aula 10 superficies custo - ulisboa

Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica

Alexandre GonçalvesDECivil - IST

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Aula 10Superfícies de custo

Superfícies de custo

1. Introdução2. Matrizes de distâncias, alocação e direções

• Usando distância euclidiana ou célula-a-célula• Com custos uniformes ou variáveis

3. Superfícies de custo• Construção• Isotropia e anisotropia• Vizinhanças e métricas locais• Regras de obtenção do caminho• Extensões

4. Exemplos em SIGISIG – MEC – IST 2020-21

Introdução• Localizar um equipamento linear (estrada, caminho-de-

ferro, oleoduto, linha elétrica) ou o caminho ideal para ligar dois pontos pode ser um problema complexo.

• Além do custo desse equipamento, há custos desiguais consoante o território atravessado, interessando minimizar um custo total.

ISIG – MEC – IST 2020-21

Introdução

• Problema das sete pontes de Königsberg (resolvido por Euler em 1735, deu origem à teoria de grafos)

• Problema do caixeiro viajante (Hamilton, séc. XIX)

• Problema do carteiro chinês (Kuan, 1962)

• Problema do caminho de menor custo (Dijkstra, 1959)

Traçar percursos de custo mínimo, com origem e destino fixos, é um problema clássico modelado por grafos.

• Caminho de menor custo, facilmente resolvido pelo algoritmo de Dijkstra.

• Calcula o caminho de menor custo do vértice de origem até todos os outros no grafo.

• Só funciona com custos positivos.

• Tem baixa complexidade computacional (não explode num número intratável de soluções possíveis).

Introdução

Matriz de origens Matriz de distância

1 1 1 0 0 1 2 3

1 1.41 1 0 1 2 3

2.24 1.41 1 1.41 2.24 3.16

2 2.24 2 2.24 2.83 3.61

1 1.41 2.24 3.16 3.61 4.24

2 0 1 2 3 4 5

Distância euclidiana

distância mínima até à célula de origem mais próxima, medida em linha reta entre centros de células


Distância euclidiana• Pode ser a aplicada a um

conjunto de entidades (pontos, linhas, polígonos)

• Cada célula contém a distância (do centro) até à entidade mais próxima


Matriz de distância (euclidiana) a partir das estradas


Matriz de origens Matriz de alocação com base nadistância euclidiana: cada célula tem o valor da célula de origem mais próxima

há várias células com empate na distância a mais que uma célula de origem: podiam ter outro valor de alocação

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1

2 2 2 1 1 1

2 2 2 2 2 2 1



360=0

180

90270

Matriz de direções:azimute até à célula de origem mais próxima

90 - - 270 270 270

45 0 - 270 270 270

27 45 0 315 297 289

180 27 0 334 315 304

180 225 243 342 327 315

- 270 270 270 270 324

1 1

1

2

Matriz de origens


Distância célula-a-célula

1 1

1

2

Matriz de origens

1 0 0 1 2 3

1.41 1 0 1 2 3

2.41 1.41 1 1.41 2.41 3.41

2 2.41 2 2.41 2.83 3.83

1 1.41 2.41 3.41 3.83 4.24

0 1 2 3 4 5

Matriz de distância

distância mínima até à célula de origem mais próxima, medida em linha reta entre centros de células consecutivas


Matriz de distância euclidiana acumulada (Euc)

Matriz de distância célula-a-célula acumulada (Cost)

(Euc-Cost)/Euc

1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 3 0.00 0.00 0.00 0.00

1.41 1 0 1 2 3 1.41 1 0 1 2 3 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

2.24 1.41 1 1.41 2.24 3.16 2.41 1.41 1 1.41 2.41 3.41 -0.08 0.00 0.00 0.00 -0.08 -0.08

2 2.24 2 2.24 2.83 3.61 2 2.41 2 2.41 2.83 3.83 0.00 -0.08 0.00 -0.08 0.00 -0.06

1 1.41 2.24 3.16 3.61 4.24 1 1.41 2.41 3.41 3.83 4.24 0.00 0.00 -0.08 -0.08 -0.06 0.00

