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[2011]

Copyright 2010 por Nilson Alves dos Santos. Todos os direitos reservados

TECNOLOGIA DE EDUCAO Elaborao: Nilson Alves dos Santos Reviso Tcnica: Nilson Alves dos Santos

Reviso Pedaggica: Rosana Almeida dos Santos Formatao Nilson Alves dos Santos Mediao - Rosana Almeida dos Santos

ENSAIOS DOS

MATERIAIS

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INDICE AULA 1 -INTRODUO - NOES DE ESTTICA

3

AULA 02 ENSAIO DE RESISTNCIA TRAO

6

AULA 3 - RESISTNCIA COMPRESSO

13

AULA 4. RESISTNCIA AO CISALHAMENTO E AO ESMAGAMENTO 17

AULA 5 - ENSAIO DE TORO

21

AULA 6 - RESISTNCIA FLEXO

30

3

AULA 1 - NOES DE ESTTICA Momento - Em Fsica, existe uma grandeza que est associada capacidade de uma fora girar um objeto. Essa grandeza chamada de momento da fora ou, ainda, torque. Mas, o que vem a ser momento (ou torque) de uma fora? De que grandezas ele depende? No dia-a-dia, temos inmeros exemplos nos quais essa noo est envolvida: alavancas, ferramentas, mquinas, automveis. Exemplo: Analise as figuras. Ela representa uma pessoa apertando uma porca fazendo um movimento sentido horrio. Ento, quando quisermos analisar a capacidade de uma fora girar um corpo, devemos considerar, ao mesmo tempo, duas grandezas: o valor da fora e a distncia entre a fora e o ponto em torno do qual o corpo gira. A grandeza que representa essa capacidade de uma fora girar um corpo como j dissemos, o momento da fora ou torque. Se chamarmos de M o momento, podemos definir, inicialmente, o valor dessa grandeza como:

dF M onde M representa o valor do momento da fora, F representa o valor da fora e d representa o valor da distncia da fora ao centro de giro. Assim, se a pessoa aplicar uma fora F de 60 kgf no ponto B que est distante 30 cm do ponto A, o momento ser calculado assim:

a) Primeiro se transforma 30 centmetro em metro conforme o sistema MKS onde 30cm = 0,30m;

b) Se ,8N9 gfK1kgf102,0N1 am F

Logo, fazendo uma regra de trs teremos

N588x 8,9601x x _____________kgf60

N8,9_______________kgf1

c) Substituindo os valores na frmula teremos

mN 76,41 M30,0588 MdF M

A concluso que o momento ou o torque aplicado na porca de 176,4 N.m

Vejamos outro exemplo: Uma balana tem um peso prprio de 3 kgf. A distncia entre o prato da balana e o suporte 30 cm. Coloca-se uma lata de graxa no prato. A lata de graxa equilibrado por um peso de 0,5 kgf colocado a 50 cm do suporte. Qual o peso da lata? Qual a fora exercida pelo operador para segurar a balana?

4

Inicialmente, o momento do prato da balana compensado pelo momento do travesso da balana, pois a balana vazia est em equilbrio Quando a lata com graxa e o contrapeso so colocados, para que haja equilbrio, o momento do peso de um deve compensar o do outro. Para efetuar o clculo, basta considerar o sistema de fora conforme o diagrama ao lado. Transformando as grandezas fsicas de kgf para Newton teremos:

N4,29x 8,931x x _____________kgf 3

N 8,9_______________kgf 1

N 9,4x 8,95,01x x _____________kgf ,50 N 8,9_______________kgf 1

Baseando-se na 1a Lei de Newton, sabemos que para o sistema de fora est em equilbrio, a barra AB

dever estar na posio horizontal. Assim, podemos a somatria( ) do momento em torno do ponto 0 nulo.

N2,8P30,0

45,2P45,2P 0,30 00,504,9- 0,30 P0M0

Calcular a carga nos cabos que sustentam o peso de 4 kN, como indicado nas figuras:

5

FOLHA DE EXERCCIO I 1. Uma barra de ao de P= 1200N est apoiada

nos pontos A e B conforme mostra a figura ao lado. Calcule o valor de F1 e F2.

2. Uma alavanca utilizada para erguer um peso

P=1600N est apoiada no ponto 0 conforme mostra a figura ao lado. Calcule o valor da distncia X em metros se a fora de 200N

aplicada pelo operador, forma um ngulo =30.

3. Analise a figura ao lado e calcule a fora P que

atua no ponto B.

4. O pedal indicado na figura articulado por um pino ao ponto C. Sabendo-se que P = 50 N determine a fora que atua no ponto B.

6

AULA 02 ENSAIO DE RESISTNCIA TRAO

2.1 Introduo - Voc com certeza j andou de elevador, j observou uma carga sendo elevada por um

guindaste ou viu, na sua empresa, uma ponte rolante transportando grandes cargas para l e para c. Alm

das grandes cargas movimentadas nessas situaes, um outro fato certamente chama a sua ateno: so

os cabos de ao usados nesses equipamentos! Voc faz idia do esforo que esses cabos tm de agentar ao deslocar estas cargas? Sabe como se chama esse esforo e como ele calculado? Sabe que a determinao deste tipo de esforo e a especificao das dimenses de cabos esto entre os problemas mais freqentemente encontrados no campo da mecnica? Tanto o superdimensionamento como o subdimensionamento de produtos podem trazer conseqncias graves: o primeiro porque gera desperdcio de material, maior consumo de energia e baixo desempenho; o segundo porque o produto vai falhar e, alm do prejuzo, pode causar srios acidentes, com danos irreparveis. Essas consideraes servem para ilustrar o quanto importante conhecer a resistncia dos materiais, que pode ser avaliada pela realizao de ensaios mecnicos. O ensaio mecnico mais importante para a determinao da resistncia dos materiais o ensaio de trao. Se voc est interessado em aprofundar seus conhecimentos sobre esses assuntos, est no caminho certo. Nesta aula voc ter oportunidade de conhecer as unidades de medida usadas nos ensaios mecnicos de trao. tenso a que esto submetidos os materiais durante o uso.

2.2 Para que servem os ensaios de trao - Como voc j sabe, as propriedades

mecnicas constituem uma das caractersticas mais importantes dos metais em suas vrias

aplicaes na engenharia, visto que o projeto e a fabricao de produtos se baseiam

principalmente no comportamento destas propriedades. A determinao das propriedades mecnicas dos materiais obtida por meio de ensaios mecnicos, realizados no prprio produto ou em corpos de prova de dimenses e formas especificadas, segundo procedimentos padronizados por normas brasileiras e estrangeiras. 2,3 Corpo de Prova - O corpo de prova preferencialmente utilizado quando o resultado do ensaio precisa ser comparado com especificaes de normas internacionais. 2.4 Clculo de alongamento - O ensaio de trao consiste em submeter o material a um esforo que tende a along-lo at a ruptura. Os esforos ou cargas so medidos na prpria mquina de ensaio. No ensaio de trao o corpo deformado por alongamento, at o momento em que se rompe. Os ensaios de trao permitem conhecer como os materiais reagem aos esforos de trao, quais os limites de trao, o que suportam e a partir de que momento se rompem. Imagine um corpo preso numa das extremidades, submetido a uma fora, como na ilustrao ao lado. Quando esta fora aplicada na direo do eixo longitudinal, dizemos que se trata de uma fora axial. Ao mesmo tempo, a fora axial perpendicular seo transversal do corpo. Observe novamente a ilustrao anterior. Repare que a fora axial est dirigida para fora do corpo sobre o qual foi aplicada. Quando a fora axial est dirigida para fora do corpo, trata-se de uma fora axial de trao. A aplicao de uma fora axial de trao num corpo preso produz uma deformao no corpo, isto , um aumento no seu comprimento com diminuio da rea da seo transversal. Este aumento de comprimento recebe o nome de alongamento. Veja o efeito do alongamento num corpo submetido a um ensaio de trao.

