Geometria NeutraÂngulos no triângulo

Teorema (Saccheri-Legendre)A soma dos graus dos três ângulos num triângulo é menor ou igual a 180�.

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Assumindo geometria neutra,

Demonstração.

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pm emtradição : S ✓que OABC tem soma 180:p"

B ' up param p> o'

µ D pinto médio de BC"

no ÃÕ seja E f. q . A *D * E e

:

¢BDA ã ¢ EDC ⇒ ABDA ãs EAD EDEµ ⇒ (x )

.

t (pi = (LBA c)°←

z ⇒ ,pra www.aaggm.aaggaygAB

ângulo em DAEC

| dos âsguen emftp.smaoasgauslb#:Duas opções :← ou CpiE É ICBACI.

-A

C ou (xis É LCBAC ).

Em ambos caro, o AACE tem asma

igual Ciro tpl , mas um ângulo E IZCLBAC)? Repetindo este processoda

fama iterativa, podemos construir um A um soma igual a 180 :p'

,mas

em um ângulo sistemo E É . } KBACI : } KBACI. .. . . . . Construir D emSoma igual a 180 .tp

.

e Ângulostzn KBACI.

Demonstração.

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B,mmrqmq

.

µ a

→A C

depois de . . . .muita srpitiçoes deste processo . . .

obtermos A ACG um Soma igual 1807 q.

e

um Ângulo interno um grau c q°

.

=) os outros dois (em pau) Somam p, as 1807 q.

{Entradição corolário 2. H

Geometria NeutraÂngulos no triângulo

CorolárioA soma dos graus de dois ângulos num triângulo é menor ou igual ao grau doângulo externo não adjacente, i.e. (\A)� + (\B)� (\BCD)�.

A

B

C D

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-

\ ~

,

"

quadriláteros A .

.

O

( retângulos ) -

,

"

DAB D.ii.FI B.

Í'

qq

,

/

.

. C

Geometria NeutraÂngulos no triângulo

Definição (segmento “aberto” (A,B))dado dois pontos A,B definimos o conjunto (A,B) sendo o conjunto dos pontosD 2

!AB satisfazendo A ⇤ D ⇤ B .

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?_? AB

o_ (A , B)

Geometria NeutraÂngulos no triângulo

Definição (quadrilátero)Sejam A,B ,C ,D pontos dos quais não há três deles que são colinear. Definimos oquadrilátero ⇤ABCD sendo a união dos segments AB ,BC ,CD,DA tais que(A,B) \ (C ,D) = ; e (B ,C ) \ (A,D) = ;. Dizemos que um quadrilátero⇤ABCD é convexo se A 2 interior\BCD, B 2 interior\CDA,C 2 interior\DAB, D 2 interior\ABC .

B

C

D

A

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A

B✓°

quadrilátero /não Umrao

.

°

D

Geometria NeutraÂngulos no triângulo

CorolárioA soma dos graus dos ângulos num quadrilátero convexo é menor ou igual a 360�.

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A°

.

§° I :

D

DO

c

Numageometria neutra .

Dez : usando o fato (pela cmvuidadel que AÍestáno interior CBAD

,usando Terena 2.9

,

Apu ¢ BAD) o = (LBACI . t KCA D) °. ④

i€É÷÷

Demonstração.

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