aula 11

Engenharia Civil – ANTT 2013

Teoria e Questões Prof. Marcus V. Campiteli – Aula 11

Prof. Marcus V. Campiteli www.estrategiaconcursos.com.br Página 1 de 106

AULA 11: ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS

SUMÁRIO PÁGINA

CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 1

1. INTRODUÇÃO 2

2. CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 4

3. APOIOS 4

4. ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 9

5. ESFORÇOS NAS SEÇÕES DAS ESTRUTURAS 12

6. ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS 15

7. ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS 31

8. QUADROS COM BARRAS CURVAS 42

9. QUADROS COMPOSTOS 45

10. ESTUDO DOS ARCOS ARTICULADOS 47

11. SISTEMAS GUINDASTE 54

12. TRELICAS ISOSTÁTICAS 56

13. QUESTÕES COMENTADAS 69

14. QUESTÕES APRESENTADAS NESTA AULA 97

15. GABARITO 106

16. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 106

Esta aula baseia-se no livro “Curso de Análise Estrutural –

Volume 1”, do autor José Carlos Sussekind, por ter sido fonte das

últimas questões do Cespe sobre análise estrutural.

Boa sorte a todos !

Qualquer dúvida é só enviar para o fórum. Abraços!




1 – INTRODUÇÃO

A Análise Estrutural é a parte da Mecânica que estuda as

estruturas, em especial na determinação dos esforços e das

deformações a que elas ficam submetidas quando solicitadas por

agentes externos (cargas, variações térmicas, movimento de seus

apoios, etc.).

As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre

si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, isto é,

um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las

internamente e transmiti-las até seus apoios, onde estas solicitações

externas encontram seu sistema estático equilibrante.

1.1 - Força

Pode-se exercer uma força sobre um corpo por meio de um

esforço muscular; uma locomotiva exerce força sobre os vagões que

ela reboca; uma mola esticada exerce forças sobre as peças que

fixam suas extremidades; etc. Em todos estes casos, o corpo que

exerce a força está em contato com aquele sobre o qual ela é

exercida – tratam-se, pois, de forças de contato.

Há, também, forças que atuam através do espaço, sem

contato, chamadas, por esta razão, forças de ação à distância – são

as forças devidas à existência de campos agindo sobre o corpo. É o

caso das forças elétricas, magnéticas, das forças de gravitação e, no

caso da Terra, das forças devidas à gravidade (que são os pesos dos

corpos).

É comum chamar-se de forças que atuam numa estrutura de

cargas.




1.2 – Momento

Seja a barra da figura a seguir, suportada em C por um cutelo

sem atrito e tendo um peso de 10 kg suspenso em B, que se deseja

contrabalançar por um peso suspenso em A:

É fácil ver que o peso a ser colocado em A, a fim de

contrabalançar o efeito da rotação da barra em tomo do cutelo C,

deve ser inferior a 10 kg, por estar mais afastado de C do que este

último; por tentativas, veríamos que seu valor deve ser de 5 kg. Este

exemplo simples foi escolhido para ilustrar o fato de que o efeito de

rotação de uma força em torno de um ponto depende do valor da

força e também de sua distância ao ponto, sendo diretamente

proporcional a ambos. Se desejarmos, então, criar uma grandeza

física, através da qual queiramos representar a tendência de rotação

em torno de um ponto, provocada por uma força, esta grandeza

deverá ser função da força e de sua distância ao ponto.

Esta grandeza é o momento.

2 – CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO

Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em

equilíbrio, é necessário que elas não provoquem nenhuma tendência

de translação nem rotação a este corpo. Como a tendência de

translação é dada pela resultante das forças e a tendência de rotação,

em tomo de qualquer ponto, é dada pelo momento resultante destas




forças em relação a este ponto, basta que eles sejam nulos para que

o corpo esteja em equilíbrio.

3 – APOIOS

Os apoios são os vínculos externos da estrutura, isto é, seus

vínculos em relação a seus suportes (solo ou outra estrutura).

A função dos apoios é a de restringir graus de liberdade das

estruturas, despertando com isto reações nas direções dos

movimentos impedidos. Eles serão classificados em função do

número de graus de liberdade permitidos (ou do número de

movimentos impedidos), podendo ser, então, de 6 tipos diferentes

(isto é, podendo permitir 5,4,3,2,1 ou nenhum grau de liberdade), de

forma a garantir o equilíbrio estático da estrutura, conforme a seguir:

Seja o apoio representado na figura abaixo, em que temos a

estrutura apoiada sobre uma esfera perfeitamente lubrificada. O

único movimento que ela será capaz de impedir é a translação na

direção vertical, aparecendo com isto uma reação R, agindo sobre a

estrutura. O apoio será dito, então, um apoio com 5 graus de

liberdade (ou um com 1 movimento impedido).




Seja, agora, o apoio a figura abaixo, constituído por três

esferas ligadas entre si por três hastes, de modo a ficar formado um

conjunto rígido. Ficam impedidas, no caso, além da translação na

direção z, as rotações em torno dos eixos x e y. O apoio será dito,

então, um apoio com 3 graus de liberdade (que são, no caso, a

rotação em torno do eixo z e as translações nas direções dos eixos x

e y,) ou com 3 movimentos impedidos. Aparecerão, agindo sobre a

estrutura, as reações Mx, My e R, indicadas na figura.

O esquema da figura seguinte representa a ligação rígida entre

a estrutura e seu apoio, de dimensões tão maiores que as da

estrutura, que podem ser consideradas infinitas em presença

daquelas. Neste caso, o apoio impedirá todos os movimentos

possíveis, sendo dito um apoio sem grau de liberdade (ou com todos

os movimentos impedidos). Correspondendo a cada um dos

movimentos impedidos aparecem, agindo sobre a estrutura, as




reações Rx, Ry. Rz, Mx, My, e Mz, indicadas na figura. Este tipo de

apoio é chamado engaste.

3.1 - Estruturas planas carregadas no próprio plano

Para o caso das estruturas planas carregadas no próprio plano,

que é o mais frequente da Análise Estrutural, existem 3 graus de

liberdade a combater.

Supondo a estrutura situada no plano xy, conforme indica a

figura seguinte, os graus de liberdade a combater são as translações

nas direções Ox e Oy e a rotação em torno de um eixo perpendicular

ao plano (no caso, Oz), pois o estas são as únicas tendências de

movimento capazes de serem produzidas pelo sistema de forças

indicado.

São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes

movimentos:

a) Apoio do 1º gênero ou charriot




O apoio do 1º gênero pode ser obtido por uma das duas formas

representadas nas figuras acima; na primeira, temos a estrutura

apoiada sobre um rolo lubrificado que impede apenas o deslocamento

na direção y, permitindo livre rotação em torno dele, assim como

livre deslocamento na direção x; na segunda, a rotação é assegurada

por um pino sem atrito e a translação, na direção x, pelos rolos

diretamente em contato com o plano que serve de apoio, continuando

a impedir o deslocamento na direção y.

Esquematicamente, representa-se o apoio do 1º gênero na

forma indicada na figura da direita acima. Na direção do único

movimento impedido, aparecerá uma reação de apoio R, conforme

indicado na figura.

b) Apoio do 2º gênero, articulação ou rótula

Se, no apoio da figura anterior do meio, substituirmos os rolos

por uma chapa presa completamente ao plano-suporte, conforme

indica a figura acima, estar-se-á impedindo todas as translações

possíveis, permanecendo livre apenas a rotação, assegurada pelo

pino lubrificado indicado na figura. A este apoio, capaz de restringir

todas as translações possíveis no plano, chamamos apoio do 2º

gênero. Ele é representado esquematicamente por uma das 2 formas




indicadas na figura acima (figura do meio e da direita). Na direção

das translações impedidas, aparecerão as reações H e V indicadas na

figura, cuja composição vetorial dará a reação de apoio resultante no

apoio do 2º gênero.

c) Apoio do 3º gênero ou engaste

Se a estrutura estiver ancorada num bloco de dimensões que

possam ser consideradas infinitas em presença das dimensões da

estrutura, conforme indica a figura acima, na seção de contato entre

ambos o bloco estará impedido, por sua enorme rigidez, todos os

movimentos possíveis da estrutura e dizemos então que ele engasta

a estrutura. Um engaste será representado, esquematicamente, da

forma indicada na figura acima da esquerda, aparecendo, na direção

de cada um dos 3 movimentos impedidos (2 translações e 1 rotação),

as reações de apoio H, V e M indicadas.

A figura a seguir resume os tipos de apoio estudados por meio

de uma viga:




Fonte: Concreto Armado eu te Amo

4 - ESTATICIDADE E ESTABILIDADE

Acabou-se de ver que a função dos apoios é limitar os graus de

liberdade de uma estrutura. Três casos podem então ocorrer:

a) Os apoios são em número estritamente necessário para

impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.

Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual

ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de

incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de

equações determinado que resolverá o problema.




Diz-se, então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma

situação de equilíbrio estável.

b) Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir

todos os movimentos possíveis da estrutura.

Neste caso, evidentemente, tem-se mais equações que

incógnitas, chegando-se a um sistema de equações impossível, nos

casos gerais. A estrutura será dita hipostática e será, então, instável.

(Pode ocorrer uma situação de carregamento tal que o próprio

carregamento consiga impedir os graus de liberdade que os apoios

não forem capazes de impedir; será, então, um caso de equilíbrio,

mas de equilíbrio instável, pois qualquer que seja a deformação

imposta à estrutura, ela tenderá a prosseguir até a sua ruína).

As estruturas hipostáticas são inadmissíveis para as

construções.

c) Os apoios são em número superior ao necessário para

impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.

Neste caso, teremos menor número de equações que de

incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações

universais da Estática não serão suficientes para a determinação das

reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de

compatibilidade de deformações. A estrutura será dita hiperestática,

continuando o equilíbrio a ser estável (aliás, pode-se dizer, um pouco

impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável).

