ondas e linhas - wordpress.com · notas de aula de ondas e linhas –prof. dr. helder alves pereira...

Notas de aula de Ondas e Linhas – Prof. Dr. Helder Alves Pereira

NOTAS DE AULA

ONDAS E LINHAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Helder Alves Pereira, Dr.Outubro, 2017


- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -

1. ESTÁGIO I:

1. Equações de Maxwell (Teste I).

2. ESTÁGIO II:

1. Propagação de ondas eletromagnéticas (Teste II).

3. ESTÁGIO III:

1. Linhas de transmissão (Teste III).


1. Introdução.

2. Parâmetros e modelos de elementos distribuídos.

3. Equações de linhas de transmissão.

4. Impedância de entrada e ROE.

5. Transferência de potência.

6. Tipos de linhas de transmissão.

7. A carta de Smith.

8. Aplicações de linhas de transmissão.

9. Transientes em linhas de transmissão.

LINHAS DE TRANSMISSÃO

- TÓPICOS DAS AULAS -


• A propagação, na qual existe uma onda plana uniforme por todoo espaço, é dita não guiada, e a energia eletromagnéticaassociada à onda se espalha por uma grande área.

• Uma outra maneira de transmitir potência, ou informação, éatravés de estruturas de guiamento.

• As estruturas de guiamento servem para guiar, ou orientar, apropagação da energia da onda eletromagnética desde sua fonteaté a sua carga.

• Exemplos típicos dessas estruturas são as linhas de transmissãoe os guias de onda.

INTRODUÇÃO ÀS LINHAS DE TRANSMISSÃO


• As linhas de transmissão são normalmente utilizadas nadistribuição de potência, em baixas frequências, e emtelecomunicações, em altas frequências.

• Os problemas de linhas de transmissão são usualmenteresolvidos utilizando a teoria de campos eletromagnéticos eteoria de circuitos elétricos.


• Em circuitos de comunicações, estas linhas têm sido usadaspara transmissão de frequências na faixa de áudio, como o casodas linhas telefônicas, ou como meio de interligação entre ossistemas de antenas e o equipamento de rádio, podendo ser otransmissor ou o receptor.

• Além dessas utilizações, as linhas de transmissão também sãode grande importância em circuitos de alta frequência,principalmente na faixa de UHF e microondas, em que atuamcomo elementos de circuitos, podendo substituir indutores,capacitores, circuitos ressonantes, filtros, transformadores e atéisoladores.


• Espectro eletromagnético


• Uma linha de transmissão consiste, basicamente, de dois oumais condutores paralelos, usados para conectar uma fonte auma carga.

• Tipicamente, as linhas de transmissão incluem: cabo coaxial,uma linha a dois fios condutores (linha bifilar), uma linha planarou de placas paralelas, um fio paralelo a um plano condutor e alinha de microfitas.


a) Cabo coaxial.b) Linha a dois fios condutores (linha bifilar).c) Linha planar ou de placas paralelas.d) Fio paralelo a um plano condutor.e) Linha de microfitas.


• O modo de transmissão a ser considerado é essencialmente otransversal eletromagnético (TEM).

• A partir de uma certa frequência, outros modos de propagaçãopodem existir nas linhas de transmissão como os que ocorremnos guias de onda. Isso acontece quando a frequência se tornatão alta que o comprimento de onda passa a ser comparável àsdimensões da linha utilizada, como, por exemplo, distância entreos condutores.

• As equações gerais serão obtidas de uma estrutura formada pordois condutores paralelos supostos sempre muito próximos paraque as aproximações do comportamento do modo TEM possamser aplicadas.


• A diferença entre o estudo feito para linhas de transmissão eaquele próprio dos circuitos comuns, está no fato de que, naslinhas, parâmetros como resistência, condutância, indutância ecapacitância não mais se apresentam concentrados e, sim,distribuídos ao longo da mesma.

• Porém, em um trecho muito curto da linha, é possível consideraros parâmetros como concentrados e, então, aplicar a análiseatravés da teoria usual de circuitos. A partir daí podemosdeduzir o comportamento da linha em seu comprimento total.

PARÂMETROS E MODELOS DE ELEMENTOS DISTRIBUÍDOS


• É usual e conveniente descrever as linhas de transmissão emtermos dos parâmetros da linha.

• Esses parâmetros são: a resistência, a indutância, a condutânciae a capacitância por unidade de comprimento.

• É importante perceber que:

– Os parâmetros da linha (R, L, G e C) não são parâmetrosdiscretos, mas distribuídos uniformemente ao longo de todo ocomprimento da linha.


– Para cada tipo de linha, os condutores são caracterizados porσc, μc e εc, e o dielétrico homogêneo, que separa oscondutores, é caracterizado por σ, μ, ε.

– G não é igual ao inverso de R. Isso porque R representa aresistência, no regime alternado, por unidade decomprimento dos condutores utilizados na linha, enquantoque G a condutância, por unidade de comprimento, devido aodielétrico que separa os condutores.

– O valor de L é devido à indutância externa, por unidade decomprimento. Os efeitos da indutância interna sãodesprezíveis em altas frequências, nas quais opera a maiorparte dos sistemas de comunicações.

– Para cada tipo de linha, tem-se queesµe ==

CGLC e


– Modelos de elementos concentrados:

• Circuito equivalente tipo L:


• Circuito equivalente tipo Π:


• Circuito equivalente tipo T:


Exercícios


• Uma linha de transmissão, a dois condutores, suporta uma ondatransversal eletromagnética (TEM).

• Uma propriedade importante das ondas TEM é que os campos,elétrico e magnético, estão univocamente relacionados com atensão e a corrente da seguinte forma

òò®®®®

×=×-= dlHIdlEV e

EQUAÇÕES DE LINHAS DE TRANSMISSÃO


• Examinaremos uma porção incremental Δz de uma linha detransmissão a dois condutores.

• Desejamos: (1) encontrar um circuito equivalente para esta linhae (2) obter a equação da linha.


