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Universidade Federal Fluminense
Aula 3 β Equaçáes Integrais
FENΓMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. AgrΓcola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
TCE β Escola de Engenharia
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Aula 3 β Equaçáes Integrais
Leis BΓ‘sicas
VazΓ£o
Volume de Controle
Teorema de transporte de Reynolds e aplicaçáes:
βͺ Conservação da Massa
βͺ Quantidade de movimento linear
βͺ Quantidade de movimento angular
βͺ Energia
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Métodos de Solução
![Page 4: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/4.jpg)
Métodos de solução de problemas com fluidos:
F
u(r)
Solução analΓtica ou numΓ©rica
(CFD β ComputationalFluid Dynamics)
VCGrandezas integrais (volume de controle β VC):
⒠Vazão⒠Força ⒠Energia
EQUAΓΓES INTEGRAIS
EQUAΓΓES DIFERENCIAIS
MΓTODOS EXPERIMENTAIS
Grandezas infinitesimais (pontual):
β’ Velocidade: π(π₯, π¦, π§, π‘)β’ TensΓ£o: π π₯, π¦, π§, π‘ , π π₯, π¦, π§, π‘
⒠Modelos reduzidos em laboratório, protótipos ou mediçáes em campo
β’ AnΓ‘lise dimensional
DisponΓvel em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.
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Leis BΓ‘sicas
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ππ ππ π‘πππ = ππ‘π
βππ
ππ‘π ππ π‘πππ
= 0
CONSERVAΓΓO DA MASSA(Continuidade)
Quantidade de movimento linear
(momentum): ππ ππ π‘πππ = π π ππ
2Βͺ Lei de newton:
πΉ =π π
ππ‘ π ππ π‘πππ
PRINCΓPIO DA QTD. DE MOVIMENTO LINEAR
Quantidade de movimento
angular: π»π ππ π‘πππ = π π Γ πππ
π =ππ»
ππ‘ π ππ π‘πππ
PRINCΓPIO DA QTD. DE MOVIMENTO ANGULAR
Energia: πΈπ ππ π‘πππ = π π ππ
1Βͺ Lei da TermodinΓ’mica: π β π =ππΈ
ππ‘ π ππ π‘πππ
2Βͺ Lei da TermodinΓ’mica: πΏπ β₯πΏπ
π
ENERGIA
Relaçáes de estado:
β’ π = π π, πβ’ π = π π, π
Ex. de gases ideais:ππ = ππ π
β π =π
ππ π
β π = ππ π
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VazΓ£o
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π
π
ππ
ππ‘
ππ = π β π = π cos π
dh
VAZΓO VOLUMΓTRICA
π =πV
ππ‘β ππ =
πβ β ππ΄
ππ‘= ππππ΄
β π = π
ππππ΄ = π
π β π ππ΄
β π = π
π β π π΄
VAZΓO MΓSSICA
π =ππ
ππ‘
β π = π
π π β π π΄
=π πV
ππ‘β π π = π ππ
dA
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VAZΓO VOLUMΓTRICA
π =πV
ππ‘β ππ =
πβ β ππ΄
ππ‘= ππππ΄
β π = π
ππππ΄ = π
π β π ππ΄
β π = π
π β π π΄
VAZΓO MΓSSICA
π =ππ
ππ‘
β π = π
π π β π π΄
=π πV
ππ‘β π π = π ππ
S
u(y,z) um
xπ, π
Velocidade uniforme ou mΓ©dia:
π = ππ β π΄ = πππ΄ cos π
Velocidade uniforme ou mΓ©dia:
π = πππ β π΄ = ππππ΄ cos π
S
π = πππ΄
... e perpendicular Γ superfΓcie S: ... e perpendicular Γ superfΓcie S:
π = ππππ΄
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Exemplo: Tratando-se de escoamentos laminares no interior de tubulaçáes, Γ© possΓvel obter a solução analΓtica da distribuição de velocidades ao longo da seção, dada por π’ π = πΎ(π 2 β π2), onde r Γ© a coordenada polar que representa a distΓ’ncia atΓ© o eixo do tubo e K Γ© uma constante, calculada em função das propriedades do fluido e o raio R da tubulação. FaΓ§a um esboΓ§o do perfil de distribuição de velocidades, calcule a vazΓ£o (volumΓ©trica) escoada e a velocidade mΓ©dia.
