MATEMÁTICAMATEMÁTICATeorema de TalesTeorema de Tales

Professor Antonio Carlos Professor Antonio Carlos Carneiro BarrosoCarneiro Barroso

Graduado pela UFBAGraduado pela UFBA

Pós graduado em Pós graduado em Metodologia e DidáticaMetodologia e Didática

Para 8ª série:Para 8ª série:

Professor de Matemática Professor de Matemática

Do Colégio Estadual Do Colégio Estadual Dinah Gonçalves em Dinah Gonçalves em Valéria Salvador-BaValéria Salvador-Ba

23/06/200923/06/2009

UM POUCO DE HISTÓRIA:UM POUCO DE HISTÓRIA:

A matemática, no sentido moderno da palavra, A matemática, no sentido moderno da palavra, teve origem em algumas cidades-Estado gregas, teve origem em algumas cidades-Estado gregas, por volta do século VI a.C. Isso não significa que por volta do século VI a.C. Isso não significa que não tivesse havido descobertas matemáticas até não tivesse havido descobertas matemáticas até então. Muito pelo contrário. A matemática então. Muito pelo contrário. A matemática babilônica, egípcia e chinesa havia alcançado um babilônica, egípcia e chinesa havia alcançado um bom nível. Mas os métodos empíricos usados por bom nível. Mas os métodos empíricos usados por esses povos não favoreciam grandes saltos à esses povos não favoreciam grandes saltos à frente, os quais só foram possíveis quando além frente, os quais só foram possíveis quando além do “como fazer” a matemática começou a se do “como fazer” a matemática começou a se preocupar também com o porquê de seus preocupar também com o porquê de seus procedimentos. procedimentos.

E isso aconteceu pela primeira vez na história da E isso aconteceu pela primeira vez na história da matemática nas cidades gregas a que já nos referimos.matemática nas cidades gregas a que já nos referimos.É claro que esse novo rumo da matemática não foi obra É claro que esse novo rumo da matemática não foi obra de um único homem nem tampouco surgiu da noite para de um único homem nem tampouco surgiu da noite para o dia. Mas , a julgar pelos dados históricos de que o dia. Mas , a julgar pelos dados históricos de que dispomos, quem deu os primeiros passos significativos dispomos, quem deu os primeiros passos significativos nesse sentido foi “TALES DE MILETO” (625 – 547 a.C.).nesse sentido foi “TALES DE MILETO” (625 – 547 a.C.).O qual vamos, nesse momento, conhecer um pouco de O qual vamos, nesse momento, conhecer um pouco de sua biografia, contos e contribuições importantes para a sua biografia, contos e contribuições importantes para a matemática!matemática!

TALES DE MILETOTALES DE MILETO (625 – 547 a.C.).(625 – 547 a.C.).

BIOGRAFIABIOGRAFIA::

Tales de Mileto foi o primeiro Tales de Mileto foi o primeiro filósofofilósofo ocidental de que se ocidental de que se tem notícia. Ele é o marco inicial da filosofia ocidental. De tem notícia. Ele é o marco inicial da filosofia ocidental. De ascendência ascendência feníciafenícia, nasceu em , nasceu em MiletoMileto, antiga colônia , antiga colônia grega, na grega, na Ásia menorÁsia menor, atual , atual TurquiaTurquia, por volta de , por volta de 625 a.C.625 a.C. e faleceu aproximadamente em e faleceu aproximadamente em 547 a.C.547 a.C. - - segundo o historiador grego segundo o historiador grego Diógenes LaércioDiógenes Laércio, morreu , morreu com 78 anos durante a 58ª Olimpíada.com 78 anos durante a 58ª Olimpíada.Considerado um dos sete sábios da antiguidade e também Considerado um dos sete sábios da antiguidade e também o “pai da filosofia”, Tales preocupou-se em entender e o “pai da filosofia”, Tales preocupou-se em entender e explicar o universo, em vez de simplesmente curvar-se explicar o universo, em vez de simplesmente curvar-se diante de seus mistérios.diante de seus mistérios.Assim sendo, era natural que se preocupasse também Assim sendo, era natural que se preocupasse também com os “por quês”? da matemática, uma matéria muito com os “por quês”? da matemática, uma matéria muito ligada à filosofia em suas raízes. ligada à filosofia em suas raízes.