7

Na norma brasileira, o alongamento representado pela letra A e calculado subtraindo-se o comprimento inicial do comprimento final e dividindo-se o resultado pelo comprimento inicial. Em linguagem matemtica, esta afirmao pode ser expressa pela seguinte igualdade: Sendo que Lo representa o comprimento inicial antes do ensaio e Lf representa o comprimento final aps o ensaio. Suponha que voc quer saber qual o alongamento sofrido por um corpo de 12 mm que, submetido a uma fora axial de trao, ficou com 13,2 mm de comprimento. Aplicando a frmula anterior, voc fica sabendo que:

10%0,1 12

1,2

12

1213,2

L

LL

0

0f LLL

LLLLL

A unidade mm/mm indica que ocorre uma deformao de 0,1 mm por 1 mm de dimenso do material. Pode-se tambm indicar a deformao de maneira percentual. Para obter a deformao expressa em porcentagem, basta multiplicar o resultado anterior por 100. No nosso exemplo: A = 0,1 mm/mm x 100 = 10%. H dois tipos de deformao, que se sucedem quando o material submetido a uma fora de trao: a elstica e a plstica. Deformao elstica: no permanente. Uma vez cessados os esforos, o material volta sua forma original. Deformao plstica: permanente. Uma vez cessados os esforos, o material recupera a deformao elstica, mas fica com uma deformao residual plstica, no voltando mais sua forma original. 2.5 Tenso de trao - A fora de trao atua sobre rea da seo transversal do material. Tem-se assim uma relao entre essa fora aplicada e rea do material que est sendo exigida, denominada tenso.

Neste mdulo, a tenso ser representada pela letra . 2.6. Diagrama tenso-deformao - Quando um corpo de prova submetido a um ensaio de trao, a mquina de ensaio fornece um grfico que mostra as relaes entre a fora aplicada e as deformaes ocorridas durante o ensaio. Mas o que nos interessa para a determinao das propriedades do material ensaiado a relao entre tenso e deformao.

Voc j sabe que a tenso ( ) corresponde fora (F) dividida pela rea da seo (A) sobre a qual a fora aplicada. No ensaio de trao convencionou-se que rea da seo utilizada para os clculos a da seo inicial (A0). Assim, aplicando a formula podemos obter os valores de tenso para

montar um grfico que mostre as relaes entre tenso e deformao.

0A

F

Um material chamado de linear-elstico se a tenso for proporcional a deformao dentro da regio

elstica. Essa condio denominada Lei de Hooke e o declive da curva chamado de mdulo de

elasticidade E.

0

0f

L

LLL

8

Este grfico conhecido por diagrama tenso-deformao.

E AE

FLL

Os valores de deformao, representados pela letra grega minscula (epsilon), so indicados no eixo das abscissas (x) e os valores de tenso so indicados no eixo das ordenadas (y). A curva resultante apresenta certas caractersticas que so comuns a diversos tipos de materiais usados na rea da Mecnica. Analisando o diagrama tenso-deformao o passo a passo, voc vai ficar conhecendo cada uma das propriedades que ele permite determinar. A primeira delas o limite elstico.

2.7. Limite elstico - Observe o diagrama acima. Note que foi marcado

um ponto A no final da parte reta do grfico. Este ponto representa o

limite elstico. O limite elstico recebe este nome porque, se o ensaio for interrompido antes deste ponto e a fora de trao for retirada, o corpo volta sua forma original, como faz um elstico. Na fase elstica os metais obedecem lei de Hooke. Suas deformaes so diretamente proporcionais s tenses aplicadas. Exemplificando: se aplicarmos uma tenso de 10 N/mm

2 e o corpo de

prova se alongar 0,1%, ao aplicarmos uma fora de 100 N/mm2 o corpo

de prova se alongar 1%. Em 1678, sir Robert Hooke descobriu que uma mola tem sempre a

deformao ( ) proporcional tenso aplicada ( ), desenvolvendo

assim a constante da mola (K), ou lei de Hooke, onde K = / .

2.8. Mdulo de elasticidade - Na fase elstica, se dividirmos a tenso pela deformao, em qualquer

ponto, obteremos sempre um valor constante. Este valor constante chamado mdulo de elasticidade.

A expresso matemtica dessa relao : E onde E a constante que

representa o mdulo de elasticidade.

E LL

L

LE

E

L)L(L

AE

FL)L(LL

EA

F

LE

ento

O mdulo de elasticidade a medida da rigidez do material. Quanto maior for o mdulo, menor ser a deformao elstica resultante da aplicao de uma tenso e mais rgida ser o material. Esta propriedade muito importante na seleo de materiais para fabricao de molas.

2.9 Limite de proporcionalidade - Porm, a lei de Hooke s vale at um determinado valor de tenso,

denominado limite de proporcionalidade, que o ponto representado no grfico a seguir por a, a partir

do qual a deformao deixa de ser proporcional carga aplicada. Na prtica, considera-se que o limite

de proporcionalidade e o limite de elasticidade so coincidentes.

2.10. Limite de Escoamento - Terminada a fase elstica, tem inicio a fase plstica, na qual ocorre uma

deformao permanente no material, mesmo que se retire a fora de trao.

A - Limite Elstico

- Limite de proporcionalidade B- Limite de resistncia C - Limite de Ruptura

9

1N = 0,101 kgf

1kgf = 0,454 psi = 9,807N

1 Mpa =1 N/mm 2 = 0,454 kgf/mm 2

1kgf/mm 2 =1422,27 psi = 9,807 Mpa = 9,807 Mpa

No inicio da fase plstica ocorre um fenmeno chamado escoamento. O escoamento caracteriza-se por uma deformao permanente do material sem que haja aumento de carga, mas com aumento da velocidade de deformao. Durante o escoamento a carga oscila entre valores muito prximos uns dos outros.

2.11. Limite de resistncia - Aps o escoamento ocorre o encruamento, que um endurecimento causado

pela quebra dos gros que compem o material quando deformados a frio. O material resiste cada vez mais

trao externa, exigindo uma tenso cada vez maior para se deformar.

Nessa fase, a tenso recomea a subir, at atingir um valor mximo num ponto chamado de limite de resistncia (B). Para calcular o valor do limite de resistncia

(LR), basta aplicar a frmula: 0A

F)LR(

2.12. Zona de Estrico - a reduo percentual da rea da seo transversal do

corpo de prova na regio onde vai se localizar a ruptura. A estrico determina a

ductilidade do material. Quanto maior for a porcentagem de estrico, mais dctil

ser o material.

2.13. Limite de ruptura - Continuando a trao, chega-se ruptura do material, que

ocorre num ponto chamado limite de ruptura (C). 2.14. Clculo de tenso -. Note que a tenso no limite de ruptura menor que no limite de resistncia, devido diminuio da rea que ocorre no corpo de prova

depois que se atinge a carga mxima. A tenso ( ) a relao entre uma fora (F) e uma unidade de rea (S): Para efeito de clculo da tenso suportada por um material, considera-se como rea til da seo deste material a soma das reas de suas partes macias. Por exemplo: um cabo metlico para elevao de pesos, cuja rea da seo de 132,73 mm

2, composto por 42 espiras de 1,2 mm

2, tem como rea til 50,4

mm2.

