ANHANGUERA EDUCACIONAL (CAMPUS PIRITUBA/SP)ENGENHARIA MECÂNICA

VALDINEI SANTOS 4412856880VALERO HITOS FERREIRA 4604893079

THIAGO PAIXÃO DOS SANTOS 3732693233KLEBER SILVA 4262831854

LEANDRO MELO 4200060321

ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADASFÍSICA II 1° PARTE

Memorial Descrito de Cálculos para a Matéria de Física II, Engenharia Mecânica 3° Série, sob orientação da Prof.ª Isabella Ferro.

ANHANGUERA EDUCACIONALSão Paulo – 2013

RESUMO

Na Etapa 1 mostramos um próton que voa acelerado pela força elétrica (Fe no interior do LI-

IC, numa região do anel em que pode ser aproximado de um tubo retilíneo, onde nessa região

o único desvio de trajetória é a força gravitacional (Fg), e equilibrada a cada instante por uma

força magnética (Fm) aplicada ao próton.

2

OBJETIVO

O desafio será aplicar os conhecimentos de Física para estudar o movimento de alguns feixes

de partículas do acelerador LHC, do laboratório CERN, próximo a Genebra, no qual o sucesso

do experimento depende dos cálculos teóricos previamente efetuados.

3

SUMÁRIO

ETAPA 1

1.1Passo 1

1.2Passo 2

1.3Passo 3

1.4Passo 4

1.5Figura

ETAPA 2

2.1Passo 1

2.2Passo 2

2.3Passo 3

2.4Passo 4

ETAPA 3

3.1Passo 1

3.2Passo 2

3.3Passo 3

3.4Passo 4

ETAPA 4

4.1Passo 1

4.2Passo 2

4.3Passo 3

4.4Passo 4

4.5Passo 5

CONCLUSÃO

4

ETAPA I

1.1 Passo 1

Suponha um próton que voa acelerado, pela força elétrica Fe, no interior do anel do LHC,

numa região que o anel pode ser aproximado por um tubo retilíneo, conforme o esquema da

figura 3.

Suponha ainda que nessa região o único desvio da trajetória se deve a força gravitacional Fg,

e que esse desvio é corrigido (ou equilibrado) a cada instante por uma força magnética Fm

aplicada ao próton.

Nessas condições, desenhe no esquema o diagrama das forças que atuam sobre o próton.

5

1.2 Passo 2

Suponha que seja aplicada uma força elétrica Fe 1,00 N sobre o feixe de prótons.

M = n x m 

1.1015. 1,67.10-24 = 1,67.10-9

M = 1,67.10-9

F= m . a 

1,00 = 1,67. 10-9   x   a 

1,00           =     598802395,2 m/s2           

1,67. 10-9

A= 598802395,2 m/s2  

6

1.3 Passo 3

Se ao invés de prótons, fossem acelerados núcleos de chumbo, que possuem uma massa 207

vezes maior que a massa dos prótons, determine qual seria a força elétrica Fe necessária, para

que os núcleos adquirissem o mesmo valor de aceleração dos prótons.

M = 1,67. 10-24. 207 = 3,4569. 10-22g

F = m. a 

F = 3,4569. 10-22. 598802395,2

F = 2,07. 10-13 N

7

1.4 Passo 4

Considere agora toda a circunferência do acelerador, r=4,3km. Assumindo que a força

magnética Fm é a única que atua como força centrípeta e garante que os prótons permaneçam

em trajetória circular, determine qual o valor da velocidade de cada próton em um instante

que a força magnética sobre todos os prótons é Fm = 5,00 N.

Determine a que fração da velocidade da luz (c = 3,00 x 108 m/s) corresponde esse valor de

velocidade.

F centrípeta= V_ 2r Fm=5N 

m=1,67.10-27kg 

r=4.300m 

V=?

5=1,67. 10-27. 1015 . V² . 2 . 4300

V²=8600 . 51,67. 10-12

V²=430001,67. 10-12

V²=25748,5¹²

V=√25748,5¹²

V=160,46. 106 m/s

8

2

1.5 Figura : Detector ATLAS no LHC.

Observe a dimensão do cientista comparada à dimensão do detector, que possui 46m

de comprimento, 25m de altura, 25m de largura e um peso de 7000 toneladas. O detector

ATLAS é o maior detector volumétrico de partículas já construído.

