luiz rijo electrical geophysics 1d earth modeling

Luiz Rijo

ElectricalGeophysics

1-D EarthModeling

ELECTRICAL GEOPHYSICS1-D Earth Direct Modeling

Luiz [email protected]

15/08/2004

Sumário

1 Introdução 1

2 Ondas Planas 72.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Meio homogêneo, isotrópico e ilimitado . . . . . . . . . . . . . 72.3 Modos TM e TE e Coeficientes de reflexão . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Modo TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2 Modo TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3 Impedância e admitância de superfície . . . . . . . . . 162.3.4 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Meios estratificados horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1 Modo TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Modo TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Linha Infinita de Corrente 333.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Meio homogêneo, isotrópico e ilimitado. . . . . . . . . . . . . 343.3 Meio constituído por dois semi-espaços . . . . . . . . . . . . . 383.4 Meio estratificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5 Avaliação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.1 Avaliação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.6 Eletrojato Equatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6.1 Modelo linha infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.6.2 Eletrojato gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Bobina Circular 894.1 Introduçã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Meio homogêneo, isotrópico e ilimitado. . . . . . . . . . . . . 90

iii

iv SUMÁRIO

4.3 Meio constituído por dois semi-espaços . . . . . . . . . . . . . 934.4 Meio estratificado horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5 Avaliação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 Dipolo Magnético Vertical 1195.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2 Dipolo Magnético Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3 Meio homogêneo, isotrópico e ilimitado. . . . . . . . . . . . . 1205.4 Meio constituído por dois semi-espaços . . . . . . . . . . . . . 121

5.4.1 Avaliação exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.4.2 Avaliação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.5 Meios Estratificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.5.1 Avaliação das integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.5.2 Aplicações Eφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.5.3 Aplicações Hr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.5.4 Aplicações Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6 Potenciais de Schelkunoff 1536.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.1.1 Potencial A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.1.2 Potencial F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.2 Meios estratificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.3 Dipolo Magnético Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7 Dipolo Magnético Horizontal 1677.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2 Meio estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.2.1 Semi-espaço condutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8 Dipolo Elétrico Horizontal 1818.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1818.2 Meio estratificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

8.2.1 Semi-espaço condutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.3 SBL (Sea Bed Logging) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.3.1 Coeficitentes de Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.3.2 Kernels KTM e KTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2118.3.3 Algoritmo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.3.4 Uma camada 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2258.3.5 ALGORITMO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

SUMÁRIO v

8.3.6 Componentes Ex e Ey . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2298.3.7 Transferência do inicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.3.8 Meio homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9 Linha Aterrada 2419.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241


10 Bobina Retangular 24910.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249


11 Fonte Pontual DC 25711.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257


Capítulo 1

Introdução

Os Métodos Geofísicos Eletromagnéticos consistem em várias técnicas parase determinar a distribuição geométrica das propriedades elétricas na sub-superfície para fins de estudos geológicos, sejam eles, na prospecção mineral,na exploração de hidrocarbonetos e de água subterrânea, estudos ambientaisou em geotectônica.

Há várias maneiras de se classificar os sistemas elétricos e eletromag-néticos usados na prática. A mais simples é subdividi-los em dois grandesgrupos: os métodos galvânicos e os métodos indutivos. Os primeiros, chama-dos de Métodos Elétricos, usam correntes estacionárias e os segundos, em-pregam correntes alternadas ou transientes. No primeiro grupo estão, porexemplo, os métodos da resistividade e da polarização induzida. No segundogrupo, denominado de Métodos Eletromagnéticos, incluem-se os métodosMagnetotelúrico, Audio-Magnetotelúrico, VLF (Very low frequencies), Tu-ram, Slingram, TEM (Transient electromagnetics), GPR (Ground Penetrat-ing Radar) entre outros. As técnicas de perfis elétricos de poços não são,normalmente, incluídas na classificação tradicional dos métodos elétricos eeletromagnéticos. Em outras palavras, elas formam uma família à parte.

Um outro modo, muito comum, de se classificar os métodos elétricose eletromagnéticos é agrupá-los de acordo com o tipo de aplicações a quese destinam. Por exemplo, os métodos de resistividade são normalmenteempregados na prospecção de água subterrânea. O método Slingram é us-ado exploração mineral. O magnetotelúrico em estudos geotectônicos e napesquisa de hidrocarbonetos em grandes bacias sedimentares. O GPR, porsua vez, em estudos ambientais.

Em geral, os critérios de classificação dos métodos elétricos e eletromag-néticos se baseiam nas características do modus faciendi de cada método. A

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Tx Rx

s2 e2 m2

s5 e5 m5

s4 e4 m4

s1 e1 m1

s3 e3 m3

Figura 1.1: Modelo geoelétrico

ordem cronológica é um fator determinante também. Não obstante as van-tagens da classificação tradicional, dos métodos elétricos e eletromagnéticos,pela ordem cronológica e pelo modus faciendi, ela tem a grande inconveniên-cia de ofuscar a teoria básica unificada que está por trás de cada um dosmétodos. Para uns, o que realmente importa são os aspectos práticos decada técnica, a teoria é apenas o suporte necessário de uma boa prática.Para outros, a falta de um bom embasamento teórico pode comprometerqualquer esforço prático. Ao meu ver, ambos são igualmente importantes.A prática alimenta a teoria e esta, em contra partida, avaliza e enriquece aprática, a qual tem um pouco de arte também.

A classificação adotada neste livro segue a premissa óbvia que todos osmétodos elétricos e eletromagnéticos têm como fundamento a teoria eletro-magnética de Maxwell. Com essa simples observação, pode-se facilmenteidentificar o que cada um dos métodos tem em comum, pelo menos do pontode vista teórico, o que facilita enormemente entender as virtudes e limitaçõesde cada uma das técnicas empregadas na prática. Visto desta maneira, édesnecessária a subdivisão rígida em métodos elétricos e eletromagnéticos.Por motivo histórico, continuaremos adotando esta terminologia, mas é bomter em mente que eles têm a mesma base teórica, salvo pequenos detalhes.

O fundamento teórico dos métodos elétricos e eletromagnéticos se resumena identificação da simetria entre o campo gerado pelo transmissor, a forma

3

do receptor e a estrutura do meio geológico. A situação mais simples cor-responde à ondas planas incidindo em meios estratificados horizontalmente.No caso de ondas mais complexas, por exemplo, de um dipolo magnético, oproblema se resume ao das ondas planas por meio de transformadas integrais(Fourier e Hankel, por exemplo). No caso de meios de geometria complexa,o problema é subdividido em duas partes: a que corresponde à estratificaçãohorizontal e a que corresponde às heterogeneidades laterais, como um corpode minério, por exemplo. A Figura 1.1 ilustra esquematicamente um modelotípico usado nos estudos dos métodos geofísicos eletromagnéticos.

O transmissor Tx supre energia eletromagnética ao meio geológico. Oreceptor Rx capta as informações sobre o meio na forma de campo elétricoou magnético. Tanto o transmissor quanto o receptor podem ser dipolosmagnéticos, dipolos elétricos, bobinas, etc .localizados na superfície do ter-reno, dentro de poços, transportados em aeronaves, dependendo da técnicageofísica em questão. Até mesmo sistemas de correntes elétricas na ionosferapodem servir como agente transmissor de ondas eletromagnéticas usadas emgeofísica.

As equações de Maxwell, no domínio da freqüência (SI),

∇ · E = 0, (1.1)

∇×H− (σ + iω )E = Jext, (1.2)

∇×E+ iωμH = 0, (1.3)

∇ · μH = 0. (1.4)

é, como já foi dito, o ponto de partida de nossos estudos sobre os métodosgeofísicos eletromagnéticos [4], [2]. O termo Jext representa a densidade decorrente elétrica externa, isto é, a corrente elétrica no transmissor Rx.

Observando o modelo da Figura 1.1 nota-se que ele consiste de duaspartes distintas. Uma é a heterogeneidade (bi ou tridimensional) e a outraé o meio estratificado encaixante. Cada uma dessas partes é constituída porregiões ou camadas homogêneas.

Num meio eletricamente homogêneo a equação (1.1) é redundante, poisela é conseqüência da equação (1.2). Analogamente, a equação (1.4) é con-seqüência da equação (1.3). De fato, basta aplicar o operador divergênciaem ambos os lados de (1.2) e (1.3) e usar a identidade ∇ ·∇×F = 0. Comefeito,

∇ ·∇×H− (σ + iω )∇ ·E = 0 → ∇.E = 0,

∇ ·∇×E+iωμ∇ ·H = 0 → ∇.H = 0.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Dito isto, em cada parte homogênea que constitui o modelo, as equaçõesde Maxwell se reduzem a

∇×H− yE = Jext, (1.5)

∇×E+ zH = 0, (1.6)

sendo y = (σ + iω ) a admitividade do meio e z = ıωμ a impeditividade domeio.

Nas interfaces que limitam as regiões homogêneas têm-se:

bn · ( iEi − jEj) = ρs, (1.7)bn× (Hi −Hj) = 0, (1.8)bn× (Ei −Ej) = 0, (1.9)bn · ¡μiHi − μjHj

¢= 0, (1.10)bn · (σiEi − σjEj) = 0, (1.11)

em que bn é o vetor unitário normal à superfície de descontinuidade daspropriedades físicas.

O meio estratificado, isto é, o meio acamado sem heterogeneidades écomumente chamado de modelo primário e as heterogeneidades formam omodelo secundário.

No modelo primário as Equações de Maxwell são

∇×Hp − ypEp = Jext, (1.12)

∇×Ep + zpHp = 0, (1.13)

sendo yp = (σp + iω p) e zp = iωμp

Para se obter as equações de Maxwell relacionadas ao modelo secundárioé conveniente separar o campo elétrico e o campo magnético em primárioe secundário. Os campos primários são criados pela fontes externa (campogeomagnético natural ou tramissores usados nos métodos elétricos e eletro-magnéticos) na presença de meios estratificados e os campos secundáriossão induzidos pelas heterogeneidades que constituem o modelo secundário.Assim,

E = Ep +Es, (1.14)

H = Hp +Hs. (1.15)

Analogamente, é proveitoso destacar as propriedades elétricas do modeloprimário e as variações das propriedades elétricas devido à heterogeneidade.

5

Logo,

σ = σp +∆σ, (1.16)

= p +∆ , (1.17)

μ = μp +∆μ, (1.18)

Substituindo-se (1.14 - 1.15) e (1.16 - 1.18) em (1.5 - 1.6) temos

∇× (Hp +Hs)− (yp +∆y) (Ep +Es) = Jext, (1.19)

∇× (Ep +Es) + (zp +∆z) (Hp +Hs) = 0, (1.20)

em que ∆y = ∆σ + iω∆ e ∆z = iω∆μLevando-se em consideração as expressões (1.12 - 1.13) podemos reescre-

ver (1.19 - 1.20) assim

∇×Hs − yEs = ∆yEp, (1.21)

∇×Es + zHs = −∆zHp, (1.22)

ou assim

∇×Hs − ypEs = ∆yE, (1.23)

∇×Es + zpHs = −∆zH. (1.24)

Estas são as equações de Maxwell para os campos secundários. Note queno primeiro par, a fonte de campo secundário é constituída pelas correntesgeradas na região heterogenia pelo campo primário. No segundo par, a fontede campo secundário são as correntes na região heterogênea que depende nãoapenas do campo primário, mas do campo total.

Os campos primários Ep e Hp são obtidos analiticamente por meio dasequações (1.12 - 1.13). Os campos secundários Es e Hs são calculadosnumericamente, seja com as equações (1.21 - 1.22) e o método dos elementosfinitos ou com as equações (1.23 - 1.24) e o método das equações integrais1.Também se usa a combinação dos dois métodos. Finalmente, os campostotais são calculados por meio de (1.14 - 1.15).

1A rigor, tanto as equações (1.21 - 1.22) como as equações (1.23 - 1.24) precisam aindaser reformuladas para serem usadas nos métodos numéricos.

Capítulo 2

Ondas Planas

2.1 Introdução

Definimos um meio estratificado como sendo um meio constituído porvárias camadas horizontais. Antes de analisar como os campos elétrico emagnético se comportam num meio estratificado, vamos inicialmente nosconcentrar em um meio formado por uma única camada demasiadamenteespessa de tal sorte que podemos considerá-la um meio ilimitado. Depois,voltaremos ao problema do meio estratificado.

2.2 Meio homogêneo, isotrópico e ilimitado

Antes de iniciar cabe uma observação. Com vista aos modelos queiremos estudar mais adiante, usaremos sistematicamente o sistema de co-ordenadas cartesianas, com o eixo z orientado na direção vertical, positivopara baixo, o eixo x no plano da folha do papel positivo para a direita e oeixo y saindo da folha do papel apontando para o leitor. Este sistema decoordenadas concorda com a regra da mão direita.

Suponhamos, de início, que a fonte esteja suficientemente afastadada região onde se deseja resolver o problema. Vamos também considerar quenesta região o meio seja homogêneo e isotrópico. Com essas duas hipóteses,podemos, sem perda de generalidade, supor que os campos elétrico e mag-nético variam apenas na direção z. Então, podemos simplificar as equações

7

8 CAPÍTULO 2. ONDAS PLANAS

(1.5 - 1.6) como segue:

∂Hy

∂z+ yEx = 0,

∂Hx

∂z− yEy = 0,

∂Ey

∂z− zHx = 0,

∂Ex

∂z+ zHy = 0.

Este sistema de quatro equações se desacopla em dois sistemas menoresde duas equações. De fato, temos

Ex =−1y

∂Hy

∂z, (2.1)

∂

∂z

µ1

y

∂Hy

∂z

¶= zHy, (2.2)

e

Hx =1

z

∂Ey

∂z, (2.3)

∂

∂z

µ1

z

∂Ey

∂z

¶= yEy. (2.4)

Primeiro, consideremos o sistema formado pela equações (2.1 - 2.2), Maisadiante analisaremos o segundo sistema.

Substituindo a expressão (2.1) em (2.2) obtém-se a seguinte equaçãodiferencial, chamada equação de Helmholtz

d2Hy

dz2+ k2Hy = 0, (2.5)

em que k2 = −zy = −iωμ (σ + iω ) é denominado de número de onda. Asolução dessa equação é

Hy (z) = H0e−ik|z| (2.6)

ou mais explicitamente,

Hy (z) =

⎧⎨⎩H0e

−ikz z > 0

H0eikz z < 0

2.2. MEIO HOMOGÊNEO, ISOTRÓPICO E ILIMITADO 9

com Im(k) < 0 e sendo H0 um valor arbitrário do campo magnético. Noteque a função H0e

−ik|z| varia de forma senoidal no tempo e no espaço. Umafunção que varia, simultaneamente, no tempo e no espaço é chamada deonda, independentemente se a variação for senoidal ou não. Por isso aequação de Helmholtz (2.5) é um tipo de equação da onda. Nesse caso aonda é chamada de onda plana uniforme. É plana porque a frente de onda éparalela ao plano xy e é uniforme porque não variá nas direções x e y, variaapenas na direção de propagação z.

Tendo-se o campo magnético, é fácil determinar o campo elétrico. Comefeito, substituir (2.6) em (2.1). Logo,

Ex =

⎧⎪⎨⎪⎩iky H0e

−ikz z > 0

−iky H0e

ikz z < 0

(2.7)

O termo complexo ik/y que aparece em (2.7) tem a dimensão de ohm.Ele é denominado de impedância e é simbolizado por Z. Levando-se emconsideração (2.6) podemos reescrever (2.7) assim

Ex =

⎧⎨⎩ZHy z > 0

−ZHy z < 0(2.8)

De modo análogo podemos repetir os mesmos passos com relação aosistema (2.3 - 2.4). De fato substituindo (2.3) em (2.4) resulta em

d2Ey

dz2+ k2Ey = 0 (2.9)

cuja solução é

Ey (z) = E0e−ik|z| (2.10)

ou mais explicitamente,

Ey (z) =

⎧⎨⎩E0e

−ikz z > 0

E0eikz z < 0

Tendo-se o campo elétrico, é fácil determinar o campo magnético. Comefeito, basta substituir (2.10) em (2.3). Logo,

Hx =

⎧⎪⎨⎪⎩−ikz E0e

−ikz z > 0

ikz E0e

ikz z < 0

(2.11)


O termo complexo ik/z que aparece em (2.11) tem a dimensão de 1/ohm.Ele é denominado de admitância e é simbolizado por Y. Levando-se emconsideração (2.10) podemos reescrever (2.11) assim

Hx =

⎧⎨⎩−YEy z > 0

YEy z < 0(2.12)

A admitância é o inverso da impedância. De fato, basta observar que

ZY = ik

y

ik

z=−k2−k2 = 1.

Note que não há componente do campo elétrico e nem do campomagnético na direção de propagação z.Ou seja, o campo eletromagnético étransversal à direção de propagação.

Afirmamos, no início da seção que em virtude do meio ser homogê-neo, isotrópico e ilimitado não há nenhuma direção especial. Escolhemosarbitrariamente a direção z, mas, poderíamos ter escolhido qualquer umaoutra direção. Poderíamos, por exemplo, ter escolhido uma direção em quea onda se propaga obliquamente com relação aos eixo x e z, ou seja, numadireção inclinada, de um ângulo θ, em relação ao eixo z. Tal como no casoanterior, temos duas possibilidades: o campo magnético ou o campo elétricoparalelo ao eixo y. No primeiro caso temos

Hy =

⎧⎨⎩H0e

−ik(z cos θ+x sin θ) z > 0

H0eik(z cos θ+x sin θ) z < 0

(2.13)

e no segundo

Ey =

⎧⎨⎩E0e

−ik(z cos θ+x sin θ) z > 0

E0eik(z cos θ+x sin θ) z < 0

(2.14)

No caso do campo magnético ser paralelo ao eixo y, o campo elétrico temduas componentes, Ex e Ez e no no segundo caso, em que o campo elétricoé paralelo ao eixo y, o campo magnético tem duas componentes Hx e Hz.Para verificar isto, voltemos às equações (1.5 - 1.6). Explorando a simetria

2.3. MODOS TM E TE E COEFICIENTES DE REFLEXÃO 11

ditada pelo problema é fácil verificar que

Ex =−1y

∂Hy

∂z(2.15)

Ez =1

y

∂Hy

∂x(2.16)

∂2Hy

∂x2+

∂2Hy

∂z2+ k2Hy = 0 (2.17)

e

Hx =1

z

∂Ey

∂z(2.18)

Hz =−1z

∂Ey

∂x(2.19)

∂2Ey

∂x2+

∂2Ey

∂z2+ k2Hy = 0 (2.20)

Exercício 2.1 Use as equações (1.5 - 1.6) e determine os dois sistemasde equações: (2.15 - 2.17) e (2.18 - 2.20) vistos a pouco. Sabendo-se que acomponente Hy e expressa por (2.13) escreva as expressões das componentesEx e Ez. De modo análogo, determine Hx e Hz a partir da componente Ey

dada por (2.14.

Exercício 2.2 Verifique que (2.13) satisfaz à equação (2.17). Analoga-mente, mostre que (2.14) é solução da equação (2.20).

2.3 Modos TM e TE e Coeficientes de reflexão

Na seção anterior vimos como uma onda plana se propaga num meioilimitado e eletricamente homogêneo e isotrópico. Agora, o meio será con-stituído por dois semi-espaços homogêneos e isotrópicos de propriedadeselétricas distintas, ambos limitados pelo plano xy. O nosso objetivo, en-tão, é analisar o comportamento do campo eletromagnético frente à descon-tinuidade das propriedades físicas dos semi-espaços. Campo eletromagnéticosignifica as três componentes do campo elétrico e as três componentes docampo magnético.

A análise será feita em duas etapas. Na primeira envolve as componentesHy, Ex e Ez de acordo com as equações (2.15 - 2.17). Na segunda etapaé a vez das componentes Ey, Hx e Hz em conformidade com as equações


x

z

s1 e1 m1

q2

q1q1

s2 e2 m2

yH

Figura 2.1: Modo TM - Dois semi-espaços

(2.18 - 2.20). Cada uma das duas etapas constitui o que tecnicamente échamado de modo de propagação eletromagnética. No primeiro modo tem-se as componentes Hy, Ex e Ez. Como Hy é transversal à direção z, estemodo é chamado de modo transversal magnético com relação à direção zou simplesmente modo TMz. Da mesma maneira poderíamos ter definidoo Modo TMx, no lugar do TMz, uma vez que Hy também é transversal àdireção x. Em virtude da descontinuidade das propriedades elétricas dos doissemi espaços se dá na direção z, o modo de propagação é o modo TMz, quepartir de agora será chamado simplesmente de modo TM, sem o subscritoz. No segundo modo, a componente Ey é transversal ao eixo z e portantotrata-se do modo TEz ou simplesmente modo TE.

Como na seção anterior, a fonte é considerada suficientemente distanteda região de interesse do problema.

2.3.1 Modo TM

A Figura 2.1 mostra a geometria do modelo em que a onda incidente éuma onda plana polarizada com o campo magnético paralelo ao eixo y einclinada de um ângulo θ1 em relação eixo vertical. Pela lei de Snell oângulo de reflexão também é igual a θ1.

O campo incidente,

Hy = H1e−ik1z cos θ1−ik1x sin θ1 ,

reflete na interface dos dois meios, restituindo parte da energia ao primeiro


meio e o restante da energia ao segundo meio. No primeiro meio tem-se

H(1)y = H1

³e−ik1z cos θ1−ik1x sin θ1 +R

(1)TMeik1z cos θ1−ik1x sin θ1

´, (2.21)

em que R(1)TM é o coeficiente de reflexão. No segundo meio, o campo mag-nético toma a forma.

H(2)y = H2e

−ik2z cos θ2−ik2x sin θ2 . (2.22)

O problema agora é determinar o coeficiente de reflexão R(1)TM e o valorde H2, isto é, determinar quanto efetivamente foi refletido no primeiro meioe quanto foi transmitido para o segundo meio.

Para facilitar os cálculos e tornar as expressões finais mais elegantesvamos reescrever (2.21) da seguinte maneira

H(1)y = H1

³e−u1z +R

(1)TMeu1z

´e−iλx, (2.23)

em que foram feitas as seguintes substituições,

k1 sin θ1 = λ (2.24)

e

ik1 cos θ1 = ik1p1− sin2 θ1

=q−k21 + k21 sin

2 θ1

=qλ2 − k21 = u1.

A constante u1é denominada de constante de propagação da onda noprimeiro semi-espaço. Note que a constante de propagação u1 depende donúmero de onda k1 e do ângulo de incidência θ1. No caso particular daincidência ser normal, θ1 = 0, então u1 = ik1.É importante não confundirnúmero de onda com constante de propagação. São dois conceitos bemdiferentes.

Aplicando-se a lei de Snell k1 sin θ1 = k2 sin θ2 = λ e observando que

k2 cos θ2 =qλ2 − k22 = u2,

podemos reescrever (2.22) do seguinte modo

H(2)y = H2e

−u2ze−iλx. (2.25)


As equações (2.23) e (2.25) não são suficientes se determinar R(1)TM e H2

que, afinal de contas, é o nosso objetivo. Precisamos de mais duas equações.Usando-se (2.15) podemos lançar mãos de

E(1)x =−1y1

∂H(1)y

∂z= Z1H1

³e−u1z −R

(1)TMeu1z

é−iλx (2.26)

e

E(2)x =−1y2

∂H(2)y

∂z= Z2H2e

−u2ze−iλx (2.27)

em que Z1 = u1/y1 e Z2 = u2/y2 são as impedâncias intrínsecas ou ver-dadeiras dos dois semi espaços.

Agora sim podemos construir um sistema de duas equações para deter-minar as duas incógnitas. Isso será feito da seguinte maneira. Na interfacedos dois semi-espaços, isto é, z = 0, (2.23) e (2.25) se reduzem a

H(1)y = H1

³1 +R

(1)TM

é−iλx (2.28)

e

H(2)y = H2e

−iλx. (2.29)

Analogamente, em z = 0, (2.26) e (2.27) se reduzem a

E(1)x = Z1H1

³1−R

(1)TM

é−iλx, (2.30)

e

E(2)x = Z2H2e−iλx. (2.31)

Em virtude da continuidada das componentes tangenciais do campoelétrico e do campo magnético na interface dos dois semi-espaços, resultaigualando (2.28) e (2.29), e também (2.30) e (2.31) o seguinte sistema deequações,

H1

³1 +R

(1)TM

é−iλx = H2e

−iλx,

Z1H1

³1−R

(1)TM

é−iλx = Z2H2e

−iλx.

Resolvendo o sistema, obtemos o coeficiente de reflexão

R(1)TM =

Z1 −Z2Z1 +Z2

, (2.32)


e H2 em termo de H1,

H2 =2Z1H1

Z1 +Z2. (2.33)

Uma vez conhecidos R(1)TM e H2, podemos determiar H(1)y e E(1)x em qual-

quer ponto do primeiro semi-espaço e H(2)y e E(2)x no segundo semi-espaço.

As componente E(1)z é E

(2)z são obtidas substituindo (2.23) e (2.25) em

(2.16). Portanto,

E(1)z =1

y1

∂H(1)y

∂x=−iλy1

H1

³e−u1z +R

(1)TMeu1z

é−iλx =

−iλy1

H(1)y , (2.34)

e

E(2)z =1

y2

∂H(2)y

∂x=−iλy2

H2e−u1ze−iλx =

−iλy2

H(2)y . (2.35)

2.3.2 Modo TE

Procedendo de maneira interamente análoga, obtém-se as componentes E(j)y ,H(j)x e H

(j)z do modo TE nos dois semi-espaços (j = 1, 2). Com efeito,

podemos escrever,

E(1)y = E1

³e−u1z +R

(1)TEe

u1zé−iλx, (2.36)

E(2)y = E2e−u2ze−iλx, (2.37)

em que o coeficiente de reflexão R(1)TE e o coeficiente E2 são, respectivamente,

R(1)TE =

Y1 − Y2Y1 + Y2

, (2.38)

e

E2 =2Y1E1Y1 + Y2

, (2.39)

sendo Y1 = u1/z1 e Y2 = u2/z2 as adimitâncias intrínsicas dos semi-espaços1 e 2.

Aplicando-se (2.18) e (2.19) vem

H(1)x = −Y1E1

³e−u1z −R

(1)TMeu1z

é−iλx, (2.40)

H(2)x = −Y2E2e−u2ze−iλx, (2.41)


H(1)z =

iλ

z1E(1)y , (2.42)

H(2)z =

iλ

z2E(2)y . (2.43)

Exercício 2.3 Aplique o mesmo raciocínio usado no Modo TM e deduza(2.38) e (2.39).

Exercício 2.4 Deduza as fórmulas de (2.42) a (2.43).

Exercício 2.5 Mostre que a impedância no ar (σ = 0) vale Z0 =qμ00cos θ0 ' 120π cos θ0.

2.3.3 Impedância e admitância de superfície

Como vimos anteriormente, a impedância intrínseca (ou verdadeira) de ummeio j é definida por Zj = uj/yj em que a constante de propagação é

uj =qλ2 − kj com kj =

√−zjyj sendo zj = iωμj e yj = σj + iω j . Oparâmetro λ, de acordo com (2.24), depende de kj e do ângulo de insidênciada onda. Da mesma maneira, a admitância intrínseca (ou verdadeira) domeio é definida por Yj = uj/zj .

A impedância (admitância) intrínseca caracteriza o meio do ponto devista de propagação da onda eletromagnética. Entretanto, na interface entredois meios essa caracterização torna-se, até certo ponto, ambígua. É preciso,então, definir claramente o que seja impedância (admitância) na interfacedos dois meios. Em virtude da continuidade das componentes tangenciaisdo campo elétrico e magnético é natural definir a impedância na interfacecomo sendo bZ = Ex

Hy. (2.44)

Como a interface entre os dois semi-espaços coincide com a superfíciedo semi-espaço inferior, (2), é praxe denominar a impedância na interfacebZ de impedância de superfície ou impedância aparente. Note que de acordocom essa definição a impedância de superfície coincide com a impedânciaintrínseca do semi-espaço inferior, ou seja, bZ = Z2. Assim desaparece aambigüidade acima referida.

Analogamente define-se a admitância de superfície ou admitância aparenteda seguinte maneira bY = −Hx

Ey(2.45)

e portanto, por definição, bY = Y2.

2.4. MEIOS ESTRATIFICADOS HORIZONTAIS 17

2.3.4 Aplicação

A propósito de ilustração vamos fazer uma aplicação do conceito de impedân-cia de superfície. Suponhamos que o semi-espaço superior seja o ar1. (σ0 =0) e a freqüência suficientemente baixa (10−3 a 102 Hz)

Como |k1| À |k0| a lei de Snell garante que θ1 = 0, isto é, a onda sepropaga verticalmente no semi-espaço inferior independentemente do valordo ângulo de incidência no semi-espaço superior. Feitas essas observaçõespodemos escrever a impedância intríseca do semi-espaço inferior da seguintemaneira

Z1 =u1y1=

ik1σ1

=

√−iωμ1σ1σ1

=

rωμ0σ1

e−iπ/4

em que usamos o fato de σ1 À ω e μ1 = μ0.Com uma simples manipulação algébrica podemos reescrever

ρ1 =1

σ1=

1

ωμ0|Z1|2

sendo ρ1 a resistividade elétrica do semi-espaço inferior.Como a impedância de superfície bZ1 = Ex/Hy é equivalente à impedân-

cia intrínseca do semi-espaço, podemos escrever

ρ1 =1

ωμ0|Z1|2 =

1

ωμ0

¯Ex

Hy

¯2z=0

(2.46)

Note que a partir da observação das componentes horizontais do campoelétrico e do campo magnético na superfície do terreno se deduz a resistivi-dade (condutividade) do meio na sub-superfície.Afinal de contas é esse oobjetivo da geofísica, determinar os parâmetros elétricos e geométricos dasub-superfície a partir de observações indiretas. Mais adiante voltaremos adiscutir sobre a importância da fórmula (2.46) em geofísica.

2.4 Meios estratificados horizontais

O modelo do meio estratificado horizontalmente, também chamado meioacamado, é um dos mais importante em geofísica. Ele consiste de dois

1Quando o semi-espaço superior é o ar, decidimos usar o índice 0 no lugar de 1 paraidentificá-lo. O índice do semi-espaço inferior passa a ser 1. A permeabilidade magnéticaμ0 e a suscetibilidade elétrica 0 são equivalentes as do vácuo.A condutividade elétricaσ0 = 0.


h2

h1z1

z 0

z2

hj

h 1j -z 1j -

z 2j -

zj

hN 1-

z 2N -

zN 1-

e2m2s2

emsj - 1 j - 1 j - 1

emsN - 1 N - 1 N - 1

emsN N N

e1m1s1

e0m0s0q1 q1>

> >

>

Hy

Figura 2.2: Modelo de N camadas horizontais homogênease isotrópicas.

semi-espaços, um superior homogêneo e isotrópico e um inferior formadopor N camadas paralelas, também, homogêneas e isotrópicas. O substratoé considerado uma camada, também. A Figura (2.2) mostra a geometriae as propriedades físicas das N camadas. O sistema de coordenadas, comosempre, é formado pelo o eixo x na direção horizontal da esquerda paradireita, o eixo y saindo da página do livro em direção ao leitor e o eixo z nadireção vertical apontando para baixo.

Como no caso anterior, a onda eletromagnética incidente se decompõeem dois modos de polarização. O modo TM constituído pelas componentesHy, Ex e Ez e o modo TE, formado pelas componente Ey, Hx eHz. Primeirovamos tratar o modo TM e em seguida o modo TE.

2.4.1 Modo TM

O nosso objetivo é determinar o valor das componentesHy, Ex e Ez no semi-espaco superior e em qualquer camada, sabendo-se, a priori, a geometria epropriedades elétricas das camadas

¡σj , μj , j

¢e do semi-espaço superior.

As componente Hy e Ex no semi-espaco superior e em qualquer camada


acima do substrato podem ser escritas assim,

H(j)y = Hj

³e−uj(z−zj) +R

(j)TMeuj(z−zj)

é−iλx, j = 0, 1, 2.....N − 1

E(j)x = ZjHj

³e−uj(z−zj) −R

(j)TMeuj(z−zj)

é−iλx, j = 0, 1, 2.....N − 1

(2.47)e no substrato, assim,

H(N)y = HNe

−uN (z−zN−1)e−iλx,

E(N)x = ZNHNe−u

N (z−zN−1)e−iλx. (2.48)

Para alcançar o nosso objetivo precisamos determinar os coeficientesde reflexão R

(j)TM e os corficientes Hj . Vejamos primeiro os coeficientes de

reflexão R(j)TM . Na interface z = zj ,.as componentes H

(j)y e E(j)x dadas por

(2.47) tomam a forma,

H(j)y = Hj

³1 +R

(j)TM

é−iλx,

E(j)x = ZjHj

³1−R

(j)TM

é−iλx. (2.49)

Dividindo a segunda pela primeira obtém-se,

E(j)x

H(j)y

= Zj1−R

(j)TM

1 +R(j)TM

.

Como, por definição,

bZj+1 =E(j)x

H(j)y

¯¯z=zj

,

concluimos que

R(j)TM =

Zj − bZj+1

Zj + bZj+1

. (2.50)

A questão agora é saber como determinar a impedância aparente bZj+1

para se obter o coeficiente de reflexão R(j)TM .da camada j-ésima. Mas, isso

não é problema, como veremos a seguir. Vamos mostrar que a impedânciaaparente em qualquer interface é regida pelo seguinte algoritmo recursivo,


bZj = Zj

bZj+1 +Zj tanhujhj

Zj + bZj+1 tanhujhj, (2.51)

bZN = ZN , j = N − 1, n− 2, .....3, 2, 1

Este algoritmo funciona de baixo para cima. Isto é, inicia-se na últimacamada e prossegue recursivamente para a primeira camada.

Vamos então provar essa afirmativa. De (2.47), a razão entre E(j)x e H(j)y

na interface z = zj−1 é igual a

E(j)x

H(j)y

¯¯z=zj−1

= Zjeujhj −R

(j)TMe−ujhj

eujhj +R(j)TMe−ujhj

.

Substituindo (2.50) nesta expressão e lembrando-se que na interface z =zj−1 a impedância aparente bZj é expressa por

bZj =E(j)x

H(j)y

¯¯z=zj−1

,

podemos escrever,

bZj = Zj

eujhj −³Zj−Zj+1Zj+Zj+1

é−ujhj

eujhj +³Zj−Zj+1Zj+Zj+1

é−ujhj

Multiplicando o numerador e denominador por Zj+ bZj+1 e rearranjandoconvenientemente os termos, resulta

bZj = Zj

bZj+1 +Zj

³eujhj−e−ujhjeujhj+e−ujhj

é−ujhj

Zj + bZj+1

³eujhj−e−ujhjeujhj+e−ujhj

é−ujhj

Finalmente, indentificando os termos em parênteses como a tanhujhj ,chega-se ao resultado almejado.

Tendo o coeficiente de reflexão R(j)TM da camada j-ésima sobre controle,resta agora calcular Hj para se determinar as componentes Hy, Ex e Ez emqualquer local do modelo.

Vamos, então, em busca de Hj . Para isso, considerenos as componentes

H(j−1)y e H(j)

y nas camadas adjacentes j − 1 e j,.

