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  • if

    FisB

    io20

    10Ondas Mecnicas: Definies e Conceitos

    Em sentido amplo: sinal que se transmite de um ponto a outro, em um meio, com velocidade definida,sem que haja transporte de matria.

    Caso mais ilustrativo (muito difcil de estudar rigorosamente):ondas de superfcie (oceano, lagos)

    pequeno corpo na superfcie oscila em torno da posio mdiaforma ou perfil da superfcie se desloca com o tempoenergia propagada

    (corpo distante do ponto de gerao da onda passa a oscilar)

    sinal uma perturbao do meio:

    ondas longitudinais perturbao na mesma direo que a propagao

    Ondas de presso, como o som, ondas de choque, etc..

    ondas transversais perturbao em direo perpendicular propagao

    Ondas nas cordas de instrumentos, na superfcie do mar, etc..

    44

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    io20

    10Ondas em uma dimenso (de propagao)

    Hipteses: meio elstico (foras restauradoras)no h dissipao (amplitude e energia conservadas)velocidade s depende do meio meio no dispersivo (a onda no morre: no deforma)

    A forma se desloca com velocidade

    a forma y funo de duas variveis

    mas com dependncia muito especial:

    propagando para a direita (sentido positivo de x)

    ou

    para a esquerda (sentido negativo de x).

    x

    x

    y

    y

    Princpio da Superposio

    CancelamentoTotal: S aparente!x

    xy

    y

    x

    x

    y

    Vale tambm o

    45

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    io20

    10

    0 5 10 15 20 25 30 35 40

    -2

    0

    2

    Tipo mais importante de ondas: Ondas harmnicas

    x

    y

    t=0t=0.5s

    t=1.0s

    em um instante t qualquer fixo fotografia da onda y=u(x,t0)

    Relevo ou perfil com forma senoidal,

    sendo o comprimento de onda o anlogo ao perodo para oscilaes no tempo

    Entretanto, se olharmos para um ponto fixo no espao,vemos uma oscilao exatamente igual do sistema mola-massa!

    ...e mais: as oscilaes no tempo dos diversos pontos so acopladas!

    Demonstrao visual: oscilaes em dois pontos fixos diferentesmantm sempre a mesma defasagem

    Da mesma forma que para um oscilador isolado, definem-se as

    freqncias e para a dependncia espacial

    define-se o nmero de onda ;

    a forma final (com )

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    io20

    10O perfil se desloca um comprimento de onda por perodo, portanto a

    sua velocidade (velocidade da onda) e depende s do meio;

    J a acelerao do elemento de massa depende da forma local do perfil

    (dependncia temporal) (dependncia espacial)

    um elemento de massa em uma posio x0 (vermelho slido) vai ser puxado para cima ou para baixo dependendo do que est acontecendo atrs dele (azul aberto), pois a onda ou seja, a forma da superfcie ou da corda- passa sem se deformar

    (resulta das leis de Newton, ver apndice B)

    x0 x0 x0

    Em uma corda, a velocidade da onda onde a tenso na corda, e a densidade linear de massa.

    No ar ou no interior da gua (ondas de presso)sendo B o mdulo volumtrico (reao presso aplicada) e a densidade de massa.

    A velocidade do elemento de massa no pois deve descrevera variao com o tempo da elevao y do elemento, no ponto x

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    10

    Acelerao do ponto material (bia de regata)

    Concavidade do perfil da onda

    acelerao para baixo

    O ponto estava subindo, chegou no topo do perfil (primeira derivada do perfil nula), e vai comear a descer (segunda derivada do perfil negativa)acelerao negativa

    acelerao para cima

    O ponto estava descendo, chegou na base do perfil (primeira derivada do perfil nula), e vai comear a subir (segunda derivada do perfil positiva)acelerao positiva

    acelerao para baixo

    O ponto est subindo, mas a segunda derivada do perfil negativaacelerao negativa, o corpo est desacelerando

    Equao de Onda 48

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    10Vemos ento que cada elemento material da corda pode ser consideradocomo um oscilador harmnico de freqncia :

    A massa associada o elemento de massa da corda, e pode ser escrita emtermos da densidade de massa linear da corda

