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Aula 1 - Ondas
Rene F. K. Spada
ITA
24 de Abril de 2018
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 1 / 41
1 Motivação
2 Ondas em Uma DimensãoOndas ProgressivasOndas HarmônicasEquação de Onda UnidimensionalEquação do Movimento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 2 / 41
1 Motivação
2 Ondas em Uma DimensãoOndas ProgressivasOndas HarmônicasEquação de Onda UnidimensionalEquação do Movimento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 3 / 41
Um dos conceitos mais fundamentais da Física;
De forma bastante ampla:
Primeiro conceito de OndaSinal transmitido de um ponto a outro com velocidade definida, sem quehaja transporte direto de matéria.
Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;Essa onda pode balançar um barco distante;Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 4 / 41
Um dos conceitos mais fundamentais da Física;De forma bastante ampla:
Primeiro conceito de OndaSinal transmitido de um ponto a outro com velocidade definida, sem quehaja transporte direto de matéria.
Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;Essa onda pode balançar um barco distante;Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 4 / 41
Um dos conceitos mais fundamentais da Física;De forma bastante ampla:
Primeiro conceito de OndaSinal transmitido de um ponto a outro com velocidade definida, sem quehaja transporte direto de matéria.
Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;Essa onda pode balançar um barco distante;Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 4 / 41
Um dos conceitos mais fundamentais da Física;De forma bastante ampla:
Primeiro conceito de OndaSinal transmitido de um ponto a outro com velocidade definida, sem quehaja transporte direto de matéria.
Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;
Essa onda pode balançar um barco distante;Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 4 / 41
Um dos conceitos mais fundamentais da Física;De forma bastante ampla:
Primeiro conceito de OndaSinal transmitido de um ponto a outro com velocidade definida, sem quehaja transporte direto de matéria.
Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;Essa onda pode balançar um barco distante;
Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 4 / 41
Um dos conceitos mais fundamentais da Física;De forma bastante ampla:
Primeiro conceito de OndaSinal transmitido de um ponto a outro com velocidade definida, sem quehaja transporte direto de matéria.
Na água → Onda causada por uma lancha transporta energia emomento;Essa onda pode balançar um barco distante;Não existe transporte de água entre a lancha e o barco;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 4 / 41
Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;
A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;No caso da água → Aproximadamente circular;
Figura: Onda se propagando na água. (Serway, Jewett, 6a ed.)
A crista se propaga de um ponto a outro na superfície;Ondas na água formam um dos tipos mais complicados de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 5 / 41
Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;
No caso da água → Aproximadamente circular;
Figura: Onda se propagando na água. (Serway, Jewett, 6a ed.)
A crista se propaga de um ponto a outro na superfície;Ondas na água formam um dos tipos mais complicados de onda.
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Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;No caso da água → Aproximadamente circular;
Figura: Onda se propagando na água. (Serway, Jewett, 6a ed.)
A crista se propaga de um ponto a outro na superfície;Ondas na água formam um dos tipos mais complicados de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 5 / 41
Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;No caso da água → Aproximadamente circular;
Figura: Onda se propagando na água. (Serway, Jewett, 6a ed.)
A crista se propaga de um ponto a outro na superfície;
Ondas na água formam um dos tipos mais complicados de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 5 / 41
Se ao invés de um barco fosse um objeto pequeno em relação à onda;A trajetória desse objeto mostraria o formato da onda;No caso da água → Aproximadamente circular;
Figura: Onda se propagando na água. (Serway, Jewett, 6a ed.)