H(j−1)y = Hj−1

³e−uj−1(z−zj−1) +R

(j−1)TM euj−1(z−zj−1)

é−iλx,

H(j)y = Hj

³e−uj(z−zj) +R

(j)TMeuj(z−zj)

é−iλx


Em virtude da continuidade da componente tangencial do campo mag-nético na interface em questão, podemos escrever

Hj−1³1 +R

(j−1)TM

é−ujhj = Hj

³1 +R

(j)TMe−2ujhj

´.

ou explicitamente,

H1 =H0

eu1h1 +R(1)TMe−u1h1

Hj = Hj−1

³1 +R

(j−1)TM

é−ujhj

1 +R(j)TMe−2ujhj

j = 2, 3...N − 1 (2.52)

em que H0 pode tomar qualquer valor, em particular 1.0. O resultado finalsempre é normalizado pelo valor de H0.

Para concluir, resta determinar HN . Para isso usaremos a continuidadeda componente tangencial na interface do substrato e da camada sobreja-cente.Portanto, usando-se

H(N−1)y = HN−1

³e−uN−1(z−zN−1) +R

(N−1)TM euN−1(z−zN−1)

é−iλx

eH(N)y = HNe

−uN(z−zN−1)e−iλx

concluimos que

HN = HN−1³1 +R

(N−1)TM

´. (2.53)

Note que as fórmulas (2.52) e (2.53) formam, também, um algoritmo derecorrência, agora de cima para baixo. Isto é, inicia-se com H0 e recursiva-mente vai-se obtendo os Hj subjacentes.

Uma vez conhecida a componente H(j)y , a componente E(j)z é facilmente

obtida da seguinte maneira,

E(j)z =1

yj

∂H(j)y

∂x=−iλyj

H(j)y (2.54)

Resumindo, acabamos de apresentar um algoritmo para calcular as com-ponentes Hy, Ex e Ez do modo TM em qualquer ponto de um meio estrati-ficado. É so seguir as seguintes etapas:


• Calcule a impedância intrínseca Zj de cada camada,

• Compute a impedância aparente bZj no topo de cada camada por meiodo algoritmo de recorrência (2.51),

• A partir das impedâncias intrínsecas e aparentes computadas nas eta-pas anteriores, determine os coeficientes de reflexão com a fórmula(2.50),

• Sabendo-se os coeficientes de refexão e iniciando com H0 calcule Hj

empregando o algoritmo (2.52),

• Finalmente, para se obter as componentes Hy, Ex numa determinada

camada, basta substir Hj e R(j)TM , calculados acima, em (2.47) ou em

(2.48) conforme o caso,

• A componente Ez vem de (2.54).

2.4.2 Modo TE

Em virtude da dualidade entre os modos TM e TE não há necessidadede repetir novamente para o modo TE todos os passos vistos acima.do modoTM. Assim, para se determinar as componentes Ey, Hx e Hz do modo TE épreciso apenas readaptar os resultados já obtidos, levando em consideraçãoas seguintes corresponsências entre os dois modos:

TM ⇐⇒ TE

Hy ⇐⇒ Ey

Ex ⇐⇒ Hx

Ez ⇐⇒ Hz

y ⇐⇒ z

Z ⇐⇒ YbZ ⇐⇒ bYPortanto, podemos escrever invés de (2.47) e (2.48),

E(j)y = Ej

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

uj(z−zj)´e−iλx, j = 0, 1, 2.....N − 1

H(j)x = −YjHj


(j)TMeuj(z−zj)

´e−iλx, j = 0, 1, 2.....N − 1

(2.55)


e

E(N)y = ENe−uN (z−zN−1)e−iλx,

H(N)x = −YNHNe

−uN (z−zN−1)e−iλx. (2.56)

em que o coeficiente de reflexão na camada j-ésima é representado por

R(j)TE =

Yj − bYj+1Yj + bYj+1 . (2.57)

A admitância aparente em (2.56) é calculada com o algoritmo recursivo,

bYj = Yj bYj+1 + Yj tanhujhjYj + bYj+1 tanhujhj , (2.58)

bYN = YN , j = N − 1, n− 2, .....3, 2, 1

Observando as expressões (2.52), (2.53) e (2.54) podemos, por dualidade,escrever,

Ej = Ej−1

³1 +R

(j−1)TE

´e−ujhj

1 +R(j)TEe

−2ujhj(2.59)

EN = EN−1³1 +R

(N−1)TE

´. (2.60)

H(j)z =

−1zj

∂E(j)y

∂x=

iλ

zjE(j)y (2.61)

Nos próximos capítulos veremos que em muitas situações em Geofísicaapenas um dos dois modos de propagação é excitado. Em alguns casos é oTE, em outros, o TM, dependendo do tipo de transmissor. Veremos aindaque existem casos em que os dois modos são simultaneamente excitados.


2.4.3 Aplicações

Na seção anterior vimos que a resistividade de um semi-espaço condutivopode ser determinada pela fórmula

ρ1 =1

ωμ0|Z1|2 =

1

ωμ0

¯Ex

Hy

¯2z=0

, (2.62)

sendo Ex e Hy as componentes dos campos elétrico e magnético nas direçõesx e y, respectivamente. Note que o valor da resistividade independe dafreqüência f = ω/2π = 1/T . T é o período.

Esta possibilidade de se poder determinar a resistividade de um semi-espaço condutivo a partir da observação das componentes Ex e Hy temimplicações interessantes em geofísica. De fato, esta é a idéia por trás dedois métodos geofísicos importantes, o método Magnetotelúrico, (MT) eo método Áudio—freqüência Magnetotelúrico (AMT) [1], [7], [8]. Os doismétodos têm os mesmos fundamentos teóricos, com a ressalva de que noMT o intervalo de freqüência varia de 0.001 a 10Hz, enquanto que no AMTo intervalo vai, em geral, de 1 a 1000 Hz.

Antes de falar sobre esses dois métodos, vamos fazer uma pequena di-gressão. Na seção 2.2 vimos que a componente Hy, (2.26) de uma ondaplana de incidência normal num semi-espaço é dada por

Hy = H0e−ikz (2.63)

em que z ≥ 0. e k2 = −iωμ (σ + iω ).Se o semi-espaço for condutivo (10−4 a 1 S/m) e a freqüência de exci-

tação da onda plana for baixa (< 105Hz) podemos dizer que σ À ω 0 econseqüentemente o número de onda se reduz a k =

√−iωμ0σ. Sabendo-seque√−i = 1√

2(1− i), podemos reescrever o número de onda da seguinte

maneira

k =

rωμσ

2(1− i) =

√σμ

δ(1− i) , (2.64)

em que a constante

δ =

s2

ωμ0σs=500

π

r10

fσs=500

π

r10T

σs(2.65)

é denominada de profundidade pelicular ou skin depth. As quantidadesσ = σ/σs e μ = μ/μ0 são a condutividade elétrica e a permeabilidade mag-nética normalisadas por σs.e μ0 respectivamente.O valor da condutividade


σs é arbitrário. Note que quanto mais condutivo for o meio, menor o skindepth. Quanto maior for a freqüência (menor o período), menor o skindepth, também.

De posse do importante conceito de skin depth, podemos reescrever(2.63) assim,

Hy = H0e− z

√μσδ

(1+i) (2.66)

visto que ik =√μσδ (1 + i).

Analisando a expressão (2.66) chega-se a conclusão que num meio con-dutivo o poder de penetração de Hy decresce com o aumento da freqüênciae da condutividade. A profundidade de penetração em que a amplitudede Hy reduz-se a 1/e = 36.79% do valor inicial H0 é equivalente ao skindepth. Daí a razão do termo skin depth (profundidade pelicular), pois emmeios altamente condutivos a amplitude de Hy desvanece rapidamente como aumento da freqüência.

Tudo que foi dito com relação a componente Hy se aplica integralmenteà componente Ex.

A variação de penetração da onda eletromagnética com a freqüência sug-ere a possibilidade de sondar meios estratificados usando-se, para para isso,um espectro conveniente de freqüências. Existem vários métodos geofísicoscom essa finalidade. Alguns deles usam um transmissor de energia para exci-tar o terreno com diferentes freqüências. Outros, usam o a variação temporaldo campo magnético terrestre para energizar o terreno. Com a análise es-pectral de Fourier a variação temporal é facilmente convertida para variaçãono domínio da freqüência. Os métodos MT e AMT se baseam exatamenteneste princípio das ondas planas do campo magnético natural.. Na prática,mede-se na superfície do meio estratificado as componentes Ex e Hy e pormeio da fórmula

ρa =1

ωμ0

¯Ex

Hy

¯2z=0

, (2.67)

define-se a função ρa, denominada resistividade aparente, que correspondeà resistividade de um semi-espaço equivalente ao meio estratificado. Equiv-alente no sentido de ρa ser igual à resistividade do semi-espeço. A funçãoρa depende das condutividades e espessuras das camadas e obviamente dafreqüência.

É importante observar que devido ao grande contraste entre as impedân-cias do ar e das camadas a propagação eletromagnética, dentro das camadas,se dá verticalmente. Por isso, nos métodos MT e AMT o campo incidente ésempre considerado paralelo à superfície do terreno. Em outras palavras, oângulo de inclinação da onda incidente é zero e portanto λ = 0.


O nosso objetivo, agora, é determinar ρa em função da freqüência, dadosos valores de resistividade e de espessura das camadas de um meio estrati-ficado. Em analogia com (2.62).podemos escrever

ρ1 =1

ωμ0

¯Z1¯2

(2.68)

em que bZ1 é a impedância aparente na superfície do meio acamado. Sabemosde (2.52) que a impedância aparente bZ1 é obtida por meio do algoritmoiterativo

Zj = ZjZj+1 +Zj tanh (ikjhj)

Zj + Zj+1 tanh (ikjhj), (2.69)

sendo bZN = ZN . e λ = 0.Para efeito computacional, podemos tirar vantagem do caráter condutivo

das camadas e das baixas freqüências de excitação para simplifiar a fórmula(2.69).

Sabendo-se que o número de onda da camada j é expresso por

kj =

pσjμj

δ(1− i) .

podemos escrever a impedância característica Zj da seguinte forma

Zj =ikjσj

=1

σsδ

sμjσj(1 + i) . (2.70)

Definindo-se o fator de estratificação Fj TM da j-ésima camada por

Fj =Zj

Zj

e em seguida fazendo esta substituição em (2.69), obtemos

Fj =Fj+1 +Zj/Zj+1 tanh

³hjpσjμj (1 + i)

´Zj/Zj+1 + Fj+1 tanh

³hjpσjμj (1 + i)

´com FN = 1. Note que hj = hj/δ representa a espessura da camada j,normalizada pelo skin depth.

Substituindo (2.70) nesta expressão resulta,


Fj =Fj+1 +

qσj+1μjσj μj+1

tanh³hjpσjμj (1 + i)

´q

σj+1μjσj μj+1

+ Fj+1 tanh³hjpσjμj (1 + i)

´ ,em que FN = 1.

De posse de Fj vamos, agora, voltar ao nosso objetivo, que é determinarρa. Sabendo-se que ωμ0σs = 2/δ

2 segue de (e2.66a) que

ρa =σsδ

2

2

¯Z1¯2

e como

Z1 = Z1F1 =1

σsδ

rμ1σ1(1 + i)F1 (2.71)

obtemos, finalmente,

ρa = ρ1μ1 |F1|2 (2.72)

Além da resistividade aparente ρa usa-se também nos métodos MT eAMT o valor, φ, da fase da impedância na superfície do terreno. De (2.71)é fácil ver que a fase de Z1, em graus, é igual a

φ = 180 arg [(1 + i)F1] /π (2.73)

As fórmulas de resistividade aparente (2.72) e de fase (2.73) são facil-mente calculada com o Mathematica. O programa sondagemMT1D[expr] forneceas resistividades aparentes e as fases de sondagens MT e AMT.

In[1]:= mt1d2p72e2p73[periodo_, rho_, mu_, h_] :=Module[i, j, nP, ip, zz, tj, fj, skin,nP = Length[periodo];resAp = Table[0, i, nP];fase = resAp;nlayer = Length[rho];zz = Table[0, i, nlayer - 1];Do[zz[[j]] = Sqrt[(rho[[j]] mu[[j]])/(rho[[j + 1]] mu[[j + 1]])],j, nlayer - 1];Do[skin = 500/Pi Sqrt[10. rho[[1]] periodo[[ip]]];fj = 1.;


Do[tj = Tanh[h[[j]]/skin Sqrt[mu[[j]]rho[[1]]/rho[[j]]] (1 + I)];fj = (fj + zz[[j]] tj)/(zz[[j]] + fj tj), j, nlayer - 1, 1, -1];resAp[[ip]] = rho[[1]] mu[[1]]Abs[fj]^2;fase[[ip]] = 180.Arg[(1 + I) fj]/Pi,ip, nP]]

Para ilustrar o uso do programa mt1d2p72e2p73[expr] vamos calcular umasondagem MT com dados da Bacia do Paraná. De acordo com [6] vamosconsiderar a seguinte coluna estratigráfica constituídas por cinco camadasassim distribuídas: 350 m (40 ohm-m) de arenitos condutivos superficiais,1000 m (150 ohm-m) de derrames basálticos da Serra Geral, 4000 m (10ohm-m) sedimentos Paleozóicos e 42500 m (500 ohm-m) de rochas resistivasdas formações Devonianas Ponta Grosa e Furnas.

Para o cálculo da sondagem MT foram selecionadas 26 períodos entre.001 e 1000 segundos distribuídos uniformemente em escala logarítmica. En-tão,

In[2]:= periodo = .01, .0158489, .0251189, .0398107, .0630957,0.1, .158489, .251189, .398107, .630957,1, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957,10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957,100, 158.489, 251.189, 398.107, 630.957, 1000;

O programa plotResApFase[expr], a seguir, traça os gráficos da curva dasondagem MT e da curva de fase da impedância versus freqüência, a partirdos vetores resAp e fase gerados pelo programa sondagemMT1D[expr].

In[3]:= <<Graphics‘Graphics‘

In[4]:= plotResApFase1[periodo_, resAp_, fase_, xRange_, yRange_,xLines_, yLines_] :=Show[GraphicsArray[LogLogListPlot[Transpose[periodo, resAp],PlotJoined -> True, PlotRange -> xRange, yRange, Frame -> True,GridLines -> xLines, yLines, TextStyle -> FontSize -> 6.0,DisplayFunction -> Identity],LogLinearListPlot[Transpose[periodo, fase], PlotJoined -> True,PlotRange -> xRange, 0, 100, Frame -> True,GridLines -> xLines, Automatic, TextStyle -> FontSize -> 6.0,DisplayFunction -> Identity]],


0.1 1 10 100 1000

510

50100

5001000

0.1 1 10 100 1000

20

40

60

80

100

Figura 2.3:

DisplayFunction -> $DisplayFunction];

Vejamos, então, o exemplo:

In[5]:= rho = 40, 150, 10, 500, 10;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 350, 1000, 4000, 42500;mt1d2p72e2p73[periodo, rho, mu, h]

In[6]:= plotResApFase1[periodo, resAp, fase,.01, 1000, 1, 1000, .1, 1, 10, 100, 10, 100];

Os vetores xRange = .01, 1000) e yRange = 1, 1000 correspondem asintervalos das abscissas e ordenadas do gráfico da curva de resistividadeaparente. Os vetores xLines = .1, 1, 10, 100) e yLines = 10, 100 corre-spondem as linhas da malha. O gráfico da curva de fase acompanha o deresistividade aparente.

Embora na maioria dos casos a permeabilidade magnética das camadasnão difere da do vácuo

¡μ0 = 4π10

−7H/m¢, em algumas situações (raras)

a permeabilidade pode tomar valores diferente de μ0. O exemplo a seguirmostra o efeito da permeabilidade na sondagem magnetotelúrica. Vamosconsiderar um modelo de três camadas de resistividades 120, 10, 1000 ohm-m e espessuras 200 e 1800 m.A permeabilidade relativa (μ2/μ0) da segundacamada toma os valores 1 e 3.

Primeiro, μ2/μ0 = 1,


0.1 1 10 100 1000

510

50100

5001000

0.1 1 10 100 1000

20

40

60

80

100

Figura 2.4:

In[7]:= rho = 120, 10, 1000;mu = 1, 1, 1;h = 200, 1800;mt1d2p72e2p73[periodo, rho, mu, h]

In[8]:= resAp1 = resAp;fase1 = fase;

Primeiro, μ2/μ0 = 3,

In[9]:= rho = 120, 10, 1000;mu = 1, 3, 1;h = 200, 1800;mt1d2p72e2p73[periodo, rho, mu, h]

In[10]:= resAp2 = resAp;fase2 = fase;

In[11]:= (*--- plotResApFase2: traça as resistividades

aparente e fases de duas sondagens ---*)

In[12]:= plotResApFase2[periodo, resAp1, fase1, resAp2, fase2,.01, 1000, 1, 1000, .1, 1, 10, 100, 10, 100]

A linha pontilhada corresponde ao modelo com μ2/μ0 = 3. Note que oefeito da permeabilidade é aumentar o valor da resistividade aparente e derotacionar a fase no sentido contrário.

Como foi dito acima, o método AMT é uma extensão do método MTpara freqüências na faixa de 1.0 a 10 kHz. Ao contrário do método MT,


0.001 0.01 0.1 1

50100

5001000

500010000

0.001 0.01 0.1 1

20

40

60

80

100

Figura 2.5:

o método AMT é muito pouco usado atualmente. Isto se deve, princi-palmente, ao alto grau de ruído, oriundo das fontes naturais, que, geral-mente, comprometem os dados observados. Uma alternativa para melho-rar a qualidade dos dados é substituir as fontes naturais por fontes con-troladas artificialmente. Nessa nova modalidade, o método leva o nomede CSAMT (Controlled Source Audio-Frequency Magnetotelluric). Falare-mos sobre novo método mais adiante. De qualquer maneira vale a penamostrar uma sondagem AMT. Para isso usamos o modelo de quatro ca-madas (resistividades ρ1 = 50, ρ2 = 100, ρ3 = 10 e ρ4 = 1000 e espessurash1 = 5, h2 = 150 e h3 = 10), típico em levantamentos de água subterrânea.

In[13]:= periodo = .0001, 0.00015849, 0.00025118, 0.00039811, 0.00063095,.001, 0.0015849, 0.0025118, 0.0039811, 0.0063095,01, 0.015849, 0.025118, 0.039811, 0.063095,1, 0.15849, 0.25118, 0.39811, 0.63095, 1;

In[14]:= rho = 50, 100, 10, 1000;mu = 1, 1, 1, 1;h = 5, 150, 10;mt1d2p72e2p73[periodo, rho, mu, h]

Os gráficos das curvas de resistividade aparente e de fase versus períodoestão ilustrado na Figura (2.5).

In[15]:= plotResApFase1[periodo, resAp, fase,.0001, 1, 10, 10000, .001, .01, .1, 1, 100, 1000];

Na região de Belém e Ananindeua existe uma camada de lateritos ferrug-inosos com alto grau de ferro e traços de ilmenita e magnetita. Vamos repetir


o exemplo anterior, mas agora a permeabilidade relativa (μ2/μ0) da segundacamada é considerada igual a 5 que corresponde à camada intemperizada.

In[16]:= rho = 50, 100, 10, 1000;mu = 2.5, 1, 1, 1;h = 5, 150, 10;mt1d2p72e2p73[periodo, rho, mu, h]

Os gráficos das curvas de resistividade aparente e de fase versus períodoestão ilustrado na Figure (2.6).

In[17]:= plotResApFase1[periodo, resAp, fase,.0001, 1, 10, 10000, .001, .01, .1, 1, 100, 1000];

0.001 0.01 0.1 1

50100

5001000

500010000

0.001 0.01 0.1 1

20

40

60

80

100

Figura 2.6:

Capítulo 3

Linha Infinita de Corrente

3.1 Introdução

A linha infinita de corrente é a idealização de vários tipos de fontesusadas em geofísica. Ela pode representar, por exemplo, uma linha longaaterrada usada como transmissor no método CSAMT, ou ainda, um doslados de um loop retangular onde os outros três lados se encontram suficien-temente distante da área de observação. A linha infinita também é utilizadana construção de outros tipos de fontes, como por exemplo, sistemas decorrentes na ionosfera que formam o chamado eletrojato equatorial. Váriasaplicações da linha infinita de corrente serão vistas no final deste capítulo.

Não obstante a sua grande relevância em geofísica, a linha infinita decorrente é a mais simples de todos tipos de fontes utilizadas em geofísica,com exceção, obviamente, das ondas planas. A metodologia empregada parasolucionar os problemas com a linha infinita de corrente serve de paradigmapara os demais tipos de fontes, como loops circular e retangular de correntee dipolos elétricos e magnéticos.

A metodologia se resume em subdividir o problema original em umafamília de problemas mais simples envolvendo apenas ondas planas. Vencidaesta etapa, a solução final do problema original é construida sintetizando-se todas as soluções parciais de ondas planas. Como foi dito acima, estametodologia é o paradigma a ser usado em todos outros tipos de fonte. Aúnica diferença está no modus faciendi. No caso da linha infinita de correntea ferramenta utilizada é o par de transformadas de Fourier. Para outros tiposde fontes serão empregadas outras classes de transformadas. Isto será vistonos próximos capítulos.

A Figura (3.1) ilustra esquematicamente o modelo a ser investigado neste

33

34 CAPÍTULO 3. LINHA INFINITA DE CORRENTE

h2

h1z1

z 0

z2

hj

h 1j -z 1j -

z 2j -

zj

hN 1-

z 2N -

zN 1-

h0

)(Jy I= ) )( (x z - h0ddw

e2m2s2

emsj - 1 j - 1 j - 1

emsN - 1 N - 1 N - 1

emsN N N

e1m1s1

e0m0s0

Figura 3.1: Linha infinita de corrente sobre um semi-espaço estratificado.

capítulo. Ele representa uma linha infinita de corrente horizontal na di-reção do eixo y sobre um meio estratificado de N camadas. A linha éespecificada pela densidade de corrente bidimensional definida por Jy =I (ω) δ (x) δ (z − h0) em que h0 ≤ 0 é a altura da linha em relação à super-ficie do meio estratificado.

Antes de tratar o problema geral do meio estratificado, vamos iniciar como caso mais simples de uma linha infinita de corrente num meio homogêneo,isotrópico e ilimitado.

3.2 Meio homogêneo, isotrópico e ilimitado.

O nosso objetivo nesta seção é determinar as componentes do campoelétrico e do campo magnético num meio homogêneo, isotrópico e ilimitadode propriedades elétricas σ, μ e .

Para facilitar a manipulação algébrica vamos, sem perda de generalidade,fazer h0 = 0. No final, veremos como seria o resultado se h0 < 0.

3.2. MEIO HOMOGÊNEO, ISOTRÓPICO E ILIMITADO. 35

Em virtude da simetria do modelo, as equações de Maxwell (1.12 - 1.13)se resumem a

∂Hx

∂z− ∂Hz

∂x− yEy = I (ω) δ (x) δ (z) (3.1)

∂Ey

∂x= −zHz (3.2)

∂Ey

∂z= zHx (3.3)

Derivando-se (3.2) em relação a x e (3.3) em relação a z e em seguidasubstituí-las em (3.1), resulta

∂2Ey

∂x2+

∂2Ey

∂z2+ k2Ey = zI (ω) δ (x) δ (z) (3.4)

em que k2 = −zy = −iωμ (σ + iω ) é o quadrado do número de onda.Com certeza, o que iremos ver agora seja a parte mais importante de tudo

que será visto neste livro. Trata-se da estratégia de decomposição de umproblema complexo de eletromagnetismo em uma família de problemas maissimples e de fácil resolução. Esse processo se dá em duas etapas: na primeira,se faz a decomposição do problema original em problemas com ondas planas,e na segunda etapa, usam-se as soluções desses problemas de ondas planaspara recompor a solução do problema original. Este procedimento é feitopor meio de transformadas integrais apropriadas. Veremos que no caso dalinha infinita de corrente, a transformada de Fourier.é a ferramenta perfeitapara esse fim.

Dado o par de transformadas de Fourier

f (kx) = F [f (x)] =Z ∞

−∞f (x) e−ikxxdx, (3.5)

f (x) = F−1hf (kx)

i=1

2π

Z ∞

−∞f (kx) e

ikxxdkx, (3.6)

gostaríamos de chamar atenção para duas propriedades extremamente im-portantes para os nossos objetivos aqui [4]. A primeira propriedade se refereao fato de que a transformada de Fourier da derivada de uma função f (x) éequivalente a multiplicar a transformada f (kx) da função por ikx. Simboli-camente,

F∙df (x)

dx

¸= ikxf (kx) . (3.7)


A segunda propriedade corresponde ao fato de que a transformada de Fourierda função delta de Dirac δ (x) e identicamente igual a 1. Simbolicamente,

F [δ (x)] = 1. (3.8)

Efetuando a transformada de Fourier de ambos os lados de (3.4) emrelação à variável x e aplicando as duas propriedades acima referidas, vem

−k2xEy +d2Ey

dz2+ k2Ey = zI (ω) δ (z)

em que Ey (kx, z) corresponde à transformada de Fourier de Ey (x, z).Fazendo-se

u2 = k2x − k2, (3.9)

e substituindo na expressão acima, resulta

d2Ey

dz2− u2Ey = zI (ω) δ (z) . (3.10)

O nosso objetivo agora é resolver esta equação diferencial. Para se verlivre de d2/dz2 e da função delta de Dirac δ (z) vamos efetuar, mais umavez, a transformada de Fourier de ambos os lados desta equação, mas agoracom relação à variável z. Então,

−k2zbEy (kx, kz)− u2

bEy (kx, kz) = zI (ω) .

Esta equação algébrica pode ser reescrita da seguinte maneira,

bEy (kx, kz) =

−zI (ω)u2 + k2z

.

Efetuando a transformada inversa de Fourier de ambos os lados dessaigualdade, em relação à variável z, obtemos a solução da equação diferencial(3.10) na forma de uma integral imprópria. De fato,

Ey (kx, z) =−zI (ω)2π

Z ∞

−∞

eikzz

u2 + k2zdkz (3.11)

Esta integral é fácil de ser resolvida. A sua solução encontra-se, porexemplo, em [4]. Portanto, podemos escrever


Ey (kx, z) =

⎧⎨⎩ −zI (ω) e−uz/2u, z ≥ 0

−zI (ω) euz/2u, z < 0(3.12)

em que Reu > 0.

Este resultado é importantíssimo. Ele é o ponto chave para tudo quefaremos daqui para frente. Por isso mesmo ele está realçado pela caixacinza.

De posse desse resultado podemos facilmente obter a solução de (3.4).Basta efetuar a transformada inversa de Fourier. Com efeito,

Ey (x, z) =−zI (ω)2π

Z ∞

−∞

e−uz

2ueikxxdkx.

Esta integral pode ser reescrita de forma algébrica da seguinte maneira[4],

Ey (x, z) =−zI (ω)2π

K0

hikp(x2 + z2)

iem que K0 é a função de Bessel modificada de segunda espécie de ordemzero. Fazendo-se x2 + z2 = r2, a expressão acima se torna,

Ey (r) =−zI (ω)2π

K0 (ikr) (3.13)

o que significa que o campo elétrico se propaga radialmente a partir da linhainfinita de corrente.

É interessante saber como o campo elétrico se comporta em pontos dis-tantes da linha. Em virtude da condição assintótica [4],

lim|w|→∞

K0 (w) =

rπ

2we−w,

pode-se imediatamente concluir que o campo elétrico, em pontos distantesda linha, se comporta como uma onda plana, apesar do decaimento.

Tendo-se o campo elétrico a disposição, se pode facilmente calcular ascomponentes do campo magnético. Para tanto, basta acionar as fórmulas(3.2) e (3.3). Portanto,

Hx (r) =1

z

∂Ey

∂z=1

z

∂Ey

∂r

∂r

∂z=

ikI (ω)

2π

z

rK1 (ikr) , (3.14)

e

Hz (r) = −1

z

∂Ey

∂x= −1

z

∂Ey

∂r

∂r

∂x=−ikI (ω)2π

x

rK1 (ikr) , (3.15)


h0

)(Jy I= ) )( (x z - h0ddw

e0m0s0

e1m1s1

Figura 3.2: Linha infinita de corrente sobre um semi-espaço.

em que se usou a relação dK0 (ikr) /dr = −ikK1 (ikr).Na dedução da fórmula (3.11), se supoz que a linha infinita de corrente

se encontrava localizada na origem do sistema de coordenadas (h0 = 0, aolongo do eixo y. Se a linha tivesse sido posicionada acima ou baixo daorigem, em vez de (3.12), teríamos

Ey (kx, z) =

(−zI (ω) eu(z−h0)2u , 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,−zI (ω) e−u(z−h0)2u , 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,

(3.16)

em que Reu > 0.

3.3 Meio constituído por dois semi-espaços

Meios homogêneos ilimitados são utópicos do ponto de vista geofísico,embora sirvam de base para o estudo de meios mais realistas. O modelorealista mais simples é aquele formado por dois semi-espaços de propriedadeselétricas diferentes. A Figura (3.2) ilustra o modelo de dois semi-espaços comuma linha infinita de corrente paralela à interface dos semi-espaços.

De acordo com (3.16), o campo elétrico incidente, no domínio de Fourier(kx, z) , no intervalo h0 < z 6 0 é dado por

Eincy = −zI (ω) e

−u0(z−h0)

2u0= E0e

−u0z,

3.3. MEIO CONSTITUÍDO POR DOIS SEMI-ESPAÇOS 39

em que

E0 = −zI (ω)eu0h0

2u0(3.17)

é a amplitude da onda plana Eincy no domínio (kx, z).

Assim, o campo total, incidente e refletido, entre a interface e a linha eo campo no semi-espaço inferior são respectivamente,

E(0)y = E0

³e−u0z +R

(0)TEe

u0z´, h0 < z 6 0, (3.18)

E(1)y = E1e−u1z, z > 0 (3.19)

Da mesma maneira como no caso das ondas planas modo TE — equações(2.36 - 2.37) no segundo capítulo — o coeficiente de reflexão R

(0)TE e o coe-

ficiente E1 são calculados a partir das condições de continuidade das com-ponentes tangenciais do campo elétrico e do campo magnético na interfacedos dois semi-espaços. A partir do campo elétrico, podemos calcular ascomponentes H(0)

x e H(1)x sem nehum esforço. Com efeito, usando-se (3.3)

vem

H(0)x =

1

z0

∂E(0)y

∂z= −Y0E0

³e−u0z −R

(0)TEe

u0z´, h0 < z 6 0, (3.20)

H(1)x =

1

z1

∂E(1)y

∂z= −Y1E1e−u1z, z > 0 (3.21)

em que as admitâncias intrínsicas Y0 e Y1 são, respectivamente, u0/z0 eu1/z1, sendo u20 = k2x − k20 e u

21 = k2x − k21. Lembre-se que k

2j = −zjyj =

−iwμj (σj + iω j), com j = 0, 1.De posse das componentes tangenciais do campo elétrico e do campo

magnético podemos ir adiante e aplicar as condições de continuidade nainterface dos dois semi-espaços, ou seja,

E(0)y = E(1)y

¯z=0

,

eH(0)x = H(1)

x

¯z=0

.

Logo,

E0

³1 +R

(0)TE

´= E1,

Y0E1³1−R

(0)TE

´= Y1E1.


Resolvendo este sistema de duas equações obtém-se,

R(0)TE =

Y0 − Y1Y0 + Y1

(3.22)

e

E1 =2Y0E0Y0 + Y1

(3.23)

Observe a analogia entre (3.22) e (2.38) e entre (3.23) e (2.39). Estaextraordinária coincidência é o resultado da transformação do problema dalinha infinita em problemas mais simples de ondas planas com constantes depropagação u2j = k2x − k2j , j = 0, 1. De modo heurístico, podemos dizer quea transformada de Fourier permitiu desacoplar a onda cilíndrica incidenteem ondas planas com ângulos de incidência satisfazendo k0 sin θ0 = kx ( vejaa analogia com a equação 2.24 do capítulo 2).

Obtidas as soluções espectrais estamos prontos para voltar para o es-paço original (x, z) e determinar os campos elétrico e magnético em qual-quer ponto dos dois semi-espaços. Começando com o campo elétrico, bastaefetuar a transformada inversa de Fourier das expressões (3.18) e (3.19).Então,

E(0)y =1

2π

Z ∞

−∞E0

³e−u0z +R

(0)TEe

u0zéikxxdkx,

e

E(1)y =1

2π

Z ∞

−∞E1e

−u1zeikxxdkx.

Como os integrandos dessas transformadas são funções pares em kx, segueque

E(0)y =1

π

Z ∞

0E0

³e−u0z +R

(0)TEe

u0zćos (kxx) dkx,

e

E(1)y =1

π

Z ∞

0E1e

−u1z cos (kxx) dkx.

Finalmente, substituindo os valores de E0 e E1 dados por (3.17) e (3.23)nessas duas últimas expressões chega-se a

E(0)y = −z0I (ω)2π

Z ∞

0

1

u0

³eu0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)ćos (kxx) dkx, z 6 h0 6 0,

(3.24)

E(0)y = −z0I (ω)2π

Z ∞

0

1

u0

³e−u0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)ćos (kxx) dkx, h0 6 z 6 0,

(3.25)

3.4. MEIO ESTRATIFICADOS 41

e

E(1)y = −I (ω)π

Z ∞

0

eu0h0

Y0 + Y1e−u1z cos (kxx) dkx, z > 0

Note que se z = h0 em (3.24) e (3.25), x, necessariamente, deve serdiferente de zero.

Tendo o campo elétrico é imediato escrever as componentes do campomagnético. Com efeito, as componentes horizontais H(0)

x e H(1)x nos dois

semi-espacos são,

H(0)x = −I (ω)

2π

Z ∞

0

³eu0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)´cos (kxx) dkx, z < h0 6 0

(3.26)

H(0)x = −I (ω)

2π

Z ∞

0R(0)TEe

u0(z+h0) cos (kxx) dkx, z = h0 6 0 e x > 0

(3.27)

H(0)x =

I (ω)

2π

Z ∞

0

³e−u0(z−h0) −R

(0)TEe

u0(z+h0)´cos (kxx) dkx, h0 < z 6 0

(3.28)e

H(1)x =

I (ω)

z1π

Z ∞

0

u1eu0h0

Y0 + Y1e−u1z cos (kxx) dkx, z > 0 (3.29)

Por sua vez, a componente vertical nos dois semi-espacos são,

H(0)z =

−I (ω)2π

Z ∞

0

kxu0

³eu0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)´sin (kxx) dkx, z 6 h0 6 0

(3.30)

H(0)z =

−I (ω)2π

Z ∞

0

kxu0

³e−u0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)´sin (kxx) dkx, h0 6 z 6 0

(3.31)e

H(1)z = −I (ω)

z1π

Z ∞

0

kxeu0h0

Y0 + Y1e−u1z sin (kxx) dkx, z > 0

Note que se z = h0 em (3.30) e (3.31), x, necessariamente, deve serdiferente de zero.