Q= SVndA
xr
= Su dA
A = Οr2 β dA = 2Οrdr
Q = 0
RK R2βr2 2Οrdr
β Q =2ΟK R2r2
2βr4
4 0
R
β Q = 2ΟK 0
RR2rβr3 dr
Q =ΟKR4
2u(r)
Q = VmA βΟKR4
2= Vm ΟR2 β Vm =
KR2
2
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Teorema do Transporte de Reynolds
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Volume deControle
SuperfΓcie de Controle
Vizinhança
me
ms
πΉ
π
e
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Troca na SC
B no VCdA
π΅ = π, π, π» ππ’ πΈ
π½ =ππ΅
ππ
dm
ππ΅ =ππ΅
ππππ
π πV
π½
π΅ππΆ = ππΆ
π½ π πV
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π πV
π
π ππ΅ =ππ΅
ππππ
π π = ππ β π π΄
π½
Sistema = VC + SC
=ππ΅
ππ
ππ
ππ‘ππ‘
= π½ ππ β π π΄ ππ‘
β πππ΅
ππ‘= π½ ππ β π π΄
+ ππΆ
π½ ππ β π π΄
Volume deControle
SuperfΓcie de Controle
βππ΅
ππ‘ππΆ
= ππΆ
Ξ² βπί© π΄
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dA
π΅ = π, π, π» ππ’ πΈ
π½ =ππ΅
ππ
dm
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π πV
π
π
Sistema = VC + SC
+ ππΆ
π½ ππ β π π΄
Aberturas uniformes:
= π½π ππππ β ππ ππ
ππ΄
π΄π
Volume deControle
SuperfΓcie de Controle
dA
π
SaΓda:
π
π β π > 0
Entrada:
πdA
π
π β π < 0
π β π π΄ > 0 π β π π΄ < 0
=
ππΆ
π½π ππππ β π΄π
β’ na aberturas i:
β’ em todas aberturas:
π β π = π cos π β
π < 90Β° π > 90Β°
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VCVC
VC FIXO VC COM VELOCIDADE UNIFORME
VC DEFORMΓVEL
πSC
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π πV + ππΆ
π½ ππ β π π΄
DisponΓvel em <http://www.modelcityfirefighter.com/2014/10/29/colorado-firefighters-know-big-fire-means-big-water/>. Acesso em 27 mar. 2018.
DisponΓvel em <https://medium.com/@brendanarmstrong_71005/filling-the-cup-f96e102b0783>. Acesso em 27 mar. 2018.
DisponΓvel em <http://www.maxsonlab.com/kayak/040716pendoreille/040716pendoreille.htm>. Acesso em 27 mar. 2018.
VC
![Page 16: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/16.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds
SuperfΓcie de controle em movimento uniforme
ππ
ππ
SC
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Teorema de transporte de Reynolds
SuperfΓcie de controle em movimento uniforme
ππ
ππ
ππ = ππ
![Page 18: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/18.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds
SuperfΓcie de controle em movimento uniforme
ππ
![Page 19: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/19.jpg)
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + ππΆ
π½π π β π ππ΄
Teorema de transporte de Reynolds
SuperfΓcie de controle em movimento uniforme
ππ
dt π½
βππ
πππ
ππ = π β ππ
![Page 20: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/20.jpg)
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + ππΆ
π½π ππ β π ππ΄
Teorema de transporte de Reynolds
SuperfΓcie de controle em movimento uniforme
dt ππ = π β ππ π½
ππ
![Page 21: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/21.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + ππΆ
π½π ππ β π ππ΄
A1
A2 A3
Ai
An
VC
![Page 22: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/22.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + ππΆ
π½π ππ β π ππ΄
A1
A2 A3
Ai
An
![Page 23: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/23.jpg)
β Β±π½ π π
Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:Na i-Γ©sima abertura:
π΄π
π½π ππ β π ππ΄ = π½π ππ πππ β ππ π΄π
ππ΄
= π½π ππ πππ β ππ π΄π
ππΆ
π½π ππ β π ππ΄
Em toda a SC:
= β π½π ππ β π΄ π
Β±ππππππ΄π
ππ
= Β± ππ
+ saΓdas entradas
=
= β Β±π½ π π
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + ππΆ
π½π ππ β π ππ΄
= π½π Β± ππ πππππ΄π
A1
A2 A3
Ai
An
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Teorema de transporte de Reynolds
Caso geral:
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
+ saΓda entrada
π = πππππ΄π
π½ =ππ΅
ππ
ππ΅
ππ‘π ππ π‘πππ
=π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + ππΆ
π½π πππ ππ΄
![Page 25: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/25.jpg)
Eq. Integral da Continuidade
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π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
Teorema de transporte de Reynolds:
⒠Conservação da massa:
π΅ = π β π½ =ππ΅
ππ= 1
π ππ ππ π‘πππ
ππ‘= 0
π ππ ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π ππ + Β± ππ= 0
π½ =ππ΅
ππ
(+ saΓda; - entrada) π = πππππ΄
π
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Equação integral da continuidade
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes
βͺ Transiente
βͺ Permanente
+ saΓda entrada
π = πππππ΄
π
ππ‘ ππΆ
π ππ + Β± ππ = 0
Β± ππ = 0
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Conservação da massa
Exemplo:
Escreva a relação de conservação de massa
para o escoamento permanente de um fluido
incompressΓvel atravΓ©s de um tubo de corrente
(escoamento paralelo as paredes em todos os locais)
com uma ΓΊnica saΓda 1 e uma ΓΊnica entrada 2,
uniformes.
