ETAPA 1:

Analises de tensões e deformação

Esquematizar as tensões atuantes no plano (EPT). Esquematizar as tensões nas faces

triangulares para posterior análise. Aplicar o somatório de forças nas direções de interesse.

Aplicar as equações do estado plano de tensões (EPT). Para o estado de tensões dado,

determinar as tensões, normal e de cisalhamento, exercidas sobre a face oblíqua do triângulo

sombreado do elemento. Usar o método de análise baseado nas equações de equilíbrio desse

elemento. Representar graficamente o triângulo de forças e as tensões finais do elemento.

TENSÕES:σ x'=σx+σy

2+ σx−σy

2×cos (2×θ )+τ xy× sin (2×θ )

σ x '=(40+0)

2+(40−0)

2×cos (2×50 )+30× sin (2×50 )

σ x '=46,07MPa

σ y '=σx+σy2

−σx−σy2

× cos (2×θ )+τ xy × sin (2×θ )

σ y '=(40+0)

2−

(40−0)2

× cos (2×50 )−30× sin (2×50 )

σ y '=−6,07MPa

TENSÃO DE CISALHAMENTO:

τxy=−( σx−σy2 )× sin (2×θ )+τxy ×cos (2×θ )

τxy=−( 40−02 )× sin (2×50 )+30× cos (2×50 )

τxy=−24,90MPa

SOMATÓRIA DE FORÇAS:

σ x '+σ y '=σx+σy

46,07+ (-6,07) = 40+0

40 = 40

TENSÕES:

σ x '=σx+σy2

+ σx−σy2

×cos (2×θ )+τ xy× sin (2×θ )

σ x '=(−40+80)

2+(−40−80)

2×cos (2×60 )+60×sin (2×60 )

σ x '=−61,96MPa

σ y '=σx+σy2

−σx−σy2

× cos (2×θ )+τ xy × sin (2×θ )

σ y '=(−40+80)

2−

(−40−80)2

× cos (2×60 )−60×sin (2×60 )

σ y '=101,96MPa

TENSÃO DE CISALHAMENTO:

τxy=−( σx−σy2 )× sin (2×θ )+τxy ×cos (2×θ )

τxy=−(−40−802 )× sin (2×60 )+60×cos (2×60 )

τxy=21,96MPa

SOMATÓRIA DE FORÇAS:

σ x '+σ y '=σx+σy

(−61,96 )+ 101,96 =

(−40+80 )

40 = 40

ETAPA 2 :

Estado mais geral de tensões. Aplicação do círculo de Mohr à análise

tridimensional de tensões.

Aplicação das fórmulas para obtenção dos planos e tensões principais.

Aplicação da fórmula para obtenção da tensão máxima de cisalhamento.

Esquematização das tensões principais, média e de máximo cisalhamento no plano.

Obtenção das tensões principais, média e de máximo cisalhamento aplicando o círculo de

Mohr.

Para o estado de tensões dado, determinar (a) os estados planos principais; (b) as

tensões principais; (c) representar graficamente o círculo de Mohr e as tensões do elemento.

TENSÕES PRINCIPAIS:

σmáx=σx+σy2

+√( σx−σy2 )2

+τxy2

σmáx=−80+(−110 )

2+√( (−80 )−(−110 )

2 )2

+702

σmáx=−23,41MPa

σmin=σx+σy2

−√( σx−σy2 )2

+τxy2

σmin=−80+(−110 )

2−√( (−80 )−(−110 )

2 )2

+702

σmin=−166,58MPa

TENSÕ MÉDIA:

σméd=σx+σy2

σméd=−80+(−110 )

2

σméd=−95MPa

TENSÃO DE CISALHAMENTO:

τmáx=±√( σx−σy2 )2

+τxy2

τmáx=±√( (−80 )− (−110 )2 )

2

+702

τmáx=±71,58MPa

ÂNGULO:

tan (2×θp )= 2×τxyσx−σy

tan (2×θp )= 2×70(−80 )− (−110)

tan (2×θp )=4,66

2θp→ tan−1=4,66

2θp=77,90

θp=77,902

θp=38,95°

TENSÕES:

σ x '=σx+σy2

+ σx−σy2

×cos (2×θ )+τ xy× sin (2×θ )

σ x '=(−80+(−110 ) )

2+

(−80−(−110 ) )2

× cos (2×38,95 )+70× sin (2×38,95 )

σ x '=−23,41MPa

σ y '=σx+σy2

−σx−σy2

× cos (2×θ )+τ xy × sin (2×θ )

σ y '=(−80+(−110 ))

2−

(−80−(−110 ))2

×cos (2×38,95 )−70×sin (2×38,95 )

σ y '=−116,58MPa

TENSÃO DE CISALHAMENTO:

τxy=−( σx−σy2 )× sin (2×θ )+τxy ×cos (2×θ )

τxy=−(−80−(−110 )2 )× sin (2×38,95 )+70×cos (2×38,95 )

τxy=−6,55MPa

CÁLCULODE RAIO:

a2=b2+c2

a2=702+152

a=√702+152

a=71,5MPa

ÂNGULO DE CORTE:

2θc= cat . ophip

2θc= 7071,5

cos2θc=0,97

2θc=cos−10,97

2θc=11,75

2θc=11,752

2θc=5,87 °

TENSÕES DE σ 1e σ2

σ 1=|σm|−|R|

σ 1= (−95+71,5 )

σ1= -23,5 Mpa

σ 2=−|R|+|σm|

σ 2=−(71,5+(−95 ) )σ 2=−166,5Mpa

TENSÕES PRINCIPAIS:

σmáx=σx+σy2

+√( σx−σy2 )2

+τxy2

σmáx=150+302

+√( (150−30 )2 )

2

+(−80 )2

σmáx=190MPa

σmin=σx+σy2

−√( σx−σy2 )2

+τxy2

σmin=150+302

−√( (150−30 )2 )

2

+ (702 )

σmin=−10MPa

TENSÕ MÉDIA:

σméd=σx+σy2

σméd=150+302

σméd=90MPa

CÁLCULODE RAIO:

R2=(|σx|−|σm|)2+(τxy )2

R=√(150−90 )2+(−80 )2

R=√10000

R=100

TENSÕES DE σ 1e σ2

σ 1=|σm|+|R|

σ 1= (190+100 )

σ1= 190 Mpa

σ 2=−|R|−|σm|

σ 2=−(100−90 )

σ 2=−10Mpa

ÂNGULO DE PRINCIPAL:

tan2θp=cat . ophip

tan2θp=6080

tan2θp=0,75

2θp=tan−1 0,75

2θp=36,87

2θp=36,872

2θp=18,43 °

ETAPA 3:

Aula-tema: Critérios de ruptura para materiais dúcteis e frágeis em estado plano

de tensões.

Avaliar as tensões atuantes no plano, Construir o círculo de Mohr, Calcular as tensões

principais, Aplicar as equações do critério da máxima tensão de cisalhamento e da máxima

energia de distorção.

O estado plano de tensões ocorre em um ponto crítico de um componente de máquina

feito de aço. Uma série de ensaios de tração mostrou que a tensão de escoamento é se =260

MPa, para o tipo de aço usado. Para a figura a seguir determinar o coeficiente de segurança

em relação ao escoamento, usando (a) o critério de máxima tensão de cisalhamento (b) o

critério de máxima energia de distorção.

TENSÕ MÉDIA:

σméd=σx+σy2

σméd=80+(−40 )

2

σméd=20MPa

CÁLCULODE RAIO:

R2=(|σx|−|σm|)2+(τxy )2

R=√( 80−20 )2+(−25 )2

R=65°

TENSÕES DE σ 1e σ2

σ 1=|σm|+|R|

σ 1= (20+65 )

σ 1=85Mpa

σ 2=−|R|−|σm|

σ 2=−(65−20 )

σ 2=−45Mpa

CRITÉRIO DE MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO:

σa2−(σa×σb )2+σb2=( σec . s )2

852−(85× (−45 ) )+(−45 )2=( 260c . s )

2

13079=( 260c . s )

2

c . s2=6760013079

c . s=√5,168

c . s=2,27