aula 07 - curso regular de estatística

Curso Regular de Estatstica

Prof. Vtor Menezes Aula 07

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AULA 7: Probabilidade

1. PROBABILIDADE ............................................................................................................................. 2

1.1. Introduo. ............................................................................................................................................ 2

1.2. Abordagem frequentista da probabilidade ............................................................................................ 8

1.3. Probabilidade condicional .................................................................................................................. 10

1.4. Frmula da probabilidade condicional .............................................................................................. 16

1.5. Probabilidade da unio de dois eventos ............................................................................................. 25

1.6. Probabilidade do evento complementar.............................................................................................. 44

1.7. Teorema da probabilidade total .......................................................................................................... 55

1.8. Teorema de Bayes ............................................................................................................................... 67

1.9. Probabilidade e anlise combinatria ................................................................................................ 73

1.10. Outros exerccios de probabilidade .................................................................................................... 87 2. QUESTES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 91

3. GABARITO ................................................................................................................................... 107




1. PROBABILIDADE

1.1. Introduo.

Probabilidade tem relao com a chance de um evento ocorrer.

Passaremos longe, muito longe de uma definio adequada de probabilidade. Vamos dar duas definies. A primeira nos diz que a probabilidade a relao entre nmero de casos favorveis e nmero de casos possveis. No uma definio correta, mas nosso propsito aqui apenas resolver questes de concurso, mesmo que para isso tenhamos que deixar um pouco de lado o rigor matemtico.

Em seguida, melhoraremos um pouco nossa definio, adotando a abordagem frequentista da probabilidade.

Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em casos favorveis e casos possveis. Sim, apenas isto: casos favorveis e casos possveis.

Vejamos o exemplo do lanamento de um dado.

Queremos calcular a probabilidade de sair um nmero mltiplo de trs. Ento a pergunta : qual a probabilidade de sair um nmero mltiplo de trs quando se lana um dado de seis faces?

A questo de probabilidade. Probabilidade lembra casos favorveis e casos possveis.

Casos possveis so todos aqueles que podem ocorrer. No lanamento de um dado, podemos obter os seguintes resultados:

Casos possveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Casos favorveis so todos aqueles em que estamos interessados. Neste exemplo, estamos interessados nos mltiplos de trs.

Casos favorveis: 3, 6.

Para resolver o problema, primeiro contamos quantos so os casos favorveis.

Quantos so os mltiplos de trs presentes nas faces de um dado?

Resposta: so dois os mltiplos de trs presentes nas faces de um dado (o nmero 3 e o

nmero 6).

Depois contamos quantos so os casos possveis.

Quantos so os casos possveis no lanamento de um dado?

Resposta: so seis os casos possveis (1, 2, 3, 4, 5, 6).




A probabilidade ser obtida dividindo o nmero de casos favorveis pelo nmero de casos possveis. Ficaria assim:

6

2

_

_== P

possveiscasos

favorveiscasosP

Estou usando a letra P para indicar a probabilidade.

Vimos que a probabilidade de sair um nmero mltiplo de trs em um lanamento de um dado de dois sextos.

O conjunto com todos os casos possveis chamado de espao amostral. No caso do lanamento do dado, o espao amostral :

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Repetindo: espao amostral o conjunto de todos os resultados possveis.

Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espao amostral. Geralmente os eventos servem para designar um resultado em particular.

No caso acima estvamos interessados nos resultados que so mltiplos de trs. Esses eram os nossos casos favorveis. A esse resultado em particular, qual seja, sair mltiplo de trs, chamamos de evento.

Neste caso, o evento sair mltiplo de trs corresponde ao seguinte conjunto:

{3, 6}

Veja como o evento um subconjunto do espao amostral.

Com essa noo de espao amostral e de evento, em vez de dizermos que a probabilidade de um dado evento a relao entre o nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis, podemos dizer que a relao entre o nmero de elementos do evento e o nmero de elementos do espao amostral.

amostralespaodoelementosdenumero

eventodoelementosdenumero

possiveiscasosdenumero

favoraveiscasosdenumeroP

_____

____

___

___==

A probabilidade s pode ser definida como a relao entre casos favorveis e casos possveis (ou ainda, como a relao entre o nmero de elementos do evento e o nmero de elementos do espao amostral) quando todos os casos tm a mesma chance de ocorrer. A resoluo acima s vlida se o dado for honesto. Ou seja, se for um dado simtrico e de material homogneo.

Quando dizemos que o dado honesto, estamos considerando que, em um lanamento qualquer, a probabilidade de sair a face de nmero 1 igual probabilidade de sair a face de nmero 4, de nmero 6, ou qualquer outra. Costumamos dizer que todas as faces so equiprovveis (ou seja, tm a mesma chance de ocorrer).

Como j dissemos, comum se utilizar a expresso evento para designar um resultado em particular. Assim, no lanamento de um dado, o evento sair o nmero 1 tem a mesma probabilidade do evento sair o nmero 2, que por sua vez tem a mesma probabilidade do evento sair o nmero 3, e assim por diante. Todos esses eventos so equiprovveis.




A vem a pergunta: e se todos os casos no tiverem a mesma chance de ocorrer? E se o dado no for honesto? E se a probabilidade de sair 1 for diferente da probabilidade de sair 2?

Resposta: bom, deixemos isto para depois (daqui a pouco na verdade). Para contornar este tipo de problema, utilizaremos a j mencionada abordagem frequentista da probabilidade.

Por enquanto, vamos apenas ficar com esta noo de casos favorveis e possveis, o que j ajuda bastante a resolvermos questes de concursos pblicos.

O nmero de casos favorveis, no mnimo, igual a zero.

Quando isso ocorrer, a probabilidade fica:

=casosfavorveis

casospossveis=

0

casospossveis= 0

O nmero de casos possveis, no mximo, igual ao nmero de casos possveis. Quando isso ocorrer, a probabilidade fica:

=casosfavorveis

casospossveis=

casospossveis

casospossveis= 1

Com isso, conclumos que a probabilidade de um evento qualquer est sempre entre 0 e 1.

0 1

Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em que provavelmente vocs esto pensando.

Pergunta: Mas professor, voc disse que essa explicao sobre probabilidade no

adequada. Por qu?

Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situaes de aplicao da probabilidade podem ser resumidas a casos possveis e casos favorveis. Imagine que queremos calcular qual a probabilidade de, no dia 19/03/2012, a ao da empresa alfa subir. No d para transformar esse problema numa situao de nmero casos possveis e favorveis.

Acontece que os problemas em que d para contar quantos so os casos possveis e quantos so os casos favorveis so os mais fceis para gente comear a se acostumar com probabilidade. Por isso, de incio, vamos focar apenas neles. Ou ento, dar um jeitinho para que a questo possa ser interpretada como uma relao entre casos favorveis e possveis.

Outro problema da explicao dada o que segue. Dissemos que probabilidade igual diviso entre o nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis quando todos os casos tm a mesma probabilidade de ocorrer.




Ou seja, na prpria definio de probabilidade estamos usando o conceito de probabilidade. Que raio de definio essa? Se utilizarmos na definio o conceito que pretendemos definir, no estamos definindo nada.

Novamente, deixemos esses problemas de lado.

Antes de passarmos para os exerccios, s um alerta. Quando usamos as expresses casos favorveis/casos desfavorveis (ou ainda: sucessos e fracassos), estamos apenas nos referindo aos casos em que estamos ou no interessados. No estamos fazendo qualquer juzo de valor. No nos preocupamos se estamos diante de algo bom ou ruim, certo ou errado.

Para melhor visualizao, considere um estudo sobre a relao entre a utilizao de um produto e o desenvolvimento de cncer. Queremos saber qual a probabilidade de uma cobaia que utilizou o produto por tempo prolongado ter a doena. Nessa situao, os casos favorveis (=sucesso) seriam aqueles em que a cobaia adquiriu a doena, independentemente de se considerar que contrair cncer seja bom ou ruim. Ok?

Continuemos com a matria.

Questo 1 SEFAZ/SP 2009 [ESAF]

Considere que numa cidade 40% da populao adulta fumante, 40% dos adultos fumantes so mulheres e 60% dos adultos no-fumantes so mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher?

a) 44%

b) 52%

c) 50%

d) 48%

e) 56%

Resoluo:

Para facilitar a resoluo do exerccio, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos.

fumantes no-fumantes total

Homem

Mulher

Total 100

O enunciado nos diz que 40% dos adultos so fumantes.

40100%40 =

Logo, temos 40 fumantes.





Homem

Mulher

Total 40 100

40% dos fumantes so mulheres.

16404,0 =

So 16 mulheres fumantes.


Homem

Mulher 16

Total 40 100

Se, das 100 pessoas, 40 so fumantes, ento h 60 no-fumantes.


Homem

Mulher 16

Total 40 60 100

O enunciado informa que 60% dos no-fumantes so mulheres. Portanto, h 36 mulheres no-fumantes (=60% de 60).


