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Universidade Federal Fluminense
Aula 3 – Equações Integrais
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
TCE – Escola de Engenharia
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Aula 3 – Equações Integrais
Leis Básicas
Vazão
Volume de Controle
Teorema de transporte de Reynolds e aplicações:
▪ Conservação da Massa
▪ Quantidade de movimento linear
▪ Quantidade de movimento angular
▪ Energia
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Métodos de Solução
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Métodos de solução de problemas com fluidos:
F
u(r)
Solução analítica ou numérica
(CFD – ComputationalFluid Dynamics)
VCGrandezas integrais (volume de controle – VC):
• Vazão• Força • Energia
EQUAÇÕES INTEGRAIS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MÉTODOS EXPERIMENTAIS
Grandezas infinitesimais (pontual):
• Velocidade: 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)• Tensão: 𝜎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 , 𝜏 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
• Modelos reduzidos em laboratório, protótipos ou medições em campo
• Análise dimensional
Disponível em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.
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Leis Básicas
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𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑐𝑡𝑒
→𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
= 0
CONSERVAÇÃO DA MASSA(Continuidade)
Quantidade de movimento linear
(momentum): 𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑀 𝑉 𝑑𝑚
2ª Lei de newton:
𝐹 =𝑑 𝑃
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
PRINCÍPIO DA QTD. DE MOVIMENTO LINEAR
Quantidade de movimento
angular: 𝐻𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑀 𝑟 × 𝑉𝑑𝑚
𝑀 =𝑑𝐻
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
PRINCÍPIO DA QTD. DE MOVIMENTO ANGULAR
Energia: 𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝑀 𝑒 𝑑𝑚
1ª Lei da Termodinâmica: 𝑄 − 𝑊 =𝑑𝐸
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
2ª Lei da Termodinâmica: 𝛿𝑆 ≥𝛿𝑄
𝑇
ENERGIA
Relações de estado:
• 𝑝 = 𝑝 𝜌, 𝑇• 𝑒 = 𝑒 𝜌, 𝑇
Ex. de gases ideais:𝑝𝑉 = 𝑚𝑅𝑇
→ 𝑝 =𝑚
𝑉𝑅𝑇
→ 𝑝 = 𝜌𝑅𝑇
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Vazão
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𝑉
𝑛
𝑉𝑛
𝑉𝑡
𝑉𝑛 = 𝑉 ∙ 𝑛 = 𝑉 cos 𝜃
dh
VAZÃO VOLUMÉTRICA
𝑄 =𝑑V
𝑑𝑡→ 𝑑𝑄 =
𝑑ℎ ∙ 𝑑𝐴
𝑑𝑡= 𝑉𝑛𝑑𝐴
→ 𝑄 = 𝑆
𝑉𝑛𝑑𝐴 = 𝑆
𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
→ 𝑄 = 𝑆
𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
VAZÃO MÁSSICA
𝑚 =𝑑𝑚
𝑑𝑡
→ 𝑚 = 𝑆
𝜌 𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
=𝜌 𝑑V
𝑑𝑡→ 𝑑 𝑚 = 𝜌 𝑑𝑄
dA
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VAZÃO VOLUMÉTRICA
𝑄 =𝑑V
𝑑𝑡→ 𝑑𝑄 =
𝑑ℎ ∙ 𝑑𝐴
𝑑𝑡= 𝑉𝑛𝑑𝐴
→ 𝑄 = 𝑆
𝑉𝑛𝑑𝐴 = 𝑆
𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
→ 𝑄 = 𝑆
𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
VAZÃO MÁSSICA
𝑚 =𝑑𝑚
𝑑𝑡
→ 𝑚 = 𝑆
𝜌 𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
=𝜌 𝑑V
𝑑𝑡→ 𝑑 𝑚 = 𝜌 𝑑𝑄
S
u(y,z) um
x𝑄, 𝑚
Velocidade uniforme ou média:
𝑄 = 𝑉𝑚 ∙ 𝐴 = 𝑉𝑚𝐴 cos 𝜃
Velocidade uniforme ou média:
𝑚 = 𝜌𝑉𝑚 ∙ 𝐴 = 𝜌𝑉𝑚𝐴 cos 𝜃
S
𝑄 = 𝑉𝑚𝐴
... e perpendicular à superfície S: ... e perpendicular à superfície S:
𝑚 = 𝜌𝑉𝑚𝐴
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Exemplo: Tratando-se de escoamentos laminares no interior de tubulações, é possível obter a solução analítica da distribuição de velocidades ao longo da seção, dada por 𝑢 𝑟 = 𝐾(𝑅2 − 𝑟2), onde r é a coordenada polar que representa a distância até o eixo do tubo e K é uma constante, calculada em função das propriedades do fluido e o raio R da tubulação. Faça um esboço do perfil de distribuição de velocidades, calcule a vazão (volumétrica) escoada e a velocidade média.
