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IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes

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1

EAC-082: Geodésia Física

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

Aula 10

Reduções Gravimétricas

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

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Considerações Iniciais

De acordo com Gemael (1999) A anomalia da

gravidade, ou o valor da gravidade estão sujeitas a

diferentes tipos de reduções, que dependem de sua

aplicação. Uma delas denominada de anomalia de

Bouguer considerada isoladamente tem pouca

importância ao geodesista nas determinações das

ondulações do geóide; já as reduções isostática tem

interesse aos geodesistas e aos geólogos, mas não se

adequam aos trabalhos de prospecção de natureza local.

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Segundo Hofmann-Wellenhof e Moritz (2005) as

reduções gravimétricas servem como uma ferramenta

para três objetivos principais:

1. Determinação do geoide;

2. Interpolação e extrapolação da gravidade;

3. Investigação da crosta terrestre.

Somente as duas primeiras propostas são de

natureza direta da Geodésia.


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Vimos também que a clássica fórmula de STOKES

pressupõe a inexistência de massas externas ao geoide.

Isso implicará em métodos de redução que eliminem ou

transfiram para outras posições as “massas topográficas”. É

óbvio que em tais circunstâncias o geoide sofrerá

variações, maiores ou menores, consoante ao processo

utilizado, o que, por sua vez, também exigirá um novo

tratamento.

Por outro lado, nas reduções isostáticas são

eliminadas tanto as massas externas ao geoide como as

correspondentes massas internas de compensação, com o

que se verifica uma alteração relativamente fraca do

potencial gravífico (GEMAEL, 1999).


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Para que possamos visualizar o problema na sua forma

geral, iremos recordar a definição genérica de anomalia

da gravidade.

𝚫𝒈 = 𝒈𝟎 − 𝜸

O índice 0 na gravidade real visa enfatizar que ela

refere-se à superfície do geoide; a gravidade teórica é

obtida com a “fórmula internacional” em função da

latitude do ponto observado, sobre a superfície do

modelo.


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• Fórmula internacional da gravidade – 1930:

Em 1927 a Assembleia Geral da IUGG1 esteve

reunida em Praga com o objetivo de debater as diferentes

fórmula para a obtenção da gravidade normal e, assim obter

uma uniformização para Geodésia Física e definir a adoção

de uma fórmula internacional da gravidade normal.

Assim na assembleia seguinte (Estocolmo, 1930), passou-

se a adotar de forma oficial a fórmula sugerida por Cassinis,

aplicada ao elipsoide internacional de Hayford.

𝛾30 = 978.049 ∗ (1 + 0,0052884 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝜑) – 0,0000059 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑))

1 – International Union of Geodesy and Geophysics


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• Fórmula internacional da gravidade – 1967:

Em 1964 a União Astronômica Internacional adotou o

Sistema de Constantes Astronômicas UAI e, em 1967 a

UGGI, decorrido quase meio século da

“internacionalização”, recomendou o Sistema Geodésico de

Referência 1967, resultando na fórmula internacional de

1967.

𝛾67 = 978031,846 ∗ 1 + 0,005278895 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 (𝜑) − 0,000023462 ∗ 𝑠𝑒𝑛4(𝜑)

Para o elipsoide GRS 80 adotou-se a seguinte equação:

𝛾80 = 978032,700 ∗ (1 + 0,0053024 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(𝜑) – 0,0000058 ∗ 𝑠𝑒𝑛2(2𝜑))


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Sistemas de Constantes Astronômicas U.A.I.


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Para “reduzirmos ao nível médio do mar” a gravidade

observada na superfície física da Terra, introduzimos a

chamada “correção ao ar livre” 𝑪𝒇.

A anomalia resultante recebe o mesmo nome da correção.

Assim temos:

𝚫𝒈𝒇 = 𝒈 + 𝑪𝒇 − 𝜸


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A remoção das massas topográficas ou massas externas ao

geoide, para legitimar a aplicação da integral de STOKES,

se obtém empregando, além da redução anterior, a

chamada correção de Bouguer (𝑪𝒃).

A anomalia resultante é designada com o nome do cientista

francês, que foi o primeiro a considera-la. Assim temos:

𝚫𝒈𝒃 = 𝒈 + 𝑪𝒇 + 𝑪𝒃 − 𝜸


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Se quisermos ainda considerar a circunstancia de achar-se

a maior parte da crosta terrestre em equilíbrio isostático,

impomos, além das correções anteriores, mais uma

correção (𝑪𝒊).