1
2
V2
V1
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Conservação da massa
Exemplo:
1
2
V2
V1+ saΓda entrada
m= Ο Vnr AβΒ± mi = 0
β mi = 0
β βΟ1V1A1 + Ο2V2A2 = 0
π =ππ
ππ
β V1A1 = V2A2 = Q
β V2=V1A1A2incompressΓvel
β β m1 + m2 = 0
![Page 30: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/30.jpg)
Conservação da massa
Exemplo:
Γgua Γ 20Β°C flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seção 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 m³/h. Na
seção 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade média é de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em mΒ³/h e a velocidade mΓ©dia V3 em m/s
Γgua
1
2
3
![Page 31: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/31.jpg)
Conservação da massa
Exemplo:
Γgua Γ 20Β°C flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seção 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 m³/h. Na
seção 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade média é de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em mΒ³/h e a velocidade mΓ©dia V3 em m/s
Γgua
1
2
3
βΒ± mi = 0
β m1 + m2 + m3 = 0
+ saΓda entrada
m= Ο Vnr A
Q
βΟ Q1 + Ο V2A2 + Ο Q3 = 0
![Page 32: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/32.jpg)
Conservação da massa
Exemplo:
Γgua Γ 20Β°C flui em regime permanente por um tanque fechado,
conforme figura abaixo. Na seção 1, D1 = 6,00 cm e Q1 = 100 m³/h. Na
seção 2, D2 = 5,00 cm e a velocidade média é de 8,00 m/s. Se D3 =
4,00 cm, calcule Q3 em mΒ³/h e a velocidade mΓ©dia V3 em m/s
Γgua
1
2
3
Q3 = Q1 β V2A2 = Q1 β V2 ΟD22
4
= 100 β 8 Ο0,05 2
4 3600 = 43,4 mΒ³/h
Q3 = V3A3 β V3 =Q3A3
=43,4/3600
Ο 0,04 2/4= 9,6 m/s
βΒ± mi = 0
β m1 + m2 + m3 = 0
+ saΓda entrada
m= Ο Vnr A
Q
βΟ Q1 + Ο V2A2 + Ο Q3 = 0
![Page 33: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/33.jpg)
Eq. Integral do Momentum
![Page 34: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/34.jpg)
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
Teorema de transporte de Reynolds:
⒠Relação da qtd. de movimento linear:
π΅ = πππ β π½ =ππ΅
ππ= π
π ππ
ππ‘=
πΉ =π
ππ‘ππ
2Βͺ Lei de Newton
=π
ππ‘ ππΆ
π π ππ + β Β± πππ
πΉ
π½ =ππ΅
ππ
π = πππππ΄
π
(+ saΓda; - entrada)
![Page 35: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/35.jpg)
Equação integral da quantidade de movimento linear
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes
βͺ Transiente
βͺ Permanente
+ saΓda entrada
π = πππππ΄
π
πΉ =π
ππ‘ ππΆ
π π ππ + β Β± πππ
πΉ = β Β± πππ
![Page 36: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/36.jpg)
Quantidade de movimento linear Exemplo: Um volume de controle fixo em regime permanente possui uma
entrada uniforme (1, A1, V1) e uma saΓda uniforme (2, A2, V2). Encontre uma expressΓ£o para a forΓ§a resultante no volume de controle.