Homem

Mulher 16 36

Total 40 60 100

Ao todo, temos 52 mulheres.


Homem

Mulher 16 36 52

Total 40 60 100

O exerccio pediu a probabilidade de, escolhendo uma pessoa adulta ao acaso, ela ser mulher.

Probabilidade tem a ver com a chance de um dado evento ocorrer. Em outras palavras, pede-se a chance de a pessoa escolhida ser uma mulher.

Neste exerccio, todas as pessoas tm a mesma chance de serem escolhidas. Quando isso acontece, a probabilidade dada pela diviso entre o nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis.

possiveiscasosnumero

favoraveiscasosnumeroP

__

__=

Os casos favorveis so aqueles em que estamos interessados. Neste problema, estamos interessados que seja escolhida uma mulher.

Nmero de casos favorveis: 52




Alm disso, temos 100 casos possveis (so 100 adultos na cidade).

Com isso, a probabilidade fica:

%52100

52==P

Gabarito: B

Questo 2 MPOG 2010 [ESAF]

Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora so moradores de um bairro muito antigo que est comemorando 100 anos de existncia. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comisso que ser a responsvel pela decorao da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, trs pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora. Sabendo-se que Denlson no pertence comisso formada, ento a probabilidade de Carlo pertencer comisso , em termos percentuais, igual a:

a) 30 %

b) 80 %

c) 62 %

d) 25 %

e) 75 %

Resoluo.

Vamos listar todas as comisses, representando cada pessoa pela inicial do seu nome. Comisses possveis, excluindo Denlson:

- A, B, C

- A, B, E

- A, C, E

- B, C, E

So 4 comisses possveis. Em trs delas ns temos a participao de Carlo.

So 3 casos favorveis em 4 possveis.

Logo:

%754

3==P

Gabarito: E




1.2. Abordagem frequentista da probabilidade

Quando um experimento pode ser repetido inmeras vezes, dizemos que a probabilidade corresponde frequncia relativa que seria obtida com a repetio do experimento.

Exemplo: seja A o evento que ocorre quando, lanando um dado honesto, obtemos a face 2.

Queremos calcular a probabilidade de A.

=?

Quando lanamos um dado inmeras vezes, razovel esperar que cada face saia em 1/6 das vezes. Quanto mais vezes lanamos, mais a frequncia relativa associada face 2 se aproxima de 1/6.

Idealmente, se lanssemos o dado infinitas vezes, a frequncia relativa seria igual a 1/6.

Por isso dizemos que a probabilidade de A 1/6.

P(A) = 1/6.

Probabilidade abordagem frequentista.

A probabilidade corresponde frequncia relativa que seria obtida em um nmero muito grande de experimentos.

Questo 3 MPOG 2010 [ESAF]

Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcao onde esto trs meninos e no sabe que caminho tomar. Admita que estes trs meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos trs meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele tambm responder que o caminho da direita?

a) 1.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/3.

e) 1/4.

Resoluo.




Imagine que vrios viajantes passem regularmente por esta bifurcao, e que eles nunca saibam qual o caminho correto.

Esta situao aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos ver como se comportam os meninos.

Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre mente e C o menino que pode tanto dizer a verdade quanto mentir.

As possveis maneiras de escolhermos os dois meninos so: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Todas estas combinaes so equiprovveis.

Nestes 60 dias, temos:

- AB ocorreu 10 vezes

- AC ocorreu 10 vezes

- BA ocorreu 10 vezes

- BC ocorreu 10 vezes

- CA ocorreu 10 vezes

- CB ocorreu 10 vezes

Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, ento, em 50% das vezes em que ele foi escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro menino escolhido. E, nas outras 50% das vezes, ele disse o contrrio do que o outro menino escolhido.

Vamos detalhar melhor ento o que acontece nos dias em que C foi escolhido:

- AB ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B do respostas contrrias.

- AC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles do respostas iguais

- em 5 vezes eles do respostas contrrias

- BA ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B do respostas contrrias.

- BC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles do respostas iguais


- CA ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles do respostas iguais


- CB ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles do respostas iguais


Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a probabilidade de duas respostas iguais de:




3

1

60

20==P

Gabarito: D

1.3. Probabilidade condicional

Voltemos ao nosso dado de seis faces. o mesmo dado honesto, de material homogneo. S que agora vamos pintar as faces. As faces tero as seguintes cores:

Cor azul: faces 1 e 2.

Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6.

Maria lanou esse nosso dado. Joo no viu o resultado e quer calcular qual a probabilidade de ter sado um mltiplo de 3.

Pergunta: Qual a probabilidade de ter sado um mltiplo de 3?

Resposta: 6

2.

exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces tm a mesma chance de sair. Os casos favorveis so: 3 e 6. Os casos possveis so: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A probabilidade fica:

6

2

_

_== P

possveiscasos

favorveiscasosP

Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lanou esse nosso dado. Joo no viu o resultado. Maria fala para Joo: Saiu uma face de cor verde.

A est a grande diferena: agora Joo sabe que saiu uma face verde. uma informao nova! Esta informao vai mudar completamente o clculo. Isto porque j sabemos, com certeza, que no saiu uma face azul.

Queremos calcular a probabilidade de ter sado um mltiplo de 3 sabendo que a face que saiu verde. Esta questo pode ser enunciada como:

Qual a probabilidade do resultado do lanamento ser mltiplo de trs dado que saiu uma

face verde?

Ou seja, a informao de que saiu uma face verde dada, sabida. uma informao conhecida e que deve ser usada.

Se fssemos escrever os casos possveis, teramos:

Casos possveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Observe que mudaram os casos possveis. Isto porque sabemos que no possvel terem sado os nmeros 1 e 2. Temos certeza de que o resultado foi o de uma face verde.




J os casos favorveis so os mesmos. Continuamos interessados nas faces 3 e 6. E estas duas faces podem ter sado, dado que ambas so da cor verde.

Casos favorveis: 3,6.

Fazendo o clculo, temos:

Nmero de casos possveis: 4

Nmero de casos favorveis: 2

E a probabilidade fica:

4

2

_

_== P

possveiscasos

favorveiscasosP

A probabilidade agora de dois quartos. Note como uma informao nova alterou o clculo da probabilidade. Dizemos que a probabilidade condicional porque teve uma condio a ser obedecida. No era simplesmente calcular a probabilidade de sair um mltiplo de 3. Foi dada uma condio, uma informao nova. Justamente esta condio alterou o clculo da probabilidade.

Agora vejamos alguns exerccios para aplicarmos o que acabamos de aprender.

Questo 4 Petrobras 2008/1 [CESGRANRIO]

A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequncias. No h observaes coincidentes com os extremos das classes.

Uma pessoa com mais de 50 kgf ser escolhida ao acaso. A probabilidade de que o peso dessa pessoa esteja entre 60 kgf e 80 kgf , aproximadamente,

(A) 65%

(B) 63%

(C) 60%

(D) 58%

(E) 55%

Resoluo.

Vamos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ter entre 60 e 80 kgf.




Classes Frequncia

40 a 50 2

50 a 60 5

60 a 70 7

70 a 80 8

80 a 90 3

total 25

Temos 15 casos favorveis (ver linhas em vermelho), em 25 possveis. A probabilidade dada por:

25

15=P

Ocorre que foi dada uma condio. A condio que a pessoa escolhida tem mais de 50 kgf.

Ou seja, queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ter entre 60 e 80 kfg, DADO que ela tem mais que 50 kgf.

Esta informao nova vai mudar o clculo da probabilidade. Por isso, dizemos que se trata de uma probabilidade condicional.

Temos que rever nossos casos possveis. Agora, os casos possveis so apenas os listados abaixo:

Classes Frequncia

50 a 60 5

60 a 70 7

70 a 80 8

80 a 90 3

total 23

Temos 15 casos favorveis (linhas em vermelho) em 23 possveis. A probabilidade dada por:

%22,6523

15=P

Gabarito: A

Ento probabilidade condicional apenas isso. Temos que obedecer condio fornecida. Isso feito revendo os casos possveis e favorveis. Temos que excluir aqueles casos que no obedecem condio estabelecida.

Texto para Questo 5 e Questo 6.

Em um grupo de 40 homens e 60 mulheres, a probabilidade de um homem ser mope 0,05 e a probabilidade de uma mulher ser mope 0,1.

Questo 5 Petrobras 2005 [CESGRANRIO]

Selecionando uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de ela ser mope?

(A) 0,05




(B) 0,06

(C) 0,07

(D) 0,08

(E) 0,09

Resoluo.

Temos 100 pessoas, assim distribudas:

- 40 homens

- 60 mulheres.

5% dos homens so mopes.

5% 40 = 2

So 2 homens mopes.

10% das mulheres so mopes.

10% 60 = 6

So 6 mulheres mopes.