Pose-se tentar estabelecer o critério de contar o número de

apoios e ver se é igual, menor ou maior que o número de graus de

liberdade da estrutura para classificá-la em isostática, hipostática ou

hiperestática. Este critério é perfeito no caso das estruturas

hipostáticas, mas, no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas,




fornece apenas uma condição necessária, mas não suficiente,

conforme esclarecem os exemplos das figuras a seguir.

No caso da estrutura plana da figura da esquerda que, como

tal, possui três graus de liberdade, há um apoio do 2º gênero e um

apoio do 1º gênero, dando um total de três reações de apoio a

determinar. Isto sugeriria que a estrutura fosse isostática, fato que

não ocorre, entretanto, pois o apoio A impede translações nas

direções Ax e Ay e o apoio B translação também na direção Ax. A

rotação do sistema não está, pois, impedida e a estrutura é, então,

hipostática (embora aparentemente isostática).

Analogamente, a estrutura plana da figura da direita é

aparentemente hiperestática, pois temos três graus de liberdade para

cinco reações de apoio a determinar. Entretanto, é fácil ver que

nenhum dos apoios impede a translação na direção ABCDE; com isto,

a estrutura é hipostática (embora aparentemente hiperestática).

Portanto, para classificar uma estrutura (sem vínculos internos)

como externamente isostática ou hiperestática, não basta comparar o

número de reações de apoio a determinar com o de graus de

liberdade da estrutura; é necessário certificar-se também que os

apoios restringem, de fato, todos os graus de liberdade da estrutura

em questão (com isto é que se pode afastar completamente a

possibilidade da estrutura ser hipostática).

1) (146 – TCU/2011) Uma estrutura será considerada

isostática quando o seu equilíbrio for estável, e seus apoios




forem em quantidade estritamente necessária para impedir

todos os movimentos possíveis.

5 – ESFORÇOS NAS SEÇÕES DAS ESTRUTURAS

a) Força Normal

Representando duas seções infinitamente próximas, a tendência

das forças N será a de promover uma variação da distância que

separa as seções, permanecendo as mesmas paralelas uma à outra,

conforme indica a figura seguinte.

Por acarretar uma tendência de movimento da seção

normalmente à mesma (que é a direção do eixo), chama-se a N de

esforço normal atuante na seção. Pode-se, então, definir esforço

normal atuante numa seção como sendo a soma algébrica das

componentes, na direção normal à seção, de cada uma das forças

atuantes de um dos lados desta seção. O esforço normal será positivo

quando de tração (isto é, quando tender a afastar duas seções

infinitamente próximas ou, em linguagem mais simples, quando

estiver "saindo" da seção), sendo negativo em caso contrário (caso

da compressão).

b) Esforço Cortante


das duas forças Q é a de promover um deslizamento relativo de uma




em relação à outra, conforme indica a figura a seguir, aparecendo,

então, uma tendência de corte. Por esta razão, Q é chamada de

esforço cortante.

Define-se, então, esforço cortante atuante numa seção como

sendo igual à soma vetorial das componentes, sobre o plano da

seção, das forças situadas de um dos lados desta seção.

c) Momento Torçor


do momento é a de promover uma rotação relativa destas duas

seções em torno de um eixo que lhes é perpendicular, passando pelo

seu centro de gravidade (eixo x, portanto). Podemos dizer, em

linguagem simplista, que o momento está torcendo a peça e ele é,

pois, denominado momento torçor atuante na seção.

Define-se, então, momento torçor atuante numa seção S como

sendo a soma algébrica dos momentos das forças situadas de um dos




lados desta seção em relação ao eixo normal à seção que contém o

seu centro de gravidade.

d) Momento


do momento M, conforme a regra da mão direita, é a de provocar

uma rotação da seção em torno de um eixo situado no seu próprio

plano.

Como um momento pode ser substituído por um binário, vemos

que o efeito de M pode ser assimilado ao do binário indicado na figura

seguinte, que provoca uma tendência de alongamento em uma das

partes da seção e uma tendência de encurtamento na outra parte. A

peça ficará então fletida, sendo, por isto, denominado de momento

fletor.

Define-se, então, como momento fletor atuante numa seção, à

soma vetorial das componentes, sobre o plano da seção, dos

momentos de todas as forças situadas de um dos lados da seção em

relação ao seu centro de gravidade.




6 – ESTUDO DAS VIGAS ISOSTÁTICAS

Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao

carregamento indicado.

Tem-se que a derivada do momento fletor atuante numa seção

S de uma viga reta, submetida a um carregamento a ela

perpendicular, em relação à abscissa que define esta seção é igual ao

esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relação a

esta abscissa é igual ao valor da taxa de carga aplicada na seção S

com o sinal trocado, conforme a seguir:

Essas igualdades são as equações fundamentais da Estática,

pois permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da

viga em função do carregamento q(x) atuante.

Portanto, a partir da primeira equação, tem-se que o coeficiente

angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção

S é igual ao esforço cortante nela atuante, e a partir da segunda

equação, tem-se que o coeficiente angular da tangente ao diagrama

de esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga

atuante nesta seção com o sinal trocado.




6.1 – Vigas Biapoiadas

Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida a uma

carga concentrada P, atuante na seção S.

Na seção S, não se define esforço cortante; ele é definido à

esquerda e à direita da seção sofrendo nela uma descontinuidade

igual a P.


carga uniformemente distribuída q.




Pode-se afirmar que, sob carga uniformemente distribuída, o

diagrama de momentos fletores é parabólico do 2º grau e o diagrama

de esforços cortantes é retilíneo.

Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, teremos os

seguintes esforços simples numa seção genérica S:

O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta, que fica

determinada pelos seus valores extremos, correspondentes a x = 0 e

a x = l, que são: QA = (q.l)/2 e QB = - (q.l)/2. (Estes valores podem

ser obtidos diretamente a partir das reações de apoio.)




O diagrama de momentos fletores será dado por uma

parábolado 2º grau, passando por zero em A e B e passando por um

máximo em x = l/2 (seção onde Q = dM/dx = 0), de valor:


carga triangular, de taxa máxima igual a p, no apoio da direita.

Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, tem-se os

seguintes esforços simples numa seção genérica S:




O diagrama de esforços cortantes será, então, parabólico do 2º

grau, com tangente horizontal em A (pois dQ/ds = -q = 0), tendo

seus valores extremos iguais aos valores conhecidos (+ VA) e (-VB) e

passando por zero para x = l.

= 0,577.l, conforme pode ser obtido

imediatamente a partir de sua equação.




O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 3º

grau, que passa por um máximo em x = l.

= 0,577.l (pois dM/ds =

Q = 0), de valor Mmáx =

.

.

Sendo a taxa de carregamento uma função linear (grau um), o

diagrama de esforços cortantes é parabólico do 2º grau e o diagrama

de momentos fletores é parabólico do 3º grau.

Seja a viga biapoiada da figura seguinte, submetida à carga-

momento indicada. As reações de apoio devem ser tais que formem

um binário de módulo M e sentido oposto ao do momento aplicado.

A partir delas, temos imediatamente os diagramas solicitantes.

Seguem casos particulares interessantes apresentados na figura

seguinte de diagramas de momentos fletores para algumas posições

notáveis da carregamento.




Seja a viga biapoiada da figura a seguir, submetida ao

carregamento indicado:

O problema novo que se depara é o da resolução de uma viga

submetida a uma carga continuamente distribuída, que não abrange

todo o seu vão.

Para recair num problema já conhecido, romperemos a viga em

B e C, desde que apliquemos nestes pontos seus esforços simples,

mantendo o equilíbrio de cada trecho assim obtido.

Assim, os esforços cortantes que atuam nas extremidades de

cada trecho (QA, QB, QC, QD) podem ser encarados como as forças

que equilibram as outras cargas e momentos atuantes no trecho,

podendo ele então ser considerado como uma viga biapoiada

independente, submetida ao carregamento externo que lhe está

diretamente aplicado e a cargas-momento em seus apoios iguais aos

momentos fletores atuantes nestes pontos na viga dada inicialmente,

de imediata determinação. Recai-se, então, no problema de obtenção

do diagrama de momentos fletores em vigotas do gênero BC, que,




por superposição de efeitos, é imediatamente obtido conforme mostra

a figura a seguir:

A linha reta pontihada representa o diagrama de momentos

fletores devido somente a MB e MC. Marcando-se, na vertical, a partir

desta reta a parábola do 2º grau que é o diagrama devido apenas à

carga distribuída, teremos então o diagrama final no trecho.

O diagrama de momentos fletores na viga AD será, então, o da

figura abaixo. Notar que existe, no caso, concordância em B e em C

entre a parte retilínea e a parte parabólica, o que já era de se

esperar, pois não existem cargas concentradas aplicadas nestes

pontos.




A obtenção do diagrama de esforços cortantes não apresenta

maiores problemas, sendo imediata a partir do conhecimento das

reações de apoio.

Extrapolando as conclusões deste exemplo, pode-se afirmar

que, para traçar o diagrama de momentos fletores numa viga

submetida a um carregamento qualquer, basta marcar os momentos

fletores nos pontos onde muda a lei de variação do carregamento,

ligá-los por segmentos de retas e, a partir da linha assim obtida,

pendurar, perpendicularmente ao eixo da viga, os diagramas de viga

biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes, em seus

respectivos trechos.

Seja a viga engastada e livre AB da figura abaixo:

No engaste, aparecerão uma reação vertical e uma reação-

momento, que equilibrarão o carregamento atuante.