FD

FD

FD

FD

D

F

D

F

A

F128,1

77,1

2

4

4

4

4

222

A unidade de medida de fora adotada pelo Sistema Internacional de Unidades (SI) o newton (N).

A unidade quilograma-fora (kgf) ainda usada no Brasil porque a maioria das mquinas disponveis possui escalas nesta unidade. porm, aps a realizao o dos ensaios, os valores de fora devem ser convertidos para newton (N). A unidade de medida de rea o metro quadrado (m

2). No caso da medida de tenso, mais

freqentemente usado seu submltiplo, o milmetro quadrado (mm2).

Assim, a tenso expressa matematicamente como: Durante muito tempo, a tenso foi medida em kgf/mm

2 ou em psi (pound square inch, que quer dizer: libra

por polegada quadrada). Com adoo do Sistema Internacional de Unidades (SI) pelo Brasil, em 1978, essas unidades foram substitudas pelo pascal (Pa). Um mltiplo dessa unidade, o megapascal (MPa), vem sendo utilizado por um nmero crescente de pases, inclusive o Brasil. Veja no quadro de converses a seguir a correspondncia entre essas unidades de medida.

Exemplo de relatrio de ensaio de trao Interessado(a): JJA Data: 22/12/95 Material ensaiado (descrio): Ao 1020 Equipamento: Mquina universal Norma(s) seguida(s): ABNT - NBR 6152

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Nota: Cdigo ABNT NBR 6152:1992 CANCELADA Cdigo Secundrio : ABNT/MB 4 Data de Publicao : 30/10/1992 Ttulo : Materiais metlicos - Determinao das propriedades mecnicas trao Ttulo Idioma Sec. : Tension testing of metallic materials - Method of test Comit : ABNT/CB-04 Mquinas e Equipamentos Mecnicos N

o de Pginas :13

Status : Cancelada em 30/11/2002 Substituda por : ABNT NBR ISO 6892:2002 Organismo: ABNT - Associao Brasileira de Normas Tcnicas Objetivo: Esta Norma prescreve os conceitos e os procedimentos gerais que se aplicam aos ensaios de materiais e produtos metlicos. Na ilustrao acima vemos um dinammetro que um equipamento utilizado para medir foras.

Materiais Escoamento

MPa

Ruptura

MPa Ao Carbono

ABNT 1010 L 220 320 ABNT 1010 T 380 420 ABNT 1020 L 280 360 ABNT 1020 T 480 500 ABNT 1030 L 300 480 ABNT 1030 T 500 550 ABNT 1050 L 360 600 ABNT 1050 T 600 700 ABNT 1050 L 400 650

Ao Liga ABNT 4140 L 650 780 ABNT 4140 T 700 1000 ABNT 8620 L 400 700 ABNT8620 T 700 780

Ferro Fundido Cinzento 200 Branco 450 Preto F 350 Preto P 550 Nodular 670

CP

(mm) L

(mm) S0

(mm2)

Limite de escoamento

Limite de resistncia

Alongamento Estrico

N MPa N MPa Lf (mm) % f (mm) %

1 10 50 78,54 21991 32987 420 62 24 6 64

Executante: Visto:

Materiais Escoamento

MPa

Ruptura

MPa Materiais no frrosos

Alumnio 30-120 70-230 Duro Al 14 100-420 200-500 Cobre Telrio 60-320 230-350 Cobre Nquel 120-650 300-750 Magnsio 140-200 210-300

Materiais no metlicos Borracha - 20-80 Concreto - 0,8 - 7

Madeiras Peroba 100-200 Pinho 100-120 Eucalpito 100-150

Plsticos Nylon 80

Vidro Vidro Plano 5-10

L-Laminado F- Ferritico T Trefilado P -Perlitico

http://www.abntcatalogo.com.br/norma.aspx?ID=2727http://www.abntcatalogo.com.br/norma.aspx?ID=2727

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FOLHA DE EXERCCIO II 1. Calcule a deformao sofrida por um corpo de 150 mm, que aps um ensaio de trao passou a apresentar 160 mm de comprimento. Expresse a resposta de forma percentual. Resp. ____________ 2. Analise o diagrama tenso-deformao abaixo e assinale qual a letra que representa as regies indicadas abaixo. 3. Que propriedade mais importante determinar na prtica: o limite elstico ou o limite de ruptura? Justifique sua resposta. Resp ______________________________________________ ____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4. Um corpo de prova de ao com dimetro d=20 mm e comprimento L=60 mm ser submetido a um ensaio

de trao. Se for aplicada uma fora F de 100kN, qual a tenso absorvida pelo corpo de prova ( ) e qual a

deformao do mesmo ( )? O mdulo de elasticidade do ao (E) igual a 210 GPa. 5. O pedal indicado na figura articulado por um pino ao ponto C. Sabendo-se que P = 2000 N determine:

a) a fora que atua no ponto B; 4800N

A

B

C

I

II

III

12

b) o dimetro do cabo AB a resistncia trao corresponde a 200MPa. Resp. 0,0031186m = 3,12mm 6. Um conjugado M de 1500 N.m aplicado ao eixo da manivela, no esquema de motor mostrado na figura. Para a posio indicada, determinar: a) a fora P necessria para manter o sistema em equilbrio; Resp. 20kN b) a tenso normal na barra BC, que tem seo transversal uniforme de rea igual a 470 mm

2. Resp. 42553191Pa =42,55MPa

7. Uma barra de alumnio de possui uma seco transversal quadrada com 60 mm de lado, o seu comprimento de 0,8m. A carga axial aplicada na barra de 30 kN. Determine o seu alongamento. Eal = 0,7x103 MPa. 8. Calcular a tenso de trabalho no elo da corrente em figura ao lado. 9. Determinar a tenso na corrente com dimetro da seo elo igual a 15mm, a qual sustenta e estrutura indicada ao lado:

10. Calcular o alongamento total de um fio de cobre de comprimento 50 cm e dimetro 2 mm quando aplicado uma carga de 20 kgf.

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AULA 3. ENSAIOS DE RESISTNCIA COMPRESSO 3.1. Introduo ao ensaio de compresso - O que a compresso e a trao tm em comum? De modo geral, podemos dizer que a compresso um esforo axial, que tende a provocar um encurtamento do corpo submetido a este esforo. Nos ensaios de compresso, os corpos de prova so submetidos a uma fora axial para dentro, distribuda de modo uniforme em toda a seo transversal do corpo de prova. Do mesmo modo que o ensaio de trao, o ensaio de compresso pode ser executado na mquina universal de ensaios, com a adaptao de duas placas lisas - uma fixa e outra mvel. entre elas que o corpo de prova apoiado e mantido firme durante a compresso.

As relaes que valem para a trao valem tambm para a compresso. Isso significa que um corpo submetido a compresso tambm sofre uma deformao elstica e a seguir uma deformao plstica. Na fase de deformao elstica, o corpo volta ao tamanho original quando se retira a carga de compresso.

