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Fenômenos de Transportes Aula 04 Profª. Daniela Araújo

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Hipótese do contínuo Na definição de um fluido não foi mencionada a estrutura molecular dos fluidos, apesar de todos serem compostos de moléculas em movimento constante. No entanto, na maior parte das aplicações de engenharia, é de interesse somente os efeitos médios de um conjunto de moléculas. São estes efeitos macroscópicos que podemos perceber e medir. Então o fluido é tratado como uma substância infinitamente divisível, um contínuo. O conceito de CONTINUUM é a base da Mecânica dos Fluidos clássica e como a Mec. Flu. consiste fundamentalmente na aplicação das leis da Mecânica ao movimento de fluidos, é evidentemente impraticável aplicar essas leis para cada molécula do fluido.

Por exemplo: a velocidade em um ponto do espaço é indefinida em um meio molecular, pois seria zero o tempo todo exceto quando uma molécula ocupasse exatamente esse ponto, e aí seria a velocidade da molécula e não a velocidade média das partículas na vizinhança do ponto. Esse dilema é evitado se for considerada a velocidade em um ponto como sendo a média das velocidades de todas as moléculas existentes em torno do ponto, ou seja, dentro de uma pequena esfera com raio grande se comparado com a “distância média entre as moléculas”. Procura-se então os valores médios (relativos ao espaço e tempo) das grandezas que caracterizam o comportamento de porções de fluidos, de dimensões mínimas arbitrárias, de tal maneira que seja então possível a aplicação daquelas leis, mediante hipóteses restritivas e extrapolação adequadas.


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O significado atribuído à maioria das propriedades dependem da existência do CONTINUUM no sistema considerado. Por exemplo: o significado da pressão em um tanque fechado é freqüentemente explicado como a força total por unidade de área aplicada na parede do tanque, devido aos impactos contínuos das moléculas sobre as paredes. “Uma dada massa de gás contida em um volume constante e sujeito a uma temperatura constante, apresenta sempre a mesma pressão”. Esta conhecida lei começa a perder seu significado quando o volume considerado passa a conter uma quantidade de massa tão pequena que apenas algumas moléculas se encontram presentes. Se a pressão é ainda definida como acima, com o número muito reduzido de moléculas, o seu valor irá depender da probabilidade das moléculas se chocarem com a parede num determinado instante. Deste modo a pressão não será contínua (constante) variando de tempo em tempo. O mesmo argumento é valido para volumes muito pequenos de substâncias diversas onde somente algumas moléculas estão presentes. Cabe então uma pergunta: Até que magnitude, um volume contendo uma certa substância pode ser considerado um contínuo? Ou o que é a mesma coisa: Qual o menor número de moléculas de uma substância que deve conter um dado volume para que este seja considerado um contínuo?


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O contínuo é dito existir num dado volume de uma substância quando o volume contém um número de moléculas suficiente para que os efeitos médios das moléculas nas propriedades, dentro do volume, sejam constantes ou variem continuamente com o tempo e a dimensão do volume. Em um contínuo a molécula não tem significado; a menor divisão permissível da substância é um volume contendo um número considerável de moléculas.

Propriedades Físicas dos Fluidos Certas propriedades físicas dos fluidos são envolvidas no estudo da mecânica dos fluidos e processos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa. Entre estas propriedades pode-se incluir: densidade calor específico tensão superficial condutividade térmica difusividade mássica viscosidade

Estas propriedades são funções da pressão e da temperatura a

que estão submetidos os fluidos. Os valores dessas propriedades têm sido medido por diversos pesquisadores e os resultados podem ser encontrados em Hand Books como por exemplo o Perry, sob a forma de ábacos, tabelas ou correlações empíricas.


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Massa específica:

A massa específica de um fluido é definida como sua

massa por unidade de volume, ou seja, representa a massa do fluido contida num volume unitário:

3LM

Exemplo:

Para água a 4oC e pressão de 1 atm.

3cm/g1

Matematicamente a massa específica em um ponto do fluido é dada por:

V

mlim

VV

onde

m é a massa do fluido nas vizinhanças do ponto

considerado V é o volume

ou seja, a massa de um pequeno volume V circundando um

ponto.

V é o volume mínimo em torno do ponto para o qual é

aplicável a teoria do contínuo.

Volume específico: s

O volume específico s é o inverso da massa específica ,

ou seja é o volume ocupado pela unidade de massa do fluido.


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1s

313

s LMM

L

Peso específico:

O peso específico de uma substância é o seu peso por

unidade de volume. Pode ser obtido pelo produto da massa específica pela aceleração da gravidade.

g

Demonstração:

ggvolume

massa

volume

peso

volume

gmassa

volume

peso

volumeV

gmpeso

amF

22

3

2

23TLM

L

TLM

T

L

L

M

Densidade Relativa: d (adimensional) Refs. Propriedades físicas da água – Crane A-6


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Relação densidade-temperatura para óleos derivados do petróleo – Crane A-7

Densidade e peso específico de vários líquidos – Crane A-7 Propriedades físicas dos gases – Crane A-8 Densidade de combustíveis gasosos – Crane A-8 Peso específico e densidade de gases e vapores – Crane A-

10 Crane, página 1-3, Conversão de d(60F/60F) para grau API e

grau Baumé.