A anomalia resultante é conhecida como anomalia

isostática. Assim temos:

𝚫𝒈𝒊 = 𝒈 + 𝑪𝒇 + 𝑪𝒃 + 𝑪𝒊 − 𝜸


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Anomalia do ar livre

A correção do ar livre para um ponto de altitude ortométrica (H) é

dada por:

𝑪𝒇 = (𝜹𝒈/𝜹𝑯) ∗ 𝑯

Sendo δg/δH o gradiente vertical da gravidade.

Nos trabalhos rotineiros de Geodesia e Geofísica podemos utilizar

o gradiente da gravidade normal: 𝑪𝒇 = 0,3086 ∗ 𝐻.

Com 𝑯 em metros e 𝑪𝒇 em miligals. Resulta então numa anomalia

do ar livre:

𝚫𝒈𝒇 = 𝒈 + 𝟎, 𝟑𝟎𝟖𝟔 ∗ 𝑯 – 𝜸

Nos casos de maior precisão podemos usar:

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Anomalia do ar livre

Segundo Gemael (1999), a determinação relativa de g em

uma estação terrestre utilizando o gravímetro é uma operação

relativamente simples que se conclui em poucos minutos com

notável precisão.

Porém, no caso da anomalia do ar livre pressupõe a

definição cartográfica do ponto: latitude para o cálculo da gravidade

teórica e altitude para a correção do gradiente.

De acordo com Miranda et al (2012), o gradiente vertical da

gravidade teórica coloca a necessidade de ser conhecida com muito

rigor a altitude dos pontos de medida utilizados para os estudos

gravimétricos. Os melhores gravímetros disponíveis podem medir a

gravidade com uma precisão de 0,001 𝑚𝐺𝑎𝑙. Neste caso, para ser

utilizada toda a precisão disponível nesta medida, torna-se

necessário conhecer a altitude com uma precisão melhor que 3 mm.

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1. Considere os dados abaixo das estações

gravimétricas e calcule o valor da anomalia do ar

livre.

Datum SIRGAS2000

1. Ponto

g = 978017,80 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 45’ 17”

λ = -38º 57’ 56”

H = 245,116 m

2. Ponto

g = 978018.50 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 46’ 12”

λ = -38º 58’ 29”

H = 239,659 m

Exercício

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Exercício

Cálculo da Anomalia de Ar Livre Cálculo da Anomalia de Ar Livre

-6°.45' 17.00000'' -6.7547222222 -6°.46' 12.00000'' -6.7700000000

-38°.57' 56.00000'' -38.9655555556 -38°.58' 29.00000'' -38.9747222222

978017.80 mGal 978018.50 mGal

245.116 m 239.659 m

978104.1339 mGal 978104.456 mGal

Cf1 = 75.64279760 mGal Cf1 = 73.95876740 mGal

Cf2 = 75.68280442 mGal Cf2 = 73.99787717 mGal

-10.69115174 mGal -11.99719762 mGal

-10.65114492 mGal -11.95808785 mGal

a = 0.003352810681 a = 0.003352810681

a = 6378137.0000 m a = 6378137.0000 m

b = 6356752.3141 m b = 6356752.3141 m

e = 9.7803267715 m/s² e = 9.7803267715 m/s²

w = 7.292115E-05 rad/s w = 7.292115E-05 rad/s

m = 3.449786003E-03 m = 3.449786003E-03

𝜑 =

=

=

𝐻 =

𝜑 =

=

=

𝐻 =

𝛾 =

1 =

𝛾 =

1 =

2 = 2 =

𝜑 =

=

=

𝐻 =

𝜑 =

=

=

𝐻 =

𝛾 =

1 =

𝛾 =

1 =

2 = 2 =

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Anomalia de Bouguer

Mencionamos anteriormente que a fórmula de STOKES

pressupõe a inexistência de massas externas ao geoide. A remoção

de tais massas topográficas, bem como o preenchimento das bacias

oceânicas por material de mesma densidade que o da crosta

terrestre, será executada em duas fases:

FONTE: Sneeuw (2006)

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Anomalia de Bouguer

1. Redução modificada de BOUGUER: é a que elimina as

massas da região “próxima” à estação (“zonas literais de

HAYFORD”); é constituída por uma calota esférica cujo o polo

é a estação e cujo o raio é igual a 166,7 km.

2. Redução topoisostática: é a que elimina as massas

topográficas das regiões “distantes”, que se estendem até o

ponto oposto simetricamente da estação. Esta redução se

processa juntamente com a correção isostática.

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Redução Modificada de Bouguer:

A anomalia BOUGUER considera a massa existente entre o geóide e a

superfície física da Terra. A remoção das massas topográficas pode ser

expressa por:

O primeiro termo (A) constitui a correção de BOUGUER propriamente

dita: corresponde à componente vertical da atração exercida por um platô

horizontal de espessura H sobre um ponto de massa unitária situado à sua

superfície.