• Assumindo que a onda se propaga no sentido +âz, do geradorpara a carga, temos o circuito equivalente tipo L (1),representando qualquer uma das linhas de transmissão a doiscondutores:

V(z,t)

I(z,t)

z z+Δz

RΔz LΔz

GΔz CΔz

ΔIV(z+Δz,t)

I(z+Δz,t)

z

Para o gerador Para a carga++

--


• Aplicando a lei de Kirchhoff (2), temos

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tzIt

LtzRItzVz

z

tzIt

LtzRIz

tzVtzzV

tzIt

zLtzzIRtzzVtzV

tzzVtzIt

zLtzzIRtzV

,,,

0Quando

,,,,

,,,,

,,,,

¶¶

+=¶¶

-

®D

¶¶

+=úûù

êëé

D-D+

-

¶¶

D+D=D+-

D++¶¶

D+D=


• Aplicando a lei de Kirchhoff (2), temos

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tzVt

CtzGVtzIz

z

tzzVt

CtzzGVz

tzItzzI

tzzVt

zCtzzzVGtzzItzI

ItzzItzI

,,,

0Quando

,,,,

,,,,

,,

¶¶

+=¶¶

-

®D

D+¶¶

+D+=úûù

êëé

D-D+

-

D+¶¶

D+D+D+D+=

D+D+=


• Assumindo dependência temporal harmônica, de modo que

temos

( ) ( ){ }( ) ( ){ }tj

tj

ezItzIezVtzVw

w

S

S

Re,

Re,

=

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zILjRzVdzd

ezLIjezRIzVdzde

tzIt

LtzRItzVz

tjtjtj

SS

SSS

,,,

w

w www

+=-

+=-

¶¶

+=¶¶

-


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zVCjGzIdzd

ezCVjezGVzIdzde

tzVt

CtzGVtzIz

tjtjtj

SS

SSS

,,,

w

w www

+=-

+=-

¶¶

+=¶¶

-


• Tomando a segunda derivada das últimas expressões, obtemos:

• Fazendo-se as devidas substituições, obtemos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zVdzdCjGzI

dzd

zIdzdLjRzV

dzd

SS2

2

SS2

2

w

w

+=-

+=-

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 0

0

SS2

2

SS2

2

=++-

=++-

zICjGLjRzIdzd

zVCjGLjRzVdzd

ww

ww


• Considerando que:

• Temos:

onde:

( ) ( )

( ) ( ) 0

0

S2

S2

2

S2

S2

2

=-

=-

zIzIdzd

zVzVdzd

g

gEquações de onda paratensão e corrente

( )( )CjGLjR wwg ++=2

( )( ) ( )22 bawwg jCjGLjR +=++=


• O comprimento de onda e a velocidade de fase são dados,respectivamente, por

• As soluções das equações de onda para a tensão e a corrente são

lbp

bw

bpl ffu ====

2e2

( )( ) zz

zz

eIeIzIeVeVzVgg

gg

--+

--+

+=

+=

ooS

ooS

( ) ( )

( ) ( ) 0

0

S2

S2

2

S2

S2

2

=-

=-

zIzIdzd

zVzVdzd

g

g


• Vo+ e Vo- representam as amplitudes das ondas de tensão.• Io+ e Io- representam as amplitudes das ondas de corrente.

( )( ) zz

zz

eIeIzIeVeVzVgg

gg

--+

--+

+=

+=

ooS

ooS

V(z,t)

I(z,t)

z z+Δz

RΔz LΔz

GΔz CΔz

ΔIV(z+Δz,t)

I(z+Δz,t)

z

Para o gerador Para a carga++

-- ze g-eγz


• O termo γ é uma constante complexa que afeta o resultado datensão, ou da corrente, em função de sua posição ao longo dalinha, por isso é denominado constante de propagação.

• Uma tensão, ou uma corrente, ao ser multiplicada por eγz, terásua amplitude alterada por eαz e sua fase por ejβz.

• Dessa forma, α é denominada de constante de atenuação e β deconstante de fase.

( )( ) ( )22 bawwg jCjGLjR +=++=


• Dessa forma, temos

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zteIzteItzI

zteVzteVtzVzz

zz

bwbw

bwbwaa

aa

++-=

++-=--+

--+

coscos,

coscos,

oo

oo


Exercícios


• Impedância Característica da Linha (Zo):

– É a razão entre a onda de tensão e a onda de corrente, que sepropagam no sentido positivo, em qualquer ponto da linha.

– Zo é análoga à η, a impedância intrínseca do meio onde ocorrea propagação.


• A partir das seguintes expressões:

( ) ( ) ( )zILjRzVdzd

SS w+=-

( )( ) zz

zz

eIeIzIeVeVzVgg

gg

--+

--+

+=

+=

ooS

ooS


temos que:

• Igualando os termos de mesma exponencial, temos que:

[ ] ( )[ ]( )[ ]zzzz

zzzz

eIeILjReVeV

eIeILjReVeVdzd

gggg

gggg

wgg

w

--+--+

--+--+

++=-

++=+-

oooo

oooo

( )( ) --

++

+=-

+=

oo

oo

ILjRVILjRV

wg

wg


• Dessa forma:

• Portanto,

( )oZI

VLjRIV

=-=+

= -

-

+

+

o

o

o

o

gw

ooo

o

o

oo jXR

CjGLjR

IV

IVZ +=

++

=-== -

-

+

+

wwRo parte real

Xo parte imaginária


• A constante de propagação (γ) e a impedância característica (Zo)são propriedades importantes porque ambas dependem dosparâmetros distribuídos da linha de transmissão (R, L, G e C) eda frequência.

• A admitância característica da linha de transmissão é dada por

oo

1Z

Y =

( )( )CjGLjR wwg ++=2

ooo

o

o

oo jXR

CjGLjR

IV

IVZ +=

++

=-== -

-

+

+

ww


• Considere uma linha de transmissão de comprimento L,caracterizada por γ e Zo, conectada a uma carga ZC.

Vg

Zg

+

-

Vo

z=-L z=0

VCZC

Io IC

Zent Zent

(γ,Zo)

IMPEDÂNCIA DE ENTRADA E ROE

+

-


• Para o gerador, a linha de transmissão é vista como uma cargacom impedância de entrada Zent.

• Façamos a linha de transmissão se estender desde z=-L, nogerador, até z=0, na carga.