3.4 Meio estratificados

O problema, que acabamos de ver, dos dois semi-espaços na presença deuma linha infinita de corrente é, sem dúvida, um dos problemas mais im-portante deste livro. Não tanto pelo seu conteúdo, mas pelo que ele rep-resenta no tocante à metodologia adotada na sua solução. Na verdade, ele


serve de paradigma para muitos outros problemas a serem analisados nodecorrer do livro. A metodologia que nos referimos consta em transformarum problema complexo em problemas mais simples envolvendo apenas on-das planas. Resolve-se o problema de ondas planas, para cada parâmetroda transformação, seguindo as etapas apresentadas no capítulo dois. Emseguida efetua-se a transformada de volta e com isso sintetizam-se todas assoluções parciais para compor a solução final. No caso da linha infinita decorrente a efetivação desta metodologia se faz através da transformada deFourier.

Aplicando-se a metodologia acima descrita, podemos sem muita delongaresolver o problema do meio estratificado na presença de uma linha infinitade corrente como mostra a Figura (3.1). Por definição, um meio estratificadoé aquele constituído por dois semi-espaços, dos quais, um é composto por Ncamadas horizontais. Supondo que a linha se encontra acima do semi-espaçoestratificado é óbvio que o campo elétrico, acima da superfície, seja tambémrepresentado por (3.24), ou seja,

E(0)y = −z0I (ω)2π

Z ∞

0

1

u0

³eu0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)´cos (kxx) dkx, z 6 h0 6 0,

(3.32)

E(0)y = −z0I (ω)2π

Z ∞

0

1

u0

³e−u0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)´cos (kxx) dkx, h0 6 z 6 0,

(3.33)com a resalva que o coeficiente de reflexão (3.22) deve ser substituido por

R(0)TE =

Y0 − bY1Y0 + bY1 ,

em que bY1 é calculado pelo algoritmo de recorrência (2.58), repetido aquipor conveniência,

bYj = YjbYj+1 + Yj tanhujhjYj + bYj+1 tanhujhj , j = 1, N − 1 (3.34)

bYN = YN

sendo Yj = uj/zj , uj =qk2x − k2j , k

2j = −zjyj = −iωμj (σj + iω j).

A esta altura é facil calcular o campo elétrico em qualquer camada domeio estratificado. Basta seguir a metodologia descrita a pouco, isto é, usara solução do problema das ondas planas modo TE desenvolvida no segundo

3.4. MEIO ESTRATIFICADOS 43

capítulo e aplicar a transformada inversa de Fourier. Então, para qualquercamada j entre 1 e N − 1, podemos escrever,

E(j)y =1

π

Z ∞

0Ej

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

u0(z+zj)ćos (kxx) dkx, (3.35)

em que os coeficientes de reflexão R(j)TE (2.57) são expressos por

R(j)TE =

Yj − bYj+1Yj + bYj+1 , (3.36)

e os coeficientes Ej são calculados por intermédio do algoritmo (2.59),

Ej = Ej−1

³1 +R

(j−1)TE

é−ujhj

1 +R(j)TEe

−2ujhj, (3.37)

iniciando com (3.17). ou seja,

E0 = −zI (ω)euh0

2u

No substrato o campo elétrico é representado por

E(N)y =1

π

Z ∞

0ENe

−uj(z−zN−1) cos (kxx) dkx, (3.38)

em que o coeficiente EN é fornecido por (2.60),

EN = EN−1³1 +R

(N−1)TE

´(3.39)

A determinação das componentes Hx e Hz do campo magnético é ime-diata. Basta aplicar (3.2) e (3.3) e usar a fórmula apropriada do campoelétrico de acordo com a localização, em z, do ponto onde se deseja calcularHx e Hz.

Para z ≤ 0, a componente horizontal do campo magnético é

H(0)x = −I (ω)

2π

Z ∞

0

³eu0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)ćos (kxx) dkx, 0 ≥ h0 > z

H(0)x =

I (ω)

2π

Z ∞

0

³e−u0(z−h0) −R

(0)TEe

u0(z+h0)ćos (kxx) dkx, 0 ≥ z > h0

(3.40)


e a componente vertical,

H(0)z = −I (ω)

2π

Z ∞

0

kxu0

³e−u0|z−h0| +R

(0)TEe

u0(z+h0)´sin (kxx) dkx (3.41)

Para j ≤ N − 1,a componente horizontal do campo magnético é

H(j)x =

−1π

Z ∞

0YjEj


(j)TEe

u0(z+zj)´cos (kxx) dkx, (3.42)


H(j)z =

1

zjπ

Z ∞

0kxEj

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

u0(z+zj)´sin (kxx) dkx. (3.43)

em que Ej é calculado com o algoritmo (3.37).Para j = N, a componente horizontal do campo magnético é

H(N)x =

−1π

Z ∞

0YNENe

−uj(z−zN−1) cos (kxx) dkx, (3.44)


H(N)z =

1

zNπ

Z ∞

0kxENe

−uj(z−zN−1) sin (kxx) dkx, (3.45)

em que EN é calculado com a fórmula (3.39).

3.5 Avaliação das integrais

Não obstante a elegância do ponto de vista matemático, as integrais, quecompõem as componentes do campo elétrico e magnético que acabamos dededuzir, estão longe de serem utilizadas no dia-a-dia da geofísica. Paraque isto aconteça é preciso transformá-las em números e gráficos. Afinalde contas, são números que o geofísico normalmente coleta no campo. Semexagerar, podemos até dizer que apenas 50% do problema foi solucionado.Os outros 50% correspondem à avaliação das integrais.

Estes últimos 50% não é uma tarefa simples. Em geral é necessáriorecorrer à técnicas numéricas para se obter algum resultado. O procedimentonumérico é bastante sutil e depende essencialmente da freqüência da correnteque energiza a linha.

No caso particular em que a linha e o ponto de observação se encontramna superfície de um semi-espaço condutivo não magnético, as integrais po-dem ser resolvidas analiticamente. Embora muito simples, este modelo é

3.5. AVALIAÇÃO DAS INTEGRAIS 45

de grande relevância, tanto do ponto de vista teórico como numérico. Ditoisto, vamos iniciar com o campo elétrico. Fazendo-se z = h0 = 0 na fórmula(3.32) vem,

E(0)y (x, 0) = −z0I (ω)2π

Z ∞

0

1

u0

³1 +R

(0)TE

´cos (kxx) dkx.

Sabendo-se que

R(0)TE =

Y0 − Y1Y0 + Y1

=

u0μ0− u1

μ1u0μ0+ u1

μ1

.

podemos escrever

E(0)y (x, 0) = −z0I (ω)π

Z ∞

0

1

u0 +μ0μ1u1cos (kxx) dkx. (3.46)

Levando-se em consideração que o semi-espaço inferior é não-magnéticoe multiplicando e dividindo o integrando de (3.46) por u0 − u1, resulta,

E(0)y (x, 0) = −z0I (ω)π

Z ∞

0

u0 − u1u20 − u21

cos (kxx) dkx.

Como u20 − u21 = k21 − k20 em virtude de u20 = k2x − k20 e u21 = k2x − k21,

segue,

E(0)y (x, 0) =−z0I (ω)

π¡k21 − k20

¢ Z ∞

0[u0 cos (kxx)− u1 cos (kxx)] dkx. (3.47)

Logo, o cálculo do campo elétrico se resume no cálculo de uma integraldo tipo, Z ∞

0u cos (kxx) dkx.

Este cálculo é feito da seguinte maneira. Inicia-se com a integral con-hecida [4], Z ∞

−∞

e−u|z|

ueikxxdkx = 2K0

³ikpx2 + z2

´sendo u2 = k2x − k2. Derivando duas vezes com relação à variável z os doislados desta expressão e fazendo, em seguida, z = 0, resultaZ ∞

−∞ueikxxdkx =

−2ikx

K1 (ikx)


em que foram usadas as seguintes identidades

K 00 (w) = −K1 (w) eK

01 (w) =

−1w

K1 (w)−K0 (w) (3.48)

Finalmente, como u =pk2x − k2 é uma função par em relação à variável

kx a última intetegral se reduz aZ ∞

0u cos (kxx) dkx =

−ikx

K1 (ikx)

Retornado à integral (3.47) e substituindo este último resultado, obtém-se a forma exata do campo elétrico,

E(0)y (x, 0) =z0I (ω)

π¡k21 − k20

¢x2[ik0xK1 (ik0x)− ik1xK1 (ik1x)] . (3.49)

De posse do campo elétrico obtém-se facilmente a componente verticaldo campo magnético. Com efeito, aplicando a fórmula (3.2) vem,

H(0)z (x, 0) =

I (ω)

π¡k21 − k20

¢x3

£2ik0xK1 (ik0x)− k20x

2K0 (ik0x) −

2ik1xK1 (ik1x) + k21x2K0 (ik1x)

¤(3.50)

A computação numérica de (3.49) e (3.50) pode ser feita pelo Mathemat-ica sem nenhuma dificuldade. Mas antes, vamos reescrever essas expressõesnuma forma mais conveniente para o uso em geofísica. Supondo que o semi-espaço superior é o ar e o inferior um meio condutivo e supondo ainda quea freqüência de excitação da corrente na linha é muito baixa, podemos de-duzir que k0 = 0 e k1 =

√−iwμ0σ1.Essas condições impostas sobre k0e k1são denominadas de condição quase-estática ou regime quase-estático.

Levando-se em consideração a condição quase-estática, as expressões(3.49) e (3.50) se reduzem, respectivamente, a

E(0)y (x, 0) =z0I (ω)

πk21x2[1− ik1xK1 (ik1x)]

e

H(0)z (x, 0) =

I (ω)

πk21x3

£2− 2ik1xK1 (ik1x) + k21x

2K0 (ik1x)¤

em que se usaram os seguintes limites,

limw→0

wK0 (w) = 0 e limw→0

K1 (w) =1

w


Aplicando a equação (2.64),

k1 =

rωμ0σ12

(1− i) =1

δ(1− i)

podemos reescrever a expressão do campo elétrico assim,

E(0)y (x, 0) =−I (ω)πx2σ1

n1− x

δ(1 + i)K1

hxδ(1 + i)

io(3.51)

em que δ =p2/(ωμ0σ1) é o skin-depth no meio condutivo.

Analogamente, a componente vertical do campo magnético torna-se

H(0)z (x, 0) =

iδ2I (ω)

πx3

½1− x

δ(1 + i)K1

hxδ(1 + i)

i− ix2

δ2K0

hxδ(1 + i)

i¾(3.52)

Na prática, não se medem os campos elétrico e magnéticos propriamenteditos, mas, algum tipo de impedância, ou seja, mede-se a razão entre avoltagem no receptor pela corrente no transmissor. Na verdade, mede-se aimpedância relativa, ou seja, a razão entre a impedância medida e a que seobteria com o transmissor e receptor no ar livre. Esta última é chamada deacoplamento direto entre o transmissor e receptor. Obviamente, o acopla-mento direto depende do tipo de transmissor e receptor. No caso da linhainfinita de corrente, o acoplamento direto entre o receptor que mede campoelétrico e a linha é dado por

(Z0)Ey =−1

πσ1x2(3.53)

e o acoplamento direto entre uma bobina horizontal e a linha é igual a

(Z0)Hz=−12πx

(3.54)

Isto posto, podemos reescrever a expressoes (3.51) na seguinte fórmulanormalizada: ³

Z(0)/Z0

´Ey= 1− x (1 + i)K1 [x (1 + i)] (3.55)

em que se usou (3.53) e x = x/δ.Analogamente, usando-se (3.54) a fórmula normalizada de (3.52) é ex-

pressa por³Z(0)/Z0

´Hz

=−2ix2

©1− x (1 + i)K1 [x (1 + i)]− ix2K0 [x (1 + i)]

ª(3.56)


³Z(0)/Z0

´Hx

= 2x(1 + i)/3 + π J2 [−x(1− i)] + iH2 [−x(1− i)]

As impedâncias normalizadas (3.55) e (3.56) podem ser facilmente com-putada com o Mathematica. Com efeito,

In[1]:= Z/Z03pt49[periodo_, sigma_, x_]:=

Module[i, nperiodo, skin, xB,

nperiodo = Length[periodo];

ey = Table[0, i, nperiodo];

Do[

skin = 500/Pi Sqrt[10. periodo[[i]]/sigma];

xB = x/skin;

ey[[i]] = (1 - xB (1 + I) BesselK[1, xB (1 + I)],

i, nperiodo]]

e

In[2]:= Z/Z03pt50[periodo_, sigma_, x_]:=

Module[i, nperiodo, skin, xB,


hz = Table[0, i, nperiodo];

Do[

skin = 500/Pi Sqrt[10. periodo[[i]]/sigma];

xB = x/skin;

hz[[i]] = -2 I/xB^2 (1 - xB (1 + I) BesselK[1, xB (1 + I)] -

I xB^2 BesselK[0, xB (1 + I)]),

i, nperiodo]]

Vejamos dois exemplos para ilustrar estes dois programas.

Exemplo 3.1. Dado um meio de condutividade 0.02 S/m a seguintelista de valores de periodos (inverso da freqüência)

In[3]:= periodo = .001, .00158489, .00251189, .00398107, .00630957,

.01, .0158489, .0251189, .0398107, .0630957,

..1, .158489, .251189, .398107, .630957,1., 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957,

10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100;

x, rho = 1000, 50;


Traçar os gráficos da amplitude e fase de¡Z(0)/Z0

¢Eycorrespondente a

(3.55) sabendo-se que a distância transmissor-receptor é igual a 1000 m.


In[4]:= plotAmpFase3pt5[periodo_, field_,

xRange_, aRange_, fRange_, xLines_]:=

Show[GraphicsArray[

LogLinearListPlot[Transpose[periodo Abs[field]],

PlotJoined -> True, PlotRange -> xRange, aRange,

Frame -> True,

GridLines -> xLines, Automatic,

DisplayFunction -> Identity],

LogLinearListPlot[Transpose[periodo, 180 Arg[field]/Pi],

PlotJoined -> True, PlotRange -> xRange, fRange,

Frame -> True,

GridLines -> xLines, Automatic,

DisplayFunction -> Identity]],


In[5]:= x, sigma = 1000, .02

Z/Z03pt46[periodo, sigma, x]

In[6]:= plotAmpFase[periodo, ey, .01, 1000, -2, 1.21, -20, 100,

.1, 1, 10, 100];

0.01 0.1 1 10 100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.01 0.1 1 10 100

0

20

40

60

80

100

Figura 3.3:

Analisando a expressão (3.55) nota-se que¡Z(0)/Z0

¢Eydepende exclusi-

vamente do parâmetro adimensional x = x/δ. Isto significa que os gráficos


da Figura (3.3) não se alteram, qualquer que sejam os valores de x e σ sat-isfazendo o produto x

√σ. Por exemplo, substituindo x = 1000 e σ = 0.02,

por x = 200 e σ = 0.5, obtém-se os mesmos gráficos. Na verdade, inde-pendentemente dos valores de x e σ, o padrão das curvas da figura (3.3)não muda. Os gráficos da amplitude e da fase, apenas, se deslocam para adireita ou para esquerda.

Exemplo 3.2. Com os mesmos dados x = 1000 m e σ = 0.02 S/m doexemplo anterior vamos traçar os gráficos da amplitude e fase de

¡Z(0)/Z0

¢Hz

correspondente a (3.56).

In[1]:= periodo = .0001, .000158489, .000251189, .000398107, .000630957,

.001, .00158489, .00251189, .00398107, .00630957,

.01, .0158489, .0251189, .0398107, .063.0957,

.1, .158489, .251189, .398107, .630957,

1, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957, 10;

x, rho = 1000, 50;

In[2]:= x, sigma = 1000, .02

Z/Z03pt50[periodo, sigma, x]

In[3]:= plotAmpFase[periodo, hz, .0001, 10, -.21, 1.21, -100.1, 20,

.001, .01, .1, 1];

0.001 0.01 0.1 1 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.001 0.01 0.1 1 10-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Figura 3.4:

3.5.1 Avaliação numérica

Vimos na seção anterior que a avaliação exata das integrais que representamos campos elétrico e magnético só é exeqüível em casos muito especiais.


Assim, temos que empregar técnicas numéricas de integração. Entre váriastécnicas conhecidas, se destaca o algoritmo dos filtros lineares [3], [5]. Paraaplicá-lo é conveniente reescrever a transformada cosseno (3.24) da seguintemaneira,

E(0)y = −z0I (ω)2π

F (x) ,

em que

F (x) =

Z ∞

0K (kx) cos (kxx) dkx, (3.57)

sendo a função,

K (kx) =1

u0

³e−u0|z−h0| +R

(0)TEe

u0(z+h0)´

z ≤ 0, (3.58)

conhecida como função núcleo (kernel) da transformada co-seno (3.57).Analogamente, a integral (3.30) pode ser reescrita assim,

H(0)z = −I (ω)

2πG (x)

em que

G (x) =

Z ∞

0K (kx) sin (kxx) dkx (3.59)

e a função kernel da transformada seno (3.59) é dada por,

K (kx) =kxu0

³e−u0|z−h0| −R

(0)TEe

u0(z+h0)´, z ≤ 0,. (3.60)

Fazendo-se a mudança de variável kxx = y na integral (3.57), obtém-se

xF (x) =

Z ∞

0K (y/x) cos (y) dy.

Substituindo a variável x por ep e a variável y por es, esta integral setransforma na integral de convolução,

epF (ep) =

Z ∞

−∞K³e−(p−s)

´es cos (es) ds.

em queK¡e−(p−s)

¢e epF (ep) são, respectivamente, a função entrada (input)

e função saída (output) e es cos (es) a função filtro.Para efeito de cálculo numérico usaremos a versão discreta desta con-

volução [3]. Portanto, podemos escrever,

xF (x) =NXn=0

Khe− lnx+(s1+n∆s)

iwn, (3.61)


em que s1 é a primeira abscissa, ∆s o incremento das abscissas e wn são oscoeficientes do filto.

Em [3] foi apresentado um filtro de 19 coeficientes cujos valores de s1e∆s são, respectivamente, −6.0 e 0.48. Com estes valores, a implementaçãode (3.61) no Mathematica é dada pelo seguinte programa,

In[7]:= cosTrans19[kernel_, xB_]:= Module[i, g,

s = Table[Exp[-6 + .48 n], n, 0, 18];

w = .006213729, -.0071061, .013921, -.00551342, .01738963,

.0051788, .02820408, .0273054, .06264861, .07816871,.1516985,

.1862742, .2976519, .132333, -.3889732, -1.640198, 1.373593,

-.3914654, .05267562;

cosT = 0;

Do[

g= s[[i]]/xB;

cosT = cosT + kernal[g] w[[i]],

i, 19]]

O mesmo raciocínio se aplica ao cálculo da transformada seno (3.59). Naverdade, a fórmula da convolução discreta (3.61) é absolutamente idênticanos dois casos. Naturalmente, os valores numéricos de s1, ∆s e wn.sãodiferentes para cada filtro. No caso do filtro da transformada seno vamosusar 20 coeficientes e os valores s1 = −6.614381e ∆s = .468806. Assim,

In[7]:= sinTrans20[kernel_, xB_]:= Module[i, g,

s = Table[Exp[-6.614381 + .468806 n], n, 0, 19];

w = .000339, -.000869, .002386, -.002709, .007011,

-.001781, .021336, .021644, .093416, .182808,.458439,

.788787, .474028, -.1.780331, .955921, -.273923, .066552,

-.015962, .003337, -.000429;

sinT = 0;

Do[

g= s[[i]]/xB;

sinT = sinT + kernel[g] w[[i]],

i, 20]]

Um bom teste destes dois programas é comparar os resultados numéricoscom os valores exatos obtidos anteriormente.

E(0)y (x, 0) = −z0I (ω)π

Z ∞

0

1

u0 + u1cos (kxx) dkx.


H(0)x (x, 0) =

I (ω)

π

Z ∞

0

u0 − u1u0 + u1

cos (kxx) dkx

e

H(0)z (x, 0) =

I (ω)

π

Z ∞

0

kxu0 + u1

sin (kxx) dkx

Efetuando as mesmas etapas de normalização feitas anteriormente, podemosreescrever estas integrais da seguinte maneira³

Z(0)/Z0

´Ey= ix2

Z ∞

0

2

g +pg2 + 2i

cos (gx) dg.

³Z(0)/Z0

´Hx

= −xZ ∞

0

g −pg2 + 2i

g +pg2 + 2i

cos (gx) dg

e ³Z(0)/Z0

´Hz

= x

Z ∞

0

2g

g +pg2 + 2i

sin (gx) dg

nas quais g = δkx e x = x/δO kernel da primeira integralIn[7]:= kernelEy[g_]:= Module[, 2/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

In[7]:= fieldEyN[periodo_, x_, sigma_]:= Module[i, nperiodo, g,


eyN = Table[0, i, Length[periodo]];

Do[

skin = 500./Pi Sqrt[10 periodo[[i]]/sigma];

xB = x/skin;

cosTrans019[kernelEy, xB];

eyN[[i]] = I xB cosT,

i, nperiodo]]

In[2]:= periodo = .001, .00158489, .00251189, .00398107, .00630957,

0.01, .01584, 0251189, .0398107, .0630957,

0.1, .158489, .251189, .398107, .630957,

1., 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957,

10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100;

In[7]:= x, sigma = 200, .02zZ03pt49[periodo, sigma, x]p1 = ey;fDLsZzEy1[kernelEy1, periodo, sigma, x]


p2 = ey1;x, sigma = 5000, .02;zZ03pt49[periodo, sigma, x]p3 = ey;fDLsZzEy1[kernelEy1, periodo, sigma, x]p4 = ey1;x, sigma = 1000, .02;zZ03pt49[periodo, sigma, x]p5 = ey;fDLsZzEy1[kernelEy1, periodo, sigma, x]p6 = ey1;plotAmpFase3[periodo, p1, p2, p3, p4, p5,p6, .001, 100, -.51, 1.51, -20, 100, .01, .1, 1, 10];

0.01 0.1 1 10 100-0.5

0

0.5

1

1.5

0.01 0.1 1 10 100

0

20

40

60

80

100

Figura 3.5:

O kernel da segunda integral:

In[7]:= kernelHx[g_]:= Module[, (Sqrt[g^2 +2 I]-g)/(g + Sqrt[g^2 +2 I])]

In[7]:= fieldHxN[periodo_, x_, sigma_]:= Module[i, nperiodo, g,


hxN = Table[0, i, Length[periodo]];

Do[

skin = 500./Pi Sqrt[10periodo[[i]]/sigma];

xB = x/skin;

cosTrans20[kernelHx, xB];

hxN[[i]] = cosT,


i, nperiodo]]

In[2]:= periodo = .0001, .000158489, .000251189, .000398107, .000630957,0.001,.00158489, .00251189, .00398107, .00630957,0.01, .0158489, .0251189, .0398107, .0630957,0.1, .158489, .251189, .398107, .630957,1.0, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957,10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100;

In[7]:=x, sigma = 200, .02;fDLsZzHx0[periodo, sigma, x]fDLsZzHx1[kernelHx1, periodo, sigma, x]p1 = hx;p2 = hx;x, sigma = 1000, .02;fDLsZzHx0[periodo, sigma, x]fDLsZzHx1[kernelHx1, periodo, sigma, x]p3 = hx;p4 = hx1;x, sigma = 5000, .02;zZ03pt51[periodo, sigma, x]fDLsZzHx1[kernelHx1, periodo, sigma, x]p5 = hx1;p6 = hx1;plotAmpFase3[periodo, p1, p2, p3, p4, p5,p6, .0001, 100, -.21, 1, -60, 60, .001, .01, .1, 1, 10];

0.001 0.01 0.1 1 10 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.001 0.01 0.1 1 10 100

-40

-20

0

20

40

60

Figura 3.6:


O kernel da terceira integral:

In[7]:= kernelHz[g_]:= Module[, 2g/(g + Sqrt[g^2 +2 I])]

In[7]:= fieldHzN[periodo_, x_, sigma_]:= Module[i, nperiodo, g,


hzN = Table[0, i, Length[periodo]];

Do[

skin = 500./Pi Sqrt[10periodo[[i]]/sigma];

xB = x/skin;

cosTrans19[kernelHz, xB];

hzN[[i]] = cosT,

i, nperiodo]]

In[2]:= periodo = .0001, .000158489, .000251189, .000398107, .000630957,

0.001, .00158489, .00251189, .00398107, .00630957,

0.01, .0158489, .0251189, .0398107, .0630957,

0.1, .158489, .251189, .398107, .630957,

1.0, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957, 10;

In[2]:= x, sigma = 200, .02;

zZ03pt50[periodo, sigma, x]

p1 = hz;

fDLsZzHz1[kernelHz1, periodo, sigma, x]

p2 = hz1;

x, sigma = 5000, .02;


p3 = hz;


p4 = hz1;

x, sigma = 1000, .02;


p5 = hz;


p6 = hz1;

plotAmpFase3[periodo, p1, p2, p3, p4, p5,

p6, .0001, 10, -.51, 1.51, -120.1, 20, .001, .01, .1, 1];


0.001 0.01 0.1 1 10-0.5

0

0.5

1

1.5

0.001 0.01 0.1 1 10-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Figura 3.7:

Feitos estes testes, vamos, agora, calcular as integrais para o caso de n ca-madas. Primeiro vejamos o campo elétrico na superfície do terreno.(z = 0 e h = 0).Então, de (??), podemos escrever

E(0)y (x, 0) = −z0I (ω)2π

Z ∞

0

1

u0

³1 +R

(0)TE

´cos (kxx) dkx, (3.62)

em que o coeficiente de reflexão R(0)TE é dado por

R(0)TE =

Y0 − bY1Y0 + bY1 ,

sendo

bYj = YjbYj+1 + Yj tanh[ujhj ]Yj + bYj+1 tanh[ujhj ] , j = 1, 2, . . . N − 1

bYN = YNj .

Fazendo Fj = bYj/Yj pode-se reescrever esta relação de recorrência daseguinte maneira,

Fj =Yj+1Fj+1 + Yj tanh[ujhj ]Yj + Yj+1Fj+1 tanh[ujhj ]

,

FN = 1.

Substituíndo, nesta expressão, Yj por uj/¡iωμj

¢vem,

Fj =

uj+1μj+1

Fj+1 +ujμjtanh[ujhj ]

ujμj+

uj+1μj+1

Fj+1 tanh[ujhj ],

FN = 1


multiplicando o numerador e denominador por μjμj+1, obtém-se

Fj =μjuj+1Fj+1 + μj+1uj tanh[ujhj ]

μj+1uj + μjuj+1Fj+1 tanh[ujhj ]

FN = 1

Aplicando-se a condição quase-estática (k0 = 0), a fórmula dos coefi-cientes de reflexão se reduz a

R(0)TE =

gμ1/μ0 − F1u1gμ1/μ0 + F1u1

,

Substituindo este último resultado em (3.62) vem,

E(0)y (x, 0) = − iρ1I (ω)πδ2

Z ∞

0

2μ1/μ0gμ1/μ0 + F1u1

cos (gx) dg

Finalmente, normalizando com respeito ao acoplamento direto, obtemos³Z(0)/Z0

´Ey= ix2

Z ∞

0

2μ1/μ0gμ1/μ0 + F1u1

cos (gx) dg

In[12]:= lidfEy[kernel_, periodo_, sugma_, mu_, h_, x_]:=

Module[i, nperiodo, g,


nlayer = Length[sigma];

zZ0ey = Table[0, i, nperiodo];

Do[

skin = 500./Pi Sqrt[10. periodo[[i]]/sigma[[1]]];

xB = x/skin;

hB = h/skin;

cosTrans19[kernel, xB];

zZ0ey[[i]] = I xs cosT,

i, nperiodo]]

O código da função kenel é dado por:

In[12]:= kernelEy[g_]:= Module[i, u, fj, th,

u= Table[0, j, nlayer];

Do[

u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2. I mu[[j]] sigma[[j]]/sigma[[1]]],

j, nlayer];


fj = 1.;

Do[

th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];

fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj + mu[[j + 1]] u[[j]] th)/

(mu[[j + 1]] u[[j]]+ mu[[j]] u[[j + 1]] fj th),

j, nlayer - 1, 1, -1];

2. mu[[1]]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

Este programa se aplica a um número qualquer de camadas. No casoparticular do semi-espaço basta considerar duas ou mais camadas de mesmacondutividade. Para ilustrar este fato, vamos comparar as respostas de umsemi-espaço de condutividade σ = 0.02 S/m não permeável com um outrode permeabilidade relativa μ = 1.5.

In[12]:= periodo = .001, .00158489, .00251189, .00398107, .00630957,

0.01, .0158489, .0251189, .0398107, .0630957,

0.1, .158489, .251189, .398107, .630957,

1.0, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957,

10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100;

In[12]:=sigma = .02, .02;

mu = 1, 1;

h = 100;

x = 1000;

lidfEy[kernelEy, periodo, sigma, mu, h, x]

p1 = zZ0ey;

mu = 1.5, 1.5;


p2 = zZ0ey;

mu = 2, 2;


p3 = zZ0ey;

mu = 2.5, 2.5;


p4 = zZ0ey;

plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4,.001, 100, -.51, 2.,

-20, 100, .01, .1, 1, 10];


0.01 0.1 1 10 100-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.01 0.1 1 10 100

0

20

40

60

80

100

Figura 3.8:

Vejamos, agora, um modelo mais complexo. Seja a seqüência de cincocamadas de condutividades σ1 = 0.01, σ2 = 0.25, σ3 = 0.004, σ4 = 0.1,σ5 = 0.002 S/m e espessuras h1 = 10, h2 = 50, h3 = 20, h4 = 100. metrosPara efeito de comparação vamos supor dois casos: no primeiro, todas ascamadas são não-permeáveis, no segundo, todas camadas continuam não-permeáveis, com exceção da segunda camada em que μ = 2.5. Então,

In[12]:= sigma = .01, .25, .004, .1, .002;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 50, 20, 100;

x = 1000;

fieldEyN[kernelEyN, periodo, sigma, mu, h, x];

p1 = zZ0ey;

mu = 1, 1.5, 1, 1, 1;


p2 = zZ0ey;

mu = 1, 2, 1, 1, 1;


p3 = zZ0ey;

mu = 1, 2.5, 1, 1, 1;


p4 = zZ0ey;

plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .001, 100, -.21, 1.,

-80, 100, .01, .1, 1, 10];


0.01 0.1 1 10 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.01 0.1 1 10 100-75

-50

-25

0

25

50

75

100

Figura 3.9:

Vamos repetir o exemplo anterior, mas desta feita é a quarta camadaque tem permeabilidade relativa μ = 3.Então, vejamos,

In[12]:=sigma = .01, .250, .004, .1, .002;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 50, 20, 100;

x = 1000;


p1 = zZ0ey;

mu = 1, 1.5, 1, 1, 1;


p2 = zZ0ey;

mu = 1, 1, 1, 2.5, 1;


p3 = zZ0ey;

mu = 1, 1.5, 1, 2.5, 1;


p4 = zZ0ey;

plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .001, 100, -.21, 1.,

-80, 100, .01, .1, 1, 10];


0.01 0.1 1 10 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.01 0.1 1 10 100-75

-50

-25

0

25

50

75

100

Figura 3.10:

Procedendo como no caso anterior, podemos escrever a componente hor-izontal do campo magnético assim:

H(0)x (x, 0) = −I (ω)

2π

Z ∞

0

³1 +R

(0)TE

´eu0z cos (kxx) dkx,

Aplicando a condição quase-estática, vem,

H(0)x (x, 0) = −I (ω)

2π

Z ∞

0

2egzgμ1/μ0gμ1/μ0 + F1u1

cos (gx) dg

Finalmente, normalizando com respeito ao acoplamento direto, obtemos³Z(0)/Z0

´Hx

= −xZ ∞

0

2egzgμ

gμ+ F1u1cos (gx) dg

em que μ = μ1/μ0.