FONTE: MOLINA (2014)

Anomalia de Bouguer

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19/33Correção Topográfica. FONTE: MOLINA (2014)


A componente (A), na realidade, se aproxima da que seria produzida por

uma calota de mesma espessura e com raio esférico de 166,7 km. A função

do segundo termo (B) é converter o platô em calota.

O terceiro termo (C), que designaremos por correção topográfica, considera

as irregularidades da topografia em relação à calota.

Anomalia de Bouguer

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𝐵 = – 𝛾 + 0,3086 ∗ 𝐻 − 0,1119 ∗ 𝐻 – 𝐵 + 𝐶

O terceiro termo (C) é a correção topográfica e assume valores relativamente

pequenos. Em escala regional, esta correção pode ser negligenciada desde

que a topografia seja plana ou moderada. Em escala local, no entanto, ela

tem que ser considerada pois as anomalias envolvidas, neste caso,

normalmente são pequenas.

O segundo termo (B) é fornecido pela seguinte tabela:

Anomalia de Bouguer

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H Calota Platô B (10-4 Gal)

100 11,26 11,18 0,8

200 22,62 22,36 2,6

300 33,98 33,54 4,4

400 45,24 44,72 5,2

500 56,60 55,90 7,0

600 67,86 67,08 7,8

700 79,12 78,26 8,6

800 90,48 89,44 10,4

900 101,74 100,62 11,2

1000 113,00 111,80 12,0

1100 124,26 122,98 12,8

1200 135,52 134,16 13,6

1300 146,78 145,34 14,4

1400 158,04 156,52 15,2

1500 169,20 167,70 15,0

1600 180,46 178,88 15,8

1700 191,72 190,06 16,6

1800 202,98 201,24 17,4

1900 214,14 212,42 17,2

2000 225,30 223,60 17,0

FONTE: MOLINA (2014)

Anomalia de Bouguer

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O cálculo da correção topográfica (correção do terreno C) envolve boas

cartas topográficas da região vizinha à estação. Por meio de circunferências

concêntricas, cujos raios são tabelados.

A partir da localização da estação, a região é dividida em zonas

denominadas zonas literais de Hayford. São designadas com letras

maiúsculas desde A (pequena calota que envolve a estação) até O, que

representa a região mais afastada (com raio de 166,7 km) e que precisamente

delimita a calota de Bouguer.

As zonas C, D, E, F, e O às vezes são subdivididas em C1, C2, D1, D2, etc..

Anomalia de Bouguer

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Segundo MOLINA (2014), em

regiões pouco acidentadas, como

no caso do Brasil, a correção

topográfica é relativamente

pequena (em grande parte do

território brasileiro é inferior a 3

mGal).

As zonas de Hayford, por sua

vez, são subdivididas por radiais,

em compartimentos, conforme

tabela a seguir:

Zonas e Compartimentos. FONTE: MOLINA (2014)

Anomalia de Bouguer

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Raio: externo (em metros) ; n: número de compartimentos. FONTE: GEMAEL (1999)

Anomalia de Bouguer

Zona Raio n Zona Radial Raio n

A 2 1 18 1°,41' 13,0'' 1

B 68 4 17 1°,54' 52,0'' 1

C 130 4 16 2°,11' 53,0'' 1

C' 230 4 15 2°,33' 36,0'' 1

D 380 6 14 3°,03' 05,0'' 1

D' 590 6 13 4°,19' 13,0'' 16

E 870 8 12 5°,46' 34,0'' 10

E' 1280 8 11 7°,51' 30,0'' 8

F 1680 10 10 10°,44' 00,0'' 6

F' 2290 10 9 14°,09' 00,0'' 4

G 3520 12 8 20°,41' 00,0'' 4

H 5240 16 7 26°,41' 00,0'' 2

I 8440 20 6 35°,58' 00,0'' 18

J 12400 16 5 51°,04' 00,0'' 16

K 18800 20 4 72°,13' 00,0'' 12

L 28800 24 3 105°,48' 00,0'' 10

M 58800 14 2 150°,56' 00,0'' 6

N 99000 16 1 180°,00' 00,0'' 1

O 132880 28

O' 166735 28

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1. Considere os dados abaixo das estações

gravimétricas e calcule o valor da anomalia de

Bouguer, considerando que o valor do termo C

pode ser negligenciável.