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Na fase de deformao plstica, o corpo retm uma deformao residual depois de ser descarregado. Nos ensaios de compresso, a lei de Hooke tambm vale para a fase elstica da deformao, e possvel determinar o mdulo de elasticidade para diferentes materiais. 3.2. Clculo de compresso - Na compresso, as frmulas para clculo da tenso, da deformao e do mdulo de elasticidade so semelhantes s que j foram demonstradas em aulas anteriores para a tenso de trao. Por isso, sero mostradas de maneira resumida, a seguir.

L

LL

0

f0

LL

e se AE

FL)L(L

EA

F

LE

ento E

E

Exemplo: Um corpo de prova de ao com dimetro d = 20 mm e comprimento L = 60 mm ser submetido a um ensaio

a 210.000 MPa.

422

101416,3A4

020,0A

4

dA

m101,910210101416,3

106010100

AE

FL)L( 5

94

33

%1515.0100001515.01060

101,9

L 3

5

MPa309,318N10309,31810210001515.0 69E

3.3. Limitaes do ensaio de compresso - O ensaio de compresso no muito utilizado para os metais em razo das dificuldades para medir as propriedades avaliadas neste tipo de ensaio. Os valores numricos so de difcil verificao, podendo levar a erros. Um problema que sempre ocorre no ensaio de compresso o atrito entre o corpo de prova e as placas da mquina de ensaio. A deformao lateral do corpo de prova barrada pelo atrito entre as superfcies do corpo de prova e da mquina. Para diminuir esse problema, necessrio revestir as faces superior e inferior do corpo de prova com materiais de baixo atrito (parafina, teflon etc). Outro problema a possvel ocorrncia de flambagem, isto , encurvamento do corpo de prova. Isso decorre da instabilidade na compresso do metal dctil. Dependendo das formas de fixao do corpo de prova, h diversas possibilidades de encurvamento, conforme mostra a figura ao lado. 3.4. Flambagem - A flambagem ocorre principalmente em corpos de prova com comprimento maior em relao ao dimetro. Por esse motivo, dependendo do grau de ductilidade do material, necessrio limitar o comprimento dos corpos de prova, que devem ter de 3 a 8 vezes o valor de seu dimetro. Em alguns materiais muito dcteis esta relao pode chegar a 1:1 (um por um). Outro cuidado a ser tomado para evitar a flambagem o de garantir o perfeito paralelismo entre as placas do equipamento utilizado no ensaio de compresso. Deve-se centrar o corpo de prova no equipamento de teste, para garantir que o esforo de compresso se distribua uniformemente. 3.5 Ensaio de compresso em materiais dcteis - Nos materiais dcteis a compresso vai provocando uma deformao lateral aprecivel. Essa deformao lateral prossegue com o ensaio at o corpo de prova se transformar num disco, sem que ocorra a ruptura.

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por isso que o ensaio de compresso de materiais dcteis fornece apenas as propriedades mecnicas referentes zona elstica. As propriedades mecnicas mais avaliadas por meio do ensaio so: limite de proporcionalidade, limite de escoamento e mdulo de elasticidade. 3.6 Ensaio de compresso em materiais frgeis - O ensaio de compresso mais utilizado para materiais frgeis. Uma vez que nesses materiais a fase elstica muito pequena, no possvel determinar com preciso as propriedades relativas a esta fase. A nica propriedade mecnica que avaliada nos ensaios de compresso de materiais frgeis o seu limite de resistncia compresso. Do mesmo modo que nos ensaios de trao, o limite de resistncia compresso calculado pela carga mxima dividida pela seo original do corpo de prova. 3.7. Ensaios de achatamento em tubos - Consiste em colocar uma amostra de um segmento de tubo deitada entre as placas da mquina de compresso e aplicar carga at achatar a amostra. A distncia final entre as placas, que varia conforme a dimenso do tubo deve ser registrada. O resultado avaliado pelo aparecimento ou no de fissuras, ou seja, rachaduras, sem levar em conta a carga aplicada. Este ensaio permite avaliar qualitativamente a ductilidade do material, do tubo e do cordo de solda do mesmo, pois quanto mais o tubo se deformar sem trincas, mais dctil ser o material. Ensaios em molas - Para determinar a constante elstica de uma mola, ou para verificar sua resistncia, faz-se o ensaio de compresso. Para determinar a constante da mola, constri-se um grfico tenso-deformao, obtendo-se um coeficiente angular que a constante da mola, ou seja, o mdulo de elasticidade. De acordo com lei de Hooke, uma massa de 1 kg est presa a uma mola suspensa num suporte. Enquanto a massa mantida pela mo, a mola no apresenta deformao. Porm, quando a massa mola, podemos estabelecer uma relao entre a fora de 1 kgf e a fora que desejamos medir. Cada mola se comporta de uma maneira. Umas esticam muito, outras menos. Foi Robert Hooke quem descobriu a lei (que leva seu nome) que afirma que, dentro de certos limites, existe uma proporcionalidade direta entre a fora aplicada numa mola e sua deformao. Ou seja, quanto mais coisas pendurarmos na mola, mais ela se alongar.

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FOLHA DE EXERCCIO III

1. Na compresso de metais dcteis no possvel determinar: a) ( ) o limite elstico; b) ( ) o limite de escoamento; c) ( ) a deformao; d) ( ) o limite de ruptura. 2. Nos ensaios de compresso de materiais frgeis, a propriedade mecnica avaliada : a) ( ) limite de proporcionalidade; b) ( ) limite de elasticidade; c) ( ) limite de resistncia; d) ( ) limite de escoamento. 3. Ensaios de compresso costumam ser realizados em produtos acabados, tais como: a) ( ) barras e chapas; b) ( ) tubos e molas; c) ( ) molas e mancais; d) ( ) tubos e discos.

4. A barra rgida BDE suspensa por duas hastes AB e CD. A haste

AB de alumnio (E = 70 GPa) com rea da seo transversal de 500

mm2 a haste CD de ao (E = 200 GPa) com rea da seo

transversal de 600 mm2 Para a fora de 30 kN determine:

deslocamento de B;

deslocamento de D;

deslocamento de E.

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5. A haste CE de 10 mm de dimetro e a haste DF de 15 mm de dimetro so ligadas barra rgida ABCD como na figura. Sabendo-se que as hastes so de alumnio e usando-se E = 70 GPa, determinar:

a) a fora provocada em cada haste pelo carregamento indicado; b) o deslocamento do ponto A.

6. A barra rgida CDE presa ao apoio E por um pino, e se apoia no cilindro de cobre BD de 30 mm de dimetro. Um parafuso de 22 mm de dimetro passa por um furo na barra em C, e fixo 8 uma porca simplesmente ajustada. A montagem, feita temperatura de 20 C, no leva nenhuma tenso estrutura. A temperatura do cilindro de cobre aumentada para 50C, enquanto o parafuso tem sua temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condies as tenses no cilindro.