1
2
V2
V1
F= β Β± mVi=β m1V1+ m2V2
β mi=0 ββ m1+ m2=0
β m1= m2
Pela equação da continuidade:
= m
βF=β m1V1+ m2V2
βF= m V2βV1V2
βV1V2 β V1
β πΉ
![Page 37: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/37.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo: Um jato de Γ‘gua ( = 1000 kg/mΒ³) com velocidade Vj atinge
perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a força necessÑria para manter a placa se movendo à velocidade constante se a Ñrea do jato é de 3 cm², Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.
Vc
Vc
Vj
SC
F= β Β± mVi
F
m=ΟVnrA
![Page 38: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/38.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo: Um jato de Γ‘gua ( = 1000 kg/mΒ³) com velocidade Vj atinge
perpendicularmente uma placa plana que se move para direita com velocidade Vc. Calcule a força necessÑria para manter a placa se movendo à velocidade constante se a Ñrea do jato é de 3 cm², Vj = 20 m/s e Vc = 15 m/s. Despreze o peso do jato e da placa e assuma escoamento permanente e que o jato se divida em partes iguais.
Vc
Vc
Vj
SC
F= β Β± mVi
x
y
β’ em x: βFx =β meVe
F=β ΟVnrAjπVjβVc
F
Vj-Vc
Vj-Vc
F=βΟAj VjβVc2
F=β1000. 3.10β4 . 20β15 2
F=β7,5 N
m=ΟVnrA
![Page 39: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/39.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão
np
πΉππππ π Γ£π = ππΆ
π βπ ππ΄
![Page 40: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/40.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão
-np
πΉππππ π Γ£π = ππΆ
π βπ ππ΄
![Page 41: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/41.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão constante (Ex.: Pressão atm.)
π
π΅ β π ππ΄ = π
π» β π΅ ππ
πΉππππ π Γ£π = ππΆ
ππ βπ ππ΄
-npa
Teorema de Gauss:
β πΉππππ π Γ£π = 0
π» =π
π₯ π +
π
ππ¦ π +
π
ππ§ π
= β ππΆ
π»ππ ππ = 0
![Page 42: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/42.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão X Pressão manométrica
p
pm = 0
pa
pp
pa
SC
ππ = π β ππ
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Quantidade de movimento linear
Forças de pressão X Pressão manométrica
pm = p - pa
pm = 0
pa
pm
pm
pa
SC
ππ = π β ππ
πΉππππ π Γ£π = ππΆ
π βπ ππ΄
= ππΆ
ππ + ππ βπ ππ΄
= ππΆ
ππ βπ ππ΄ + ππΆ
ππ βπ ππ΄
0
β πΉππππ π Γ£π = ππΆ
ππ βπ ππ΄
p = pm + pa
![Page 44: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/44.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão - Pressão manométrica
βͺ Exemplo:
ππ = π β ππ
= 3β
40 psi(abs)
15 psi (abs)
15 psi(abs)
15 psi (abs)1
2
pa = 15 psi
![Page 45: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/45.jpg)
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão - Pressão manométrica
βͺ Exemplo:
= 3β
40 psi(abs)
15 psi (abs)
15 psi(abs)
15 psi (abs)
ππ = π β ππpa = 15 psi
1
2
pm = 25 psi
0 psi
0 psi
0 psi
PressΓ΅es manomΓ©tricas:PressΓ΅es absolutas:
1
2
= 3β
![Page 46: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/46.jpg)
FpressΓ£o= SC
pm βn dA
Quantidade de movimento linear
Forças de pressão - Pressão manométrica
βͺ Exemplo:
= pm βn SC
dA
= pm βn π΄
FpressΓ£o= pm A = 25 psi βΟ 3" 2
4
FpressΓ£o= 177 lbf
ππ = π β ππ
pm = 25 psi
0 psi
0 psi
0 psi
1
2
PressΓ΅es manomΓ©tricas: = 3β
pa = 15 psi
![Page 47: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/47.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12β e D2 = 6β, com pressΓ£o de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para Γ‘gua Γ 20Β°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
pa = 103,4 kPa
![Page 48: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/48.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12β e D2 = 6β, com pressΓ£o de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para Γ‘gua Γ 20Β°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
pa = 103,4 kPa
![Page 49: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/49.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12β e D2 = 6β, com pressΓ£o de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para Γ‘gua Γ 20Β°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