Com isso, temos 100 pessoas, assim distribudas:

2 homens mopes

38 homens no mopes

6 mulheres mopes

34 mulheres no mopes

Estamos interessados nos mopes. Temos 8 casos favorveis, assim distribudos:

2 homens mopes

6 mulheres mopes


=8

100= 8%

Gabarito: D


Selecionado um mope ao acaso qual a probabilidade de ele ser homem?

(A) 0,25




(B) 0,27

(C) 0,30

(D) 0,33

(E) 0,40

Resoluo.

A condio dada : o escolhido mope. Nossos casos possveis agora so 8, assim distribudos:

2 homens mopes

38 homens no mopes

6 mulheres mopes

34 mulheres no mopes

Em 8 casos possveis, temos 2 favorveis.

=2

8= 0,25

Gabarito: A

Questo 7 TRT 2 REGIO 2008 [FCC]

O nmero de peas vendidas diariamente numa loja pode ser considerada como uma varivel aleatria X com a seguinte distribuio de probabilidades:

Sabendo que em um determinado dia o nmero de peas vendidas no foi nulo, ento a probabilidade de ter sido inferior a 4 igual a

(A) 75,00%

(B) 80,00%

(C) 93,75%

(D) 95,25%

(E) 96,35%

Resoluo:

Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos que:

- em 20% dos dias, no so vendidas peas.




- em 25% dos dias, vendida 1 pea

- em 40% dos dias, so vendidas 2 peas

- em 10% dos dias, so vendidas 3 peas

- em 5% dos dias, so vendidas 4 peas.

Assim, a cada 100 dias, temos:

- 20 dias com 0 peas vendidas

- 25 dias com 1 pea vendida



- 5 dias com 4 peas vendidas.

Escolhe-se um dia aleatoriamente. dado que, neste dia, o nmero de peas vendidas foi diferente de zero. Com isso, revemos nossos casos possveis:





- 5 dias com 4 peas vendidas.

So 80 dias possveis.

Pede-se a probabilidade de o nmero de peas vendidas ser inferior a 4. Esto nesta situao os seguintes dias:




So 75 casos favorveis.

A probabilidade fica:

=75

80= 93,75%

Gabarito: C




1.4. Frmula da probabilidade condicional

Outra forma de resolver exerccios de probabilidade condicional por meio de uma frmula.

Considere o lanamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a probabilidade de ter sado um mltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento?

A probabilidade de 2/6. Certo? Temos dois casos favorveis (3 e 6) em seis casos possveis.

Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado lanado. Antes de vermos o resultado, algum nos informa: saiu um nmero maior que 4.

Pronto. Agora temos uma informao nova.

Queremos calcular a probabilidade de ter sado um mltiplo de 3 DADO que saiu um nmero maior que 4. Temos uma informao nova, que devemos utilizar.

Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possveis (5 e 6). E, dentre os casos possveis, apenas um nos favorvel (6). Neste segundo caso, a probabilidade igual a 1/2.

Se fssemos resumir isto em uma frmula, ficaria assim:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

=

Nosso espao amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Temos dois eventos.

Se lanarmos o dado e obtivermos uma face mltipla de 3, temos o evento A. O evento A um subconjunto do espao amostral.

A = {3, 6}

Se lanarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento B.

B = {5, 6}.

A interseco dos dois conjuntos acima dada por:

A B = {6}

O smbolo que parece um U de cabea para baixo indica a interseco. Neste exemplo, est associado ao resultado do lanamento do dado que , simultaneamente, maior que 4 e mltiplo de 3.

As probabilidades relacionadas so:

)(AP a probabilidade de o evento A ocorrer.

)(BP a probabilidade de o evento B ocorrer.

)( BAP a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O smbolo que

parece um U de cabea para baixo indica interseco. Ou seja, estamos interessados nos casos em que os dois eventos ocorrem simultaneamente.




)|( BAP a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. a

probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B.

No caso do lanamento do dado, ficamos com:

6

2)( =AP (casos favorveis: 3, 6; casos possveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

6

2)( =BP (casos favorveis: 5, 6; casos possveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

6

1)( = BAP (caso favorvel: 6 s o nmero 6 , ao mesmo tempo, maior que 4 e

mltiplo de 3; casos possveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

Aplicando a frmula:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

=

2

1

6

2

6

1)|( ==BAP

Portanto, a probabilidade de sair um mltiplo de 3 dado que saiu um nmero maior que 4 de 50%.

Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a frmula.

O nosso espao amostral representado pelo retngulo azul. Nele, temos todos os possveis resultados do lanamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}.




Dentro do espao amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto vermelho representa o evento A (mltiplos de 3). O conjunto verde representa o evento B (maiores que 4).

dado que o resultado do lanamento do dado maior que 4. Ou seja, j sabemos que o resultado, qualquer que seja, deve estar dentro do conjunto verde.

Todos os resultados fora do conjunto verde so descartados. como se a condio estabelecida modificasse nosso espao amostral.

Nosso espao amostral modificado se reduziria ao conjunto verde.

Agora, a nica possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao nmero que, alm de ser mltiplo de 3, tambm maior que 4. Ou seja, corresponde ao elemento que est na interseco entre A e B.




Ou seja, temos uma condio (o resultado maior que 4, ou seja, ocorreu o evento B). Graas a esta condio, os casos favorveis esto relacionados interseco e os casos possveis esto relacionados ao conjunto B.

Logo, a probabilidade fica casos favorveis sobre casos possveis.

Vou indicar por n( ) o nmero de elementos de cada conjunto.

A probabilidade condicional fica:

)(

)()|(

Bn

BAnBAP

=

Dividindo o numerador e o denominador pelo nmero de elementos do espao amostral (S):

)()(

)()()|(

SnBn

SnBAnBAP

=

O que conduz a:

)(

)()|(

BP

BAPBAP

=

Dizemos que o evento A independente do evento B quando )()|( APBAP = . Ou seja, o

fato de B ter ocorrido no influi em nada na probabilidade de A.

Frmula da probabilidade condicional.

)(

)()|(

BP

BAPBAP

=




Se A e B so independentes, ento:

)()|( APBAP = e )()|( BPABP =

interessante observar que, a partir da frmula da probabilidade condicional, podemos chegar frmula da probabilidade da interseco de dois eventos:

)()|()()(

)()|( BPBAPBAP

BP

BAPBAP =

=

Probabilidade da interseco de dois eventos.

% = |% %

Um resultado interessante para eventos independentes o seguinte:

|% = %

%I

Mas, se os eventos so independentes, ento o fato de B ocorrer no altera a probabilidade de A:

|% = II

Substituindo II em I:

|% = %

%

= %

%

% = %

Ou seja, quando dois eventos so independentes, a probabilidade da interseco o produto das probabilidades.

Se A e B so independentes, ento:

% = %

Para eventos independentes, a probabilidade da interseco o produto das probabilidades.




Questo 8 CGU/2008 [ESAF]

A e B so eventos independentes se:

a) )()()( BPAPBAP +=

b) )()()( BPAPBAP =

c) )()()( BPAPBAP =

d) )()()( ABPAPBAP +=

e) )()()( BPAPBAP =

Resoluo:

Aplicao direta da frmula vista.

Gabarito: E.

Questo 9 STN 2008 [ESAF]

Dois eventos A e B so ditos eventos independentes se e somente se:

a) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for nula

b) a ocorrncia de B alterar a probabilidade de ocorrncia de A.

c) a ocorrncia de A alterar a probabilidade de ocorrncia de B.

d) a ocorrncia de B no alterar a probabilidade de ocorrncia de A.

e) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for igual a 1.

Resoluo:

Aplicao direta do conceito visto acima.

Gabarito: D

Questo 10 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO]

Dois eventos de um espao amostral so independentes quando

(A) a informao de que um deles ocorreu no altera a probabilidade de o outro ocorrer.

(B) um deles ocorrendo, o outro, necessariamente, no vai ocorrer.

(C) so disjuntos, ou seja, a probabilidade de ocorrerem juntos negativa.

(D) so negativamente correlacionados.

(E) tm a mesma probabilidade de acontecer.

Resoluo:




Aplicao direta do conceito visto acima.

Gabarito: A

Questo 11 ANP 2008 [CESGRANRIO]

A tabela abaixo mostra a distribuio de frequncia dos vinte empregados de uma empresa, de acordo com as suas idades. Dois empregados diferentes so escolhidos em sequncia, aleatoriamente, para representar a empresa num determinado evento. Qual a probabilidade de que ambos tenham 34 anos?

(A) 5/20

(B) 5/34

(C) 2/20

(D) 2/34

(E) 1/19

Resoluo.