Fonte:(viveraciencia.wordpress.com)

O maior acelerador do mundo

O Grande Colísor de Hádrons (em inglês: Large Hadron Collider – LHC) no CERN

(Organização Européia para Pesquisas Nuclear), é o maior acelerador de partículas e o de

maior energia existente do mundo. Ele está situado em Genebra, cortando a fronteira entre a

Suíça e a França: dois feixes de prótons colidiram a 7 trilhões de elétrons – volt no grande

Colisór de Hádrons conforme anunciado por cientistas após a quebra de recorde de mais

energia atingida por uma máquina do tipo.

O acontecimento marca uma nova era de pesquisas para os físicos que a partir da experiência

puderam estudar melhor fenômenos e partículas até então hipotéticos.

[ ... O Grande Colisor de Hádrons (em inglês: Large Hadron Collider – LHC) no CERN (Organização Européia para Pesquisas Nuclear). (http://fotos.portalcab.comcab.com Fotos de dentro do LHC))...]

9

ETAPA 2

2.1 Passo 1

Determine qual é a força de atrito FA total que o ar que o cientista deixou no tubo aplica sobre

os prótons do feixe, sabendo que a força elétrica Fe (sobre todos os 1 x 10 prótons) continua

tendo valor de 1,00 N.

T = 20 ns= 20 . 10 sS = 10 mS = So + VT + aT 2

10 = 0 + 0T + aT ( 20 . 10 )

2

20 = a 400 . 10

2 . 10 = a40

a = 0,05 . 10 = 5.10 m/s 10

Fe = 1 n

N = 10 p FA 0 FE Fr = m . a

Fe -FA = 1,67 . 10 . 10 . 5 . 10

1 – FA = 8,35 . 10 = 8,35 = 0,0835 100

1 – 0,0835 = FA

FA = 0,92 n

10

2

2 -6 2

-12

12

12 10 2

15 t

-27 15 10

-2

2

-6

15

2.2 Passo 2

Quando percebe o erro, o cientista liga as bombas para fazer vácuo.

Com isso ele consegue garantir que a força de atrito FA seja reduzida para um terço do valor

inicial.

Nesse caso, determine qual é a leitura de aceleração que o cientista vê em seu equipamento de

medição.

FA = 0,92 = 0,31 n 3

R = m . a

Fe - Fa = 1,67 . 10 . 10 . a´

1 - 0,31 = 1,67 . 10 . a´

0,69 = 1,67 . 10. a´

a´ = 0,69 . 10 = 0,41. 10 = 4,1. 10 m/s 1,67

2.1 Passo 311

-27 15

-12

-12

12 12 11 2

Para compensar seu erro, o cientista aumenta o valor da força elétrica Fe aplicada sobre os

prótons, garantindo que eles tenham um valor de aceleração igual ao caso sem atrito (passo 2

da ETAPA 1).

Sabendo que ele ainda está na condição em que a força de atrito FA vale um terço do atrito

inicial, determine qual é a força elétrica Fe que o cientista precisou aplicar aos prótons do

feixe.

R = m.a Fa 2 0 Fe

Fe= 1n

1 = F´e - F´a

1 = F´e - 0,31

F´e = 1,31 n

2.4 Passo 4

Adotando o valor encontrado no passo 3, determine qual é a razão entre a força Fe imposta

pelo cientista aos prótons do feixe e a força gravitacional Fg, imposta pelo campo

gravitacional da Terra aos mesmos prótons.

Comente o resultado.

Fe 1,31 = 1,31 Fg 10 . 1,67 . 10 . 9,8 16,37 . 10

= 0,08 . 10 = 8 . 10 R = m.a Fg = mg = m.9,8

A FORÇA ELÉTRICA É MAIOR QUE A MASSA.

ETAPA 3

12

15 -27 12

12 10

3.1 Passo 1

Determinar (usando a equação clássica Ec= 0,5 mv²) quais são os valores de energia cinética

Ec de cada próton de um feixe acelerando no LHC, na situação em que os prótons viajam a

velocidades: v1= 6,00x10 7 m/s (20% da velocidade da luz), v2= 1,50x10 8 m/s (50% da

(Velocidade da luz) ou v3= 2,97x10 8 m/s (99% da velocidade da luz).