A crista se propaga de um ponto a outro na superfície;Ondas na água formam um dos tipos mais complicados de onda.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 5 / 41
Iniciaremos com modelos simples;
Ondas em molas:
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Após um pulso em uma mola em repouso;O pulso gera uma zona de compressão;Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 6 / 41
Iniciaremos com modelos simples;Ondas em molas:
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Após um pulso em uma mola em repouso;O pulso gera uma zona de compressão;Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 6 / 41
Iniciaremos com modelos simples;Ondas em molas:
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Após um pulso em uma mola em repouso;O pulso gera uma zona de compressão;Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 6 / 41
Iniciaremos com modelos simples;Ondas em molas:
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Após um pulso em uma mola em repouso;
O pulso gera uma zona de compressão;Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 6 / 41
Iniciaremos com modelos simples;Ondas em molas:
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Após um pulso em uma mola em repouso;O pulso gera uma zona de compressão;
Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 6 / 41
Iniciaremos com modelos simples;Ondas em molas:
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Após um pulso em uma mola em repouso;O pulso gera uma zona de compressão;Essa zona é seguida por uma zona de elos “rarefeitos”;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 6 / 41
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Esse é um tipo de onda chamado longitudinal;
Onda LongitudinalPerturbação transmitida pela onda é ao longo do sentido de propagação daonda.
Ondas sonoras são ondas longitudinais.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 7 / 41
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Esse é um tipo de onda chamado longitudinal;
Onda LongitudinalPerturbação transmitida pela onda é ao longo do sentido de propagação daonda.
Ondas sonoras são ondas longitudinais.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 7 / 41
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Esse é um tipo de onda chamado longitudinal;
Onda LongitudinalPerturbação transmitida pela onda é ao longo do sentido de propagação daonda.
Ondas sonoras são ondas longitudinais.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 7 / 41
Figura: Exemplo de onda em mola (Serway, Jewett, 6a ed.)
Esse é um tipo de onda chamado longitudinal;
Onda LongitudinalPerturbação transmitida pela onda é ao longo do sentido de propagação daonda.
Ondas sonoras são ondas longitudinais.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 7 / 41
Figura: Exemplo de onda em corda(Serway, Jewett, 6a ed.)
Nesse exemplo a perturbação éaplicada na vertical;O pulso se propaga nahorizontal;
Onda TransversalPerturbação transmitida pela onda éperpendicular ao sentido depropagação da onda.
Ex. → Onda eletromagnética;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 8 / 41
Figura: Exemplo de onda em corda(Serway, Jewett, 6a ed.)
Nesse exemplo a perturbação éaplicada na vertical;
O pulso se propaga nahorizontal;
Onda TransversalPerturbação transmitida pela onda éperpendicular ao sentido depropagação da onda.
Ex. → Onda eletromagnética;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 8 / 41
Figura: Exemplo de onda em corda(Serway, Jewett, 6a ed.)
Nesse exemplo a perturbação éaplicada na vertical;O pulso se propaga nahorizontal;
Onda TransversalPerturbação transmitida pela onda éperpendicular ao sentido depropagação da onda.
Ex. → Onda eletromagnética;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 8 / 41
Figura: Exemplo de onda em corda(Serway, Jewett, 6a ed.)
Nesse exemplo a perturbação éaplicada na vertical;O pulso se propaga nahorizontal;
Onda TransversalPerturbação transmitida pela onda éperpendicular ao sentido depropagação da onda.
Ex. → Onda eletromagnética;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 8 / 41
Figura: Exemplo de onda em corda(Serway, Jewett, 6a ed.)
Nesse exemplo a perturbação éaplicada na vertical;O pulso se propaga nahorizontal;
Onda TransversalPerturbação transmitida pela onda éperpendicular ao sentido depropagação da onda.
Ex. → Onda eletromagnética;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 8 / 41
1 Motivação
2 Ondas em Uma DimensãoOndas ProgressivasOndas HarmônicasEquação de Onda UnidimensionalEquação do Movimento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 9 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):
Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Perfil da OndaPerfil da onda na corda em um instante t é a forma da corda nesse instante.