    A constante de mola equivalente pode ser escrita em termos do elemento de massa e da freqncia,

    de forma que energia total associada ao oscilador em x0 (ver a energia do oscilador harmnico, p. 40)

    Notem que essa energia tem que ser continuamente introduzida no meio (no caso, a corda) a partir de um ponto, seno a vibrao cessa:

    interessante para isso pensar no processo de formao de ondas em um meio:o vento provoca ondas em um lago, cessando o vento cessam as

    ondas (calmaria)

    na corda que vibra, as oscilaes so introduzidas pelo suporte preso ao altofalante (se cessar a gerao de udio, cessa a oscilao)

    Ou tambm podemos escrever

    onde explicitamos a densidade mdia de energia por unidade de comprimento da corda,

    associada amplitude de vibrao harmnica

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    10A taxa de transmisso de energia chamada potncia

    e em geral (ver apndice B) associada aplicao de uma fora a um elemento de massa que tem (como resultado) uma dada velocidade:

    na corda que vibra

    Ora, o que acontece quando energia introduzida de mais de uma fonte, ou seja, se duas ou mais ondas viajam no mesmo meio?

    perfil resultanteExemplo: 3 ondas parciais

    Interferncia de ondas! (acontece quase sempre...)

    podemos tambm associ-la transmisso da densidade de energia de vibrao,que viaja velocidade da onda; para isso, escrevemos a potncia como:

    onde a primeira parcela a densidade deenergia, e vemos que a potncia mdia

    chamada Intensidade de Onda, associada amplitude,e tambm velocidade.

    50

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    10

    Freqncias diferentes: a onda resultante nem sequer precisa ser peridica,

    3 ondas parciais Resultante

    Por exemplo, nesta corda de 2 metros, esto ressoando 4 frequncias e o perfilresultante (em preto) complexo e nem parece ser peridico.

    ou pode ser peridica, porm s mais complicadase as freqncias das ondas parciais forem comensurveis.

    Interferncia: as oscilaes se somam

    Entretanto, como todos os perodos so comensurveis, o movimento resultante tambm peridico, e tem o maior comprimento de onda (menor freqncia) entre todos os presentes na composio de ondas, como pode ser visto ao ampliarmos o alcance de viso:

    Comeamos o estudo de interferncia pelos casos mais simples,2 ondas parciais de frequncias iguais.

    51

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    10

    Exemplo: mesma freqncia e amplitude, viajando no mesmo sentido;continuamos com uma onda de perfil simples,

    a freqncia se mantm, a amplitude muda dependendo da diferena de fase.

    Ondas parciais

    Resultante

    Passando a outro efeito:nesta mesma figura (que um instantneo), podemos imaginar que as ondas parciais viajam em sentidos contrrios : vemos que

    certos pontos sempre tm intensidade nula!!!

    Mesma frequncia e mesmo sentido de propagao:

    Usando o princpio de superposico fazemos a soma

    em que a fase final e a amplitude so dadas por

    o que pode resultar em Interferncia Construtiva (amplitude aumenta, podendo at dobrar, se as amplitudes iniciais forem iguais)

    ou Interferncia Destrutiva (amplitude diminui, podendo at ser anulada)

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    10Mesma freqncia e sentidos de propagao opostos, mesma amplitude

    o resultado

    Notem que a resultante no uma onda, pois

    t=0

    t=T/2

    x1 x2

    N Ventre

    De fato, nos pontos em que cos(kx)=0 a onda tem um n, ou seja,a amplitude do movimento daquele ponto sempre nula

    de forma mais geral, para dois pontos distintos do meio

    o que mostra que osciladores vizinhos armazenam quantidades de energia diferentes:

    no h transporte de energia!

    os pontos de amplitude mxima so denominados ventres, e dizemos que a velocidade da onda zero, e a oscilao denominada

    onda estacionria.

    um tipo cotidiano de oscilao, usado em todos os instrumentosmusicais

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    10Um modo simples de provocar ondas estacionrias j de incio prender a onda ou seja, provocar a existncia de ns: basta fixar dois pontos de uma corda, de modo que as oscilaes fiquem mesmo confinadas essa regio. Por exemplo podemos prender os extremos, como na experincia de cordas vibrantes (ilustrada abaixo).As oscilaes so refletidas perfeitamente nesses extremos se o meio for perfeitamente elstico e cada extremo perfeitamente fixo.

    esse equipamento consiste de:Suportes para corda de nylon;Autofalante, suportando orifcio para passagem da corda; Gerador de udio, que alimenta o falante; Pesos que mantm a corda tensionada.