AULA 4. ENSAIO DE RESISTNCIA AO CISALHAMENTO E AO ESMAGAMENTO 4.1. Introduo - Pode ser que voc no tenha se dado conta, mas j praticou o cisalhamento muitas vezes em sua vida. Afinal, ao cortar um tecido, ao fatiar um pedao de queijo ou cortar aparas do papel com uma guilhotina, estamos fazendo o cisalhamento. No caso de metais, podemos praticar o cisalhamento com tesouras, prensas de corte, dispositivos especiais ou simplesmente aplicando esforos que resultem em foras cortantes. Ao ocorrer o corte, as partes se movimentam paralelamente, por escorregamento, uma sobre a outra, separando-se. A esse fenmeno damos o nome de cisalhamento. Todo material apresenta certa resistncia ao cisalhamento. Saber at onde vai esta resistncia muito importante, principalmente na estamparia, que envolve corte de chapas, ou nas unies de chapas por solda, por rebites ou por parafusos, onde a fora cortante o principal esforo que as unies vo ter de suportar. Nesta estudo voc ficar conhecendo dois modos de calcular a tenso de cisalhamento: realizando o ensaio de cisalhamento e utilizando o valor de resistncia trao do material. E ficar sabendo como so feitos os ensaios de cisalhamento de alguns componentes mais sujeitos aos esforos cortantes.

4.2. A fora que produz o cisalhamento - Ao estudar os ensaios de trao e

de compresso, voc ficou sabendo que, nos dois casos, a fora aplicada

sobre os corpos de prova atua ao longo do eixo longitudinal do corpo.

4.3. Ensaio de cisalhamento - No caso do cisalhamento, a fora aplicada ao

corpo na direo perpendicular ao seu eixo longitudinal. Esta fora cortante,

aplicada no plano da seo transversal (plano de tenso), provoca o

cisalhamento.

18

Como resposta ao esforo cortante, o material desenvolve em cada um dos pontos de sua seo transversal uma reao chamada resistncia ao cisalhamento. A resistncia de um material ao cisalhamento, dentro de uma determinada situao de uso, pode ser determinada por meio do ensaio de cisalhamento. 4.4. Aplicao do ensaio de cisalhamento - A forma do produto final afeta sua resistncia ao cisalhamento. por essa razo que o ensaio de cisalhamento mais freqentemente feito em produtos acabados, tais como pinos, rebites, parafusos, cordes de solda, barras e chapas. tambm por isso que no existem normas para especificao dos corpos de prova. Quando o caso, cada empresa desenvolve seus prprios modelos, em funo das necessidades. Do mesmo modo que nos ensaios de trao e de compresso, a velocidade de aplicao da carga deve ser lenta, para no afetar os resultados do ensaio. Normalmente o ensaio realizado na mquina universal de ensaios, qual se adaptam alguns dispositivos, dependendo do tipo de produto a ser ensaiado. Para ensaios de pinos, rebites e parafusos utiliza-se um dispositivo como o que est representado simplificadamente na figura ao lado. O dispositivo fixado na mquina de ensaio e os rebites, parafusos ou pinos so inseridos entre as duas partes mveis. Ao se aplicar uma tenso de trao ou compresso no dispositivo, transmite-se uma fora cortante seo transversal do produto ensaiado. No decorrer do ensaio, esta fora ser elevada at que ocorra a ruptura do corpo. No caso de ensaio de solda, utilizam-se corpos de prova semelhantes aos empregados em ensaios de pinos. S que, em vez dos pinos, utilizam-se junes soldadas. Para ensaiar barras, presas ao longo de seu comprimento, com uma extremidade livre, utiliza-se o dispositivo abaixo: No caso de ensaio de chapas, emprega-se um estampo para corte, como o que mostrado ao lado. Neste ensaio normalmente determina-se somente a tenso de cisalhamento, isto , o valor da fora que provoca a ruptura da seo transversal do corpo ensaiado. Quer saber mais sobre a tenso de cisalhamento? Ento, estude o prximo tpico.

4.5. Clculo da tenso de cisalhamento - A tenso de cisalhamento ser aqui identificada por . Para

calcular a tenso de cisalhamento, usamos a frmula: A

F

onde F representa a fora cortante e S

representa rea do corpo. Esta frmula permite resolver o problema a seguir. Vamos tentar? Verificando o entendimento Observe o desenho a seguir. Ele mostra um rebite de 20 mm de dimetro que ser usado para unir duas chapas de ao, devendo suportar um esforo cortante de 29400 N. Qual a tenso de cisalhamento sobre a seo transversal do rebite? Resposta: .............................................. Vamos conferir?

19

O primeiro passo consiste em calcular rea da seo transversal do rebite, que dada pela frmula:

4-22

103,14A4

000403,14A

4

02003,14A

4A

,,

Agora, basta aplicar a frmula para o clculo da tenso de cisalhamento: A

F

Deste modo: 93,58MPa103,14

29400

A

F4-

A realizao de sucessivos ensaios mostrou que existe uma relao constante entre a tenso de

cisalhamento e a tenso de trao. Na prtica, considera-se a tenso de cisalhamento ( ) equivalente a

75% da tenso de trao ( ).

Em linguagem matemtica isto o mesmo que: = 0,75 . por isso que, em muitos casos, em vez de realizar o ensaio de cisalhamento, que exige os dispositivos j vistos, utilizam-se os dados do ensaio de trao, mais facilmente disponveis.

4.6. Aplicao prtica - O conhecimento da relao entre a tenso de cisalhamento e a tenso de trao permite resolver inmeros problemas prticos, como o clculo do nmero de rebites necessrios para unir duas chapas, sem necessidade de recorrer ao ensaio de cisalhamento. Como fazer isso? Preste ateno. Imagine que precisemos unir duas chapas, como mostra a ilustrao a seguir.

Sabemos que a tenso de cisalhamento que cada rebite suporta igual a: S

F

Ainda no sabemos qual o nmero de rebites necessrios, por isso vamos cham-lo de n. A tenso de cisalhamento ser ento distribuda pela rea de cada rebite, multiplicada pelo nmero de rebites (S x n). Consequentemente, a frmula para clculo da tenso de cisalhamento sobre as chapas ser expressa por:

nS

F

Isolando o n, que o fator que nos interessa descobrir, chegamos frmula para o clculo do nmero de

rebites: S

Fn

No exemplo que estamos analisando, sabemos que:

as chapas suportaro uma fora cortante (F) de 20.000 N

o dimetro (D) de cada rebite de 4 mm

Portanto, j temos todos os dados necessrios para o clculo do nmero de rebites que devero unir as chapas. Basta organizar as informaes disponveis. No temos o valor da tenso de cisalhamento dos rebites, mas sabemos que ela eqivale a 75% da tenso de trao, que conhecida. Ento, podemos calcular:

= 0,75 = 0,75 x 650 = 487,5 MPa Conhecendo o dimetro de cada rebite, podemos calcular rea da sua seo

transversal: 222

12,56mmA43,14A4

43,14A

4A

Agora, basta transportar os valores conhecidos para a frmula:

22 mm6,123

20000Nn

487,5MPa12,46mm

20000Nn

A

Fn

20

Metais e ligas LE ( MPa )

MPa LA %

em 50 mm

Alumnio 35 90 40

Cobre 69 200 45

Bronze (70Cu -30Zn) 75 300 68

Ferro Fundido 130 262 45

Nquel 138 480 40

Ao 1020 345 440 37

Ao 10 40 375 590 28

Ao 10 50 425 750 20

Ao 10 60 420 775 18

Ao 10 80 525 1010 11

Titnio 450 520 25

Molibidnio 565 655 35 LE=Limite de Escoamento = Resistncia trao LA= Limite de

Alongamento

Como 2mm

N igual a MPa, podemos cancelar estas

unidades. Ento, o nmero de rebites ser: n = 3,266 rebites Por uma questo de segurana, sempre aproximamos o resultado para maior. Assim, podemos concluir que precisamos de 4 rebites para unir as duas chapas anteriores.

que foi estudado e fazer mais alguns exerccios para reforar o aprendizado.