Objetivo: Descrever o perfil com uma função y(x , t):Em um dado instante t = 0, podemos escrever o perfil como:
y(x , 0) = f (x)
f (x)
x
y
Descrever a onda apenas em t = 0 não resolve muita coisa.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 10 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
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Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;Podemos acompanhar a onda em outro referencial y ′;
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;Podemos acompanhar a onda em outro referencial y ′;O referencial se desloca para direita junto com a onda;
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Essa é uma onda progressiva se deslocando para direita;Podemos acompanhar a onda em outro referencial y ′;O referencial se desloca para direita junto com a onda;O deslocamento é dado por vt;
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Nesse novo referencial:
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Nesse novo referencial:
y ′(x ′, t) = y ′(x ′, 0) = f (x ′)
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Nesse novo referencial:
y ′(x ′, t) = y ′(x ′, 0) = f (x ′)
A relação entre os dois referenciais → Transformada de Galileu
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Nesse novo referencial:
y ′(x ′, t) = y ′(x ′, 0) = f (x ′)
A relação entre os dois referenciais → Transformada de Galileu
x ′ = x − vt y ′ = y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:
I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;
I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Podemos analisar mais um instante t 6= 0:
f (x)
~v
f (x ′)y ′
∆x = vt
x
y
Assim, no referencial original:
y(x , t) = f (x − vt)
Descreve uma onda progressiva:I Se propaga para o sentido positivo do eixo de coordenadas;I Velocidade → v ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 11 / 41
Importante entender o significado de:
y(x , t) = f (x − vt)
Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 12 / 41
Importante entender o significado de:
y(x , t) = f (x − vt)
Função de duas variáveis;
Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 12 / 41
Importante entender o significado de:
y(x , t) = f (x − vt)
Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;
cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 12 / 41
Importante entender o significado de:
y(x , t) = f (x − vt)
Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;
cos(kx) cos(kvt) não se propaga;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 12 / 41
Importante entender o significado de:
y(x , t) = f (x − vt)
Função de duas variáveis;Pode ser qualquer função de x ′ = x − vt;cos(kx ′) = cos[k(x − vt)] se propaga;cos(kx) cos(kvt) não se propaga;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 12 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;
Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;
Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Podemos escrever uma onda que se propaga no sentido oposto;Ou seja, contra o sentido positivo do eixo de coordenadas;Basta reconhecer que v → −v :
y
−x
g(x)
~v
g(x ′′)y ′′
∆x = −vt
y(x , t) = g(x ′′) = g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 13 / 41
Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;
Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 14 / 41
Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;
Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 14 / 41
Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;
Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 14 / 41
Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 14 / 41
Pode-se ter ondas progressivas se propagando em apenas um sentido;Quando a onda atinge uma extremidade da corda, ela é refletida;Em uma corda finita, podem existir ondas em ambos os sentidos;Assim, o perfil de onda deve ser escrito como:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 14 / 41
1 Motivação
2 Ondas em Uma DimensãoOndas ProgressivasOndas HarmônicasEquação de Onda UnidimensionalEquação do Movimento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 15 / 41
Caso particular;
Ondas HarmônicasPerturbação em um dado ponto x corresponde a uma oscilação harmônicasimples;
A onda possui perfil senoidal:
y(x , t) = cos(kx ′ + δ
)= cos[k(x − vt) + δ]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 16 / 41
Caso particular;
Ondas HarmônicasPerturbação em um dado ponto x corresponde a uma oscilação harmônicasimples;
A onda possui perfil senoidal:
y(x , t) = cos(kx ′ + δ
)= cos[k(x − vt) + δ]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 16 / 41
Caso particular;
Ondas HarmônicasPerturbação em um dado ponto x corresponde a uma oscilação harmônicasimples;
A onda possui perfil senoidal:
y(x , t) = cos(kx ′ + δ
)= cos[k(x − vt) + δ]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 16 / 41
Caso particular;
Ondas HarmônicasPerturbação em um dado ponto x corresponde a uma oscilação harmônicasimples;
