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A Matemticae o dinheiro

Muita gente pensa que a Matemtica, emrelao ao dinheiro, s serve para fazer troco e para calcular o total a pagarno caixa. No bem assim. Sem a Matemtica, no conseguiramos enten-der nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salrio, perceber osprodutos que aumentaram demasiadamente de preo etc...

Nesta aula, vamos conhecer as porcentagens, os juros compostos ediversas outras coisas que fazem parte do nosso dia-a-dia, como aumentose descontos. Aconselhamos que voc confira os clculos desta aula usandouma calculadora, a qual tambm dever ser usada para a resoluodos exerccios.

Porcentagens

Vamos comear com um exemplo.

Se o preo de um artigo era de R$ 4,00 e passou a ser de R$ 5,00, oaumento de preo foi de R$ 5,00 - R$ 4,00 = R$ 1,00. Portanto, o aumentofoi de R$ 1,00 sobre um preo de R$ 4,00, e a frao que representa oaumento do preo, chamada de taxa de aumento, 1

4. Comumente

preferimos representar essas fraes em centsimos, que so chamados depor cento e representados por %. Como 1

4= 0,25 ou seja, 25 centsimos, a

taxa de aumento do preo foi de 25%.

Vejamos mais alguns exemplos.

EXEMPLO 1

O preo de um artigo era de R$ 36,00 e sofreu uma diminuio de 15%. Paraquanto passou?

Soluo: Como 15% = 0,15, a diminuio de preo foi de 0,15 . 36 = 5,40, ouseja, o novo preo R$ 36,00 - R$ 5,40 = R$ 30,60.

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Introduo

Nossa aula

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P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

37A U L A EXEMPLO 2

Uma loja oferece um desconto de 20% nos preos, para pagamento vista.Quanto custa, vista, um artigo cujo preo de R$ 45,00?Soluo: O desconto de 0,20 45 = 9. O preo para pagamento vista R$ 45,00 - R$ 9,00 = R$ 36,00.

Aumentos e descontos sucessivos

Imagine que um produto sofra um aumento de 30% em um ms e um de20% no ms seguinte. Qual ser a taxa de aumento total que sofrer o preodo produto nesses dois meses?

Essa uma pergunta interessante, porque a maioria das pessoaspensa, erroneamente, que a taxa de aumento total foi de 30% + 20% = 50%.Se o preo do produto era de 100 (sempre podemos tomar o preo igual a100; basta tomar como unidade de preo um centsimo do preo doproduto), o primeiro aumento foi de 30% de 100, isto , de 0,30 . 100 = 30,o que elevou o preo do produto para 100 + 30 = 130; o segundo aumentofoi de 20% de 130, isto , de 0,20 . 130 = 26, o que elevou o preo do produtopara 130 + 26 = 156. O aumento total foi de 156 - 100 = 56 sobre o preo de100. A taxa total de aumento foi de

Vejamos mais alguns exemplos:

EXEMPLO 3

O preo de um artigo sofreu dois descontos sucessivos, de 30% e de 20%.Qual foi a taxa total de desconto?Soluo: Se o preo do artigo era 100, o primeiro desconto foi de0,30 . 100= 30, o que baixou o preo para 100 - 30 = 70; o segundodesconto foi de 0,20 . 70 = 14, o que mudou o preo para 70 - 1 4 = 56.A reduo total do preo foi de 100 - 56 = 44 sobre um preo de 100.A taxa total de desconto foi de

EXEMPLO 4

Um artigo vendido, em uma promoo, com um desconto de 30%.Encerrada a promoo, o artigo retorna ao preo normal. Em quantos porcento aumenta o preo do artigo?Soluo: Se o preo era 100, o preo com desconto de:

100 - 0,30 . 100 = 100 - 30 = 70Para retornar ao preo normal, ele deve sofrer um aumento de 30 emrelao a um preo de 70. A taxa de aumento de

56100

= 0, 56 = 56%

44100

= 0, 44 = 44%

3070

@ 0, 43 = 43%@



37A U L AJuros

A operao bsica da matemtica financeira a operao de emprs-timo. Algum que dispe de um capital C0 (chamado de principal), empres-ta-o a outra pessoa por um certo perodo de tempo. Aps esse perodo, elerecebe o seu capital C0 de volta, acrescido de uma remunerao J peloemprstimo. Essa remunerao chamada de juro. A soma C0 + J chamada de montante. A razo i =

J

C0, que a taxa de aumento do capital,

ser sempre referida ao perodo da operao e chamada de taxa de juros.Por exemplo, se Pedro tomou um emprstimo de R$ 100,00 e, dois meses

depois, pagou R$ 120,00, os juros pagos por Pedro so de R$ 20,00, e a taxade juros 20

100= 0,20 = 20% ao bimestre.