Seja A o evento que ocorre quando o primeiro funcionrio escolhido aleatoriamente tem 34 anos. Seja B o evento que ocorre quando o segundo funcionrio escolhido aleatoriamente tem 34 anos. O exerccio pediu:

?)( = BAP

Aplicando a frmula:

)()()( APABPABP =

Vamos calcular a probabilidade do evento A. So 5 casos favorveis (5 funcionrios com 34 anos) em 20 possveis.

20

5)( =AP

Agora vamos calcular a probabilidade de B dado A. Ou seja, queremos saber a probabilidade do segundo funcionrio escolhido ter 34 anos, dado que o primeiro escolhido tambm tem 34 anos.




Neste caso, temos apenas 4 casos favorveis (pois uma das pessoas com 34 anos j foi escolhida). E temos apenas 19 casos possveis.

19

4)( =ABP

Logo:

)()()( APABPABP =

19

1

19

4

20

5)( == ABP

Gabarito: E

Questo 12 CEB 2009 [UNIVERSA]

Anemia ferropriva o tipo de anemia mais comum e causada pela deficincia de ferro (sideropnia). Nesse tipo de anemia, a ingesto de ferro est menor que o mnimo necessrio para as atividades do organismo que precisam de ferro. Considere um estudo de anemia ferropriva realizado que gerou os seguintes dados:

O Valor Preditivo Positivo (VPP) a probabilidade de o indivduo ser portador da doena, dado que o exame (teste) deu positivo. Para os resultados do estudo sobre anemia ferropriva, tem-se que VPP igual a

(A) 0,38

(B) 0,47

(C) 0,63

(D) 0,70

(E) 0,88

Resoluo.

Se tivssemos que calcular apenas a probabilidade de o indivduo ter a doena, teramos.

Casos favorveis: 80 (so 80 doentes).

Aqui cabe um comentrio. Quando usamos a expresso casos favorveis, estamos indicando os casos em que temos interesse. No h qualquer juzo de valor (bom/ruim, certo/errado, etc). No estamos dizendo que ter a doena seja algo bom ou ruim, certo? Apenas indicamos que nosso interesse recai sobre aqueles que esto doentes.

Continuando.




Casos possveis: 260 (so 260 pessoas ao todo).

A probabilidade seria:

=80

260

Contudo, foi dada uma condio. dado que o teste deu positivo.

Com isso, devemos descartar as pessoas para as quais o teste deu negativo, pois elas no obedecem condio informada.

Agora temos 70 doentes em 100 pessoas. A probabilidade condicional fica:

=70

100= 70%

Gabarito: D

Poderamos tambm ter usado a frmula da probabilidade condicional.

Seja A o evento que ocorre quando, selecionando uma pessoa aleatoriamente, ela tem a doena.

Seja B o evento que ocorre quando, selecionando uma pessoa aleatoriamente, seu teste deu positivo.

Temos:

=80

260

% =100

260

% =70

260

Ficamos com:

|% = %

%=

70/260

100/260= 70%




1.5. Probabilidade da unio de dois eventos

Ns at j vimos alguns exerccios em que calculamos a probabilidade da unio de dois eventos. S que no usamos nenhuma frmula. Lembram do exemplo do dado, l do comeo do tpico de probabilidades? Queramos calcular a probabilidade de sair um mltiplo de 3. Pois bem, seja A o evento que ocorre quando, lanando um dado honesto, obtm-se uma face mltipla de 3.

Sabemos que:

A= {3, 6}.

O espao amostral dado por:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Na ocasio, para calcularmos a probabilidade de A, dividimos o nmero de elementos do evento (=2) pelo nmero de elementos do espao amostral (=6).

Haveria outra possibilidade de realizarmos este clculo. Observe que o conjunto A ainda pode ser decomposto em mais conjuntos.

Seja B o evento que ocorre quando, lanando o dado, obtm-se a face 3. Seja C o evento que ocorre quando se obtm a face 6.

B = {3}

C = {6}

Podemos dizer que:

CBA =

O evento A igual unio entre os eventos B e C. Ou seja, a probabilidade de sair um mltiplo de 3 (=evento A) equivalente probabilidade da unio dos eventos sair 3 e sair 6.

Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento A, poderamos ter calculado as probabilidades de B e C e, em seguida, usando a probabilidade da unio de dois eventos, obtido a probabilidade de A.

Logo abaixo veremos que existe uma frmula para o clculo da unio de dois eventos. Nem sempre a gente precisa dela. Alis, em grande parte dos exerccios, d para ir bem sem ela. Mas bom saber que existe.

Antes de entrarmos na frmula, alguns comentrios. O evento A pde ser decomposto em outros dois eventos (B e C). J os eventos B e C no podem mais ser decompostos. Cada um deles formado por um nico elemento. Dizemos que B e C so eventos elementares.

Exemplo 1

Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. So disponibilizados cursos de ingls e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos.

Atualmente temos a seguinte situao:




30 alunos fazem ingls.

20 alunos fazem ingls e espanhol.

35 alunos fazem espanhol.

25 alunos no fazem nem ingls nem espanhol.

Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar ingls ou espanhol?

Resoluo:

Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa ingls, temos o evento I. Quando o aluno sorteado cursa espanhol, temos o evento E.

Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer ingls ou espanhol. Ou seja, estamos interessados naqueles alunos que fazem s ingls, que fazem s espanhol e que fazem ingls e espanhol.

Estamos interessados na unio dos eventos E e I.

?)( = IEP

Esse smbolo que parece um U o smbolo de unio. Indica que estamos interessados nos casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos interessados nos alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas.

Vamos representar graficamente os alunos dessa escola.

Dentro do crculo azul temos os trinta alunos que fazem ingls. Dez deles esto dentro do circulo azul, mas no esto dentro do crculo vermelho.

Dentro do crculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles esto dentro do crculo vermelho, mas no esto dentro do crculo azul.

Outros vinte esto nos dois crculos simultaneamente. So os que fazem ingls e espanhol.

E os 25 que esto de fora dos dois crculos no fazem ingls nem espanhol.

Casos favorveis so aqueles que esto em pelo menos um dos dois crculos. Ou seja, so os alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. So 45 casos favorveis.

alunos que fazem

espanholalunos que

fazem ingles

10 20 15

25




E casos possveis so todos os alunos da escola. So 45, que fazem pelo menos um curso de idioma, e mais 25, que no fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos.

A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer ingls ou espanhol :

70

45)( = IEP

Ok, agora vejamos a frmula para calcular a probabilidade da unio de dois eventos.

A probabilidade do aluno sorteado cursar ingls :

70

30)( =IP

A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol :

70

35)( =EP

A probabilidade do aluno sorteado cursar ingls e espanhol, simultaneamente, :

70

20)( = IEP

Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar ingls ou espanhol, precisamos saber quantos so os casos favorveis.

So 30 alunos que fazem ingls. So 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber quantos alunos fazem ingls ou espanhol, somamos esses dois valores.

Nmero de alunos que fazem ingls ou espanhol: 30 + 35 = 65

S que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que h alunos que fazem, ao mesmo tempo, ingls e espanhol. Esses alunos foram contados duas vezes. So 20 alunos que foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que tirar 20.

Nmero de alunos que fazem ingls ou espanhol: 30 + 35 20

Pronto. Achamos o total de casos favorveis. Se dividirmos esse valor pelo total de casos possveis, achamos a probabilidade procurada.

70

203530)(

+= IEP

70

20

70

35

70

30)( += IEP

)()()()( IEPIPEPIEP +=




Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da unio dos dois eventos :

)()()()( BAPBPAPBAP +=

Quando A e B no tm elementos em comum, isto , quando a interseco entre ambos nula, dizemos que so eventos mutuamente excludentes.

Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos:

0)( = BAP

Neste caso, a probabilidade da unio fica:

)()()( BPAPBAP +=

Probabilidade da unio de dois eventos.


Se A e B forem mutuamente excludentes, a frmula se reduz a:

)()()( BPAPBAP +=

Questo 13 MPU/2004 [ESAF]

Quando Lgia pra em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nvel de leo 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a presso dos pneus 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, leo e pneus, 0,04.Portanto, a probabilidade de Lgia parar em um posto de gasolina e no pedir nem para verificar o nvel de leo e nem para verificar a presso dos pneus igual a

a) 0,25

b) 0,35

c) 0,45

d) 0,15

e) 0,65.

Resoluo:

Primeiro vamos usar a frmula.

Vamos calcular a probabilidade de Lgia verificar pelo menos um dos dois (leo/pneu). Dizendo de outra forma: vamos calcular a probabilidade de Lgia verificar o leo ou o pneu.




Lgia vai ao posto de gasolina em diversos dias. Selecionando-se ao acaso um desses dias, ocorre o evento A quando, no dia escolhido, ela verifica o leo. Ocorre o evento B quando, no dia sorteado, ela verifica o pneu.

Temos:


O enunciado disse que:

28,0)( =AP

11,0)( =BP

04,0)( = BAP

Portanto:


35,004,011,028,0)( =+= BAP

A probabilidade de Lgia verificar pelo menos um dos dois (leo ou pneu) de 35%.

