Estimação

Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes

Universidade Federal de Itajubá

Aula 11

Resumo

A principal preocupação numa inferência estatística é obter

conclusões sobre a população.

Com a média de uma amostra extraída de uma população será

estimada a média dessa população.

Entretanto, de uma mesma população pode-se tomar muitas

amostras diferentes do mesmo tamanho.

O parâmetro média da população é um valor único e

desconhecido.

A estatística média da amostra é um valor

conhecido, porém pode variar de amostra para

amostra.

Com as médias das amostras, é possível construir a

distribuição de freqüências das médias das amostras,

denominada distribuição amostral da média, cuja média

denomina-se média amostral e seu desvio padrão, erro

padrão ou erro amostral.

Resumo

• Devido a natureza aleatória envolvida num

procedimento amostral (AAS), não podemos

garantir que repetições de amostras produzam

sempre resultados idênticos.

• Então, ao coletarmos uma amostra, não

podemos prever antecipadamente seu

resultado, ou seja, todas as quantidades

associadas à amostra terão caráter aleatório e

portanto, devem receber tratamento

probabilístico.

Estimação

• À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar, um parâmetro de interesse na população denominamos estimador. Em geral, denotamos os estimadores por símbolos com o acento circunflexo: , , , etc.

• Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas pontuais ou estimativas

Estimação

^ ^ ^

• Def. Um estimador T do parâmetro é

qualquer função da amostra, ou seja,

T=g(X1,...,Xn).

• Estimativa é o valor assumido pelo

estimador em uma amostra.

Estimação

Um estimador é uma estatística associada a um parâmetro

populacional.

• O estimador precisa ter algumas propriedades:

Vício: Um estimador é não viciado ou não viesado

para um parâmetro se:

Em outras palavras, um estimador é não viciado

se o seu valor esperado coincide com o

parâmetro de interesse.

Estimação

)ˆ(E

• Mas qualquer função representa bem o parâmetro

em estudo?

Consistência: Um estimador é consistente se, à

medida que o tamanho da amostra aumenta,

seu valor esperado converge para o parâmetro

de interesse e sua variância converge para

zero:

Estimação

;0)ˆ(lim)

;)ˆ(lim)

Varii

Ei

n

n O estimador

depende de n !!

Eficiência: Dados dois estimadores 1 e 2, não

viciados para um parâmetro . Dizemos que 1 é

mais eficiente do que 2 se:

Estimação

)ˆ()ˆ( 21 VarVar

^ ^^

^

Parâmetro Estimador Propriedades

Não viciado e

consistente

p Não viciado e

consistente

2 Não viciado e

consistente

2 Viciado e

consistente

n

X

X

n

i

i 1

1

)(1

2

2

n

XX

S

n

i

i

n

XXn

i

i

1

2

2

)(

np

ticacaracteríscom%ˆ

Exemplo

• Considere que, numa certa população,

uma variável aleatória X assuma os

valores 0, 10, 20 e 30 com porcentagens

20%, 30%, 30% e 20%, respectivamente.

Logo = 15 e 2 = 105.

X 0 10 20 30

P(X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2

• Retirando todas as amostras de 2

elementos com reposição tem-se a

distribuição conjunta

X1\X2 0 10 20 30

0 0,04 0,06 0,06 0,04

10 0,06 0,09 0,06 0,09

20 0,06 0,09 0,09 0,06

30 0,04 0,06 0,06 0,04

• Para estimar na população, considere

os estimadores:

n

X

X

n

i

i

12

11

ˆ

ˆ

1 0 10 20 30

P(1=x) 0,2 0,3 0,3 0,2

2 0 5 10 15 20 25 30

P(2=x) 0,04 0,12 0,21 0,26 0,21 0,12 0,04

^

^

• Obtendo o valor esperado de 1 ,2:

• Portanto, os estimadores são não

viciados:

1504,0*30...21,0*1012,0*504,0*0)ˆ(

153,0*303,0*203,0*102,0*0)ˆ(

2

1

E

E

^ ^

)ˆ(

)ˆ(

2

1

E

E

• Esses estimadores são consistentes?

0limlim

)(

lim...

lim)ˆ(lim)

lim

)(

lim...

lim)ˆ(lim)

105lim)(lim)ˆ(lim)

15lim)(lim)ˆ(lim)

2

2

2

2

1212

1212

2

11

11

nn

n

n

XVar

n

XXXVarVarii

n

n

n

XE

n

XXXEEi

XVarVarii

XEEi

nn

n

i

i

n

n

nn

n

n

i

i

n

n

nn

nnn

nnn

Propriedade da Variância:

)()( 2 XVaraaXVar

Portanto,o estimador 1 não é consistente e o estimador 2 é consistente!!!

• Qual é o estimador mais eficiente?

)ˆ()ˆ( 12 VarVar

5,522

105)ˆ(

105)ˆ(

2

2

2

1

nVar

Var

Portanto o estimador 2 é mais eficiente que o estimador 1.

• Mostre que o estimador da variância dividido por

n-1 é não viciado?

• Supondo uma amostra (X1,...,Xn) obtida de uma

população com média e variância 2. Um

estimador natural da variância é:

Trabalho em grupo para casa

n

XXn

i

i

1

2

2

1

)(

• Esse estimador é viciado?

• Como é uma constante e

Estimação

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

XXXX

XXXX

1

2

11

2

1

2

1

2

)())((2)(

)()(

X

n

i i XnX1

2)()(

n

i

i

n

i

i XnXXX1

22

1

2 .)()()(

• Segue que

2

22

2

1

2

1

2

2

1

1

11

)()(1

)(

)ˆ(

n

n

nn

n

XnEXEn

n

XXE

E

n

i

i

n

i

i

• Logo

n

i

i XXn

S

n

nE

1

22

2

1

2

1

)(1

1

ˆˆ1

Exercício 1• Foi analisado uma população de 15 famílias

com filhos num certo bairro e observado o

número de crianças de cada família,

matriculadas na escola. Os dados foram:

1,1,2,0,2,0,2,3,4,1,1,2,0,0, e 2.

• Qual dos estimadores abaixo é o “melhor”

estimador da média e por quê?

XXX

321

21ˆ;

2

)(ˆ;

2

min)(maxˆ

Exercício 2

• Suponha um experimento consistindo de n

provas de Bernoulli, com probabilidade de

sucesso p. Seja X o número de sucessos, e

considere os estimadores

• Determine a esperança e a variância de cada

estimador. Por que p2 não é um bom estimador?

• Verifique se p1 e p2 são consistentes.

contrário.caso,0

,sucessoresultarprovaprimeiraase,1ˆ;ˆ

21 pn

Xp

^

^ ^