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1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16a 26/08/2016
1. Materia dessa semana de acordo com o Plano de ensino oficial:
• Assıntotas Horizontais e Verticais.
• Continuidade
2. Material para estudar:
• Assıntotas Horizontais e Ver-ticais:
1
Assıntotas Verticais e Horizontais
MAT146 - Calculo I
18 de agosto de 2016
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
Os limites infinitos podem ser aplicados para encontrar assıntotas verticaisde um graficos, se elas existirem. Neste caso, quanto mais os valores de xse aproximam do numero 2, o grafico de f (x) se aproxima da reta x = 2.
A figura abaixo que representa o grafico da funcao f (x) =1
x − 2.
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5y
0
Figura : Grafico da funcao f (x) =1
x − 2.
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
DefinicaoDiremos que a reta x = a e uma assıntota vertical do grafico da funcaof , se pelo menos uma das alternativas abaixo for verdadeira.
(i) limx→a+ f (x) = +∞;
(ii) limx→a+ f (x) = −∞;
(iii) limx→a− f (x) = +∞;
(iv) limx→a− f (x) = −∞.
ObservacaoDada uma funcao f contınua, pode existir mais de uma assıntota verticale o grafico nunca interceptara tais assıntotas.
Geometricamente, a assıntota vertical do grafico de uma funcao f e areta paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (a, 0).
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
ExemploAche a(s) assıntota(s) vertical(is) da funcao
f (x) =x + 2
x2 − 4.
Observe que os candidatos a assıntotas verticais sao x = 2 e x = −2,pois sao os valores que satisfazem a equacao x2 − 4 = 0. Como
limx→−2
x + 2
x2 − 4= lim
x→−2
x + 2
(x − 2)(x + 2)
= limx→−2
1
x − 2
= −1
4,
concluımos que x = −2 nao e uma assıntota vertical.
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
Uma vez que
limx→2−
x + 2
x2 − 4= lim
x→2−
x + 2
(x − 2)(x + 2)
= limx→2−
1
x − 2= −∞
e
limx→2+
x + 2
x2 − 4= lim
x→2+
x + 2
(x − 2)(x + 2)
= limx→2+
1
x − 2= +∞,
pela definicao, a reta x = 2 e uma assıntota Vertical.
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5y
0
Figura : Grafico da funcao f (x) =x + 2
x2 − 4.
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
DefinicaoDiremos que a reta y = b e uma assıntota horizontal do grafico de umafuncao f , se pelo menos uma das seguintes afirmacoes for verdadeira.
(i) limx→+∞ f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x > N, entaof (x) 6= b.
(ii) limx→−∞ f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x < N, entaof (x) 6= b.
ObservacaoUma funcao f pode ter no maximo duas assıntotas horizontais e o graficode f pode interceptar a assıntota horizontal.
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
ExemploEncontre a(s) assıntota(s) horizontal(is) da funcao
f (x) =x2 − 4x + 2
3x2 − 2.
Note que
limx→∞
x2 − 4x + 2
3x2 − 2= lim
x→∞
x2
(1− 4
x+
2
x2
)x2
(3− 2
x2
)
= limx→∞
(1− 4
x+
2
x2
)(
3− 2
x2
)=
1
3,
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
e
limx→−∞
x2 − 4x + 2
3x2 − 2= lim
x→−∞
x2
(1− 4
x+
2
x2
)x2
(3− 2
x2
)
= limx→−∞
(1− 4
x+
2
x2
)(
3− 2
x2
)=
1
3.
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
Para mostrar que existe N > 0 tal que f (x) 6= 1
3, para x > N, e suficiente
mostrar que o grafico de f corta a reta y =1
3um numero finito de vezes.
De fato,
f (x) =1
3
x2 − 4x + 2
3x2 − 2=
1
3
3(x2 − 4x + 2) = 3x2 − 2
−12x2 + 8 = 0
x =2
3.
Logo, para x >2
3, temos f (x) 6= 1
3e desta forma, y =
1
3e uma assıntota
horizontal do grafico de f .
MAT146 - Calculo I UFV
Assıntotas Verticais e Horizontais
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5y
0
Figura : Grafico da funcao f (x) =x2 − 4x + 2
3x2 − 2.
MAT146 - Calculo I UFV
• Continuidade:
1
Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática
Notas de Aula - Cálculo I - Limites 23
515lim55
lim
5
5
5
lim
5
lim5
lim00000 t
sent
t
sent
t
sent
t
sent
x
xsen
ttttx
Calculexsen
xsen
x 9
7lim
0.Exemplo
Solução: Temos que:
x
xsenx
xsen
x
xsenx
xsen
x
xsenx
xsen
x
xsenx
xsen
xsen
xsen
x
x
xxxx
9
9lim
7
7lim
9
7
9
97
7
lim9
7
9
997
77
lim9
7
lim9
7lim
0
0
0000
Fazendo u = 7x e v = 9x, e lembrando que se x tende a zero, u e v tendem a zero
também, temos:
9
7
1
1
9
7
lim
lim
9
7
9
7lim
0
0
0
v
vsenu
usen
xsen
xsen
v
u
x
xax
xfax
lim
Continuidade
De modo informal
Quando definimos flim , analisamos o comportamento da função para
valores de x próximos de a, porém diferentes de a. Em muitos exemplos, vimos que
pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em
a e existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de
xf
xf af .
Quando diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é
contínua em a.
afxfax
lim
Definição: Uma função f é contínua em um número a se satisfaz as seguintes
condições:
i. af é definida;
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 24
ii. xfax
lim existe;
iii. af .xfax
lim
Segue alguns esboços de gráficos de funções que não são contínuas em a.