FOLHA DE EXERCCIO IV

1. O pedal indicado na figura ligado ao ponto C por um pino de 6 mm de dimetro. Sabendo-se que P = 50 N, pede-se determinar: a) a tenso mdia de cisalhamento no pino C; b) a tenso nominal de esmagamento no mancal no ponto C; c) a tenso nominal de esmagamento em cada chapa de ligao no ponto C. 2. No suporte da figura ao lado a haste ABC tem, na parte superior, 9mm de espessura, e na parte inferior, 6mm de espessura de lado. Uma adesivo industrial usada para unir as partes inferior da, no ponto B. Os pinos no ponto A e C tm 9 mm e 6mm de dimetro, respectivamente. Determinar: a) a tenso de cisalhamento no pino A; b) a tenso de cisalhamento no pino C; c) a maior tenso normal na haste ABC; d) a tenso mdia de cisalhamento nas superfcies coladas; e) a tenso de esmagamento na haste C. 3. Dois cilindros hidrulicos comandados por um CLP numa malha de controle SDCD atuam atravs de sinal

eltrico on- off nos pontos E e D, tencionando o cabo AB ilustrado na figura ao lado.

21

Calcule: a) a fora total que atua no cabo AB: b) o dimetro do cabo AB cuja tenso admissvel de 200 MPa; c) a tenso de cisalhamento e o dimetro do pino F de ao ABNT

1050; d) a largura do pedal no ponto B, construdo em ao forjado

ABNT 1060; e) a espessura mnima da chapa do suporte do cabo feita de ao

ABNT 1020: f) a fora resultante no ponto C; g) o dimetro do pino C de ao ABNT 1050; h) a espessura t do mancal do ponto C.

AULA 5 - ENSAIO DE TORO

5.1. Introduo - Nos dois captulos precedentes, foram discuti dos os

membros de estruturas submetidos a foras axiais, aplicadas na direo do eixo

das barras analisadas. Este captulo vai estudar peas submetidas a efeito de

toro. Especificamente, estudaremos as tenses e deformaes produzidas em

peas de seo transversal circular, sujeitas ao de conjugados que tendem

a torcer essas peas. Tais conjugados so chamados de momentos de toro,

mesma intensidade T e sentidos opostos. So ento grandezas vetoriais e

podem ser representadas de duas maneiras: setas curvas, como na Fig. (a) ou

vetores binrios, isto setas acrescidas com o smbolo , para distingui-los dos

vetores que representam foras (Fig. b).

5.2. Aplicao dos ensaios de toro - Peas submetidas a toro so

encontradas em muitas aplicaes da prtica de engenharia. O caso mais comum

de aplicao o de eixos de transmisso, utilizados para transmitir potncia de um

ponto a outro, como no caso de uma turbina a vapor ligada a um gera dor de

eletricidade, ou de motores acoplados a mquinas e ferramentas, bem como no

caso da transmisso de potncia do motor de um carro ao eixo traseiro.

Os eixos de transmisso podem ser macios ou ocos. Tomando como exemplo

o esquema da Fig. (a), vemos a turbina A conectada ao gerador B por meio do

eixo de transmisso AB.

Dividindo o conjunto nas trs partes componentes (Fig. b), vemos que a turbina exerce sobre o eixo o momento torcional ou torque T, e o eixo exerce sobre o gerador um torque de mesma intensidade. O gerador reage, exercendo sobre o

22

5.3. Anlise preliminar das tenses em um eixo.- Consideremos o eixo AB sujeito ao dos momentos

perpendicular ao eixo longitudinal em um ponto qualquer C (Fig. c). O diagrama de corpo livre da parte BC deve incluir as foras elementares de cisalhamento F, perpendiculares ao raio do eixo, que a parte AC exerce sobre a parte BC quando o eixo torcido (Fig. a). Para ocorrer o equilbrio da parte BC, o conjunto de foras elementares deve produzir um momento de toro interno T, igu 5.4. Clculo da tenso de cisalhamento - ao centro da seo circular. Para expressar que a soma dos momentos das foras F em relao ao centro tem a mesma intensidade do torque T.

ou, lembrando que F = A onde (tau) a tenso de A).

A

F

Essa relao expressa uma condio importante que deve ser satisfeita pelas tenses de cisalhamento em qualquer seo transversal do eixo. Ela no indica, no entanto, de que modo as tenses se distribuem na seo transversal. Sabemos que o momento de toro produz tenses de cisalhamento mas faces perpendiculares ao eixo da barra circular.

finas, ligadas s extremidades da barra por pinos presos a discos (Fig. a). Podemos fazer vrias marcas em duas lminas contguas, e aplicar momentos de toro de mesma intensidade e sentidos contrrios nas extremidades da pea. Quando isso feito, observa-se nitidamente que uma lmina escorrega em relao a outra (Fig. b). Nos materiais coesivos esse deslizamento no ocorre realmente, mas a tendncia ao deslizamento vai existir, provando a existncia de tenses de cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais, simultaneamente*. 5.5 Deformaes nos eixos circulares. Um eixo circular est fixa do a um suporte indeslocvel, por uma de suas pontas (Fig.a). Aplicando-se extremidade livre o momento de toro T, o eixo gira, e a seo transversal da extremidade

Podemos demonstrar a existncia das tenses de cisalhamento em planos longitudinais em um eixo, aplicando uma toro a um tubo de papelo que tenha sido cortado longitudinalmente. 5.6. Clculo da deformaes nos eixos circulares - A experincia mostra que para uma certa faixa de variao do valor T, o ngulo de

comprimento L do eixo. Isto quer dizer que para um eixo de mesma seo e mesmo material, mas com o dobro do comprimento, o ngulo de toro ser duas vezes maior, para o mesmo momento T. Um dos objetivos de nossa anlise ser determinar a relao existente T; outro objetivo ser descobrir a real distribuio das tenses na seo transversal do eixo. Tomando agora um eixo circular de comprimento L e raio c, que foi

torcido de um ngulo de toro , passamos determinao da distribuio de tenses de cisalhamento na seo transversal (Fig. a).

Retiramos do interior do eixo um cilindro de raio , marcando na superfcie deste um elemento de rea formado por dois crculos adjacentes e duas geratrizes muito prximas. Antes da atuao de qualquer esforo de toro o elemento se apresenta - como indica a Fig. (b). Aps a aplicao de um momento de toro o elemento se transforma em um losango (Fig. c).

23

Sabemos que a deformao de cisalhamento em um certo elemento medida pela variao do ngulo formado pelos lados do elemento. No problema que analisamos aqui, dois lados do elemento formados por

crculos, que permanecem inalterados. Assim, a deformao de cisalhamento deve ser igual ao ngulo

deve ser expresso em radianos.)

A Fig. (c) nos mostra que quando Ao mesmo tempo, na seo transversal extrema temos

. Desse modo, L = , ou L

Onde e so expressos em radianos A equao acima mostra, como era de se esperar, que a

deformao de cisalhamento em um certo ponto do eixo sujeito toro proporcional ao ngulo de giro .

Ela mostra tambm que proporcional distncia p do centro do eixo circular ao ponto considerado. Dessas observaes conclumos que a deformao de cisalhamento em uma barra circular varia linearmente com a distncia ao eixo da barra.