A onda possui perfil senoidal:
y(x , t) = cos(kx ′ + δ
)= cos[k(x − vt) + δ]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 16 / 41
Como sabemos de oscilações harmônicas:
x(t) = A cos(ωt + φ)
Comparando com y(x , t);Para a frequência angular de oscilação ω:
ω = kv = 2πν =2πτ
ν → Frequência;τ → Período de oscilação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 17 / 41
Como sabemos de oscilações harmônicas:
x(t) = A cos(ωt + φ)
Comparando com y(x , t);Para a frequência angular de oscilação ω:
ω = kv = 2πν =2πτ
ν → Frequência;τ → Período de oscilação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 17 / 41
Como sabemos de oscilações harmônicas:
x(t) = A cos(ωt + φ)
Comparando com y(x , t);
Para a frequência angular de oscilação ω:
ω = kv = 2πν =2πτ
ν → Frequência;τ → Período de oscilação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 17 / 41
Como sabemos de oscilações harmônicas:
x(t) = A cos(ωt + φ)
Comparando com y(x , t);Para a frequência angular de oscilação ω:
ω = kv = 2πν =2πτ
ν → Frequência;τ → Período de oscilação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 17 / 41
Como sabemos de oscilações harmônicas:
x(t) = A cos(ωt + φ)
Comparando com y(x , t);Para a frequência angular de oscilação ω:
ω = kv = 2πν =2πτ
ν → Frequência;τ → Período de oscilação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 17 / 41
Como sabemos de oscilações harmônicas:
x(t) = A cos(ωt + φ)
Comparando com y(x , t);Para a frequência angular de oscilação ω:
ω = kv = 2πν =2πτ
ν → Frequência;
τ → Período de oscilação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 17 / 41
Como sabemos de oscilações harmônicas:
x(t) = A cos(ωt + φ)
Comparando com y(x , t);Para a frequência angular de oscilação ω:
ω = kv = 2πν =2πτ
ν → Frequência;τ → Período de oscilação;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 17 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;
Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;
O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Assim, o perfil pode ser escrito como:
y(x , t) = cos(kx − ωt + δ)
Podemos gerar essa onda com um movimento harmônico simples;Olhando primeiro a variação temporal;O movimento do gerador da onda:
τ
t
y(0, t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 18 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
k = 2π/λ→ Número de onda angular;
A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;
O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
O gerador da onda descreve um MHS;
k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
O gerador da onda descreve um MHS;A perturbação é transmitida pela onda;
k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
O gerador da onda descreve um MHS;A perturbação é transmitida pela onda;O comprimento de onda é dado por λ = 2π/k;
k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
k = 2π/λ→ Número de onda angular;
A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;
O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Para o perfil y(x , t) = cos(kx − ωt + δ) com t fixo;
MHS
y(x , t)
λ = 2πk
y(x , t + ∆t)∆x = v∆t
x
y
k = 2π/λ→ Número de onda angular;A onda se desloca entre t e t + ∆t;O deslocamento é dado por ∆x = v∆t.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 19 / 41
Como:
λ =2πk
e k =2πvτ
Temos que:
λ = vτ
Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 20 / 41
Como:
λ =2πk
e k =2πvτ
Temos que:
λ = vτ
Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 20 / 41
Como:
λ =2πk
e k =2πvτ
Temos que:
λ = vτ
Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 20 / 41
Como:
λ =2πk
e k =2πvτ
Temos que:
λ =2πvτ2π
λ = vτ
Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 20 / 41
Como:
λ =2πk
e k =2πvτ
Temos que:
λ =��2πvτ��2π
λ = vτ
Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 20 / 41
Como:
λ =2πk
e k =2πvτ
Temos que:
λ =��2πvτ��2π
λ = vτ
Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 20 / 41
Como:
λ =2πk
e k =2πvτ
Temos que:
λ =��2πvτ��2π
λ = vτ
Fato óbvio: Se ∆t → τ =⇒ ∆x → λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 20 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;
Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;
σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;
Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;
Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;
Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);
I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Da mesma forma que ν = 1/τ ;Temos que:
σ =1λ
Número de comprimentos de onda por unidade de comprimento;σ → Número de onda;Pouco usual;Usualmente k = 2πσ → Número de onda;Assim temos duas grandezas análogas:
I ω = 2πν → Frequência angular (temporal);I k = 2πσ → Número de onda angular (espacial);
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 21 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;
δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;
