveis podem ser subdivididas em dois grupos:


quantidades primáriaspequeno grupo de dimensões básicas, a partir do qual todos os outros podem ser formados – unidades de medida quantidades secundáriasSão aquelas cujas dimensões são expressas em termos das dimensões das quantidades primárias


Unidades são os nomes (e magnitudes) arbitrários dados às dimensões primárias adotadas como padrões de medidas.Por exemplo: Comprimento – medido em metros, pés, jardas ou milhas.Cada unidade de comprimento é relacionada às outras por fatores de conversão de unidades (1 milha = 5280 pés = 1609 m)


SISTEMAS DE DIMENSÕESQualquer equação válida que relaciona quantidades físicas deve ser dimensionalmente homogênea; cada termo da equação deve ter as mesmas dimensões.Reconhecemos que a segunda lei de Newton (F α ma) relaciona as quatro dimensões: F, M, L e t.


Portanto, força e massa não podem ser selecionadas como dimensões primárias sem introduzir uma constante de proporcionalidade que tenha dimensões (e unidades).Comprimento e tempo são dimensões primárias em todos os sistemas dimensionais de uso corrente. Em alguns deles, a massa é tomada como uma dimensão primária.


Em outros, a força é selecionada como tal; um terceiro sistema escolhe ambas, a força e a massa, como dimensões primárias. Temos, assim, três sistemas básicos de dimensões que correspondem aos diferentes modos de especificar as dimensões primárias.


a. Massa (M), comprimento (L), tempo (t), temperatura (T)

b. Força (F), comprimento (L), tempo (t), temperatura (T)

c. Força (F), massa (M), comprimento (L), tempo (t), temperatura (T)


Sistemas de

Dimen-sões

Sistemas de Unidades Força F

Massa M

Comp. L

Tempo t

Temp. T

a. MLtT Sistema Internacional de Unidades (SI)

(N) kg m s K

b. FLtT Sistema Gravitacional Britânico (GB)

lbf (slug) ft s °R

c. FMLtT Sistema Inglês de Engenharia (EE)

lbf lbm ft s °R

No sistema a, a força (F) é uma dimensão secundária, (α é adimensional)No sistema b, a massa (M) é uma dimensão secundária, (a const. de prop. da 2ª lei de Newton é adimissional)


No sistema c, tanto a força (F) quanto a massa (M) forma selecionadas como dimensões primárias. Nesse caso, a constante de proporcionalidade gc (não confundi-la com g, aceleração da gravidade) na segunda lei de Newton (escrita como F = ma/gc) possui dimensões. O valor numérico da constante de proporcionalidade depende das unidades de medida escolhidas para cada uma das quantidades primárias.


Sistemas de UnidadesHá mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão primaria. Apresentaremos os sistemas mais comuns na engenharia para cada um dos sistemas básicos para esses sistemas.


MLtT (SI)O SI e uma extensão e um refinamento do sistema métrico tradicional. Mais de 30 países declararam o SI como o único sistema legalmente aceito.No SI, a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de comprimento é o metro (m), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura é o kelvin (K).


A força é uma dimensão secundária e a sua unidade, o newton (N), é definida da segunda lei de Newton como:1 N = 1 kg . m/s2

No sistema de unidades Métrico Absoluto, a unidade de massa é o grama, a unidade de comprimento é o centímetro, a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o kelvin. A unidade de força (dimensão secundária) é o dina:1 dina = 1 g . cm/s2


FLtT (GB)No GB a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o Rankine (°R). Como a massa é uma dimensão secundária, a sua unidade, o slug, é definida em termos da segunda lei de Newton:1 slug = 1 lbf . s2/ft


FMLtT (EE)No sistema de unidades inglês Técnico ou de Engenharia (EE), a unidade de força é a libra-força (lbf), a unidade de massa é a libra-massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo e a unidade de temperatura é o Rankine (°R).


Força e massa, foram escolhidas como unidades primárias, a segunda lei de Newton é escrita como:

A força-libra (1 lbf) é a força que dá à massa de uma libra-massa (1 lbm) uma aceleração igual à aceleração-padrão da gravidade na Terra, 32,2 ft/s2.


Da segunda lei de Newton:

ou

A constante de proporcionalidade, gc, tem dimensões e unidades.


As dimensões surgiram porque escolhemos ambas, Força e Massa, como dimensões primárias; as unidades (e o valor numérico) são uma consequência de nossas escolhas para os padrões de medidas.Como uma força de 1 lbf acelera 1 lbm a 32,2 ft/s2, ela aceleraria 32,2 lbm a 1 ft/s2.Um slug também é acelerado a 1 ft/s2 por uma força de 1 lbf. Portanto:1 slug = 32,2 lbm


Muitos livros, textos e referências utilizam lb em vez de lbf ou lbm, deixando para o leitor determinar, segundo o contexto, se é força ou a massa que está sendo referenciada.