Segue-se ento, da Equao L

, que a deformao de cisalhamento mxima na superfcie da barra

circular, onde = c. TemosL

mx

c

Eliminando e L nas Equaes L

e L

mx

c

a uma distncia do eixo da barra por

cccmxmxmx

L e

L

5.7 Tenses no regime elstico. Nesta discusso sobre toro de eixos circulares, no adotamos at agora nenhuma relao particular entre tenses e deformaes. Vamos considerar agora o caso em que o momento de toro T tem um valor tal que as tenses no material se mantm abaixo da tenso de

cisalhamento de escoamento Sabemos as tenses no material permanecem abaixo do limite de proporcionalidade e do limite de

elasticidade. Podemos aplicar a Lei de Hooke = E e sabemos que no haver deformao permanente. Aplicando a Lei de Hooke para tenses e deformaes de cisalhamento, temos:

=G onde G o mdulo de elasticidade transversal do material. Tomando a Equao

cmx . e multiplicando por G escrevemos mxG

G

c

ou usando = G mx

c

A equao obtida mostra que enquanto a tenso de escoamento (ou o limite de proporcionalidade) no for atingida, a tenso de cisalhamento na barra circular

varia linearmente com a distncia do eixo da barra. A Fig. (a) mostra a distribuio de tenso de cisalhamento na seo transversal de um eixo circular macio.

24

Na Fig. (b) mostrada a distribuio das tens de cisalhamento em um eixo circular vazado, de raio interno c1, e raio externo c2.

Da Equao mx

c

vemos que, no segundo caso, mx1

mn

2c

c

Recordamos agora que a soma dos momentos das foras elementares que atuam na seo do eixo circular

deve ser igual intensidade do momento T aplicado ao eixo: T= A

Ac

T mx 2 J

Tc calculando ou

c

JT mx

mx

Substituindo esse valor em mx

c

, temos a expresso da tenso de cisalhamento a uma distncia

do eixo da barra circular, que J

T

As Equaes c

JT mx e

J

T so conhecidas como as frmulas da toro em regime elstico.

Recordamos da esttica a frmula do momento de inrcia polar de um crculo de raio c, que J = 1/2 c4

No caso de um eixo circular de seo vazada, com raio interno c1 e raio

externo c2 , o momento polar de inrcia ser dado por )(JJ41

42

41

42 cc

2

1c

2

1c

2

1

Nas Equaes. c

JT mx ou

J

T , T ser expresso em N.m, c ou p em metros, e J em m4

verificamos que a tenso de cisalhamento ser expressa em N/m , isto , em pascal (Pa).

Problema resolvido Um eixo circular vazado de ao tem comprimento L = 1,5 m e dimetros interno e externo respectivamente de 40 a 60 mm. a) Qual o maior momento de toro que pode ser aplicado ao eixo, para que as tenses de cisalhamento no excedam 120 MPa? b) Qual o valor mnimo da tenso de cisalhamento para esse caso? a) Maior momento de toro. O maior momento T que pode ser

aplicado ao eixo aquele que leva tenso mxima mx = 120 MPa. Como esse valor est abaixo da

tenso de escoamento para o ao, podemos usar a c

JT

J

Tc mxmx .

Calculamos o momento de inrcia polar pela Equao )-( J 4142

41

42 cc

2

1c

2

1c

2

1J

Com c1 = 1/2 (40 mm) = 0,02 m c2 = 1/2 (60 mm) = 0,03 m, escrevendo

46-41

42

41

42 m101,021J )0,02-(0,03

2

1J c

2

1c

2

1J

Levando os valores de J e mx em, e fazendo c c2 = 0,03 m, temos

m4,08kNTc

Pa)10 )(120m10(1,021T

c

JT

646mx

25

b) Tenso de cisalhamento mnima. O menor valor da tenso de cisalhamento ocorre na face interna do

eixo circular. Ela pode ser obtida da, que relaciona mn e mx, que so respectivamente proporcionais a c1 e c2:

mx

2

1mn

c

c

80MPa0MPa)(0,03m

0,02m

c

cmnmnmx

2

1mn 12

As frmulas J

Tcmx e

J

Tforam deduzidas tomando-se um eixo circular de seo transversal

uniforme com momentos aplicados s extremidades do eixo. Essas frmulas tambm podem ser utilizadas para o caso de sees transversais variveis, ou no caso em que os momentos de toro so aplicados em qualquer ponto do eixo (Fig. a). A distribuio das tenses

em uma certa seo S do eixo circular obtida pela Eq. J

Tcmx , onde J representa o momento de

inrcia polar dessa seo, enquanto T representa o esforo interno de toro na seo. O valor de T obtido estudando-se o diagrama de corpo livre da parte do eixo localizada para um dos lados da seo (Fig. b), quando se somam os momentos de toro aplicados a essa parte, com o momento interno T, igualando a zero a expresso obtida. 5.8. Clculo do ngulo de Toro no Regime Elstico. Neste item

desenvolveremos uma relao entre o ngulo de toro de um eixo circular e o momento toror T que se aplica ao eixo. Vamos admitir que qualquer poro do eixo vai permanecer elstica. Consideremos inicialmente o caso de um eixo circular de comprimento L que tem seco uniforme de raio c. O eixo est sujeito ao do momento toror T em lima das suas extremidades, sendo a outra extremidade

fixa (Fig. ao lado). Sabemos, que o ngulo de toro e a

deformao de cisalhamento mxima mx esto relacionadas pela

expresso L

mx

c

Como em regime elstico a tenso de escoamento no excedida em nenhum ponto do eixo, podemos

aplicar a Lei de Hooke, escrevendo G

mxG . Usando a J

Tcmx vem:

JGGGmxmxmx

TcJTc

mx onde JG

TL

onde expresso em radianos. A relao obtida mostra que, dentro do regime elstico, o ngulo de toro

proporcional ao momento de toro T aplicado ao eixo circular. Essa concluso est de acordo com os resultados experimentais citados anteriormente.

A Eq. JG

TLnos d um mtodo conveniente para a determinao do mdulo de elasticidade transversal G

de um certo material. Um corpo de prova do material, em forma de barra cilndrica, com comprimento e dimetro conhecidos, levado a uma mquina de testes de toro O valor do momento de toro aplicado pela mquina aumentado gradativamente, e os correspondentes ngulos de toro so medidos em certo comprimento L do corpo de prova.

Enquanto o incio de escoamento no ocorre, os valores de e J sero tais que, se levados a um grfico x J resultando em uma linha reta. A declividade da reta representa a quantidade JG/L, de onde podemos calcular o mdulo de elasticidade transversal G.

Problemas resolvidos

26

a) Que valor de momento de toro deve ser aplicado a extremidade do eixo rvore ilustrado ao lado, de modo que o ngulo de toro produzido seja de 2? Adotar para o mdulo de elasticidade G o valor 80 GPa, para o ao.

Se G=80 GPa =2 rad10934rad2

2 3,360

)(

46-41

42

41

42 m101,021J )0,02-(0,03

2

1J c

2

1c

2

1J

Calculando T teremos mkN91T108010934

TJG

TTL 93

.,1,5

101,021,

LJG

-6

b) Calcular; para o eixo de seco vazada (ver figura acima), o valor do ngulo de toro que provoca uma tenso de cisalhamento de 70 MPa na face interna do eixo.