No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;
I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;
I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;
I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;
I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Se escrevermos:
y(x , t) = cos [ϕ(x , t)] com ϕ(x , t) = kx − ωt + δ
ϕ(x , t)→ Fase da onda;δ → Constante de fase;No sistema internacional de unidades:
I ϕ(x , t)→ Radianos;I λ→ metros;I k → rad/m ou m−1;I τ → segundos;I ω → rad/s ou s−1;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 22 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;
Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Considerando um ponto em que a fase é constante;Ou seja, acompanhando o deslocamento da fase com o tempo:
ϕ(x , t) = ϕ0 = constante
v∆t1
v∆t2
x
y
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 23 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;
Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt
=d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ)
= 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
v =2πνλ2π
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
v =��2πνλ��2π
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Para o cálculo da velocidade desse ponto;Devemos derivar a fase (constante) em relação ao tempo;
dϕ(x , t)
dt=
d
dt(kx − ωt + δ) = 0
kdx
dt− ω = 0
v =dx
dt=ω
k
Como ω = 2πν e k = 2π/λ:
v =��2πνλ��2π
=⇒ v = λν
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 24 / 41
Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):
Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:
y(x , t) = Re[e i(kx−ωt+δ)
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 25 / 41
Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;
Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:
y(x , t) = Re[e i(kx−ωt+δ)
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 25 / 41
Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;
Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:
y(x , t) = Re[e i(kx−ωt+δ)
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 25 / 41
Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:
y(x , t) = Re[e i(kx−ωt+δ)
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 25 / 41
Considerando um ponto de fase constante (crista por exemplo):Descola-se com v = λν;Por essa razão essa velocidade é conhecida como velocidade de fase;Também podemos escrever o perfil da onda de forma complexa:
y(x , t) = Re[e i(kx−ωt+δ)
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 25 / 41
Onda harmônica conhecida como onda monocromática;
No caso de ondas eletromagnéticas:
I Frequência e comprimento de onda únicos;I Corresponde a uma única cor no espectro;
Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;Emprego muito frequente dessas relações.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 26 / 41
Onda harmônica conhecida como onda monocromática;No caso de ondas eletromagnéticas:
I Frequência e comprimento de onda únicos;I Corresponde a uma única cor no espectro;
Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;Emprego muito frequente dessas relações.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 26 / 41
Onda harmônica conhecida como onda monocromática;No caso de ondas eletromagnéticas:
I Frequência e comprimento de onda únicos;
I Corresponde a uma única cor no espectro;
Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;Emprego muito frequente dessas relações.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 26 / 41
Onda harmônica conhecida como onda monocromática;No caso de ondas eletromagnéticas:
I Frequência e comprimento de onda únicos;I Corresponde a uma única cor no espectro;
Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;Emprego muito frequente dessas relações.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 26 / 41
Onda harmônica conhecida como onda monocromática;No caso de ondas eletromagnéticas:
I Frequência e comprimento de onda únicos;I Corresponde a uma única cor no espectro;
Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;
Emprego muito frequente dessas relações.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 26 / 41
Onda harmônica conhecida como onda monocromática;No caso de ondas eletromagnéticas:
I Frequência e comprimento de onda únicos;I Corresponde a uma única cor no espectro;
Importante se familiarizar com as relações de ondas harmônicas;Emprego muito frequente dessas relações.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 26 / 41
1 Motivação
2 Ondas em Uma DimensãoOndas ProgressivasOndas HarmônicasEquação de Onda UnidimensionalEquação do Movimento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 27 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;
Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;
Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);
Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
Considerando a expressão geral:
y(x , t) = f (x ′)∣∣ x ′ = x − vt