Sabe-se pouco sobre a vida de Tales. Tudo indica que Sabe-se pouco sobre a vida de Tales. Tudo indica que era uma pessoa muito inteligente e muito curiosa e que era uma pessoa muito inteligente e muito curiosa e que elegeu o saber como seu objetivo de vida principal. Mas elegeu o saber como seu objetivo de vida principal. Mas na época de Tales a Grécia ainda não era a grande na época de Tales a Grécia ainda não era a grande potência cultural que viria a se tornar dois ou três potência cultural que viria a se tornar dois ou três séculos depois. Por isso, é bem possível que boa parte séculos depois. Por isso, é bem possível que boa parte do conhecimento de Tales tenha sido adquirida no Egito do conhecimento de Tales tenha sido adquirida no Egito e na Mesopotâmia, que nessa época eram centros e na Mesopotâmia, que nessa época eram centros culturalmente mais avançados que a Grécia, culturalmente mais avançados que a Grécia, particularmente em matemática e astronomia. Quando particularmente em matemática e astronomia. Quando retornou a Mileto, sua cidade natal, ganhou merecido retornou a Mileto, sua cidade natal, ganhou merecido respeito de seus concidadãos como estadista, filósofo, respeito de seus concidadãos como estadista, filósofo, matemático e astrônomo.matemático e astrônomo.Tales também foi comerciante e geômetra, era um Tales também foi comerciante e geômetra, era um homem divertido que amava viajar. homem divertido que amava viajar.

CONTOS:CONTOS:A respeito de Tales, relatam-se algumas histórias A respeito de Tales, relatam-se algumas histórias engraçadas, que podem não ser verdadeiras, mas, de engraçadas, que podem não ser verdadeiras, mas, de todo modo, são bastante interessantes e ilustrativas.todo modo, são bastante interessantes e ilustrativas.

““Conta-se que, tendo previsto uma grande safra de Conta-se que, tendo previsto uma grande safra de azeitonas, alugou todas as prensas da região de Mileto, a azeitonas, alugou todas as prensas da região de Mileto, a um preço bastante baixo. Depois, com a chegada da um preço bastante baixo. Depois, com a chegada da colheita, alugou-as pelo preço que quis e ganhou muito colheita, alugou-as pelo preço que quis e ganhou muito dinheiro. Dizem que fez isso apenas para mostrar que os dinheiro. Dizem que fez isso apenas para mostrar que os filósofos podem ficar ricos se esse for o seu desejo”.filósofos podem ficar ricos se esse for o seu desejo”.

““Conta-se que ele assombrou os seus contemporâneos ao Conta-se que ele assombrou os seus contemporâneos ao predizer o eclipse solar ocorrido no ano de 585 a.C.”.predizer o eclipse solar ocorrido no ano de 585 a.C.”.

““Conta-se que sua mula levava um carregamento de sal e, Conta-se que sua mula levava um carregamento de sal e, ao passar por um riacho, caiu nele e percebeu que parte de ao passar por um riacho, caiu nele e percebeu que parte de sua carga havia sido dissolvida na água, diminuindo o peso. sua carga havia sido dissolvida na água, diminuindo o peso. Numa outra oportunidade, o esperto animal rolou-se Numa outra oportunidade, o esperto animal rolou-se novamente nas águas aliviando a sua carga. Tales mandou novamente nas águas aliviando a sua carga. Tales mandou então que seus criados carregassem a mula com grande então que seus criados carregassem a mula com grande quantidade de esponjas. Ao passar pelo rio, o animal rolou-quantidade de esponjas. Ao passar pelo rio, o animal rolou-se na água. As esponjas intumesceram e tornaram a carga se na água. As esponjas intumesceram e tornaram a carga mais pesada. Dizem que o animal nunca mais se aventurou mais pesada. Dizem que o animal nunca mais se aventurou nesse tipo de experiência”.nesse tipo de experiência”.

““Conta-se que, estando em visita ao Egito, o faraó, Conta-se que, estando em visita ao Egito, o faraó, conhecendo a fama do grande matemático, pediu a ele que conhecendo a fama do grande matemático, pediu a ele que medisse a altura de uma pirâmide sem, no entanto, subir medisse a altura de uma pirâmide sem, no entanto, subir nela. Tales foi até uma das pirâmides, acompanhado de nela. Tales foi até uma das pirâmides, acompanhado de alguns matemáticos egípcios. Tomou uma estaca de alguns matemáticos egípcios. Tomou uma estaca de madeira, marcou na areia o seu comprimento, colocou a madeira, marcou na areia o seu comprimento, colocou a estaca na posição verticalestaca na posição vertical

e esperou que a sombra da estaca ficasse igual ao seu e esperou que a sombra da estaca ficasse igual ao seu comprimento. Aí foi só medir a sombra da pirâmide e somar comprimento. Aí foi só medir a sombra da pirâmide e somar com a metade da medida do lado de sua base. Essa soma era com a metade da medida do lado de sua base. Essa soma era exatamente a altura da pirâmide”.exatamente a altura da pirâmide”.

