atividaes edagÓgicas e fortalecimento a...

PROFESSOR

ATIVIDADES PEDAGÓGICASDE FORTALECIMENTO DA APRENDIZAGEM

MATEMÁTICA - 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL - 2º BIMESTRE - CICLO II - 2018

ITEM 1

Analise cada uma das situações apresentadas a seguir que representam relações entre duas grandezas. I. Um veículo percorre 16 quilômetros com 2 litros de álcool. Mantendo-se as mesmas condições, quantos quilômetros ele percorrerá com 6 litros de álcool?II. Um automóvel a uma velocidade de 40 km/h percorre certa distância em 30 minutos. Se este automóvel estiver a uma velocidade de 80 km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?III. Cada 100 gramas de pera equivalem a 56 calorias. Se uma pessoa consome 50 gramas de pera por dia estará ingerindo quantas calorias?Assinale a alternativa que apresenta a classificação correta das relações entre as grandezas.

(A) Diretamente proporcionais: I e II, inversamente proporcional: III.

(B) Diretamente proporcionais: I e III, inversamente proporcional: II.

(C) Diretamente proporcional: II, inversamente proporcionais: I e III.

(D) Diretamente proporcional: III, inversamente proporcionais: I e II.

Gabarito: BSoluçãoNa relação I, se os litros de álcool triplicam (de 2 L para 6 L), a quantidade de quilômetros rodados também triplicará (de 16 km/h para 48 km/h). São grandezas diretamente proporcionais.Na relação II, se a velocidade duplica (de 40 km/h para 80 km/h), o tempo do percurso cairá pela metade (de 30 min. para 15 min.). São grandezas inversamente proporcionais.Na relação III, se a quantidade de pera cai pela metade (de 100g para 50 g), a quantidade de calorias consumidas também cai pela metade (de 56 cal. Para 28 cal.). São grandezas diretamente proporcionais.D29B − Identificar se a proporcionalidade entre grandezas é direta ou inversa.

Soluçãoa) A quantidade de pizzas triplicou, passando de 2 para 6, logo o número de ovos também triplicará, passando de 8 para 24. Logo a quantidade de pizzas e o número de ovos são diretamente proporcionais (D.P.).b) O tempo de digitação do texto cai pela metade, passando de 2 horas para 1 hora, logo o número de palavras digitadas por minuto dobrará passando de 30 para 60 palavras por minuto. Portanto, o tempo e o número de palavras digitadas por minuto são inversamente proporcionais. (I.P.).c) O número de cadernos quadruplica, passando de 5 para 20, logo o preço a pagar também quadruplicará, passando de 42 reais para 168. Portanto, o número de 3 cadernos e o preço a pagar são diretamente proporcionais. (D.P.).d) O número de funcionários diminuiu um terço, passando de 15 para 5, logo o tempo necessário para limpar as vidraças aumentará o triplo passando de 4 horas para 12 horas. Portanto o tempo de trabalho e a quantidade de funcionários são inversamente proporcionais. (I.P.).

Atividades relacionadas ao item 1.

1. Analise cada uma das relações entre grandezas a seguir e classifique-as como D.P. (Diretamente proporcional) ou I.P. (Inversamente proporcional).

a) Para fazer 2 pizzas D. Marta gastou 8 ovos. Quantos ovos ela gastará para fazer 6 pizzas?b) Moisés levou 2 horas para digitar um texto digitando em média, 30 palavras por minuto. Quantas palavras por minuto ele deveria digitar para que o mesmo texto seja digitado em 1 hora?c) Se 5 cadernos custam 42 reais, qual é o preço de 20 cadernos?d) Uma equipe de limpeza com 15 funcionários leva 4 horas para limpar as vidraças de um prédio. Quantas horas seriam necessárias para limpar as vidraças se trabalhassem nessa equipe 5 funcionários?e) Para encher um tanque são necessárias 20 vasilhas de 8 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 4 litros cada uma, quantas serão necessárias?