In[12]:= lidfHx[kernel_, periodo_, sugma_, mu_, h_, x_]:=




zZ0hx = Table[0, i, nperiodo];

Do[


xB = x/skin;

hB = h/skin;

cosTrans19[kernel, xB];

zZ0hx[[i]] = I xs cosT,

i, nperiodo]]


O código da função kenel é dado por:

In[12]:= kernelHx[g_]:= Module[i, u, fj, th,


Do[


j, nlayer];

fj = 1.;

Do[



(mu[[j + 1]] u[[j]]+ mu[[j]] u[[j + 1]] fj th),

j, nlayer - 1, 1, -1];

-2. g Exp[g zB] mu[[1]]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

In[12]:= periodo = .0001, .000158489, .000251189, .000398107, .000630957,0.001, 0.00158489, .00251189, .00398107, .00630957,0.01, .0158489, .0251189, .0398107, .0630957,0.1, .158489, .251189, .398107, .630957,1.0, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957,10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100;

In[12]:= sigma = .02, .02;mu = 1, 1;h = 100;x = 1000;z = 0.;lidfHx[kernelHxN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = zZ0hx;mu = 1.5, 1.5;lidfHx[kernelHxN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p2 = zZ0hx;mu = 2, 2;lidfHx[kernelHxN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = zZ0hx;mu = 2.5, 2.5;lidfHx[kernelHxN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p4 = zZ0hx;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .0001, 100, -.51, 1.51,-60, 60, .001, .01, .1, 1, 10];


0.001 0.01 0.1 1 10 100-0.5

0

0.5

1

1.5

0.001 0.01 0.1 1 10 100

-40

-20

0

20

40

60

Figura 3.11:

In[12]:= sigma = .02,.02;mu = 1, 1;h = 100;x = 1000;z = 0.;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = zZ0hx;z = 100.;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p2 = zZ0hx;z = 250.;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = zZ0hx;z = 500.;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p4 = zZ0hx;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4 .0001, 100, -.51, 1.51,-200, 100, .001, .01, .1, 1, 10];

0.01 1 100-0.5

0

0.5

1

1.5

0.01 1 100-50

0

50

100

150

200

Figura 3.12:


In[12]:= sigma = .01, .250, .004, .1, .002;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 50, 20, 100;x = 1000;z = 0.;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = zZ0hx;mu = 1, 1.5, 1, 1, 1;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p2 = zZ0hx;mu = 1, 2, 1, 1, 1;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = zZ0hx;mu = 1, 2.5, 1, 1, 1;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p4 = zZ0hx;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .0001, 100, -.51, 1.51,-200, 100, .001, .01, .1, 1, 10];

0.01 1 100-0.5

0

0.5

1

1.5

0.01 1 100-100

-50

0

50

100

Figura 3.13:

In[12]:= sigma = .01, .250, .004, .1, .002;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 50, 20, 100;x = 1000;z = 0.;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = zZ0hx;mu = 1, 1.5, 1, 1, 1;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];


p2 = zZ0hx;mu = 1, 1, 1, 2.5, 1;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = zZ0hx;mu = 1, 1.5, 1, 2.5, 1;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p4 = zZ0hx;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .0001, 100, -.51, 1.51,-200, 100, .001, .01, .1, 1, 10];

0.01 1 100-0.5

0

0.5

1

1.5

0.01 1 100-100

-50

0

50

100

Figura 3.14:

In[12]:= sigma = .01, .250, .004, .1, .002;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 50, 20, 100;x = 1000;z = 0;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = zZ0hx;z = 100;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p2 = zZ0hx;z = 250;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = zZ0hx;z = 500;lidfHx[kernelHx, periodo, sigma, mu, h, x, z];p4 = zZ0hx;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .0001, 100, -.51, 1.51,-200, 100, .001, .01, .1, 1, 10];


0.0010.01 0.1 1 10 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.0010.01 0.1 1 10 100-100

-50

0

50

100

150

200

Figura 3.15:

Finalmente a componente vertical do campo magnético. Seguindo omesmo caminho, temos,

H(0)z (x, z) = −I (ω)

2π

Z ∞

0

kxeu0z

u0

³1 +R

(0)TE

´sin (kxx) dkx,

Aplicando a condição quase-estática, vem,

H(0)z (x, z) = −I (ω)

2πδ

Z ∞

0

2egzgμ1/μ0gμ1/μ0 + F1u1

sin (gx) dg

Finalmente, normalizando com respeito ao acoplamento direto (3.54),obtemos ³

Z(0)/Z0

´Hz

= x

Z ∞

0

2egzgμ1gμ+ F1u1

sin (gx) dg

Segue o código correspondente a esta integral,

In[12]:= lidfHz[kernel_, periodo_, sigma_, mu_, h_, x_, z_]:=




zZ0hz = Table[0, i, nperiodo];

Do[


xB = x/skin;

hB = h/skin;

zB = -Abs[z]/skin;

sinTrans20[kernel, xB];

zZohz[[i]] = I xB sinT,

i, nperiodo]]


O código do kernel,

In[12]:= kernelHz[g_]:= Module[i, u, fj, th,


Do[


j, nlayer];

fj = 1.;

Do[



(mu[[j + 1]] u[[j]]+ mu[[j]] u[[j + 1]] fj th),

j, nlayer - 1, 1, -1];

2. Exp[g zB] g mu[[1]]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

In[12]:= periodo = .0001, .000158489, .000251189, .000398107, .000630957,0.001, .00158489, .00251189, .00398107, .00630957,0.01, .0158489, .0251189, .0398107, .0630957,0.1, .158489, .251189, .398107, .630957,1.0, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957,10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100;

In[12]:=sigma = .02, .02;mu = 1, 1;h = 100;x = 1000;z = 0.;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = zZ0hz;mu = 1.5, 1.5;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p2 = zZ0hz;mu = 2, 2;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = zZ0hz;mu = 2.5, 2.5;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p4 = zZ0hz;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .001, 100, -.51, 1.51,-120, 20, .01, .1, 1, 10];


0.01 0.1 1 10 100-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.01 0.1 1 10 100-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Figura 3.16:

In[12]:=sigma = .02, .02;

mu = 1, 1;

h = 100;

x = 1000;

z = 0.;

lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];

p1 = zZ0hz;

z = 100.;


p2 = zZ0hz;

z = 250.;


p3 = zZ0hz;

z = 500.;


p4 = zZ0hz;

plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .001, 10, -.51, 1.51,

-120, 20, .01, .1, 1];

Repetir o mesmo modelo, mas com o receptor a 200 metros acima dasuperfície,


0.01 0.1 1 10-0.5

0

0.5

1

1.5

0.01 0.1 1 10-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Figura 3.17:

Com o mesmo modelo anterior das cinco camadas ( σ1 = 0.01, σ2 = 0.25,σ3 = 0.004, σ4 = 0.1, σ5 = 0.002 S/m e espessuras h1 = 10, h2 = 50,h3 = 20, h4 = 100), vamos comparar a resposta da componente vertical docampo magnético nos dois caso: μ4 = 1 e.μ4 = 3

In[12]:= sigma = .01, .250, .004, .1, .002;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 50, 20, 100;

x = 1000;

z = 0.;


p1 = zZ0hz;

mu = 1, 1.5, 1, 1, 1;


p2 = zZ0hz;

mu = 1, 2, 1, 1, 1;


p3 = zZ0hz;

mu = 1, 2.5, 1, 1, 1;


p4 = zZ0hz;

plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3,p4, .001, 10, -.21, 1.2,

-180, 20, .01, .1, 1];


0.01 0.1 1 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.01 0.1 1 10

-150

-100

-50

0

50

Figura 3.18:

In[12]:= sigma = .01, .250, .004, .1, .002;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 50, 20, 100;x = 1000;z = 0.;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = zZ0hz;mu = 1, 1.5, 1, 1, 1;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p2 = zZ0hz;mu = 1, 1, 1, 2.5, 1;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = zZ0hz;mu = 1, 1.5, 1, 2.5, 1;lidfHz[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p4 = zZ0hz;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3,p4, .001, 10, -.21, 1.2,-180, 20, .01, .1, 1];

0.01 0.1 1 10-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0.01 0.1 1 10-200

-150

-100

-50

0

50

Figura 3.19:


O mesmo modelo anterior, mas com o receptor aerotransportado a 200m de altura.

In[12]:=sigma = .01, .250, .004, .1, .002;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 50, 20, 100;x = 1000;z = 0;fieldHzN[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p1 = hzN;z = 100.;fieldHzN[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p2 = hzN;z = 250.;fieldHzN[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = hzN;z = 500.;fieldHzN[kernelHzN, periodo, sigma, mu, h, x, z];p3 = hzN;plotAmpFase4[periodo, p1, p2, p3, p4, .001, 10, -.21, 1.2,-180, 20, .01, .1, 1];

0.01 0.1 1 10-0.2

00.20.40.60.8

11.2

0.01 0.1 1 10-200

-150

-100

-50

0

50

Figura 3.20:

3.6 Eletrojato Equatorial

Uma linha infinita de corrente situada a 110km de altura é uma primeiraaproximação do eletrojato equatorial. Um modelo mais adequado de eletro-jato equatorial é o da distribuição gaussiana de corrente num plano situadoa 110 km de altura, com desvio padrão da ordem de 240 km. Um modelo

3.6. ELETROJATO EQUATORIAL 73

mais realista é constituído por três gaussianas, uma positiva e duas negativaspara satisfazer ao eletrojato e o contra-eletrojato.

3.6.1 Modelo linha infinita

As componentes Ey, Hx e Hz na superfície de um meio estratificado devidoa uma linha infinita de corrente situada a uma altura h0 são expressas por

Ey (x, 0) = −z0I02π

Z ∞

0

1

kx

³1 +R

(0)TE

ékxh0 cos (kxx) dkx

Hx (x, 0) =I02π

Z ∞

0

³1−R

(0)TE

ékxh0 cos (kxx) dkx

Hz (x, 0) =I02π

Z ∞

0

³1 +R

(0)TE

ékxh0 sin (kxx) dkx

Sabendo-se que o coeficiente de reflexaão R(0)TE é dado por

R(0)TE =

kxμ1/μ0 − u1F1kxμ1/μ0 + u1F1

podemos escrever

Ey (x, 0) = −z0I02π

Z ∞

0

2μ1/μ0kxμ1/μ0 + u1F1

eu0h0 cos (kxx) dkx

Hx (x, 0) =I02π

Z ∞

0

2u1F1kxμ1/μ0 + u1F1

eu0h0 cos (kxx) dkx

Hz (x, 0) =I02π

Z ∞

0

2kxμ1/μ0kxμ1/μ0 + u1F1

eu0h0 sin (kxx) dkx

Normalizando pelo skindepth (x = x/δ, g = kxδ) vem

Ey (x, 0) = −i2I0

πδ2σ1

Z ∞

0

μ1gμ1 + u1F1

egh0 cos (gx) dg

Hx (x, 0) =I0πδ

Z ∞

0

u1F1gμ1 + u1F1

egh0 cos (gx) dg

Hz (x, 0) =I0πδ

Z ∞

0

gμ1gμ1 + u1F1

egh0 sin (gx) dg


De posse das componentes Ey e Hx podemos obter a impedância Z =Ey/Hx e por conseqüência, a resistividade aparente. O código abaixo fornecea resistividade aparente e a fase da impedância.

In[12]:= eejli1d[kLiEy_, kLiHx_, periodo_, rho_, h_, h0_, x_] :=Module[i, nperiodo, nobs, g, xB,nperiodo = Length[periodo];nlayer = Length[rho];rhoap = Table[0, i, nperiodo];fase = rhoap;Do[skin = .5/Pi Sqrt[10 periodo[[i]] rho[[1]]];xB = x/skin;hB = h/skin;h0B = h0/skin;cosTrans30[kLiEy, xB];ey = conv;cosTrans30[kLiHx, xB];hx = conv;rhoap[[i]] = 2.rho[[1]] Abs[ey/hx]^2;fase[[i]] = 180/Pi Arg[I ey/hx],i, nperiodo]]

In[12]:= kLiEy[g_] := Module[j, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2 I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]],j, nlayer];fj = 1.;Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]]u[[j + 1]] fj th),j, nlayer - 1, 1, -1];mu[[1]] Exp[-g h0B]/(g mu[[1]] + u[[1]] fj)];

In[12]:= kLiHx[g_] := Module[j, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[


u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2 I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]],j, nlayer];fj = 1.;Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]]u[[j + 1]] fj th),j, nlayer - 1, 1, -1];u[[1]] fj Exp[-g h0B]/(g mu[[1]] + u[[1]] fj)];

A título de ilustação vamos consideraer os efeitos do eletrojato equator-ial, tipo linha de corrente, nas curvas de resistividade aparente e fase. Paraisso usamos o seguinte modelo de três camadas, de resistividades ρ1 = 10,ρ2 = 1000, ρ3 = 10 Ohm-m e espessuras h1 = 5, h2 = 25 km. As observaçõesforam feitas a 60, 120, 240, 360, 480 e 600 km. Os periodos são dados por.

In[12]:= periodo = 1, 1.585, 2.512, 3.981, 6.309, 10, 15.85, 25.12, 39.81, 63.09,100,

158.5, 251.2, 398.1, 630.9, 1000, 1585, 2512, 3981, 6309, 10000, 15850,25120, 39810;

In[12]:= h0 = 110;x = 60;rho = 10, 1000, 10;mu = 1, 1, 1;h = 5, 25;eejli1d[kLiEy, kLiHx, periodo, rho, h, h0, x]r1 = rhoap;f1 = fase;x = 120;eejli1d[kLiEy, kLiHx, periodo, rho, h, h0, x]r2 = rhoap;f2 = fase;x = 240;eejli1d[kLiEy, kLiHx, periodo, rho, h, h0, x]r3 = rhoap;f3 = fase;x = 360;eejli1d[kLiEy, kLiHx, periodo, rho, h, h0, x]r4 = rhoap;


f4 = fase;x = 480;eejli1d[kLiEy, kLiHx, periodo, rho, h, h0, x]r5 = rhoap;f5 = fase;x = 600;eejli1d[kLiEy, kLiHx, periodo, rho, h, h0, x]r6 = rhoap;f6 = fase;

In[12]:= r = r1, r2, r3, r4, r5, r6;f = f1, f2, f3, f4, f5, f6;p1 = plotAmpFase7[periodo, r,f, 1, 100000, 1, 1000, 0, 100, 10, 100, 1000, 10000,100000, 10, 100, 1000];

10 100 1000 10000 100000.

510

50100

5001000

10 100 1000 10000 100000.

20

40

60

80

100

Figura 3.21:

Nota-se que o efeito do eletrojato nas curvas de resistividades aparentese dá a partir de 1000 s. O efeito nas curvas de fase acontece um poucoantes.

3.6.2 Eletrojato gaussiano

A distribuição gaussiana da densidade de corrente e dada por

J¡x0¢=

I0

s√2π

e−(x0/s)2/2

em que s é o desvio padrão. Integrando esta expressão obtém-se a correntetotal que constitui o eletrojato. Portanto,


I¡x0¢=

I0

s√2π

Z ∞

−∞e−(x

0/s)2/2dx0

In[1]:= s = 1;p1 = Plot[1/(s Sqrt[2 Pi])(Exp[-(x/s)^2/2]), x, -5, 5,TextStyle -> FontSize -> 6.0];

-4 -2 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 3.22:

A resposta de uma linha infinita de corrente nada mais é do que umafunção de Green. Assim, dado os pontos x e x0 podemos escrever

G¡x, x0

¢=−z02π

Z ∞

0

1

kx

³1 +R

(0)TE

´eu0h0 cos

£kx¡x− x0

¢¤dkx

Sabendo-se a distribuição de corrente, a componente Ey é dada por

Ey (x, 0) = −z0I0

s2π√2π

Z ∞

−∞e−(x

0/s)2/2G¡x, x0

¢dx0

Substituindo a expressão anterior mesta expressão. vem

Ey (x, 0) = −z0I0

s2π√2π

Z ∞

0

Z ∞

−∞K(kx)e

−(x0/s)2/2 cos£kx¡x− x0

¢¤dx0dkx

em que

K(kx) =1

kx

³1 +R

(0)TE

´eu0h0

Reagrupando as integrais, resulta

Ey (x, 0) = −z0I0

s2π√2π

Z ∞

0K(kx)e

u0h0

∙Z ∞

−∞e−(x

0/s)2/2 cos¡kxx

0¢ dx0¸ cos (kxx) dkx


Aplicando-se a fórmulaZ ∞

−∞e−αt

2cosβtdt =

rπ

αe−β

2/4α

podemos facilmente obter as componentes Ey, Hx e Hz. Com efeito,

Ey (x, 0) = −z0I02π

Z ∞

0

1

kx

³1 +R

(0)TE

éu0h0e−k

2xs2/2 cos (kxx) dkx

Hx (x, 0) =I02π

Z ∞

0

³1−R

(0)TE

éu0h0e−k

2xs2/2 cos (kxx) dkx

Ey (x, 0) =I02π

Z ∞

0

³1 +R

(0)TE

éu0h0e−k

2xs2/2 sin (kxx) dkx

Substituindo

R(0)TE =

kxμ1/μ0 − u1F1kxμ1/μ0 + u1F1

nestas expressõe, resulta

Ey (x, 0) = −z0I0π

Z ∞

0

μ1/μ0e−k2xs2/2

kxμ1/μ0 + u1F1eu0h0 cos (kxx) dkx

Hx (x, 0) =I0π

Z ∞

0

u1F1e−k2xs2/2

kxμ1/μ0 + u1F1eu0h0 cos (kxx) dkx

Hz (x, 0) =I0π

Z ∞

0

kxμ1/μ0e−k2xs2/2

kxμ1/μ0 + u1F1eu0h0 sin (kxx) dkx

Normalizando pelo skindepth (x = x/δ, g = kxδ) vem

Ey (x, 0) = −i2I0

πδ2σ1

Z ∞

0

μ1e−g2s2/2

gμ1 + u1F1egh0 cos (gx) dg

Hx (x, 0) =I0πδ

Z ∞

0

u1F1e−g2s2/2

gμ1 + u1F1egh0 cos (gx) dg

Hz (x, 0) =I0πδ

Z ∞

0

gμ1e−g2s2/2

gμ1 + u1F1egh0 sin (gx) dg

De posse das componentes Ey e Hx podemos obter a impedância Z =Ey/Hx e por conseqüência, a resistividade aparente. O código abaixo fornecea resistividade aparente e a fase da impedância.


In[12]:= eej1g1d[k1gEy_, k1gHx_, periodo_, rho_, h_, h0_, s0_, x_] :=Module[i, nperiodo, nobs, g, xB,nperiodo = Length[periodo];nlayer = Length[rho];rhoap = Table[0, i, nperiodo];fase = rhoap;Do[skin = .5/Pi Sqrt[10 periodo[[i]] rho[[1]]];xB = x/skin;hB = h/skin;h0B = h0/skin;s0B = s0/skin;cosTrans30[k1gEy, xB];ey = conv;cosTrans30[k1gHx, xB];hx = conv;rhoap[[i]] = 2.rho[[1]] Abs[ey/hx]^2;fase[[i]] = 180/Pi Arg[I ey/hx],i, nperiodo]]

In[12]:= k1gEy[g_] := Module[j, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2 I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]],j, nlayer];fj = 1.;Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]]u[[j + 1]] fj th),j, nlayer - 1, 1, -1];mu[[1]] Exp[-g h0B - (g s0B)^2/2]/(g mu[[1]] + u[[1]] fj)];

In[12]:= k1gHx[g_] := Module[j, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2 I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]],j, nlayer];fj = 1.;


Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]]u[[j + 1]] fj th),j, nlayer - 1, 1, -1];u[[1]] fj Exp[-g h0B - -(g s0B)^2/2]/(g mu[[1]] + u[[1]] fj)];

Usando-se o mesmo modelo do exemplo anterior e supondo que o desviopadrão é igual a 240 km, temos

In[12]:= h0 , s0= 110, 240;x = 60;rho = 10, 1000, 10;mu = 1, 1, 1;h = 5, 25;eej1g1d[k1gEy, k1gHx, periodo, rho, h, h0, s0, x]r1 = rhoap;f1 = fase;x = 120;eej1g1d[k1gEy, k1gHx, periodo, rho, h, h0, s0, x]r2 = rhoap;f2 = fase;x = 240;eej1g1d[k1gEy, k1gHx, periodo, rho, h, h0, s0, x]r3 = rhoap;f3 = fase;x = 360;eej1g1d[k1gEy, k1gHx, periodo, rho, h, h0, s0, x]r4 = rhoap;f4 = fase;x = 480;eej1g1d[k1gEy, k1gHx, periodo, rho, h, h0, s0, x]r5 = rhoap;f5 = fase;x = 600;eej1g1d[k1gEy, k1gHx, periodo, rho, h, h0, s0, x]r6 = rhoap;f6 = fase;


In[12]:= r = r1, r2, r3, r4, r5, r6;

f = f1, f2, f3, f4, f5, f6;

p1 = plotAmpFase7[periodo, r,

f, 1, 100000, 1, 1000, 0, 100, 10, 100, 1000, 10000,

100000, 10, 100, 1000];

10 100 1000 10000 100000.

510

50100

5001000

10 100 1000 10000 100000.

20

40

60

80

100

Figura 3.23:

Note que o efeito do letrojato gaussiano é menor que o do eletrojato tipolinha de corrente. Isto deve-se ao fato que a corrente no eletrojato gaussianoé mais diluída no plano do eletrojasto.

A simulação do eletrojato com correntes nos dois sentidos (contra-eletrojato)é muito fácil de ser realizada. Basta somar algebricamente três eletrojatosdo tipo gaussiano. A Figura e o código abaixo ilustram este procedimento.

In[12]:= s = 1;

p1 = Plot[

1/(s Sqrt[2 Pi])(Exp[-(x/s)^2/

2] - .3 Exp[-(x/s + 2)^2/2] - .3Exp[-(x/s - 2)^2/2]), x, -5,

5, TextStyle -> FontSize -> 6.0];


-4 -2 2 4

0.1

0.2

0.3

Figura 3.24:

In[12]:= eej3g1d[k3gEy_, k3gHx_, periodo_, rho_, h_, h0_, s0_, a1_, a2_,x_] :=

Module[i, nperiodo, nobs, g, xB,nperiodo = Length[periodo];nlayer = Length[rho];rhoap = Table[0, i, nperiodo];fase = rhoap;Do[skin = .5/Pi Sqrt[10 periodo[[i]] rho[[1]]];hB = h/skin;h0B = h0/skin;s0B = s0/skin;xB = Abs[x/skin];cosTrans30[k3gEy, xB];ey = conv;xB = Abs[(x + s0)/skin];cosTrans30[k3gEy, xB];ey = ey - a1*conv;If[x == s0 , xB = 1/skin,xB = Abs[(x - s0)/skin]]cosTrans30[k3gEy, xB];ey = ey - a2*conv;xB = Abs[x/skin];cosTrans30[k3gHx, xB];


hx = conv;xB = Abs[(x + s0)/skin];cosTrans30[k3gHx, xB];hx = hx - a1*conv;If[x == s0 , xB = 1/skin,xB = Abs[(x - s0)/skin]]cosTrans30[k3gHx, xB];hx = hx - a2 conv;rhoap[[i]] = 2.rho[[1]] Abs[ey/hx]^2;fase[[i]] = 180/Pi Arg[I ey/hx],i, nperiodo]]

In[12]:= k3gEy[g_] := Module[j, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2 I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]],j, nlayer];fj = 1.;Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]]u[[j + 1]] fj th),j, nlayer - 1, 1, -1];mu[[1]] Exp[-g h0B - (g s0B)^2/2]/(g mu[[1]] + u[[1]] fj)];

In[12]:= k3gHx[g_] := Module[j, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2 I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]],j, nlayer];fj = 1.;Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]]u[[j + 1]] fj th),j, nlayer - 1, 1, -1];u[[1]] fj Exp[-g h0B - -(g s0B)^2/2]/(g mu[[1]] + u[[1]] fj)];


Continuando com o mesmo modelo do exemplo anterior e supondo que aintensidade contra eletrojatos laterais é um terço da intensidade do eletro-jado central, podemos escrever

In[12]:= hh0, s0, a1 ,a2 = 110,. 240, 3,. 3;x = 60;rho = 10, 1000, 10;mu = 1, 1, 1;h = 5, 25;eej3g1d[k3gEy, k3gHx, periodo, rho, h, h0, s0, a1, a2, x]r1 = rhoap;f1 = fase;x = 120;eej3g1d[k3gEy, k3gHx, periodo, rho, h, h0, s0, a1, a2, x]r2 = rhoap;f2 = fase;x = 240;eej3g1d[k3gEy, k3gHx, periodo, rho, h, h0, s0, a1, a2, x]r3 = rhoap;f3 = fase;x = 360;eej3g1d[k3gEy, k3gHx, periodo, rho, h, h0, s0, a1, a2, x]r4 = rhoap;f4 = fase;x = 480;eej3g1d[k3gEy, k3gHx, periodo, rho, h, h0, s0, a1, a2, x]r5 = rhoap;f5 = fase;x = 600;eej3g1d[k3gEy, k3gHx, periodo, rho, h, h0, s0, a1, a2, x]r6 = rhoap;f6 = fase;



10 100 1000 10000 100000.

510

50100

5001000

10 100 1000 10000 100000.

20

40

60

80

100

Figura 3.25:

A superposição dos três eletrojastos pode, em alguns casos, diluir o efeitoda fonte, como também, pode realçar o efeito.’É exatamente isto que seobserva na curva da segunda estação (120 km).

Neste último exemplo, vamos supor que as intensidades dos dois con-tra eletrojatos são diferentes. Por exempolo, um quinto e dois quintos doeletrojato central. como ilustra a figura abaixo.

In[12]:= s = 1;p1 = Plot[1/(s Sqrt[2 Pi])(Exp[-(x/s)^2/2] - .2 Exp[-(x/s + 2)^2/2] - .4Exp[-(x/s - 2)^2/2]), x, -5,5, TextStyle -> FontSize -> 6.0];

-4 -2 2 4

-0.1

0.1

0.2

0.3

Figura 3.26:


Continuando com o mesmo modelo, temos


10 100 1000 10000 100000.

510

50100

5001000

10 100 1000 10000 100000.

20

40

60

80

100

Figura 3.27:

Agora, a superposição dos três eletrojatos se dá de forma diferente comoilustram as curvas de resistividade aparente e fase.

Capítulo 4

Bobina Circular

4.1 Introduçã

A bobina circular horizontal de corrente é uma das fontes eletromagnéticasmais usadas nos métodos eletromagnéticos. Do ponto de vista teórico abobina circular serve como base para diversos tipos de fontes, notadamenteo dipolo magnético vertical, que será estudado detalhadamente no próximocapítulo.

Neste capítulo será visto que o problema de um meio estratificado napresença de um loop horizontal circular de corrente é análogo ao problemada linha infinita de corrente analisado no último capítulo. A diferença entreambos está no tipo de transformada integral usada para converter o prob-lema original em problemas mais simples de ondas planas. No caso da linhainfinita de corrente, foi usada as transformadas direta e inversa de Fourier.No caso do loop ciecular veremos que as transformadas direta e inversa deHankel fará o mesmo papel.

O mais interessante de tudo é que do ponto de vista computacionala diferença entre os dois tipos de problemas praticamente desaparece. Oalgoritmo dos filtros lineares usados com tanto sucesso no caso da linhainfinita de corrente é empregado aqui também com a mesma facilidade eeficiência.

A Figura abaixo ilustra a geometria do problema. Note que a densidadede corrente é radial e portanto tem a forma

Jφ =I (ω) aδ (r − a) δ (z)

r

em que a seção do cabo que forma o loop foi tida como desprezível.

89

90 CAPÍTULO 4. BOBINA CIRCULAR

h2

h1z1

z 0

z2

hj

h 1j -z 1j -

z 2j -

zj

hN 1-

z 2N -

zN 1-

e2m2s2

emsj - 1 j - 1 j - 1

emsN - 1 N - 1 N - 1

emsN N N

e1m1s1

e0m0s0

Jy = r

h 0

a

Jy I ar ( )-d z h( )- -d 0( )w

Figura 4.1:


O nosso objetivo nesta seção é determinar as componentes do campoelétrico e do campo magnético num meio homogêneo, isotrópico e ilimitadode propriedades elétricas σ, µ e na presença de um loop circular de corrente.

Para facilitar o tratamento algébrica vamos, sem perda de generalidade,fazer h0 = 0. No final, veremos como seria o resultado se h0 < 0.

Em virtude da simetria cilíndrica do modelo, as equações de Maxwell(1.12 - 1.13) se resumem a

∂Hr

∂z− ∂Hz

∂r− yEy =

I (ω) aδ (r − a) δ (z)

r(4.1)

∂ (rEφ)

∂r= −zrHz (4.2)

∂Eφ

∂z= zHr (4.3)

Substituíndo (4.43) e (4.44) em (3.1), resulta

∂

∂r

µ1

z

1

r

∂ (rEφ)

∂r

¶+

∂

∂z

µ1

z

∂Eφ

∂z

¶= yEφ +

I (ω) aδ (r − a) δ (z)

r


Em virtude do meio ser homogêneo, esta equação se reduz a

∂

∂r

µ1

r

∂ (rEφ)

∂r

¶+

∂2Eφ

∂z2+ k2Eφ =

I (ω) aδ (r − a) δ (z)

r

em que k2 = −zy = −iωµ (σ + iω ) é o quadrado do número de onda.Desdobrando a derivada no primeiro termo, vem,∙

∂2Eφ

∂r2+1

r

∂Eφ

∂r− 1

r2Eφ

¸+

∂2Eφ

∂z2+ k2Eφ =

I (ω) aδ (r − a) δ (z)

r(4.4)

Esta última equação tem a mesma estrutura da equação (3.4) do terceirocapítulo. Lá, a direção da componente y do campo elétrico coincide comdireção da linha de corrente.Aqui, em virtude da simetria cilíndrica do loopde corrente, o campo elétrico, agora, é azimutal.

Por meio da transformada de Fourier a equação (3.4) foi reduzida a (3.11)e consequentemente o problema da linha foi transformado em problemas comondas planas, os quais são muito mais simples de serem resolvidos. A soluçãofinal é obtida por meio da transformada inversa de Fourier, Isto foi posívelporque a transformada de Fourier permite substituir o primeiro termo daequação (3.4) por −kx bEy e também reduzir a 1 a função delta de Diracδ (x) .

Naturalmente, devido a incompatibilidade de simetria, a transformadade Fourier não pode ser usada com a mesma finalidade com relação à equação(4.4). Então, a questão é saber se existe uma transformada integral quedesempenhe sobre (4.4) o mesmo papel da transformada de Fourier comrelação a (3.4). Sim, existe. Para nossa satisfação, o par de transformadasde Hankel de ordem ν 1,

bf (kr) = Hν [f (r)] =

Z ∞

0f (r)Jν (krr) rdr, (4.5)

f (x) = H−1νh bf (kr)i = Z ∞

0

bf (kr)Jν (krr) krdkr, (4.6)

age sobre (4.4) do mesmo modo que o par de transformadas de Fourier agesobre (3.4), [?].

As duas propriedes fundamentais da transformada de Fourier, notada-mente,

F∙d2f (x)

dx2

¸= −k2x bf (kx) .

1Na verdade não é apenas um par, mas uma família de pares de Transformadas deHankel. Um par para cada valor de ν.


eF [δ (x)] = 1.

correspondem, em relação à transformada de Henkel , às seguintes pro-priedades,

Hν

∙d2f (r)

dr2+1

r

df (r)

dr− υ2

r2f (r)

¸= −kr bf (kr) . (4.7)

e

Hυ

∙δ (r − a)

r

¸= Jν (kra) (4.8)

De posse dessas duas propriedades podemos aplicar a mesma metodolo-gia usada no caso da linha infinita de corrente. De fato, efetuando a tran-formada de Hankel de ordem 1 — note que ν = 1 na equação (4.4) — eempregando as identidades (4.7) e (4.8) vem

−k2r bEφ +d2 bEφ

dz2+ k2 bEφ = zI (ω) aJ1 (kra) δ (z)

em que bEφ (kr, z) corresponde à transformada de Henkel de ordem 1 deEφ (r, z).

Fazendo-seu2 = k2r − k2, (4.9)

e substituindo na expressão acima, resulta

d2 bEφ

dz2− u2 bEy = zI (ω) aJ1 (kra) δ (z) (4.10)

Esta integral é fácil de ser resolvida. A sua solução encontra-se, porexemplo, em [?] e de lá podemos escrever

bEφ (kr, z) =

⎧⎨⎩−zI (ω) aJ1 (kra) e−uz/2u z ≥ 0

−zI (ω) aJ1 (kra) euz/2u z < 0

ou mais concisamente,

bEφ (kr, z) = −zI (ω) aJ1 (kra)e−u|z|

2u, z ∈ R (4.11)


De posse desse resultado podemos facilmente obter a solução de (3.4).Basta efetuar a transformada inversa de Hankel Com efeito, usando-se (4.6)tem-se

Eφ (x, z) = −zI (ω) aZ ∞

0

e−u|z|

2uJ1 (kra)J1 (krr) rdkr. (4.12)

De posse da expressão do campo elétrico, se pode facilmente calcular ascomponentes do campo magnético. Para tanto, basta acionar as fórmulas(4.2) e (4.3). Portanto,

Hr (r, z) =1

z

∂Eφ

∂z=

I (ω) a

2

Z ∞

0e−u|z|J1 (kra)J1 (krr) krdkr. (4.13)

e

Hz (r) =1

z

1

r

∂ (rEφ)

∂r=

I (ω) a

2

Z ∞

0

1

ue−u|z|J1 (kra)J1 (krr) k

2rdkr. (4.14)

em que se usou a relação d (rJ1 (krr)) /dr = krrJ0 (krr)Na dedução da fórmula (3.11) o loop de corrente se encontra em h0 = 0.

Para h0 < 0 teríamos, obviamente,

bEφ (kr, z) = −zI (ω) aJ1 (kra)eu(z+h0)

2u, z < h0 < 0,

bEφ (kr, z) = −zI (ω) aJ1 (kra)e−u(z−h0)

2u, z > h0 < 0.

ou equivalentemente,

bEφ (kr, z) = −zI (ω) aJ1 (kra)e−u|z+h0|

2u, z ∈ R− h0 (4.15)


Meios homogêneos ilimitados são utópicos do ponto de vista geofísico,embora sirvam de base para o estudo de meios mais realistas. O modelorealista mais simples é aquele formado por dois semi-espaços de propriedadeselétricas diferentes. A Figura (??) ilustra o modelo de dois semi-espaços comum loop de corrente paralelo à interface dos semi-espaços.

De acordo com (4.15), o campo elétrico incidente, no domínio de Hankel(kr, z) , no intervalo h0 6 z 6 0 é dado por

bEincφ = −zI (ω) aJ1 (kra)

e−u|z+h0|

2u= E0e

−u0z,


e0m0s0

e1m1s1

h 0

a

Jy = rJy I ar ( )-d z h( )- -d 0( )w

Figura 4.2:

em que

E0 = −zI (ω) aJ1 (kra)eu0h0

2u0(4.16)

é a amplitude da onda plana bEincφ no domínio (kr, z).

Assim, o campo total, incidente e refletido, entre a interface e a linha eo campo no semi-espaço inferior são respectivamente,

E(0)φ = E0

³e−u0z +R

(0)TEe

u0z´, h0 ≤ z ≤ 0, (4.17)

E(1)φ = E1e

−u1z, z ≥ 0 (4.18)

Da mesma maneira como no caso das ondas planas modo TE — equações(2.37 - (2.37) no segundo capítulo — o coeficiente de reflexão R

(0)TE e o coe-

ficiente E1 são calculados a partir das condições de continuidade das com-ponentes tangenciais do campo elétrico e do campo magnético na interfacedos dois semi-espaços. A partir do campo elétrico, podemos calcular ascomponentes bH(0)

x e bH(1)x sem nehum esforço. Com efeito, usando-se (4.3)

vem

bH(0)x = − 1

z0

∂ bE(0)φ

∂z= −Y0E0

³e−u0z −R

(0)TEe

u0z´, h0 ≤ z ≤ 0,(4.19)

bH(0)x = − 1

z1

∂ bE(1)φ

∂z= −Y1E1e−u1z, z ≥ 0 (4.20)

em que as admitâncias intrínsicas Y0 e Y1 são, respectivamente, u0/z0 e


u1/z1, sendo u20 = k2r − k20 e u21 = k2r − k21. Lembre-se que k

2j = −zjyj =

−iwµj (σj + iω j), com j = 0, 1.De posse das componentes tangenciais do campo elétrico e do campo

magnético podemos ir adiante e aplicar as condições de continuidade nainterface dos dois semi-espaços, ou seja„

bE(0)y = bE(1)y

¯z=0

,

e bH(0)x = bH(1)

x

¯z=0

.

Logo,

E0

³1 +R

(0)TE

´= E1,

Y0E1³1−R

(0)TE

´= Y1E1.

Resolvendo este sistema de duas equações obtém-se,

R(0)TE =

Y0 − Y1Y0 + Y1

(4.21)

e

E1 =2Y0E0Y0 + Y1

(4.22)

Observe a analogia entre (4.21), (3.22) e (2.38) e também entre (4.22),(3.23) e (2.39). Esta extraordinária coincidência é o resultado da trans-formação do problema do loop de corrente em problemas mais simples deondas planas com constantes de propagação u2j = k2r − k2j , j = 0, 1. Demodo heurístico, podemos dizer que a transformada de Hankel, a exemploda transformada de Fourier no caso da linha infinita de corrente, permi-tiu desacoplar a onda cilíndrica incidente em ondas planas com ângulos deincidência satisfazendo ik0 sin θ0 = kr.

Obtidas as soluções espectrais estamos prontos para voltar para o es-paço original (x, z) e determinar os campos elétrico e magnético em qual-quer ponto dos dois semi-espaços. Começando com o campo elétrico, bastaefetuar a transformada inversa de Hankel das expressões (3.18) e (3.19).Então,

E(0)y =

Z ∞

−∞E0

³e−u0z +R

(0)TEe

u0z´J1 (krr) krdkr,

e

E(1)y =

Z ∞

−∞E1e

−u1zJ1 (krr) krdkr.