Q= SVndA
xr
= Su dA
A = πr2 → dA = 2πrdr
Q = 0
RK R2−r2 2πrdr
→ Q =2πK R2r2
2−r4
4 0
R
→ Q = 2πK 0
RR2r−r3 dr
Q =πKR4
2u(r)
Q = VmA →πKR4
2= Vm πR2 → Vm =
KR2
2
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Teorema do Transporte de Reynolds
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Volume deControle
Superfície de Controle
Vizinhança
me
ms
𝐹
𝑀
e
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Troca na SC
B no VCdA
𝐵 = 𝑚, 𝑃, 𝐻 𝑜𝑢 𝐸
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
dm
𝑑𝐵 =𝑑𝐵
𝑑𝑚𝑑𝑚
𝜌 𝑑V
𝛽
𝐵𝑉𝐶 = 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑V
𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑V
𝑛
𝑉 𝑑𝐵 =𝑑𝐵
𝑑𝑚𝑑𝑚
𝑑 𝑚 = 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
𝛽
Sistema = VC + SC
=𝑑𝐵
𝑑𝑚
𝑑𝑚
𝑑𝑡𝑑𝑡
= 𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴 𝑑𝑡
→ 𝑑𝑑𝐵
𝑑𝑡= 𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
+ 𝑆𝐶
𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
Volume deControle
Superfície de Controle
→𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑆𝐶
= 𝑆𝐶
β ∙𝑉ߩ 𝐴
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dA
𝐵 = 𝑚, 𝑃, 𝐻 𝑜𝑢 𝐸
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
dm
𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑V
𝑛
𝑉
Sistema = VC + SC
+ 𝑆𝐶
𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
Aberturas uniformes:
= 𝛽𝑖 𝜌𝑖𝑉𝑖 ∙ 𝑛𝑖 𝑆𝑖
𝑑𝐴
𝐴𝑖
Volume deControle
Superfície de Controle
dA
𝑛
Saída:
𝑉
𝑉 ∙ 𝑛 > 0
Entrada:
𝑛dA
𝑉
𝑉 ∙ 𝑛 < 0
𝑉 ∙ 𝑑 𝐴 > 0 𝑉 ∙ 𝑑 𝐴 < 0
=
𝑆𝐶
𝛽𝑖 𝜌𝑖𝑉𝑖 ∙ 𝐴𝑖
• na aberturas i:
• em todas aberturas:
𝑉 ∙ 𝑛 = 𝑉 cos 𝜃 →
𝜃 < 90° 𝜃 > 90°
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VCVC
VC FIXO VC COM VELOCIDADE UNIFORME
VC DEFORMÁVEL
𝑉SC
𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑V + 𝑆𝐶
𝛽 𝜌𝑉 ∙ 𝑑 𝐴
Disponível em <http://www.modelcityfirefighter.com/2014/10/29/colorado-firefighters-know-big-fire-means-big-water/>. Acesso em 27 mar. 2018.
Disponível em <https://medium.com/@brendanarmstrong_71005/filling-the-cup-f96e102b0783>. Acesso em 27 mar. 2018.
Disponível em <http://www.maxsonlab.com/kayak/040716pendoreille/040716pendoreille.htm>. Acesso em 27 mar. 2018.