O mtodo de resoluo deste problema que primeiro vem mente utilizar a Eq. J

T para determinar

o momento de toro T correspondente ao valor de T dado, e a Eq. JG

TL para determinar o ngulo de

toro correspondente ao valor de T encontrado. Podemos usar, no entanto, uma soluo mais direta. Pela lei de Hooke, calculamos inicialmente a deformao de cisalhamento na face interna do eixo:

6

9

6mx 10875

1080

1070mxmxmx

G

Recordando da Eq. L

c, que foi obtida expressando o

comprimento de arco AA' (Fig. ao lado) em funo de e temos

rad1066510

1087551L 36

,0,02

,

c 11

mn

,

, 763rad2

360rad10665 3

Para obter o ngulo de toro em graus s fazer a transformao Agora vamos analisar o conjunto mostrado na figura (a) ao lado, que consiste de dois eixos elsticos AD e BE, ambos de comprimento L e raio c, com mdulo de elasticidade transversal G, ligados em C pelas rodas dentadas indicadas. Quando um torque T aplicado em E, figura (b), os dois eixos ficaro submetidos toro. Como a barra circular AD tem extremidade D fixa, o ngulo de

toro de AD medido pelo ngulo de rotao A da extremidade A. Para o eixo BE, que tem as extremidades livres, o

ngulo de toro igual diferena entre os ngulos de rotao B E, quer dizer, o ngulo segundo o qual a extremidade E gira em relao

extremidade B. Chamando esse ngulo relativo de E/B' escrevemos

27

JGJG/

TLTLBEBE

No conjunto da Fig. (a), sabe-se que rA =2rB; Determinar o ngulo de rotao da extremidade E do eixo BE, quando o momento toror T aplicado em E. Vamos inicialmente determinar o momento de toro TAD, que atua no eixo AD. No ponto de contato das duas rodas dentadas (Fig. b) ocorrem as duas foras iguais e de sentido contrrio, F e F'. Lembrando que rA = 2rB' conclumos que o momento toror do eixo AD o dobro do momento toror no eixo BE; dessa forma, TAD =2T.

A extremidade D do eixo AD fixa e o ngulo de rotao da seco A, A' pode ser igualado ao ngulo de toro do eixo, que se obtm por

JGJG

TL2LTA

ADA

Na Fig. (b), observamos que os arcos CC' e CC" devem ser iguais. Temos ento que rA A =rB B e obtemos o

valor B =(rA/rB) B = 2 A'

Desse modo, JG

)JG

(JG

TL4TL22

TL22 BBAAB

Analisando agora o eixo BE, sabemos que o ngulo de toro igual ao ngulo segundo o qual a seco E gira em relao seco B. Temos

JGJG//

TLLTBE

BEBE

O ngulo da extremidade E obtido fazendo

JGJGJG/

TL5TLTL4EEBEBE

5.9. Projeto de Eixos de Transmisso. As principais especificaes a serem consideradas no projeto de eixos de transmisso so a potncia a ser transmitida e a velocidade de rotao do eixo. O projetista dever escolher materiais e dimenses adequadas, de modo que a mxima tenso de cisalhamento admissvel no seja excedida quando o eixo transmitir a potncia requerida na velocidade especificada. Para determinar o torque no eixo de transmisso, recordamos da dinmica elementar que a potncia P

associada rotao de um corpo rgido sujeito a um torque T TP onde a velocidade angular do corpo, expressa em radianos por segundo.

Mas = 2 f, onde f a freqncia do movimento de rotao, isto , o nmero de revolues por segundo. A unidade de freqncia ls

-1, chamada hertz.

Substituindo em TP , escrevemos (1s-1 = 1 hertz = 1 Hz) fT 2 P Expressando a freqncia em Hz e T em N.m, a potncia ser expressa em N.m/s, isto , em watts (W). Calculando o valor de T, obtemos o torque exercido em um eixo que transmite a potncia P a uma

freqncia de rotao f, f 2

P T . onde P, f e T so expressos nas unidades indicadas acima.

Uma vez tendo determinado o valor do torque T que ser aplicado ao eixo, e escolhido o material a ser usado, o projetista levar os valores de T e da mxima tenso de cisalhamento admissvel s frmulas de

toro em regime elstico J

Tcmx .

28

Resolvendo para J/c, ele encontrar mx

J T

c

T mx obtendo desta relao o menor valor admissvel para o parmetro J/c. Verificamos que, ao usarmos T em Pa (N/m

2) e Tem N.m, vamos obter J/c em m

3. No caso de um eixo circular de seo macia,

34 c 2

1Jc

2

1J

c levando esse valor de J/c na Eq.

mx

J T

c, determinamos o mnimo valor

admissvel para o raio c do eixo circular. No caso de seco vazada, o parmetro crtico J/C2, onde C2 o

raio externo do eixo; esse valor pode ser calculado da Equao ) c (c 2

1J 41

42

, para determinarmos se

uma certa seco aceitvel. usual nas aplicaes prticas encontrar a freqncia expressa em rotaes por minuto, rpm, e a potncia em cavalos-vapor (C.V.), ou na unidade inglesa horsepower (hp). Antes de aplicarmos a frmula

f 2

P T necessrio converter a freqncia em revolues por segundo (hertz) e a potncia em N.m/s,

atravs das relaes seguintes: 1rpm = 60 rps = 60 Hz 1HP = 746N.m/s =1J/s 1cv = 735,3N.m/s = 1W =1J/s Problema Resolvido Um eixo constitudo por um tubo de ao de 50 mm de dimetro externo, e deve transmitir 100 kW de potncia a uma freqncia de 76 Hz. Determinar a espessura do tubo para que a tenso mxima de cisalhamento no exceda a 60 MPa.

O torque exercido sobre o eixo dado pela frmula. mN8795T0

TT ., 2 2

10100

f 2

P

3

Da frmula mx

J T

c calculamos o valor do parmetro J/c2, que deve ser no mnimo igual

36

6m102613

c1060

8795

c,

J,J

)c0,025 ( ,

J)cc (

J 41

41

42

0500ccc 222

Igualando o segundo membrof 2

P T e )cc (

J 41

42

22 cc )103,26(

,),( 6-1

0500c0250 44

mm620c10620c106179c10211106380c 13

194

1994

1 ,, ,,

4462025cc 112 ,, Assim devemos usar um tubo de parede de 5mm

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FOLHA DE EXERCCIO V 1. O anteprojeto de um eixo-rvore de uma turbina de uma aeronave levou escolha de uma barra de seco vazada, com dimetro interno de 100 mm e dimetro externo de 150 mm. Pode-se determinar o mximo torque que poder ser transmitido, sendo a tenso admissvel do material 83 MPa, nas seguintes situaes: a) do projeto preliminar; b) supondo um eixo slido macio de mesmo peso daquele do anteprojeto; c) supondo um eixo de seco vazada com 200 mm de dimetro e de mesmo peso do eixo do anteprojeto. 2. O eixo circular BC vazado, e tem dimetros de 90 mm e 120 mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD so macios, com dimetro d. Determinar, para o carregamento indicado: a) o valor mximo e o valor mnimo da tenso de cisa1hamento no eixo BC; b) qual o dimetro necessrio nos eixos AB e CD se a tenso admissvel no material 65 MPa. 3. Dois eixos macios so ligados por engrenagens, como mostra a figura. Sabe- se que o material de cada eixo tem G = 80 MPa e

tenso de cisalhamento admissvel de 55 MPa.

Determinar: a) o maior valor do torque To que poder ser aplicado extremidade A do eixo; b) o ngulo de rotao da extremidade A do eixo AB, correspondente a To.