É a relação entre a massa específica de um fluido e a massa específica da água a 4

oC e 1 atm. de pressão (ou 15

oC = 60

oF)

.atm1eC4d

oOH

ff

2

f - qualquer líquido a uma temperatura especificada.

A densidade relativa é também conhecida como gravidade específica pois, também representa a relação entre o peso específico da substância em questão e o peso específico da água nas condições citadas acima.

gff

gOHOH 22

.atm1eC4g

gd

oOH

f

OH

ff

22

f - qualquer líquido a uma temperatura especificada.

Exemplo:

6,13cmg1

cmg6,13d

3

3

OH

Hg

Hg

2


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Pressão de vapor: pv

Quando uma pequena quantidade de líquido é colocado em um recipiciente fechado, uma certa fração do líquido vaporizará. A vaporização terminará quando é atingido o equilíbrio entre os estados líquido e gasoso da substância no recipiente, ou seja, quando o nº de moléculas escapando da superfície da água é igual ao nº de moléculas entrando. Os líquidos evaporam por causa de moléculas que escapam pela superfície livre. As moléculas de vapor exercem uma pressão parcial no espaço, conhecida como pressão de vapor. Se o espaço acima do líquido for confinado, depois de um certo tempo o número de moléculas de vapor atingindo a superfície do líquido e condensando é exatamente igual ao número de moléculas que escapam em qualquer intervalo de tempo, e existe equilíbrio. Como este fenômeno depende da atividade molecular a qual é função da temperatura, a pressão de vapor de um líquido depende da temperatura e aumenta com a mesma. Tensão superficial: Da experiência pode ser observada a tendência que tem as superfícies livres e as interfaces dos líquidos imiscíveis de se contraírem e formarem uma película ou camada de líquido especial. Exemplos: 1) formação de gotas esféricas de líquidos não sujeitos à ação de forças externas;

2) sustentação de uma pequena agulha na superfície da água em repouso.


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O efeito da tensão superficial se manifesta em superfícies curvas, exigindo diferenças de pressões entre os lados côncavo e convexo da superfície, para manter o equilíbrio de forças, e conseqüentemente dando origem a uma série de fenômenos bastante interessantes. A força de tensão superficial (necessária para manter o citado equilíbrio) está associada às interações entre as moléculas do fluido. Essa interação decresce com a distância entre as moléculas e pode ser desprezada para os gases. No interior dos líquidos as forças intermoleculares se compensam entre si mas, para as moléculas da superfície existem forças que evitam que elas se separem. Estas forças são responsáveis por manter, por exemplo, uma bolha de sabão sem se arrebentar, bem como por manter a pressão da coluna de líquido de um capilar. Tensão superficial é então a força de coesão necessária, obtida pela divisão da “energia de superfície” pela unidade de comprimento da película em equilíbrio. Energia de superfície – trabalho por unidade de área, necessário para trazer as moléculas à superfície. Tensão superficial – pode ser definida também como a força por unidade de comprimento de qualquer linha na superfície livre, necessária para manter a superfície junta através desta linha.

L

F

A tensão superficial depende da superfície livre do líquido

e das suas vizinhanças.


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Capilaridade: A atração capilar é causada pela tensão superficial e pela relação entre a adesão líquido-sólido e a coesão do líquido. Um líquido que molha o sólido tem uma adesão maior que a coesão. A ação da tensão superficial neste caso obriga o líquido a subir dentro de um pequeno tubo vertical que esteja parcialmente imerso nesse líquido. Tensão em um ponto: Grandezas escalares, vetoriais e tensoriais: Como já foi visto, as propriedades de um campo de escoamento podem ser de três tipos:

a) Grandeza escalar – é aquela que requer apenas a especificação de seu valor numérico para que seja perfeitamente determinada.

Exemplo: temperatura

b) Grandeza vetorial – é aquela que, em adição ao seu valor numérico, requer também uma completa especificação da sua direção. As grandezas vetoriais devem ser somadas de acordo com a regra do paralelogramo. Em geral, 3 valores associados com as direções dos eixos coordenados são necessários para especificar uma grandeza vetorial. Estes três valores são chamados componentes escalares de um vetor.

Exemplo: velocidade


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c) Grandeza tensorial – é de natureza física mais complexa e requer 9 ou mais componentes escalares para a sua especificação. Precisa de 2 direções mais o módulo.