Datum SIRGAS2000

1. Ponto

g = 978017,80 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 45’ 17”

λ = -38º 57’ 56”

H = 245,116 m

2. Ponto

g = 978018.50 𝑚𝐺𝑎𝑙φ = -06º 46’ 12”

λ = -38º 58’ 29”

H = 239,659 m

Exercício

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Exercício

A = 27.4284804 A = 26.8178421

100 1.8 100 1.8

45.116 0.812088 0.3412088 39.659 0.713862 0.3313862

-38.46084094 mGal -39.14642592 mGal

-38.42083412 mGal -39.10731615 mGal 2 = 2 =

1 = 1 =

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Anomalia isostática

Isostasia:

A isostasia estuda o estado de equilíbrio da litosfera sob os

efeitos da gravidade. Aos excessos (montanhas) e às deficiências

(oceanos) de massa em relação ao geóide corresponde massas internas

de compensação.

O equilíbrio isostático pode estar plenamente atingido em

certas regiões, por isso ditas compensadas. Em outras pode se achar em

fase de processamento (são as regiões ditas sub compensadas) ou ter

sido ultrapassado (regiões super compensadas), daí um processamento

no sentido inverso.

Uma anomalia isostática aproximadamente nula indicaria

equilíbrio isostático; as anomalias fortemente negativas corresponderiam

regiões super compensadas e às positivas, regiões sub compensadas.

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O sistema PRATT-HAYFORD:

Segundo MOLINA (2014) o sistema de Pratt postula a igualdade

entre as massas topográficas e as chamadas massas de compensação, que se

estendem do geóide até uma determinada profundidade, denominada

profundidade de compensação.

O equilíbrio isostático ocorreria através da variação de densidade

do material subjacente ao geóide: sob as montanhas (excesso de massa em

relação ao geóide) haveria uma deficiência de densidade e sob o leito dos

oceanos (as massas oceânicas representariam uma deficiência de massa)

haveria um excesso em relação ao valor médio atribuído às massas

superficiais.


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Sistema PRATT-HAYFORD. FONTE: MOLINA (2014)

Onde:ρ é a densidade da camada superficial (massa topográfica);ρ1 é a densidade da parte subjacente ao geoide;A diferença ρ’1 = ρ – ρ1 é denominada densidade de compensação.

Em outras palavras, blocos prismáticos de seção unitária conteriam

a mesma massa, quer fossem eles: continentais (a), litorâneos (b) ou

oceânicos (c), delimitados inferiormente pela superfície de compensação de

profundidade H.


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A isostasia postula que:

ou seja, às massas topográficas do bloco correspondem massas internas de

compensação iguais, mas de sinal contrário, logo, a densidade de

compensação é expressa por:


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Em um bloco oceânico de profundidade p, designando por:

Uma vez arbitrado o valor de H, a densidade de compensação

resultante conhecida é a correção isostática, isto é, a componente vertical da

atração produzida pelas massas de compensação pode ser calculada, em

essência, de maneira análoga ao efeito das massas topográficas.


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Zona Continental Oceânica

B 0,00656 H 0,00403 r

C 0,01608 0,00989

D 0,03576 0,02199

E 0,06857 0,04217

F 0,09941 0,06114

G 0,11975 0,07365

H 0,16502 0,10149

I 0,29987 0,18442

J 0,35826 0,22033

K 0,55029 0,33837

L 0,79034 0,48606

M 1,91861 1,17995

N 1,7467 1,07422

O 1,6988 1,04476

Correção Isostática Sistema PRATT-HAYFORD (Gal x 10−5). FONTE: GEMAEL (1999)

As tábuas fundamentais de

CASSINIS, base das tábuas de

correção topográfica, servem à

correção isostática mediante à

conveniente adoção da densidade de

compensação. Na prática, sem prejuízo

à precisão e com economia de tempo,

a correção relativa às massas de

compensação pode ser calculada a

partir do quadro ao lado.


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ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – PresidentePrudente, 2009.

CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências daUniversidade de Lisboa – Lisboa, 2000.

GEMAEL, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR, Curitiba,

1999.

HOFMANN-WELLENHOF, B. e MORITZ, H. Physical Geodesy. Ed.SpringerWienNewYork –Austria, 2005.

MIRANDA, J. M., LUIS, J. F., COSTA, P. T. e SANTOS, F. M.Fundamentos de Geofísica. 2012.

MOLINA, E. C. Gravimetria e Geomagnetismo - notas de aula.<disponível em: http://www.iag.usp.br/~eder/agg0333/>, 2014.

SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy UniversitätStuttgart – Stuttgart, 2006.

Referências Bibliográficas

aula 10 reduções gravimétricaspaulo.borges/download/eac082/... · cartas topográficas da...

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