ATIVIDADES PEDAGÓGICAS DE FORTALECIMENTO DA APRENDIZAGEM

e) A capacidade das vasilhas diminui a metade, passando de 8 litros para 4 litros, logo a quantidade de vasilhas duplicará, passando de 20 para 40. Logo a capacidade das vasilhas e a quantidade de vasilhas são inversamente proporcionais. (I.P.).

2. Analise cada uma das relações entre grandezas apresentadas a seguir: I. Dona Luzia gasta 2 xícaras de chá de farinha de trigo para preparar 9 sonhos recheados. Quantas xícaras de chá são necessárias para preparar 27 sonhos recheados?II. Se Sofia ler 6 páginas por hora, ela lerá um livro em 10 horas. Se ela ler 12 páginas por hora, em quantas horas ela lerá o livro?III. O carro de Francisco percorre em média 36 km com 3 litros de gasolina. Quantos quilômetros o carro de Marcelo percorrerá com 12 litros de gasolina?IV. Sabendo que 6 cachorros de mesmo porte consomem um saco de ração no período de 3 dias, quantos dias 2 cachorros de mesmo porte levarão para consumir esse saco de ração?Assinale a alternativa que apresenta a classificação correta das relações entre grandezas.

(A) Diretamente proporcionais: I e II, Inversamente proporcionais: III e IV.

(B) Diretamente proporcionais: I e III, Inversamente proporcionais: II e IV.

(C) Diretamente proporcionais: II e IV, Inversamente proporcionais: I e III.

(D) Diretamente proporcionais: III e IV, Inversamente proporcionais: I e II.

Gabarito: BSolução Na relação I, o número de sonhos preparados triplica e a quantidade de xícaras de chá também triplicará. São grandezas diretamente proporcionais.Na relação II, o número de páginas lidas por dia duplica e o tempo gasto para ler o livro cai pela metade. São grandezas inversamente proporcionais.Na relação III, a quantidade de gasolina quadruplica e a distância percorrida também quadruplica. São grandezas diretamente proporcionais.Na relação IV, o número de cachorros cai um terço e o período de consumo da ração aumenta três vezes. São grandezas inversamente proporcionais.Portanto, a alternativa que apresenta a classificação correta das relações entre grandezas é a letra (B).

3. Analise as tabelas a seguir:

DistânciaPercorrida (km)

Quantidade de álcool (L)

16 232 4

Quantidadede funcionários

Tempo de trabalho(h)

14 628 3

Número de páginaslidas por hora

Tempo para ler olivro completo (h)

5 1830 3

Número de folhasimpressas

Tempo de impressão (min)

50 3500 30

x2

x2

x6

x10

x2

:2

:6

x10

Assinale a alternativa que apresenta a classificação correta das relações entre as grandezas

(A) diretamente proporcionais: I e II; inversamente proporcionais: III e IV.

(B) diretamente proporcionais: II e III; inversamente proporcionais: I e IV.

(C) diretamente proporcionais: I e IV; inversamente proporcionais: II e III.

(D) diretamente proporcionais: II e IV; inversamente proporcionais: I e III.

Gabarito: CSoluçãoNa tabela I a distância percorrida dobra e a quantidade de álcool também dobra, na tabela IV o número de folhas impressas aumenta dez vezes e o tempo de impressão também. Portanto as tabelas I e IV representam grandezas diretamente proporcionais.Na tabela II a quantidade de funcionários dobra e o tempo de trabalho diminui a metade, na tabela III o número de páginas lidas por hora aumenta seis vezes e o tempo para ler o livro completo diminui um sexto. Portanto as tabelas II e III representam grandezas inversamente proporcionais.


ITEM 3

ITEM 4

Considere duas circunferências concêntricas de raios iguais a 10 cm e 25 cm de comprimento, respectivamente.A diferença entre os comprimentos, em centímetros, dessas duas circunferências é um valor

(A) inferior a 29π.(B) entre 29π e 32π.(C) entre 32π e 35π.(D) acima de 35π.

Gabarito: BSoluçãoC2 = 2 ∙ π ∙ 25 = 50π cm C1 = 2 ∙ π ∙ 10 = 20π cm C2 - C1 = 30π cm D12D – Calcular o comprimento de circunferência.


