Rede Recíproca em 1D

a

Espaço real ou direto – rede de bravais

Onda Plana eiKx onde K=2/

Para alguns valores de K, a onda plana terá a mesma periodicidade da rede de bravais

eiK(x+a) = eiKx

ou eiKa=1 (K=2/a)

O conjunto de vetores de onda K que produzem ondas planas com a mesma periodicidade de uma dada rede de Bravais é conhecido como rede recíproca.

Espaço recíproco – rede de Bravais

2/a

Rede Recíproca em 3D e 2D

Conjunto de vetores K com a mesma periodicidade:

A rede recíproca também é uma rede de Bravais:

Observemos primeiramente que: bi aj = 2ij

Podemos escrever K como uma combinação linear dos vetores b1, b2, b3 e R como combinação linear dos vetores a1, a2, a3

K=k1b1 + k2b2 + k3b3, R=n1a1 + n2a2 + n3a3

KR = 2(k1n1 + k2n2 + k3n3)= 2 inteiro

k1, k2, k3 são inteiros

21

1 2

2

a n

ga a

12

1 2

2

n a

ga a 3 0g n

3D:

2D:

Célula de Wigner-Seizt

Escolha um ponto da rede e trace linhas que conecte este ponto aos vizinhos mais próximos

Desenhe bissetrizes cortando, perpendicularmente, as linhas traçadas anteriormente.

A menor área definida por estas linhas é a célula de Wigner-Seizt (em laranja)

Espaço direto

Célula de Wigner-Seizt de uma BCC

Célula de Wigner-Seizt de uma FCC

Espaço recíproco

Zona de Brillouin BCC

Zona de Brillouin FCC

Estrutura de Bandas para a Ag

Rede recíproca em 3D: composta de pontos distribuídos no espaçoRede recíproca em 2D: composta de linhas distribuídas no planoRede recíproca de um cristal real: superposição das duas redes

Nomeclatura de superfícies

Notação de Wood:S(hkl)(mn)R-A

Notação Matricial:

b1 = s11a1 + s12a2

b2 = s21a1 + s22a2

s11 s12

s21 s22S=

Superfícies de Metais

• Relaxações em superfícies limpas;

• Reconstruções em superfícies limpas;

• Reconstruções devido a presença de contaminantes.

fcc(100) fcc(110) fcc(111)

bcc(100) bcc(111)bcc(110)

Relaxações em Metais

Por que relaxação?

Reconstruções em Metais

fcc(110)(1x2):Missing-row

• Iridium• Platina• Ouro

fcc(100)(1x5):

• Iridium• Platina• Ouro

bcc(100)c(2x2):

• Tungstênio

Reconstruções em Metais devido à presença de contaminantes

Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(100):

top

4-fold hollow

bridge

Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(110)

hollow-tilted

long bridge

short bridge

2-foldhollow

top

Sítios de adsorção de alta simetria no fcc(111):

bridge

3-fold fcchollow

3-fold hcphollow

top

Co(0001)(33)R30-CO

1.17 0.06 Å

1.78 0.06 Å

2.04 0.05 Å

2.034 Å

0.04 0.04 Å

100 200 300 400

(2/3,2/3)

(2,0)

(1,1)

(1,0)

Inte

nsity

(a.

u.)

Energy(eV)

100 200 300 400

(4/3,1/3)

(1/3,1/3)

Energy(eV)

Experimental Theory

//

Rh(111)(33)R30-CO

Rh(111)(2x2)-3CO

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

C-Co

C-O

Bon

d Le

ngth

(Å

)

Effective Coordination

Top Bridge FCC HCP 4fold

fcc(110)(2x1)-O – missing row/added row

O

missing rows

Ni(111)(3x3)R30-Sn (Sb sobre Ag(111))

Sn sobre Ni(111), Ni(100) e Ni(110)

Sn

Ni

Sn-Ni= (0.45±0.03)Å Sb-Ag= (0.07±0.04)Å

Ni(100)c(2x2)-Sn

Sn

Ni

Sn-Ni= (0.44±0.05)Å

Ni(110)c(2x2)-Sn (Sb sobre Ag(110))

Sn

Ni

Sn-Ni= (0.40±0.03)Å Sb-Ag= (-0.05±0.05)Å

(111) (100) (110)

Sn sobre Ni 0.45 0.44 0.40

Sb sobre Ag

0.05 ?? -0.05

Cu(100)(3x3)-5Li Cu(100)(4x4)-10Li