GPEFEMovimento em 1D, 2D e 3D

Prof. Me. Diego A. C. Albuquerque

diego.albuquerque@facens.br

Aula 03:

Movimento em 1D, 2D e 3D

Posição e Deslocamento

Posição e Deslocamento: Localizar um objeto significadeterminar sua posição relativa a algum ponto de referência,freqüentemente a origem de um eixo, como mostra a fig. Osentido positivo ou negativo pode então ser determinado.

Posição: Uma partícula podeassumir diferentes posições, porexemplo estar situada em x= 2m ouem x=-3m.

Deslocamento: É a mudança deuma posição para outra, calculadofazendo-se:

�

Velocidade

Definição de Velocidade: É a medida da taxa de variaçãoda posição de uma partícula com relação ao tempo.

Velocidade Média = Velocidade Vetorial Média: É a quantidade físicaque descreve como o vetor deslocamento de uma partícula muda como passar do tempo, portanto é uma grandeza vetorial.

Na definição da Velocidade Média entra ovetor deslocamento e não a trajetória realda partícula.

�� =Δ�⃗

Δ�

Velocidade

Velocidade Escalar Média: É uma forma diferente dedescrever a rapidez com que uma partícula se move.Enquanto na velocidade média (vetorial) usamos o vetordeslocamento, na definição da velocidade escalar médiausamos a distância total percorrida, independente dadireção e sentido. Como esta velocidade não incluidireção e sentido, ela não possui sinal algébrico. Emalgumas situações a velocidade vetorial média será iguala velocidade escalar média.A velocidade Escalar Média é definida como:

� =��â �� �����

�����

Velocidade

Velocidade

Velocidade

Velocidade

Velocidade

Velocidade

Definição de Velocidade Instantânea: A velocidade médianão fornece detalhes a respeito do movimento. Para descrevero movimento com maiores detalhes, é necessário definir avelocidade em um instante ou em um ponto específico aolongo da trajetória. Tal velocidade denomina-se velocidadeinstantânea e é definida como:

Obs. A velocidade instantânea nada mais é do que a velocidade média, calculada para um intervalo de tempo muito pequeno, ou seja, que tende a zero.

� � = lim��→�

Δ�

Δ�=

�

�

Aceleração

Definição de Aceleração: Quando o vetor velocidade de umcorpo em movimento varia com o tempo, dizemos que o corpopossui aceleração. Assim como a velocidade descreve como aposição de um corpo varia com o tempo a aceleração descreveuma taxa de variação da velocidade com o tempo.

Definição de Aceleração Média: A aceleração média de umcorpo que se move do ponto P1 para o ponto P2 é definidacomo:

( )2

0

0 /: smSInoUnidadet

v

tt

vvaméd ∆

∆=−−=

Aceleração

Definição de Aceleração Instantânea: É a medida daaceleração num determinado instante ou ponto do movimento.A aceleração instantânea pode ser obtida calculando-seaceleração média para instantes de tempo cada vez menores.A aceleração instantânea é o limite da aceleração médiaquando o intervalo de tempo tende a zero, ou seja:

dt

dv

t

va

t=

∆∆=

→∆ 0lim

Veja ao lado como obter aaceleração instantânea,usando um gráfico davelocidade em função dotempo. A aceleração é igual ainclinação no ponto P1.

Aceleração cte

Movimento Com Aceleração Constante: Um caso Especial.Em alguns casos de interesse, a aceleração é constante ouaproximadamente constante. Por exemplo, podemos acelerarum carro de forma aproximadamente constante quando umsemáforo se abre. Para esses casos podemos deduzir umconjunto especial de equações, que serão válidas somentepara estudar problemas que possuem aceleração constante,veja:

Se a = cte, e considerando oinstante inicial t0 = 0, podemosescrever :

)2(

)1(

0

0

tvxx

e

atvv

m+=

+=

2

:),1(.

),2()3(

)3(2

2

00

0

attvxx

chegamoseqamais

emdoSubstituin

vvvMas m

++=

+=

Aceleração cte

Equação de Torricelli: Eliminando a variável t (tempo) naequação anterior, obtemos a equação de Torricelli, deduzavocê mesmo:

xavv ∆+= 22

0

2

Conjunto completo de equações para se estudar problemas com a=cte.

xavv

atvv

∆+=

+=

22

0

2

0� = �� + ��� +���

2

Queda Livre

Queda Livre: O exemplo mais familiar de um movimento comaceleração aproximadamente constante é a queda livre de umcorpo atraído pela força gravitacional da Terra. Todos oscorpos caem em direção a Terra com a mesma aceleração,quando desprezamos a resistência do ar, a rotação daTerra e a diminuição da aceleração com a altura.A este movimento ideal de queda ou ascensão, que ocorrecom aceleração constante (g = 9,8 m/s2), damos o nome deQueda Livre.

ygvv

gtvv

gttvyy

∆+=

+=

++=

2

2

1

2

0

2

0

2

00

A aceleraçãogravitacional podeassumir valoresnegativos oupositivos, conformea orientação doeixo y.