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Diferença máxima no comprimento ~7,96%

entre a distância euclidiana e a distância célula-a-célula

Diferença Diferença

(Tomlin 1990)

Diferença máxima no comprimento ~7,96%

iguais

iguais


Cada célula indica a direção da célula vizinha pela qual se atinge a origem mais próxima

6 7 8

5 0 1

4 3 2

Matriz de origens Matriz de direções ou back-link

1 1 1 0 0 5 5 5

1 8 1 0 5 5 5

8 8 7 6 6 6

3 4 7 6 6 5

3 4 4 4 7 6

2 0 5 5 5 5 5


1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 1 1

2 2 2 2 1 1

2 2 2 2 2 2 2

Matriz de origens Matriz de alocação

Células que mudaram face à

matriz de distância euclidiana


• Porque se utiliza?– Uma distância é sempre um caminho de menor custo– Se se considerar que o custo de atravessamento do espaço não é

uniforme, é preciso calcular a proporção do atravessamento de cada célula segundo a distância euclidiana

– Segundo a distância célula-a-célula, não é necessário

1 1 1 3 4 4 3 2

1 4 6 2 3 7 6

5 8 7 5 6 6

1 4 5 5 1

4 7 5 2 6

2 1 2 2 1 3 4

células NULL podem representar locais de não-passagem

Matriz de origens Superfície de custo

Construção de uma superfície de custo

1. Consideram-se variáveis que expressam os diversos fatores e critérios que determinam o custo (ou esforço,

impedância, resistência, tempo, risco...).

2. Constrói-se a “superfície de custo” combinando fatores e critérios reduzidos a uma escala comum e ponderados entre si.

Sinónimos de superfície de custo:matriz de pesos, matriz de custo, matriz de atrito, matriz de resistência, matriz de forças...

Cada célula representa o custo do seu atravessamento

exemplo: Custo = f(declive; distância a

algo; aptidão para algo; €; …)1.0 2.3 4.0

4.0 3.6 2.9

5.1 8.0 7.0

Construção de uma superfície de custo

ww

w.innovativegis.com

Obtenção do caminho de menor custo

3. O grafo é induzido pelas transições entre células.

1 3 4

4 6 2

5 8 7

Definem-se vizinhanças e transições entre as células que correspondem às arestas do grafo



4. Selecionam-se as células (nós) de origem e destino e executa-se o algoritmo de caminho de menor custo (Dijkstra).


A – Superfície de custo

B – Superfície de custo

acumulado resultante do

algoritmo de Dijkstra

C – Sequência de células

resultante do algoritmo de

Dijkstra

D – Sequência de células

resultante da regra da

maior descida

Só a sequência de células

resultante do algoritmo de

Dijkstra garante o

caminho de menor custo

A B

C (custo 13,74) D (custo 14,50)ISIG – MEC – IST 2020-21

5 tipos de matriz1. Matriz de pesos, de custo, de atrito, de resistência,

superfície de custo (dada)2. Matriz de distância acumulada, de peso acumulado, de

custo acumulado (obtida a partir da 1. e local(ais) de origem)

3. Matriz de direções, de direção de fluxo, de back-link(obtida a partir da 1. e local(ais) de origem)

4. Caminho ótimo, caminho de menor custo (com base na 3. e local de destino)

5. Matriz de alocação/associação (com base na 3.)

O caminho de menor custo pode também apresentar-se como uma linha ISIG – MEC – IST 2020-21

1

2

34

5

Críticas Extensões

• Modelo anterior “simplista” e de aplicação limitada

• Não modela corretamente certas deslocações ou intervenções no espaço

ponte

migração dos gnus

praça

Limitações/ extensões/ possibilidades / problemas ...• Nulos são barreiras absolutas.• Como modelar sentidos proibidos?• Como modelar custos dependentes do sentido de

atravessamento das células?• Como modelar saltos entre células não-

adjacentes?• Como modelar novas direções?• Como obter “faixas”/”corredores”