Finalmente, substituindo os valores de E0 e E1 dados por (4.16) e (4.22)nessas duas últimas expressões chega-se a

E(0)φ = −zI (ω) a

2

Z ∞

0K (kr)J1 (krr) krdkr, z ≤ 0 (4.23)

em que a termo K (kr), denominado de kernel, é dado por,

K (kr) =1

u0

³e−u0|z+h0| +R

(0)TEe

u0(z−h0)´J1 (kra)

e

E(1)φ = −zI (ω) a

2

Z ∞

0

e−u0h0

Y0 + Y1e−u1zJ1 (kra)J1 (krr) krdkr, z ≥ 0 (4.24)

Tendo o campo elétrico é imediato escrever as componentes do campomagnético. Com efeito, as componentes horizontais H(0)

x e H(1)x nos dois

semi-espacos são,

H(0)x =

I (ω) a

2

Z ∞

0K 0 (kr)J1 (krr) krdkr, 0 ≥ h0 > z, (4.25)

sendo K 0 (kr) expresso por,

K 0 (kr) =³e−u0|z+h0| −R

(0)TEe


H(1)x =

I (ω) a

2

Z ∞

0

e−u0h0

Y0 + Y1e−u1zJ1 (kra)J1 (krr) krdkr, z ≥ 0

Por sua vez, a componente vertical nos dois semi-espacos são,

H(0)z =

I (ω) a

2

Z ∞

0K (kr)J0 (krr) k

2rdkr, z ≤ 0 (4.26)

e

H(1)z =

I (ω) a

2

Z ∞

0

e−u0h0

Y0 + Y1e−u1zJ0 (krr) k

2rdkr, z ≥ 0

4.4 Meio estratificado horizontais

E(0)φ = −zI (ω) a

2

Z ∞

0Kφ (kr)J1 (krr) krdkr, z ≤ 0 (4.27)

4.4. MEIO ESTRATIFICADO HORIZONTAIS 97

em que a função kernel Kφ (kr) é dada por,

Kφ (kr) =1

u0

³e−u0|z+h0| +R

(0)TEe


com a resalva que o coeficiente de reflexão (3.22) deve ser substituido por

R(0)TE =

Y0 − bY1Y0 + bY1 ,


bYj = YjbYj+1 + Yj tanhujhjYj + bYj+1 tanhujhj , j = 1, N − 1 (4.28)

bYN = YN

sendo Yj = uj/zj , uj =qk2r − k2j , k

2j = −zjyj = −iωµj (σj + iω j).

A esta altura é facil calcular o campo elétrico em qualquer camada domeio estratificado. Basta seguir a metodologia descrita a pouco, isto é, usara solução do problema das ondas planas modo TE desenvolvida no segundocapítulo e aplicar a transformada inversa de Hankel. Então, para qualquercamada j entre 1 e N − 1, podemos escrever,

E(j)φ =

Z ∞

0Ej

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

u0(z+zj)´J1 (kra) J1 (krr) krdkr, (4.29)

em que os coeficientes de reflexão R(j)TE (2.57) são expressos por

R(j)TE =

Yj − bYj+1Yj + bYj+1 , (4.30)

e os coeficientes Ej são calculados por intermédio do algoritmo (2.59),

Ej = Ej−1

³1 +R

(j−1)TE

´e−ujhj

1 +R(j)TEe

−2ujhj, (4.31)

iniciando com (4.15). ou seja,


2u0



E(N)φ =

Z ∞

0ENe

−uj(z−zN−1)J1 (kra)J1 (krr) krdkr, (4.32)

em que o coeficiente EN é fornecido por (2.60),

EN = EN−1³1 +R

(N−1)TE

´(4.33)

A determinação das componentes Hx e Hz do campo magnético é ime-diata. Basta aplicar (3.2) e (3.3) e usar a fórmula apropriada do campoelétrico de acordo com a localização, em z, do ponto onde se deseja calcularHx e Hz.


H(0)x =

I (ω) a

2

Z ∞

0Kx (kr)J1 (krr) krdkr, 0 ≥ h0 > z, (4.34)

em que a função kernel Kx (kr) é expressa por,

Kx (kr) =³eu(z+h0) −R

(0)TEe



H(0)z =

I (ω) a

2

Z ∞

0Kz (kr)J1 (krr) krdkr. (4.35)

em que

Kz (kr) =kxu0

³e−u0|z+h0| +R

(0)TEe



H(j)x =

Z ∞

0YjEj


(j)TEe

u0(z+zj)´J1 (kra)J1 (krr) krdkr,

(4.36)e a componente vertical,

H(j)z =

Z ∞

0kxEj

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

u0(z+zj)´J1 (kra)J1 (krr) krdkr.

(4.37)em que Ej é calculado com o algoritmo (3.37).

Para j = N,a componente horizontal do campo magnético é

H(N)x =

Z ∞

0YNENe




H(N)z =

Z ∞

0kxENe



4.5 Avaliação das integrais

Nos trabalhos de prospecção geofísica, o loop circular de corrente é nor-malmente estendido na superfície do terreno e portanto podemos estipularh0 = 0. O campo elétrico Eφ (r, 0) é medido por meio de dois eletrodos crava-dos na superfície do terreno (z = 0) e normalizado por −z0I (w) a2/4r2, emque a representa o raio do loop circular. As componentesHx (x, z) eHz (x, z)do campo magnético são medidas por meio de bobinas na superfície do ter-reno ou acima da superfície e normalizadas por −I (w) a2/4r3.

Feitas essas observações, vamos reescrever a expressão do campo elétricoEφ (r, 0) (??) de uma maneira mais apropriada para o cálculo no computa-dor,

E(0)φ (r, 0) = −z0I (ω) a

2

Z ∞

0Kφ (kr)J1 (krr) krdkr, (4.40)

sendo a função kernel Kφ (kr) expressa por,

Kφ (kr) =1

u0

³1 +R

(0)TE

´J1 (kra)

Como sempre, o coeficiente de reflexão R(0)TE é dado por

R(0)TE =

Y0 − bY1Y0 + bY1 ,

sendo

bYj = YjbYj+1 + Yj tanh[ujhj ]Yj + bYj+1 tanh[ujhj ] , j = 1, 2, . . . N − 1

bYN = YNj =uNzN.

em que Yj = uj/zj , sendo uj =qk2r − k2j com k2j = −iωµjσj (condição

quase-estática) e zj = iwµj


Fazendo Fj = bYj/Yj , pode-se reescrever esta relação de recorrência daseguinte maneira,

Fj =Yj+1Fj+1 + Yj tanh[ujhj ]Yj + Yj+1Fj+1 tanh[ujhj ]

,

FN = 1.

Substituíndo, nesta expressão, Yj = uj/¡iωµj

¢vem,

Fj =

uj+1µj+1

Fj+1 +ujµjtanh[ujhj ]

ujµj+

uj+1µj+1

Fj+1 tanh[ujhj ],

FN = 1

multiplicando o numerador e denominador por µjµj+1, obtém-se

Fj =µjuj+1Fj+1 + µj+1uj tanh[ujhj ]

µj+1uj + µjuj+1Fj+1 tanh[ujhj ]

FN = 1

Aplicando-se a condição quase-estática (k0 = 0), a fórmula dos coefi-cientes de reflexão se reduz a

R(0)TE =

gµ1/µ0 − F1u1gµ1/µ0 + F1u1

. (4.41)

Finalmente, substituindo (4.41) em (4.40) resulta,

Zφ/Z0 = 2rsas

Z ∞

0

2gµ1/µ0gµ1/µ0 + F1u1

J1 (gas)J1 (grs) dg (4.42)

Observe que Zφ/Z0 = E(0)φ (r, 0) /(−z0I (w) a2/4r2).

Procedendo de modo interamente análogo, podemos reescrever a compo-nente horizontal, Hx (x, z) (4.34), do campo magnético da seguinte maneira,

Zx/Z0 = −2r2sas

Z ∞

0

2gu1F1egz

gµ1/µ0 + F1u1J1 (gas)J1 (grs) dg (4.43)

em que Zx/Z0 = Hx (x, z) /(−I (w) a2/4r3).Finalmente a componente vertical, Hz (x, z) (4.35), do campo magnético

é expressa por,

Zz/Z0 = −2r2sas

Z ∞

0

2g2µ1/µ0egz

gµ1/µ0 + F1u1J1 (gas)J0 (grs) dg (4.44)


em que Zz/Z0 = Hz (x, z) /(−I (w) a2/4r3).Observando ss integrais (4.42) e (4.43) nota-se que elas têm a seguinte

estrutura,

I (rs) =Z ∞

0K (g)J1 (grs) dg.

Fazendo-se a mudança de variável grs = y, obtém-se

rsI (rs) =Z ∞

0K (y/rs)J1 (y) dy.

Substituindo a variável rs por ep e a variável y por es, esta integral setransforma na integral de convolução,

epI (ep) =Z ∞

−∞K³e−(p−s)

´esJ1 (e

s) ds.

em queK¡e−(p−s)

¢e epF (ep) são, respectivamente, a função entrada (input)

e função saída (output) e esJ1 (es) a função filtro.Observe a semelhança entre este resultado o algoritmo dos filtros lineares

usado no capítulo anterior para se calcular as transformadas seno e co-seno.Em verdade, da mesma maneira como é feito no caso das transformadasseno e co-seno pode-se calcular os coeficientes dos filtros esJ0 (es) e esJ1 (es)e usar a versão discreta da convolução,

rsI (rs) =NXn=0

Khe− ln rs+(s1+n∆s)

iwn (4.45)

O filtro esJ0 (es) tem 61 coeficientes cuja primeira abscissa é s1 = −11.702888735142237e o incremento das abscissas igual a ∆s = 0.2685696197447527.

A implementação de (4.45) em linguagem Mathematica é dada peloseguinte programa,

In[7]:= j0Trans61[kfun_, rs_]:= Module[i, g,

s = Exp[-11.702888735142237 + 0.2685696197447527 n, n, 0, 60];

w =

3.30220475766 10^-4, -1.18223623458 10^-3, 2.01879495264 10^-3,

-2.13218719891 10^-3, 1.60839063172 10^-3, -9.09156346708 10^-4,

4.37889252738 10^-4, -1.55298878782 10^-4, 7.98411962729 10^-5,

4.37268394072 10^-6, 3.94253441247 10^-5, 4.02675924344 10^-5,

5.66053344653 10^-5, 7.25774926389 10^-5, 9.55412535465 10^-5,

1.24699163157 10^-4, 1.63262166579 10^-4, 2.13477133718 10^-4,


2.79304232173 10^-4, 3.65312787897 10^-4, 4.77899413107 10^-4,

6.25100170825 10^-4, 8.17726956451 10^-4, 1.06961339341 10^-3,

1.39920928148 10^-3, 1.83020380399 10^-3, 2.39417015791 10^-3,

3.13158560774 10^-3, 4.09654426763 10^-3, 5.35807925630 10^-3,

7.00889482693 10^-3, 9.16637526490 10^-3, 1.19891721272 10^-2,

1.56755740646 10^-2, 2.04953856060 10^-2, 2.67778388247 10^-2,

3.49719672729 10^-2, 4.55975312615 10^-2, 5.93498881451 10^-2,

7.69179091244 10^-2, 9.91094769804 10^-2, 1.26166963993 10^-1,

1.57616825575 10^-1, 1.89707800260 10^-1, 2.13804195282 10^-1,

2.08669340316 10^-1, 1.40250562745 10^-1, -3.65385242807 10^-2,

-2.98004010732 10^-1, -4.2189814924 10^-1, 5.94373771266 10^-2,

5.29621428353 10^-1, -4.41362405166 10^-1, 1.90355040550 10^-1,

-6.19966386785 10^-2, 1.87255115744 10^-2, -5.68736766738 10^-3,

1.68263510609 10^-3, -4.38587145792 10^-4, 8.59117336292 10^-5,

-9.15853765160 10^-6;

conv = 0;

Do[

g= s[[i]]/rs;

conv = comv + kfun[g] w[[i]],

i, 61]]

Analogamente, o filtro esJ1 (es) com 47 coeficientes tem como primeiraabscissa o valor s1 = −7.024684869538879 e o incremento das abscissas iguala ∆s = 0.2546636319446458. O programa a seguir implementa a convoluçãoreferente a este filtro.

In[7]:= j1Trans47[kfun_, rs_]:= Module[i, g,

s = Exp[-7.024684869538879 + 0.2546636319446458 n, n, 0, 46];

w =

3.17926147465 10^-6, -9.73811660718 10^-6, 1.64866227408 10^-5,

-1.81501261160 10^-5, 1.87556556369 10^-5, -1.46550406038 10^-5,

1.53799733803 10^-5, -6.95628273934 10^-6, 1.41881555665 10^-5,

3.41445665537 10^-6, 2.13941715512 10^-5, 2.34962369042 10^-5,

4.84340283290 10^-5, 7.33732978590 10^-5, 1.27703784430 10^-4,

2.08120025730 10^-4, 3.49803898913 10^-4, 5.79107814687 10^-4,

9.65887918451 10^-4, 1.60401273703 10^-3, 2.66903777685 10^-3,

4.43111590040 10^-3, 7.35631696247 10^-3, 1.21782796293 10^-2,

2.01097829218 10^-2, 3.30096953061 10^-2, 5.37143591532 10^-2,

8.60516613299 10^-2, 1.34267607144 10^-1, 2.00125033067 10^-1,


2.74027505792 10^-1, 3.18168749246 10^-1, 2.41655667461 10^-1,

-5.40549161658 10^-2, -4.46912952135 10^-1, -1.92231885629 10^-1,

5.52376753950 10^-1, -3.57429049025 10^-1, 1.41510519002 10^-1,

-4.61421935309 10^-2, 1.48273761923 10^-2, -5.07479209193 10^-3,

1.83829713749 10^-3, -6.67742804324 10^-4, 2.21277518118 10^-4,

-5.66248732755 10^-5, 7.88229202853 10^-6 ;

conv = 0;

Do[

g= s[[i]]/rs;

conv = comv + kfun[g] w[[i]],

i, 47]]

4.5.1 Aplicações

A título de ilustração do uso desses dois programas vamos mostraralguns exemplos.

Primeiro vamos modelar o campo elétrico Eφ (x, 0)


In[7]:= fDcLoopZzEphi[kfun_, freq_, rho_, mu_, h_, a_, r_]:=

Module[i, g,

nfreq = Length[freq];

nlayer = Length[rho];

lpEphi = Table[0, i, nfreq];

Do[

skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];

as = a/skin;

xs = x/skin;

hs = h/skin;

j1Trans47[kfun, rs];

lpEphi[[i]] = 2 rs/as conv,

i, nfreq]]

In[12]:= kernelcLoopEphi[g_]:= Module[i, u, fj, th,


Do[

u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2. I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]],


j, nlayer];

fj = 1.;

Do[

th = Tanh[u[[j]] hs[[j]]];


(mu[[j + 1]] u[[j]]+ mu[[j]] u[[j + 1]] fj th),

j, nlayer - 1, 1, -1];

2. mu[[1]] g BesselJ[1, g as]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

In[12]:= plotAmpFaseZz[freq_, zz1_, zz2_,zz3_,

xRange_, aRange_, fRange, xLines_]:=

Show[GraphicsArray[Show[

LogLinearListPlot[Transpose[freq, Abs[zz1]],

PlotJoined -> True, PlotRange -> xRange, aRange,

Frame -> True, GridLines -> xLines, Automatic,



PlotJoined -> True,

PlotStyle ->Dashing[.02, .02],



PlotJoined -> True,



Show[LogLinearListPlot[Transpose[freq, 180 Arg[zz1]/Pi],

PlotJoined -> True, PlotRange -> xRange, fRange,

Frame -> True, GridLines -> xLines, Automatic,


LogLinearListPlot[Transpose[freq, 180 Arg[zz2]/Pi],

PlotJoined -> True,



LogLinearListPlot[Transpose[freq, 180 Arg[zz3]/Pi],

PlotJoined -> True,


DisplayFunction -> Identity]]],


In[7]:= freq = 1, 1.58489, 2.51189, 3.98107, 6.30957, 10,

15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100,


158.489, 251.189, 398.107, 630.957, 1000,

1584.89, 2511.89, 3981.07, 6309.57, 10000;

In[7]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

a, r = 10, 200;

fDcLoopZzEphi[kernelcLoopEphi, freq, rho, mu, h, a, r;

plotZz1 = zZEphi;

a, r = 10, 500;


plotZz2 = zZEphi;

a, r = 10, 1000;


plotZz3 = zZEphi;

plotAmpFaseZz[freq, plotZz1, plotZz2, plotZz3,

1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 10 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

Z/Z0

raio = 10 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 10 m

Figura 4.3:

In[7]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

a, r = 100, 200;


plotZz1 = zZEphi;

a, r = 100, 400;



plotZz2 = zZEphi;

a, r = 100, 600;


plotZz3 = zZEphi;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.4:

In[7]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

a, r = 100, 800;


plotZz1 = zZEphi;

a, r = 100, 1000;


plotZz2 = zZEphi;

a, r = 100, 1200;


plotZz3 = zZEphi;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];


10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.5:

In[7]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

a, r = 100, 200;


plotZz1 = zZEphi;

a, r = 100, 400;


plotZz2 = zZEphi;

a, r = 100, 600;


plotZz3 = zZEphi;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.6:


In[7]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 10, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

a, r = 100, 200;


plotZz1 = zZEphi;

a, r = 100, 400;


plotZz2 = zZEphi;

a, r = 100, 600;


plotZz3 = zZEphi;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.7:

Agora vamos modelar a componente horizontal do campo magnéticoHx (x, z)

In[7]:= fDcLoopZzHx[kfun_, freq_, rho_, mu_, h_, a_, r_, z_]:=

Module[i, g,



zZHx = Table[0, i, nfreq];

Do[


as = a/skin;

xs = x/skin;


hs = h/skin;

zs = -Abs[z]/skin;


zZHx[[i]] = -2 rs^2/as conv,

i, nfreq]]

In[12]:= kernelcLoopHx[g_]:= Module[i, u, fj, th,


Do[


j, nlayer];

fj = 1.;

Do[



(mu[[j + 1]] u[[j]]+ mu[[j]] u[[j + 1]] fj th),

j, nlayer - 1, 1, -1];

2. mu[[1]] g (g mu[[1]] + fj u[[1]]) BesselJ[1, g as] Exp[g zs]/(g mu[[1]]

+ fj u[[1]])];

In[7]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

a, r, z = 10, 500, 0;

fDcLoopZzHx[kernelcLoopHx, freq, rho, mu, h, a, r, z;

plotZz1 = zZHx;

a, r, z = 10, 1000, 0;


plotZz2 = zZHx;

a, r, z = 10, 1500, 0;


plotZz3 = zZHx;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 10 m’’];


10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

Z/Z0

raio = 10 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-100

-50

0

50

100

Fase (Grau)

raio = 10 m

Figura 4.8:

In[7]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

a, r, z = 100, 200, 0;

fDcLoopZzHx[kernelcLoopHx, freq, rho, mu, h, a, r,z;

plotZz1 = zZEphi;

a, r, z = 100, 400, 0;


plotZz2 = zZHx;

a, r, z = 100, 600, 0;


plotZz3 = zZHx;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 10 m’’];


10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

Z/Z0

raio = 10 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-100

-50

0

50

100

150

Fase (Grau)

raio = 10 m

Figura 4.9:

In[7]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

a, r, z = 100, 200, 0;


plotZz1 = zZHx;

a, r, z = 100, 400, 0;


plotZz2 = zZHx;

a, r, z = 100, 600, 0;


plotZz = zZHx;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-100

-50

0

50

100

150

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.10:


In[7]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 10, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

a, r, z = 100, 200;


plotZz = zZHx;

a, r, z = 100, 400, 0;


plotZz = zZHx;

a, r = 100, 600, 0;


plotZz = zZHx;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-100

-50

0

50

100

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.11:

Finalmente, vamos modelar a componente horizontal do campo mag-nético Hz (x, z)

In[7]:= fDcLoopZzHz[kfun_, freq_, rho_, mu_, h_, a_, r_, z_]:=

Module[i, g,



lpHz = Table[0, i, nfreq];

Do[


as = a/skin;


xs = x/skin;

hs = h/skin;

zs = -Abs[z]/skin;


lpHz[[i]] = -2 rs^2/as conv,

i, nfreq]]

In[12]:= kernelcLoopHz[g_]:= Module[i, u, fj, th,


Do[


j, nlayer];

fj = 1.;

Do[



(mu[[j + 1]] u[[j]]+ mu[[j]] u[[j + 1]] fj th),

j, nlayer - 1, 1, -1];

2. mu[[1]] g^2 BesselJ[1, g as] Exp[g zs]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

In[7]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

a, r, z = 10, 500, 0;

fDcLoopZzHz[kernelcLoopHz, freq, rho, mu, h, a, r, z;

plotZz1 = zZHz;

a, r, z = 10, 1000, 0;


plotZz2 = zZHz;

a, r, z = 10, 1500, 0;


plotZz3 = zZHz;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 10 m’’];


10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Z/Z0

raio = 10 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 10 m

Figura 4.12:

In[7]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

a, r, z = 100, 200, 0;

fDcLoopZzHz[kernelcLoopHz, freq, rho, mu, h, a, r,z;

plotZz1 = zZHz;

a, r, z = 100, 400, 0;


plotZz2 = zZHz;

a, r, z = 100, 600, 0;


plotZz3 = zZHz;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.13:


In[7]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

a, r, z = 100, 200, 0;


plotZz1 = zZHz;

a, r, z = 100, 400, 0;


plotZz2 = zZHz;

a, r, z = 100, 600, 0;


plotZz = zZHz;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.14:

In[7]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 10, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

a, r, z = 100, 200;


plotZz = zZHz;

a, r, z = 100, 400, 0;


plotZz = zZHz;

a, r = 100, 600, 0;



10 100 1000 10000Periodo (s)

0

1

2

3

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.15:

plotZz = zZHz;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];

In[7]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

a, r, z = 100, 400, 0;


plotZz = zZHz;

a, r, z = 100, 400, 100;


plotZz = zZHz;

a, r = 100, 400, 150;


plotZz = zZHz;


1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1,

10, 100, 1000, ’’raio = 100 m’’];


10 100 1000 10000Periodo (s)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Z/Z0

raio = 100 m

10 100 1000 10000Periodo (s)

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

raio = 100 m

Figura 4.16:

Capítulo 5

Dipolo Magnético Vertical

5.1 Introdução

O Dipolo Magnético Vertical (VMD) é fundamental em vários métodos geo-físicos eletromagnéticos, indo deste os levantamentos aéreos até os perfis deindução em poços de petróleo.

A teoria do dipolo magnético vertical na presença de um meio estratifi-cado, Figura 5.1, é muito simples. Com efeito, basta fazer o raio da bobinacircular vista no quarto capítulo, tender a zero. É exatamente este limitea peça fundamental no desdobramento deste quinto capítulo. Para iniciar,vamos analisar, primeiro, a resposta de um dipolo magnético vertical situadonum meio homogêneo, isotrópico e ilimitado.

5.2 Dipolo Magnético Vertical

O dipolo magnético vertical é materializado por uma bobina de raio muitopequeno quando comparado à distância entre o centro da bobina e o pontode observação.

No quarto capítulo vimos que no domínio (kr, z) o campo elétrico inci-dente devido a uma bobina circular de raio a é dado por


2u0.

Sabendo-se que lima→0 J1 (kra) = kra/2 [?] podemos concluir que, nodomínio (kr, z), o campo elétrico gerado por uma bobina de raio muitopequeno é igual a

E0 = −zI (ω) a2kreu0h0

4u0

119

120 CAPÍTULO 5. DIPOLO MAGNÉTICO VERTICAL

h2

h1z1

z 0

z2

hj

h 1j -z 1j -

z 2j -

zj

hN 1-

z 2N -

zN 1-

e2m2s2

emsj - 1 j - 1 j - 1

emsN - 1 N - 1 N - 1

emsN N N

e1m1s1

e0m0s0h 0

Figura 5.1:

Na prática, um raio muito pequeno significa que o raio a da bobina é daordem de um décimo da distância r entre o centro da bobina e o ponto deobservação (a < r/10). É conveniente reescrever esta expressão da seguintemaneira

E0 = −zmzkreu0h0

4πu0(5.1)

em que mz = I (ω)πa2 é o momento do dipolo magnético vertical, [?].


O nosso objetivo nesta seção é determinar as componentes dos camposelétrico e magnético num meio homogêneo, isotrópico e ilimitado, de pro-priedades elétricas σ, µ e , na presença de um dipolo magnético vertical.

No quarto capítulo vimos que a componente Eφ devido a uma bobinacircular num meio homogêneo, isotrópico e ilimitado é dado por (4.12)

Eφ (x, z) = −zI (ω) aZ ∞

0

e−u|z|

2uJ1 (kra)J1 (krr) krdkr.

Considerando que lima→0 J1 (kra) = kra/2 e fazendo mz = I (ω)πa2


podemos escrever

Eφ (x, z) = −zmz

4π

Z ∞

0

e−u|z|

uJ1 (krr) k

2rdkr. (5.2)

Ao contrário da integral (4.12), esta integral pode ser resolvida algebri-camente. Com efeito, observando que ∂J0 (krr) /∂r = −krJ1 (krr), podemosreescrevê-la assim

Eφ (x, z) = zmz

4π

∂

∂r

Z ∞

0

e−u|z|

uJ0 (krr) krdkr. (5.3)

Usando-se a identidade de Sommerfeld, [?],Z ∞

0

e−u|z|

uJ0 (krr) krdkr =

e−ikR

R(5.4)

em que u2 = k2r − k2 e R2 =¡x2 + y2

¢+ z2 = r2 + z2, a integral (5.3) se

reduz a

Eφ (x, z) = zmz

4π

∂

∂r

µe−ikR

R

¶= −zmz

4π

µr

R3+

ikr

R2

¶e−ikR

= −z mzr

4πR3(1 + ikr) e−ikR (5.5)

De posse deste resultado, se pode facilmente calcular as componentesdo campo magnético. Para tanto, basta empregar as fórmulas (4.2) e (4.3).Portanto,

Hr (r, z) =1

z

∂Eφ

∂z=

mzrz

4πR5¡3 + 3ikr − k2R2

¢e−ikR (5.6)

e

Hz (r) =1

z

1

r

∂ (rEφ)

∂r=

mz

4πR5£¡3 + 3ikr − k2R2

¢z2

−¡1 + ikr − k2R2

¢R2¤e−ikR (5.7)


O nosso próximo passo é determinar as componentes dos campos elétricoe magnético num meio formado por dois semi-espaços, na presença de um


e0m0s0

e1m1s1

h 0

Figura 5.2:

dipolo magnético vertical. A Figura (5.2) ilustra o citado modelo com odipolo magnético vertical situado no semi-espaço superior.

Em virtude de lima→0 J1 (kra) = kra/2 e de mz = I (ω)πa2 podemos, apartir de (4.23), expressar o campo elétrico no semi-espaço superior dessemodo:

E(0)φ = −z0mz

4π

Z ∞

0

1

u0

³e−u0|z+h0| +R

(0)TEe

u0(z−h0)´J1 (krr) k

2rdkr, z ≤ 0

(5.8)e no semi-espaço inferior, assim

E(1)φ = −z0mz

4π

Z ∞

0

2Y0e−u0h0Y0 + Y1

e−u1zJ1 (krr) krdkr, z ≥ 0 (5.9)

em que R(0)TE = (Y0 − Y1) / (Y0 + Y1) sendo Yj = uj/z0.De posse do campo elétrico é imediato escrever as componentes do campo

magnético. Com efeito, usando-se (4.2), as componentes horizontais H(0)r e

H(1)r nos dois semi-espacos são:

H(0)r =

mz

4π

Z ∞

0

³e−u0|z+h0| −R

(0)TEe


2rdkr, 0 ≥ h0 > z,

(5.10)e

H(1)r =

mz

4π

Z ∞

0

2Y0e−u0h0Y0 + Y1

e−u1zJ1 (krr) k2rdkr, z ≥ 0 (5.11)

Analogamente, usando-se a fórmula (4.3) podemos escrever a compo-


nente vertical do campo magnético nos dois semi-espacos:

H(0)z =

mz

4π

Z ∞

0

³e−u0|z+h0| +R

(0)TEe


3rdkr, z ≤ 0

(5.12)e

H(1)z =

mz

4π

Z ∞

0

eY0e−u0h0Y0 + Y1

e−u1zJ0 (krr) k3rdkr, z ≥ 0 (5.13)

5.4.1 Avaliação exata

Via de regra, estas integrais não têm representação exata conhecida. Asaída, então, é computadá-las numericamente. Em virtude da semelhançaentre estas integrais e as da bobina circular estudadas no quarto capítulo,podemos aplicar o mesmo procedimento de cálculo por meio dos filtros lin-eares. Entretanto, no caso particular em que o dipolo magnético verticale o ponto de observação se situam na superfície (h0 = z = 0) de separaçãode dois meios não magnéticos, estas integrais podem ser calculada de formaexata, se o regime for quase estático (u0 = kr ). Com efeito, partindo de(5.8) podemos escrever

Eφ (r, 0) = −z0mz

2π

Z ∞

0

1

kr + u1J1 (krr) k

2rdkr (5.14)

em que R(0)TE = (kr − u1) / (kr + u1) em virtude de µ1 = µ0 e u0 = kr.Lebrando-se que ∂J0 (krr) /∂r = −krJ1 (krr) podemos reescrever esta

integral da seguinte maneira

Eφ (r, 0) =z0mz

2π

∂

∂r

Z ∞

0

1

kr + u1J0 (krr) krdkr.

Multiplicando e dividindo o integrando por (kr − u1) e observando queu21 = k2r − k21,a integral se separa em duas integrais mais simples,

Eφ (r, 0) =z0mz

2π

∂

∂r

∙Z ∞

0J0 (krr) k

2rdkr −

Z ∞

0u1J0 (krr) krdkr

¸.

Aplicando a integral de Sommerfeld (5.4) e a de Lipschitz1 as duas inte-

1A integral de Lipschitz∞

0

e−kr|z|J0 (krr) dkr =1

R

é um caso particular da integral de Sommerfeld quando |k|→ 0.


grais se reduzem a

Eφ (r, 0) =z0mz

2π

∂

∂r

∙∂2

∂z2

µ1

R

¶− ∂2

∂z2

µe−k1R

R

¶¸z=0

.

Finalmente, efetuando-se as derivações indicadas, obtém-se

Eφ (r, 0) = −mz

2πσ1r4

h3−

¡3 + 3ik1r − k21r

2¢e−ik1r

i(5.15)

em que k21 = −z0σ1.A componente vertical do campo magnético é fácil de ser obtida. Basta

derivar (5.15) de acordo com

Hz =1

z0r

∂

∂r(rEφ) .

Feito isto, temos

Hz (r, 0) = −mz

2πk21r5

h9−

¡9 + 9ik1r − 4k21r2 − ik31r

3¢e−ik1r

i(5.16)

A determinação da componente horizontal do campo magnético é umpouco mais trabalhosa. Iniciando com (5.10) podemos escrever

Hr (r, 0) =mz

4π

Z ∞

0

µ1− kr − u1

kr + u1

¶J1 (krr) k

2rdkr.

Lembrando-se mais uma vez que ∂J0 (krr) /∂r = −krJ1 (krr), vem

Hr (r, 0) =mz

4π

∂

∂r

∙Z ∞

0J0 (krr) krdkr +

Z ∞

0

kr − u1kr + u1

J0 (krr) krdkr

¸.

(5.17)A primeira integral é identicamente igual a zero, pois

∂

∂r

Z ∞

0J0 (krr) krdkr = −

∙∂2

∂z∂r

Z ∞

0e−krzJ0 (krr) dkr

¸z=0

= − ∂

∂r

∙∂

∂r

µ1

r

¶¸= 0.

Com isso a expressão (5.17) se reduz a

Hsr (r, 0) =

mz

4π

∂

∂r

Z ∞

0

kr − u1kr + u1

J0 (krr) krdkr. (5.18)


Isto significa que a componente Hpr do campo primário é nula, restando

apenas a componente Hsr .do campo secundário.

Multiplicando e dividindo o integrando de (5.18) por (kr + u1) e levandoem consideração que u21 = k2r − k21, obtém-se

Hr (r, 0) =mzk

21

2π

∂

∂r

Z ∞

0

kr

(kr + u1)2J0 (krr) dkr.

Substituindo nesta integral, o termo kr/ (kr + u1)2 pela expressão equi-

valente1

4u1

"1−

µkr − u1kr + u1

¶2#resulta

Hr (r, 0) =mzk

21

16π

∂

∂r

∙Z ∞

0

1

u1J0 (krr) dkr.

−Z ∞

0

1

u1

µkr − u1kr + u1

¶2J0 (krr) dkr.

#(5.19)

Aplicando a identidade [?], [6],Z ∞

0

Ãpα2 + 4β2 − αpα2 + 4β2 + α

!1p

α2 + 4β2Jν (α) dα = Iυ (β)Kυ (β)

e observando que ru1 =q(krr)2 + 4 (ik1r/2)

2, a integral (5.19) se reduz a

Hr (r, 0) =mzk

21

16π

∂

∂r

∙I0

µik1r

2

¶K0

µik1r

2

¶− I2

µik1r

2

¶K2

µik1r

2

¶¸Finalmente, usando-se as recorrências [?], [6]

Iυ−1 (α)− Iυ+1 (α) =2ν

αIυ (α) ,

Kυ−1 (α)−Kυ+1 (α) = −2ν

αKυ (α) ,

Iυ−1 (α) + Iυ+1 (α) = 2I0υ (α) ,

Kυ−1 (α)−Kυ+1 (α) = 2K0υ (α) ,


e efetuando a derivação indicada, obtém-se a componente horizontal docampo magnético

Hr (r, 0) =mzk

21

4π

∙I1

µik1r

2

¶K1

µik1r

2

¶− I2

µik1r

2

¶K2

µik1r

2

¶¸(5.20)

Como já foi dito, a componente horizontal do campo incidente (primário)é nula, assim, este resultado corresponde ao campo secundário, ou seja, ocampo gerado pelas correntes induzidas no semi-espaço inferior.

5.4.2 Avaliação numérica

Iniciando com a componente do campo elétrico Eφ (5.15) podemos escrever

Zφ/Z0 = −2

k21r2

h3−

¡3 + 3ik1r − k21r

2¢e−ik1r

iem que Ep

φ = −z0mz/(4πr2) = −iµ0ωmz/(4πr

2).Lembrando-se que

k1 =

rωµ0σ12

(1− i) =1

δ(1− i) ,

ik1r =r

δ(1 + i) = rs (1 + i) ,

k21r2 =

−i2r2δ2

= −i2r2s ,

resulta

Zφ/Z0 = −i

r2s

h3−

¡3 + 3rs (1 + i) + 2ir2s

¢e−rs(1+i)

i(5.21)

In[1]:= fDVmdZzEphi0[freq_, rho_, r_] := Module[,nfreq = Length[freq];vmdEphi0 = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];rs = r/skin;rsI = (rs + I rs);vmdEphi0[[i]] = -I/rs^2 (3 - (3 + 3 rsI + 2 I rs^2)*Exp[-rsI]),i, nfreq]]


A razão de impedância Zφ/Z0 também pode ser calculada a partir da in-tegral (5.14) usando-se os filtros lineares apresentados na seção 4.5. Fazendog = krδ, a integral (5.14) se reduz a

Zφ/Z0 = r2s

Z ∞

0

2g2

g +pg2 + 2i

J1 (grs) dg (5.22)

In[2]:=fDVmdZzEphi1[kfun_, freq_, rho_, r_] :=Module[i, g,nfreq = Length[freq];vmdEphi1 = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];rs = r/skin;j1Trans47[kfun, rs];vmdEphi1[[i]] = rs conv,i, nfreq]]

em que o código do kernel é dado por

In[2]:= kernelVmdEphi1[g_] := Module[,2 g^2/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

Exemplo 5.1: Comparar as soluções numérica e exata da componenteEφ sabendo-se que o meio superior é o ar e o inferior tem resistividade iguala 50 Ohm-m. A distâcia entre o dipolo e o ponto de observação toma osvalores 50, 100 e 200 metros. Os períodos são dados pela seguinte lista:

In[2]:= período = 10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100,158.489, 251.189, 398.107, 630.957, 1000,1584.89, 2511.89, 3981.07, 6309.57, 10000,15848.9, 25118.9, 39810.7, 63095.7, 100000;

In[2]:=rho, r = 100, 50;fDVmdZzEphi0[freq, rho, r];p1 = vmdEphi0;fDVmdZzEphi1[kernelVmdEphi1, freq, rho, r];p2 = vmdEphi1;rho, r = 100, 100;fDVmdZzEphi0[freq, rho, r];


p3 = vmdEphi0;fDVmdZzEphi1[kernelVmdEphi1, freq, rho, r];p4 = vmdEphi1;rho, r = 100, 200;fDVmdZzEphi0[freq, rho, r];p5 = vmdEphi0;fDVmdZzEphi1[kernelVmdEphi1, freq, rho, r];p6 = vmdEphi1;q1 = plotAmpFase6[freq, p1, p2, p3, p4, p5,p6, 10, 100000, -.01, 1.21, -150.1, 50.1, 100, 1000, 10000,”Ephi”];

100 1000 10000 100000.Periodo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Abs(Z/Z0)

Ephi

100 1000 10000 100000.Periodo

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

Ephi

Figura 5.3:

Procesendo do mesmo modo com respeito à componente Hz do campomagnético (5.16) vem,

Zz/Z0 = −2

k21r2

h9−

¡9 + 9ik1r − 4k21r2 − ik31r

3¢e−ik1r

iem que Hp

z = −mz/4πr3.