O diagrama de momentos fletores obtém-se da mesma forma

que no exemplo anterior, marcando-se os momentos fletores nas

seções em que muda a lei de variação de carregamento (no caso, A,

C, B, D), ligando-os por segmentos de reta, e, a partir da linha assim




obtida, penduram-se os diagramas de viga biapoiada para cada uma

das cargas distribuídas atuantes (no caso, no trecho CD).

O diagrama de esforços cortantes obtém-se imediatamente a

partir do carregamento e reações de apoio atuantes.

Seja a viga biapoiada com balanços da figura a seguir:

A obtenção dos diagramas solicitantes nos balanços AB e CD se

faz conforme o exemplo anterior, pois podemos obter os esforços no

trecho AB entrando com as forças da esquerda e no trecho CD

entrando com as forças da direita, e eles se comportam, então, como

se fossem vigas engastadas e livres AB e CD.

Passemos, então, à análise do trecho BC: rompendo a viga em

Besq e Cdir e aplicando os esforços simples atuantes nestas seções,

nada terá se alterado sob o ponto de vista estático. Teremos, então,

uma viga biapoiada BC, submetida ao carregamento que lhe está

diretamente aplicado, a cargas-momento MB em B e MC em C, iguais

aos momentos fletores atuantes nestas seções devidos aos balanços,

e a cargas verticais (P1 + P2) em B e (P4 + P5) em C, iguais às

resultantes das cargas atuantes em cada balanço e que, estando

diretamente aplicadas sobre os apoios, serão imediatamente

absorvidas por eles, não influenciando no cálculo dos esforços simples

em BC. Recaímos, então, para o trecho BC no estudo de uma viga

biapoiada.

Pode-se afirmar que, para traçar o diagrama de momentos

fletores numa viga biapoiada com balanços, tratam-se os balanços

como vigas engastadas e livres, ligam-se os momentos atuantes nos

apoios por uma linha reta e, a partir dela, penduram-se o diagrama




de viga biapoiada devido às cargas atuantes no trecho entre os

apoios.

Como nos casos anteriores, a obtenção do diagrama de

esforços cortantes é imediata, a partir do carregamento e das

reações de apoio.

6.2 – Vigas Gerber

Seja a estrutura representada na figura seguinte, estando o

detalhe da seção C ampliado:

Supondo carregado o trecho CD: este trecho não tem

estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas,

necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é

um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia,

então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma horizontal, o

que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir

estas forças ao trecho ABC.

Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à

estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga

biapoiada com balanço, é estável, o sendo então o conjunto ABCD.

Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas

este trecho, pois, em se tratando de um trecho com estabilidade

própria, nele mesmo encontrará o carregamento suas reações

equilibrantes.




O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não

transmitindo momento algum (pois não impede nenhuma rotação à

estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, ficando o esquema

estático da estrutura representado conforme indica a figura a seguir.

Para resolver a viga ABCD, resolve-se inicialmente o trecho CD

(trecho sem estabilidade própria), transmitindo para o trecho ABC

(trecho com estabilidade própria) as forças HC e VC necessárias ao

equilíbrio do trecho CD.

O trecho ABC será resolvido, a seguir, com as cargas que lhe

estão diretamente aplicadas, acrescidas das forças VC e HC

transmitidas pela rótula C. Recai-se, então, na resolução de uma viga

biapoiada CD e de uma viga biapoiada com balanço ABC, problemas

estes já resolvidos nos tópicos anteriores.

Consta, então, uma viga Gerber, de uma associação de vigas

com estabilidade própria com outras apoiadas sobre as primeiras, que

dão a estabilidade ao conjunto. Para resolvê-la, basta fazer sua

decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente

aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade

própria, para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas,

acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas pelas rótulas.

Em se tratando de vigas Gerber isostáticas, as vigas que as

constituem serão vigas biapoiadas, vigas biapoiadas com balanços ou

vigas engastadas e livres.




2) (72 – SEGER-ES/2011) Em uma viga Gerber, o ponto de

transmissão de forças é representado por uma rótula.

6.3 – Vigas Inclinadas

Seja a viga da figura abaixo submetida ao carregamento

distribuído vertical indicado.

Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, passemos ao

estudo de seus diagramas solicitantes. O momento fletor atuante

numa seção genérica S será dado por:




Comparando esta expressão com a da viga horizontal com

carga distribuída vista anteriormente, constata-se que, para fins de

momentos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga

horizontal (perpendicular ao carregamento) de vão “a” e o diagrama

é o indicado na figura (notar que as ordenadas do diagrama são

sempre marcadas perpendicularmente ao eixo da barra).

Os demais esforços atuantes nesta seção são dados por:

Seja, agora, a viga abaixo, submetida ao carregamento

distribuído horizontal.




Obtêm-se as reações de apoio pelas equações de equilíbrio:

O momento fletor atuante numa seção genérica será dado por:

Comparando esta expressão também com a da viga horizontal

com carga distribuída vista anteriormente, constata-se que, para fins

de momentos fletores, a viga se comporta como se fosse uma viga

vertical (perpendicular ao carregamento atuante), de vão b e o

diagrama é o indicado na figura. Os demais esforços atuantes em S

são dados por:




Seja, finalmente, a viga submetida ao carregamento distribuído

perpendicular ao seu eixo.

Conforme indica a figura acima, verifica-se que este caso é uma

superposição dos dois casos anteriores e os diagramas solicitantes

para ele serão, então, iguais à soma dos diagramas indicados.

O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 2º

grau de valor máximo igual a (q.a2/8) + (q.b2/8) = q.AB2/8,

comportando-se então a viga como perpendicular ao carregamento

atuante, com vão AB.

Dos exemplos apresentados de viga inclinada com carga

vertical, horizontal e perpendicular ao seu eixo, pode-se concluir que

uma viga biapoiada inclinada AB se comporta, para fins de diagrama

de momentos fletores, como se fosse uma viga biapoiada de vão

igual à projeção de seu comprimento sobre uma reta perpendicular

ao carregamento atuante, sendo o diagrama de momentos fletores

marcado, sempre, perpendicularmente ao eixo da viga.

Os diagramas de esforços cortantes e esforços normais são

obtidos imediatamente, em qualquer caso, a partir do carregamento

e das reações de apoio.




3) (147 – TCU/2011) Se uma viga inclinada é submetida a

um carregamento distribuído vertical, para fins de momentos

fletores, ela se comporta como se fosse uma viga horizontal,

perpendicular ao carregamento.

7 – ESTUDO DOS QUADROS ISOSTÁTICOS PLANOS

Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos

planos, denominados quadros simples, quando ocorrem isoladamente

e que, associados entre si, da mesma forma com que associamos

vigas simples para constituir as vigas Gerber, formam os quadros

compostos.

7.1 – Quadro Biapoiado

Seja o quadro da figura abaixo.

Para obterem-se as reações de apoio HA, VA e VD dispõe-se das

três equações universais da Estática no plano, pois se trata de

estrutura isostática. Conhecidas as reações de apoio, passa-se à

obtenção dos diagramas solicitantes, fazendo-se recair em problema

já conhecido (resolução de vigas biapoiadas), da maneira seguinte.




Rompendo a quadro em seus nós intermediários B e C, pode-se

destacar umas das outras as barras que o constituem, desde que

aplique-se nesses nós, em cada uma das barras, os esforços simples

neles atuantes, que manterão o equilíbrio de cada barra AB, BC e CD.

Analisando cada uma dessas barras. Seja, por exemplo a barra

BC, submetida ao carregamento em equilíbrio constituído por HB, VB,

MB, P2, P3, HC, VC, MC. Como estas cargas estão em equilíbrio, pode-

se encarar, por exemplo, HB, VB e VC como sendo as forças que

equilibram as demais cargas atuantes e a barra BC pode, então, ser

considerada como uma viga biapoiada, submetida ao carregamento

que lhe está diretamente aplicado, acrescido de cargas-monento em

suas extremidades iguais aos momentos fletores atuantes nestas

seções e de uma carga horizontal no apoio do 1º gênero, igual ao

esforço normal atuante nesta seção. A igual conclusão chegaríamos

para as demais barras e o estudo do quadro recai, então, no estudo

das três vigas biapoiadas AB, BC e CD.

As conclusões tiradas para este caso podem ser extrapoladas

para todos os demais e pode-se, então, afirmar que, para se traçar o

diagrama dos momentos fletores atuantes num quadro, basta marcar

os momentos fletores atuantes em seus nós ligá-los por uma linha

reta tracejada, a partir da qual penduramos os diagramas de viga




biapoiada devidos aos carregamentos atuantes sobre cada uma das

barras que constituem o quadro.

Os diagramas são marcados, como no caso das vigas,

perpendicularmente ao eixo de cada barra.

A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e esforços

normais é imediata, a partir do conhecimento das reações de apoio.

Segue um exemplo:

Obter os diagramas solicitantes para o quadro a seguir:

Substituindo o carregamento distribuído por sua resultante,

indicada em pontilhado na figura, passa-se à obtenção das reações

de apoio:

Conhecidas as reações de apoio, pode-de traçar os diagramas

solicitantes, começando pelo diagrama de momentos fletores.

Os momentos fletores atuantes nos nós intermediários, valem:




a) Nó D

Na barra AD o momento traciona as fibras da esquerda e na

barra CD o momento traciona as fibras superiores.

Para a barra DE, podemos obter o momento fletor atuante em

D a partir de sua definição, isto é, entrando com as forças atuantes

num dos lados da seção (por exemplo, entrando com as forças

atuantes à esquerda), obtém-se:

tracionando as fibras superiores ou pode-se, o que é muito

mais prático, no caso, obter seu valor a partir do equilíbrio do nó D,

conforme se segue.

Rompendo-se todas as barras que concorrem no nó D e

aplicando os momentos fletores nelas atuantes, eles têm que estar

em equilíbrio, pois a estrutura o está. Tem-se então, o esquema da

figura, a partir do qual obtém-se:

b) Nó E




Nas barras EF e BE o momento traciona as fibras da direita.