Sistemas de unidades preferenciaisNós usaremos tanto o SI quanto o GB.Em qualquer um dos casos, a constante de proporcionalidade (α) na segunda lei de Newton é sem dimensões e tem o valor da unidade. A segunda lei é escrita como :F = ma. Nesses sistemas a força gravitacional (o “peso”) sobre um objeto de massa m é dada por: W = mg.(Ver apêndice G, pag. 703)


Ex. Uso de UnidadesO rótulo em um pote de amendoim indica que o seu peso líquido é de 510 g. Expresse sua massa e peso em unidades SI, GB e EE.Dados:“Peso” da pasta de amendoim, m = 510 gDeterminar:Massa e Peso em unidades SI, GB e EESolução: este problema envolve conversões de unidades e uso de equação relacionando peso e massa: W = mg


mSI = 0,510 kgUsando os fatores de conversão da tabela G2,

Usando o fato de que 1 slug = 32,2 lbm,

Como: W = mg


Em unidades SI, e usando a definição de um newton,WSI = 0,510 kg x 9,81 m/s2 = 5 kg.m/s2 = 5 N

Em unidades GB, e usando a definição de um slug,

Em unidades EE, usamos a fórmula W = mg/gc, e usando a definição de gc,


Consistência dimensional e equações de “Engenharia”Em engenharia esforçamo-nos para que as equações e fórmulas tenham dimensões consistentes. Isto é, cada termo em uma equação e, obviamente, ambos os membros da equação, devem ser reduzíveis às mesmas dimensões.


Por exemplo a equação de Bernoulli:

Que relaciona a pressão p, a velocidade V e a elevação z entre os pontos 1 e 2 ao longo de uma linha de corrente de escoamento incompressível, sem atrito e em regime permanente (massa específica ρ).


Essa equação é dimensionalmente consistente porque cada termo na equação pode ser reduzido às dimensões de L2/t2 (as dimensões do termo de pressão são FL/M, mas na segunda lei de Newton encontramos F = ML/t, de forma que:FL/M = ML2/Mt2 = L2/t2.Provavelmente, quase todas as equações que encontrarmos serão consistentes dimensionalmente.


Fiquem alertas para algumas, ainda comumente usadas, que não são: em geral, são equações de engenharia deduzidas há muitos anos, ou obtidas empiricamente (baseadas mais na experiência do que na teoria), ou são equações usadas em uma indústria ou companhia particular. Por exemplo, os engenheiros civis usam frequentemente a equação semiempírica de Manning:


que fornece a velocidade de escoamento V em um conduto aberto (como um canal) em função do raio hidráulico Rh (que é uma relação entre a seção transversal do escoamento e da superfície de contato do fluido), da inclinação So do conduto e de uma constante n (o coeficiente de resistência de Manning).


Análise de erro experimentalA maior parte dos consumidores não sabe, mas as latinhas de bebidas são cheias para mais ou para menos de um determinado valor, como é permitido por lei. O mesmo acontece com a maioria dos gêneros alimentícios. A razão disso é a dificuldade de medir precisamente o conteúdo de um recipiente em um processo rápido de produção.


Uma latinha de refrigerante de 250 ml pode, de fato, conter 252 ml da bebida, ou um pouco menos. O fabricante nunca deverá fornecer uma quantidade menor do que a especificada; e se for desnecessariamente generoso, seus lucros serão reduzidos.De mesma forma, o fornecedor de componentes para o interior de um carro deve repeitar as dimensões mínimas e máximas (cada componente tem uma tolerância), de modo que a aparência final do interior seja visualmente agradável.


Os experimentos de engenharia devem fornecer não apenas dimensões básicas, como também as incertezas dessas medidas. Eles devem também, de alguma forma, indicar como tais incertezas afetam a incerteza do produto final.(ver apêndice F pag. 698)


Exercícios:1) Para cada grandeza física listada, indique as dimensões, usando a força como a dimensão primária, e dê as unidades SI, GB e EE típicas:a) potênciab) pressãoc) módulo de elasticidaded) velocidade angulare) energiaf) quantidade de movimento


g) tensão de cisalhamentoh) calor específicoi) coeficiente de dilatação térmicaj) quantidade de movimento angular2) Para cada grandeza física listada, indique as dimensões, usando a massa como a dimensão primária, e dê as unidades SI, GE e EE típicas:a) potênciab) pressãoc) módulo de elasticidade


d) velocidade angulare) energiaf) momento de uma forçag) quantidade de movimentoh) tensão de cisalhamentoi) deformaçãoj) quantidade de movimento angular3) Deduza os seguintes fatores de conversão:a) Converta uma pressão de 1 psi para kPa


b) Converta um volume de 1 litro para galões.c) Converta uma viscosidade de 1 lbf . s/ft2 para N . s/m2.4) Expresse os seguintes valores em unidades SI:a) 100 cfm (ft2/min)b) 5 galc) 65 mphd) 5,4 acres


5) Expresse os seguintes valores em unidades GB:a) 50 m2

b) 250 ccc) 100 kWd) 5 lbf . s/ft2

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