Lembrando-se que

k1 =

rωµ0σ12

(1− i) =1

δ(1− i) ,

resulta

Zz/Z0 = −i

r2s

h9−

¡9 + 9rs (1 + i) + 8ir2s − 2r3s (1− i)

¢e−rs(1+i)

i(5.23)

In[1]:= fDVmdZzHz0[freq_, rho_, r_] := Module[,


nfreq = Length[freq];vmdHz0 = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];rs = r/skin;rsI = (rs + I rs);vmdHz0[[i]] = -I/rs^2 (9 - (9 + 9 rs I + 8 I rs^2 - 2rs^3(1 - I )) Exp[-rsI]),i, nfreq]]

A razão de impedância Zz/Z0 também pode ser calculada a partir da in-tegral (5.12) usando-se os filtros lineares apresentados na seção 4.5. Fazendog = krδ, a integral (5.12) se reduz a

Zz/Z0 = r2s

Z ∞

0

2g3

g +pg2 + 2i

J0 (grs) dg (5.24)

In[2]:= DVmdZzHz1[kfun_, freq_, rho_, r_] :=Module[i, g,nfreq = Length[freq];vmdHz1 = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];rs = r/skin;j0Trans61[kfun, rs];vmdHz1[[i]] = -rs^2 conv,i, nfreq]]

O código do kernel

In[2]:= kernelVmdZzHz1[g_] := Module[i,2 g^3/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

Exemplo 5.2: Com os mesmo dados do problema anterior, compararas soluções numérica e exata da componente Hz.

In[2]:= rho, r = 100, 50;fDVmdZzHz0[freq, rho, r];p1 = vmdHz0;fDVmdZzHz1[kernelVmdZzHz1, freq, rho, r];p2 = vmdHz1;rho, r = 100, 100;


fDVmdZzHz0[freq, rho, r];p3 = vmdHz0;fDVmdZzHz1[kernelVmdZzHz1, freq, rho, r];p4 = vmdHz1;rho, r = 100, 200; fDVmdZzHz0[freq, rho, r];p5 = vmdHz0;fDVmdZzHz1[kernelVmdZzHz1, freq, rho, r];p6 = vmdHz1;q1 = plotAmpFase6[freq, p1, p2, p3, p4, p5, p6,10, 100000, -.01, 2.01, -150.1, 50.1, 100, 1000, 10000, ”Hz”];

100 1000 10000 100000.Periodo

0

0.5

1

1.5

2

Abs(Z/Z0)

Hz

100 1000 10000 100000.Periodo

-150

-100

-50

0

50

Fase (Grau)

Hz

Figura 5.4:

Finalmente, vejamos agora a componente horizontal do campo magnéticoHr. De (5.20) podemos escrever

Zx/Z0 = k21r2

∙I1

µik1r

2

¶K1

µik1r

2

¶− I2

µik1r

2

¶K2

µik1r

2

¶¸Sabendo-se que k1 = (1− i) /δ temos

Zx/Z0 = k21r2hI1

³rs2(1 + i)

´K1

³rs2(1 + i)

´− I2

³rs2(1 + i)

´K2

³rs2(1 + i)

´i(5.25)

In[1]:= fDVmdZzHr0[freq_, rho_, r_] := Module[,nfreq = Length[freq];vmdHr0 = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];


rs = r/skin;rsI = (rs + I rs)/2.;vmdHr0[[i]] =2 rs^2 I(BesselI[1, rsI] BesselK[1, rsI] -BesselI[2, rsI] BesselK[2, rsI]),i, nfreq]]

A razão de impedância Zx/Z0 também pode ser calculada a partir da in-tegral (5.10) usando-se os filtros lineares apresentados na seção 4.5. Fazendog = krδ, a integral (5.10) se reduz a

Zx/Z0 = r2s

Z ∞

0

g2³p

g2 + 2i− g´

g +pg2 + 2i

J1 (grs) dg (5.26)

In[1]:= fDVmdZzHr1[kfun_, freq_, rho_, r_] := Module[i, g,nfreq = Length[freq];vmdHr1 = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];rs = r/skin;j1Trans47[kfun, rs];vmdHr1[[i]] = rs^2 conv,i, nfreq]]

O código do kernel

In[1]:= kernelVmdHr1[g_] := Module[i,2 g^2 Sqrt[g^2 + 2 I]/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

Exemplo 5.3: Com os mesmo dados do problema do Exemplo 5.1,comparar as soluções numérica e exata da componente Hs

r .

In[1]:= rho, r = 100, 50;fDVmdZzHr0[freq, rho, r];p1 = vmdHr0;fDVmdZzHr1[kernelVmdHr1, freq, rho, r];p2 = vmdHr1;rho, r = 100, 100;fDVmdZzHr0[freq, rho, r];p3 = vmdHr0;


fDVmdZzHr1[kernelVmdHr1, freq, rho, r];p4 = vmdHr1;rho, r = 100, 200;fDVmdZzHr0[freq, rho, r];p5 = vmdHr0;fDVmdZzHr1[kernelVmdHr1, freq, rho, r];p6 = vmdHr1;q1 = plotAmpFase6[freq, p1, p2, p3, p4, p5, p6.10, 100000, -.51, 1.51, -100.1, 150.1, 100, 1000, 10000, ”Hr”];

100 1000 10000 100000.Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Hr

100 1000 10000 100000.Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Fase (Grau)

Hr

Figura 5.5:

5.5 Meios Estratificados

Para se calcular as componentes dos campos elétrico e magnéticos devido aum dipolo magnético vertical sobre um meio estratificado com N camadas,basta aplicar o mesmo procedimento da seção anterior, ou seja, aplicar olimite lima→0 J1 (kra) = kra/2 às expressões (4.27), (4.34) e (4.35) da seção4.4. Então, de (4.27) segue que

E(0)φ (r, z) = −z0mz

4π

Z ∞

0Kφ (kr)J1 (krr) k

2rdkr, z ≤ 0 (5.27)

em que a função kernel Kφ (kr) é dada por,

Kφ (kr) =1

u0

³e−u0|z+h0| +R

(0)TEe

u0(z−h0)´

sendo o coeficiente de reflexão R(0)TE dado por

R(0)TE =

Y0 − bY1Y0 + bY1 , (5.28)

5.5. MEIOS ESTRATIFICADOS 133


bYj = YjbYj+1 + Yj tanhujhjYj + bYj+1 tanhujhj , j = 1, N − 1

bYN = YN

sendo Yj = uj/zj , uj =qk2r − k2j , k

2j = −zjyj = −iωµj (σj + iω j).

A esta altura é facil calcular o campo elétrico em qualquer camada domeio estratificado. Basta seguir a metodologia descrita a pouco, isto é, usara solução do problema das ondas planas modo TE desenvolvida no segundocapítulo e aplicar a transformada inversa de Fourier. Então, para qualquercamada j entre 1 e N − 1, podemos escrever,

E(j)φ =

Z ∞

0Ej

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

u0(z+zj)´J1 (kra) k

2rdkr, (5.29)

em que os coeficientes de reflexão R(j)TE são expressos por

R(j)TE =

Yj − bYj+1Yj + bYj+1 ,

e os coeficientes Ej são calculados por intermédio do algoritmo,

Ej = Ej−1

³1 +R

(j−1)TE

´e−ujhj

1 +R(j)TEe

−2ujhj,

iniciando com o valor de E0 dado por

E0 = −z0mz

4π

eu0h0

2u0


E(N)φ =

Z ∞

0ENe

−uj(z−zN−1)J1 (kra)J1 (krr) krdkr,

em que o coeficiente EN é fornecido por,

EN = EN−1³1 +R

(N−1)TE

´


A determinação das componentes Hx e Hz do campo magnético é imedi-ata. Basta usar as fórmulas (4.34) e (4.35) e repetir o mesmo procedimentoanterior.


H(0)x (r, z) =

mz

4π

Z ∞

0Kx (kr)J1 (krr) k

2rdkr, 0 ≥ h0 > z, (5.30)

em que a função kernel Kx (kr) é expressa por,

Kx (kr) =³eu(z+h0) −R

(0)TEe

u0(z−h0)´


H(0)z (r, z) =

mz

4π

Z ∞

0Kz (kr)J1 (krr) k

3rdkr. (5.31)

em que

Kz (kr) =1

u0

³e−u0|z+h0| +R

(0)TEe

u0(z−h0)´


H(j)x =

Z ∞

0YjEj


(j)TEe

u0(z+zj)´J1 (krr) k

2rdkr,


H(j)z =

Z ∞

0Ej

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

u0(z+zj)´J1 (krr) k

3rdkr.

em que Ej é calculado com o algoritmo (3.37).Para j = N,a componente horizontal do campo magnético é

H(N)x =

Z ∞

0YNENe

−uj(z−zN−1)J1 (kra) k2rdkr,


H(N)z =

Z ∞

0kxENe

−uj(z−zN−1)J1 (kra)J1 (krr) k3rdkr,



5.5.1 Avaliação das integrais

Aplicando a normalização¡r = r/δ, h0 = h/δ, g = krδ, u = uδ

¢em (5.27) podemos

escrever

ZEφ/Z0 = 2

Z ∞

0

³1 +R

(0)TE

´eu0h0J1 (gr) g

2dg (5.32)

em que o coeficiente de reflexão R(0)TE é dado por

R(0)TE =

Y0 − F1Y1Y0 + F1Y1

, (5.33)

onde o fator de estratificação é obtido por meio do seguinte algoritmo:

Fj =µjuj+1Fj+1 + µj+1uj tanh[ujhj ]

µj+1uj + µjuj+1Fj+1 tanh[ujhj ](5.34)

FN = 1

Note que ZEφ/Z0 é calculado na superfície do terreno (z = 0) .

Observando a integral (5.33) nota-se que ela apresenta a seguinte estru-tura,

I (rs) =Z ∞

0K (g)J1 (grs) dg.

e por conseguinte, pode-se usar o mesmo esquema dos filtros lineares usadono quarto capítulo. Assim, podemos escrever

rsI (rs) =NXn=0

Khe− ln rs+(s1+n∆s)

iwn (5.35)

sendo os coeficientes e as abscissas os mesmos usados anteriormente.A tradução de (5.35) em liguagem do Mathematica é como segue:

In[7]:= fdDMvZzEphi[kfun_, freq_, rho_, mu_, h_, h0_, r_] := Module[i,g,

nfreq = Length[freq];nlayer = Length[rho];zZEphi = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho[[1]]/freq[[i]]];h0B = h0/skin;rB = r/skin;


hB = h/skin;

j1Trans47[kfun, rB];

zZEphi[[i]] = rB conv,

i, nfreq]]

A seguir o código do kernel K (g) de (5.32)

In[12]:= kernelcDmvEphi[g_] := Module[i, u, fj, th,

u = Table[0, j, nlayer];

Do[

u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2. I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]], j, nlayer];

fj = 1.;

Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];

fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +

mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +

mu[[j]] u[[j + 1]] fj th), j, nlayer - 1, 1, -1];

2 mu[[1]] g ^2 Exp[-g h0B]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

5.5.2 Aplicações Eφ

In[12]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 1, 1, 1;

h = 10, 10;

h0, r = 0, 200;

fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]

p1 = zZEphi;

h0, r = 0, 500;


p2 = zZEphi;

h0, r = 0, 1000;


p3 = zZEphi;

q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,

p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Ephi”];


10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Ephi

10 100 1000 10000Periodo

-150

-100

-50

0

50

Abs(Z/Z0)

Ephi

Figura 5.6:

In[12]:= rho = 50, 50, 50;mu = 1, 1, 1;h = 10, 10;h0, r = 0, 200;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p1 = zZEphi;h0, r = 0, 500;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p2 = zZEphi;h0, r = 0, 1000;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p3 = zZEphi;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Ephi”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Ephi

10 100 1000 10000Periodo

-150

-100

-50

0

50

Abs(Z/Z0)

Ephi

Figura 5.7:


In[12]:= rho = 50, 50, 50;mu = 1, 1, 1;h = 10, 10;h0, r = 50, 500, 0;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p1 = zZEphi;h0, r = 100, 500, 0;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p2 = zZEphi;h0, r = 150 , 500;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p3 = zZEphi;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Ephi”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Ephi

10 100 1000 10000Periodo

-150

-100

-50

0

50Abs(Z/Z0)

Ephi

Figura 5.8:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 25, 100, 50;h0, r = 0, 200;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p1 = zZEphi;h0, r = 0, 500;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p2 = zZEphi;h0, r = 0, 1000;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p3 = zZEphi;



p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Ephi”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Ephi

10 100 1000 10000Periodo

-150

-100

-50

0

50

Abs(Z/Z0)

Ephi

Figura 5.9:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 2, 1, 3, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

h0, r = 0, 200;


p1 = zZEphi;

h0, r = 0, 500;


p2 = zZEphi;

h0, r = 0, 1000;


p3 = zZEphi;


p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Ephi”];


10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Ephi

10 100 1000 10000Periodo

-150

-100

-50

0

50

Abs(Z/Z0)

Ephi

Figura 5.10:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;mu = 1, 2, 1, 3, 1;h = 10, 25, 100, 50;h0, r = 50, 500;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p1 = zZEphi;h0, r = 100, 500;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p2 = zZEphi;h0, r = 150, 500;fdDMvZzEphi[kernelcDmvEphi, freq, rho, mu, h, h0, r]p3 = zZEphi;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Ephi”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Ephi

10 100 1000 10000Periodo

-150

-100

-50

0

50

Abs(Z/Z0)

Ephi

Figura 5.11:

Procedendo de modo interamente análogo, podemos a partir de (5.30)


escrever

ZHr/Z0 =

Z ∞

0

³e−u0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)´J1 (gr) g

2dg (5.36)

In[7]:= fdDmvZzHr[kfun_, freq_, rho_, mu_, h_, h0_, r_, z_] := Module[i,g,

nfreq = Length[freq];nlayer = Length[rho];zZHr = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho[[1]]/freq[[i]]];h0B = h0/skin;rB = r/skin;hB = h/skin;zB = -Abs[z]/skin;j1Trans47[kfun, rB];zZHr[[i]] = rB^2 conv,i, nfreq]]


In[12]:= kernelDmvHr[g_] := Module[i, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2. I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]], j, nlayer];fj = 1.;Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]] u[[j + 1]] fj th), j, nlayer - 1, 1, -1];g^2(fj u[[1]] - g mu[[1]]) Exp[g (zB - h0B)]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

5.5.3 Aplicações Hr

In[12]:= rho = 50, 50, 50;mu = 1, 1, 1;h = 10, 10;h0, r, z = 0, 200, z;


10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Hr

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hr

Figura 5.12:

fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z]

p1 = zZHr;

h0, r, z = 0, 500, 0;


p2 = zZHr;

h0, r, z = 0, 1000, 0;

fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z];

p3 = zZHr;


p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hr”];

In[12]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 2, 2, 2;

h = 10, 10;

h0, r, z = 0, 200, z;


p1 = zZHr;

h0, r, z = 0, 500, 0;


p2 = zZHr;

h0, r, z = 0, 1000, 0;


p3 = zZHr;


p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hr”];


10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Hr

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hr

Figura 5.14:

10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Hr

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hr

Figura 5.13:

In[12]:= rho = 50, 50, 50;mu = 1, 1, 1;h = 10, 10;h0, r, z = 50, 500, z;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p1 = zZHr;h0, r, z = 100, 500, 0;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p2 = zZHr;h0, r, z = 150, 500, 0;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z];p3 = zZHr;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hr”];

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;


mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 25, 100, 50;h0, r, z = 0, 300, z;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p1 = zZHr;h0, r, z = 0, 500, 0;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p2 = zZHr;h0, r, z = 0, 1000, 0;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z];p3 = zZHr;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hr”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Hr

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hr

Figura 5.15:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;mu = 1, 2, 1, 3, 1;h = 10, 25, 100, 50;h0, r, z = 0, 300, z;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p1 = zZHr;h0, r, z = 0, 500, 0;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p2 = zZHr;h0, r, z = 0, 1000, 0;fdDMvZzHr[kernelcDmvHr, freq, rho, mu, h, h0, r, z];p3 = zZHr;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hr”];


10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5Abs(Z/Z0)

Hr

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hr

Figura 5.17:

10 100 1000 10000Periodo

-0.5

0

0.5

1

1.5

Abs(Z/Z0)

Hr

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hr

Figura 5.16:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;

mu = 1, 1, 1, 1, 1;

h = 10, 25, 100, 50;

h0, r, z = 50, 500, z;


p1 = zZHr;

h0, r, z = 100, 500, 0;


p2 = zZHr;

h0, r, z = 150, 500, 0;


p3 = zZHr;


p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hr”];


Finalmente, de (5.31) segue que

ZHz/Z0 =

Z ∞

0

³e−u0(z−h0) +R

(0)TEe

u0(z+h0)´J1 (gr) g

2dg (5.37)

In[7]:= fdDmvZzHz[kfun_, freq_, rho_, mu_, h_, h0_, r_, z_] := Module[i,g,

nfreq = Length[freq];nlayer = Length[rho];zZHz = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho[[1]]/freq[[i]]];h0B = h0/skin;rB = r/skin;hB = h/skin;zB = -Abs[z]/skin;j1Trans47[kfun, rB];zZHz[[i]] = -rB^2 conv,i, nfreq]]


In[12]:= kernelDmvHz[g_] := Module[i, u, fj, th,u = Table[0, j, nlayer];Do[u[[j]] = Sqrt[g^2 + 2. I mu[[j]] rho[[1]]/rho[[j]]], j, nlayer];fj = 1.;Do[th = Tanh[u[[j]] hB[[j]]];fj = (mu[[j]] u[[j + 1]] fj +mu[[j + 1]] u[[j]] th)/(mu[[j + 1]] u[[j]] +mu[[j]] u[[j + 1]] fj th), j, nlayer - 1, 1, -1];g^3 Exp[g (zB - h0B)]/(g mu[[1]] + fj u[[1]])];

5.5.4 Aplicações Hz

In[12]:= rho = 50, 50, 50;mu = 1, 1, 1;h = 10, 10;h0, r, z = 0, 300, z;


fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]

p1 = zZHr;

h0, r, z = 0, 500, 0;


p2 = zZHr;

h0, r, z = 0, 1000, 0;

fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z];

p3 = zZHr;


p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hz”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abs(Z/Z0)

Hz

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hz

Figura 5.18:

In[12]:= rho = 50, 50, 50;

mu = 2, 2, 2;

h = 10, 10;

h0, r, z = 0, 300, z;


p1 = zZHr;

h0, r, z = 0, 500, 0;


p2 = zZHr;

h0, r, z = 0, 1000, 0;

fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z];

p3 = zZHr;


p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hz”];


10 100 1000 10000Periodo

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abs(Z/Z0)

Hz

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hz

Figura 5.19:

In[12]:= rho = 50, 50, 50;mu = 1, 1, 1;h = 10, 10;h0, r, z = 50, 500, z;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p1 = zZHr;h0, r, z = 100, 500, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p2 = zZHr;h0, r, z = 150, 500, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z];p3 = zZHr;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hz”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abs(Z/Z0)

Hz

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

200

Abs(Z/Z0)

Hz

Figura 5.20:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;


mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 25, 100, 50;h0, r, z = 0, 300, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p1 = zZHr;h0, r, z = 0, 500, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p2 = zZHr;h0, r, z = 0, 1000, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z];p3 = zZHr;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hz”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abs(Z/Z0)

Hz

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hz

Figura 5.21:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;mu = 1, 2, 1, 3, 1;h = 10, 25, 100, 50;h0, r, z = 0, 300, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p1 = zZHr;h0, r, z = 0, 500, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p2 = zZHr;h0, r, z = 0, 1000, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z];p3 = zZHr;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hz”];


10 100 1000 10000Periodo

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abs(Z/Z0)

Hz

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

Abs(Z/Z0)

Hz

Figura 5.22:

In[12]:= rho = 100, 50, 250, 5, 1000;mu = 1, 1, 1, 1, 1;h = 10, 25, 100, 50;h0, r, z = 50, 500, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p1 = zZHr;h0, r, z = 10, 500, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z]p2 = zZHr;h0, r, z = 150, 500, 0;fdDMvZzHz[kernelcDmvHz, freq, rho, mu, h, h0, r, z];p3 = zZHr;q1 = plotAmpFase3[freq, p1, p2,p3, 1, 10000, -.51, 1.51, -150.1, 50.1, 10, 100, 1000, ”Hz”];

10 100 1000 10000Periodo

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abs(Z/Z0)

Hz

10 100 1000 10000Periodo

-100

-50

0

50

100

150

200

Abs(Z/Z0)

Hz

Figura 5.23:

No último congresso da SBGf em Salvador o Antonio Vinício e o Prof.Verma apresentaram um trabalho muito interessante intitulado ”Geração


de Campo Magnético Direcional e Focalização por cobinação de DipolosMagnéticos ”,[?].

Os mapas de direção do campo magnético apresentados nas Figuras 2 e5 daquele trabalho foram re-calculdos aqui para efeito de comparação.

Eis o código em Mathematica correspondente à Figura 2:

:In[2]:= n, m = 10, 21;

freq1, rho1 = 10000, 100;

skin = 500./Pi Sqrt[10. rho1/freq1];

r1 = Table[-.5 + .1 i, i, 0, m];

r1[[6]] = .01;

r2 = Table[-1.5 + .1 i, i, 0, m];

r2[[16]] = .01;

r3 = Table[-1. + .1 i, i, 0, m];

z = Table[.1 i, i, n];

hrz = Table[0, 0, i, n, j, m];

kfun[g_] := Module[ , g^3/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])];

Do[zs = z[[i]]/skin;

kfunz[g_] := kfun[g] Exp[-Sqrt[g^2 + 2 I] zs];

Do[rs = Abs[r1[[j]]]/skin;

j1Trans47[ kfunz, rs];

hr1 = If[r1[[j]] < 0, -Abs[ conv], Abs[conv]];


hz1 = -Abs[conv];

rs = Abs[r2[[j]]]/skin;


hr2 = If[r2[[j]] < 0, -Abs[ conv], Abs[conv]];


hz2 = -Abs[conv];

hrz[[i, j]] = r3[[j]], 1.1 - z[[i]], hr1 + hr2, hz1 + hz2,

j, m],

i, n]

In[2]:= ListPlotVectorField[Flatten[hrz, 1],

ScaleFunction -> (.1 &), Frame -> True];


-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 5.24:

Figura 5:

In[2]:= ListPlotVectorField[Flatten[hrz, 1],ScaleFunction -> (.1 &), Frame -> True];

-1 -0.5 0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 5.25:

Capítulo 6

Potenciais de Schelkunoff

6.1 Introdução

Os três tipos de fontes até aqui analisados (linha infinita de corrente, bobinacircular e dipolo magnético vertical) possuem um alto grau de simetria comrelação ao meio estratificado. Por isso, apenas com o modo TE aparecena solução dos problemas. Em outras palavras, somente a componente docampo elétrico na direção de simetria da fonte (Ey no caso da linha infinitade corrente e Eφ nos casos da bobina circular e do dipolo magnético vertical.)foi usada na solução dos problemas. Uma vez obtida a componente do campoelétrico, o cálculo das componentes Hr (Hx no caso da linha) e Hz foi feitopor derivação aplicando as equações (de Maxwell) pertinentes.

Quando um determinado campo, com maior grau de simetria, é usadopara se obter um outro campo, supostamente mais complexo (com menorgrau de simetria), o primeiro é dito um campo potencial em relação aosegundo. Por exemplo, o campo elétrico Eφ devido a uma bobina sobre ummeio estratificado (Ey no caso da linha) pode ser considerado um campopotencial para se obter as duas componentes (Hr eHz) do campo magnético.É claro que o campo elétrico Eφ, com sua simetria cilíndrica de uma únicacomponente, é inegavelmente muito mais simples que o campo magnético,formado por duas componentes (Hr e Hz) de simetria toroidal.

Na presença de meios estratificados, fontes como o dipolo magnéticohorizontal, o dipolo elétrico horizontal, a linha aterrada e a bobina retangu-lar são extremamente mais complexas que os três tipos acima citados.Nãoapenas o modo TE mas, também o modo TM entra em cena, e por conse-qüência, o campo elétrico apresenta o mesmo grau de dificuldade do campomagnético, no tocante à simetria. Assim, nenhum dos dois se presta como

153

154 CAPÍTULO 6. POTENCIAIS DE SCHELKUNOFF

campo potencial.de um em relação ao outro. É aí que uma nova classe decampos potenciais, denominados de potenciais de Shelkunoff são extrema-mente úteis. Os potenciais de Shlekunoff são de dois tipos, o potencial A,relacionado com o modo TM e o potencial F , associado ao modo TE Nasduas próximas seções estudaremos detalhadamente cada um desses potenci-ais.

6.1.1 Potencial A

Para iniciar, consideremos como fonte eletromagnética um dipolo elétricosituado num meio homogêneo, isotrópico e ilimitado de propriedades z = iωµe y = σ + iω . Partindo das equações de Maxwell,

∇ ·E = 0, (6.1)

∇×H− yE = I (ω) dsδ (x) δ (y) δ (z) , (6.2)

∇ ·H = 0, (6.3)

∇×E− zH = 0, (6.4)

em que I (ω) dsδ (x) δ (y) δ (z) representa o dipolo elétrico. Em virtude de(6.3) podemos escrever o campo magnético como o rotacional de um campovetorial A, ou seja.

H =∇×A.

Substituindo esta identidade na equação de Faraday (6.4), vem

∇×E− z∇×A = 0,

ou seja,∇× (E− zA) = 0,

o que implica dizer queE = −zA−∇U ,

visto que o rotacional do gradiente de um potencial escalar é identicamentenulo.

Inserindo esta última expressão em (6.2), obtem-se

∇×∇×A.+ y (zA+∇U) = I (ω) dsδ (x) δ (y) δ (z) .

Lançando mão da identidade

∇×∇×A = −∇2A+∇ (∇ ·A) ,

6.1. INTRODUÇÃO 155

pode-se escrever

∇2A−∇ (∇ ·A)− zyA−y∇U = −I (ω) dsδ (x) δ (y) δ (z) . (6.5)

A essa altura é conveniente impor certa restrição aos potenciais A eU que até o momento têm sido totalmente livres, ou seja, completamentearbitrários. A restrição é feito aplicando a condição de calibre de Lorentz

∇ ·A = −yU ,

que tem como objetivo simplificar a equação (6.5) na seguinte equação deHelmholtz,

∇2A+ k2A = −I (ω) dsδ (x) δ (y) δ (z) . (6.6)

em que k2 = −zy.A equação (6.6) é uma equação vetorial que corresponde a três equações

escalares, uma para cada componente cartesiana do dipolo elétrico. Por aí,se vê facilmente a grande vantagem de se usar o potencial vetorial A.Emprincípio, cada componente cartesiana do dipolo elétrico pode ser analisadaseparadamente, e assim o problema original envolvendo grandeza vetorial édecomposto em três problemas muito mais simples com grandezas escalares.Note a elegância e simplicidade da equação (6.6), em que o potencial A casaperfeitamente com o dipolo elétrico. Esta harmonia não seria possível se setentasse usar o campo elétrico ou mesmo o magnético.

Uma vez de posse da solução da equação (6.6), as componentes do campoelétrico e do campo magnético são obtidas a partir de

H =∇×A, (6.7)

eE = −zA+1

y∇ (∇ ·A) . (6.8)

Para mostrar como funciona os cálculos, vamos resolver a equação (6.6)para o caso do dipolo elétrico orientado na direção x. Neste caso, a referidaequação se reduz a

∇2Ax + k2Ax = −I (ω) dsxδ (x) δ (y) δ (z) .

A função de Dirac tridimensional δ (x) δ (y) δ (z).sugere que se utilize atransformada tripla de Fourier

bbbAx(kx, ky, kz) =

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞Ax (x, y, z) e

−i(kxx+kyy+kzz)dxdydz,


para se obter

¡−k2x − k2y − k2z + k2

¢ bbbAx = −I (ω) dsx,

ou bbbAx =I (ω) dsx¡

k2x + k2y + k2z − k2¢ .

Efetuando-se a transformada inversa de Fourier com relação à variávelz, vem

ˆAx =

I (ω) dsx2π

Z ∞

−∞

e−ikzz

u2 + k2zdkz

em que u2 = k2x + k2y − k2 é a constante de propagação do meio homogêneoem consideração.

Em analogia a (3.11) e (3.16 - ??) podemos escrever

ˆAx (kx, ky, z) =

(I (ω) dsx

eu(z−h0)

2u , 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,I (ω) dsx

e−u(z−h0)

2u , 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,(6.9)

em que Reu > 0.

Para se obter o potencial Ax no espaço (x, y, x) bastaria realizar a trans-formada inversa dupla de Fourier em relação as variáveis x e y.. Mas, não épreciso nada disto. A expressão (??) já é suficiente para os nossos objetivos.

De modo inteiramente análogo obter-se-ia Ay e Az corespondentes aosdipolo elétrico dsy e dsz, se fosse o caso.

6.1.2 Potencial F

Embora muitos autores sustentam que o potencial A possui realidade física,eu, como muitos outros, acredito que ele é meramente um objeto matemáticoconstruído convenientemente para se obter os campos elétrico e magnético.

Do ponto de vista puramente matemático, pode-se, por dualidade, escr-ever as equações de Maxwell para o caso do dipolo magnético, da seguintemaneira.

∇ ·E = 0, (6.10)

∇×H− yE = 0, (6.11)

∇ ·H = 0, (6.12)

∇×E+ zH = −zmδ (x) δ (y) δ (z) , (6.13)


em que, agora, a fonte pontual é o dipolo magnético zmδ (x) δ (y) δ (z) .Voltoa insistir que isto é um artifício matemático, pois, por definição das própriasequações de Maxwell, as fontes reais só aparecem nas equações da lei deCoulomb e da lei de Ampère, e jamais nas equações da lei de Gauss e daFaraday.

Procedendo do mesmo modo como no caso do dipolo elétrico, podemos,em virtude de (6.10), escrever

E = −∇×F

Substituindo esta identidade na equação de Ampére (6.11), vem

∇×H+ y∇×F = 0,

ou∇× (H+ yF) = 0,

o que implicaH = −yF−∇V ,

visto que o rotacional do gradiente de um potencial escalar é identicamentenulo.

Inserindo esta última expressão em (6.13), obtem-se

∇×∇×F.+ z (yF+∇V ) = zmδ (x) δ (y) δ (z) .

Lançando mão da identidade

∇×∇×F = −∇2F+∇ (∇ · F)

pode-se escrever

∇2F−∇ (∇ · F)− zyF−z∇V = −zmδ (x) δ (y) δ (z) .

Aplicando-se a condição de calibre de Lorentz

∇ · F = −zV

a equação acima se reduz a

∇2F+ k2F = −zmδ (x) δ (y) δ (z) . (6.14)

em que se usou k2 = −zy.


Note a dualidade entre as equações (6.6) e (6.14). Na primeira, o poten-cial A associa-se ao dipolo elétrico e na segunda, o potencial F prende-seao dipolo magnético. Os mesmos comentários feitos com relação a (6.6) sãoválidos também para a equação (6.14).

Uma vez obtido o potencial F por intermédio de (6.14) pode-so calcularfacilmente os campos elétrico e magnético via

E = −∇×F, (6.15)

eH = −yF+1

z∇ (∇ · F) . (6.16)

Em vista da dualidade entre A (6.7 - 6.8) e F (6.15- 6.16) podemosafirmar que o potencial Fx, no domínio (kx, ky, z), devido a um dipolo mag-nétrico orientado na direção x num meio homogêneo, isotrópico e ilimitadoé dado por

ˆFx (kx, ky, z) =

(zmx

eu(z−h0)

2u , 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,zmx

e−u(z−h0)

2u , 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,(6.17)

em que Reu > 0.

Os potenciais, A e F, são conhecidos como potenciais de Schelkunoff.Embora, por questão didática, usamos os dipolos elétrico e magnético

para introduzir os potenciais de Schelkunoff, eles, na realidade, independemdo tipo de fontes. Tanto é assim que num meio homogêneo desprovido defontes é, muitas vezes, conveniente expressar parte do campo elétrico ou docampo magnético em termos do potencial A e parte em termos do potencialF, dependendo da simetria do problema em questão. Este expediente levaà decomposição do campo eletromagnético em dois modos de polarização, omodo TE (elétrico transveral) e o modo TM (magnético transversal). Proce-dendo assim, os campos E e H são obtidos a partir de (6.7), (6.8), (6.15) e(6.16) da seguinte maneira

E = −∇×F− zA+1y∇ (∇ ·A) . (6.18)

eH =∇×A− yF+1

z∇ (∇ · F) . (6.19)

Resta agora decidir como separar os campos elétrico e magnético entreAe F. Para isso vamos considerar dois casos particulares que servirão de base


para a separação dos campos. Suponhamos, por exemplo, que o potencialF seja identicamente nulo e que o potencial A tenha apenas a componenteAz, isto é,

A =(0, 0, Az)

Neste caso, (6.18) e (6.19) se reduzem, respectivamente, em

Ex =1

y

∂2Az

∂x∂z, (6.20)

Ey =1

y

∂2Az

∂y∂z, (6.21)

Ez =1

y

µ∂2

∂z2+ k2

¶Az, (6.22)

e

Hx =∂Az

∂y, (6.23)

Hy = −∂Az

∂x(6.24)

Hz = 0 (6.25)

que corresponde, em virtude de Hz = 0, a um campo magnético transversalz, ou seja, um campo TMz.

