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Universidade Federal Fluminense

Aula 2 – Campo de Velocidade e Propriedades

FENÔMENOS DE TRANSPORTE

Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)

Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)

SUMÁRIO:

Campo de Velocidade

▪ Classificação do escoamento

▪ Linhas de escoamento

▪ Traçado da linha de corrente

Propriedades:

▪ Pressão, temperatura, massa específica e densidade

▪ Viscosidade

Campo de Velocidade

Campo de Velocidade:

UFF - FENTRAN - Aula 2 - Prof. Elson Nascimento / Prof. Gabriel Nascimento

V

V

V

𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢 𝑖 + 𝑣 𝑗 + 𝑤 𝑘?

Deslocamento: 𝑟 = ∫ 𝑉𝑑𝑡

Aceleração: 𝑎 =𝑑𝑉

dt

Classificação de um escoamento:

Regime temporal:

Permanente

Transiente

Dimensionalidade:

Unidimensional (1D)

Bidimensional (2D)

Tridimensional (3D)


Dinâmico

Estático

𝜕𝜂

𝜕𝑡= 0

𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 ≠ 0

𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 0

𝜕𝜂

𝜕𝑡≠ 0

𝜕𝜂 𝜕𝑥 ≠ 0 𝑒 𝜕𝜂 𝜕𝑦 = 𝜕𝜂 𝜕𝑧 = 0

𝜕𝜂 𝜕𝑥 ≠ 0 ; 𝜕𝜂 𝜕𝑦 ≠ 0 𝑒 𝜕𝜂 𝜕𝑧 = 0

𝜕𝜂 𝜕𝑥 ≠ 0 ; 𝜕𝜂 𝜕𝑦 ≠ 0 𝑒 𝜕𝜂 𝜕𝑧 ≠ 0

𝜂 = 𝑉, 𝑝, 𝜌, 𝑇, …

Classificação de um escoamento:Exemplos: Classifique entre 1D, 2D e 3D / entre Permanente e Transiente

__ / _________

__ / _________

__ / _________

__ / _________

__ / _________

ieaxV bt2

kz/1yxaV 32/122

kczjbxziaxV 2

jbxiaeV 2bx

jbyitaxV 2


1D

3D

2D

1D

2D

transiente

permanente

permanente

permanente

transiente

Linhas de Escoamento

Linhas de corrente / emissão / trajetória


https://www.youtube.com/user/GommeBlog. Acesso em 09/12/2015.




Curvas tangentes ao vetor velocidade em todos os pontos, num determinado instante




Lugar geométrico das posições das partículas que passaram anteriormente num dado ponto

Ponto de emissão




Caminho percorrido por uma determinada partícula do fluido




Num fluxo permanente, as linhas de corrente, emissão e trajetória são idênticas.

Linhas de corrente - traçado


v

dy

u

dx

𝑽

𝒅𝒓

u

w

v

dx

dy

dz

x

y

z

𝑑 𝑟 = 𝑉𝑑𝑡

w

dz

V

dr

Linhas de corrente

Exemplo: Dado o caso bidimensional u=Kx, v=-Ky e w=0, K0, desenhe as linhas de corrente.

y

x

+1

+1 -1

-1+2

+2 -2

-2+3

C = +3 -3

C = -3

C = 0C = 0

0

0

v

dy

udx

Ky

dy

Kxdx

y

dy

xdx

Cylnxln

Cxyln Cexy C

Cxy

V

dr

w

dz

v

dy

u

dx


Linhas de corrente

Exemplo: Dado o caso bidimensional u=Kx, v=-Ky e w=0, K0, desenhe as linhas de corrente.

y

x

+1

+1 -1

-1+2

+2 -2

-2+3

C = +3 -3

C = -3

C = 0C = 0

0

0


v

dy

udx

Ky

dy

Kxdx

y

dy

xdx

Cylnxln

Cxyln Cexy C

Cxy

V

dr

w

dz

v

dy

u

dx

Trajetória

A trajetória de uma partícula é definida pela integraldas componentes da velocidade:

Para o momento inicial t0, a posição será (x0,y0,z0).