Ec1=12.1,67x10-27.(6,00x10 7)2

Ec1=12.1,67x10 -27.36,00x1014

Ec1=12.60,12x10 -13

Ec1=3,01x10 -12J

Ec2=12.1,67x10 -27.1,50x1082

Ec2=12.1,67x10 -27.2,25x1016

Ec2=12.3,76x10 -11

Ec2=1,88x10 -11J

Ec3=12.1,67x10 -27.2,97x1082

Ec3=12.1,67x10 -27.8,82x1016

Ec3=12.14,73x10-11

Ec3=7,36x10 -11J

Ec clássica

            Ec1=3,01x10 -12J

            Ec2=1,88x10 -11J

            Ec3=7,36x10 -11J

Ec relativística

            Ec1=3,10x10 -12J

            Ec2=2,32x10 -11J

            Ec3=9,14x10 -10J

3.2 Passo 213

Sabendo que para os valores de velocidade do Passo 1, o cálculo relativístico da energia

cinética nos dá:Ec1= 3,10x10 -12 J,Ec2= 2,32x10 -11 J,Ec3= 9,14x10 -10 J, respectivamente

determinar qual é o erro percentual da aproximação clássica no cálculo da energia cinética em

cada um dos três casos.

O que se pode concluir?

Ec1

Erro (%) =3, 01x10 -12 -3, 10x10 -12 3, 10x10 -12 x 100

Erro (%) =-9, 00x10 -14 3,

10x10 -12 x 100

Erro (%) =9, 00x10 -14 3, 10x10 -12 x 100

Erro (%) =2,9x10 -2 x 100

Erro (%) =2,9%

Ec2

Erro (%) =1, 88x10 -11 -2, 32x10 -11 2, 32x10 -11 x 100

Erro (%) =1, 88x10 -11 -2, 32x10 -11 2, 32x10 -11 x 100

Erro (%) =-0, 44x10 -11 2, 32x10 -11 x 100

Erro (%) =44, 00x10 -13 2, 32x10 -11 x 100

Erro (%) =18,96x10 -2 x 100

Erro (%) =18,96%

Ec3

Erro (%) =7, 36x10 -11 -9 1, 40x10 -11 9 1, 40x10 -11 x 100

Erro (%) =-84, 04x10 -11 9 1, 40x10 -11 x 100

Erro (%) =84, 04x10 -11 9 1, 40x10 -11 x 100

Erro (%) =91,95%

14

3.3 Passo 3

Considerando uma força elétrica Fe= 1,00 N (sobre os 1x1015 prótons do feixe), determinar

qual é o trabalho realizado por essa força sobre cada próton do feixe, durante uma volta no

anel acelerador, que possui 27 km de comprimento.

Fe=1,00N

n=1x1015prótons

d=27 km ou 27x103m

W=1,00x27x103

 W=27x103J

27x103J       1x1015prótons

    X                     1 próton

1x1015x=27x103

x=27x1031x1015

            x=27x10 -12 J

15

3.4 Passo 4

Determinar qual é o trabalho W realizado pela força elétrica aceleradora Fe, para acelerar

cada um dos prótons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz até 50% da

velocidade da luz, considerando os valores clássicos de energia cinética, calculados no Passo

3.

Determinar também qual é a potência média total P dos geradores da força elétrica (sobre

todos os prótons), se o sistema de geração leva 5us para acelerar o feixe de prótons de 20% a

50% da velocidade da luz.

Dados:

Ec1=3,01x10 -12 J (20%da velocidade da luz) 

Ec2=1,88x10 -11 J (50% da velocidade da luz)        

                ∆t=5us

W=18,8x10 -12 -3, 01x10 -12

W=15,79x10 -12 J

Potencia em cada próton:

P=15,79x10 -12 5 x 10 -6

P=3,16x10 -6 W

Potencia sobre todos os prótons:

Ptotal=3,16x10-6x 1x1015

Ptotal=3,16x109W

16

3.5 Relatório

No primeiro passo descobrimos os valores da energia cinética Ec de cada próton.

No segundo passo determinemos o erro percentual, o erro percentual do cálculo da mecânica

clássica com relação com a mecânica da relatividade demonstra que quando um corpo

qualquer como o caso da partícula, o próton se aproxima da velocidade da luz o erro tende a

aumentar, ou seja, a diferença da energia cinética irá aumentar.

No terceiro passo o trabalho realizado sobre cada próton é de Wp:27x10-12 J, sendo que no

feixe de próton são necessários Wt:27x103J.No quarto passo o trabalho realizado pela força

elétrica sobre cada próton na aceleração é de W:15,79x10-12J, e a potência média total dos

geradores de força elétrica sobre todos os prótons é de Ptotal:3,16x109W.

17

ETAPA 4

4.1 Passo 1

Nesse e nos próximos passos, iremos trabalhar na condição em que os feixes possuem

velocidades de até 20% da velocidade da luz, para que possamos aplicar os cálculos clássicos

de momento.

Determinar a posição do centro de massa do sistema composto por um feixe de prótons (P)

que irá colidir com um feixe de núcleos de chumbo (Pb), no interior do detector ATLAS,

supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas de entrada

no detector, com uma separação de 46m entre eles.