VC
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Teorema de transporte de Reynolds
Superfície de controle em movimento uniforme
𝑉𝑎
𝑉𝑠
SC
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Teorema de transporte de Reynolds
Superfície de controle em movimento uniforme
𝑉𝑎
𝑉𝑠
𝑉𝑆 = 𝑉𝑎
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Teorema de transporte de Reynolds
Superfície de controle em movimento uniforme
𝑉𝑠
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𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑆𝐶
𝛽𝜌 𝑉 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Teorema de transporte de Reynolds
Superfície de controle em movimento uniforme
𝑉𝑠
dt 𝑽
−𝑉𝑠
𝑉𝑉𝑟
𝑉𝑟 = 𝑉 − 𝑉𝑠
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𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑆𝐶
𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Teorema de transporte de Reynolds
Superfície de controle em movimento uniforme
dt 𝑉𝑟 = 𝑉 − 𝑉𝑠𝑽
𝑉𝑠
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Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:
𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑆𝐶
𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
A1
A2 A3
Ai
An
VC
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Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:
𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑆𝐶
𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
A1
A2 A3
Ai
An
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∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:Na i-ésima abertura:
𝐴𝑖
𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝛽𝑖 𝜌𝑖 𝑉𝑟𝑖 ∙ 𝑛𝑖 𝐴𝑖
𝑑𝐴
= 𝛽𝑖 𝜌𝑖 𝑉𝑟𝑖 ∙ 𝑛𝑖 𝐴𝑖
𝑆𝐶
𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
Em toda a SC:
= ∑ 𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝐴 𝑖
±𝜌𝑉𝑛𝑟𝑖𝐴𝑖
𝑄𝑖
= ± 𝑚𝑖
+ saídas entradas
=
= ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑆𝐶
𝛽𝜌 𝑉𝑟 ∙ 𝑛 𝑑𝐴
= 𝛽𝑖 ± 𝜌𝑖 𝑉𝑛𝑟𝑖𝐴𝑖
A1
A2 A3
Ai
An
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Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
+ saída entrada
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴𝑄
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
𝑑𝐵
𝑑𝑡𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + 𝑆𝐶
𝛽𝜌 𝑉𝑛𝑟 𝑑𝐴
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Eq. Integral da Continuidade
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𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
Teorema de transporte de Reynolds:
• Conservação da massa:
𝐵 = 𝑚 → 𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚= 1
𝑑 𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡= 0
𝑑 𝑚𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝜌 𝑑𝑉 + ± 𝑚𝑖= 0
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
(+ saída; - entrada) 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
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Equação integral da continuidade
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes
▪ Transiente
▪ Permanente
+ saída entrada
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝜌 𝑑𝑉 + ± 𝑚𝑖 = 0
± 𝑚𝑖 = 0
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Conservação da massa
Exemplo:
Escreva a relação de conservação de massa
para o escoamento permanente de um fluido
incompressível através de um tubo de corrente
(escoamento paralelo as paredes em todos os locais)
com uma única saída 1 e uma única entrada 2,
uniformes.
1
2
V2
V1
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Conservação da massa
Exemplo:
1
2
V2
V1+ saída entrada
m= ρ Vnr A∑± mi = 0
∑ mi = 0
→ −ρ1V1A1 + ρ2V2A2 = 0
𝜌 =𝑑𝑚
𝑑𝑉
→ V1A1 = V2A2 = Q
→ V2=V1A1A2incompressível
→ − m1 + m2 = 0
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Conservação da massa
Exemplo:
Água à 20°C flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seção 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 m³/h. Na
seção 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade média é de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em m³/h e a velocidade média V3 em m/s
Água
1
2
3
![Page 31: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/31.jpg)
Conservação da massa
Exemplo:
Água à 20°C flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seção 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 m³/h. Na
seção 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade média é de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em m³/h e a velocidade média V3 em m/s
Água
1
2
3
∑± mi = 0
− m1 + m2 + m3 = 0
+ saída entrada
m= ρ Vnr A
Q
−ρ Q1 + ρ V2A2 + ρ Q3 = 0
![Page 32: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/32.jpg)
Conservação da massa
Exemplo:
Água à 20°C flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seção 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 m³/h. Na
seção 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade média é de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em m³/h e a velocidade média V3 em m/s
Água
1
2
3
Q3 = Q1 − V2A2 = Q1 − V2 πD22
4
= 100 − 8 π0,05 2
4 3600 = 43,4 m³/h
Q3 = V3A3 → V3 =Q3A3
=43,4/3600
π 0,04 2/4= 9,6 m/s
∑± mi = 0
− m1 + m2 + m3 = 0
+ saída entrada
m= ρ Vnr A
Q
−ρ Q1 + ρ V2A2 + ρ Q3 = 0
![Page 33: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/33.jpg)
Eq. Integral do Momentum
![Page 34: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/34.jpg)
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
Teorema de transporte de Reynolds:
• Relação da qtd. de movimento linear:
𝐵 = 𝑉𝑑𝑚 → 𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚= 𝑉
𝑑 𝑚𝑉
𝑑𝑡=
𝐹 =𝑑
𝑑𝑡𝑚𝑉
2ª Lei de Newton
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑚𝑉𝑖
𝐹
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
(+ saída; - entrada)
![Page 35: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/35.jpg)
Equação integral da quantidade de movimento linear
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes
▪ Transiente
▪ Permanente
+ saída entrada
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
𝐹 =𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑚𝑉𝑖
𝐹 = ∑ ± 𝑚𝑉𝑖
![Page 36: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/36.jpg)
Quantidade de movimento linear Exemplo: Um volume de controle fixo em regime permanente possui uma
entrada uniforme (1, A1, V1) e uma saída uniforme (2, A2, V2). Encontre uma expressão para a força resultante no volume de controle.