Conclumos que a probabilidade de ela verificar nenhum dos dois :

%6535,01 ==P

Gabarito: E.

Outra resoluo, agora sem frmula.

Lgia foi ao posto durante 100 dias.

Em 28 dias ela chegou o leo. Em 11 dias ela checou os pneus. Em 4 dias ela checou os dois juntos.

Vamos representar graficamente o que ocorreu.

Em 4 dias, Lgia verifica o pneu e o leo.

Em 28 dias ela verifica o leo. J assinalamos 4 desses 28 dias. Faltam 24.

4

dias em que

verificou leo dias em que

verificou pneu




Em 11 dias ela verifica os pneus. J assinalamos 4 desses 11 dias. Faltam 7.

Ao todo so 100 dias. J assinalamos 35. Faltam 65, em que Lgia no verifica pneus nem leo.

Em 65 dos 100 dias ela no verifica pneus nem leo. A probabilidade procurada, portanto, de 65%.

24 4

dias em que


verificou pneu

24 74

dias em que


verificou pneu

24 74

dias em que


verificou pneu

65




Questo 14 APEX 2006 [UNIVERSA]

Quando Joo vai a um restaurante, a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa igual a 0,58, a probabilidade de ele consumir caf expresso igual a 0,22, e a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa e caf expresso igual a 0,16. Sendo assim, a probabilidade de Joo ir a um restaurante e no consumir nenhuma sobremesa nem caf expresso est entre:

(A) 0,10 e 0,20.

(B) 0,21 e 0,30.

(C) 0,31 e 0,40.

(D) 0,41 e 0,50.

(E) 0,51 e 0,60

Resoluo.

Seja A o evento que ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente uma ida de Joo ao restaurante, ele come sobremesa. Seja B o evento anlogo para o consumo de caf.

O exerccio nos indica que:

= 0,58; % = 0,22; % = 0,16

Com isso, podemos achar a probabilidade de ele consumir sobremesa ou caf:

% = + % %

% = 0,58 + 0,22 0,16 = 0,64

A probabilidade de ele consumir caf ou sobremesa 64%. Ou ainda: a probabilidade de ele consumir pelo menos um dos dois (caf ou sobremesa) de 64%.

O exerccio pede a probabilidade de no consumir caf nem sobremesa.

Se a probabilidade de ele consumir alguma coisa 64%, ento a probabilidade de no consumir :

100% 64% = 36%

Gabarito: C


Os eventos A e B so independentes e suas probabilidades so P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A B)?

(A) 0,5

(B) 0,6

(C) 0,7

(D) 0,8

(E) 0,9




Resoluo.

Como os eventos so independentes, ento:

2,04,05,0)()()( === BPAPBAP

Agora podemos achar a probabilidade da unio:


7,02,04,05,0)( =+= BAP

Gabarito: C

Questo 16 TJ PI 2009 [FCC]

Em uma entrevista realizada com 4.000 pessoas, foi inquirida de cada uma sua posio em relao a um determinado projeto. Todas responderam e cada uma deu uma e somente uma das duas posies conforme apresentado pela tabela abaixo:

A porcentagem de pessoas que so contra o projeto ou so mulheres de

(A) 37,5%.

(B) 47,5%.

(C) 52,5%.

(D) 57,5%.

(E) 80,0%.

Resoluo:

Seja A o evento que ocorre quando a pessoa escolhida mulher.

Seja B o evento que ocorre quando a pessoa escolhida contra o projeto.

Temos:

=1.700

4.000

% =2.300

4.000

% =800

4.000

Logo:

% = + % %




% =1.700 + 2.300 800

4.000= 80%

Gabarito: E


Seja P(X) a probabilidade de ocorrncia do evento X. Se P(A) = 1/2, P(B) = 7/10 , )( BAP

= p e pBAP 2)( = . Ento, o valor de p igual a

(A) 60%.

(B) 50%.

(C) 40%.

(D) 30%.

(E) 20%.

Resoluo:

% = + % %

2. =1

2+

7

10 .

3. =1

2+

7

10

3. = 0,5 + 0,7 = 1,2

. =1,2

3= 0,4 = 40%

Gabarito: C

Questo 18 CGU 2008 [ESAF]

Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando igual a:

a) 0,04

b) 0,40

c) 0,50

d) 0,45

e) 0,95

Resoluo:




Seja A o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra Ricardo. Seja B o evento equivalente, quando Paulo encontra Fernando.

Temos:

4,0)( =AP

1,0)( =BP

05,0)( = BAP

A pergunta :

?)( = BAP

Aplicando a frmula:


45,005,01,04,0)( =+= BAP

Gabarito: D

Questo 19 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO]

Em um posto de combustveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vo colocar combustvel, 130 vo completar o leo lubrificante e 120 vo calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustvel e completam o leo; 80 colocam combustvel e calibram os pneus e 50 colocam combustvel, completam o leo e calibram os pneus. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o leo e calibrar os pneus?

(A) 0,10

(B) 0,20

(C) 0,25

(D) 0,40

(E) 0,45

Resoluo.

A frmula da probabilidade da unio pode ser estendida para mais de dois eventos. exatamente o caso deste exerccio.

Ocorre que, quando o nmero de eventos aumenta, a frmula vai ficando cada vez maior. Nestes casos, melhor tentarmos usar um diagrama para representar os eventos.

Portanto, vamos representar os clientes em um diagrama.

50 clientes colocam combustvel, completam o leo e calibram pneus:




80 clientes colocam combustvel e calibram pneus. Destes 80, j preenchemos 50. Faltam 30.

70 clientes colocam combustvel e completam o leo. J alocamos 50 destes 70 clientes. Faltam 20.

210 clientes colocam combustvel. J alocamos em nosso diagrama 100 destes clientes (=30+50+20). Faltam 110.




No sabemos quantos clientes calibram pneu e completam o leo. Vamos chamar esta quantidade de x.

130 clientes completam o leo. J alocamos 70+x clientes. Faltam:

130 70 + / = 60 /

120 clientes calibram o pneu. J alocamos 80+x. Faltam:

120 80 + / = 40 /




O total de clientes 300.

40 / + 60 / + 110 + 30 + 20 + / + 50 = 300

310 / = 300

/ = 10

Ficamos com:

Pede-se a probabilidade de um cliente completar leo e calibrar pneus.

Os casos favorveis so:

- 10 clientes que apenas calibram pneus e completam leo

- 50 clientes que, alm das atividades acima, tambm colocam combustvel.


Ficamos com:

60

300= 0,2

Gabarito: B

Questo 20 TRT 3 REGIO 2009 [FCC]

A tabela abaixo apresenta a distribuio conjunta das frequncias das variveis tipo de processo (Y) e setor (X), referente aos processos autuados, em um perodo analisado, numa repartio pblica:




A porcentagem dos processos autuados no Setor B ou que no so do tipo III

(A) 92,5%

(B) 87,5%

(C) 62,5%

(D) 37,5%

(E) 32,5%

Resoluo:

Em vez de usarmos a frmula da probabilidade da unio, vamos contar o nmero de casos possveis e favorveis.

Casos favorveis: processos do setor B, ou dos tipos I e II:

Nmero de casos favorveis:

100 + 120 + 100 + 30 + 20 = 370

A probabilidade fica:

=370

400= 92,5%

Gabarito: A

Questo 21 TRF 2 REGIO 2007 [FCC]

Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que 4,0)( =AP e

7,0)( = BAP e pBP =)( . Os valores de p que fazem com que A e B sejam mutuamente

exclusivos e A e B sejam independentes so, respectivamente,

a) 0,3 e 0,5

b) 0,4 e 0,2

c) 0,5 e 0,2

d) 0,6 e 0,2

e) 0,3 e 0,4

Resoluo:




Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, temos a seguinte condio:

)()()( BPAPBAP +=

Substituindo os valores:

3,04,07,0 =+= pp

Para que A e B sejam independentes, temos a seguinte condio:

)()()( BPAPBAP =

Sabendo disso, vamos partir da probabilidade da unio de A e B.


)()()()()( BPAPBPAPBAP +=

Substituindo os valores:

5,03,06,04,04,07,0 ==+= pppp

Gabarito: A

Questo 22 SEFAZ RJ 2009 [FGV]

Os eventos A e B so tais que P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a nica alternativa que apresenta um possvel valor para P(A B).

(A) 0,13.

(B) 0,22.

(C) 0,31.

(D) 0,49.

(E) 0,54.

Resoluo:

Como vimos no comeo deste tpico, a representao dos conjuntos em um diagrama acaba guardando perfeita relao com as probabilidades envolvidas. Podemos, portanto, representar nos diagramas diretamente as probabilidades.