1. Considere uma circunferência cujo diâmetro é igual a 45 cm.

(Adote π=3,14.)O comprimento dessa circunferência é igual a

(A) 141,3 cm.(B) 282,6 cm.(C) 443,68 cm.(D) 506,25 cm.

Gabarito: ASoluçãoNessa resolução os dados do item sugerem a resolução usando o diâmetro, comente com os estudantes sobre a possibilidade de se resolver uma atividade que tenha fornecido o diâmetro ao invés do raio. Assim tem-se:C = 2πR = Dπ = 45 × 3,14 = 141,3 cm

2. Observe a figura a seguir:

D = 36m

d = 28mQ P

Juliano anda sobre a linha externa de uma praça circular partindo do ponto P, Renato anda sobre a linha interna dessa praça, partindo do ponto Q.Adote π=3,14. A distância que Juliano andou a mais que Renato é igual a

(A) 226,08 m.(B) 175,84 m.(C) 108,45 m.(D) 50,24 m.

Gabarito: DSoluçãoDistância andada por JulianoC = 2 ∙ 3,14 ∙ 36 = 226,08 m Distância andada por RenatoC = 2 ∙ 3,14 ∙ 28 = 175,84 m Diferença = 226,08 - 175,84 = 50,24 m

3. Seja um barbante de comprimento igual a 10 m feito de um material que não aceita ser esticado facilmente. O raio da circunferência construída com esse barbante terá raio aproximadamente igual a

(A) 3,2 m.(B) 2,4 m.(C) 1,6 m.(D) 1,2 m.

Gabarito: CSoluçãoC = 2πR 10 = 2 ∙ 3,15 ∙ R R = = 1,6 10

6,28

Para percorrer certa distância de carro a uma velocidade média de 70 km/h, Beto levou 4 horas. Para percorrer essa mesma distância em 2 horas, a velocidade média do automóvel de Beto deve ser igual a

(A) 140 km/h.(B) 130 km/h.(C) 120 km/h.(D) 110 km/h.


Gabarito CSoluçãoNota se que é uma grandeza inversamente proporcional. Utilizando a regra de três simples tem-se:9 406 x

=

6x = 9 × 40

x = = 60

Gabarito: ASoluçãoPara resolver esse item, pode-se usar a regra de três simples inversamente proporcional.

=

2x = 280x = 140 km/hD29D – Calcular grandezas inversamente proporcionais.

4 702 x↓

↓

42

96

x40

9 x 406

x70


1. Para encher um recipiente são necessárias 60 vasilhas de 12 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 6 litros cada, quantas serão necessárias?

(A) 30.(B) 60.(C) 120.(D) 240.

Gabarito C.Solução

Vasilhas Litros60 12120 6

Observe que a quantidade de vasilhas e multiplicada por dois e a quantidade de litros e dividida por 2.Assim, são utilizadas 120 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito de encher o recipiente.

2. Com velocidade de 9 km/h, Karina faz uma caminhada em 40 minutos.Se sua velocidade fosse de 6 km/h, o tempo gasto nessa caminhada seria

(A) 30 min.(B) 40 min.(C) 60 min.(D) 80 min.

3. Um carro, com velocidade média de 80 km/h, percorre a distância entre duas cidades em 5 horas e 15 minutos. Se a sua velocidade média fosse de 90 km/h, o tempo gasto para percorrer a mesma distância seria de

(A) 4 horas.(B) 4 horas e 4 minutos.(C) 4 horas e 25 minutos.(D) 4 horas e 40 minutos.

Gabarito: DSoluçãoV T80 5,2590 x

=

x =

x =

x = 4 +

x = 4h + h

x = 4h 40min

8090

429

36 + 69

69

23

x5,25

ITEM 5

Considere um retângulo com 12 centímetros de comprimento e 8 centímetros de largura.A medida da diagonal desse retângulo, em centímetros, é igual a

(A) 2 13.(B) 8 2.(C) 13 2.(D) 4 13.