1
2
V2
V1
F= ∑ ± mVi=− m1V1+ m2V2
∑ mi=0 →− m1+ m2=0
→ m1= m2
Pela equação da continuidade:
= m
∑F=− m1V1+ m2V2
∑F= m V2−V1V2
−V1V2 − V1
∑ 𝐹
![Page 37: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/37.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo: Um jato de água ( = 1000 kg/m³) com velocidade Vj atinge
perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a força necessária para manter a placa se movendo à velocidade constante se a área do jato é de 3 cm², Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.
Vc
Vc
Vj
SC
F= ∑ ± mVi
F
m=ρVnrA
![Page 38: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/38.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo: Um jato de água ( = 1000 kg/m³) com velocidade Vj atinge
perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a força necessária para manter a placa se movendo à velocidade constante se a área do jato é de 3 cm², Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.
Vc
Vc
Vj
SC
F= ∑ ± mVi
x
y
• em x: ∑Fx =− meVe
F=− ρVnrAj𝑒Vj−Vc
F
Vj-Vc
Vj-Vc
F=−ρAj Vj−Vc2
F=−1000. 3.10−4 . 20−15 2
F=−7,5 N
m=ρVnrA
![Page 39: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/39.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão
np
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑆𝐶
𝑝 −𝑛 𝑑𝐴
![Page 40: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/40.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão
-np
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑆𝐶
𝑝 −𝑛 𝑑𝐴
![Page 41: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/41.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão constante (Ex.: Pressão atm.)
𝑆
𝐵 ∙ 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑉
𝛻 ∙ 𝐵 𝑑𝑉
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑆𝐶
𝑝𝑎 −𝑛 𝑑𝐴
-npa
Teorema de Gauss:
→ 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 0
𝛻 =𝜕
𝑥 𝑖 +
𝜕
𝜕𝑦 𝑗 +
𝜕
𝜕𝑧 𝑘
= − 𝑉𝐶
𝛻𝑝𝑎 𝑑𝑉 = 0
![Page 42: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/42.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão X Pressão manométrica
p
pm = 0
pa
pp
pa
SC
𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎
![Page 43: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/43.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão X Pressão manométrica
pm = p - pa
pm = 0
pa
pm
pm
pa
SC
𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑆𝐶
𝑝 −𝑛 𝑑𝐴
= 𝑆𝐶
𝑝𝑚 + 𝑝𝑎 −𝑛 𝑑𝐴
= 𝑆𝐶
𝑝𝑚 −𝑛 𝑑𝐴 + 𝑆𝐶
𝑝𝑎 −𝑛 𝑑𝐴
0
→ 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑆𝐶
𝑝𝑚 −𝑛 𝑑𝐴
p = pm + pa
![Page 44: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/44.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão - Pressão manométrica
▪ Exemplo:
𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎
= 3”
40 psi(abs)
15 psi (abs)
15 psi(abs)
15 psi (abs)1
2
pa = 15 psi
![Page 45: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/45.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão - Pressão manométrica
▪ Exemplo:
= 3”
40 psi(abs)
15 psi (abs)
15 psi(abs)
15 psi (abs)
𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎pa = 15 psi
1
2
pm = 25 psi
0 psi
0 psi
0 psi
Pressões manométricas:Pressões absolutas:
1
2
= 3”
![Page 46: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/46.jpg)
Fpressão= SC
pm −n dA
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão - Pressão manométrica
▪ Exemplo:
= pm −n SC
dA
= pm −n 𝐴
Fpressão= pm A = 25 psi ∙π 3" 2
4
Fpressão= 177 lbf
𝑝𝑚 = 𝑝 − 𝑝𝑎
pm = 25 psi
0 psi
0 psi
0 psi
1
2
Pressões manométricas: = 3”
pa = 15 psi
![Page 47: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/47.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12” e D2 = 6”, com pressão de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para água à 20°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
pa = 103,4 kPa
![Page 48: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/48.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12” e D2 = 6”, com pressão de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para água à 20°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
pa = 103,4 kPa
![Page 49: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/49.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12” e D2 = 6”, com pressão de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para água à 20°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
Pressões absolutas:
pa = 103,4 kPa
pa
pa
pa
Pressões manométricas:
p1
1
2
0 Pa
0 Pap1 - pa
0 Pa
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Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12” e D2 = 6”, com pressão de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para água à 20°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
+ saída entrada
pa = 103,4 kPa