Seja x a probabilidade da interseco entre A e B. Temos:




Todas as regies acima correspondem a probabilidades. Como no existe probabilidade negativa, ento:

4,004,0 xx

Se somarmos todas as probabilidades acima, devemos ter, no mximo, 100% (no existe probabilidade superior a 1).

1)9,0()4,0( ++ xxx

13,1 x

3,0x

Com isso, conclumos que x dever ser maior ou igual a 30%, para que a soma das probabilidades no supere 100%. Alm disso, x deve ser menor ou igual a 40%, para que no haja probabilidades negativas.

4,03,0 x

A nica alternativa possvel a letra C (pois 31% est entre 30% e 40%)

Gabarito: C


Sejam A e B dois eventos definidos em um espao amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A B) = 0,14. Ento, pode-se dizer que A e B so eventos:

(A) mutuamente exclusivos.

(B) complementares.

(C) independentes.

(D) condicionais.

(E) elementares.

Resoluo.




Letra A: Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, a interseco deveria ser nula (o que implica em probabilidade zero). No o que ocorre, pois P(A B) = 0,14.

Letra B: Ainda no estudamos eventos complementares. Por hora, fiquem com a informao de que, se A e B so complementares, ento a soma de suas probabilidades igual a 100%. No o que ocorre (0,7 + 0,2 = 0,9).

Letra C: Para que A e B sejam independentes, a probabilidade da interseco igual ao produto das probabilidades.

2,07,0)()( = BPAP

= 0,14

= )( BAP

Conclumos que os dois eventos so independentes.

Letra D: no faz sentido falar em eventos condicionais.

Letra E: Se A e B fossem elementares, eles no poderiam ser divididos em outros eventos menores. Mas, como a prpria questo informou, existe o evento BA , com probabilidade no nula. Este evento tem probabilidade inferior s probabilidades de A e de B. Logo, um evento contido nos anteriores. Isso j permite concluir que A e B no so elementares.

Gabarito: C


Sejam A, B e C trs eventos quaisquer definidos em um espao amostral S. Ento, P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) refere-se probabilidade da ocorrncia de:

(A) um ou dois dos eventos.

(B) exatamente um dos eventos.

(C) pelo menos um dos eventos.

(D) no mximo dois eventos.

(E) pelo menos dois eventos.

Resoluo:

Vamos novamente fazer um diagrama das probabilidades.




Vamos calcular cada parcela da soma:

- P(A): fedb +++

- P(B): gfdc +++

- P(C): dcba +++

- P(A B): fd +

- P(A C): db +

- P(B C): dc +

Fazendo a soma, temos:

Parte positiva Parte negativa

fedb +++

gfdc +++

dcba +++

fd +

db +

dc +

Aps as simplificaes, temos:

bagcfe +++++

Vamos destacar esta rea no diagrama.




O nico pedao que ficou de fora foi a interseco dos trs eventos. Ou seja, a probabilidade acima corresponde probabilidade de ocorrer exatamente um evento ( gea ++ ) ou

exatamente dois eventos ( fcb ++ ). No h alternativa que contemple esta resposta.

Estamos diante de uma impreciso. Neste caso, no brigue com o enunciado. Aceitando imprecises, a alternativa mais adequada seria a letra A, que menciona a probabilidade de ocorrerem um ou dois eventos.

Qual o problema desta redao? O problema que, se ocorrem trs eventos, ento ocorrem dois eventos. Ou seja, a probabilidade indicada na letra A deveria contemplar, tambm, a interseco dos trs eventos.

Gabarito: A


A tabela abaixo apresenta a distribuio de 1.000 pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, Casado e Vivo).




Uma pessoa selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo Feminino ou Viva igual a:

(A) 0,6.

(B) 0,2.

(C) 0,4.

(D) 0,7.

(E) 0,5.

Resoluo.

Seja A o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela do sexo feminino.

Seja B o evento que ocorre quando, selecionando aleatoriamente uma pessoa, ela viva.

A partir da tabela, temos:

000.1

400)( =AP

000.1

200)( =BP

000.1

100)( = BAP

Logo:


5,0000.1

100200400)( =

+= BAP

Gabarito: E

1.6. Probabilidade do evento complementar

Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os resultados possveis o espao amostral.

Por exemplo, o lanamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

O espao amostral :

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lanamo-lo duas vezes. O espao amostral :

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}




Dizemos que dois eventos so complementares quando, simultaneamente, temos:

a unio dos dois eventos resulta no espao amostral

os dois eventos so mutuamente excludentes (eles no tm elementos em comum; a interseco entre ambos vazia)

Ou seja, qualquer resultado possvel estar contido em dos dois eventos. Os dois eventos, juntos, conseguem englobar todos os resultados possveis. E mais que isso: no h qualquer resultado que satisfaa, simultaneamente, aos dois eventos.

Com alguns exemplos fica mais fcil.

Novamente, considere o resultado do lanamento de um dado.

Seja A o evento sair nmero par. Seja B o evento sair nmero mpar.

Os eventos A e B, unidos, englobam todas as possibilidades. No tem como lanar um dado e dar um resultado que no seja um nmero par e no seja um nmero mpar.

Alm disso, no h interseco entre os dois eventos. No tem nenhum resultado de um dado que seja, ao mesmo tempo, par e mpar.

Dizemos que os eventos A e B so complementares.

Ainda em relao ao lanamento do dado.

Seja C o evento sair um nmero maior ou igual a 4. Seja D o evento sair um nmero menor que 4.

Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possveis. No d para lanar um dado e obter um resultado que no seja maior ou igual a 4 nem menor que 4.

Alm disso, no h nenhum resultado que pertena ao mesmo tempo aos dois eventos.

Os eventos C e D so complementares.

Continuemos com o lanamento do dado.

Seja E o evento sair um nmero menor que 5. Seja F o evento sair um nmero maior que 3.

Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possveis.

Mas os dois eventos no so complementares. Existe um resultado que pertence aos dois eventos. O resultado 4 maior que 3 e tambm menor que 5.

Ainda em relao ao lanamento do dado.

Seja G o evento sair um nmero menor que 4. Seja H o evento sair um nmero maior que 4.




G e H no tm elementos em comum. S que no englobam todos os casos possveis. O resultado 4 no nem menor que 4 nem maior que 4. Este resultado no est contemplado em nenhum dos dois eventos. G e H no so complementares.

Geralmente o evento complementar indicado por uma barra.

Continuemos com o lanamento do dado. Seja Z o evento sair um mltiplo de 3. O

evento complementar de Z indicado por: Z

Z o evento no sair um mltiplo de 3.

Note que Z e Z , juntos, englobam todos os casos. Alm disso, no tm elementos em comum. So eventos complementares.

Agora vem o que interessa para gente. Sejam A e A dois eventos complementares.

Vamos calcular a probabilidade da unio desses dois eventos. Usando a frmula da probabilidade da unio, temos:

)()()()( AAPAPAPAAP +=

Mas ns vimos que a interseco entre eventos complementares vazia. Sua probabilidade nula.

0)()()( += APAPAAP

)()()( APAPAAP +=

E ns vimos tambm que a unio entre eventos complementares justamente o espao amostral. A probabilidade de ocorrer o espao amostral sempre igual a 1.

Ficou em dvida?

Considere o lanamento do dado.

O espao amostral o conjunto de todos os resultados possveis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Considere o evento que ocorre quando lanamos o dado e sai um nmero de 1 a 6. Qual a probabilidade deste evento? de 100%. Com certeza, quando lanarmos o dado, vai sair um nmero de 1 a 6. Isto porque esse evento simplesmente igual ao espao amostral. A probabilidade de ocorrer o espao amostral de 100%.

)()()( APAPAAP +=

)()(1 APAP +=

E esse resultado que nos interessa.




Probabilidade do evento complementar:

Sejam A e A dois eventos complementares. Ento:

)()(1 APAP +=

Ou seja:

= 1

A probabilidade do evento complementar algo at bem intuitivo. Ns at j a usamos nesta aula, sem comentar. Uma das vezes em que fizemos isso foi l na fl. 28 (Questo 13).

Sugiro que vocs parem a leitura da aula e dem uma revisada l naquele exerccio. Era uma questo de Tcnico do MPU, em que Lgia ia ao posto e poderia verificar o leo e o pneu.

Naquela ocasio, encontramos a probabilidade de Lgia verificar pelo menos um dos dois (leo/pneu). A probabilidade foi de 35%.

Com isso, conclumos que a probabilidade de ela no verificar nenhum dos dois era de 65%.

Ora, ou Lgia verifica alguma coisa (pneu, leo ou ambos, pneu e leo) ou no verifica nada. No tem outra possibilidade. Portanto, se h 35% de chance de ela verificar alguma coisa, ento h 65% de chance de ela no verificar nada.

So dois eventos complementares. Somando os dois, tem que dar 100%.