Gabarito: DSolução

8cm 8cm 8cm x

12cm 12cm

Diagonal

12cm

12cm

8cmx

x

M

N P

30cm18cm

x2 = 82 + 122

x2 = 64 + 144x2 = 208x = ± 208x = 4 13

D10E – Utilizar o Teorema de Pitágoras.


1. Considere um triângulo MNP retângulo em N.A medida da sua hipotenusa MP é igual a 30cm e a medida de sua altura MN é igual a 18cm.Assinale a alternativa que apresenta a representação desse triângulo.

(A) M

N P

18cm12cm

6 5cm

(C) M

N P24cm

18cm30cm

(D) M

N P32cm

18cm30cm

(B) M

N P18cm

30cm2 306cm

Gabarito: CSolução

302 = x2 + 182

900 = x2 + 324x2 = 900 - 324x2 = 576x = 24

2. Um triângulo PQR, reto em Q possui catetos com medidas 12cm e 14cm. Sabe-se que PQ é o menor dos catetos.Determine a medida da hipotenusa desse triângulo.

SoluçãoUm triângulo PQR, reto em Q.

Possui catetos com medidas 12cm e 14cm e, sabe-se que PQ é o menor dos catetos.

QR

P

QR

P

12cmx

14cm

x2 = 122 + 142

x2 = 144 + 196x2 = 340x = 340x = 2 85

QR

P

12cm2 85cm

14cm

3. Considere um retângulo com 20 centímetros de comprimento e 12 centímetros de largura.A medida da diagonal desse retângulo, em centímetros, é igual a

(A) √17(B) 4√17(C) 2√34(D) 4√34


Gabarito: DSolução

12cm 12cmd

20cm 20cm

d2 = 122 + 202

x2 = 144 + 400x2 = 544x = 544x = 4 34

ITEM 6

Um pintor trabalhando 8 horas, gasta 4 L de tinta para pintar uma superfície de 40 m2. Nessas mesmas condições para pintar 220 m2, o tempo que ele gastará e a quantidade de tinta serão, respectivamente, iguais a

(A) 44 horas e 22 L.(B) 24 horas e 12 L.(C) 16 horas e 8 L.(D) 8 horas e 4 L.

Gabarito: ASoluçãoO estudante deverá observar que:

40 m2 8 horas 4 l220 m2 x y

80 m2 16 horas 8 sacos440 m2 x x

12 metros muro

2,5 dias 2 160 tijolos

30 metros muro

x x

40x = 220 ∙ 8

x =

x = 44 h

8y = 44 ∙ 4

y =

y = 22 l D29C – Calcular grandezas diretamente proporcionais.

220 ∙ 840

44 ∙ 48

704080

7512

13 5002,5

70416


1. Numa montadora 15 homens montam 36 carros, 20 homens com o mesmo rendimento quantos carros montarão?

Solução

15 homens 36 carros20 homens X

O estudante deverá observar que:15x = 20 ∙ 36 x = 720 ÷ 15 x = 48 carros

2. Um pedreiro trabalhou 16 horas e gastou 8 sacos de cimento para rebocar uma área de 80 m2. Nessas mesmas condições, calcule o tempo e quantidade de cimento que ele gastará para rebocar 440 m2.

Solução:O estudante deverá observar que:

SoluçãoO estudante deverá observar que:

80x = 440 ∙ 16

x =

x = 88

16x = 88 ∙ 8

x =

x = 44

3. Um muro de 12 metros foi construído utilizando 2 160 tijolos em 2,5 dias. Caso queira construir um muro de 30 metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos e quantos dias serão necessários?

12x=30∙2,5

x =

x = 6,25 dias

2,5x = 6,25 ∙ 2 160

x =

x=5400 tijolos


Solução

a) x ∙ = 336

= 336

12x = 33 600

x =

x = 2 800Sem o desconto a jóia custa R$ 2 800.

b) 2 800-336 = 2 464Pedro pagou R$ 2 464.


x ∙ = 5 250 → = 5 250

15x = 525 000 → x = → x = 35 000

ITEM 7

Simone deu 15% de entrada na compra de uma moto, o que corresponde a R$ 1 170 do valor total da moto. Assinale a alternativa que corresponde ao valor total dessa moto.