0xdtux 0ydtvy 0zdtwz

Propriedades dos Fluidos

Propriedades dos fluidos :

Pressão: p Unidades:▪ N/m² 1 N/m² = 1 Pa (Pascal)

▪ mca (metro de coluna d’água) 1 mca = 9,81 kPa

▪ kgf/cm² 1 kgf/cm² 98,1 kPa

▪ bar 1 bar = 100 kPa

▪ atm 1 atm = 101,32 kPa

▪ psi (pound per square inch) ▪ 1 psi = 6,89 kPa = 0,703 mca

▪ 1 atm 14,7 psi

▪ mmHg 1 mmHg = 133,32 Pa

Obs.: kgf/cm²g (gauge) é pressão manométrica e kgf/cm²a é pressão absoluta

-p

atmm ppp


=𝑑𝐹

𝑑𝐴


Temperatura: T Unidades:

▪ K (Kelvin)

▪ °C (Celsius)

▪ °F (Fahrenheit)

▪ R (Reaumur)



Massa específica: Unidades:

▪ kg/m³

▪ lb/ft³ 1 lb/ft³ = 16,02 kg/m³

▪ lb/in³ 1 lb/in³ = 27.679,9 kg/m³

▪ oz/gal 1 oz/gal = 7,49 kg/m³

Obs.: Fluidos incompressíveis possuem massa específica constante.


=𝑑𝑚

𝑑𝑉


Peso específico: Unidade:

▪ N/m³

▪ kN/m³ 1 kN/m³ = 1000 N/m³


=𝑑𝑃

𝑑𝑉=𝑑𝑚 ∙ 𝑔

𝑑𝑉= 𝜌 ∙ 𝑔


Densidade: d Unidades:

▪ (adimensional)

Obs.: Density, em português, significa massa específica.

Densidade, é traduzida para inglês por SG (specificgravity) ou relative density.


=𝜌

𝜌á𝑔𝑢𝑎


Exemplo:Um fluido ocupa um volume de 1,5 m³ e sua massa é 3.000 kg.

Determine sua massa específica, seu peso específico e sua densidade.


V = 1,5 m³

m = 3000 kg

=30001,5

= 2000 kg/m³ρ =dm

dV

γ = ρ∙g = 2000∙9,8 = 19600 N/m³

d = ρ ρágua = 2000 1000 = 2

Forças sobre partículas fluidas

Campo:

Gravidade

Inerciais

Contato:

Tensão Normal (pressão)

Tensão Cisalhante (viscosa)


Viscosidade

Viscosidade:


Viscosidade:

Quando deformado, um fluido mantém sua taxa decisalhamento diretamente proporcional à tensão decisalhamento (Newton, 1687) Fluidos newtonianos

t

dt

d

: viscosidade dinâmica


Viscosidade:

dt

d

u t

u = u

u = 0x

y

dy

du

dt

d

dy

du

dt

d

dy

du

tan 𝛿𝜃 =𝛿𝑢 𝛿𝑡

𝛿𝑦


Viscosidade:

Unidades:▪ kg/m.s (SI)

▪ Pa.s 1 Pa.s = 1 kg/m.s

▪ P (Poise) 1 P = 0,1 kg/m.s

▪ cP (centi Poise) 1 cP = 10-3 kg/m.s

Obs.: também denominada viscosidade dinâmica ou absoluta

Viscosidade cinemática:

Unidades:▪ m²/s (SI)

▪ Stokes (St): 1 St = 10-4 m²/s

dydudy

du


=𝜇

𝜌

Viscosidade dinâmica e cinemática:

Exemplo:Um fluido ocupa um volume de 1,5 m³ e sua massa é 3.000 kg.

Sua viscosidade (dinâmica) é 2 cP. Determine sua massa específica eviscosidade cinemática.