1
2
PressΓ΅es absolutas:
pa = 103,4 kPa
pa
pa
pa
PressΓ΅es manomΓ©tricas:
p1
1
2
0 Pa
0 Pap1 - pa
0 Pa
![Page 50: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/50.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12β e D2 = 6β, com pressΓ£o de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para Γ‘gua Γ 20Β°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
+ saΓda entrada
pa = 103,4 kPa
PressΓ΅es manomΓ©tricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
βF= β Β± mVi
β’ Pela eq. da continuidade: m1 = m2
m=ΟVnrA
β p1βpa A1 β F = β m1V1+ m2V2
β Ο1V1A1 = Ο2V2A2
β V1 = V2A2A1
= 17612
2
F
= V2D2D1
2
V1 = 4,25 m/s
p1 - pa
![Page 51: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/51.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12β e D2 = 6β, com pressΓ£o de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para Γ‘gua Γ 20Β°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
pa = 103,4 kPa
PressΓ΅es manomΓ©tricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
βF= β Β± mVi
β’ Pela eq. da continuidade: m1 = m2
β p1βpa A1 β F = β m1V1+ m2V2F
V1 = 4,25 m/s
m1= Ο V1 Ο D12 4
= 998 β 4,25 β Ο β 12 β 0,0254 2 4
m1= 310 kg/s
A1= 0,073 m2
p1 - pa
+ saΓda entrada
m=ΟVnrA
![Page 52: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/52.jpg)
Quantidade de movimento linear
Exemplo:O bico horizontal na figura abaixo tem D1 = 12β e D2 = 6β, com pressΓ£o de
entrada p1 = 262 kPa absoluta e V2 = 17 m/s. Para Γ‘gua Γ 20Β°C, calcule a
força horizontal provida pelos parafusos do flange para segurar o bico.
pa = 103,4 kPa
PressΓ΅es manomΓ©tricas:
1
2
0 Pa
0 Pa
0 Pa
βF= β Β± mVi
β’ Pela eq. da continuidade: m1 = m2
β p1βpa A1 β F = β m1V1+ m2V2F
V1 = 4,25 m/s m1= 310 kg/s
β F = p1βpa A1 + m1 V1 β V2
p1 - pa
A1 = 0,073m2
β F = 7,6 kN
+ saΓda entrada
m=ΟVnrA
![Page 53: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/53.jpg)
Equação integral da quantidade de movimento linear
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes
βͺ Transiente
βͺ Permanente
βͺ VC acelerado:
+ saΓda entrada π = πππππ΄
π
πΉ =π
ππ‘ ππΆ
π π ππ + β Β± πππ
πΉ = β Β± πππ
πΉπ π’π + π β πππΆπππΆ
Ex.: foguete.
![Page 54: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/54.jpg)
Eq. Integral da Qtd. de Movimento Angular
![Page 55: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/55.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds:
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
r
dmV
O
ππ»π = π Γ π ππ β π»π = π Γ π ππ
⒠Relação da qtd. de movimento angular:
π½ =ππ΅
ππ
π = πππππ΄
π
(+ saΓda; - entrada)
![Page 56: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/56.jpg)
Teorema de transporte de Reynolds:
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
r
dmV
O
ππ»π = π Γ π ππ β π»π = π Γ π ππ
⒠Relação da qtd. de movimento angular:
π½ =ππ΅
ππ
π = πππππ΄
π
(+ saΓda; - entrada)
![Page 57: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/57.jpg)
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
Teorema de transporte de Reynolds:
⒠Relação da qtd. de movimento angular:
π΅ = π»π β π½ =ππ΅
ππ= π Γ π
ππ»πππ‘
=
π =ππ»πππ‘
=π
ππ‘ ππΆ
π Γ π π ππ + β Β± π Γ π ππ
π
r
dmV
O
π»π = π Γ π ππ
π½ =ππ΅
ππ
π = πππππ΄
π
(+ saΓda; - entrada)
![Page 58: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/58.jpg)
Equação integral da quantidade de movimento angular
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes
βͺ Transiente
βͺ Permanente
βͺ Momento
π =π
ππ‘ ππΆ
π Γ π π ππ + β Β± π Γ π ππ
π = β Β± π Γ π ππ
+ saΓda entrada π = πππππ΄
π
π Γ πΉπ + ππΆ
π Γ π π πV + ππππ₯π
![Page 59: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/59.jpg)
Eq. integral da quantidade de mov. angular :
Exemplo: O regador giratΓ³rio de grama com trΓͺs braΓ§os (vista superior na figura
abaixo) recebe Γ‘gua Γ 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de
0,1 N.m, calcule a sua rotação permanente.