(A) R$ 18 000(B) R$ 13 550(C) R$ 7 800(D) R$ 6 250


x ∙ = 1 170

= 1 170

15x = 117 000

x =

x = 7 800D28B -Calcular o valor numérico a partir de um percentual conhecido.

15100

15100

12100

12x100

15x100

525 00015

8100

8x100

6008

15x100

117 00015

33 60012


1. Em um campeonato de futebol um jogador fez 6 gols, o que corresponde a 8%, do total de faltas cobradas por ele.Quantas faltas esse jogador cobrou ao longo deste campeonato?

Solução

x ∙ = 6

= 6

8x = 600

x =

x = 75Ao longo deste campeonato este jogador cobrou 75 faltas.

2. Na compra de um apartamento, Sueli deu 15% do valor da entrada o qual corresponde a R$ 5 250. O valor total, em reais, da entrada do apartamento que Sueli comprou foi de

(A) 787,50 (B) 3 500(C) 35 000(D) 78 750

3. Pedro comprou uma joia e por ter pagado a vista ganhou 12% de desconto, o que equivale a R$ 336.a) Qual é o valor da joia sem o desconto? b) Quanto Pedro pagou pela joia?

ITEM 11

Leia o trecho do poema a seguir.

Diga lá meu companheiro, diga lá meu amigão

Onde inicia a trigonometria

Não deve ser tão fácil, não

O nome é enredado

Não é no inequiângulo

Mas sim no triângulo

Não no agudo ou obtuso


Nem no septangulo

Mas sim no triângulo retângulo

E nesse triângulo tem esquema

Que de tanto repetir

Resolve qualquer problema

A medida ao quadrado do lado maior desse triângulo

Que tem a alcunha de se chamar hipotenusa

É igual à soma do quadrado dos lados menores.

Quem não sabe aprenda

Que serve para resolver esse dilema

E de tantos outros problemas.

De acordo com o poema descrito, o teorema referido é o

(A) teorema de Tales.

(B) teorema de Laplace.

(C) teorema fundamental da álgebra.

(D) teorema de Pitágoras.

Gabarito: DSoluçãoNo fragmento do poema tem-se:“A medida ao quadrado do lado maior desse triângulo (Linha 17).Que tem a alcunha de se chamar hipotenusa (Linha 18).É igual à soma do quadrado dos lados menores. ” (Linha 19).Portanto, reconhecemos o Teorema de Pitágoras que em uma de suas descrições diz:“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. ”D10B – Reconhecer a fórmula do Teorema de Pitágoras.


1. Leia o fragmento do poema a seguir.Poesia Matemática

Millôr Fernandes

As folhas tantas, do livro matemático

Um quociente apaixonou-se, um dia doidamente,

por uma incógnita.

Olhou-a com seu olhar inumerável,

e viu-a do ápice à base, uma figura ímpar;

olhos romboides, boca trapezoide,

corpo retangular, seios esferoides.

Fez de sua vida, paralela à dela,

até que se encontraram no infinito.

“Quem és tu?”, indagou ele em ânsia radical.

“ Sou a soma do quadrado dos catetos, mas pode me chamar de Hipotenusa.”

E de falarem descobriram que eram, o que em aritmética corresponde a almas irmãs, primos entre si.

Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro – Rio de Janeiro,1954, pág. sem número, publicado com o pseudônimo de Vão

Gogo.Assinale a alternativa correspondente ao teorema matemático descrito

no fragmento do poema.

(A) teorema fundamental da álgebra (B) teorema de Pitágoras(C) teorema de Laplace (D) teorema de Tales

Gabarito: BSoluçãoNo fragmento do poema tem-se:“ Sou a soma do quadrado dos catetos, mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Linha 13)Logo visualiza-se o Teorema de Pitágoras que em uma de suas descrições diz:“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. ”

2. Observe a demonstração por comparação de áreas nas figuras a seguir.


Essa é uma das várias formas de demonstrar um famoso teorema matemático.Assinale a alternativa correspondente ao teorema matemático demonstrado na sequência das figuras.