O principal, que a dvida inicial de Pedro, igual a R$ 100, e omontante, que a dvida de Pedro na poca do pagamento, igual a R$120,00.

Note que Pedro e quem lhe emprestou o dinheiro concordaram queR$ 100,00 no incio do referido bimestre tm o mesmo valor que R$ 120,00no final do referido bimestre.

importante notar que o valor de uma quantia depende da poca qualela se refere. Na prxima aula este fato ser abordado com mais detalhes.

Agora vamos falar um pouco sobre juros compostos. Imagine que Paulotomou um emprstimo de R$ 100,00, a juros de taxa 10% ao ms. Aps umms, a dvida de Paulo ser acrescida de 0,10 . 100, ou seja, R$ 10,00 dejuros, pois J = i C, passando a R$ 110,00.

Se Paulo e seu credor concordarem em adiar a liquidao da dvida pormais um ms, mantida a mesma taxa de juros, o emprstimo ser quitado,dois meses depois de contrado, por R$ 121,00, pois os juros relativos aosegundo ms sero de 0,10 . 110, ou seja, R$ 11,00.

Esses juros aqui calculados so chamados de juros compostos. Maisprecisamente, no regime de juros compostos, os juros em cada perodo socalculados, conforme natural, sobre a dvida do incio desse perodo.

Um fato extremamente importante que:

No regime de juros compostos de taxa i,um principal C0 transforma-se, aps n perodos de tempo,

em um montante Cn = C0 (1 + i)n.

Com efeito, se um capital C recebe, em um perodo de tempo, juros detaxa i, ele se transforma, ao fim do perodo, em C + i C = (1 + i) C. Ou seja,aps cada perodo de tempo, a dvida sofre uma multiplicao por 1 + i.Ento, depois de dois perodos de tempo, a dvida inicial C0 sofrer duasmultiplicaes por 1 + i, isto , ficar multiplicada por (1 + i)2.

Prosseguindo nesse raciocnio, a dvida em n perodos de tempo serigual dvida inicial multiplicada por (1 + i)n, ou seja, ser igual a:

Cn = C0 (1 + i)n



37A U L A EXEMPLO 5

Cristina toma um emprstimo de R$ 150,00 a juros de 12% ao ms. Qualser a dvida de Cristina trs meses depois?

Soluo: Temos que o principal C0 = 150, a taxa de juros i = 0,12 e n =3. O montante da dvida ser:

C3 = C0 (1 + i)3 =

= 150 . (1 + 0,12)3 =

= 150 . 1,123 =

= 150 . 1,404928 =

= 210,7392

Portanto, a dvida de Cristina ao fim desses trs meses ser de R$ 210,74.

EXEMPLO 6

Uma inflao mensal de 3% ao ms equivale a uma inflao anual de quanto?

Soluo: A taxa de inflao a taxa mdia de elevao dos preos dosprodutos e servios. Se o preo mdio inicial 100, aps 12 meses ele serigual a 100 . (1 + 0,03)12. Com auxlio de uma calculadora, como vimos naAula 35, obtemos 142,58, aproximadamente. O aumento mdio foi de 42,58sobre um preo de 100, isto , a taxa de inflao anual foi de 42,58%,aproximadamente.

Exerccio 1O quilo do acar custava R$ 0,48 e passou a custar R$ 0,58 enquanto opacote de meio quilo de caf custava R$ 2,80 e passou a custar R$ 3,20. Quaisforam os aumentos porcentuais desses dois produtos? Qual deles aumentoumais?

Exerccio 2O salrio mensal bruto de Severino de R$ 120,00. Se ele descontado em8% para a Previdncia Social, qual o seu salrio lquido?Observao: Salrio lquido o salrio bruto menos os descontos.

Exerccio 3Depois de um aumento de 15%, um televisor passou a custar R$ 460,00. Qualera o preo do televisor antes do aumento?Sugesto: Se x o preo antigo, ento x + 0,15x = 460.

Exerccios



37A U L AExerccio 4

Aumentos sucessivos de 20% e de 10% equivalem a um aumento nico dequanto? E descontos sucessivos de 20% e de 10% equivalem a um descontonico de quanto?

Exerccio 5Se um artigo aumentou em 25%, de quanto ele deve diminuir para voltar aopreo antigo?

Exerccio 6Os trabalhadores de certa categoria esto reivindicando uma reposiosalarial de 29% mais um aumento real de 5%. Qual o aumento total queest sendo pleiteado?

Exerccio 7Investindo seu dinheiro a juros de 5% ao ms, qual o rendimentotrimestral que voc obtm?

Sugesto: Faa o principal igual a 100 e determine o montante.

Exerccio 8Uma inflao de 15% em 4 meses gerada por uma inflao mensal mdiade quanto?

Sugesto: Lembre-se de que a raiz quarta de um nmero pode ser obtida, nacalculadora, apertando duas vezes a tecla de raiz quadrada.



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