d = 7 mm
ππ = 1800 πΏ β = 1800 1000 β 3600 = 5 β 10β4 mΒ³ s
PrincΓpio da continuidade:
π
ππ‘ ππΆ
π πV +
ππΆ
πππππ β π΄π = 0
0 (permanente)
β
ππΆ
Β±ππ ππππ΄πππ
ππ
= 0 β βπππ + π1 + π2 + π3 = 0
1
2
3
e
β π1 =πππ3
=1000 β 5 β 10β4
3= 0,167 kg s
β ππ1 = π1
ππ΄1=
π1
πππ·2
4
=4 β 0,167
1000 β π β 0,007 2 = 4,34 m s
y
x
![Page 60: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/60.jpg)
Eq. integral da quantidade de mov. angular :
Exemplo: O regador giratΓ³rio de grama com trΓͺs braΓ§os (vista superior na figura
abaixo) recebe Γ‘gua Γ 1.800 L/h. Se o atrito do colar gera um torque de
0,1 N.m, calcule a sua rotação permanente.
d = 7 mm
ππ = 1800 πΏ β = 1800 1000 β 3600 = 5 β 10β4 mΒ³ s
PrincΓpio da continuidade:
1
2
3
e
y
x
β π1 = 0,167 kg s
β ππ1 = 4,34 m s
PrincΓpio da qtd. de mov. angular: π =
π
ππ‘ ππΆ
π Γ ππ πV +
ππΆ
Β± π Γ π ππ
0 (permanente)
π Γ πΉπ + ππΆ
π Γ π π πV + ππππ₯π0 0 0 ( ππ = 0)
πππππππ΄π
β πππ‘ π = 3 π1 Γ π1 π1
π1 ππ1 = ππ π
π π ππ1 + ππ1= ππ β ππ1 π
= 3π ππ β ππ1 π1 π Γ π
β π
β π =ππ1π β
πππ‘3π 2 π1
=4,34
0,15β
0,1
3 0,15 20,167= 20,1 rad s = 192 rpm
β πππ‘ = 3π ππ1 β ππ π1
Γ 60/2π
+e 1 2 3+ +-
![Page 61: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/61.jpg)
Eq. Integral da Energia
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π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
π π΅π ππ π‘πππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π½ π ππ + β Β±π½ π π
Teorema de transporte de Reynolds:
⒠Equação da Energia:
π΅ = πΈ β π½ =ππ΅
ππ=ππΈ
ππ
ππΈ
ππ‘==
π
ππ‘ ππΆ
π π ππ + β Β±π π π
ππ
ππ‘βππ
ππ‘
ππ
ππ‘βππ
ππ‘=ππΈ
ππ‘
1Βͺ Lei da termodinΓ’mica:
= π
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Equação integral da energia
ππ
ππ‘βππ
ππ‘=
π
ππ‘ ππΆ
π π ππ + β Β±π π π
β’ Energia:
β’ Trabalho:
π = ππππ‘ππππ + ππππΓ©π‘πππ + ππππ‘ππππππ + πππ’π‘πππ
π’ π22
ππ§
ππ
ππ‘= π = ππΓ‘π + πππππ π + ππ£ππ π
πΉπ β ππ
+ saΓda entrada
π = πππππ΄
π β ππΓ‘π + πππππ π + ππ£ππ π = +πΌ + β Β± π’ +π2
2+ ππ§ π
π
= ππ β π΄π β ππππ = ππ β ππ
ππ
ππππβ ππ
ππππ
πΌ
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Equação integral da energia
Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:
π β ππΓ‘π β ππ£ππ π = +πΌ + β π’ +π
π+π2
2+ ππ§ π
π
π β ππΓ‘π + πππππ π + ππ£ππ π = +πΌ + β Β± π’ +π2