Para a barra DE, temos, a partir do equilíbrio do nó E, conforme

indica a figura:

Marcando os valores obtidos para os nós, tem-se definidas as

linhas de fechamento, a partir das quais penduram-se os diagramas

de viga biapoiada, obtendo-se então, o diagrama final.




A obtenção dos diagramas de esforços cortantes e de esforços

normais é imediata, a partir do carregamento e das reações de apoio:

4) (32 – SEAD/PA – 2005) A figura acima representa um

pórtico plano, rígido, com peso desprezível, submetido ao

carregamento (não nulo) uniformemente distribuído com

intensidade q. De acordo com os dados apresentados na




figura, os valores dos módulos das componentes verticais das

forças nos apoios A e B são, respectivamente, iguais a

A) 0,1 qa e 0,6 qa.

B) 0,2 qa e 0,7 qa.

C) 0,4 qa e 0,9 qa.

D) 0,6 qa e 1,1 qa.

E) 0,7 qa e 1,2 qa.

(45 – PF/2002) Considere o pórtico plano apresentado na

figura abaixo, submetido a uma carga concentrada horizontal

— P — e a uma carga uniformemente distribuída — q —.

Em face dessa situação, desprezando o peso próprio do

pórtico, julgue os itens a seguir.

5) 1 - O pórtico representa uma estrutura hiperestática.

6) 2 - Para as condições geométricas e de carregamento do

pórtico, o apoio A estará sempre submetido a tração.





pórtico, o apoio B estará sempre submetido a compressão.

8) 4 – No trecho CD, a fibra externa do material,

imediatamente acima e à esquerda do ponto C, está submetida

a tração.

9) 5 – A reação horizontal no apoio B é igual à carga P.

7.2 – Quadro Engastado e Livre

Seja o quadro da figura abaixo.

As reações de apoio HA, VA e MA são obtidas empregando-se as

três equações universais da Estática no plano, e, a partir daí,

chegamos, sem maiores problemas, a seus diagramas solicitantes.

Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo.




As reações de apoio valem:

Os diagramas solicitantes são os indicados a seguir:

7.3 - Quadro triarticulado

Seja o quadro triarticulado (articulações em A, G e B) da figura

abaixo.




Para determinar suas 4 reações de apoio (HA, VA, HB e VB),

dispõe-se das três equações universais da Estática no plano e, por

haver uma rótula em G (o que indica que em G só há transmissão de

forças, não havendo transmissão de momentos), há uma quarta

equação indicando que o momento fletor em G deve ser nulo.

Caso os dois apoios do 2º gênero e a rótula intermediária

estejam alinhados, a estrutura será hipostática. Seja o quadro da

figura abaixo, para que esteja satisfeita a condição do momento fletor

nulo em G, as reações de apoio HA e VA em A e HB e VB em B devem

ter suas resultantes RA e RB segundo a direção da reta AB, conforme

esquematizado na figura.




Ao calcular a soma das projeções de todas as forças na direção

perpendicular à reta AB: ela valerá Σ Y = -P.cos α (e não zero, como

deveria valer, caso houvesse o equilíbrio). Conclui-se então que,

nestas circunstâncias, o equilíbrio é impossível e se está, por

conseguinte, diante de uma estrutura hipostática.

Pode-se afirmar que um quadro triarticulado é uma estrutura

isostática, desde que suas 3 rótulas não estejam alinhadas.

7.4 - Quadro biapoiado, com articulação e tirante (ou escora)

Seja o quadro da figura a seguir, biapoiado em A e B, com uma

rótula em G e com uma barra CD descarregada, rotulada em suas

extremidades.

Se a barra CD é descarregada e rotulada nas extremidades, ela

tem, em todas as suas seções, M = Q = 0, podendo estar submetida,

apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração, a

barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será

dita uma escora). Nada se alterará sob o ponto de vista estático, se a

barra CD for rompida, substituindo-a por um par de esforços normais

N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ACDB em cada uma das

extremidades C e D da barra CD.




Para resolver a estrutura precisa-se, por conseguinte, conhecer

os valores das reações de apoio VA, HA e VB e do par de forças N, num

total de quatro incógnitas. Sendo igual o número de equações de que

dispomos (três equações universais da Estática e mais a equação de

momento fletor nulo na rótula), trata-se de uma estrutura isostática.

Dependendo da posição relativa dos vínculos, o quadro

biapoiado, com articulação e tirante, pode se tornar hipostático,

conforme é o caso da estrutura da figura abaixo, incapaz de absorver

forças horizontais atuantes no trecho GB (pois acarretariam o

aparecimento de momentos fletores na rótula, o que é impossível).

8 – QUADROS COM BARRAS CURVAS

Os tipos de quadros simples estudados nos tópicos anteriores

podem aparecer com barras curvas em vez de barras retas, conforme

o caso, por exemplo, da figura a seguir.




Nenhuma alteração quanto à forma de tratamento sofrerá, o

problema.

Por exemplo, obter os diagramas solicitantes para o quadro

abaixo.

Por simetria, as reações verticais em A e B são iguais a P/2 e se

tem, numa seção genérica S, definida pelo ângulo Ө, os seguintes

esforços simples:

Estas equações são válidas, apenas, para seções no trecho AC,

pois em C surge uma carga concentrada que modificaria estas

expressões para Ө > /2. Devido à simetria existente, não há

necessidade de instituir as equações para o trecho CB, obtendo então

os diagramas indicados na figura a seguir, todos eles marcados

perpendicularmente ao eixo da barra (estes diagramas são traçados

por pontos).




Notar que para este exemplo, em que a estrutura é plana

simétrica, com carregamento simétrico (pois HA = 0), os diagramas

de momentos fletores e esforços normais são simétricos e o de

esforços cortantes é anti-simétrico (duas seções simétricas em

relação ao eixo de simetria da estrutura têm cortantes de mesmo

módulo, com sinais opostos).

Esta é uma conclusão válida para qualquer estrutura plana

simétrica com carregamento simétrico.




9 – QUADROS COMPOSTOS

Seja o quadro da figura abaixo. Análise do trecho DEFGH: trata-

se de um triarticulado, sem estabilidade própria, pois as rótulas D e H

são capazes apenas de transmitir forças às estruturas que as

suportam. Sua estabilidade fica condicionada à capacidade ou não

que tenham os quadros ACDB e JHIK de absorver estas forças.

Sendo estes dois últimos quadros estruturas isostáticas

(quadros biapoiados) dotados de estabilidade própria, eles são

capazes de absorver as forças transmitidas pelas rótulas D e H,

acrescidas das forças que atuam diretamente sobre eles, sendo o

conjunto, então, uma estrutura isostática composta por dois quadros

biapoiados, dotados de estabilidade própria, que suportam um

triarticulado, dando a ele, pois, estabilidade. A este conjunto,

formado pela associação de quadros simples, deomina-se quadro

composto.

Verifica-se que o quadro composto está para o quadro simples

da mesma forma que a viga Gerber está para as vigas simples.

A resolução de um quadro composto consiste na resolução

inicial dos quadros sem estabilidade própria (no caso, o triarticulado

DEFGH) para as cargas que atuam sobre eles e, a seguir, os quadros




dotados de estabilidade própria (e que, por isto, dão a estabilidade ao

conjunto) para as cargas que atuam diretamente sobre eles,

acrescidas das forças transmitidas pelas rótulas.

Para o caso da figura anterior, há que se resolver os 3 quadros

simples indicados na figura abaixo, para os carregamentos indicados.

Para resolver um quadro composto deve-se decompô-lo nos

quadros simples que o constituem, resolvendo, inicialmente, aqueles

sem estabilidade própria, e, após, os dotados de estabilidade própria,

para o carregamento diretamente atuante sobre eles, acrescido, para

estes últimos, das forças transmitidas pelas rótulas.

O problema recai na resolução de quadros simples. A única

novidade é a decomposição do quadro composto nos quadros simples

que o constituem.

9.1 – Exemplos de Decomposição




Os quadros dotados de estabilidade própria são: o quadro

engastado e livre AB e o quadro triarticulado EFGH. A partir dai, tem-

se a decomposição indicada na figura a seguir. Os números indicam a

ordem de resolução e as setas em pontilhado a transmissão de carga.

10 - ESTUDO DOS ARCOS TRIARTICULADOS

O estudo dos arcos triarticulados para carregamento vertical

pode ser feito recair inteiramente no estudo de uma viga biapoiada.




O estudo dos arcos triarticulados para carregamentos atuantes

em todas as direções não possui tal simplificação e se faz obedecendo

aos princípios gerais de Estática.

10.1 - Estudo dos arcos triarticulados para carregamento

vertical em função da viga de substituição

Seja o triarticulago da figura a seguir, submetido ao

carregamento vertical indicado, para o qual deseja-se determinar as

reações de apoio e os esforços simples atuantes.

Sendo A e B apoios do 2º gênero, existirão neles reações RA e

RB que podem ser decompostos em duas direções quaisquer para fins

de facilitar o seu cálculo (usualmente decompõe-se nas direções

horizontal e vertical, mas, no caso, prefere-se a direção vertical e a

direção AB, por razões práticas.

Cálculo das componentes:




Por ΣX = 0, tem-se que as reações em A e B na direção AB

devem ser iguais.

Por ΣMB = 0, obtém-se VA, igualando seu momento em relação

a B à soma dos momentos em relação a B de todas as cargas

verticais aplicadas no triarticulado. Verifica-se que esta é a mesma

equação que fornece a reação vertical Va da viga biapoiada ab, de

mesmo vão que o triarticulado e submetida ao mesmo carregamento,

à qual denomina-se viga de substituição. Pode-se escrever que VA =

Va, (reação vertical no triarticulado é igual à reação vertical na viga

de substituição).