Pressões manométricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
∑F= ∑ ± mVi
• Pela eq. da continuidade: m1 = m2
m=ρVnrA
→ p1−pa A1 − F = − m1V1+ m2V2
→ ρ1V1A1 = ρ2V2A2
→ V1 = V2A2A1
= 17612
2
F
= V2D2D1
2
V1 = 4,25 m/s
p1 - pa
![Page 51: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/51.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12” e D2 = 6”, com pressão de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para água à 20°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
pa = 103,4 kPa
Pressões manométricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
∑F= ∑ ± mVi
• Pela eq. da continuidade: m1 = m2
→ p1−pa A1 − F = − m1V1+ m2V2F
V1 = 4,25 m/s
m1= ρ V1 π D12 4
= 998 ∙ 4,25 ∙ π ∙ 12 ∙ 0,0254 2 4
m1= 310 kg/s
A1= 0,073 m2
p1 - pa
+ saída entrada
m=ρVnrA
![Page 52: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/52.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12” e D2 = 6”, com pressão de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para água à 20°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
pa = 103,4 kPa
Pressões manométricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
∑F= ∑ ± mVi
• Pela eq. da continuidade: m1 = m2
→ p1−pa A1 − F = − m1V1+ m2V2F
V1 = 4,25 m/s m1= 310 kg/s
→ F = p1−pa A1 + m1 V1 − V2
p1 - pa
A1 = 0,073m2
→ F = 7,6 kN
+ saída entrada
m=ρVnrA
![Page 53: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/53.jpg)
Equação integral da quantidade de movimento linear
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes
▪ Transiente
▪ Permanente
▪ VC acelerado:
+ saída entrada 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
𝐹 =𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑚𝑉𝑖
𝐹 = ∑ ± 𝑚𝑉𝑖
𝐹𝑠𝑢𝑝 + 𝑃 − 𝑎𝑉𝐶𝑚𝑉𝐶
Ex.: foguete.
![Page 54: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/54.jpg)
Eq. Integral da Qtd. de Movimento Angular
![Page 55: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/55.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds:
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
r
dmV
O
𝑑𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚 → 𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚
• Relação da qtd. de movimento angular:
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
(+ saída; - entrada)
![Page 56: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/56.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds:
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
r
dmV
O
𝑑𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚 → 𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚
• Relação da qtd. de movimento angular:
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
(+ saída; - entrada)
![Page 57: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/57.jpg)
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
Teorema de transporte de Reynolds:
• Relação da qtd. de movimento angular:
𝐵 = 𝐻𝑂 → 𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚= 𝑟 × 𝑉
𝑑𝐻𝑂𝑑𝑡
=
𝑀 =𝑑𝐻𝑂𝑑𝑡
=𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖
𝑀
r
dmV
O
𝐻𝑂 = 𝑟 × 𝑉 𝑑𝑚
𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
(+ saída; - entrada)
![Page 58: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/58.jpg)
Equação integral da quantidade de movimento angular
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes
▪ Transiente
▪ Permanente
▪ Momento
𝑀 =𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑟 × 𝑉 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖
𝑀 = ∑ ± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖
+ saída entrada 𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄
𝑟 × 𝐹𝑠 + 𝑉𝐶
𝑟 × 𝑔 𝜌 𝑑V + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜
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Eq. integral da quantidade de mov. angular :
Exemplo: O regador giratório de grama com três braços (vista superior na figura
abaixo) recebe água à 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de
0,1 N.m, calcule a sua rotação permanente.
d = 7 mm
𝑄𝑒 = 1800 𝐿 ℎ = 1800 1000 ∙ 3600 = 5 ∙ 10−4 m³ s
Princípio da continuidade:
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝜌 𝑑V +
𝑆𝐶
𝜌𝑖𝑉𝑟𝑖 ∙ 𝐴𝑖 = 0
0 (permanente)
→
𝑆𝐶
±𝜌𝑖 𝑉𝑟𝑖𝐴𝑖𝑄𝑖
𝑚𝑖
= 0 → −𝜌𝑄𝑒 + 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 = 0
1
2
3
e
→ 𝑚1 =𝜌𝑄𝑒3
=1000 ∙ 5 ∙ 10−4
3= 0,167 kg s
→ 𝑉𝑟1 = 𝑚1
𝜌𝐴1=
𝑚1
𝜌𝜋𝐷2
4
=4 ∙ 0,167
1000 ∙ 𝜋 ∙ 0,007 2 = 4,34 m s
y
x
![Page 60: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/60.jpg)
Eq. integral da quantidade de mov. angular :
Exemplo: O regador giratório de grama com três braços (vista superior na figura
abaixo) recebe água à 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de
0,1 N.m, calcule a sua rotação permanente.