Questo 26 TRT 2 REGIAO 2008 [FCC]

A probabilidade de que Antnio esteja vivo daqui a 10 anos igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos 70%. Ento, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos igual a

(A) 30%

(B) 36%

(C) 56%

(D) 38%

(E) 44%

Resoluo:

Seja A o evento que ocorre se Antnio estiver vivo daqui a 10 anos.

= 0,8

Logo, a probabilidade do evento complementar (Antnio estar morto daqui a 10 anos) de:




= 1 = 0,2

Seja B o evento que ocorre se Paulo estiver vivo daqui a 10 anos.

% = 0,7

Logo:

%1 = 1 % = 1 0,7 = 0,3

Para que somente um dos dois esteja vivo daqui a dez anos, devemos ter:

- Antnio vivo e Paulo morto ( %1)

ou

- Antnio morto e Paulo vivo ( %)

Logo, temos que calcular a seguinte probabilidade:

%1 %

Entre colchetes, temos dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade da unio igual soma das probabilidades.

%1 % = %1 + %

Supondo que os eventos so independentes, ou seja, que o fato de Antnio viver (ou morrer) em nada influi na vida de Paulo, temos:

%1 % = %1 + %

= %1 + %

= 0,8 0,3 + 0,2 0,7 = 0,24 + 0,14 = 0,38

Gabarito: D

A probabilidade do evento complementar muito til em determinados tipos de problema em que a probabilidade pedida muito difcil de ser calculada. Nesses casos, desconfie. s vezes mais fcil calcular a probabilidade do evento complementar, o que nos ajuda a resolver a questo.

Segue um exemplo.

Exemplo 2

Lanamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez o nmero 5?

Resoluo:

Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 lanamentos, temos o resultado 5.




Uma primeira forma de resoluo seria listar todos os casos possveis e todos os casos favorveis.

Casos possveis:

1; 1; 1; 1; 1; 1

1; 1; 1; 1; 1; 2

1; 1; 1; 1; 1; 3

[...]

E a lista continuaria com inmeras linhas. Ficar listando todos os casos possveis no d.

Poderamos tentar resolver considerando que o evento A , na verdade, uma unio de vrios eventos.

Precisaramos calcular a probabilidade de:

Sair o nmero 5 exatamente 1 vez

Sair o nmero 5 exatamente 2 vezes





Depois fazemos a unio de todos esses eventos. A probabilidade da unio de todos esses eventos o resultado procurado.

S que isso d um trabalho. S para que fique claro como os eventos acima so difceis de lidar, tomemos o segundo deles. Trata-se do evento que ocorre quando, lanando o dado seis vezes, obtm-se o resultado 5 exatamente duas vezes. Para calcular a probabilidade relacionada, teramos que dividir este evento em diversos outros eventos:

Sair o nmero 5 apenas no primeiro e no segundo lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no primeiro e no terceiro lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no primeiro e no quarto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no primeiro e no quinto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no primeiro e no sexto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no segundo e no terceiro lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no segundo e no quarto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no segundo e no quinto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no segundo e no sexto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no terceiro e no quarto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no terceiro e no quinto lanamento;




Sair o nmero 5 apenas no terceiro e no sexto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no quarto e no quinto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no quarto e no sexto lanamento;

Sair o nmero 5 apenas no quinto e no sexto lanamento.

Depois, teramos que fazer um procedimento anlogo para todos os outros eventos (sair 5 exatamente uma vez; sair 5 exatamente trs vezes; etc).

Vamos procurar outra sada.

O evento pedido no enunciado foi sair 5 pelo menos 1 vez.

Qual seu evento complementar?

Em outras palavras: quando que isso no ocorre? Quando que no sai 5 pelo menos uma vez?

Resposta: quando, em nenhum dos lanamentos, sair o nmero 5.

Vamos chamar este evento de A

Ah, para esse evento complementar bem mais fcil de calcularmos a probabilidade.

Ele a interseco dos seguintes eventos:

No sai 5 no primeiro lanamento

No sai 5 no segundo lanamento

No sai 5 no terceiro lanamento

No sai 5 no quarto lanamento

No sai 5 no quinto lanamento

No sai 5 no sexto lanamento

Todos os eventos acima tm probabilidade de 5/6. E todos eles so independentes. Isto porque o resultado de um lanamento no interfere em nada no resultado de qualquer outro lanamento. Vimos que, quando os eventos so independentes, a probabilidade da interseco igual ao produto das probabilidades.

Ficamos com:

6

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5

6

5)(

==AP

Portanto:

6

6

51)(

=AP

A utilizao do evento complementar facilitou muito as contas.




O enunciado tpico de utilizao do evento complementar geralmente contm expresses como: calcule a probabilidade de tal resultado ocorrer pelo menos uma vez.

Sempre que voc se deparar com algo semelhante, lembre-se de verificar se a utilizao do evento complementar facilita o clculo.

Questo 27 MINISTERIO DA SAUDE 2007 [FCC]

Sabe-se que 3/5 dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 4 pacientes realizarem a cirurgia, a probabilidade de que pelo menos um no sobreviva de:

a) 609/625

b) 544/625

c) 96/625

d) 24/625

e) 16/625

Resoluo:

Pede-se a probabilidade de que pelo menos um paciente morra.

Este o caso clssico de utilizao do evento complementar: quando temos a expresso pelo menos um.

Sempre que aparecer esta expresso, mais fcil calcularmos a probabilidade do evento complementar. Ou seja, vamos pensar justamente no evento que o contrrio do que o solicitado no enunciado.

Seja A o evento pelo menos um paciente morre. Seja A o evento complementar, ou seja, todos os pacientes sobrevivem. O evento complementar uma interseco de 4 eventos:

E1 o primeiro paciente sobrevive

E2 o segundo paciente sobrevive

E3 o terceiro paciente sobrevive

E4 o quarto paciente sobrevive

Quando todos estes quatro eventos ocorrerem simultaneamente (interseco), a ns

teremos o evento A .

Todos esses eventos tm probabilidade de 3/5. E todos eles so independentes. Assim, a probabilidade da interseco se resume ao produto das probabilidades.

4321 EEEEA =

)4()3()2()1()4321( EPEPEPEPEEEEP =




46,06,06,06,06,0)4321( == EEEEP

Ou seja:

000.10

296.16,0)(

4==AP

J calculamos a probabilidade do evento complementar.

Agora fica bem fcil calcular a probabilidade do evento original.

A probabilidade de A fica:

625

544

000.10

704.8

000.10

296.11)( ===AP

Gabarito: B.

Questo 28 BACEN/2006 [FCC]

A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos 1 pagar a sua mensalidade sem atraso :

a) 1 0,955

b) 0,955

c) 4,75 . 0,955

d) 5 . 0,955

e) 1 0,055

Resoluo.

Nesta questo da FCC, queremos calcular a probabilidade de pelo menos um associado pagar a mensalidade sem atraso (ou seja, pagar em dia).

Seja A o evento pelo menos 1 associado paga em dia. Queremos calcular a probabilidade de A . S que calcular esta probabilidade no nada simples.

Qual o evento complementar de A ? o evento todos os associados atrasam o

pagamento. Vamos cham-lo de evento A . Esse evento A uma interseco de vrios eventos. Ele corresponde aos seguintes eventos, quando ocorrem simultaneamente:

O primeiro associado atrasa o pagamento (evento E1)

O segundo associado atrasa o pagamento (evento E2)

O terceiro associado atrasa o pagamento (evento E3)

O quarto associado atrasa o pagamento (evento E4)

O quinto associado atrasa o pagamento (evento E5)

Todos esses eventos tem probabilidade de 5%.




Vamos considerar que todos esses eventos sejam independentes. Ou seja, a probabilidade da interseco o produto das probabilidades.

Ficamos com:

)()()()()()(5432154321

EPEPEPEPEPEEEEEP =

5

54321 05,005,005,005,005,005,0)( == EEEEEP

Assim, a probabilidade de todos os associados atrasarem de 0,055. Portanto, a probabilidade de pelo menos um associado pagar sem atraso :

505,01

Gabarito: E

Questo 29 MPE PE 2006 [FCC]

Um lote contm 20 peas das quais 5 so defeituosas. Colhendo-se uma amostra de 2 peas, ao acaso e sem reposio deste lote, a probabilidade de se obter pelo menos uma pela defeituosa :

a) 21/38

b) 19/38

c) 17/38

d) 15/38

e) 13/38

Resoluo.

Vamos chamar de A o evento escolher pelo menos uma pea defeituosa. Vamos chamar

de A o evento complementar. O evento complementar ocorre quando todas as peas escolhidas so normais.

Considerem os seguintes eventos:

E1 a primeira pea escolhida normal

E2 a segunda pea escolhida normal

O evento A a interseco desses dois eventos acima. Para que A ocorra, ambos devem ocorrer simultaneamente.

21 EEA =

Queremos achar a probabilidade da interseco.