Analogamente, empregando a equação ΣMA = 0 (ou, também,

ΣY = 0), tem-se que VB = Vb.

As reações H', na direção AB são obtidas da condição de

momento fletor nulo na rótula G, que nos fornece, empregando as

forças da esquerda, por exemplo:

O termo

pode ser imediatamente identificado como o momento fletor Mg

que atua na viga de substituição ab na seção g, projeção da rótula G

do triarticulado, e se tem que:




O cálculo das reações de apoio do triarticulado AGB recaiu, no

cálculo da viga de substituição ab e elas são fornecidas pelas

expressões a seguir:

Conhecidas as reações de apoio, passa-se ao cálculo dos

esforços simples atuantes no triarticulado.

Escolhendo uma seção genérica S, definida pela abscissa

horizontal x, medida a partir do apoio da esquerda, e por uma

abscissa vertical y, medida a partir da linha de fechamento AB, tem-

se:

Sendo os termos

identificáveis como, respectivamente, o momento fletor M, e o

esforço cortante Q, atuantes, na seção s da viga de substituição, o

cálculo dos esforços simples atuantes numa seção S de um

triarticulado AGE recai no cálculo de sua viga de substituição ab e

eles são dados pelas expressões seguintes:




As expressões instituídas permanecem todas válidas se

ocorrerem também cargas verticais distribuídas.

10.2 - Definição e determinação da linha de pressões

Suponha o seguinte problema: determinar qual a forma de um

triarticulado AGB tal que, para um dado carregamento, todas as suas

seções tenham momento fletor nulo, isto é, obter y para cada seção

S, a fim de que nela tenhamos MS = 0, sendo dados l1, l2, f e α.

Igualando a expressão:

a zero, vem imediatamente:

Lembrando-se que os índices minúsculos referem-se à viga de

substituição e os maiúsculos ao triarticulado.

Cálculo dos demais esforços solicitantes para esta configuração

do triarticulado. Derivando esta expressão em relação a x, tem-se:

que se transforma, levando-se em conta que y = Y - y*,

conforme indica a figura a seguir:




Introduzindo este valor em:

Obtém-se:

isto é, se MS = 0, QS = 0.

O único esforço atuante será o esforço normal NS, igual,

levando-se em conta que QS = 0, à resultante de todas as forças

atuantes de um dos lados da seção, sendo, portanto, igual à

composição vetorial da soma das projeções verticais de todas as

forças atuantes de um dos lados da seção com a soma das projeções

horizontais das mesmas forças.

Valendo estas somas, respectivamente:

e

Tem-se:




A natureza do esforço normal é obtida, também, da figura a

seguir, sendo, no caso, de compressão.

Quando um triarticulado AGB, para um dado carregamento,

está submetido apenas a esforços normais, diz-se que sua forma é a

da linha de pressões deste carregamento.

Para os triarticulados com a concavidade voltada para baixo

(em que a rótula G está acima da reta AB) e o carregamento é de

cima para baixo (caso usual), os esforços normais são sempre de

compressão.

Os esforços normais serão de tração, quando a estrutura se

desenvolver para baixo da reta AB, com carregamento de cima para

baixo. Este é o caso dos cabos.

A linha de pressões é a forma ideal para um triarticulado, pois

que corresponde à sua forma mais econômica de trabalho estrutural.

A linha de pressões para carregamento uniforme é uma

parábola do 2º grau.




Muito embora os arcos triarticulados ocorram frequentemente

na prática, mais utilizados ainda são os arcos biengastados

(hiperestáticos), para os quais também constitui ponto de partida a

determinação da linha de pressões do carregamento atuante.

10) (148 – TCU/2011) Se um arco triarticulado, para

determinado carregamento, está submetido apenas a esforços

normais, então a sua forma é a mesma da linha de pressões

desse carregamento.

11 – SISTEMAS GUINDASTE

Tratam-se de estruturas formadas pela associação de barras

através de pinos capazes de transmitir forças (horizontais e verticais)

de uma para a outra.




Para sua resolução, desmembra-se o sistema-guindaste nas

diversas barras que o compõem e estuda-se o equilíbrio de cada uma

delas, submetidas ao seu próprio carregamento e, evidentemente, as

forças transmitidas pelos pinos, conforme ilustra o caso da figura a

seguir.

Desmembrando o sistema-guindaste nas três barras 1, 2 e 3

que o compõem, tem-se, para sua resolução, o esquema estático

indicado na figura acima, em que HB, VB, HC, VC, HD e VD são as forças

(incógnitas) transmitidas pelos pinos B, C, D e VA, HA e MA as três

reações de apoio do conjunto, num total de nove incógnitas a

determinar.

Como a análise do equilíbrio de cada barra fornece três

equações da Estática tem-se, para as três barras, um total de 9

equações, que determinarão as 9 incógnitas, resolvendo, então, a

estrutura.

Constatar-se, agora, que os sistemas-guindaste das demais

figuras iniciais são isostáticos.

Para o primeiro, há oito forças de transmissão (para seus

quatro pinos) e quatro reações de apoio (para seus dois apoios do 2º

gênero), num total de doze incógnitas que serão obtidas pelas doze

equações de equilíbrio existentes (três equações da Estática para




cada uma das quatro barras que compõem a estrutura); para o

segundo, há seis incógnitas (um pino e dois apoios do 2º gênero),

que serão obtidas a partir das seis equações de equilíbrio existentes

(análise do equilíbrio de suas duas barras).

12 – TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

Seja a estrutura da figura seguinte, submetida a carregamento

apenas nos nós A, B e C. Como as barras 1, 2 e 3 que a constituem

são barras retas e regidas, portanto, pelas equações diferenciais:

levando-se em conta que q = 0 e que suas extremidades são

rotuladas, elas não terão momentos fletores nem esforços cortantes,

existindo apenas os esforços normais.

As grandezas a determinar para sua resolução são as reações

de apoio HA, VA, VB e os esforços normais atuantes nas barras 1, 2 e

3, que podem ser obtidos, no caso, pela análise sucessiva do

equilíbrio dos nós C, B e A, o equilíbrio de cada um deles fornecendo




duas equações, num número total de seis, sendo o problema, então,

isostático (igual número de equações e de incógnitas a determinar).

Desprezando-se as pequenas deformações elásticas das barras

1, 2 e 3, devidas aos esforços normais nelas atuantes, pode-se dizer

que o sistema estrutural da figura acima constitui uma cadeia rígida

(isto é, indeformável), pois, sendo o trecho AB indeformável (por se

tratar, isoladamente, de uma viga biapoiada), se lhe acrescentamos

as duas barras 1 e 2 concorrentes em C, este último ponto C fica

também indeslocável, por estar preso a dois pontos indeslocáveis A e

B e, com isto, todo o conjunto ABC é indeformável.

Seja, agora, o sistema reticulado da figura a seguir, submetido

ao carregamento nodal indicado.

As grandezas a determinar para sua resolução são os esforços

normais nas suas quatro barras componentes e as três reações de

apoio, num número total de sete. O número de equações de equilíbrio

(correspondendo ao equilíbrio de cada um dos nós) sendo igual ao

dobro do número de nós, é igual a oito, no caso, e, portanto, superior

ao número de incógnitas, o que caracteriza a hipostaticidade da

estrutura.

Por outro lado, verifica-se que o reticulado dado constitui uma

cadeia deformável, pois os pontos C e D não estão ligados, cada um




deles, a dois pontos indeslocáveis do reticulado (no caso, apenas A e

B). A forma de deformação da cadeia está indicada na mesma figura

e prosseguirá até a queda da estrutura.

As conclusões deste último caso podem ser extrapoladas e

pode-se, então, afirmar que todo sistema reticulado deformável é

instável (hipostático).

Como corolário, pode-se afirmar que todo sistema reticulado

indeformável é estável (podendo ser isostático ou hiperestático).

Denomina-se treliça ideal ao sistema reticulado cujas barras

têm todas as extremidades rotuladas e cujas cargas são aplicadas

apenas em seus nós.

Os casos das treliças isostáticas com cargas fora dos nós, por

não atenderem às condições da definição anterior, não podem ser

classificadas como treliças ideais.

Conclui-se, por generalização dos dois exemplos já abordados,

que qualquer sistema reticulado constituído por um polígono fechado

rotulado em seus vértices é deformável (e, portanto, hipostático),

excetuando-se o caso do triângulo.

As treliças surgiram como um sistema estrutural mais

econômico que as vigas para vencer vãos maiores ou suportar cargas

mais pesadas. A palavra economia engloba comparação entre

materiais, mão de obra, equipamentos de execução, etc., usados nos

dois casos, podendo assumir, por esta razão, facetas diversas de

região para região e de época para época.

11) (149 – TCU/2011) Treliças isostáticas com cargas

distribuídas entre os nós podem ser consideradas treliças

ideais, desde que o carregamento seja uniforme.




Pode parecer, a princípio, restritiva a condição de definição de

treliça ideal do carregamento atuar somente nos nós; no entanto, é o

que ocorre comumente na prática, pois as cargas chegam às treliças

através de outras peças estruturais, que nelas se apóiam nos nós

(para que só provoquem esforços normais), conforme ilustram os

exemplos das figuras seguintes.

A primeira representa uma ponte ferroviária com duas treliças

extremas, que recebem, nos nós, as cargas através das vigas

transversais T (por isto chamadas transversinas), que a elas

chegaram através das vigas longitudinais L, sobre as quais caminha o

trem.




A segunda representa uma cobertura constituída por diversas

treliças paralelas, que recebem, nos nós, a carga das telhas, vindas

através das terças T.

Em todos os casos reais existirão, entretanto, pequenas flexões

nas barras, devidas a seu peso próprio. Estas flexões devidas a peso

próprio costumam ter, nos casos usuais, diminuta influência no

dimensionamento das peças, prevalecendo como dimensionantes

seus esforços normais.