d = 7 mm
𝑄𝑒 = 1800 𝐿 ℎ = 1800 1000 ∙ 3600 = 5 ∙ 10−4 m³ s
Princípio da continuidade:
1
2
3
e
y
x
→ 𝑚1 = 0,167 kg s
→ 𝑉𝑟1 = 4,34 m s
Princípio da qtd. de mov. angular: 𝑀 =
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑟 × 𝑉𝜌 𝑑V +
𝑆𝐶
± 𝑟 × 𝑉 𝑚𝑖
0 (permanente)
𝑟 × 𝐹𝑠 + 𝑉𝐶
𝑟 × 𝑔 𝜌 𝑑V + 𝑇𝑒𝑖𝑥𝑜0 0 0 ( 𝑟𝑒 = 0)
𝜌𝑖𝑉𝑛𝑟𝑖𝐴𝑖
→ 𝑇𝑎𝑡 𝑘 = 3 𝑟1 × 𝑉1 𝑚1
𝑉1 𝑉𝑆1 = 𝜔𝑅 𝑖
𝑅 𝑗 𝑉𝑟1 + 𝑉𝑆1= 𝜔𝑅 − 𝑉𝑟1 𝑖
= 3𝑅 𝜔𝑅 − 𝑉𝑟1 𝑚1 𝑗 × 𝑖
− 𝑘
→ 𝜔 =𝑉𝑟1𝑅−
𝑇𝑎𝑡3𝑅2 𝑚1
=4,34
0,15−
0,1
3 0,15 20,167= 20,1 rad s = 192 rpm
→ 𝑇𝑎𝑡 = 3𝑅 𝑉𝑟1 − 𝜔𝑅 𝑚1
× 60/2𝜋
+e 1 2 3+ +-
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Eq. Integral da Energia
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𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
𝑑 𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝛽 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝛽 𝑚 𝑖
Teorema de transporte de Reynolds:
• Equação da Energia:
𝐵 = 𝐸 → 𝛽 =𝑑𝐵
𝑑𝑚=𝑑𝐸
𝑑𝑚
𝑑𝐸
𝑑𝑡==
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝑒 𝑚 𝑖
𝑑𝑄
𝑑𝑡−𝑑𝑊
𝑑𝑡
𝑑𝑄
𝑑𝑡−𝑑𝑊
𝑑𝑡=𝑑𝐸
𝑑𝑡
1ª Lei da termodinâmica:
= 𝑒
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Equação integral da energia
𝑑𝑄
𝑑𝑡−𝑑𝑊
𝑑𝑡=
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝑉 + ∑ ±𝑒 𝑚 𝑖
• Energia:
• Trabalho:
𝑒 = 𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 + 𝑒𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝑒𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑒𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑢 𝑉22
𝑔𝑧
𝑑𝑊
𝑑𝑡= 𝑊 = 𝑊𝑚á𝑞 + 𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐
𝐹𝑖 ∙ 𝑉𝑖
+ saída entrada
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 + 𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 = +𝐼 + ∑ ± 𝑢 +𝑉2
2+ 𝑔𝑧 𝑚
𝑖
= 𝑝𝑖 ∙ 𝐴𝑖 ∙ 𝑉𝑛𝑟𝑖 = 𝑝𝑖 ∙ 𝑚𝑖
𝜌𝑖
𝑝𝑖𝜌𝑖∙ 𝑚𝑖
𝑚𝑖𝜌𝑖
𝐼
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Equação integral da energia
Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:
𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 − 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 = +𝐼 + ∑ 𝑢 +𝑝
𝜌+𝑉2
2+ 𝑔𝑧 𝑚
𝑖
𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 + 𝑊𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠 + 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 = +𝐼 + ∑ ± 𝑢 +𝑉2
2+ 𝑔𝑧 𝑚
𝑖
𝑝𝑖𝜌𝑖∙ 𝑚𝑖
𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 − 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 =𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝑉 +
𝑖=1
𝑁𝑎
𝑢 +𝑝
𝜌+𝑉2
2+ 𝑔𝑧 𝑚
𝑖
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Equação integral da energia Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saída (2):
𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 − 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 =𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝑉 +
𝑖=1
𝑁𝑎
𝑢 +𝑝
𝜌+𝑉2
2+ 𝑔𝑧 𝑚
𝑖
𝑑𝑄
𝑑𝑡−
𝑑𝑊𝑚á𝑞
𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐
𝑑𝑡= − 𝑢1 +
𝑝1𝜌1
+𝑉12
2+ 𝑔𝑧1 𝑚1 + 𝑢2 +
𝑝2𝜌2
+𝑉22
2+ 𝑔𝑧2 𝑚2
• Pela equação da continuidade: 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚
÷ 𝑚 →
𝑑𝑄𝑑𝑡 𝑚−
𝑑𝑊𝑚á𝑞
𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
𝑚= − 𝑢1 +
𝑝1𝜌1
+𝑉12
2+ 𝑔𝑧1 + 𝑢2 +
𝑝2𝜌2
+𝑉22
2+ 𝑔𝑧2
𝑑𝑄𝑑𝑡 𝑚=
𝑑𝑄𝑑𝑡
𝑑𝑚𝑑𝑡
=𝑑𝑄
𝑑𝑚= 𝑞
𝑑𝑊𝑑𝑡 𝑚=𝑑𝑊
𝑑𝑚=𝑑𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
𝑑𝑚= 𝑔 ∙ ℎ
𝑞 𝑔ℎ𝑚á𝑞 + 𝑔ℎ𝑣𝑖𝑠𝑐
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Equação integral da energia Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saída (2):
𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 − 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 =𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝑉 +
𝑖=1
𝑁𝑎
𝑢 +𝑝
𝜌+𝑉2
2+ 𝑔𝑧 𝑚
𝑖
𝑑𝑄
𝑑𝑡−
𝑑𝑊𝑚á𝑞
𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐
𝑑𝑡= − 𝑢1 +
𝑝1𝜌1
+𝑉12
2+ 𝑔𝑧1 𝑚1 + 𝑢2 +
𝑝2𝜌2
+𝑉22
2+ 𝑔𝑧2 𝑚2
• Pela equação da continuidade: 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚
÷ 𝑚 →
𝑑𝑄𝑑𝑡 𝑚−
𝑑𝑊𝑚á𝑞
𝑑𝑡+𝑑𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐𝑑𝑡
𝑚= − 𝑢1 +
𝑝1𝜌1
+𝑉12
2+ 𝑔𝑧1 + 𝑢2 +
𝑝2𝜌2
+𝑉22
2+ 𝑔𝑧2
𝑞 𝑔ℎ𝑚á𝑞 + 𝑔ℎ𝑣𝑖𝑠𝑐
÷ 𝑔 →𝑝1𝜌1𝑔
+𝑉12
2𝑔+ 𝑧1 =
𝑝2𝜌2𝑔
+𝑉22
2𝑔+ 𝑧2 +
𝑢2 − 𝑢1 − 𝑞
𝑔+ ℎ𝑚á𝑞 + ℎ𝑣𝑖𝑠𝑐
ℎ𝑇 − ℎ𝐵𝛾1 𝛾2
ℎ𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠
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Equação integral da energia Caso aberturas (entradas / saídas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saída (2):
▪ Se 𝑞 = Δ𝑢:
▪ Bernoulli (Δ𝐻 = 0):
𝑄 − 𝑊𝑚á𝑞 − 𝑊𝑣𝑖𝑠𝑐 =𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝑒 𝜌 𝑑𝑉 +
𝑖=1
𝑁𝑎
𝑢 +𝑝
𝜌+𝑉2
2+ 𝑔𝑧 𝑚
𝑖
𝑝1𝛾1𝑔
+𝑉12
2𝑔+ 𝑧1 =
𝑝2𝛾2𝑔
+𝑉22
2𝑔+ 𝑧2 +
𝑢2 − 𝑢1 − 𝑞
𝑔+ ℎ𝑇 − ℎ𝐵 + ℎ𝑃
𝑝1𝛾1𝑔
+𝑉12
2𝑔+ 𝑧1 =
𝑝2𝛾2𝑔
+𝑉22
2𝑔+ 𝑧2 + ℎ𝑇 − ℎ𝐵 + ℎ𝑃
𝐻1 𝐻2 → 𝐻1 = 𝐻2 + ∆𝐻
→ 𝐻1 = 𝐻2 = ⋯ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
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ExemploUm navio bombeiro suga água
do mar (densidade 1,025) de um
tubo submerso e a recalca através
de um bico, conforme figura abaixo.
A perda total de carga é de 2,0 m.
Se a e bomba tem eficiência de
75%, qual a potência do motor
necessária?
p1γ1
+V12
2g+z1 =
p2γ2
+V22
2g+z2 +hTurb−hBomba+hperda
2
d
hp
3,0 m
Bomba
D = 2,0”
36 m/s
D = 6,0”
1,8 m
1
![Page 69: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/69.jpg)
Exemplod = 1,025hatrito = 2,0 m. = 75%Pot = ?