Extensões: anisotropia

3

3

3

7

3

3

3

3

3

9

9

4

3

3

3

9

3

7

7

4

3

3

3

3

A

2

6

3

7

2

6

2

6

2

9

4

9

6

6

6

9

3

7

7

4

6

6

6

6

B

5

4

6

8

6

5

2

6

2

14

2

11

3

3

6

9

3

11

4

5

6

7

6

3

D

3

3

3

3

3

7

3 9 4

S 6

6

10

10

6

6

6

6

12

12

13

13

6

6

12

12

10

10

11

11

6

6

6

6

C

C – isotropia; A, B e D – anisotropia

Anisotropia = custo dependente do sentido


Extensões: anisotropia

> declive (positivo)>

cus

to

Solução por bombagem Solução gravítica

< declive (negativo) 0

Exemplo de aplicação: localização de estrutura para transporte de líquidos (canais)para abastecimento ou condução a estações de tratamento ISIG – MEC – IST 2020-21

Extensões: novas direções e métricas

2 1

1 0

2

1

2 1 2

1,36039 0,96194

0,96194 0

1,36039

0,96194

1,36039 0,96194 1,36039

2 1

1 0

2

1

2 1 2

1 1

1 0

1

1

1 1 1

A B C D

erro máximo absoluto em relação à distância euclidiana: A: 41,41%; B: 29,29%; C: 7,96%; D: 3,96%

+comum

+comum

Novas direções

Outras métricas


Extensões: novas direções (pontes e túneis)

99 104

123

124 113

116

120

118

117

113

109

108

106

105

107

107

100

98

100

98

97

97

92

92

97

92

90

103

102

89

88

90

95

90

94

86

91

108

100

116

114

99

98

97

85

104

101

100

96

119

114

108

106

101

99 97 94 83 87 94 99109 103

pontealturacustoponteunitcustoBADBAC ponte ____),(),( +×=

−×+

++×=

norm

BAnormnorm

BAD

HHh

BSCASCBAC

),()

2

)()(1(),( βα

túnelunitcustoBADBAC túnel __),(),( ×=

exemplo de formulação

“Pontes” e “túneis” são “saltos” entre células não adjacentes

ISIG – MEC – IST 2020-21http://www.innovativegis.com

Os corredores obtêm-se:1. somando duas

superfícies de custo acumulado a partir de dois locais

2. reclassificando as células da matriz-soma que estão abaixo de certo valor

Extensões: corredores

Extensões: corredores• Corredores: “faixas” que ligam dois locais não

excedendo um custo máximo• Muito usados em modelação ambiental

Extensões: corredores

• As faixas dos corredores não têm largura constante

htt

p:/

/ww

w.w

ild

life

.sta

te.n

m.u

s/c

on

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ati

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/sh

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_w

ith

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ild

life

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cu

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ts/S

wW

08M

en

ke.p

df


Extensões: desenho de redes com 3+ pontos

A B

C

A – caso geralB – ideal do ponto de vista da minimização do comprimento total -árvore de SteinerC – ideal do ponto de vista da utilização – distância mínima entre vértices

A B

C


n

3 4 5 6 7

s

0 3 12 60 360 2520

1 1 12 120 1200 12600

2 3 75 1350 22050

3 15 630 17640

4 105 6615

5 945

Total 4 27 270 3645 62370

Número de árvores topologicamente distintas com n vértices e s pontos de Steiner

n=9 s=5


O problema de encontrar a rede mínima que liga npontos com possibilidade de acrescentar s pontos adicionais é geometricamente complexo


É fácil encontrar o ponto de Steiner para uma rede que ligue três locais:• Somam-se as três

superfícies de custo acumulado

• A célula com valor mínimo na matriz-soma é a do ponto de Steiner

Com 4+ pontos, o problema é muito mais difícil! ISIG – MEC – IST 2020-21

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