Conforme verificamos, uma treliça biapoiada, constituída por

três barras formando um triângulo, é isostática. Se, a partir desta

configuração básica, formamos novas treliças, acrescentando à

existente duas a duas novas barras, concorrentes cada duas delas

num novo nó, a nova treliça será também isostática, pois a cada duas

novas incógnitas (esforços normais nas duas novas barras)

correspondem duas novas equações de equilíbrio (equilíbrio do novo

nó). A figura seguinte ilustra esta lei de formação de treliças

isostáticas.

Neste exemplo, partindo da treliça biapoiada ABC, chega-se ao

nó D pelas barras 4 e 5, ao nó E pelas barras 5 e 7, ao nó F pelas

barras 8 e 9 e, finalmente, ao nó G pelas barras 10 e 11.

Os apoios não precisam estar no triângulo a partir do qual

iniciou-se a lei de formação, pois, onde quer que estejam, fornecem

as mesmas três incógnitas. Falando sob o ponto de vista de cadeia

rígida, uma treliça que tem esta lei de formação das barras é




internamente rígida e, tendo apoios externos que impeçam todos os

movimentos possíveis (para o caso de treliça plana, duas translações

e uma rotação), será também externamente rígida, sendo, pois,

rígida em conjunto.

Diz-se que estas treliças são internamente isostáticas, por

terem a lei de formação que definida acima e que são, também,

externamente isostáticas, por terem apoios no número estritamente

necessário para impedir todos os movimentos no plano, sendo o

conjunto, pois, isostático.

Outro tipo de treliça isostática é a treliça triarticulada da figura

a seguir, para a qual há seis incógnitas (quatro reações de apoio e

esforços normais em duas barras) e seis equações de equilíbrio

(equilíbrio dos nós A, B, C). Partindo desta nova configuração básica,

pode-se também formar treliças isostáticas, da mesma forma com

que as formamos a partir da configuração da figura inicial deste

capítulo.

Denominam-se treliças simples às treliça isostáticas, obtidas a

partir das configurações fundamentais da figura inicial deste capítulo

e da figura acima, pela adição de duas a duas barras, partindo de nós

já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas

barras).




As treliças, por terem esforços normais de tração e de

compressão, são geralmente de madeira ou de aço, por serem

materiais que suportam bem esses dois tipos de esforços. Ocorrem

também, embora com menos frequência, treliças de concreto, pois o

concreto não trabalha bem à tração, além de ser necessário executá-

las de uma só vez (ao passo que as demais podem ser montadas

peça a peça).

Ao contrário do caso dos quadros - que ocorrem, em sua

grande maioria, hiperestáticos, - a grande maioria das treliças da

prática é isostática.

As treliças isostáticas possuem dois grandes métodos de

resolução: um, analítico, que é o método de Ritter e, outro, gráfico,

que é o método de Cremona.

As treliças comportam ainda um processo espontâneo de

resolução, que consiste no estudo, um a um, do equilíbrio de seus

nós, iniciado e prosseguido pelos nós que só possuam duas incógnitas

a determinar, até abranger todos os nós da treliça. No caso de

treliças com geometria bem simples, este processo pode se tornar até

aconselhável.

12.1 – Classificação das Treliças

a) Quanto à estaticidade

Quanto à estaticidade, uma treliça (assim como qualquer outra

estrutura) pode ser hipostática, isostática ou hiperestática.

As incógnitas do problema são em número de (r + b), sendo r o

número de reações de apoio a determinar e b o número de barras (e,

portanto, o número de esforços normais a determinar) e as equações

de equilíbrio em número igual a 2.n, sendo n o número total de nós,

incluindo os nós de apoio da estrutura (pois cada nó resulta em duas




equações da Estática, correspondentes ao equilíbrio de um ponto

material).

Três casos podem ocorrer:

1º) r + b < 2.n, ou seja, o número de incógnitas é inferior ao

de equações; pode-se afirmar que a treliça é hipostática;

2º) r + b = 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça

isostática. Esta simples igualdade não nos permite, entretanto,

afirmar que a treliça seja isostática, pois podemos ter a associação,

internamente, de trechos hiperestáticos com trechos hipostáticos,

conduzindo a uma isostaticidade interna aparente, bem como pode

ocorrer a associação de hiperestaticidade interna com hipostaticidade

externa (ou vice-versa), conduzindo também a uma isostaticidade

aparente para o conjunto. O diagnóstico final só poderá ser dado

após a análise dos apoios externos e da lei de formação interna da

treliça em questão;

3º) r + b > 2.n, o que sugere tratar-se de uma treliça

hiperestática (maior número de incógnitas que de equações). Não se

pode, entretanto, afirmar que a treliça seja hiperestática, pois a

associação de um trecho hiperestático com outro hipostático (sendo o

grau hiperestático de um trecho superior ao grau hipostático do

outro) pode conduzir a uma hiperestaticidade aparente para o

conjunto. Analogamente ao caso anterior, o diagnóstico final só

poderá ser dado após a análise de cada caso. Se a treliça for, de fato,

hiperestática, seu grau hiperestático será igual a (r + b - 2n).

Em resumo, pode-se afirmar que:

a) r + b < 2n é condição necessária e suficiente para que uma

treliça seja hipostática;




b) r + b = 2n e r + b > 2n são condições apenas necessárias

(mas não suficientes) para que uma treliça seja isostática ou

hiperestática, respectivamente. A palavra final será dada após o

exame específico de cada caso.

b) Quanto à lei de formação

Quanto à sua lei de formação, as treliças são classificadas em

simples, compostas e complexas.

(PF Regional/2004) Considere a treliça plana, com peso

desprezível, mostrada no desenho acima, submetida à carga Q

aplicada no ponto D. A barra AB (ligando os pontos A e B) é

vertical, a barra AD é horizontal e o apoio no ponto B só

admite deslocamentos verticais. Para as condições da figura,

julgue os itens subseqüentes.

12) 95 - As barras AD e AC estão submetidas a esforços de

compressão.

13) 96 - Dependendo do índice de esbeltez da barra AB e do

valor da carga Q, essa barra pode ser submetida a flambagem.

14) 97 - A barra CD está submetida a tração.




(27 – PF/2002) Considerando a treliça plana reticulada,

simétrica em relação ao eixo vertical que passa pelo trecho CF

e submetida ao carregamento Q como indicado na figura

acima, julgue os itens a seguir.

15) 1 - Os trechos BC e CD serão submetidos a compressão.

16) 2 - Os trechos AB e DE serão submetidos a tração.

17) 3 - O trecho CF será submetido a tração.

18) 4 - Os trechos AF e FE serão submetidos a compressão.

19) 5 - Os valores das reações verticais nos apoios são

diferentes.




(26 - PF/2002) Com base na situação de carregamento do

pilar apresentado na figura acima, julgue os itens que se

seguem.

20) 1 - Quanto maior o valor de e, maior a possibilidade de

flambagem da peça A.

21) 2 - Quanto maior a rigidez da peça B, menor a

possibilidade de flambagem da peça A.

22) 3 - Para a situação de carregamento apresentada na

figura, desprezando-se o peso da peça A, a tensão vertical no

ponto 1, na face lateral da peça, será sempre de compressão.

23) 4 - Para as condições e posição do carregamento

apresentado na figura, independentemente do peso da peça A,




a tensão vertical no ponto 2, na face lateral da peça, será de

compressão.

24) 5 - Caso o apoio na base da peça A ceda verticalmente, o

acréscimo de tensão horizontal provocado na peça B, no ponto

3, será de tração.

(PF Regional/2004) O desenho I mostrado na figura acima

apresenta o círculo de Mohr de tensões de um elemento plano

de um material submetido ao estado de tensões indicado. As

convenções de sinais utilizadas para as tensões no elemento

também aparecem indicadas nesse desenho. Nesse contexto,

julgue os itens a seguir.

25) 93 - A tensão cisalhante máxima (positiva) ocorre em um

plano cuja inclinação com o eixo horizontal (no sentido anti-

horário) é maior que 45º.

26) 94 - O desenho II mostrado na figura esquematiza

corretamente o posicionamento das tensões principais σ1 e σ2

(normais entre si) em relação aos eixos x e y indicados.




(INSS/2008) Projetos estruturais utilizando concreto armado

são muito freqüentes em obras de edificações e têm definições

bem detalhadas pelas normas brasileiras. A respeito desses

projetos e seus detalhes, julgue os itens subseqüentes.

27) 86 - Para o cálculo de pilares estruturais de edifícios, é

admitido o estudo das cargas verticais utilizando o modelo

clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares.

28) 87 - Uma das hipóteses básicas de cálculo das seções à

flexão pura no estado limite último é a de que a deformação

das barras da armadura passiva é a mesma do concreto no seu

entorno.

29) 88 - Para o cálculo de vigas estruturais de edifícios, a

largura mínima da seção transversal dessas vigas deve ser

igual a 7 cm.

(30 – PF/2002) Com relação ao dimensionamento estrutural

de concreto armado, julgue os itens subseqüentes.

30) 1 - Do ponto de vista de flambagem, os pilares são

considerados curtos quando o seu índice de esbeltez é menor

ou igual a 80.

31) 2 - O cintamento de um pilar circular consiste no seu

envolvimento por um anel de concreto mais resistente à

compressão simples.




32) 3 - Os estribos tracionados em uma viga de concreto

armado submetida a torção devem ser fechados e bem

ancorados.

33) 4 - Para uma viga maciça simplesmente apoiada nas suas

extremidades, com uma carga vertical aplicada no centro do

seu vão, pode-se afirmar que a flecha no centro do vão terá

sempre o mesmo valor, quer a seção transversal da viga seja

circular ou retangular, desde que a área da seção em ambos

os casos seja a mesma.