(A) teorema de Taylor (B) teorema de Euclides(C) teorema de Napoleão (D) teorema de Pitágoras

Gabarito: DSoluçãoNa figura I, estão representados dois quadrados e quatro triângulos retângulos onde um quadrado tem lado de medida “a”, um segundo quadrado tem lado de medida “b” e quatro triângulos retângulos com catetos medindo “a”, “b” e hipotenusa “c”. Fazendo rearranjo das figuras, podemos colocar cada um dos quatro triângulos retângulos em um canto, de forma que as hipotenusas dos triângulos retângulos formem um quadrado de lado “c”. Com isso concluímos que a área do novo quadrado formado é igual a “c²” e também à soma das áreas dos quadrados a² e b².

3. Observe a figura a seguir.

Essa é uma das várias formas de demonstrar um famoso teorema matemático.Assinale a alternativa correspondente ao teorema matemático demonstrado na sequência das figuras.

(A) teorema de Pascal (B) teorema de Pitot(C) teorema de Pitágoras (D) teorema de Ptolomeu

Gabarito: CSoluçãoA análise da figura permite determinar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo. Essa área é quatro vezes a área do triângulo mais a área do quadrado restante, de

lado (b-a). Equacionando-se, segue que:

c2 = 4 ∙ + (b - a)2.

Desenvolvendo temos:

c2 = 2ab + b 2- 2ba + a 2

Daí concluímos que

c2 = a 2 + b²Logo visualiza-se o Teorema de Pitágoras.

a ∙ b2

ITEM 12

Uma praça circular tem raio igual a de 9,15 m.Considere o valor de π = 3,14.O valor, aproximado, da área dessa praça é igual

(A) 57,46 m².(B) 90,21 m².(C) 262,89 m².(D) 825,47 m².

Gabarito: CSoluçãoA = π ∙ R2 A = 3,14 ∙ (9,15)2 A = 262,89 m2. D13F-Calcular a área do círculo.


1. A planificação de um conjunto (pneu e calota) de um carro é representada na figura a seguir:


Os dois círculos são concêntricos, sendo os raios iguais a R=33 cm e r=23 cm.Considerando π=3, a área planificada de todo o conjunto (pneu e roda) é, em cm², igual a

(A) 4 854.(B) 3 267.(C) 1 680.(D) 1 587.

Gabarito: BSoluçãoProfessor(a), o item consiste em verificar se o estudante consegue calcular a área do círculo, assim, tem-se:A = π ∙ R2

A = 3 ∙ (33)2

A = 3 267 cm2.

2. A planificação de um conjunto (pneu e calota) de um carro é representada na figura a seguir:

Os dois círculos são concêntricos, sendo os raios iguais a R=33 cm e r=23 cm.Considerando π=3, a área planificada da calota é, em cm², igual a

(A) 4 854.(B) 3 267.(C) 1 680.(D) 1 587.

Gabarito: DSoluçãoProfessor(a), o item consiste em verificar se o estudante consegue calcular a área do círculo, assim, tem-se:A = π ∙ r2

A = 3 ∙ (23)2

A = 1 587 cm2.

3. A planificação de um pneu é representada na figura a seguir:

Os dois círculos são concêntricos, sendo os raios iguais a R=33 cm e r=23 cm.Considerando π=3, a área planificada do pneu é, em cm², igual a

(A) 4 854.(B) 3 267.(C) 1 680.(D) 1 587.

Gabarito: CSoluçãoProfessor(a), o item consiste em verificar se o estudante consegue calcular a área do círculo, assim, tem-se:A = π ∙ R2

A = 3 ∙ (33)2

A = 3 267 cm2.A = π ∙ r2

A = 3 ∙ (23)2

A = 1 587 cm2.APneu = 3 267 - 1 587 = 1 680 cm2.

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