Queremos associar essa expressão a uma equação de movimento;Precisamos calcular a aceleração em um dado ponto x ;Assim, derivando em relação ao tempo:
vy =∂
∂t[y(x , t)]
ay =∂2
∂t2[y(x , t)]
Estamos derivando y(x , t);Estamos calculando em relação ao deslocamento vertical;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 28 / 41
f depende de t por x ′ = x − vt;
Devemos utilizar a regra da cadeia:
∂y
∂t=
df
dx ′∂x ′
∂t
∣∣ ∂x ′
∂t=
∂
∂t(x − vt) = −v
∴∂y
∂t= −v df
dx ′
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 29 / 41
f depende de t por x ′ = x − vt;Devemos utilizar a regra da cadeia:
∂y
∂t=
df
dx ′∂x ′
∂t
∣∣ ∂x ′
∂t=
∂
∂t(x − vt) = −v
∴∂y
∂t= −v df
dx ′
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 29 / 41
f depende de t por x ′ = x − vt;Devemos utilizar a regra da cadeia:
∂y
∂t=
df
dx ′∂x ′
∂t
∣∣ ∂x ′
∂t=
∂
∂t(x − vt) = −v
∴∂y
∂t= −v df
dx ′
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 29 / 41
f depende de t por x ′ = x − vt;Devemos utilizar a regra da cadeia:
∂y
∂t=
df
dx ′∂x ′
∂t
∣∣ ∂x ′
∂t=
∂
∂t(x − vt)
= −v
∴∂y
∂t= −v df
dx ′
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 29 / 41
f depende de t por x ′ = x − vt;Devemos utilizar a regra da cadeia:
∂y
∂t=
df
dx ′∂x ′
∂t
∣∣ ∂x ′
∂t=
∂
∂t(x − vt) = −v
∴∂y
∂t= −v df
dx ′
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 29 / 41
f depende de t por x ′ = x − vt;Devemos utilizar a regra da cadeia:
∂y
∂t=
df
dx ′∂x ′
∂t
∣∣ ∂x ′
∂t=
∂
∂t(x − vt) = −v
∴∂y
∂t= −v df
dx ′
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 29 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
)
∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
)
∣∣ R. da cadeia
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∂2y
∂t2= −v d
dx ′
(df
dx ′
)∂x ′
∂t
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∂2y
∂t2= −v d
dx ′
(df
dx ′
)∂x ′
∂t︸︷︷︸−v
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Para segunda derivação:
∂2y
∂t2=
∂
∂t
(∂y
∂t
) ∣∣ ∂y
∂t= −v df
dx ′
∂2y
∂t2= −v ∂
∂t
(df
dx ′
) ∣∣ R. da cadeia
∂2y
∂t2= −v d
dx ′
(df
dx ′
)∂x ′
∂t︸︷︷︸−v
∴∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 30 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt)
= 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =
d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Mas, para a derivação em x :
∂x ′
∂x=
∂
∂x(x − vt) = 1
Assim:
∂y
∂x=
df
dx ′∂x ′
∂x=
df
dx ′
∂2y
∂x2 =d2f
dx ′2∂x ′
∂x=
d2f
dx ′2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 31 / 41
Retornando a:
∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2∣∣ d2f
dx ′2=∂2y
∂x2
Assim, y(x , t) respeita a equação:
∂2y
∂t2= v2∂
2y
∂x2 ou1v2∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Antes de discutirmos as soluções;Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 32 / 41
Retornando a:
∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2
∣∣ d2f
dx ′2=∂2y
∂x2
Assim, y(x , t) respeita a equação:
∂2y
∂t2= v2∂
2y
∂x2 ou1v2∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Antes de discutirmos as soluções;Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 32 / 41
Retornando a:
∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2∣∣ d2f
dx ′2=∂2y
∂x2
Assim, y(x , t) respeita a equação:
∂2y
∂t2= v2∂
2y
∂x2 ou1v2∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Antes de discutirmos as soluções;Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 32 / 41
Retornando a:
∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2∣∣ d2f
dx ′2=∂2y
∂x2
Assim, y(x , t) respeita a equação:
∂2y
∂t2= v2∂
2y
∂x2 ou1v2∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Antes de discutirmos as soluções;Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 32 / 41
Retornando a:
∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2∣∣ d2f
dx ′2=∂2y
∂x2
Assim, y(x , t) respeita a equação:
∂2y
∂t2= v2∂
2y
∂x2 ou1v2∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Antes de discutirmos as soluções;Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 32 / 41
Retornando a:
∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2∣∣ d2f
dx ′2=∂2y
∂x2
Assim, y(x , t) respeita a equação:
∂2y
∂t2= v2∂
2y
∂x2 ou1v2∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Antes de discutirmos as soluções;
Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 32 / 41
Retornando a:
∂2y
∂t2= v2 d
2f
dx ′2∣∣ d2f
dx ′2=∂2y
∂x2
Assim, y(x , t) respeita a equação:
∂2y
∂t2= v2∂
2y
∂x2 ou1v2∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Antes de discutirmos as soluções;Demonstraremos em detalhe a equação do movimento.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 32 / 41
1 Motivação
2 Ondas em Uma DimensãoOndas ProgressivasOndas HarmônicasEquação de Onda UnidimensionalEquação do Movimento
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 33 / 41
Consideraremos uma onda progressiva;
Pequenos deslocamentos em y ;Variação de comprimento da corda é despresível;
Analisaremos um pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 34 / 41