Exemplo: tensão de cisalhamento

Escalares e vetores são considerados um caso particular de tensores. Escalar é um tensor de ordem zero. Vetor é um tensor de ordem um. O número de componentes escalares necessário para definir um tensor é dado pela seguinte relação:

Número de componentes de um tensor de ordem i3i

Assim:

Escalar: 130ordem 0

Vetor: 331ordem 1

Tensor de 2a ordem: 932ordem 2

Campos escalares, vetoriais e tensoriais: A palavra campo descreve a distribuição contínua de uma grandeza escalar, vetorial ou tensorial que são, por sua vez, descritas por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo. Assim, podemos descrever a temperatura de todos os pontos de um corpo em qualquer tempo, por um campo escalar expresso matematicamente por:

t,z,y,xTT

Um campo vetorial, como por exemplo um campo de velocidades é dado por:


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t,z,y,xVV

No entanto pode-se usar 3 campos escalares que descrevem o valor das componentes do vetor velocidade na direção de cada eixo coordenado:

t,z,y,xVV xx

t,z,y,xVV yy

t,z,y,xVV zz

Esta mesma técnica pode ser estendida para os campos tensoriais onde 9 ou mais campos escalares são usados para descrever os componentes do tensor. Campo de velocidade: Na secção anterior, vimos que a suposição do continuum conduziu à representação de campo das propriedades do fluido. Analisamos especificamente o campo de massa específica. Sempre que trabalhamos com fluidos em movimento, estamos necessariamente ligados à descrição de um campo de velocidades. A velocidade em qualquer ponto de um campo de fluxo é definida da seguinte forma: em um dado instante de tempo, o campo de velocidade V é uma função das coordenadas do espaço x, y, z, ou seja:

z,y,xVV

A velocidade em um dado ponto no campo de fluxo pode, no entanto, variar de um instante de tempo para outro. Então a representação completa do campo de velocidade é dada por:


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t,z,y,xVV

Se as propriedades de um ponto no campo não variam com o tempo, o fluxo é chamado de estacionário (regime permanente). Matematicamente, esta definição é escrita:

0t

onde z,y,x representa qualquer propriedade do fluido.

0t

ou z,y,x

0t

V ou z,y,xVV

No fluxo estacionário, as propriedades podem variar de ponto para ponto, porém devem permanecer constantes com o tempo em um dado ponto. Fluxos uni, bi e tridimensionais: Vimos que a expressão geral para o campo de velocidade, indica que o referido campo é uma função das três coordenadas e do tempo. Tal campo de fluxo é chamado tridimensional (e é também não estacionário) porque o valor da velocidade em qualquer ponto do fluxo depende das três coordenadas requeridas para localizar o ponto no espaço. Nem todos os fluxos são tridimensionais. Considerando por exemplo, o fluxo de água através um longo tubo reto de seção transversal constante.


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A um ponto distante da entrada do tubo, a distribuição de velocidade pode ser dada por:

2

maxR

r1uu

para

r = R u = 0

r = 0 u = umax

COORDENADAS CILÍNDRICAS: (x, r, ) Como o campo de velocidade é uma função somente de r, ou

seja é independente das coordenadas x e , este é um fluxo unidimensional.

“Um fluxo é classificado em uni, bi ou tridimensional, dependendo do número de coordenadas no espaço, requeridas para especificar o campo de velocidade”

Exemplo de um fluxo bidimensional – fluxo entre duas paredes

retas divergentes e infinitas em extensão (direção z). Se o canal é considerado infinito na direção z, o campo de velocidades deverá ser idêntico em todos os planos perpendiculares ao eixo z. Conseqüentemente, o campo de velocidade é uma função somente das coordenadas x e y e por isto o fluxo é considerado bidimensional.

r

x

r R

u

x z

y


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A complexidade da análise aumenta consideravelmente com o número de dimensões do escoamento. O caso mais simples é o fluxo unidimensional. Campo de tensões: Tensões em um meio resultam de forças atuando em alguma porção do meio. O conceito de tensões fornece uma maneira conveniente de descrever os modos pelos quais as forças agindo sobre os limites (fronteiras) do meio são transmitidas através do meio. Desde que força e área são ambas quantidades vetoriais, o campo de tensões não será um campo vetorial. Em geral, nove quantidades são requeridas para especificar o estado da tensão em um fluido e portanto a tensão é uma quantidade tensorial de segunda ordem. Forças de superfície e de campo: Forças de superfície e de campo são encontradas no estudo da mecânica dos fluidos do CONTINUUM.

Forças de superfície incluem todas as forças agindo sobre a periferia de um meio através de contato direto.

Forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas sobre o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças gravitacional e eletromagnética são exemplos de forças de campo que ocorrem em um fluido.


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A força de campo gravitacional agindo sobre um elemento de

volume, d , é dada por dg , onde é a massa específica e g

é a aceleração gravitacional local. Assim, a força de campo gravitacional por unidade de volume

é g e a força de campo gravitacional por unidade de massa é g .

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