Se uma (ou mais) das três condições da definição não forem satisfeitas, dizemos
que f é descontínua em a.
Observe os gráficos acima. As descontinuidades em ( I ) e ( III ) são
descontinuidades removíveis, pois podemos removê-las definindo adequadamente o
valor de . A descontinuidade em ( II ) é do tipo salto, conforme a aparência do
gráfico. Se tende para ou
af
f x quando x tende para a pela esquerda ou pela
direita, conforme o gráfico ( IV ), temos uma descontinuidade infinita em a.
a x
y Para ver a
animação deste
exemplo
a
y
x
( I ) ( II )
a
y
x
a
y
x
( III) ( IV)
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 25
A função x
xxExemplo f não é contínua em a = 0, pois 0f não é definido e
também não existe. xfx 0lim
y
x
Descontinuidade tipo salto
A função f definida por 52xxf é contínua em x = 0? Exemplo
Solução: Como ,5500 2f 0f está definida.
55limlim 2
00xxf
xx. Temos que
05lim0
fxfx
Assim,
Como as condições de (i) a (iii) da definição foram satisfeitas,
concluímos que f é contínua em 0.
ExemploVerifique se a função f definida por
1 se 3
1 se 1
132 2
x
xx
xx
xf é
contínua em para o número .1
Para ver a
animação deste
exemplo Solução: Testando as três condições da definição, temos:
i. 31f
ii. 112lim1
112lim
1
132limlim
11
2
11x
x
xx
x
xxxf
xxxx
iii. Como xffx 1lim131 , a função é descontínua em x = 1.
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 26
Exemplo Seja a função definida por 0 se 3
0 se 9
2 xxx
xxxf . Verifique se a
função é contínua em x = 0. Para ver a
animação deste
exemplo Solução: Pela definição de função contínua, temos:
i. 39900f ;
399limlim e 33limlim00
2
00xxfxxxf
xxxx
Logo, 3lim0
xfx
ii.
iii. 03lim0
fxfx
Logo, a função é contínua em x = 0.
Propriedades das funções contínuas
1. Se as funções f e g são funções contínuas em um ponto a, então:
i. gf é contínua em a;
ii. gf é contínua em a;
iii. gf é contínua em a;
iv. gf / é contínua em a, desde que 0ag .
2. Uma função polinomial é contínua para todo número real.
3. Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio.
4. As funções trigonométricas são contínuas em todo seu domínio.
5. As funções exponencial e logarítmica são contínuas em todo seu domínio.
ExemploDetermine os números nos quais a função é
contínua.
1 se
1 se 32
2 xx
xxxf
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Notas de Aula - Cálculo I - Limites 27
Solução: As funções 32x e são polinomiais e, portanto, contínuas em
qualquer número. Assim, temos que o único número cuja continuidade é questionável é
x = 1. Dessa forma,
2x
i. 13121f
ii.1limlim
132limlim
2
11
11
xxf
xxf
xx
xx
Assim, como xfxfxx 11limlim , temos que não existe
Exemplo
xfx 1lim
1 xse
1 se 27
2kx
xxxf
2
Portanto, a função será contínua em todos os números, exceto x = 1.
Ache o valor para a constante k, se possível, que fará a função
contínua para todos os números reais.
Solução: Sabemos que as funções 7x
71
e são contínuas em todo seu
domínio. Para que a função f seja contínua para todos os números reais, basta
verificarmos a continuidade de f para x = 1. Assim, verifiquemos as três condições da
definição de continuidade:
2kx
i. 521f
kxxf
xxf
xx
xxii.
k11
11
lim)(lim
527lim)(lim
2
Para que exista, temos que k seja igual a 5. 1
)(limx
xf
iii. Para que a função f seja contínua para todos os números reais,
temos que )1()(lim1
fxfx
, logo k = 5.
Continuidade à esquerda e à direita: Seja f a função definida em um intervalo
fechado . Dizemos que uma função é contínua à esquerda no ponto c se ba,
)()(lim bfxfbx
e é contínua à direita no ponto c, se
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)()(lim afxfax
Assim, definimos continuidade em um intervalo fechado:
Definição: Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado ba, , se as seguintes
condições são satisfeitas:
i. f é contínua em ba, ;
ii. f é contínua à direita em a;
iii. f é contínua à esquerda em b.
29 xxf .Verifique a continuidade da função Exemplo
Solução: Como o domínio da função f é o intervalo fechado ,
necessitamos investigar a continuidade de f no intervalo aberto
3,3
3,3 e nos pontos
extremos. Seja c um ponto qualquer do intervalo 3,3 . Então, pela definição de
continuidade em um ponto, temos:
i. 29 c está definido pois )(cf 3,3c ;
ii. 29 c existe pois 29lim)(lim xxfcxcx
3,3c ;
iii. )(cf9)(lim 2cxfcx
Logo, a função é contínua para todo ponto do intervalo 3,3 .
Verifiquemos os extremos:
039)3( e 09lim)(lim 22
33fxxf
xx, logo f é contínua à esquerda
em 3. Além disso,
039)3( e 09lim)(lim22
33fxxf
xx, logo f é contínua à
direita em .3
Dessa forma, temos que f é contínua no intervalo fechado 3,3 .
• Exercıcios:
• Fazer os exercıcios 8,10,18 e 19 da lista2(Ver em intermat-disciplinas-Mat146-Listas)
1