Mas, agora, diferentemente dos exerccios anteriores, esses eventos no so mais independentes. A probabilidade da interseco no mais o produto das probabilidades.

Na hora de escolhermos a primeira pea, a probabilidade de ela no ser defeituosa de 15/20. Temos 15 peas a nosso favor em 20 possveis.




Na hora de escolhermos a segunda pea, a probabilidade de ela no ser defeituosa vai depender do resultado da primeira escolha. Se, na primeira escolha, tiver sado uma pea defeituosa, a probabilidade da segunda pea no ser defeituosa ser 15/19. Continuamos tendo 15 peas normais. So 15 casos favorveis, em 19 possveis.

De outro modo, se a primeira pea escolhida for normal, a probabilidade da segunda tambm ser normal ser de 14/19. Teremos apenas 14 casos favorveis.

Logo, os eventos no so independentes. O resultado de uma escolha influi na probabilidade da segunda escolha.

A frmula da probabilidade da interseco fica:

)21()( EEPAP =

)12()1()( EEPEPAP =

Na primeira escolha, a probabilidade de tomarmos uma pea no defeituosa de 15/20. Temos 15 peas normais (casos favorveis) num total de 20 (casos possveis).

20/15)1( =EP

J tendo escolhido uma pea no defeituosa, qual a probabilidade da segunda tambm ser no defeituosa. Ou seja, qual a probabilidade de ocorrer o evento E2, dado que o evento E1 j ocorreu?

J tendo retirado uma pea normal, sobram 14 peas normais (casos favorveis), num total de 19 (casos possveis).

19/14)12( =EEP

Portanto:

)12()1()( EEPEPAP =

38

21

19

7

2

3

19

14

20

15)( ===AP

Logo:

38

17

38

211)( ==AP

Gabarito: C.


Em um determinado dia, a probabilidade de Joo faltar ao trabalho de 5% e Carlos de 10%, independentemente. Ento, a probabilidade neste dia que pelo menos um deles NO falte ao trabalho de

(A) 99,5%.




(B) 95,0%.

(C) 92,5%.

(D) 90,0%.

(E) 85,5%.

Resoluo:

Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos o seguinte. Em 5% dos dias Joo falta ao trabalho. Em 10% dos dias, Carlos falta ao trabalho.

Escolhe-se um dia aleatoriamente.

Seja A o evento que ocorre quando, no dia escolhido, pelo menos um dos dois vai ao trabalho.

O evento complementar ocorre quando, no dia escolhido, os dois faltam ao trabalho.

A probabilidade do evento complementar :

= 0,05 0,1 = 0,005

Logo:

= 1

= 1 0,005 = 0,995 = 99,5%

Gabarito: A

1.7. Teorema da probabilidade total

Exemplo 3

Uma urna tem uma bola branca e uma bola preta (vamos cham-la de primeira urna). Outra urna tem trs bolas brancas e uma bola preta (vamos chamar de segunda urna). Escolhe-se uma dessas urnas ao acaso e retira-se uma bola. Qual a probabilidade da bola escolhida ser preta?

Resoluo:

Seja U1 o evento que ocorre quando a bola escolhida da primeira urna. Seja U2 o evento que ocorre quando a bola escolhida da segunda urna.

Observe que os eventos U1 e U2 so complementares.

A probabilidade de se escolher cada uma das duas urnas de 50%.

5,0)()( 21 == UPUP




Esses dois eventos so complementares. Abrangem todos os casos possveis. Todas as bolas em questo pertencem a uma dessas duas urnas. E no h uma bola que pertena, simultaneamente, a ambas.

Seja A o evento que ocorre quando a bola retirada preta.

Suponha que escolhemos a primeira urna. A probabilidade de sair uma bola preta de 50%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, dado que escolhemos a primeira urna, de 50%.

5,0)( 1 =UAP

Suponha agora que escolhemos a segunda urna. A probabilidade de sair uma bola preta de 25%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, dado que escolhemos a segunda urna, de 25%.

25,0)( 2 =UAP

Mas a pergunta foi: qual a probabilidade de sair bola preta?

Para achar a probabilidade do evento A, basta somar as probabilidades acima, certo???

Errado!!!

Muita gente cai nesse erro. Cuidado para no comet-lo.

Para checar o absurdo que seria, considere B o evento que ocorre quando a bola sorteada branca.

Ficaramos com:

5,0)( 1 =UBP e 75,0)( 2 =UBP

Por esse raciocnio, a probabilidade de sair bola branca seria de 125%, algo absurdo.

Como fazer?

aqui que entra o teorema da probabilidade total.

Como U1 e U2 so eventos complementares, a unio de ambos igual ao espao amostral. Vamos chamar de S o espao amostral.

21 UUS =

A interseco de A com S igual ao prprio A. Isso porque A um evento, que est contido no espao amostral.

ASA =

Portanto, podemos escrever:

)()( SAPAP =

[ ])()( 21 UUAPAP =




[ ])()()( 21 UAUAPAP =

)()()( 21 UAPUAPAP +=

)()()()()( 2211 UAPUPUAPUPAP +=

Teorema da probabilidade total:

Se dois eventos U1 e U2 forem complementares, a probabilidade de ocorrer o evento A dada por:

)2()2()1()1()( UAPUPUAPUPAP +=

Voc no precisa decorar a frmula acima. Muito menos gravar o procedimento para chegar nela. O que importa que voc entenda a continuao do problema, que vem logo abaixo. Apenas isso. Se para voc a continuao do problema fizer sentido, ok, est timo. Nem se preocupe com a frmula acima.

O evento A pode ocorrer tanto quando escolhemos a Urna 1 quanto quando escolhemos a urna 2. Temos as seguintes hipteses:

H 50% de chances de escolhermos a urna 1. Escolhida tal urna, h 50% de chances de sair a bola preta

H 50% de chances de escolhermos a urna 2. escolhida tal urna, h 25% de chances de sair a bola preta

A probabilidade de sair a bola preta fica:

375,025,05,05,05,0 =+

Ou, aplicando a frmula:

)()()()()( 2211 UAPUPUAPUPAP +=

%5,37375,025,05,05,05,0)( ==+=AP

Resposta: a probabilidade de sair bola preta de 37,5%

Muita gente, em vez de gravar a frmula, costuma fazer um diagrama parecido com este:




A ideia do diagrama a que segue. Representamos cada possvel resultado por um crculo. Primeiro, temos as opes: urna 1 e urna 2. A probabilidade de escolher qualquer uma delas 50%. Por isso, escrevemos o nmero 0,5 em cima da seta correspondente.

Escolhida a urna 1, a probabilidade de escolher bola branca 50%. Ou seja, a probabilidade de escolher bola branca dado que escolhermos a urna 1 de 50%. Novamente, escrevemos 0,5 na seta correspondente. Isso se repete para todas as demais setas.

Feito isso, para calcular a probabilidade de um certo evento, basta multiplicar as probabilidades.

Exemplo: qual a probabilidade de escolher uma bola preta da urna 2?

Basta multiplicar as probabilidades at chegar ao crculo que representa a bola preta da urna 2. No caso, temos:

125,025,05,0 =

Aproveitando o desenho, qual a probabilidade de escolhermos uma bola preta da urna 1? Temos:

25,05,05,0 =

A probabilidade de escolher uma bola preta fica:

375,0125,025,0 =+

Este diagrama uma forma esquemtica de apresentao da frmula que estudamos.

O diagrama e a frmula representam o que chamado de teorema da probabilidade total.

Tanto a frmula que estudamos, como o diagrama que a representa, podem ser facilmente generalizados para casos em que h mais eventos em anlise (ver Questo 33). Como nosso foco concurso, estudar este caso em que o espao amostral dividido em apenas dois eventos (no nosso exemplo: urna 1 e urna 2) j mais que suficiente.

Vejamos outra soluo. Agora, uma soluo ERRADA.

Vamos dar nomes s bolas:




B11 a bola branca da urna 1

P11 a bola preta da urna 1

B21 a primeira bola branca da urna 2

B22 a segunda bola branca da urna 2

B23 a terceira bola branca da urna 2

P21 a primeira bola preta da urna 2.

Seja S o espao amostral.

S = {B11, P11, B21, B22, B23, P21}

O evento A dado por:

A = {P11, P21}

Se fssemos adotar o procedimento visto desde o comeo da aula, dividindo o nmero de elementos do evento pelo nmero de elementos do espao amostral (ou ainda, dividindo o nmero de casos favorvel pelo nmero de casos possvel), teramos:

3

1

6

2)( ==AP

Qual o erro desta soluo? O grande problema que os resultados no so equiprovveis. A ttulo de exemplo, a bola preta da primeira urna tem uma chance maior de ser escolhida do que a bola preta da urna 2. Quando os eventos elementares no so equiprovveis, para achar a probabilidade, no podemos simplesmente dividir nm

aula 07 - curso regular de estatística

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