• Pelo princípio da continuidade:
p1γ+V12
2g+z1 =
V22
2g+z2 −hB+hP
m1 = m2 → ρ V1 A1 = ρ V2 A2
→ V1π 6∙0,0254 2
4= 36
π 2∙0,0254 2
4→ V1 = 4,0 m/s
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0”
36 m/s
D = 6,0”
1,8 m
1
![Page 70: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/s
p1γ+V12
2g+z1 =
V22
2g+z2 −hB+hP
γ∙1,8γ
+42
2g−1,8 =
362
2g+3 −hB+2
→ hB = 69 m
PotH =dE
dt=dm g h
dt= m g h → PotH = ρV1A1g h
η =PotHPotB
→ PotB =PotHη
→ PotB =ρV1A1g h
η
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0”
36 m/s
D = 6,0”
1,8 m
1
![Page 71: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/71.jpg)
Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/shB = 69 m
PotT =ρV1A1g h
η
PotB =1022 ∙ 4 ∙
π ∙ 6 ∙ 0,0254 2
4 ∙ 9,8 ∙ 69
0,75 = 67 kW
→ ρ = d ρa = 1,025 ∙ 998 = 1022 kg/m³
= 90 cv
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0”
36 m/s
D = 6,0”
1,8 m
1
![Page 72: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/72.jpg)
ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma região de baixa pressão que pode aspirar fluidode um reservatório, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressão para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Água
Água
V1
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ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma região de baixa pressão que pode aspirar fluidode um reservatório, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressão para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
→ ρ1V1A1 = ρ2V2A2 m1 = m2
• Pelo princípio da continuidade:
→ V1 A1 = V2 A2
• Pela equação de Bernoulli:
p1γ1
+V12
2g+ z1 =
p2γ2
+V22
2g+ z2
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ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma região de baixa pressão que pode aspirar fluidode um reservatório, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressão para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
→ ρ1V1A1 = ρ2V2A2 m1 = m2
• Pelo princípio da continuidade:
→ V1 A1 = V2 A2
• Pela equação de Bernoulli:
p1γ1
+V12
2g+ z1 =
p2γ2
+V22
2g+ z2
![Page 75: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/75.jpg)
Aplicações do efeito Venturi
http://www.asperjato.com.br/. Acesso em 20/01/2016.
http://www.ozonesolutions.com/journal/2013/ozone-venturi-injectors-work-dissolve-ozone-water/. Acesso em 20/01/2016.
http://animais.grandemercado.pt/setubal/peixes-acessorios/filtro-aquario-novo-294629.htm. Acesso em 20/01/2016.http://www.sintecpromaquinas.com.br/pistola-eletrica-para-pintura.
Acesso em 20/01/2016.
http://nostalgika.com.br/wp/blog/2013/08/28/agosto-em-paris-parte-iv/. Acesso em 20/01/2016.
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ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma região de baixa pressão que pode aspirar fluidode um reservatório, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressão para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Água
Água
V11 2
p1γ1
+V12
2g+z1 =
p2γ2
+V22
2g+z2
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Exemplo
p1γ1
+V12
2g+z1 =
p2γ2
+V22
2g+z2
pa− γh
γ+V12
2g=paγ+V22
2g
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Água
Água
V11 2
p3 = pa = p1 + γh= p1 + ρgh
→ p1 = pa − γh
→V12 − 2gh = V2
2
3
![Page 78: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplo
→ ρ1V1A1 = ρ2V2A2
p1γ1
+V12
2g+z1 =
p2γ2
+V22
2g+z2
pa− γh
γ+V12
2g=paγ+V22
2g
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Água
Água
V11 2
p3 = pa = p1 + γh= p1 + ρgh
→ p1 = pa − γh
→V12 − 2gh = V2
2
m1 = m2
→ V2 = V1D12
D22 → V2
2 = V12D1
4
D24
• Pelo princípio da continuidade:
→ V1 = 2gh 1−D14
D24
3
![Page 79: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/79.jpg)
Sumário
Leis Básicas
Vazão
Volume de Controle
Teorema de transporte de Reynolds e aplicações:
▪ Conservação da Massa
▪ Quantidade de movimento linear
▪ Quantidade de movimento angular
▪ Energia
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BIBLIOGRAFIA:
WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-
Hill, 2010.
FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à
Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y.,
Tradução: LTC, 2014.
![Page 81: Aula 3 Equações Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN... · 𝑖 𝑎= → 𝑖 𝑎 =0 CONSERVAÇÃO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/81.jpg)
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