• Dessa forma, as ondas de tensão e corrente, em qualquer pontoda linha, são dadas por

considerando que

zz

zz

eZVe

ZVzI

eVeVzV

gg

gg

o

o

o

oS

ooS

)(

)(-

-+

--+

-=

+=

-

-

+

+

-==o

o

o

oo I

VIVZ


CASO 1: Se forem dadas as condições na entrada da linha, tal que

temos que

• Se a impedância de entrada nos terminais de entrada for Zent,então a tensão de entrada Vo e a corrente de entrada Io sãoobtidas da seguinte forma

)(e)( entent lzIIlzVV -==-==

ll eZIVVeZIVV gg ÷øö

çèæ -

=÷øö

çèæ +

= --+

2e

2oentent

ooentent

o

Vg

Zg

+

-

Vo

Io

VentZent

gentg

entoento

entg

go

VZZ

ZIZV

ZZV

I

+==

+=


DEMONSTRAÇÃO:

)(e)(

ent

ent

lzIIlzVV

-==-==

zz

zz

eZVe

ZVzI

eVeVzV

gg

gg

o

o

o

oS

ooS

)(

)(-

-+

--+

-=Þ

+=Þ

ento

o

o

oS

entooS

)(

)(

IeZVe

ZVlzI

VeVeVlzV

ll

ll

=-=-=Þ

=+=-=Þ

--+

--+

gg

gg


ll eZIVVeZIVV gg ÷øö

çèæ -

=÷øö

çèæ +

= --+

2e

2oentent

ooentent

o

( )ent

o

o

o

2oent

2oento

IeZVe

ZeVeV

eVeVV

llll

ll

=--

Þ

-=Þ

-----

---+

gggg

gg


CASO 2: Se forem dadas as condições na saída da linha, tal que

temos que

)0(e)0( CC ==== zIIzVV

2e

2oCC

ooCC

oZIVVZIVV -

=+

= -+


DEMONSTRAÇÃO:

)0(e)0(

C

C

====

zIIzVV

zz

zz

eZVe

ZVzI

eVeVzV

gg

gg

o

o

o

oS

ooS

)(

)(-

-+

--+

-=Þ

+=Þ

Co

o

o

oS

CooS

)0(

)0(

IZV

ZVzI

VVVzV

=-==Þ

=+==Þ-+

-+


2e

2oCC

ooCC

oZIVVZIVV -

=+

= -+

oo

o

IZV

ZVV

VVV

=--

Þ

-=Þ--

-+

o

o

o

o

oo


• Podemos determinar a impedância de entrada (Zent) em qualquerponto da linha da seguinte forma

• Na carga, por exemplo, temos que

÷÷ø

öççè

æ-+

= -+

-+

oo

oooent VV

VVZZ

( )( )zIzVZ

S

Sent =


DEMONSTRAÇÃO:

zz

zz

eZVe

ZVzI

eVeVzV

gg

gg

o

o

o

oS

ooS

)(

)(-

-+

--+

-=Þ

+=Þ

o

o

o

oS

ooS

)0(

)0(

ZV

ZVzI

VVzV-+

-+

-==Þ

+==Þ

÷÷ø

öççè

æ-+

===

=Þ -+

-+

oo

ooo

S

Sent )0(

)0(VVVVZ

zIzVZ


• Para z=-l, temos que

onde βl é conhecido como comprimento elétrico da linha detransmissão.

( )( )( )( )úû

ùêë

é++

=

úû

ùêë

é++

=

ljZZljZZZZ

lZZlZZZZ

bb

gg

tgtg

tghtgh

Co

oCoent

Co

oCoent Linha com perdas

Linha sem perdas


DEMONSTRAÇÃO:

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

÷øö

çèæ -

-÷øö

çèæ +

÷øö

çèæ -

+÷øö

çèæ +

=Þ-

-

ll

ll

eZIVeZIV

eZIVeZIV

ZZgg

gg

22

22oCCoCC

oCCoCC

oent

2e

2oCC

ooCC

oZIVVZIVV -

=+

= -+

( )( )zIzVZ

S

Sent = zz

zz

eZVe

ZVzI

eVeVzV

gg

gg

o

o

o

oS

ooS

)(

)(-

-+

--+

-=Þ

+=Þ


úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

÷÷ø

öççè

æ ++÷÷ø

öççè

æ -

÷÷ø

öççè

æ -+÷÷ø

öççè

æ +

=Þ--

--

22

22

oCC

oCC

oent llll

llll

eeZIeeV

eeZIeeVZZ

gggg

gggg

( )

( )2

senh

2cosh

ll

ll

eel

eel

gg

gg

g

g

-

-

-=Þ

+=Þ


( ) ( )( ) ( )úû

ùêë

é++

=ÞlZIlVlZIlVZZgggg

coshsenhsenhcosh

oCC

oCCoent

( )( )

( )( ) ú

û

ùêë

é+

+=Þ

oC

oC

C

Coent tgh

tghcoshcosh

ZlZlZZ

lIlIZZ

gg

gg

⇒ Zent = ZoZC + Zotgh γl( )Zo + ZCtgh γl( )

"

#$$

%

&''


( )[ ]( )[ ]þ

ýü

îíì

++++

=ÞljZZljZZZZ

baba

tghtgh

Co

oCoent

Linha comperdas

( )( )þ

ýü

îíì

++

=ÞljZZljZZZZbb

tgtg

Co

oCoent

Linha semperdas

( ))2cos()2cosh(

)2(sen)2cos()2cosh(

)2(senhtghyx

yjyx

xjyx+

±+

=±Þ

• Sabendo-se que:


• A utilidade desse conceito é que a linha de transmissão, nãoimportando onde seja determinada a impedância de entrada,pode ser substituída por um elemento concentrado deimpedância (Zent).