O feixe de prótons possui 1x1015 prótons, enquanto o de chumbo possui 3x1013 núcleos.

Lembrar-se de que a massa de cada núcleo de chumbo vale 207 vezes a massa de um próton.

Calculo de massa de prótons;

mP=1x1015x1,67x10 -27

mP=1,67x10 -12 kg

Calculo de massa de núcleos de chumbo

mPb=207x1,67x10 -12 

mPb=345,69x10 -12 kg 

Posição do centro de massa do sistema

Cm=1,67x10 -12.0+345,69x10 -12.461,67x10 -12+345,69x10 -12 

Cm=15901,74x10-12347,36x10 -12 

Cm=45,78m 

18

4.2 Passo 2

Calcular o vetor momento linear total p de cada feixe, sendo as velocidades escalares

vp:6,00x107 m/s e vpb:5,00x107 m/s e em seguida calcular o valor do momento linear total P

do sistema de partículas.

Cálculo do vetor linear total do feixe dos prótons.

Pp=1,67x10 -12. 6,00x107 

Pp=1,00x10 -4 kgms 

Pp=1,00x10 -4 kgms

Cálculo do vetor linear total do feixe dos núcleos de chumbo

Ppb=-345,69x10 -12.5,00x106 

Ppb=-1,73x10 -3 kgms 

Ppb=1,73x10 -3 kgms 

Cálculo do valor do momento linear total P do sistema de partículas

P=Pp+Ppb 

P=1,00x10 -4 -17,3x10 -4 

P=-16,3x10 -4 kgms 

P=16,3x10 -4 kgms 

19

4.3 Passo 3

Considerar agora que cada próton colide elasticamente apenas com um núcleo de chumbo,

sendo a velocidade de cada um deles dada no Passo 2.

Nessa condição, um cientista observou que após uma dessas colisões o núcleo de chumbo se

dividiu em 3 fragmentos, tendo o primeiro massa 107 vezes maior que a massa do próton.

Os dois fragmentos menores foram observados em regiões diametralmente opostas no interior

do detector ATLAS, cada um em uma direção, formando um ângulo de 30 graus com a

direção da reta de colisão, conforme esquematizado na figura 6.

Nessas condições, determinar quais são os módulos das velocidades do próton, do fragmento

maior e dos fragmentos menores de chumbo após a colisão, sabendo que o módulo da

velocidade dos fragmentos menores é igual ao dobro do módulo da velocidade do fragmento

maior.

Calculo do momento linear antes da colisão:

Momento linear do próton

PPi=1,67x10 -27.6,00x107 

PPi=1,00x10 -19 kg.ms 

PPi=1,00x10 -19 kg.ms 

Momento linear do núcleo de chumbo

PPbi=3,46x10 -25. (-5,00x106) 

PPbi=-1,73x10 -18 kgms 

PPbi=1,73x10 -18 kgms 

20

Soma total do momento linear inicial

Pi=1,00x10 -19 -1,73x10 -18 

Pi=-1,63x10 -18 kgms 

Pi=1,63x10 -18 kgms 

Calculo da velocidade do próton depois da colisão:

vPf=1,67x10 -27 -3,46x10 -251,67x10 -27 +3,46x10 -25.6,00x107+23,46x10 -25 1,67x10

-27+3,46x10 -25. (5,00x106.cos180°)

vPf=-0,99x6,00x107+2(-5,00x106) 

vPf=-69,4x106m/s 

Cálculo das velocidades do fragmento maior e dos fragmentos menores de chumbo:

Cálculo do momento linear final do próton

PPf =1,67x10 -27 x69,4x106   

PPf=1,16x10 -19 kgms 

PPf=1,16x10 -19 kgms 

Cálculo do momento linear final do núcleo de chumbo

PPbf=Pf-PPf   

PPbf=1,63x10 -18 -1,16x10 -19 

PPbf=1,51x10 -18 kgms 

PPbf=1,51x10-18kgms 

21

Cálculo da velocidade final do fragmento maior e dos fragmentos menores:

Momento linear do eixo x

PPbfx=107mp.vPbf.cos180°+50mp.2vPbf.cos150°+50mp.2vPbf.cos210°  

PPbfx=107x1,67x10-27.vPbf.cos180°+100x1,67x10-27.vPbf.cos150°+100x1,67x10-

27.vPbf.cos210° 

PPbfx=-1,79x10 -25.vPbf-1,45x10 -25.vPbf-1,45x10 -25.vPbf

PPbfx=-4,69x10 -25.vPbf 

PPbfx=4,69x10 -25.vPbf 

Momento linear do eixo y

PPbfy=107mp.vPbf.sin180°+50mp.2vPbf.sin150°+50mp.2vPbf.sin210°

PPbfy=107x1,67x10 -27.vPbf.sin180°+100x1,67x10 -27.vPbf.sin150°+100x1,67x10-

27.vPbf.sin210° 

PPbfy=0+8,35x10 -26.vPbf-8,35x10 -26.vPbf 

PPbfy=0 

PPbfy=0 

Velocidade do fragmento maior

PPbf=PPbfx+PPbfy 

1,51x10 -18=4,69x10 -25.vPbaf +0   

vPb107f=1,51x10 -18 4,69x10 -25 

vPb107f=3,22x106m/s

Velocidade dos fragmentos menores

vPb50f=2x3,22x106 

vPb50f=6,44x106m/s 

22

4.4 Passo 4

Sabendo que a detecção dos fragmentos é realizada no momento em que cada um deles

atravessa as paredes do detector e considerando a colisão descrita no Passo 3, determinar qual

é o impulso transferido à parede do detector ATLAS pelo próton Jp e pelo fragmento maior

de chumbo Jpb107, após a colisão.

Considerar que após atravessar a parede a velocidade do próton P se tornou 10 vezes menor

que e a calculada no Passo 3, enquanto a velocidade final do fragmento de chumbo Pb107

(após atravessar a parede do detector) se tornou 50 vezes menor que a calculado no Passo 3.

Cálculo do momento linear do fragmento maior do núcleo de chumbo:

PPb107i=107x1,67x10 -27x3,22x106 

PPb107i=5,75x10 -19 kgms 

Velocidade do próton após atravessar a parede do ATLAS:

 vPf=69,4x10610 

 vPf=6,94x106m/s 

Velocidade do fragmento do núcleo de chumbo após atravessar a parede do ATLAS:

 

vPb107f=3,22x10650   

 vP107f=64,4x103m/s 

23

Cálculo do momento linear do próton após atravessar a parede:

PPf=1,67x10 -27 x6,94x106 

PPf=1,16x10 -20 kgms 

Cálculo do momento linear do fragmento do maior do núcleo de chumbo após atravessar a

parede:

PPb107f=107x1,67x10 -27 x 64,4x103 

PPb107f=1,15x10 -20 kgms 

Cálculo do impulso transferido pelo próton:      

Jp=1,16x10 -20 -1,16x10 -19 

Jp=-1,04x10 -19 Ns

Jp=1,04x10 -19 Ns

Cálculo do impulso transferido pelo fragmento de chumbo:

Jp=1,15x10 -20 -5,75 x 10 -19 

Jp=-5,63x10 -19 Ns

Jp=5,63x10 -19 Ns

24

4.5 Relatório

No primeiro passo a posição do centro de massa do sistema é de Cm=45,78m no eixo x.

No segundo passo o valor do momento linear total do feixe de próton é Pp=1,00x10-4Kgms, o

valor do momento linear total do feixe do núcleo de chumbo é Ppb=1,73x10-3Kgms e o valor

do momento linear do sistema é P=1,63x10-4Kgms.

No terceiro passo a velocidade do próton Vpf=69,4x106m/s, a velocidade do fragmento maior

de chumbo Vfp107f=3,22x106m/s e as velocidades dos fragmentos menores de chumbo

Vfp50f=6,44x106m/s.

No quarto passo os impulsos transferidos são impulso pelo próton Jp=1,04x10-19N/s e o

impulso pelo fragmento maior de chumbo Jp=5,63x10-19N/s.

25

CONCLUSÃO

Com dimensões gigantescas e temperaturas extremas, operar o LHC é um desafio para físicos

e engenheiros. Para que as partículas circulem através do anel obtendo a energia desejada, é

necessário que os cálculos teóricos efetuados pelos físicos sejam aplicados na prática às

peças, aos sistemas de controle e sistemas de refrigeração desenvolvidos pelos engenheiros.

Além disso, o LHC acelera as partículas do feixe a velocidades extremamente altas, que

podem chegar a 99,99% da velocidade da luz. Sob tais velocidades, o sistema LHC deve ser

estudado sob o ponto de vista relativístico (Teoria da Relatividade, proposta por Einstein em

1905).

Porém, para cumprir nosso objetivo didático, vamos assumir que os cálculos podem ser

realizados usando a mecânica clássica (Leis de Newton, desenvolvidas em 1687), que é uma

boa aproximação até certo limite de velocidades do feixe de partículas.

26