34) 5 - O sistema de contraventamento de uma estrutura

visa aumentar a sua rigidez vertical para melhor resistir a

cargas verticais acidentais.

13 – QUESTÕES COMENTADAS





De acordo com Sussekind (1981), a estrutura é considerada

isostática quando os apoios são em número estritamente necessário

para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura, ocorrendo

uma situação de equilíbrio estável.

Neste caso, o número de reações de apoio a determinar é igual

ao número de equações de equilíbrio disponíveis (isto é: número de

incógnitas = número de equações), chegando-se a um sistema de

equações determinado que resolverá o problema.




Gabarito: Correta



Sussekind (1981) apresenta como exemplo de viga Gerber a

estrutura representada na figura seguinte, estando o detalhe da

seção C ampliado:

Suponhamos carregado o trecho CD: este trecho não tem

estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas,

necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é

um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia,

então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma horizontal, o

que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir

estas forças ao trecho ABC.

Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à

estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga

biapoiada com balanço, é estável, o sendo então o conjunto ABCD.

Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas

este trecho, pois, em se tratando de um trecho com estabilidade

própria, nele mesmo encontrará o carregamento suas reações

equilibrantes.




O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças,

não transmitindo momento algum (pois não impede nenhuma

rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula,

ficando o esquema estático da estrutura representado conforme

indica a figura a seguir.

Gabarito: Correta





De acordo com Sussekind (1981), uma viga biapoiada inclinada

se comporta, para fins de diagrama de momentos fletores, como se

fosse uma viga biapoiada de vão igual à projeção de seu

comprimento sobre uma reta perpendicular ao carregamento atuante,

sendo o diagrama de momentos fletores marcado, sempre,

perpendicularmente ao eixo da viga.

Gabarito: Correta










A 0,1 qa e 0,6 qa.

B 0,2 qa e 0,7 qa.

C 0,4 qa e 0,9 qa.

D 0,6 qa e 1,1 qa.

E 0,7 qa e 1,2 qa.

Σ MA = 0

RB . (a + a/4) – q . (a/2) . (a/4 + a/2 + a) = 0

RB . 5.(a/4) = q.(7.a2/8)

RB = 0,7.q.a

RA + RB = q.(a/2)

RA = 0,5.q.a – 0,7.q.a




RA = -0,2.q.a

│RA│= 0,2.q.a

Gabarito: B







O pórtico apresenta dois apoios, sendo um do 1º gênero, no

ponto A, e o outro do 2º gênero, no ponto B. O primeiro apoio

impede deslocamentos verticais da estrutura e o segundo impede

tanto deslocamentos verticais como horizontais.

Verifica-se que os apoios são em número estritamente

necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura.




Portanto, a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de

equilíbrio estável.

Gabarito: Errada



∑MB = 0

MC = P.dCD + q.d’.(d’/2)

VA.dhAB + q.d’.dhCB – P.dvCB – MC = 0

VA = (MC/dhAB) + P.(dvCB/dhAB) – q.d’.(dhCB/dhAB)

As parcelas que dependem de P e de q apresentam sinais

opostos. Portanto, a depender dos valores de P e de q, a reação em A

pode ser positiva ou negativa, podendo representar tração ou

compressão no apoio A.

Gabarito: Errada



∑MA = 0

MC = P.dCD + q.d’.(d’/2)

VB.dhAB - q.d’.dhCB – P.dvCB – MC = 0

VB = (MC/dhAB) + P.(dvCB/dhAB) + q.d’.(dhCB/dhAB)

Todos os valores são positivos, o que garante que o apoio B

estará sempre sob compressão.

Gabarito: Correta






a tração.

De acordo com a posição das cargas, o diagrama de momentos

fletores no trecho do pórtico até o ponto C apresenta-se como na

figura a seguir:

Onde o momento é positivo no lado das fibras tracionadas, que

no trecho acima, da extremidade até o ponto D, são as fibras

superiores, e entre o ponto D e C são as fibras do lado esquerdo.

Gabarito: Correta


∑HB = 0

P – HB = 0

HB = P

A única reação horizontal ocorre no apoio B, por ser do 2º

gênero, e a única carga horizontal é a P. Logo, a reação horizontal no

apoio B é igual à carga P.

Gabarito: Correta







desse carregamento.

De acordo com Sussekind (1981), quando um arco triarticulado,

para um dado carregamento, está submetido apenas a esforços

normais, dizemos que sua forma é a da linha de pressões deste

carregamento.

Gabarito: Correta

11) 149 – Treliças isostáticas com cargas distribuídas entre

os nós podem ser consideradas treliças ideais, desde que o

carregamento seja uniforme.

De acordo com Sussekind (1981), denomina-se treliça ideal ao

sistema reticulado cujas barras têm todas as extremidades rotuladas

e cujas cargas são aplicadas apenas em seus nós e não entre os

nós de forma distribuída e uniforme.

Gabarito: Errada











compressão.

A força que atua na barra AD será igual à reação horizontal do

apoio no ponto A (RA).

RA = RB

Σ MA = 0




Q. dAD – RB.dAB = 0

RB = Q.(dAD/dAB), sendo o sentido da reação horizontal RB para

a esquerda (a barra BD está puxando o apoio – tração).

RA tem sentido oposto ao de RB, logo está reagindo contra a

barra, ou seja, a barra AD está comprimida.

A reação vertical de A é igual a Q, para que haja o equilíbrio

estático vertical.

Logo, a barra AB está sob compressão devido à força normal Q,

a componente vertical de AC é igual a zero. Portanto, não há força

em AC, e esta barra não está sob compressão nem tração.

Gabarito: Errada



A reação no nó A é igual a Q em sentido oposto ao da força

aplicada em D, para que haja equilíbrio estático da treliça.

Para que haja equilíbrio estático no nó A, a barra AB apresenta

a mesma força Q contra o nó A, ou seja, compressão.

Se a barra AB está sob compressão, deve-se enrijecê-la para

que não sofra flambagem, ou seja, aumentar a largura mínima

transversal e/ou reduzir o comprimento da barra.

Gabarito: Correta


RA = RB

Σ MA = 0

Q. dAD – RB.dAB = 0




RB = Q.(dAD/dAB), sendo o sentido da reação horizontal RB para

a esquerda para impedir a rotação da treliça por Q (a barra BD está

puxando o apoio, logo, a barra está sob tração).

Gabarito: Correta









O nó C deve permanecer em equilíbrio. A força Q é equilibrada

no nó F pela força de tração na barra CF. No nó C essa tração é

equilibrada com forças de compressão nas barras BC e CD.

Gabarito: Correta


O somatório das forças externas verticais = 0. Portanto, as

reações em A e E são iguais a Q/2 no sentido inverso de Q. Se a

reação em A e E estão de baixo para cima, significa que as barras AB

e DE estão comprimindo os apoios.

Gabarito: Errada


A força Q é equilibrada no nó F pela força de tração na barra

CF.

Gabarito: Correta





O somatório das forças externas verticais = 0. Portanto, as

reações em A e E são iguais a Q/2 no sentido inverso de Q. Se a

reação em A e E estão de baixo para cima, significa que as barras AB

e DE estão comprimindo os apoios.

Para o equilíbrio interno das forças horizontais nos nós A e E, a

força nas barras AF e FE devem ser de tração de valor igual à

componente horizontal da força de compressão das barras AB e DE.

Portanto, as barras AF e FE estão submetidas à tração.

Gabarito: Errada


diferentes.

A treliça é simétrica, logo, pelo equilíbrio da treliça, o somatório

das forças externas verticais deve ser zero, resultando nas reações

Q/2 nos apoios A e E.

Gabarito: Errada






seguem.



A flambagem é um fenômeno que ocorre em peças

comprimidas axialmente, que a partir de uma determinada carga

crítica (transição entre o equilíbrio estável e o instável), sofrem

deflexão lateral.

Quanto maior o valor de “e”, maior é o valor do momento no

topo da peça A, o que aumenta a deflexão da peça contribuindo para

a ocorrência da flambagem, ou seja, reduzindo a carga crítica.

De acordo com Leonhardt (1977), em um pilar, para

compressão centrada, a capacidade de carga esgota-se para um

aumento contínuo da carga. Esta capacidade de carga reduz-se




devido à inevitável excentricidade da carga e, por conseguinte,

devido à solicitação adicional de flexão.

As excentricidades causem, com o aumento da carga,

deformações por flexão e, por conseguinte, tensões de compressão

desiguais, até que o concreto no lado mais solicitado atinge a zona de

deformação plástica e rompe. O colapso de pilares esbeltos devido ao

aumento de deformações por flexão denomina-se flambagem.

Gabarito: Correta



Quanto maior a rigidez da peça B, maior a resistência horizontal

para impedir a deflexão da peça B, dificultando a ocorrência da

flambagem.

Gabarito: Correta




No ponto 1, o momento do topo da peça A decorrente da

excentricidade “e” exerce tração (lado esquerdo da peça A).

A tensão resultante nesse ponto resulta da fórmula:

σ = Q/A – [(Q.e)/I]

A depender do valor da segunda parcela da equação acima, a

tensão pode ser de tração no ponto 1.

Gabarito: Errada







compressão.

Tendo em vista que a carga Q está aplicada à direita do eixo da

peça A, o momento do topo da peça A decorrente da excentricidade

“e” exerce compressão (lado direito da peça A).

A tensão resultante nesse ponto resulta da fórmula:

σ = Q/A + [(Q.e)/I]

Logo, a tensão no ponto 2 só pode ser de compressão.

Gabarito: Correta




O movimento horizontal da peça A provocará um esforço

vertical na ponta da peça B, provocando a sua curvatura, com

conseqüente tração nas fibras superiores e compressão nas fibras

inferiores.

