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Estatística e Pesquisa - UVB

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Aula 10Estimação e Intervalo de Confiança

Objetivos da Aula

Fixação dos conceitos de Estimação;

Utilização das tabelas de Distribuição Normal e t de Student

Introdução

Freqüentemente necessitamos, por meio das amostras, conhecer

informações gerais da população.

Já sabemos que a estatística indutiva é a ferramenta que vai nos

auxiliar neste processo, ou seja, vai nos permitir tirar conclusões

probabilísticas sobre aspectos das populações, com base na

observação de amostras extraídas dessas populações.

Estimação

A estimação é o processo que consiste no uso de dados da

amostra (dados amostrais) para estimar valores de parâmetros

populacionais desconhecidos, tais como média, desvio padrão,

proporções etc.



Estimativas Pontuais e Intervalares

Os dois tipos clássicos de estimação são as estimativas pontuais e as

intervalares.

Neste momento é importante definirmos dois conceitos:

Chamamos de estimador a quantidade calculada em função

dos elementos da amostra, que será usada no processo de

estimação do parâmetro desejado. O estimador é, como

vemos, uma estatística. Será, portanto, uma variável aleatória

caracterizada por uma distribuição de probabilidade e seus

respectivos parâmetros próprios.

Chamaremos de estimativa a cada valor particular assumido

por um estimador.

Estimativa Pontual

É quando fazemos uma única estimativa (um valor) para um

determinado parâmetro populacional. Vejamos os exemplos:



Estimativa Intervalar

É quando fazemos uma estimativa de um intervalo de valores possíveis,

no qual se admite esteja o parâmetro populacional.

Neste tipo de estimativa temos um intervalo de valores em torno do

parâmetro amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de

erro, estar o parâmetro da população. A esse intervalo chamamos

intervalo de confiança.

Estimativa de Médias de uma População

Para efetuar a Estimativa de Médias de uma População utiliza-se

desvio padrão da distribuição que constitui a amostra (distribuição

amostral), deve-se levar em consideração se o desvio padrão da

população é ou não conhecido.

Para desvio padrão populacional conhecido temos:

Estimativa Pontual da Média

Estimativa Intervalar da média



Assim teremos a estimativa intervalar:

Salientamos que a estimativa intervalar da média populacional

baseia-se na hipótese de que a distribuição das médias amostrais é

normal, daí usarmos a nova variável z. Para grandes amostras (quando

n é maior que 30) esta premissa é garantida pelo Teorema do Limite

Central, que não estudaremos.

Para amostras de 30 ou menos elementos, é importante saber que

a população submetida à amostragem tem distribuição normal ou

aproximadamente normal.

Exemplo:

Considerando que uma amostra de cem elementos extraída de uma

população aproximadamente normal, cujo desvio padrão é igual a 2,

forneceu média de 35,6 ( ), construir intervalos de confiança de 90%,

95% e 99% para a média dessa população.

Vejamos como determinar z:

Ao observarmos a representação da distribuição normal reduzida

abaixo, sabemos que toda a área compreendida entre a curva e sua

base tem valor 1. Logo, a parte em cor amarela tem valor 0,5.



Em nossa aula anterior calculávamos z e então encontrávamos a área

correspondente e, assim, a probabilidade desejada. Agora a ação

será inversa. Desejamos, em nosso exemplo acima, para seu primeiro

intervalo 90% de confiança, então fazemos:

Conhecendo a área que nos dá 90% de confiança no resultado, vamos

até a Tabela para a Distribuição Normal Padronizada e encontramos

o valor mais próximo de 0,45, que é 0,4494974. Para este valor temos

(considerando a linha e a coluna) z = 1,64

Podemos representar da seguinte forma:



Erro admitido num intervalo (erro de estimação)

É a diferença entre a média da amostra e a verdadeira média

da população.

Como o intervalo de confiança tem centro na média da amostra, o

erro máximo provável que está sendo admitido é igual à metade da

amplitude do intervalo.

O erro de estimação pode ser descrito pela relação:

Percebemos que quando aumentamos este erro potencial

aumenta. Podemos concluir também que maiores amostras (aumenta

n) possuem um potencial de erro menor.

No caso do desvio padrão populacional desconhecido que é

habitualmente a situação mais comum, teremos o mesmo raciocínio.

Entretanto, em nossa avaliação inicial devemos verificar o tamanho da

amostra (n), se:

Quando usamos a distribuição normal

Quando usamos a distribuição t de Student

Assim nos intervalos termos:



Distribuição t de Student

Para pequenas amostras a distribuição normal apresenta valores

menos precisos, o que nos leva a utilizar um modelo melhor. Por

isso iremos conhecer a distribuição t de Student.

A principal diferença entre a distribuição normal e a t de Student

é que esta tem mais área nas caudas.

Existe um valor de t para cada tamanho de amostra, sendo que

à medida que a amostra (n) cresce, a distribuição t de Student se

aproxima da distribuição normal.

Para calcular o valor de t a ser usado é necessário ter:

Um nível de confiança desejado:

Qual o número de graus de liberdade a ser utilizado:

Por exemplo:

Sabendo-se que uma amostra tem 25 elementos, que a sua média 150

e desvio padrão igual a 10. Represente um intervalo de confiança em

nível de 90%.

Como a amostra é menor que 30 elementos, então iremos usar a

distribuição t de Student. Se desejamos um intervalo de confiança de

90%, temos:



Para trabalharmos com a tabela, encontramos o número de graus de

liberdade, que é: (n-1), logo (25-1)=24.

O nível de confiança desejado é

Conhecendo o número de graus de liberdade e o nível de

confiança desejado vamos a tabela e encontramos o valor t, neste

caso igual a 1,7109.



Determinação do Tamanho da Amostra

O tamanho da amostra depende de 3 fatores, conforme abaixo:

O grau de confiança desejado (z);

Quantidade de dispersão entre os valores individuais da

população ( );

Erro tolerável ou admitido (e).

Sendo a fórmula para encontrarmos o tamanho da amostra:

Por exemplo:

Qual o tamanho de amostra necessária para se estimar a média de

uma população infinita cujo desvio padrão é igual a 4, com 98% de

confiança e erro de 0,5?

Lembramos que z foi retirado da tabela normal. Logo, precisamos de

uma amostra com 348 elementos.



Bibliografia

CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo : Editora

Saraiva, 1998.

COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Estatística. 12. ed. São Paulo: Editora

Edgard Blücher Ltda., 1992.

MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antonio Carlos Pedroso de.

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MANDIM, Daniel. Estatística Descomplicada. 10. ed. Brasília: Vestcon

Editora Ltda., 2003.

SPIEGEL, Murray R. Estatística. São Paulo: Editora McGraw-Hill, 1952.

VIEIRA, Sonia. Princípios de Estatística. 1ª reimpr. da 1ª ed. São Paulo:

Editora Pioneira Thomson Learning, 2003.

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Ed. Harbra, 1981.

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