    Mas para obter ondas estacionrias preciso que o comprimento de onda seja comensurvel com o comprimento da corda:

    O maior possvel para a onda estacionria na corda de comprimento L ser =2L, j que podemosconfinar meio comprimento de onda ao fixar os extremos:

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    10Essa onda (de maior comprimento de onda) tem a menor freqnciaque pode ser presa nessa corda, e chamada fundamentalda srie harmnica

    Quando tocamos um instrumento de cordas ou de sopro, na verdade estamos em geral provocando uma onda composta, e no apenas umadas ondas de freqncia bem definida.

    1

    2

    3

    4

    O mesmo tipo de efeito pode ser causado em um tubo estreito, imerso em um meio, e aberto nas duas extremidades: nesse caso, sendo abertas, as extremidades prendem no os ns, mas os ventres (possibilitam sempre a mxima amplitude)

    De novo temos para afundamental

    e segue toda uma srie harmnica

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    10Na msica ocidental, algumas frequncias so escolhidas como base daescala (por exemplo, o L base associado a 440 Hz);dizemos que a cada vez que se dobra a frequncia, subimos uma oitava naescala. Outras frequncias da sequncia harmnica tambm comparecem,de forma mais complexa, na estrutura da escala natural (prxima temperada).Caso tpico:

    L (fundamental), L (1o harmnico), Mi (2o harmnico), L (3o harmnico), D# (4o harmnico),...

    oitava oitava

    A voz, ou o timbre de um instrumento, mudam conforme o nmero e o tipo deharmnicos incluidos para uma mesma nota (frequncia da fundamental).Isso reflete um fato importante em cincia:

    Qualquer funo (por exemplo de t ) pode ser escrita (ou, como dizemos em jargo cientfico, expandida) em uma soma de funes peridicas, partindo de uma frequncia escolhida.

    Tais somas so batizadas de Sries de Fourier:

    Neste grfico por exemploest representada a onda composta, ressoando em uma corda de 2m, da pgina 51:

    e podemos igualmente bem representar a funo de partida pelo seu Espectro de Fourier, ou seja, a composio da Srie: as frequncias eos coeficientes, ou amplitudes, com que cada funo senoidal ou cosenoidalcontribui para a soma (notem que o termo de frequncia nula no

    representado no espectro).

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    10

    0 20 40 60 80 100-2

    0

    2

    y(x,t

    0) on

    das p

    arcia

    is

    distncia x

    Se as freqncias so diferentes e no comensurveis, o resultado final complicado.

    Um caso especial de interesse quando as freqncias (e portanto os comprimentos de onda) so muuuito prximos:

    Na figura ao lado, representamos as duas ondas separadamente, mas o movimento real a resultante das duas ondas, e em geral sequer peridico, como vemos na figura abaixo, onde esto as ondas parciais e a resultante,

    0 20 40 60 80 100-2

    0

    2y(

    x,t0)

    onda

    s par

    ciais

    (cinz

    a) e

    resu

    ltant

    e (p

    reto

    )

    distncia x

    0 20 40 60 80 100-2

    0

    2

    y(x,t

    0) s

    resu

    ltant

    e (p

    reto

    )

    distncia x

    ou nesta prxima figura, onde est s a resultante:

    Resultante

    Ondas parciais

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    Este efeito pode ser sentido em volume ao soar ao mesmo tempo duas notasquase iguais como quando se quer afinar um instrumento de cordas; pode ser sentido tambm no mar, quando a amplitude das ondas varia sensivelmente entre uma onda e a prxima:

    a soma de vrias ondas provoca essa interferncia.

    A onda de comprimento de onda menor (maior nmero de onda, ) e freqncia maior ( ) chamada de fase, enquanto a modulao, de comprimento maior ( ) e freqncia menor chamada de grupo (se desloca em grupo). Uma onda corre dentro da outra!

    Se ampliamos o alcance de viso, percebemos que como se a amplitudeda resultante fosse modulada, multiplicada,por uma outra onda senoidal:

    0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

    0

    2

    y(x,

    t 0)

    s re

    sulta

    nte,

    esc

    ala

    expa

    ndid

    a

    distncia x

    Realmente, podemos chegar seguinte expresso para a onda resultante:

    sendo e

    Passamos agora ao estudo de ondas mecnicas em duas dimenses...

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    Generalizao simples e necessria:

    Onda Plana

    At aqui estivemos tratando mesmo ondas de superfcie como se fossemunidimensionais:

    Distino entre onda 1D e onda plana realmente s importante quando mais de uma onda plana viajam em um mesmo meio, em direes de propagao diferentes. Se consideramos casos reais, em que a dimenso lateral finita, existem obstculos, etc.. a onda s plana em determinadas regies:

    Onda plana

    Demonstrao com CUBA DE ONDAS

    Frente de onda plana passando por aberturas de diversas largurasver demonstrao virtual na pgina da disciplina

    z

    x

    x

    y

    Imediatamente frente da fenda, onda (praticamente) plana, mas...

    o que acontece nas laterais ???

    Cada mximo (crista) estende-se infinitamente na direo perperdicular de propagao, e chamada

    frente de onda

    A distncia entre duas cristas o comprimento de onda

    Onda plana

    x

    y

    59Ondas em duas dimensespreparao para Fsica Moderna

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    10Para discutir esses efeitos, tratamos primeiro outro caso comum e de interesse: Ondas circulares ou esfricas

    O sinal se propaga em duas direes e como a velocidade da onda s depende do meio,

    se propaga igualmente nas duas direes: crculo com raio que aumenta com o tempo;

    Demonstrao com CUBA DE ONDAS

    relao entre freqncia e comprimento de ondas

    Fonte estacionria:

    A distncia entre as frentes depende s da frequncia da perturbao que origina a onda, no centro.Aumentar a frequncia diminui o comprimento de onda

    Demonstrao com CUBA DE ONDAS

    Efeito Doppler

    relao entre freqncia e velocidade da fonte

    Se a fonte se move em relao ao meio?

    A frequncia percebida frente maior que a frequncia da fonte,

    A frequncia percebida atrs menor

    (efeito buzina de caminho)

    velocidade da fonte

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    10A energia no caso de ondas circulares se espalha em todas (as duas) direes, assim a amplitude da onda (que tem a ver com a intensidade e com a potncia transmitida) no pode ser constante; A energia que atinge um elemento de rea em um ponto genrico P a uma distncia R do centrodecai com o permetro do crculo que define a frente de ondas que passa pelo ponto P;

    A intensidade de onda que atinge o ponto P ento definida em unidades de Potncia por unidade de comprimento (de arco):

    Visvel na demonstrao com cuba de ondas: quanto mais longe da fonte, menor a amplitude

    J em um meio tridimensional, a energia espalhada em uma frente esfrica, e a energia que atinge um elemento de volume genrico decai com a superfcie da frente de ondas; nesse caso, a amplitude depende inversamente da distncia fonte:

    e em um meio bidimensional? Qual a dependncia da amplitude com r ?

    Fonte

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    10Podemos tambm ter ondas presas em um meio bi- ou tridimensional:

    Ondas estacionrias em uma membrana circular exemplo cotidiano tambores ou pandeiros !

    (equao mais difcil de resolver) exemplo grfico

    Tambm ns longitudinais, e misturas+

    +

    -

    -

    -

    -

    +

    +

    (sequncias no-harmnicas)

    alte

    ra

    o de

    nv

    el e

    m re

    la

    o ao

    aro

    ext

    erno

    distncia ao centro

    fundamental f0 + -

    2.30 f0

    3.61 f0

    +-

    +

    Um ou mais ns radiais

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    10Mais fontes no mesmo meio? Interferncia! (com PADRO mais complicado)

    Demonstrao com CUBA DE ONDAS: ondas em fase, fora de fase,diferentes freqncias, diferentes distncias entre fontes,...

    Caso mais simples:2 fontes puntiformes, de mesma frequncia, em fase

    As distncias caminhadas pelas duas cristas, da respectiva fonte, at o ponto em questo, so

    Se R1 e R2 so mltiplos inteiros do comprimento de ondaas ondas chegam em fasea interferncia construtiva

    Se R1 mltiplo inteiro e R2 semi-inteiroas ondas chegam completamente fora de fasea interferncia destrutiva

    Como a intensidade da onda esfricadepende da distncia s fontes, a anulao completa da intensidade no acontece sempre, mesmo que estejam completamente fora de fase...

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    10Consideremos um anteparo a uma distncia D muito maior que as dimenses relevantes (distncia entre fontes, comprimento de onda).

    Para calcular a interferncia em um ponto qualquer longe das fontes, podemos considerar que os raios saem paralelos das fontes em direo a P

    A diferena de caminho

    provoca uma diferena de fase

    Mas pode ser aproximada por

    resulta uma diferena de fase

    Longe das fontes ( longe em relao a ) as amplitudes so quase iguaise ento obtemos no anteparo

    Consequentemente, temos mximos

    mnimos

    Lembrar: a existncia ou no desse padro regular depende dafase das fontes emissoras; o padro formado depende das

    DIMENSES RELATIVAS!!!!

    Voltando onda plana, e sua passagem por obstculos:

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    Sempre o importante so as dimenses relativas, ou seja, a relao entre o comprimento de onda e a largura da fenda d

    Isto significa ento que a frente de ondas planas pode ser entendida como um nmero muuuuuito grande de fontes puntiformes, e a interferncia entre elas que resulta na frente linear! Esse o princpio de Huygens

    Onda plana

    Barreira com fenda estreita

    Onda difratada

    Quando d~ comea a aparecer uma figura de difrao, como se tivessemos uma grande quantidade de fontes puntiformes, e no limite d

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    Corda Vibrante:corda inextensvel, flexvelhomognea, densidade de massa tenso de equilbrio T uniforme ao longo da corda

    elemento material da corda

    sujeito s foras de ambos os lados

    m = x

    T-T

    x

    movimento em um plano, aproximao vlida para pequenos deslocamentos:

    mdulo da tenso no muda de ponto a ponto,direo varia

    movimento do elemento localizado em x dado por y(x,t)

    T sen () Ttg()y

    x

    xx + x

    xy

    xdxdy

    xxdxdy

    TTR +

    =

    Posso agora usar a lei de Newton

    dxtxdy

    dxtxxdymama ),(),( TTR +==

    Apndice B: Equao de Movimento da Corda

    Fora resultante

    Foras direitae

    esquerda

    B1

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    ( )

    ( ) ( )

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    dxtxyd

    dttxyd

    xdx

    txdydx

    txxdy

    xdt

    txydx

    dttxydxma

    ),(),(

    ),(),(),(

    ),(

    T

    T

    =

    +

    =

    =

    massa

    acelerao do elemento de corda

    T

    == Vdx

    txydVdt

    txyd 0),(),( 22

    22

    2

    [ ][ ]

    [ ][ ][ ]

    [ ][ ]

    [ ][ ]

    [ ]222

    2 VTL

    ML

    TLM

    ===Tdimenses

    realmente:

    2a derivada espacial

    Equao de onda

    B2

    Nmero do slide 1Nmero do slide 2Nmero do slide 3Nmero do slide 4Nmero do slide 5Nmero do slide 6Nmero do slide 7Nmero do slide 8Nmero do slide 9Nmero do slide 10Nmero do slide 11Nmero do slide 12Nmero do slide 13Nmero do slide 14Nmero do slide 15Nmero do slide 16Nmero do slide 17Nmero do slide 18Nmero do slide 19Nmero do slide 20Nmero do slide 21Nmero do slide 22Nmero do slide 23Nmero do slide 24

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