• O coeficiente de reflexão da tensão na carga (ΓC) é a razão entre aonda refletida de tensão e a onda incidente de tensão na carga,ou seja,

• Em qualquer ponto da linha, a uma distância l da carga, temosque:

• O coeficiente de reflexão de corrente, em qualquer ponto dalinha, é igual ao coeficiente de reflexão da tensão naquele ponto,com sinal negativo.

oC

oC

o

oC ZZ

ZZVV

+-

==G +

-

leVV g2

o

o -+

-

=G


DEMONSTRAÇÃO:

÷øö

çèæ -

=÷øö

çèæ +

= -+

2e

2oCC

ooCC

oZIVVZIVV

oC

oC

oCC

oCC

C

o

oC

2

2ZZZZ

ZIV

ZIVVV

+-

=+

-

=G

=GÞ +

-


DEMONSTRAÇÃO:

G-=G

-=G

=GÞ

-+

-

-+

-

I

lI

lI

eV

V

eII

g

g

2

o

o

o

o

2

o

o

Z

Z


• A impedância de entrada e o coeficiente de reflexão, em qualquerponto da linha, podem ser relacionados da seguintes forma:

oent

oentoent e11

ZZZZZZ

+-

=GG-G+

=


DEMONSTRAÇÃO:

÷øö

çèæ

G-G+

=

÷øö

çèæ

G-G+

=

÷÷ø

öççè

æ-+

=Þ

-+

-+

--+

--+

11

11

o

o

oo

oo

oooent

Z

eVeVZ

eVeVeVeVZZ

z

z

zz

zz

g

g

gg

gg

( )( )zIzVZ

S

Sent = zz

zz

eZVe

ZVzI

eVeVzV

gg

gg

o

o

o

oS

ooS

)(

)(-

-+

--+

-=Þ

+=Þ


DEMONSTRAÇÃO:

( ) ( )

oent

oent

oent

oent

1111

ZZZZZZ

ZZ

+-

=GÞ

G+=G-

÷øö

çèæ

G-G+

=


• Casos interessantes:

– ГC=0: Significa que toda energia incidente é absorvida pelacarga (ZC = Zo) – Impedância casada.

– ГC=1: Tensões refletida e incidente estão em fase (ZC =∞) –Linha aberta.

– ГC=-1: Tensões refletida e incidente estão defasadas de 180o(ZC =0) – Linha em curto.

oC

oC

o

oC ZZ

ZZVV

+-

==G +

-


• Ondas estacionárias:

– Quando uma linha de transmissão é terminada por umacarga resistiva igual à sua impedância característica Zo, aenergia flui entre o gerador e a carga sem reflexão.

– Nessa situação, a impedância vista pelo gerador é igual a Zo etem-se aí uma condição chamada de linha casada.

– Para qualquer outra impedância de terminação diferente deZo, ocorre reflexão e parte da potência incidente retorna aogerador, onde outra reflexão pode ocorrer se o gerador nãoestiver casado com a linha.


– Dessa forma, as duas ondas caminhantes, incidente erefletida, com direções de propagação opostas, dão origem auma onda estacionária de tensão e outra de corrente.

– Ao longo da linha de transmissão entre o gerador e a carga,em alguns pontos, a composição da onda incidente e darefletida produzem reforços e, em outros, diminuição,provocando os máximos e mínimos da onda estacionáriaresultante.


– A razão de onda estacionária é dada por

G-G+

=====11

min

MAX

min

MAX

II

VV

sSWRROE


DEMONSTRAÇÃO:

G-G+

=-

+=

-+

==

G-G+

=====Þ

11

1

1

11

incidente

refletido

incidente

refletido

refletidoincidente

refletidoincidente

min

MAX

min

MAX

min

MAX

VVVV

s

VVVV

VV

s

II

VV

sSWRROE


– É importante observar que, como o módulo do coeficiente dereflexão não é constante em uma linha com perdas, tambéma relação de onda estacionária não apresenta o mesmo valorem todos os pontos da linha.

lC

lC

ee

sSWRROE a

a

2

2

11

-

-

G-G+

===


DEMONSTRAÇÃO:

onde l é a distância a partir da carga.

( )

lC

lC

ljlC

ljl

ee

sSWRROE

eeeVVe

VV

a

a

babag

2

2

222

0

02

0

0

11

11

-

-

--+-+

--

+

-

G-G+

=G-G+

===Þ

G===G


• A impedância de entrada (Zent), tem máximos e mínimos queocorrem, respectivamente, nos máximos e mínimos das ondasestacionárias da tensão e da corrente.

• Dessa forma, temos que

sZ

IVZ

sZIVZ

o

MAX

minminent

omin

MAXMAXent

==

==


Exercícios


• As linhas de transmissão são utilizadas para transferir energiaeletromagnética de uma fonte a uma carga.

• A potência média de entrada, a uma distância l da carga, é dadapor

onde o fator multiplicativo (1/2) é utilizado devido ao fato detrabalharmos com valores de pico ao invés de valores eficazes(rms).

TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA

( ) ( ){ }lIlVP *= SSmed Re21


• Supondo uma linha sem perdas e fazendo algumasconsiderações matemáticas, temos que

• É importante perceber que para Г=0, temos a condição demáxima potência transferida para a carga.

( )2o

2

omed 1

2G-=

+

ZV

P

1 2 3

1: Potência de entrada ou potênciatransmitida.

2: Potência incidente.

3: Potência refletida.


Exercício


• Até agora consideramos apenas as linhas de transmissão comperdas, na qual os condutores são imperfeitos e os dielétricostêm perdas, ou seja,

TIPOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

0e dc ¹¥¹ ss


1. Linhas de transmissão sem perdas

• Os condutores da linha de transmissão são perfeitos e omeio dielétrico, que os separa, é sem perdas, ou seja,

• Para este caso, temos que R = 0 W/m e G = 0 S/m.

0e dc »¥» ss


• Dessa forma, para R = 0 W/m e G = 0 S/m, temos que

0e

10

oo

o

==

=++

=

==

==

=++=

XCLR

CL

CjGLjR

Z

LCu

LCe

LCjCjGLjR

ww

bw

wba

wwwg


Exercício


2. Linhas de transmissão sem distorção

• Um sinal consiste, normalmente, de uma banda defrequências.

• Se a constante de atenuação for dependente da frequênciado sinal, as amplitudes das ondas com componentes defrequências diferentes serão atenuadas de forma distinta, emuma linha de transmissão com perdas, resultando emdistorção do sinal.

• Uma linha de transmissão sem distorção é uma linha naqual a constante de atenuação (α) é independente dafrequência, enquanto que a constante de fase (β) varialinearmente com a frequência.


• Para este caso, temos que R / L = G / C.

• Dessa forma,

÷øö

çèæ +=÷

øö

çèæ +=

÷øö

çèæ +÷

øö

çèæ +=

++=+=

GCjRG

RLjRG

GCjG

RLjR

CjGLjRj

wwg

wwg

wwbag

11

11


temos que:

0e

1

ooo ===Þ==

==

=

=

XCL

GRR

CL

GRZ

LCu

LC

RG

bwwb

a


• É importante perceber que

– A velocidade de fase (u) é independente da frequência.

– u e Zo possuem as mesmas expressões obtidas das linhas detransmissão sem perdas.

– Uma linha sem perdas é também uma linha sem distorção,mas uma linha sem distorção não é necessariamente umalinha sem perdas.


Exercícios


Exercício


• A seguir, vamos considerar os seguintes casos especiais delinhas de transmissão:

1. Linha em curto:

– Zent é uma reatância pura, que pode ser capacitiva ouindutiva, dependendo do valor de l.

W= 0CZ

( )

¥=-=G

== W=

s

ljZZZ Z

1

tg

C

o0entCC Cb


2. Linha em aberto: W¥=CZ

( ) ( )

¥==G

-===¥®

s

ljZlj

ZZZZ

1

cotgtglim

C

oo

entCAC

bb

CACC2o ZZZ =


3. Linha casada:

• Toda a onda é transmitida e não há reflexão.

• A potência incidente é totalmente absorvida pela carga.

• Portanto, é possível a máxima transmissão de potênciaquando a linha de transmissão está casada com a carga.

oC ZZ =

10C

oent

==G=

s

ZZ


• Antes do advento dos computadores e das calculadoras, osengenheiros criaram diversos métodos auxiliares para facilitar oscálculos para projetos e análises de sistemas.

• A carta de Smith representa uma indicação gráfica da variaçãoda impedância da linha de transmissão, conforme nos movemosao longo da linha.

• É desenhada dentro de um círculo unitário

ïî

ïíì

=®=G

W¥=W=¥=®=GÞ£G

casada.Linha,10

.ou0,11

s

ZZs CC

A CARTA DE SMITH


• A carta é construída baseando-se em

iroC

oC G+G=ÐG=+-

=G G jZZZZ q


• Ao invés de termos cartas de Smith para cada linha detransmissão, com diferentes impedâncias características (Zo),preferimos ter apenas uma que seja utilizada para todas aslinhas de transmissão.

• Desse modo, obtemos uma carta normalizada, onde todas asimpedâncias são normalizadas com relação à impedânciacaracterística (Zo).

• Dessa forma, a impedância de carga normalizada (zC) é dada por

jxrZZz +==o

CC


• Com isso, temos que

11

1

1

C

C

o

C

o

C

ir +-

=+

-=G+G=G

zz

ZZZZ

j

zC = r + jx =1+Γr( )+ jΓ i1−Γr( )− jΓ i


DEMONSTRAÇÃO:

( )( )( ) ( )

( )( ) ir

ir

ir

ir

irir

ir

ir

11

11

1111

11

G-G-G+G+

=G+G+-G-G--

=

G+G--=G+-G-=G+G+

+-

=G+G

jj

jjz

jjzzjz

zzj

C

C

CC

C

C


onde

• Essas equações são similares à equação de uma circunferência,ou seja, um círculo de raio a centrado no ponto (h,k)

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )( )

22

i2

r2i

2r

i

22

i

2

r2i

2r

2i

2r

1111

2

11

111

÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ -G+-GÞ

G+G-G

=

÷øö

çèæ+

=G+÷øö

çèæ

+-GÞ

G+G-G-G-

=

xxx

rrrr

( ) ( ) 222 akyhx =-+-


DEMONSTRAÇÃO:

( )( ) ir

ir

11

G-G-G+G+

=+=jjjxrzC

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) 2

i2

r

2iriirrr

ir

ir

ir

ir

11111

11

11

G+G-G-G-G+GG++G-G+

=úû

ùêë

éG+G-G+G-

×úû

ùêë

éG-G-G+G+

jj

jj

jj


DEMONSTRAÇÃO:

( )

( )

( ) 2i

2r

i

2i

2r

2i

2r

2i

2r

2ii

2r

12

11

121

G+G-G

=

G+G-G-G-

=

+=G+G-G-G+G-

x

r

jxrj


• Portanto, fornece círculos de r constante (círculos resistivos)com:

( )

rraio

rr

+=

÷øö

çèæ+

=GG

11

0,1

,emcentro ir

( ) ( )( ) ( )

( )2

2i

2

r2i

2r

2i

2r

11

111

÷øö

çèæ+

=G+÷øö

çèæ

+-GÞ

G+G-G-G-

=rr

rr


• De forma semelhante, representa círculos de x constante(círculos de reatâncias) com:

• Note que, enquanto r é sempre positivo, x pode ser positivo (paraimpedâncias indutivas) ou negativo (para impedânciascapacitivas).

( ) ( )( )

22

i2

r2i

2r

i 1111

2÷øö

çèæ=÷

øö

çèæ -G+-GÞ

G+G-G

=xx

x

centro em Γr,Γ i( ) = 1, 1x

"

#$

%

&'

raio = 1x


• Se sobrepusermos os círculos r e os círculos x, obtemos a cartade Smith.


• Além dos círculos r e x, podemos desenhar círculos s, ou círculosde relação de onda estacionária constante, os quais sãocentrados na origem, com s variando de um até infinito.

• O valor de s é determinado pelo ponto em que um círculo s cruzao eixo Γr.

• Os seguintes aspectos devem ser observados com relação à cartade Smith:

– PCC corresponde ao ponto onde r e x são iguais a zero, ouseja, curto circuito na linha de transmissão (ZC=0 Ω).

– PCA corresponde ao ponto onde r e x são iguais a infinito, ouseja, circuito aberto na linha (ZC= ∞ Ω).


– Uma volta completa em torno da carta de Smith representauma distância de λ/2 na linha.

– Movimento no sentido horário na carta representamovimento na linha em direção ao gerador.

– Movimento no sentido anti-horário na carta representamovimento em direção à carga.

– A carta de Smith conta com 3 escalas ao redor da periferiapara determinar a distância à carga, ou ao gerador, em grausou comprimento de onda.


– O valor de VMax ocorre no ponto em que está localizado nacarta Zent,Max, isto é, na parte positiva do eixo Гr, ou sobreOPCA.

– O valor de VMin ocorre no ponto em que está localizado nacarta Zent,Min, isto é, na parte negativa do eixo Гr, ou sobreOPCC.

– Note que VMax e VMin (ou Zent,Max e Zent,Min) estão separados porλ/4 ou 180º.


– A carta de Smith é usada tanto para carta de impedânciacomo de admitância.

– Com base nestas propriedades, a carta de Smith pode serusada, entre outras coisas, para determinar:

a) ZC;

b) Г e s;

b) Zent ou Yent e

c) a localização de VMax e VMin, desde que sejam dados Zo, ZCe o comprimento da linha.


a) Localização de ZC.

b) Determinação de Г e s.

c) Determinação de Zent ou Yent.

d) Localização de VMax e VMin, desde que sejam dados ZO, ZC eo comprimento da linha.


a) Localização de ZC:

• Calcular zC:– Dividir ZC por Zo.

• A partir de zC=r+jx,encontrar na carta deSmith:– O círculo de r constante.– O círculo de x constante.

• zC será o ponto de encontrode r constante e xconstante.


Exercícios


b) Determinação de Г e s:

– O coeficiente de reflexão em qualquer ponto, ao longo de umalinha de transmissão sem perdas, é

– O coeficiente de reflexão possui uma magnitude │ГC│ e umângulo θГ igual ao ângulo do coeficiente de reflexão na cargamenos 2βl.

– O valor de │ГC│ é determinado tomando-se a distância até oponto, a partir do centro da carta, dividida pela distância docentro da carta até o perímetro │ГC│=1. Para evitar essecálculo, uma escala para magnitude do coeficiente de reflexãoé fornecida abaixo da Carta de Smith.

GG=G=G=G+G=G -- qbqb jC

ljjC

ljC eeeej C 22

ImRe


– O ângulo do coeficiente de reflexão θГ é indicado na escalaângulo de coeficiente de reflexão, apresentada na parteexterna do círculo │ГC│=1 na carta.

– O círculo verde representa o círculo de s constante, medido apartir de OPCA, cujo valor cruza o eixo Гr.


c) Localização de Zent ou Yent :

• Calcular zent:– Dividir Zent por Zo.

• A partir de zent=r+jx,encontrar na carta de Smith:– O círculo de r constante.– O círculo de x constante.

• zent será o ponto de encontrode r constante e x constante.


• Traça-se uma reta entre aorigem da Carta de Smith e alocalização de Zent.

• O ponto que cruzar o círculode s constante é o valor deyent.

yent





d) Localização de VMax e VMin, desde que sejam dados ZO,ZC e o comprimento da linha.


d) Localização de VMax e VMin,desde que sejam dados ZO,ZC e o comprimento dalinha:

• VMax está localizado no eixopositivo de Гr (OPCA).

• VMin está localizado no eixonegativo de Гr (OPCA).

• Ambos estão separados porλ/4.


Exercícios


Exercício


• São utilizadas para diversas finalidades, como por exemplo:realizar casamento de impedância com uma carga e para medirimpedâncias.

1. Transformador de quarto de onda:

APLICAÇÕES DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO


― Premissas:

―Quando Zo≠ZC, dizemos que a carga está descasada eexiste uma onda refletida na linha.

―Entretanto, para transferência máxima de potência, édesejável que a carga esteja casada com a linha detransmissão (Zo=ZC), de tal maneira que não haja reflexão(│Г│=0 ou s=1).


― Considerando l=λ/4, β=2π/λ (defasa de π/2) e que a linha detransmissão é sem perdas, temos que:

( )( )

CentC

zyz

z

ljZZljZZZZ

==

úû

ùêë

é++

=

aindaou1tgtg

ent

Co

ocoent b

b


( )( )

Czz

ZZ

ZZ

ZZZZ

jZZ

jZZ

ZjZZ

jZZZZ

jZZ

jZZZ

ljZZljZZZZ

12

tg

2tg

2tg

2tg

42tg

42tg

tgtg

entc

o

o

ent

c

ooent

Co

oc

o

Co

oc

oent

Co

oc

oCo

ocoent

=®=®=

úúúúúúú

û

ù

êêêêêêê

ë

é

+÷øö

çèæ

+÷øö

çèæ

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

÷øö

çèæ+

÷øö

çèæ+

=

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

÷øö

çèæ+

÷øö

çèæ+

=úû

ùêë

é++

=

p

p

p

p

llp

llp

bb

DEMONSTRAÇÃO:


― Uma carga descasada ZC pode ser casada adequadamentecom a linha (com impedância característica Zo) pela inserçãode uma linha de transmissão com o comprimento λ/4 (comuma impedância característica Z’o) antes da carga.


― A seção λ/4 da linha de transmissão é denominada detransformador de quarto de onda porque é usada paracasamento de impedâncias como um transformador comum.

― Z’o deve ser selecionada de tal maneira que Zent = Zo, ou seja,

onde Zo, Z’o e ZC são todos reais.

Coooc

ooent ''' ZZZZZZZZ =®==


― As configurações de ondas estacionárias para a tensão sem ecom o transformador de quarto de onda estão ilustradasabaixo.

― Embora ainda exista uma onda estacionária entre otransformador e a carga, não existe onda estacionária àesquerda devido ao casamento.


― Contudo, a onda refletida (ou onda estacionária) é eliminadasomente no comprimento de onda desejado. Mesmo em umcomprimento de onda um pouco diferente haverá reflexão.

― A principal desvantagem do transformador de quarto de ondaé que ele é um dispositivo de banda estreita, sensível àfrequência.


2. Transformador de meia onda:

• Considerando l=λ/2, β=2π/λ (defasa de π) e que a linha detransmissão é sem perdas, temos que:

( )( )( )( ) c

C'o

'oc'

oent

C'o

'oc'

oent

tgtg

tgtg

ZjZZjZZZZ

ljZZljZZZZ

=úû

ùêë

é++

=

úû

ùêë

é++

=

pp

bb


• Embora o transformador de l/2 não mude a impedância,provoca uma inversão de fase que algumas vezes é útil.

Zo

Zo’

ZC

Zent

l/2

• A impedância não variaatravés de uma transformaçãode comprimento de onda igual al/2.

• Esse fato é levado em contapara medidas de impedância,quando sua impedância, quenão pode ser levada a umaponte de medição deimpedâncias, pode, então, serconectada aos terminais dessaponte por um cabo de l/2, semque isso afete a medida.


3. Sintonizador com toco simples:

– A principal desvantagem do uso do transformador de quartode onda é eliminada pelo uso do sintonizador de tocosimples.


– O sintonizador consiste de uma seção de linha detransmissão de comprimento d, curto-circuitada ou emcircuito aberto, conectada em paralelo com a linha principala uma distância l da carga.

– A impedância caracaterística do toco é igual à impedânciada linha principal.


STUB SIMPLES EM PARALELO

1. Encontra-se zC na carta de Smith.2. Encontra-se yC na carta de Smith.3. Traça-se o círculo |G| constante.4. Traça-se o círculo de g igual a 1.5. Marca-se os dois pontos de encontro entre o círculo de |G|

constante e o de g=1.6. A distância da carga ao ponto de localização do stub simples na

linha (l) é determinada a partir de yC até o ponto de encontro nadireção do gerador.

7. Para cada um dos pontos de encontro, encontra-se o seurespectivo conjugado na periferia da carta de Smith (g=0 e t¹0).

8. O comprimento do stub é determinado a partir do ponto yT=∞ -PCA (zT=0 – curto circuito) ou yT=0 – PCC (zT=∞ - circuito aberto)até o respectivo conjugado na direção do gerador.


– Se um toco em paralelo de admitância ys=-jb é introduzidono ponto A, então:

10111 =+=-+=++= jjbjbyjby sent


– Dois valores de l menores que λ/2 podem ser obtidos pois bpode ser positivo ou negativo.


– Em A, ys=-jb, l=lA e, em B, ys=jb, l=lB.


– Devido ao fato de que o toco é curto-circuitado (y’ L=∞),determinamos o comprimento d do mesmo pela distância dePCC (onde z’C=0+j0) até a admitância desejada (ys).


– Para o toco em A, obtemos d=dA como sendo a distância deP até A ’ , onde A ’ corresponde a ys=-jb, o qual estálocalizado na periferia da carta.


– De forma semelhante, obtemos d=dB como sendo a distânciade PCC a B’ (ys=jb).


– Note que sempre teremos dA+dB=λ/2.


– Como temos dois possíveis tocos curto-circuitados,normalmente é escolhido o mais curto ou o que está maispróximo da carga.

– No lugar de um toco simples, pode também ser utilizado umtoco duplo.

– Isto é chamado de casamento com toco duplo, o qual permiteo ajuste da impedância da carga.


Exercício


STUB SIMPLES EM SÉRIE

1. Encontra-se zC na carta de Smith.2. Traça-se o círculo |G| constante.3. Traça-se o círculo de r igual a 1.4. Marca-se os dois pontos de encontro entre o círculo de |G|

constante e o de r=1.5. A distância da carga ao ponto de localização do stub simples na

linha (l) é determinada a partir de zC até o ponto de encontro nadireção do gerador.

6. Para cada um dos pontos de encontro, encontra-se o seurespectivo conjugado na periferia da carta de Smith (r=0 e x¹0).

7. O comprimento do stub é determinado a partir do ponto zT=0 -PCC (curto circuito) ou zT=∞ – PCA (circuito aberto) até orespectivo conjugado na direção do gerador.


Exercício


4. Sintonizador com toco duplo

– O método de casamento de impedância, utilizando toco simples,pode ser utilizado para casar qualquer carga de valor finito ediferente de zero com a impedância característica da linha.

– Entretanto, esse método exige que o toco seja adicionado à linhade transmissão em um ponto específico, o qual varia quando aimpedância da carga é modificada.

– Essa exigência, frequentemente, apresenta dificuldades práticasdevido ao ponto especificado estar localizado em pontosindesejáveis.

– Além do que é complicado construir uma linha coaxial decomprimento variável com impedância característica constante.


– Em tais casos, é interessante utilizar o método de toco duplo.

– O método de toco duplo consiste de dois tocos curto-circuitados, adicionados à linha de transmissão, em pontosfixos.

– No geral, esses pontos fixos (l0) são escolhidosarbitrariamente (λ/16, λ/8, 3λ/16, 3λ/8, etc.).

– Os comprimentos dos tocos são ajustados para se casar aimpedância de carga com a da linha de transmissão.


ZC

l0

dAdB

ZoZo

B

B'

A

A'

– Configuração do toco duplo.

Zo


ZCZo

l0

dAdB

ZoZo

B

B'

A

A'

yAyCC_A


yC


ZCZo

l0

dAdB

ZoZo

B

B'

A

A'

yEntyCC_B

yB



ZCZo

l0

dAdB

ZoZo

B

B'

A

A'

yEntyCC_B

yB yAyCC_A


yC


ZCZo

l0

dAdB

ZoZo

B

B'

A

A'

yEntyCC_B

yB yAyCC_A


yEnt =1= yB + yCC _B Condição de Casamento de Impedância

yC


ZCZo

l0

dAdB

ZoZo

B

B'

A

A'

yEntyCC_B

yB yAyCC_A


yB =1+ jbB e yCC _B = − jbB

yC


STUB DUPLO EM PARALELO

1. Desenha-se o círculo g=1 (local onde o ponto yB será localizado).2. Desenha-se esse círculo (g=1) rotacionado l0/λ, em direção à

carga, (local onde o ponto yA será localizado).3. Encontra-se yC = gC+jbC na carta de Smith.4. Desenha-se o círculo g=gC, interceptando o círculo g=1

rotacionado em dois pontos (yA1 e yA2).5. Utiliza-se o compasso, centrado na origem da carta de Smith,

para marcar os pontos yB1 e yB2, no círculo g=1,correspondentes aos pontos yA1 e yA2.

6. Calcula-se os valores de yCC_A1 e yCC_A2 por meio da expressão

yA = yCC _ A + yC


STUB DUPLO EM PARALELO

7. Encontra-se o comprimento do toco dA do ângulo entre o pontoyCC_A e o ponto yT=∞ - PCA (zT=0 – curto circuito) no sentido anti-horário da carga de Smith, ou seja, em direção à carga.

8. Encontra-se o comprimento do toco dB do ângulo entre o ponto–jbB e o ponto yT=∞ - PCA (zT=0 – curto circuito) no sentido anti-horário da carga de Smith, ou seja, em direção à carga.


Exercício

• Uma linha de transmissão de 50 Ω é conectada a uma carga deimpedância igual a (60 + j80) Ω. Um toco duplo de λ/8 é utilizadopara fazer o casamento da carga com a linha de transmissão.Determine os comprimentos dos tocos curto circuitados (dA e dB).


5. Linha fendida

– As medidas de corrente e tensão em altas frequências sãomuito difíceis de serem realizadas porque os dispositivos demedida adquirem dimensões apreciáveis e todo o circuito setorna uma linha de transmissão.