Gabarito: Correta













A tensão cisalhante máxima positiva tem o mesmo valor do raio

do círculo de Mohr.

O centro do círculo posiciona-se no ponto da σmédia, que é igual

à média entre a σx e a σy = (50 + 100)/2 = 75 MPa.

Os demais pontos do círculo são os pares X = (50 MPa, 25 MPa)

e Y = (100 MPa, -25 MPa).

O raio pode ser obtido pelo cálculo da hipotenusa com os

catetos 25 e 25 (75 – 50). Com isso o raio advém do cálculo (252 +

252)1/2 = 35,36 MPa, que corresponde ao valor da tensão cisalhante

máxima.




A tensão principal máxima é 75 + 35,36 = 110,36 MPa e a

tensão principal mínima é 75 – 35,36 = 39,64 MPa.

O ângulo entre o par X = (50, 25) e a tensão principal σ1 é

(180º - 2Ө)/2, sendo:

tg 2Өp = 25/25 = 1

2Өp = 45º

Өp = 22,5º

Өc = Өp + 45º = 67,5º (os planos de máxima tensão de

cisalhamento formam ângulos de 45º com os planos principais).

Gabarito: Correta




De acordo com o livro “Resistência dos Materiais”, dos autores

Ferdinand P. Beer e E. Russell Johnston Jr., a fórmula, a partir do

círculo de Mohr, para se determinar o ângulo da tensão principal em

relação ao eixo x é:




Portanto, essa é outra forma de calcular o ângulo Өp:

tg 2 Өp = 2ζxy/(σx – σy)

tg 2 Өp = - 2.25/(50 - 100) = 1

2 Өp = 45º

Өp = 22,5º

Portanto, a configuração correta das tensões principais é:

Gabarito: Errada








De acordo com o item 14.6.7.1 da norma NBR 6118/2007, pode

ser utilizado o modelo clássico de viga contínua, simplesmente




apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais,

observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais:

- não devem ser considerados momentos positivos menores

que os que se ob teriam se houvesse engastamento perfeito da viga

nos apoios internos, conforme esquematizado na figura abaixo:

Fonte: < http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Vigas.pdf>

b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a

largura do apoio, medida na direção do eixo da viga, for maior que a

quarta parte da altura do pilar (le), não pode ser considerado

momento negativo de valor absoluto menor do que o de

engastamento perfeito nesse apoio;




Fonte: < http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Vigas.pdf>

c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da

solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos

apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento

perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes

relações:

- na viga:

- no tramo superior do pilar:

- no tramo inferior do pilar:

Sendo:

Onde:




ri é a rigidez do elemento i no nó considerado, avaliada

conforme indicado na figura a seguir:

Alternativamente, o modelo de viga contínua pode ser

melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga,

mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e

intermediários.

Gabarito: Correta




entorno.

De acordo com a NBR 6118/2007, na análise dos esforços

resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as

seguintes hipóteses básicas:

a) as seções transversais se mantêm planas após deformação;

b) a deformação das barras passivas aderentes ou o acréscimo

de deformação das barras ativas aderentes em tração ou compressão

deve ser o mesmo do concreto em seu entorno;




c) para armaduras ativas não aderentes, na falta de valores

experimentais e de análises não-lineares adequadas, os valores do

acréscimo das tensões para estruturas usuais de edifícios estão

apresentados a seguir, devendo ainda ser divididos pelos devidos

coeficientes de ponderação:

- para elementos com relação vão/altura útil ≤ 35: Δσp = 70 +

fck/100ρp, em MPa, não podendo ultrapassar 420 MPa.

- para elementos com relação vão/altura útil > 35: Δσp = 70 +

fck/300ρp, em MPa, não podendo ultrapassar 210 MPa.

onde:

- Δσp e fck são dados em MPa;

- ρp é a taxa geométrica da armadura ativa;

- bc é a largura da mesa de compressão;

- dp é a altura útil referida à armadura ativa;

d) as tensões de tração no concreto, normais à seção

transversal, podem ser desprezadas, obrigatoriamente no ELU;

e) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o

diagrama parábola-retângulo, com tensão de pico igual a 0,85 fcd.

Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura 0,8.x

(onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:

- 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à

linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida;

- 0,80 fcd no caso contrário.

As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas

são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de

correção adicional.




f) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos

diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos em

8.3.6 e 8.4.5.

g) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição

das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios

definidos na figura seguinte:

Ruptura convencional por deformação plástica excessiva:

- reta a: tração uniforme;

- domínio 1: tração não uniforme, sem compressão;

- domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à

compressão do concreto (εc < 3,5 ‰ e com o máximo alongamento

permitido);

Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto:

- domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta

com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (εs

≥ εyd);

- domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta

com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem

escoamento (εs < εyd);




- domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas;

- domínio 5: compressão não uniforme, sem tração;

- reta b: compressão uniforma.

Gabarito: Correta



igual a 7 cm.

De acordo com a norma NBR 6118/2007, a seção transversal

das vigas não deve apresentar largura menor que 12 cm e das vigas-

parede, menor que 15 cm. Estes limites podem ser reduzidos,

respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos

excepcionais, sendo obrigatoriamente respeitadas as seguintes

condições:

a) alojamento das armaduras e suas interferências com as

armaduras de outros elementos estruturais, respeitando os

espaçamentos e coberturas estabelecidos na NBR 6118/2007;

b) lançamento e vibração do concreto de acordo com a ABNT

NBR 14931.

Gabarito: Errada





ou igual a 80.




A versão anterior da norma NBR 6118, de 1978, previa o

seguinte:

- Pilar curto: λ 40

- Pilar medianamente esbelto: 40 < λ 80

- Pilar esbelto: 80 < λ 140

- Pilar muito esbelto: 140 < λ 200

A versão atual da norma NBR 6118, de 2007, não apresenta

essa classificação, mas prescreve que os pilares devem ter índice de

esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de postes

com força normal menor que 0,10.fcd.Ac, o índice de esbeltez pode

ser maior que 200.

Vale lembrar que o índice de esbeltez deve ser calculado pela

fórmula: λ = Le/i, sendo Le o comprimento de flambagem e i o raio de

giração.

Portanto, caso se adote a regra da norma mais antiga, o pilar

somente é considerado curto quando o índice de esbeltez é menor ou

igual a 40.

Gabarito: Errada




O cintamento de um pilar consiste na adoção de armadura em

forma de hélice ao longo da altura de pilares circulares.

De acordo com Leonhardt, a capacidade de carga de elementos

comprimidos (pilares) de concreto armado, com seção transversal

circular ou aproximadamente circular (por exemplo, octogonal) e no




caso de pequena excentricidade e de esbeltez reduzida, pode ser

aumentada através de uma armadura de cintamento.

O efeito do cintamento (também chamado de hélice) baseia-se

no fato de que este impede a dilatação transversal do concreto que

surge devido à compressão longitudinal.

Fonte: Leonhardt (1977)

Gabarito: Errada



ancorados.

A torção provoca tensões de tração no perímetro da seção de

concreto a serem resistidas pela armadura posicionada ao longo do

perímetro da seção, denominada estribo, que deve ser fechado, pois

as tensões de tração ocorrem ao longo de todo o perímetro.




Fonte: Leonhardt (1977)

Gabarito: Correta







A flecha de uma viga simplesmente apoiada com uma carga

vertical aplicada no centro do vão é obtida pela fórmula (PL3)/48EI,

onde E é o módulo de elasticidade (depende do material) e I é o

momento de inércia (depende da geometria).




O momento de inércia em relação ao eixo do retângulo é

(bh3)/12 e o momento de inércia do círculo é ( .r4)/4.

Portanto, verifica-se que as flechas não são as mesmas, tendo

em vista elas dependerem do momento de inércia, o qual varia em

função da geometria da seção transversal.

Gabarito: Errada




O contraventamento, como o próprio nome diz, visa aumentar a

rigidez horizontal para minimizar os deslocamentos horizontais da

estrutura decorrentes principalmente do vento.

O contraventamento pode ser feito em barras ou cabos de aço

que interligam os nós do reticulado de pilares e vigas.

Gabarito: Errada

14 – QUESTÕES APRESENTADAS NESTA AULA




















A 0,1 qa e 0,6 qa.

B 0,2 qa e 0,7 qa.

C 0,4 qa e 0,9 qa.

D 0,6 qa e 1,1 qa.

E 0,7 qa e 1,2 qa.
















a tração.








desse carregamento.

11) 149 – Treliças isostáticas com cargas distribuídas entre

os nós podem ser consideradas treliças ideais, desde que o

carregamento seja uniforme.








compressão.
















diferentes.






seguem.














compressão.





























entorno.



igual a 7 cm.





ou igual a 80.









ancorados.













15 - GABARITO

1) Correta 10) Correta 19) Errada 28) Correta

2) Correta 11) Errada 20) Correta 29) Errada


4) B 13) Correta 22) Errada 31) Errada

5) Errada 14) Correta 23) Correta 32) Correta

6) Errada 15) Correta 24) Correta 33) Errada


8) Correta 17) Correta 26) Errada

9) Correta 18) Errada 27) Correta

16 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1 - Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT. NBR

6118/2007 – Projeto de Estruturas de Concreto -

Procedimento.

2 - Bastos, Paulo Sérgio dos Santos. Vigas de Edifícios – Notas de

Aula. Acessado no sitio <wwwp.feb.unesp.br/pbastos>, em

18/05/2012.

3 - Beer, Ferdinand P. e Johnston Jr, E. Russell. Resistência dos

Materiais. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982.

4 - Leonhardt, Fritz e Monnig, Eduard. Construções de Concreto,

volume 1. Rio de Janeiro. Interciência: 1977.

5 - Sussekind, José Carlos. Curso de Análise Estrutural, volume

1. Rio de Janeiro: Globo, 1981.

aula 11

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