Veja o esboço a seguir:Veja o esboço a seguir:

Observando que os triângulos retângulos ABD e CDE são Observando que os triângulos retângulos ABD e CDE são semelhantes, conclui que:semelhantes, conclui que:

Como p (altura da estaca), d (sombra da estaca), b (lado da Como p (altura da estaca), d (sombra da estaca), b (lado da base da pirâmide) e s (sombra da pirâmide) podem ser base da pirâmide) e s (sombra da pirâmide) podem ser medidas diretamente, o valor de h (altura da pirâmide) fica medidas diretamente, o valor de h (altura da pirâmide) fica determinado.determinado.

O valor encontrado por Tales como altura aproximada da O valor encontrado por Tales como altura aproximada da pirâmide foi de 140 metros.pirâmide foi de 140 metros.

+==

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Contribuições para Matemática:Contribuições para Matemática:

Atribui-se a Tales a origem da organização dedutiva da Atribui-se a Tales a origem da organização dedutiva da geometria. Ele foi o primeiro homem da história a formular geometria. Ele foi o primeiro homem da história a formular propriedades gerais sobre figuras geométricas, como, por propriedades gerais sobre figuras geométricas, como, por exemplo, o famoso exemplo, o famoso Teorema de TalesTeorema de Tales, que acabamos de , que acabamos de estudar.estudar.

No que se refere às suas contribuições à matemática, elas No que se refere às suas contribuições à matemática, elas se resumem a resultados (ou teoremas) de geometria que se resumem a resultados (ou teoremas) de geometria que ele, de algum modo, teria conseguido provar. Trata-se de ele, de algum modo, teria conseguido provar. Trata-se de resultados esparsos e os métodos de demonstração usados resultados esparsos e os métodos de demonstração usados por Tales possivelmente se baseavam mais na por Tales possivelmente se baseavam mais na experimentação do que em raciocínios abstratos. Seguem experimentação do que em raciocínios abstratos. Seguem seus enunciados:seus enunciados:

• Todo diâmetro bissecta um círculo.Todo diâmetro bissecta um círculo.

• Os ângulos da base de um triângulo isósceles são Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.congruentes.

• Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

• Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são congruentes respectivamente a dois ângulos e um um são congruentes respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes.lado do outro, então os triângulos são congruentes.

• Todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto.Todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto.

O fato de Tales haver demonstrado , de alguma maneira O fato de Tales haver demonstrado , de alguma maneira esses teoremas não significa que ele tenha descoberto as esses teoremas não significa que ele tenha descoberto as propriedades correspondentes. Por exemplo, o último desses propriedades correspondentes. Por exemplo, o último desses resultados já era conhecido pelos babilônios cerca de 1400 resultados já era conhecido pelos babilônios cerca de 1400 anos antes de Tales. Mas os babilônios jamais pensaram em anos antes de Tales. Mas os babilônios jamais pensaram em enunciar genericamente as propriedades geométricas que enunciar genericamente as propriedades geométricas que conheciam e muito menos em prová-las, como Tales parececonheciam e muito menos em prová-las, como Tales parece

ter feito com as cinco citadas aqui.ter feito com as cinco citadas aqui.

É curioso que entre os resultados atribuídos a Tales não figura É curioso que entre os resultados atribuídos a Tales não figura explicitamente o teorema que trata de um feixe de retas explicitamente o teorema que trata de um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais, teorema esse paralelas cortadas por duas transversais, teorema esse conhecido entre nós como conhecido entre nós como Teorema de TalesTeorema de Tales. Mas o crédito . Mas o crédito tem algum fundamento, uma vez que o cálculo da altura da tem algum fundamento, uma vez que o cálculo da altura da pirâmide pressupõe o conhecimento de proporções, e pirâmide pressupõe o conhecimento de proporções, e portanto tem ligações com esse teorema. Diga-se de portanto tem ligações com esse teorema. Diga-se de passagem, porém, que na literatura matemática de um modo passagem, porém, que na literatura matemática de um modo geral, é mais comum atribuir-se o nome de Tales ao quinto geral, é mais comum atribuir-se o nome de Tales ao quinto dos teoremas da relação acima. De qualquer forma, a dos teoremas da relação acima. De qualquer forma, a homenagem a ele é merecida.homenagem a ele é merecida.

É claro que não se pode avaliar o mérito de Tales apenas É claro que não se pode avaliar o mérito de Tales apenas pelos teoremas atribuídos a ele, aliás poucos e hoje pelos teoremas atribuídos a ele, aliás poucos e hoje elementares. Muito mais importante foi a mudança de rumo elementares. Muito mais importante foi a mudança de rumo que ele imprimiu à matemática, colocando-a no caminho da que ele imprimiu à matemática, colocando-a no caminho da modernidade. modernidade.

Veja :Veja :

Calcule o valor de x:Calcule o valor de x:

SemelhançaSemelhança

LALLAL

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Seguimentos:Seguimentos: