Ondas (Aula 1)

Prof. Ettore Baldini-Neto

• Tipos de ondas:

• Ondas mecânicas: Ondas sonoras, sísmicas, na água.

• São governadas pelas leis da mecânica e propagam-se em meios materiais: rochas, cordas, ar, água.

• Ondas eletromagnéticas: Ultravioleta, ondas de rádio e tv, microondas, raios x.

• Não necessitam de um meio para propagarem-se. Todas as ondas eletromagnéticas propagam-se no vácuo com a velocidade da luz.

• Ondas de matéria:

• Associadas às partículas subatômicas e também aos átomos e moléculas.

Ondas mecânicas

Onda sonora. Note que o meio não

muda de lugar

Ola

Ondas em cordas

Ondas eletromagnéticas

Ondas longitudinais e transversais

• Quando o deslocamento de cada elemento de uma onda é paralelo à direção de propagação, o movimento é longitudinal e temos ondas longitudinais. Exemplos: Ondas sonoras

• Quando o deslocamento de cada elemento de uma onda é perpendicular à direção de propagação, o movimento é transversal e temos ondas transversais. Exemplos: Cordas vibrando, Ondas eletromagnéticas.

• De uma maneira bastante ampla, uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto ao outro com uma velocidade definida sem o transporte de matéria entre os pontos

• Enquanto que oscilações correspondem à vibrações localizadas, as ondas estão associadas à propagação.

• Ondas Sísmicas:

• São longitudinais (compressão) e transversais (cisalhamento) que se propagam com velocidades diferentes.

• Viajam tanto no interior da terra quanto no terreno.

• Estações sísmicas: Gravam basicamente ondas sísmicas geradas por terremotos; mas também são capazes de gravar ondas decorrentes de grandes liberações de energia que ocorrem próximas à superfície terrestre (explosões).

O submarino Kursk

Explosão à bordo

Explosões maiores já com o submarino afundado

As ondas maiores chegaram na estação sísmica em intervalos de 0,11s entre uma e outra. Este intervalo é o intervalo de tempo entre a ida e a volta de um pulso gerado no fundo até a superfície.

A velocidade de propagação destas ondas foram medidas em aproximadamente 1500m/s

Desta maneira podemos estimar a profundidade do submarino quando as segundas explosões ocorreram

v =2D

�t2D = v�t

D =v�t

2

D =1500.0, 11

2= 83m

O Kursk foi encontrado a 115m

Estudo matemático das ondas

Caso unidimensional

• Através do estudo de ondas progressivas tanto para a direita quanto para a esquerda em uma dimensão (ondas em cordas, por exemplo) vemos que a forma mais geral para a função que descreve a forma desta onda é:

496 | C H A P T E R 1 5 Traveling Waves

y

y

y

x

x

x

(b)

(a)

F I G U R E 1 5 - 1 (a) Transverse wave pulse on a spring. The motion of the propagating medium is perpendicular to the direction of motiondisturbance. (b) Three successive drawings of atransverse wave on a string traveling to the right. Anelement of the string (the black dot) moves up anddown as the wave crests and troughs travel to the right.(Richard Menga/Fundamental Photographs.)

O

(a)

y

y = f(x)

t = 0v

x

O O'

(b)

y y'x' = x − vt

y' = f(x')t > 0vt x'x

x'x

v

v

F I G U R E 1 5 - 3

15-1 SIMPLE WAVE MOTION

TRANSVERSE AND LONGITUDINAL WAVESA mechanical wave is caused by a disturbance in a medium. For example, when ataut string is plucked, the disturbance produced travels along the string as a wave.The disturbance in this case is the change in shape of the string from its equilib-rium shape. Its propagation arises from the interaction of each string segment withthe adjacent segments. The segments of the string move in the direction transverseto (perpendicular to) the string as the pulses propagate back and forth along thestring. Waves such as these, in which the motion of the medium (the string) per-pendicular to the direction of propagation of the disturbance, are called transversewaves (Figure 15-1). Waves in which the motion of the medium is along (parallelto) the direction of propagation of the disturbance are called longitudinal waves(Figure 15-2). Sound waves are examples of longitudinal waves. When sound trav-els through a medium (a gas, a liquid, or a solid) the molecules of the medium os-cillate (move back and forth) along the line of propagation, alternately compress-ing and rarefying (expanding) the medium.

F I G U R E 1 5 - 2 Longitudinal wavepulse on a spring. The disturbance isparallel with the direction of the motion ofthe wave. (Richard Menga/FundamentalPhotographs.)

WAVE PULSESFigure 15-3a shows a pulse on a string at time The shape of the string atthis instant can be represented by some function At some later time(Figure 15-3b), the pulse is farther down the string. In a new coordinate systemwith origin that moves to the right with the same speed as the pulse, the pulseis stationary. The string is described in this frame by for all times. The co-ordinates of the two reference frames are related by

so Thus, the shape of the string in the original frame is

15-1

The same line of reasoning for a pulse moving to the left leads to

wave moving in the direction 15-2!xy " f(x # vt)

y " f(x ! vt) wave moving in the #x direction

f(x$) " f(x ! vt).

x$ " x ! vt

xf(x$)O$

y " f(x).t " 0.

y(x, t) = f(x� vt) + g(x+ vt)

Ondas harmônicas

•Ondas harmônicas são ondas periódicas simples.

•Todos os tipos de ondas, periódicas ou não, podem ser modeladas como uma superposição de ondas harmônicas. Daí sua importância

•Se uma onda harmônica está viajando através de um meio, cada ponto deste meio oscila descrevendo um movimento harmônico.

Periodic Waves S E C T I O N 1 5 - 2 | 503

pressure increase of the air near the moving piston by

where is the cross-sectional area of the cylinder.The bulk modulus of the air is given by

where is the volume swept out by the piston and isthe initial volume of the air that is now moving with speed Substituting for in Equation 15-11 gives

where has been substituted for Solving for gives

which is the same as the expression for in Equation 15-4.A wave equation for sound waves can be derived using Newton’s laws. In one

dimension, this equation is

where is the displacement of the medium in the direction and is the speed ofsound in the medium.

15-2 PERIODIC WAVES

If one end of a long taut string is shaken back and forth in periodic motion, then aperiodic wave is generated. If a periodic wave is traveling along a taut string orany other medium, each point along the medium oscillates with the same period.

HARMONIC WAVESHarmonic waves are the most basic type of periodic waves. All waves, whetherthey are periodic or not, can be modeled as a superposition of harmonic waves.Consequently, an understanding of harmonic wave motion can be generalized toform an understanding of any type of wave motion. If a harmonic wave is travel-ing through a medium, each point of the medium oscillates in simple harmonicmotion.

If one end of a string is attached to a vibrating tuning fork that is moving up anddown with simple harmonic motion, a sinusoidal wave train propagates along thestring. This wave train is a harmonic wave. As shown in Figure 15-8, the shape ofthe string is that of a sinusoidal function. The minimum distance after which thewave repeats (the distance between crests, for example) in this figure is called thewavelength

As the wave propagates along the string, each point on the string moves up anddown—perpendicular to the direction of propagation—in simple harmonic motionwith the frequency of the tuning fork. During one period T of this motion thewave moves a distance of one wavelength, so its speed is given by

15-12

where we have used the relation T ! 1>f.v !l

T! fl

f

l.

vsxs

"2s"x2 !

1v2

s

"2s"t2

v

v ! ABr vm.rAv ¢t

A¢P¢t ! mu or ABuv

¢t ! (rAv¢t)u

Fu.

Av¢tAu¢t

B ! #¢P

¢V>V so ¢P ! #B¢VV

! #B#Au ¢tAv ¢t

! Buv

A

F ! A ¢P

¢P u∆t

m

v∆t

P + ∆P P

u u u u

u u u

u u u

v

F I G U R E 1 5 - 7 The air near the piston is moving to the right atthe same constant speed as the piston. The right edge of thispressure pulse moves to the right with the wave speed . Thepressure in the pulse is higher than the pressure in the rest of thecylinder by .¢P

vu

λ

y

v

Ax

F I G U R E 1 5 - 8 Harmonic wave at someinstant in time. is the amplitude and is thewavelength. For a wave on a string, this figurecan be obtained by taking a high-speedphotographic snapshot of the string.

lAA distância entre duas cristas (ou vales) é chamada de comprimento de onda, representado pela letra grega, �

A amplitude da onda é denotada aqui pela letra A.

A função que descreve a onda harmônica é dada por:

y(x, t) = Acos[k(x� vt) + �]

A frequência de oscilação (frequência angular), o número de onda, k, que pode ser entendido como uma espécie de período espacial da onda, e a velocidade, v, desta onda estão relacionados através de

! = kv

Como ! = 2⇡f kv = 2⇡f =2⇡

T

k =2⇡

vT

k =2⇡

�

Destas equações utilizamos o fato de que a onda desloca-se de um comprimento de onda durante um período, ou seja

v =�

TComo a frequência é definida como sendo o inverso do período, chegamos à

v = �f

que relaciona a velocidade, o comprimento e a frequência da onda.

Voltando à função de onda.

! = kv

y(x, t) = Acos[k(x� vt) + �]

y(x, t) = Acos[kx� kvt+ �]

y(x, t) = Acos[kx� !t+ �]

Utilizando ainda as relações

k =2⇡

�! =

2⇡

T

y(x, t) = Acos[kx� !t+ �]

Torna-se

y(x, t) = Acos[2⇡(x

�

� t

T

)]

A utilização de uma ou de outra equação depende do problema.

Exercício: Uma onda viajando ao longo de uma corda é descrita pela seguinte função

y(x, t) = 0, 0047cos(72x� 3, 2t)

• Qual a amplitude da onda?

• Quais os comprimento, período e frequência desta onda?

• Quanto vale a constante de fase?

• Qual a velocidade da onda?

• Qual o deslocamento y(x,t) em x=23cm e t=18,9s?

• Qual a velocidade transversal da onda em t=18,9s?

• E a aceleração no mesmo instante?