Se, por outro lado, o potencialA fosse nulo e o potencial F tivesse apenasa componente Fz, isto é,

F =(0, 0, Fz)

então (6.18) e (6.19) se reduziriam, respectivamente, em

Ex = −∂Fz∂y, (6.26)

Ey =∂Fz∂x

, (6.27)

Ez = 0, (6.28)

e

Hx =1

z

∂2Fz∂x∂z

, (6.29)

Hy =1

z

∂2Fz∂y∂z

(6.30)

Hz =1

z

µ∂2

∂z2+ k2

¶Fz (6.31)


que correspondem a um campo transversal elétrico (Ez = 0) ou seja umcampo TEz.

Suponhamos, agora, um campo eletromagnético arbitrário (não neces-sariamente TE ou TM) em que são conhencidas as componentes Ez e Hz.De (6.22) e conhecendo Ez podemos determinar Ax por meio da a equaçãodiferencial

∂2Az

∂z2+ k2Az = yEz (6.32)

De acordo com (6.25) esta componente Az especifica um campo TM.Supondo que se conheça também a componente Hz do campo original, segueque a diferença entre este e a componente TM é um campo TE. Para sedeterminar a componente TE usa-se a equação (6.31), ou seja,

∂2Fz∂z2

+ k2Fz = zHz. (6.33)

Resumindo, podemos dizer que um campo arbitrário desprovido de fontenum meio homogêneo pode se expresso como a soma de um campo TE e umcampo TM de acordo com as fórmulas (6.20 - 6.25) e (6.26 - 6.31)

Convém enfatizar que na ausência das componentes Ez eHz, as equaçõesde Helmholtz (6.32) e (6.33) se reduzem a sua forma homogênea, ou seja.

∂2Az

∂z2+ k2Az = 0 (6.34)

e∂2Fz∂z2

+ k2Fz = 0 (6.35)

É claro que estas duas últimas equações não se aplicam na interface dedois meios homogêneos.de propriedades físicas distintas. Neste caso, é pre-ciso determinar as condições de continuidade dos potenciais nessas interfaces.Reescrevendo (6.20 - 6.21) e (6.23 - 6.24) em coordenadas cilíndrica

Er =1

y

∂2Az

∂r∂z,

Hr =∂Az

∂r

e lembrando-se que as componentes tangenciais do campos elétrico e mag-nético na interface de dois meios de propriedades y1 e y2 são contínuas,


resulta

1

y1

∂2Az1

∂r∂z=

1

y2

∂2Az2

∂r∂z,

∂Az1

∂r=

∂Az2

∂r

Integrando ambos os lados dessas expressões com relação a variável r elevando em consideração que a componente Az é limitada e contínua em re-lação à variável r, para qualquer r, chegamos a conclusão que a componenteAz e a componente normal do fluxo de Az são contínuas na interface dosdois meios. Simbolicamente,

Az1 = Az2, (6.36)1

y1

∂Az1

∂z=

1

y2

∂Az2

∂z. (6.37)

Procedendo da mesma naneira com relação à componente Fz, chegaremosa conclusão que

Fz1 = Fz2, (6.38)1

z1

∂Fz1∂z

=1

z2

∂Fz2∂z

, (6.39)

na interface de dois meios de propriedades elétricas distintas.

6.2 Meios estratificados

De posse das equações diferenciais (6.32 - 6.35) que governam os poten-ciais de Schelkunoff em meios homogêneos sem fontes e das condições decontinuidade na interfaces de dois meios homogêneos (6.36 - 6.39) estamosprontos para resolver o problema de multicamadas.

Em virtude de (6.34) e (6.35) podemos usar a metodologia das ondasplanas empregada com tanto sucesso nos problemas da linha infinita e dabobina circular.Lebre-se que isto só foi possível com a colaboração da trans-formada de Fourier, no caso da linha infinita, e da transformada de Hankel,no caso da bobina circular.Assim, para se usar a mesma metodologia, épreciso encontrar um tipo de transformada que faça o mesmo papel comrelação aos potenciais de Shelkunoff, ou seja, que transforme os potenciaisno espaço tridimensional para o espaço unidimensional dependente apenas


da variável z. Em outras palavras, é preciso transformar do domínio (x, y, z)para o domínio (kx, ky,z) os potenciais A

(j)z e F (j)z associados a camada j-

ésima. Isto é feito por meio da transformada dupla de Fourier com relaçãoàs variáveis x e y. Com isto as equações (6.34) e (6.35) se transformam em

d2Â(j)z

dz− u2

Â(j)z = 0 (6.40)

ed2ˆF(j)z

dz− u2

ˆF (j)z = 0 (6.41)

em que Âz (kx, ky, z) = F [Ax (x, y, z)],

ˆFz (kx, ky, z) = F [Fx (x, y, z)] e

u2 = k2x + k2y − k2j .Analogamente, de (6.36) — (6.37) tem-se

Â(j)z =

Â(j+1)z (6.42)

1

yj

∂Â(j)z

∂z=

1

yj+1

∂Â(j+1)z

∂z. (6.43)

e de (6.38) — (6.39)ˆF (j)z =

ˆF (j+1)z (6.44)

1

zj

∂ˆF(j)z

∂z=

1

zj+1

∂ˆF(j+1)z

∂z. (6.45)

De posse das equações (6.40) — (6.45) podemos afirmar que estamos defrente de dois problemas de ondas planas desacopladas, o primeiro associado

ao potencial Âz e o segundo ligado ao potencialˆFz .Enfatizamos ainda que

o primeiro corresponde ao modo TM e o segundo ao modo TE.Feitas essas considerações e repetindo ipsis litteris o mesmo procedimento

usado no terceiro e quarto capítulos, podemos escrever para o modo TM

Â(0)z = A0

³e−u0z +R

(0)TMeu0z

´, z <= 0 (6.46)

Â(j)z = Aj

³e−uj(z−zj) +R

(j)TMeuj(z−zj)

´, j = 1, 2 . . . N − 1

Â(N)z = ANe

−uN (z−zN ),


em que os coeficientes Aj são calculados com a fórmula de recorrência de-scendente a partir de A0

Aj = Aj−1

³1 +R

(j−1)TM

´e−ujhj

1 +R(j)TMe−2ujhj

, j = 1, 2 . . . N − 1

AN = AN−1³1 +R

(N−1)TM

´,

sendo os coeficientes de reflexão R(j)TM dados por

R(j)TM =

Zj −Zj+1

Zj +Zj+1,

em que a impedância aparente Zj na superfície da camada j é obtida pormeio da fórmula de recorrência ascendente

Zj = ZjZj+1 + Zj tanhujhjZj +Zj+1 tanhujhj

,

iniciando com ZN = ZN na última camada. A impedância intrínceca dacamada j é

Zj =ujyj

em que u2j = k2x + k2y − kj , sendo kj = −zjyj = −iωµj (σj + iω j).Procedendo-se de maneira interamente análoga, podemos escreve para o

modo TE,

ˆF (0)z = F0

³e−u0z +R

(0)TEe

u0z´, (6.47)

ˆF (j)z = Fj

³e−uj(z−zj) +R

(j)TEe

uj(z−zj)´,

ˆF (N)z = FNe

−uN (z−zN ),

em que os coeficientes Fj são calculados com a fórmula de recorrência de-scendente a partir de F0

Fj = Fj−1

³1 +R

(j−1)TE

´e−ujhj

1 +R(j)TEe

−2ujhj, j = 1, 2 . . . N − 1

FN = FN−1³1 +R

(N−1)TE

´


sendo os coeficientes de reflexão R(j)TE dados por

R(j)TE =

Yj − Yj+1Yj + Yj+1

em que a admitância aparente Yj na superfície da camada j é obtida pormeio da fórmula de recorrência ascendente

Yj = ZjYj+1 + Yj tanhujhjYj + Yj+1 tanhujhj

iniciando com YN = YN na última camada. A admitância intrínceca dacamada j é

Yj =ujzj

em que u2j = k2x + k2y − kj , sendo kj = −zjyj = −iωµj (σj + iω j).Chegamos à conclusão que dada uma fonte qualquer sobre um meio es-

tratificado, podemos, no espaço (kx, ky, z), considerar dois problemas distin-tos de ondas planas propagando-se na direção z; um associado ao potencialˆAz (modo TM) e o outro relacionado ao potencial

ˆF (modo TE). Entretanto,

é preciso saber de antemão as expressões dos potenciais incidentes A0 e F0da fonte em consideração. A título de ilustração, na próxima seção, seráresolvido o problema do dipolo magnético vertical, já estudado no capítuloanterior. Neste caso apenas o modo TE é excitado e portanto só será usadoo potencial F.Nos próximos capítulos, os potenciais F e A serão usados si-multaneamente para analisar as respostas de dipolos magnéticos e elétricoshorizontais sobre meios estratificados..É ai que os potenciais de Shelkunoffse mostram uma ferramenta matemática extremamente valiosa na soluçãode problemas complexos de eletromagnetismo.

6.3 Dipolo Magnético Vertical

No capítulo anterior a resposta de um dipolo magnético vertical sobre ummeio estratificado foi obtida a partir do limite da resposta da bobina circular,fazendo-se o raio da bobina suficientemente pequeno. Agora, usaremos o

potencial ˆF para encontrar a mesma resposta. O objetivo aqui é mostrarcomo funciona a metodologia dos potenciais de Shelkunoff, a ser empregadanos próximos capítulos em toda sua plenitude.

Como foi dito acima, a primeira providência que deve ser tomada é

determinar o potencial incidente. ˆF imcz .

6.3. DIPOLO MAGNÉTICO VERTICAL 165

Como o diplo magnético vertical excita apenas o modo TE, o poten-

cial Âz, associado ao modo TM, é identicamente nulo. Por isso apenas o

potencial ˆFz é usado na solução do problema.Se o dipolo magnético vertical se encontra a uma altura hTx < 0 no

semi-espaço acima do meio acamado, podemos a partir de (6.17) escrever

ˆFz (kx, ky, z) =

∙z0mx

euhTx

2u

¸e−u0z

sendo 0 > z > h0.

Concluimos dai que o potencial incidente ˆF imcz se comporta como uma

onda plana no espaço (kx, ky, z). Simbolicamente,

ˆF incz (kx, ky, z) = F0e

−uTxz

em que

F0 = z0mxeuhTx

2u(6.48)

é a amplitude da onda incidente.De posse de F0 estamos prontos para aplicar a metodologia dos potenciais

de Shelkunoff. Com efeito, substituíndo (6.48) em (6.47) podemos escrever

ˆF (0)z (kx, ky, z) = z0mx

euhTx

2u0

³e−u0z +R

(0)TEe

u0z´

Voltamos ao espaço (x, y, z) com a transformada dupla inversa de Fourier.Portanto,

ˆF (0)z =

z0mz

8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

1

u0

³e−u0(z−hTx) +R

(0)TEe

u0(z+hTx)éi(kxx+kyy)dkxdky

e em 0 > h0 > z0, e

ˆF (0)z =

z0mz

8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

1

u0


(0)TEe

u0(z+hTx)éi(kxx+kyy)dkxdky

em 0 > z < h0.Usando-se a identidadeZ ∞

−∞

Z ∞

−∞f (kx, ky) e

i(kxx+kyy)dkxdky = 2π

Z ∞

0f (kr)J0 (krr) krdkr


em que k2r = k2x + k2y e r2 = x2 + y2,[?], podemos escrever

F (0)z (x, y, z) =z0mz

4π

Z ∞

0

kru0


(0)TEe

u0(z+hTx)´J0 (krr) dkr

De posse do potencial F (0)z podemos agora aplicar (6.26) e (6.27) paradeterminar a componente radial do campo elétrico,

E(0)φ (x, y, z) = −z0mz

4π

Z ∞

0

1

u0


(0)TEe

u0(z+hTx)´J1 (krr) k

2rdkr

Note que esta expressão é absolutamente idênticas à fórmula (5.32) dacomponente E(0)φ desenvolvida a partir da resposta de umma bobina de raioinfinitamente pequeno.

De posse da componente E(0)φ é fácil obter as componentes H(0)r e H(0)

z .

Capítulo 7

Dipolo Magnético Horizontal

7.1 Introdução

Ao contrário do dipolo magnético vertical que na presença de um meio es-tratificado excita apenas o modo TE, o dipolo magnético horizontal polarizaos dos modos, o TE e o TM, simultaneamente.

Seguindo a metodologia apresentada no capítulo anterior, o primeiropasso a ser dado é determinar os potenciais incidentes de Shelkunoff dodipolo magnético horizontal. Para tanto, precisamos, primeiro, determinaras componentes Ez e Hz do dipolo magnético horizontal, orientado na di-reção x.

Considerando em (6.18) e (6.19) F = (Fx, 0, 0) e A = 0, podemos escr-ever1

Ez =∂Fx∂y

e

Hz =1

z

∂2Fx∂y∂z

No domínio (kx, ky, z) estas duas expressões se tornam, respectivamente:

ˆEz = iky

ˆFx (7.1)

e

ˆHz =

ikxz

∂ˆFx∂z

(7.2)

1Lembre-se que a orientação do eixo z é postiva para baixo.

167

168 CAPÍTULO 7. DIPOLO MAGNÉTICO HORIZONTAL

Aplicando 7.1 em (6.17) vem

Êz (kx, ky, z) =

⎧⎨⎩ zmxiky2u e

u(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

zmxiky2u e

−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,(7.3)

e, do mesmo modo, aplicando 7.2, resulta

ˆHz (kx, ky, z) =

⎧⎨⎩ −mxikx2 eu(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

−mxikx2 e−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,

(7.4)

De posse da fórmula (7.3) da componente Êz (kx, ky, z) vamos agora

substituí-la no lado direito de (6.22) para calcular o potencial incidenteÂincz . Então,

µ∂2

∂z2+ k20

¶Âincz =

⎧⎨⎩ yzmxiky2u e

u(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

yzmxiky2u e

−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,(7.5)

Como a função do lado lado direito é uma exponencial em z, segue que

o potencial Âincz também o é. Observando-se ainda que derivar a função

e−uz em relação a z equivale multiplicá-la por −u e que a segunda derivadaequivale multiplicar por u2, podemos reescrever o lado direito da equaçãoacima da seguinte maneira,µ

∂2

∂z2+ k2

¶=¡u+ k2

¢.

Sabendo-se ainda que u2 = k2x + k2y − k2, resultaµ∂2

∂z2+ k2

¶=¡k2x + k2y

¢e por conseqüência, podemos escrever (7.5) assim,

Âincz (kx, ky, z) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−k2mx

iky2u(k2x+k2y)

eu(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

−k2mxiky

2u(k2x+k2y)e−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,

(7.6)

7.2. MEIO ESTRATIFICADO 169

em que k2 = −yzProcedendo de modo análogo com relação ao potencial incidente ˆF inc

z ,segue de (6.31) e (7.4) que

ˆF incz (kx, ky, z) =

⎧⎪⎨⎪⎩−zmx

ikx2(k2x+k2y)

eu(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

−zmxikx

2(k2x+k2y)e−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,

(7.7)De posse dos potenciais incidentes estamos prontos para calcular as com-

ponentes dos potenciais de Schelkunoff Â(j)z e ˆF (j)z em qualquer camada do

meio estratificado e por conseqüência as componentes dos campos elétrico emagnético, também.

7.2 Meio estratificado

Para se determinar as componentes dos campos elétrico e magnético devidoao dipolo magnético horizontal sobre um meio estratificado é necessário se

ter, de antemão, os potenciais Â(0)z e ˆF (0)z .Vamos iniciar, então, com o poten-

cial Â(0)z . Após substituir (7.6) na equação (6.46) e em seguida realizando atransformada inversa dupla de Fourier, podemos escrever

Â(0)z (x, y, z) =

−k20mx

8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTM (kx, ky) e

i(kxx+kyy)dkxdky (7.8)

sendo

KTM (kx, ky) =he−u0(z+h0) +R

(0)TMeu0(z−h0)

i iky

u0¡k2x + k2y

¢em que u20 = k2x + k2y − k20.

De modo análógo, empregando (7.7) podemos escrever ˆF (0)z assim,

ˆF (0)z (x, y, z) =

−z0mx

8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky) e

i(kxx+kyy)dkxdky (7.9)

sendo

KTE (kx, ky) =he−u0(z+h0) +R

(0)TEe

u0(z−h0)i ikxk2x + k2y

.


Por questão computacional é vantajoso substituir as transformadas du-plas de Fourier por transformadas de Hankel. Assim, empregando-se a iden-tidadeZ ∞

−∞

Z ∞

−∞f (kx, ky) e


Z ∞

0f (kr)J0 (krr) krdkr.

(7.10)em que k2r = k2x + k2y e r

2 = x2 + y2, o potencial A(0)z (7.8) torna-se

A(0)z (r, z) =−k20mx

4π

∂

∂y

Z ∞

0KTM (kr)J0 (krr) dkr (7.11)

sendo

KTM (kr) =he−u0(z+h0) +R

(0)TMeu0(z−h0)

i 1

u0kr,

e u20 = k2r − k20. Note que para se usar a identidade (7.10) foi necessáriosubstituir iky, no domínio (kx, ky, z), por ∂/∂y no domínio (kr, z).

Procedendo analogamente com relação ao potencial F (0)z (7.9), vem

F (0)z (r, z) =−z0mx

4π

∂

∂x

Z ∞

0KTE (kr)J0 (krr) dkr (7.12)

em que

KTE (kr) =he−u0(z+h0) +R

(0)TEe

u0(z−h0)i 1kr, (7.13)

onde foi feita a substituição de ikx por ∂/∂x.

De posse dos potenciais A(0)z e F (0)z , a determinação da componente H(0)x

do campo magnético é muito simples. Basta aplicar (7.11) em (6.23, apóstrocar x por z) correspondentes ao modo TM e (7.12) em (6.29, após trocarx por z), correspondem ao modo TE. Portanto,

H(0)x = −k0mx

4π

∂2

∂y2

Z ∞

0KTM (kr)J0 (krr) dkr

+mx

4π

∂2

∂x2

Z ∞

0K 0TE (kr)J0 (krr) dkr (7.14)

em que a função kernel KTM é dada por

KTM (kr) =he−u0(z+h0) +R

(0)TMeu0(z−h0)

i(7.15)


e a função kernel K 0TE (kr) é expressa por

K 0TE (kr) =

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe

u0(z−h0)i 1kr. (7.16)

Procedendo de forma inteiramente análoga, e empregando, agora, a fór-mula (6.21, após trocar x por z) e (6.30, após trocar x por z) podemosescrever a componente H(0)

y

H(0)y = −k0mx

4π

∂2

∂x∂y

Z ∞


+mx

4π

∂2

∂x∂y

Z ∞

0K 0TE (kr)J0 (krr) dkr (7.17)

em que aas funções kernel KTM e K 0TE são dadas por (7.15) e (7.16).

Finalmente, seguindo o mesmo caminho podemos escrever a componenteH(0)z . Logo,

H(0)z =

mx

4π

∂

∂x

Z ∞

0K 0TE (kr)J0 (krr) krdkr (7.18)

Aplicando as relações

∂J0 (krr)

∂x= −x

rkrJ1 (krr)

∂2J0 (krr)

∂x2= −

µ1

r− 2x

2

r3

¶krJ1 (krr)−

x2

r2k2rJ0 (krr)

∂2J0 (krr)

∂x∂y=

2xy

r3krJ1 (krr)−

xy

r2k2rJ0 (krr) (7.19)

podemos reescreve as expressões (7.14), (7.17) e (7.18) da seguinte maneira

H(0)x =

k0mx

4π

µ1

r− 2y

2

r3

¶Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TMeu0(z−h0)

iJ1 (krr) krdkr

+k0mx

4π

y2

r2

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TMeu0(z−h0)

iJ0 (krr) k

2rdkr

−mx

4π

µ1

r− 2x

2

r3

¶Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe

u0(z−h0)iJ1 (krr) krdkr

−mx

4π

x2

r2

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe

u0(z−h0)iJ0 (krr) k

2rdkr (7.20)


H(0)y = −k0mx

2π

xy

r3

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TMeu0(z−h0)

iJ1 (krr) krdkr

+k0mx

4π

xy

r2

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TMeu0(z−h0)

iJ0 (krr) k

2rdkr

mx

2π

xy

r3

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe


−mx

4π

xy

r2

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe


2rdkr (7.21)

H(0)z = −mx

4π

x

r

Z ∞

0

he−u0(z+h0) +R

(0)TEe


2rdkr (7.22)

Como sempre, estas integrais são computadas numericamente. Todavia,no caso particular em que o meio é um semi-espaço condutivo, homogêneo,isotrópico e não magnético pode-se obter soluções exatas se o regime forquase-estático (k0 = 0) e o transmissor e o receptor estiverem na superfície( z = h0 = 0).

7.2.1 Semi-espaço condutivo

Com as restrições mencionadas acima a integral (7.20) se reduz a

Hx = −mx

2π

∂

∂x

µx

r

Z ∞

0

kru1kr + u1

J1 (krr) dkr

¶Multiplicando o numerador e denominador por (kr − u1) vem

Hx = −mx

2π

∂

∂x

µx

rk21

Z ∞

0k2rJ1 (krr) dkr −

x

rk21

Z ∞

0k3rJ1 (krr) dkr

+x

r

Z ∞

0krJ1 (krr) dkr

¶Usando a integral de Somerfeld e, em seguida, derivando Hx com respeito ar e duas vezes com respeito a z e supondo z = 0, resulta

Hx (r, 0) = − mxy2

2πk21r7

h3 + k21r

2 −¡3 + 3ik1r − k21r

2¢e−ik1r

i+

mxx2

2πk21r7

h12 + 2k21r

2 −¡12 + 12ik1r − 5k21r2 − ik31r

3¢e−ik1r

i(7.23)


Procedendo do mesmo modo com a componente Hy (7.22) vem

Hy (r, 0) =mxxy

2πk21r7

h3 + k21r

2 −¡3 + 3ik1r − k2r2

¢e−ik1r

i− mxxy

2πk21r7

h12 + 2k21r

2 −¡12 + 12ik1r − 5k21r2 − ik31r

3¢e−ik1r

i(7.24)

De modo análogo, a componente Hz (7.22) torna-se

Hz (r, 0) = −mx

4π

x

r

∂

∂r

Z ∞

0

µkr − u1kr + u1

¶J0 (krr) krdkr

Com exceção do sinal e do termo x/r essa expressão é idêntica a (5.18) eportanto de (5.20) podemos escrever

Hz (r, 0) = −mxk

21

4π

x

r

∙I1

µik1r

2

¶K1

µik1r

2

¶− I2

µik1r

2

¶K2

µik1r

2

¶¸(7.25)

Impeância mútua

Iniciando com a componente Hr (7.25) podemos escrever a impedância mú-tua de duas bobinas coaxiais (y = 0) da seguinte maneira

(Z/Z0)cx =1

k21x2

h12 + 2k21x

2 −¡12 + 12ik1x− 5k21x2 − ik31x

3¢e−ik1x

iem que Hp

x = mx/¡2πx3

¢.

Lembrando-se que

k1 =

rωµ0σ12

(1− i) =1

δ(1− i) ,

ik1x =r

δ(1 + i) = x (1 + i) ,

k21x2 =

−i2x2δ2

= −i2x2,

ik31x3 = 2x3 (1− i)

resulta

(Z/Z0)cx =i

2x2

h12− i4x2 −

¡12 + 12x (1 + i) + i10x2 − 2x3 (1− i)

¢e−x(1+i)

i(7.26)


In[1]:= fDHmdZZ0cxE[freq_, rho_, x_] := Module[xB, xBi,nfreq = Length[freq];hmdHrExt = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];xB = x/skin;xBi = (xB + I xB);hmdHrExt[[i]] = I/(2 xB^2) (12 - I 4 xB^2 -(12 + 12 xBi + I 10 xB^2 - 2 xB^3 (1 - I) )Exp[-xBi]),i, nfreq]]

Novamente usando-se (7.25),podemos escrever a impedancia mútua deduas bobinas verticais coplanares (x = 0) do seguinte modo

(Z/Z0)cp =2

k21y2

h3 + k21y

2 −¡3 + 3ik1y − k21y

2¢e−ik1y

iNormalizando,vem

(Z/Z0)cp =i

y2

h3− i2y2 −

¡3 + 3y (1 + i) + i2y2

¢e−y(1+i)

i(7.27)

In[1]:= fDHmdZZ0cpE[freq_, rho_, y_] := Module[yB, yBi,nfreq = Length[freq];hmdHrExt = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];yB = y/skin;yBi = (yB + I yB);hmdHrExt[[i]] = I/(2 yB^2) (3 - I 2 yB^2 -(3 + 3 yBi + I 2 yB^2)Exp[-yBi]),i, nfreq]]

Finalmente, usando-se (??) e H0 = −mx/¡4πr3

¢obtem-se a impedância

mútua do sistema de bobinas perpendiculares

(Z/Z0)pp = k21x2

∙I1

µik1x

2

¶K1

µik1x

2

¶− I2

µik1x

2

¶K2

µik1x

2

¶¸Substituindo ik1x por x (1 + i) /2 vem

(Z/Z0)pp = −I2x2 [I1 (x (1 + i) /2)K1 (x (1 + i) /2)

− I2 (x (1 + i) /2)K2x (1 + i) /2] (7.28)


In[3]:= fDHmdZZ0ppE[freq_, rho_, x_] := Module[xB, xBi2,nfreq = Length[freq];hmdHzExt = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];xB = x/skin;xBi2 = (xB + I xB)/2;hmdHzExt[[i]] =I 2 xB^2 (BesselI[1, xBi2] BesselK[1, xBi2] -BesselI[2, xBi2] BesselK[2, xBi2]),i, nfreq]]

Do mesmo modo como foi feito para o dipolo magnético vertical é instru-tivo comparar graficamente as impedâncias mútuas de forma exata (7.26),(7.27), e (7.28) com as impedâncias mútuas calculadas numericamente pormeio das integrais (7.20), (7.21) e (7.22).

Supondo y = 0, a componente Hx (7.20) se simplifica em

H(0)x (x, 0, z) =

mx

4π

1

r

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe


−mx

4π

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe


2rdkr

Na superfície do semi-espaço h0 = z = 0,

H(0)x (x, 0, 0) =

mx

4π

1

r

Z ∞

0

2u1k1 + u1

J1 (krr) krdk

−mx

4π

Z ∞

0

2u1k1 + u1

J0 (krr) k2rdk

Normalizando pelo campo primário Hpr = mx/

¡2πr3

¢.e fazendo-se g =

krδ e r = r/δ, podemos escrever a impedância mútua de duas bobinasverticais coaxiais assim

(Z/Z0)cx = r2Z ∞

0

gpg2 + 2i

g +pg2 + 2i

J1 (gr) dg − r3Z ∞

0

g2pg2 + 2i

g +pg2 + 2i

J0 (gr) dg

(7.29)

In[4]:= kernelHmdZZ0cx1[g_] := Module[i,g Sqrt[g^2 + 2 I]/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

In[5]:= kernelHmdZZ0cx0[g_] := Module[i,


g^2 Sqrt[g^2 + 2 I]/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

In[6]:= fDHmdZZ0cx[kfun1_, kfun0_, freq_, rho_, x_] :=Module[i, g, xB, intJ1, intJ0,nfreq = Length[freq];hmdZZ0cx = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];xB = x/skin;j1Trans27[kfun1, xB];intJ1 = xB conv;j0Trans37[kfun0, xB];intJ0 = xB^2 conv;hmdZZ0cx[[i]] = intJ1 - intJ0,i, nfreq]]

Para efeito de comparação gráfica consideremos um semi-espaço homogê-neo de resistividade 100Ωm. A separação entre o transmissor e receptor são150, 500 e 1500 m. e as freqüências são dadas pela seguinte lista:

In[7]:= 10, 15.8489, 25.1189, 39.8107, 63.0957, 100, 158.489, 251.189,398.107, 630.957, 1000, 1584.89, 2511.89, 3981.07, 6309.57, 10000,15848.9, 25118.9, 39810.7, 63095.7, 100000;

0.0001 0.001 0.01 0.1Periodo

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

Abs(Z/Z0)

B. verticais coaxiais

0.0001 0.001 0.01 0.1Periodo

-10

0

10

20

30

Fase (Grau)

B. verticais coaxiais

Figura 7.1:

Supondo x = 0, a componente Hx (7.21) se simplifica em

H(0)x (0, y, z) = −mx

4π

1

y

Z ∞

0

he−u0(z+h0) −R

(0)TEe

u0(z−h0)iJ1 (kry) krdkr


sendo r = y.Na superfície do semi-espaço, h0 = z = 0,

H(0)x (0, y, 0) = −mx

4π

1

y

Z ∞

0

2u1k1 + u1

J1 (kry) krdk

Normalizando pelo campo primário Hpx = −mx/

¡4πy3

¢.e fazendo-se g =

krδ e y = y/δ, a impedância mútua de duas bobinas verticais coplanares seescreve assim

(Z/Z0)cp = y2Z ∞

0

2gpg2 + 2i

g +pg2 + 2i

J1 (gy) dg (7.30)

In[8]:= kernelHmdZZ0cp[g_] := Module[i,2 g Sqrt[g^2 + 2 I]/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

In[9]:= fDHmdZZ0cp[kfun_, freq_, rho_, y_] :=Module[i, g, yB,nfreq = Length[freq];hmdZZ0cp = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];yB = y/skin;j1Trans27[kfun, yB];hmdZZ0cp[[i]] = yB conv,i, nfreq]]

Com os mesmos dados do exemplo anterior, temos

0.0001 0.001 0.01 0.1Periodo

1

1.5

2

2.5

Abs(Z/Z0)

B. verticais coplanares

0.0001 0.001 0.01 0.1Periodo

-10

0

10

20

30

Fase (Grau)

B. verticais coplanares

Figura 7.2:


Supondo y = 0, a componente Hz (7.22) se simplifica para

H(0)z (x, 0, z) =

mx

4π

Z ∞

0

he−u0(z+h0) +R

(0)TEe

u0(z−h0)iJ1 (krx) k

2rdkr

sendo r = x.

Na superfície do semi-espaço h0 = z = 0

H(0)z (x, 0, 0) =

mx

4π

Z ∞

0

2g

k1 + u1J1 (krx) k

2rdk

Normalizando pelo campo primário Hpz = −mx/

¡4πx3

¢.e fazendo-se

g = krδ e x = x/δ é fácil obter aa impedância mútua de duas bobinasperpendiculares,

(Z/Z0)pp = −x3Z ∞

0

2g3

g +pg2 + 2i

J1 (gx) dg (7.31)

In[10]:= kernelHmdZZ0pp[g_] := Module[i,

2 g^3/(g + Sqrt[g^2 + 2 I])]

In[11]:= fDHmdZZ0pp[kfun_, freq_, rho_, x_] :=

Module[i, g, xB,


hmdZZ0pp = Table[0, i, nfreq];

Do[


xB = x/skin;

j1Trans27[kfun, xB];

hmdZZ0pp[[i]] = -xB^2 conv,

i, nfreq]]

Usando-se ainda os mesmos dados dos dois últimos exemplos, vem


0.0001 0.001 0.01 0.1Periodo

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Abs(Z/Z0)

B. perpendiculares

0.0001 0.001 0.01 0.1Periodo

-75

-50

-25

0

25

50

75

100

Fase (Grau)

B. perpendiculares

Figura 7.3:

Capítulo 8

Dipolo Elétrico Horizontal

8.1 Introdução

Tal qual o dipolo magnético horizontal (DMH), o dipolo elétrico horizontal(DEH) também excita, simultaneamente, os modos TE e TM de polarização.Assim, podemos aplicar a mesma metodologia empregada no capítulo ante-rior. O primeiro passo, então, é determinar as componentes Ez e Hz.para seobter, em seguida, os potenciais incidentes de Shelkunoff devido a um dipoloelétrico horizontal orientado na direção x.

Considerando em (6.18) e (6.19) A = (Ax, 0, 0) e F = 0, podemos escr-ever1

Ez =1

y

∂2Ax

∂x∂z

e

Hz = −∂Ax

∂y

No domínio (kx, ky, z) estas duas expressões se tornam, respectivamente:

Êz =

ikxy

∂Âx

∂z(8.1)

eˆHz = −iky Âx (8.2)

1Lembre-se que a orientação do eixo z é postiva para baixo.

181

182 CAPÍTULO 8. DIPOLO ELÉTRICO HORIZONTAL

Aplicando 6.9 em (8.1) vem

Êz (kx, ky, z) =

⎧⎨⎩Idsx

ikx2y e

u(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

−Idsx ikx2y e−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,(8.3)

e do mesmo modo, substituindo (6.9) em 8.2, resulta

ˆHz (kx, ky, z) =

⎧⎨⎩ −Idsxiky2u e

u(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

−Idsx iky2u e−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,(8.4)

De posse das componentes Êz eˆHz, estamos prontos para calcular os

potenciais incidentes Âincz e ˆF inc

z de Shelkunoff. Com efeito, substituindo(8.3) no lado direito de (6.22) e usando o mesmo raciocínio empregado na

seção 7.1, podemos escrever o potencial incidente Âincz de um dipolo eletrico

horizontal dsx como segue:

Âincz (kx, ky, z) =

⎧⎪⎨⎪⎩Idsx

ikx2(k2x+k2y)

eu(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

−Idsx ikx2(k2x+k2y)

e−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,

(8.5)De modo análogo, substituindo (8.4) e (6.31) tem-se o potencial incidente

ˆF incz . Portanto,

ˆF incz (kx, ky, z) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−Idsx iky

2Y(k2x+k2y)eu(z−h0), 0 > h0 > z ou 0 < z < h0,

−Idsx iky2Y(k2x+k2y)

e−u(z−h0), 0 > z > h0 ou 0 < h0 < z,

(8.6)Com os dois potenciais incidentes (modos TE e TM) em mãos, pode-se

obter facilmente as componentes dos potenciais de Schelkunoff Â(j)z e ˆF (j)z

em qualquer camada de um meio estratificado, e por fim, determina-se ascomponentes dos campos elétrico e magnético.

8.2 Meio estratificado

Para se determinar as componentes dos campos elétrico e magnético devidoao dipolo elétrico horizontal sobre um meio estratificado é necessário se ter,


de antemão, os potenciais ˆA(0)z e ˆF (0)z .Vamos iniciar, então, com o potencialˆA(0)z . Após substituir (8.6) na equação (6.46) e em seguida realizando atransformada inversa dupla de Fourier, podemos escrever

A(0)z (x, y, z) =−Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTM (kx, ky)

ikxk2x + k2y

ei(kxx+kyy)dkxdky

(8.7)sendo

KTM (kx, ky) =

⎧⎨⎩ e−u0(z−h0) +R(0)TMeu0(z−h0), h0 < z < 0

eu0(z−h0) +R(0)TMeu0(z−h0), z < h0 < 0

(8.8)

em que u20 = k2x + k2y − k20.