Consideraremos uma onda progressiva;Pequenos deslocamentos em y ;
Variação de comprimento da corda é despresível;
Analisaremos um pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 34 / 41
Consideraremos uma onda progressiva;Pequenos deslocamentos em y ;Variação de comprimento da corda é despresível;
Analisaremos um pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 34 / 41
Consideraremos uma onda progressiva;Pequenos deslocamentos em y ;Variação de comprimento da corda é despresível;
Analisaremos um pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 34 / 41
Consideraremos uma onda progressiva;Pequenos deslocamentos em y ;Variação de comprimento da corda é despresível;
Analisaremos um pequeno comprimento de corda;
Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 34 / 41
Consideraremos uma onda progressiva;Pequenos deslocamentos em y ;Variação de comprimento da corda é despresível;
Analisaremos um pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 34 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;
Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;
A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;
A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T
∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;Se ∆θ for pequeno:
A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T
∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;Se ∆θ for pequeno:cos ∆θ(x + ∆x) = cos ∆θ(x)
A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Em x =⇒ Tx = T cos ∆θ;Se ∆θ for pequeno:cos ∆θ(x + ∆x) = cos ∆θ(x)
As forças nessa direção seanulam; 3
A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;
Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ
= T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may
= µ∆x︸︷︷︸m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
~T
~T
xx x + ∆x
∆θ(x)
∆θ(x + ∆x)
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;A tensão na direção y em cadaponto é dada por T sin ∆θ;Na aproximação de pequenosângulos:
T sin ∆θ ≈ T tan ∆θ = T∂y
∂x
Assim, pela 2a Lei de Newton:
∑Fy = may = µ∆x︸︷︷︸
m
∂2y
∂t2︸︷︷︸ay
= T
[∂y(x + ∆x , t)
∂x− ∂y(x , t)
∂x
]
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 35 / 41
Assim:
Fazendo ∆x → 0;Definição de derivada parcial:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2
µ
T
∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Precisamos saber o significado do termo µ/T ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 36 / 41
Assim:
µ∂2y
∂t2= T
[∂y(x+∆x ,t)
∂x − ∂y(x ,t)∂x
]∆x
Fazendo ∆x → 0;Definição de derivada parcial:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2
µ
T
∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Precisamos saber o significado do termo µ/T ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 36 / 41
Assim:
µ∂2y
∂t2= T
[∂y(x+∆x ,t)
∂x − ∂y(x ,t)∂x
]∆x
Fazendo ∆x → 0;
Definição de derivada parcial:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2
µ
T
∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Precisamos saber o significado do termo µ/T ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 36 / 41
Assim:
µ∂2y
∂t2= T
[∂y(x+∆x ,t)
∂x − ∂y(x ,t)∂x
]∆x
Fazendo ∆x → 0;Definição de derivada parcial:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2
µ
T
∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Precisamos saber o significado do termo µ/T ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 36 / 41
Assim:
µ∂2y
∂t2= T
[∂y(x+∆x ,t)
∂x − ∂y(x ,t)∂x
]∆x
Fazendo ∆x → 0;Definição de derivada parcial:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2
µ
T
∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Precisamos saber o significado do termo µ/T ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 36 / 41
Assim:
µ∂2y
∂t2= T
[∂y(x+∆x ,t)
∂x − ∂y(x ,t)∂x
]∆x
Fazendo ∆x → 0;Definição de derivada parcial:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2
µ
T
∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Precisamos saber o significado do termo µ/T ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 36 / 41
Assim:
µ∂2y
∂t2= T
[∂y(x+∆x ,t)
∂x − ∂y(x ,t)∂x
]∆x
Fazendo ∆x → 0;Definição de derivada parcial:
µ∂2y
∂t2= T
∂2y
∂x2
µ
T
∂2y
∂t2=∂2y
∂x2
Precisamos saber o significado do termo µ/T ;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 36 / 41
Retornando à onda progressiva;
Analisaremos outro pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 37 / 41
Retornando à onda progressiva;
Analisaremos outro pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 37 / 41
Retornando à onda progressiva;
Analisaremos outro pequeno comprimento de corda;
Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 37 / 41
Retornando à onda progressiva;
Analisaremos outro pequeno comprimento de corda;Escreveremos as equações do movimento para esse elemento de corda;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 37 / 41
∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;
Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 38 / 41
∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;
Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 38 / 41
∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;
Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
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∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
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∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x
→∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
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∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ)
= 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
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∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 38 / 41
∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y
→∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 38 / 41
∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ)
= 2T sin(∆θ)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 38 / 41
∆l
~T~T
∆θ∆θ
∆θ ∆θ
Densidade linear de massa → µ;Forças atuando → Trações;Essas forças são perpendicularesao um centro de curvatura;Aproximando a corda para umpedaço de arco de ângulo 2∆θ;
No eixo x →∑
Fx = T cos(∆θ)− T cos(∆θ) = 0 3
No eixo y →∑
Fy = T sin(∆θ) + T sin(∆θ) = 2T sin(∆θ)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 38 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈
2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;
Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
2T∆θ = T∆l
R=
mv2
R=µ∆l v2
R
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
2T∆θ = T∆l
R=
mv2
R=µ∆l v2
R
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
2T∆θ = T∆l
R=
mv2
R=µ∆l v2
R
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Na aproximação de pequenos ângulos:
2T sin(∆θ) ≈ 2T∆θ
Como 2∆θ = ∆l/R;Ainda, a aceleração atuante deve ser centrípeta;
2T∆θ = T∆l
R=
mv2
R=µ∆l v2
R
Isolando v ;
v =√
T/µ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 39 / 41
Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;
v =√
T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;v = λν → Propriedades da onda;v =
√T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;
Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;Podemos utilizar as duas em conjunto.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 40 / 41
Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;v =
√T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;
v = λν → Propriedades da onda;v =
√T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;
Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;Podemos utilizar as duas em conjunto.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 40 / 41
Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;v =
√T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;
v = λν → Propriedades da onda;
v =√
T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;Podemos utilizar as duas em conjunto.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 40 / 41
Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;v =
√T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;
v = λν → Propriedades da onda;v =
√T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;
Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;Podemos utilizar as duas em conjunto.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 40 / 41
Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;v =
√T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;
v = λν → Propriedades da onda;v =
√T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;
Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;
Podemos utilizar as duas em conjunto.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 40 / 41
Outra forma para calcular a velocidade de ondas em cordas;v =
√T/µ possui uma vantagem sobre v = λν;
v = λν → Propriedades da onda;v =
√T/µ→ Propriedades do meio e ajustável;
Na segunda, podemos prever a velocidade antes de formar a onda;Podemos utilizar as duas em conjunto.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 40 / 41
No caso de v =√
T/µ;
T → Propriedade elástica;µ→ Propriedade inercial;Normalmente:
v =
√Propriedade ElásticaPropriedade Inercial
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 41 / 41
No caso de v =√
T/µ;T → Propriedade elástica;
µ→ Propriedade inercial;Normalmente:
v =
√Propriedade ElásticaPropriedade Inercial
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 41 / 41
No caso de v =√
T/µ;T → Propriedade elástica;µ→ Propriedade inercial;
Normalmente:
v =
√Propriedade ElásticaPropriedade Inercial
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 41 / 41
No caso de v =√
T/µ;T → Propriedade elástica;µ→ Propriedade inercial;Normalmente:
v =
√Propriedade ElásticaPropriedade Inercial
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 1 - Ondas 24 de Abril de 2018 41 / 41