GPEFEOscilações

Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque

diego.albuquerque@msn.com

megafisica.com.br

Aula 12:

Oscilações

Oscilações

Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir deum certo instante começa a repetir esta trajetória, dizemos que essemovimento é periódico. Quando o movimento se repete em intervalosregulares é chamado de movimento harmônico.

fT

1=

No MHS são válidas as relações entre frequência (f) eperíodo (T).

Oscilações

O movimento pode seravaliado em uma sequênciade instantâneos:

)cos(.)( ϕω += txtx m

O deslocamento x da partícula é uma funçãodo tempo e pode ser representado por:

Imagine um partícula realizando um movimentoperiódico como mostrado na figura a seguir:

A grandeza xm, denominada

Amplitude, é uma constantepositiva e depende do efeitocausador do movimento.

Oscilações

Para o movimento apresentado anteriormente temos oseguinte gráfico.

)cos(.)( ϕω += txtx m

Amplitude

Tempo

Frequência angular

Ângulo de fase

Fase

Como a função cosseno possui osvalores máximos de 1 e -1 aposição da partícula pode ser nomáximo +xm ou –xm

Oscilações

O gráfico a seguir ilustra dois movimentos de diferentesamplitudes:

A grandeza dependente do tempo (ωt + φ) é chamada de fase e aconstante de fase φ depende das características do deslocamento evelocidade da partícula em t = 0.

Oscilações

Para compreendermos o efeito da frequencia angular, vamossupor um movimento com constante de fase nula, i.e., φ = 0. elembrando que T é o período, ou seja, o tempo de um ciclocompleto, temos que x(t) = x(t+T) para todo t. Logo:

)()( Ttxtx +=

))(cos(.)cos(. Ttxtx mm += ωωA função cosseno se repete pela primeira vez quando seu argumentoaumentar por 2π rad, e assim:

)(2 Ttt +=+ ωπω

fT

ππω 22 ==

Oscilações

O gráfico a seguir ilustra dois movimentos de diferentesfrequências angulares

)cos(.)( ϕω += txtx m

Velocidade no MHS

Da definição de velocidade temos:

Ou:

)]cos([)(

)( ϕω +== txdt

d

dt

tdxtv m

)()( ϕωω +−= tsenxtv m

E portanto:

)()( ϕω +−= tsenvtv m

mm vx =ω

Amplitude da velocidade

Aceleração no MHS

Da definição de aceleração temos:

Ou:

)]([)(

)( ϕωω +−== tsenxdt

d

dt

tdvta m

)cos()( 2 ϕωω +−= txta m

E portanto:

)cos()( ϕω +−= tata m

mm ax =2ω

Amplitude da aceleração

Ou:

)()( 2txta ω−=

Gráficos no MHS

Força no MHS

Aplicando a Segunda Lei de Newton no MHS temos:

xmmaF )( 2ω−==E lembrando a situação de uma mola e a lei de Hooke temos:

xkF el−=Temos então que:

elkm =²ωm

kel=ω

T

πω 2= elk

mT π2=

Oscilador Harmônico Simples

Linear

O sistema bloco-mola da figura forma umoscilador harmônico simples linear onde“linear” indica que F é proporcional à x e não aalguma outra potência de x.

Todo sistema oscilante, seja ele um trampolimou uma corda de violino, possui algumelemento “elástico” e algum elemento de“inércia” ou massa, e assim se assemelha aum oscilador linear.No oscilador linear estes elementos estão empartes separadas do sistema, como aelasticidade da mola e a massa do bloco noexemplo dado.

Energia no MHS

Em um oscilador linear a energia é transferida entre energiacinética e potencial, enquanto que a soma das duas (a EnergiaMecânica) se mantém constante.

2

)²(cos²

2

)]²cos(.[

2

² ϕωϕω +=+== txktxkxkU melmelel

A energia potencial (U) depende da deformação da mola:

A energia cinética (K) depende da velocidade do bloco v(t):

2

)²(²

2

)]²([

2

² ϕωϕωω +=+−

== tsenxktsenxmmvK melm

Energia no MHS

E por fim, a Energia Mecânica:

2

)²(²

2

)²(cos² ϕωϕω +++= tsenxktxkE melmel

KUE +=

( ))²()²(cos2

² ϕωϕω +++= tsentxk

E mel

2

²melxkKUE =+=

A energia mecânica de um oscilador linear é

constante!!!!

Energia no MHS

E x t E x x

A energia mecânica de um oscilador linear é constante!!!!

Pêndulos

- Pêndulo ângular:

κθτ −=

A equação é semelhante a lei deHooke porém na forma angular.

Assim, o período de oscilação no MHS angular pode ser definido como:

κπ I

T 2=

Pêndulos

- Pêndulo Simples:

O pêndulo simples é um tipo de oscilador composto poruma partícula de massa m suspensa em uma dasextremidades de um fio inextensível de massa desprezívele comprimento L com a outra extremidade fixa como nafigura.

As forças que atuam sobre opêndulo são a força peso e a forçaT exercida pelo fio.

Pêndulos

- Pêndulo Simples:

A componente do peso, tangencial aodeslocamento é a força de restauração dessemovimento, porque age no corpo de modo a trazê-lo de volta à sua posição central de equilíbrio,produzindo um torque restaurador.

A componente do peso, perpendicular aodeslocamento é equilibrada pela tração exercidapelo fio.

Pêndulos

Assim:

αθτ IsenPL =−=

θαI

mgL−=

Para θ pequenos, senθ ~ θ e então:

xa2ω−=

Lembrando

I

mgL=²ωmgL

IT π2=

θI

mgL

R

a −=

- Pêndulo Simples:

Pêndulos

- Pêndulo Simples:

Utilizando o conceito do Momento de Inérciapara uma partícula:

mgL

mL

mgL

IT

²22 ππ ==

g

LT π2=

Pêndulos

- Pendulo Composto:

Em alguns casos o pêndulo pode ter umadistribuição complicada de massa, diferentedo pêndulo simples.

Nesse caso, não temos um comprimento Lbem definido, apenas um comprimento h quecorresponde da distância do ponto de apoioao centro de massa do corpo. Partindo daí aequação do período pode ser expressa como:

mgh

IT π2=

MHS e MCU

Observando um movimento circular e uniforme podemos concluir que oMHS nada mais é que uma projeção do movimento circular sobre umplano de referência:

O raio do movimentocircular é exatamente aamplitude do movimentoharmônico projetado.

MHS Amortecido

)'cos()( 2/ ϕω += −textx

mbt

m

2

2

4'

m

b

m

k ±=ω

Oscilações Forçadas

)cos()( ϕω += txtx dm

dωω =

Condição de Ressonância:

Aplicações: AFM

Microscopia de Força Atômica (AFM):