Classificação dos Movimentos

1. Movimento Retilíneo Uniforme: É todo movimento emlinha reta que se processa com aceleração nula, ou sejavelocidade constante.

2. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado: É todomovimento em linha reta que se processa com aceleraçãoconstante, ou seja a velocidade varia de forma uniforme como tempo.

Se v > 0 e a > 0 teremos: Movimento acelerado

Se v < 0 e a < 0 teremos: Movimento acelerado

Se v > 0 e a < 0 teremos: Movimento desacelerado

Se v < 0 e a > 0 teremos: Movimento desacelerado

Quando teremos aceleração ou desaceleração?

Vetor Posição

Para descrever o movimento de uma partícula noespaço precisamos necessariamente conhecer oseu vetor posição em cada instante domovimento. O vetor posição é um vetor que vai daorigem do sistema de coordenadas até o pontoem que a partícula se encontra, veja figura:

Vetor posição:

Vetor Velocidade

Conhecendo o vetor posição em cada instante domovimento podemos calcular a velocidade.

Velocidade Média:

Velocidade Instantânea:

�� =Δ�⃗

Δ�=

r⃗ − ��

� − ��

�⃗ =d�⃗

d�=

�

�#̂ +

%

�&̂ +

'

�()

�⃗ = �*#̂ + �+&̂ + �,()

Vetor Aceleração

Conhecendo-se o vetor velocidade em cada instante podemoscalcular o vetor aceleração. Como sugere a figura o vetoraceleração pode ter componentes nas direções x, y e z. Éusual decompor a aceleração em duas componentes: i)tangente a trajetória e ii) perpendicular a trajetória, veja asfiguras:

Aceleração Média:

Aceleração Instantânea:

�� =Δ�⃗

d�=

�⃗ − �⃗�

� − ��

�⃗ =d�⃗

d�=

�*

�#̂ +

�+

�&̂ +

�,

�()

�⃗ = �*#̂ + �+&̂ + �,()

Movimento Bidimensional

Um projétil é qualquer corpo lançado num certo ângulo, comuma certa velocidade inicial no campo gravitacional e quesegue uma trajetória determinada exclusivamente pelaaceleração gravitacional e pela resistência do ar.Desprezando-se a resistência do ar as componentes ax e ay

da aceleração são conhecidas, ou seja: ax = 0 e ay = g= 9,8 m/s2.

Por ser este um movimento muito comum vale a pena estudá-lo.

O movimento de um projétil pode ser tratado como uma combinação dedois movimentos, um na horizontal com velocidade constante pois ax

= 0 e outro na vertical com aceleração constante pois ay = g.

Para ambas as direções as equações de movimento são conhecidas, eao combiná-las estaremos descrevendo corretamente este movimento noplano, geralmente denominado Lançamento de Projétil ou LançamentoObliquo.

Movimento Bidimensional

Na direção x temos um mov. uniforme ou seja: ax = 0.Na direção y temos um mov. uniformemente variado: ay = -g.

tavv

tavv

tatvxx

tatvyy

xxx

yyy

xx

y

y

+=

+=

++=

++=

0

0

2

00

2

00

2

2

Movimento Bidimensional

Considerando o eixo y para cima e substituindo osvalores conhecidos das diferentes grandezas, o conjuntode equações fica:

ygvv

gtvv

gttvyy

yy

yy

y

∆+=

+=

++=

2

2

2

0

2

0

2

00

xx

x

vv

tvxx

0

00

=+=

Na direção Y:

Na direção X:

Exemplo A

Durante erupções vulcânicas, grandespedaços de rocha podem ser ejetadas parafora do vulcão; estes projéteis são chamadosde bombas vulcânicas. A figura mostra aseção transversal do Monte Fuji, Japão. (a)Com que velocidade inicial uma bomba teriaque ser ejetada em um ângulo θ0 = 35º emrelação à horizontal, a partir da abertura A demodo a cair na base do vulcão em B, a umadistância vertical h = 3,30km e a umadistância horizontal d = 9,40 km? Ignore porum momento, os efeitos do ar sobre omovimento da bomba. (b) Qual seria o tempode vôo?

Exemplo B

Um rifle que atira balas a 460 m/s deve atingir umalvo colocado a 45,7m de distância. Se o centro doalvo está no mesmo nível do rifle, a que alturaacima do alvo deve-se apontar o cano do rifle paraque a bala atinja o centro do alvo?