De modo análógo, empregando (??) podemos escrever ˆF (0)z assim,

F (0)z (x, y, z) =−Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky)

iky

Y0¡k2x + k2y

¢ei(kxx+kyy)dkxdky(8.9)

sendo

KTE (kx, ky) =

⎧⎨⎩ e−u0(z−h0) +R(0)TEe

u0(z−h0), h0 < z < 0

eu0(z−h0) +R(0)TEe

u0(z−h0), z < h0 < 0. (8.10)

Substituindo os potenciais (8.7) e (8.9) em (6.20) e (6.26).obtém-se facil-mente a componente Ex. Com efeito, aplicando

Ex =1

y0

∂2Az

∂x∂z− ∂Fz

∂y,

chega-se à expressão

Ex = −Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞K 0TM (kx, ky)

Z0k2x¡k2x + k2y

¢ei(kxx+kyy)dkxdky−Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky)

k2y

Y0¡k2x + k2y

¢ei(kxx+kyy)dkxdky(8.11)

em que

K0TM (kx, ky) =

⎧⎨⎩ e−u0(z−h0) −R(0)TMeu0(z−h0), h0 < z < 0

−eu0(z−h0) −R(0)TMeu0(z−h0), z < h0 < 0

(8.12)


e KTE (kx, ky) é dada por (8.10).Levando em conta que

k2yk2x + k2y

= 1− k2xk2x + k2y

e substituindo ikx por ∂/∂x e iky por ∂/∂y em (8.11), vem

Ex =Idsx8π2

∂2

∂x2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞K 0TM (kx, ky)

Z0¡k2x + k2y


∂2

∂x2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky)

1

Y0¡k2x + k2y


Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky)

1

Y0ei(kxx+kyy)dkxdky (8.13)

Para simplificar e tornar mais eficiente a computação destas integrais éconveniente substituir as transformadas duplas de Fourier por transformadasde Hankel. Assim, empregando-se a identidadeZ ∞

−∞

Z ∞

−∞f (kx, ky) e


Z ∞

0f (kr)J0 (krr) krdkr.

em que k2r = k2x + k2y e r2 = x2 + y2, podemos escrever

Ex =Idsx2π

∂2

∂x2

Z ∞

0K 0TM (kr)

Z0kr

J0 (krr) dkr

−Idsx2π

∂2

∂x2

Z ∞

0KTE (kx, ky)

1

krY0J0 (krr) dkr

−Idsx2π

Z ∞

0KTE (kr)

krY0

J0 (krr) dkr (8.14)

e u20 = k2r − k20.Finalmente, empregando a identidade

∂2J0 (krr)

∂x2= −

µ1

r− 2x

2

r3

¶krJ1 (krr)−

x2

r2k2rJ0 (krr) (8.15)


podemos nos livrar das segundas derivadas em relação a x. Com efeito,

Ex = −Idsx4π

µ1

r− 2x

2

r3

¶Z ∞

0K 0

TM (kr)Z0J1 (krr) dkr

−Idsx4π

x2

r2

Z ∞

0K 0

TM (kr)Z0krJ0 (krr) dkr

+Idsx4π

µ1

r− 2x

2

r3

¶Z ∞

0KTE (kx, ky)

1

Y0J1 (krr) dkr

−Idsx4π

µ1− x2

r2

¶Z ∞

0KTE (kx, ky)

krY0

J0 (krr) dkr (8.16)

Empregando-se (6.21) e (6.27) e procedendo da mesma naneira como no casoanterior, obtem-se a componente Ey. De fato,

Ey =1

y0

∂2Az

∂y∂z+

∂Fz∂x

e consequentemente

Ey = −Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞K 0

TM (kx, ky)Z0kxkyk2x + k2y

ei(kxx+kyy)dkxdky

+Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky)

kxky

Y0¡k2x + k2y

¢ei(kxx+kyy)dkxdkyou ainda

Ey =Idsx8π2

∂2

∂x∂y

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞K 0

TM (kx, ky)Z0¡

k2x + k2y¢ei(kxx+kyy)dkxdky

−Idsx8π2

∂2

∂x∂y

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky)

1

Y0¡k2x + k2y

¢ei(kxx+kyy)dkxdky.em que K 0

TM (kx, ky) e dada por 8.12 e KTE (kx, ky) por (8.10).Substituindo as integrais duplas de Fourier pela integral de Hankel, segue

Ey =Idsx4π

∂2

∂x∂y

Z ∞

0K 0

TM (kr)Z0kr

J0 (krr) dkr

−Idsx4π

∂2

∂x∂y

Z ∞

0KTE (kr)

1

krY0J0 (krr) dkr (8.17)

Substituindo as derivadas mistas de J0 (krr) por

∂2J0 (krr)

∂x∂y=2xy

r3krJ1 (krr)−

xy

r2k2rJ0 (krr)


resulta

Ey =Idsx4π

2xy

r3

Z ∞

0K 0TM (kr)Z0J1 (krr) dkr

−Idsx4π

xy

r2

Z ∞

0K 0

TM (kr)Z0krJ0 (krr) dkr

−Idsx4π

2xy

r3

Z ∞

0KTE (kr)

1

Y0J1 (krr) dkr

+Idsx4π

xy

r2

Z ∞

0KTE (kr)

krY0

J0 (krr) dkr (8.18)

De forma análoga obtem-se a componente Hx. Com efeito, de (6.23) e (6.29)podemos escrever

Hx =∂Az

∂y+1

z0

∂2Fz∂x∂z

.

Aplicando (8.7) e (8.9) nesta expressão resulta

Hx =Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTM (kx, ky)

kxky¡k2x + k2y


Z ∞

−∞

Z ∞

−∞K 0TE (kx, ky)

kxkyk2x + k2y

ei(kxx+kyy)dkxdky

em que KTM (kx, ky) é dada por (8.8) e

K 0TE (kx, ky) =

⎧⎨⎩ e−u0(z−h0) −R(0)TEe

u0(z−h0), h0 < z < 0

−eu0(z−h0) −R(0)TEe

u0(z−h0), z < h0 < 0.

Substituindo kxky por −∂2/∂x∂y e em seguida, transformando as integraisduplas de Fourier em integral de Hankel escreve-se

Hx = −Idsx4π

∂2

∂x∂y

Z ∞

0KTM (kr)

1

krJ0 (krr) dkr

+Idsx4π

∂2

∂x∂y

Z ∞

0K 0

TE (kr)1

krJ0 (krr) dkr (8.19)


ou mais especificamente

Hx = −Idsx4π

2xy

r3

Z ∞


+Idsx4π

2xy

r2

Z ∞

0KTM (kr) krJ0 (krr) dkr

+Idsx4π

2xy

r3

Z ∞

0K 0

TE (kr)J1 (krr) dkr

−Idsx4π

2xy

r2

Z ∞

0K 0

TE (kr) krJ0 (krr) dkr (8.20)

Usando-se (6.24) e (6.30) podemos escrever a componente Hy assim

Hy = −∂Az

∂x+1

z0

∂2Fz∂y∂z

.

e consequentemente assim

Hy = −Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTM (kx, ky)

k2x¡k2x + k2y


Z ∞

−∞

Z ∞

−∞K 0TE (kx, ky)

k2yk2x + k2y

ei(kxx+kyy)dkxdky

Procedendo exatamente como nos casos anteriores, resulta

Hy = −Idsx4π

∂2

∂x2

Z ∞

0KTM (kr)

1

krJ0 (krr) dkr

−Idsx4π

∂2

∂x2

Z ∞

0K 0

TE (kr)1

krJ0 (krr) dkr

−Idsx4π

Z ∞

0K 0TE (kr)J0 (krr) krdkr (8.21)

Hy =Idsx4π

µ1

r− 2x

2

r3

¶Z ∞


+Idsx4π

x2

r2

Z ∞

0KTM (kr) krJ0 (krr) dkr

+Idsx4π

µ1

r− 2x

2

r3

¶Z ∞

0K 0TE (kr)J1 (krr) dkr

+Idsx4π

µx2

r2− 1¶Z ∞

0K 0TE (kr) krJ0 (krr) dkr (8.22)


Para finalizar, vejamos, agora, a componente Hz. Partindo de (6.31)

Hz =1

z0

µ∂2

∂z2+ k20

¶Fz,

e (8.9), podemos escrever

Hz =−Idsx8π2

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

µ∂2

∂z2+ k20

¶KTE

iky

u0¡k2x + k2y

¢ei(kxx+kyy)dkxdky.em que se usou o fato de Y0 = u0/z0.

Efetetuando a derivada ∂2/∂z2de KTE e lembrando-se que u20 = k2x +k2y − k20, resulta

Hz = −Idsx8π2

∂

∂y

Z ∞

−∞

Z ∞

−∞KTE (kx, ky)

1

u0ei(kxx+kyy)dkxdky

em que iky deu lugar a ∂/∂y.Substituindo a integral dupla de Fourier pela integral de Hankel, vem

Hz = −Idsx4π

∂

∂y

Z ∞

0KTE (kr)

kru0

J0 (krr) dkr (8.23)

Finalmente, efetuando a derivada em y chega-se à expressão da componente

Hz =Idsx4π

y

r

Z ∞

0KTE (kr)

k2ru0

J1 (krr) dkr (8.24)

Como sempre, o cálculo destas integrais de Hankel é feito numericamente.Todavia, no caso particular em que o meio é um semi-espaço condutivo,homogêneo, isotrópico e não magnético pode-se obter soluções exatas se oregime for quase-estático (k0 = 0) e o transmissor e o receptor estiverem nasuperfície ( z = h0 = 0).

8.2.1 Semi-espaço condutivo

Considerando-se o arranjo in-line y = 0 e as restrições descritas acima, aintegral (8.16) se reduz a

Ex =Idsx4π

1

x

Z ∞

0

³1−R

(0)TM

´Z0J1 (krr) dkr

−Idsx4π

Z ∞

0

³1−R

(0)TM

´Z0krJ0 (krr) dkr

−Idsx4π

1

x

Z ∞

0

³1 +R

(0)TE

´ 1

Y0J1 (krr) dkr


Substituindo R(0)TM e R(0)TE por

R(0)TM =

Z0 −Z1Z0 +Z1

e

R(0)TM =

Y0 − Y1Y0 + Y1

e levando em consideração que |Z0| >> |Z1|, podemos escrever

Ex =Idsx2π

1

x

Z ∞

0Z1J1 (krr) dkr

−Idsx2π

Z ∞

0Z1krJ0 (krr) dkr

−Idsx2π

1

x

Z ∞

0

1

Y0 + Y1J1 (krr) dkr

Sabendo-se que Z1 = u1/σ1 e Yj = uj/iωµ0, resulta

Ex =Idsx2π

1

xσ1

Z ∞

0u1J1 (krr) dkr

−Idsx2π

1

σ1

Z ∞

0u1krJ0 (krr) dkr

−Idsx2π

1

x

Z ∞

0

iωµ0u0 + u1

J1 (krr) dkr

Procedendo da mesma maneira como nos dois capítulos anbteriores,obtém-se

Ex =Idsx2πσr3

h1 + (1 + ikx) e−ikx

iFnalmente podemos escrever a impedância mútua da seguinte maneira:

(Z/Z0)Ex =1

2

h1 + (1 + x (1 + i)) e−x(1+i)

i(8.25)

A título de ilustação vamos considerar o um semi espaço de 100 Ωm e trêsvalores de separações entre o transmissor o receptor. (250, 500 e 1000 m).

In[1]:=fDdehZZ0ExE[freq_, rho_, x_] := Module[xB, xBi,nfreq = Length[freq];


dehExE = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];xB = x/skin;xBi = (xB + I xB);dehExE[[i]] = (1 + (1 + xBi)Exp[-xBi])/2,i, nfreq]]

In[1]:=fDdehZZ0ExE[freq_, rho_, x_] := Module[xB, xBi,nfreq = Length[freq];dehExE = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];xB = x/skin;xBi = (xB + I xB);dehExE[[i]] = (1 + (1 + xBi)Exp[-xBi])/2,i, nfreq]]

100 1000 10000 100000.Periodo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Abs(Z/Z0)

ZZ0Ex

100 1000 10000 100000.Periodo

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Abs(Z/Z0)

ZZ0Ex

Figura 8.1:

No caso do arranjo broadside (x = 0) temos

Ex = −Idsx2π

1

y

Z ∞

0Z1J1 (krr) dkr

+Idsx2π

1

y

Z ∞

0

1

Y0 + Y1J1 (krr) dkr

−Idsx2π

Z ∞

0

krY0 + Y1

J0 (krr) dkr


Procedendo como no caso anterior, segue

Ex = −Idsx2π

1

yσ

Z ∞

0u1J1 (krr) dkr

+Idsx2π

1

y

Z ∞

0

iωµ0u0 + u1

J1 (krr) dkr

−Idsx2π

Z ∞

0

iωµ0kru0 + u1

J0 (krr) dkr

Resolvidas as integrais, resulta

Ex = −Idsx2πσr3

h2− (1 + ikx) e−ikx


(Z/Z0)Ey = 2− (1 + x (1 + i)) e−x(1+i) (8.26)

100 1000 10000 100000.Periodo

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Abs(Z/Z0)

ZZ0Ey

100 1000 10000 100000.Periodo

-20

-10

0

10

20

30

40

Abs(Z/Z0)

ZZ0Ey

Figura 8.2:

Seguindo os mesmos passos de antes, podemos escrever Hy () assim

Hy =Idsx2π

1

x

Z ∞

0

Z0Z0 +Z1

J1 (krr) dkr

+Idsx2π

Z ∞

0

Z0Z0 +Z1

krJ0 (krr) dkr

+Idsx2π

1

x

Z ∞

0

Y1Y0 + Y1

J1 (krr) dkr

ou, mais especificamente, assim


Hy =Idsx2π

1

x

Z ∞

0

u0 + 2u1u0 + u1

J1 (krr) dkr

+Idsx2π

Z ∞

0krJ0 (krr) dkr


(Z/Z0)Hy = 2I1

µik1x

2

¶K1

µik1x

2

¶Fnalmente podemos escrever a impedância mútua da seguinte maneira:

(Z/Z0)Hy = 2I1 (x (1 + i) /2)K1 (x (1 + i) /2) (8.27)

100 1000 10000 100000.Periodo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Abs(Z/Z0)

ZZ0Hy

100 1000 10000 100000.Periodo

-60

-40

-20

0

20

Abs(Z/Z0)

ZZ0Hy

Figura 8.3:

Finalmente a componente Hz () (x = 0) se reduz a

Hz =Idsx2π

Z ∞

0

krY0Y0 + Y1

J1 (krr) dkr,

ou ainda

Hz =Idsx2π

Z ∞

0

k2ru0 + u1

J1 (krr) dkr


(Z/Z0)Hz = −2

k21y2

h3−

¡3 + 3ik1y − k21y

2¢e−ik1y


8.3. MCSEM (MARINE CONTROLLED SOURCE ELECTROMAGNETRIC)193

(Z/Z0)Hz = −i

y2

h3−

¡3 + 3y (1 + i) + i2y2

¢e−y(1+i)

i(8.28)

In[1]:= fDdehZZ0HzE[freq_, rho_, y_] := Module[yB, yBi,nfreq = Length[freq];dehHzE = Table[0, i, nfreq];Do[skin = 500./Pi Sqrt[10. rho/freq[[i]]];yB = y/skin;yBi = (yB + I yB);dehHzE[[i]] = -I/(yB^2) (3 - (3 + 3 yBi + I 2 yB^2)Exp[-yBi]),i, nfreq]]

100 1000 10000 100000.Periodo

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Abs(Z/Z0)

ZZ0Hz

100 1000 10000 100000.Periodo

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Abs(Z/Z0)

ZZ0Hz

Figura 8.4:

8.3 MCSEM (Marine Controlled Source Electro-magnetric)

Um novo método geofísico para exploração de petróleo em águas profundasfoi lançado recentemente, no mercado, pela companhia norueguesa Elec-toMagneticGeoservices ([?], [?]). Este novo método consiste em medir nofundo do mar o campo elétrico gerado por um dipolo elétrico horizontaldeslocado na água, acima do fundo do mar, na direção horizontal. As medi-das do campo elétrico são realizadas acompanhando dois arranjos distintos:o arranjo radial, em que os receptores estão alinhados na mesma direção dodipolo transmissor; e o arranjo azimutal, em que os receptores são paralelosà direção do dipolo transmissor (Figura 8.5).

eGs

Formulação matemática do problemaMCSEM_1D

Luiz Rijo

No sistema SI, as equações das componentes x, y, z e as componentes radial eazimutal do campo elétrico devido a um dipolo elétrico transmissor dentro do mar,orientado na direção x, na presença de um reservatório unidimensional num meioestratificado são:

Componente Ex

Exx, y, z 1Ids43

1r −

2x2

r3 0

KTM′ g, zJ1grdg

1Ids43

x2

r2 0

KTM′ g, zJ0grgdg

− 1Ids43

1r −

2y2

r3 0

KTEg, z 2i

ū1J1grdg

− 1Ids43

y2

r2 0

KTEg, z 2i

ū1J0grgdg

Componente Ey

Eyx, y, z 1Ids43

2xyr3 0

KTM′ g, zJ1grdg

− 1Ids43

xyr2 0

KTM′ g, zJ0grgdg

1Ids43

2xyr3 0

KTEg, z 2i

ū1J1grdg

− 1Ids43

xyr2 0

KTEg, z 2i

ū1J0grgdg

Componente Ez

Ezx, y, z 2Ids43

xr 0

KTMg, zJ1grg2dg

Arranjo Radial (in-line)

ExRdx, 0, h1 1Ids43x 0

KTM′ g, h1J1gxdg

− 1Ids43

x2

r2 0

KTM′ g, h1J0gxgdg

− 1Ids43x 0

KTEg, h1 2i

ū1J1gxdg

Arranjo Azimutal (broadline)

ExAz0, y, h1 −1Ids43y 0

KTM′ g, h1J1gydg

1Ids43y 0

KTEg, h1 2i

ū1J1gydg

− 1Ids43 0

KTEg, h1 2i

ū1J0gygdg

em que Ex, Ey e Ez são, respectivamente, as componentes x, y, z do campo elétrico devidoa um dipolo elétrico na direção x. ExRd e ExAz são, respectivamente, as componentes radial eazimutal.

1 é a resistividade da primeira camada (o mar), 21

0 é o skin-depth referente à primeira camada,0 410−7 é a permeabilidade magnética do vácuo, 2f é a freqüência angular e f é a freqüência linear,r x2 y2 é a distância horizontal entre o transmissor - receptor, normalizada pelo

skin-depth,z é a profundidade, relativa à superfície do mar, do receptor, normalizada pelo

skin-depth,h0 é a profundidade, relativa à superfície do mar, do dipolo elétrico transmissor,

normalizada pelo skin-depth,h1 é a espessura da primeira camada (o mar), normalizada pelo skin-depth,ū1 g2 2i a constante de propagação na primeira camada,J0 e J1 são as funções de Bessel de primeira espécie de ordem 0 e 1,Ids é o momento do dipolo elétrico transmissor.g é a variável de integração da transformada de Hankel g kr.

Os kernel KTE, KTM e KTM′ das transformadas de Hankel são expressos por

KTEg, z e−ū1z−h0 RTE1−e−ū1zh0 RTE

1eū1zh0 ,

KTMg, z e−ū1z−h0 RTM1−e−ū1zh0 − RTM

1eū1zh0

eKTM′ g, z −ū1 e−ū1z−h0 RTM

1−e−ū1zh0 RTM1eū1zh0 .

sendoOs coeficientes de reflexão RTE

1 , RTE1− , RTM

1 e RTM1− dos modos TE e TM, são dados

por

RTE1

ū1−ū2FTE2

ū1ū2FTE2 1 ū1−g

ū1g e−2ū1h0 e−2ū1h1

1 − ū1−gū1g

ū1−ū2FTE2

ū1ū2FTE2 e−2ū1h1

RTE1−

ū1−gū1g 1 ū1−ū2FTE

2

ū1ū2FTE2 e−2ū1h1−h0

1 − ū1−gū1g

ū1−ū2FTE2

ū1ū2FTE2 e−2ū1h1

RTM1

1ū1−2ū2FTM2

1ū12ū2FTM2 1 e−2ū1h0 e−2ū1h1

1 1ū1−2ū2FTM2

1ū12ū2FTM2 e−2ū1h1

RTM1−

1 1ū1−2ū2FTM2

1ū12ū2FTM2 e−2ū1h1−h0

1 1ū1−2ū2FTM2

1ū12ū2FTM2 e−2ū1h1

O fator de estratificação FTE2 do modo TE é calculado pelo seguinte algoritmo

recursivo:FTEN 1,

FTEj

ūj1FTEj1 ūj tanhūjhj

ūj ūj1FTEj1 tanhūjhj

, j N − 1, N − 2, . . . , 3, 2.

em queū1 g2 2i1/j é a constante de propagação na j-ésima camada,j é a resistividade da j-ésima camada,hj é a espessura da primeira j-ésima camada, normalizada pelo skin-depth eN é o número de camadas, incluindo o mar e o embasamento.

De forma análoga, tém-se o fator de estratificação FTM2 do modo TM:

FTMN 1,

FTMj

j1ūj1FTMj1 jūj tanhūjhj

jūj j1ūj1FTMj1 tanhūjhj

, j N − 1, N − 2, . . . , 3, 2.

Belém, 20 de novembro de 2004

Relatório 2 Mapeamento das componentes Ex, Ey, Ez com o programa mcsem1d.

H∗ Inicializa o Kernel do Mathematica ∗L2 + 2

4

H∗ Inicializa os pacotes AddOns: eGs`mcsem1dM`,Graphics`Graphics` e LinearAlgebra`MatrixManipulation` ∗L<< eGs`mcsem1d`<< Graphics`Graphics`<< LinearAlgebra`MatrixManipulation`$Context = "eGs`mcsem1d`Private`";Off@General::spell1D; Off@General::spellD;

H∗ Executa o modelo de referencia ∗Lfreq = .125;hTx = 30;x = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,

5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;y = x;rho = 8.3, .8<;h = 81500.<;mcsem1dExEy@freq, hTx, x, y, rho, hD êê Timingmcsem1dEz@freq, hTx, x, y, rho, hD êê Timing

829.781 Second, Null<


H∗ Rebate os dados nos quatro quadrantes para se traçar o mapa 3 D ∗Lexr = Transpose@Reverse@Transpose@exDDD;exNoHc = BlockMatrix@88Reverse@exrD, Reverse@exD<, 8exr, ex<<D;eyr = Transpose@Reverse@Transpose@eyDDD;eyNoHc = BlockMatrix@88Reverse@eyrD, Reverse@eyD<, 8eyr, ey<<D;ezr = Transpose@Reverse@Transpose@ezDDD;ezNoHc = BlockMatrix@88Reverse@ezrD, Reverse@ezD<, 8ezr, ez<<D;

mcsem1d_MP_mapa.nb 1

H∗ Executa o modelo com reservatório ∗Lfreq = .125;hTx = 30;x = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,

5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;y = x;rho = 8.3, .8, 10, .8<;h = 81500., 1000, 50<;mcsem1dExEy@freq, hTx, x, y, rho, hD êê Timingmcsem1dEz@freq, hTx, x, y, rho, hD êê Timing



H∗ Rebate os dados nos quatro quadrantes para se traçar o mapa 3 D ∗Lexr = Transpose@Reverse@Transpose@exDDD;exHc = BlockMatrix@88Reverse@exrD, Reverse@exD<, 8exr, ex<<D;eyr = Transpose@Reverse@Transpose@eyDDD;eyHc = BlockMatrix@88Reverse@eyrD, Reverse@eyD<, 8eyr, ey<<D;ezr = Transpose@Reverse@Transpose@ezDDD;ezHc = BlockMatrix@88Reverse@ezrD, Reverse@ezD<, 8ezr, ez<<D;

H∗ Traça o mapa 3 D da componente ex ∗Lp1 = ListPlot3D@Abs@exHcDê Abs@exNoHcD,

PlotRange → 80, 10<, MeshRange → 88−10000, 10000<, 8−10000, 10000<<D;

-10000

-5000

0

5000

10000-10000

-5000

0

5000

10000

02

4

6

8

10

00

-5000

0

5000


H∗ Traça os perfis 20, 17, 14, 11 da componente ex ∗Lx = 8−10000, −9500, −9000, −8500, −8000, −7500, −7000, −6500,−6000, −5500, −5000, −4500, −4000, −3500, −3000, −2500, −2000, −1500,−1000, −500, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

p20 = ListPlot@Transpose@8x, Abs@exHcD@@20DDê Abs@exNoHcD@@21DD<D,PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<,PlotRange → 80, 5<, DisplayFunction → IdentityD;

p17 = ListPlot@Transpose@8x, Abs@exHcD@@17DDê Abs@exNoHcD@@17DD<D, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 1, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;



Show@GraphicsArray@8Show@8p20, p17, p14, p11<D<D,DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-10000 -5000 5000 10000

1

2

3

4

5

H∗ Traça o mapa 3 D da componente ey ∗Lp1 = ListPlot3D@Abs@eyHcDê Abs@eyNoHcD,

PlotRange → 80, 2<, MeshRange → 88−10000, 10000<, 8−10000, 10000<<D;

-10000-5000

0

5000

10000-10000

-5000

0

5000

10000

00.5

11.5

2

0-5000

0

5000


H∗ Traça os perfis 20, 17, 14, 11 da componente ey ∗Lx = 8−10000, −9500, −9000, −8500, −8000, −7500, −7000, −6500,−6000, −5500, −5000, −4500, −4000, −3500, −3000, −2500, −2000, −1500,−1000, −500, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

p20 = ListPlot@Transpose@8x, Abs@eyHcD@@20DDê Abs@eyNoHcD@@21DD<D,PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<,PlotRange → 80, 2<, DisplayFunction → IdentityD;

p17 = ListPlot@Transpose@8x, Abs@eyHcD@@17DDê Abs@eyNoHcD@@17DD<D, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction → IdentityD;




-10000 -5000 5000 10000

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

H∗ Traça o mapa 3 D da componente ez ∗Lp1 = ListPlot3D@Abs@ezHcDê Abs@ezNoHcD,

PlotRange → 80, 2<, MeshRange → 880, 10000<, 8−10000, 10000<<D;

02000

40006000

800010000-10000

-5000

0

5000

10000

00.5

11.5

2

02000

40006000

8000


H∗ Traça os perfis 20, 17, 14, 11 da componente ez ∗Lx = 8−10000, −9500, −9000, −8500, −8000, −7500, −7000, −6500,−6000, −5500, −5000, −4500, −4000, −3500, −3000, −2500, −2000, −1500,−1000, −500, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

p20 = ListPlot@Transpose@8x, Abs@ezHcD@@20DDê Abs@ezNoHcD@@21DD<D,PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<,PlotRange → 80, 2<, DisplayFunction → IdentityD;

p17 = ListPlot@Transpose@8x, Abs@ezHcD@@17DDê Abs@ezNoHcD@@17DD<D, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 1, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;




-10000 -5000 5000 10000

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2


Relatório 2 Perfis radial e azimutal com o programa mcsem1d.

H∗ Inicializa o Kernel do Mathematica ∗L2 + 2

4

<< eGs`mcsem1d`<< Graphics`Graphics`$Context = "eGs`mcsem1d`Private`";Off@General::spell1D; Off@General::spellD;

H∗ Executa o modelo de referencia do arranjo radial ∗Lfreq = .125; H∗ frequencia ∗LhTx = 30; H∗ posição vertical do dipolo transmissor ∗L

x = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

H∗ distancias x do transmissor aos receptores ∗Ly = 80<; H∗ perfil central, y = 0 ∗Lrho = 8.3, .8<;H∗ resistividades da primeira HmarL e segunda camadas ∗L

h = 81500.<; H∗ espessura da primeira camada − mar ∗Lmcsem1dExEy@freq, hTx, x, y, rho, hD êê TimingH∗ calcula as componentes Ex e Ey com mcsem1d ∗Lskin = 500 Sqrt@10∗ rho@@1DDêfreqDêPi; H∗ skin depth na primeira camada ∗LrdNoHc = Flatten@exDêH4 Pi ∗ skin^3L; H∗ copia ex em rdNoHc ∗L

81.5 Null8 Second, Null9<

H∗ Executa o modelo com reservatorio do arranjo radial ∗Lfreq = .125; H∗ frequencia ∗L

hTx = 30;H∗ posição vertical do dipolo transmissor ∗Lx = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000,

5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;H∗ distancias x do transmissor aos receptores ∗Ly = 80<; H∗ perfil central, y = 80< ∗Lrho = 8.3, .8, 10, .8<; H∗ resistividades das camadas ∗Lh = 81500, 1000, 50<; H∗ espessura das camada ∗L

mcsem1dExEy@freq, hTx, x, y, rho, hD êê TimingH∗ calcula as componentes Ex e Ey com mcsem1d ∗Lskin = 500 Sqrt@10∗ rho@@1DDêfreqDêPi; H∗ skin depth na primeira camada ∗LrdHc = Flatten@exDêH4 Pi ∗ skin^3L; H∗ copia ex em rdHcL ∗L


mcsem1d_MP_perfil.nb 1

H∗ Gráficos da amplitude do campo Ex radial dos modelo dereferêmvia HazulL e do modelo com reservatório HvermelhoL ∗L

x = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000,5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

p1 = Show@LogListPlot@Transpose@8x, Abs@rdNoHcD<D, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<, PlotRange −> 810.1^−17, 10.^−7<,TextStyle → 8FontSize → 7.0<, GridLines → 8Automatic, 810.^−16, 10.^−15, 10.^−14,

10.^−13, 10.^−12, 10.^−11, 10.^−10, 10.^−9, 10.^−8<<, Frame → True,FrameLabel → 8"Distância Tx−Rx HmL", "E HVêAm2L", "Radial HIn−lineL", " "<,DisplayFunction → IdentityDD;

p2 = Show@LogListPlot@Transpose@8x, Abs@rdHcD<D, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;

Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

0 2000 4000 6000 8000 10000Distância Tx−Rx HmL

1.×10−17

1.×10−15

1.×10−13

1.×10−11

1.×10−9

1.×10−7

EHVê

2m

AL

Radial HIn−lineL

Null3

H∗ Gráficos da fase do campo Ex radial dos modelo dereferêmvia HverdeL e do modelo com reservatório HvermelhoL ∗L

faseRdNoHc = 180ê Pi Arg@−rdNoHcD;faseRdHc = 180êPi Arg@−rdHcD;p1 = Show@

ListPlot@Transpose@8x, faseRdNoHc<D, PlotJoined → True, PlotRange −> 8−200, 200<,PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<, TextStyle → 8FontSize → 7.0<,GridLines → 8Automatic, 8−200, −150, −100, −50, 0, 50, 100, 150, 200<<,Frame → True, FrameLabel → 8"Distância Tx−Rx HmL", "Graus",

"Radial HIn−lineL", " "<, DisplayFunction → IdentityDD;p2 = Show@ListPlot@Transpose@8x, faseRdHc<D, PlotJoined → True,

PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;


−150

−100

−50

0

50

100

150

200

su

ar

G

Radial HIn−lineL


H∗ Executa o modelo de referencia do arranjo azimutal∗Lfreq = .125; H∗ frequencia ∗LhTx = 30; H∗ posição vertical do dipolo transmissor ∗L

y = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

H∗ distancias y do transmissor aos receptores ∗Lx = 80<; H∗ perfil broadside x = 80< ∗Lrho = 8.3, .8<;H∗ resistividades da primeira HmarL e segunda camadas ∗L

h = 81500.<; H∗ espessura da primeira camada − mar ∗Lmcsem1dExEy@freq, hTx, x, y, rho, hD êê TimingH∗ calcula as componentes Ex e Ey com mcsem1d ∗Lskin = 500 Sqrt@10∗ rho@@1DDêfreqDêPi; H∗ skin depth na primeira camada ∗LazNoHc = Flatten@exDêH4 Pi ∗ skin^3L; H∗ copia ex em azNoHc ∗L


H∗ Executa o modelo completo com reservatorio do arranjo azimutal ∗Lfreq = .125; H∗ frequencia ∗L

hTx = 30; H∗ posição vertical do dipolo transmissor ∗Ly = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,

5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;H∗ distancias y do transmissor aos receptores ∗Lx = 80<; H∗ perfil broadside, x = 80< ∗Lrho = 8.3, .8, 10, .8<; H∗ resistividades das camadas ∗Lh = 81500, 1000, 50<; H∗ espessura das camada ∗Lmcsem1dExEy@freq, hTx, x, y, rho, hD êê TimingH∗ calcula as componentes Ex e Ey com mcsem1d ∗Lskin = 500 Sqrt@10∗ rho@@1DDêfreqDêPi; H∗ skin depth na primeira camada ∗LazHc = Flatten@exDêH4 Pi ∗ skin^3L; H∗ copia ex em azHcL ∗L



H∗ Gráficos da amplitude do campo Ex azimutal dos modelo dereferêmvia HverdeL e do modelo com reservatório HvermelhoL ∗L

a = 4 Pi ∗ skin^3; y = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

p1 = Show@LogListPlot@Transpose@8y, Abs@azNoHcD<D, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<,PlotRange −> 810.1^−17, 10.^−7<, TextStyle → 8FontSize → 7.0<,GridLines → 8Automatic, 810.^−16, 10.^−15, 10.^−14, 10.^−13,

10.^−12, 10.^−11, 10.^−10, 10.^−9, 10.^−8<<, Frame → True,FrameLabel → 8"Distância Tx−Rx HmL", "E HVêAm2L", "Azimutal HBroadlineL", " "<,DisplayFunction → IdentityDD;

p2 = Show@LogListPlot@Transpose@8y, Abs@azHcD<D, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;

Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;


1.×10−17

1.×10−15

1.×10−13

1.×10−11

1.×10−9

1.×10−7

EHVê

2m

AL

Azimutal HBroadlineL

H∗ Gráficos da fase do campo Ex azimutal dos modelo dereferêmvia HverdeL e do modelo com reservatório HvermelhoL ∗L

faseAzNoHc = 180ê Pi Arg@azNoHcD;faseAzHc = 180êPi Arg@azHcD;y = 8500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500,

5000, 5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;p1 = Show@ListPlot@Transpose@8y, faseAzNoHc<D,

PlotJoined → True, PlotRange −> 8−200, 200<,PlotStyle → [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<, TextStyle → 8FontSize → 7.0<,GridLines → 8Automatic, 8−200, −150, −100, −50, 0, 50, 100, 150, 200<<,Frame → True, FrameLabel → 8"Distância Tx−Rx HmL", "Graus",

"Azimutal HBroadlineL", " "<, DisplayFunction → IdentityDD;p2 = Show@ListPlot@Transpose@8y, faseAzHc<D, PlotJoined → True,

PlotStyle → [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;


−150

−100

−50

0

50

100

150

200

su

ar

G

Azimutal HBroadlineL


H∗ Gráficos do campo Ex normalizado: radial HvermelhoL,azimutal HazulL ∗L

x = 8250, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000,5500, 6000, 6500, 7000, 7500, 8000, 8500, 9000, 9500, 10000<;

p1 = ListPlot@Transpose@8y, Abs@rdHcDê Abs@rdNoHcD<D, PlotJoined −> True,PlotRange −> 80, 2<, TextStyle −> 8FontSize −> 7.0<,GridLines −> 8Automatic, Automatic<, Frame −> True, FrameLabel −>

8"Distância Tx−Rx HmL", "AbsHeHcêeNoHcL", "Campo rletrico normalizado", " "<,PlotStyle −> [email protected], RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD;

p2 = ListPlot@Transpose@8y, Abs@azHcDê Abs@azNoHcD<D,PlotJoined −> True,

PlotStyle −> [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction −> IdentityD;Show@8p1, p2<, DisplayFunction −> $DisplayFunctionD;


0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

sb

AH

cH

eê

cH

oN

eL

Campo rletrico normalizado


Referências Bibliográficas

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