2+ ππ§ π
π
ππππβ ππ
π β ππΓ‘π β ππ£ππ π =π
ππ‘ ππΆ
π π ππ +
π=1
ππ
π’ +π
π+π2
2+ ππ§ π
π
![Page 65: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/65.jpg)
Equação integral da energia Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saΓda (2):
π β ππΓ‘π β ππ£ππ π =π
ππ‘ ππΆ
π π ππ +
π=1
ππ
π’ +π
π+π2
2+ ππ§ π
π
ππ
ππ‘β
πππΓ‘π
ππ‘+πππ£ππ π
ππ‘= β π’1 +
π1π1
+π12
2+ ππ§1 π1 + π’2 +
π2π2
+π22
2+ ππ§2 π2
β’ Pela equação da continuidade: π1 = π2 = π
Γ· π β
ππππ‘ πβ
πππΓ‘π
ππ‘+πππ£ππ πππ‘
π= β π’1 +
π1π1
+π12
2+ ππ§1 + π’2 +
π2π2
+π22
2+ ππ§2
ππππ‘ π=
ππππ‘
ππππ‘
=ππ
ππ= π
ππππ‘ π=ππ
ππ=ππ β π β β
ππ= π β β
π πβπΓ‘π + πβπ£ππ π
![Page 66: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/66.jpg)
Equação integral da energia Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saΓda (2):
π β ππΓ‘π β ππ£ππ π =π
ππ‘ ππΆ
π π ππ +
π=1
ππ
π’ +π
π+π2
2+ ππ§ π
π
ππ
ππ‘β
πππΓ‘π
ππ‘+πππ£ππ π
ππ‘= β π’1 +
π1π1
+π12
2+ ππ§1 π1 + π’2 +
π2π2
+π22
2+ ππ§2 π2
β’ Pela equação da continuidade: π1 = π2 = π
Γ· π β
ππππ‘ πβ
πππΓ‘π
ππ‘+πππ£ππ πππ‘
π= β π’1 +
π1π1
+π12
2+ ππ§1 + π’2 +
π2π2
+π22
2+ ππ§2
π πβπΓ‘π + πβπ£ππ π
Γ· π βπ1π1π
+π12
2π+ π§1 =
π2π2π
+π22
2π+ π§2 +
π’2 β π’1 β π
π+ βπΓ‘π + βπ£ππ π
βπ β βπ΅πΎ1 πΎ2
βππππππ
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Equação integral da energia Caso aberturas (entradas / saΓdas) uniformes:
Caso permanente com apenas uma entrada (1) e uma saΓda (2):
βͺ Se π = Ξπ’:
βͺ Bernoulli (Ξπ» = 0):
π β ππΓ‘π β ππ£ππ π =π
ππ‘ ππΆ
π π ππ +
π=1
ππ
π’ +π
π+π2
2+ ππ§ π
π
π1πΎ1π
+π12
2π+ π§1 =
π2πΎ2π
+π22
2π+ π§2 +
π’2 β π’1 β π
π+ βπ β βπ΅ + βπ
π1πΎ1π
+π12
2π+ π§1 =
π2πΎ2π
+π22
2π+ π§2 + βπ β βπ΅ + βπ
π»1 π»2 β π»1 = π»2 + βπ»
β π»1 = π»2 = β― = ππππ π‘
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ExemploUm navio bombeiro suga Γ‘gua
do mar (densidade 1,025) de um
tubo submerso e a recalca atravΓ©s
de um bico, conforme figura abaixo.
A perda total de carga Γ© de 2,0 m.
Se a e bomba tem eficiΓͺncia de
75%, qual a potΓͺncia do motor
necessΓ‘ria?
p1Ξ³1
+V12
2g+z1 =
p2Ξ³2
+V22
2g+z2 +hTurbβhBomba+hperda
2
d
hp
3,0 m
Bomba
D = 2,0β
36 m/s
D = 6,0β
1,8 m
1
![Page 69: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/69.jpg)
Exemplod = 1,025hatrito = 2,0 m. = 75%Pot = ?