– A linha fendida é um dispositivo simples, utilizado nadeterminação da impedância de uma carga desconhecidaem altas frequências, operando até a região de GHz.

– Ela consiste de uma seção de linha de transmissão que usao ar como dielétrico (sem perdas), com uma fenda nocondutor externo.


– A linha tem uma ponta de prova paralela ao campo elétrico,que capta uma amostra desse campo e, consequentemente,mede a diferença de potencial entre a ponta de prova e ocondutor externo.


– A linha fendida é usada, principalmente, em conjunto com acarta de Smith para determinar a relação da ondaestacionária s (a razão entre a tensão máxima e a tensãomínima) e a impedância de carga ZC.

– O valor de s pode ser lido diretamente no medidor dodetector quando a carga está conectada.

– Para determinarmos ZC substituímos, inicialmente, a cargapor um curto-circuito e anotamos as posições dos mínimosde tensão na escala calibrada.

– Como os valores de impedância se repetem a cada meiocomprimento de onda (λ/2), quaisquer mínimos podem serselecionados como ponto de referência da carga.


– Determinamos, agora, a distância do ponto de referênciaselecionado até a carga, substituindo o curto-circuito pelacarga e anotando as novas posições dos mínimos de tensão.

– A distância l (distância de VMin até a carga), expressa emtermos de λ, é usada para localizar a posição da carga emum círculo s da carta.


– Podemos também localizar a carga usando l’, que é adistância de VMin até o gerador.

– Tanto l como l’ podem ser usados para localizar ZC.


Linha fendida

• O procedimento envolvido na utilização da linhafendida é resumido a seguir:

– Com a carga conectada, leia o valor de s no medidor dodetector.

– Com o valor de s conhecido, trace o círculo de s na carta deSmith.

– Com a carga substituída por um curto-circuito, localize oponto de referência ZC em um ponto mínimo de tensão.


– Com a carga novamente conectada na linha, anote a posiçãode VMin e determine l.

– Marque, na carta de Smith, uma distância l a partir de VMinna direção da carga.

– Encontre o valor de ZC neste ponto.


Exercícios


• Em algumas aplicações práticas, tais como redes decomputadores, sinais pulsados podem ser enviados pela linha.

• Utilizando-se da análise de Fourier, um pulso pode ser vistocomo uma superposição de ondas de várias frequências.

• Portanto, o envio de um sinal pulsado em uma linha pode serconsiderado como o envio simultâneo de ondas com diferentesfrequências.

TRANSIENTES EM LINHAS DE TRANSMISSÃO


• Assim como na análise de circuitos, quando um gerador depulsos, ou uma bateria, conectado a uma linha de transmissão,é ligado, transcorre um certo tempo até que a corrente e a tensãona linha atinjam valores estacionários.

• Este tempo de transição é chamado transiente.

• Considere uma linha sem perdas de comprimento l e impedânciacaracterística Zo.


• Suponha que a linha é acionada por um gerador de pulsos detensão Vg, com impedância interna Zg, localizado em z=0, eterminada por uma carga ZC puramente resistiva.

• No instante t=0 em que o interruptor é fechado, a corrente departida enxerga somente Zg e Zo.


• Dessa forma, no instante t=0+, tem-se que:

gog

oooo

og

go

VZZ

ZZIVV

ZZV

II

+===

+==

+

+

)0,0(

)0,0(


• Depois que o interruptor é fechado, as ondas I+=Io e V+=Vo sepropagam em direção à carga com velocidade:

• Como esta velocidade é finita, transcorre um certo tempo paraque a onda, que se propaga no sentido positivo, alcance a cargae com ela interaja.

• A presença da carga não tem nenhum efeito sobre as ondasantes de transcorrer o tempo de trânsito, dado por:

LCu 1=

ult =1


• Depois de t1 segundos, as ondas alcançam a carga.

• A tensão (ou corrente) na carga é a soma das ondas de tensão(ou de corrente) incidente e refletida.

• Portanto,

onde ГC é o coeficiente de reflexão na carga.

oCoCo

oCoCo

IIIIItlIVVVVVtlV

)1(),(

)1(),(

1

1

G-=G-=+=

G+=G+=+=-+

-+


• As ondas refletidas V-=ГCVo e I-=-ГCIo viajam de volta para ogerador, adicionando-se às ondas Vo e Io já existentes na linha.

• No tempo t=2t1, as ondas refletidas alcançam o gerador.

• Portanto,

( )oGCC

oCoCG

oCGC

oCoCG

IIIIItI

VVVVVtV

)1()1()2,0(

)1()1()2,0(

1

1

GG+G-=G-+G-G-=+=

GG+G+=G++GG=+=

-+

-+


onde ГG é o coeficiente de reflexão no gerador, dado por:

• Novamente, as ondas refletidas (na extremidade do gerador)V+= ГGГCVo e I+= ГGГCIo se propagam em direção à carga,continuando o processo até que toda a energia do pulso sejaabsorvida pelos resistores Zg e Zo.

• Ao invés de acompanhar as ondas de tensão e de corrente de idae de volta, é mais fácil levar em consideração as reflexõesutilizando diagramas de saltos, também conhecidos comodiagramas de telas.

og

ogG ZZ

ZZ+

-=G


• O diagrama de saltos consiste em uma linha em ziguezagueindicando a posição da onda de tensão (ou de corrente) emrelação à extremidade do gerador.

• No diagrama de saltos, a tensão (ou a corrente), em qualquerinstante de tempo, pode ser determinada pela soma dos valoresque aparecem no diagrama, acima daquele tempo.


Exercício


Referências• SADIKU, M. N. O. Elementos de Eletromagnetismo. 5ª edição – 2012. Editora

Bookman.


- CONTEÚDO DAS AULAS NAS TRANSPARÊNCIAS -

1. ESTÁGIO I:

1. Equações de Maxwell (Teste I).

2. ESTÁGIO II:

1. Propagação de ondas eletromagnéticas (Teste II).

3. ESTÁGIO III:

1. Linhas de transmissão (Teste III).


NOTAS DE AULA

ONDAS E LINHAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDECENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA

Prof. Helder Alves Pereira, Dr.Outubro, 2017

ondas e linhas - wordpress.com · notas de aula de ondas e linhas –prof. dr. helder alves pereira...

Documents