V = 1,5 m³

m = 3000 kg

=30001,5

= 2000 kg/m³ρ =dm

dV

μ = 2 cP = 2.10−3kg/m.s

ν = μ/ρ = 2.10−3/2000 = 1.10-6m2/s

Viscosidade em função de p e T:

0

5

10

15

20

25

30

0 20 40 60 80 100 120 140 160

µ (

10

-2P

a.s)

T (°C)

Viscosidade X Temperatura (óleo SAE 5W30)

• Pressão (p)– O aumento da pressão causará

um acréscimo da viscosidade relativamente baixo. Ex.: Um aumento da pressão de 1 atmpara 50 atm elevará a viscosidade do ar em apenas 10%.

• Temperatura (T)– Gases: o aumento da

temperatura causa um acréscimo da viscosidade

– Líquidos: o aumento da temperatura causa um decréscimo da viscosidade

0

1

2

3

4

5

6

-200 0 200 400 600 800 1000 1200

µ (

10

-5kg

/m.s

)

T (°C)

Viscosidade X Temperatura (ar)


FLUIDO ρ

kg/(ms) kg/m³ m²/sHidrogênio 8,810-6 0,084 1,0510-4

Ar 1,810-5 1,2 1,5110-5

Gasolina 2,910-4 680 4,2210-7

Água 1,010-3 998 1,0110-6

Álcool etílico 1,210-3 789 1,5210-6

Mercúrio 1,510-3 13.580 1,1610-7

Óleo SAE 30 0,29 891 3,2510-4

Glicerina 1,5 1.264 1,1810-3

(à 1atm e 20°C)

Viscosidade dinâmica e cinemática:


Fluxo entre placas:

Vu

0u

𝑢(𝑦)

x

y

Vu

h

dy

du


Fluxo entre placas:

tecdy

du

h

V


dy

du

0u

𝑢(𝑦)

x

y

Vu

h

Vu

distribuição linear de velocidade

Fluxo entre placas:

Exemplo:Calcule a tensão cisalhante considerando que o fluido entre as

placas é o óleo SAE 30 à 20°C, a velocidade da placa superior é

de 3m/s e a altura h é de 2cm. Considere uma distribuição linear

de velocidade.

= V / h

= 0,29 * 3 / 0,02 = 43,5 Pa

Vu

0u

𝑢(𝑦)

x

y Vu

h


Exemplo: Um bloco de peso P desliza para baixo em um planoinclinado enquanto lubrificado por uma película fina de óleo, comomostra a figura abaixo. A área de contato da película é A e suaespessura é h. Considerando uma distribuição linear de velocidade napelícula, deduza uma expressão para a velocidade “terminal” (comaceleração igual a zero) V do bloco.


Película de líquido com espessura h

Área A de contato com o

bloco

Exemplo: Um bloco de peso P desliza para baixo em um planoinclinado enquanto lubrificado por uma película fina de óleo, comomostra a figura abaixo. A área de contato da película é A e suaespessura é h. Considerando uma distribuição linear de velocidade napelícula, deduza uma expressão para a velocidade “terminal” (comaceleração igual a zero) V do bloco.


P

N

Fvx

y

Fx = 0 → P.senθ − Fv = 0

→ Fv = P.senθ (i)

Fv = τ.A

→ τ =μVh

Considerando uma distribuição linear de velocidade entre o bloco e o plano:

Fv =μVh

. A

(i) →μVh

. A = P.senθ → V =h.P.senθ

μA

SUMÁRIO:

Campo de Velocidade

▪ Classificação do escoamento

▪ Linhas de escoamento

▪ Traçado da linha de corrente

Propriedades:

▪ Pressão, temperatura, massa específica e densidade

▪ Viscosidade

BIBLIOGRAFIA:

WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-

Hill, 2010.

FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à

Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y.,

Tradução: LTC, 2014.

Imagens e vídeos disponíveis na internet referenciados ao

longo da apresentação.

www.HidroUff.uff.br

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