β’ Pelo princΓpio da continuidade:
p1Ξ³+V12
2g+z1 =
V22
2g+z2 βhB+hP
m1 = m2 β Ο V1 A1 = Ο V2 A2
β V1Ο 6β0,0254 2
4= 36
Ο 2β0,0254 2
4β V1 = 4,0 m/s
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0β
36 m/s
D = 6,0β
1,8 m
1
![Page 70: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/s
p1Ξ³+V12
2g+z1 =
V22
2g+z2 βhB+hP
Ξ³β1,8Ξ³
+42
2gβ1,8 =
362
2g+3 βhB+2
β hB = 69 m
PotH =dE
dt=dm g h
dt= m g h β PotH = ΟV1A1g h
Ξ· =PotHPotB
β PotB =PotHΞ·
β PotB =ΟV1A1g h
Ξ·
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0β
36 m/s
D = 6,0β
1,8 m
1
![Page 71: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/71.jpg)
Exemplod = 1,025hatrito = 2 m. = 75%Pot = ?V1 = 4,0 m/shB = 69 m
PotT =ΟV1A1g h
Ξ·
PotB =1022 β 4 β
Ο β 6 β 0,0254 2
4 β 9,8 β 69
0,75 = 67 kW
β Ο = d Οa = 1,025 β 998 = 1022 kg/mΒ³
= 90 cv
2
3,0 m
Bomba
D = 2,0β
36 m/s
D = 6,0β
1,8 m
1
![Page 72: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/72.jpg)
ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiΓ£o de baixa pressΓ£o que pode aspirar fluidode um reservatΓ³rio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressΓ£o para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Γgua
Γgua
V1
![Page 73: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/73.jpg)
ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiΓ£o de baixa pressΓ£o que pode aspirar fluidode um reservatΓ³rio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressΓ£o para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
β Ο1V1A1 = Ο2V2A2 m1 = m2
β’ Pelo princΓpio da continuidade:
β V1 A1 = V2 A2
⒠Pela equação de Bernoulli:
p1Ξ³1
+V12
2g+ z1 =
p2Ξ³2
+V22
2g+ z2
![Page 74: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/74.jpg)
ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiΓ£o de baixa pressΓ£o que pode aspirar fluidode um reservatΓ³rio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressΓ£o para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
β Ο1V1A1 = Ο2V2A2 m1 = m2
β’ Pelo princΓpio da continuidade:
β V1 A1 = V2 A2
⒠Pela equação de Bernoulli:
p1Ξ³1
+V12
2g+ z1 =
p2Ξ³2
+V22
2g+ z2
![Page 75: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/75.jpg)
Aplicaçáes do efeito Venturi
http://www.asperjato.com.br/. Acesso em 20/01/2016.
http://www.ozonesolutions.com/journal/2013/ozone-venturi-injectors-work-dissolve-ozone-water/. Acesso em 20/01/2016.
http://animais.grandemercado.pt/setubal/peixes-acessorios/filtro-aquario-novo-294629.htm. Acesso em 20/01/2016.http://www.sintecpromaquinas.com.br/pistola-eletrica-para-pintura.
Acesso em 20/01/2016.
http://nostalgika.com.br/wp/blog/2013/08/28/agosto-em-paris-parte-iv/. Acesso em 20/01/2016.
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ExemploUma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada
venturi, forma uma regiΓ£o de baixa pressΓ£o que pode aspirar fluidode um reservatΓ³rio, conforme figura abaixo. Considerando umescoamento sem perdas, deduza uma expressΓ£o para velocidade V1
suficiente para trazer o fluido do reservatório para seçãoestrangulada.
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Γgua
Γgua
V11 2
p1Ξ³1
+V12
2g+z1 =
p2Ξ³2
+V22
2g+z2
![Page 77: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/77.jpg)
Exemplo
p1Ξ³1
+V12
2g+z1 =
p2Ξ³2
+V22
2g+z2
paβ Ξ³h
Ξ³+V12
2g=paΞ³+V22
2g
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Γgua
Γgua
V11 2
p3 = pa = p1 + Ξ³h= p1 + Οgh
β p1 = pa β Ξ³h
βV12 β 2gh = V2
2
3
![Page 78: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplo
β Ο1V1A1 = Ο2V2A2
p1Ξ³1
+V12
2g+z1 =
p2Ξ³2
+V22
2g+z2
paβ Ξ³h
Ξ³+V12
2g=paΞ³+V22
2g
h
D1
D2
V2
p2 = pa
pa
Γgua
Γgua
V11 2
p3 = pa = p1 + Ξ³h= p1 + Οgh
β p1 = pa β Ξ³h
βV12 β 2gh = V2
2
m1 = m2
β V2 = V1D12
D22 β V2
2 = V12D1
4
D24
β’ Pelo princΓpio da continuidade:
β V1 = 2gh 1βD14
D24
3
![Page 79: Aula 3 Equaçáes Integraishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/04/FENTRAN...Β Β· π π= β π π =0 CONSERVAΓΓO DA MASSA (Continuidade) Quantidade de](https://reader031.vdocuments.com.br/reader031/viewer/2022022710/5bf77a5109d3f294138bad1a/html5/thumbnails/79.jpg)
SumΓ‘rio
Leis BΓ‘sicas
VazΓ£o
Volume de Controle
Teorema de transporte de Reynolds e aplicaçáes:
βͺ Conservação da Massa
βͺ Quantidade de movimento linear
βͺ Quantidade de movimento angular
βͺ Energia
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BIBLIOGRAFIA:
WHITE, Frank. M. MecΓ’nica dos Fluidos. 6Βͺ ed. McGraw-
Hill, 2010.
FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução Γ
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Tradução: LTC, 2014.
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